( PDF ) Avaliação de empresas em condição de incerteza

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PONTIF

ICIA UNIVERSIDADE CAT

OLICA DE S

AO PAULO

PUC-SP

Amaury de Souza Amaral

AVALIAC¸

AO DE EMPRESAS EM CONDIC¸

AO DE INCERTEZA

MESTRADO EM CI

ENCIAS CONT

ABEIS

ao Paulo

2008

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PONTIF

ICIA UNIVERSIDADE CAT

OLICA DE S

AO PAULO

PUC-SP

Amaury de Souza Amaral

AVALIAC¸

AO DE EMPRESAS EM CONDIC¸

AO DE INCERTEZA

Dissertac¸

ao apresentada

a Banca Exami-

nadora da Pontif´ıcia Universidade Cat

olica

de S

ao Paulo, como requisito parcial para

obtenc¸

ao do t´ıtulo de Mestre em Contabili-

dade e Financ¸as.

Orientador: Prof. Dr. S

ERGIO DE IUD

ICIBUS

ao Paulo

2008

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BANCA EXAMINADORA

Autorizo, exclusivamente para fins acad

emicos e cient´ıficos, a reproduc¸

ao total ou parcial

desta dissertac¸

ao por processos de fotocopiadora ou eletr

onicos.

, , / /

DEDICAT

ORIA

Dedico este trabalho

a minha fam´ılia,

base de tudo,pelo permanente apoio.

Agradecimentos

Agradec¸o

a Banca na pessoa dos Professores Doutores S

ergio de Iud´ıcibus, Edmundo

Eboli Bonini e Neusa Maria Bastos Fernandes Santos.

Agradec¸o

a turma do mestrado da PUC de S

ao Paulo, que cursaram comigo nestes

anos, em especial ao amigo Lorivaldo Lopes da Silva pelas suas considerac¸

oes.

Agradec¸o tamb

em aos professores Edison Castilho, Vladimir Belitsky, Roberto Henrique

Schonmann, Humberto de Menezes Franc¸a e, ainda, aos colaboradores Rodrigo de Paula,

Lacir Favorito, Antonio Caio Barbosa e Walter Vicente Fernandes.

E, sobretudo, um agradecimento especial ao Professor Doutor S

ergio de Iud´ıcibus, pela

orientac¸

ao e paci

encia dedicadas

a realizac¸

ao deste trabalho, sem as quais o resultado

obtido nunca seria alcanc¸ado.

Resumo

Este trabalho apresenta as diversas formas de avaliac¸

ao de empresas em diferentes abor-

dagens, dentre elas os modelos baseados em fluxos de caixa livre descontados, mode-

los baseados no EVA at

e chegar a teorias mais recentes como a teoria de precificac¸

ao de

opc¸

oes aplicadas

a avaliac¸

ao de patrim

onio l´ıquido.

Acredita-se ser esta

ultima teoria a que mais se aproxima e melhor quantifica o valor de

uma entidade. Parte-se da premissa de que o valor da empresa pode ser obtido pelo valor

de mercado da d´ıvida e do patrim

onio l´ıquido que acumuladamente podem ser negociados.

O trabalho tamb

em apresenta modelos desenvolvidos por Arzac (2005), que versam

sobre avaliac¸

ao de empreendimentos com formulac¸

ao em tempo cont´ınuo, em que a receita

e tratada como o ativo subjacente da teoria das opc¸

oes que possibilita a construc¸

ao de uma

carteira replicante (com a mesma l

ogica do modelo de Black-Scholes). A receita apresenta

um comportamento aleat

orio representado por um movimento browniano, que fornece uma

representac¸

ao razo

avel do comportamento da receita. Al

em disso,

e avaliado o melhor

momento de entrada em um neg

ocio, estabelecendo-se qual o valor da receita a partir da

qual

e seguro a realizac¸

ao do investimento. Em seguida,

e determinado o valor da entidade

considerando-se a possibilidade de entrar em um neg

ocio e sair dele, caso o desempenho da

receita n

ao seja satisfat

orio, incluindo-se ainda a possibilidade de re-entrada. E finalmente

a avaliac¸

ao de empresas com possibilidade de expans

ao atrav

es de novos investimentos.

Dessa forma,

e proposta uma nova abordagem de avaliac¸

ao de empreendimentos em

condic¸

oes de incerteza, inspirada nas teorias de minimizac¸

ao de risco propostas por Bou-

chaud e Potters (2003), em que as avaliac¸

oes das trajet

orias das receitas ir

ao influenciar

diretamente as opc¸

oes de entrada em um empreendimento.

