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VALDIR ALVES
AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS BASEADA EM
MÉTODOS ESTATÍSTICOS MULTIVARIADOS
CAMPO MOURÃO
2005
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2
VALDIR ALVES
AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS BASEADA EM
MÉTODOS ESTATÍSTICOS MULTIVARIADOS
Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção
do grau de Mestre em Ciências, Curso de Pós-Graduação em
Métodos Numéricos em Engenharia, Área de Concentração
em Programação Matemática, Setor de Ciências Exatas e
Setor de Tecnologia, Universidade Federal do Paraná.
Orientação: Profº. Dr. Anselmo Chaves Neto.
CAMPO MOURÃO
2005
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3
DEDICATÓRIA
Senhor, que as pessoas se amem se respeitem e que busquem a
paz.
ii
4
AGRADECIMENTOS
À minha família, pelo apoio e compreensão, em especial à minha esposa Lídia e aos
meus filhos Ana Carolina e André Felipe.
A todos os alunos do curso pelo apoio e amizade e em especial aos colegas Amauri,
Douglas, Flávia e Silvia pela ajuda.
Aos professores do curso e em especial à professora Neida pelas primeiras
orientações.
Ao meu orientador, prof. Anselmo, que apoiou o desenvolvimento do trabalho e
ofereceu todas as contribuições necessárias para sua realização.
A todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho.
iii
5
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ........................................................................................................... vii
LISTA DE QUADROS ........................................................................................................ viii
LISTA DE TABELAS ........................................................................................................... ix
RESUMO ................................................................................................................................. x
ABSTRACT ........................................................................................................................... xi
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................01
1.1 TEMA DO ESTUDO ........................................................................................................01
1.2 OBJETIVOS ......................................................................................................................03
1.2.1 Objetivo Geral ..............................................................................................................03
1.2.2 Objetivos Específicos ....................................................................................................04
1.3 IMPORTÂNCIA DO TRABALHO ..................................................................................04
1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO ......................................................................................05
2 REVISÃO DE LITERATURA ..........................................................................................06
2.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................06
2.2 ENGENHARIA DE AVALIAÇÃO ..................................................................................06
2.2.1 Introdução .....................................................................................................................06
2.2.2 Normas Técnicas ...........................................................................................................07
2.2.3 Avaliação de Imóveis Urbanos ....................................................................................07
2.2.3.1 Avaliação ....................................................................................................................08
2.2.3.2 Valor ...........................................................................................................................08
2.2.4 Classificação dos Imóveis Urbanos .............................................................................10
2.2.5 O Mercado .....................................................................................................................11
2.2.5.1 Mercado Imobiliário .................................................................................................11
2.2.6 Características dos Imóveis .........................................................................................14
2.2.7 Métodos de Avaliação ...................................................................................................14
2.2.8 Nível de Precisão da Avaliação ....................................................................................17
2.3 ANÁLISE MULTIVARIADA ..........................................................................................18
2.3.1 Introdução .....................................................................................................................18
2.3.2 Estatísticas Descritivas Multivariadas ........................................................................21
2.3.3 Métodos Multivariados ................................................................................................23
2.3.3.1 Análise de Componentes Principais .........................................................................24
iv
6
2.3.3.2 Análise de Agrupamento (Clusters Analysis) ..........................................................28
2.3.3.3 Discriminação, Classificação e Reconhecimento de Padrões ................................31
2.3.3.4 Avaliação de Funções de Reconhecimento e Classificação ....................................38
2.4 ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR ............................................................................40
2.4.1 Introdução .....................................................................................................................40
2.4.2 Modelo Linear Geral de Regressão .............................................................................41
2.4.3 Análise da Variância da Regressão .............................................................................42
2.4.4 Verificação dos Pressupostos do Modelo ....................................................................43
2.4.5 Poder de Explicação do Modelo ..................................................................................46
2.4.6 Relação entre Variáveis ...............................................................................................46
2.4.7 Seleção de Variáveis Regressoras ................................................................................48
3 MATERIAL E MÉTODO .................................................................................................51
3.1 MATERIAL ......................................................................................................................51
3.1.1 Área de Estudo ..............................................................................................................51
3.1.2 Limitação da Pesquisa ..................................................................................................53
3.1.3 Levantamento dos Dados .............................................................................................54
3.1.3.1 As Variáveis Utilizadas .............................................................................................54
3.1.3.2 Amostra ......................................................................................................................57
3.2 METODOLOGIA DE DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA ....................................57
3.2.1 Considerações para a Construção do Modelo ............................................................58
3.2.1.1 Identificação das Variáveis Independentes .............................................................58
3.2.1.2 Transformações de Variáveis ...................................................................................59
3.2.1.3 Análise Exploratória .................................................................................................60
3.2.1.4 Análise dos Resíduos .................................................................................................60
3.2.1.5 Verificação da Adequação do Modelo .....................................................................60
3.3 ESTUDO DE CASO .........................................................................................................61
4 APLICATIVO AMI DESENVOLVIDO ..........................................................................62
4.1 ALGORITMO DO PROGRAMA AMI ............................................................................62
4.2 AVALIAÇÃO DO AMI ....................................................................................................66
4.3 DESCRIÇÃO DO PROGRAMA AMI .............................................................................67
4.4 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ENTRE O PROGRAMA STATGRAPHICS E O
AMI .........................................................................................................................................75
4.4.1 Resumo dos Resultados para Apartamentos .............................................................77
v
7
4.4.2 Resumo dos Resultados para Casas ............................................................................78
4.4.3 Resumo dos Resultados para Terrenos ......................................................................80
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................82
5.1 CONCLUSÕES .................................................................................................................82
5.2 SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS ...............................................................84
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................85
APÊNDICES ..........................................................................................................................87
vi
8
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1: Representação da estrutura de componentes principais ............................................24
Figura 2.2: Matriz de confusão ............................................................................................. 39
Figura 3.1: Mapa com a localização de Campo Mourão ....................................................... 52
Figura 3.2: Mapa dos municípios vizinhos à Campo Mourão .............................................. 53
Figura 4.1: Diagrama de fluxo do programa AMI ................................................................ 65
Figura 4.2: Entrada de dados usando um arquivo do Excel .................................................. 67
Figura 4.3: Mostrando os tipos de opções de cálculo para a regressão ................................. 67
Figura 4.4: Com a opção 1 mostrando os tipos de distância e ligações ................................ 68
Figura 4.5: Dendrograma apresentado para a escolha de número de grupos ........................ 68
Figura 4.6: Grupos formados ................................................................................................ 69
Figura 4.7: Processo 2: análise de Componentes Principais para o grupo 1 ......................... 69
Figura 4.8: Perguntando o número de componentes e o processo de regressão ................... 70
Figura 4.9: Calculando o valor da observação do 45º apartamento ...................................... 71
Figura 4.10: Estimando o valor da última observação .......................................................... 71
Figura 4.11: Analisando os apartamentos por Análise Fatorial ............................................ 72
Figura 4.12: AMI perguntando o número de fatores ............................................................. 72
Figura 4.13: Regressão com Análise Fatorial ....................................................................... 73
Figura 4.14: Regressão considerando todas as variáveis ...................................................... 74
Figura 4.15: Resultados da regressão .................................................................................... 74
vii
9
LISTA DE QUADROS
Quadro 2.1: Análise de Variância (ANOVA) ....................................................................... 43
Quadro 3.1: Variáveis independentes para apartamento ....................................................... 55
Quadro 3.2: Variáveis independentes para casas residenciais .............................................. 56
Quadro 3.3: Variáveis independentes para terrenos .............................................................. 57
viii
10
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1: Comparação dos valores estimados pelas 3 opções ............................................75
Tabela 4.2: Comparação dos valores estimados pelas 3 opções ............................................80
Tabela 4.3: Comparação dos valores estimados pelas 3 opções ............................................81
ix
11
RESUMO
Neste trabalho são mostrados conceitos de Estatística Multivariada e também apresenta um
programa computacional denominado AMI (Análise Multivariada de Imóveis), em
MATLAB. Tal programa tem por finalidade avaliar imóveis urbanos considerando cada
imóvel como um vetor de características aleatórias e construção de um modelo estatístico que
estima o valor de um novo imóvel de maneira automática, evitando subjetividades de
avaliadores. O programa oferece ao usuário três opções de regressão: 1) Análise de
Agrupamento (Clusters Analysis) e Componentes Principais aplicadas às características dos
imóveis para obtenção de classes homogêneas, também oferece 5 (cinco) tipos de distâncias e
4 (quatro) tipos de ligações (oferecendo a melhor opção de ligação conforme o índice
cofenético) e essas variáveis foram reduzidas e transformadas de modo a evitar problemas de
multicolinearidade, comuns a esse tipo de dados. Assim, as novas variáveis foram utilizadas
para a determinação dos modelos de Regressão Linear Múltipla de cada classe ou grupo
homogêneo de itens e para cada tipo de imóveis (apartamento, casa e terreno). 2) Análise
Fatorial que explica as correlações entre as variáveis originais em termos de um conjunto de
poucas variáveis não observáveis, faz a rotação dos fatores (Varimax) para evitar a
multicolinearidade. 3) Regressão múltipla simples trabalha com todas as variáveis, sem
nenhum tratamento. Essa opção não é confiável, pois os dados não sofreram nenhum
tratamento para evitar problemas de multicolinearidade. As três opções apresentam a função
de regressão, os parâmetros estatísticos (R
2
, F e p) e o valor estimado para um novo imóvel. O
programa computacional desenvolvido, bem como sua proposta de avaliação, foi aplicado a
um conjunto de dados oriundos da pesquisa realizada por Silvia Neide Bráulio (2004),
referentes a 44 apartamentos, 51 casas e 24 terrenos da cidade de Campo Mourão – PR,
podendo ser aplicado em outras localidades e também a outros produtos que necessitem de
avaliação. O modelo de cada classe dos três tipos de imóveis avaliados apresentou um bom
ajuste aos dados e uma boa capacidade preditiva, atendendo todas as suposições teóricas de
regressão linear múltipla.
Palavras-chave: avaliação de imóveis, regressão linear múltipla, análise de agrupamento,
análise fatorial.
x
12
ABSTRACT
In this work concepts of Multivariate Statistics are shown and it also presents a computational
program denominated MAI (Multivariate Analyses of Immobiles), in MATLAB ®.That
program has the purpose to evaluate immobile urban considering each immobile one as a
vector of aleatory characteristics and construction of a statistical model that esteems the value
of a new property in an automatic way, avoiding appraisers' subjectivities. The program offers
to the user three regression options: 1) Clusters Analysis and Main Components applied to the
characteristics of the properties for obtaining of homogeneous classes, it also offers 5 (five)
types of distances and 4 (four) types of connections (offering the best connection option
according to the cophenet index) and those variables were reduced and transformed in way to
avoid multicolinearity problems, common to that type of data. Like this, the new variables
were used for the determination of the models of Multiple Linear Regression of each class or
homogeneous group of items and for each type of properties (apartment marries and land). 2)
Factorial Analysis that explains the correlations among the original variables in terms of a
group of little you varied you didn't observe, it makes the rotation of the factors (Varimax) to
avoid the multicolinearity. 3) Simple Multiple Regression uses all the variables, without any
treatment. That option is not reliable, because the data didn't suffer any treatment to avoid
multicolinearity problems. The three options present the regression function, the statistical
parameters (R
2
, F and p) and the esteem value for a new one immobile. The program
developed for computer, as well as your evaluation proposal, the was applied a group of data
originating from of the research accomplished by Silvia Neide Bráulio (2004), referring to 44
apartments, 51 houses and 24 lands of Campo Mourão's city - PR, it could be applied at other
places and also the other products that need evaluation. The model of each class of the three
types of appraised properties presented a good adjustment to the data and a good capacity
predictable, assisting all the theoretical suppositions of multiple linear regression.
Word-key: evaluation of properties, multiple linear regression, clusters analysis, factorial
analysis.
xi
1 INTRODUÇÃO
1.1 TEMA DO ESTUDO
A avaliação de imóveis, urbanos e rurais, é utilizada na grande maioria dos negócios,
discussões e pendências interpessoais e sociais em toda e qualquer comunidade. Ocorre em
geral na compra ou na venda de casas, lojas comerciais, instalações industriais, aluguéis, na
reavaliação de ativos de empresas, em atendimento à legislação vigente, na partilha oriunda
de heranças, meações ou divórcios, no lançamento de impostos, nas hipotecas imobiliárias,
nas divergências que originam ações demarcatórias, possessórias, nas indenizações, nas
desapropriações e servidões, enfim, em um número expressivo de ações oriundas de
problemas inerentes aos relacionamentos humanos, onde o valor de um bem assume
importância fundamental.
Toda vez que uma empresa necessita de um empréstimo para investimento na
construção de instalações ou capital de giro recorre a bancos de desenvolvimento. E esses
bancos atendem a essas solicitações desde que o solicitante apresente garantias reais. Entende-
se por garantias reais imóveis ou máquinas e equipamentos. Sendo assim, toda vez que se faz
um investimento com apoio em bancos de desenvolvimento há necessidade de emissão de um
laudo de avaliação do imóvel, máquina ou equipamento. Neste trabalho será estudado o caso
de avaliação de imóveis urbanos.
Apesar do conceito de valor ser de difícil definição, sujeito e suscetível às mudanças
filosóficas, tornam-se importante no relacionamento humano e social adotar critérios para que
se exerça um caráter de justiça em sua aplicação prática. Assim, um trabalho de avaliação
imobiliária constitui-se de uma seqüência de operações que resultam no que poderia ser
chamado de uma “formação de juízo” sobre o valor de um imóvel ou um direito sobre ele.
A norma brasileira NBR5676 (ABNT, 1989) trabalha com o conceito de que o valor
é aquele fornecido para um dado instante, único, não importando qual a finalidade da
avaliação. Esse valor corresponde ao preço que se definiria, para um determinado imóvel, em
um mercado de concorrência perfeito, sujeito às seguintes premissas:
2
a) Homogeneidade dos bens levados a mercado;
b) Números elevados de compradores e vendedores (o mercado não pode por eles
ser alterado);
c) Sem influência externa;
d) Conhecimento pleno e absoluto sobre o mercado, sobre os bens e das tendências
de avaliação por parte dos compradores e vendedores;
e) Vendedores e compradores oferecendo liquidez com liberdade plena de entrada
e saída do mercado.
A partir destas considerações, pode-se afirmar que a avaliação passa a ser uma
determinação técnica do valor ou de um direito sobre o imóvel. Dentre outros fatores deve-se
levar em conta que o valor de um bem está diretamente ligado à sua capacidade de produzir
renda, sua utilização potencial, o atendimento de uma necessidade ou a sua raridade. Os
imóveis urbanos podem ser definidos como bens que não são móveis, localizados nas cidades,
geralmente classificados como glebas urbanizáveis, áreas ou lotes e terrenos com benfeitorias
(casas, prédios residenciais, prédios comerciais, galpões e outros). A NBR 5676-ABNT
(1989) define como sendo uma gleba urbanizável, “uma grande extensão de terreno passível
de receber obras e infraestruturas urbanas, por sua localização, seus aspectos físicos, sua
destinação legal e pela existência de um mercado comprador”.
Entretanto, em grande parte dos mercados imobiliários, a base de cálculos que
estima os valores dos imóveis, seja para a venda ou para cálculo de impostos, é feita de forma
subjetiva, ou seja, sem nenhum procedimento científico.
Assim, neste trabalho desenvolveu-se um programa computacional que, a partir das
características particulares dos imóveis, estima o seu valor de forma objetiva e dentro da
realidade de mercado. Nesse sentido, as características e os atributos dos imóveis constituem os
dados pesquisados e que exercem influência na formação do valor. Estes dados devem ser
tratados por inferência estatística, respeitados os níveis de rigor definidos por norma técnica, e
transformados em informação de mercado.
O nível de rigor corresponde à precisão do trabalho e será tanto maior quanto menor
for a subjetividade contida na avaliação. O rigor de uma avaliação está condicionado à
3
pesquisa efetivada, à confiabilidade dos dados coletados e à qualidade do modelo aplicado no
processo de avaliação. A norma NBR 5676 classifica o trabalho nos seguintes níveis:
expedito, normal, rigoroso ou rigoroso especial.
As variáveis utilizadas na inferência estatística merecem destaque e, para cada tipo
de problema devem ser classificadas, estudadas e aceitas através de trabalho estatístico.
Assim, por exemplo, para se avaliar um lote urbano devem-se levar em conta algumas
variáveis tais como: a dimensão de testada, a profundidade, a área total, a localização, o uso
do solo, as posturas municipais, o zoneamento urbano, as distâncias a pólos que os valorizem
ou os desvalorizem, a taxa de ocupação, a topografia, a suscetibilidade a enchentes ou a danos
ambientais, o padrão de construções na vizinhança, a infra-estrutura urbana, a paisagem visual
a partir do imóvel. Estas e outras variáveis permitem ao final a determinação do valor unitário
do terreno pesquisado com relação à sua área total.
Estas variáveis devem ser ponderadas para que conceitos estatísticos possam ser
aplicados com vistas à determinação do melhor modelo de ajuste. Embora muitas publicações
tratem deste assunto, poucas dão um tratamento matemático rigoroso ao problema, e
dificilmente empregam métodos estatísticos multivariados. É importante salientar que no
tópico referente à detecção dos erros grosseiros, trabalham somente com critérios práticos,
não aplicando testes estatísticos. Assim, visando dar um tratamento mais adequado a este tipo
de erro está sendo proposta, no presente trabalho, a aplicação dos métodos estatísticos
multivariados juntamente com o programa computacional desenvolvido no Software Matlab
7.0.
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 Objetivo Geral
Desenvolver um programa computacional que avalie imóveis urbanos utilizando
estatísticas multivariadas e considerando cada imóvel como um vetor de características
aleatórias.
4
1.2.2 Objetivos Específicos
O objetivo geral pode ser atingido desde que se alcancem os seguintes objetivos
específicos:
1. Elaborar uma rotina de programa que construa classes homogêneas das
particularidades de cada tipo de imóvel.
2. Elaborar uma rotina para reduzir o número de variáveis a serem analisadas e que
facilite a interpretação, sem grande prejuízo de informações.
3. Construir modelos de regressão múltipla.
4. Interpretar os resultados obtidos.
1.3 IMPORTÂNCIA DO TRABALHO
Uma considerável parcela de bens públicos, de pessoas físicas ou jurídicas, consiste de
bens imóveis. A amplitude desse recurso primordial da sociedade cria a necessidade de informes
avaliatórios como suporte para tomadas de decisões referentes ao uso e disposições desses bens
(Abunahman, 1998 citado por Bráulio, 2005). Imóveis são dados como garantias reais em
empréstimos junto às instituições financeiras.
A necessidade de estabelecer valor é uma das atividades mais freqüentes do homem
moderno, sendo os imóveis um de seus bens mais valorizados. Então, a avaliação de imóveis é
importante nas operações de compra e venda locações, garantias de financiamentos, apólices de
seguro, instalações comerciais e industriais, cobrança de impostos, ou seja, atividades cotidianas
inerentes ao relacionamento humano.
O valor de um imóvel pode ser subjetivo dependendo das circunstâncias e modo de
avaliação. Por outro lado, o valor de um imóvel é dado pela soma dos valores da edificação e
pelo valor do terreno, que depende da sua localização. No entanto, o valor de um bem não pode
ser confundido com o preço do bem, que representa a quantidade de dinheiro paga pelo mesmo,
o que depende da lei da oferta e da procura.
5
Nesse sentido, houve, portanto, a necessidade de se desenvolver um programa
computacional que torne mais precisas as formas de avaliação de um imóvel, aproximando ao
máximo de seu valor de mercado, haja vista que em Campo Mourão (local do presente estudo),
assim como em outras cidades, essas avaliações são feitas de forma subjetiva e esse trabalho
visou facilitar e melhorar a qualidade das avaliações. Isso pode se dar com o uso adequado do
programa no tratamento das características desses imóveis através da inferência estatística, da
regressão múltipla e das técnicas de Análise Multivariada.
1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO
Com o objetivo de facilitar o entendimento do leitor, de forma clara e objetiva, esta
pesquisa está estruturada de tal maneira que no primeiro capítulo encontram-se os objetivos e
o verdadeiro significado da escolha do tema. No segundo capítulo tem-se uma revisão de
literatura envolvendo a teoria sobre a avaliação de imóveis, sua normatização e os conceitos
matemáticos acerca da Análise Multivariada, que sustenta todo o desenvolvimento do
programa computacional. O programa computacional desenvolvido, bem como sua
implementação, se encontra no terceiro capítulo. O quarto capítulo apresenta, de forma
detalhada, os resultados da utilização do programa em relação a dados reais e a análise de
todo o procedimento estatístico utilizado. E finalmente, as conclusões com base no estudo
realizado e sugestões para trabalhos futuros são encontradas no quinto capítulo.
6
2 REVISÃO DE LITERATURA
2.1 INTRODUÇÃO
O principal objetivo desse capítulo é apresentar, numa linguagem simples, um texto
sobre avaliação de imóveis, dando informações sobre programação e estatística multivariada,
suficientes para o entendimento do modelo estatístico proposto.
2.2 ENGENHARIA DE AVALIAÇÃO
2.2.1 Introdução
Os primeiros estudos sobre avaliação de imóveis no Brasil datam de 1918, e já em
1923 foram introduzidos novos métodos de avaliação de terrenos, que a partir de 1929
começaram a ser sistematicamente aplicados. A partir daí a engenharia de avaliação no Brasil
tomou corpo e continua crescendo e evoluindo nas técnicas de avaliação. Atualmente um
grande número de profissionais desenvolve estudos nesse campo, visando dar ao tema o
suporte científico necessário aos métodos técnicos até então utilizados (Fiker, 1997).
Para Dantas (1998), a Engenharia de Avaliações é uma especialidade da engenharia
que reúne um conjunto amplo de conhecimentos na área de engenharia e arquitetura, bem
como em outras áreas das ciências sociais, exatas e da natureza. Ela tem com o objetivo
determinar tecnicamente o valor de um bem, de seus direitos, frutos e custos de reprodução.
As Avaliações são de grande interesse para o mercado imobiliário, tais como: bancos de
crédito imobiliário, compradores e vendedores de imóveis, prefeituras, empresas seguradoras,
etc.
A Engenharia de Avaliações pode ser praticada por engenheiros, arquitetos e
agrônomos, cada um atuando em sua habilitação profissional, conforme normas e
regulamentos do CREA, CONFEA, ABNT, leis municipais, estaduais e federais.
7
2.2.2 Normas Técnicas
A ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas é o Fórum Nacional de
Normalização. As Normas Brasileiras, cujos conteúdos são de responsabilidade dos Comitês
Brasileiros (ABNT/CB) e dos Organismos de Normalização Setorial (ABNT/ONS) e das
Comissões de Estudos Especiais Temporários (ABNT/CEET), são elaboradas por Comissões
de Estudo (CE), formadas por representantes dos setores envolvidos, delas fazendo parte:
produtores, consumidores e neutros (universidades, laboratórios e outros) (ABNT NBR
14653-2, 2004).
Em meados de 1950 surgiram as primeiras normas de avaliação de imóveis
organizadas por entidades públicas e institutos. Devido à ocorrência de grande quantidade de
desapropriações em São Paulo, ocasionado pela expansão da cidade e construção do metrô na
década de 1960, as normas ganharam maior relevância. Porém, o primeiro anteprojeto de
normas da ABNT na Engenharia de Avaliação data de 1957. Em 1977, estudos feitos por
comissões de profissionais dedicados às perícias e avaliações judiciais, em essência, deram
origem à primeira Norma Brasileira para Avaliação de Imóveis Urbanos, a NB-502/77 da
ABNT (Dantas, 1998).
Depois de passar por uma revisão em 1989, a Norma Brasileira para Avaliação de
Imóveis Urbanos foi registrada no INMETRO como NBR 5676. Os níveis de precisão foram
transformados em níveis de rigor. Segue-se a ela a Norma para Avaliação de Servidões.
Alguns institutos, com base na NBR 5676, produziram, paralelamente, normas específicas de
forma mais detalhada observando as características de cada região. Atualmente existe uma
proposta levada à ABNT para sintetizar o tema de Engenharia de Avaliações em uma norma
única. Trata-se da Norma para Avaliação de Bens, formada por uma parte principal, contendo
os conceitos, métodos e definições comuns a todos os bens e, nos apêndices, a parte específica
para cada tipologia de bem a avaliar.
2.2.3 Avaliação de Imóveis Urbanos
Alguns conceitos pertinentes à técnica de avaliar são apresentados a seguir.
8
2.2.3.1 Avaliação
A Norma NB-502/89 (NBR-5676) da ABNT, de avaliação de imóveis urbanos,
define avaliação como a determinação técnica do valor de um imóvel ou de um direito sobre o
imóvel.
A avaliação de imóveis é a definição técnica do valor de mercado dos bens ou de
direitos sobre eles. Esta definição é feita dentro de procedimentos técnicos para a realização
das análises de valor. Segundo Moreira (1994), avaliar é a arte de estimar valores apropriados
e específicos, em que o conhecimento técnico e o bom-senso são condições fundamentais.
Abunahman (1998) define avaliação como sendo uma aferição de vários fatores
econômicos definidos em relação a propriedades descritas com data prevista, tendo como base
a análise de dados relevantes.
2.2.3.2 Valor
Desde sua origem, o homem busca estabelecer preços para os bens, tais que satisfaçam sua
noção de valor numa transação e de maneira que se efetivem trocas, sejam elas diretas como o
escambo ou indiretas como a moeda.
O conceito de valor de um bem, de modo geral, é intuitivo e subjetivo, quer seja
vendedor ou comprador deste bem, podendo variar entre os participantes de um mercado. No
entanto, o preço é uma característica que representa a quantidade de dinheiro paga pelo bem.
Segundo Bráulio (2005), muitas medidas de valor podem estar relacionadas a um
bem, dentre elas o custo de produção, ao qual são agregados outros custos como matéria-
prima, estocagem e comercialização desde o produtor até o produto final onde será formado o
preço e o valor de mercado, não havendo necessariamente uma relação matemática entre eles.
No entanto, em mercados que se aproximam daquele de concorrência perfeita, os preços são
estabelecidos pela lei da oferta e procura independentemente dos custos de produção. Em
vista disso, no mercado considerado, o valor do bem poderá não apresentar nenhuma relação
com os custos citados (podendo mesmo ser inferior).
