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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro Tecnol
ógico
Programa de P
ós-Graduação em Engenharia de Produção
O método de Equação Integral com Quadratura Gaussiana
para otimizar os parâmetros do gráfico de controle
multivariado de Somas Acumuladas
Custodio da Cunha Alves
Tese de Doutorado
Orientador
Robert Wayne Samohyl, Ph.D
.
Florian
ópolis
2009
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2
Universidade Federal de Santa Catarina
Centro Tecnol
ógico
Programa de P
ós-Graduação em Engenharia de Produção
O método de Equação Integral com Quadratura Gaussiana
para otimizar os parâmetros do gráfico de controle
multivariado de Somas Acumuladas
Custodio da Cunha Alves
Tese apresentada à
Universidade Federal de Santa Catarina
para obtenção do título de
Doutor em Engenharia de Produção
Orientador:
Robert Wayne Samohyl, Ph.D.
Florian
ópolis
2009
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3
Catalogação na fonte pela Biblioteca Universitária da
U
niversidade Federal de Santa Catarina
A474 Alves, Custodio da Cunha
O método de Equação Integral com Quadratura Gaussiana
para otimizar os parâmetros do gráfico de controle multivariado
de Somas Acumuladas [ tese] / Custodio da Cunha Alves ;
orientador, Robert Wayne Samohyl - Florianópolis, SC, 2009.
196f.: il., tabs., grafs.
Tese (doutorado) - Universidade Federal de Santa Catarina,
Centro Tecnológico. Programa de Pós-Graduação em
Engenharia de Produção.
Inclui bibliografia
1. Engenharia de produção. 2. Matemática para engenharia.
3. Pesquisa operacional. 4. Estatística - Controle de qualidade.
5. Planejamento experimental - Estatística. I. Samohyl,
Robert Wayne. II. Universidade Federal de Santa Catarina.
Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção.
III. Título.
CDU 658.5
4
Custodio da Cunha Alves
O método de Equação Integral com Quadratura Gaussiana
para otimizar os parâmetros do gráfico de controle
multivariado de Somas Acumuladas
Esta tese foi julgada e aprovada para a obtenção do título de Doutor em
Engenharia de Produção no Programa de Pós Graduação em Engenharia
de Produção da Universidade Federal de Santa Catarina
Florianópolis, 06 de março de 2009
Prof. Antônio Sérgio Coelho, Dr
Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção
BANCA EXAMINADORA
Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr Prof. Milton Procópio de Borba, Dr
Universidade Federal de Santa Maria Universidade do Estado de SC
Examinador Externo Examinador Externo
Prof. Pedro Alberto Barbetta, Dr Prof. Marcelo Menezes Reis, Dr
Universidade Federal de SC Universidade Federal de SC
Examinador/Moderador Examinador
Prof
a
Vera do Carmo C. de Vargas, Dr
a
Prof. Robert Wayne Samohyl, Ph.D.
Universidade Federal de SC Universidade Federal de SC
Examinadora Orientador
5
Minhas homenagens:
A m
ãe de meus filhos, Cecília,
a quem amo, e que se faz
sempre amiga e companheira
Aos meus filhos
Cássio, Cassiano e Cláudio
que me dão alegria e amor
Aos meus pais
(em memória) que
s
empre me ajudaram e apoiaram ao longo
ao longo de toda minha vida e a quem
sempre estarei em d
ívida
Ao meu irmão Dario (em memória) por
ter despertado em mim o interesse
por Ci
ências Exatas
As minhas cinco irmãs que a
cada dia escrevem uma nova página
na história de nossa família
6
AGRADECIMENTOS
Sintetizar agradecimentos a todos que, de uma maneira ou de outra, contribuíram para
a realização deste trabalho, mostrou ser uma tarefa difícil. Gostaria de deixar registrada aqui
minha imensa gratidão e meu reconhecimento a todos que contribuíram, direta ou
indiretamente, para o êxito deste trabalho.
Um agradecimento especial ao meu orientador professor Robert Wayne Samohyl pela
amizade, atenção, incentivo e, principalmente, paciência e dedicação na elaboração deste
trabalho.
Agradeço ainda:
aos meus familiares, o apoio constante;
ao meu filho primogênito, Cássio Alves, pela valiosa contribuição no desenvolvimento
dos programas computacionais propostos neste trabalho;
aos professores e funcionários do PPGEP/UFSC com quem tive a oportunidade de
conviver e aprender;
aos meus colegas Manoel, Éder, Andréa, Leandro, Gueibe e Rodrigo, pela amizade e
companheirismo;
à colega Elisa, pela amizade e palavras de incentivo;
ao colega Ary, pela enorme colaboração no fornecimento dos dados reais do processo
de usinagem utilizado em sua dissertação de mestrado;
aos professores Adriano Souza, Vera de Vargas, Pedro Barbetta, Marcelo Reis e
Milton de Borba, Robert Samohyl, Rubson Rocha e Evandro da Silva as sugestões propostas
para a melhoria deste trabalho por ocasião tanto do Exame de Qualificação quanto da Defesa
de Doutorado;
aos professores, funcionários e acadêmicos da UNIVILLE e SENAI onde leciono que
me encorajaram ao longo de todo o doutorado. Não me refiro ninguém em especial para não
cometer a injustiça de esquecer alguém;
à Universidade Região de Joinville, o incentivo moral e a ajuda financeira e, em
especial, à professora Sandra Furlan, Pró-Reitora de Pesquisa e Pós-Graduação, a quem sou
muito grato por sua política de valorização do professor, responsável pelo meu crescimento
pessoal e profissional;
A todas as pessoas que n
ão foram nominalmente mencionadas, mas que de alguma
forma contribuíram para viabilizar este trabalho.
7
BIOGRAFIA DO AUTOR
Custodio da Cunha Alves é graduado em Matemática e possui especialização em
Matemática Aplicada pela Universidade da Região de Joinville (UNIVILLE), em 1990 e
1995, respectivamente. É mestre em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de
Santa Catarina (UFSC), em 2003. O autor atua como professor de ensino de Matemática e
Estatística desde 1980. Atua, também como instrutor de ensino na área de Estatística
Industrial. É consultor ad hoc da Fundação de Ciência e Tecnologia do Estado de Santa
Catarina (FUNCITEC). Trabalhou na Empresa Brasileira de Compressores S.A.
(EMBRACO), em Joinville-SC, de 1989 a 1998, na área de Controle da Qualidade.
Atualmente, é professor de ensino do Departamento de Engenharia de Produção Mecânica da
UNIVILLE e SENAI onde leciona as disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra
Linear e Geometria Analítica, Estatística, Pesquisa Operacional e Controle Estatístico de
Processos. Entre seus principais interesses por trabalhos acadêmicos incluem a pesquisa e o
ensino de matemática e estatística na engenharia, tais como, técnicas de controle estatístico da
qualidade, planejamento de experimentos e aplicação da metodologia de pesquisa operacional
a problemas de sistemas de manufatura. É, também, autor e co-autor de artigos técnicos nessas
áreas publicados em anais de grandes eventos nacionais, tais como, Encontro Nacional de
Engenharia de Produção (Enegep), Simpósio Nacional de Probabilidade e Estatística (Sinape)
e Simpósio de Engenharia de Produção (Simpep). Atualmente, o autor continua estudando
técnicas de controle estatístico com enfoque em aplicações eficientes de projetos de gráficos
de controle univariados e multivariados de Somas Acumuladas (CUSUM e MCUSUM) no
monitoramento de processos industriais.
8
RESUMO
ALVES, C.C. O método de Equação Integral com Quadratura Gaussiana para otimizar
os parâmetros do gráfico de controle multivariado de Somas Acumuladas. Tese de
Doutorado. Programa de Pos-Graduação em Engenharia de Produção e Sistemas.
Universidade Federal de Santa Catarina, 2009.
O rápido crescimento das tecnologias de aquisição de dados e a utilização de computadores
têm incrementado o interesse pelas técnicas de controle estatístico emergentes, tais como os
gráficos de controle multivariados aplicados no monitoramento de processos que envolvem o
controle simultâneo de características da qualidade ou variáveis de processo correlacionadas.
Neste trabalho propõe-se o método de Equação Integral com Quadratura Gaussiana para
otimizar os principais parâmetros ARL, k e h do gráfico de controle multivariado de Somas
Acumuladas (MCUSUM). Este método envolve a derivação analítica de uma equação
integral, cuja resolução numérica via Quadratura Gaussiana possibilita ao usuário obter a
solução aproximada desses parâmetros utilizando um programa computacional desenvolvido a
partir deste método. Além disso, propõe-se também, a partir desta metodologia, uma
aproximação sistemática de projetar estatisticamente um gráfico de controle MCUSUM ótimo
baseado nestes parâmetros, que minimize o custo médio de operação. Isso, orienta o usuário a
decidir que tamanho de mudança do vetor de médias é realmente importante detectar, e tendo
isto como base, selecionar aqueles parâmetros ótimos do gráfico MCUSUM que contemplem
aspectos estatísticos como a minimização do número de falsos alarmes e a maximização da
capacidade de detecção de mudanças reais. Os resultados obtidos deste trabalho revelam o
método de Equação Integral proposto como uma excelente alternativa para otimizar os
parâmetros do gráfico MCUSUM por ser um procedimento mais versátil que fornece
melhores resultados para o valor de ARL com maior rapidez de cálculo comparado com o
método de simulações e a relativa simplicidade de implementação em um programa
computacional.
Palavras-chave: Otimização de parâmetros, equação integral, métodos numéricos, gráfico de
controle multivariado de somas acumuladas.
9
ABSTRACT
ALVES, C.C. The Method of Integral Equation with Gaussian Quadrature to optmize
the parameters of the multivariate cumulative sum control chart. Doctorate Thesis.
Programa de Pos-Graduação em Engenharia de Produção e Sistemas. Universidade Federal de
Santa Catarina, 2009.
The fast growth of data technologies acquisition and the use of computers have increased the
interest in techniques of statistical emergent control, such as applied multivariate control
charts for monitoring processes that involve the simultaneous control of the quality
characteristics or process variables correlated. In this work the method of Integral Equation
with Gaussian Quadrature to optimize the main parameters ARL, k and h of the multivariate
cumulative sum control chart (MCUSUM) is proposed. This method involves the derivation of
an analytical integral equation, whose numerical resolution way Gaussian Quadrature allows
the user to obtain the approximate solution of these parameters using a computer program
developed from this method. Furthermore, from this methodology, a systematic approach to
design a statistical chart of MCUSUM optimal control based on these parameters, which
minimizes the average cost of operation, is also proposed. This, guides the user to decide what
size to change the vector of means is important to detect, and taking this as a base, selecting
those parameters MCUSUM great chart that address statistical issues such as minimizing the
number of false alarms and maximizing the ability of detection of real changes. The results of
this study reveal the method of Integral Equation proposed as an excellent alternative to
optimize the parameters of the chart MCUSUM to be a more versatile procedure that provides
better results for the value of ARL with higher speed of calculation compared with the method
of simulations and the relative simplicity of implementation in a computer program.
Keywords: Optimization of parameters, integral equation, numerical methods, multivariate
cumulative sum control chart.
10
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 Fases da metodologia utilizada no trabalho........................................................23
Figura 2.1 Região de controle para duas variáveis independentes analisadas de
forma conjunta adaptada de Montgomery 2004).................................................28
Figura 2.2 Região de controle para duas variáveis correlacionadas analisadas de
forma conjunta adaptada de Montgomery (2004)...............................................29
Figura 2.3 Forma bidimensional de pirâmide, cone e parabolóide.......................................45
Figura 2.4 Valores de ARL dos gráficos MCUSUM e T
2
de Hotelling para ARLo=200....60
Figura 4.1 Curvas de ARL do gráfico MCUSUM para n=1 e ARL
o
=200, 500 e 1000.......77
Figura 4.2 Desempenho de ARL dos gráficos MCUSUM, MEWMA e T
2
de Hotelling.....78
Figura 4.3 Desempenho de ARL do gráfico MCUSUM com aplicação de
SIM, MCM e MEI...............................................................................................79
Figura 4.4 Resumo das etapas para desenvolvimento do projeto estatístico MCUSUM.....81
Figura 4.5 Regiões de Máxima e mínima potência de um gráfico de controle.....................82
Figura 4.6 Função perda para as características da qualidade do exemplo de aplicação......83
Figura 4.7 Regiões de Máxima e mínima potência do MCUSUM do
exemplo de aplicação............................................................................................86
Figura 4.8 Caixa de diálogo com os dados de entrada do exemplo de aplicação..................87
Figura 4.9 Esboço dos furos 1 e 2 do bloco de motor para veículo de passeio.....................89
Figura 4.10 Fluxo resumido do processo de usinagem do bloco de motor.............................90
Figura 4.11 Histograma das características da qualidade X
1
e Y
1
(Processo XY)..................93
Figura 4.12 Gráfico de probabilidade qui-quadrado (Q-Q plot) para os dados do
processo XY.........................................................................................................94
Figura 4.13 Correlogramas das características da qualidade X
1
e Y
1
(Processo XY)............95
Figura 4.14 Função Autocorrelação (FAC) das variáveis X
1
com Y
1
(Processo XY)...........96
Figura 4.15 Análise de Variância (ANOVA) e Estatística Descritiva para
as variáveis X
1
e Y
1
.............................................................................................96
Figura 4.16 Modelo matemático para otimizar os pontos de máxima e
mínima potência..................................................................................................98
Figura 4.17 Pontos de máxima e mínima potência para otimizar o gráfico MCUSUM........99
Figura 4.18 Tela do R para carregar a rotina do gráfico MCUSUM....................................100
11
Figura 4.19 Tela do R para executar a rotina do gráfico MCUSUM...................................101
Figura 4.20 Gráfico MCUSUM do processo XY (furação de acabamento do furo 1).........101
Figura 4.21 Histogramas das características da qualidade X
1
, Y
1
e D
12
do
Processo XYD...................................................................................................103
Figura 4.22 Gráfico de Probabilidade Normal das variáveis X
1
,Y
1
e D
12
do
Processo XYD..................................................................................................104
Figura 4.23 Gráfico de probabilidade qui-quadrado (Q-Q plot) para os dados do
Processo XYD..................................................................................................105
Figura 4.24 Correlogramas das características da qualidade X
1
, Y
1
e
D
12
do
Processo XYD..................................................................................................106
Figura 4.25 Função Autocorrelação (FAC) para as variáveis X
1
com D
12
e
Y
1
e D
12.....
........................................................................................................107
Figura 4.26 Análise de Variância (ANOVA) e Estatística Descritiva para as
variáveis X
1
e D
12.
..........................................................................................108
Figura 4.27 Análise de Variância (ANOVA) e Estatística Descritiva para as variáveis
as vasriáveisY
1
e D
12
.......................................................................................108
Figura 4.28 Gráfico de controle MCUSUM para os dados do processo XYD....................110
12
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 Tabela para a implementação do algoritmo de soma acumulada O parâmetro
ótimo do gráfico, k para projetar o MCUSUM e os correspondentes limites de
controle, h com o mínimo (ARL
mín
.) para p=2, ARL sob controle (ARL
o
)
de 200, 500 e 1000, e vários tamanhos de mudança, d.........................................73
Tabela 4.2 Tabela para a implementação do algoritmo de soma acumulada O parâmetro
ótimo do gráfico, k para projetar o MCUSUM e os correspondentes limites de
controle, h com o mínimo (ARL
mín
.) para p=3, ARL sob controle (ARL
o
)
de 200, 500 e 1000, e vários tamanhos de mudança, d ........................................74
Tabela 4.3 Tabela para a implementação do algoritmo de soma acumulada O parâmetro
ótimo do gráfico, k para projetar o MCUSUM e os correspondentes limites de
controle, h com o mínimo (ARL
mín
.) para p=4, ARL sob controle (ARL
o
)
de 200, 500 e 1000, e vários tamanhos de mudança, d.........................................74
Tabela 4.4 Comparativo das propriedades estatísticas do MCUSUM via
MCM x MEI................................................................................………………75
Tabela 4.5 Análise de sensibilidade: Valores de k e h para o ARL de 200 quando
o processo está sob controle e os valores de ARL quando o processo está
fora de controle com p=2 e n=1 ......................................................................76
Tabela 4.6 Desempenho de ARL entre gráficos de controle multivariado. ........................110
13
LISTA DE SIGLAS E SÍMBOLOS
RL número de amostras coletadas até à emissão de um sinal (Run Length)
ARL número médio de amostras coletadas até à emissão de um sinal (Average Run
Length)
ARL
o
número médio de amostras coletadas até a emissão de um sinal durante o período
sob controle (ARL para o desvio nulo)
ARL
d
número médio de amostras coletadas até a emissão de um sinal que indique uma
situação de fora de controle (ARL para o desvio d)
MRL número mediano de amostras coletadas até à emissão de um sinal
SPRT Teste Seqüencial da Razão de Probabilidades (Sequential Probability Ratio Test)
FIR Resposta Inicial Rápida (Fast Initial Response)
MEI Método de Equação Integral
MCM Método de Cadeias de Markov
MCU Múltiplos gráficos CUSUM univariados
SIM Método de Simulação
CEP Controle Estatístico de Processos
CUSUM Soma acumulada (Cumulative Sum)
FAC Função Autocorrelação
ACP Análise de Componentes Principais
f(x) função distribuição de probabilidade da variável aleatória X
H
o
hipótese nula
H
1
hipótese alternativa
k valor de referência do gráfico de controle
h limite de controle ou intervalo de decisão padronizado
N(0,1) distribuição normal padronizada com média zero e desvio padrão unitário
probabilidade de um erro tipo I
probabilidade de um erro tipo II
d
tamanho da mudança em unidades de desvio padrão
vetor de médias
o
vetor de médias para a situação sob controle
1
vetor de médias para uma situação de fora de controle
14
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO.............................................................................................18
1.1 Motivação para aplicação de Gráficos de Controle Multivariados....... .20
1.2 Tema e Justificativa.............................................................................. ..20
1.3 Objetivos................................................................................................. 21
1.4 Método de Trabalho................................................................................22
1.5 Delimitações da Metodologia..................................................................24
1.5 Estrutura da Tese.....................................................................................24
CAPÍTULO 2 REVISÃO DE LITERATURA.....................................................................26
2.1 Gráficos de Controle Estatístico de Processos Multivariados.................26
2.2 Gráfico de Controle T
2
de Hotelling (Shewhart Multivariado)..............30
2.2.1 Subgrupos racionais ...............................................................................30
2.2.2 Observações individuais multivariadas...................................................32
2.3 Gráfico de Controle Multivariado MEWMA..........................................35
2.4 Gráfico de Controle Multivariado MCUSUM........................................37
2.4.1 Gráfico de Controle CUSUM..................................................................37
2.4.2 Gráficos de controle multivariado MCUSUM........................................38
2.5 O ARL - Número Médio de Amostras até a emissão de um sinal...........45
2.5.1 Método de Equação Integral....................................................................47
2.5.2 Método das Cadeias de Markov..............................................................49
2.5.3 Método de Simulação..............................................................................50
2.6 Parâmetros dos Gráficos de Controle CUSUM e MCUSUM................50
2.7 Projeto ótimo aplicado para obter os parâmetros do gráfico
MCUSUM...............................................................................................55
2.8 Método para otimização dos parâmetros do gráfico MCUSUM..............58
2.8.1 Otimização do MCUSUM baseado em Regiões de Máxima e
Mínima Potência.......................................................................... ..........58
2.9 Integração Numérica...................................................................... ..........61
2.9.1 Quadratura Gaussiana.................................................................... ..........62
2.10 Síntese do Capítulo.............................. ....................................................64
15
CAPÍTULO 3 METODOLOGIA ......................................................................................65
3.1 Introdução................................................................................................65
3.2 Método de Equação Integral com Quadratura Gaussiana para
otimização dos parâmetros do gráfico MCUSUM..................................65
3.3 Síntese do Capítulo..................................................................................68
CAPÍTULO 4 APLICAÇÃO DA METODOLOGIA.........................................................70
4.1 Introdução...............................................................................................70
4.2 Desenvolvimento Experimental da Metodologia. ..................................71
4.3 Programas Implementados. ....................................................................71
4.4 Aplicação do MEI para determinar os parâmetros do
gráfico de controle MCUSUM...............................................................72
4.4.1 Resultados da aplicação do MEI para os parâmetros
do gráfico MCUSUM............................................................................73
4.5 Projeto estatístico ótimo para um gráfico MCUSUM baseado em
ARL e sob a ótica de regiões de máxima e mínima potência.................79
4.5.1 Exemplo de aplicação para o projeto estatístico ótimo do
gráfico MCUSUM baseado em ARL e sob a ótica de regiões de
máxima e mínima potência....................................................................82
4.6 Aplicação da metodologia proposta utilizando dados reais de um
processo de usinagem... .........................................................................88
4.6.1 Apresentação da empresa.......................................................................88
4.6.2 Descrição do produto selecionado para análise estatística
multivariada do processo de usinagem...................................................89
4.6.3 Descrição do processo selecionado para o monitoramento de
características da qualidade via gráfico MCUSUM..............................90
4.6.4 Exploração dos dados do processo para aplicação da
metodologia proposta.............................................................................91
4.7 Análise estatística multivariada dos dados: Processo XY.......................92
4.7.1 Normalidade............................................................................................92
4.7.2 Autocorrelação........................................................................................94
4.7.3 Otimização dos pontos que delimitam as regiões de máxima
e mínima potência do gráfico MCUSUM para o processo XY..............97
16
4.7.4 Desenvolvimento do gráfico MCUSUM projetado
estatisticamente para o processo XY........................................................99
4.8 Análise estatística multivariada dos dados: Processo XYD...................102
4.8.1 Normalidade...........................................................................................102
4.8.2 Autocorrelação.......................................................................................105
4.8.3 Projeto ótimo do gráfico MCUSUM em um ponto...............................109
4.9 Síntese do Capítulo................................................................................111
CAPÍTULO 5 CONCLUSÕES..........................................................................................112
5.1 Desenvolvimento e Aplicação do Método de
Equação Integral.....................................................................................112
5.2 Projeto Estatístico Ótimo do Gráfico de Controle MCUSUM..............113
5.3 Projeto Otimização do MCUSUM com Regiões de
Máxima e mínima...................................................................................113
5.4 Recursos Computacionais Aplicados e
Parâmetros Ótimos obtidos através do MEI...........................................115
5.5 Aplicação da Metodologia e Resultados obtidos
com a Utilização de Dados Reais............................................................116
5.6 Recomendações para Investigações Futuras............................................117
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................................119
APÊNDICE A Integração Gaussiana por Polinômios de Legendre....................................125
APÊNDICE B Teoremas e Demonstrações: Equação Integral para o
ARL sob controle.......................................................................................131
APÊNDICE C Distribuição Normal Multivariada..............................................................137
APÊNDICE D Autocorrelação e Estabilidade Estatística..................................................144
APÊNDICE E Teste Seqüencial da Razão de Probabilidades e Teoria da
Soma Acumulada em Gráficos de controle.................................................147
APÊNDICE F A Função Perda de Taguchi para a Tomada de Decisões...........................154
APÊNDICE G Método da Secante.....................................................................................159
APÊNDICE H Interpolação Polinomial.............................................................................161
APÊNDICE I Relatórios: resultados obtidos com a resolução de
modelos matemáticos..................................................................................163
17
APÊNDICE J O R Project e Rotina Desenvolvida para gerar o
Gráfico MCUSUM......................................................................................167
APÊNDICE K Programas Computacionais Desenvolvidos em
Ambiente Matlab.........................................................................................170
APÊNDICE L Código Computacional dos Programas em
Ambiente Matlab.........................................................................................184
ANEXO A Dados do processo furação de acabamento do furo1 para as
características da qualidade X
1
, Y
1
e D
12
(medidas em mm)............................193
ANEXO B Parâmetros Ótimos do Gráfico MCUSUM via Método Cadeias
de Markov (Tabela 1).........................................................................................194
ANEXO C Parâmetros Ótimos do Gráfico MCUSUM via Método Cadeias
de Markov (Tabela 2).........................................................................................195
ANEXO D Parâmetros Ótimos do Gráfico MCUSUM via Método Cadeias
de Markov (Tabela 3).........................................................................................196
18
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
A indústria atual se encontra diante de uma economia globalizada que estabelece
desafios cada vez mais exigentes. Hoje em dia, nosso competidor pode estar em qualquer lugar
do planeta e a sobrevivência do setor industrial está baseada na melhoria contínua de seus
processos e produtos. Diante deste quadro de extrema competência, a utilização de ferramentas
estatísticas cada vez mais específicas direcionadas ao aperfeiçoamento da qualidade tem sido
uma prática na maior parte das organizações para elevar seus níveis de qualidade a um baixo
custo, permitindo, a longo prazo, a sobrevivência e a otimização de cotas de mercado.
No século XIX, os esforços para eliminar as variações inerentes ao processo eram
muitas vezes bem sucedidos devido à simplicidade de seus produtos manufaturados.
Atualmente, estamos atravessando uma terceira revolução industrial, a revolução da
informação, em que dados estão cada vez mais abundantes e acessíveis. Isso, demanda uma
maior complexidade dos sistemas de fabricação e montagem que exige uma maior atenção no
monitoramento das características da qualidade para desenvolver um produto cada vez melhor
em torno do valor nominal e dentro das normas técnicas exigidas.
O Controle Estatístico de Processos (CEP) e em particular as técnicas de Controle de
Qualidade, tais como gráficos de controle, têm sido cada vez mais importantes pelo fato de
desempenharem papel primordial na indústria moderna. Nas últimas décadas, mudanças
consideráveis no cenário econômico mundial tem sido acompanhada por um crescimento
significativo de aplicações de técnicas de controle da qualidade emergentes tais como o
controle estatístico de processos multivariados. A aplicação dessas técnicas estatísticas tais
como o gráfico de controle multivariado de Somas Acumuladas (MCUSUM), objeto de estudo
desse trabalho, tem como alvo proporcionar o monitoramento efetivo para assegurar a
qualidade de processos e produtos industriais.
O aumento da utilização de técnicas de controle estatístico multivariado notadamente
nos últimos anos em razão dos inúmeros recursos da informatização hoje existentes tem sido
fundamental para atender a complexidade dos atuais processos industriais. Estes recursos em
procedimentos de controle industriais têm melhorado significativamente a qualidade da
produção na indústria moderna. Na indústria de manufatura, por exemplo, procedimentos
automatizados de inspeção nos permitem obter medições, em cada peça fabricada, de variáveis
Capítulo 1 Introdução 19
___________________________________________________________________________________________
correlacionadas num mesmo processo tais como a dimensão, peso, etc. Na prática, este cenário
requer a necessidade do monitoramento simultâneo e on-line de mais de uma característica da
qualidade via gráficos de controle multivariados, uma vez que os recursos dos sistemas de
informação atuais facilitam o compilamento e o armazenamento de dados utilizados na maioria
de nossos processos industriais que infelizmente são de natureza multivariada.
No Brasil, a utilização de gráficos de controle com metodologia para processos de
multivariáveis não tem sido comum no controle de qualidade industrial devido às dificuldades
inerentes às técnicas multivariadas. Felizmente, com o avanço da informática nas últimas
décadas, programas de computadores aplicados aos processos de produção têm sido
desenvolvidos para atender as tendências mais modernas de métodos de controle estatísticos
multivariados que possam auxiliar tais processos na busca pela qualidade.
No monitoramento de processos industriais multivariados, muitas vezes se faz
necessário detectar pequenas e moderadas mudanças das variáveis correlacionadas, situação
onde são recomendados os gráficos de controle com memória, tais como o gráfico
multivariado de Somas Acumuladas (MCUSUM) e o gráfico de Média Móvel
Exponencialmente Ponderada (MEWMA). Estes gráficos acumulam a informação mais
recente com informações anteriores e, com isso, detectam pequenas mudanças nos parâmetros
de um processo com um número médio de amostras coletadas até à emissão de um sinal (ARL)
menor do que fariam os tradicionais gráficos de controle T
2
de Hotelling
.
O gráfico de controle MCUSUM, focalizado neste trabalho, é considerado uma
ferramenta estatística versátil uma vez que seu processo de decisão baseia-se nas somas
acumuladas dos resultados e não em observações isoladas de amostras. Esta característica
torna este gráfico mais sensível para detectar mais rapidamente pequenas trocas no vetor de
médias do processo que implica em menores valores para o ARL. A detecção rápida destas
pequenas alterações nos parâmetros de um processo é uma tarefa realmente importante numa
perspectiva de aumentar a consistência da qualidade de processos e produtos. Diante disso, a
otimização de alguns parâmetros que tornam esse gráfico mais robusto em termos de
desempenho de ARL é fundamental para reduzir de forma significativa a probabilidade de
falsos alarmes.
Este trabalho prop
õe um projeto estatístico ótimo para o gráfico de controle MCUSUM
baseado na otimização sistemática de ARL com a melhor combinação dos parâmetros valor de
referência k com o limite superior de controle h (intervalo de decisão
para assegurar o desempenho deste gráfico. Para determinar o ARL uma equação integral é
analiticamente derivada. A solução dessa equação é obtida através do método de Equação
Capítulo 1 Introdução 20
___________________________________________________________________________________________
Integral com Quadratura Gaussiana. O procedimento deste projeto ótimo é uma extensão
multivariada do gráfico de controle CUSUM univariado (Gan,1991,1993) que utiliza o método
de Equação Integral para determinar os parâmetros ótimos desse gráfico. Além disso, realizar
um estudo comparativo da otimização do gráfico MCUSUM em termos de desempenho de
ARL via Cadeias de Markov (Lee e Khoo, 2006) com o Método de Equação Integral proposto
neste trabalho nas mesmas condições e restrito a observações individuais com p = 2 , 3 e 4
variáveis (características da qualidade) e para o ARL
o
de 200, 500 e 1000.
1.1 Motivação para aplicação de Gráficos de Controle Multivariados
Os gráficos de controle amplamente aplicados ao monitoramento de processos são
ainda, sem dúvida, os tradicionais gráficos que utilizam técnicas univariadas de controle
estatístico de processos. Apesar de eficazes, estas ferramentas não são indicadas em situações
onde se faz necessário o monitoramento simultâneo de duas ou mais características da
qualidade (ou variáveis) correlacionadas. Para estas situações é fundamental a utilização de
gráficos de controle multivariados na análise estatística de processos.
Na implementação de um método para monitorar diversas variáveis, simultaneamente,
procura-se uma técnica que preserve essencialmente os seguintes tópicos:
Produzir uma única resposta para constatar que o processo está sob controle
estatístico.
Manter a probabilidade especificada (
) de considerar o processo fora de controle
quando na verdade ele não está.
Estabelecer o método que leve em consideração a interdependência entre as
variáveis.
1.2 Tema e Justificativa
Este trabalho tem como tema principal a aplicação do método de Equação Integral
com Quadratura Gaussiana cuja resolução numérica da equação integral derivada
analiticamente fornece o ARL. Para selecionar a combinação ótima dos parâmetros k com h
que fornece ARL mínimo do gráfico MCUSUM para a mudança do vetor de médias que é
importante detectar utiliza-se programas computacionais em ambiente Matlab, algoritmos de
métodos numéricos, tais como, a interpolação polinomial não linear para obter-se valores
intermediários tabelados dos parâmetros desejados e o método interativo da secante para
aproximar a solução do limite superior de controle h. Isso, é fundamental para a análise de
Capítulo 1 Introdução 21
___________________________________________________________________________________________
sensibilidade preliminar desses parâmetros e imprescindível para projetar estatisticamente o
gráfico de controle MCUSUM ótimo. Alguns pesquisadores como Crosier (1988), Pignatiello
e Runger (1990), Lowry, Woodall e Champ (1992), Ngai e Zang (2001), etc, têm apresentado
tabelas e métodos gráficos para selecionar parâmetros ótimos de gráficos multivariados tais
como os valores de k, h para algumas magnitudes de mudanças. Em aplicações práticas estes
recursos apresentam um número muito reduzido de situações sendo portanto, muito limitada a
sua aplicação.
O tema proposto nesta tese tem sua relevância fundamentada na otimização do gráfico
MCUSUM cujo estudo referente a este tema nas últimas décadas direcionado aos gráficos de
controle multivariados
2
T
de Hotelling e MEWMA. Pouca atenção tem sido direcionada ao
gráfico de controle multivariado MCUSUM, objeto de estudo deste trabalho. Além disso,
propor uma metodologia cuja seleção dos parâmetros ótimos do gráfico MCUSUM se leve em
consideração aspectos estatísticos como a minimização do número de falsos alarmes
(sinalização da ocorrência de uma causa especial quando na verdade não houve alteração do
processo) e por conseqüência a maximização da capacidade de detecção de mudanças reais.
Para isso, propõe-se uma metodologia que contemple a otimização sistemática de parâmetros
levando em consideração as regiões de máxima e mínima potência do gráfico MCUSUM. Na
bibliografia consultada só é encontrado a referência de Woodall (1985), que trata análise
estatística de gráficos de controle segundo a ótica de regiões de máxima e mínima potência
referidas ao caso univariado. No caso multivariado para o gráfico MCUSUM, a investigação
neste sentido é nula.
1.3 Objetivos
O objetivo principal deste trabalho é desenvolver o método de Equação Integral com
Quadratura Gaussiana cujos procedimentos metodológicos incluem as etapas relacionadas
desde a derivação analítica da equação integral até sua aplicação para obter a solução
aproximada de ARL que otimize o gráfico de controle MCUSUM quando o processo está sob
controle. Com base nesta informação, são utilizados outros métodos numéricos adequados para
estender o estudo deste parâmetro à situações quando o processo está fora de controle. Além
disso, a implementação deste método em um ambiente industrial, cuja averiguação para
validade prática é realizada a partir de dados reais resultante do monitoramento do vetor de
médias de um processo de produção com características da qualidade correlacionadas.
Os objetivos específicos mais relevantes deste trabalho são os seguintes:
Capítulo 1 Introdução 22
___________________________________________________________________________________________
a)
revisar a literatura sobre gráficos de controle multivariado de Somas Acumuladas
(MCUSUM), suas peculiaridades e aplicações;
b)
derivar analiticamente uma equação integral para otimizar os parâmetros fundamentados no
desempenho de ARL do gráfico MCUSUM;
c) desenvolver
o método de Equação Integral com Quadratura Gaussiana para otimizar os
parâmetros ARL, k e h essenciais para projetar estatisticamente o gráfico MCUSUM sob a
ótica de regiões de máxima e mínima potência;
d) aplicar
um modelo estatístico que possibilite encontrar os valores ótimos dos parâmetros do
gráfico MCUSUM segundo a filosofia de máxima e mínima potência deste gráfico que
minimize o custo médio de operação;
e) elaborar um algoritmo numérico computacional utilizando o método de Equação Integral
com Quadratura Gaussiana sob a ótica de regiões de máxima e mínima potência para otimizar
os parâmetros do projeto estatístico do gráfico MCUSUM em um ponto para qualquer
magnitude de mudança do vetor de médias de um processo. Isso, orienta o usuário a detectar
mudanças significativas para situações de variáveis correlacionadas e monitoradas
simultaneamente, tamanho da amostra e ARL dados;
f) realizar análise de sensibilidade para mostrar como varia a probabilidade do erro tipo I para
diferentes combinações de (k,h) da região ótima do gráfico MCUSUM.
1.4 Método de Trabalho
O método de trabalho proposto para o desenvolvimento deste trabalho constitui-
se na aplicação de técnicas úteis elaboradas a partir de um modelo matemático
adequado ao controle estatístico de processos multivariados cujas restrições para a otimização
do gráfico MCUSUM incluem além do ARL os parâmetros k e h, valor de referência e limite
superior de controle, respectivamente. A metodologia utilizada na presente tese consiste na
adoção de um referencial teórico inicial do tema proposto para testar a metodologia proposta
no escopo do trabalho através de exemplos práticos da literatura e de uma aplicação com dados
reais para comprovar sua validade prática. O desenvolvimento desta metodologia compreende
duas fases bem diferenciadas. A fase de busca de informação e planejamento e a fase
puramente experimental conforme figura 1.1
Capítulo 1 Introdução 23
___________________________________________________________________________________________
Figura 1.1 Fases da metodologia utilizada neste trabalho
A metodologia utilizada na segunda fase considerada como trabalho experimental inicia com
a implementação do método de integração numérica que incluem a derivação analítica e a
adequação da equação integral ao método proposto. Uma vez definida a equação integral para
o método é desenvolvido um programa computacional (amigável) que nos permita otimizar os
parâmetros do gráfico MCUSUM. Como o conjunto de possíveis combinações de parâmetros
(k,h) é elevado propõe-se um planejamento de experimentos para poder encontrar em quais
condições estes parâmetros otimizam o gráfico MCUSUM. O experimento computacional é
realizado em computadores do Laboratório de Informática da Universidade da Região de
Joinville. Uma análise estatística dos resultados obtidos do experimento computacional nos
I N F O R M A Ç Ã O E P L A N E J A M E N T O
Abordagem do
Problema
Revisão
Bibliográfica
Seleção Técnica
(Otimização)
1º Estágio:
Implementação do Método
de Equação Integral
T
R
A
B
A
L
H
O
E
X
P
E
R
I
M
E
N
T
A
L
Desenvolvimento de
Programa
Planejamento de
Experimentos
Experimento Computacional
Análise de Resultados Conclusões
2º Estágio:
Capítulo 1 Introdução 24
___________________________________________________________________________________________
permite analisar a influência das diferentes combinações dos parâmetros k com h que
associado ao ARL interferem na otimização do gráfico MCUSUM. Por último, uma análise de
sensibilidade da solução ótima desses parâmetros nos leva a extrair as conclusões finais da
investigação.
1.5 Delimitações da Metodologia
As delimitações da metodologia proposta neste trabalho referem-se a otimização dos
principais parâmetros ARL, k e h para projetar estatisticamente o gráfico de controle
multivariado de Somas Acumuladas restrito a observações individuais devido a escassez de
material bibliográfico referente a esse tipo gráfico para subgrupos racionais. Esta metodologia
inclui um modelo matemático para o projeto do gráfico MCUSUM ótimo com as seguintes
restrições:
a) o limite superior de controle, h do gráfico MCUSUM para o ARL mínimo é determinado
apenas para ARL
o
de 200, 500 e de 1000;
b) o número p de variáveis (características da qualidade) é considerado apenas com p = 2 , 3 e
4.
c) a estatística MCUSUM de controle Y
i
é demarcada num gráfico unilateral com intervalo de
decisão hY
i
0 onde 0 e h são respectivamente, os limites inferior e superior de controle.
1.6 Estrutura da Tese
O presente trabalho está estruturado em cinco capítulos, os quais estão brevemente
comentados a seguir :
O capítulo 1 trata das preliminares e objetivos do trabalho que incluem a motivação com sua
respectiva justificativa, necessária para o entendimento da situação em que se aplica o controle
estatístico de processos multivariados e para estabelecer-se os objetivos do presente trabalho.
O capítulo 2 apresenta o referencial teórico que incluem a revisão de literatura sobre gráfico de
controle multivariado de Somas Acumuladas (MCUSUM) e seus principais parâmetros. Além
disso, apresenta os métodos numéricos utilizados para aproximar estes parâmetros destacando
a aplicação do Método de Equação Integral com Quadratura Gaussiana, objeto de estudo deste
trabalho.
O capítulo 3 expõe a metodologia utilizada para alcançar os objetivos identificados no
capítulo 1 constante no desenvolvimento de modelos que posteriormente são otimizados.
Capítulo 1 Introdução 25
___________________________________________________________________________________________
O capítulo 4 trata do desenvolvimento e da utilização do programa computacional (amigável)
para aplicar o método de Equação Integral com Quadratura Gaussiana proposto que otimize
os parâmetros essenciais do gráfico MCUSUM em ambiente industrial.
No capítulo 5 encontram-se as conclusões, ou seja, os resultados mais relevantes obtidos nos
capítulos anteriores e as recomendações para trabalhos futuros.
CAPÍTULO 2
REVISÃO DE LITERATURA
2.1 Gráficos de Controle Estatístico de Processos Multivariados
Nas últimas décadas diversas áreas do setor produtivo vêm experimentando acelerados
avanços tecnológicos e, desta forma, exigindo ferramentas estatísticas cada vez mais
específicas para monitorar e avaliar a atual complexidade de seus processos. Este rápido
crescimento em tecnologias de aquisição de dados e o uso de computadores para o
monitoramento on-line de processos possibilitam, em tempo real, e com menores custos, o
monitoramento simultâneo de várias características da qualidade ou variáveis de processo
correlacionadas. Diante desta realidade, tem-se verificado nos últimos anos um crescente
interesse em desenvolver técnicas de controle de qualidade mais robustas, que incorporem
todas estas múltiplas variáveis correlacionadas de uma única vez tais como os procedimentos
de gráficos de controle estatístico de processos multivariados (Alves, Henning e Samohyl,
2008a).
O tradicional método de controle estatístico de processos onde apenas uma
característica da qualidade (ou variável) é monitorada a partir da utilização de alguns gráficos
de controle univariados disponíveis tais como Shewhart, CUSUM, EWMA, etc., é ainda o
mais conhecido e amplamente aplicado no setor industrial devido a sua simplicidade e
facilidade de operacionalização (Montgomery, 2004). No entanto, são muitas as situações no
cenário industrial onde num mesmo processo é necessário o controle simultâneo e on-line de
duas ou mais características da qualidade. Embora a aplicação de gráficos de controle
univariados a cada variável individual seja uma solução possível pode levar a conclusões
errôneas se não levarmos em conta a probabilidade conjunta de erro tipo I e a estrutura de
correlação entre as variáveis consideradas (Ferrer, 2005).
Suponhamos por exemplo, que se deseja monitorar duas variáveis normalmente
distribuídas aplicando a cada uma delas um gráfico
X
de Shewhart com limites de controle
situados segundo o habitual critério
3
. Se as duas variáveis estão sob controle, a
probabilidade de que uma dessas variáveis exceda os limites de controle (probabilidade de erro
tipo I) é igual a 0,0027. No entanto, a probabilidade conjunta de ambas variáveis excederem
seus limites de controle, simultaneamente quando ambas estão sob controle, é
Capítulo 2 Revisão de Literatura 27
___________________________________________________________________________________________
(0,0027).(0,0027)=0,00000729, o que é consideravelmente menor que 0,0027. Porém, para o
controle conjunto das duas variáveis, supondo que são independentes, a probabilidade de que
as duas variáveis sejam marcadas fora dos limites de controle quando o processo está
realmente sob controle é 1-[(1-0,0027).(1-0,0027)]=0,0054. Além disso, a probabilidade de
que as duas variáveis sejam marcadas dentro dos limites de controle quando o processo está
sob controle é (0,9973).(0,9973)= 0,99460729. Portanto, a utilização de dois gráficos
X
independentes alteram o monitoramento simultâneo das duas variáveis, considerando que um
erro tipo I e a probabilidade de um ponto ser representado corretamente não sejam iguais aos
seus níveis anunciados para os gráficos de controle individuais. Essa distorção no
procedimento de monitoramento do processo será maior à medida que aumenta o número de
variáveis que estamos monitorando simultaneamente (Montgomery, 2004). Em geral, se há p
variáveis (características da qualidade) estatisticamente independentes para um produto em
particular, e se o gráfico
X
com probabilidade de erro tipo I é mantido para cada uma, então a
verdadeira probabilidade
( erro tipo I ) para cada procedimento de controle conjunto,
´
, é:
p
)1(1'
(2.1)
onde
p
)1(
é a probabilidade de que todas as variáveis sejam representadas no gráfico
simultaneamente dentro de seus limites de controle (Montgomery, 2004).
A equação (2.1) pode ser utilizada quando as variáveis são independentes para
determinar os valores apropriados de para cada gráfico de controle quando ’ é fixado, e
então obter convenientemente os correspondentes limites de controle.