O estudo, que utiliza a abordagem matem

atica de Arzac (formulac¸

ao em tempo cont´ınuo,

construc¸

ao de carteiras replicantes, etc.), prop

oe uma medida de risco menos intuitiva ba-

seada no comportamento do passado recente, transformando o processo aleat

orio do valor

da receita da empresa (ativo de risco) em um processo que se baseie em tend

encias futuras

de valores desta receita de forma probabil´ıstica e dependentes de uma trajet

oria.

Palavras chave: avaliac¸

ao de empresas, incertezas, minimizac¸

ao de riscos, opc¸

oes reais,

processos estoc

asticos.

Abstract

In this work, one presents different enterprise valuation models and approaches, like the

discounted free cash flow, the EVA model and all the way up to more recent option pricing

theory of applied equity capital valuation.

This last theory (options pricing theory) is believed to be the best theory that better qual-

ifies the value of an enterprise. It is based on the premises that the enterprise value can be

based on the debt market value and the equity capital where the accumulated amounts can

be negotiated.

This project presents models developed by Arzac (2005) about enterprise valuation

in continuous -time formulation, regarding the revenue as an underlying asset of the option

theory, where a hedged portfolio is built (with the same logic as the Black-Scholes model).

The revenue presents stochastic behavior, represented by a brownian motion, providing rea-

sonable representation of the revenues behavior. Furthermore, the best moment to enter in

a firm is evaluated, establishing the revenue value that makes safe realize an investment.

After that, the enterprise value is determined in that case that the possibility to enter and exit

the firm is considered when the revenue is not satisfactory. The possibility of re-entering the

firm is also possible. At last, is presented the enterprise valuation with expansion possibility

through new investments.

Thus, a new approach to valuation of companies in uncertainty conditions is proposed,

based on risk minimization theory of Bouchaud & Potters (2003), in that the revenue trajectory

will directly influence the enterprise entry options.

The study, that uses Arzac's mathematical approach (continuous-time formulation, build-

ing of riskless portfolio, etc.), proposes a less intuitive risk measurement based on recent

past behavior, transforming the random process of the revenue (risk asset) in a process

based on future tendencies of revenue in a probabilistic way and trajectory dependents.

Key words: valuation, uncertainty, risk minimization, real options, stochastic processes.

Sum

ario

Lista de tabelas 13

Lista de gr

aficos 13

Nomenclatura 14

1 Avaliac¸

ao de investimentos com grau de incerteza 20

1.1 Introduc¸

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2 Definic¸

ao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Justificativa do tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.1 Procedimentos metodol

ogicos da pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Valuation - m

etodos de precificac¸

ao de empresas 26

2.1 Introduc¸

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Precificac¸

ao de ac¸

oes e o princ

ipio fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Interpretac¸

ao econ

omica do princ

ipio fundamental . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Interpretac¸

oes alternativas do princ

ipio fundamental . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.1 Abordagem por oportunidade de investimentos . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.2 Fluxos de caixa descontados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.3 Pagamento de dividendos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5 Equival

encia matem

atica entre as teorias alternativas de avaliac¸

ao . . . . . . 31

2.5.1 A abordagem por oportunidades de investimento . . . . . . . . . . . . 31

2.5.2 Equival

encia matem

atica para a abordagem de lucros . . . . . . . . . 33

2.5.3 Abordagem pelo pagamento de dividendos . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.4 Abordagem pelo fluxo de caixa descontado . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6 Conclus

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 M

etodos de determinac¸

ao do valor de uma empresa alinhados ao princ

ipio

fundamental 36

3.1 Introduc¸

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 O fluxo de caixa livre (FCL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Taxa de desconto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4 Definic¸

ao do CMePC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5 Determinando o valor de uma empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.6 Abordagem por fluxo de caixa descontado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6.1 Modelos de avaliac¸

ao pela abordagem do fluxo de caixa livre . . . . . 42

3.7 Casos particulares na abordagem por fluxo de caixa descontado . . . . . . . 48

3.7.1 Empresas c

iclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.7.2 Empresas em dificuldades financeiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.8 Modelo do valor presente dos dividendos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.8.1 Modelo de dividendos em dois est

agios . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.8.2 O modelo H para a avaliac¸

ao do crescimento . . . . . . . . . . . . . . 51

3.8.3 Modelo de desconto de dividendos (MDD) em tr

es est

agios . . . . . . 53

3.9 Modelo baseado no P /L (

indice Prec¸o/Lucro) de ac¸

oes similares . . . . . . . 54

3.10 Metodologia do valor presente ajustado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.11 Valor de uma empresa em termos de goodwill . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.12 Conclus

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 M

etodos de determinac¸

ao do valor de uma empresa n

ao associados ao princ

ipio

fundamental 59

4.1 Introduc¸

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Modelo de avaliac¸

ao cont

abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Modelo de avaliac¸

ao patrimonial pelo mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4 Modelo de capitalizac¸

ao de lucros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.5 Modelo dos m

ultiplos de faturamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.6 Modelo dos m

ultiplos de fluxo de caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.7 Modelos baseados no EVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.8 Conclus