Quando o mercado permanece estável por um longo período, o preço e a quantidade
acabam sendo negociados através da oferta e procura. Toda a subjetividade e intuição que
leva os participantes do mercado a tentar suprir sua satisfação, tornam-se, portanto em
9
quantidades vendidas e ofertadas e seus respectivos preços. Logo, o preço estabelecido pelo
mercado é considerado uma representação justa do valor do bem analisado.
Nos mercados onde são efetuadas trocas indiretas, os preços (valores) são expressos
em moeda corrente, podendo ser transformados em outras moedas. As avaliações pelo valor
de mercado podem ser consideradas instantâneas, ou seja, são válidas, apenas, por um
intervalo curto de tempo.
Encontram-se várias definições e interpretações e que são suscetíveis a mudanças
sobre os conceitos de valor, valor de mercado e preço. No entanto, torna-se importante
determinar alguns critérios para sua aplicação prática. Assim, um trabalho de avaliação
imobiliária constitui-se de uma série de operações e etapas até que se chegue a uma definição
de valor. Dentre os diversos conceitos de valor, a Norma NB-502/89 (NBR-5676) da ABNT,
de Avaliação de Imóveis Urbanos, define valor como sendo aquele fornecido para um bem em
um dado instante, único, não importando qual a finalidade da avaliação. Esse valor
corresponde ao valor real que se definiria em um mercado de concorrência perfeita
caracterizado pelos seguintes silogismos:
a) Igualdade dos bens levados ao mercado;
b) Número elevado de compradores e vendedores, não sendo o mercado alterado
por eles;
c) Sem influências externas;
d) Conhecimento pleno e absoluto entre os participantes sobre o bem, o mercado e
as tendências deste;
e) Os participantes oferecendo liquidez com plena liberdade de entrada e saída do
mercado.
Existem casos onde a necessidade de estimar um valor acontece a nível particular.
Assim, as partes envolvidas vendedor e comprador do bem, chegam ao comum acordo da
quantidade necessária (moedas) em um determinado instante (Molina, 1999). Porém, quando
ocorre a necessidade da determinação do valor, de uma maneira mais ampla, isto é, sem ser a
nível particular, portanto ampliado a outras pessoas além dos diretamente envolvidos na
transação de ordem privada ou pública, procura-se uma perspectiva técnica. Surge, então, a
10
“Ciência da Avaliação”, ou seja, a Engenharia de Avaliações, que infere sobre o valor de um
bem de forma fundamentada.
Segundo Barbosa Filho (1998) o valor de um bem antes de tudo é um fenômeno
social e pode estar associado a um vetor composto por um conjunto de variáveis que abrange
todas as suas características físicas, do seu entorno, da sua utilidade e dos fatores subjetivos
que a própria coletividade cria no contexto em que está situado a cada instante.
Moreira (1994) afirma que valor é empregado costumeiramente em diversos
sentidos. No entanto, quando é aplicado relativamente à propriedade, a palavra valor
demonstra um sentido de posse, domínio ou troca de propriedade, medida em termos de uma
unidade monetária. Fiker (1997) afirma que valor é a relação entre a intensidade das
necessidades econômicas do homem e a quantidade de bens disponíveis para satisfazê-las,
sendo determinado dependendo da oferta e da demanda do bem.
Atualmente o valor de mercado de um imóvel é atribuído pelo preço fixado pelo
vendedor e comprador. Assim, não são forçados e não estão sujeitos a pressões anormais
tendo pleno conhecimento das condições de compra e venda e de como este imóvel deve ser e
será utilizado. Contudo, o mercado imobiliário não é, por natureza, de concorrência perfeita.
Dessa forma, estima-se o preço médio de mercado, através de uma amostragem de preços que
trazem todas as imperfeições deste mercado.
2.2.4 Classificação dos Imóveis Urbanos
De acordo com a Norma NB-502/89 (NBR-5676) da ABNT, os imóveis são
classificados em:
a) Quanto ao uso
O imóvel urbano pode ser: residencial, comercial, industrial, institucional e misto.
b) Quanto ao tipo do imóvel
O imóvel urbano pode ser: terreno (lote ou gleba), apartamento, casa, escritório (sala
ou andar corrido), loja, galpão, vaga de garagem, misto, hotéis, hospitais, cinemas e teatros,
clubes e recreativos.
11
c) Quanto ao agrupamento
Os imóveis urbanos se agrupam da seguinte forma: loteamento, condomínio de casas,
prédio de apartamentos, conjunto habitacional (casas, prédios ou mistos), conjunto de salas
comerciais, prédio comercial, conjunto de prédios comerciais, conjunto de unidades
comerciais, shopping-centers e complexo industrial. Este trabalho utilizou dados
correspondentes apenas aos imóveis dos tipos: apartamentos, casas residenciais e terrenos.
2.2.5 O Mercado
Entende-se por mercado o local onde são efetuadas as transações comerciais
envolvendo troca de bens, tangíveis ou intangíveis, ou direitos sobre os mesmos. Neste
sentido, o termo mercado refere-se àquele de concorrência perfeita e contendo, em geral, as
características dos bens. Os participantes do mercado o fazem voluntariamente e têm
conhecimento pleno das condições em vigor; nenhum participante, sozinho, é capaz de alterar
as condições estabelecidas; cada transação é feita de maneira independente das demais; o
número de ofertas e/ou transações é suficientemente grande, de maneira que a retirada de uma
amostra não afeta o mercado.
2.2.5.1 Mercado Imobiliário
Para Moscovitch (1997), o mercado imobiliário é a jurisdição de determinação dos
preços de imóveis urbanos que, como quaisquer outras mercadorias, passam pela medida da
oferta e da demanda.
De acordo com Dantas (1998), ele é formado por três secções:
a) a dos imóveis a serem vendidos;
b) a das partes que desejam vendê-los (vendedores);
c) a das partes interessadas em adquiri-los (compradores).
O mercado imobiliário pode ser subdivido ainda, em várias especialidades, tais como
a de apartamentos, de casas e de terrenos que foram especificamente analisadas neste
trabalho.
12
Cada mercado tem seu próprio comportamento e suas características específicas. No
entanto, existem inúmeras divergências e desigualdades entre os imóveis, que faz o mercado
imobiliário comportar-se de forma acentuadamente diferente de outros mercados de bens,
devido às características especiais dos imóveis. Por sua localização fixa, qualquer alteração no
ambiente provoca modificações no valor do imóvel. Como as influências não são análogas, as
variações provocadas são claramente notáveis, causando progressivamente as diferenças.
Por outro lado, como todo bem econômico, a escassez relativa à lei da oferta e
procura define o preço dos imóveis. Os governos e as economias globais são grandes
influenciadores sobre o preço dos imóveis. E, por sua importância e significado social, as leis
propiciam tratamentos especiais.
Dentro do mercado onde ocorrem as transações imobiliárias, identificam-se alguns
fenômenos como o dinamismo da atividade imobiliária e o processo de estruturação interna
das áreas urbanas. Existem, também, influências externas, que alteram continuamente os
valores e usos do solo.
O estudo de todos estes fatores constitui o processo de formação de valores, ou seja,
como os valores dos imóveis são compostos. Esses valores muitas vezes sofrem
transformações como condições de mercado e também valores que são praticados, devido à
falta de ordenação entre empreendedores, intermediários, poder público e também a própria
população. Por se tratar de bens econômicos, todas as mudanças que causam maior ou menor
disponibilidade refletem em modificações, alterações de valor. Sabe-se que muitas alterações
como a oferta de crédito, a inflação, a condução da economia, as políticas fiscais, o
crescimento demográfico e a confiança no governo são importantes na flutuação de preços.
No entanto, ocorrerá em certo momento um fenômeno chamado de “equilíbrio
instantâneo” resultando num valor de mercado. Todas as variações ocorridas nas condições do
mercado são absorvidas e armazenadas pelos imóveis, influenciando seus valores, que
oscilam no tempo e no espaço e que, em última análise, são resultados da oferta e demanda
por este bem. E assim, outras mudanças na oferta ou na demanda causarão novo equilíbrio,
em outros níveis de preço.
Faz-se interessante observar que por existirem inúmeros fatores e influências, uma
parte das variações dos valores imobiliários é considerada aleatória, podendo-se pensar no
13
preço final, como baseado em um valor mais provável que aumenta ou diminui por uma
parcela imprevisível, de acordo com as influências casuais.
Assim, o valor de um imóvel segue o modelo estatístico,
Y =
μ
+
ε
(2.1)
Onde: Y é o valor negociado;
μ
é o valor mais provável, ou seja, E (Y) =
μ
;
ε
é a perturbação estocástica.
Segundo Bráulio (2005), num mercado de concorrência perfeita a situação ideal é
aquela onde a oferta e a procura encontra-se equilibrada sendo a relação entre imóvel,
vendedor e comprador que são os formadores do mercado, especialmente importantes para a
construção do preço. No entanto, pode ocorrer o mercado de concorrência imperfeita,
ocasionando casos de monopólio e oligopólio. Nos casos de monopólio o mercado torna-se
comandado por um único vendedor, mas é um caso mais raro de ser encontrado. Entretanto é
mais comum ser encontrado casos de oligopólio, onde a oferta é concentrada em um pequeno
número de vendedores que também se preocupam com propagandas e qualidade dos imóveis,
fazendo com que haja sempre uma alta nos preços dos imóveis. Ocorrem ainda os casos de
monopsônio, existindo apenas um comprador e também oligopsônio com muitos compradores
(Dantas, 1998).
O mercado imobiliário não pode ser considerado um mercado de concorrência
perfeita diante de muitas análises teóricas, pois este mercado pode ser visto como uma
passagem livre, que os bens são idênticos e que todos os participantes têm as informações
perfeitas e que não sofrem nenhuma pressão agindo livremente. No mercado imobiliário,
ocorrem fatores que o dificultam: a falta de uniformidade dos imóveis e a falta de informações
são exemplos disto. Não se pode esquecer que os altos custos impossibilitam grande parte da
população a participar deste mercado de compra e venda, deixando-as ligadas a locação e a
financiamentos indisponíveis. Finalmente, pode-se concluir que o mercado imobiliário é um
mercado de concorrência imperfeita.
14
2.2.6 Características dos Imóveis
Muitos fatores e fontes de divergências diferenciam os imóveis em si: vida útil,
localização, singularidade, custos das unidades e tudo isto faz com que o mercado imobiliário
tenha um comportamento diferente de outros mercados de bens. Esta combinação de fatores e
divergências, em um dado momento, permite explicar grande parte das diferenças de valores
entre os imóveis (González e Formoso, 2000).
O preço de um imóvel é conhecido integralmente. Nele estão orçados os atributos
como localização, terreno, área e vida útil. Assim, os preços dos imóveis podem ser
compreendidos como a soma dos produtos das quantidades de cada um desses serviços pelos
seus preços implícitos (localização, área, terreno e vida útil).
Ao final, é importante verificar que, por existirem inúmeras influências, uma parte
das variações dos valores imobiliários pode ser considerada aleatória, ou seja, pode-se pensar
no preço final como baseado em um “valor mais provável” que é sujeito a variações, de
acordo com as influências pontuais do caso e conforme o modelo (2.1).
2.2.7 Métodos de Avaliação
A escolha da metodologia mais apropriada para uma dada avaliação depende das
condições atuais do mercado, do tipo de serviço a que se presta e da precisão que se deseja.
No entanto, independentemente da metodologia utilizada, essa deverá apoiar-se em pesquisa
de mercado e considerar os preços comercializados e/ou ofertados, bem como outros
elementos e atributos que influenciam o valor (NBR-5676/90).
De acordo com Montenegro Duarte (1999), a avaliação como ciência usada para
encontrar um valor, não é exata, mas pode ser altamente precisa. Deve ser objetiva e
esclarecedora, identificando o bem a ser avaliado e o método a ser utilizado e quando
realizada de forma científica, ou seja, baseada em teorias e métodos adequados, utiliza
instrumental tecnológico próprio buscando a objetividade. Assim os resultados das
estimativas realizadas por diferentes grupos de avaliadores, deverão ser próximos uns dos
outros.
Desta forma, podem-se definir as metodologias de avaliação como formas de se
atribuir valor a um imóvel. De acordo com a ABNT (NBR-5676/90), os métodos de avaliação
15
são divididos em dois grandes grupos: métodos diretos e métodos indiretos. A seguir são
apresentados detalhamentos desses métodos.
a) Métodos Diretos
Quando o valor do resultado da avaliação independe de outros, o método é chamado
de direto (Dantas, 1998). Os métodos diretos se subdividem:
- Método comparativo de dados
É um método que define o valor de comparação com dados de mercado que são
semelhantes quanto a características peculiares ou não. É o método mais indicado para
trabalhos de avaliação, porém para a sua aplicação, existe uma condição fundamental que é a
existência de um conjunto de dados que possa ser utilizada, estatisticamente, como amostra de
mercado imobiliário. As características e os atributos dos dados pesquisados que exercem
influência na formação dos preços, devem ser ponderados por homogeneização ou por
dedução estatística, respeitados os níveis de rigor definidos nessa norma.
- Método comparativo de custo de reprodução de benfeitorias
É o método que apropria o valor das benfeitorias, através da reprodução dos custos
de seus componentes. Estes custos são compostos com base em orçamento detalhado em
função da avaliação realizada. Devem ser justificados e quantificados os efeitos do desgaste
físico e do obsoletismo funcional das benfeitorias.
A utilização dos métodos diretos tem preferência e sempre que existirem dados
suficientes para utilização do método comparativo ele deve ser escolhido (Dantas, 1998).
b) Métodos Indiretos
O método é considerado indireto quando necessita de resultados provenientes de
outro procedimento. Os métodos indiretos são:
- O método da renda
Avalia o valor do imóvel ou de suas partes componentes em função de um
rendimento já existente ou previsto pelo bem no mercado, ou seja, o valor econômico do bem.
- Método involutivo
16
O valor do terreno é estimado por estudos da viabilidade técnica-econômica do seu
aproveitamento, considerando como aproveitamento eficiente à realização de um
empreendimento imobiliário hipotético compatível com as características do imóvel e com as
condições do mercado (Moreira Filho, Frainer e Moreira 1993).
- Método residual
Obtém-se o valor do terreno a partir da diferença entre o valor total do imóvel e o
valor das benfeitorias, levando-se em conta o fator de comercialização (Fiker, 1997).
Analisando os vários métodos de avaliação, mostrados anteriormente, pode-se
observar que de uma forma, ou de outra, todos são comparativos. Sendo assim, Dantas, 1998,
explica que no método comparativo comparam-se bens semelhantes; no método de custo,
comparam-se os próprios custos no mercado; nos métodos da renda e involutivo compara-se à
possibilidade de renda do bem; e no método residual, compara-se o nível de comercialização
do mercado.
O método comparativo, quando utilizado, permite que se tenha uma estimativa
mesmo com as diferentes tendências de mercado. Ele estima o valor baseado na comparação
com outros semelhantes, iniciando de um grupo de dados e somando-se com outras
informações resultando numa amostragem estatística de dados do mercado imobiliário.
Portanto, o método comparativo de dados de mercado é o método mais utilizado e indicado
para avaliações de mercado.
Na prática, geralmente ocorre a falta de algum componente que influencie no valor
final do imóvel e isto faz com que a semelhança entre o imóvel avaliado e os componentes da
amostra seja imperfeita e incompleta. Assim, os atributos dos dados pesquisados que
influenciam o valor devem ser ponderados por homogeneização ou inferência estatística,
respeitando os níveis de rigor definidos na NBR-5676/89. Com o uso de técnicas estatísticas
obtém-se uma avaliação isenta de subjetividade e de grande confiabilidade (Moreira Filho,
Frainer e Moreira 1993; González e Formoso, 2000).
Tabelas e também modelos de preços hedônicos, tais como a regressão linear
múltipla, são utilizados para estimar valores. No entanto, ambos sofrem contestações sobre
sua eficácia. As tabelas que eram tradicionalmente utilizadas são criticadas por serem
imprecisas e de pouca confiabilidade. A regressão linear múltipla tem demonstrado sérios
17
problemas de multicolinearidade nas variáveis explicativas e também de inclusão de outlier
na amostra. Além disso, a colinearidade dentro dos dados pode tornar a regressão linear
múltipla um modelo inadequado para um mercado que requer respostas rápidas e de alta
precisão, sendo aceitável apenas quando realizada por um profissional capacitado (Worzala,
Lenk e Silva, 1995).
Neste trabalho procura-se evitar o problema da multicolinearidade trabalhando-se
com componentes principais.
2.2.8 Nível de Precisão da Avaliação
Os níveis de precisão que caracterizam uma determinada avaliação são normatizados
pela NBR-5676/90. De acordo com NBR-5676, em seu item 7, o nível de rigor almejado
numa dada avaliação está diretamente relacionado com as informações extraídas do mercado.
Sendo assim, a precisão do mercado será determinada por esse nível que será maior ou menor,
dependendo da avaliação. Este rigor relaciona-se diretamente com a abrangência da pesquisa,
à confiabilidade e adequação dos dados coletados, à qualidade do processo avaliatório e ao
grau de subjetividade do avaliador. Desta forma, os trabalhos avaliatórios podem, de acordo
com a norma, ser classificados como de nível de rigor expedito, normal, rigoroso e rigoroso
especial.
Rigor expedito: o valor é obtido sem a utilização de qualquer instrumento
matemático, apenas com o nível de conhecimento de mercado do avaliador. É muito
freqüente, porém não é este o objetivo deste trabalho. A ausência de método científico
determina que o valor seja atribuído através de escolha arbitrária, não caracterizando o
aspecto técnico da avaliação.
Rigor normal: para esta avaliação utilizam-se métodos estatísticos e existem
exigências com relação à coleta e tratamento dos dados.
Rigorosa: nestas avaliações os dados devem se basear em processos estatísticos que
permitam calcular estimativas não tendenciosas do valor, tendo a total isenção de
subjetividade. O resultado final da avaliação, através do tratamento estatístico adotado, deve
estar contido em um intervalo de confiança fechado e com um nível de confiança máximo de
80%, desde que as hipóteses nulas sejam testadas ao nível de significância máximo de 5%.
18
Rigorosa especial: caracteriza-se pelo encontro de um modelo estatístico o mais
abrangente possível, ou seja, que incorpore o maior número de características que contribuem
para a formação do valor.
A função estimada da formação de valor deve ser eficiente e não tendenciosa.
Portanto, a hipótese nula da equação de regressão deve ser rejeitada ao nível de significância
máximo de 1% (ANOVA). Já as hipóteses nulas sobre os parâmetros do modelo de regressão
ao nível de significância máximo de 10% para o teste unicaudal (teste “t”) ou 5% em cada
ramo do teste bicaudal. Devem ser analisadas as seguintes condições básicas referentes aos
resíduos do modelo ajustado aos dados: Gaussianidade, homogeneidade da variância e
independência. Desta forma os resíduos devem ser Gaussianos, independentes e
identicamente distribuídos, ou seja,
ε
i
~ N (0,
σ
2
).
Logo, deve-se testar a Gaussianidade por um método adequado. Os mais usados são:
o teste de Shapiro-Wilks e o de Kolmogorov-Smirnov. A homogeneidade da variância das
variáveis pode ser verificada graficamente por meio do gráfico dos resíduos contra os valores
ajustados, ou seja, ....,,2,1
^^
niyx
i
i
=
ε
E, a premissa da independência dos resíduos pode ser
identificada por meio do gráfico dos resíduos contra a ordem, ou seja,
ii
x
^
ε
.
2.3 ANÁLISE MULTIVARIADA
2.3.1 Introdução
Ao se tomar uma decisão, muitos fatores costumam estar envolvidos nela;
certamente nem todos têm a mesma importância. Quando a intuição é utilizada nessa tomada
de decisão, nem todos os fatores costumam ser identificados, ou seja, não serão definidas as
variáveis que afetam a decisão. Assim também, nota-se que um grande número de variáveis
envolve os acontecimentos sejam eles culturais ou naturais.
Muitas ciências buscam conhecer a realidade e, assim, interpretar os acontecimentos
e fenômenos baseados no conhecimento das variáveis intervenientes consideradas importantes
nestes eventos. A finalidade da ciência é estabelecer relações e encontrar ou propor leis
19
explicativas. Para isso é necessário absorver todas as informações que são consideradas mais
relevantes para obter o entendimento do fenômeno analisado.
São diversas as dificuldades encontradas na transformação das informações (dados)
obtidas em conhecimento. Porém, a maior delas é de natureza epistemológica: a ciência que
tenta representar a realidade através de modelos e teorias dos diversos ramos do
conhecimento. Outra dificuldade é a aspiração de universalidade das explicações científicas,
resultando desta forma, ao condicionamento da pesquisa a uma “padronização” metodológica,
tendo um aspecto essencial que é a avaliação estatística das informações.
A cada dia amplia-se cientificamente a facilidade de obtenção de informações sobre
acontecimentos e fenômenos que estão sendo analisados, sendo que estas informações são
parcelas de dados que devem ser trabalhados e processados e então transformados em
conhecimentos.
Assim, cada vez mais surge a necessidade da utilização de ferramentas estatísticas
que apresentem uma visão por inteiro sobre o fenômeno analisado e que melhore as
informações obtidas com uma abordagem univariada.
A designação “Análise Multivariada” corresponde a um conjunto de técnicas que
utiliza simultaneamente todas as variáveis que caracterizam um item na análise estatística.
Assim, ao invés de trabalhar com uma variável explicativa X ela considera o vetor X cujas
componentes são variáveis aleatórias explicativas. A metodologia da Análise Multivariada
detém um grande potencial de aplicação, pois facilita o entendimento do relacionamento entre
as diversas variáveis aleatórias. As técnicas multivariadas, são técnicas que não tratam apenas
uma dimensão de análise de dados, mas também uma escala de cruzamento entre várias
dependentes ou não e também um cruzamento de dados que envolvem informações
dependentes, oferecendo assim ao pesquisador, uma nova dimensão, mais abundante que
normalmente em abordagem univariada.
A estatística univariada clássica fixou-se no estudo de uma única característica (ou
variável) medida para um conjunto pequeno de indivíduos, desenvolvendo as noções de
estimativa e de testes fundamentados em hipóteses muito restritivas. Entretanto, na prática, os
indivíduos observados são freqüentemente caracterizados por um grande número de
características (ou variáveis).
20
Os métodos de análise de dados permitem um estudo global dessas variáveis, pondo
em evidência ligações, semelhanças ou diferenças. Por isso, “mergulham-se” indivíduos e
variáveis em espaços geométricos, fazendo-se a máxima economia de hipóteses, e
transformam-se os dados para visualizá-los num plano ou classificá-los em grupos
homogêneos, perdendo o mínimo de informações.
A Análise Multivariada é a parte da estatística que estuda, interpreta e elaboram o
material estatístico sobre um conjunto de n > 1 variáveis (quantitativa e/ou qualitativa). Os
dados onde cabe uma Análise Multivariada são, portanto, de caráter multidimensional
(Cuadras, 1981). Pode ser usada para a redução ou simplificação de dados, distribuição e
agrupamentos, investigação da dependência entre variáveis, predição, teste de hipótese, e
muitas outras.
Pla (1986) aponta alguns dos objetivos mais importantes dos métodos multivariados:
a) Encontrar a adequação de representar o universo em estudo, simplificando a
estrutura dos dados. Pode-se obter através da transformação (combinação linear
ou não linear) de um conjunto de variáveis interdependentes em outro conjunto
independente e/ou num conjunto de menor dimensão.
b) Classificação; esta análise permite estabelecer as observações dentro de grupos
ou, então, concluir que os indivíduos estão aleatórios no multiespaço, sendo
também possível, alocar novos itens em grupos identificados.
c) Análise da interdependência; tem como objetivo examinar a interdependência
entre as variáveis, a qual abrange desde a independência total até a colinearidade
quando uma delas é combinação linear de outras ou, em termos mais gerais, é
uma função f (x) qualquer das outras.
De acordo com Johnson e Wichern (1998), em problemas que envolvem p variáveis
(p > 1), tomando-se n observações de cada vetor aleatório X de dimensão p tem-se que as
medidas observadas x
ij
, com i = 1, 2,... , n e j = 1, 2,... , p, podem ser arranjadas em uma
matriz de dados genérica de ordem n x p,
n
X
p
, conforme 2.2.
21
n
X
p
=
11 12 1
21 22 2
12
p
p
nn np
XX X
XX X
XX X
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
L
L
MMOM
L
(2.2)
A representação da matriz de dados correspondente a n observações do vetor X
’
=
[X
1
, X
2
,..., X
p
] de dimensão p, composto por p varáveis aleatórias, pode ser
n
X
p
= (X
ij
). No
entanto, essa matriz corresponde a uma amostra aleatória de tamanho n do vetor p-
dimensional X, ou seja, [x
1
, x
2
, x
3
,..., x
n
].
Na grande maioria das vezes, quando se estuda áreas de pesquisas e aplicação de
técnicas estatísticas, várias características (variáveis) são observadas. Essas variáveis devem
ser analisadas em conjunto por não serem independentes e a Análise Multivariada é a área que
trata desse tipo de análise e visa trabalhar, conjuntamente, com mais do que uma variável.
As técnicas multivariadas mais utilizadas são aquelas relacionadas ao estudo da
estrutura de covariância do vetor observado, ao estudo do agrupamento de itens e ao estudo
do reconhecimento de padrões e classificação. Especificamente pode-se citar: Análise de
Componentes Principais, Análise Fatorial, Análise de Correlação Canônica, Análise de
Agrupamento (Cluster Analysis) e Reconhecimento e Classificação de Padrões.
Várias são as técnicas que podem ser aplicadas aos dados. Sua utilização depende do
tipo de dados que se deseja analisar e dos objetivos do estudo. Nesta pesquisa trabalhou-se
com as seguintes técnicas multivariadas:
- Análise de Agrupamentos;
- Análise de Componentes Principais;
- Reconhecimento de Padrões e Classificação.