Para um gráfico de controle multivariado com p características de qualidade, a
probabilidade para que o gráfico indique uma situação sob controle no vetor de médias do
processo µ
o
é
1
. No caso em que seja escolhido de forma que
00135,0
2
p
, então
1-0,0027p é igual a
1
. Quando as p características são independentes a diferença entre as
duas probabilidades é praticamente zero. Portanto, para os gráficos de controle separados, a
probabilidade de que cada uma das p médias assume um valor dentro de seus limites de
controle é
p
)0027,01(
, muito próximo de 1- 0,0027p para o gráfico multivariado. Por
exemplo, suponhamos que se pretende controlar simultaneamente a média do processo para
duas características da qualidade independentes
1
X
e
2
X
de uma distribuição normal
bivariada. Para monitorar ambas as características da qualidade pode-se aplicar o gráfico
X
de
Shewhart cujos limites de controle são fixados segundo o valor de
00135,0
2
ZZ
p
para cada
Capítulo 2 Revisão de Literatura 28
___________________________________________________________________________________________
característica. O processo, neste caso, estará sob controle somente se as médias amostrais
1
X
e
2
X
representadas no gráfico estiverem dentro de seus respectivos limites de controle. Isto
equivale a representar o par de médias (
1
X
,
2
X
) dentro da região retangular de controle
conforme figura 2.1.
Figura 2.1 Região de controle para duas variáveis independentes analisadas de
forma conjunta adaptada de Montgomery (2004)
A probabilidade que as p = 2 características da qualidade sob controle, assumem uma medida
dentro de seus limites de controle é
995,0)0027,01(
2
. Porém, quando a probabilidade
conjunta de ambas as características da qualidade, não excedam seus limites de controle é
1-[(0,0027).(2)]=0,9946. Isto comprova que quando as características da qualidade são
independentes praticamente não existe diferença entre ambas as probabilidades (Montgomery,
2004).
No entanto, quando as características da qualidade não forem independentes, ou seja,
correlacionadas que é o caso mais freqüente em aplicações industriais, isto representa uma
diferença considerável. Neste caso, um procedimento mais complexo, deve ser empregado
para determinar o valor apropriado
'
e com isso obter corretamente os limites de controle.
Por simplicidade, continuamos considerando o caso bivariado supondo que o gráfico
X
de
Shewhart é usado e que ambas variáveis (médias
1
X
e
2
X
) seguem uma distribuição normal
bivariada de correlação
com vetor de médias µ
o
= µ e matriz de covariâncias
o
=
respectivamente conhecidos.
),('
2,01,00
o
=
2
2,02,01,0
2,01,0
2
1,0
Capítulo 2 Revisão de Literatura 29
___________________________________________________________________________________________
Para isso, um valor deve ser calculado a partir da equação 2.1
p
)1(1'
'
a
nX
aP
1,0
1,0
1
)(
[1
a
nX
a
2,0
2,0
2
)(
]
'
=
aZaP
1
(1
)aZa
2
'
=
2121
),(1 dzdzzzf
a
a
a
a
(2.2)
onde n é o tamanho da amostra e
),(
21
zzf
é a função densidade de probabilidade de uma
distribuição normal padronizada bivariada com correlação
.
A região de controle conjunta
neste caso, para um determinado valor
'
, é uma elipse cuja inclinação depende da
correlação
existente entre as variáveis consideradas conforme figura 2.2.
Figura 2.2 Região de controle para duas variáveis correlacionadas analisadas de
forma conjunta adaptada de Montgomery (2004)
Os limites de controle fixados segundo o critério
3
univariado para as variáveis
1
X
e
2
X
são sobrepostos na elipse para realizar a comparação. A área que representa o processo
bivariado sob controle é limitada pela elipse. Como as duas variáveis
1
X
e
2
X
são
dependentes qualquer ponto localizado fora da elipse de controle, indica a presença de uma
causa atribuível, mesmo que esteja dentro dos limites de controle individuais para
1
X
e
2
X
.
Os gráficos de controle estatístico multivariados podem ser separados em dois grupos
distintos: os esquemas de monitoramento direcionalmente específicos e os esquemas de
monitoramento direcionalmente invariantes. No primeiro deles, a direção específica do
Capítulo 2 Revisão de Literatura 30
___________________________________________________________________________________________
deslocamento do vetor de médias
o
do processo é conhecida visto que no outro, esta direção é
desconhecida (Pham, 2006).
Nesta seção, o objetivo maior foi justificar a pertinência da utilização de gráfico de
controle estatístico multivariado para monitorar simultaneamente duas ou mais características
da qualidade correlacionadas e medidas sobre o mesmo processo frente à utilização de gráficos
de controle individuais para cada uma das variáveis separadamente.
Nas seções seguintes, é realizado um estudo pormenorizado dos três principais
gráficos de controle atualmente utilizado no controle estatístico de processos multivariados o
gráfico T
2
de Hotelling, o gráfico MEWMA e o gráfico MCUSUM.
2.2 Gráfico de Controle T
2
de Hotelling (Shewhart Multivariado)
O procedimento de controle multivariado mais conhecido e atualmente utilizado para
monitorar o vetor de médias de um processo é ainda o gráfico T
2
de Hotelling. É um
procedimento análogo ao gráfico de controle de Shewhart para o caso multivariado. Nesta
seção são apresentadas as duas versões do gráfico T
2
de Hotelling: uma para dados em
subgrupos racionais, e outra para dados individuais.
2.2.1 Subgrupos racionais
Os gráficos de controle multivariados são desenvolvidos a partir de medições dos
resultados do processo para múltiplas variáveis. As medições são apresentadas, geralmente,
para subgrupos de itens coletados de tal forma que estejam sob atuação de somente causas
comuns. São chamados na literatura de subgrupos racionais.
O projeto de desenvolvimento de gráficos de controle T
2
de Hotelling para subgrupos
racionais é separado em duas fases distintas (Lowry e Montgomery,1995). A primeira fase
(fase I) consiste da análise de dados passados com o objetivo de verificar se o processo estava
sob controle estatístico quando os primeiros subgrupos foram obtidos, bem como retirar os
pontos suspeitos de estarem fora dos limites de controle e estimar a distribuição do processo
para teste de pontos futuros. A fase seguinte (fase II) consiste em usar o gráfico de controle
para detectar qualquer fuga do processo em relação à sua distribuição estimada na fase 1.
Para a fase I considere que obtivemos m subgrupos independentes de tamanho n (n>p)
provenientes de distribuições
),(
ip
N
i =1,2,...,m em que os vetores de médias sejam
desconhecidos e cujas matrizes de covariâncias são desconhecidas, mas iguais. Nesta primeira
fase, precisamos estimar o vetor de médias e a matriz de covariâncias a partir de uma
Capítulo 2 Revisão de Literatura 31
___________________________________________________________________________________________
análise de m amostras de tamanho n, tomadas quando se admite que o processo está sob
controle estatístico. Esses estimadores para e , são dados respectivamente, por
m
i
m
1
1
i
Xx
(2.3)
m
i
m
1
1
i
SS
(2.4)
)'()(
1
1
1
i
k
i
km
XXXXS
m
i
m
(2.5)
onde m representa o número de amostras preliminares de tamanho n retiradas do processo e X
k
é a k-ésima observação p-variável referente a i-ésima amostra.
Na fase seguinte (fase II) utilizaremos as estimativas dos parâmetros para obter a
estatística teste cujo procedimento nesta forma é denominado gráfico de controle T
2
de
Hotelling, ou seja:
)()(
2
XX´SXX
1
nT
(2.6)
onde
X
e S representam, respectivamente, as estimativas para o vetor de médias e matriz de
covariâncias do processo.
Para um gráfico T
2
de Hotelling os limites de controle são dados pela escolha de um
valor
, tal que P(T
2
LIC) = 1-
, conforme limites de controle quando a fase I é
estabelecida. Na fase 1, os limites de controle do gráfico T
2
de Hotelling são dados por:
1,,
1
)1)(1(
pmmnp
F
pmmn
nmp
LSC
LIC = 0 (2.7)
Caso ocorram pontos plotados acima do
faseI
LSC
esses pontos são retirados do conjunto de
dados e é recalculado um novo
faseI
LSC
para o teste dos pontos remanescentes. Esse
processo é realizado até que todos os pontos restantes estejam abaixo do
faseI
LSC
calculado
por último. Assumimos a partir daí que esses pontos restantes são amostras aleatórias de uma
distribuição
),(
p
N
e essas informações serão usadas para a construção do gráfico de
controle para futuras observações do processo (Montgomery, 2004).
Na fase II, os novos limites de controle do gráfico T
2
de Hotelling são dados por:
1,,
1
)1)(1(
pmmnp
F
pmmn
nmp
LSC
0
LIC
(2.8)
Capítulo 2 Revisão de Literatura 32
___________________________________________________________________________________________
Quando um ponto excede esse limite, dizemos que o processo está fora de controle. Alguma
causa especial, também chamada de causa assinalável, que não pertence ao sistema de causas
comuns do processo deve estar atuando e tem de ser investigada. Para os limites de controle
equações (2.7) e (2.8),
1,, pmmnp
F
representa o percentil da distribuição F de Snedecor com p
e (mn-m-p+1) graus de liberdade, obtido a partir da probabilidade
de alarme falso adotada.
2.2.2 Observações individuais multivariadas
Em alguns processos a técnica de agrupamento de dados via subgrupos racionais é inadequada
de se aplicar, como por exemplo, indústrias de processos (químicas, petroquímicas, de
mineração e outras) situações onde podemos considerar um item como sendo uma porção de
material coletado instantaneamente de determinada corrente ou de um lote homogêneo de
algum produto. Nesse caso, temos geralmente subgrupos de itens de tamanho 1 devido às
restrições de amostragem. Além disso, a suposição de independência dos itens estaria muito
comprometida caso se definisse como amostra um subgrupo de material do lote ou da corrente.
Em indústria de peças e componentes, a suposição de independência dos itens pode ser
adequada, mas às vezes aumenta o custo para se obter medições múltiplas de subgrupos de
itens. Isso, se justifica pelo elevado tempo de ciclo de medição ou pelo seu custo. Observações
individuais são muito comuns nesses casos (Pham, 2006).
O projeto de desenvolvimento de gráficos de controle T
2
de Hotelling para
observações individuais é separado em duas fases distintas.
A primeira fase consiste em um estudo retrospectivo dos dados, que mostra por meio
de testes, se o processo está ou não sob controle estatístico quando os dados representam uma
amostra de observações tomadas em todos os pontos do processo, ou seja, uma amostra
representativa. Por exemplo, uma amostra retirada durante um específico período de tempo.
Esta fase é de primordial importância para estabelecer-se o controle estatístico e se encontrar
os limites de controle apropriados para a fase seguinte.
Para a fase I considere o caso em que p características correlacionadas existem, são
medidas simultaneamente e estão necessariamente sob controle estatístico. Assume-se que
estas características seguem uma distribuição normal multivariada p-dimensional com vetor de
médias
i
´
),....,,(
21 p
e matriz de covariâncias
, onde
i
é a média da i-ésima
característica e
uma matriz de dimensão p x p que contém as variâncias-covariâncias das
p-características. Assumindo que o processo está sob controle nessa fase, os dados obtidos são
usados para estimar os verdadeiros valores da distribuição normal e . Suponha que
Capítulo 2 Revisão de Literatura 33
___________________________________________________________________________________________
inicialmente se tenha m elementos amostrados, após a retirada dos pontos atípicos restando
dessa forma n elementos amostrais com n
m.
Um problema significativo, no caso das observações individuais é a estimação da
matriz de covariâncias do processo. Sullivan e Woodall (1996) apresentam critérios
alternativos para estimar a matriz de covariâncias de processos cujo tamanho da amostra é
n=1. Esses autores propõem alguns procedimentos para obtenção de S (estimadores) que
tornam o deslocamento abrupto (mudança súbita) no processo e deslocamento gradativo
(tendência ou mudança gradativa) no vetor de médias do processo. Dois desses estimadores
merecem destaque. Um deles, é o estimador “usual” denominado S
1
, obtido pela simples
combinação de todas as m observações, ou seja,
´XXXXS
ii1
))´((
1
1
m
i
m
(2.9)
O outro estimador é uma abordagem multivariada do estimador de amplitudes móveis (Holmes
e Mergen, 1993) dado por
)1(2
1
m
V´V
S
2
(2.10)
onde V é a matriz contendo os vetores linha das diferenças entre duas observações sucessivas
p-variadas dadas por
i1ii
xxV
, i = 1,2,3,.....m-1 e S
2
representa a matriz de covariâncias
dessas diferenças. Usando S
2
ao invés de S na estatística de controle T
2
de Hotelling (2.6),
obtém-se um gráfico de controle mais sensível a possíveis mudanças, abruptas ou gradativas,
no vetor de médias do processo.
O projeto de desenvolvimento do gráfico de controle estatístico nessas condições para
a observação
i
X , utiliza a seguinte estatística T
2
de Hotelling para observações individuais
)()(
2
XX´SXX
i
1
i
T
(2.11)
onde
i
X
e S representam, respectivamente, as estimativas do vetor de médias e matriz de
covariâncias do processo.
Nesta primeira fase selecionam-se m amostras preliminares e representativas para
estabelecer-se o controle estatístico (processo padrão) e encontrar os limites de controle
apropriados. Os limites de controle para a estatística T
2
, nesta fase, segundo Tracy, Young e
Mason (1992), deve basear-se em uma distribuição Beta dados por:
Capítulo 2 Revisão de Literatura 34
___________________________________________________________________________________________
]2/)1(,
2
;2/[
2
)1(
pm
p
m
m
LSC
]2/)1(,
2
;2/1[
2
)1(
pm
p
m
m
LIC
(2.12)
onde
]2/)1(,
2
;2/1[ pm
p
é o
1
percentil da distribuição Beta; p/2 e
2/)1(
pn
são os
parâmetros da distribuição Beta. Como as tabelas para a distribuição Beta não são facilmente
avaliadas, pode-se utilizar a seguinte relação
]2/)1(,2/;[
)1,;(
)1,;(
)]1/([1
)]1/([
pnp
pnp
pnp
Fpnp
Fpnp
entre as variáveis aleatórias com distribuição Beta e F. Utilizando essa relação obtém-se em
termos de percentil da distribuição F, os seguintes limites de controle do gráfico T
2
de
Hotelling para a fase I:
m
m
LSC
2
)1(
x
)1,;2/(
)1,;2/(
)]1/([1
)]1/([
pmp
pmp
Fpmp
Fpmp
m
m
LIC
2
)1(
x
)1,;2/1(
)1,;2/1(
)]1/([1
)]1/([
pmp
pmp
Fpmp
Fpmp
(2.13)
onde F é a distribuição F,
o nível de confiança, p o número de variáveis observadas e n é o
número de observações.
Na fase I, o gráfico de controle multivariado principalmente para o caso bivariado
pode ser plotado tanto num gráfico T
2
de Hotelling, em que se tem a idéia do comportamento
do processo no tempo, mas também é possível marcar uma variável contra a outra num gráfico
de Dispersão, em que os limites de controle são visualizados como uma elipse. A elipse de
controle desse gráfico é expressada em termos da amostra
i
X de m observações é dada por
2
/;
)()(
mp
o
ì
i
1
o
i
X´SìX
(2.14)
onde µ
o
é o vetor de médias do processo sob controle. Este tipo gráfico é normalmente
utilizado para visualizar e examinar o comportamento dos dados (Pham, 2006).
Os procedimentos para a fase I na construção de gráficos de controle multivariados
principalmente para dados individuais têm recebido menos atenção na literatura que os da fase
II.
A segunda fase se caracteriza pelo monitoramento do processo com a utilização dos
limites de controle estabelecidos na fase anterior para testar futuras observações. Nesta fase as
estimativas obtidas para os parâmetros do processo sob controle estatístico a partir da seleção
Capítulo 2 Revisão de Literatura 35
___________________________________________________________________________________________
das m amostras preliminares fornecem os limites de controle para a estatística T
2
de Hotelling
são:
pmp
F
pmm
mmp
LSC
,,
)(
)1)(1(
0
LIC
(2.15)
Quando o número m de amostras preliminares é grande ( m>100) é comum utilizar-se um
limite de controle aproximado, ou os limites de controle:
pmp
F
pm
mp
LSC
,;
)1(
(2.16)
ou
2
,
p
LSC
(2.17)
onde
2
,
p
representa o percentil da distribuição qui-quadrado com p graus de liberdade, obtido
a partir da probabilidade
de alarme falso adotada. Para m>100, o limite de controle
(equação 2.15) é uma aproximação razoável. No entanto, o limite qui-quadrado (equação 2.16)
é apropriado apenas se a matriz de covariância for conhecida, muito embora seja amplamente
usado como uma aproximação (Lowry e Montgomery, 1995).
A utilização de gráficos de controle T
2
de Hotelling a partir de observações individuais
no monitoramento de processos segundo Mason e Young (2002) exige uma amostra na qual o
número de observações m excede o número de variáveis p. Se m < p nem a matriz inversa da
covariância
1
e nem a estimativa
1
S
podem ser calculadas. Além disso, um grande número
de parâmetro deve ser estimado quando o vetor de médias e a matriz de covariâncias são
desconhecidos. Neste caso, n deve ser s
uficientemente grande para gerar estimativas precisas.
2.3 Gráfico de Controle Multivariado MEWMA
O gráfico de controle T
2
de Hotelling apresentado na seção anterior é uma extensão
multivariada do gráfico de Shewhart para a média, onde cada conjunto de dados ou cada valor
inserido no gráfico individualmente e a sua relação com outros pontos é determinado apenas
pelo gráfico. Para este tipo de gráfico nenhuma estatística que envolva todos os dados
anteriores é utilizada, ou seja, apenas a informação do último ponto demarcado no gráfico é
considerada. Portanto, insensível a pequenas mudanças no vetor de médias de um processo.
Os modelos de gráficos de controle univariados com memória tais como o gráfico de
Média Móvel Exponencialmente Ponderada EWMA (Exponentially Weighted Moving
Average) e o de Somas Acumuladas CUSUM (Cumulative Sum) foram desenvolvidos para
Capítulo 2 Revisão de Literatura 36
___________________________________________________________________________________________
oferecer maior sensibilidade a pequenos desvios na média que passam despercebidos pelo
gráfico de Shewhart. A extensão do desenvolvimento destes gráficos de controle para o caso
multivariado (MEWMA e MCUSUM) se constitui como alternativa ao gráfico T
2
de Hotelling
para detectar com maior rapidez mudanças de pequena magnitude no vetor de médias de um
processo. Sullivan e Woodall (1998), recomendam a utilização dos gráficos de controle
MCUSUM e MEWMA para a análise preliminar de observações multivariadas.
A primeira referência sobre gráfico de controle multivariado MEWMA (Multivariate
Exponentially Weighted Moving Average), se deve a Lowry, Woodall e Champ (1992) que
definem o MEWMA como uma extensão lógica do controle EWMA univariado (p = 1) cuja
estatística de controle para monitorar o valor médio do processo é dada por:
1i
)1(Z
ii
Zrrx
1
i
(2.18)
onde
10
r
é uma constante e o valor inicial (exigido como 1ª amostra em i=1) é o valor
nominal do processo de modo que
oo
Z
.
Para a versão multivariada (p>1) do gráfico EWMA a estatística da equação (2.18) é
expandida conforme equação (2.19)
1i
Zii
XZ
)( RIR
(2.19)
onde X
i
é o vetor p-dimensional de observações amostrais referente a i-ésima amostra unitária,
I é a matriz identidade de ordem p, R é a matriz diagonal
),....,(
21 p
rrr
que contém p constantes
de ponderação ]}1,0({
i
r e
1i
Z
é o vetor p-dimensional dos escores referentes à amostra
1
i
tomando geralmente como partida
oo
ìZ
. Quando r =1 o gráfico de controle MEWMA
é equivalente ao gráfico de controle
2
de Hotelling.
A estatística de controle utilizada para o gráfico MEWMA é definida como:
i
'
i
ZZ
12
i
Zi
T
(2.20)
onde
1
i
Z
é a inversa da matriz de covariâncias de
i
Z
. A matriz de covariâncias de
i
Z
é dada
segundo a equação
r
rr
i
2
].)1(1[
2
i
Z
(2.21)
Para o procedimento do gráfico de controle MEWMA pode-se tomar a matriz de covariância
assintótica dada por
r
r
i
Z
i
2
lim
Z
(2.22)
Capítulo 2 Revisão de Literatura 37
___________________________________________________________________________________________
de forma análoga ao que ocorre no caso univariado para observações individuais. No caso cujo
tamanho da amostra n >1, obtém-se a equação (2.23) corrigida por n:
nr
r
)2(
Z
(2.23)
O processo é considerado fora de controle se
2
i
T
> h na equação (2.20). O valor de h
(limite superior de controle) é escolhido a partir do desempenho de ARL para o gráfico de
controle MEWMA.
2.4 Gráfico de Controle Multivariado MCUSUM
O gráfico de controle multivariado com memória MEWMA apresentado na seção
anterior se constitui como uma das alternativas ao gráfico de controle T
2
de Hotelling em
situações onde a detecção de pequenas mudanças nos parâmetros do processo é importante.
Nesta seção apresenta-se o gráfico de controle multivariado com memória MCUSUM
como uma outra alternativa ao gráfico T
2
de Hotelling para atender a tais situações.
Inicialmente, é apresentado uma breve introdução ao procedimento básico do gráfico de
controle univariado CUSUM (Soma Acumulada). Uma apresentação de forma analítica deste
tipo de gráfico de controle pode ser encontrada em Hawkins (1998) e Alves (2003, 2004).
2.4.1 Gráfico de controle CUSUM
O gráfico de controle de soma acumulada CUSUM (Cumulative Sum Control Charts)
introduzido por Page (1954) é uma boa alternativa ao gráfico de controle de Shewhart para
detectar pequenas mudanças na distribuição característica da qualidade, manter um controle
apertado sobre o processo e dar uma estimativa do novo nível do processo ou da nova média.
Este tipo de gráfico com memória incorpora, diretamente, toda a seqüência de informações
demarcando as somas acumuladas dos desvios dos valores da amostra de um valor objetivo.
Supondo que amostras de tamanho n
1 são coletadas, e que
j
x
seja a observação da j-ésima
amostra. Então, se
o
é o valor desejado (alvo ou valor nominal) para a média do processo, a
soma acumulada CUSUM para observações individuais é obtida demarcando a quantidade
resultante da estatística de controle dada por:
)(
1
o
i
j
ji
xC
(2.24)
Capítulo 2 Revisão de Literatura 38
___________________________________________________________________________________________
onde
i
C
é a soma acumulada de todos os desvios do valor nominal desde o período 1 até o
período i. No entanto, se desejarmos a soma acumulada para um gráfico CUSUM que utiliza
as médias de um subgrupo racional substituiremos na equação (2.23) cada observação
j
x
pela
média amostral
j
x
.
Uma maneira mais usual para monitorar a média de um processo é o procedimento
CUSUM Tabular ou Algoritmo utilizado para calcular as somas acumuladas unilaterais
i
C
(Cusum superior) e
i
C
(Cusum inferior) conforme equações (2.25) e (2.26):
])(,0[
1
ioii
CKXmáxC
(2.25)
])(,0[
1
iioi
CXKmáxC
(2.26)
onde os valores iniciais
i
C
=
i
C
= 0. Nessas equações, K é o valor de referência e corresponde
aproximadamente à metade do desvio entre o valor nominal
o
e o valor da média fora de
controle
1
que se tem interesse em detectar rapidamente ou
2
2
1 o
K
(2.27)
onde
é o tamanho da mudança em unidades de desvios padrões e
é o desvio padrão do
processo. No algoritmo de soma acumulada para cada amostra são obtidos os sucessivos
valores acumulados das estatísticas de controle
i
C
e
i
C
a serem demarcados no gráfico
CUSUM. As somas acumuladas dos desvios
i
C
e
i
C
são comparadas com o intervalo de
decisão h, limite que pode ser atingido pela soma acumulada unilateral.
2.4.2 Gráfico de controle multivariado MCUSUM
O gráfico de controle multivariado mais conhecido e atualmente utilizado com maior
freqüência para monitorar o vetor de médias de um processo é ainda o tradicional gráfico T
2
de
Hotelling onde cada conjunto de dados ou cada valor é inserido no gráfico individualmente e a
sua relação com outros pontos é determinado apenas pelo gráfico (Bersimis, Psarakis e
Panaretos, 2007). Apesar de extremamente eficaz não é a única ferramenta disponível para a
análise estatística multivariada de processos industriais. Em alguns casos, outros tipos de
gráficos de controle multivariados podem ser aplicados com a mesma finalidade, e com
vantagens. É o caso do gráfico de controle multivariado MCUSUM e o MEWMA apresentado
na seção anterior. Esses gráficos detectam pequenas mudanças dos parâmetros de um processo
multivariado com um ARL bem menor que o gráfico T
2
de Hotelling. Assim, podem
Capítulo 2 Revisão de Literatura 39
___________________________________________________________________________________________
complementar ou substituir com vantagens o gráfico o T
2
de Hotelling, podendo permitir em
função do caso em análise, a obtenção de uma solução mais precisa, a um custo e prazos
menores que os requeridos pelas metodologias tradicionais.
O gráfico de controle multivariado de Somas Acumuladas (MCUSUM - Multivariate
CUSUM Control Charts) é um procedimento que utiliza a soma acumulada dos desvios de
cada vetor aleatório previamente observado em relação ao valor nominal para monitorar o
vetor de médias de um processo multivariado.
Os procedimentos de controle estatístico multivariado baseado na filosofia CUSUM
são discriminados em duas principais categorias: (i) procedimentos de controle que utilizam
múltiplos gráficos de controle CUSUM univariados (abreviados por MCU), desconsiderando
assim a correlação entre as variáveis e (ii) procedimentos de controle que utilizam um gráfico
de controle CUSUM multivariado (abreviado por MCUSUM), isto é, utilizam a matriz
o
de
covariâncias das variáveis para obter uma aproximação do gráfico CUSUM em processos
multivariados. Portanto, a primeira delas consiste em reduzir as observações multivariadas a
um escalar, enquanto a outra consiste em elaborar um gráfico MCUSUM para analisar
diretamente estas observações multivariadas.
O primeiro procedimento de controle multivariado MCU (Multiple Univariate
CUSUM) foi proposto por Woodall e Ncube (1985), descrevem como um processo
multivariado pode ser monitorado utilizando múltiplos gráficos CUSUM univariados para a p
variáveis originais ou aplicando gráficos CUSUM univariados para as p componentes
principais. A partir de um estudo comparativo entre a utilização do gráfico T
2
de Hotelling e o
gráfico de controle bivariado de MCU baseado em componentes principais estes autores
concluem que os gráficos MCU são mais sensíveis para detectar mais rapidamente pequenos e
moderados deslocamentos no vetor de médias do processo. Neste procedimento, a média de
cada variável é monitorada através da estatística de controle e [equações (2.25) e (2.26)], com
limites de controle dados por h. Cada um dos p gráficos de controle sinaliza que a média da i-
ésima variável monitorada sofreu um deslocamento quando
i
C
> h ou
hC
i
para valores
específicos de K e h. Quando pelo menos um dos p gráficos univariados detectar algum desvio
em relação à média da respectiva variável, o gráfico MCU indicará que o processo está fora de
controle. Segundo Pignatiello e Runger (1990), os gráficos MCU devem ser aplicados num
processo onde existe o interesse em detectar desvios numa direção específica preestabelecida
em relação ao vetor
o
ì . Estes desvios podem ser caracterizados através de deslocamentos das
variáveis do processo sobre seus eixos (desvios específicos em relação as médias das
Capítulo 2 Revisão de Literatura 40
___________________________________________________________________________________________
variáveis) ou na direção dos eixos dos componentes principais (variáveis independentes que
são combinações lineares das variáveis originais).
Alwan (1986) propõe um gráfico CUSUM multivariado baseado em testes
seqüenciais de proporções de probabilidade. Com essa abordagem multivariada obtém um
modelo de decisão linear para este gráfico utilizando uma aproximação para a
distribuição
2
não central.
Healy (1987) desenvolveu um gráfico CUSUM multivariado para demonstrar que,
quando existe interesse em detectar um desvio da média em uma determinada direção
preestabelecida, um gráfico CUSUM univariado baseado na combinação linear das p variáveis
originais, estruturada naquela direção, fornecerá bons resultados em termos de desempenho
ARL.
Para desenvolver este gráfico, o autor utiliza como estratégia o fato de que os gráficos
CUSUM podem ser vistos como uma série de testes de probabilidade de proporções
seqüenciais. Essa estratégia pode ser pouco eficiente se num processo multivariado existir
interesse em detectar deslocamentos em várias direções (Pignatiello e Runger,1990).
Seja a seqüência
1
X
,
2
X
,
3
X
,....,
i
X
, variáveis aleatórias independentes distribuídas
segundo N
p
(
o
,
o
) com um vetor px1 de médias
o
ì sob controle e uma matriz de
covariâncias p x p conhecida
o
.
A estatística CUSUM (Soma acumulada) para detectar uma mudança de
o
para
1
pode ser expressa como:
]
2
1
)(,0[
1
dSmáxS
ii
oi
t
ìXa
(2.28)
onde d é a raiz quadrada do parâmetro de não centralidade e
1
)´).(
1
(´
o
d
a
o1
ìì
. A
estatística CUSUM
i
S
indicará se o processo está fora de controle quando
i
S
> h cujo h é o
intervalo de decisão (limite de controle).
Crosier (1988) propõe dois procedimentos para o gráfico de controle CUSUM
multivariado. O primeiro procedimento é baseado na raiz quadrada da estatística T
2
de
Hotelling enquanto o segundo pode ser obtido substituindo a quantidade de escalares nas
expressões de somas acumuladas pelos correspondentes vetores.
O primeiro procedimento, denominado gráfico de controle soma de T, COT ou
CUSUM of T, proposto por Crosier (1988), consiste em reduzir as observações multivariadas
a escalares. A estatística de soma acumulada para este procedimento é dada por:
),0(
1
kTSmáxS
iii
(2.29)
Capítulo 2 Revisão de Literatura 41
___________________________________________________________________________________________
Este procedimento baseia-se em realizar uma soma acumulada (CUSUM) da raiz quadrada da
estatística
2
i
T
para a i-ésima amostra, isto é:
)()'(
1
oioi
ìXìX
ST
i
(2.30)
onde
,0
o
S
k
>0 e
i
X
é a i-ésima observação p variada do processo e k é o valor de
referência. O procedimento indicará um processo fora de controle quando hC
i
onde h é o
intervalo de decisão (limite de controle).
O segundo procedimento denominado MCUSUM (CUSUM de vetores) se constitui
numa extensão multivariada do gráfico de controle CUSUM univariado de Crosier (1986).
Nesse procedimento, as quantidades escalares são substituídas por vetores.
Define-se
i
C como:
)]()'[(
1
oi1ioi1i
ìXSìXS
i
C
(2.31)
onde
i
S são as somas acumuladas expressadas como:
kCse
C
k
kCse
i
i
i
),1)((
,
i1i
i
XS
0
S
(2.32)
com 0S
o
e valor de referência k>0.
A estatística de controle a ser demarcada no gráfico de controle é dada por:
ii
S'S
1
i
Y
(2.33)
O método sinaliza uma situação fora de controle se
hY
i
onde h é o intervalo de decisão
(limite superior de controle). Crosier (1988), demonstra que estes dois procedimentos de
gráficos MCUSUM apresentam vantagens em relação ao gráfico T
2
de Hotelling pois podem
ser projetados para detectar mudanças específicas no vetor de médias do processo, isto é,
características tais como a aplicação do procedimento Resposta Inicial Rápida FIR (Fast Initial
Response) para melhorar a sensibilidade do gráfico no início do processo ou após o
MCUSUM ter dado um sinal de fora de controle. Além disso, a partir de um estudo
comparativo entre estes dois procedimentos de gráfico MCUSUM o autor demonstra que o
segundo procedimento MCUSUM (CUSUM de Vetores) apresenta um desempenho ARL
superior em relação ao procedimento COT (Soma de T).
Dois outros procedimentos para gráficos de controle multivariados CUSUM foram
também propostos por Pignatiello e Runger (1990): os gráficos de controle MC1 e MC2. A
diferença entre estes dois procedimentos está centrada na forma como a somatória dos vetores
Capítulo 2 Revisão de Literatura 42
___________________________________________________________________________________________
de médias é realizada. No procedimento MC1, realiza-se inicialmente a somatória dos valores
de médias e após isso, calcula-se o quadrado dessa somatória. No procedimento MC2
, cada
vetor de médias é elevado ao quadrado e após isso, determina-se a somatória.
O procedimento, MC1, é baseado no vetor de somas para o tempo t dado por:
)(
1
oit
ìXC
t
nti
t
(2.34)
onde n é o número de subgrupos desde a última renovação, isto é, valor zero do CUSUM.
Então
t
C
t
n
1
pode ser escrito como:
oit
ìXC
t
nti
tt
t
nn
1
11
(2.35)
onde o vetor
t
C
t
n
1
representa a diferença entre a média acumulada da amostra e a média do
processo sob controle. Para o tempo t, esta média do processo multivariado pode ser estimada
por
ot
ìC
t
n
1
. A extensão de
t
C é
ttt
CCC
1
'
(2.36)
onde
t
C é considerada como uma medida estimada da distância entre a média do processo e o
valor alvo
o
ì para a média. O gráfico de controle CUSUM multivariado pode ser construído
definindo MC1 como
),0(1
ttt
knCmáxMC
(2.37)
e
contráriocaso,1
01,1
11 tt
i
MCsen
n (2.38)
onde
t
MC1 é a estatística de controle e k é o valor de referência. O método sinaliza uma
situação fora de controle se
t
MC1 >h onde h é o intervalo de decisão ( limite de controle).
O segundo procedimento proposto, considera o quadrado da distância
2
t
D
da t-ésima
amostra do valor alvo
o
, onde
)()'(
12
otot
ìXìX
t
D
(2.39)
Capítulo 2 Revisão de Literatura 43
___________________________________________________________________________________________
tem uma distribuição
2
com p graus de liberdade quando o processo está sob controle, e uma
distribuição
2
não central com p graus de liberdade de parâmetro )(
1
2
quando o processo
está fora de controle.
Um gráfico de controle CUSUM univariado pode agora ser formado como
)2,0(2
2
1
kDMCmáxMC
ttt
(2.40)
com 02
0
MC
,
onde
t
MC2 é a estatística de controle e k o valor de referência. O método
sinaliza uma situação fora de controle se hMC
t
2 onde h é o intervalo de decisão (limite de
controle).
Pignatiello e Runger (1990) demonstram a partir de um estudo comparativo que o
gráfico de controle MC1 possui melhor desempenho ARL em relação ao gráfico T
2
de
Hotelling na detecção de deslocamentos na média do processo inferiores a 3 (três). Esses
autores também mostram que o gráfico MC1 possui, em geral, um melhor desempenho de
ARL em relação ao gráfico de controle MCU de Woodall e Ncube (1985) quando o
deslocamento no vetor de médias do processo for provocado por desvios simultâneos nas
médias de mais de uma variável.
Hawkins (1991) sugeriu para o controle da qualidade multivariado um método de
aproximação baseado em variáveis de regressão ajustada aplicado aos gráficos de controle
CUSUM e Shewhart com observações individuais. Para esse método, o autor aperfeiçoou a
estratégia sugerida por Healy (1987), propondo um MCU, que se mostrou mais eficiente em
relação ao MCU apresentado por Woodall e Ncube (1985) para detectar desvios no vetor
o
em várias direções.
Ngai e Zhang (2001) desenvolveram a partir de simulações dois novos projetos de
gráficos de controle CUSUM multivariados com direcionalidade invariante (PPCUSUM e
FPCUSUM) baseados em métodos de projeção. Além disso, realizaram um estudo
comparativo entre estes dois novos gráficos de controle e os gráficos MC
1
(Pignatiello e
Runger, 1990), MEWMA
1
e MEWMA
2
(Lowry,Woodall, Champ e Rigdon,1992) para avaliar
tanto o desempenho de ARL destes gráficos quando o desempenho de outros parâmetros tais
como SRL (desvio padrão de número de amostras até o sinal), ADRL (média atrasada de
número de amostras até o sinal) e SDRL (desvio padrão atrasado de número de amostras até o
sinal). Resultados obtidos deste estudo a partir de simulações indicam que estes dois novos
projetos de gráficos CUSUM são mais eficazes para evitar problemas de inércia e situações
quando deparamos com deslocamentos atrasados da média do processo provenientes dos
Capítulo 2 Revisão de Literatura 44
___________________________________________________________________________________________
gráficos MC
1
, MEWMA
1
e MEWMA
2
.
Por esta razão, recomendam os gráficos PPCUSUM e
FPCUSUM para detectar trocas atrasadas da média (ADRL) em processos industriais que
apresentam alguma anormalidade de característica da qualidade e a utilização dos gráficos
MEWMA
1
, MEWMA
2
, MC
1
e MCUSUM para detectar trocas iniciais da média desses
processos.
Qiu e Hawkins (2001) sugerem um procedimento não paramétrico do gráfico CUSUM
multivariado para detectar uma mudança no vetor de médias das medições de um processo
baseado nas linhas da seção transversal das medições. Qiu e Hawkins (2003) propõem um
outro gráfico de controle multivariado CUSUM também não paramétrico baseado em
informações sobre a ordem entre os componentes e de medição da ordem das informações
entre a medição e os seus componentes na média sob controle.
Runger e Testik (2004) apresentam uma descrição e uma análise geométrica detalhada
de diversas extensões do gráfico de controle CUSUM com intervalo de decisão bilateral
simétrico [-h, h] tais como as vantagens e desvantagens de cada uma. As interpretações
geométricas apresentadas e os nomes propostos se fundamentam em suas características
geométricas distintivas análogas à máscara V. A descrição geométrica conforme característica
da extensão multivariada do gráfico CUSUM seguem a forma geométrica de pirâmide, cone,
parabolóide e a forma invariante que dão origem aos gráficos denominados MPIRÂMIDE,
MCONE, MPARABOLÓIDE E MINVARIANTE.
a) Gráfico MPIRÂMIDE (formato de pirâmide)
O procedimento de controle é baseado em múltiplos gráficos CUSUM univariados com
intervalo de decisão bilateral simétrico onde cada valor é operado como uma máscara V.
Geometricamente, isto define o formato de uma pirâmide com p+1 dimensões que incluem
uma linha central para o tempo.
b) MCONE (formato de cone)
É uma extensão direta da máscara V para múltiplas dimensões. Uma vantagem do gráfico
MCONE é que é igualmente sensível a deslocamentos (distância de Mahalanobis) de mesmo
valor em todos os sentidos do alvo.
c) MPARABOLÓIDE (formato de parabolóide)
Esta deriva
ção é uma etapa fácil previamente fornecida para o gráfico MCONE que pode ser
operada com forma de parabolóide situada na direção da distância da observação mais recente.
Capítulo 2 Revisão de Literatura 45
___________________________________________________________________________________________
d) MINVARIANTE (forma invariante)
A derivação deste gráfico é uma contribuição nova obtida de um argumento em que o
problema é invariante sob transformações ortogonais quando o valor da média fora de controle
for especificado e somente o sentido for desconhecido.
A figura 2.3 é uma ilustração gráfica da geometria de pirâmide, cone e parabolóide para
p= 2 dimensões.
Figura 2.3 Forma bidimensional de pirâmide, cone e parabolóide
Como podemos observar, para todos os gráficos multivariados, o cone, o parabolóide e a
forma invariante compartilham de uma mesma característica importante: uma base circular. A
diferença está na função que determina os raios destes círculos em pontos precedentes de
tempo.
Lee e Khoo (2006) propõem uma extensão multivariada dos procedimentos para o
projeto estatístico do gráfico CUSUM univariado baseada tanto em desempenho ARL (número
médio de amostras até o sinal) de Gan (1991) quanto em desempenho MRL (número mediano
de amostras até o sinal) de Gan (1992). Essa extensão multivariada com base em MRL se
constituiu em uma nova contribuição, pois na literatura existente o número mediano de
amostras até o sinal só era utilizado em gráficos de controle univariados tais como EWMA
(Crowder, 1989) e CUSUM (Gan, 1992).
2.5 O ARL - Número médio de amostras coletadas até à emissão de um sinal
A avaliação e a comparação de diferentes tipos de gráficos de controle multivariados
são realizadas mediante a utilização de indicadores de desempenho estatísticos e econômicos.
O ARL (Average Run Length) é o número médio de amostras coletadas até à emissão de um
sinal. Este sinal, pode ser tanto um falso alarme como um sinal de que o processo realmente
está fora de controle após um desvio médio do valor nominal. É o indicador estatístico mais
Capítulo 2 Revisão de Literatura 46
___________________________________________________________________________________________
utilizado para avaliar o desempenho de um gráfico de controle e comparar vários outros
procedimentos. Este parâmetro leva em conta os valores dos erros Tipo I e Tipo II associados
às tomadas de decisão e as conseqüências econômicas deles resultante, isto é, o custo
associado à procura do problema inexistente e o custo associado à fraca qualidade que se
obtém no produto final desde quando a mudança ocorre até que seja detectada. Por este
motivo, para avaliar os parâmetros de um gráfico de controle, costuma-se estudar o
comportamento do ARL face a várias amplitudes de mudança pois pretende-se que o ARL do
gráfico seja grande quando o processo está sob controle e bastante pequeno quando o processo
está fora de controle.
Quando o processo está sob controle, e os pontos que se marcam no gráfico são
independentes, o ARL é dado por
1
0
ARL
(2.41)
onde ARL
o
é o número médio de amostras coletadas até que ocorra um falso alarme, quando o
processo está sob controle e
é a probabilidade de cometer um erro Tipo I ( probabilidade
de falso alarme). No controle estatístico para o caso univariado como, por exemplo, o gráfico
X
de Shewhart com os limites
3
, toma-se
0027,0
o que supõe um ARL
o
370, isto é,
mesmo que o processo permaneça sob controle, um sinal fora de controle será emitido a cada
370 amostras, em média. Na bibliografia relativa a gráficos de controle multivariados o valor
005,0
, é encontrado com freqüência. Vamos considerar neste trabalho, o valor de
005,0
, 002,0
e 001,0
, o que supõe um ARL
o
= 200, ARL
o
= 500 e ARL
o
= 1000,
respectivamente.
Para determinar uma mudança de valor d , o ARL é dado por
1
1
d
ARL
(2.42)
onde ARL
d
é o número médio de amostras coletadas até que seja sinalizado uma situação de
fora de controle e
é a probabilidade de cometer um erro Tipo II (probabilidade de não
detectar que o processo está fora de controle supondo independência das amostras). Portanto,
a equação 2.42 só é aplicável aos gráficos de controle do tipo Shewhart como os gráficos
X
e
o
2
T
de Hotelling e não aos gráficos univariados e multivariados com memória, pois nesses
gráficos os pontos plotados não são independentes.
A determinação exata dos parâmetros de um gráfico de controle CUSUM tais como o
ARL nem sempre é possível pelo fato das estatísticas de controle serem variáveis aleatórias
Capítulo 2 Revisão de Literatura 47
___________________________________________________________________________________________
dependentes. No entanto existem alguns métodos numéricos que permitem otimizar estes
parâmetros, entre as quais podemos destacar o Método de Equação Integral, o Método de
Cadeias de Markov e o Método de Simulação.
2.5.1 Método de Equação Integral
O método de equação integral para o caso de um gráfico CUSUM Unilateral Superior
é aplicado na obtenção de mudanças positivas (desvios) na média de uma sucessão de
variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas. O estudo para o caso do gráfico
CUSUM Unilateral Inferior é semelhante e para o gráfico CUSUM Bilateral recorremos à
relação de Kemp (1971) definida por
lub
ARL
ARL
ARL
111
(2.43)
que exprime o ARL do projeto Bilateral,
b
ARL
, à custa dos ARL´s dos projetos CUSUM
Unilaterais Superior e Inferior,
u
ARL
e
l
ARL
, respectivamente.
Consideremos então um gráfico CUSUM Unilateral Superior com valor de referência
k e intervalo de decisão h. Este gráfico é equivalente a uma sucessão de testes seqüenciais de
Wald (1945) com limites em 0(zero) e em h, sendo que o teste termina quando um desses
limites é atingido. Kemp (1967, 1971) e Waldmann (1986) apresentam expressões para
determinar estes limites, entre o estudo de outras propriedades do gráfico de controle CUSUM.
Nas aplicações práticas, em geral, é suficiente trabalhar com limites superiores e inferiores
para o ARL de um plano facilitando deste modo o estudo.