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Teoria de precificac¸

ao de opc¸

oes aplicadas

a avaliac¸

ao de patrim

onio l

iquido 65

5.1 Introduc¸

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Definindo uma opc¸

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2.1 Opc¸

oes de compra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2.2 Opc¸

oes de venda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Determinantes do valor de uma opc¸

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.4 Modelos de precificac¸

ao de opc¸

oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4.1 Modelo binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4.2 Modelo de Black e Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.5 Aplicac¸

ao da teoria de precificac¸

ao de opc¸

oes ao patrim

onio l

iquido . . . . . 71

5.5.1 Cuidados a serem tomados na aplicac¸

ao de modelos de precificac¸

de opc¸

oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.5.2 Avaliando o patrim

onio l

iquido como opc¸

ao . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.5.3 Implicac¸

oes em focalizar o patrim

onio L

iquido como opc¸

ao de compra 74

5.6 Obtendo dados de entrada para precificac¸

ao de opc¸

oes; alguns problemas

do mundo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.6.1 Aplicabilidade em avaliac¸

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.7 Conclus

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6 Processos estoc

asticos 78

6.1 Introduc¸

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.2 Express

ao anal

itica de um processo estoc

astico . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.3 Exemplos de processos estoc

asticos definidos por equac¸

oes . . . . . . . . . 80

6.4 Processo de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.5 Processo de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.5.1 Propriedades do processo de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.6 Movimento Browniano aritm

etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.6.1 Propriedades do Movimento Browniano Aritm

etico . . . . . . . . . . . 83

6.6.2 Intervalos de confianc¸a para o Movimento Browniano Aritm

etico . . . 84

6.7 Movimento Browniano Geom

etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.8 Integrais estoc

asticas e processos de difus

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.9 Apresentac¸

ao do Lema de Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.9.1 Aplicac¸

ao do Lema de Ito ao estudo do Movimento Browniano Geo-

etrico (MBG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.9.2 Intervalos de confianc¸a do Movimento Browniano Geom

etrico . . . . 87

6.10 Conclus

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7 Opc¸

oes de entrada e sa

ida 89

7.1 Introduc¸

ao: a busca de maximizac¸

ao de lucros em longo prazo . . . . . . . . 89

7.2 Modelo de tempo cont

inuo para fluxo de caixa livre . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.3 Formulac¸

ao de avaliac¸

ao de empresas em tempo cont

inuo . . . . . . . . . . 94

7.4 Avaliac¸

ao de um empreendimento em tempo cont

inuo . . . . . . . . . . . . . 94

7.5 Avaliac¸

ao de opc¸

oes de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.6 Opc¸

oes de entrada e sa

ida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.7 Avaliando investimentos iniciais a opc¸

oes de crescimento . . . . . . . . . . . 99

7.8 Avaliando investimentos iniciais e opc¸

oes de expans

ao . . . . . . . . . . . . 100

7.9 Deduzindo custos incertos em investimentos iniciais . . . . . . . . . . . . . . 104

7.10 Conclus

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8 A escolha racional versus motivac¸

oes de ingresso em neg

ocios (um processo

de julgamento individual) 107

8.1 Os objetivos de longo prazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.2 O desenvolvimento da empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.3 O desempenho hist

orico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.4 Conclus

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9 Avaliac¸

ao de empreendimentos em condic¸

ao de incerteza 114

9.1 Introduc¸

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.2 Avaliac¸

ao de riscos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.2.1 Balanc¸o financeiro geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

9.2.2 Balanc¸o financeiro geral de opc¸

oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9.2.3 Ancoragem est

atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.3 An

alise de risco na antecipac¸

ao de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9.3.1 Condic¸

oes para aplicac¸

ao da ancoragem est

atica na avaliac¸

ao de ris-

cos em antecipac¸

ao de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.3.2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.3.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.4 Avaliac¸

ao de empreendimentos em condic¸

ao de incerteza . . . . . . . . . . . 127

9.5 C

alculo do valor de uma opc¸

ao real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.6 Generalizac¸

ao de avaliac¸

ao de empreendimentos em condic¸

ao de incerteza 131

9.7 Conclus

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Conclus

ao 133

endice 134

A.1 Lema de Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

A.2 Avaliac¸

ao de uma empresa em marcha em tempo cont

inuo . . . . . . . . . . 134

A.3 Avaliac¸

ao da opc¸

ao de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

A.4 Opc¸

oes de entrada e sa

ida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

A.5 Avaliac¸

ao do investimento inicial e opc¸

ao de expans

ao . . . . . . . . . . . . 139

A.6 Opc¸

ao de investimento inicial e custos incertos . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A.7 Ancoragem est

atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

A.8 Valor da empresa em condic¸

ao de incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

A.9 Func¸

ao erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Refer

encias 146

Lista de tabelas

Tabela 1 Comparac¸

ao entre valor das ac¸

oes e valor da empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Tabela 2 Exemplo de valores e par

ametros de uma empresa em func¸

ao do n´ıvel de endi-

vidamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Tabela 3 Modelo de avaliac¸

ao patrimonial pelo mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Tabela 4 Exemplo para aplicac¸

ao do modelo dos m

ultiplos de caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Tabela 5 Resultado do exemplo do modelo dos m

ultiplos de caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

Tabela 6 Exemplo de valores cr´ıticos de receita para a realizac¸

ao de investimentos re-

manescentes: caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Tabela 7 Exemplo de valores cr´ıticos de receita para a realizac¸

ao de investimentos re-

manescentes: caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Tabela 8 Exemplo de valores cr´ıticos de receita para a realizac¸

ao de investimentos re-

manescentes: caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Tabela 9 Exemplo de receitas m

es a m

es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Tabela 10 Exemplo do c

alculo de vari

ancia m

es a m

es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

Tabela 11 Exemplo do c

alculo de φ

∗

es a m

es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

Tabela 12 Exemplo da evoluc¸

ao da vari

ancia de φ

∗

es a m

es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Tabela 13 Valores da func¸

ao erro (erf x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Lista de gr

aficos

afico 1 Exemplo do valor de uma empresa e de seu CMePC em func¸

ao do n´ıvel de

endividamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

afico 2 Modelo H de desconto de dividendos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

afico 3 Modelo de desconto de dividendos em tr

es est

agios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

afico 4 Diagrama de retorno de uma opc¸

ao de compra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

afico 5 Diagrama de pagamento da opc¸

ao de venda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

afico 6 Modelo binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

afico 7 Diagrama do retorno l´ıquido sobre patrim

onio l´ıquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

afico 8 Exemplo da evoluc¸

ao de φ

∗

ao longo do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

afico 9 Exemplo da evoluc¸

ao da vari

ancia de φ

∗

ao longo do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Nomenclatura

Cap´ıtulo 1

V (R) - Valor da empresa em func¸

ao da receita presente

I - Investimento para aquisic¸

ao da empresa

F (R) - Valor da opc¸

ao de entrada

V P L - Valor presente l´ıquido da empresa

∗

- quantidade de ac¸

oes (em porcentagem) utilizadas para ancoragem (hedge)

- prec¸o de exerc´ıcio da ac¸

ao x

- prec¸o da ac¸

ao x em t = 0

P (x, N |x

, 0) - Probabilidade de x em t = N τ a partir do instante t = 0

N - instante de maturidade da opc¸

ao de compra

τ - intervalo de tempo m´ınimo (dias, horas, etc...)

R - Receita

- Receita m´ınima para realizac¸

ao do investimento

- Receita no instante t = N τ

P (R, N|R

, 0) - Probabilidade da receita R em t = N τ a partir de R

no instante t = 0

Cap´ıtulo 2

= prec¸o da ac¸

ao no in´ıcio do ano t

= n

umero de ac¸

oes dispon´ıveis no in´ıcio do ano t

ΔN

= N

t+1

− N

= mudanc¸a no n

umero de ac¸

oes dispon´ıveis durante o ano t; todas as

novas aquisic¸

oes (ou retenc¸

oes) s

ao assumidas ocorridas no final do ano t, a um prec¸o

t+1

= N

= valor total das ac¸

oes dispon´ıveis no in´ıcio do ano t

= dividendos pagos por ac¸

ao para o ano t, pag

aveis ao final do ano



= N

= total de dividendos para o ano t, pagos ao final do ano

k = taxa de retorno requisitado pelos investidores, ou custo de eq

uidade de capital para a

firma



= variac¸

ao do montante total de recursos durante o ano t, ou investimento l´ıquido durante

o ano t;

e assumido que todas as mudanc¸as ocorrem no final do ano t



= Lucros l´ıquidos durante o ano t, assumindo que todos os lucros s

ao recebidos no final

do ano t

= I



= investimento l´ıquido por ac¸

ao durante o ano t

k = taxa de retorno de todas as ac¸

oes

= valor total de mercado das ac¸

oes no in´ıcio do ano t

t+1

= valor total de mercado das ac¸

oes no in´ıcio do ano t + 1

b = frac¸

ao do lucro investida a cada ano

r = taxa de retorno do investimento de b, a cada ano

Cap´ıtulo 3

FCL = Fluxo de caixa livre

(EBIT) = Lucro antes dos juros e tributos sobre o lucro

(EBITIDA) = Lucro antes dos juros, tributos sobre os lucros, depreciac¸

ao, amortizac¸

ao e

exaust

FCFE - Fluxo de caixa livre para o acionista

CMePC - Custo m

edio ponderado de capital

- custo do capital pr

oprio: representa o risco de um investimento em ac¸

oes na empresa.