2.3.2 Estatísticas Descritivas Multivariadas
A Ciência Estatística trabalha com amostras. As informações amostrais podem ser
resumidas em números sumários conhecidos como estatísticas e que podem constar nas
observações multivariadas [x
1
, x
2
, x
3
, ..., x
n
]. As estatísticas são usadas na inferência sobre os
parâmetros, ou seja, na estimação do vetor médio
μ
, da matriz de covariância Σ ou da matriz
22
de correlação ρ, entre outros. De maneira que o vetor médio populacional
μ
deve ser estimado
pelo vetor médio amostral,
X
, definido pela expressão,
X
=
1
n
i
i
x
n
=
∑
, (2.3)
onde x
i
com i = 1, 2, ..., n corresponde às observações amostrais do vetor X e n é o tamanho da
amostra observada. Outros parâmetros de uma população multivariada f(x
) podem ser
avaliados, tais como a matriz de covariância Σ, definida por:
∑
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
2
21
2
2
221
112
2
1
ppp
p
p
σσσ
σσσ
σσσ
L
MOMM
L
L
(2.4)
onde se tem na diagonal principal as variâncias das variáveis aleatórias e, fora da diagonal
principal, as covariâncias entre elas. E, a matriz de correlação
ρ
, definida por:
ρ
=
12 1
21 2
12
1
1
1
p
p
pp
ρρ
ρρ
ρρ
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
L
L
MMOM
L
(2.5)
com as correlações entre as variáveis fora da diagonal principal. Então estes parâmetros,
Σ e
ρ
, são estimados, respectivamente, pela matriz de covariância amostral S e pela matriz de
correlação amostral R ou
ˆ
ρ
, cujas expressões são:
S =
1
()()'
1
n
ii
i
x
xx x
n
=
−−
−
∑
=
2
112 1
2
21 2 2
2
12
p
p
pp p
ss s
ss s
ss s
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
L
L
MMOM
L
(2.6)
sendo s
2
j
a variância amostral da variável aleatória X
j
,
23
s
2
j
=
()
2
1
1
n
j
ij
i
XX
n
=
−
−
∑
(2.7)
e s
jk
a covariância amostral entre as variáveis aleatórias X
j
e X
k
, ou seja,
s
jk
=
()()
1
1
1
1
n
jj
ij i
i
XXXX
n
=
−−
−
∑
(2.8)
e
R =
ˆ
ρ
=
12 1
21 2
12
1
1
1
p
p
pp
rr
rr
rr
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
L
L
MMOM
L
(2.9)
com as correlações amostrais fora da diagonal principal e dadas pelo quociente entre a
covariância amostral e o produto dos desvios padrões amostrais, ou seja:
r
jk
=
jk
jk
s
ss
para j ≠ k. (2.10)
Esses estimadores são os melhores para se determinar os parâmetros. Os primeiros
são EUMV (Estimador Uniformemente de Mínima Variância) e o último é EMV (Estimador
de Máxima Verossimilhança).
2.3.3 Métodos Multivariados
Métodos Multivariados são técnicas estatísticas importantes cujo uso está
particularmente disseminado nas ciências físicas, sociais e médicas. É também complexa
porque é difícil de identificar técnicas que são projetadas para estudar relações dependentes e
interdependentes. Existem vários métodos de Análise Multivariada, com diversas finalidades.
Portanto, é necessário saber que tipo de conhecimento se pretende gerar. Os métodos
estatísticos são escolhidos de acordo com os objetivos da pesquisa. Aplicou-se neste trabalho
alguns destes métodos sendo detalhados nas próximas seções.
24
2.3.3.1 Análise de Componentes Principais
O método das Componentes Principais procura explicar a estrutura da variância e
covariância de um vetor aleatório através de poucas combinações lineares das variáveis
originais. Seu objetivo geral baseia-se tanto em reduzir os dados como em facilitar a
interpretação, pois consiste numa transformação, de eixos, tornando as novas variáveis
(combinações lineares) não correlacionadas. De forma que uma matriz de dados X de ordem n
x p pode ser substituída por outra de ordem n x m sendo
p
m
<
< .
De acordo com Johnson e Wichern (1998), embora as p componentes sejam
necessárias para reproduzir toda a variabilidade presente na estrutura de covariância do vetor
X de dimensão p, freqüentemente, uma grande parte desta variabilidade poderá ser explicada
por um número
m < p de Componentes Principais. Neste caso existe praticamente a mesma
quantidade de informações nas m Componentes Principais do que nas p variáveis originais. A
Análise das Componentes Principais freqüentemente revela relações que não eram
previamente consideradas e assim permitem interpretações que não iriam, de outro modo,
aparecer.
a) Componentes Principais Populacionais
Algebricamente, as componentes principais são combinações lineares das p variáveis
originais
X
1
, X
2
,..., X
p
que compõem o vetor aleatório X. Geometricamente, as combinações
lineares representam a seleção de um novo sistema de coordenadas, obtido por rotação do
sistema original, sendo que os novos eixos representam as direções com variabilidade máxima.
Como exemplo, tem-se, na figura 2.1, a representação da estrutura de componentes principais
para
p = 2:
Figura 2.1: Representação da estrutura de componentes principais
Y
2
X
2
X
1
Y
1
25
onde:
X
1
e X
2
são eixos originais.
Y
1
e Y
2
são novos eixos (eixos originais rotacionados: centrado na média
amostral).
Obtêm-se as Componentes Principais a partir da matriz de covariância Σ ou da matriz
de correlação
ρ
, que resumem a estrutura de relacionamento das p variáveis originais que
compõem o vetor X. Então, da matriz de covariância
∑
ou da matriz de correlação
ρ
, obtém-
se os autovalores
λ
1
>
λ
2
> ..... >
λ
p
e os respectivos autovetores e
1
, e
2
,... , e
p
. E, com estes
entes algébricos se constrói as combinações lineares que definem as componentes principais,
ou seja,
Y
i
= e
'
i
X, i = 1, 2,... , p. (2.11)
As Componentes Principais são combinações lineares, Y
i
i = 1, 2,..., p, não
correlacionadas, uma vez que a matriz dos autovetores P, em (2.12), é ortogonal
(PP’ = P’P = I),
P =
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
p
p
pp pp
ee e
ee e
ee e
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
. (2.12)
A variância da Componente Principal Y
i
= X, i = 1, 2,... , p é dada por,
V(Y
i
) = V( X) = V (
X ) = Σ (2.13)
e a covariância entre as componentes Y
j
e Y
k
é nula, ou seja, cov (Y
j
, Y
k
) = 0.
Portanto define-se:
- A primeira componente principal como a combinação linear Y
1
= Xe
'
1
que
maximiza a variância de Y
1
, sob a restrição e
'
1
e
1
= 1.
'
i
e
'
i
e
'
i
e
'
i
e
'
i
e
'
i
e
26
- A segunda componente principal como a combinação linear Y
2
= Xe
'
2
que
maximiza
(
)
XeV
'
2
sujeita a restrição 1
2
'
2
=ee e
(
)
.0,cov
21
=YY
- A i-ésima componente principal como a combinação linear Y
i
= Xe
i
'
que
maximiza
(
)
XeV
i
'
sujeita a restrição 1
'
=
i
ee
i
e
(
)
.0,cov ikYY
ki
≠∀=
b) Componentes Principais Amostrais
Comumente os parâmetros da estrutura de covariância, Σ ou
ρ
, são desconhecidos.
Então, a obtenção das componentes principais é feita a partir de seus estimadores, que são a
matriz de covariância amostral S ou a matriz de correlação amostral R. Estas estatísticas são
definidas por:
S =
1
1n −
1
()()'
n
ii
i
x
xx x
=
−−
∑
(2.15)
R = D
-1
SD
-1
(2.16)
onde D é a matriz desvio padrão amostral e
x
é o vetor médio amostral, dados
respectivamente por:
D = (2.17)
x
= (2.18)
Então, obtêm-se as estimativas dos elementos da estrutura de covariância do vetor
aleatório X
, ou seja, os autovalores
ˆ
i
λ
i = 1, 2,..., p e os correspondentes autovetores
ˆ
i
e e
constroem-se as componentes principais amostrais:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
p
s
s
s
...00
............
0...0
0...0
2
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
p
x
x
x
M
2
1
27
ˆ
î
Y =
'
ˆ
i
e
X, i = 1, 2,..., p. (2.19)
As propriedades das componentes principais se mantêm e são obtidas com base em
estimadores.
A obtenção das componentes principais com base nas informações da matriz de
correlação é preferida, devido ao fato de se conseguir eliminar o efeito de escala nos valores
das componentes do vetor de variáveis originais X
. A matriz de correlação é uma matriz de
covariância, mas de variáveis padronizadas. Assim, consegue-se eliminar a influência da
escala das variáveis na magnitude das variâncias.
Os autovetores definem as direções da máxima variabilidade e os autovalores
especificam as variâncias. Eles são a essência do método das componentes principais. Quando
os primeiros autovalores são muito maiores que os demais, a maior parte da variância total
pode ser explicada por um número menor do que as p dimensões do vetor X
. O
desenvolvimento da Ciência Estatística, com o passar do tempo, favoreceu o aparecimento de
outro método de extração dos fatores de uma Análise Fatorial, que é o da máxima
verossimilhança. Os dois métodos estão disponíveis nos modernos programas
computacionais.
c) Critérios para Definição do Número de Componentes Principais Extraídas
Um critério para a determinação do número de componentes a serem extraídas foi
sugerido por Kaiser em 1960. Segundo Johnson e Wichern (1988), Kaiser propôs escolherem-
se somente as componentes correspondentes aos autovalores (raízes latentes) de magnitudes
maiores do que um. Outra maneira de se definir o número de componentes é através da
percentagem de variação explicada. O pesquisador, neste caso, deve julgar se m componentes
explicam suficientemente o relacionamento entre as p variáveis originais. Geralmente, um
bom grau de explicação é superior a 75% para um m pequeno. Um procedimento que
visualiza muito bem o Critério de Kaiser é grafar os autovalores contra o número de
componentes na ordem de extração (Scree Plot). Fixando-se um nível de corte fica fácil
decidir o número de m.
Uma propriedade muito importante das Componentes Principais é a independência
entre elas. Desta forma, podem substituir as variáveis originais e eliminar o problema de
multicolinearidade.
28
2.3.3.2 Análise de Agrupamento (Clusters Analysis)
É uma técnica multivariada que busca a formação de grupos homogêneos de objetos
ou variáveis. Estes grupos são formados calculando-se as distâncias entre os itens,
representados por vetores compostos pelas suas características, construindo-se uma matriz de
distâncias e juntando os itens em grupos de acordo com suas proximidades.
Segundo Crivisqui (1993) os chamados Métodos de Agrupamento, ou Cluster
Analysis, ou ainda Métodos de Classificação Automática, são métodos estatísticos destinados
a dividir em subconjuntos um conjunto de dados observados. Aplicar estes métodos significa
definir nesse conjunto as classes em que se distribuem os elementos do conjunto.
Se n indivíduos sobre os quais se observaram p características estão representados
num espaço de p dimensões, chamam-se classes aos subconjuntos de indivíduos desse espaço
de representação que são identificáveis.
Não se pode requerer a existência de classes num conjunto de observações. Só é
possível verificar a existência de níveis de síntese significativos correspondentes à
organização em classes e subclasses dos elementos, de modo que os elementos de uma matriz
de dados qualquer não são necessariamente classificáveis. Por isso, é necessário explorar
previamente a estrutura da informação disponível, antes de orientar-se em direção a um
algoritmo de classificação.
a) Medidas de similaridade e dissimilaridade
Quando são agrupados itens, a proximidade é usualmente indicada por uma espécie
de distância. Por outro lado, as variáveis são usualmente agrupadas com base nos coeficientes
de correlação ou outras medidas de associação. Assim, quanto maior ou menor o valor do
índice de similaridade ou dissimilaridade mais ou menos parecidos são os objetos.
Existem vários índices de similaridades, sendo que a sua principal medida é o
coeficiente de correlação. No entanto, os itens podem sem comparados por uma distância.
Existem várias métricas que podem ser usadas:
Distância Euclidiana: é, simplesmente, a distância geométrica no espaço
Multidimensional. A distância entre os itens x
e y é definida por:
29
()
()
∑
=
−=
p
i
ii
yxyxd
1
2
,
(2.20)
Outras medidas para a distância entre x
e y são definidas por:
Quadrado da distância Euclidiana:
()
()
∑
=
−=
p
i
ii
yxyxd
1
2
2
, (2.21)
Distância city-block (Manhattan):
()
∑
=
−=
p
i
ii
yxyxd
1
,
(2.22)
Distância de Mahalanobis (distância estatística):
()()()
()
(
)
2
2
2
1
2
11
1
'
,
p
pp
S
yx
S
yx
yxSyxyxd
−
++
−
=−−=
−
L (2.23)
Distância de Minkowski:
()
n
p
i
n
ii
n
n
pp
nn
yxyxyxyxyxd
∑
=
−=−++−+−=
1
2211
, L (2.24)
b) Método de agrupamento hierárquico
A utilização deste método segue o seguinte procedimento: iniciam-se com g grupos,
sendo que cada um é formado por um único objeto; calcula-se a matriz simétrica de distâncias
n × n, D = (d
ij
), onde d
ij
é a distância ou similaridade entre o objeto i e o objeto j, onde: d
11
=
d
22
= ... = d
nn
= 0.
Na matriz de distâncias D, acha-se o par de grupos mais próximo (menor distância) e
juntam-se os grupos. O novo grupo formado é, por exemplo, (AB). Nova matriz de distâncias
é construída, simplesmente apagando-se as linhas e colunas correspondentes aos grupos A e B
e adicionando-se a linha e a coluna dadas pelas distâncias entre (AB) e os grupos
remanescentes. Repetem-se estes passos anteriores, num total de (g – 1), vezes observando-se
as identidades dos grupos que são agrupados.
30
A função de um item ou grupo a outro grupo é feita usando-se um tipo de
procedimento chamado ligação. Os tipos de ligações mais comuns são: Ligação Simples
(vizinho mais próximo), Ligação Completa (vizinho mais distante), Método de Ward, Método
das Médias das Distâncias e Método do Centróide. A seguir serão detalhados os três primeiros
tipos de ligações.
Ligações Simples (vizinho mais próximo)
Nesta ligação o agrupamento é feito juntando-se dois grupos com menor distância
ou maior similaridade. Quando formado o novo grupo, por exemplo, (AB), na ligação simples,
a distância entre (AB) e algum outro grupo C é calculado e os resultados são apresentados
graficamente em um diagrama de árvore ou dendrograma.
d
(AB)C
= min {d
AC
, d
BC
} (2.25)
Ligação Completa (vizinho mais longe)
O procedimento é muito semelhante ao da ligação simples, com uma única exceção:
o algoritmo aglomerativo começa determinando a menor distância d
ik
, constrói-se a matriz de
distâncias D = (d
ik
) e os grupos vão se juntando. Se A e B são dois grupos de um único
elemento, tem-se (AB) como novo grupo. A distância entre (AB) e outro grupo C é dada por:
d
(AB)C
= max {d
AC
, d
BC
} (2.26)
Método de Ward
Este método é usado, avaliando a perda de informações utilizando o critério da soma
ao quadrado dos erros, (SQE), entre dois agrupamentos, para todas as amostras. Quando se
tem a distância mínima unem-se os grupos próximos, e volta-se a iterar nos grupos. Então
tem-se:
(2.27)
Sendo:
x
a média das amostra;
x
i
uma medida multivariada associada com o i-ésimo item.
)()'(
1
xxxxSQE
i
n
i
i
−−=
∑
=
31
Os resultados são fornecidos na forma de dendrograma e o eixo vertical dá os
valores de SQE. A decisão do número de classes ou tipos para análise é tomada a partir do
exame do dendrograma ou árvore hierárquica, onde podem ser lidos os índices de nível ou
índices de similaridade que são as distâncias euclidianas em que ocorrem as junções dos
pontos observados para formar grupos. Uma grande distância indica que a agregação
reuniu dois grupos muito dissimilares e, por isso, deve-se definir o número de grupos
anterior a esta distância.
2.3.3.3 Discriminação, Classificação e Reconhecimento de Padrões
Estatisticamente, a construção e a avaliação de regras de reconhecimento e
classificação de padrões podem ser baseadas em três métodos principais: Função
Discriminante Linear de Fisher, Regressão Logística e Método das k-médias. Posteriormente,
surgiu a tecnologia de Redes Neurais (tecnologia emergente), métodos de Programação
Matemática e outros métodos para formação do conjunto de procedimentos usados no
reconhecimento e classificação de objetos e indivíduos. Abaixo se detalha o método da
Análise Discriminante.
- Análise Discriminante
Segundo Johnson e Wichern (1988), é uma técnica multivariada que tem por objetivo
tratar dos problemas relacionados com separar conjuntos distintos de objetos (itens ou
observações) e alocar novos objetos em conjuntos previamente definidos. Quando empregada
como procedimento de classificação não é uma técnica exploratória, uma vez que ela conduz
a regras bem definidas, as quais podem ser utilizadas para classificação de outros objetos.
Tem como objetivos imediatos, quando usada para discriminação e classificação, os
seguintes:
1.
Descrever algébrica ou graficamente as características diferenciais dos objetos
(observações) de várias populações conhecidas a fim de achar “discriminantes”
cujos valores numéricos sejam tais que as populações possam ser separadas tanto
quanto possível.
2.
Agrupar os objetos (observações) dentro de duas ou mais classes determinadas.
Tenta-se encontrar uma regra que possa ser usada na alocação ótima de um novo
objeto (observação) nas classes consideradas.
32
Uma função que separa pode servir para alocar um objeto e, da mesma forma, uma
regra alocadora pode sugerir um procedimento discriminatório. Na prática, os objetivos 1 e 2,
freqüentemente, sobrepõem-se e a distinção entre separação e alocação torna-se confusa.
- Discriminação e Classificação: Método de Fisher
1. Método de Fisher para Duas Populações
A idéia de Fisher foi transformar as observações multivariadas X
’s em observações
univariadas Y
’s tais que os Y’s das populações
π
1
e
π
2
sejam separados tanto quanto possível.
Fisher tomou combinações lineares de X
para criar os Y’s, dado que as combinações lineares
são funções de X
e por outro lado são de fácil cálculo. Assim, sendo
μ
1y
a média dos Y’s
obtidos dos X
’s pertencentes a
π
1
(população 1) e
μ
2y
a média dos Y’s obtidos dos X’s
pertencentes a
π
2
(população 2), Fisher selecionou a combinação linear que maximiza a
distância quadrática entre
μ
1y
e
μ
2y
relativamente à variabilidade dos Y’s. Assim, seja:
μ
1
= E (X|
π
1
) = valor esperado de uma observação multivariada de
π
1
. (2.28).
μ
2
= E (X|
π
2
) = valor esperado de uma observação multivariada de
π
2
. (2.29).
e supondo a matriz de covariância
Σ =
Ε
[(
Χ
−
μ
i
)(
Χ
−
μ
i
)’] i = 1, 2 (2.30)
como sendo a mesma para as duas populações, e ainda considerando a combinação linear,
1
1
'
11
px
xp
x
XcY =
(2.31)
tem-se:
μ
1y
= E (Y |
π
1
) = E (c’X |
π
1
) = c’E (X |
π
1
) = c’
μ
1
, (2.32)
μ
2y
= E (Y|
π
2
) = E (c’X |
π
2
) = c’E (X |
π
2
) = c’
μ
2
(2.33)
e
V (Y) =
2
y
σ
= V (c’X) = c’ V (X) c = c’Σc, (2.34)
33
que é a mesma para ambas as populações. Então, segundo Fisher, a melhor combinação linear
é a derivada da razão entre o “quadrado da distância entre as médias” e a “variância de Y”.
∑∑∑
′
′
=
′
′
−−
′
=
′
′
−
′
=
−
cc
c
cc
cc
cc
cc
y
yy
2
2121
2
21
2
2
21
)(
))(()(
)(
δ
μμμμμμ
σ
μμ
(2.35)
onde
δ
=
μ
1
−
μ
2
. (2.36)
Então, com
δ
=
μ
1
−
μ
2
e Y = c’X,
∑
′
′
cc
c
2
)(
δ
é maximizada por:
c
= k Σ
-1
δ
= k Σ
-1
(
μ
1
−
μ
2
) para qualquer k ≠ 0. (2.37)
Para k = 1 tem-se:
c
= Σ
-1
(
μ
1
−
μ
2
) e Y = c’X = (
μ
1
−
μ
2
)’Σ
-1
X, (2.38)
que é conhecida como Função Discriminante Linear de Fisher. Ela transforma as populações
multivariadas
π
1
e
π
2
em populações univariadas, tais que as médias destas populações são
separadas tanto quanto possível relativamente à variância populacional, considerada comum.
Logo, para classificar a observação multivariada X
0
usa-se o modelo:
Y
0
= (
μ
1
−
μ
2
)’Σ
-1
X
0
(2.39)
Y
0
é o valor da Função Discriminante de Fisher para a nova observação X
0
, e considerando o
ponto médio entre as médias das duas populações univariadas,
m =
1
2
12
(),
μμ
yy
+ (2.40)
como
m = )(
2
1
2
2
1
1
μμ
cc
′
+
′
m =
[]
2
1
211
1
21
)()(
2
1
μμμμμμ
∑∑
−−
′
−+
′
−
34
m =
[]
)()(
2
1
21
1
21
μμμμ
+
′
−
∑
−
(2.41)
e tem-se que:
E (Y
0
|
π
1
) − m ≥ 0 (2.42)
e
E (Y
0
|
π
2
) − m < 0, (2.43)
ou seja, se
X
0
pertence a
π
1
, se espera que Y
0
seja igual ou maior do que o ponto médio. Por
outro lado se
X
0
pertence a
π
2
, o valor esperado de Y
0
será menor que o ponto médio. Portanto,
a regra de classificação é:
alocar
x
0
em
π
1
se y
0
− m ≥ 0
alocar
x
0
em
π
2
se y
0
− m < 0
Os parâmetros
μ
1
,
μ
2
e Σ geralmente são desconhecidos. Então, supondo que se tem
n
1
observações da v.a. multivariada X
1
de dimensão p, ou seja, tem-se uma amostra aleatória
da população
π
1
e n
2
observações da v.a. multivariada X
2
de dimensão p, que corresponde a
uma mostra aleatória da população
π
2
, os resultados amostrais correspondentes são:
∑∑
==
′
−−
−
==
11
1
1111
1
1
1
1
1
1
))((
1
1
;
1
n
i
ii
n
i
i
xxxx
n
Sx
n
x (2.44)
∑∑
==
′
−−
−
==
22
1
2222
2
2
1
2
2
2
))((
1
1
;
1
n
i
ii
n
i
i
xxxx
n
Sx
n
x (2.45)
Assumindo que as populações sejam assemelhadas, é natural considerar a variância
como a mesma daí estima-se a matriz de covariância comum Σ pela matriz de covariância
amostral calculada com a amostra conjunta,
)2(
)1()1(
21
2211
−+
−+−
=
nn
SnSn
S
p
(2.46)
que é um estimador não-viciado daquele parâmetro Σ.
35
Conseqüentemente, a Função Discriminante Linear de Fisher Amostral é dada por:
xSxxXcY
p
1
21
)(
ˆ
−
′
−=
′
= (2.47)
e a estimativa do ponto médio entre as duas médias amostrais univariadas,
1
1
ˆ
xcy
′
=
(2.48)
e
2
2
ˆ
xcy
′
=
(2.49)
é dada por:
[]
)()(
2
1
ˆ
)()(
2
1
)(
2
1
ˆ
21
1
21
2
1
211
1
21
21
xxSxxm
xSxxxSxxyym
p
pp
+
′
−=
′
−+
′
−=+=
−
−−
(2.50)
Finalizando a regra de classificação é a seguinte:
y
0
− 0
ˆ
≥m x
0
é alocado em
π
1
y
0
− m
ˆ
< 0 x
0
é alocado em
π
2
A combinação linear particular Y =
xSxxxc
p
1
21
)(
ˆ
−
′
−=
′
maximiza a razão:
cSc
dc
cSc
xcxc
S
yy
pp
y
ˆˆ
)
ˆ
(
ˆˆ
)
ˆˆ
(
)(
2
2
2211
2
2
21
′
′
=
′
−
=
−
(2.51)
onde:
21
xxd −= (2.52)
e
36
2
)()(
21
11
2
2
2
2
1
1
2
12
−−
−+−
=
∑∑
==
nn
yyyy
S
n
i
n
i
ii
y
(2.53)
2. Discriminação entre Diversas Populações
O método anterior válido para duas populações pode ser estendido para diversas
populações. O primeiro objetivo de Fisher com o método foi o de separar populações,
podendo ser usado também para classificar novos itens em uma das populações. Esse método
não necessita da suposição de que as diversas populações sejam normais multivariadas,
porém, é necessário assumir que as matrizes de covariâncias populacionais são iguais, ou seja,
Σ
1
= Σ
2
= ... = Σ
g
= Σ. Assim, seja
μ
o vetor médio dos diversos grupos (populações),
μμ
=
=
∑
1
1
g
i
i
g
(2.54)
e
B
0
a matriz “Soma de produtos cruzados entre grupos populacionais” tal que:
B
0
= )')((
1
μμμμ
−−
∑
=
g
i
ii
(2.55)
A combinação linear
Y = c’X tem por esperança:
E (Y) =
cE x'(
|π
i
) = c
i
'
μ
(2.56)
para a população
π
i
e variância:
V (Y) =
cccXVc
y
' )('
2
Σ==
σ
(2.57)
para todas as populações. Desta forma, o valor esperado
μ
iy
= c’
i
μ
muda quando a população
da qual X
é selecionado é outra. Tem-se então uma média global:
μμμ
yiy
i
g
g
c==
=
∑
1
1
'
(2.58)
37
e a razão entre a “Soma dos quadrados das distâncias das populações para a média global” e a
variância de Y
’ é
cBc
cc
'
'
0
Σ
que é uma generalização multigrupal do caso de duas populações.