Seja X a variável contínua a ser controlada e f(x) a função densidade de probabilidade
de X. Representamos por )(zP a probabilidade de um teste que inicia em z vir a terminar
porque é absorvido no limite inferior (com
),0 hz
por N(z) o número de amostras
consideradas no teste e por L(z) o ARL do gráfico CUSUM, quando este inicia-se no valor z,
mas com acumulações subseqüentes iniciando em zero. Então, a função densidade de
probabilidade conforme definição de soma acumulada, satisfaz as equações integrais descritas
por Page (1954) através de um método numérico popularmente conhecido como Método de
Equação Integral definido segundo as equações:
z h
dxzxfxPdxxfzP
0
)()()()(
(2.44)
dxzxfxNzN
h
)()(1)(
0
(2.45)
Capítulo 2 Revisão de Literatura 48
___________________________________________________________________________________________
dxzxfxLzFLzL
h
o
)()()()0(1)(
, )0( hz
(2.46)
Relacionando estas três equações obtém-se a relação
)()0()()( zPLzNzL
que permite obter o ARL de um projeto que se inicia no valor z do intervalo [ 0, h ].
Fazendo z = 0 obtemos L(0) = N(0) +L(0)P(0). Quando N(0) e P(0) são conhecidos,
o valor L(0), que corresponde ao valor ARL do gráfico numa situação de controle, é dada
pela equação
)0(1
)0(
)0(
P
N
L
. Esta equação deve ser aplicada com cuidado uma vez que
numa situação de controle P(0) é um valor muito próximo de 1, para qual o denominador
1- P(0) tende para zero. Assim a estimativa que se aplica para P(0) deve ser bastante precisa
de modo que a fórmula anterior forneça valores satisfatórios para o ARL do gráfico.
Apesar do cálculo P(z) e de N(z) recorrendo às formulas anteriores ser mais fácil do
que o cálculo de L(z), vários autores tem proposto métodos numéricos aproximados para
calcular P(z) e N(z), os quais consistem na substituição das equações integrais mencionadas
por sistemas de equações lineares algébricas.
Para o caso quando X é uma variável normalmente distribuída com média
e
desvio padrão 1, temos
h
zx
dxexPzzP
0
2
)(
2
1
2
)2)(()()(
( 2.47)
e
h
zx
dxexNzN
0
2
)(
2
1
2
)2)((1)(
(2.48)
onde
z
t
dtez
2
2
1
2
1
)2()(
(2.49)
Para obter aproximações de P(z) e N(z), as equações integrais de (2.44) e (2.45) são
substituídas por sistemas lineares de equações algébricas e resolvidas para as variáveis
desconhecidas.
Kemp (1967) apresenta expressões para calcular estimativas para P(z) e L(z)
razoáveis no caso da distribuição normal e para os outros tipos de distribuição apresenta
expressões que permitem obter estimativas para L(0) mais precisas do que as estimativas que
se obtém assumindo a hipótese de normalidade.
Goel e Wu (1971) apresentam express
ões simplificadas para estas equações integrais
sugeridas por Page (1954), bem como o sistema de equações algébricas lineares que fornece
Capítulo 2 Revisão de Literatura 49
___________________________________________________________________________________________
as estimativas de P(z) e L(z) e do número de amostras consideradas num determinado teste
quando a média do processo segue uma distribuição normal reduzida.
2.5.2 Método de Cadeias de Markov
O Método das Cadeias de Markov foi introduzido por Brook e Evans (1972) para
determinar as propriedades de um gráfico CUSUM Unilateral. Mais tarde outros autores
ampliaram este método de modo a ser aplicável também a gráficos CUSUM Bilaterais. Este
método é aplicado tanto para variáveis contínuas quanto para variáveis discretas.
Nesta abordagem, o gráfico é identificado como uma Cadeia de Markov com um
número finito de estados. Assim, quando o atributo associado ao processo que tem de ser
controlado está associado a uma variável aleatória contínua, é necessário fazer a discretização
da estatística de controle, bem como da sua função distribuição de probabilidade, a qual
consiste na partição do espaço de estados contínuos da estatística CUSUM, num número finito
de intervalos de classe.
Lucas e Crosier (1982) propõem a ampliação dos resultados apresentados no cálculo
do ARL de um gráfico Cusum Unilateral para o caso de um gráfico CUSUM Bilateral
discretizando os valores de ambas as estatísticas CUSUM, de modo que o gráfico bilateral
possa ser representado por uma Cadeia de Markov com um número finito de estados. Woodall
(1984) melhorou esta abordagem minimizando o número de estados contidos na Cadeia de
Markov para tornar o método tão eficiente quanto possível.
O número de estados que se deve considerar é escolhido de modo a obtermos uma boa
aproximação para a matriz das probabilidades de transição e a escolha da amplitude dos
intervalos correspondentes a esses estados deve ser realizada de modo conveniente, uma vez
que as propriedades de ARL são sensíveis a isso. Quanto menor for a amplitude destes
intervalos, melhor será a aproximação. Nesta abordagem, a matriz das probabilidades de
transição,
)(
P
, quando ocorre uma mudança de amplitude
n
o
)(
1
no valor médio
de variáveis padronizadas do processo, pode ser aproximada pela matriz em blocos
10
1))(()(
)(
t
QIQ
P
onde
)(
Q
é a sub-
matriz das probabilidades de transição entre
estados e transientes,
I
representa a matriz identidade e 1 é um vetor coluna de1´s. Em
gráficos de controle o ARL pode ser determinado mediante a aplicação do modelo aproximado
Capítulo 2 Revisão de Literatura 50
___________________________________________________________________________________________
de Cadeias de Markov, partindo da matriz de probabilidades de transição através dos diferentes
estados em que se pode modelar o gráfico de controle Brook e Evans (1972).
Neste método, é hábito dividir o procedimento usando matrizes de probabilidades de
transição de tamanhos diferentes e o valor ARL do plano é obtido a partir da aproximação
2
m
C
m
B
AARL
(2.50)
usando o Método de Mínimos Quadrados, sendo m o número de estados transientes
considerados e A o valor de ARL assintótico.
2.5.3 Método de Simulação
Quando se utiliza este método para determinar o ARL, gera-se uma seqüência de
observações de uma distribuição pré-especificada e seguidamente calcula-se o valor da
estatística de controle até que ele fique fora dos limites de controle.
O número médio de observações necessárias até à emissão de um sinal, isto é, o valor
de ARL, varia de seqüência para seqüência. A estimativa para o ARL obtém-se repetindo o
procedimento um elevado número de vezes (10.000 ou mais para se obter uma estimativa
precisa) e calculando-se os valores de ARL. Para facilitar a implementação deste método,
determina-se o ARL assumindo que as mudanças no valor médio em relação ao valor
pretendido
o
ocorrem no instante em que inicia o procedimento.
2.6 Parâmetros dos Gráficos de Controle CUSUM e MCUSUM
A utilização de métodos numéricos para otimizar os parâmetros do gráfico CUSUM,
tais como a determinação da distribuição de ARL e dos parâmetros k e h que melhore o
desempenho deste gráfico objeto de estudo de alguns pesquisadores conforme abordado nas
três últimas seções; vale lembrar que o aprimoramento e a aplicação destes métodos vêm
sendo estudada e proposta por vários outros pesquisadores nas últimas décadas. Lucas (1976)
sugere a utilização do método de Equação Integral com o procedimento Quadratura Gaussiana
usando 24 pontos para obter aproximações numéricas dos valores de ARL do projeto do
gráfico CUSUM a partir da resolução de sistemas de equações lineares algébricas que
aproximam as equações integrais (Page, 1954) para as quantidades exigidas. Além disso, o
autor sugere a utilização de curvas características de operação como alternativa aos
nomogramas desenvolvidos por Goel e Wu (1971) para determinação do parâmetro h do
gráfico CUSUM.
Capítulo 2 Revisão de Literatura 51
___________________________________________________________________________________________
Para melhorar a sensibilidade do gráfico CUSUM no momento da partida Lucas e
Crosier (1982) propõem a implementação do procedimento Resposta Inicial Rápida (Fast
Initial Response - FIR) cuja utilização permite a redução do valor de ARL
o
e uma redução
significativa do ARL
.
Um método aprimorado para projetar gráficos de controle com base no seu
desempenho estatístico, a partir dos valores dos parâmetros especificados para a região sob
controle e fora de controle, é proposto por Woodall (1985), que recomenda tomar como
critério deste projeto para gráfico de controle a seleção do tamanho da amplitude na média do
processo
n
d
o
.
1
que seja importante detectar.
Vance (1986) desenvolveu um programa computacional para o cálculo dos valores de
ARL do gráfico CUSUM, sendo que os resultados obtidos para pequenos valores de ARL´s
através deste programa, segundo Vance, são aproximadamente iguais quando comparados
numericamente com os valores encontrados por Goel e Wu (1971) e Lucas (1976). Este
programa apresenta certas vantagens, tais como: (1) facilitar o procedimento do projeto
econômico de soma acumulada, pois para o projeto econômico é necessário minimizar a
função perda iterativamente, o que requer muitos cálculos de ARL; (2) maior precisão de
aproximação da função de distribuição normal cumulativa padronizada.; (3) evitar a utilização
de nomogramas em situações onde não são convenientes; (4) maior sensibilidade ao número
de pontos utilizado da Gaussiana e (5) modificar facilmente o programa quando da utilização
de Quadratura Gaussiana de 24 pontos para até 50 pontos.
O desenvolvimento de um método sofisticado de Quadratura Gaussiana baseado na
regra de ponto central de produto (product midpoint) para obter a solução da equação integral
(2.50) é proposto por Champ e Rigdon (1991). Estes autores também propõem a aplicação de
um formulário de Quadratura Gaussiana para transformar esta equação integral num sistema de
equações lineares algébricas. Concluíram através deste estudo que o Método da Equação
Integral é preferível quando pode ser encontrada uma equação para a solução aproximada de
um problema exigido.
Gan (1991) sugeriu um projeto ótimo para o gráfico de controle CUSUM obtido a
partir de uma adaptação do procedimento do gráfico de controle EWMA, proposto Crowder
(1989), e de uma otimização seguida de análise de sensibilidade que complementa o projeto de
gráfico CUSUM sem o FIR adotado por Lucas (1976), cujos parâmetros k e h para obtenção
do perfil de ARL formam um subconjunto muito pequeno em relação ao projeto ótimo do
gráfico CUSUM. Este gráfico CUSUM proposto é definido pelo autor como ótimo por possuir
Capítulo 2 Revisão de Literatura 52
___________________________________________________________________________________________
uma especificação do valor do ARL
o
(sob controle) e um mínimo valor de ARL
(fora de
controle) para detectar rapidamente uma mudança menor da média do processo considerada
importante.
Um procedimento relativamente simples, mas bastante preciso para o cálculo de ARL
do gráfico de controle CUSUM baseado em uma equação de aproximação para ambas as
situações de um processo sob controle e fora de controle é proposto por Hawkins (pág. 37- 43,
1992). A precisão da otimização utilizada neste procedimento exige a aplicação de tabelas
cujos valores de h e k pertençam aos intervalos [0,9) e (-2,3], respectivamente.
Jun e Choi (1993) desenvolveram duas aproximações para melhorar a estimação de
ARL dos gráficos de controle CUSUM utilizando o método de simulação e técnicas de
redução de variância. A primeira delas utiliza o risco total como uma variável de controle
conforme proposto por Ross (1990) e a segunda aproximação utiliza estimadores de proporção
baseado no comprimento de ciclos, onde um ciclo é completado se o gráfico CUSUM for
reajustado à origem ou emitir um sinal.
O desenvolvimento de um programa computacional que envolve o Método da Equação
Integral bem como a utilização de Quadratura Gaussiana com 24 pontos para computar a
função de probabilidade e os percentuais de ARL do gráfico de controle CUSUM é proposto
por Gan (1993). Este programa possui também uma rotina que fornece o ARL e o esboço para
a curva da função probabilidade e da função de distribuição cumulativa correspondente.
Hawkins e Olwell (1998) propõem dois programas computacionais integrado ao livro
“Cumulative Sum Charts and Charting for Quality Improvement” para calcular facilmente os
valores dos parâmetros do gráfico CUSUM k, h e ARL relacionados. A utilização destes dois
programas segundo os autores deste livro, facilitam a escolha de parâmetros para o gráfico
CUSUM adaptados às necessidades de um processo pois ponderam a taxa de falsos alarmes
que se pode tolerar.
Um algoritmo rápido e preciso é proposto por Luceño e Puig-Pey (2000) para
determinar a distribuição de probabilidade do número de amostras coletadas até à emissão de
um sinal (RL) do gráfico CUSUM a partir da utilização numérica de uma fórmula de
recorrência estável baseada no Método de Quadratura Gaussiana capaz de melhorar a
eficiência e precisão dos métodos existentes. Este algoritmo pode ser aplicado para descobrir
se a aproximação adequada é geométrica ou não e, quando possível, permite trocar para o
recurso geométrico.
Rao, Disney e Pignatiello (2001) propõem um método de singularidade e
Capítulo 2 Revisão de Literatura 53
___________________________________________________________________________________________
convergência que utiliza uma única equação integral
)()()()0(1)(
0
ykxdFxLykFLyL
h
e um algoritmo numérico baseado em Gauss-Legendre e Quadratura Simpson para obter
aproximações precisas de ARL resolvendo o sistema de equações lineares algébricas a partir
desta única equação sujeita a certas condições de regularidade que na prática são
freqüentemente satisfeitas.
Luceño e Puig-Pey (2002) desenvolveram um programa de computação para o
algoritmo rápido e preciso proposto por eles em (2000) para determinar a distribuição de
probabilidade de RL do gráfico CUSUM com parâmetros conhecidos para monitorar a média
de processos com distribuições contínuas tanto normais quanto não simétricas. Este programa
possui um diferencial de aproximação com a substituição de recursos numéricos de matrizes
usados por Gan (1993) pela utilização de fórmulas de recorrência eficientes que permite
estender as avaliações da distribuição de RL para um número de amostras muito maior. Além
disso, este programa, possui uma rotina precisa que computa as abscissas de Gauss-
Legendre e pesos, dispensando a utilização de tabelas para armazenar estas magnitudes e, mais
importante do que isso, é a facilidade para efetuar a troca do número de pontos da Gaussiana.
Um método de aproximação numérica é proposto por Jones, Champ e Rigdon (2004)
para a distribuição de RL e momentos do gráfico CUSUM com estimação de parâmetros para
avaliar o desempenho deste gráfico cujos parâmetros são calculados a partir de uma variedade
de situações práticas. Neste método são estudados os efeitos da estimação de parâmetros para
o procedimento do gráfico CUSUM tais como o efeito da derivação da distribuição do
comprimento de corrida de um gráfico Cusum unilateral condicionada a valores específicos de
estimativas realizadas pela média do processo e desvio padrão.
Como podemos observar, é ampla a quantidade de trabalhos desenvolvidos nas últimas
décadas que abordam o aprimoramento e a aplicação de métodos numéricos para obter de
forma aproximada os parâmetros para avaliar o desempenho do gráfico CUSUM univariado.
No entanto, quando se trata da otimização dos parâmetros do gráfico de controle multivariado
MCUSUM poucos trabalhos que abordam o referido tema com expressiva relevância têm sido
desenvolvidos neste mesmo período principalmente envolvendo o gráfico de controle
MCUSUM (Crosier, 1988), objeto de estudo desta pesquisa.
Woodall e Ncube (1985) aplicaram o método Cadeias de Markov para obter
aproximações de ARL para o desenvolvimento do primeiro projeto de gráfico de controle
multivariado que envolve múltiplos gráficos CUSUM univariados (MCU). Além disso,
Capítulo 2 Revisão de Literatura 54
___________________________________________________________________________________________
realizam um estudo comparativo dos valores de ARL para avaliar o desempenho entre os
gráficos de controle
2
T
de Hotelling e CUSUM Bivariado de MCU baseado em variáveis
originais ou em componentes principais cujos resultados obtidos, segundo os autores, indicam
o gráfico CUSUM Bivariado mais sensível para detectar rapidamente pequenas e moderadas
mudanças do processo consideradas importante.
Crosier (1988) propõe a generalização do gráfico de controle CUSUM univariado
sugerido por ele em 1986, para situações multivariadas, substituindo as quantidades escalares
por correspondentes vetores nas expressões de somas acumuladas do gráfico CUSUM
univariado. Para isso, desenvolveu um estudo comparativo para avaliar o desempenho de ARL
entre o gráfico
2
T
de Hotelling e os dois novos projetos de gráficos multivariados
CUSUM ( CUSUM COT E MCUSUM) propostos por ele para monitorar a média de
processos com multivariáveis normais a partir de um estudo comparativo. A aproximação de
ARL para o gráfico CUSUM COT com ou sem o FIR nesse estudo é obtida a partir do método
Cadeias de Markov, gráfico MCUSUM do método de simulação e gráfico
2
T
de Hotelling do
método analítico. Os resultados obtidos, segundo o autor, demonstram que ambos os gráficos
CUSUM COT e MCUSUM são mais sensíveis que o gráfico
2
T
de Hotelling para detectar
mais rapidamente pequenos deslocamentos no vetor de médias do processo. Além disso,
justifica sua preferência pelo gráfico MCUSUM em relação ao gráfico CUSUM COT pelo fato
do vetor de médias do MCUSUM indicar o sentido em que a média está sendo deslocada.
Pignatiello e Runger (1990) desenvolveram um estudo comparativo para avaliar o
desempenho de ARL entre diferentes gráficos de controle tais como MCU (CUSUM
Bivariado),
2
T
de Hotelling além dos dois novos projetos de gráficos de controle CUSUM
multivariados (MC
1
e MC
2
) propostos por eles para monitorar a média de processos. Nesse
estudo, utilizam o método da Cadeia de Markov de Brook e Evans (1972) para obter a
aproximação de ARL do gráfico MCU e o método de Simulações de Monte Carlo para os
demais projetos de gráficos de controle multivariados deste estudo. Os resultados obtidos,
segundo os autores, demonstram que o gráfico MC
1
proposto possui, em geral, um melhor
desempenho de ARL em relação a MCU quando o deslocamento no vetor de médias do
processo for provocado por desvios simultâneos nas médias de mais de uma variável.
Lee e Khoo (2006) aplicaram o método de Cadeias de Markov para obter em situações
sob controle os parâmetros ótimos do gráfico de controle MCUSUM para observações
individuais baseados em ARL e MRL, extensão multivariada dos gráficos de controle CUSUM
univariados ótimos de Gan (1991),(1992), respectivamente e o método de Simulação para
Capítulo 2 Revisão de Literatura 55
___________________________________________________________________________________________
situações fora de controle. Apresentam exemplos de projetos estatísticos ótimos para o gráfico
MCUSUM baseado em ARL e MRL cujos parâmetros ótimos tais como o valor de referência
k e o limite superior de controle h correspondente são determinados a partir de valores
tabelados para p = 2, 3 e 4 características da qualidade tanto para o ARL quanto para o MRL
sob controle de 100, 200, 370, 500 e 1000.
Neste trabalho, propõe-se o método de Equação Integral com Quadratura Gaussiana
para otimizar os parâmetros do gráfico MCUSUM (CUSUM de Vetores de Crosier,1988) para
no máximo quatro variáveis uma vez que os procedimentos convencionais de construção de
gráficos multivariados são razoavelmente eficazes desde que o número de variáveis p do
processo não seja grande. Segundo Montgomery (2004), a construção de gráficos de controle
multivariados com elevado número de variáveis é inviável pois à medida em que p aumenta o
desempenho de ARL para detectar uma mudança específica dessas variáveis para gráficos
multivariados também aumenta. Uma alternativa para processos com elevado número de
variáveis (características da qualidade) são os métodos de estrutura latente tais como Análise
de Componentes Principais (ACP). Alves, Henning e Samohyl (2008b) propõem o
desenvolvimento de gráficos de controle multivariados baseados na projeção de dados via
ACP como uma alternativa adequada para o tratamento de dados de processos com elevado
número de variáveis. Utilizando uma rotina numérica no pacote GNU R mostram o quanto a
ACP é fundamental para a redução da dimensionalidade da matriz original de dados que
permite a visualização da variação dos resultados e são úteis, sobretudo para identificar quais
variáveis estão bem explicadas no modelo. Souza (2000) desenvolveu uma metodologia para
auxiliar o monitoramento e a realimentação de um processo de produção multivariado
aplicando ACP aos gráficos de controle cuja aplicação além de contribuir para a redução do
número de variáveis a serem investigadas proporcionou também a identificação da variável ou
conjunto de variáveis causadoras da instabilidade deste processo.
2.7 Projeto ótimo aplicado para obter os parâmetros do gráfico MCUSUM
No controle estatístico de processo univariado uma única característica da qualidade
quantitativa com média
o
e desvio padrão
o
é monitorada, o tamanho da mudança
d
produzido na média quando esta passa de
o
para
1
, e se mantém constante a dispersão, é
medido pela expressão:
o
o
d
1
(2.51)
Capítulo 2 Revisão de Literatura 56
___________________________________________________________________________________________
onde d=0 quando o processo está sob controle e
d
> 0 quando está fora de controle.
No entanto, quando se deseja controlar simultaneamente duas ou mais características
da qualidade correlacionadas (controle estatístico multivariado) então o tamanho da mudança
a ser detectado é medido através da Distância de Mahalanobis (tamanho da mudança de um
vetor de médias ou distância entre vetores) utilizada em análise multivariada. Neste caso, a
distância entre o vetor de médias original e o novo vetor de médias é
)()'(
1
o1o1
ìììì
d
(2.52)
Em análise de processos, em geral, não é viável que o procedimento de controle
escolhido gere muitos falsos alarmes. Portanto, a estratégia utilizada no projeto de um gráfico
de controle baseia-se na escolha de um valor de ARL grande quando o processo estiver sob
controle. Este valor é representado por ARL
o
e indica em média o número de amostras
coletadas até que ocorra um falso alarme. De posse do valor de ARL
o
o gráfico de controle
deve ser projetado de modo que o tamanho da mudança d, que se deseja detectar, seja
sinalizado no gráfico a partir de um número de amostras coletadas até que seja sinalizada uma
situação fora de controle referente a um desvio do valor nominal.
O procedimento de projeto ótimo em um ponto do gráfico de controle consiste em
especificar o ARL, e a magnitude da mudança no processo que desejamos detectar,
selecionando então a combinação ótima (k,h) que proporcione o mínimo ARL fora de controle
(ARL
d
) para um certo número de variáveis a controlar e um determinado tamanho de amostras.
O par de parâmetros (k,h) é ótimo, no sentido que para uma probabilidade de erro
tipo I fixado (ARL
o
) produz a menor probabilidade de erro tipo II (ARL
d
) possível para uma
mudança especificada. Este par de valores (k,h) ótimo, em geral, dependerá da magnitude da
mudança. Uma análise de sensibilidade pode mostrar como varia a probabilidade do erro tipo I
para diferentes pares (k,h) próximos da combinação (k,h) ótima (Gan, 1991).
A melhoria de desempenho dos parâmetros do gráfico CUSUM no controle
estatístico de processos industriais tem sido objeto de estudo de alguns autores que propõem
tabelas e métodos gráficos para selecionar os parâmetros ótimos. Estas tabelas apresentam um
número muito reduzido de situações, sendo, portanto, muito limitada a sua aplicação. A
otimização do gráfico CUSUM univariado resulta, por exemplo, de referências tais como de
Lucas e Crosier (1982) que sugerem para análise do perfil de desempenho deste gráfico
valores tabelados dos parâmetros ótimos k e h em função do tamanho da mudança a ser
detectada para um determinado valor de ARL
o
. Para estes valores tabelados se desejarmos
Capítulo 2 Revisão de Literatura 57
___________________________________________________________________________________________
escolher k em relação ao tamanho da mudança que desejamos detectar; utilizamos
dk
2
1
,
onde
d
é o tamanho da mudança em unidades de desvio padrão. Essa abordagem tende a
minimizar o valor de ARL
d
para detectar uma mudança de tamanho d, para um valor fixado.
Conforme tabelas propostas por Lucas e Crosier (1982) se escolhermos o valor de referência
k=0,5 e intervalo de decisão h=5 resulta no valor ARL
o
= 465. Aplicando o FIR utilizando-se o
valor inicial de vantagem
5,2
2
h
S
o
, recomendado por Lucas e Crosier (1982), o valor de
ARL
o
cai para 430. Um procedimento de soma acumulada projetado para detectar, por
exemplo, uma mudança
=1 seria detectada em média em 10 amostras num procedimento
padrão ( 0
o
S ). Com o uso do FIR ( 5,2
o
S ) é detectado em 6 amostras . O valor de ARL
com ouso do FIR diminui à medida que diminui o valor de ARL
o
.
No entanto, o projeto ótimo de um gráfico CUSUM multivariado é baseado no ARL
o
desejado, tamanho da mudança que se deseja detectar e no número de variáveis a controlar.
Crosier (1988) apresenta para análise do desempenho do gráfico de controle multivariado
MCUSUM tabelas obtidas por simulação para p = 2, 5, 10 e 20 os valores ótimos do par de
parâmetros (k,h) com e sem a implementação do FIR tanto para o ARL
o
=200 quanto para o
ARL
o
=500. Além disso, apresenta uma tabela de ARL´s obtidos por simulação para
ARL
o
=200, com tamanho de mudança d iguais a d=0,5, 1 , 1,5, 2, 2,5, 3 ótimos do par de
parâmetros ( k,h) iguais a (0,5 , 5,5) , (1 , 2,99) e (1,5 , 1,87).
Por exemplo, se desejarmos detectar uma mudança d=1 para p=2 e um ARL
o
=200, o
gráfico MCUSUM ótimo (Crosier,1988) a ser utilizado teria um valor de k=0,5 e h=5.
Pignatiello e Runger (1990) apresentam tabelas obtidas tanto pelo Método de
Simulação de Monte Carlo como pelo Método de Cadeias de Markov para um ARL
o
=200,
d=0,5, 1 , 1,5, 2, 2,5, 3 e p= 2, 3 e 10 (variáveis independentes) para os gráficos multivariados
MC
1
, MC
2
, MCU (Woodall e Ncube, 1985) e T
2
de Hotelling. Além disso, apresentam tabelas
para ARL
o
=200, d=0,5, 1 , 1,5, 2, 2,5, 3 e p=2 (variáveis dependentes) para o gráfico MCU
Bivariado (Woodall e Ncube, 1985).
No presente trabalho é proposto um método de cálculo baseado em equações
integrais para determinar tanto o ARL como a melhor combinação dos parâmetros k e h do
gráfico de controle MCUSUM para qualquer mudança do vetor de médias considerada
importante que se deseja detectar. Os valores tabelados existentes atualmente na literatura para
estes parâmetros são muito limitados para aplicações em situações práticas.
Capítulo 2 Revisão de Literatura 58
___________________________________________________________________________________________
2.8 Método para Otimização dos Parâmetros do Gráfico MCUSUM
Conforme abordado em seções anteriores, o gráfico de controle multivariado T² de
Hotelling tem como memória apenas o último ponto demarcado no gráfico, ou seja, só leva em
consideração a informação atual. Como as informações são analisadas separadamente, é difícil
detectar padrões cíclicos e tendenciosos nos dados, o que se traduz na pouca eficiência deste
gráfico para detectar pequenas mudanças no vetor de médias do processo. Para melhorar a
eficácia na detecção de pequenas amplitudes de mudança, foram desenvolvidos gráficos
multivariados de memória tais como o MEWMA e o MCUSUM que ponderam todas as
informações do processo acumulando a informação mais recente com informações anteriores,
e, com isso, detectam pequenas mudanças no vetor de médias com melhores valores de ARL
que o gráfico T² de Hotelling.
Na abordagem sobre projeto econômico de gráficos de controle, Woodall (1986,1987)
justifica que em alguns projetos econômicos a probabilidade de erro tipo I do gráfico de
controle é consideravelmente maior que o desejado no projeto estatístico, e que isto conduzirá
a um número maior de falsos alarmes, situação esta indesejável.
Em situações em que o processo é muito capaz ou dificilmente ajustável pode não ser
interessante detectar mudanças de pequena magnitude. Segundo Woodall (1985), tentar ajustar
um processo quando a mudança da média é muito pequena pode levar ao fenômeno de sobre
ajuste e da introdução de variabilidade extra no processo. Portanto, é mais interessante decidir
que tamanho de mudança é realmente importante detectar, e tendo isto como base, selecionar
aquele gráfico de controle que seja muito eficiente quando realmente é necessário, e que tenha
uma probabilidade de falsos alarmes realmente baixa. Este trabalho, propõe o desenvolvimento
de um método numérico que permita ao usuário determinar on-line os parâmetros ótimos do
gráfico multivariado MCUSUM para monitorar processos em que não resulte apenas a
detecção de mudanças de pequena magnitude, mas sobretudo seja ao mesmo tempo um
método muito eficaz para detectar mudanças realmente importantes.
2.8.1 Otimização do MCUSUM baseado em Regiões de Máxima e Mínima Potência
O método usual de comparação da potência de diferentes gráficos de controle se
fundamenta nos valores de ARL. Para que dois projetos de gráficos de controle sejam
comparados, ambos, devem apresentar o mesmo ARL quando o processo se encontra sob
controle, isto é, quando não existe nenhuma mudança na média da característica da qualidade
Capítulo 2 Revisão de Literatura 59
___________________________________________________________________________________________
a controlar. O gráfico de controle mais eficiente ou de maior potência para detectar mudanças
será aquele que apresente um ARL grande quando o processo se encontra sob controle e um
ARL pequeno quando o processo se encontra fora de controle.
Por outro lado, é sabido que sob o ponto de vista econômico se considera que o custo
de operação do processo (custo médio por hora de produção quando há uma mudança na
média do processo) é proporcional ao número de falsos alarmes, e que sob o ponto de vista
estatístico pode ocorrer que o número de falsos alarmes seja uma fonte de variabilidade extra
no processo. Diante do que anteriormente foi exposto, Woodall (1985) sugere um projeto
estatístico para gráfico de controle e recomenda tomar como critério deste projeto, a seleção do
tamanho da mudança que seja importante detectar. Para isso, propõe a definição de três regiões
de controle: região sob controle, região indiferente, e região fora de controle. Estas regiões são
delimitadas por dois valores (A e B) do tamanho da mudança a ser detectada conforme figura
(2.4). No caso univariado este tamanho da mudança é medido em unidades de desvios padrão
conforme equação (2.51) enquanto que no caso multivariado é medido a partir da Distância de
Mahalanobis conforme equação (2.52).
As regiões de máxima e mínima eficácia podem ser definidas como:
a) Região Sob Controle, [0,A]. Esta região corresponde a um estado equivalente ao de estado
sob controle e corresponde ao tamanho de mudança compreendido entre d=0 e d=A. Nesta,
região não se deseja detectar alguma mudança. No entanto, deseja-se um ARL máximo. Se o
gráfico mostrar um sinal fora de controle considera-se então este sinal como um falso alarme.
b) Região Fora de Controle, [B,
), corresponde ao valor de mudança d=B, a partir do qual se
requer a máxima eficácia de detecção. Além disso, se deseja um ARL mínimo.
c) Região Indiferente, (A,B), compreendida entre d=A e d=B. Nesta região é indiferente
detectar ou não uma mudança no processo.
Como exemplo, na figura 2.4 pode-se observar a curva de ARL para dois gráficos de controle
multivariados do tipo MCUSUM e T
2
de Hotelling.
Capítulo 2 Revisão de Literatura 60
___________________________________________________________________________________________
Figura 2.4 Valores de ARL dos gráficos MCUSUM e T
2
Hotelling para ARL
o
=200
Conforme figura 2.4 podemos observar que ambos os gráficos têm o mesmo ARL para
,0
d
sendo o gráfico ótimo aquele que apresenta maior ARL na região sob controle e menor ARL
na região fora de controle. Isto significa que apresenta menor probabilidade de falso alarme e é
mais eficaz para detectar mudanças que devem ser rapidamente detectadas. Observamos
realmente que quando, por exemplo, nosso processo for muito capaz, tentar detectar mudanças
muito pequenas pode não ser interessante.
O enfoque de Woodall (1985) que aborda a utilização de regiões de máxima e mínima
potência em projetos de otimização para gráficos de controle se encontra justificado em
situações que aparecem freqüentemente na indústria. Entre outros, e como exemplo, vamos
analisar três tipos de processos característicos:
a) Processos muito capazes: um tipo de processo onde pode resultar pouco interesse em
detectar pequenas mudanças na média do processo referente ao valor nominal são aqueles
que apresentam elevada capacidade real (
),5,1
pk
C
típicos de setores como o da automação.
b) Processos dificilmente ajustáveis: em alguns processos industriais, independentemente de
considerações econômicas, acontece que por razões técnicas ou físicas tenham um
comportamento que os transforma em dificilmente ajustáveis, quando no início o processo já
está fora do valor nominal, típicos de processos onde uma ferramenta de corte sofre desgastes
contínuos e graduais.
c) Processos com um elevado custo econ
ômico de ajuste: em muitos processos como o de
estampagem de chapas, por exemplo, o ajuste para que se trabalhe no valor nominal centrado
nas especificações requer a parada do processo e a regulagem da máquina utilizada neste
1
10
100
1000
0 3
Mudança no vetor de m édias ( Distância de Mahalanobis )
ARL
MCUSUM (ARLo=200) T2 de Hotelling (ARLo=200)
B
A
Capítulo 2 Revisão de Literatura 61
___________________________________________________________________________________________
trabalho. Segundo, Aparisi e Díaz (2007), esta operação pode requerer um período elevado de
tempo com a conseqüente perda de produção associada a esse tempo produtivo.
2.9 Integração Numérica
A integração numérica é uma excelente ferramenta matemática, geralmente empregada
por cientistas e engenheiros, como o único recurso para resolver em ambientes computacionais
muitos problemas de engenharia que geram integrais para as quais soluções analíticas não são
sempre possíveis.
Designamos, de um modo geral, por integração numérica o processo de obter
b
a
dxxffI )()(
em que f é uma função integrável no intervalo
ba,
.
Atualmente, os inúmeros recursos computacionais existentes, têm sido responsável
pelo desenvolvimento de uma grande variedade de métodos numéricos aplicados para
simplificar a integral. Esses métodos consistem em aproximar a função f(x) por um polinômio
interpolador e determinar analiticamente a integral desse polinômio no intervalo [a,b] (Campos
Filho, 2001). Neste trabalho, utiliza-se aproximação de integração numérica via método de
Quadratura Gaussiana para determinar os parâmetros do gráfico de controle multivariado
MCUSUM tais como o ARL, k e h.
A idéia básica da integração numérica é de aproximar a função f(x) por um polinômio
de grau n, P
n
(x) e, então, realizar a integração deste polinômio de aproximação, visto que cada
termo no polinômio pode ser integrado analiticamente. A precisão da integração numérica
depende da escolha adequada desse polinômio de aproximação (Billo, 2007).
Os métodos de integração numérica podem ser classificados em dois grupos, as
Fórmulas de Integração de Newton-Cotes e as Quadraturas Gaussianas.
As Fórmulas de Newton-Cotes usam valores da função em pontos uniformemente
espaçados. Essa restrição é conveniente quando as fórmulas são combinadas de modo a
fornecer regras compostas, mas essa utilização pode reduzir de maneira significativa a precisão
da aproximação (Jeannequin, 2003).
As Quadraturas Gaussianas fornecem uma flexibilidade não somente em escolher os
pesos, mas em localizar pontos onde as funções são avaliadas para otimizar a aproximação em
vez de considerar apenas pontos regularmente espaçados (Kiusalaas, 2005). Como resultado,
as Quadraturas Gaussianas fornecem duas vezes mais pontos de precisão do que as Fórmulas
de Newton-Cotes com o mesmo número de funções de avaliação. Se a função é conhecida e
Capítulo 2 Revisão de Literatura 62
___________________________________________________________________________________________
suave, as Quadraturas Gaussianas, em geral, têm vantagens e eficiência decisivas (Jeannequin,
2003).
2.9.1 Quadratura Gaussiana
A Quadratura Gaussiana também denominada Quadratura de Gauss-Legendre é um
método de integração numérica robusto, que apresenta uma série de vantagens em várias
situações, tais como a escolha de pontos discretos x
i
na qual a função f(x) é avaliada. Quando
esta escolha for realizada adequadamente pode levar a uma maior precisão da avaliação da
função (Canale e Chapra, 2008). A idéia central deste método para n pontos de quadratura é
obter a solução da integral de uma função f(x) em termos de uma soma da forma:
n
i
iinn
b
a
xfwxfwxfwxfwdxxffI
1
2211
)()(....)()()()(
(2.53)
onde os termos
i
w são os pesos (coeficientes ponderados) e
i
x são os pontos de quadratura.
No cálculo do valor aproximado da integral definida utiliza-se combinação linear dos
valores da função f(x) em certos pontos discretos
i
x
, a
i
x
b. Mais formalmente, utiliza-
se o processo de quadratura que consiste em substituir uma integral com a soma de suas partes.
Os nós
n
xxx ,...,,
21
são n pontos distintos de [a,b] para os quais os valores de
i
w e
i
x são
obtidos de maneira que a integral seja exata para polinômios de grau
12
n
. Os valores tanto
de
i
x
quanto de
i
w
são escolhidos de modo a minimizar o erro esperado no cálculo da
aproximação. Para medir esta precisão, admite-se que a melhor escolha desses valores é a que
produz resultado exato para a maior classe de polinômios, isto é, aquela escolha que fornece
um maior grau de precisão.
A condição da equação (2.53) ser exata para polinômios de grau
12
n
nos leva a
um sistema não linear de equações algébricas, cuja solução nos fornece os valores de
i
x
e
i
w
.
Para ilustrar o procedimento de escolha dos parâmetros associados, é mostrado como
selecionar os pesos e nós quando n=2, cujo intervalo de integração é [-1,1]. Suponha que se
deseja determinar
21
,ww
e
21
,xx
de maneira que a fórmula
)()()()(
22
1
1
11
xfwxfwdxxffI
de um resultado exato sempre que f(x) seja um
polinômio de grau 2(2)-1 = 3 ou menor, ou seja, quando
3
3
2
21
)( xaxaxaaxf
o
para
qualquer conjunto de constantes
321
,,, aaaa
o
.
Capítulo 2 Revisão de Literatura 63
___________________________________________________________________________________________
Como
dxxaxaxaa
o
)(
3
3
2
21
dxxadxxaxdxadxa
o
3
3
2
21
1
, este fato
equivale a mostrar que a fórmula dá resultados exatos quando f(x) é igual a
2
,,1 xx e
3
x . Assim
sendo, precisamos de
21
,ww
e
21
,xx
de maneira que se constitui num sistema com 4 (quatro)
equações e 4 (quatro) incógnitas, ou seja,
1
1
33
22
3
11
1
1
22
22
2
11
1
1
2211
1
1
21
0
3
2
.
0.
211.1.
dxxxwxw
dxxxwxw
xdxxwxw
dxww
0
3
2
.
0.
2
3
22
3
11
2
22
2
11
2211
21
xwxw
xwxw
xwxw
ww
(2.54)
Resolvendo o sistema de equações (2.54) obtém-se as soluções únicas
1
w
1,
1
2
w
,
1
x
3
1
-0,577350269189626,
2
x
3
1
0,577350269189626 que permite escrever a
fórmula de aproximação de Gauss-Legendre de dois pontos
1
1
)( dxxf
)()(
2211
xfwxfw
=
3
1
3
1
ff . Essa fórmula possui grau de precisão 3,
isto é, produz resultado exato para todo polinômio de 3º grau ou menor. Através de
desenvolvimento semelhante ao apresentado para n=2, é possível encontrar os termos de
ponderações
i
w e
i
x para a integração Gaussiana de ordem 3,4, e maior.
O procedimento de integração numérica Quadratura Gaussiana tem por principal
vantagem o fato de poder ser facilmente inserido num programa computacional destinado à
análise de estruturas pelo método dos elementos finitos para aplicações que envolvem
integrais cujas soluções analíticas nem sempre são possíveis.
Um outro método alternativo de integração Gaussiana pode ser encontrado no
Apêndice A deste trabalho.
Capítulo 2 Revisão de Literatura 64
___________________________________________________________________________________________
2.10 Síntese do Capítulo
Neste capítulo além de alguns fundamentos básicos preliminares ao estudo de gráficos
de controle multivariados são abordados os principais gráficos de controle multivariados: o
tradicional T
2
de Hotelling e os gráficos com memória MEWMA e o MCUSUM, objeto de
estudo deste trabalho.
Um estudo dos principais parâmetros do gráfico MCUSUM propostos neste trabalho
tais como o valor de referência k, o limite superior de controle h, o número médio de amostras
coletadas até à emissão de um sinal (ARL) e os métodos numéricos para otimizar estes
parâmetros enfatizando o Método de Equação Integral proposto nesta pesquisa.
A apresentação de um procedimento para projetar estatisticamente o gráfico
MCUSUM ótimo baseado nestes parâmetros segundo a ótica de regiões de máxima e mínima
potência para selecionar o tamanho da mudança que seja importante detectar e tendo isto como
referência optar pelo gráfico MCUSUM cujos parâmetros sejam capazes de minimizar o
número de falsos alarmes, ou seja, maximizar a capacidade de detectar mudanças reais. Além
disso, alguns tópicos referentes a métodos de análise numérica com ênfase a um método de
integração numérica robusto denominado Quadratura Gaussiana que neste trabalho é inserido
ao Método de Equação Integral (MEI).
Alguns tópicos complementares cujo referencial teórico fundamenta a Aplicação da
Metodologia (Capítulo 4) tais como normalidade, autocorrelação, métodos numéricos, etc,
estão disponíveis nos Apêndices deste trabalho.
CAPÍTULO 3
METODOLOGIA
3.1 Introdução
Uma equação integral para determinar o ARL de um gráfico de controle multivariado
de Somas Acumuladas (MCUSUM) quando o processo está sob controle é analiticamente
derivada, e um método numérico para obter uma solução aproximada desta equação é proposto
neste capítulo. Esta equação é utilizada para determinar de forma aproximada os parâmetros
que otimizam o gráfico MCUSUM, tais como o intervalo de decisão h para vários valores de
referência k, a dimensão de p características da qualidade mensurada, bem como o ARL
mínimo.
Conforme revisão de literatura, vários autores têm apresentado métodos gráficos e
tabelas para selecionar estes parâmetros para o gráfico MCUSUM. Em situações práticas, estes
recursos atendem a um número muito reduzido de situações, sendo, portanto, muito limitada a
sua aplicação.
3.2 Método de Equação Integral com Quadratura Gaussiana para otimização dos
parâmetros do Gráfico de Controle MCUSUM
O método de equação integral, proposto neste trabalho, envolve a solução de uma
equação integral, que substituída por um sistema de equações lineares algébricas, cuja
resolução numérica via Quadratura Gaussiana fornece os valores aproximados de ARL do
gráfico MCUSUM para um processo supostamente com distribuição normal multivariada.
Estes valores de ARL são indispensáveis para avaliação de outros parâmetros tais como k e h,
que envolvem a mensuração de índices de falsos alarmes e análise da sensibilidade do gráfico
MCUSUM para monitorar processos em diferentes situações.
O recurso computacional para obter a solução aproximada de ARL consiste no
desenvolvimento de um programa computacional como uma ferramenta sensível, que possa
proporcionar ao usuário uma avaliação de desempenho do gráfico MCUSUM. Com este
recurso computacional é possível determinar com segurança e em tempo real os valores dos
parâmetros ótimos k e h associados ao ARL que devem ser selecionados para se obter níveis
de qualidade aceitáveis.
Capítulo 3 Metodologia 66
___________________________________________________________________________________________
Primeiramente, apresenta-se o método de integração para a solução numérica de ARL
do gráfico CUSUM univariado, tomando como referência publicações de alguns
pesquisadores, tais como Lucas (1976), Lucas e Crosier (1982), Gan (1991,1993) e Rao,
Disney e Pignatiello (2001).
A derivação de uma equação integral tendo como referência a equação original de
Page (1954) para otimização de ARL de um gráfico CUSUM Unilateral, via método de
Quadratura Gaussiana, objeto de estudo de Rao, Disney e Pignatiello (2001), é apresentada
neste trabalho por ser a mais recente.