Pode ser calculado pelos modelos padr

ao de risco e retorno, que convertem a medida

de risco em um retorno esperado

- custo da d´ıvida: reflete o risco de n

ao pagamento da empresa e a vantagem em impos-

tos associada

a d´ıvida

P S

- custo das ac¸

oes preferenciais: refere-se ao dividendo principal e

a aus

encia de de-

dutibilidade de impostos;

CP - valor de mercado do capital pr

oprio

MD - valor de mercado da d´ıvida

P S - valor de mercado das ac¸

oes preferenciais

FCP

= Fluxo de caixa capital pr

oprio esperado para o per´ıodo t

FCL

= Fluxo de caixa livre do

ultimo de projec¸

k = custo do capital pr

oprio;

g = taxa de crescimento perp

etua

= beta n

ao alavancado para a empresa

atual

= beta do patrim

onio atual da empresa

τ = percentual de impostos da empresa

MD/CP = coeficiente atual de endividamento/patrim

onio (em termos de valor de mercado)

alavancado

= beta patrimonial em vista da nova alavancagem

= custo do patrim

onio

CP (r

) = retorno esperado com base no ´ındice de mercado

= taxa atual livre de risco

= custo n

ao alavancado do capital social

= custo do endividamento

T = al´ıquota tribut

aria marginal sobre as despesas com juros

B = valor de mercado do endividamento

S = valor de mercado do capital social

j = taxa desejada de retorno

G = valor presente do goodwill

Cap´ıtulo 4

EVA = valor econ

omico adicionado (Economic Value Added)

Nopat = resultado operacional l´ıquido depois dos impostos (Net Operating Profit After Taxes)

C% = custo percentual do capital total (pr

oprio e de terceiros)

TC = capital total investido

Cap´ıtulo 5

S - prec¸o da ac¸

ao na maturidade da opc¸

K - prec¸o de exerc´ıcio da opc¸

ao de compra

- prec¸o superior da ac¸

ao no instante seguinte

- prec¸o inferior da ac¸

ao no instante seguinte

- valor da opc¸

ao de compra se o prec¸o da ac¸

ao for S

- valor da opc¸

ao de compra se o prec¸o da c¸

ao for S

Δ - n

umero de unidades do ativo subjacente adquiridas

t = vida remanescente at

e a vida da opc¸

= taxa de juros livre de risco correspondente

a vida da opc¸

= vari

ancia do logaritmo neperiano (ln) do valor do ativo subjacente

N(d

), N(d

) = estimativas das func¸

oes cumulativas da distribuic¸

ao normal

V = valor da empresa

D = valor de face da d´ıvida pendente

Cap´ıtulo 6

- valor esperado da vari

avel aleat

oria x no instante t

- multiplicador aleat

orio de que segue uma distribuic¸

ao de probabilidades

N(0, 1) - distribuic¸

ao normal de probabilidades com m

edia 0 e vari

ancia igual a 1

µ - multiplicador a cada intervalo Δt da vari

avel x aleat

oria que fornece o valor esperado de

Δz - Processo de Wiener (Δz = ɛ

√

Δt)

σ - Desvio-padr

ao da vari

avel aleat

oria

E(Δx) - Valor esperado da variac¸

ao Δx

T - Instante de tempo t = T a partir de t = 0

Cap´ıtulo 7

Y - Fluxo de caixa livre

R - Receita

τ - taxa de imposto da empresa

- taxa de risco zero em tempo cont´ınuo

- taxa de endividamento da empresa

k - custo do patrim

onio l´ıquido da empresa

ω - custo m

edio ponderado de capital (CMePC) em tempo cont´ınuo.

a - custo fixo

b - margem de lucro

α - taxa de crescimento esperada da receita

σ - desvio-padr

ao da receita

V (R) - Valor de uma empresa em func¸

ao de sua receita

- fluxo de caixa livre esperado de risco omitido que tem o mesmo valor de a.

g - taxa de crescimento em tempo discreto

- custo real de d

ebito em tempo discreto

I - custo de aquisic¸

ao ou investimento

F (R) - valor da opc¸

ao de entrada

- Receita ideal de entrada no neg

ocio

- Receita limite de sa´ıda

E - custos de sa´ıda da empresa

K - Investimento

ν - par

ametro da equac¸

ao (7.18) fornecido pela equac¸

ao (7.19)

Cap´ıtulo 9

T - instante futuro.