Medindo a variabilidade entre grupos de valores (escores) Y relativamente à variabilidade
comum dentro dos grupos, da mesma forma do que no caso de duas populações, pode-se
selecionar c
que maximiza esta razão. É conveniente normalizar c tal que .1
'
=∑cc
Sejam λ
1
≥ λ
2
≥ ... ≥ λ
s
> 0 os s ≤ min (g – 1 p) autovalores não-nulos de Σ
-1
B
0
e e
1
,
e
2
,..., e
s
os correspondentes autovetores (escalonados tal que ee'
Σ
= 1). Então, é fácil provar
que o vetor de coeficientes c
que maximiza a razão
cBc
cc
'
'
0
Σ
é dado por c
1
= e
1
. A combinação
linear c
1
’X é chamada primeiro discriminante e de forma idêntica, pode-se generalizar para o
k-ésimo discriminante com c
k
= e
k
com k = 1, 2,..., s. Geralmente, Σ e
μ
i
não são conhecidas,
toma-se amostras aleatórias de tamanhos n
i
das populações
π
i
, i = 1, 2,..., g e denotando o
conjunto de dados da população
π
i
, i = 1, 2,..., g, por
ni
X
p
tem-se os estimadores dos
parâmetros
μ
i
e
μ
dados por:
∑
=
=
i
n
j
ij
i
i
x
n
x
1
1
(2.59)
∑
∑∑
∑
∑
=
==
=
=
==
g
i
i
g
i
n
j
ij
g
i
i
g
i
ii
n
x
n
xn
x
i
1
11
1
1
(2.60)
A matriz “Soma de produtos cruzados entre grupos”,
B
0,
é estimada por:
∑
=
−−=
g
i
ii
xxxxB
1
0
)')((
ˆ
(2.61)
e um estimador para
Σ pode ser obtido com base na matriz W:
∑∑ ∑
== =
−=−−=
g
i
n
j
g
i
ii
ijiij
i
SnxxxxW
11 1
)1()')((
(2.62)
Conseqüentemente,
38
W
nn n g
nSnS n S
nn n g
g
gg
g12
1122
12
11 1
+++−
=
−
+
−
+
+
−
+++−...
()()....()
....
=
S
p
(2.63)
Assim, o mesmo
c
ˆ
que maximiza a razão
$
'
$
$
$
'
$
cB c
cS c
p
0
também maximiza
$
'
$
$
$
'
$
cB c
cWc
0
. Logo,
apresentar-se-á o otimizante
$
c
na forma mais usual, que é o autovetor
$
e
i
da matriz W
-1
B
0
,
porque se
W
-1
B
0
$
e =
$
$
λ
e então S
p
-1
egnnneB
g
ˆ
)...(
ˆ
ˆ
ˆ
210
−+++=
λ
, portanto, concluindo que
sejam
λ
1
≥ λ
2
≥ ... ≥ λ
g
> 0 os autovalores não nulos de W
-1
B
0
e
s
eee
ˆ
,.....,
ˆ
,
ˆ
21
os
correspondentes autovetores, sendo
s ≤ min (g – 1, p) e
$
e
i
normalizado tal que
$$
eS e
i
p
i
= 1;
então o vetor de coeficientes que maximiza a razão citada acima é
$
c
1
=
$
e
1
e a combinação
linear
$
e
1
’x é chamada primeiro discriminante amostral. Generalizando, tem-se no passo k o k-
ésimo discriminante amostral
$
'ex
k
, k ≤ s.
2.3.3.4 Avaliação de Funções de Reconhecimento e Classificação
1. Critério TPM (Total Probability of Misclassification)
A
TPM é dada por:
∫∫
−=
21
)()(
2211
RR
xdxfpxdxfpTPM (2.64)
onde:
p
1
e p
2
são as probabilidades de uma observação pertencer a π
1
ou a π
2
,
respectivamente. E o menor valor para esta quantidade, obtido pela escolha adequada das
regiões
R
1
e R
2
, é chamado de taxa ótima de erro (optimum error rate), OER,
OER =
∫∫
−
21
)()(
2211
RR
xdxfpxdxfp (2.65)
com
R
1
e R
2
determinados por
1
2
1
1
1
)(
)(
:
p
p
xf
xf
R ≥
e R
2
em caso contrário.
A taxa aparente de erro (que é definida como fração das observações no treinamento
amostral) é calculada da matriz de confusão que mostra a situação real das observações nos
39
grupos versus o reconhecimento. Para n
1
observações de
1
π
e n
2
de
2
π
, a matriz de confusão
tem a forma:
Figura 2.2: Matriz de confusão
Onde:
n
1C
: número de itens de
1
π
corretamente reconhecido como de
1
π
;
n
1M
: número de itens
1
π
misturados com de
2
π
;
n
2C
: número de itens
2
π
corretamente reconhecido como de
2
π
;
n
2M
: número de itens
2
π
misturados com de
1
π
.
A taxa aparente de erro (
APER) é dada por:
21
21
nn
nn
APER
MM
+
+
=
(2.66)
e é vista como a proporção de itens ou observações no conjunto de treinamento que são
reconhecidos erroneamente.
2. Abordagem de Lachenbruch
É uma técnica para avaliar a eficiência da regra de classificação. Os passos são:
1.
Comece com o grupo da população
1
π
. Omita uma observação deste grupo e
construa uma função baseada nas
n
1
– 1 e n
2
observações.
Predito
1
π
2
π
Classificação
1
π
n
1C
n
1M
n
1
atual
2
π
n
2M
= n
2
– n
2C
n
2C
n
2
40
2. Reconheça (classifique), usando a função, a observação não incorporada.
3.
Repita os passos 1 e 2 até que todas as n
1
observações de
1
π
sejam classificadas.
Seja
)(
1
H
M
n o número de observações reconhecidas erroneamente neste grupo.
4.
Repita os passos de 1 a 3 para as n
2
observações de
2
π
. Seja
)(
2
H
M
n o número de
observações reconhecidas erroneamente neste grupo.
Então,
()
1
)(
1
12
ˆ
n
n
P
H
M
= (2.67)
e
()
2
)(
2
21
ˆ
n
n
P
H
M
= (2.68)
e a proporção total esperada de erro é:
21
)()(
21
)(
ˆ
nn
nn
AERE
HH
MM
+
+
=
(2.69)
Assim, obtém-se uma regra de reconhecimento e classificação construída com as
n
observações amostrais e testadas com todas referidas observações.
2.4 ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR
2.4.1 Introdução
A Análise de Regressão é a técnica estatística indicada quando se estuda o
relacionamento entre as variáveis (dependente e independente). Existem numerosas
aplicações desta técnica que ocorrem em quase todos os campos científicos.
Na Engenharia de Avaliação, considera-se, geralmente, como variável dependente os
preços à vista de mercado em oferta e efetivamente transacionados e como variáveis
41
independentes as características do imóvel. No modelo linear que pode representar os preços
de mercado, a variável resposta (dependente) é expressa por uma combinação linear das
variáveis independentes, de forma original ou transformada, e respectivas estimativas dos
parâmetros populacionais, acrescidas de erro aleatório, oriundo de variações do
comportamento humano.
Assim, tem-se o modelo, que representa
n observações,
niXXXY
ipipiii
,,2,1,
1,122110
LL
=
+
+
+
++=
−−
ε
β
β
β
β
(2.70)
2.4.2 Modelo Linear Geral de Regressão
O modelo (2.70) com n observações pode ser colocado na forma matricial. Então se
tem:
Y = X
β
+
ε
(2.71)
onde
Y é o vetor aleatório de resposta,
β
é o vetor de parâmetros de dimensão p, X é a matriz
do modelo de ordem
n x p e
ε
é o vetor aleatório de erros de dimensão n. E, de forma
detalhada,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−
−
−
−
n
p
p x
pnn
p
p
n x p
n
n x
n x
εβ
XX
XX
XX
X
Y
Y
Y
Y
ε
ε
ε
β
β
β
.
.
.
.
.
..1
.....
.....
.....
..1
..1
.
.
2
1
1
1
0
1
1,1
1,221
1,111
2
1
1
1
A aplicação completa do modelo (2.71) é fundamentada nas seguintes suposições:
• o vetor de erros
ε
’ = [
ε
1
,
ε
2
,...,
ε
n
] é aleatório, ou seja, as componentes
ε
i
, i = 1,
2,...,
n são variáveis aleatórias;
• a esperança de cada componente de
ε
é zero, ou seja, E(
ε
) = 0 e E(
ε
i
) = 0;
• as componentes do vetor
ε
não são correlacionadas, ou melhor, cov (
ε
i
,
ε
j)
= 0, i
≠ j e possuem variância constante,
σ
². Assim, a matriz de covariâncias de
ε
é a
matriz diagonal
σ
²I
n
,
onde I
n
é a matriz identidade de ordem n, V (
ε
) =
σ
² I
n
.
42
O modelo (2.71) com as três suposições anteriores é conhecido como Modelo Linear
de Gauss Markov e o Teorema de Gauss-Markov garante que sob as três suposições e com
X’X não singular, os estimadores não viciados uniformemente de mínima variância (EUMV)
do vetor
β
e da variância
σ
² são, respectivamente:
β
ˆ
= (
X’X)
-1
(X’Y) (2.72)
e
S² =
()
∑
=
−
−
n
i
ii
YY
pn
1
2
ˆ
1
(2.73)
Uma outra suposição que pode ser exigida, além das já citadas, para o modelo de regressão é a
seguinte:
• a distribuição de
ε
i,
i =1, 2,..., n é a Normal (Gaussiana).
Levando em consideração esta suposição, tem-se o modelo de Gauss-Markov Normal e
Y
i
~ N
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∑
=
p
i
ii
x
1
2
,
σβ
.
2.4.3 Análise da Variância da Regressão
Esta análise é uma das técnicas estatísticas cujas bases foram lançadas por Fisher. É a
técnica geralmente usada para verificar se o ajuste de regressão existe. É importante construir
um quadro que resuma as informações da Análise da Variância (ANOVA), para o modelo
geral:
niXXXY
ipipiii
,,2,1,
1,122110
LL
=
+
+
+
++=
−−
ε
β
β
β
β
(2.74)
com
p ≥ 2 parâmetros. Assim, o quadro 2.1 resume as informações.
43
Quadro 2.1: Análise de Variância (ANOVA)
Fonte de variação Soma de quadrados G.L.
Quadrado
médio
F
Regressão
SQRegr =
2
'
'
ˆ
ynYX −
β
p – 1
1
Re
−p
grSQ
1
Re
−p
grSQ
/
pn
SQR
−
Residual
SQR = YXYY ''
ˆ
'
β
−
n – p
pn
SQR
−
Total
SQT =
−
YY '
2
yn
n – 1
O teste feito com a estatística
F (última coluna do quadro 2.1) é o da hipótese nula
H
0
:
β
1
=
β
2
= ... =
β
p-1
= 0, ou seja, se existe regressão dos X’s para Y, ou melhor, se existe
relação linear entre a variável resposta
Y e as covariáveis X
i
, i = 1, 2,... , p – 1, este teste é
fundamental para validade do modelo linear ajustado,
^^
β
XY = .
2.4.4 Verificação dos Pressupostos do Modelo
a) Homocedasticidade
A homocedasticidade corresponde à variância constante dos resíduos. É uma
propriedade essencial e que deve ser garantida, sob pena de invalidar toda a análise estatística.
Deseja-se que os erros sejam aleatórios, ou seja, não devem ser relacionados com as
características dos imóveis. Quando a homocedasticidade não ocorre, há heterocedasticidade;
significa dizer que as chances de ocorrerem erros grandes (ou pequenos) variam conforme o
tipo de imóvel. Há tendências nos erros. As conseqüências da heterocedasticidade são que as
estimativas dos parâmetros da regressão (
β
0
,
β
1
,
β
2
,...,
β
p-1
) não são tendenciosas, mas são
ineficientes e as estimativas das variâncias são tendenciosas. Os testes “
t” e F tendem a dar
resultados incorretos. Neste caso, os resultados não são confiáveis, ou seja, o modelo pode
parecer bom, mas ele não é adequado aos dados, na verdade.
A homocedasticidade pode ser verificada através de gráficos de resíduos (erros). Se
os pontos estão distribuídos aleatoriamente em uma faixa, sem demonstrar um
comportamento definido, há homocedasticidade. No entanto, se existe alguma tendência
(crescimento, decrescimento ou oscilação), então há heterocedasticidade. Havendo
heterocedasticidade, podem ser feitas transformações nas variáveis (geralmente logarítmicas)
ou outras soluções mais complexas. O modelo então, deve ser modificado.
44
b) Independência serial dos resíduos (não-autocorrelação)
Ocorre autocorrelação quando os erros são correlacionados com os valores anteriores
ou posteriores na série. Este fenômeno é chamado de correlação serial.
Seu surgimento pode se dar por especificação incorreta do modelo da regressão, por
causa de erros na forma do modelo ou ainda, por exclusão de variáveis independentes
importantes para a análise. Existindo autocorrelação, os estimadores ordinários de mínimos
quadrados não são mais os melhores estimadores lineares não-tendenciosos. Neste caso,
existirão outros métodos que produzem menor variância amostral nos estimadores. Além
disso, em presença de correlação serial, os testes de significância (
t e F) e de construção de
intervalos de confiança dos coeficientes da regressão também oferecem conclusões incorretas,
isto é, as regiões de aceitação e os intervalos de confiança podem ser mais largos ou mais
estreitos do que os calculados, dependendo da tendência ser positiva ou negativa.
A verificação da autocorrelação pode ser realizada pela análise do gráfico dos
resíduos comparados com os valores preditos, onde este deve apresentar pontos dispersos
aleatoriamente, sem nenhum padrão definido ou pelo teste de Durbin-Watson.
c) Normalidade dos resíduos
A Análise de Regressão baseia-se na hipótese de que os erros seguem uma
distribuição Normal (distribuição de Gauss). Em presença de falta de Gaussianidade, os
estimadores são não-tendenciosos, mas os testes não têm validade, principalmente em
amostras pequenas. Entretanto, pequenas fugas da Gaussianidade não causam grandes
problemas. A heterocedasticidade ou a escolha de um modelo incorreto para a equação pode
ser a causa da não-normalidade dos resíduos.
A verificação da Gaussianidade pode ser feita pelos testes de aderência como, por exemplo, o de
Kmogorov-Sminorv ou de Shapiro-Wilks.
d) Outliers
Denomina-se outlier um dado que contém grande resíduo em relação aos demais que
compõem a amostra e assim tem comportamento muito diferente dos demais (Dantas, 1998).
45
É de grande importância controlar os outliers, porque de acordo com a estimação da
equação, um grande erro modifica significativamente seus somatórios, alterando os
coeficientes da equação. Dessa forma, um imóvel apenas pode modificar a equação.
Geralmente, adota-se o intervalo de 2 desvios padrões em torno da média dos erros,
pois não existe um limite fixo. Como a média deve ser zero, os resíduos padronizados
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
dp
i
ε
devem estar entre –3 e 3. Os imóveis com erros que ultrapassam estes limites devem ser
analisados cuidadosamente; a existência de
outliers deve sempre ser interpretada como um
sinal de problema na amostra.
e) Colinearidade ou multicolinearidade
Multicolinearidade é definida como a existência de relações lineares entre as
variáveis “independentes”, de tal forma correlacionada umas às outras, tornando-se difícil ou
impossível isolarem suas influências separadas e obter uma estimativa precisa de seus efeitos
relativos. Quando a relação é exata tem-se o caso da multicolinearidade perfeita.
Raramente encontram-se variáveis independentes que são perfeitamente
relacionadas. Esse caso não traz problemas, pois é facilmente detectado e pode ser resolvido
simplesmente eliminando uma ou mais variáveis independentes do modelo. O interesse no
que se refere à multicolinearide está nos casos em que ela ocorre com alto grau, isto é, quando
duas variáveis independentes estão significativamente correlacionadas ou quando há uma
combinação linear entre um conjunto de variáveis independentes. Assim, a multicolinearidade
é mais uma questão de grau do que de natureza (Kmenta, 1978).
O fato de muitas funções e regressões diferentes proporcionarem bons ajustes para
um mesmo conjunto de dados é porque os coeficientes de regressão atendem várias amostras
onde as variáveis independentes são altamente correlacionadas. “Assim, os coeficientes de
regressão estimados variam de uma amostra para outra quando as variáveis independentes
estão altamente correlacionadas. Isso leva a informações imprecisas a respeito dos
coeficientes verdadeiros” (Neter e Wasserman, 1974).
Geralmente, a multicolinearidade é causada pela própria natureza dos dados,
principalmente nas áreas de economia com variáveis que representam valores de mercado.
Pode também ocorrer devido à amostragem inadequada.
46
Em Análise de Regressão Linear Múltipla, existe um freqüente interesse com relação
à natureza e significância das relações entre as variáveis independentes e a variável
dependente. “Em muitas aplicações de administração e economia, freqüentemente encontram-
se variáveis independentes que estão correlacionadas entre elas mesmas e, também, com
outras variáveis que não estão incluídas no modelo, mas estão relacionadas à variável
dependente” (Neter e Wasserman).
A existência de multicolinearidade tendo sido detectada e considerada prejudicial,
indicando que o pesquisador deve procurar soluções para suavizar seus efeitos nocivos. Várias
medidas corretivas têm sido propostas, desde medidas simples às mais complexas, para
suavizar os efeitos provocados pela multicolinearidade (Elian, 1988; Judge et al., 1980).
Algumas soluções para o problema da multicolinearidade são propostas, tais como:
remoção de variáveis, ampliação do tamanho da amostra, adoção de técnicas estatísticas como
Análise de Componentes Principais, entre outras. Neste trabalho aplicou-se a técnica das
Componentes Principais para remover o problema da multicolinearidade entre as
características dos imóveis.
2.4.5 Poder de Explicação do Modelo
Para se medir o quanto a variabilidade total dos dados é explicada pelo modelo de
regressão, compara-se a Soma de Quadrados da Regressão com a Soma de Quadrados Total e,
então, tem-se o coeficiente de determinação ou de correlação múltipla ao quadrado,
R
2
,
R
2
=
∑
∑
=
=
−
−
n
i
i
n
i
i
yy
yy
1
2
1
2
)(
)
ˆ
(
0 < R
2
< 1 (2.75)
Quando o ajuste é bom o modelo explica boa parte da variação total e,
consequentemente, o valor de
R
2
é próximo de 1.
A estatística
R
2
indica a qualidade do ajuste do modelo adotado.
2.4.6 Relação entre Variáveis
Na análise de um modelo de regressão o coeficiente de correlação é uma medida
estatística muito importante. O grau de associação entre duas variáveis é definido
47
numericamente pelo Coeficiente de Correlação, parâmetro representado por
ρ
. Com base em
n observações do par (X, Y) este parâmetro é estimado pela estatística,
(2.76)
onde,
X
é a média da variável X;
Y
é a média da variável Y;
xy
S
é a covariância amostral entre X e Y;
x
S
é o desvio padrão amostral de X;
y
S é o desvio padrão amostral de Y.
O coeficiente de correlação varia entre os limites –1 e 1 podendo ser positivo ou
negativo (–1
≤
ρ
≤ 1) e também nulo (
ρ
= 0). Quando
ρ
= 0 significa que não existe nenhum
relacionamento entre as variáveis. Quando o coeficiente de correlação é igual à unidade, –1
ou + 1, tem-se um relacionamento perfeito entre elas. O grau de relacionamento entre as
variáveis, definido numericamente pelo valor
^
ρ
no caso amostral, pode ser assim interpretado:
Coeficiente Correlação
0
^
=
ρ
.................... relação nula
30,00
^
≤<
ρ
.................... relação fraca
70,030,0
^
≤<
ρ
.................... relação média
90,070,0
^
≤<
ρ
.................... relação forte
()()
()()
yx
xy
ii
n
i
ii
SS
S
YYXX
YYXX
r =
−−
−−
==
∑
=
22
1
^
ρ
48
99,090,0
^
≤<
ρ
.................... relação fortíssima
1
^
=
ρ
.................... relação perfeita
Nota-se também que nem sempre uma elevada correlação entre duas variáveis
representa a existência de relação de causa e efeito entre as mesmas. Esses casos dão origem
às chamadas de influência no caso.
O estudo do relacionamento entre um conjunto de variáveis pode ser realizado
aplicando diversas técnicas, desde os coeficientes de correlação de Pearson, de Spearman,
Análise Fatorial e a Análise de Componentes Principais. A estatística (2.76) é conhecida
como o coeficiente de correlação linear de Pearson e é uma medida usada no estudo da
relação linear existente entre duas varáveis
X e Y.
2.4.7 Seleção de Variáveis Regressoras
Um dos problemas mais freqüentes em Análise de Regressão é a seleção do conjunto
de variáveis independentes a serem incluídas no modelo (Neter e Wasserman, 1974).
O pesquisador deve especificar o conjunto de variáveis independentes a ser
empregado para descrever, controlar ou predizer a variável dependente. Um problema muito
difícil de relacionamento que aparece na seleção de variáveis é quando uma equação de
regressão é construída com o objetivo de predição e envolve muitas variáveis. Talvez, muitas
delas contribuam pouco ou nada para a precisão da predição. A escolha apropriada de
algumas delas fornece a melhor predição, porém quais e quantas devem ser selecionadas?
(Snedecor e Cochram, 1972).
Em algumas áreas, a teoria pode ajudar na seleção das variáveis independentes a
serem empregadas e na especificação da forma funcional da relação de regressão. Os
experimentos podem ser controlados para fornecer dados sobre a base de que os parâmetros
de regressão podem ser estimados e a forma teórica da regressão testada.
Em muitos outros campos, modelos teóricos são raros. Assim, os investigadores são
freqüentemente forçados a explorar as variáveis independentes para que possam realizar
estudos sobre a variável dependente. Algumas das variáveis independentes podem ser
removidas seletivamente. Uma variável independente pode não ser fundamental ao problema;
49
pode estar sujeita a grandes erros de medidas e pode duplicar outra variável independente da
lista. Assim, outras variáveis independentes, que não podem ser medidas, podem então ser
excluídas ou substituídas por variáveis que estão altamente correlacionadas com estas.
Normalmente, após uma seleção inicial, o número de variáveis independentes ainda é
grande. Sendo assim, o investigador geralmente desejará reduzir o número de variáveis
independentes a serem usadas no modelo final, existindo razões para isto: uma delas é que um
modelo de regressão com um número grande de variáveis independentes é caro para se
utilizar. O problema torna-se, então, de como reduzir a lista de variáveis independentes de
forma a obter a melhor seleção de variáveis independentes. Este conjunto precisa ser pequeno
para que a manutenção dos custos de atualização do modelo seja manuseável e a análise
facilitada, e ainda, deve ser grande o suficiente de forma que seja possível uma descrição, um
controle e uma predição adequados.
Existem muitos procedimentos de seleção, mas nenhum deles pode,
comprovadamente, produzir o melhor conjunto de variáveis independentes. Dentre os
procedimentos, pode-se citar como os mais comumente usados: todas as regressões possíveis,
backward, forward e stepwise.
Todas as regressões possíveis: consiste em ajustar todas as possíveis equações de
regressão. Após a obtenção de todas as regressões, devem-se utilizar os critérios para
comparação dos modelos ajustados. Alguns critérios que podem ser usados são o
2
R
(coeficiente de explicação),
MSE (quadrado médio dos resíduos) e C
p
(estatística de
Mallows). Para alguns conjuntos de variáveis, os três critérios podem levar para o mesmo
“melhor” conjunto de variáveis independentes. Este não é o caso geral, pois diferentes
critérios podem sugerir diferentes conjuntos de variáveis independentes. Daniel e Wood
(1971) recomendam, no caso de um grande número de equações alternativas, o critério do
erro quadrado total para caracterizar a equação. A principal desvantagem do procedimento de
procura de todas as regressões possíveis é a quantidade de esforço computacional necessária,
já que cada variável independente potencial pode ser incluída ou excluída, gerando
(
)
12
−
p
regressões possíveis quando existem
p variáveis independentes potenciais (Elian, 1998;
Draper e Smith, 1981).
50
- Stepwise (passo a passo)
É o método mais usado dos métodos de pesquisa que não requerem a computação de
todas as regressões possíveis. A rotina de regressão
stepwise permite que uma variável
independente, trazida para dentro do modelo em um estágio anterior, seja removida
subseqüentemente se ela não ajudar na conjunção com variáveis adicionadas nos últimos
estágios. Esta rotina empregada conduz a um teste para rastrear alguma variável independente
que seja altamente correlacionada com variáveis independentes já incluídas no modelo. A
limitação da procura da regressão
stepwise é que ela presume a existência de um único
conjunto ótimo de variáveis independentes e busca identificá-lo. Como notado anteriormente,
não existe freqüentemente um único conjunto ótimo. Outra limitação da rotina de regressão
stepwise, é que ela algumas vezes surge com um conjunto de variáveis independentes
razoavelmente fracos para predições, quando as variáveis independentes estão altamente
correlacionadas (Draper e Smith, 1981).
- Seleção forward
É uma versão simplificada da regressão stepwise, omitindo o teste, se uma variável
uma vez que tenha entrado no modelo deva ser retirada. Este procedimento considera,
inicialmente, um modelo simples usando a variável de maior coeficiente de correlação com a
variável dependente. Uma variável por vez é incorporada até que não haja mais inclusão, e as
variáveis selecionadas definem o modelo.
- Eliminação backward
Este procedimento de procura é oposto à seleção forward. Ele começa com o modelo
contendo todas as variáveis independentes potenciais. O procedimento
backward requer mais
cálculos do que o método de seleção
forward, já que ele começa com o maior modelo
possível. Entretanto, ele tem uma vantagem de mostrar ao analista as implicações do modelo
com muitas variáveis.
51
3 MATERIAL E MÉTODO
3.1 MATERIAL
3.1.1 Área de Estudo
A área de estudo foi a cidade de Campo Mourão, situada ao Noroeste do Estado do
Paraná, distante 87 km de Maringá, 323 km de Foz do Iguaçu, 477 km de Curitiba e 659 km
de São Paulo e se constitui no maior entroncamento rodoviário do Sul do Brasil. Sede da
Microrregião 12 (divisão administrativa estadual), Campo Mourão agrega 25 municípios com
economia baseada inicialmente no setor primário e hoje realiza investimentos na área
industrial, já em avançado estágio de implementação do setor secundário e desenvolvimento
do terciário.
A fertilidade da terra permite uma grande produtividade no campo. A área cultivada
de Campo Mourão ultrapassa os 50 mil hectares. As principais culturas são: soja, trigo, milho,
algodão e aveia. Paralelamente à agricultura, destaca-se o parque de revendas e assistência
técnica de equipamentos e insumos. Campo Mourão é sede da maior cooperativa singular da
América Latina, a Coamo - Cooperativa Agropecuária Mourãoense, hoje Coamo
Agroindustrial Cooperativa.