Se X
i
é uma variável contínua e aleatória a ser controlada e se
)(zL
é o ARL esperado
quando a soma acumulada inicia-se em zS
o
com
],0[ hz
, pode-se mostrar que o ARL do
gráfico CUSUM satisfaz a equação integral
dxzkxfxLzkFLzL
h
)()()()0(1)(
0
(3.1)
onde
L(x) é o ARL quando a soma acumulada inicia-se em x ;
L(z) é o ARL esperado quando a soma acumulada inicia-se em S
o
= z com z [0,h];
f(x) é a função densidade de probabilidade de uma distribuição normal (,1);
F(
) é a função densidade de probabilidade cumulativa de uma distribuição normal (,1);
Segundo estes autores, a função L(x) apresenta uma solução única e contínua em [0,h] para o
ARL dessa equação, pois está sujeita à certas condições de regularidade na distribuição da
função F(
) de amostra X
i
no gráfico CUSUM em (3.1), tais como:
a) A distribuição da função F(
) é contínua e diferenciável com uma primeira derivada f(
)
b) O projeto de parâmetros k e h, são tais que F(k+h) < 1.
Estas condições de regularidade são usualmente satisfeitas na prática. Por exemplo, o
monitoramento da média de um processo via gráfico CUSUM cuja amostra estatística tem
distribuição normal que satisfaz as condições de regularidade. Como na equação integral (3.1),
L(x) é contínua em [0,h] e satisfaz as condições de regularidade a) e b) mencionadas, segue
que L(x) tem uma solução única e contínua para o ARL dessa equação.
A solução numérica desta equação integral para otimizar o ARL do gráfico CUSUM
envolve a substituição da equação por uma Quadratura Gaussiana que resulta em
n
i
iii
zzkxfxLwzkFLzL
1
)()()()()0(1)(
(3.2)
Capítulo 3 Metodologia 67
___________________________________________________________________________________________
onde
n
i
i
x
1
,
n
i
i
w
1
, são, respectivamente, os nós e os pesos da quadratura gaussiana no
intervalo [0,h] e
)(z
é
um erro muito pequeno e desconhecido devido à substituição da
integral pela quadratura. Avaliando L(
) para ,,......,,,0
21 n
zzzz
n
i
iii
kxfxLwkFLL
1
)()(
~
)()0(
~
1)0(
~
(3.3)
n
i
iiiiii
zkxfxLwzkFLzL
1
)()(
~
)()0(
~
)(
~
(3.4)
onde
L
~
(
) é uma aproximação para L(
). A aproximação de
L
~
(
) é obtida a partir da resolução
de um sistema de equações algébricas lineares e usando a equação
,)()(
~
)()0(
~
1)(
~
1
n
i
iii
zkxfxLwzkFLzL
para
],0[ hz
(3.5)
Resolvendo este sistema de equações obtém-se
)(
~
~
),.....,(
~
~
),(
~
~
222111 nnn
xLLxLLxLL
e
substituindo
)(
~
i
xL
em (3.3) e (3.5), determina-se
)0(
~
L
e
)(
~
zL
, respectivamente
.
A derivação analítica de uma equação integral utilizando integração numérica
Quadratura Gaussiana proposta neste trabalho para o gráfico MCUSUM é um método
alternativo ainda não existente na literatura para determinar o ARL deste tipo de gráfico de
controle. Este procedimento segue uma extensão multivariada da equação integral utilizada
para determinar o ARL de um gráfico de controle CUSUM univariado com uma adaptação da
equação integral para determinar o ARL de um gráfico de controle MEWMA sugerida
por Rigdon (1995).
Suponha que desejamos monitorar um processo repetitivo onde há p características de
qualidade em cada unidade produzida. Sejam
,....
21
XX ,
os vetores aleatórios da seqüência p
que representam a saída do processo. Esses vetores aleatórios podem representar tanto as
médias dos subgrupos quanto observações individuais. Suponhamos ainda, que
,....
21
XX ,
são
vetores aleatórios normais multivariados independentes e identicamente distribuídos com vetor
de médias
ì
e matriz de covariância ,
onde
ì
e
são supostamente conhecidos.
A equação integral analiticamente derivada neste trabalho para o gráfico MCUSUM
está sujeita à suposição de que o vetor de médias sob controle é
0ì
o
e a matriz de
covariância é a identidade I. Embora esta suposição possa parecer restritiva, na realidade não
é. Para justificar a razão pela qual isto se comporta, é necessário os seguintes teoremas que são
demonstrados no Apêndice B deste trabalho.
Capítulo 3 Metodologia 68
___________________________________________________________________________________________
Teorema 1:
Se
,....,
21
XX
são variáveis aleatórias i.i.d N
p
( , )
, onde
é positiva definida. Se o gráfico
MCUSUM com parâmetros k e h é aplicado para estas variáveis X’s, então o ARL sob controle
para gráfico MCUSUM com parâmetros k e h aplicado para um processo com vetor de médias
0ì
o
e matriz de covariância I. Isto é, portanto suficiente por determinar o ARL para o
processo com vetor de médias 0 e matriz de covariâncias I.
Demonstração: (conforme Apêndice B)
Teorema 2:
O ARL sob controle do gráfico de controle MCUSUM aplicado para o processo com vetor
de médias 0ì
o
e matriz de covariância I dependem tão somente do valor inicial zS
o
através do quadrado de sua magnitude
=
.z´z
Demonstração: (conforme Apêndice B)
Teorema 3:
Supomos que o gráfico MCUSUM com parâmetro k aprimorado seja aplicado para um
processo p dimensional com vetor de médias
0ì
o
e matriz de covariância I. Se
)/( hL
denota o ARL dado para que a estatística MCUSUM inicial
zS
o
satisfaça
o
'
o
SS
e dado
que o intervalo de decisão é h . Então a função L satisfaz a equação integral
dxxfxLxFhLhL
h
)|()()/()/0(1)/(
0
o
'
o
SS
onde xf (
|
o
'
o
SS
) é a função densidade de probabilidade da distribuição Qui-quadrado
não central com p graus de liberdade e parâmetro de não centralidade
p
i
i
1
2
.
Demonstração: (conforme Apêndice B)
3.3 Síntese de Capítulo
Neste capítulo uma equação integral é derivada analiticamente para a metodologia
proposta cuja resolução numérica via Quadratura Gaussiana fornece os valores aproximados
de ARL do gráfico de controle MCUSUM para uma determinada mudança do vetor de médias
Capítulo 3 Metodologia 69
___________________________________________________________________________________________
do processo. Além disso, para aplicação da metodologia é sugerido no próximo capítulo deste
trabalho, um programa computacional (amigável) em ambiente Matlab desenvolvido a partir
desta equação integral que determina os principais parâmetros para otimizar o gráfico
MCUSUM.
CAPÍTULO 4
APLICAÇÃO DA METODOLOGIA
4.1 Introdução
O capítulo 2 deste trabalho teve por finalidade fornecer a revisão de literatura
necessária ao entendimento e a aplicação dos conceitos e fundamentos que envolvem a
otimização dos principais parâmetros associados ao desempenho do gráfico de controle
multivariado de Somas Acumuladas (MCUSUM). No capítulo 3 são aplicados os recursos
matemáticos e estatísticos tais como os teoremas e as definições para derivar analiticamente
uma equação integral cuja resolução numérica via Quadratura Gaussiana fornece o ARL do
gráfico MCUSUM.
Agora, torna-se necessário, a aplicação da metodologia proposta neste trabalho a partir
da execução de um algoritmo de CEP multivariado que contemple o Método de Equação
Integral (MEI) com Quadratura Gaussiana como uma alternativa preliminar para otimizar o
ARL do gráfico MCUSUM. Além disso, outros parâmetros tais k e h deste gráfico são
essenciais, pois envolvem também a mensuração de índices de falsos alarmes e análise de
sensibilidade para monitorar processos industriais em diferentes situações.
Inicialmente, são apresentados os valores dos parâmetros do gráfico MCUSUM
determinado com o MEI para as combinações de ARL
o
de 200, 500 e 1000 com p = 2, 3 e 4.
Estes valores otimizados para os parâmetros são gerados por um programa computacional
desenvolvido em ambiente Matlab.
A partir dos valores de ARL, k e h é desenvolvido um projeto estatístico ótimo do
gráfico MCUSUM para observações individuais baseado nos valores desses parâmetros, sob a
ótica de análise de regiões de máxima e mínima potência capaz de minimizar a probabilidade
de falsos alarmes e maximizar a capacidade de detecção de mudanças reais.
Com o objetivo de aprimorar os conceitos e teorias até aqui apresentados,
indispensáveis para auxiliar na interpretação de resultados preliminares é desenvolvido um
exemplo de aplicação e, por fim, para comprovar a validade prática da metodologia proposta, é
utilizado dados reais de um processo de usinagem que é monitorado com duas e três
características de qualidade numa fundição na cidade de Joinville- SC.
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 71
___________________________________________________________________________________________
4.2 Desenvolvimento Experimental da Metodologia
O desenvolvimento da metodologia aplicada neste trabalho compreende duas fases
bem diferenciadas. A fase pela busca de informação e planejamento, e a fase puramente
experimental. A descrição e a execução da metodologia nesta segunda fase denominada fase
experimental é orientada conforme sugerido na seção 1.4 do capítulo 1 (figura 1.1). Esta fase
inicia com a implementação do Método de Equação Integral (MEI). Uma vez derivada
analiticamente a equação integral; esta equação é aplicada ao programa computacional
desenvolvido em ambiente Matlab para determinar aproximadamente a solução ótima dos
principais parâmetros. Os valores obtidos dessa solução ótima são utilizados para projetar
estatisticamente o gráfico MCUSUM para observações individuais.
Como na prática o projeto estatístico do gráfico de controle MCUSUM em termos de
desempenho de ARL está sujeito a um número muito elevado de combinações dos parâmetros
k com h, é imprescindível a aplicação de planejamento de experimentos para poder obter-se
qual combinação mais adequada desses parâmetros otimiza este tipo de gráfico. A variável
resposta, ou seja, a combinação de k com h escolhida como melhor para ser aplicada será,
logicamente aquele par de parâmetros (k,h) que associado ao ARL seja capaz de otimizar o
gráfico MCUSUM.
O experimento computacional foi realizado em computadores do Laboratório de
Informática da Universidade da Região de Joinville.
Uma análise estatística dos resultados obtidos do experimento computacional nos
permite averiguar a influência das diferentes combinações do parâmetro k com h que
associados ao ARL interferem significativamente na otimização do gráfico MCUSUM. Por
último, uma análise de sensibilidade da solução ótima desses parâmetros para várias
magnitudes de mudança do vetor de médias nos leva a extrair as conclusões finais da
investigação. Nas próximas seções deste capítulo são abordados alguns aspectos relevantes da
metodologia utilizada nesta segunda fase.
4.3 Programas Implementados
Para alcançar os objetivos propostos neste trabalho, definidos na seção 1.3 do capítulo
1, desenvolveu-se três programas computacionais em ambiente Matlab conforme a seguir:
Programa Computacional 1: gera os fatores de quadratura (raízes e pesos) e aplica e MEI
com Quadratura Gaussiana para otimizar os parâmetros ARL, k e h do gráfico MCUSUM.
Programa Computacional 2: aproxima o limite superior de controle h do gráfico MCUSUM
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 72
___________________________________________________________________________________________
com a aplicação de um método iterativo de aproximação conhecido em análise numérica
como método da Secante.
Programa Computacional 3: determina a matriz de covariância e sua inversa, a matriz de
correlação e os coeficientes de assimetria e curtose utilizados por Mardia ( 1970, 1974) para
verificar a normalidade multivariada. Além disso, determina a função perda multivariada de
Taguchi e a função para a distância de Mahalanobis que é utilizada para calcular os pontos
ótimos A e B que delimitam as regiões de máxima e mínima potência. Um outro programa
computacional, considerado complementar é desenvolvido para realizar a análise de
sensibilidade da solução ótima. Este programa aplica a interpolação polinomial de um
conjunto de pontos (valores de ARL´s ) conhecidos quando o processo está sob controle para
estimar os valores de ARL entre estes pontos para uma situação fora de controle.
O tutorial com as instruções operacionais destinadas a orientar os usuários de cada um
destes três programas propostos encontra-se disponível no Apêndice K deste trabalho.
Uma vez desenvolvido o programa computacional correspondente ao que havia sido
proposto para otimizar os parâmetros do gráfico MCUSUM; conclui-se que o planejamento
desta 2ª fase experimental é considerado consistente para realizar o planejamento de
experimentos e a verificação do experimento computacional correspondente. O tipo de
planejamento de experimentos, realizado neste trabalho, foi um planejamento fatorial
equilibrado 2
k
ou balanceado replicado com k fatores onde a cada tratamento possível se
experimenta um mesmo número de vezes.
4.4 Aplicação do MEI para determinar os parâmetros do gráfico de controle MCUSUM
Definidos os parâmetros ótimos de entrada para o MEI utilizou-se um algoritmo com o
objetivo de determinar adequadamente os valores ótimos de ARL associados as melhores
combinações dos parâmetros k com h capazes de minimizar o número de falsos alarmes. Como
o resultado ótimo depende da sensibilidade desejada para o gráfico MCUSUM, diferentes
valores de k foram combinados experimentalmente com o parâmetro h para otimizar o ARL.
Estes valores obtidos experimentalmente são utilizados para a aproximação sistemática de
projetar estatisticamente um gráfico MCUSUM baseado no ARL. O limite superior de controle
h do gráfico MCUSUM neste trabalho é determinado para o ARL
o
de 200, 500 e 1000
aplicando-se o MEI para o número de variáveis p=2, 3 e 4.
A avaliação de desempenho do gráfico MCUSUM proposta neste trabalho segue a
metodologia proposta por Crosier (1988) que recomenda o valor de referência k ótimo deste
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 73
___________________________________________________________________________________________
gráfico para detectar uma mudança no vetor de médias do processo seja obtido
aproximadamente como a metade dessa mudança para todos os ARL´s quando o processo está
sob controle. Este valor ótimo para k pode minimizar o ARL e um deslocamento particular
para um determinado ARL
o
. Num intervalo o parâmetro ótimo do gráfico MCUSUM é
determinado pelo tamanho (amplitude) de mudança do vetor de médias especificado onde k
(ponto médio dessa amplitude de mudança) é considerado o ponto ótimo do deslocamento.
4.4.1 Resultados da aplicação do MEI para os parâmetros do gráfico MCUSUM
Os resultados obtidos com a aplicação do MEI para os principais parâmetros do
gráfico MCUSUM conforme tabelas 4.1, 4.2, e 4.3. Estas tabelas mostram para vários
tamanhos (amplitudes) de mudança, d as combinações ótimas dos parâmetros k com h
associadas ao ARL mínimo (ARL
mín
.) para o ARL
o
de 200, 500 e 1000 e número de variáveis
p=2, 3 e 4. Estes valores que representam as soluções ótimas globais encontradas para
diferentes tamanhos de mudança são calculados com o Programa Computacional 1 que utiliza
o MEI com Quadratura Gaussiana para obter os parâmetros ótimos do gráfico de controle
MCUSUM. Além disso, os valores obtidos destes principais parâmetros para projetar
estatisticamente o gráfico MCUSUM via MEI são comparados conforme tabela 4.4 com os
valores obtidos destes mesmos parâmetros obtidos via método de Cadeias de Markov (MCM).
Tabela 4.1 O parâmetro ótimo do gráfico, k para projetar o MCUSUM e os correspondentes
limites de controle, h com o ARL mínimo (ARL
mín
.) para p=2, ARL sob controle (ARL
o
) de
200, 500 e 1000, e vários tamanhos (amplitudes) de mudança, d.
p = 2
A R Lo=200
A R L o = 2 0 0
A R L o = 5 0 0 A R L o = 1 0 0 0
d k h AR L m ín . h AR L m ín . h AR L m ín .
0,1 0,0 5 15 ,670 136,4 7 22 ,58 9 245,28 28,920 351,76
0,2 0,1 13,245 83,69 18 ,226 13 4,95 22,635 182,95
0,3 0,1 5 11 ,334 54,0 7 14,975 79,53 18,059 10 2,06
0,4 0,2 9,834 36,98 12,568 50,58 14,768 61,83
0,5 0,2 5 8,658 26,76 10,791 34,72 12,420 40,86
0,6 0,3 7,732 20,40 9,471 25,55 10,747 29,30
0,7 0,3 5 6,997 16,25 8,477 19,92 9,5 40 22,52
0,8 0,4 6,402 13,42 7,706 16,23 8,645 18,2 5
0,9 0,4 5 5,911 11,38 7,087 13,66 7,9 47 15,35
1 0,5 5,493 9,84 6,566 11,74 7,370 13,2 1
1,1 0,5 5 5,126 8,62 6,110 10,23 6,864 11,5 1
1,2 0,6 4,796 7,62 5,69 9 8,99 6,4 00 10,10
1,3 0,6 5 4,492 6,77 5,321 7,96 5,966 8,90
1,4 0,7 4,209 6,03 4,97 3 7,08 5,5 58 7,87
1,5 0,7 5 3,946 5,39 4,653 6,34 5,182 7,00
1,6 0,8 3,704 4,83 4,36 4 5,71 4,8 43 6,28
1,7 0,8 5 3,486 4,35 4,108 5,20 4,546 5,70
1,8 0,9 3,295 3,94 3,88 6 4,77 4,2 95 5,24
1,9 0,9 5 3,135 3,61 3,696 4,43 4,091 4,89
2 1,0 3,010 3,36 3,535 4,1 5 3,928 4,6 2
2,5 1,2 5 2,892 3,13 2,942 3,21 3,342 3,76
3 1,5 2,732 2,82 2,792 2,9 9 2,912 3,2 1
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 74
___________________________________________________________________________________________
Tabela 4.2 O parâmetro ótimo do gráfico, k para projetar o MCUSUM e os correspondentes
limites de controle, h com o ARL mínimo (ARL
mín
.) para p=3, ARL sob controle (ARL
o
) de
200, 500 e 1000, e vários tamanhos (amplitudes) de mudança, d.
Tabela 4.3 O parâmetro ótimo do gráfico, k para projetar o MCUSUM e os correspondentes
limites de controle, h com o ARL mínimo (ARL
mín
.) para p=4, ARL sob controle (ARL
o
) de
200, 500 e 1000, e vários tamanhos (amplitude) de mudança, d.
Os resultados obtidos via MEI para os principais parâmetros do gráfico MCUSUM (tabelas
4.1, 4.2 e 4.3) indicam que os valores para as melhores combinações dos parâmetros k com h
p = 4
AR Lo=200
A R L o = 2 0 0
A R L o = 5 00 A R L o = 1 0 0 0
d k h ARL m ín . h AR L m ín . h AR L mín .
0,1 0,05 22,958 150,15 33,190 285,13 42,551 426,10
0,2 0,1 19,489 96,85 26,842 163,39 33,172 226,26
0,3 0,15 16,756 65,25 22,058 99,02 26,352 128,03
0,4 0,2 14,604 45,98 18,483 63,93 21,455 78,11
0,5 0,25 12,903 33,86 15,824 44,08 17,971 51,66
0,6 0,3 11,548 25,97 13,845 32,36 15,495 36,95
0,7 0,35 10,457 20,65 12,357 25,09 13,717 28,28
0,8 0,4 9,561 16,92 11,213 20,34 12,404 22,83
0,9 0,45 8,812 14,20 10,304 17,04 11,386 19,13
1 0,5 8,171 12,16 9,549 14,61 10,549 16,41
1,1 0,55 7,611 10,57 8,893 12,70 9,817 14,27
1,2 0,6 7,112 9,30 8,300 11,14 9,149 12,50
1,3 0,65 6,662 8,27 7,750 9,83 8,525 10,99
1,4 0,7 6,253 7,42 7,238 8,71 7,941 9,72
1,5 0,75 5,880 6,71 6,761 7,77 7,402 8,64
1,6 0,8 5,541 6,12 6,326 6,98 6,917 7,76
1,7 0,85 5,235 5,64 5,941 6,33 6,494 7,06
1,8 0,9 4,961 5,23 5,612 5,82 6,137 6,51
1,9 0,95 4,717 4,90 5,345 5,43 5,846 6,10
2 1,0 4,501 4,62 5,143 5,16 5,612 5,78
2,5 1,25 3,722 3,77 4,820 4,74 4,712 4,73
3 1,5 3,262 3,37 3,722 3,55 4,032 4,09
p = 3
ARLo=200
A RL o = 20 0
A R Lo = 50 0 A R Lo = 1 00 0
d k h ARL mín . h ARL mín. h ARL mín .
0,1 0,05 19,564 144,71 28,215 268,29 36,113 393,02
0,2 0,1 16,562 91,26 22,757 133,72 28,075 205,33
0,3 0,15 14,197 60,29 18,678 73,07 22,306 115,21
0,4 0,2 12,338 41,85 15,652 44,73 18,207 70,17
0,5 0,25 10,875 30,51 13,413 30,73 15,311 46,53
0,6 0,3 9,718 23,28 11,751 23,22 13,254 33,41
0,7 0,35 8,793 18,49 10,500 18,85 11,766 25,63
0,8 0,4 8,042 15,18 9,535 16,05 10,648 20,66
0,9 0,45 7,418 12,79 8,763 14,10 9,764 17,24
1 0,5 6,885 11,00 8,117 12,61 9,024 14,71
1,1 0,55 6,419 9,59 7,553 11,40 8,375 12,72
1,2 0,6 6,001 8,46 7,045 10,36 7,788 11,10
1,3 0,65 5,620 7,52 6,577 9,42 7,253 9,76
1,4 0,7 5,269 6,73 6,144 8,56 6,767 8,67
1,5 0,75 4,946 6,06 5,745 7,78 6,333 7,78
1,6 0,8 4,650 5,50 5,384 7,06 5,951 7,07
1,7 0,85 4,383 5,03 5,064 6,42 5,618 6,49
1,8 0,9 4,148 4,64 4,787 5,85 5,326 6,03
1,9 0,95 3,945 4,32 4,555 5,36 5,059 5,64
2 1,0 3,777 4,07 4,364 4,96 4,797 5,28
2,5 1,25 3,392 3,54 3,782 3,67 3,952 4,48
3 1,5 2,982 3,04 3,492 2,99 3,710 4,07
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 75
___________________________________________________________________________________________
que otimizam ARL´s mínimos para um mesmo ARL
o
de 200, 500 e 1000 são bastante
similares aos resultados obtidos via Método de Cadeias de Markov (Lee e Khoo, 2006) para os
mesmos parâmetros e nas mesmas condições neste trabalho conforme tabelas 1, 2 e 3 dos
Anexos B, C e D, respectivamente.
Um comparativo entre os resultados obtidos via MCM x MEI para o parâmetro ótimo
do gráfico, k e os correspondentes limites de controle, h associados com o ARL mínimo
(ARL
mín
.) obtido para p = 2, 3 e 4 e para o mesmo ARL
o
=200 é mostrado conforme tabela 4.4
para vários tamanhos (amplitudes) de mudança, d.
Tabela 4.4 Comparativo entre valores dos parâmetros do MCUSUM obtidos via MCM x MEI
p=2
p=3
p=4
d k ARLo=200 MCM MEI MCM MEI MCM MEI
0,2 0,1
h
13,054 13,245 16,386 16,562 19,355 19,489
ARL(mín.)
79,12 83,69 87,61 91,26 94,44 96,85
0,4 0,2
h
9,755 9,834 12,261 12,338 14,542 14,604
ARL(mín.)
35,86 36,98 40,73 41,85 45,00 45,98
0,6 0,3
h
7,776 7,732 9,761 9,718 11,583 11,548
ARL(mín.)
20,82 20,40 23,71 23,28 26,34 25,97
0,8 0,4
h
6,449 6,402 8,087 8,042 9,597 9,561
ARL(mín.)
13,78 13,42 15,66 15,18 17,41 16,92
1 0,5
h
5,491 5,493 6,883 6,885 8,169 8,171
ARL(mín.)
9,90 9,84 11,20 11,00 12,45 12,16
1,2 0,6
h
4,763 4,796 5,970 6,001 7,089 7,112
ARL(mín.)
7,49 7,62 8,46 8,46 9,40 9,30
1,4 0,7
h
4,188 4,209 5,250 5,269 6,239 6,253
ARL(mín.)
5,90 6,03 6,66 6,73 7,38 7,42
1,6 0,8
h
3,722 3,704 4,667 4,650 5,551 5,541
ARL(mín.)
4,80 4,83 5,40 5,50 5,98 6,12
1,8 1,9
h
3,334 3,295 4,183 4,148 4,980 4,961
ARL(mín.)
3,99 3,94 4,48 4,64 4,96 5,23
2 1
h
3,008 3,010 3,775 3,777 4,499 4,501
ARL(mín.)
3,39 3,36 3,79 4,07 4,19 4,62
Como se pode verificar, a combinação ótima (k,h) associada ao ARL mínimo obtido via MEI
para p=2, 3 e 4 e com mesmo ARL
o
=200 cujos valores conforme tabela 4.4 apresentam uma
certa similaridade com os valores desses parâmetros obtidos via MCM nas mesmas condições.
. Uma análise de sensibilidade do gráfico de controle MCUSUM é efetuada para p=2
variáveis e n=1 com uma aproximação de ARL
o
´s selecionando-se um conjunto de valores de
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 76
___________________________________________________________________________________________
referência k= 0,2, 0,35 0,50 ,0,65 e 0,80. Usando aproximação via Método de Equação
Integral obtém-se os limites de controle deste gráfico 9,834, 6,997, 5,493, 4,492 e 3,704.
Uma vez determinado estes valores para ARL
o
=200 quando o processo está sob controle, os
ARL´s para vários tamanhos (amplitudes) de mudança, d quando o processo está fora de
controle são estimados neste trabalho via interpolação polinomial cujos valores conforme
tabela 4.5.
Tabela 4.5 Análise de Sensibilidade: Valores de k e h para o ARL de 200 com p=2 e n=1
quando o processo está sob controle e os valores estimados para o ARL quando o processo está
fora de controle.
k = 0,20 k = 0,35 k = 0,50 k = 0,65 k = 0,80
d
h =
9,834 h = 6,997 h = 5,493 h = 4,492 h = 3,704
0,10 138,38 138,11 136,47 138,24 138,52
0,20 87,28 86,63 85,36 87,40 89,42
0,30 56,08 55,74 54,96 56,15 57,07
0,40 37,86 37,72 37,25 37,87 38,07
0,50 27,13 27,08 26,76 27,11 27,06
0,60 20,58 20,56 20,32 20,55 20,47
0,70 16,38 16,37 16,18 16,36 16,30
0,80 13,55 13,53 13,37 13,53 13,50
0,90 11,52 11,50 11,36 11,50 11,50
1,00 9,98 9,96 9,84 9,97 9,99
1,10 8,76 8,74 8,64 8,75 8,78
1,20 7,75 7,73 7,64 7,74 7,77
1,30 6,88 6,86 6,79 6,88 6,90
1,40 6,12 6,11 6,04 6,12 6,14
1,50 5,46 5,45 5,39 5,46 5,47
1,60 4,88 4,87 4,82 4,88 4,89
1,70 4,39 4,38 4,33 4,38 4,39
1,80 3,98 3,97 3,93 3,97 3,97
1,90 3,65 3,64 3,60 3,64 3,65
2,00 3,41 3,40 3,36 3,40 3,41
Conforme tabela 4.5, observa-se que o gráfico ótimo é tão sensível quanto os demais gráficos
MCUSUM para tamanhos de mudança, d entre d=0,8 até d=2,0 considerados suficientemente
importantes para serem rapidamente detectadas. Os valores obtidos indicam que em d=1 a
combinação proferida (k,h) capaz de produzir um gráfico MCUSUM ótimo é k=0,50 e
h=5,493.
Uma representação gráfica (Curvas de ARL, em escala logarítmica) ilustra para vários
tamanhos de mudança do vetor de médias os resultados obtidos para os principais parâmetros
do gráfico MCUSUM via MEI (tabelas 4.1, 4.2 e 4.3) conforme figura 4.1.
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 77
___________________________________________________________________________________________
Método da Equação Integral ( MEI )
Gráfico: MCUSUM
Curvas de ARL para diferentes tamanhos de mudança (d)
n=1 e ARLo=200
1
10
100
1000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Mudança no Vetor de Médias (d)
ARL
p = 2 p = 3 p = 4
Método da Equação Integral ( MEI )
Gráfico: MCUSUM
Curvas de ARL para diferentes tamanhos de mudança (d)
n=1 e ARLo=1000
1
10
100
1000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Mudança no Vetor de Médias (d)
ARL
p = 2 p = 3 p = 4
Figura 4.1 Curvas de ARL do gráfico MCUSUM para n=1 e ARL
o
de 200, 500 e 1000
Método da Equação Integral ( MEI )
Gráfico: MCUSUM
Curvas de ARL para diferentes tamanhos de mudança (d)
n=1 e ARLo=500
1
10
100
1000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Mudança no Vetor de Médias (d)
ARL
p = 2 p = 3 p = 4
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 78
___________________________________________________________________________________________
Conforme figura 4.1, o valor de ARL diminui conforme a amplitude da mudança a ser
detectada aumenta. Além disso, conclui-se que o gráfico de controle MCUSUM bivariado é
mais sensível para amplitudes de mudança do vetor de médias,
1
d
e que a medida que
aumenta o número de variáveis esta sensibilidade é reduzida.
O desempenho de ARL (em escala logarítmica) para vários tamanhos (amplitudes) de
mudança do vetor de médias dos principais gráficos de controle multivariados T
2
de Hotelling,
MCUSUM e MEWMA para p=2, n=1 e ARL
o
=200 conforme figura 4.2.
Desempenho de ARL - MCUSUM, MEWMA e T2 de Hotelling
p = 2, n = 1 e ARLo = 200
1
10
100
1000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Mudança no Vetor de Médias (Distância de Mahalanobis)
ARL
MEWMA - Lowry et al, 1992 (Simulação)*
T2 Hotelling - Lowry et al, 1992 (Simulação)*
MCUSUM (Método da Equação Integral)
Fonte: * Lowry et al (1992
)
Figura 4.2 Desempenho de ARL dos gráficos MCUSUM , MEWMA e T
2
de Hotelling
Como se pode observar, o gráfico T
2
de Hotelling é mais sensível para grandes mudanças no
vetor de médias do processo. No entanto, para pequenas mudanças os gráficos MCUSUM e
MEWMA são mais sensíveis. A diferença existente entre o desempenho destes dois gráficos
para esta situação (quando p=2 variáveis) é considerada significativa conforme figura 4.2 para
tamanhos de mudança
1
d
, onde o gráfico MCUSUM é mais sensível.
O desempenho de ARL do gráfico MCUSUM (Crosier,1988) para vários tamanhos
de mudança do vetor de médias decorrente da aplicação do Método de Simulação (SIM),
Método de Cadeias de Markov e o presente Método de Equação Integral (MEI) proposto neste
trabalho conforme figura 4.3.
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 79
___________________________________________________________________________________________
Desempenho de ARL(mínimo) - MCUSUM (p=2, n = 1 e ARLo = 200)
1
10
100
1000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Mudança no Vetor de Médias (Distância de Mahalanobis)
ARL
Lowry et al, 1992 (SIM)* 28,80 9,35 5,94 4,20 3,26 2,78
Lee e Khoo, 2006 (MCM)* 26,75 9,90 5,30 3,39 - -
Proposta deste trabalho (MEI) 26,76 9,84 5,39 3,36 3,13 2,82
Mudança no Vetor de Médias
(d
)
0,5 1 1,5 2 2,5 3
Fontes : *Low ry et al, 1992
*Lee e Khoo, 2006
Figura 4.3 Desempenho de ARL do gráfico MCUSUM com a aplicação de SIM, MCM e MEI
Conforme figura 4.3, os métodos numéricos MEI e MCM fornecem melhores resultados para
aproximação de ARL que os tradicionais métodos de simulação. Esta diferença considerada
significativa ocorre entre os tamanhos de mudança, d=1 e d=2,5.
4.5 Projeto estatístico ótimo para um gráfico MCUSUM baseado em ARL e sob a ótica
de regiões de máxima e mínima potência
Um procedimento simples baseado em ARL pode ser desenvolvido para o projeto
estatístico ótimo de um gráfico MCUSUM. Gan (1991,1992) adaptou o procedimento do
projeto ótimo do gráfico EWMA univariado de Crowder (1989) que contém quatro etapas a
um gráfico CUSUM univariado baseado em ARL e MRL. Lee e Khoo (2006) propõem um
procedimento também com quatro etapas como uma extensão multivariada do gráfico
CUSUM univariado de Gan (1991).
Um procedimento simples baseado em ARL pode ser desenvolvido para o projeto
estatístico ótimo de um gráfico MCUSUM. Gan (1991,1992) adaptou o procedimento que
contém quatro etapas do projeto ótimo de um gráfico EWMA univariado de Crowder (1989) a
um gráfico CUSUM univariado baseado em ARL e MRL. Lee e Khoo (2006) propõem um
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 80
___________________________________________________________________________________________
procedimento também com quatro etapas como uma extensão multivariada para o projeto
ótimo do gráfico CUSUM univariado de Gan (1991).
Neste trabalho aplica-se o procedimento para projetar estatisticamente o gráfico
MCUSUM ótimo sugerido por Lee e Khoo (2006), porém com a proposta de adicionar ao
algoritmo de procedimentos uma etapa extra que contemple a otimização de parâmetros
suficiente para maximizar a capacidade de detecção de mudanças reais deste gráfico. Esta
etapa extra se constitui como uma alternativa de avaliação prévia para otimizar os parâmetros
do gráfico MCUSUM baseado em ARL e sob a ótica de regiões do gráfico que apresentam
uma elevada potência. Isso, é imprescindível para detectar no processo mudanças consideradas
importantes. Com esta alternativa, torna-se possível detectar mudanças significativas, e que,
simultaneamente, apresente uma probabilidade de falso alarme realmente baixa quando se
produzem mudanças cuja detecção não seja de interesse prático. Este procedimento alternativo
com a inclusão desta nova etapa envolve a análise de regiões de máxima e mínima potência e
se constitui numa extensão multivariada do projeto estatístico de gráficos de controle de
qualidade univariado proposto por Woodall (1985). Para isso, propõe-se neste trabalho a
função perda multivariada de Taguchi (Teeravaraprug and Cho, 2002) para determinar
utilizando a ferramenta do solver do MS-Excel os valores dos pontos ótimos A e B que
delimitam as regiões de máxima e mínima potência do gráfico MCUSUM.
Diante destas considerações, propõe-se um algoritmo cujos procedimentos incluem
esta etapa complementar que é algo ainda não disponível na literatura para o gráfico de
controle MCUSUM. Portanto, as etapas para o desenvolvimento do projeto estatístico para
otimizar os parâmetros do gráfico MCUSUM propostas neste trabalho conforme a seguir:
Etapa 1: Escolher o menor ARL
o
aceitável.
Etapa 2: Decidir o menor deslocamento (tamanho de mudança) aceitável, d no vetor de
médias do processo que é extremamente importante ser detectado rapidamente. Para isso, é
fundamental escolher corretamente o parâmetro ótimo do gráfico, k capaz de produzir o ARL
mínimo para o deslocamento do vetor de médias, d, baseado no ARL
o
especificado
na etapa 1.
Etapa 3 (Proposta): Aplicar o método baseado na função perda multivariada de Taguchi que
neste trabalho é utilizada para determinar os pontos ótimos A e B que delimitam as regiões de
máxima e mínima potência. Com isso, é possível determinar a região sob controle,
Ad
e a
região fora de controle,
Bd
onde devemos detectar o mais rápido possível uma mudança.
Além disso, para quantificar a distância (desvio) entre o vetor de médias das características da
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 81
___________________________________________________________________________________________
qualidade e o vetor de valores nominais dessas características utiliza-se a Distância de
Mahalanobis, d onde o interesse neste trabalho é sem dúvida minimizar esta distância, d
implementando um modelo matemático para obter o ponto ótimo, ou seja, o ponto que tenha
um deslocamento (distância) mínimo em relação ao vetor de valores nominais.
Etapa 4: Conhecido o valor ótimo de k, determinar o limite de controle h, de modo que o
gráfico MCUSUM produza o ARL
o
especificado na etapa 1.
Etapa 5 Análise de sensibilidade de desempenho para comparar o ARL fora de controle para
a combinação ótima de k e de h para outras escolhas de k e de h para produzir o mesmo ARL
o
.
A combinação ótima de k e de h capaz de produzir o desempenho total, ou seja, o mais
desejável possível em termos de ARL são selecionados para a implementação.
A figura 4.4 ilustra de forma reduzida as etapas para o desenvolvimento deste projeto
estatístico aplicado ao gráfico MCUSUM.
Figura 4.4 Resumo das etapas para o desenvolvimento do projeto estat
ístico do MCUSUM
Escolher o menor
ARL
o
aceitável
1
4
3
Decidir o menor
tamanho de
mudança (d)
Determinar o
limite superior de
controle (h)
Aplicar o método da função perda
multivariada de Taguchi para
otimizar os parâmetros do gráfico
MCUSUM baseado em ARL e sob
a ótica de regiões de máxima e
mínima potência
2
Realizar análise de
sensibilidade para
avaliar desempenho
5
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 82
___________________________________________________________________________________________
4.5.1 Exemplo de aplicação para o projeto estatístico ótimo do gráfico MCUSUM
baseado em ARL e sob ótica de regiões de máxima e mínima potência
Num determinado processo de usinagem de eixos, o diâmetro interno e externo são as
características da qualidade de interesse monitoradas estatisticamente pelo gráfico de controle
MCUSUM. Os valores nominais (T) para estas características da qualidade, com matriz de
covariâncias
e matriz de coeficientes de perda K deste processo são dados por.
20
8
T
25,00
049,0
e
25,0
5,03
K
Supomos que a política de recursos financeiros para a produtividade desta empresa considera
um custo ou perda depreciável de 0,1 u.m e um custo ou perda inadmissível de 2 u.m.
(unidades monetárias). Como o exemplo trata da mudança de valor do vetor de médias de um
processo segundo a ótica de análise de regiões de máxima e mínima potência, determinam-se
os valores dos pontos A e B que delimitam estas regiões conforme figura 4.5.
1
10
100
1000
0 3
Mudança no vetor de médias (Distância de Mahalanobis)
ARL
MCUSUM (ARLo=200)
T2 de Hotelling (ARLo=200)
BA
Figura 4.5 Regiões de máxima e mínima potência de um gráfico de controle
A região sob controle, [0,A] é aquela região onde não há interesse em detectar alguma
mudança, que se estende de d=0 até d=A (perda depreciável). A região, (A,B) compreendida
entre d=A até d=B é a região onde é indiferente detectar ou não uma mudança no processo
e a região fora de controle, [B,
) corresponde a região em que deseja-se detectar alguma
mudança em d=B, a partir do qual se requer a máxima eficácia de detecção, isto é, um ARL
mínimo.
A função perda multivariada de Taguchi segundo Kapur e Cho (1996) pode ser
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 83
___________________________________________________________________________________________
expressa como
p
i
i
j
jjiiijp
TyTykyyyL
1 1
2,1
))((),.....,(
(4.1)
onde
),.......,,(
21 p
yyyL
é a perda transmitida à sociedade e
jiij
kk
é a constante de
proporcionalidade que especifica os custos dos desvios entre as características da qualidade e
seus valores nominais. Por exemplo,
11
k
é o custo individual por unidade ocasionado pela
característica da qualidade y
1
por
desviar-se de T
1
e
12
k
o custo por unidade adicional ocorrido
quando as características y
1
e y
2
estão simultaneamente fora de seus valores nominais T
1
e T
2
.
A equação (4.1) pode ser escrita na forma matricial como )()´()( TyKTyyL
.
A função perda multivariada
),(
21
yyL
para os dados deste exemplo é:
))((2)()(),(
221112
2
2222
2
111121
TyTykTykTykyyL
)20)(8()20(2)8(3),(
21
2
2
2
121
yyyyyyL
1152886823),(
2121
2
2
2
121
yyyyyyyyL
Na figura 4.6, observa-se a superfície gerada pela função perda bivariada com um mínimo nos
valores nominais T
1
=8 e T
2
=20 e as linhas de contorno ou curvas de nível.
Figura 4.6 Função perda bivariada para as características da qualidade do exemplo de aplicação
Agora, determina-se a distância de Mahalanobis (medida de distância entre dois vetores), d
que neste exemplo é a distância entre o vetor de valores obtido Y=(y
1
,y
2
) e o vetor de valores
nominais T.
)()´(
1
TYTY
d
(4.2)
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 84
___________________________________________________________________________________________
Esta é portanto, a forma utilizada para quantificar o desvio ou a descentralização produzida
sobre o valor nominal, ou seja, o desvio (distância) entre o vetor de valores das características
da qualidade e o vetor de valores nominais. Denomina-se por exemplo, como d
A
o desvio
entre o vetor de valores das características da qualidade observadas no eixo usinado em A, Y e
o vetor de valores nominais (alvo) T. O interesse é sem dúvida obter o ponto que tenha um
desvio mínimo em relação a T. Neste caso, trata-se de minimizar a distância de Mahalanobis,
d daqueles pontos que se encontram sobre a linha de contorno (curvas de nível).
Um modelo matemático em ambiente MS-Excel (usando a ferramenta Solver) é
aplicado para determinar o ponto que minimize a distância d, ou seja, o menor desvio em
relação ao valor nominal T.
Para minimizar a Distância de Mahalanobis, d daqueles pontos que se encontram
sobre as linhas de contorno, aplica-se a equação 4.2. Assim, para os dados do exemplo temos:
2
1
2
2
21
2
1
)1604624,1730656,32041,2(),( yyyyyxd
A região fora de controle [B,
) em que há interesse em detectar mudanças no vetor de
médias do processo em d=B (distância associada a perda considerada como inadequada, neste
exemplo, d = 2,0). O procedimento utilizado para determinar o valor do ponto B a seguir:
O procedimento de minimização: Ponto B (Resolução do Modelo Matemático):
2
1
2
2
21
2
1
)1604624,1730656,32041,2(),( yyyyyxdMin
Dado:
0,2)20)(8()20(2)8(3
21
2
2
2
1
yyyy
,0
1
y
,0
2
y
Minimizar (d, x, y) =
901,19
204,7
Resolução de d:
x= 7,204
y=19,901
d(x,y) = 1,15 (ponto B)
)20(
40
0041,2
)´8(),(
21
yyyxd
2
1
2
2
21
2
1
)1604624,1730656,32041,2(),( yyyyyxd
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 85
___________________________________________________________________________________________
Desta forma, encontra-se o desvio mínimo da região fora de controle a partir do qual é
necessário detectar qualquer mudança no vetor de médias que é d=1,15.
No entanto, a região sob controle [0,A] em que não há interesse em detectar alguma
mudança no vetor de
médias
do processo compreendida entre d=0 até d=A (distância associada
à perda considerada depreciável, neste exemplo, d=0,1) cujo procedimento utilizado para
determinar o valor do ponto A conforme a seguir:
O procedimento de minimização: Ponto A (Resolução do Modelo Matemático):
2
1
2
2
21
2
1
)1604624,1730656,32041,2(),( yyyyyxdMin
Dado:
1,0)20)(8()20(2)8(3
21
2
2
2
1
yyyy
,0
1
y
,0
2
y
Minimizar (d, x, y) =
022,20
178,8
Resolução de d:
x= 8,178
y=20,022
2
1
2
2
21
2
1
)1604624,1730656,32041,2(),( yyyyyxd
d(x,y) = 0,26 (ponto A)
Desta forma, encontra-se o desvio máximo da região sob controle que é d=0,26.
Logo os pontos que delimitam as regiões de máxima e mínima potência do gráfico de controle
MCUSUM para este exemplo são A= 0,26 e B=1,15, conforme figura 4.7.
Os resultados obtidos com a resolução deste modelo matemático desenvolvido em
ambiente MS-Excel com a aplicação da ferramenta “solver” para otimizar os pontos de
máxima e mínima potência para os dados deste exemplo de aplicação tais como os relatórios
de respostas, de sensibilidade e de limites conforme Apêndice I deste trabalho.
A figura 4.7 ilustra os valores dos pontos A e B que delimitam as regiões de máxima e
mínima potência determinados com o modelo matemático proposto para os dados deste
exemplo.