τ - intervalo de tempo m´ınimo (dia, hora, etc...)

N - n

umero natural que identifica a data final do contrato futuro

F - prec¸o do contrato futuro

x(T ) - valor da ac¸

ao no instante t = T

ΔW

- balanc¸o de ganhos do contrato futuro.

- prec¸o do contrato futuro de Bachelier

P (x, N |x

, 0) - probabilidade do valor de x em T quando em t = 0, x = x

r - taxa de juros livre de risco por unidade de tempo

φ - quantidade de ativos para ancoragem (hedge)

- riqueza no instante n

- capital aplicado livre de risco no instante n

ρ - taxa de juros livre de risco (ρ = rτ )

C - pr

emio pago pelo contrato futuro (C = F )

- desvio quadrado m

edio do ganho do contrato futuro (vari

ancia)

D - vari

ancia de x por unidade de tempo

VPL - valor presente l´ıquido

- valor da receita no instante i

- taxa de risco zero em tempo cont´ınuo

- taxa de endividamento da empresa

ω - custo m

edio ponderado de capital (CMePC) em tempo cont´ınuo

Y - fluxo de caixa livre

a - custo fixo

b - margem de lucro

α - taxa de crescimento esperada da receita

σ - desvio-padr

ao da receita (volatilidade)

erf x - func¸

ao erro de x

p - prec¸o do petr

oleo (vari

avel cont´ınua e estoc

astica)

q -

oleo retirado a fluxo constante

K - quantidade de

oleo do poc¸o de petr

oleo

- desvio padr

ao da quantidade de

oleo no poc¸o

- desvio-padr

ao do tempo de explorac¸

ao do poc¸o.

P (T ) - distribuic¸

ao de probabilidades do tempo T de exaust

ao do poc¸o

T - tempo m

edio esperado de exaust

ao do poc¸o

I - Investimento para a exaust

ao do poc¸o de

oleo

- prec¸o do barril de

oleo no mercado futuro no instante T

- prec¸o de exerc´ıcio da opc¸

ao de compra do barril de

oleo no mercado futuro

K - valor esperado da quantidade total de

oleo do poc¸o

) - custo da opc¸

ao de compra de 1 barril de

oleo no mercado futuro com prec¸o de

exerc´ıcio P

- retorno no intante T de maturac¸

ao da opc¸

ao de compra do barril no mercado futuro

- retorno da opc¸

ao de compra do poc¸o de petr

oleo em T

λ - prec¸o de risco estipulado pelo mercado

V (p) - valor do empreendimento em func¸

ao do prec¸o do barril de petr

oleo

(p) - valor do empreendimento visto pelo mercado

CAP

ITULO 1

AVALIAC¸

AO DE INVESTIMENTOS COM GRAU DE

INCERTEZA

1.1 Introduc¸

Incertezas est

ao relacionadas

a confianc¸a do empres

ario em suas expectativas e estimati-

vas. J

a o risco se refere ao resultado de uma ac¸

ao e as poss´ıveis perdas derivadas desta

ac¸

ao.

Quando ocorrem trocas de ativos, a ac¸

ao destes riscos acontecem e as projec¸

oes, os

empres

arios e investidores n

ao sabem qu

ao pr

oximo a entidade possa estar de uma linha

entre continuidade e descontinuidade, uma vez que o mercado, o seu produto e adminis-

tradores podem influenciar a continuidade da mesma. Al

em disto, os ativos trocados no

futuro, n

ao necessariamente apresentar

ao os mesmos benef´ıcios gerados no seu passado,

proporcionando ao investidor esta incerteza quanto

a realizac¸

ao empreendimento.

Para avaliar uma empresa, independente do motivo da avaliac¸

e necess

ario definir e

determinar um valor de cada bem e principalmente o `goodwill'. Este `goodwill' pode ser

determinado de v

arias maneiras como veremos no decorrer deste trabalho. Define-se neste

trabalho o investidor como um observador capaz de fornecer e evidenciar um valor de uma

entidade em continuidade e descontinuidade.

Conceitualmente sabe-se que o chamado `lucro' transforma-se em caixa positivo em al-

gum momento, ainda que haja fatores de ordem econ

omica afetando este `lucro'. O lucro

est

a intrinsecamente ligado

a gerac¸

ao de neg

ocios vinculados ao conhecimento da empresa.

Portanto, definir o valor da empresa

e definir sua capacidade de gerac¸

ao de `neg

ocio', in-

dependentemente do lucro imediato.