As Coordenadas geográficas do Município são 24º02'38'' de Latitude Sul e 52º22'40''
de Longitude Oeste do Meridiano de
Greenwich, a uma altitude média de 630 metros sobre o
nível do mar. A seguir, na figura 3.1, tem-se a localização da cidade no mapa do Estado do
Paraná.
52
Figura 3.1: Mapa com a localização de Campo Mourão
Fonte: Prefeitura Municipal de Campo Mourão, 2005.
Campo Mourão limita-se com os seguintes Municípios:
- Norte: Peabiru
- Nordeste: Barbosa Ferraz
- Sul: Luiziana
- Leste: Corumbataí do Sul
- Oeste: Farol e Mamborê
- Noroeste: Araruna
A seguir, na figura 3.2, tem-se o mapa dos municípios vizinhos de Campo Mourão.
53
Figura 3.2: Mapa dos municípios vizinhos à Campo Mourão
Fonte: Prefeitura Municipal de Campo Mourão, 2005.
O Município de Campo Mourão pertence à bacia hidrográfica do Rio Ivaí, sendo seu
rio mais importante o Rio Mourão, que atravessa o Município de sul a norte. Outros rios,
importantes por serem condicionantes físico-naturais à expansão urbana de Campo Mourão,
são o Rio km 119 e Rio do Campo, este último, onde a SANEPAR coleta 80% da água que
abastece o município.
A seguir têm-se outras informações:
Área da unidade territorial: 766,44 km²;
População estimada em 2004: 81.259 habitantes;
Pessoas Residentes na Área Urbana: 74.754 habitantes;
Domicílios particulares permanentes em 2004: 22.829 domicílios;
Atividades imobiliárias (aluguéis e serviços prestados às empresas): 36 empresas.
3.1.2 Limitações da Pesquisa
A falta de dados para um melhor aprimoramento do modelo, pois a imobiliária
TAPOVIC, mesmo sendo a maior imobiliária da cidade tinha poucos dados a oferecer, já que
para uma boa segurança e confiança no tratamento estatístico, recomenda-se pelo menos o
triplo do número de variáveis para o número de informações.
54
Outra limitação do trabalho é o espaço de tempo. Como qualquer alteração na
economia provoca modificações nos valores dos imóveis, estes estão sujeitos às influências
dos governantes e das economias local, regional, nacional e global. Assim, no decorrer do
tempo, existe uma flutuação dos valores dos imóveis.
3.1.3 Levantamento dos Dados
Os dados foram aproveitados da pesquisa realizada por Silvia Neide Bráulio (2004),
feita de forma cautelosa, e dos dados depende o sucesso da Análise Estatística. Foi realizado
um planejamento antes da coleta dos dados. Nesse planejamento contemplou-se o espaço
físico, local onde está inserido o total de imóveis, população a estudar e o número de imóveis
a serem pesquisados. No mercado de imóveis, é freqüente a entrada de dados novos, por isso,
deve-se fazer um novo levantamento a cada nova avaliação para garantir a representação dos
novos dados na amostra (Dantas, 1998).
Na determinação da oferta imobiliária existem aspectos de extensa variação e
combinação de atributos constituindo a heterogeneidade do produto habitação. Essa dispersão
deve estar presente na descrição completa do mercado, incluída nas faixas de preços,
tamanhos dos imóveis e, ainda, nas diferentes localizações. Assim, faz-se necessário obter o
maior número de dados e atributos possíveis (Bráulio, 2005).
3.1.3.1 As Variáveis Utilizadas
As variáveis explicativas (independentes) são do tipo quantitativo e qualitativo,
representando as características do imóvel, e estão a seguir detalhadas.
A variável resposta (dependente) é o preço, que representa o valor de venda do
imóvel em reais. As varáveis originais e as independentes estão relacionadas, classificadas e
descritas nos Quadros 3.1, 3.2 e 3.3 para os tipos de imóveis, apartamentos, casas e terrenos
respectivamente.
55
Quadro 3.1: Variáveis independentes para apartamento
Variáveis Categorias Descrição
Revestimento do
prédio
1 a 4 Identifica o revestimento do prédio.
Andar
1 a 4
Identifica o andar que o apartamento está localizado.
Sabe-se que dependendo do andar que se localiza o
apartamento ele é mais ou menos valorizado.
Dependência de
empregado
Sem = 0
Com = 1
Identifica a existência ou não de dependência de
empregados.
Estado de
conservação
1 a 4 Identifica o nível de conservação do imóvel.
Suíte
Sem = 0
Com = 1
Identifica a presença ou não de suíte, atribuindo o
valor 1 mesmo quando há presença de mais de uma
suíte.
Idade aparente
Até 1 ano = 6
2-5 anos =5
6-10 anos = 4
11-15 =3
15-20 anos =2
Mais de 20 =1
Idade aparente: idade aparente do edifício.
Por ser uma variável contínua, a idade do imóvel
dividiu-se em períodos.
Idade real
Até 1 ano = 6
2-5 anos =5
6-10 anos = 4
11-15 =3
15-20 anos =2
Mais de 20 = 1
Idade real: idade cronológica do edifício reflete o
estágio tecnológico.
Proximidade
1 a 3
Identifica a quanto o imóvel se localiza próximo de
escolas, supermercados, hospitais e do centro
comercial.
Lavanderia 0 ou 1 Identifica a existência ou não de lavanderia.
Posição do
apartamento
1 a 3
Identifica a posição do apartamento em relação ao
prédio (frente, lateral ou fundo).
Padrão de
acabamento
1 a 3 Identifica os vários níveis de acabamento.
Sala Unidade Indica o número de salas existentes no apartamento.
Pavimento Unidade Indica o número de pavimentos do prédio.
Garagem Unidade
Quantifica o número de vagas para carro disponível
para cada apartamento.
Dormitório Unidades Quantifica o número de dormitórios.
Elevador Unidades Identifica a quantidade de elevadores no prédio.
Área privativa
m
2
Corresponde à superfície ou área do apartamento
expressa em metros quadrados, obtida do registro de
imóveis.
Peças Unidades Quantifica as peças constituintes do imóvel.
Banheiro Unidades Identifica o número de banheiro social.
Fonte: Imobiliária Tapowik, 2004.
56
Quadro 3.2: Variáveis independentes: casas residenciais
Variáveis Categorias Descrição
Localização
1 a 5
Naturalmente um local é “melhor” ou “pior” do que
um outro em função de diversas características, entre
as quais sua infra-estrutura urbana.
Dependência
de empregado
Completa = 1
Incompleta = 0,5
Inexistente = 0
Identifica a existência ou não de dependência de
empregado, completa ou incompleta.
Nível de
conservação
1 a 4 Identifica o nível de conservação do imóvel.
Suíte
0 ou 1
Identifica a presença ou não de suíte, atribuindo o
valor 1 mesmo quando há presença de mais que uma
suíte.
Idade aparente
Até 1 ano = 6
2-5 anos =5
6-10 anos = 4
11-15 =3
15-20 anos =2
Mais de 20 anos =
1
Por ser uma variável continua a idade do imóvel
dividiu-se em períodos.
Garagem 0 ou 1
Identifica a presença de garagem, onde é atribuído o
valor mesmo quando a mais que uma vaga.
Distância de
supermercados
1 a 3
Identifica a proximidade do imóvel de grandes
mercados.
Presença de
lavanderia
0 ou 1 Identifica a existência ou não de lavanderia.
Edícula 0 ou 1 Identifica a presença (1) ou não (0) de edícula.
Padrão de
acabamento
1 a 3 Identifica os vários níveis de acabamento.
Piscina 0 ou 1 Identifica a existência ou não de piscina.
Cobertura 1 a 4 Identifica o tipo de cobertura do imóvel.
Estrutura 1 a 5 Identifica o material de construção do imóvel.
Dormitório Unidades Quantifica o número de dormitórios.
Área do
terreno
m
2
Identifica a área do terreno.
Área
construída
m
2
Identifica a área total construída.
Peças Unidades Quantifica as peças constituintes do imóvel.
Banheiro Unidades Identifica o número de banheiro social.
Fonte: Imobiliária Tapowik, 2005.
57
Quadro 3.3: Variáveis independentes: terrenos
Variáveis Categorias Descrição
Localização 1 a 6 Variável que qualifica a localização do imóvel.
Pólo de influência –1 ou 1
Indica se o móvel localiza-se próximo a locais que
influenciam no seu valor
Plano 0 a 3
Identifica se o terreno está acima, abaixo ou ao nível
da rua.
Inclinado 0 a 3 Indica o nível de inclinação do terreno.
Pavimentação 0 ou 1
Identifica a presença ou não de pavimentação na rua
ou avenida onde está inserido o terreno.
Proteção 0 ou 1
Indica se o terreno possui ou não proteção (muro ou
cerca).
Posição 1 ou 2
Identifica a posição do terreno na quadra (meio ou
esquina).
Frente
1 a 3
Identifica a largura do terreno. Sabendo que um
terreno de frente com maior metragem possui uma
melhor valorização.
Ponto Comercial
0 a 3
Sabendo que os terrenos localizados em zona de
comércio ou de moradia, o terreno é mais ou menos
valorizado. Esta variável identifica os vários níveis
de localização.
Área do terreno m
2
Quantifica a área do terreno.
Fonte: Imobiliária Tapowik, 2005.
3.1.3.2 Amostra
A amostra foi constituída por 119 imóveis. Sendo 44 apartamentos, 51 casas e 24
terrenos localizados na área urbana da Cidade de Campo Mourão – PR, dos quais 80 estão
localizados na área central.
3.2 METODOLOGIA PARA O DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA
A metodologia aqui proposta procura determinar classes homogêneas de
apartamentos, casas e terrenos através de uma Análise de Agrupamento aplicada à amostra
considerada. Utilizaram-se as técnicas de inferência, no nível de avaliação rigorosa, de acordo
com NB-502/89 (avaliação de imóveis urbanos), com o desenvolvimento de um programa em
MAT LAB, para o processamento dos dados e o
Software Excel ®, por ser um aplicativo de
58
uso quase universal.
A Análise de Agrupamento foi aplicada para juntar imóveis semelhantes. Utilizou-se
a Distância Euclidiana e a ligação pelo método de Ward. Então, a partir dos grupos formados
(
clusters), aplicou-se o método de Componentes Principais, procurando eliminar o problema
da multicolinearidade que pode ocorrer na regressão do preço. Assim, conservaram-se as
primeiras componentes e as que constituem um resumo de informação mais importante da
estrutura de covariância. Com a finalidade de alcançar um dos objetivos deste, que é a
obtenção do modelo de precisão, foi desenvolvido um estudo com a técnica da Regressão
Linear Múltipla, para prever dentro de cada agrupamento o valor de um novo imóvel. As
primeiras ferramentas descritas são para atender o objetivo de estudo das variáveis que
participam da construção do modelo de Regressão Linear Múltipla.
3.2.1 Considerações Para a Construção do Modelo
As etapas, ou roteiro, que são necessárias para construir um modelo matemático
através de critérios multivariados usando a Regressão Linear Múltipla com a finalidade de
estimar valores de imóveis urbanos em Campo Mourão são apresentados a seguir.
3.2.1.1 Identificação das Variáveis Independentes
Uma das dificuldades existentes na avaliação de imóveis é a determinação das
variáveis que influenciam no seu valor. São muitos os fatores que devem ser levados em
consideração, mas nem sempre se pode desenvolver um único modelo representativo da
realidade do conjunto do mercado de imóveis. Um dos aspectos mais importantes na
avaliação de imóveis é a seleção das variáveis independentes que possam ser utilizadas na
regressão, que são aquelas que têm influência na formação do preço, pois são variáveis
importantes na formação de valor de uma determinada categoria ou subconjuntos de imóveis,
não necessariamente são as mesmas que para outro subconjunto, inclusive dentro de uma
mesma região. As possíveis variáveis independentes (ou explicativas) que podem influenciar
no preço de um imóvel devem ser listadas a priori. A definição das variáveis explicativas
preliminarmente economiza tempo e diminui o custo de execução da pesquisa. Em algumas
ocasiões é necessário desconsiderar alguns dos elementos da amostra coletada pelo fato de
serem elementos diferenciados do resto, razão pela qual sua presença afeta fortemente os
valores globais da equação de regressão, não permitindo então a sua consideração no modelo
de avaliação. As variáveis explicativas para a avaliação de imóveis são aquelas referentes a
59
todas as características físicas e locacionais do imóvel. No entanto, dentre todas as
características físicas e locacionais relacionadas a um imóvel, nem todas são relevantes à
formação de seu preço.
De forma geral e preliminar, podem-se citar como relevantes à formação do preço, as
seguintes variáveis explicativas.
Apartamentos: Área total, área útil, número de dormitórios, número de suíte, número
de carros na garagem, dependências de empregados, idade do imóvel, elevador, estado de
conservação, padrão de acabamento, região de valorização imobiliária, distância à escola, etc.
Casas residenciais: Estado de conservação, área construída, área do terreno,
localização, número de suítes, dependência de empregados, estrutura, padrão de acabamento,
entre outras.
Terrenos: Área total, comprimento frontal (frente), localização, área comercial, etc.
Essa lista de variáveis explicativas tende a variar de município para município,
dependendo das características de cada um. Para a cidade de Campo Mourão – PR, a variável
explicativa mais relevante é a de proximidade do centro comercial.
3.2.1.2 Transformações de Variáveis
As variáveis que são definidas para a caracterização e localização de um imóvel são
do tipo quantitativas ou qualitativas. Geralmente, estas variáveis precisam sofrer
transformações para que então possam ser realizadas as análises. As variáveis qualitativas
devem ser quantificadas através de uma codificação adequada. Em muitas situações são
atribuídas para as variáveis qualitativas o valor 0 (zero) quando não tem a característica e 1
(um) caso contrário. Então, tem-se uma variável do tipo
dummy, pronta para ser utilizada para
análise. E outras variáveis que se referem às características qualitativas dos imóveis, como a
conservação do imóvel (péssimo, regular, bom e ótimo); classificação do imóvel (baixo,
normal e alto) e outras, são casos que são resolvidos dando pesos para a característica.
Geralmente esses pesos são na ordem crescente, da situação menos favorável para a mais
favorável. E ainda, quando uma variável pode vir a gerar um número muito grande de
modalidades, algumas vezes, ela pode ser definida por uma escala numérica, atribuindo-se
também pesos às modalidades, (por exemplo, a idade do imóvel).
60
As variáveis originais apresentadas nos Quadros 3.1, 3.2 e 3.3, foram transformadas
utilizando a técnica multivariada Análise de Componentes Principais.
3.2.1.3 Análise Exploratória
Para o estudo de relacionamento entre as variáveis pode ser utilizado, entre outros, o
coeficiente de correlação de linear de Pearson para as variáveis quantitativas e as qualitativas,
sendo que, no segundo caso, elas devem ser transformadas em
dummy. O coeficiente de
correlação indica a existência ou não de relação linear significativa entre as variáveis
independentes e a variável dependente, informação necessária para uso da regressão linear.
Esses coeficientes, quando apresentam valores altos entre as variáveis independentes, indicam
a possível existência de multicolinearidade, e ainda, o valor do determinante da matriz (
X’X),
quando é próximo de zero, também indica a existência de multicolinearidade. Apesar do
coeficiente de correlação linear de Pearson e do determinante da matriz (
X’X) indicar a
existência da multicolinearidade, eles não a quantificam.
3.2.1.4 Análise dos Resíduos
A investigação da adequação do modelo é uma etapa do procedimento necessário na
análise dos dados, tão importante quanto a sua construção. A plotagem dos resíduos é o
instrumento usado para examinar o modelo. A análise gráfica dos resíduos é necessária para
examinar o ajuste do modelo, ou seja, para confirmar se ele tem uma boa aproximação do
verdadeiro sistema e para verificar se as suposições da regressão por mínimos quadrados não
foram violadas (Montgomery, 1997).
3.2.1.5 Verificação da Adequação do Modelo
Um último passo que deve ser realizado antes de adotar o modelo para avaliação de
imóveis, é verificar sua aplicabilidade. Inicialmente, deve-se fazer a Análise de Variância para
testar a significância do modelo ajustado, no entanto, isto por si só não garante a qualidade
das predições. A qualidade do ajuste pode ser testada comparando os valores preditos com os
valores observados. O ajuste é tão bom, quanto maior for a quantidade de valores preditos
próximos dos valores observados, isto é, com pequeno erro de predição. O valor do
coeficiente de correlação linear
R
2
é importante para definir a qualidade do modelo adotado.
61
3.3 ESTUDO DE CASO
Neste trabalho, efetuou-se um estudo no mercado imobiliário da Cidade de Campo
Mourão – PR, restringindo-se ao segmento de imóveis urbanos, cujo objetivo será modelar este
mercado através da Análise de Regressão, pautando-se da Análise Multivariada e estimar ou
calcular o valor de venda de apartamentos, casas e terrenos, de forma absolutamente objetiva,
sem qualquer “opinião” originária da subjetividade intrínseca do ser humano.
O
Software utilizado para a construção da tabela de dados e as devidas
transformações foi o
Excel.
As matrizes de dados resultantes (apartamentos, casas e terrenos) foram submetidas
aos tratamentos estatísticos descritos no segundo capítulo. Todos os resultados estatísticos
foram obtidos através do programa desenvolvido em
Matlab, versão 7.0 e comparados com os
resultados obtidos no
Software Statgraphics.
Em primeiro lugar as matrizes de dados foram submetidas à Análise de
Agrupamentos (
clusters) hierárquicos, utilizando-se a Distância Euclidiana, sendo que os
agrupamentos foram feitos por meio da ligação de Ward
para formar as classes homogêneas.
Após várias simulações, ficou claro que o número ótimo de classes a considerar para o caso
de residências seria quatro e para os apartamentos três, enquanto para os terrenos apenas duas
classes. Após a formação das classes homogêneas realizou-se uma Análise Discriminante para
avaliar a consistência das classes obtidas. Em seguida realizou-se uma Análise de
Componentes Principais para cada classe formada para os tipos de imóveis. Com a obtenção
dos escores das Componentes Principais para explicar a variação total, substituiu-se as
variáveis explicativas originais. Por fim foi desenvolvido um modelo de Regressão Linear
Múltipla para cada uma das classes de cada tipo de imóvel. Considerou-se como variável
resposta o preço de venda à vista, que se denominou valor.
62
4 APLICATIVO AMI DESENVOLVIDO
Para resolver os problemas de trabalho manual, necessário no
Software Statgraphics,
foi desenvolvido um programa denominado AMI (Análise Multivariada de Imóveis) em
Matlab 7.0. O programa desenvolvido está no Anexo 1.
4.1 ALGORITMO DO PROGRAMA AMI
O algoritmo usado para o desenvolvimento do aplicativo foi o seguinte:
1.
Leitura de dados da planilha Excel. Esta base de dados contém as variáveis em
colunas e as observações em linhas, estando a variável dependente na última
coluna.
2.
Após a leitura, o programa mostra as três opções de cálculo para a regressão com
os seguintes tratamentos das observações:
a.
Análise de Agrupamentos e Análise de Componentes Principais.
b.
Análise Fatorial.
c.
Regressão Múltipla Simples (sem nenhum tratamento).
a1. Formação de grupos (
clusters), nesta etapa o usuário seleciona um tipo de
distância dentre as seguintes:
d = 1, EUCLIDEAN (distância euclidiana).
d = 2, SEUCLIDEAN (quadrado da distância euclidiana).
d = 3, CITYBLOCK (distância Manhattan)
d = 4, MAHALANOBIS (distância estatística).
d = 5, MINKOSWSKI (usando n = 3)
63
assim como também os tipos de ligação entre os grupos, tais como:
t = 1, SINGLE (Vizinho mais próximo).
t = 2, COMPLETE (Vizinho mais distante)
t = 3, AVERAGE (Média das distancias).
t = 4, WARD (Método de Ward).
O programa apresenta um dendrograma para a avaliação de formação de
K grupos, o
programa “pergunta” o número de grupos a formar.
a2. Com os
K grupos formados o programa reagrupa as n observações em K
matrizes para a análise das componentes principais.
a3. Para o grupo
i são verificadas as análises das componentes principais, mostrando
uma tabela com a proporção da variância explicada pelos autovalores da matriz
covariância e o programa pede ao usuário o numero de
p componentes principais
a serem usados.
a4. Para o grupo
i, tendo as componentes principais, é feita a análise de regressão
múltipla, mostrando a função de regressão, o parâmetro
R
2
(coeficiente de
correlação linear) e os parâmetros da avaliação da variância
F e p.
a5. No caso de calcular o valor de um imóvel, as observações (variáveis
independentes) devem ser colocadas na última linha com a variável dependente
igual a zero. Neste caso os processos 1, a1 e a2 são iguais e será analisado
unicamente o grupo
j, onde a última observação pertence. Em continuação são
realizados os processos a3 e a4 para o grupo
j e é calculado o valor da variável
dependente com a função regressão, mostrando os parâmetros das estatísticas.
Para o caso da opção 2 (Análise Fatorial), tem-se a seguinte seqüência do algoritmo:
b1. O AMI avalia os autovalores da matriz de correlação das observações e mostra a
proporção da variância explicada acumulada para o usuário selecionar o número
N de fatores a serem analisados.
64
b2. O programa faz a regressão dos escores rotacionados (varimax) de todas as
observações (sem a última coluna que é o preço) para serem usados na
regressão.
b3. Para os escores de todas as observações com
n componentes são calculados os
coeficientes da equação de regressão múltipla, mostrando a equação de
regressão, o parâmetro
R
2
(coeficiente de correlação linear) e os parâmetros da
avaliação da variância
F e p.
b4. Se o preço da última observação for zero, será estimado o valor da variável
dependente (preço) da mencionada observação.
Para o caso da opção 3 (Regressão Múltipla Simples), a seqüência do algoritmo é a
seguinte:
c1. Com base nas observações (com todas as variáveis) são calculados os
coeficientes da equação de regressão múltipla, mostrando a equação de
regressão, o parâmetro
R
2
(coeficiente de correlação linear) e os parâmetros da
avaliação da variância
F e p.
c2. Se o preço da última observação for zero, será estimado o valor da variável
dependente (preço) da mencionada observação.
Na figura 4.1 a seguir, é apresentado o diagrama de fluxo do programa AMI.
65
Figura 4.1: Diagrama de fluxo do programa AMI
não
Fonte: O Autor, 2005.
não
si
m
si
m
si
m
XY (n,m) ≠ 0
Leitura de dados da planilha Excel
XY = Matriz de ordem n
x m
Mostra as 3 opções de regressão:
Op = 1 (Agrupamentos e ACP)
Op = 2 (Análise Fatorial)
Op. = 3 (Sem tratamentos)
Definição dos parâmetros:
d = tipo de distancia
t = tipo de ligação
K = número de grupos
Formação de grupos (clusters)
i ≤ K
Análise de Componentes Principais para o
grupo i
Regressão múltipla para o grupo i
i = i+1
J = grupo onde a observação i pertence
Análise de Componentes Principais para o
grupo J
Regressão múltipla para o grupo J
Cálculo da variável dependente Y
sim
não
Fi
m
Fi
m
Op = 1
Op = 2
Regressão múltipla
Calcula Y se XY (n, m) = 0
Fi
m
Fi
m
Op = 3
Regressão múltipla
Calcula Y se XY (n, m) = 0
Análise Fatorial com escores rotacionados
(Varimax)
si
m
não
sim
66
4.2 AVALIAÇÃO DO AMI
Os resultados foram comparados com os resultados do
Software Statgraphics Plus
5.0
, e a seqüência para realizar o objetivo (regressão múltipla) neste aplicativo é a seguinte:
1)
Abrir o programa e na planilha própria colar a base de dados do Excel. Na
seqüência faz-se a análise de agrupamentos com as opções de
K grupos,
variáveis padronizadas.
2)
Uma vez formados os grupos, o programa indica simplesmente quais
observações pertencem aos
K grupos. No Excel faz-se a redistribuição das
observações em
K grupos, que seria em K sub-pastas. Este trabalho é feito
manualmente demandando tempo e cuidado, pois se fossem centenas ou
milhares de observações, o tempo seria de algumas horas ou dias.
3)
Com as observações enquadradas em cada grupo feitas no Excel, colar na
planilha própria os dados. Para este grupo analisam-se as componentes
principais com as opções de número das componentes principais (
i). Os
resultados são as
i componentes do grupo, salvar os resultados na planilha
própria do Statgraphics.
4)
Na seqüência realiza-se a regressão múltipla tendo como dados as componentes
principais e verificam-se os parâmetros das estatísticas da regressão.
Neste processo, o tempo de execução total dos itens 1, 2, 3 e 4 é de várias horas,
dependendo da prática com o programa
Statgraphics e da segurança de que tudo o que é feito
manualmente não tenha erros.
Usando o programa AMI, o tempo é quase nulo, pois tudo é realizado pelo programa.
Os resultados são idênticos aos resultados do
Statgraphics.
67
4.3 DESCRIÇÃO DO PROGRAMA AMI
A seqüência das janelas apresentadas pelo AMI é:
Figura 4.2: Entrada de dados usando um arquivo do Excel
Figura 4.3: Mostrando os tipos de opções de cálculo para a regressão
68
Figura 4.4: Com a opção 1 mostrando os tipos de distância e ligações
Este gráfico mostra que a melhor ligação entre os grupos é “average”, ou seja, que a
média das distâncias com índice cofenético é igual a 0,74361.
Figura 4.5: Dendrograma apresentado para a escolha de número de grupos
69
Neste processo podem ser selecionados 2, 3 ou 5 grupos, mas foram selecionados 2
grupos.
Figura 4.6: Grupos formados
Figura 4.7: Processo 2: análise de Componentes Principais para o grupo 1
Nesta etapa foi excluída a coluna 3 (variável 3) por possuir valores iguais, uma
característica deste grupo. O programa pergunta o número de componentes a serem usadas,
neste caso, o programa indica que tem que ser menor a 17 componentes, pois a condição é que
o número de observações para uma regressão tem que ser maior ao número de componentes.
70
Figura 4.8: Perguntando o número de componentes e o processo de regressão
O número de componentes usado neste caso será de 10 com uma variância explicada
acumulada de 97,22 %. A figura 4.8 também mostra a equação de regressão para o grupo 1:
Y = -231,1999*CP1 + 1 782,8403*CP2 – 9 175,1104*CP3 – 3 518,4216*CP4 +
+ 10 126,8349*CP5 + 507,8941*CP6 + 10 383,084*CP7 + 1 744,384*CP8 +
+ 5 895,8829*CP9 + 11 933,8859*CP10 + 21 461,2404, com
R
2
= 0,9006 e a análise da
variância com
F = 5,4375 e com valor da significância de 0,02527, o que significa que se
rejeita a hipótese de não haver regressão.