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 86
___________________________________________________________________________________________
1
10
100
1000
0 3
Mudança no vetor de médias (Distância de Mahalanobis)
ARL
MCUSUM (ARLo=200) T2 de Hotelling (ARLo=200)
1,150,26
Figura 4.7 Regiões de máxima e mínima potência do MCUSUM do exemplo de aplicação
Conforme figura 4.7, observa-se que o gráfico MCUSUM apresenta uma sensibilidade
considerável em relação ao gráfico T
2
de Hotelling para tamanhos de mudança, d do vetor de
médias entre d=0,26 e d=1,15. No entanto, para tamanhos de mudança, d >2,5 observa-se que
o gráfico T
2
de Hotelling é mais sensível que o gráfico MCUSUM. Portanto, os pontos A e B
que delimitam as regiões de máxima e mínima potência deste gráfico assumem valores
maiores que 2,5.
Conhecidos os pontos ótimos A e B do gráfico que delimitam as regiões de máxima e
mínima potência do gráfico conforme etapa 3 proposta para o algoritmo de procedimentos do
projeto estatístico ótimo do gráfico MCUSUM. Neste trabalho, conclui-se que para este
exemplo o tamanho (amplitude) da mudança desejado é d=1,15 (d=B). Portanto, o interesse
neste caso, deve estar focado em detectar mudanças de vetor de médias do processo para
15,1
d (
15,1
B
d
). Selecionando os valores ótimos para os parâmetros do gráfico MCUSUM
obtidos via Método de Equação Integral com Quadratura Gaussiana proposto neste trabalho,
conforme tabelas 4.1, 4.2 e 4.3, nota-se que não existe o valor tabelado para o tamanho
(amplitude) de mudança d=1,15. No entanto, conforme proposta deste trabalho estes valores
para os parâmetros que otimizam o gráfico MCUSUM podem ser facilmente obtidos
utilizando-se o Programa Computacional 1 conforme tutorial apresentado no Apêndice K.
Então, para os dados deste exemplo de aplicação se desejarmos um ARL
o
= 200 para estas
duas características da qualidade utilizando uma aproximação com 53 pontos de quadratura
para o gráfico MCUSUM com tamanho de amostra n=1, obtém-se os seguintes parâmetros
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 87
___________________________________________________________________________________________
para o ARLo=200, p=2, d=1,15. Os dados de entrada na caixa de diálogo para a execução do
Programa Computacional 1 conforme figura 4.8.
Figura 4.8 Caixa de diálogo com os dados de entrada do exemplo de aplicação
Resultados (de saída) gerados após a execução do programa para os dados deste exemplo de
aplicação conforme a seguir :
c>> calculodearl
QUADRATURA GAUSSIANA
GRAFICO DE CONTROLE MULTIVARIADO DE SOMA ACUMULADA (MCUSUM)
UNVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Custodio da Cunha Alves [email protected]
***** RESULTADOS PARA 2 variaveis e ARLo = 200 *****
k h integral ARL
0.575 4.957181329240516 10.539966470625162 8.098000749739537
FIM!! Se deseja parar tecle q:
Conforme resultados obtidos a partir da execução do Programa Computacional 1 para os dados
deste exemplo de aplicação, conclui-se que a melhor combinação de parâmetros k com h capaz
de produzir o ARL
mínimo
= 8,098 sob a ótica de regiões de máxima e mínima potência é k=
0,575 e h= 4,957.
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 88
___________________________________________________________________________________________
4.6 Aplicação da metodologia proposta utilizando dados reais de um processo de
usinagem
A metodologia proposta neste trabalho é aplicada a um conjunto de dados reais de um
processo de usinagem da Fundição Tupy Ltda localizada na cidade de Joinville-SC. Estes
mesmos dados foram autorizados para Soares (2006) comprovar a validade prática de um
modelo proposto em sua em sua dissertação de mestrado que inclui o cálculo de índice de
capacidade multivariado em uma linha de usinagem.
4.6.1 Apresentação da empresa
A Fundição Tupy Ltda com sede própria e principal parque fabril na cidade de
Joinville foi fundada em 1938 cuja produção inicial na época se restringia a fabricar tão
somente artefatos de ferro utilizando os conhecimentos rudimentares de fundição. No entanto,
ao longo dos anos a empresa seguiu os passos da industrialização do Brasil e da cidade de
Joinville onde a partir da década de 50 com o desenvolvimento da indústria automotiva
brasileira passou a fabricar peças especiais para este segmento e, a partir de 1995 inaugura em
Joinville a unidade de blocos e cabeçotes de motores. Parceira das indústrias automotivas, a
Tupy hoje concentra 75% de sua produção destinada ao setor automobilístico com grande
destaque para as exportações. Atualmente, a empresa desenvolve e fabrica componentes em
ferro fundido para os setores automotivo, ferroviário e de máquinas e equipamentos. Além
disso, produz vários tipos de conexões de ferro maleável para diversas modalidades de
aplicação. Nas últimas décadas a empresa dobrou sua capacidade produtiva e hoje se posiciona
entre as cinco maiores fundições do planeta.
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 89
___________________________________________________________________________________________
4.6.2 Descrição do produto selecionado para análise estatística multivariada do processo
de usinagem
O produto selecionado para a aplicação da metodologia proposta via análise
estatística multivariada do processo de usinagem é um bloco de motor para veículo de passeio
que é produzido em ferro fundido e posteriormente usinado. Para preservar as informações
sigilosas referentes ao projeto do produto utilizado no trabalho não é apresentado o desenho
deste, mas tão somente um esboço considerado essencial para o entendimento das
características da qualidade do processo de usinagem propostas nesta tese para serem
monitoradas via gráfico de controle MCUSUM conforme figura 4.9.
Conforme figura 4.9 a posição do centro de cada furo é definida pela distância aos
eixos X:Y com tolerância delimitada por um cilindro de diâmetro de 0,16 mm. O eixo de cada
cilindro é perpendicular ao plano formado pelos eixos X e Y. O centro do furo 1 apresenta
como especificação a localização de 5 mm em relação a X, 103,25 mm em relação a Y e
distância de 194,27 mm em relação ao centro do furo 2. A especificação da região de
tolerância do processo nas direções dos eixos x e y, é definida pela equação:
22)(__ posicionaltolerânciaeixonotolerância
(4.1)
Assim, a
0566,022)(__ posicionaltolerânciaeixonotolerância
. Desta forma, a
especificação no eixo X é 103,25 +/- 0,0566 mm e no eixo Y é 5 +/- 0,0566 mm. Estes valores
delimitam a zona de tolerância quadrada das coordenadas X e Y.
X
Y
X
2
Y
2
Furo 2
Furo 1
Figura 4.9 Esboço dos furos 1 e 2 do bloco de motor para veículo de passeio
D
1
,
2
Y
1
X
1
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 90
___________________________________________________________________________________________
4.6.3 Descrição do processo selecionado para o monitoramento de características da
qualidade via gráfico MCUSUM
O processo de furação do bloco de motor em questão é realizado em duas etapas de
operação: a operação pré-furo e a operação de furação de acabamento. Nesse processo os dois
furos 1 e 2 do bloco são referências para o posicionamento da peça no dispositivo de fixação
a cada operação de usinagem realizada em diferentes máquinas. Na primeira operação de
usinagem é realizada a furação em desbaste das guias do bloco com a utilização de broca de
metal duro e a alargador. Nesta etapa inicial do processo o objetivo é o limite inferior de
especificação do diâmetro do furo enquanto que na operação furação de acabamento o
objetivo é o valor nominal. Após as operações iniciais é realizada a usinagem de acabamento
do furo guia do bloco acabado utilizando-se barra de mandrilar com guias de cermet. O
objetivo nesta operação é tanto o nominal do diâmetro quanto o nominal do posicional. O
posicional é utilizado como guia para em seguida serem realizadas as operações de
acabamento na peça. O fluxo resumido para a obtenção do bloco de motor deste processo de
usinagem é esquematizado conforme figura 4.10.
A metodologia proposta neste trabalho é aplicada apenas para os dados referentes a
operação furação de acabamento do furo 1. As características da qualidade monitoradas
Início
Pré
-
furo das
guias do bloco
Bibliográfica
Operações iniciais
de usinagem
Furação das guias
do bloco acabado
Figura 4.10 Fluxo resumido do processo de usinagem do bloco de motor
Operações de
usinagem de
acabamento
Fim
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 91
___________________________________________________________________________________________
via gráfico MCUSUM no processo furação de acabamento proposto neste trabalho conforme
figura 4.9 são:
1
X
: posicional do furo 1 em relação a coordenada X;
1
Y
: posicional do furo 1 em relação a coordenada Y;
2,1
D
: distância entre os centros dos furos 1 e 2 ;
Para monitorar o processo furação de acabamento com duas variáveis ou
características da qualidade utilizou-se as variáveis
1
X
e
1
Y
e, para o estudo de três variáveis
incluiu-se uma terceira variável que é a distância
2,1
D
entre os furos.
A escolha deste processo se justifica dentre os demais por se tratar de um processo
onde se pode monitorar múltiplas características da qualidade que apresentam distribuição
normal multivariada e com pequenas variações para o vetor de médias do processo. Além
disso, a empresa possui maior quantidade de dados históricos sobre o controle deste processo,
por estar utilizando o CEP de forma consolidada há mais tempo; tais dados são essenciais para
o projeto estatístico do gráfico de controle MCUSUM.
4.6.4 Exploração dos dados do processo para aplicação da metodologia proposta
A exploração preliminar dos dados das características da qualidade em estudo neste
processo é conduzida por um algoritmo próprio para CEP multivariado cujos procedimentos
incluem a verificação de certos pressupostos como a verificação de suposição de
multinormalidade dos dados quanto à existência de autocorrelação e estabilidade estatística
(inexistência de causas especiais). A validade dessas três suposições para avaliar os dados do
processo em questão foram já verificadas por Soares (2006) em sua dissertação de mestrado
para cálculo de índice de capacidade multivariado. No entanto, alguns comentários extras que
justificam a validade de tais pressupostos são ressaltados ao longo deste capítulo tendo como
referencial teórico alguns tópicos descritos no Apêndice C e D deste trabalho.
Para facilitar o entendimento da metodologia proposta cujo estudo envolve a
otimização dos parâmetros para o gráfico MCUSUM no processo furação de acabamento do
furo1, denominamos o processo de usinagem neste trabalho conforme o número de variáveis
monitoradas simultaneamente.
PROCESSO: XY
É a denominação dada a este processo que envolve o monitoramento simultâneo de duas
características da qualidade (X
1
e Y
1
).
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 92
___________________________________________________________________________________________
X
1
(posicional do furo1 em relação a coordenada X) cuja especificação é
08,05
mm (Valor
Nominal)
Y
1
(posicional do furo1 em relação a coordenada Y) cuja especificação é
08,025,103
mm
(Valor Nominal)
Cada uma destas características da qualidade é avaliada a partir de amostras de tamanho n=1.
PROCESSO: XYD
É a denominação dada a este processo que envolve o monitoramento simultâneo de três
características da qualidade (X
1
, Y
1
e D
12
), ou seja, as duas características da qualidade do
processo XY com a inclusão de uma terceira variável ou característica da qualidade (D
12
- distância entre os centros dos furos 1 e 2) também avaliada a partir de amostras de tamanho
n=1 com o valor nominal de
02,027,194
mm.
Os dados para a análise estatística multivariada destes dois processos foram coletados
durante a etapa de aprovação do PPAP (Processo de Aprovação de Produção da Peça) e
consistiu na produção seqüencial das peças seguido de medição logo após a operação em uma
máquina de medição de coordenadas. Nesta etapa iniciou-se a produção de 34 peças, de
forma a garantir que no mínimo 30 peças estivessem aprovadas para envio ao cliente. Ao final
da produção foram obtidas 31 peças. Os dados das 31 peças (blocos de motor) para as três
características da qualidade por ordem de coleta da amostra conforme Anexo A. Neste
trabalho, para facilitar a interpretação dos dados no desenvolvimento do projeto estatístico
ótimo do gráfico MCUSUM utiliza-se o valor da observação individual em cada uma das três
características da qualidade, enquanto Soares (2006) utilizou o desvio de cada observação em
relação ao valor nominal das características da qualidade cujo interesse foi o cálculo de
índices de capacidade.
4.7 Análise estatística multivariada dos dados: Processo XY
A análise estatística multivariada preliminar dos dados do processo furação de
acabamento do furo 1 para as duas características da qualidade X
1
e Y
1
(processo XY) inclui
inicialmente a verificação de suposição de multinormalidade dos dados e a existência de
autocorrelação.
4.7.1 Normalidade
Para a análise estatística multivariada é fundamental que os dados sigam uma
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 93
___________________________________________________________________________________________
distribuição normal multivariada, quando não exatamente, pelo menos, aproximadamente. Se
tal fato for verificado, ou seja, os dados forem distribuídos segundo uma distribuição normal
multivariada, evita-se o problema de procurar procedimentos de transformação de variáveis,
que na sua maioria são robustos, de tal forma a normalizar o conjunto de dados para, a partir
daí, trabalhar-se com os dados multivariados normalmente distribuídos. A aplicação de
métodos gráficos tais como o gráfico de probabilidade qui-quadrado (Q-Q plot) podem ser
utilizados para auxiliarem na verificação de normalidade multivariada. Este método gráfico
se constitui em determinar se os dados das amostras estão de acordo com a suposta
distribuição, baseado em um exame visual subjetivo dos dados. Além disso, um outro
procedimento é utilizado neste trabalho para detecção de normalidade multivariada
relacionado aos testes de hipóteses proposto por Mardia (1970,1974) baseados nos
coeficientes de assimetria e curtose da distribuição normal multivariada. Maiores detalhes
sobre os métodos práticos de verificação da hipótese de normalidade aplicados neste trabalho
conforme Apêndice C.
Examinando visualmente os histogramas das variáveis X
1
e Y
1
deste processo
observa-se conforme figura 4.11 que individualmente ambas as características da qualidade
(variáveis) X
1
e Y
1
seguem uma distribuição normal.
V ar iá v e l X 1
Frequencia
5,0 45,0 25 ,0 04 ,9 8
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
M ea n 5, 0 12
S tD ev 0,01735
N 31
H is to g r a m a da v ar iá v el X 1
No r m a lida de
V a r iá v e l Y 1
Frequencia
1 0 3 ,2 841 0 3 ,2 7210 3 ,2 6 010 3 ,2 4 81 0 3,2 3 61 0 3 , 2 2 4
6
5
4
3
2
1
0
M ea n 10 3,3
S tD e v 0 ,0 1 40 2
N 31
H is to gr a m a d a v a r iá v e l Y 1
No r m a lid a d e
Figura 4.11 Histogramas das características da qualidade X
1
e Y
1
(
Processo XY)
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 94
___________________________________________________________________________________________
Agora, verificando visualmente a suposição de normalidade multivariada através do gráfico de
probabilidade qui-quadrado (Q-Q plot) desenvolvido neste trabalho para dos dados deste
processo (variáveis X
1
e Y
1
) em ambiente MS-Excel cuja representação gráfica conforme
figura 4.12.
Q-Q Plot
0
3
6
9
0 1 2 3 4 5 6 7
d^2
Qui-Quadrado
Figura 4.12 Gráfico de probabilidade qui-quadrado (Q-Q plot) para os dados do processo XY
Podemos constatar visualmente que a disposição dos pontos indica a proximidade em relação
à reta, o que nos leva a não rejeitar a suposição de normalidade multivariada. Além disso,
analisando a multinormalidade dos dados deste processo segundo os testes de hipóteses de
Mardia baseados nos coeficientes de assimetria e curtose conforme resultados obtidos via
Programa Computacional 3 indicam que o valor do percentil tanto para
p,1
quanto para
p,2
são suficientes para aceitar a hipótese de normalidade. Desta forma, pode-se afirmar que as
observações multivariadas deste processo se distribuem segundo uma multinormal.
4.7.2 Autocorrelação
Para que o gráfico MCUSUM atinja um desempenho razoável no monitoramento
simultâneo das variáveis
1
X
e
1
Y
é necessário que a suposição de independência estatística
entre as observações dos dados gerados pelo processo XY em questão seja satisfatória.
Conforme literatura existente, muitos autores aplicam um modelo apropriado de séries
temporais às observações para trabalhar com dados autocorrelacionados. Segundo Mason
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 95
___________________________________________________________________________________________
(1997, 2002) e Noorossana e Vaghefi (2006) o ajuste de um modelo de séries temporais
para dados multivariados também é possível.
Para verificar a presença de autocorrelação dos dados deste processo aplicou-se a
metodologia desenvolvida tanto por Mason (1997, 2002) quanto por e Noorossana e Vaghefi
(2006) que sugere aplicações de séries temporais envolvendo a análise de função de
autocorrelação (correlogramas) para medir o grau de autocorrelação em cada variável. Além
disso, para avaliar o efeito comparativo da análise de correlogramas propõem também a
aplicação de técnicas de estatística inferencial tais como Análise de Variância (ANOVA) para
o desenvolvimento de um modelo de Análise de Regressão AR(1) da forma:
erroybby
tot
11
. As observações geradas por AR(1) são utilizadas para investigar o
efeito da autocorrelação no desempenho do gráfico de controle.
A figura 4.13 ilustra os correlogramas para as características da qualidade X
1
e Y
1
deste processo.
Figura 4.13 Correlogramas das características da qualidade X
1
e Y
1
(
Processo XY)
Como se pode observar a função autocorrelação (FAC) tanto da característica da qualidade X
1
quanto da característica da qualidade Y
1
revelam que nenhum coeficiente de correlação é
significativo. Além disso, verificada a adequação do modelo AR(1) e, por ser estacionário,
vale, então a hipótese de estabilidade estatística deste processo.
A fun
ção autocorrelação (FAC) e o comparativo dos correlogramas das variáveis X
1
e
Y
1
com a inferência estatística análise de variância (ANOVA) cujos resultados conforme
figuras 4.14 e 4.15
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 96
___________________________________________________________________________________________
Função Autocorrelação
(FAC)
-
Variáveis X1; Y1
FAC - correlaciona X1(t) e Y1(t+k)
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
-15 0,160 XXXXX
-14 0,084 XXX
-13 -0,021 XX
-12 -0,069 XXX
-11 -0,095 XXX
-10 -0,055 XX
-9 -0,101 XXXX
-8 -0,207 XXXXXX
-7 -0,307 XXXXXXXXX
-6 -0,341 XXXXXXXXXX
-5 -0,393 XXXXXXXXXXX
-4 -0,412 XXXXXXXXXXX
-3 -0,461 XXXXXXXXXXXXX
-2 -0,448 XXXXXXXXXXXX
-1 -0,485 XXXXXXXXXXXXX
0 -0,528 XXXXXXXXXXXXXX
1 -0,433 XXXXXXXXXXXX
2 -0,429 XXXXXXXXXXXX
3 -0,365 XXXXXXXXXX
4 -0,337 XXXXXXXXX
5 -0,095 XXX
6 -0,202 XXXXXX
7 -0,159 XXXXX
8 -0,029 XX
9 -0,021 XX
10 -0,035 XX
11 -0,031 XX
12 0,047 XX
13 0,037 XX
14 0,244 XXXXXXX
15 0,310 XXXXXXXXX
Figura 4.14 Função Autocorrelação (FAC) das variáveis X
1
com Y
1
(Processo XY)
Figura 4.15 Análise de Variância (ANOVA) e Estatística Descritiva para as variáveis X
1
e Y
1
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 97
___________________________________________________________________________________________
Conforme figuras 4.14 e 4.15 pode-se verificar os resultados obtidos da Função
Autocorrelação (FAC) e o efeito comparativo da análise de correlogramas com a Análise de
Variância (ANOVA) que indicam a não existência de autocorrelação nos dados deste
processo. Além disso, os resultados obtidos a partir da Estatística Descritiva revelam a
estabilidade estatística (inexistência de causas especiais de variação conforme medidas de
localização e dispersão obtidas a análise estatística dos dados deste processo).
4.7.3 Otimização dos pontos que delimitam as regiões de máxima e mínima potência do
gráfico MCUSUM para o processo XY
Um método baseado na função perda multivariada de Taguchi e na distância de
Mahalanobis conforme seção 4.5 deste trabalho é proposto para determinar os pontos ótimos
A e B que delimitam as regiões de máxima e mínima potência do gráfico MCUSUM deste
processo. Para otimizar estes pontos aplica-se um modelo matemático desenvolvido em
ambiente MS-Excel onde com o auxílio da ferramenta Solver é possível calcular a menor
distância d, ou seja, encontrar o menor desvio em relação ao valor nominal das características
da qualidade X
1
e Y
1
. Para complementar este procedimento de otimização bem como a
análise estatística multivariada do gráfico MCUSUM para os dados do processo XY, aplica-
se em ambiente Matlab o Programa Computacional 3 proposto na seção 4.3 cujo tutorial
conforme Apêndice K deste trabalho. Os resultados (de saída) dos dados do Processo XY
gerados após a execução deste Programa Computacional 3 encontram-se também no Apêndice
K deste trabalho.
Uma vez determinado a função perda multivariada de Taguchi e a distância de
Mahalanobis utilizam-se os dados obtidos via Programa Computacional 3 para formular um
modelo matemático em ambiente MS-Excel. Na resolução deste modelo matemático utiliza-se
a ferramenta Solver para encontrar os pontos ótimos A e B que delimitam as regiões de
máxima e mínima potência do gráfico MCUSUM. Para a otimização destes pontos é
necessário conhecer a política de recursos financeiros que a empresa direciona a melhoria de
produtividade e qualidade. Para este processo supõe-se que a política de recursos financeiros
da empresa considere um custo ou perda depreciável de 0,0012 u.m. e um custo ou perda
inadmissível de 0,0042 u.m. (unidade monetária).
Assim, o modelo matemático para otimizar os pontos de máxima e mínima potência
do gráfico de controle MCUSUM desenvolvido numa planilha de MS-Excel para os dados do
processo XY conforme figura 4.16.
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 98
___________________________________________________________________________________________
Figura 4.16 Modelo matemático para otimizar os pontos de máxima e mínima potência
Os relatórios de resposta, análise de sensibilidade e de limites deste modelo matemático
conforme Apêndice I.
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 99
___________________________________________________________________________________________
A resolução do modelo matemático (figura 4.16) fornece os pontos de
máxima e mínima potência (A=0,80 e B=1,50) para otimizar o gráfico MCUSUM do processo
XY conforme figura 4.17.
1
10
100
1000
0 3
Mudança no vetor de médias ( Distância de Mahalanobis )
ARL
MCUSUM (ARLo=200) T2 de Hotelling (ARLo=200)
1,500,80
A B
Figura 4.17 Pontos de máxima e mínima potência para otimizar o gráfico MCUSUM
Conhecidos os pontos ótimos A e B do gráfico que delimitam as regiões de
máxima e mínima potência conforme etapa 3 sugerida para o algoritmo de procedimentos do
projeto estatístico ótimo do gráfico MCUSUM (seção 4.5 deste trabalho), conclui-se que para
este processo o tamanho (amplitude) de mudança desejado é d=1,50 (ponto B). Portanto,
nosso interesse neste caso deve estar focado em detectar mudanças de vetor de médias do
processo para 50,1
d . Consultando a tabela 4.1 para (p=2 e ARL
o
=200) para selecionar os
valores dos parâmetros do gráfico MCUSUM obtidos via Método de Equação Integral com
Quadratura Gaussiana proposto neste trabalho, ou utilizando o programa computacional 1,
obtém-se então os parâmetros para projetar o gráfico MCUSUM ótimo deste processo.
Assim, os parâmetros ótimos deste processo determinados para um tamanho (amplitude) de
mudança d=1,50:
k=0,75, h=3,95 cujo desempenho é o ARL
mínimo
= 5,39.
4.7.4 Desenvolvimento do gráfico MCUSUM projetado estatisticamente para o
processo XY
Nas últimas décadas com o avanço da tecnologia programas computacionais
comerciais têm possibilitado um maior desenvolvimento e implantação de métodos
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 100
___________________________________________________________________________________________
estatísticos multivariados na indústria como ferramenta de controle da qualidade. No entanto,
no que diz respeito ao desenvolvimento específico de gráficos de controle multivariados,
pouca atenção tem sido direcionada a atender as especificidades dessas ferramentas.
Felizmente, programas computacionais livres, como por exemplo, o r-project tem se
propagado principalmente no meio acadêmico na última década como uma ferramenta
de computação estatística com uma enorme variedade de funções para análise de dados.
Alves, Henning e Samohyl (2008a) propõem o desenvolvimento de gráficos de controle
multivariados MCUSUM e MEWMA em ambiente R como um procedimento alternativo e
adequado ao usuário para análise estatística de processos multivariados. Destacam, sobretudo
a importância deste recurso computacional livre para complementar algumas funções ainda
não disponíveis na maioria dos softwares comerciais de análise estatística de dados, como por
exemplo, o desenvolvimento do gráfico MCUSUM
Neste trabalho desenvolveu-se uma rotina computacional no pacote GNU R para gerar
o gráfico MCUSUM que é aplicado para monitorar as duas características da qualidade X
1
e
Y
1
do processo XY (furação de acabamento do furo1) conforme Apêndice J.
As telas do R para carregar e executar a rotina do gráfico de controle MCUSUM
conforme figuras 4.18 e 4.19.
Figura 4.18 Tela do R para carregar a rotina do gr
áfico MCUSUM
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 101
___________________________________________________________________________________________
Figura 4.19 Tela do R para executar a rotina do gráfico MCUSUM
O gráfico MCUSUM gerado para os dados do processo XY conforme figura 4.20
Figura 4.20 Gráfico MCUSUM do processo XY( furação de acabamento do furo 1)
Uma análise preliminar deste processo conforme figura 4.20 revela que, aparentemente, se
trata de um processo estável, apesar de indicar uma tendência inicial ascendente (amostras 3 a
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 102
___________________________________________________________________________________________
5), uma queda abrupta (amostra 7), uma nova tendência ascendente (amostras 8 a 10) e uma
queda (amostras 11 a 14). No entanto, a partir da 15ª amostra observa-se que há uma melhoria
do processo cujos pontos demarcados mostram um comportamento aleatório dos valores.
Além disso, pode-se verificar que não há presença de causas especiais de variação já que
todos os pontos se encontram dentro do limite superior de controle, h.
4.8 Análise estatística multivariada dos dados: Processo XYD
A análise estatística multivariada preliminar dos dados do processo furação de
acabamento do furo 1 para as três características da qualidade X
1
, Y
1
e D
12
(Processo XYD)
que envolve agora uma terceira característica da qualidade D
12
(distância entre os centros dos
furos 1 e 2) inclui inicialmente a verificação de suposição de multinormalidade dos dados e a
existência de autocorrelação.
4.8.1 Normalidade
A verificação de normalidade multivariada agora para as três características da
qualidade aplicando tanto o método gráfico de probabilidade qui-quadrado Q-Q Plot quanto
testes de hipóteses baseados nos coeficiente de assimetria e curtose de Mardia, procedimentos
de verificação também propostos anteriormente para as duas primeiras variáveis X
1
e Y
1
.
Maiores detalhes dos métodos práticos de verificação de normalidade multivariada aplicados
neste trabalho conforme Apêndice C.
Como recurso computacional em ambiente Matlab para verificação de normalidade
multivariada além do Programa Computacional 3 desenvolveu-se um outro programa
denominado Teste de Mardia que determina os coeficientes de assimetria e curtose aplicados
nos testes de hipóteses de normalidade multivariada de Mardia. Além disso, este programa
determina também a matriz de covariância, sua inversa e a matriz de correlação. Os dados de
entrada deste programa em ambiente Matlab são transferidos de uma planilha em MS-Excel.
Maiores detalhes deste programa conforme Apêndice K deste trabalho.
Examinando visualmente o histograma das características da qualidade deste processo
X
1
, Y
1
e D
12
observa-se que individualmente estas três variáveis seguem uma distribuição
normal conforme figura 4.21.
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 103
___________________________________________________________________________________________
V a r iá v e l X 1
Frequencia
5 , 0 45 , 0 25 , 0 04 , 9 8
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
M e a n 5 ,0 1 2
S tD e v 0 ,0 1 7 3 5
N 3 1
H i s t o g r a m a d a v a r i á v e l X 1
N o r m a lid a d e
V a r iá v e l Y 1
Frequencia
1 0 3 , 2 8 41 0 3 , 2 7 21 0 3 , 2 6 01 0 3 , 2 4 81 0 3 , 2 3 61 0 3 , 2 2 4
6
5
4
3
2
1
0
M e a n 1 0 3 , 3
S t D e v 0 , 0 1 4 0 2
N 3 1
H i s t o g r a m a d a v a r i á v e l Y 1
N o r m a li d a d e
Variável D12
Frequencia
194,280194,277194,274194,271194,268
7
6
5
4
3
2
1
0
Mean 194,3
StDev 0,002880
N 31
Histograma da Variável D12
Normalidade
Figura 4.21 Histogramas das características da qualidade X
1
,Y
1
e D
12
(
Processo XYD)
Este fato pode ser constatado conforme gráfico de probabilidade normal (figura 4.22) utilizado
para avaliar a hipótese de normalidade univariada de cada uma das três características da
qualidade deste processo onde as probabilidades de significância correspondentes estão acima
do valor de referência 0,05 indicando que a suposição de normalidade é plausível.
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 104
___________________________________________________________________________________________
Gráfico de Probabilidade Normal
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
4,96 4,98 5,00 5,02 5,04
X1
Probabilidade
Gráfico de Probabilidade Normal
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
103,23 103,24 103,25 103,26 103,27 103,28 103,29 103,30
X2
Probabilidade
Gráfico de Probabilidade Normal
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
194,267 194,269 194,271 194,273 194,275 194,277 194,279 194,281
D12
Probabilidade
Figura 4.22 Gráfico de Probabilidade Normal das variáveis X
1
,Y
1
e D
12
(
Processo XYD)
Agora, verificando visualmente a suposi
ção de normalidade multivariada através do
gráfico de probabilidade qui-quadrado (Q-Q plot) desenvolvido para as características da
qualidade deste processo conforme figura 4.23.
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 105
___________________________________________________________________________________________
Q-Q Plot
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0 3 6 9 12 15 18 21 24
d^2
Qui-Quadrado
Figura 4.23 Gráfico de probabilidade qui-quadrado (
Q-Q
plot) para os dados do processo
XYD
Podemos constatar visualmente que a disposição dos pontos indica a proximidade em relação
a uma reta, o que nos leva a não rejeitar a suposição de normalidade multivariada. Além disso,
analisando a multinormalidade dos dados deste processo segundo os testes de hipóteses de
Mardia baseados nos coeficientes de assimetria e curtose conforme resultados obtidos via
Programa Computacional 3 cujos resultados indicam que o valor do percentil tanto para
p,1
quanto para
p,2
são suficientes para aceitar a hipótese de normalidade. Desta forma, pode-se
afirmar que as observações multivariadas deste processo se distribuem segundo uma
multinormal.
4.8.2 Autocorrelação
Para verificar a presença de autocorrelação dos dados deste processo aplicou-se a
metodologia desenvolvida tanto por Mason (1997, 2002) quanto por e Noorossana e Vaghefi
(2006) que sugere aplicações de séries temporais envolvendo a análise de função de
autocorrelação (correlogramas) para medir o grau de autocorrelação em cada variável. Além
disso, para avaliar o efeito comparativo da análise de correlogramas propõem também a
aplicação de técnicas de estatística inferencial tais como Análise de Variância (ANOVA) para
o desenvolvimento de um modelo de Análise de Regressão AR(1) da forma:
erroybby
tot
11
. As observações geradas por AR(1) são utilizadas para investigar o
efeito da autocorrelação no desempenho do gráfico de controle. A figura 4.24 ilustra os
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 106
___________________________________________________________________________________________
os correlogramas das três características da qualidade X
1
, Y
1
e D
12
deste processo.
Defasagem
Autocorrelação
87654321
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
Função Autocorrelação - Variável D12
(Limites de autocorrelação com 5% de significância )
Figura 4.24 Correlogramas das características da qualidade X
1
, Y
1
e D
12
(
Processo XYD)
Como se pode observar a função autocorrelação (FAC) de cada uma das três características da
qualidade X
1
, Y
1
e D
12
revelam que nenhum coeficiente de correlação é significativo. Além
disso, verificada a adequação do modelo AR(1) e, por ser estacionário, vale, então a hipótese
de estabilidade estatística deste processo.
A função FAC das variáveis X
1
com D
12
, Y
1
com D
12
e o comparativo do
correlograma das variáveis X
1
, Y
1
e D
12
com a inferência estatística análise de variância
(ANOVA) de X
1
com D
12
e Y
1
com D
12
cujos resultados conforme figuras 4.25, 4.26 e 4.27.
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 107
___________________________________________________________________________________________
Função Autocorrelação
(FAC)
-
Variáveis X1; D12
FAC - correlaciona X1(t) e D12(t+k)
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
-15 0,052 XX
-14 -0,082 XXX
-13 -0,087 XXX
-12 -0,061 XXX
-11 -0,018 X
-10 0,047 XX
-9 0,134 XXXX
-8 0,049 XX
-7 -0,005 X
-6 0,000 X
-5 0,038 XX
-4 -0,123 XXXX
-3 -0,132 XXXX
-2 -0,230 XXXXXXX
-1 -0,285 XXXXXXXX
0 -0,407 XXXXXXXXXXX
1 -0,109 XXXX
2 -0,054 XX
3 0,061 XXX
4 -0,055 XX
5 -0,113 XXXX
6 -0,165 XXXXX
7 -0,053 XX
8 -0,023 XX
9 0,007 X
10 0,077 XXX
11 -0,010 X
12 -0,048 XX
13 -0,087 XXX
14 -0,051 XX
15 -0,016 X
Função Autocorrelação
(FAC)
-
Variáveis Y1; D12
FAC - Correlaciona Y1(t) e D12(t+k)
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
-15 -0,038 XX
-14 -0,086 XXX
-13 -0,056 XX
-12 -0,069 XXX
-11 -0,008 X
-10 0,035 XX
-9 0,076 XXX
-8 0,065 XXX
-7 0,112 XXXX
-6 0,128 XXXX
-5 0,212 XXXXXX
-4 0,305 XXXXXXXXX
-3 0,380 XXXXXXXXXX
-2 0,392 XXXXXXXXXXX
-1 0,370 XXXXXXXXXX
0 0,519 XXXXXXXXXXXXXX
1 0,424 XXXXXXXXXXXX
2 0,343 XXXXXXXXXX
3 0,245 XXXXXXX
4 0,234 XXXXXXX
5 0,172 XXXXX
6 0,098 XXX
7 0,068 XXX
8 0,108 XXXX
9 0,082 XXX
10 -0,032 XX
11 0,113 XXXX
12 -0,022 XX
13 -0,050 XX
14 0,047 XX
15 0,036 XX
Figura 4.25 Função Autocorrelação (FAC) para as variáveis X
1
com D
12
e Y
1
com D
12
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 108
___________________________________________________________________________________________
Figura 4.26 Análise de Variância (ANOVA) e Estatística Descritiva para as variáveis X
1
e D
12
Figura 4.27 Análise de Variância (ANOVA) e Estatística Descritiva para as variáveis Y
1
e D
12
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 109
___________________________________________________________________________________________
Conforme figuras 4.25, 4.26 e 4.27 pode-se verificar os resultados obtidos da Função
Autocorrelação (FAC) e o efeito comparativo da análise de correlogramas com a Análise de
Variância (ANOVA) que indicam a não existência de autocorrelação nos dados deste
processo. Além disso, os resultados obtidos a partir da Estatística Descritiva revelam a
estabilidade estatística (inexistência de causas especiais de variação conforme medidas de
localização e dispersão obtidas a análise estatística dos dados deste processo).
4.8.3 Projeto ótimo do gráfico MCUSUM em um ponto
O projeto ótimo do gráfico de controle MCUSUM em um ponto para monitorar
simultaneamente as características da qualidade X
1
, Y
1
e D
12
para os dados do processo XYD
quando este se encontra sob controle estatístico, o vetor de médias e a matriz de variâncias-
covariâncias são
27,194
25,103
5
o
ì
10,0000082950,0000287660,00002034-
50,0000287620,0001966010,00012850-
60,00002034-10,00012850-80,00030092
o
cujo tamanho da amostra utilizado é n=1. Deseja-se, que este processo possa ter a melhor
proteção contra uma mudança na distância de Mahalanobis igual a 1, d=1. Para este tamanho
de mudança, deseja-se um valor de ARL
o
=200.
27,194
26,103
01,5
1
ì
Nestas condições, para p=3, n=1 e ARL
o
=200 via programas computacionais desenvolvidos
obtém-se a melhor combinação para os parâmetros k e h, ou seja, o par de parâmetros ótimo
(k,h) que otimize o gráfico de controle MCUSUM (minimize ARL
d
) para os dados deste
processo em d=1:
k=0,5, h= 6,885 e
.mín
ARL = 11,0.
Um comparativo entre o desempenho em termos de ARL
d
(ARL mínimo) obtido pelo
gráfico de controle MCUSUM para os dados do processo XYD em d=1 com os gráficos T
2
de
Hotelling e MEWMA para as mesmas condições conforme tabela 4.6.
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 110
___________________________________________________________________________________________
Tabela 4.6 Desempenho de ARL entre gráficos de controle multivariados
Gráfico de Controle
ARL
d
(ARL mínimo)
T
2
de Hotelling (*)
52,6
MEWMA (*) 11,3
MCUSUM (*) 11,2
MCUSUM (MCM) 11,2
MCUSUM (MEI) 11,0
Fonte: (*) Simulação (Lowry et al, 1992), MCM (Lee and Khoo, 2006) e MEI (Proposta deste trabalho)
O gráfico MCUSUM conforme tabela 4.6 nas mesmas condições que os demais gráficos
multivariados é mais eficiente para detectar este tamanho de mudança, d=1. Para essa
magnitude de mudança nas condições de p=3 características da qualidade para um ARL
o
=200
conforme revisão de literatura o gráfico MCUSUM é bem sensível do que o gráfico T
2
de
Hotelling, ou seja, é quase cinco vezes mais rápido do que o T
2
de Hotelling. Este fato
justifica a escolha do gráfico MCUSUM para monitorar as características da qualidade deste
processo.
Os valores da estatística MCUSUM obtidos com a execução de uma rotina
desenvolvida em ambiente R para os dados do processo XYD são utilizados para desenvolver
o gráfico MCUSUM deste processo em ambiente MS-Excel conforme figura 4.28.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 4 8 12 16 20 24 28 32
Amostras
Estatística MCUSUM
h Estatística MCUSUM
Gráfico MCUSUM ( k=0,5 e h= 6,885 )
Figura 4.28 Gráfico de controle MCUSUM para os dados do processo XYD
Uma análise preliminar deste processo conforme figura 4.28 revela que, aparentemente, se
Capítulo 4 Aplicação da Metodologia 111
___________________________________________________________________________________________
trata de um processo estável, apesar de indicar uma tendência inicial ascendente (amostras 3 a
11) e uma queda abrupta (amostras 12 a 14). No entanto, a partir da 15ª amostra observa-se
que há uma melhoria do processo cujos pontos demarcados mostram um comportamento
aleatório dos valores. Além disso, pode-se verificar que não há presença de causas especiais
de variação já que todos os pontos se encontram dentro do limite superior de controle, h.
4.9 Síntese do Capítulo
O presente capítulo nos orienta a extrair as seguintes conclusões:
1. O Método de Equação Integral com Quadratura Gaussiana proposto neste trabalho diante
dos resultados obtidos é considerado um excelente método para a otimização de parâmetros
do gráfico MCUSUM superando a outros métodos numéricos de otimização existentes.
2. Mediante a execução de um algoritmo específico para o CEP multivariado que inclui a
utilização de um programa computacional é possível obter valores dos principais parâmetros
(k, h e ARL) que otimizam o gráfico MCUSUM. O programa computacional proposto permite
ao usuário obter de forma aproximada os parâmetros ótimos do gráfico MCUSUM em
diferentes situações.
3. Este capítulo abre novas possibilidades para otimização de parâmetros com a aplicação do
MEI com Quadratura Gaussiana para projetar estatisticamente o gráfico MCUSUM ótimo em
situações de difíceis soluções cujo tradicional método de simulações pode não ser uma
alternativa viável. O Método de Equação Integral (MEI) é um excelente método de otimização
de parâmetros pelo fato de ser um procedimento mais versátil que fornece melhores resultados
para o valor de ARL com maior rapidez de cálculo comparado com o tradicional método de
simulações. Além disso, a relativa simplicidade de implementação deste método em um
programa computacional.
CAPÍTULO 5
CONCLUSÕES
A aplicação de gráficos de controle multivariados para monitorar processos industriais
tem aumentado nas últimas décadas motivada pelo crescimento de novas tecnologias de
aquisição on-line de dados existente. Hoje, computadores realizam em tempo real, várias
mensurações acerca das variáveis de processo. Diante desta realidade, existe um crescente
interesse em desenvolver ferramentas mais robustas, que incorporem essa grande massa de
dados no monitoramento de processos. Tais ferramentas devem permitir o monitoramento
simultâneo de variáveis de interesse considerando sua estrutura de correlação.
No controle estatístico de processos multivariados o principal objetivo é a eliminação
de variabilidade e o gráfico de controle multivariado é uma ferramenta eficaz que permite a
redução sistemática desta variabilidade nas características da qualidade do produto
representadas pelas variáveis monitoradas simultaneamente pelo gráfico. O gráfico de controle
multivariado de Somas Acumuladas (MCUSUM) objeto de estudo deste trabalho, por exemplo
é uma excelente ferramenta de controle estatístico multivariado utilizado para monitorar a
qualidade de um processo. Este gráfico pode ser utilizado com a mesma finalidade, e com
vantagens sobre os tradicionais gráficos T
2
de Hotelling quando o objetivo for detectar
mudanças de pequena magnitude.
5.1 Desenvolvimento e Aplicação do Método de Equação Integral
O desenvolvimento da metodologia proposta neste trabalho inicia-se com a derivação
analítica de uma equação integral cuja resolução numérica através de Quadratura Gaussiana
fornece os valores aproximados de ARL do gráfico MCUSUM para um processo supostamente
com distribuição normal multivariada. A partir dessa equação derivada analiticamente aplicou-
se o Método de Equação Integral com Quadratura Gaussiana no desenvolvimento de um
programa computacional em ambiente Matlab para determinar os parâmetros propostos para
otimizar o gráfico MCUSUM.
O objetivo principal deste trabalho é a aplicação do Método de Equação Integral com
Quadratura Gaussiana para otimizar os parâmetros que envolvem tanto a mensuração do
desempenho de ARL quanto a seleção da combinação ótima dos parâmetros k e h que abrange
Capítulo 5 Conclusões
___________________________________________________________________________________________
113
a mensuração de índices de falsos alarmes e a análise de sensibilidade do gráfico MCUSUM
para monitorar processos em diferentes situações.
5.2 Projeto Estatístico Ótimo do Gráfico de Controle MCUSUM
A sugestão de uma metodologia para projetar estatisticamente o gráfico MCUSUM
se deve ao fato de optarmos por um gráfico com memória sensível a pequenas mudanças no
vetor de médias de um processo monitorado com poucas variáveis cuja vantagem principal é
que este gráfico acumula a informação mais recente com informações anteriores e, com isso,
detecta pequenas mudanças no vetor de médias do processo multivariado com um ARL bem
menor do que faria tradicional gráfico T
2
de Hotelling.
O projeto estatístico ótimo em um ponto do gráfico MCUSUM proposto neste trabalho
consiste em determinar os valores ótimos para o par de parâmetros (k,h) capaz de produzir um
ARL mínimo para um tamanho de mudança do vetor de médias, d. Os valores tabelados desses
parâmetros conforme literatura existente são muito limitados, ou seja, não são suficientes para
orientar os usuários a realizarem uma escolha adequada para em situações práticas projetarem
estatisticamente o gráfico MCUSUM ótimo. É importante salientar ainda que a implementação
de qualquer gráfico de controle que se considere, pressupõe uma escolha adequada dos seus
parâmetros, uma vez que a sua eficiência depende em parte desta escolha.
5.3 Projeto Otimização do MCUSUM com Regiões de Máxima e Mínima Potência
Neste trabalho, a análise estatística multivariada dos dados termina com a segunda fase
da metodologia, ou seja, a fase do experimento computacional que nos permite analisar a
influência das diferentes combinações dos parâmetros k e h que associadas ao ARL interferem
significativamente na otimização do gráfico MCUSUM. Por último, uma análise de
sensibilidade da solução ótima desses parâmetros nas diferentes situações nos levou a extrair
as conclusões finais da investigação.