Os empres

arios, por trabalharem em seus balanc¸os cont

abeis com o princ´ıpio do custo

como base de valor, precisam avaliar o valor real da entidade de tempos em tempos. De-

corre tal fato, no dizer do professor Iud´ıcibus (Iud´ıcibus, 2004):

``... a avaliac¸

ao conservadora, baseada no custo original, falha, nos demonstrativos financeiros,

como elementos preditivos de tend

encias futuras para os usu

arios externos.''. (Iud´ıcibus)

Segundo Dixit e Pindyck (1994) a decis

ao de se realizar ou n

ao um investimento

em qualquer empreendimento considera duas caracter´ısticas importantes: (1

) a irre-

versibilidade, ou seja, o fato de que o investimento

e um custo afundado, de modo que o

investidor n

ao consegue recuper

a-lo totalmente em caso de arrependimento (na maioria dos

casos); (2

) a possibilidade de adiamento da decis

ao de investir.

Tais caracter´ısticas, juntamente com a incerteza sobre o futuro, fazem com que a opor-

tunidade de investimento seja an

aloga a uma opc¸

ao financeira. Na presenc¸a de incerteza,

uma firma, com uma oportunidade de investimento irrevers´ıvel, carrega uma opc¸

ao, ou seja,

tem o direito - mas n

ao a obrigac¸

ao - de comprar um ativo (o projeto) no futuro, a um prec¸o

de exerc´ıcio (o investimento). Quando a empresa aplica, exerce esta opc¸

ao de investir. Este

valor pode ser bastante elevado, e regras de investimentos que o ignoram, como VPL e TIR,

podem conduzir a erros significativos.

A possibilidade de adiamento do investimento em muitos casos

e fact´ıvel. Os benef´ıcios

de se esperar novas informac¸

oes para subsidiar a decis

ao de investir podem ser grandes o

suficiente para justificar adiamentos. Mas nem sempre isso

e poss´ıvel. Considerac¸

oes es-

trat

egicas podem forc¸ar os investidores a antecipar investimentos para inibir o crescimento

dos competidores efetivos ou a entrada de competidores potenciais na ind

ustria. S

ao estes

casos de impossibilidade de adiamento em condic¸

oes de incerteza que este trabalho pre-

tende focar.

Quando em um investimento n

ao existir a opc¸

ao de se adiar a entrada, a decis

ao de

investir ser

a positiva se o valor presente V (R) do empreendimento exceder os custos de

aquisic¸

ao e/ou investimento. Este n

ao ser

a necessariamente o caso quando for poss´ıvel o

adiamento da decis

ao.

Arzac (2005) prop

oe uma abordagem matem

atica para o c

alculo do valor da opc¸

ao de

entrada. Nesta abordagem, o valor de um empreendimento

e calculado pelo processo de

Ito, em func¸

ao de sua receita gerada, descrita por um movimento geom

etrico browniano ao

longo do tempo.

A decis

ao de adiar ou iniciar imediatamente o empreendimento

e feita da seguinte forma:

considere o custo de aquisic¸

ao de um empreendimento como sendo $I e seu valor presente

como sendo V (R). O m

etodo de an

alise do Valor Presente L´ıquido diz que o empreendi-

mento deve ser iniciado se V (R) > I.

Como a receita descreve um processo aleat

orio,

e poss´ıvel que no futuro o valor V (R)

caia, de forma que o VPL em um dado instante passa a ser negativo. Neste caso, o melhor

e aguardar que a receita atinja um valor R

tal que este risco seja minimizado. O valor de R

e calculado atrav

es do valor da opc¸

ao de entrada F (R). De acordo com a teoria, a entrada

no empreendimento

e ideal quando V (R) > I + F (R). Ent

ao R

ser

a o valor em que V (R

)

e igual a I +F (R). Os m

etodos de c

alculo de V (R) e F (R) s

ao mostrados em Arzac (2005).

Desta forma, se o valor presente V (R) for menor que I + F (R), a teoria diz que o melhor

e adiar a entrada no neg

ocio at

e que a receita atinja um certo valor R

1.2 Definic¸

ao do problema

Incertezas nas informac¸

oes sobre o empreendimento podem gerar dificuldades na aplicac¸

de regras objetivas de decis

ao de investimentos. Por exemplo, se a taxa de crescimento

das receitas de um empreendimento for incerta, o valor deste empreendimento torna-se

tamb

em incerto, j

a que o valor da empresa

e extremamente sens´ıvel ao valor desta taxa.

Pequenas variac¸

oes na taxa de crescimento esperada provocam variac¸

oes extremamente

significativas no valor da firma.

em disso, condic¸

oes externas ao empreendimento tamb

em podem influenciar o valor

deste empreendimento para o mercado. Incertezas sobre o futuro a economia, expectativas

de recess

ao, etc., tamb

em podem afetar o valor de um neg

ocio.