Analogamente os resultados são mostrados para o grupo 2:
Y = -12 140,2077*CP1 + 7 491,9091*CP2 – 7 889,13*CP3 + 2 967,7093*CP4 +
+ 22 871,6474*CP5 – 7 286,1078*CP6 – 9 574,2814*CP7 + 10 397,2659*CP8 +
+ 1 479,4856*CP9 -23 796,0254*CP10 – 117 191,3768, com
R
2
= 0,7857, F = 5,8658 e
p = 0,00095.
Ambos os grupos têm
R
2
> 0,75 indicando boa correlação.
71
No caso de calcular o valor da variável dependente de uma nova observação, coloca-
se esta observação na última linha na planilha do
Excel com o preço igual a zero. Veja o
exemplo na continuação:
Figura 4.9: Calculando o valor do 45º apartamento
O valor do mercado é de R$110 000,00, mas, para testar esta observação, foi
colocado um valor de 0.
Figura 4.10: Estimando o valor da última observação
A última observação pertence ao segundo grupo e o programa simplesmente analisou
este grupo e o valor estimado para esta observação é de 132 609.81, com um coeficiente de
regressão de 0,7827 com 10 componentes.
Na seqüência será analisado por Análise Fatorial, digitando 2 na opção de análise:
72
Figura 4.11: Analisando os apartamentos por Análise Fatorial
Após mostrar os autovalores e a proporção da variância acumulada, o programa
pergunta o número de fatores a serem considerados.
Figura 4.12: AMI perguntando o número de fatores
73
Depois de digitado o número de componentes para a análise da regressão com 10
componentes, o programa mostra o seguinte:
Figura 4.13: Regressão com Análise Fatorial
A equação da regressão com 10 fatores é:
Y = 44 065,0343*F1 + 8 908,6589*F2 – 17 686,0306*F3 + 7 885,606*F4 -
- 5 654,0828*F5 + 11 501,3934*F6 + 6 105,4323*F7 + 15 266,1667*F8 + 16 396,1855*F9 -
- 14 413.7115*F10 + 125 068,2457.
O valor da última observação é de 116 002,81 com um coeficiente de regressão de
0,7916, o que significa que a análise da variância rejeita a hipótese de não haver regressão.
Da mesma forma pode-se optar pela terceira opção e fazer uma regressão
diretamente com as variáveis, sem nenhum tratamento.
74
Figura 4.14: Regressão considerando todas as variáveis
Figura 4.15: Resultados da regressão
A equação da regressão é de:
75
Y = 11 165,4093*V1 + 1 756,9593*V2 + 26 018,5638*V3 + 112 463,3882*V4 +
+ 418,4552*V5 – 1 647,8111*V6 + 2 186,2769*V7 – 13 924,2677*V8 + 14 916,216*V9 +
+ 43 800,5883*V10 – 32 571,4002*V11 + 22 319,6361*V12 + 52 736,861*V13 -
- 1 830,7984*V14 + 3 151,1696*V15 – 15 814,0065*V16 + 5 499,5626*V17 +
+ 11 482,7732*V18 -13 218,9298*V19 + 13 260,6722*V20 + 4 652,535*V21 -164 341,852
Como se pode observar, os parâmetros são bons e o valor da última observação
estimada é de 98 949,7482.
Analisando os três casos, quem mais se aproxima do valor é a opção 2:
Tabela 4.1: Comparação dos valores estimados pelas 3 opções
opções valor estimado diferença diferença %
opção 1 110 000,00 132 609,81 -22 609,81 20,55
opção 2 110 000,00 116 002,81 -6 002,81 5,457
opção 3 110 000,00 98 949,75 11 050,25 10,046
Neste caso pode-se falar que o preço de R$110 000,00 é um estimativo do valor de
mercado, cujas regras de decisão variam.
4.4 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ENTRE O PROGRAMA STATGRAPHICS E O
AMI
i)
Na formação de grupos (cluster) ambos com distância euclidiana e agrupamento
de Ward.
No
Statgraphics os 2 grupos formados são:
GRUPO 1 = 1 4 5 6 7 10 13 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
32 35 36 (27)
GRUPO 2 = 2 3 8 9 11 12 15 33 34 37 38 39 40 41 42 43 44 (17)
No AMI os 2 grupos formados são:
76
GRUPO 1 = 6 8 9 11 12 13 15 16 17 20 33 34 37 38 39 40 41 (17)
GRUPO 2 = 1 2 3 4 5 7 10 14 18 19 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 35 36
42 43 44 (27)
Na avaliação dos resultados, as observações comuns são:
Os grupos têm as mesmas quantidades com os nomes dos grupos diferentes:
Similaridade entre os Grupos com 27 observações = 22 de 27 = 81,5%
Similaridade entre os Grupos com 17 observações = 12 de 17 = 70,6%
Essa diferença existe quando as distâncias são iguais, ficando o programa com a
decisão de formação dos grupos.
ii)
Na análise de componentes principais, para este caso usam-se os grupos
formados pelo programa AMI e rodando no programa
Statgraphics.
Com os escores das 10 componentes principais (col1, col2,..., col10, col11 =
preço) extraídos a partir da matriz de correlação das observações, a regressão
obtida no
Statgraphics é:
Analysis of Variance
---------------------------------------------------------------------------------------------
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
---------------------------------------------------------------------------------------------
Model 7.58821E9 10 7.58821E8 5.44 0.0253
Residual 8.37324E8 6 1.39554E8
--------------------------------------------------------------------------------------------
Total (Corr.) 8.42553E9 16
R-squared = 90.0621 percent
R-squared (adjusted for d.f.) = 73.4988 percent
Standard Error of Est. = 11813.3
Mean absolute error = 5300.13
The equation of the fitted model is
Col_11 = 21 461,3 – 231,192*Col_1 + 1 782,82*Col_2 – 9 175,1*Col_3 -
- 3 518,4*Col_4 + 10 126,8*Col_5 + 507,89*Col_6 + 10 383,1*Col_7 +
+ 1 744,42*Col_8 + 5 895,85*Col_9 + 11 933,9*Col_10
No AMI para o grupo 1:
REGRESSÃO MÚLTIPLA
Y = - 231,1999*CP1 + 1 782,8403*CP2 - 9 175,1104*CP3 - 3 518,4216*CP4 +
+ 10 126,8349*CP5 + 507,8941*CP6 + 10 383,084*CP7 + 1 744,384*CP8 +
+ 5 895,8829*CP9 + 11 933,8859*CP10 + 21 461,2404
ESTATÍSTICA DO MODELO
R
2
= 0,90062 F = 5,4375 p = 0,025266
77
Como se pode observar, os resultados da regressão são iguais.
Para o grupo 2, os resultados no
Statgraphics são:
Analysis of Variance
----------------------------------------------------------------------------------------
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
----------------------------------------------------------------------------------------
Model 6.45385E10 10 6.45385E9 5.79 0.0010
Residual 1.78356E10 16 1.11472E9
----------------------------------------------------------------------------------------
Total (Corr.) 8.23741E10 26
R-squared = 78.3481 percent
R-squared (adjusted for d.f.) = 64.8156 percent
Standard Error of Est. = 33387.5
Mean absolute error = 18693.2
The equation of the fitted model is
Col_11 = - 11 3123,0 – 11 708,1*Col_1 + 7 395,67*Col_2 – 7 784,78*Col_3 +
+ 4 194,68*Col_4 + 23 199,4*Col_5 – 7 958,46*Col_6 – 7 123,08*Col_7 +
+ 12 618,3*Col_8 + 2 370,04*Col_9 – 21 388,6*Col_10
E no AMI tem-se:
REGRESSÃO MÚLTIPLA
Y = -11 708,2947*CP1 + 7 395,6095*CP2 -7 784,6064*CP3 + 4 194,7926*CP4 +
+ 23 199,3472*CP5 -7 958,6098*CP6 -7 123,0317*CP7 + 12 618,4508*CP8 +
+ 2 369,774*CP9 -21 389,0761*CP10 -113 121,4588
ESTATÍSTICA DO MODELO
R
2
= 0,78348 F = 5,7897 p = 0,0010212.
Analisando os resultados, pode-se afirmar que são aproximadamente iguais. Com
valores de
R
2
>75 %.
4.4.1 Resumo dos Resultados para Apartamentos
Dados com 44 observações e 22 variáveis:
GRUPO 1 = 6 8 9 11 12 13 15 16 17 20 33 34 37 38 39 40 41 (17)
Y = -231,1999*CP1 + 1 782,8403*CP2 – 9 175,1104*CP3 – 3 518,4216*CP4 +
+ 10 126,8349*CP5 + 507,8941*CP6 + 10 383,084*CP7 + 1 744,384*CP8 +
+ 5 895,8829*CP9 + 11 933,8859*CP10 + 21 461,2404.
Neste grupo foi desconsiderada a variável 3 (elevador = 1) por possuir todos os
valores iguais a 1
e R
2
= 0.9006.
GRUPO 2 = 1 2 3 4 5 7 10 14 18 19 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 35 36 42
43 44 (27)
78
Y = -11 708,2947*CP1 + 7 395,6095*CP2 – 7 784,6064*CP3 + 4 194,7926*CP4 +
+ 23 199,3472*CP5 – 7 958,6098*CP6 – 7 123,0317*CP7 + 12 618,4508*CP8 +
+ 2 369,774*CP9 -21 389,0761*CP10 – 113 121,4588.
Neste grupo foram desconsideradas as variáveis 4 (localização = 1) e 11 (suíte = 1)
por possuir todos os valores iguais e
R
2
= 0.7835.
4.4.2 Resumo dos Resultados para Casas
Dados com 51 observações e 19 variáveis:
Opção 1: (Análise de Agrupamentos e Componentes Principais)
Tipo de distância euclidiana e tipo de ligação ward, formada em 4 grupos.
GRUPO 1 = 8 12 13 14 24 25 26 28 31 34 44 48 (12)
Equação da regressão com 10 componentes principais:
Y = 2 352,8701*CP1 + 14 682,8764*CP2 – 26 680,0908*CP3 – 2 143,8816*CP4 -
-15 706,917*CP5 – 16 068,2388*CP6 – 807,695*CP7 + 2 837,1778*CP8 +
+ 30 340,9987*CP9 + 7 161,036*CP10 + 335 172,8204.
Neste grupo foi desconsiderada a variável piscina por possuir todos os valores iguais
à zero (sem piscina) e
R
2
= 0.9123.
GRUPO 2 = 1 3 4 5 6 9 10 15 16 17 19 20 22 29 30 32 36 38 40 43 45 46 47 49 51
(25)
Equação da regressão com 10 componentes principais:
Y = 12 220,9925*CP1 + 307,181*CP2 – 3 553,3992*CP3 + 8 534,9659*CP4 -
- 21 673,6631*CP5 + 1 399,9938*CP6 – 406,8441*CP7 + 24 863,9387*CP8 +
+ 3 076,8517*CP9 + 7 133,0792*CP10 – 135 246,2812.
Neste grupo não foi desconsiderada nenhuma variável, pois possuem valores
diferentes e
R
2
= 0.9123.
GRUPO 3 = 2 7 11 21 35 37 39 (7)
79
Equação da regressão com 05 componentes principais:
Y = 3 381,742*CP1 + 25 395,7101*CP2 – 3 085,5499*CP3 + 2 998,7434*CP4 +
+ 35 063,3867*CP5 + 38 609,3956
Neste grupo foram desconsideradas as variáveis 2 (garagem = 1) e 16 (lavanderia =
1), pois possuem valores iguais e
R
2
= 0. 9509.
GRUPO 4 = 18 23 27 33 41 42 50 (7)
Equação da regressão com 05 componentes principais:
Y = -8 719,292*CP1 – 4 037,9719*CP2 – 4 617,7801*CP3 – 1 899,7625*CP4 -
- 4 786,5778*CP5 – 69 709,5748
Neste grupo foram desconsideradas as variáveis 11 (estrutura = 3) e 13(piscina = 0),
pois possuem valores iguais e
R
2
= 0.9994.
Opção 2: (Análise Fatorial)
Equação da regressão com 10 fatores:
Y = 17 160,2815*F1 + 18 097,7924*F2 + 3 788,0114*F3 + 11 702,6414*F4 +
+ 21 321,633*F5 + 5 647,0059*F6 + 11 399,342*F7 + 21 162,3526*F8 + 30 948,3984*F9 +
+ 5 791,8663*F10 + 96 745,098 e
R
2
= 0.7847.
Opção 3: (Regressão Múltipla Simples, com todas as variáveis).
Y = 9 613,4525*V1 + 22 164,1341*V2 + 671,2289*V3 + 4 524,6907*V4 -
- 930,9592*V5 + 6 691,6853*V6 + 225,8114*V7 + 85,0273*V8 + 12 495,6409*V9 -
- 10 415,1484*V10 + 21 678,8472*V11 – 1 476,9568*V12 + 17 263,8745*V13 -
- 18 058,2558*V14 + 6 853,9381*V15 – 20 153,3818*V16 + 5 775,6852*V17 -
- 1 684,3853*V18 -94 861,0962 e
R
2
= 0. 8366.
Colocando zero no preço da última observação (preço = 40000).
Tabela 4.2:
Comparação dos valores estimados pelas 3 opções
80
opções valor estimado diferença diferença %
opção 1 40 000,00 42 734,52 -2 734,52 6,836
opção 2 40 000,00 47 381,33 -7 381,33 18,45
opção 3 40 000,00 58 096,46 -18 096,46 45,24
4.4.3 Resumo dos Resultados para Terrenos
Dados com 24 observações e 11 variáveis:
Opção 1: (Análise de Agrupamento e Componentes Principais)
Tipo de distância euclidiana e tipo de ligação ward, formada em 4 grupos.
GRUPO 1 = 1 2 3 4 5 8 9 10 11 12 16 18 19 20 21 22 23 24 (18)
Y = 15 508,3498*CP1 + 6 408,5873*CP2 + 19 369,2796*CP3 + 14 705,3493*CP4 -
- 4 078,808*CP5 – 4 154,5414*CP6 + 3 939,7138*CP7 + 5 781,7527*CP8 + 5 864,1289*CP9 -
- 16 556,4398*CP10 – 50 239,7229 e
R
2
= 0.9799.
GRUPO 2 = 6 7 13 14 15 17 (6)
As variáveis de números 3 (pólo = 1), 4 (frente = 3), 8 (inclinado = 0) e 10
(pavimentação = 1) foram eliminadas por possuírem valores iguais. Dessa forma, a equação é
dada por:
Y = 66 082,5699*CP1 – 2 285,7628*CP2 + 12 034,3121*CP3 + 21 812,3321*CP4 -
- 28 360,0695*CP5 – 28 291,8593 e
R
2
= 1.0.
Opção 2: (Análise Fatorial) com 5 fatores
Y = 21 269,8524*F1 – 5 876,4286*F2 + 22 094,3272*F3 + 55 872,7757*F4 +
+ 19 952,1654*F5 + 74 458,3333 e
R
2
= 0. 8491.
Opção 3: (Regressão Múltipla Simples)
Y = 14 982,0119*V1 + 42 917,3384*V2 – 2 101,3467*V3 + 1 628,9076*V4 +
+ 11,1196*V5 + 4 029,0109*V6 + 5 702,7019*V7 – 2 524,9226*V8 + 16 158,2245*V9 -
- 3 402,4047*V10 – 65 237,4996 e
R
2
= 0. 8643.
Colocando zero na variável preço na última observação: (preço = 30.000,00).
81
Tabela 4.3: Comparação dos valores estimados pelas 3 opções
opções valor estimado diferença %
opção 1 30 000,00 21 264,52 8 735,48 29,118
opção 2 30 000,00 18 216,87 11 783,13 39,277
opção 3 30 000,00 21 275,44 8 724,56 29,082
82
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Em 1918, em nosso país mostram-se os primeiros estudos de avaliação de imóveis e
já em 1923 foram introduzidos novos métodos de avaliação de terrenos, que a partir de 1929
começaram a ser sistematicamente aplicados. Nesse contexto a engenharia de avaliação no
Brasil tomou corpo e continua crescendo e evoluindo nas técnicas de avaliação. Atualmente
um grande número de profissionais e entidades desenvolve estudos nesse campo, visando dar
ao tema o suporte científico necessário aos métodos técnicos até então utilizados (Fiker,
1997).
Este trabalho mostra a importância de usar um programa computacional para a
avaliação de imóveis em qualquer cidade desde que se tenha uma base de dados atualizados e
pode ser usado por engenheiros, arquitetos e agrônomos, cada um atuando em sua habilitação
profissional, conforme normas e regulamentos do CREA, CONFEA, ABNT, leis municipais,
estaduais e federais.
5.1 CONCLUSÕES
As conclusões pertinentes ao trabalho são:
• Com o tratamento estatístico dos dados das observações evitou-se problema de
multicolinearidade e valores das características iguais podem ser eliminados para
evitar divisões por zero no cálculo da correlação. Ainda, reduziu-se a quantidade
de variáveis para a regressão, ou seja, a matriz de dados ficou com a ordem mais
baixa.
• Já com a Análise Fatorial também pode se fazer uma boa regressão evitando a
multicolinearidade através do rotacionamento dos escores sem perda significativa
de informação e obtendo, assim, variáveis não correlacionadas.
• O programa AMI, não é exclusivo para a cidade de Campo Mourão, pode ser
usada em qualquer cidade, basta possuir os dados atualizados obedecendo ao
formato de entrada num arquivo de Excel, onde as colunas são as variáveis e as
83
observações são as linhas. Recomenda-se que o número de observações seja maior
que o número de variáveis, e se usar a opção 1 (agrupamentos) o número de
observações ainda muito maior (na ordem de 3 vezes maior que o número de
variáveis).
• Nos três casos de avaliação têm-se regressões com R
2
maiores que 75 %, o que
garante a consistência da regressão para estimativa dos preços dos imóveis. Isto se
deve também à boa coleta de dados representativos.
• De acordo com os apêndices 5, 6 e 7 a melhor opção para apartamentos, casas e
terrenos e a opção 1, que usa as técnicas multivariadas de agrupamentos
homogêneos e para cada grupo usa a Análise de Componentes Principais para
reduzir as variáveis e evitar variáveis altamente correlacionadas, desta forma
evita-se a multicolinearidade.
• De acordo com os apêndices 5, 6 e 7, a opção menos recomendada é a opção 3,
pois os dados não sofrem tratamento estatístico, dessa forma têm-se problemas de
multicolinearidade.
• De acordo com o apêndice 6 para o grupo 1 (12 observações) os parâmetros das
estatísticas foram R
2
= 0.99675 F = 30.7138 p = 0.13959, o valor de
p=13,96%, de maneira que se aceita a hipótese nula, a de não existir regressão, da
mesma forma para o grupo 3 com
p = 36,69%, de acordo a estes resultados pode-
se afirmar que para o uso da opção 1, o número de observações deve ser maior
que número de variáveis de cada grupo, dessa forma, se usar os agrupamentos, o
número de observações deve ser maior pelo menos o número de vezes o dos
grupos formados.
• A metodologia multivariada aplicada neste trabalho se mostrou viável, atingiram-
se resultados com alto nível de precisão e a metodologia pode ser aplicada de
modo geral em imóveis de outras cidades, ainda melhorando o questionário ao
nível de quantificação das respostas.
Dessa forma, o presente trabalho procurou oferecer uma contribuição na área de
Engenharia de Avaliação.
84
5.2 SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS
1)
Construir um programa em linguagem visual para uso de pessoas leigas e com
poucas instruções para o cálculo (donos de imobiliárias) sem precisar do
programa
Matlab.
2)
Comparar com modelos de redes neurais e algoritmos genéticos.
85
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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5676 e NBR 502). Rio de Janeiro: ABNT, 2004.
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BOUROCHE, J. M. SAPORTA, G.
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Proposta de uma metodologia para a avaliação de imóveis urbanos
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. Dissertação de Mestrado. UFPR: Curitiba,
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Engenharia de avaliações uma introdução à metodologia científica. [S.l.]
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Análise conceitual das dificuldades na
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A engenharia de avaliações na visão inferencial. São Leopoldo:
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Applied multivariate statistical analysis. 4. ed. Nova
Jersey: Prentice Hall, Inc., 1998.
86
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The theory and practice of
econometrics. New York: John Wiley & Sons,1980.
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apartamentos na cidade de Belém. Dissertação de Mestrado. Porto Alegre e Valência, 1999.
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estatística inferencial e regressões múltiplas. Porto Alegre: Avalien, 1993.
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application to real estate valuation. The Journal of Real Estate Research, 10 (2): 185-201,
1995.
87
APÊNDICES
88
APÊNDICE 1: PROGRAMA AMI (PARA MATLAB 7.0)
function AMI
% ****************************************************************
% * ANÁLISE DE AGRUPAMENTO, COMPONENTES PRINCIPAIS E REGRESSÃO
% * DE DADOS MULTIVARIADOS *
% ****************************************************************
% * Função programada para a dissertação de mestrado *
% * Valdir Alves *
% ****************************************************************
% lê a matriz XY sendo X matriz de dados e Y vetor coluna de preços
% a primeira coluna e a ordem das observações e a última os preços,
% XY e uma planilha de Excel NOME. xls na pasta Work do Matlab7.
% o programa clusteriza em K grupos, calcula os componentes principais
% por grupo e faz a regressão linear multivariada para cada grupo mostrando
% a equação de regressão. Para a Análise de Agrupamento podem ser
% usadas as distâncias:
% 1)'euclid'; 2)'seuclid'; 3)'cityblock'; 4)'mahal'; 5)'minkowski'
% e os tipos de ligação:
% 1)single, 2)complete, 3)average, 4)ward
% Para saber o preço de um novo imóvel coloque os dados do imóvel
% na última linha da planilha Excel com o preço = 0.
% ao final do programa será mostrado o preço calculado para o novo imóvel.
% para a regressão é importante saber que o número de observações
% tem que ser maior ao número de componentes principais
% Ao final serão gerados os arquivos com as respostas:
% nome_G1, nome_G2.....se for agrupamentos e ACP.