O próximo passo dessa segunda fase do trabalho é a sugestão do desenvolvimento de
um procedimento alternativo com análise de regiões de máxima e mínima potência para o
gráfico MCUSUM ainda não existente na literatura e que se constitui numa extensão
multivariada do procedimento proposto por Woodall(1985) para gráficos de controle de
qualidade univariados. Este procedimento de projetar estatisticamente o gráfico MCUSUM
sob a ótica de regiões de máxima e mínima potência é uma etapa alternativa e complementar
ao algoritmo de projetar estatisticamente o gráfico MCUSUM proposto por Lee e Khoo
Capítulo 5 Conclusões
___________________________________________________________________________________________
114
(2006). Um exemplo de aplicação para o projeto estatístico ótimo do gráfico MCUSUM
baseado nos valores de ARL, k e h e sob a ótica de regiões de máxima e mínima potência e
com a inclusão desta etapa complementar ao algoritmo do projeto estatístico do gráfico
MCUSUM ótimo conforme seção 4.5 deste trabalho. Para implementar este novo
procedimento foi desenvolvido em ambiente Matlab o Programa Computacional 3 que além de
determinar a matriz de covariância e sua inversa, a matriz de correlação, a distância de
Mahalanobis, d e os coeficientes de assimetria e curtose que fundamentam os testes hipóteses
sugeridos por Mardia (1970, 1974) para verificar a normalidade multivariada. Além disso,
determina e gera graficamente a função perda multivariada de Taguchi que é utilizada para
determinar os pontos A e B que delimitam as regiões de máxima e mínima potência. De posse
desses resultados é formulado um modelo matemático em ambiente MS-Excel onde com a
utilização da ferramenta solver determina-se estes pontos A e B, ou seja, a distância de
Mahalanobis, d em cada um destes pontos.
A metodologia proposta neste trabalho contempla a aproximação sistemática de
projetar estatisticamente o gráfico MCUSUM ótimo baseado nos parâmetros ARL, k, e h
segundo filosofia de análise de regiões de máxima e mínima potência. Isso, é relevante por
exemplo, quando o processo é muito capaz ou dificilmente ajustável, onde não é interessante
detectar mudanças de pequena magnitude mas é fundamental sobretudo decidir que tamanho
de mudança é realmente importante detectar. Uma alternativa que aborda tanto a determinação
da magnitude de mudança que desejamos detectar e a que não desejamos detectar tem sido o
enfoque de Taguchi. Métodos práticos desenvolvidos com a utilização da função perda
multivariada de Taguchi por exemplo, determinam os valores dos pontos que delimitam as
regiões de máxima e mínima potência do gráfico MCUSUM.
O projeto ótimo do gráfico MCUSUM com regiões de máxima e mínima potência é
significativo, pois teoricamente sabe-se que o estudo comparativo da eficiência entre diferentes
gráficos de controle é realizado em termos de ARL. Assim, dois gráficos de controle serão
comparáveis se ambos apresentarem o mesmo ARL quando o processo se encontra sob
controle, isto é, quando não existe nenhuma mudança na média da variável controlada. Diante
dessas considerações, o gráfico de controle mais eficiente ou de maior potência para detectar
uma determinada mudança, d é aquele que apresenta um menor valor de ARL. Um bom
projeto de controle é aquele que apresenta um elevado valor de ARL
o
(quando o processo se
encontra sob controle) e um mínimo ARL
d
(quando o processo se encontra fora de controle).
Por outro lado, sabe-se que do ponto de vista econômico considera-se que o custo de operação
Capítulo 5 Conclusões
___________________________________________________________________________________________
115
do processo é proporcional ao número de falsos alarmes, e do ponto de vista estatístico pode
ocorrer que o número de falsos alarmes seja uma fonte de variabilidade extra no processo.
5.4 Recursos Computacionais Aplicados e Parâmetros Ótimos obtidos através do MEI
Os recursos computacionais aplicados neste trabalho que envolvem a otimização de
parâmetros, análise estatística multivariada e apresentação de dados destacam-se os três
principais programas desenvolvidos em ambiente Matlab. Além disso, planilhas desenvolvidas
em ambiente MS-Excel com a ferramenta solver e o desenvolvimento de rotinas
computacionais no pacote GNU R.
Os programas computacionais desenvolvidos no ambiente Matlab são implementados
para o experimento computacional realizado nos últimos meses no laboratório de informática
da Univille. Para esse experimento aplicou-se o Método de Equação Integral com Quadratura
Gaussiana para as combinações de ARL
o
de 200, 500 ou 1000 com p=2, 3 e 4 para determinar
aproximadamente a solução ótima dos parâmetros propostos neste trabalho que otimize o
gráfico MCUSUM. Os resultados obtidos nesse experimento computacional desses parâmetros
para vários tamanhos de mudança, d do gráfico MCUSUM foram tabelados conforme tabelas
4.1, 4.2 e 4.3 (Capítulo 4). Os valores desses parâmetros obtidos através do MEI e mostrados
nessas tabelas apresentam uma certa similaridade com os valores obtidos através do MCM.
Um estudo comparativo entre os valores desses parâmetros para (ARL
o
de 200 com p=2, 3 e 4
e n=1) para vários tamanhos de mudança, d do gráfico MCUSUM obtidos através do MCM (
Lee e Khoo, 2006) e os obtidos através do MEI (Proposta deste trabalho) é mostrado conforme
tabela 4.4 (Capítulo 4). Os valores dos parâmetros mostrados nessa tabela revelam que há
uma pequena diferença entre os valores obtidos através do MCM e os valores obtidos através
do MEI. Além disso, uma análise de sensibilidade para vários tamanhos mudança, d é
realizada a partir dos valores dos parâmetros estimados com interpolação polinomial para um
ARL
o
de 200 quando p=2 e n=1 para averiguar a partir dessas mesmas condições a situação
quando o processo estiver fora de controle. Os valores estimados se mostraram satisfatórios
cuja diferença é algo em torno de 3 % ou menos conforme tabela 4.5 (Capítulo 4).
Uma representação gráfica de curvas de ARL do gráfico MCUSUM (em escala
logarítmica) dos valores de ARL obtidos através do MEI para um ARL
o
de 200, 500 ou 1000
com p= 2, 3 e 4 e n=1 é ilustrada conforme figura 4.1 (Capítulo 4). Além disso, uma
representação gráfica de ARL em escala logarítmica do desempenho de ARL quando p=2, n=1
e ARL
o
= 200 dos gráficos multivariados com memória MCUSUM e MEWMA e o gráfico T
2
Capítulo 5 Conclusões
___________________________________________________________________________________________
116
de Hotelling conforme figura 4.2 (Capítulo 4). Os resultados obtidos do desempenho de ARL
conforme esta figura indicam que os métodos MCM e MEI apresentam melhores valores de
ARL que os tradicionais métodos de simulação. Essa representação gráfica revela ainda o
intervalo da mudança do vetor de médias d mais apropriado para otimização do gráfico
MCUSUM.
O desempenho de ARL especificamente para o gráfico MCUSUM obtido pelos
métodos numéricos: Simulação (SIM), Cadeias de Markov (MCM) e Equação Integral (MEI)
para um ARL
o
de 200 com p=2, 3 e 4 e n=1 é ilustrado conforme figura 4.3 (Capítulo 4)
indicando que os valores de ARL obtidos através dos métodos MCM e MEI são similares e
são melhores que os valores obtidos através método SIM para um tamanho de mudança, d >1.
5.5 Aplicação da Metodologia e Resultados Obtidos com a Utilização de Dados Reais
A aplicação da metodologia proposta utilizando dados reais de um processo de
usinagem da Fundição Tupy Ltda localizada em Joinville-SC foram de extrema relevância
neste trabalho pois serviu como referencial para comprovar a validade prática da metodologia
proposta.
Na aplicação dos dados reais foram avaliados dois processos de usinagem. O
primeiro deles, o processo XY (furação de acabamento do furo 1) envolve duas características
da qualidade que são monitoradas simultaneamente X
1
(posicional do furo 1 em relação a
coordenada x) e Y
1
(posicional do furo 1 em relação a coordenada y). O segundo processo,
XYD (distância entre os centros dos furos 1 e 2) é composto de três características da
qualidade que são monitoradas simultaneamente, ou seja, além das duas primeira variáveis X
1
e Y
1
é incluída uma 3ª variável, D
12
. Definido os dois processos a serem monitorados
realizou-se a exploração dos dados para aplicar a metodologia proposta. Para tais dados
verificou-se a suposição de normalidade, a autocorrelação bem como a estabilidade estatística.
Para compilar estes dados reais utilizou-se também os programas computacionais propostos
neste trabalho. No projeto estatístico ótimo do gráfico MCUSUM desses dois processos
avaliados utilizou-se os principais parâmetros otimizados através do a Método de Equação
Integral com Quadratura Gaussiana. O gráfico de controle MCUSUM para a análise estatística
multivariada dos dados reais de cada um dos dois processos analisados foi gerado a partir do
desenvolvimento de rotina no pacote GNU R conforme seção 4.7.4 (telas do R para carregar e
executar a rotina) e Apêndice J (codificação computacional das rotinas desenvolvidas em
ambiente R).
Capítulo 5 Conclusões
___________________________________________________________________________________________
117
O Método de Equação Integral com Quadratura Gaussiana proposto neste trabalho
representa uma nova alternativa de otimização de parâmetros para projetar estatisticamente o
gráfico MCUSUM ótimo em situações de difíceis soluções cujo tradicional método de
simulação pode não ser viável. Os resultados obtidos com a aplicação desta metodologia para
o gráfico MCUSUM revelam o Método de Equação Integral (MEI) como um excelente
método numérico de otimização de parâmetros pelo fato de ser um procedimento mais versátil
que fornece melhores resultados para o valor de ARL com maior rapidez de cálculo
comparado com o tradicional método de simulação. Além disso, a relativa simplicidade de
implementação deste método em um programa computacional.
5.6 Recomendações para Investigações Futuras
A seleção de parâmetros para o projeto estatístico de um gráfico de controle envolve
propriedades estatísticas tais como as probabilidades de erro tipo I e tipo II, o ARL e o ATS,
ou seja, para esta seleção se devem levar em consideração aspectos estatísticos como a
minimização do número de falsos alarmes e a maximização da capacidade de detecção de
mudanças reais. Além disso, aspectos econômicos como o custo de amostragem, perdas de
produção de produtos de baixa qualidade e custos de localização de causas especiais quando o
diagnóstico das causas assinaladas indicam um desvio do processo.
Conforme revisão de literatura sobre projeto econômico-estatístico é ampla a
quantidade de trabalhos direcionados aos gráficos de controle univariados. No entanto, pouca
atenção tem sido dedicada ao projeto econômico-estatístico que envolvem gráficos
multivariados. Alguns trabalhos recentes abordam o projeto econômico do gráfico de controle
multivariado MEWMA, com o objetivo de minimizar o custo de operação deste gráfico.
Linderman e Love (2000a. e 2000b) propõem um modelo econômico tendo como base o
modelo de custo unificado de Lorenzen e Vance (1986) que incluem restrições tanto
estatísticas quanto econômicas.
Como recomendação de investigação futura propõe-se o desenvolvimento de um
projeto econômico-estatístico sob a ótica de regiões de máxima e mínima potência para o
gráfico MCUSUM ainda não existente na literatura. Este modelo, deve contemplar tanto as
restrições de modelos estatísticos que nos permita obter gráficos MCUSUM com boas
propriedades estatísticas quanto as restrições econômicas capazes de reduzir custos de
operação. Com esse projeto é possível quantificar o projeto estatístico proposto neste trabalho
para o gráfico MCUSUM e que de fato ele seja economicamente motivado. Para isso, sugere-
Capítulo 5 Conclusões
___________________________________________________________________________________________
118
se um modelo econômico para o gráfico MCUSUM segundo a filosofia de análise de regiões
de máxima e mínima potência para obter-se planos de amostragem ótimos que proporcionem
custos médios de operação por unidade de tempo mínimos para satisfazer restrições estatísticas
impostas para o modelo em forma de ARL. Diante dessas considerações, este modelo proposto
deve estar sujeito as restrições de um mínimo valor de ARL sob controle (ARL
o
) e um máximo
valor de ARL quando o processo se encontra fora de controle (ARL
d
). Alternativamente, pode-
se utilizar restrições em termos de ATS (Average Time to Signal),que expressa o tempo médio
esperado até o sinal). Este projeto econômico-estatístico deve ter como objetivo a otimização
do gráfico de controle MCUSUM através do Método de Equação Integral com Quadratura
Gaussiana que minimizam o custo incluso no processo de produção. Tipicamente, este custo
inclui o custo de amostragem, o custo de não qualidade devido à produção de produto não
conforme e o custo de investigação de situação fora de controle que realmente são falsos
alarmes.
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121
APÊNDICE A - Integração Gaussiana por Polinômios de Legendre
Um método alternativo de integração Gaussiana baseado em uma aproximação de
polinômios de Legendre (polinômios ortogonais) é aplicado para determinar mais facilmente
os termos de ponderação
i
w e
i
x , principalmente para n>2. Esta alternativa se fundamenta em
mostrar o integrando da função cuja integral se deseja encontrar, como valores que
representam raízes de polinômios ortogonais.
Um conjunto de polinômios de Legendre de grau n
,),....(),.....,(),(
1
xPxPxP
no
é dado
sob a forma de uma equação diferencial ordinária de ordem n denominada de fórmula de
recorrência de Rodrigues (Salleh, Zomaya e Bakar, 2007).
n
n
n
n
n
x
dx
d
n
xP )1(
!
2
1
)(
2
(A.1)
Os cinco primeiros polinômios de Legendre conforme equação (A.2) obtidos a partir
da equação diferencial ordinária de ordem n (A.1) e sua representação gráfica conforme figura
(A.1) :
-1
-0,5
0
0,5
1
-1 -0,5 0 0,5 1
P
n
(x)
P
0
P
2
P
1
P
5
P
3
P
4
Figura A.1 Representação gráfica dos cinco primeiros polinômios de Legendre
O propósito deste método alternativo via polinômio de Legendre é discutir a fórmula
de integração Gaussiana que aproxima
1
1
)( dxxf e mostrar que com uma simples troca de
)157063(
8
1
)(
)33035(
8
1
)(
)35(
2
1
)(
)13(
2
1
)(
)(
1)(
35
5
24
4
3
3
2
2
1
xxxxP
xxxP
xxxP
xxP
xxP
xP
o
(
A
.
2
)
Apêndice A - Integração Gaussiana por Polinômios de Legendre 126
___________________________________________________________________________________________
variável é possível estender os limites de integração a valores [-1,1]. Assim, a aproximação da
integral definida pode ser expressa como
n
i
iiii
xfwxfwxfwxfwxfwdxxf
1
332211
1
1
)()(......)()()()( (A.3)
onde
n
www ,....,
21
são os pesos (coeficientes de ponderação) e
n
xxx ,....,
21
são as raízes (nós)
do polinômio de Legendre
)(xP
n
. O problema consiste em encontrar as (2n) constantes
ii
xw , . Para determinar estas constantes, partimos da suposição básica de que qualquer
polinômio de Legendre resultante da fórmula de recorrência de Rodrigues representa
exatamente, um polinômio de ordem
12
n
ou menor.
A aplicação deste método alternativo de integração Gaussiana para determinar os
pontos de quadratura (nós) consiste em considerarmos
0)(
1
xP
n
;
0)(
2
xP
n
;
0)(
3
xP
n
;
.......; 0)(
nn
xP , o que implica que os pontos de quadratura
n
xxxx ,.....,,,
321
são as raízes do
polinômio de Legendre
)(xP
n
. Assim, para
)(xP
n
[-1,1] existem n raízes reais distintas. Por
exemplo, para n = 2,
)(xP
n
=
,0)13(
2
1
)(
2
2
xxP
cujas raízes são
91896260,57735026
3
1
x
, enquanto que para n=3,
)(xP
n
=
,0)35(
2
1
)(
3
3
xxxP
cujas raízes são
,0
x
414837745966692,0
5
3
x
. Este procedimento pode estender-se
para diferentes valores de n, ou seja, n = 4, 5, 6,....
No entanto, para a determinação de
i
w coeficientes de ponderação (pesos) novamente
levamos em consideração o requisito estabelecido em (A.3), isto é, se o integrando f(x) é um
polinômio de grau 2
1
n
ou menor, a equação não envolve uma aproximação. Além disso, o
polinômio de Lagrange para aproximar qualquer polinômio )(xh de grau n-1, que passa por n
pontos
n
xxxx ,.....,,,
321
pode ser expresso como:
)()()(
1
xLxhxh
i
n
i
i
(A.4)
Então
1
1
1
1
1
)()()(
n
i
ii
dxxLxhdxxh . Sabendo que )(
i
xh é uma constante temos,
1
1
1
1
1
)()()(
n
i
ii
dxxLxhdxxh (A.5)
Comparando (A.3) com (A.5), teremos:
Apêndice A - Integração Gaussiana por Polinômios de Legendre 127
___________________________________________________________________________________________
1
1
)( dxxLw
ii
i = 0,1,2,3,.... (A.6)
É comum encontrar a definição L
i
e
portanto de w
i
em termos de polinômio de Legendre,
conforme a seguir:
O polinômio
0
)(
i
n
xx
xP
para todo
j
xx
, j = 1, 2,.....n, porém
i
j
De acordo com a Regra de L´Hôpital
)(
)(
)(
)(
)(
´
lim
in
ii
xx
i
i
i
n
xx
xP
dx
xdP
dx
xxd
dx
xdP
xx
xP
i
i
(A.7)
Sabendo que a derivada do denominador é igual a 1 e que x
i
é uma das raízes do polinômio
de Legendre 0)(
xP
n
. Assim, o polinômio de Lagrange conforme (A.4) pode ser expresso
agora como
1
1
'
)(
1
dx
xx
xP
P
L
i
n
n
i
(A.8)
Por exemplo, para n = 2,
)13(
2
1
)()(
2
2
xxPxP
n
cujas raízes são
3
1
1
x
,
3
1
2
x
e sua derivada
.3)6(
2
1
)(
'
2
xxxP
Então:
1
1
2
1
3
1
)13(
2
1
3
1
3
1
x
x
w
dx
1
1
3
1
2
3
dxx =
1
3
1
22
3
1
1
2
x
x
1
1
2
2
3
1
)13(
2
1
3
1
3
1
x
x
w dx
1
1
3
1
2
3
dxx
=
1
3
1
22
3
1
1
2
x
x
Enquanto que para n = 3,
1
1
3
1
5
3
)35(
2
1
1
5
3
5
2
3
1
x
xx
w
dx
1
1
2
5
3
6
5
dxxx
=
)55556,0(
9
5
5
3
2
1
36
5
1
1
2
3
x
x
Apêndice A - Integração Gaussiana por Polinômios de Legendre 128
___________________________________________________________________________________________
1
1
3
2
0
)35(
2
1
10.5
2
3
1
x
xx
w
dx
1
1
2
35
3
1
dxx =
)88889,0(
9
8
3
3
5
3
1
1
1
3
x
x
1
1
3
3
5
3
)35(
2
1
1
5
3
5
2
3
1
x
xx
w
dx
1
1
2
5
3
6
5
dxxx
= )55556,0(
9
5
5
3
2
1
36
5
1
1
2
3
x
x
Este procedimento pode estender-se para diferentes valores de n, o que implica que devemos
tomar n pontos. A tabela A.1 mostra algumas raízes x
i
(nós) e coeficientes de ponderação w
i
(peso), para n até 5. Neste trabalho foi desenvolvido um programa computacional em
ambiente Matlab para determinar estes valores de x
i
e w
i
para até 53 pontos de quadratura.
Este valor n=53 resulta da observação que com n maior, os resultados das integrais não se
alteram mais.
Tabela A.1 Fórmulas de Gauss-Legendre
1
1
0
)()(
n
i
ii
xfwdxxf
com n pontos
Número de pontos (n) x
i
(Raiz) w
i
(Peso)
-
0,577350269189626
1,000000000000000
2
0,577350269189626 1,000000000000000
-
0,774596669241483
0,555555555556000
0,000000000000000 0,888888888889000
3
-0,774596669241483 0,555555555556000
-
0,339981043584856
0,652145154862546
-0,861136311594053 0,347854845137454
0,861136311594053 0,347854845137454
4
0,339981043584856 0,652145154862546
-
0,906179845938664
0,236926885056189
-0,538469310105683 0,478628670499366
0,000000000000000 0,56888888888889
0,538469310105683 0,478628670499366
5
0,906179845938664 0,236926885056189
Sabendo-se que os limites de integração associados com este desenvolvimento são -
1 e 1 em um problema de aplicação deverá ser ajustado o procedimento da Quadratura
Gaussiana aos limites da aplicação particular mediante uma simples mudança de variável, ou
seja, adotamos [a,b] = [-1,1]. Para isso, definimos uma relação linear com a nova variável
conforme a seguir:
a
b
bax
t
2
Apêndice A - Integração Gaussiana por Polinômios de Legendre 129
___________________________________________________________________________________________
2
)( batab
x
dt
ab
dx
2
Neste caso,
dt
abtab
f
ab
dxxf
i
b
a
1
1
2
)()(
2
)(
.
Sabendo que a Quadratura de Gauss-Legendre no intervalo [-1,1] é definida como
1
1
1
)()()(
n
i
ii
xfwdxxffI (A.9)
Esta integral para um intervalo [a,b]
R pode ser expressada com a mudança de variáveis
como:
b
a
n
i
i
i
abtab
fw
ab
dxxffI
1
2
)()(
2
)(
)()(
(A.10)
Assim, podemos reescrever a fórmula de integração Gaussiana ou integração de
Gauss-Legendre
n
i
iinn
b
a
oo
xfwxfwxfwxfwdxxffI
0
11
)()(....)()()()(
definida
inicialmente no capítulo (2) para n pontos de quadratura como:
dt
abtab
f
ab
dxxffI
i
b
a
1
1
2
)()(
2
)()(
n
i
i
i
abtab
fw
ab
1
2
)()(
2
)(
(A.11)
Como exemplo de aplicação, o cálculo da integral definida
dxxxfI )24()(
49,5
0
2
é
mostrado tanto analiticamente quanto numericamente por meio da fórmula de Quadratura de
Gauss-Legendre (para os métodos de dois e cinco pontos).
49,5
0
2
3
49,5
0
2
22
3
)24()(
xx
x
dxxxfI
=
2,6402154574283
(Valor real com 13
decimais)
Calculando agora numericamente pela fórmula de
Quadratura de
Gauss-Legendre (A.10):
Para o método n =2 pontos,
b
a
n
i
i
i
abtab
fw
ab
dxxffI
1
2
)()(
2
)(
)()(
Apêndice A - Integração Gaussiana por Polinômios de Legendre 130
___________________________________________________________________________________________
2
)049,5(
3
1
.049,5.
0,1
2
)049,5(
3
1
.049,5.
0,1
2
)049,5(
)(
fffI
4629618271247,0).745,2()( fI
)( fI
2,6402154574283
(Valor aproximado com 13 decimais)
O resultado obtido não apresenta erro pois f(x) é um polinômio de grau
312
n
.
Para o método n = 5 pontos, o cálculo da integral é efetuado com o auxílio de uma planilha
eletrônica em ambiente MS-Excel, conforme figura A.2:
Figura A.2 Exemplo de Aplicação: Método Quadratura Gaussiana ( n = 5 )
Podemos observar que, com n = 5 o valor calculado também não apresenta erro.
APÊNDICE B -Teoremas e Demonstrações: Equação Integral para o
ARL
sob controle
A equação integral analiticamente derivada neste trabalho para o gráfico MCUSUM
está sujeita à suposição de que o vetor de médias sob controle é 0ì
o
e a matriz de
covariância é a identidade I. Embora esta suposição possa parecer restritiva, na realidade
não é. Para justificar a razão pela qual isto se comporta, é necessário a demonstração dos
seguintes teoremas:
Teorema 1:
Se
,....,
21
XX
são variáveis aleatórias i.i.d N
p
( , )
, onde
é positiva definida. Se o gráfico
MCUSUM com parâmetros k e h é aplicado para estas variáveis
i
X , então o ARL sob controle
para gráfico MCUSUM com parâmetros k e h aplicado para um processo com vetor de médias
0ì
o
e matriz de covariância I. Isto é, portanto suficiente por determinar o ARL para o
processo com vetor de médias 0 e matriz de covariâncias I.
Demonstração:
Se zS
o
hz
0
)],(,0[ kmáx
oi1ii
ìXSS
1
i
e se o processo está sob controle, então o vetor de médias é dado por
zS
i
)(E
Visto que,
e
1
são definidos positivos, existe uma matriz triangular superior não singular
C tal que C´C =
1
. O produto C´C é a denominada decomposição de Cholesky de
1
.
Agora define-se
),( zXW
ii
C
1
i
Então
,....,
21
WW
são p variáveis aleatórias normais i.i.d. com vetor de médias
00zXW
ii
.)()( CECE
e a matriz de covariância
'
)cov()cov( CC zXW
ii
=
'
CC
= C
I)(
'1'
CCC
Assim
,....,
21
WW
são i.i.d.
).I,(0
p
N
Agora, define-se:
0S
*
o
)( K
oi
*
1i
*
i
ìWSS
1
i
Apêndice B - Teoremas e Demonstrações: Equação Integral para o ARL sob controle 132
___________________________________________________________________________________________
Provamos por indução que
).( zSS
i
*
i
C
Se i=0 nós temos
,0S
*
0
e
0)()(
zzzS
o
CC
Assim, isto é verdadeiro de modo que
).( zSS
0
*
o
C
Agora supõe-se que ).( zSS
i
*
i
C
Então
1ii
*
1i
WSS
=
)()( zXzS
1ii
CC
=
)(
1ii
XzS
C
=
)( zS
1i
C
Deste modo se completa a indução, demonstrando que
).( zSS
i
*
i
C
As estatísticas Y
i
e
*
i
Y
MCUSUM desses dois desenvolvimentos são portanto
2
1
1
1)(()1)((
ii
i
C
k
C
k
Y
oi1ioi1i
ìXSìXS
e
2
1
1*
1)(()1)((
ii
i
C
k
I
C
k
Y
0XS0XS
i
*
i
*
1i1i
Esta última estatística pode ser escrita como
**
ii
Y SS
,
*
i
*
i
Y
=
2
1
)1)(()1)((
ii
C
k
C
C
k
C
i1ii1i
XSXS
*
i
Y
=
2
1
´
)1)(()1)((
ii
C
k
CCC
C
k
C
i1ii1i
XSXS
*
i
Y
=
2
1
)1)(()1)((
ii
C
k
C
C
k
C
i1ii1i
XSXS
*
i
Y
=
i
Y
ou ainda
Apêndice B - Teoremas e Demonstrações: Equação Integral para o ARL sob controle 133
___________________________________________________________________________________________
2
1
*
)1)(()1)((
ii
i
C
k
C
C
k
CY
i1ii1i
XSXS
2
2
1
2
*
)1)(()1)((
ii
i
C
k
C
C
k
CY
i1ii1i
XSXS
2
*
i
Y =
2
2
1
i
i
C
C
k
2
*
i
Y
=
2
2
2
2
1
i
i
i
C
C
k
C
k
2
*
i
Y
)2(
22
kkCC
ii
2
*
i
Y
2
)( kC
i
*
i
Y
)( kC
i
*
i
Y
=
i
Y
Assim, quando o processo permanece sob controle, o gráfico MCUSUM para o processo X
que tem vetor de médias e matriz de covariância
, um sinal fora de controle é emitido, ao
mesmo tempo em que o gráfico MCUSUM para o processo W tem vetor de médias 0 e matriz
de covariância I. Os ARL’s para as duas seqüências de MCUSUM são, portanto, iguais.
Teorema 2:
O ARL sob controle do gráfico de controle MCUSUM aplicado para o processo com vetor
de médias 0ì
o
e matriz de covariância I dependem tão somente do valor inicial zS
o
através do quadrado de sua magnitude
=
.z´z
Demonstração:
Se
z
e
*
z
indicam dois valores iniciais para o gráfico MCUSUM e que satisfaz
zz
'
=
**'
zz
. Para isso, vamos mostrar que o ARL é o mesmo que utilizarmos
z
ou
*
z
.
Visto que z tem a mesma magnitude que
*
z
e como
*
z
é uma rotação de z ; assim existe uma
matriz ortogonal A tal que
*
z
=
z.A
. Se
,.....,
21
XX
é uma seqüência de variáveis aleatórias
i.i.d.
),( IN
p
0
, e se
i
*
i
XX A
. Então
00X
*
i
.)( AE
e visto que
Apêndice B - Teoremas e Demonstrações: Equação Integral para o ARL sob controle 134
___________________________________________________________________________________________
,´´)cov()cov()cov( IAIAAAA
ii
*
i
XXX
a seqüência
*
i
X
é também i.i.d.
),( IN
p
0
. Se
*
i
S
,
,...2,1
i é a seqüência MCUSUM
),( k
oi
*
1i
*
i
ìXSS
1
i
Uma demonstração por indução, similar ao que foi demonstrado no teorema 1, onde:
i
*
i
SS A
Se
i
Y
e
*
i
Y
indicam as estatísticas MCUSUM para estas duas seqüências. Então, devido A ser
uma matriz ortogonal nós temos
2
1
1*
1)(()1)((
ii
i
C
k
I
C
k
Y
0XS0XS
i
*
1ii
*
1i
=
2
1
)()(
1i1i
SS
AA
=
2
1
.
1i1i
SS
AA
=
2
1
.
1i1i
SS
Assim as duas seqüências da estatística
i
Y
são iguais. Isto implica que o gráfico MCUSUM
que inicia com z e
*
z
emitirá um sinal na mesma fase de amostragem. Então os ARL´s
determinados são iguais.
Teorema 3:
Supomos que o gráfico MCUSUM com parâmetro k aprimorado seja aplicado para um
processo p dimensional com vetor de médias
0ì
o
e matriz de covariância I. Se
)/( hL
denota o ARL dado para que a estatística MCUSUM inicial zS
o
satisfaça
o
'
o
SS
e dado
que o intervalo de decisão é h . Então a função L satisfaz a equação integral
dxxfxLxFhLhL
h
)|()()/()/0(1)/(
0
o
'
o
SS
onde xf (
|
o
'
o
SS
) é a função densidade de probabilidade da distribuição Qui-quadrado
não central com p graus de liberdade e parâmetro de não centralidade
p
i
i
1
2
.
Demonstração:
Com a suposição de que o valor do vetor de médias é zero e a matriz de covariâncias é a
Apêndice B - Teoremas e Demonstrações: Equação Integral para o ARL sob controle 135
___________________________________________________________________________________________
identidade, nós temos
2
1
)(
i
'
i
SS
i
Y
Seja um vetor
i
S
de p componentes distribuídas segundo uma seqüência de variáveis
aleatórias )T,(íN não singular, então
ii
S'S
1
T é distribuído de acordo com uma
distribuição
2
não central com graus de liberdade e parâmetro de não centralidade
íí'
1
T
.
Agora, se admitirmos C uma matriz não singular tal que
1
CT
C´ = I e definindo Z como
i
SZ C
. Então Z é normalmente distribuído com média
ëíSZ
i
CCEE )()(
e matriz
de covariância
)')(()')(( íSíSëZëZ
ii
EE
C´= CT C´=I.
Então
ii
S'S
1
T
=Z´( C´)
-1
1
T
Z
1
C
Z´
-1
C´) (CT
Z = Z´Z=
22
2
2
1
.....
p
ZZZ
. Analogamente
temos íí'
1
T =
ë
ë'
. Portanto,
ii
S'S
1
T é distribuído como
p
i
i
Z
1
2
onde
p
ZZZ ,....,,
21
são
independentes e normalmente distribuídos com médias
p
,....,,
21
, respectivamente, e
variância 1. Por definição esta distribuição, denotada por o
2
),(
p
, é uma
2
não central com
parâmetros de não centralidade
p
i
i
1
2
.
Se f(n,x) indica a função densidade de probabilidade conjunta de variáveis aleatórias N e X. A
fdp de N pode ser escrita através da integral de todos os possíveis valores de X quando
n =1,2,..... Isto fornece:
h
n
dxxnfnxFhLhL
0
1
)|,1()|()/0(1)/(
ii
S'S
1
0
,|)1()|()/0(1
n
h
xnNPnxFhL
11ii
S'SS'S
X
)|( dxxf
ii
S 'S
1
,|)1()|()/0(1
n
xnNnPxFhL
11ii
S'SS'S
X
) |(
ii
S'Sxf
(B.1)
onde
)|(
ii
S 'Sxf
é a função densidade de probabilidade da distribuição
2
),(
p
.
Dado que
x
11
S'S
a probabilidade entre parêntesis em (B.1) não depende de
ii
S'S
.
Esta
somatória pode então ser escrita como
1
|)1(
n
xnNnP
11
S'S
Esta soma infinita é justamente o valor esperado do número adicional de amostras coletadas
Apêndice B - Teoremas e Demonstrações: Equação Integral para o ARL sob controle 136
___________________________________________________________________________________________
até o sinal (RL) conforme o primeiro subgrupo dado que
x
11
S'S
.
Portanto, esta soma
)(xL
é obtida a partir da solução da equação integral
dxxfxLxFhLhL
h
)|()()|()/0(1)/(
0
ii
S'S
(B.2)
na função L desconhecida. É justamente nesta integral que se aplica o método numérico de
Quadratura Gaussiana.
n
i
iii
xfxLwxFhLL
1
)()|()()|()0(1)(
ii
S'S
(B.3)
onde
n
i
i
x
1
,
n
i
i
w
1
, são, respectivamente os nós e os pesos da quadratura gaussiana no
intervalo [0,h] e )(z
é um erro muito pequeno desconhecido devido a substituição da
integral pela quadratura. Avaliando L(
) para ,,......,,,0
21 n
n
i
iii
xfxLwxFhLL
1
)()(
~
)|()/0(
~
1)0(
~
(B.4)
n
i
iiii
xfxLwxFhLL
1
)|()(
~
)|()/0(
~
)(
~
ii
S'S
(B.5)
onde
L
~
(
) é uma aproximação para L(
). A aproximação de
L
~
(
) é obtida a partir da resolução
do sistema de equações algébricas lineares e usando a equação
n
i
iii
xfxLwxFhLL
1
()(
~
)|()/0(
~
1)(
~
)|
ii
S'S
(B.6)
Resolvendo o sistema de equações cujo procedimento de resolução é análogo ao caso
univariado obtém-se
)(
~
~
),.....,(
~
~
),(
~
~
222111 nnn
xLLxLLxLL
e substituindo
)(
~
i
xL
em
(B.4) e (B.6), determina-se
)/0(
~
hL
e
)(
~
L
, respectivamente. Para aproximar a solução por
(B.1) utiliza-se o método Quadratura Gaussiana com n=53 pontos de quadratura.
APÊNDICE C - Distribuição Normal Multivariada
C.1 Introdução
A generalização da densidade normal univariada para duas ou mais dimensões
desempenha um papel fundamental na análise multivariada. De fato, a maioria das técnicas
multivariadas parte do pressuposto de que os dados foram gerados de uma distribuição normal
multivariada. Apesar dos dados originais não serem quase nunca “ exatamente” normal
multivariados, a densidade normal se constitui muitas vezes numa aproximação adequada e
útil da verdadeira distribuição populacional (Pena, 2002).
A distribuição normal, além da sua atratividade pela sua facilidade de tratamento
matemático, possui duas razões práticas que justificam a sua utilidade. A primeira, diz que a
distribuição normal é a mais adequada para modelos populacionais em várias situações; e a
segunda refere-se ao fato da distribuição amostral de muitas estatísticas multivariadas ser
aproximadamente normal,independentemente da forma da distribuição da população original,
devido ao efeito do teorema do limite central (Yang e Trewn, 2004).
C.2 Densidade Normal Multivariada em Controle Estatístico de Processos
A abordagem da densidade normal multivariada em controle estatístico de processos
multivariados é análoga ao caso univariado cujas alterações do modelo matemático estão
relacionadas apenas à adição de p variáveis. No controle estatístico univariado se a
característica da qualidade X monitorada é contínua, geralmente assumimos que esta variável
segue uma distribuição de probabilidade normal
),(~
N
cuja função de densidade
univariada é dada por
2
2
1
2
2
1
)(
x
exf
x
(C.1)
onde
,
representam respectivamente a média e o desvio padrão da variável X e
2
x
é
o termo que mede o quadrado da distância padronizada (em unidades de desvio padrão) do
valor x à média
. Definindo
x
t
como a variável aleatória normal padrão
)1,0(~N
a
equação (C.1) resulta em
Apêndice C - Distribuição Normal Multivariada 138
___________________________________________________________________________________________
2
2
1
2
2
1
)(
t
etf
(C.2)
Esta mesma abordagem de aproximação pode ser utilizada no caso do controle estatístico de
processos multivariados
Suponhamos agora que estamos interessados em monitorar simultaneamente p
características da qualidade
p
XXX ,....,,
21
medidas sobre uma peça e que se encontram
correlacionadas. Podemos considerar que o vetor aleatório ou as p-variáveis aleatórias
X´= [x
1
,x
2
,....,x
p
] seguem uma distribuição normal multivariada com vetor de médias ´= [
1
,
2
,....,
p
] e matriz de variâncias-covariâncias
de dimensão p x p onde |
| representa o
determinante desta matriz. Neste caso, o quadrado da distância (generalizada) padronizada ou
quadrado da distância entre os vetores X´ e ´
2
d
=(X´,´)=
)()(
1
ìx´ìx
(C.3)
conhecida em análise multivariada como a distância de Mahalanobis que se distribui como
uma
2
com p graus de liberdade. Este conceito é muito importante em controle de qualidade
multivariado pois nos permite quantificar a troca produzida em um vetor aleatório
amplamente utilizado no presente trabalho.
A função de densidade normal multivariada pode então ser obtida simplesmente pela
substituição do termo
2
x
por
)()´(
xx
e pela mudança do termo
2
2
1
para
uma forma mais geral que torne a área sob a função densidade de probabilidade unitária,
independente do valor de p. Portanto, a função de densidade de probabilidade normal
multivariada
),(~
p
N
é
)()´(
2
1
2
1
2
21
1
)2(
1
),...,,()(
xx
p
p
exxxfxf
onde
p
xxx ,....,,
21
(C.4
)
Esta expressão revela que os contornos de densidade de probabilidade constante têm a forma
de um elipsóide centrado em
e gerados quando o termo da exponencial for constante, isto é,
2
d = )()´(
1
ìxìx
= cte
A figura C.1. ilustra um exemplo de distribuição normal bivariada desenvolvido a partir de
uma planilha de dados em ambiente MS-Excel
Apêndice C - Distribuição Normal Multivariada 139
___________________________________________________________________________________________
-3
-2,4
-1,8
-1,2
-0,6
0
0,6
1,2
1,8
2,4
3
-3
-1,2
0,6
2,4
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
Z
X
Y
6
-3
-2,4
-1,8
-1,2
-0,6
0
0,6
1,2
1,8
2,4
3
-3
-2,4
-1,8
-1,2
-0,6
0
0,6
1,2
1,8
2,4
3
X
Y
Figura C.1 Exemplo de distribuição normal bivariada
C.3 Normalidade Multivariada
Alguns problemas de modelagem estatística ou de testes de hipóteses estatísticas,
entre outros têm como pressuposto básico que os dados sejam distribuídos normalmente,
independentes e identicamente distribuídos, sendo crucial verificar-se se os dados com que se
está trabalhando satisfazem a condição da distribuição inicial. Para muitas analises estatística,
é realmente importante que os dados sigam uma distribuição normal multivariada, quando não
exatamente, pelo menos, aproximadamente. Se tal fato for verificado, ou seja, os dados forem
distribuídos segundo uma distribuição normal multivariada, evita-se o problema de procurar
por procedimentos de transformação de variáveis, que na sua maioria são robustos, de tal
forma a normalizar o conjunto de dados para, a partir daí, trabalhar-se com os dados
multivariados normalmente distribuídos.
Para verificar a hipótese de multinormalidade dos dados, D´Agostino (1986)
recomenda a realização de três testes:
Verificar a normalidade de cada variável em separado, através de um método gráfico.
Aplicar um teste estatístico univariado para cada variável.
Verificar a multinormalidade, através de um teste estatístico multivariado.
Segundo D´Agostino (1986) mesmo que cada variável tenha distribuição normal, não significa
que o conjunto seja multinormal. No entanto, se uma variável não é normalmente distribuída,
o conjunto não é multinormal, daí a importância dos testes univariados.
A aplicação de métodos gráficos tais como o gráfico de probabilidade qui-quadrado
(Q-Q plot) podem ser utilizados para auxiliarem na verificação de normalidade multivariada.
Apêndice C - Distribuição Normal Multivariada 140
___________________________________________________________________________________________
Este método gráfico se constitui em determinar se os dados das amostras estão de acordo com
a suposta distribuição, baseado em um exame visual subjetivo dos dados. Mingoti (2005)
propõe um algoritmo para o desenvolvimento do gráfico de probabilidade qui-quadrado
(Q-Q plot). Com a utilização deste algoritmo desenvolveu-se neste trabalho em ambiente
MS-Excel o gráfico Q-Q plot para três variáveis do exemplo numérico proposto pela autora
conforme figura C.2 Podemos constatar visualmente que a disposição dos pontos indica a
proximidade em relação à reta, o que nos leva a não rejeitar a suposição de normalidade
multivariada.
Figura C.2 Gráfico de probabilidade qui-quadrado (Q-Q plot) do exemplo de Mingoti (2005)
Podemos constatar visualmente que a disposição dos pontos indica a proximidade em relação
à reta, o que nos leva a não rejeitar a suposição de normalidade multivariada.
Além de métodos gráficos, outros procedimentos podem ser utilizados para verificar a
suposição de normalidade multivariada. Segundo Rencher (2002) um dos tratamentos
matemáticos usuais relativamente simples, para verificar a suposição de normalidade
multivariada, é usar testes de hipóteses baseados nas medidas de assimetria e curtose
Apêndice C - Distribuição Normal Multivariada 141
___________________________________________________________________________________________
multivariada de Mardia (1970,1974). Esse na realidade, é um teste descritivo e um excelente
procedimento para a verificação de tal suposição. Para utilizar os testes de hipóteses na
verificação de suposição de normalidade é necessário determinar antes as medidas de
assimetria e curtose por intermédio dos seguintes momentos:
3
1
,1
)()´( ìì
xyE
p
(C.5)
Sendo x independente de y como em todas as distribuições e
2
1
,2
)()´( ìì
yyE
p
(C.6)
de tal forma que as esperanças nas expressões
p,1
(C.5) e
p,2
(C.6) existam. Para a
distribuição normal multivariada, espera-se que a assimetria seja
0
,1
p
e a curtose
)2(
,2
pp
p
.
Para a amostra de tamanho n, os estimadores
p,1
e
p,2
serão obtidos por:
n
i
n
j
ijp
g
n
1 1
3
2
,1
1
(C.7)
n
i
i
n
i
ijp
d
n
g
n
1
4
1
2
,2
11
(C.8)
onde
)()´(
1
yySyyg
iniij
e
j
ii
gd
essa é a versão amostral da distância de Mahalanobis entre
i
y
e
y
(que é a estimação da
média populacional
)
Mardia (1970).
Observa-se que os valores obtidos por
p,1
(igual ao quadrado do coeficiente amostral
de assimetria quando p=1) e
p,2
(igual ao coeficiente de curtose quando p=1) de tal forma que
são não negativos. Para os dados com distribuição normal multivariada, espera-se que
p,1
seja
aproximadamente zero. Partindo de uma simetria esférica (ou seja, correlação zero e variâncias
iguais), espera-se que
p,2
bem maiores. A quantidade
p,2
é usada para indicar os pontos com
comportamento extremo no quadrado de distancia de Mahalanobis das observações em relação
a média amostral. Mas,
p,2
e
p,2
. podem ser utilizados para detectar a normalidade
multivariada. Em seu trabalho, Mardia (1970) mostra que, para grandes amostras
6
,1
1
p
n
k
segue uma distribuição Qui-Quadrado com
6
2)1)(pp(p
graus de
Apêndice C - Distribuição Normal Multivariada 142
___________________________________________________________________________________________
liberdade e
n
pp
pp
k
p
)2(8
)2(
,2
2
segue uma distribuição normal padrão. Para amostras
pequenas, existe a tabela dos valores críticos para este teste estatístico desenvolvido por
Mardia(1974). Mardia, recomenda que se ambas as hipóteses são aceitas, a teoria normal para
testes do vetor de nédia ou a matriz de variância-convariância poderá se usada. Portanto, na
presença de não normalidade, a teoria dos testes normais na média são sensíveis a
p,1
.
Visto
que testes na matriz de variância-convariancia são influenciados por
p,2
.
Pode-se observar
que a curtose multivariada de Mardia será usada como uma medida de detectar os outliers (ou
pontos extremos) dos dados que são supostamente distribuídos segundo uma normal
multivariada.
É importante ressaltar também que em análise estatística multivariada, além da
distribuição normal outras distribuições intimamente relacionadas à distribuição normal são
aplicadas. Uma delas é a distribuição Qui-Quadrado (
2
) definida em termos da distribuição
normal e importante por ser base de procedimentos de inferência estatística, procedimentos
estes que envolvem a utilização de técnicas de gráficos de controle multivariados em
sucessivas amostras para monitorar um processo onde a média é uma normal multivariada
que pode ser interpretada com repetidos testes de significância da forma
:
o
H
o
:
1
H
o
onde
representa a média normal multivariada do processo cujo valor é desconhecido e
o
é o valor nominal (alvo) para o parâmetro.
Suponhamos que p-vetores aleatórios X
i
são independentes e identicamente
distribuídos segundo uma multivariável normal com matriz de covariância
conhecida e
constante, isto é,
),(~
p
N
onde X
i
denota a (amostra) do vetor de médias. Para testar a
hipótese, deve ser rejeitada a hipótese (
o
H ) quando
2
>
2
),(
onde
2
=
)()´(
1
oo
ìxìx
(C.9)
e
2
),(
é superior a
100
pontos percentuais da distribuição
2
com
graus de liberdade.
Uma outra distribuição associada a distribuição
2
é a distribuição Qui-Quadrado não
central (
2'
) cujo tamanho da mudança entre os vetores
ì
e
o
ì é reportando em termos de
Apêndice C - Distribuição Normal Multivariada 143
___________________________________________________________________________________________
uma quantidade
)()´()(
12
oo
ììììì
(C.10)
onde
)(
2
u
é o parâmetro de não centralidade da distribuição
),(
2'
com
graus de
liberdade freqüentemente utilizado para representar uma medida de distância em p dimensões
entre os vetores de média
ì
e
o
ì . A maior diferença entre as distribuições
2
),(
e
),(
2'
é o
adicional parâmetro
referente ao parâmetro de não centralidade. Quando os p-vetores
aleatórios X
i
anteriormente mencionados são i.i.d. e se distribuem segundo X
i
~
),0( IN
p
, o
parâmetro de não centralidade pode ser escrito como
´)(
2
.
APÊNDICE D - Autocorrelação e Estabilidade Estatística
Para que seja possível a utilização de qualquer tipo de gráfico de controle duas
suposições devem ser validadas, partindo-se da situação de processo para o controle estatístico.
A primeira suposição é a de independência estatística dos dados gerados no processo. A
segunda é a de que os dados de processo seguem uma distribuição normal com média
e
desvio padrão
. Quando ambas as suposições são satisfeitas, para o controle estatístico, os
dados de processo (
t
x , t =1,2...) seguem o modelo
tt
x
(D.1)
Quando a suposição de independência entre as observações de um processo não é
satisfeita, o gráfico de controle acaba não oferecendo um desempenho satisfatório. Esta
presença de autocorrelação entre as observações tem profundos efeitos nos gráficos de controle
desenvolvidos usando a suposição de independência entra as observações. Um destes efeitos é
o aumento de freqüência com que sinais falsos são gerados. Mesmo correlações fracas
produzem distúrbios nos gráficos de controle levando a conclusões erradas sobre o estado de
controle do processo. Na presença de um sinal fora do controle, por exemplo, torna-se difícil
distinguir se o mesmo é ocasionado pela presença de uma causa especial ou se é um alarme
falso induzido pela estrutura de autocorrelação dos dados do processo.
A autocorrelação nada mais é do que um mecanismo existente no processo, faz com
que os dados não sejam mais independentes entre si ao longo do tempo. A intensidade e o grau
de autocorrelação podem ser medidos analiticamente. A autocorrelação ao longo de um
modelo de séries temporais é medida pela função de autocorrelação
)(
),(
t
ktt
k
xV
xxCov
k = 0,1,2,..... (D.2)
Esta função permite que se entenda melhor o comportamento da dependência estatística entre
as observações e, posteriormente, pode ser útil quando da determinação de qual modelo de
séries temporais utilizar para representar o processo.
A abordagem de diversos autores para trabalhar com dados autocorrelacionados
baseia-se no ajuste de um modelo apropriado de séries temporais.
Mason (1997,2002) sugere séries temporais envolvendo a análise de funções de
autocorrelação (correlogramas) e a aplicação de técnicas de estatística inferencial tais como
Apêndice D – Autocorrelação e Estabilidade Estatística 145
___________________________________________________________________________________________
Análise de Variância (ANOVA) para o desenvolvimento de um modelo de Análise de
Regressão AR(1) da forma
erroybby
tot
11
.
A aplicação de um modelo de séries temporais para investigar as propriedades ARL do
gráfico de controle MCUSUM quando as observações são autocorrelacionadas é proposto por
Noorossana e Vaghefi (2006). Aplicando séries temporais utilizam neste modelo além de
correlogramas as observações geradas por uma Análise de Regressão AR(1) para investigar o
efeito da autocorrelação sobre o desempenho do gráfico MCUSUM. A aplicação deste modelo
para dados de um exemplo numérico comprova que a violação de independência que
comumente ocorre pode conduzir a um desempenho insatisfatório do gráfico de controle
MCUSUM.
Jarret e Pan (2007) sugerem para processos independentes, o de controle de controle
gráfico multivariado e para processos autocorrelacionados, os gráficos de controle univariados
separadamente. Para isso, propõem um vetor autoregressivo (VAR) para gráficos de controle
como uma combinação tabelada para autocorrelação resídua univariada e multivariada do
gráfico para processos independentes.
Para monitorar o vetor de médias de um processo, Kalgonda e Kulkarn (2004) propõem
um modelo autoregressivo VAR(1) de primeira ordem. Este modelo apresenta como recurso as
ilustrações que incluem conhecimentos apropriados tais como CEP multivariado e
autocorrelação.
Cheng e Thaga (2005) sugerem um gráfico de controle CUSUM capaz de detectar
mudanças na média e desvio padrão de dados autocorrelacionados. Afirmam com base no
ARL que o novo gráfico de controle é útil para o acompanhamento de processos de produção
modernos onde se produz com alta qualidade e com a mínima parte de unidades de produtos de
saída não conformes.
A aplicação de qualquer gráfico de controle estatístico a processos com dados
autocorrelacionados merece uma atenção especial de forma a evitar conclusões incorretas
sobre o comportamento do processo. O efeito de não ser considerada a autocorrelação quando
se aplica o CEP podo se manifestar da seguinte forma:
Considerar estável (sob controle estatístico) um processo, quando realmente existem
causas especiais de variação.
Identificar causas especiais de variação, quando na realidade o processo se encontra sob
controle estatístico.
Estimar incorretamente os parâmetros do processo.
Apêndice D – Autocorrelação e Estabilidade Estatística 146
___________________________________________________________________________________________
Dada a imprecisão na estimação dos parâmetros do processo, considerar incorreto um
processo capaz ou não capaz.
Investigação da raiz de um eventual problema que na realidade não existe no processo, o
que conduz desperdício de recursos e descrédito do CEP.
Portanto, na análise estatística de processos quando se considera a autocorrelação em gráficos
de controle facilita tanto a verificação da evidência de qualquer causa especial de variação
quanto o estudo da capacidade do processo.
APÊNDICE E - Teste Seqüencial da Razão de Probabilidades e Teoria da Soma
Acumulada em Gráficos de Controle
Os fundamentos teóricos que fornecem apoio técnico ao estudo de somas acumuladas
disponíveis na literatura são abordados a partir de duas linhas de trabalho. Um deles é a
proposta de Page (1954) que sugere a soma acumulada de desvios em relação ao valor de
referência. Esta soma, segundo Page deve ser diagnosticada para verificar o aumento máximo
desta para um ponto imediatamente superior.
Uma outra linha de trabalho é o Teste Seqüencial da Razão de Probabilidades
(SPRT-Seqüential Probability Ratio Test) desenvolvida por Wald (1945). Análogo ao
princípio de verossimilhança da soma acumulada, o SPRT utiliza dados seqüencialmente,
adicionando quando possível, a informação de cada nova observação, X
n
.
Nos testes SPRT avalia-se uma simples hipótese nula (H
o
) contra uma simples
hipótese alternativa (H
1
). Para cada uma destas hipóteses é associada uma função densidade
de probabilidade f
o
(x) e f
1
(x), respectivamente, para a medida X
n
.
Suponha uma determinada seqüência de observações independentes
i
X de tamanho
n que se deseja decidir entre H
o
e
H
1
. No SPRT, a razão de verossimilhança,
n
é dada por
n
i
i
i
n
Xf
Xf
1
0
1
)(
)(
(E.1)
O teste aceita H
o
se
n
for inferior ou igual ao valor do ponto de corte A, e rejeita H
o
em favor de H
1
se
n
for maior que o valor do outro ponto de corte, B. No entanto, se
BA
n
, então o SPRT apela para uma outra observação
1n
X e atualiza a razão de
verossimilhança para incorporá-lo.
Geralmente, é mais fácil trabalhar com logaritmos da razão de verossimilhança
n
i
i
i
n
Xf
Xf
1
0
1
)(
)(
lnln
(E.2)
A equação (E.2) pode ser escrita também como
n
i
in
Z
1
lnln
então
)(
)(
ln
0
1
i
i
i
Xf
Xf
Z
(E.3)
Apêndice E - Teste Seqüencial da Razão de Probabilidades e Teoria da Soma Acumulada
148
___________________________________________________________________________________________
onde o escore da variável
i
Z é apenas uma transformação da quantidade aleatória. Por isso,
é também uma variável aleatória cuja distribuição pode ser calculada a partir do X. De acordo
com o pressuposto de que os valores originais de
i
X
são independentes, então os valores de
i
Z
são também independentes.
Com isso:
Aceita-se H
o
se ln
n
≤ ln A
Aceita-se H
1
se ln
n
≥ ln B
Apela para uma outra observação se ln A < ln
n
< ln B
A figura E.1 ilustra isto com ln A = -3 e ln B = 3, onde teria sido aceito a observação 4.
Teste Seqüencial da Razão de Probabilidades
SPRT
-4
0
4
8
12
16
20
24
28
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Observações
Razão de Verossimilhança
SPRT Ln(A) Ln(B) CUSUM
Figura E.1 Representação gráfica do SPRT (Adaptado de Hawkins,1998, pág.137)
Como se pode observar há uma notável semelhança entre a representação gráfica de SPRT e a
forma original da Máscara V do gráfico MCUSUM.
Wald (1947) supõe o teste seqüencial da razão de probabilidades como sendo um teste
ótimo para decidir entre as duas hipóteses. Portanto, aplica o SPRT para minimizar o número
de pontos amostrados antes que uma decisão possa ser alcançada.
Na prática, o teste SPRT com estes logaritmos da razão de verossimilhança, ou
)ln(
n
, se transforma num procedimento baseado na soma acumulada dos Z
i
. Com base nesta
soma é possível decidir aceitar, rejeitar, ou continuar a amostragem. Se a hipótese H
1
for
verdadeira, os valores esperados de Z
i
serão positivos. Como os pontos são adicionados, a
Apêndice E - Teste Seqüencial da Razão de Probabilidades e Teoria da Soma Acumulada 149
___________________________________________________________________________________________
soma segue uma tendência ascendente. No entanto se a hipótese H
o
for verdadeira, os valores
esperados de Z
i
serão negativos e a soma segue uma tendência descendente.
As constantes A e B determinam as probabilidades de erros tipo I e tipo II. Os
valores necessários para estas constantes A e B são fixados através das probabilidades:
= P(erro tipo I) = P(rejeitar H
o
| H
o
) e (E.4)
= P(erro tipo II) = P( falhar em rejeitar H
o
| H
1
) (E.5)
Conforme lema de Neyman-Pearson (1933), o melhor teste para H
o
versus H
1
é a
razão de verossimilhança, enunciada como
rejeitar H
o
se
C
Xf
Xf
n
i
io
n
i
i
1
1
1
)(
)(
(E.6)
Sejam L
o
(x
1
,x
2
,....,x
n
) =
n
i
io
Xf
1
)(
e (E.7)
L
1
(x
1
,x
2
,....,x
n
) =
n
i
i
Xf
1
1
)(
(E.8)
as funções de verossimilhança sob as hipóteses H
o
e H
1
. A razão
0
1
L
L
n
é chamada de
razão de verossimilhança sob as hipóteses H
o
e H
1
. O teste da razão de verossimilhança rejeita
H
o
quando a razão
0
1
L
L
n
é maior que o valor C pré-estabelecido.
Segundo Neyman e Pearson (1933), o princípio do teste seqüencial é o de coletar
amostras até que se tenha forte evidência ou de H
o
ou de H
1
. Continua-se coletando amostras
até que a razão de verossimilhança seja ou muito grande, e neste caso H
1
parece ser a hipótese
provável, ou muito pequena; neste caso H
o
parece ser a hipótese provável. Coleta-se amostras
enquanto a razão de verossimilhança se mantenha entre os limites A e B, como em (E.9)
B
xxxL
xxxL
A
no
n
),...,,(
),...,,(
21
211
(E.9)
Os limites A e B são tais que indicam as regiões de evidência da hipótese H
o
ou dada
hipótese H
1
e a região em que se um ponto for demarcado deve-se continuar amostrando. A
figura E.2 ilustra estas regiões.
Apêndice E - Teste Seqüencial da Razão de Probabilidades e Teoria da Soma Acumulada 150
___________________________________________________________________________________________
0
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Amostras
L
/
L
o
escolha Ho
continue coletando amostras
B
A
escolha H
1
Figura E.2 Regiões para escolha das alternativas H
o
e H
1
Seja o conjunto
m
A
tal que
|),..,,{(
21 mm
xxxA
encerra a amostragem após precisamente m observações e escolhe H
1
)}
Então para todos ),..,,(
21 m
xxx
m
A a razão de verossimilhança é tal que
B
xxxL
xxxL
no
n
),...,,(
),...,,(
21
211
Então
mm
Axxx
m
BxxxL
),...,,(
211
21
),..,(
x
mm
Axxx
m
xxxL
),...,,(
210
21
),..,(
, o que representa as probabilidades
P(escolher H
1
| H
1
)>B x P(escolher H
1
| H
0
)
Bâ1
x
De maneira similar o limite A é obtido
A x )1(
>
Testando-se a hipótese de ocorrência de um desvio
o
1
em um processo normal, tem-
se:
oo
H
o
H
1
Para x
1
,x
2
,..., x
n
~ N( ),
2
independentes e identicamente distribuídas, em que
é o desvio
conhecido. Sem perda de generalidade, admitindo-se que
01
. Tendo observado n
observações, a razão de verossimilhança será
Apêndice E - Teste Seqüencial da Razão de Probabilidades e Teoria da Soma Acumulada 151
___________________________________________________________________________________________
n
i
i
n
i
i
n
x
x
1
2
2
0
1
2
2
0
2
)(
exp
2
1
2
)(
exp
2
1
(E.10)
A seguir a demonstração algébrica para a razão de verossimilhança,
n
associada as
constantes A e B,ou seja aos limites que indicam no gráfico as regiões para escolha das
alternativas H
o
e H
1
.
n
i
i
n
i
i
no
n
n
x
x
xxxL
xxxL
1
2
2
0
1
2
2
0
21
211
2
)(
exp
2
1
2
)(
exp
2
1
),...,,(
),...,,(
n
=
n
i
ii
xx
1
2
2
0
2
2
0
2
)(
2
)(
exp
n
=
2
2
01
2
01
2
)(
2
)(
exp
xx
x
2
2
02
2
02
2
)(
2
)(
exp
xx
x
.........x
2
2
0
2
0
2
)(
2
)(
exp
nn
xx
=
n
=
2
01
2
2
22
exp
x
x
2
2
02
2
2
22
exp
x
x
2
0
2
2
22
exp
n
x
n
=
)(
)(
2
)(
exp
01
2
01
2
2
01
x
x
)(
)(
2
)(
exp
02
2
01
2
2
01
x
.........x
)(
)(
2
)(
exp
0
2
01
2
2
01
n
x
n
=
n
i
i
x
n
1
0
22
2
)(
2
exp
Logo a razão de verossimilhança é tal que
),...,,(
),...,,(
21
211
no
n
n
xxxL
xxxL
n
i
i
n
x
1
2
2
0
2
2
)(exp
. Como
01
, então
),...,,(
),...,,(
21
211
no
n
n
xxxL
xxxL
n
i
i
n
x
1
2
2
01
0
2
01
2
)(exp
(E.11)
Apêndice E - Teste Seqüencial da Razão de Probabilidades e Teoria da Soma Acumulada 152
___________________________________________________________________________________________
O procedimento de teste é o de coletar amostras enquanto a razão de verossimilhança
esteja entre as constantes (limites) A e B, então
B
n
xA
n
i
i
1
2
2
01
0
2
01
2
)(exp
B
n
xA
n
i
i
ln
2
)(ln
1
2
2
01
0
2
01
2
2
01
01
2
2
ln
n
A
n
i
oi
x
1
)(
01
2
2
2
01
2
ln
n
B
(E.12)
em que os limites A e B são dados por
á
1
â
A
e
á
â1
B
O monitoramento de uma seqüência de variáveis aleatórias independentes e
normalmente distribuídas como procedimento CUSUM está intimamente relacionado com os
testes seqüenciais da razão de probabilidades (SPRT) de Wald.
Os gráficos de controle podem ser interpretados como testes seqüenciais para
interpretar a hipótese nula (H
o
) indicando sob controle e a hipótese alternativa (H
1
) indicando
fora de controle. Uma das aplicações de teste seqüencial da razão de probabilidades (SPRT)
em gráficos de controle CUSUM é a de continuar acompanhando o processo até a emissão de
um sinal fora de controle, ou seja, até
n
> A.
Page desenvolveu em 1954 na Inglaterra o gráfico de controle Somas Acumuladas
(CUSUM) como uma alternativa viável ao gráfico
X
de Shewhart para detectar mudanças no
processo de pequena magnitude. Este gráfico é baseado nas somas acumuladas das médias ou
das observações individuais e é derivado do SPRT. No procedimento de soma acumulada deste
gráfico é incorporado diretamente, toda a seqüência de informações para demarcar as somas
acumuladas dos desvios de
j
x
em relação ao valor-alvo
o
(valor nominal). Supondo que
amostras de tamanho n
1
são coletadas,
j
x
é a média de j-ésima amostra e
o
é o valor
desejado para a média do processo, a estatística CUSUM é formada demarcando a quantidade
da equação (E.13) com a amostra i
)(
0
1
1
xC
)()(
21
2
oo
xxC
=
)(
2
1
o
xC
)()()(
321
3
ooo
xxxC
)(
3
2
o
xC
.....
i
j
o
i
io
i
i
xCxC
1
1
)()(
(E.13)
Apêndice E - Teste Seqüencial da Razão de Probabilidades e Teoria da Soma Acumulada 153
___________________________________________________________________________________________
onde
i
C
é a soma acumulada incluindo a i-ésima amostra, uma vez que combinam
informações de diversas amostras.
Se o processo permanecer sob controle para o valor desejado
o
, as somas acumuladas
definidas em (E.13) descrevem um percurso aleatório com média zero. Porém, se a média
muda para algum valor acima
1
>
o
, então a tendência ascendente se desenvolverá na soma
acumulada
i
C
. Reciprocamente, se a média muda para algum valor abaixo
1
<
o
, a soma
acumulada
i
C terá uma direção negativa. Por esta razão, se nos pontos demarcados aparecer
uma tendência para cima ou para baixo, deve-se considerar isto como uma evidência de que a
média do processo mudou e uma busca de causas assinaláveis deve ser realizada.
Page (1961) ao aperfeiçoar o gráfico CUSUM reconhece explicitamente que as suas
somas acumuladas (CUSUM) resultam em uma sucessão de testes seqüenciais de Wald. O
gráfico de controle CUSUM unilateral pode ser pensado como repetidos testes seqüenciais de
razão de probabilidades. A principal diferença entre CUSUM e SPRT de Wald é que na soma
acumulada a hipótese de controle, (H
o
), nunca é aceita. Por isso, é aconselhável que reinicie o
teste cada vez que a evidência favorece a hipótese de que o processo está sob controle. Sempre
que a soma acumulada Z
i
for negativa, a evidência favorece a hipótese de controle, (H
o
).
Quando isto acontece, considera-se esta soma igual a zero, ou em termos algébricos,
),0max(
1 iii
ZkCC
(E.14)
A estatística
i
C
é comparada a uma constante
h . Se
i
C
>
h , o gráfico CUSUM indica que
ocorreu um aumento na média do processo. Para um tamanho de mudança,
0
, o SPRT
similarmente ao procedimento de soma acumulada revela uma redução na média do processo.
Neste caso, conforme equação (E.15)
),0max(
1 iii
ZkCC
(E.15)
o gráfico CUSUM é comparado a uma constante
h . Se
i
C
<
h , o gráfico indica que ocorreu
uma redução na média do processo.
Na abordagem do gráfico CUSUM, rejeita-se a hipótese nula (H
o
) em favor da
hipótese alternativa (H
1
). O escore da função Z
i
passa a ser a mesma função definida no SPRT;
é uma função de X
i
, e depende de alguns parâmetros sob controle e fora de controle que possa
ter para as distribuições de f
o
(x
i
) e f
1
(x
i
).
APÊNDICE F - A Função Perda de Taguchi para a Tomada de Decisões
F.1 Função Perda de Taguchi (Univariada e Multivariada)
Um método baseado na função perda de Taguchi é proposto neste trabalho para
determinar sob a ótica de regiões de máxima e mínima potência em processos multivariados, a
região sob controle de
Ad
, e a região onde devemos detectar o mais rápido possível uma
mudança
Bd
.
O objetivo de se buscar a otimização de um processo produtivo multivariado não é o
de apenas manter as características de qualidade estáveis, dentro de limites previamente
estabelecidos em projetos: é, também, o de reduzir a variabilidade em torno de um valor médio
enfocado por Chou, Liu e Huang (2002).
A qualidade de um produto segundo a filosofia de Taguchi é a perda mínima imposta
por este produto a sociedade no decorrer de sua utilização Kapur e Cho, (1996). Do ponto de
vista social este conceito de qualidade é único porque inclui fabricantes, clientes e a sociedade
como um todo. A filosofia Taguchi enfatiza a importância econômica de alcançar um baixa
variabilidade, uma coerência funcional e sobretudo uma alta qualidade.
No conceito tradicional de avaliação de um sistema de qualidade, um produto é
classificado como não conforme se a característica da qualidade do produto sob controle se
encontra fora dos limites de especificação incorrendo em uma determinada perda econômica.
No caso contrário, o produto é classificado como conforme e sem perda econômica. Neste
enfoque caracterizado com filosofia ocidental utiliza-se uma avaliação binário de qualidade
com especificações ou tolerâncias onde por exemplo, uma peça é classificada como
absolutamente conforme se está dentro de tolerâncias e como não conforme quando está fora
de tolerâncias.
O enfoque japonês de Taguchi contempla a avaliação contínua da qualidade de um
produto baseado na perda econômica que significa a variação das características da qualidade
referente aos valores nominais definidos. Para Taguchi a perda é nula somente quando o valor
da característica da qualidade coincide com o valor nominal e aumenta de forma contínua à
medida que se afasta do valor nominal ainda que se cumpram as especificações. As idéias
anteriores se modelam na conhecida função perda de Taguchi para à tomada de decisões. Esta
Apêndice F - A Função Perda de Taguchi para a Tomada de Decisões 155
___________________________________________________________________________________________
função avalia a perda, em termos econômicos, de um produto em relação com o valor de uma
de suas características quantitativas da qualidade mediante uma função quadrática do tipo:
2
)()( TykyL
(F.1)
onde y é o valor da característica da qualidade de Y considerado, T é o valor nominal (valor
alvo), k é o coeficiente de perda (constante de proporcionalidade) e L(y) é a perda econômica
produzida pelo fato da característica da qualidade de interesse desviar-se do valor nominal. A
utilização desta função perda L(y) é fundamental para atender propósitos gerenciais como a
valor monetário da conseqüência de qualquer aperfeiçoamento em qualidade. Esta expressão
matemática estabelece uma medida financeira para o cálculo do desvio de uma característica
do produto com relação ao valor nominal.
Consideremos que o processo se encontra sob controle e centrado no valor nominal
T. Os limites das especificações são T
1
e T
2
. Seja C
A
o custo ou perda depreciável quando o
desvio ocorrido em relação ao valor nominal é y
A
e
C
B
o custo ou perda depreciável quando o
desvio ocorrido em relação ao valor nominal é y
B.
Podemos escrever C
A
=L(y
A
) e C
B
=L(y
B
).
Com isso, se cumpre que
2
TyyT
BA
ou também
TyyT
AB
1
, conforme figura F.1
0
15
0 10
T T
2
B
A
C
k
C
B
C
A
T
1
A
B
Figura F.1 Função perda univariada de Taguchi
A função perda de Taguchi dada pela equação F.1 neste caso, toma-se na seguinte forma
2
)()( TykyL
AA
2
)()( TykyL
BB
(F.2)
onde para determinar k devemos conhecer o valor de )(yL associada a um valor da variável Y
diferente do valor nominal que pode ser tanto o custo como a perda associada a um valor que
Apêndice F - A Função Perda de Taguchi para a Tomada de Decisões 156
___________________________________________________________________________________________
se encontra fora dos limites de especificações. A este valor de,
)(
k
yL
, chamamos de C
k
e
aplicando a equação (F.2) se obtém o valor de k :
2
)(
)(
Ty
yL
k
k
k
(F.3)
Conhecido o valor de descentralização
Ty
d
e os valores dos custos C
A
, C
B
e C
k
e os
desvios do valor nominal y
A
e y
B
é possível determinar o desvio relativo ao valor nominal em
unidade de
.
Tyd
AA
Tyd
BB
(F.4)
Estes são os valores que delimitam as regiões de máxima e mínima potência, ou seja,
A
dA
e
B
dB
. A figura F.2 ilustra os pontos que delimitam tais regiões.
1
1000
0 3
R
egiões de Máxima e Mínima Potência
de um gráfico de controle
d
ARL
A B
Região
sob
Controle
Região Indiferente
Região
fora de controle
Figura F.2 Pontos A e B que delimitam as regiões de máxima e mínima potência
Quando se fala da fabricação de um produto se faz referência ao conjunto de unidades
fabricadas pelo processo considerado. Tais unidades fabricadas apresentarão variabilidade
referente a característica da qualidade considerada onde cada uma delas terá qualidade
diferente. Esta qualidade se obtém encontrando o valor esperado da função de perdas.
Seja Y uma variável aleatória de média
e desvio padrão
, a perda média por peça
fabricada é:
])([)]([
22
TkyLE
(F.5)
onde
)]([ yLE
é o valor esperado da função de perdas e
2
)( TLSE
A
k
. Os valores de A e
Apêndice F - A Função Perda de Taguchi para a Tomada de Decisões 157
___________________________________________________________________________________________
LSE representam respectivamente, o custo de se produzir um produto fora do especificado e o
limite superior especificado para a característica da qualidade em questão.
Agora considerando o controle de qualidade de um processo multivariado onde
desejamos monitorar simultaneamente p variáveis que estão correlacionadas entre si. De forma
análoga ao caso univariado, o produto ou o processo transmitirá uma perda à variabilidade
associada ao afastamento de algumas das característica da qualidade consideradas. Como em
um processo multivariado as características de qualidade usualmente estão correlacionadas
entre si e geralmente a perda global não é a soma das perdas individuais de cada uma das
características da qualidade torna-se necessário o desenvolvimento de uma função de perda
multivariada.
Kapur e Cho (1996) estende o conceito da função perda univariada de Taguchi no caso
multivariado. Suponhamos que y
1
, y
2
, y
p
são os valores de p características da qualidade de
uma mesma unidade de um determinado produto e T
1
, T
2,
...,Tp são, respectivamente, os
valores nominais das p características de qualidade consideradas. Desenvolvendo em modelo
de séries de Taylor a função perda e ignorando os termos de ordem superior, a função de perda
multivariada pode ser expressa como:
p
i
i
j
jjiiijp
TyTykyyyL
1 1
21
))((),.....,,(
(F.6)
onde
),.....,,(
21 p
yyyL
é a perda transmitida à sociedade e onde
jiij
kk
é a constante de
proporcionalidade que especifica os custos do desvio da característica da qualidade ao
afastar-se de seus valores nominais. Por exemplo, k
11
é o custo individual por unidade pelo
fato da característica de qualidade y
1
desviar-se de T
1
e k
12
é o custo por unidade adicional
incluído quando as características y
1
e y
2
estão simultaneamente fora de seus valores nominais
T
1
e T
2
..
No caso particular de que as características de qualidade y
1
e y
2
sejam independentes
então k
ij
= 0 e a equação (F.6) se reduz a soma de p funções de perda independentes
Teeravaraprug e Cho (2002). As constantes k
ij
podem ser determinadas mediante métodos de
regressão Kapur e Cho (1996).
F.2 Pontos A e B que delimitam das Regiões de Máxima e Mínima Potência de um
gráfico de controle
Geralmente em um produto existem duas ou mais características quantitativas de
qualidade. O imediato é pensar que podemos monitorar o processo de fabricação mediante o
Apêndice F - A Função Perda de Taguchi para a Tomada de Decisões 158
___________________________________________________________________________________________
controle de perda de uma das características separadamente e somar as perdas individuais. Isto
é incorreto pois em geral, as perdas não são aditivas já que existe um efeito conjunto dos
desvios de pares de variáveis sobre a perda global. Com relação, por exemplo no caso
bivariado, (p=2) a equação (F.6) pode ser escrita como:
))((2)()(),(
2211122222111121
TyTykTykTykyyL
(F.7)
No caso em que y
1
e y
2
são independentes (k
12
=0), temos que L(y
1
,y
2
) = L(y
1
) + L(y
2
)
Por exemplo, seja um processo bivariado cujas características da qualidade tenham
como valores nominais dados por T, cuja matriz de variâncias-covariâncias seja
com uma
matriz de coeficientes de perda K
2
1
T
T
T
=
2
221
12
2
1
2221
1211
kk
kk
K
Dada uma perda conjunto de valor m, por exemplo, representada pela linha de
contorno C = m e considerando os valores da variável bivariada representada pelos vetores y
A
,
y
B
e y
C
então:
myyLyyLyyL
CCBBAA
),(),(),(
2
12121
(F.8)
Agora, o problema a ser resolvido é medir em uma peça produzida o valor do desvio
da característica da qualidade em relação ao valor nominal. Em análise estatística multivariada
a distância de Mahalanobis mede o tamanho de mudança de um vetor. Em nosso caso é a
distância entre o vetor de valores nominais T e o vetor de valores obtidos Y(y
1
,y
2
) :
TyTyd
1
1
11
)´(
(F.9)
Esta é portanto a forma que vamos utilizar para medir o afastamento sobre o valor nominal.
APÊNDICE G - Método da Secante
O método da secante é um método iterativo de análise numérica bastante utilizado na
prática para determinadas funções cuja derivada é muito complicada ou sujeita a erros e com
isso não é viável determinar )´(xf . Uma das grandes dificuldades com o método de Newton é
determinar a derivada
)´(xf
para algumas funções. Esta exigência acrescenta uma sobrecarga
no computador, e pode ainda acrescentar um custo computacional para a resolução do
problema. Na verdade, é uma alternativa ao método de Newton pois há uma substituição da
derivada por uma linha secante. A figura G.1 ilustra geometricamente o método que inicia a
secante com suposição inicial de dois pontos x
o
e x
1
, onde f(x
o
)
f(x
1
). Nesse método,
partimos de duas aproximações x
o
e x
1
e determinamos a reta que passa por [x
o
, f(x
o
)] e
[x
1
, f(x
1
)]. A intersecção dessa reta com o eixo x = 0 determina a próxima iteração x
2
.
Continuamos o processo a partir de x
2
.
Temos assim o seguinte processo iterativo:
(G.1)
Figura G.1 Método da Secante
Neste trabalho
é desenvolvido um programa em ambiente Matlab denominado
Programa Computacional 2 para determinar o limite superior de controle h (intervalo de
decisão) apropriado do gráfico MCUSUM para o valor desejado de ARL quando o processo
)()(
)()(
1
1
1
2
ii
iiii
i
xfxf
xfxxfx
x
Apêndice G - Método da Secante 160
___________________________________________________________________________________________
está sob controle. Para tal programa, este método iterativo de análise numérica denominado
Método da Secante é aplicado para aproximar a solução de h à equação não linear
0ARLh)|ARL(0
0
. A saída dos dados deste programa inclui as sucessivas aproximações
para o valor de h em um determinado número de iterações.
A figura G.2 ilustra um exemplo de aplicação do método da secante desenvolvido em
ambiente MS-Excel para a função
Figura G.2 Exemplo de aplicação do Método da Secante
2)(
23
xxxf
APÊNDICE H - Interpolação Polinomial
A interpolação é um procedimento no qual uma fórmula matemática é usada para
fornecer o valor exato dos pontos pertencentes a um conjunto de dados e um valor estimado
entre esses pontos. Abordaremos aqui a interpolação polinomial empregando-se um único
polinômio, para qualquer número de pontos envolvidos, ou seja, para n pontos existe um
polinômio de ordem n-1 que passa por todos esses pontos. Para 5 pontos, por exemplo, o
polinômio é de 4ª ordem.
Consideremos um conjunto de pontos (designados nós de interpolação) x
o
, x
1
,..,x
n
a que
estão associados os valores de uma função: f
0
, ... , f
n
, respectivamente. Pretendemos encontrar
um polinômio:
p ( x ) : p ( x
i
) = f
i
para i = 0, ..., n.
O polinômio de 3
o
grau interpola a função em 4 pontos conforme figura H.1
Polinômio
0
20
40
60
0 1 2 3 4 5 6 7 8
X
X
o
X
2
X
3
X
1
Polinômio Interpolador
Y
Figura H.1 Polinômio de 3º grau
Escrevendo p( x ) = a
0
+ a
1
x + ... + a
m
x
m
, obtemos o sistema:
a
0
+ a
1
x
0
+ ... + a
m
x
0
m
= f
0
. . . .
a
0
+ a
1
x
n
+ ... + a
m
x
n
m
= f
n
Apêndice H – Interpolação Polinomial 162
___________________________________________________________________________________________
e para que este sistema seja possível e determinado é pelo menos necessário que m=n.
Obtemos assim o sistema linear :
em que a matriz do sistema é conhecida como Matriz de Vandermonde.
A existência e unicidade do polinômio interpolador é equivalente a assegurar que o sistema é
possível e determinado para quaisquer x
o
, ... , x
n
distintos.
Teorema:
Dados n+1 nós, x
o
, ... , x
n
e os respectivos valores f
0
, ... , f
n
, existe um e um só, polinômio
interpolador de grau < n, para esses valores.
Demonstração:
Supondo que existem dois polinômios interpoladores p e q de grau < n, então o polinômio
p(x) - q(x) tem grau < n e n+1 raízes, já que, sendo polinômios interpoladores, verificam :
p ( x
i
) = f
i
= q ( x
i
) para i = 0, ..., n.
Conseqüentemente, como tem n+1 raízes e grau < n, o polinômio p(x)-q(x) terá que ser nulo,
logo p=q
Neste trabalho, aplicou-se interpolação polinomial para obter-se os valores estimados
para o ARL quando o processo está fora de controle e e com estes valores realizar a análise de
sensibilidade.
APÊNDICE I - Relatórios:resultados obtidos com a resolução dos modelos matemáticos
I.1 Relatórios de resposta, análise de sensibilidade e limites do modelo matemático
formulado para os dados do exemplo de aplicação em ambiente MS-Excel (Solver)
T = 8
S =
0,49 0 K = 3 0,5
20 0 0,25 0,5 2
x -8
T
2,041 0 x -8
y -20 0 4 y -20
2 x² -33 x + 1730,6 + -160 y + 4 y²
x = 8,178
y = 20,022
d = 0,26
( Ponto A )
s.a: 0,100 = 0,1
Microsoft Excel 11.0 Relatório de resposta
Planilha: [Otimização do Gráfico MCUSUM.xls]
Pontos de máxima e mínima potência
Relatório criado: 10/1/2009 17:12:21
Célula de destino (Mín)
Célula Nome Valor original Valor final
$H$21 d = S = 0,26
0,26
Células ajustáveis
Célula Nome Valor original Valor final
$H$18 x = S = 8,178
8,178
$H$19 y = S = 20,022
20,022
Restrições
Célula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência
$H$23 s.a: S = 0,100
$H$23=$J$23 Sem agrupar 0
$H$18 x = S = 8,178
$H$18>=0 Sem agrupar 8,178
$H$19 y = S = 20,022
$H$19>=0 Sem agrupar 20,022
Microsoft Excel 11.0 Relatório de sensibilidade
Planilha: Planilha: [Otimização do Gráfico MCUSUM.xls]
Pontos de máxima e mínima potência
Relatório criado: 10/1/2009 17:12:21
Células ajustáveis
Final Reduzido
Célula Nome Valor Gradiente
$H$18 x = S = 8,178
0,000
$H$19 y = S = 20,022
0,000
Restrições
Final Lagrange
Célula Nome Valor Multiplicador
$H$23 s.a: S = 0,100
1,291
Microsoft Excel 11.0 Relatório de limites
Planilha: Planilha: Planilha: [Otimização do Gráfico MCUSUM.xls]
Pontos de máxima e mínima potência
Relatório criado: 10/1/2009 17:12:21
Destino
Célula Nome Valor
$H$21 d = S = 0,26
Ajustável Inferior Destino Superior Destino
Célula Nome Valor Limite Resultado Limite Resultado
$H$18 x = S = 8,178
8,178
0,258
8,178
0,258
$H$19 y = S = 20,022
20,022
0,258
20,022
0,258
),(),(
21
yxYyyY
Apêndice I - Relatórios: resultados obtidos com a resolução dos modelos matemáticos 164
___________________________________________________________________________________________
T = 8
S =
0,5
0
K =
3
0,5
20 0 0,25 0,5 2
x -8
T
2,041
0
x
-8
y -20 0 4 y -20
2 x² -33 x + 1730,6 + -160 y + 4 y²
x = 7,204
y = 19,901
d = 1,15
( Ponto B )
s.a: 2,000 = 2
1
Microsoft Excel 11.0 Relatório de resposta
Planilha: [Otimização do Gráfico MCUSUM.xls
Pontos de Máxima e mínima potência
Relatório criado: 10/1/2009 19:02:41
Célula de destino (Mín)
Célula Nome Valor original
Valor final
$H$21 d = S = 1,15
1,15
Células ajustáveis
Célula Nome Valor original
Valor final
$H$18 x = S = 7,204
7,204
$H$19 y = S = 19,901
19,901
Restrições
Célula Nome
Valor da
célula
Fórmula Status Transigência
$H$23 s.a: S = 2,000
$H$23=$J$23
Sem
agrupar 0
$H$18 x = S = 7,204
$H$18>=0
Sem
agrupar 7,204
$H$19 y = S = 19,901
$H$19>=0
Sem
agrupar 19,901
Microsoft Excel 11.0 Relatório de sensibilidade
Planilha: [Otimização do Gráfico MCUSUM.xls
Pontos de Máxima e mínima potência
Relatório criado: 10/1/2009 19:02:41
Células ajustáveis
Final Reduzido
Célula Nome Valor Gradiente
$H$18 x = S = 7,204
0,000
$H$19 y = S = 19,901
0,000
Restrições
Final Lagrange
Célula Nome Valor Multiplicador
$H$23 s.a: S = 2,000
0,289
Microsoft Excel 11.0 Relatório de limites
Planilha: [Otimização do Gráfico MCUSUM.xls
Pontos de Máxima e mínima potência
Relatório criado: 10/1/2009 19:02:41
Destino
Célula Nome Valor
$H$21 d = S = 1,15
Ajustável
Inferior Destino Superior
Destino
Célula Nome Valor
Limite Resultado
Limite Resultado
$H$18 x = S = 7,204
7,204
1,154
7,204
1,154
$H$19 y = S = 19,901
19,901
1,154
19,901
1,154
),(),(
21
yxYyyY
Apêndice I - Relatórios: resultados obtidos com a resolução dos modelos matemáticos 165
___________________________________________________________________________________________
I.2 Relatórios de resposta, análise de sensibilidade e limites do modelo matemático
formulado para os dados do Processo XY (furação de acabamento do furo 1) em
ambiente MS-Excel (Solver)
Microsoft Excel 11.0 Relatório de resposta
Planilha: [SolveTeserMín.5.xls]Plan1
Relatório criado: 25/1/2009 22:27:00
Célula de destino (Mín)
Célula
Nome
Valor original
Valor final
$H$21
d = S =
8679,64
0,80
Células ajustáveis
Célula
Nome
Valor original
Valor final
$H$18 x = S = 0,000 5,011
$H$19
y = S =
0,000
103,253
Restrições
Célula
Nome
Valor da célula
Fórmula
Status
Transigência
$H$23 s.a: S = 0,0012 $H$23=$J$23 Sem agrupar 0
$H$18 x = S = 5,011 $H$18>=0 Sem agrupar 5,011
$H$19
y = S =
103,253
$H$19>=0
Sem agrupar
103,253
Microsoft Excel 11.0 Relatório de sensibilidade
Planilha: [SolveTeserMín.5.xls]Plan1
Relatório criado: 25/1/2009 22:27:00
Células ajustáveis
Final
Reduzido
Célula
Nome
Valor
Gradiente
$H$18 x = S = 5,011 0,000
$H$19
y = S =
103,253
0,000
Restrições
Final
Lagrange
Célula
Nome
Valor
Multiplicador
$H$23 s.a: S = 0,0012 335,3218
Microsoft Excel 11.0 Relatório de limites
Planilha: [SolveTeserMín.5.xls]Relatório de limites 1
Relatório criado: 25/1/2009 22:27:00
Destino
Célula
Nome
Valor
$H$21
d = S =
0,80
Ajustável
Inferior
Destino
Superior
Destino
Célula
Nome
Valor
Limite
Resultado
Limite
Resultado
$H$18 x = S = 5,011 5,011 0,804 5,011 0,804
$H$19
y = S =
103,253
103,253
0,804
103,253
0,804
Apêndice I - Relatórios: resultados obtidos com a resolução dos modelos matemáticos 166
___________________________________________________________________________________________
Microsoft Excel 11.0 Relatório de resposta
Planilha: [SolveTeserMín.3.xls]Plan1
Relatório criado: 25/1/2009 22:29:08
Célula de destino (Mín)
Célula
Nome
Valor original
Valor final
$H$21
d = S =
8679,64
1,50
Células ajustáveis
Célula
Nome
Valor original
Valor final
$H$18 x = S = 0,000 5,021
$H$19 y = S = 0,000 103,256
Restrições
Célula
Nome
Valor da célula
Fórmula
Status
Transigência
$H$23 s.a: S = 0,0042 $H$23=$J$23 Sem agrupar 0
$H$18 x = S = 5,021 $H$18>=0 Sem agrupar 5,021
$H$19
y = S =
103,256
$H$19>=0
Sem agrupar
103,256
Microsoft Excel 11.0 Relatório de sensibilidade
Planilha: [SolveTeserMín.3.xls]Plan1
Relatório criado: 25/1/2009 22:29:08
Células ajustáveis
Final
Reduzido
Célula
Nome
Valor
Gradiente
$H$18 x = S = 5,021 0,000
$H$19
y = S =
103,256
0,000
Restrições
Final
Lagrange
Célula
Nome
Valor
Multiplicador
$H$23
s.a: S =
0,0042
178,9174
Microsoft Excel 11.0 Relatório de limites
Planilha: [SolveTeserMín.3.xls]Relatório de limites 1
Relatório criado: 25/1/2009 22:29:08
Destino
Célula
Nome
Valor
$H$21
d = S =
1,50
Ajustável
Inferior
Destino
Superior
Destino
Célula
Nome
Valor
Limite
Resultado
Limite
Resultado
$H$18 x = S = 5,021 5,021 1,504 5,021 1,504
$H$19
y = S =
103,256
103,256
1,504
103,256
1,504
APÊNDICE J - O R Project e Rotina Desenvolvida para gerar o Gráfico
MCUSUM
J.1 Introdução
A internet, instrumento de globalização do conhecimento, vem de encontro a grande
necessidade atual de se democratizar a informação cujo papel de extrema importância é
direcionado a uma sociedade tecnologicamente desenvolvida. Conhecer algumas ferramentas
computacionais livres que possam auxiliar usuários a resolver seus problemas em diversas
áreas tem sido facilitado cada vez mais pelo acesso a rede mundial. Portanto, é natural a
procura pelo desenvolvimento de aplicações que auxiliem usuários a terem acesso rápido a
informações claras, precisas e objetivas.