% Nome_F se for por Análise Fatorial
% Nome_S se for por Regressão Múltipla Simples
clear
clc
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' * ACESSANDO OS DADOS: Selecione o arquivo de dados no Excel *')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' ')
[ARQUIVO,CAMINHO] = uigetfile('*.xls','Escolha o Arquivo com os dados (Excel).');
nomef=[CAMINHO ARQUIVO];
nf1=[ARQUIVO];
ncar=size(nf1);
ncar2=ncar(2);
ncar1=ncar2-3;
nf1(ncar1:ncar2)=[];
nomeA=nf1;% nome sem a extensão
disp(' ')
tt=[' arquivo XLS = ' nomef ];
disp(tt)
disp(' ')
%XY=dados;v6
XY = xlsread(nomef);%v7
[n,m]=size(XY);
ncol=m;
89
ncol=ncol-1;%tirando a ordem das observações
tt=[' total de observações = ' num2str(n)];
disp(tt)
tt=[' total de variáveis = ' num2str(ncol)];
disp(tt)
disp(' ')
X_Y=XY;
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' * OPÇÕES DE ANÁLISE PARA A REGRESSÃO *')
disp(' *********************************************************************')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
tt=[' * (1) Análise por Agrupamentos e Componentes Principais *'];
disp(tt)
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
tt=[' * (2) Análise Fatorial *'];
disp(tt)
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
tt=[' * (3) Análise de Regressão Simples *'];
disp(tt)
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' ')
OP=input(' ENTRAR COM O TIPO DE OPÇÃO = ');
disp(' ')
if OP==2
fatorim(XY, nomeA)
return
elseif OP==3
Rsimples(XY, nomeA)
return
elseif OP>3
return
end
tt=[' * Análise por Agrupamentos e Componentes Principais *'];
disp(tt)
disp(' *********************************************************************')
%X_Y matriz X sem o preço e a ordem
X_Y(:,m)=[];
X_Y(:,1)=[];
disp(' ')
d5={'euclidean';'seuclidean';'cityblock';'mahalanobis';'minkowski'};
t4={'single';'complete';'average';'ward'};
%v6
%d5={'euclid';'seuclid';'cityblock';'mahal';'minkowski'};
%t5={'single';'complete';'average';'centroid';'ward'};
%format long
% EXTRAÇÃO DOS DADOS
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' * PROCESSO 1 : AGRUPANDO - CLUSTERING *')
disp(' *********************************************************************')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' * OPÇÃO DE TIPOS DE DISTÂNCIA *')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
tt=[' * d = 1, EUCLID (distância euclidiana) *'];
disp(tt)
tt=[' * d = 2, SEUCLID (quadrado da distância euclidiana) *' ];
disp(tt)
tt=[' * d = 3, CITYBLOCK (distância Manhattan) *' ];
disp(tt)
tt=[' * d = 4, MAHAL (distância estatística) *'];
90
disp(tt)
tt=[' * d = 5, MINKOSWSKI (usando n=3) *'];
disp(tt)
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' ')
td=input(' ENTRAR COM O TIPO DE DISTÂNCIA d = ');
disp('')
%matriz de distância
aa=d5{td};
if td==5
Y=pdist(X_Y,aa,3);
else
Y=pdist(X_Y,aa);
end
%verificar o melhor agrupamento
cmax=0;
imax=0;
c=[];
for i=1:4
aa=t4{i};
Z=linkage(Y,aa);
c(i)=cophenet(Z,Y);
if cmax<c(i) ;
cmax=c(i);
imax=i;
end
end
aa=t4{imax};
Z=linkage(Y,aa);
tt=[' melhor agrupamento = "' num2str(aa) '" sendo o cophenet = ' num2str(cmax)];
disp(tt)
disp(' ')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' * OPÇÃO DE TIPOS DE LIGAÇÃO *')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
tt=[' * t = 1, SINGLE (Vizinho mais próximo) * Cophenet = ' num2str(c(1))];
disp(tt)
tt=[' * t = 2, COMPLETE (Vizinho mais distante) * Cophenet = ' num2str(c(2))];
disp(tt)
tt=[' * t = 3, AVERAGE (Média das distâncias) * Cophenet = ' num2str(c(3))];
disp(tt)
tt=[' * t = 4, WARD (Método de Ward) * Cophenet = ' num2str(c(4))];
disp(tt)
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' ')
tip=input(' ENTRAR COM O TIPO DE LIGAÇÃO t = ');
disp('')
aa=t4{tip};
Z=linkage(Y,aa);%fazendo as ligações
aa=dendrogram(Z,n);%VISUALIZANDO OS GRUPOS DENDROGRAMA
% K grupos
K=input(' Digite o número de grupos K = ');
T=cluster(Z,K);
disp(' ')
% VETORES DE GRUPOS
VG=[];%vetor de ordem K indicando o número de elementos por grupo
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' * FIM DO PROCESSO 1: GRUPOS FORMADOS *')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
if K>1;
91
for i=1:K;
tt=[' GRUPO ' num2str(i) ' = ' ];
ne=0;
for j=1:n;
if T(j) == i;
tt=[tt num2str(j) ' '];
ne=ne+1;
end
end
VG=[VG ne];
tt=[tt '(' num2str(ne) ')'];
disp(tt)
end
elseif K==1;
tt=[' GRUPO 1 = 1 .....' num2str(n) ];
disp(tt)
T=diag(eye(n));
VG(1)=n;
end
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
zz=input(' Tecle ENTER para continuar................................','s');
disp(' ')
disp(' ')
%guardando os grupos em texto
%gera X1, X2...grupos
for i=1:K;
CC=[];%CC matriz Curinga
for j=1:n;
if T(j) == i;
CC=[CC;XY(j,:)];
end
end
[n1,m1]=size(CC);
nomearq=[nomeA '_G' num2str(i) '.txt' ];
arq=fopen(nomearq,'w');
tt=['ANÁLISE DO GRUPO ' num2str(i)];
fprintf(arq,tt);
tt=['--- observações ' ];
fprintf(arq,tt);
fprintf(arq,'\r\n');
for i=1:n1
for j=1:m1
fprintf(arq,' %d ',CC(i,j));
end
fprintf(arq,'\r\n');
end
fclose(arq);
end
%avalia todos se na última linha de XY tem preço se não avalia somente o grupo da
última linha
if XY(n,m)==0;% pega somente o grupo da n obs
KG=T(n);%grupo da n
CC=[];%CC matriz Curinga do grupo K
for j=1:n;%formando a matriz do grupo KG
if T(j) == KG;
CC=[CC;XY(j,:)];
end
end
%eliminando colunas com valores iguais
[n1,m1]=size(CC);
92
CE=[];%vetor de colunas eliminadas
NCC=[];
for j=1:m1
V=CC(:,j);
if min(V)==max(V);
CE=[CE j];
else
NCC=[NCC CC(:,j)];
end
end
[n1,m1]=size(NCC);
YY=NCC(:,m1);%vetor de preços
NCC(:,m1)=[];%tirando a última coluna
a=isempty(CE);
if a==1;%caso null
tt=[' Não existem variáveis com valores iguais'];
else
tt=[' As variáveis Nº. ' num2str(CE-1) ' foram eliminadas por possuir valores iguais' ];
end
disp(tt)
disp(' ')
CC=NCC;
nomearq=[nomeA '_G' num2str(KG) '.txt' ];
arq=fopen(nomearq,'a');
fprintf(arq,'\r\n');
fprintf(arq,tt);
fprintf(arq,'\r\n');
%fim da eliminaçao
disp(' *********************************************************************')
disp(' NA SEQÜÊNCIA SERÁ CALCULADA O VALOR (Y) DA ÚLTIMA OBSERVAÇÃO')
disp(' *********************************************************************')
disp(' ')
tt=[' A última observação ' num2str(n) ' pertence ao grupo = ' num2str(KG)];
disp(tt)
disp(' ')
disp(' *********************************************************************')
tt=[' ANÁLISE DO GRUPO = ' num2str(KG)];
disp(tt)
disp(' *********************************************************************')
disp(' ')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' * PROCESSO 2: COMPONENTES PRINCIPAIS *')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
%covariância
S=corrcoef(CC);
%S=cov(CC);
r1=eig(S);
r1=flipud(sort(r1));
m1=length(r1);
j1=(1:m1)';
t1=sum(r1);
r2=(r1/t1)*100;
r3=(cumsum(r1)/t1)*100;
r=[j1 r1 r2 r3];
disp('')
disp(' * PROPORÇÃO DE VARIÂNCIA EXPLICADA PELOS *')
disp(' * AUTOVALORES DA MATRIZ CORRELAÇÃO *')
disp(' ')
disp(' ORDEM AUTOVA- VAR. EXPL. VAR. EXPL. ')
disp(' LORES (EM %) ACUM. (%) ')
93
disp(' -----------------------------------------')
disp(sprintf(' %8.0f %10.4f %8.2f %11.2f\n',r'))
disp(' -----------------------------------------')
tt=[' Digite o número de componentes < ' num2str(VG(1)) ' = '];
nc=input(tt);
%salvando as informações
if nc>m1;
nc=m1;
end
%E autovetores, e D Matriz Diagonal de autovalores
[E,D]=eig(S);
[dd,ind]=sort(diag(D)); %dd=vetor autovalor, ind=vetor de índices
dd=flipud(dd)';
ind=flipud(ind)';
%ordena de acordo a os índices e ind flipado
E=E(:,ind);
n2=length(dd);
%componentes principais
[n1,m1]=size(E);
%nomearq=[nomeA '_G' num2str(KG) '.txt' ];
%arq=fopen(nomearq,'a');
fprintf(arq,'\r\n');
tt=['autovalores ' ];
fprintf(arq,tt);
fprintf(arq,'\r\n');
for j=1:m1
fprintf(arq,' %d ',dd(j));
end
fprintf(arq,'\r\n');
fprintf(arq,' ');
fprintf(arq,'\r\n');
tt=['Componentes principais - autovetores ' ];
fprintf(arq,tt);
fprintf(arq,'\r\n');
for ii=1:n1
for j=1:m1
fprintf(arq,' %d ',E(ii,j));
end
fprintf(arq,'\r\n');
end
%fclose(arq);
%escores
ESCR=CC*E;
%controlando o número de comp principais
CP=[];%MATRIZ DE COMP PRINC tirando as outras colunas
for ii=1:nc;
CP=[CP ESCR(:,ii)];
end
[n1,m1]=size(CP);
%nomearq=[nomeA '_G' num2str(KG) '.txt' ];
%arq=fopen(nomearq,'a');
fprintf(arq,'\r\n');
tt=['Escores com ' num2str(nc) ' componentes'];
fprintf(arq,tt);
fprintf(arq,'\r\n');
for ii=1:n1
for j=1:m1
fprintf(arq,' %d ',CP(ii,j));
end
fprintf(arq,'\r\n');
94
end
%fclose(arq);
disp(' ')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' * PROCESSO 3: REGRESSÃO MÚLTIPLA *')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' ')
[n3,m3]=size(CP);
CPY=CP(n3,:);%comp prin da última linha
CP(n3,:)=[];%Tira a última linha sem preço
YY(n3,:)=[];% Tira a última linha no YY
n3=n3-1;
%acrescer uma coluna de um
uno=diag(eye(n3));
CP=[CP uno];
[B,BINT,R,RINT,STATS] = regress(YY,CP,95);
%B=coeficientes y=Bx sendo a última a constante
ttY=[' Y = ' num2str(B(1)) '*CP1 ' ];
for ii=2:nc;
if B(ii)>0;
ttY=[ttY ' + ' num2str(B(ii)) '*CP' num2str(ii) ];
else
ttY=[ttY ' ' num2str(B(ii)) '*CP' num2str(ii) ];
end
end
ii=nc+1;
if B(ii)>0;
ttY=[ttY ' + ' num2str(B(ii)) ];
else
ttY=[ttY ' ' num2str(B(ii)) ];
end
tt1=[' REGRESSÃO PARA O GRUPO ' num2str(KG) ];
disp(tt1)
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(ttY)
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' ')
tt1=[' ESTATÍSTICA DO MODELO ' num2str(KG) ];
disp(tt1)
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' R2 F p ')
disp(' -----------------------------------------')
STATS1=STATS;
STATS1(4)=[];
disp(sprintf(' %8.4f %10.4f %8.5f\n',STATS1'))
disp(' -----------------------------------------')
disp(' ')
tt1=[' Componentes principais da última observação (cp1,cp2,...)' ];
disp(tt1)
tt1=[' '];
for ii=1:nc;
tt1=[tt1 num2str(CPY(ii)) ' '];
end
disp(tt1)
disp(' ')
nc1=nc+1;
B0=B(nc1);
B(nc1)=[];
Y0=CPY*B+B0;
tt2=[' Y(variável dependente) da última observação = ' num2str(Y0) ];
95
disp(tt2)
disp(' *********************************************************************')
disp(' FIM DO PROGRAMA');
%nomearq=[nomeA '_G' num2str(KG) '.txt' ];
%arq=fopen(nomearq,'a');
fprintf(arq,'\r\n');
tt1=['REGRESSÃO MÚLTIPLA ' ];
fprintf(arq,tt1);
fprintf(arq,'\r\n');
fprintf(arq,ttY);
fprintf(arq,'\r\n');
fprintf(arq,' ');
fprintf(arq,'\r\n');
fprintf(arq,tt2);
fprintf(arq,'\r\n');
tt1=['ESTATÍSTICA DO MODELO '];
fprintf(arq,tt1);
fprintf(arq,'\r\n');
tt1=['R2 = ' num2str(STATS(1)) ' F = ' num2str(STATS(2)) ' p = ' num2str(STATS(3))];
fprintf(arq,tt1);
fprintf(arq,'\r\n');
fclose(arq);
return
else%pega todos os grupos para avaliação
disp(' ')
disp(' *********************************************************************')
tt=[' NA SEQÜÊNCIA SERÃO ANALIZADOS OS ' num2str(K) ' GRUPOS'];
disp(tt)
disp(' *********************************************************************')
disp(' ')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' * PROCESSO 2: COMPONENTES PRINCIPAIS *')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' ')
for i=1:K
tt=[' ANALISANDO O GRUPO ' num2str(i) ];
disp(tt)
disp(' *********************************************************************')
CC1=[];%CC1 matriz Curinga DO GRUPO
for j=1:n;
if T(j) == i;
CC1=[CC1;XY(j,:)];
end
end
%eliminando colunas com valores iguais
[n1,m1]=size(CC1);
CE=[];%vetor de colunas eliminadas
NCC=[];
for j=1:m1
V=CC1(:,j);
if min(V)==max(V);
CE=[CE j];
else
NCC=[NCC CC1(:,j)];
end
end
[n1,m1]=size(NCC);
a=isempty(CE);
if a==1;%caso null
96
tt=[' Não existem variáveis com valores iguais'];
else
[n7,m7]=size(CE);
if m7>1
tt=[' As variáveis Nº [' num2str(CE-1) '] foram eliminadas por possuir valores iguais' ];
else
tt=[' A variável Nº [' num2str(CE-1) '] foi eliminada por possuir valor igual ];
end
end
disp(tt)
disp(' ')
nomearq=[nomeA '_G' num2str(i) '.txt' ];
arq=fopen(nomearq,'a');
fprintf(arq,'\r\n');
fprintf(arq,tt);
fprintf(arq,'\r\n');
CC1=NCC;
%fim da eliminação
[n1,m1]=size(NCC);
YY=CC1(:,m1);%vetor de preços
CC1(:,m1)=[];%tirando a última coluna
%covariância
%S=cov(CC1);
S=corrcoef(CC1);
r1=eig(S);
r1=flipud(sort(r1));
m1=length(r1);
j1=(1:m1)';
t1=sum(r1);
r2=(r1/t1)*100;
r3=(cumsum(r1)/t1)*100;
r=[j1 r1 r2 r3];
disp(' ')
disp(' * PROPORÇÃO DE VARIÂNCIA EXPLICADA PELOS *')
disp(' * AUTOVALORES DA MATRIZ CORRELAÇÃO *')
disp(' ')
disp(' ORDEM AUTOVA- VAR. EXPL. VAR. EXPL. ')
disp(' LORES (EM %) ACUM. (%) ')
disp(' -----------------------------------------')
disp(sprintf(' %8.0f %10.4f %8.2f %11.2f\n',r'))
disp(' -----------------------------------------')
tt=[' Digite o número de componentes < ' num2str(VG(i)) ' = '];
nc=input(tt);
if nc>m1;
nc=m1;
end
%E autovetores, e D Matriz Diagonal de autovalores
[E,D]=eig(S);
[dd,ind]=sort(diag(D)); %dd=vetor autovalor, ind=vetor de índices
dd=flipud(dd)';
ind=flipud(ind)';
%ordena de acordo a os índices e ind flipado
E=E(:,ind);
n2=length(dd);
[n1,m1]=size(E);
%nomearq=[nomeA '_G' num2str(i) '.txt' ];
%arq=fopen(nomearq,'a');
fprintf(arq,' ');
fprintf(arq,'\r\n');
tt=['autovalores ' ];
97
fprintf(arq,tt);
fprintf(arq,'\r\n');
for j=1:m1
fprintf(arq,' %d ',dd(j));
end
fprintf(arq,'\r\n');
fprintf(arq,' ');
fprintf(arq,'\r\n');
tt=['Componentes principais - autovetores ' ];
fprintf(arq,tt);
fprintf(arq,'\r\n');
for ii=1:n1
for j=1:m1
fprintf(arq,' %d ',E(ii,j));
end
fprintf(arq,'\r\n');
end
%fclose(arq);
%escores
ESCR=CC1*E;
%controlando o número de comp principais
CP=[];%MATRIZ DE COMP PRINC
for ii=1:nc;
CP=[CP ESCR(:,ii)];
end
[n2,m2]=size(CP);
%nomearq=[nomeA '_G' num2str(i) '.txt' ];
%arq=fopen(nomearq,'a');
%fprintf(arq,' ');
fprintf(arq,'\r\n');
tt=['Escores com ' num2str(nc) ' componentes' ];
fprintf(arq,tt);
fprintf(arq,'\r\n');
for ii=1:n2
for j=1:m2
fprintf(arq,' %d ',CP(ii,j));
end
fprintf(arq,'\r\n');
end
%fclose(arq);
disp(' ')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' * PROCESSO 3: REGRESSÃO MÚLTIPLA *')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' ')
[n3,m3]=size(CP);
%acrescer uma coluna de um
uno=diag(eye(n3));
CP=[CP uno];
[B,BINT,R,RINT,STATS] = regress(YY,CP,95);
%B=coeficientes y=Bx sendo a última a constante
ttY=[' Y = ' num2str(B(1)) '*CP1 ' ];
for ii=2:nc;
if B(ii)>0;
ttY=[ttY ' + ' num2str(B(ii)) '*CP' num2str(ii) ];
else
ttY=[ttY ' ' num2str(B(ii)) '*CP' num2str(ii) ];
end
end
ii=nc+1;
98
if B(ii)>0;
ttY=[ttY ' + ' num2str(B(ii)) ];
else
ttY=[ttY ' ' num2str(B(ii)) ];
end
tt1=[' REGRESSÃO PARA O GRUPO ' num2str(i) ];
disp(tt1)
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(ttY)
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' ')
tt1=[' ESTATÍSTICA DO MODELO ' num2str(i) ];
disp(tt1)
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' R2 F p ')
disp(' -----------------------------------------')
STATS1=STATS;
STATS1(4)=[];
disp(sprintf(' %8.4f %10.4f %8.5f\n',STATS1'))
disp(' -----------------------------------------')
disp(' *********************************************************************')
disp(' ')
%nomearq=[nomeA '_G' num2str(i) '.txt' ];
%arq=fopen(nomearq,'a');
%fprintf(arq,' ');
fprintf(arq,'\r\n');
tt1=['REGRESSÃO MÚLTIPLA ' ];
fprintf(arq,tt1);
fprintf(arq,'\r\n');
fprintf(arq,ttY);
fprintf(arq,'\r\n');
fprintf(arq,' ');
fprintf(arq,'\r\n');
tt1=['ESTATÍSTICA DO MODELO '];
fprintf(arq,tt1);
fprintf(arq,'\r\n');
tt1=['R2 = ' num2str(STATS(1)) ' F = ' num2str(STATS(2)) ' p = ' num2str(STATS(3))];
fprintf(arq,tt1);
fprintf(arq,'\r\n');
fprintf(arq,'\r\n');
%avaliando o grupo
Naval=CP*B;
tt1=['Avaliando o grupo '];
fprintf(arq,tt1);
fprintf(arq,'\r\n');
for i=1:n2
fprintf(arq,' %d ',CC1(i,1));
fprintf(arq,' %d ',YY(i));
%tt1=[num2str(Naval(i)) ];
fprintf(arq,' %d ',Naval(i));
fprintf(arq,'\r\n');
end
fclose(arq);
if i==K
disp(' FIM DO PROGRAMA');
else
zz=input(' Tecle ENTER para continuar................................','s');
disp(' ')
end
99
end
end
SUB-PROGRAMA ANÁLISE FATORIAL
function fatorim(XY, nomeA)
%nome A = nome do arquivo sem a extensão
%XY = arquivo do Excel
[n1,m1]=size(XY);
nomearq=[nomeA '_F.txt' ];
arq=fopen(nomearq,'w');
tt=['ANÁLISE FATORIAL ' ];
fprintf(arq,tt);
tt=['--- Observações ' ];
fprintf(arq,tt);
fprintf(arq,'\r\n');
for i=1:n1
for j=1:m1
fprintf(arq,' %d ',XY(i,j));
end
fprintf(arq,'\r\n');
end
X_Y=XY;
[n,m]=size(XY);
YY=XY(:,m);
%X_Y matriz X sem o preço e a ordem
X_Y(:,m)=[];
X_Y(:,1)=[];
disp(' ')
X=X_Y;
k=1;%matriz de dados
R=corrcoef(X);
%Autovalores e autovetores de R
[E2,D2]=eig(R);
[dd2,i2]=sort(diag(D2));
dd2=flipud(dd2)';
i2=flipud(i2)';
E2=E2(:,i2);
ddt=(dd2/(sum(dd2)))*100;
ddacum=cumsum(ddt);
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' * PROCESSO 1: Autovalores e variância explicada acumulada *')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' ')
%Matriz de pesos L
r1=eig(R);
r1=flipud(sort(r1));
m1=length(r1);
j1=(1:m1)';
t1=sum(r1);
r2=(r1/t1)*100;
r3=(cumsum(r1)/t1)*100;
r=[j1 r1 r2 r3];
disp(' * PROPORÇÃO DE VARIÂNCIA EXPLICADA PELOS *')
disp(' * AUTOVALORES DA MATRIZ CORRELAÇÃO *')
disp(' ')
100
disp(' ORDEM AUTOVA- VAR. EXPL. VAR. EXPL. ')
disp(' LORES (EM %) ACUM. (%) ')
disp(' -----------------------------------------')
disp(sprintf(' %8.0f %10.4f %8.2f %11.2f\n',r'))
disp(' -----------------------------------------')
disp(' ')
tt=[' Digite o número de fatores < ' num2str(m1) ' = '];
N=input(tt);
nc=N;
disp(' ')
tt=['número de fatores ' num2str(N) ];
fprintf(arq,tt);
fprintf(arq,'\r\n');
%disp(f1)%ESCORES FATORIAIS
[Lambda,Psi,T,stats,F] = factoran(X,N,'scores','regression');
%[Lambda,Psi,T,stats,F] = factoran(X,N,'rotate','varimax','scores','regression');
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' * PROCESSO 2: ESCORES FATORIAIS ROTACIONADOS - VARIMAX *')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' ')
disp(F)%ESCORES FATORIAIS
CP=F;
disp(' ')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' * PROCESSO 3: REGRESSÃO MÚLTIPLA *')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' ')
%para calcular Y
[n3,m3]=size(CP);
if XY(n,m)==0
CPY=CP(n3,:);%comp prin da última linha
CP(n3,:)=[];%Tira a última linha sem preço
YY(n3,:)=[];% Tira a última linha no YY
n3=n3-1;
end
%acrescer uma coluna de um
uno=diag(eye(n3));
CP=[CP uno];
[B,BINT,R,RINT,STATS] = regress(YY,CP,100);
%B=coeficientes y=Bx sendo a última constante
ttY=[' Y = ' num2str(B(1)) '*F1 ' ];
for ii=2:nc;
if B(ii)>0;
ttY=[ttY ' + ' num2str(B(ii)) '*F' num2str(ii) ];
else
ttY=[ttY ' ' num2str(B(ii)) '*F' num2str(ii) ];
end
end
ii=nc+1;
if B(ii)>0;
ttY=[ttY ' + ' num2str(B(ii)) ];
else
ttY=[ttY ' ' num2str(B(ii)) ];
end
tt1=[' REGRESSÃO' ];
disp(tt1)
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(ttY)
101
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' ')
tt1=[' ESTATÍSTICA DO MODELO ' ];
disp(tt1)
STATS1=STATS;
STATS1(4)=[];
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' R2 F p ')
disp(' -----------------------------------------')
disp(sprintf(' %8.4f %10.4f %8.5f\n',STATS1'))
disp(' -----------------------------------------')
disp(' *********************************************************************')
disp(' ')
if XY(n,m)==0
nc1=nc+1;
B0=B(nc1);
B(nc1)=[];
Y0=CPY*B+B0;
tt2=[' Y(variável dependente) da última observação = ' num2str(Y0) ];
disp(tt2)
disp(' *********************************************************************')
end
fprintf(arq,'\r\n');
tt1=['REGRESSÃO MÚLTIPLA ' ];
fprintf(arq,tt1);
fprintf(arq,'\r\n');
fprintf(arq,ttY);
fprintf(arq,'\r\n');
fprintf(arq,' ');
fprintf(arq,'\r\n');
tt1=['ESTATÍSTICA DO MODELO '];
fprintf(arq,tt1);
fprintf(arq,'\r\n');
tt1=['R2 = ' num2str(STATS(1)) ' F = ' num2str(STATS(2)) ' p = ' num2str(STATS(3))];
fprintf(arq,tt1);
fprintf(arq,'\r\n');
fclose(arq);
disp(' *FIM DO PROGRAMA *')
return
102
SUB-PROGRAMA REGRESSÃO SIMPLES
function Rsimples(XY, nomeA)
[n1,m1]=size(XY);
nomearq=[nomeA '_S.txt' ];
arq=fopen(nomearq,'w');
tt=['regressão multivariada ' ];
fprintf(arq,tt);
tt=['--- Observações ' ];
fprintf(arq,tt);
fprintf(arq,'\r\n');
for i=1:n1
for j=1:m1
fprintf(arq,' %d ',XY(i,j));
end
fprintf(arq,'\r\n');
end
X_Y=XY;
[n,m]=size(XY);
YY=XY(:,m);
%X_Y matriz X sem o preço e a ordem
X_Y(:,m)=[];
X_Y(:,1)=[];
disp(' ')
CP=X_Y;
disp(' ')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' * PROCESSO 1: REGRESSÃO MÚLTIPLA *')
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' ')
%para calcular Y
if XY(n,m)==0
CPY=CP(n,:);%variáveis da última linha
CP(n,:)=[];%Tira a última linha sem preço
YY(n,:)=[];% Tira a última linha no YY
n1=n-1;
end
%acrescer uma coluna de um
uno=diag(eye(n1));
CP=[CP uno];
[B,BINT,R,RINT,STATS] = regress(YY,CP,100);
%B=coeficientes y=Bx sendo a última constante
ttY=[' Y = ' num2str(B(1)) '*V1 ' ];
nc=m-2;
for ii=2:nc;
if B(ii)>0;
ttY=[ttY ' + ' num2str(B(ii)) '*V' num2str(ii) ];
else
ttY=[ttY ' ' num2str(B(ii)) '*V' num2str(ii) ];
end
end
ii=nc+1;
if B(ii)>0;
ttY=[ttY ' + ' num2str(B(ii)) ];
else
ttY=[ttY ' ' num2str(B(ii)) ];
end
tt1=[' REGRESSÃO' ];
103
disp(tt1)
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(ttY)
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' ')
tt1=[' ESTATÍSTICA DO MODELO ' ];
disp(tt1)
STATS1=STATS;
STATS1(4)=[];
disp(' ---------------------------------------------------------------------')
disp(' R2 F p ')
disp(' -----------------------------------------')
disp(sprintf(' %8.4f %10.4f %8.5f\n',STATS1'))
disp(' -----------------------------------------')
disp(' *********************************************************************')
disp(' ')
if XY(n,m)==0
nc1=nc+1;
B0=B(nc1);
B(nc1)=[];
Y0=CPY*B+B0;
tt2=[' Y(variável dependente) da última observação = ' num2str(Y0) ];
disp(tt2)
disp(' *********************************************************************')
end
fprintf(arq,'\r\n');
tt1=['REGRESSÃO MÚLTIPLA ' ];
fprintf(arq,tt1);
fprintf(arq,'\r\n');
fprintf(arq,ttY);
fprintf(arq,'\r\n');
fprintf(arq,' ');
fprintf(arq,'\r\n');
tt1=['ESTATÍSTICA DO MODELO '];
fprintf(arq,tt1);
fprintf(arq,'\r\n');
tt1=['R2 = ' num2str(STATS(1)) ' F = ' num2str(STATS(2)) ' p = ' num2str(STATS(3))];
fprintf(arq,tt1);
fprintf(arq,'\r\n');
fclose(arq);
disp(' *FIM DO PROGRAMA *')
return
104
APÊNDICE II - MATRIZ DE DADOS REFERENTE AOS APARTAMENTOS
apartamento posição do apto elevador garagem localização área privativa pavimento andar pecas sala dormitório suíte banheiro dep. de emp.