A aplicação de pacotes computacionais a análise estatística multivariada de processos
tais como MINITAB
®
, STATISTICA
®
, etc., vêm se fazendo cada vez mais presentes, cuja
demanda tem sua origem tanto no âmbito da pesquisa nas universidades quanto no
monitoramento de processos em ambientes industriais. Como característica comum está o
fato de todos serem pacotes comerciais, implicando no pagamento de licenças para
acompanhar as várias versões lançadas num curto espaço de tempo. Felizmente, programas
computacionais livres, como por exemplo, o R Project tem se propagado principalmente no
meio acadêmico na última década como uma ferramenta de computação estatística com
uma enorme variedade de funções para análise de dados. Este recurso computacional livre
segundo Alves, Henning e Samohyl (2008a) é fundamental para complementar algumas
funções ainda não disponíveis na maioria dos softwares comerciais de análise estatística de
dados, como por exemplo, o desenvolvimento do gráfico de controle MCUSUM. Para gerar
este tipo de gráfico de controle desenvolveu-se neste trabalho uma rotina computacional no
pacote GNU R.
J.2 O R Project
O R Project é uma linguagem e um ambiente para computação estatística. Como é um
projeto GNU, baseado no conceito de software livre, pode ser usado sem custos de licença.
Ele permite, de acordo com os autores, uma grande variedade de análises estatísticas como,
por exemplo, análise exploratória de dados, testes estatísticos, regressão linear e não linear
análise de séries temporais, entre diversas outras. Como ponto forte está a facilidade com que
Apêndice J O R Project e Rotina Desenvolvida para gerar o Gráfico MCUSUM 168
___________________________________________________________________________________________
gráficos bem delineados e de alta qualidade para impressão podem ser produzidos. Além
disso, possui inúmeras funções para manipulação, importação e exportação de dados, sendo
multi-plataforma, contendo versões para Windows, MacOS, GNU/Linux e Unix. É possível
carregar dados externos das mais diversas formas, incluindo de planilhas eletrônicas, como o
Microsoft Excel® e Open-Office, banco de dados e até de outros pacotes como MINITAB® e
SPSS®, por exemplo. O termo ambiente pretende caracterizar o R como um sistema
totalmente planejado e coerente ao invés de uma aglomeração de ferramentas muito
específicas e inflexíveis, permitindo aos usuários acrescentar funcionalidade adicional por
definição de novas funções.
J.3 Rotina Computacional no Pacote GNU R para gerar o MCUSUM do processo XY
A rotina computacional no pacote GNU R para gerar o gráfico MCUSUM (figura
4.20 - Capítulo 4) que é aplicado para monitorar simultaneamente as duas características da
qualidade X
1
e Y
1
no processo XY (furação de acabamento do furo 1) conforme a seguir:
mcusum
1=function(x,media=NULL,mc=NULL,k=0.5,h=5.5)
{
x=as.matrix(x)
if (is.null(mc)) {
m=nrow(x)
v=matrix(c(0),nrow=(nrow(x)-1),ncol=ncol(x))
for (i in 1:(m-1)) {v[i,]=x[i+1,]-x[i,]}
vt=t(v)
vv=vt%*%v
mc=matrix(c(0),ncol=ncol(x),nrow=ncol(x))
for (i in 1:ncol(mc)){mc[i,]=(1/(2*(m-1)))*(vv[i,])}}
if (is.null(media)){
media=matrix(c(0),ncol=1,nrow=ncol(x))
for (i in 1:ncol(x)){media[i,1]=mean(x[,i])}}
s=matrix(c(0),ncol=ncol(x),nrow=nrow(x))
st=matrix(c(0),ncol=ncol(x),nrow=nrow(x))
ci=matrix(c(0),ncol=1,nrow=nrow(x))
p=matrix(c(0),ncol=1,nrow=nrow(x))
vmc=matrix(c(0),ncol=ncol(x),nrow=nrow(x))
for (i in 1:ncol(x)){x[,i]=x[,i]-media[i,1]}
s[1,]=s[1,]+x[1,]
st[1,]=s[1,]%*% solve(mc)
ts=t(s)
ci[1]=sqrt(st[1,]%*% ts[,1])
p[1]=1-k/ci[1]
if (ci[1]>k){vmc[1,]=(vmc[1,]+x[1,])*p[1]} else
(vmc[1,]=matrix(c(0),ncol=ncol(x)))
for (i in 2:nrow(x)){
s[i,]=vmc[i-1,]+x[i,]
st[i,]=s[i,]%*%solve(mc)
ts=t(s)
ci[i]=sqrt(st[i,]%*%ts[,i])
p[i]=1-k/ci[i]
if (ci[i]>k){vmc[i,]=(vmc[i-1,]+x[i,])*p[i]}
Apêndice J O R Project e Rotina Desenvolvida para gerar o Gráfico MCUSUM 169
___________________________________________________________________________________________
else (vmc[i,]=matrix(c(0),ncol=ncol(x)))}
vmc1=vmc %*% solve(mc)
tc=t(vmc)
t2=0
for (i in 1:nrow(x)){t2[i]=sqrt(vmc1[i,]%*%tc[,i])}
pontos.fora=subset(t2,t2>h)
amostra=seq(1,nrow(x))
plot(amostra,t2,type='b',col=ifelse(t2>h,2,1),pch=ifelse(t2>h,2
3,19),bg='red',ylim=c(0,max(1.1*h,1.1*max(t2))),main='Gráfico de
Controle MCUSUM',xlab='Amostra',axes=FALSE)
axis(1,1:nrow(x))
axis(2)
box()
abline(h=h,lwd=2,col=2)
text(2,h+1,paste("LS =",h))
grid()
structure(list(ESTATISTICA.MCUSUM=t2,matriz.cov=mc,Media=media,
H=h,K=k,pontos.fora=length(pontos.fora),valores=pontos.fora))
}
APÊNDICE K - Programas Computacionais Desenvolvidos em Ambiente Matlab
K.1 Introdução
Neste trabalho foram desenvolvidos três programas computacionais em ambiente
Matlab para determinar conforme metodologia proposta os principais parâmetros do gráfico
de controle MCUSUM. Estes programas foram aplicados neste trabalho tanto a realização de
experimentos computacionais quanto para a aplicação da metodologia. As principais
referências bibliográficas utilizadas para o desenvolvimento destes três programas foram:
Martinez (2002), Chapmann (2003), PAO(2003), Lysheuski (2003), Karris (2007) e Collier
(2008). A versão do Matlab utilizada para o desenvolvimento destes programas foi a R2008b.
O acesso a cada um desses programas é o obtido mediante a digitação em ambiente
Matlab do comando de entrada indicado para cada programa.
Programa Computacional 1 (comando de entrada : calculodearl)
Programa Computacional 2 (comando de entrada : metodosecante)
Programa Computacional 3 (comando de entrada : analiseestatistica)
K.2 Tutorial do Programa Computacional 1
O objetivo deste programa desenvolvido em ambiente Matlab é proporcionar ao
usuário uma ferramenta sensível e eficaz para determinar os principais parâmetros que
otimizam o gráfico MCUSUM. Neste programa o MEI com Quadratura Gaussiana é aplicado
como critério preliminar para a aproximação sistemática dos valores ótimos de ARL
utilizados para projetar estatisticamente um gráfico de controle MCUSUM.
A utilização deste programa exige do usuário apenas a entrada correta de dados em
cada uma das oito etapas (opções) descritas na caixa de diálogo conforme figura K.1.
1ª) Digite o limite inferior da integral: 0 (o limite inferior do gráfico de controle MCUSUM
unilateral é zero).
2
ª) Digite o número de pontos de quadratura: 53 ( escolha um número de pontos entre 1 e 53.
É importante lembrar que quanto maior o número de pontos escolhidos maior será a
aproximação).
3ª) Escolha o número de variáveis: 2 (escolha apenas uma das opções para o número de
variáveis: 2, 3 ou 4).
Apêndice K - Programas Computacionais Desenvolvidos em Ambiente Matlab 171
___________________________________________________________________________________________
4ª) Escolha o valor de ARL
o
: 200 (escolha apenas uma das opções para o valor de
ARL
o
: 200, 500 ou 1000).
5ª) Escolha o tamanho (amplitude) de mudança d ou o valor de referência k : k ( se a
opção desejada for o tamanho de mudança, digite d. Caso contrário, permanece o valor de
2
d
k
, Crosier, 1988).
6ª) Digite o primeiro valor de d ou de k : 0 (escolha um valor para d ou k conforme sua
opção na etapa anterior)
7ª) Digite o último valor de d ou de k : 1.0 (escolha um valor para d ou k conforme sua
opção na 5ª etapa. Se desejar obter apenas um único valor para o parâmetro desejado neste
programa, digite 1. No entanto, se a opção for obter um conjunto de valores deste parâmetro,
digite a variação desejada entre os valores de d ou de k na 8ª etapa. Por exemplo, se a opção
for determinar os valores do parâmetro entre d=1 e d=2 com variação de 0,25, ou seja, d=1,
d=1,25, d=1,5 e d=2, o programa determinará um conjunto de valores para o parâmetro
desejado.
8ª) Digite a variação desejada entre os valores de d ou de k: 1 (escolha esta variação
desejada)
O comando de entrada para acesso ao programa ao Programa Computacional 1 em
ambiente Matlab é: (digite: calculodearl e o programa responderá como saída a caixa de
diálogo conforme figura K.1)
Figura K.1 Caixa de diálogo para acesso ao Programa Computacional 1
Apêndice K - Programas Computacionais Desenvolvidos em Ambiente Matlab 172
___________________________________________________________________________________________
Os exemplos 1 e 2 ilustram didaticamente as instruções para a alimentação da caixa
de diálogo bem como a saída de dados do Programa Computacional 1 (resultados obtidos
após o cálculo).
Exemplo 1:
Cálculo do valor de ARL
mín
para d =1 com 53 pontos de quadratura escolhendo ARL
o
=200
para p=2.
Figura K.2 Caixa de diálogo com os dados de entrada do exemplo 1
Resultados (de saída) gerados após a execução do programa para os dados do exemplo 1:
>> calculodearl
******* METODO DA EQUACAO INTEGRAL PARA O CALCULO DE ARL*******
QUADRATURA GAUSSIANA
GRAFICO DE CONTROLE MULTIVARIADO DE SOMA ACUMULADA (MCUSUM)
UNVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Custodio da Cunha Alves [email protected]
Apêndice K - Programas Computacionais Desenvolvidos em Ambiente Matlab 173
___________________________________________________________________________________________
***** RESULTADOS PARA 2 variaveis e ARLo = 200 ***
k h integral ARL
0.50 5.492999999999995 12.282873467360808 9.840907746475184
FIM!! Se deseja parar tecle q:
Exemplo 2:
Cálculo para os valores de ARL
mín
entre k=0,5 e k=1,25 com variação de 0,25 usando 53
pontos de quadratura e escolhendo ARL
o
=200 para p=2.
Figura K.3 Caixa de diálogo com os dados de entrada do exemplo 2
Resultados (de saída) gerados após a execução do programa para os dados do exemplo 2:
>> calculodearl
******* METODO DA EQUACAO INTEGRAL PARA O CALCULO DE ARL*******
QUADRATURA GAUSSIANA
GRAFICO DE CONTROLE MULTIVARIADO DE SOMA ACUMULADA (MCUSUM)
UNVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Custodio da Cunha Alves [email protected]
Apêndice K - Programas Computacionais Desenvolvidos em Ambiente Matlab 174
___________________________________________________________________________________________
***** RESULTADOS PARA 2 variaveis e ARLo = 200 *****
k h integral ARL
0.50 5.492999999999995 12.282873467360808 9.840907746475184
0.75 3.945999999999973 7.828760121979740 5.386794401094115
1.00 3.009999999999963 5.804001481838699 3.362035760953074
1.25 2.891999999999964 5.571131871892412 3.129166151006787
FIM!! Se deseja parar tecle q:
É importante ressaltar que ao final de cada operação existe neste programa a opção de
continuar realizando cálculos de ARL para outras situações. No entanto, se esta não for sua
opção, isto é, se desejar parar digite: q e o programa será encerrado. Uma vez encerrado o
programa, neste mesmo ambiente poderá ser efetuado o comando de entrada para acesso a um
dos outros programas propostos neste trabalho. Para isso, basta apenas digitar o comando de
entrada do novo programa.
K.3 Tutorial do Programa Computacional 2
O objetivo deste programa desenvolvido em ambiente Matlab é proporcionar ao
usuário uma ferramenta sensível e eficaz para determinar o limite superior de controle h
(intervalo de decisão) adequado do gráfico MCUSUM para o valor desejado de ARL quando o
processo está sob controle. Neste programa, um método iterativo de análise numérica
denominado método da Secante é aplicado para aproximar a solução de h à equação não
linear 0)|0(
0
ARLhARL . A saída dos dados deste programa inclui as sucessivas
aproximações para o valor de h em um determinado número de iterações.
A utilização deste programa exige do usuário apenas a entrada correta de dados em
cada uma das seis etapas (opções) descritas na caixa de diálogo conforme figura K.4.
1ª) Escolha o número de variáveis: 2 (escolha apenas uma das opções para o número de
variáveis p: 2, 3 ou 4).
2ª) Escolha o valor de ARL
o
: 200 (escolha apenas uma das opções para o ARL
o
: 200, 500 ou
1000).
3ª) Escolha um valor para o ARL: 0 (escolha um número real positivo)
4ª ) Digite o limite inferior do intervalo utilizado na determinação de h: 0 ( digite: 0).
Apêndice K - Programas Computacionais Desenvolvidos em Ambiente Matlab 175
___________________________________________________________________________________________
5ª) Digite o limite superior do intervalo utilizado na determinação de h: 10 (para maior
rapidez na determinação de h, é importante otimizar o número de iterações (minimizar o
número de iterações desnecessárias). Para isso, é aconselhável escolher um número inteiro
positivo
30
para p=2,
40
para p=3 e
50
para p=4.
6ª) Número máximo de iterações: 1000 (digite um número inteiro positivo
1000
. Evite um
número muito elevado de iterações).
O comando de entrada para acesso ao Programa Computacional 2 em ambiente Matlab é:
(digite: metodosecante e o programa responderá como saída a caixa de diálogo conforme
figura K.4).
O exemplo a seguir ilustra didaticamente as instruções para a alimentação da caixa de
diálogo bem como a saída de dados do Programa Computacional 2 (resultados obtidos após o
cálculo).
Exemplo:
Determine o valor do limite de controle h do gráfico MCUSUM para o valor de
9,84ARL
.
Figura K.4 Caixa de diálogo para acesso Figura K.5 Caixa de diálogo com os
ao Programa Computacional 2 dados de entrada do exemplo
Apêndice K - Programas Computacionais Desenvolvidos em Ambiente Matlab 176
___________________________________________________________________________________________
Resultados (de saída) gerados após a execução do programa para os dados de entrada do
exemplo digitados na caixa de diálogo (figura K.5):
>> metodosecante
****** METODO DA SECANTE:******
Intervalo de Decisao h (Limite Superior de Controle)
Grafico de Controle MCUSUM
UNVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Custodio da Cunha Alves custodio.alves@univille.br
Interacoes ARL(h) h
1 12.281966 17.000000000000000
2 163.983848 1.184537221906142
3 9.877918 2.083089286257319
4 8.230409 6.571956081941941
5 4.344818 5.021025010897645
6 1.546811 5.428212491193808
7 0.222992 5.496801485317234
8 0.014164 5.492705149346553
9 0.000120 5.492739521955622
O valor da Raiz (h) e: 5.4927, encontrada com: 9 iteracoes.
FIM!! Se deseja parar tecle q:
Apêndice K - Programas Computacionais Desenvolvidos em Ambiente Matlab 177
___________________________________________________________________________________________
K.4 Tutorial do Programa Computacional 3
O objetivo deste programa desenvolvido em ambiente Matlab é proporcionar ao
usuário uma ferramenta sensível e eficaz para realizar a análise estatística multivariada dos
dados para projetar o gráfico MCUSUM baseado nos principais parâmetros e sob a ótica de
análise de regiões de máxima e mínima potência. Este programa além de determinar a matriz
de covariância e sua inversa, a matriz de correlação, a distância de Mahalanobis, d e os
coeficientes de assimetria e curtose que fundamentam os testes hipóteses sugeridos por
Mardia (1970, 1974) para verificar a normalidade multivariada. Além disso, determina e gera
graficamente a função perda multivariada de Taguchi que é utilizada para determinar os
pontos A e B que delimitam as regiões de máxima e mínima potência.
A utilização deste programa exige do usuário apenas a entrada correta de dados em cada
uma das dez etapas (opções) descritas na caixa de diálogo conforme figura K.6.
1ª) Digite o número de variáveis desejadas para o teste de Mardia: (escolha apenas uma das
opções para o número de variáveis: 2, 3 ou 4).
2ª) Digite o elemento a
11
(coeficiente de perda) da matriz de coeficientes de perdas: (digite o
elemento da matriz desejada)
3ª) Digite o elemento a
12
(coeficiente de perda) da matriz de coeficientes de perdas.
4º) Digite o elemento a
22
(coeficiente de perda) da matriz de coeficientes de perdas.
5ª) Digite o primeiro valor nominal da característica de qualidade: (digite o valor nominal da
1ª característica de qualidade)
6º) Digite o segundo valor nominal da característica de qualidade: (digite o valor nominal da
2ª característica de qualidade)
7ª) Digite um valor mínimo para a 1ª característica de qualidade que facilite a visualização
gráfica da função perda multivariada de Taguchi.
8ª) Digite o valor máximo da 1ª característica de qualidade que facilite a visualização gráfica
da função perda multivariada de Taguchi.
9ª) Digite o valor mínimo da 2ª característica de qualidade que facilite a visualização gráfica
da função perda multivariada de Taguchi.
10ª) Digite o valor máximo da 2ª característica de qualidade que facilite a visualização gráfica
da função perda multivariada de Taguchi.
O comando de entrada para acesso ao Programa Computacional 3 em ambiente Matlab
é: (digite:analiseestatistica e o programa responderá como saída uma caixa de diálogo
conforme figura K.6).
Apêndice K - Programas Computacionais Desenvolvidos em Ambiente Matlab 178
___________________________________________________________________________________________
Figura K.6 Caixa de diálogo para acesso ao Programa Computacional 3
Para ilustrar didaticamente tanto as instruções de alimentação da caixa de diálogo
quanto da saída de dados (resultados obtidos) após a execução do Programa Computacional 3
são utilizados os dados do processo XY. Os resultados obtidos com os dados deste processo
após a execução deste programa são utilizados tanto para realizar a análise estatística
multivariada quanto para formular um modelo matemático em ambiente MS-Excel onde com
a utilização da ferramenta Solver é possível determinar os pontos que delimitam as regiões de
máxima e mínima potência do gráfico MCUSUM
Uma vez, transferido os dados (valores das características da qualidade X
1
e Y
1
) do
processo XY da planilha do MS-Excel para o ambiente Matlab e realizado a operação salvar
arquivo; inicia-se a operação de entrada destes dados em ambiente Matlab na figura K.7.
Dados de entrada do Processo: XY (Processo furação de acabamento do furo1)
Características da qualidade: X
1
( posicional do furo1 em relação a coordenada X)
Valor nominal :
08,05
mm
Características da qualidade : Y
1
( posicional do furo1 em relação a coordenada Y)
Valor nominal :
08,025,103
mm.
Apêndice K - Programas Computacionais Desenvolvidos em Ambiente Matlab 179
___________________________________________________________________________________________
Para este processo supõe-se que a política de recursos financeiros da empresa considere um
custo ou perda depreciável de 0,0012 u.m e um custo ou perda inadmissível de 0,0042 u.m.
(unidades monetárias) e que a matriz coeficientes de perda seja K=
62
28
.
Para este processo supõe-se que a política de recursos financeiros da empresa considere um
custo ou perda depreciável de 0,0012 u.m e um custo ou perda inadmissível de 0,0042 u.m.
(unidades monetárias) e que a matriz coeficientes de perda seja K=
62
28
.
Os dados de entrada do processo na caixa de diálogo para execução do Programa
Computacional 3 conforme figura K.7.
Figura K.7 Caixa de diálogo com os dados de entrada do processo
Resultados (de saída) gerados após a execução do programa para os dados do processo:
>> analiseestatistica
****** ANALISE ESTATISTICA DE DADOS MULTIVARIADOS:*******
UNVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Custodio da Cunha Alves [email protected]
Apêndice K - Programas Computacionais Desenvolvidos em Ambiente Matlab 180
___________________________________________________________________________________________
**** RESULTADOS PARA 2 VARIAVEIS
A matriz de Covariancia mc e:
mc = 1.0e-003 *
0.300931182795699 -0.128500000000017
-0.128500000000017 0.196600000000008
A matriz de Inversa de Covariancia imc e:
imc = 1.0e+003 *
4.609524448106236 3.012837698787922
3.012837698787922 7.055695037101938
A matriz de Correlacao mcorre e: mcorre =
1.000000000000001 -0.528296550359601
-0.528296550359601 1.000000000000000
O Valor de beta(1,2) e: 23.7966
O Valor do coeficiente de assimetria, k(1): 122.9492
O Valor de beta(2,2) e: 6.9726
O Valor do coeficiente de curtose, k(2): -3.9813
O valor da Funcao perda de Taguchi (Multivariada):
R = 8*y1^2-493*y1+529827/8+6*y2^2-1259*y2+4*y1*y2
A Distancia de (d) Mahalanobis:
d_y1_y2 = 1/2097152*(20272902916842224*y1^2-
2938977997246686396*y1+344998913380151109561+26501200659353648*y1*y2-
6540464278683474936*y2+31031274941339984*y2^2)^(1/2)
FIM!! Se deseja parar tecle q:
O gráfico da função perda multivariada de Taguchi conforme figura K.8.
Apêndice K - Programas Computacionais Desenvolvidos em Ambiente Matlab 181
___________________________________________________________________________________________
Figura K.8 Função perda para as características da qualidade X
1
e Y
1
do processo
K.5 Teste de Mardia: Programa Computacional
Como recurso computacional em ambiente Matlab para verificação de normalidade
multivariada além do Programa Computacional 3 desenvolveu-se um outro programa
denominado Teste de Mardia que determina os coeficientes de assimetria e curtose aplicados
nos testes de hipóteses de normalidade multivariada de Mardia. Além disso, este programa
determina também a matriz de covariância , sua inversa e a matriz de correlação. Os dados de
entrada deste programa em ambiente Matlab são transferidos de uma planilha em MS-Excel
O comando de entrada para acesso ao Programa Computacional Teste de Mardia em
ambiente Matlab é: (digite: testemardia) e o programa responderá como saída uma caixa de
diálogo onde informa-se o número desejado de variáveis conforme figura K.9.
Figura K.9 Caixa de diálogo com a escolha do número de variáveis
Apêndice K - Programas Computacionais Desenvolvidos em Ambiente Matlab 182
___________________________________________________________________________________________
A utilização deste programa computacional exige do usuário apenas a entrada correta
de dados que consiste em transferir os dados (valores das características da qualidade) de uma
planilha do MS-Excel para o ambiente Matlab e após realizado a operação salvar arquivo;
informar na caixa de diálogo o número de variáveis (características da qualidade) conforme a
figura K.9.
Resultados (de saída) gerados após a execução do programa para os dados do processo XYD:
>> testemardia
***** ANALISE DESCRITIVA DE DADOS MULTIVARIADOS:******
UNVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Custodio da Cunha Alves [email protected]
**** RESULTADOS PARA 3 VARIAVEIS ****
A matriz de Covariancia mc e:
mc = 1.0e-003 *
0.300931182795699 -0.128500000000017 -0.020347311827910
-0.128500000000017 0.196600000000008 0.028766666666629
-0.020347311827910 0.028766666666629 0.008292473118270
A matriz de Inversa de Covariancia imc e:
imc = 1.0e+005 *
0.046219804785464 0.027650759844724 0.017489184106398
0.027650759844724 0.119838996826610 -0.347875694185799
0.017489184106398 -0.347875694185799 2.455610253813275
A matriz de Correlacao mcorre e:
mcorre =
1.000000000000001 -0.528296550359601 -0.407315942237409
-0.528296550359601 1.000000000000000 0.712452226575601
-0.407315942237409 0.712452226575601 1.000000000000000
Apêndice K - Programas Computacionais Desenvolvidos em Ambiente Matlab 183
___________________________________________________________________________________________
O Valor de beta (1,3) e: 65.6157
O Valor do coeficiente de assimetria, k(1): 339.0146
O Valor de beta (2,3) e: 13.6953
O Valor do coeficiente de curtose, k(2): -3.6922
FIM!! Se deseja parar tecle q:
APÊNDICE L - Código Computacional dos Programas em Ambiente Matlab
L.1 Programa Computacional 1
function calculodeARL
% Este programa calcula os fatores (raizes e pesos) de quadratura
%e aplica o Metodo da Equacao Integral e Quadratura Gaussiana para
aproximar
%as propriedades estatisticas (ARL, k, h) do grafico de controle MCUSUM
format long ;
% INFORMAÇÕES
disp(sprintf('\n****** METODO DA EQUACAO INTEGRAL PARA O CALCULO DE
ARL:**************** '))
disp(sprintf('\n QUADRATURA GAUSSIANA '))
disp(sprintf('\n GRAFICO DE CONTROLE MULTIVARIADO DE SOMA ACUMULADA
(MCUSUM) '))
disp(sprintf('\n UNVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA'))
disp(sprintf('\n Custodio da Cunha Alves custodio.alves@univille.br\n'))
%******** QUADRATURA GAUSSIANA ***************
%Adaptacao dos Autores
%http://numericalmethods.eng.usf.edu/contact.html
x_values = zeros(n,n) ;
c_values = zeros(n,n) ;
i=1 ;
x_values(i,1) = 0.0 ;
c_values(i,1) = 2.0 ;
for i=2:n
for ii=1:i
x_values(i,ii) = x(ii) ;
c_values(i,ii) = A(ii) ;
end
end
%Se deseja mostrar os pontos de quadratura gauss e pesos
%if (((2*i)==nn1) && ((cont == 1) | (cont==2 && valor(1) ==
0)))
% disp(sprintf('RAIZES E PESOS DA QUADRATURA '))
% disp(sprintf('\n \n RAIZES DA QUADRATURA '))
% for ci=1:n
% disp(sprintf('
x%i=%1.16f',ci,x_values(n,ci)))
% end
% disp(sprintf('\n \n PESOS DA QUADRATURA '))
% for cii=1:n
% disp(sprintf('
c%i=%1.16f',cii,c_values(n,cii)))
% end
Apêndice L - Código Computacional dos Programas em Ambiente Matlab 185
___________________________________________________________________________________________
%*****************************
for i=1:n
xv(i)=(b-a)/2*x_values(n,i)+(b+a)/2 ;
end
approx = 0 ;
for i=1:n-1
approx = approx + c_values(n,i)*f(xv(i)) ;
end
approx = approx + c_values(n,n)*f(xv(n)) ;
approx = (b-a)/2 * approx ;
exact = quad(f,a,b) ;
%*********** APRESENTACAO DOS RESULTADOS ***************
% Comando necessario para comparar com um valor exato
exact = quad(f,a,b) ;
integral = approx;
end %roots
%******* CALCULO DA FUNCAO DO ARL FINAL
integral1 = integral;
F = 0;
if (ARL0 == 200 && v == 2 )
F = pa200_2(4);
ARL = F + integral1;
disp(sprintf('\n %1.4f %1.15f %1.15f %1.15f
',valor(cont), h, approx, ARL ) )
end
if (ARL0 == 500 && v == 2)
F = pa500_2(4);
ARL = F + integral1;
disp(sprintf('\n %1.4f %1.15f %1.15f %1.15f
',valor(cont), h, approx, ARL ) )
end
if (ARL0 == 1000 && v == 2)
F = pa1000_2(4);
ARL = F + integral1;
disp(sprintf('\n %1.4f %1.15f %1.15f %1.15f
',valor(cont), h, approx, ARL ) )
end
if (ARL0 == 200 && v == 3)
F = pa200_3(4);
ARL = F + integral1;
disp(sprintf('\n %1.4f %1.15f %1.15f %1.15f
',valor(cont), h, approx, ARL ) )
end
if (ARL0 == 500 && v == 3)
F = pa500_3(4);
Apêndice L - Código Computacional dos Programas em Ambiente Matlab 186
___________________________________________________________________________________________
ARL = F + integral1;
disp(sprintf('\n %1.4f %1.15f %1.15f %1.15f
',valor(cont), h, approx, ARL ) )
end
if (ARL0 == 1000 && v == 3)
F = pa1000_3(4);
ARL = F + integral1;
disp(sprintf('\n %1.4f %1.15f %1.15f %1.15f
',valor(cont), h, approx, ARL ) )
end
if (ARL0 == 200 && v == 4)
F = pa200_4(4);
ARL = F + integral1;
disp(sprintf('\n %1.4f %1.15f %1.15f %1.15f
',valor(cont), h, approx, ARL ) )
end
if (ARL0 == 500 && v == 4)
F = pa500_4(4);
ARL = F + integral1;
disp(sprintf('\n %1.4f %1.15f %1.15f %1.15f
',valor(cont), h, approx, ARL ) )
end
if (ARL0 == 1000 && v == 4)
F = pa1000_4(4);
ARL = F + integral1;
disp(sprintf('\n %1.4f %1.15f %1.15f %1.15f
',valor(cont), h, approx, ARL ) )
end
end % ARL PARA K E D DIFERENTE DE 0
end %contador %for para os varios d e k
%********** PARAR ***********
parar = input('\n \n \n FIM!! Se deseja parar tecle q: ','s');
if parar == 'q'
break;
end %parar
end %while (1)
end
function [p,dp] = legendre(t,n)
p0=1.0;
p1=t;
for k=1:n-1
p=((2*k+1)*t*p1-k*p0)/(k+1);
p0=p1;
p1=p;
end
dp=n*(p0-t*p1)/(1-t^2);
end
Apêndice L - Código Computacional dos Programas em Ambiente Matlab 187
___________________________________________________________________________________________
L.2 Programa Computacional 2
function metodosecante
% Este programa usa um metodo interativo (Metodo Secante)
%para aproximar o intervalo de decisao h (limite superior)
%do grafico de controle MCUSUM.
%Adaptado de:
%KIUSALAAS, Jann. Numerical Methods in Engineering with
%MATLAB. Cambridge University Press, 2005.
disp(sprintf('\n\n****** METODO DA SECANTE:**************** '))
disp(sprintf('\n Intervalo de Decisao h (Limite Superior de Controle) '))
disp(sprintf('\n Grafico de Controle MCUSUM '))
disp(sprintf('\n UNVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA'))
disp(sprintf('\n Custodio da Cunha Alves custodio.alves@univille.br \n'))
format long
while(1)
prompt={'Escolha o numero de variaveis (entre 2 e 4):',...
'Escolha o valor de ARLo (200, 500 ou 1000):',...
'Escolha o valor de ARL:',...
'Digite o limite inferior do intervalo:',...
'Digite o limite superior do intervalo::',...
'Numero maximo de interacoes:'};
%NOME DA CAIXA DE DIALOGO
name='METODO DA SECANTE';
%numero de linhas visiveis para entrada
numlines=1;
%resposta padrao
defaultanswer={'2','200','0','0','10','1000'};
% cria caixa de dialogo
answer=inputdlg(prompt,name,numlines,defaultanswer);
v = str2num ( answer{1} );
ARL0 = str2num ( answer{2} );
ARL = str2num ( answer{3} );
x0 = str2num ( answer{4} );
x1 = str2num ( answer{5} );
maxintera = str2num ( answer{6} );
%tolerancia = str2num ( answer{7} );
tolerancia = 1e-8;
%*************
disp(sprintf('\n interacoes ARL(h) h ' ) )
itera = 0;
if ( (v ~= 2) & (v ~= 3) & (v ~= 4) );
helpdlg('Voce escolheu o numero de variaveis diferente de 2, 3 e 4. O
programa escolheu o numero de variaveis igual a 2.');
Apêndice L - Código Computacional dos Programas em Ambiente Matlab 188
___________________________________________________________________________________________
v=2;
end
if ARL == 0;
helpdlg('Escolha um valor de ARL diferente de zero. Reinicie o programa
e desconsidere o resultado');
break;
end
if ARL ~= 0;
while (itera<maxintera) & (abs(funcao(x1,ARL0,ARL,v))>tolerancia)
if ( (ARL0 ~= 200) & (ARL0 ~= 500) & (ARL0 ~= 1000) );
helpdlg('Voce escolheu um valor de ARLo diferente de 200, 500 ou
1000. O programa escolheu ARLo = 200.');
ARL0=200;
break;
end
itera = itera + 1 ;
f0 = funcao(x0,ARL0,ARL,v);
f1 = funcao(x1,ARL0,ARL,v);
x2 = x0-f0*(x1-x0)/(f1-f0);
x0 = x1;
x1 = x2;
disp(sprintf('\n %1.0f %.6f %.15f ',
itera, abs(f0), x0 ) )
end
if itera==maxintera
disp(' Nenhuma raiz encontrada')
else
disp(sprintf('\n\n\n'))
disp(['O valor da Raiz (h) e: ' num2str(x1,10) ', encontrada com: '
num2str(itera) ' iteracoes.'])
end
%********** PARAR ***********
parar = input('\n \n \n FIM!! Se deseja parar tecle q: ','s');
if parar == 'q'
break;
end %parar
end
end %while
Apêndice L - Código Computacional dos Programas em Ambiente Matlab 189
___________________________________________________________________________________________
L.3 Programa Computacional 3
function analiseestatistica
% Este programa calcula a matriz de covariancia e sua inversa,
%a matriz decorrelacao e os coeficientes de assimetria e curtose fornecidos
%por Mardia (1974) para testar a normalidade para tres variaveis
disp(sprintf('\n\n****** ANALISE ESTATISTICA DE DADOS
MULTIVARIADOS:**************** '))
disp(sprintf('\n UNVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA'))
disp(sprintf('\n Custodio da Cunha Alves custodio.alves@univille.br \n'))
format long
%*********** CAIXAS ***************
while (1)
%notice this is a cell array!
prompt={'Com quantas variaveis deseja fazer o teste de Mardia:',...
'Digite o elemento a11 (coeficiente de perda) da matriz ',...
'Digite o elemento a12 (21) (coeficiente de perda) da matriz ',...
'Digite o elemento a22 (coeficiente de perda) da matriz ',...
'Digite o primeiro valor nominal da caracteristica de qualidade
(T1)',...
'Digite o primeiro valor nominal da caracteristica de qualidade
(T2)',...
'Digite o valor minimo de caracteristica de qualidade para visualizacao
grafica',...
'Digite o valor maximo de caracteristica de qualidade para visualizacao
grafica',...
'Digite o valor minimo de caracteristica de qualidade para visualizacao
grafica',...
'Digite o valor maximo de caracteristica de qualidade para visualizacao
grafica'};
%NOME DA CAIXA DE DIALOGO
name='ANALISE ESTATISTICA MULTIVARIADA';
%numero de linhas visiveis para entrada
numlines=1;
%resposta padrao
defaultanswer={'2','3','0.5','2','8','20','7','10','18','21'};
% cria caixa de dialogo
answer=inputdlg(prompt,name,numlines,defaultanswer);
p = str2num ( answer{1} );
k11 = str2num ( answer{2} );
k12 = str2num ( answer{3} );
k22 = str2num ( answer{4} );
c11 = str2num ( answer{5} );
c12 = str2num ( answer{6} );
Ly1a = str2num ( answer{7} );
Ly1b = str2num ( answer{8} );
Ly2a = str2num ( answer{9} );
Ly2b = str2num ( answer{10} );
Apêndice L - Código Computacional dos Programas em Ambiente Matlab 190
___________________________________________________________________________________________
%**************** DADOS REAIS ***************
dados = xlsread('dados');
m=dados(:,1);
n=dados(:,2);
if p==3
o=dados(:,3);
mediao=mean(o);
end
%m=m'; n=n'; o=o';
N=length(n);
mediam=mean(m);
median=mean(n);
if p==3
media=[mediam, median, mediao];
mc=[m,n,o];
end
if p==2
media=[mediam, median];
mc=[m,n];
end
%******** Matriz de Covariancia
disp(sprintf('\n**** RESULTADOS PARA %i VARIAVEIS',p))
for i=1:N
for j=1:p
d(i,j)= mc(i,j) - media(j);
end
end
dt=d';
disp(sprintf('\n A matriz de Covariancia mc e: '))
mc= (1/(N-1))*(dt * d)
disp(sprintf('\n A matriz de Inversa de Covariancia imc e: '))
imc= inv(mc)
%******** Matriz de Correlacao
for i=1:N
for j=1:p
dd(i,j)= d(i,j) / sqrt(mc(j,j));
end
end
ddt=dd';
disp(sprintf('\n A matriz de Correlacao mcorre e: '))
mcorre= (ddt * dd)/(N-1)
imc= inv(mc);
%******Teste da Assimetria ****
for i=1:N
for j=1:N
Apêndice L - Código Computacional dos Programas em Ambiente Matlab 191
___________________________________________________________________________________________
r(i,j)=d(i,:)*imc*dt(:,j);
end
end
rN=length(r(1,:));
for i=1:rN
for j=1:rN
r3(i,j)=r(i,j)^3;
end
end
kr=sum(r3);
beta1=sum(kr)/16;
k1=N*beta1/6.0;
grau=p*(p+1)*(p+2)/6;
disp(sprintf('\n O Valor de beta(1,%i) e: %1.4f ', p, beta1 ));
disp(sprintf('\n O Valor do coeficiente de assimetria, k(1): %1.4f ', k1
));
%*******Teste da Curtose ****
diagr=diag(r);
rN=length(diagr);
for i=1:rN
r2(i)=diagr(i)^2;
end
beta2=sum(r2)/rN;
k2=(beta2-p*(p+2))/(sqrt(8*p*(p+2))/N);
disp(sprintf('\n O Valor de beta(2,%i) e: %1.4f ', p, beta2 ));
disp(sprintf('\n O Valor do coeficiente de curtose, k(2): %1.4f ', k2 ));
%*****************
if p==2
syms y1 y2
A=[c11, c12];
At=A';
B=[y1, y2];
Bt=[y1; y2];
C=B-A;
Ct=Bt-At;
K=[k11, k12; k12, k22];
d2_y1_y2= (k11*((y1-A(1,1))^2))+(k22*(y2-A(1,2))^2)+(2*(k12*( (y1-
A(1,1))*(y2-A(1,2)))));
disp(sprintf('\n O valor da Funcao perda de
Taguchi(Multivariada):'));
R=expand(d2_y1_y2)
disp(sprintf('\n A Distancia de (d) Mahalanobis:'));
d_y1_y2=sqrt( C*imc*Ct )
Apêndice L - Código Computacional dos Programas em Ambiente Matlab 192
___________________________________________________________________________________________
%re= subs(R, y1, 7.204);
%ret =subs(re, y2, 19.9);
ezsurf(R,[Ly1a,Ly1b],[Ly2a,Ly2b])
end
%********** PARAR ***********
parar = input('\n \n \n FIM!! Se deseja parar tecle q: ','s');
if parar == 'q'
break;
end %parar
end %while
%ezplot(re)
%quiver3(R)
ANEXO A - Dados do processo furação de acabamento do furo 1 para as características
da qualidade X
1
, Y
1
e D
12
( medidas em mm )
Desvio de cada observação em relação ao valor nominal das característica de qualidade
Observação 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X
1
0,019 0,010 0,007 0,009 0,020 0,018 0,019 0,019 0,019 0,024
Y
1
0,000 0,007 -0,009 -0,017 -0,001 -0,003 0,006 -0,006 -0,007 -0,009
D
12
0,004 0,004 0,003 0,001 0,000 0,003 0,004 0,001 0,002 0,000
Observação 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
X
1
0,030 -0,023 0,014 0,014 0,040 0,042 -0,002 0,033 0,022 0,019
Y
1
0,004 0,008 0,016 0,008 -0,004 0,002 0,009 0,020 -0,005 0,015
D
12
0,007 0,003 0,005 0,003 0,000 0,007 0,004 0,004 -0,002 0,006
Observação 21 22 23 24 25 26 27 28
29
30
X
1
0,002 0,010 -0,008 -0,004 0,004 0,040 -0,006 -0,032 0,026 -0,007
Y
1
0,031 0,010 0,027 0,019 0,020 -0,005 0,025 0,025 0,002 0,041
D
12
0,009 0,001 0,006 0,004 0,005 0,003 0,003 0,010 0,000 0,009
Observação 31
X
1
0,002
Y
1
-0,002
D
12
0,005
X
1
( Posicional do furo 1 em relação a coordenada X )
Y
1
( Posicional do furo 1 em relação a coordenada Y )
D
12
( Distância entre os centros dos furos 1 e 2 )
Valor da observação individual das características da qualidade
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X
1
5,019 5,010 5,009 5,020 5,018 5,019 5,019 5,019 5,024
Y
1
103,250 103,257 103,241 103,233 103,239 103,247 103,256 103,244 103,243 103,241
D
12
194,274 194,274 194,273 194,271 194,270 194,273 194,274 194,271 194,272 194,270
Observação 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
X
1
5,030 4,977 5,014 5,014 5,040 5,042 4,998 5,033 5,022 5,019
Y
1
103,254 103,258 103,266 103,258 103,246 103,252 103,259 103,270 103,245 103,265
D
12
194,277 194,273 194,275 194,273 194,270 194,277 194,274 194,274 194,260 194,276
Observação 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
X
1
5,002 5,010 4,992 4,996 5,004 5,040 4,994 4,968 5,026 4,993
Y
1
103,281 103,260 103,277 103,269 103,270 103,245 103,275 103,275 103,252
D
12
194,279 194,271 194,276 194,274 194,275 194,273 194,273 194,280 194,270 194,279
Observação 31
X
1
5,002
Y
1
103,248
D
12
194,275
X
1
( Posicional do furo 1 em relação a coordenada X )
Y
1
( Posicional do furo 1 em relação a coordenada Y )
D
12
( Distância entre os centros dos furos 1 e 2 )
Adapatado de: Soares (2006) pág. 107
ANEXO B - Parâmetros Ótimos do Gráfico MCUSUM via Método Cadeias de Markov
Tabela 1 O parâmetro ótimo do gráfico, k para projetar o MCUSUM e os correspondentes
limites de controle, h com o ARL mínimo (ARL
mín
.) para p=2, ARL sob controle (ARL
o
) de
200, 500 e 1000, e vários tamanhos (amplitude) de mudança,
.
Adaptado de: Lee e Khoo (2006) pág. 485
ANEXO C - Parâmetros Ótimos do Gráfico MCUSUM via Método Cadeias de Markov
Tabela 2 O parâmetro ótimo do gráfico, k para projetar o MCUSUM e os correspondentes
limites de controle, h com o ARL mínimo (ARL
mín
.) para p=3, ARL sob controle (ARL
o
) de
200, 500 e 1000, e vários tamanhos (amplitude) de mudança,
.
Adaptado de: Lee e Khoo (2006) pág. 486
ANEXO D - Parâmetros Ótimos do Gráfico MCUSUM via Método Cadeias de Markov
Tabela 3 O parâmetro ótimo do gráfico, k para projetar o MCUSUM e os correspondentes
limites de controle, h com o ARL mínimo (ARL
mín
.) para p=4, ARL sob controle (ARL
o
) de
200, 500 e 1000, e vários tamanhos (amplitude) de mudança,
.
Adaptado de: Lee e Khoo (2006) pág. 487
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