1 3 2 1 1 222 15 3 9 1 2 1 1 1
2 3 1 1 1 162,44 7 1 9 1 2 1 1 1
3 3 1 1 1 176 8 2 9 1 2 1 1 1
4 3 2 2 1 179,2 14 3 10 2 2 1 1 1
5 3 2 2 1 279,4 20 3 8 1 2 1 1 1
6 3 1 1 1 120 12 3 12 2 3 1 2 1
7 2 1 1 1 220 16 2 12 3 3 1 2 1
8 3 1 1 1 107 8 1 9 3 2 1 1 0
9 2 0 1 1 50 4 2 4 1 1 0 1 0
10 3 2 3 1 240 15 3 12 3 2 1 1 1
11 3 0 1 0 100 3 2 7 2 3 0 2 0
12 3 0 1 1 147 6 1 7 1 2 1 1 0
13 3 1 1 1 108 7 3 11 2 2 1 1 1
14 2 2 2 1 311 16 3 10 3 2 1 1 1
15 2 1 1 1 132 7 2 8 2 2 1 1 0
16 3 2 1 1 107 8 3 8 2 2 1 1 0
17 3 2 1 1 107 8 4 8 2 2 1 1 0
18 3 2 4 1 330 15 3 17 3 3 1 3 1
19 3 2 2 1 220 15 3 13 2 3 1 1 1
20 3 1 1 1 130 6 3 11 2 3 1 1 1
21 3 2 2 1 164 10 3 11 2 3 1 1 1
22 3 2 2 1 160 15 3 11 2 3 1 2 1
23 3 2 1 1 374 15 3 14 3 2 1 3 1
24 3 1 1 1 220 16 4 14 3 3 1 2 1
25 2 1 1 1 220 16 3 14 3 3 1 2 1
26 3 1 2 1 180 13 3 13 2 3 1 1 1
27 3 1 2 1 320 13 3 11 1 3 1 1 1
28 3 1 2 1 180 13 3 13 2 3 1 1 1
29 3 1 2 1 320 13 3 11 1 3 1 1 1
105
30 1 2 2 1 260 14 3 11 2 2 1 1 1
31 2 2 2 1 260 14 2 11 2 2 1 1 1
32 3 2 2 1 260 14 1 11 2 2 1 1 1
33 3 1 1 1 140 8 2 6 1 2 1 1 0
34 1 1 1 1 130 7 3 7 2 2 1 1 0
35 1 2 2 1 260 14 1 11 2 2 1 1 1
36 1 2 2 1 310 16 2 11 2 2 1 1 1
37 3 0 1 1 100 4 3 7 1 3 0 2 0
38 3 0 1 1 70 3 2 5 1 2 0 1 0
39 3 0 1 1 90 3 2 6 1 2 0 2 0
40 3 1 1 1 38 8 2 4 1 1 0 1 0
41 3 1 1 1 40 8 3 5 1 2 0 1 0
42 3 1 1 1 170 7 2 9 2 2 1 1 0
43 1 1 1 1 170 7 1 9 2 2 1 1 0
44 3 1 1 1 170 7 3 9 2 2 1 1 0
apartamento dist. de escola dist. de hospital dist. de supermercado acabamento revestimento do prédio conservação idade real idade aparente valor (R$)
1 2 2 3 3 4 2 2 2 130000
2 3 1 3 3 1 5 4 6 85000
3 3 2 3 3 1 5 4 6 80000
4 3 2 3 3 4 5 4 6 115000
5 3 2 3 3 4 5 2 4 150000
6 3 2 3 3 2 5 3 4 110000
7 2 2 2 3 4 4 2 2 120000
8 2 2 2 2 1 3 3 5 68000
9 3 2 3 2 1 4 4 4 40000
10 3 3 3 3 4 4 2 3 170000
11 3 1 1 2 1 3 2 3 50000
12 3 2 3 2 2 5 4 5 60000
13 3 3 3 2 4 3 3 3 93000
14 1 1 1 3 4 5 4 4 250000
15 3 2 1 2 1 4 5 5 65000
16 3 3 3 2 4 4 3 3 65000
106
17 3 3 3 2 4 4 3 3 71000
18 2 1 2 2 4 4 3 2 220000
19 3 3 3 2 4 4 5 5 200000
20 3 3 3 2 3,5 4 3 4 90000
21 3 3 3 2 3,5 4 3 4 140000
22 3 3 3 2 4 4 3 4 250000
23 1 1 1 2 4 4 4 4 250000
24 3 3 3 3 4 4 3 4 150000
25 3 3 3 3 4 4 3 4 120000
26 3 1 3 3 4 3 4 4 180000
27 3 3 3 3 4 4 5 5 250000
28 3 1 3 3 4 3 4 4 180000
29 3 3 3 3 4 4 5 5 250000
30 3 3 3 2 4 3 2 2 115000
31 3 3 3 2 4 3 2 2 120000
32 3 3 3 2 4 3 2 2 140000
33 2 2 3 2 4 3 5 5 90000
34 3 3 3 2 1 3 4 4 65000
35 3 3 3 2 4 3 2 2 120000
36 1 1 1 3 4 4 4 4 210000
37 3 3 3 2 1 3 1 1 100000
38 3 3 3 2 1 3 1 1 70000
39 3 3 3 2 1 2 1 1 95000
40 3 3 3 2 1 3 3 4 30000
41 3 3 3 2 1 3 3 4 40000
42 3 3 3 2 4 4 4 6 100000
43 3 3 3 2 4 4 4 6 90000
44 3 3 3 2 4 4 4 6 110000
107
APÊNDICE III - MATRIZ DE DADOS REFERENTE A CASAS RESIDENCIAIS
casa bairro garagem suíte banheiro edícula
dist.
supermercado
área
construída
área do
terreno acabamento cobertura estrutura
conservação piscina
1 5 1 1 2 1 3 183 500 1 4 3 1 0
2 4 1 1 3 0 2 216 977 1 4 3 1 0
3 4 1 1 3 0 2 155 420 2 4 3 1 0
4 2 1 1 2 0 1 170 490 2 4 3 1 0
5 4 1 1 2 1 1 160 480 2 4 3 3 0
6 5 1 1 2 1 3 160 500 2 4 3 3 0
7 5 1 1 2 1 3 134 1000 2 4 3 2 0
8 3 1 0 1 0 3 70 300 1 2 1 1 0
9 3 0 0 1 0 2 198 350 1 1 1 3 0
10 3 1 0 1 0 2 113 400 2 2 1 2 0
11 5 1 0 2 1 3 238 1200 2 4 3 2 0
12 3 1 0 2 0 2 158 315 2 1 1 2 0
13 3 1 0 1 0 3 124 300 2 4 3 2 0
14 5 0 0 1 0 3 95 340 2 2 1 1 0
15 4 1 1 1 1 3 187 490 3 4 3 2 0
16 4 1 1 1 1 1 242 490 3 4 3 2 0
17 3 0 0 2 0 1 100 480 2 4 3 2 0
18 3 1 1 1 0 1 180 786 3 4 3 3 0
19 5 1 1 3 1 1 380 480 2 3 3 2 0
20 4 1 1 1 1 1 240 490 3 4 3 2 1
21 3 1 1 1 1 2 184 1000 2 4 3 3 1
22 3 1 0 2 0 3 140 446 2 1 2 2 0
23 5 1 1 1 0 3 400 600 2 4 3 2 0
24 4 1 0 1 0 3 110 270 2 4 3 3 0
25 2 0 0 1 0 3 120 300 2 4 3 1 0
26 2 1 0 1 0 3 150 300 2 4 3 3 0
27 5 1 1 2 0 3 400 750 2 4 3 3 0
28 5 1 0 1 0 3 130 300 2 2 1 1 0
108
29 4 1 1 1 0 3 200 400 2 4 3 3 0
30 4 1 1 2 1 1 244 500 2 4 3 2 0
31 5 1 1 1 1 1 113 300 2 4 3 2 0
32 5 1 1 2 1 1 220 500 4 4 3 2 1
33 5 1 1 1 1 3 92 650 2 4 3 3 0
34 5 1 1 1 0 3 123 300 2 4 3 2 0
35 5 1 0 1 0 3 150 1000 1 2 1 1 0
36 5 1 1 2 1 3 200 400 2 4 4 2 0
37 5 1 0 1 0 3 100 1000 1 1 1 1 0
38 4 1 0 1 0 2 70 490 1 1 1 1 0
39 5 1 0 1 0 3 100 950 2 2 1 1 0
40 5 1 0 1 0 3 80 475 2 2 1 1 0
41 3 0 0 1 0 2 70 600 1 3 3 3 0
42 3 1 1 1 0 2 180 640 2 4 3 3 0
43 2 0 1 2 0 2 70 480 2 4 3 3 0
44 3 1 1 1 0 1 115 250 2 4 3 3 0
45 3 1 1 1 0 1 160 450 2 4 3 3 1
46 3 1 1 2 1 3 325 225 3 4 4 3 0
47 5 1 1 2 0 3 320 450 3 4 4 3 0
48 2 1 0 1 0 2 116 300 2 3 3 2 0
49 5 1 1 3 0 3 180 500 2 4 3 3 0
50 2 1 0 1 0 3 100 800 2 3,5 3 2 0
51 3 1 0 1 0 2 80 390 2 2 3 1 0
casa dormitório
dep.de
empregados lavanderia peças idade aparente valor (R$)
1 2 1 1 8 2 120.000
2 3 1 1 13 2 160.000
3 3 1 1 12 2 110.000
4 2 0 1 7 3 70.000
5 2 0 1 9 3 85.000
6 3 0 1 8 3 100.000
7 4 0 1 10 4 160.000
109
8 3 0 0 5 1 30.000
9 2 0 0 5 3 28.000
10 3 0 0 8 2 35.000
11 4 0 1 9 1 150.000
12 4 0 1 12 1 45.000
13 3 0 0 8 1 30.000
14 2 0 0 6 1 28.000
15 2 1 1 12 4 140.000
16 3 1 1 13 3 130.000
17 3 0 1 8 5 50.000
18 2 1 1 10 3 150.000
19 3 0 1 14 5 150.000
20 2 1 1 11 2 135.000
21 2 1 1 13 3 180.000
22 3 0 1 6 2 40.000
23 5 1 1 14 3 150.000
24 2 0 1 5 4 60.000
25 3 0 1 6 3 15.000
26 3 0 1 6 5 45.000
27 3 0 1 11 3 165.000
28 3 0 0 5 3 95.000
29 3 0 0 9 6 100.000
30 3 1 1 13 6 130.000
31 2 1 0 9 4 90.000
32 3 1 1 15 3 185.000
33 2 0 1 7 5 90.000
34 2 0 1 7 5 15.000
35 2 0 1 7 1 150.000
36 2 1 1 7 2 150.000
37 2 0 1 5 1 140.000
38 2 0 1 5 1 30.000
39 3 0 1 7 1 60.000
40 3 0 1 7 1 45.000
110
41 2 0 0 5 5 30.000
42 2 1 1 10 6 90.000
43 1 0 1 8 5 50.000
44 2 0 1 8 4 70.000
45 2 1 1 9 1 130.000
46 4 1 1 16 6 180.000
47 2 0 0 13 4 290.000
48 3 0 0 6 3 50.000
49 3 0,5 1 12 5 98.000
50 2 0 0 5 4 65.000
51 3 0 1 6 2 40.000
111
APÊNDICE IV - MATRIZ DE DADOS REFERENTE AOS TERRENOS
terreno localização setor comercial pólo frente área do terreno proteção plano inclinado posição pavimentação valor (R$)
1 6 2 1 2 650 3 0 1 1 1 100000
2 2 0 0 3 640 3 1 0 2 1 25000
3 5 0 1 1 500 3 1 0 1 1 43000
4 3 0 1 2 390 3 2 0 1 1 33000
5 5 0 1 3 262 3 2 0 2 1 40000
6 5 2 1 3 1000 3 2 0 1 1 140000
7 4 1 1 3 950 3 2 0 1 1 90000
8 4 0 1 1 475 3 0 1 1 1 38000
9 5 1 1 3 470 3 3 0 2 1 70000
10 6 3 1 1 500 0 3 0 1 1 145000
11 2 0 0 2 420 0 3 0 2 0 15000
12 2 0 0 2 420 0 3 0 1 0 13000
13 3 2 1 3 2000 0 2 0 2 1 100000
14 4 1 1 3 950 3 2 0 1 1 90000
15 6 3 1 3 1000 3 2 0 2 1 250000
16 5 0 1 1 242 0 2 0 1 1 38000
17 6 3 1 3 940 2 3 0 2 1 300000
18 5 0 1 1 500 2 1 0 1 1 47000
19 5 0 1 3 350 0 2 0 2 1 60000
20 5 0 1 1 500 0 0 1 1 1 50000
21 3 0 0 2 336 0 3 0 1 1 15000
22 3 0 1 2 336 0 3 0 1 1 30000
23 4 0 1 2 300 0 2 0 1 1 25000
24 3 0 1 1 450 3 3 0 1 1 30000
112
APÊNDICE V – QUADRO DE PREÇOS PREDECIDOS DE APARTAMENTOS
apartamento valor Avaliação
A_Agrupam Dif.(%) A_Fatorial Dif.(%) A_Simples Dif.(%)
1 130.000,00 139.620,30 -7,40% 142.334,10 -9,49% 132.327,90 -1,79%
2 85.000,00 73.230,46 13,85% 69.097,90 18,71% 80.008,87 5,87%
3 80.000,00 91.097,49 -13,87% 105.933,70 -32,42% 90.129,81 -12,66%
4 115.000,00 162.978,70 -41,72% 132.372,70 -15,11% 147.583,00 -28,33%
5 150.000,00 165.618,90 -10,41% 163.176,50 -8,78% 157.204,80 -4,80%
6 110.000,00 108.145,20 1,69% 121.467,10 -10,42% 89.394,28 18,73%
7 120.000,00 103.441,50 13,80% 147.293,40 -22,74% 156.971,50 -30,81%
8 68.000,00 68.270,63 -0,40% 69.892,33 -2,78% 57.743,62 15,08%
9 40.000,00 34.495,38 13,76% 26.403,62 33,99% 34.817,09 12,96%
10 170.000,00 138.725,60 18,40% 159.508,70 6,17% 160.250,10 5,74%
11 50.000,00 59.842,96 -19,69% 50.407,09 -0,81% 50.000,00 0,00%
12 60.000,00 70.007,96 -16,68% 80.267,51 -33,78% 54.584,42 9,03%
13 93.000,00 94.332,59 -1,43% 89.401,90 3,87% 84.663,29 8,96%
14 250.000,00 216.105,20 13,56% 206.583,00 17,37% 225.102,90 9,96%
15 65.000,00 47.884,77 26,33% 83.912,75 -29,10% 86.226,03 -32,66%
16 65.000,00 68.497,66 -5,38% 58.406,38 10,14% 59.516,79 8,44%
17 71.000,00 68.903,35 2,95% 70.054,15 1,33% 62.539,01 11,92%
18 220.000,00 238.017,00 -8,19% 278.144,20 -26,43% 256.561,30 -16,62%
19 200.000,00 229.705,80 -14,85% 193.097,70 3,45% 183.489,80 8,26%
20 90.000,00 90.232,79 -0,26% 115.127,10 -27,92% 125.127,60 -39,03%
21 140.000,00 145.853,40 -4,18% 150.750,60 -7,68% 159.736,60 -14,10%
22 250.000,00 160.269,20 35,89% 168.790,30 32,48% 177.219,10 29,11%
23 250.000,00 250.538,90 -0,22% 208.643,70 16,54% 236.247,70 5,50%
24 150.000,00 162.987,40 -8,66% 159.246,20 -6,16% 155.352,90 -3,57%
25 120.000,00 143.434,80 -19,53% 148.260,80 -23,55% 141.149,00 -17,62%
26 180.000,00 176.995,20 1,67% 148.774,20 17,35% 163.370,40 9,24%
27 250.000,00 227.360,70 9,06% 234.573,50 6,17% 245.999,50 1,60%
28 180.000,00 177.764,00 1,24% 148.774,20 17,35% 163.370,40 9,24%
29 250.000,00 228.129,50 8,75% 234.573,50 6,17% 245.999,50 1,60%
30 115.000,00 145.532,50 -26,55% 141.209,40 -22,79% 124.130,10 -7,94%
31 120.000,00 136.580,90 -13,82% 128.899,30 -7,42% 132.289,60 -10,24%
32 140.000,00 127.629,30 8,84% 116.589,10 16,72% 140.449,10 -0,32%
33 90.000,00 84.140,32 6,51% 119.424,30 -32,69% 130.124,10 -44,58%
34 65.000,00 77.515,85 -19,26% 72.862,38 -12,10% 57.095,17 12,16%
35 120.000,00 118.181,50 1,52% 117.913,90 1,74% 118.085,70 1,60%
36 210.000,00 221.732,20 -5,59% 231.330,10 -10,16% 195.785,10 6,77%
37 100.000,00 93.798,20 6,20% 103.761,90 -3,76% 100.447,40 -0,45%
38 70.000,00 66.740,97 4,66% 48.566,10 30,62% 48.822,15 30,25%
39 95.000,00 91.840,82 3,33% 61.654,72 35,10% 78.847,79 17,00%
40 30.000,00 36.676,36 -22,25% 37.858,92 -26,20% 39.372,14 -31,24%
41 40.000,00 40.674,19 -1,69% 75.418,86 -88,55% 72.693,41 -81,73%
42 100.000,00 107.639,10 -7,64% 91.639,18 8,36% 99.511,42 0,49%
43 90.000,00 82.785,98 8,02% 81.316,13 9,65% 74.125,76 17,64%
44 110.000,00 123.044,30 -11,86% 103.287,00 6,10% 102.533,60 6,79%
Estatísticas: Grupo1 R
2
= 0.90062 F = 5.4375 p = 0.025266
Grupo2: R
2
= 0.78569 F = 5.8658 p = 0.00094988
A Fatorial R
2
= 0.845 F = 10.1761 p = 1.1396e-007
A Simples R
2
= 0.89329 F = 8.7702 p = 1.8882e-006
113
APÊNDICE VI – QUADRO DE PREÇOS PREDECIDOS DE CASAS
casas Valor Avaliando por opções
n Agrupam. Dif(%) A Fatorial Dif(%) Simples Dif(%)
1 120.000,00 110.594,00 7,84% 113.853,70 5,12% 115.887,50 3,43%
2 160.000,00 165.112,10 -3,20% 163.207,30 -2,00% 163.868,00 -2,42%
3 110.000,00 104.565,00 4,94% 104.270,90 5,21% 109.453,30 0,50%
4 70.000,00 83.244,11 -18,92% 57.014,11 18,55% 68.990,58 1,44%
5 85.000,00 82.956,91 2,40% 106.292,10 -25,05% 92.775,60 -9,15%
6 100.000,00 100.432,40 -0,43% 104.080,60 -4,08% 93.639,03 6,36%
7 160.000,00 153.527,80 4,05% 128.716,00 19,55% 123.567,30 22,77%
8 30.000,00 29.620,70 1,26% 30.117,58 -0,39% 6.944,65 76,85%
9 28.000,00 24.752,10 11,60% 50.731,80 -81,19% 33.394,77 -19,27%
10 35.000,00 38.939,61 -11,26% 36.217,29 -3,48% 45.126,94 -28,93%
11 150.000,00 151.772,10 -1,18% 174.500,10 -16,33% 162.663,40 -8,44%
12 45.000,00 46.174,35 -2,61% 56.274,48 -25,05% 49.576,45 -10,17%
13 30.000,00 29.383,03 2,06% 65.388,98 -117,96% 70.011,60 -133,37%
14 28.000,00 26.780,53 4,36% 55.580,93 -98,50% 49.383,38 -76,37%
15 140.000,00 132.490,30 5,36% 126.013,80 9,99% 145.050,70 -3,61%
16 130.000,00 142.401,60 -9,54% 144.192,00 -10,92% 133.488,70 -2,68%
17 50.000,00 18.330,54 63,34% 56.810,92 -13,62% 21.983,31 56,03%
18 150.000,00 150.006,90 0,00% 136.267,60 9,15% 135.228,30 9,85%
19 150.000,00 164.577,60 -9,72% 174.180,50 -16,12% 175.935,70 -17,29%
20 135.000,00 159.128,00 -17,87% 157.660,00 -16,79% 158.492,30 -17,40%
21 180.000,00 181.586,70 -0,88% 179.143,70 0,48% 182.183,40 -1,21%
22 40.000,00 44.249,19 -10,62% 48.134,95 -20,34% 66.740,72 -66,85%
23 150.000,00 151.414,40 -0,94% 185.436,60 -23,62% 159.611,20 -6,41%
24 60.000,00 62.882,68 -4,80% 52.656,80 12,24% 47.960,57 20,07%
25 15.000,00 15.791,10 -5,27% 23.717,74 -58,12% 3.734,20 75,11%
26 45.000,00 42.827,20 4,83% 27.195,82 39,56% 26.349,99 41,44%
27 165.000,00 164.211,70 0,48% 192.324,10 -16,56% 187.348,60 -13,54%
28 95.000,00 94.460,51 0,57% 30.719,73 67,66% 48.847,10 48,58%
29 100.000,00 127.596,00 -27,60% 91.153,03 8,85% 101.837,50 -1,84%
30 130.000,00 117.345,10 9,73% 126.399,80 2,77% 121.766,50 6,33%
31 90.000,00 90.366,90 -0,41% 100.070,50 -11,19% 98.746,20 -9,72%
32 185.000,00 166.023,60 10,26% 177.669,10 3,96% 184.820,20 0,10%
33 90.000,00 90.626,75 -0,70% 97.081,05 -7,87% 95.427,06 -6,03%
34 15.000,00 15.620,85 -4,14% 72.547,27 -383,65% 75.075,57 -400,50%
35 150.000,00 134.092,50 10,61% 110.897,80 26,07% 113.211,80 24,53%
36 150.000,00 146.523,20 2,32% 131.727,10 12,18% 138.145,40 7,90%
37 140.000,00 149.735,80 -6,95% 92.802,93 33,71% 100.785,00 28,01%
38 30.000,00 12.861,83 57,13% 35.934,48 -19,78% 34.341,63 -14,47%
39 60.000,00 64.173,03 -6,96% 89.826,86 -49,71% 92.107,29 -53,51%
40 45.000,00 51.735,79 -14,97% 50.189,58 -11,53% 47.203,08 -4,90%
41 30.000,00 30.220,23 -0,73% 64.558,87 -115,20% 44.906,37 -49,69%
42 90.000,00 87.620,67 2,64% 107.719,00 -19,69% 111.957,20 -24,40%
43 50.000,00 50.693,19 -1,39% 55.709,54 -11,42% 47.597,98 4,80%
44 70.000,00 67.648,81 3,36% 58.913,22 15,84% 42.390,55 39,44%
45 130.000,00 139.631,10 -7,41% 121.947,70 6,19% 104.504,20 19,61%
46 180.000,00 178.216,50 0,99% 141.623,20 21,32% 152.411,00 15,33%
47 290.000,00 243.132,70 16,16% 194.438,90 32,95% 226.028,60 22,06%
48 50.000,00 51.443,33 -2,89% 34.171,09 31,66% 47.394,97 5,21%
114
49 98.000,00 139.043,20 -41,88% 123.253,40 -25,77% 126.771,80 -29,36%
50 65.000,00 65.899,25 -1,38% 61.383,24 5,56% 98.377,96 -51,35%
51 40.000,00 41.536,25 -3,84% 46.411,45 -16,03% 49.954,79 -24,89%
Estatísticas
grupo1 R
2
= 0.99675 F = 30.7138 p = 0.13959
grupo 2 R
2
= 0.91233 F = 14.5695 p = 9.5501e-006
grupo 3 R
2
= 0.95092 F = 3.8749 p = 0.36694
grupo 4 R
2
= 0.99938 F = 321.2337 p = 0.04233
A Fatorial R
2
= 0.78469 F = 14.5778 p = 1.9472e-010
A Simples R
2
= 0.8366 F = 9.1021 p = 5.0106e-008
115
APÊNDICE VII – QUADRO DE PREÇOS PREDECIDOS DE TERRENOS
terreno preço Avaliação por opções
n agrupamento Dif.(%) A Fatorial Dif.(%) A Simples Dif.(%)
1 100.000,00 103.178,10 -3,18% 148.873,60 -48,87% 141.191,40 -41,19%
2 25.000,00 24.905,15 0,38% 27.449,32 -9,80% 23.433,55 6,27%
3 43.000,00 48.369,13 -12,49% 28.653,89 33,36% 45.305,46 -5,36%
4 33.000,00 28.632,82 13,23% 34.573,59 -4,77% 21.449,89 35,00%
5 40.000,00 37.169,79 7,08% 58.727,13 -46,82% 67.777,74 -69,44%
6 140.000,00 140.000,00 0,00% 151.669,00 -8,34% 145.660,40 -4,04%
7 90.000,00 90.000,00 0,00% 94.309,39 -4,79% 87.205,11 3,11%
8 38.000,00 34.325,81 9,67% 24.052,34 36,70% 21.817,83 42,58%
9 70.000,00 77.048,69 -10,07% 109.140,50 -55,92% 118.710,70 -69,59%
10 145.000,00 140.033,70 3,43% 192.995,10 -33,10% 188.357,90 -29,90%
11 15.000,00 19.406,38 -29,38% 11.801,99 21,32% 22.079,11 -47,19%
12 13.000,00 8.133,56 37,43% 8.011,58 38,37% 5.920,89 54,45%
13 100.000,00 100.000,00 0,00% 128.921,60 -28,92% 130.887,20 -30,89%
14 90.000,00 90.000,00 0,00% 94.309,39 -4,79% 87.205,11 3,11%
15 250.000,00 250.000,00 0,00% 213.707,10 14,52% 219.718,00 12,11%
16 38.000,00 41.672,51 -9,66% 30.302,31 20,26% 36.052,28 5,13%
17 300.000,00 300.000,00 0,00% 213.253,30 28,92% 220.724,50 26,43%
18 47.000,00 42.870,81 8,79% 27.946,71 40,54% 41.276,45 12,18%
19 60.000,00 51.262,84 14,56% 55.042,66 8,26% 56.669,23 5,55%
20 50.000,00 51.225,11 -2,45% 24.814,66 50,37% 24.990,80 50,02%
21 15.000,00 15.444,18 -2,96% 17.205,92 -14,71% 16.566,45 -10,44%
22 30.000,00 34.402,67 -14,68% 32.598,87 -8,66% 14.465,10 51,78%
23 25.000,00 31.039,01 -24,16% 37.378,36 -49,51% 23.344,11 6,62%
24 30.000,00 27.879,77 7,07% 21.261,69 29,13% 26.190,86 12,70%
Estatísticas
Grupo 1 R
2
= 0.97995 F = 34.208 p = 5.391e-005
Grupo 2 R
2
= 1 F = NaN p = NaN
A Fatorial
R
2
= 0.84911 F = 20.2585 p = 8.0357e-007
A Simples
R
2
= 0.8643 F = 8.2799 p = 0.00037022
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