O problema ent

ao passa a ser a determinac¸

ao do valor de empreendimentos em condi-

c¸

oes de incerteza.

1.3 Objetivo

Muitas vezes, o investidor precisa entrar rapidamente em um neg

ocio. Considerac¸

oes es-

trat

egicas podem forc¸ar os investidores a antecipar investimentos para inibir o crescimento

dos competidores efetivos ou a entrada de competidores potenciais na ind

ustria. Nesses

casos, a entrada no neg

ocio

e realizada se o VPL (Valor Presente L´ıquido) da empresa for

maior que o valor a ser investido. Entretanto, incertezas sobre certos par

ametros da em-

presa podem dificultar a determinac¸

ao do VPL da empresa. A proposta deste trabalho

desenvolver uma contribuic¸

ao matem

atica em avaliac¸

ao de empresas que seja capaz de

incorporar tais incertezas, e dessa forma, subsidiar os investidores com informac¸

oes que

possam auxiliar a decis

ao de abandonar o neg

ocio ou continuar, minimizando eventuais

perdas. Para isso ser

ao utilizados os estudos de avaliac¸

ao e minimizac¸

ao de riscos propos-

tos por Bouchaud e Potters (2003).

A hip

oteses s

ao as seguintes:

Hip

otese 1

O empreendimento apresenta incertezas que dificultam a determinac¸

ao de seu valor.

Hip

otese 2

O investidor, por outro lado, necessita antecipar sua entrada no neg

ocio.

Hip

otese 3

O investimento

e irrevers´ıvel, ou seja, a opc¸

ao de sa´ıda n

ao oferece um valor razo

avel,

praticamente nulo.

1.4 Justificativa do tema

No momento em que uma decis

ao de adiar

e tomada, o investidor fica sujeito ao compor-

tamento aleat

orio de uma receita e

a concorr

encia de competidores. A decis

ao de adiar

a entrada em um neg

ocio pode fazer com que o investidor perca uma oportunidade e a

antecipac¸

ao da entrada faz com que o investidor corra o risco de realizar um mau neg

ocio.

O que este trabalho pretende

e fornecer aos interessados uma abordagem matem

atica que

possa dar suporte na decis

ao de investir e, conseq

uentemente, reduzir riscos ao se decidir

antecipar uma entrada ou abandonar um empreendimento ap

os uma antecipac¸

ao.

1.5 Metodologia

A partir da metodologia proposta por Bouchaud e Potters (2003) para minimizac¸

de risco de um portf

olio criado para uma opc¸

ao de compra, pretende-se desenvolver uma

metodologia de an

alise de riscos de antecipac¸

ao de entrada, que seja capaz de avaliar a

evoluc¸

ao do risco baseado em um passado hist

orico recente.

1.5.1 Procedimentos metodol

ogicos da pesquisa

Entre as metodologias de minimizac¸

ao de riscos propostas por Bouchaud e Potters (2003),

existe uma denominada ancoragem est

atica (static hedge). Nesta metodologia, uma certa

quantidade φ

∗

do ativo subjacente da opc¸

ao de compra

e adquirida com o objetivo de se

minimizar eventuais perdas caso a opc¸

ao de compra seja exercida. O caso da ancoragem

est

atica pressup

oe que eventuais ganhos com aplicac¸

oes livres de risco n

ao s

ao poss´ıveis

e que os custos de transac¸

ao s

ao t

ao elevados que inviabilizam a variac¸

ao desta quantidade

∗

de ativos utilizados para a ancoragem. Dessa forma, uma certa quantidade φ

∗

do ativo

subjacente

e comprada no in´ıcio de vig

encia do contrato e esta quantidade permanecer

inalterada at

e a data de expirac¸

ao da opc¸

ao. Conforme ser

a demonstrado no cap´ıtulo 9

deste trabalho, esta quantidade φ

∗

que minimiza o risco inerente

a opc¸

ao de compra

e dada

pela seguinte express

ao:

∗



∞

P (x, N |x

, 0)dx , (1.1)

sendo x

o prec¸o de exerc´ıcio (arbitr

ario) e P (x, N |x

, 0) a probabilidade do prec¸o ser x em

um instante t = Nτ.

A proposta

e avaliar o risco em antecipac¸

ao de entrada estabelecer qual o valor da receita

RI que o empreendimento deve atingir para anular o risco de n

ao retorno do investimento.

A proposta ent

e avaliar a evoluc¸

ao de φ

∗

a partir do instante t = 0, considerando-se um

instante final t = Nτ . Como φ

∗

refere-se

a probabilidade do valor de uma ac¸

ao apresen-

tar valores maiores que um valor arbitr

ario x

, pode-se substituir a vari

avel x pela vari

avel

R, que representa o valor da receita, j

a que ambas apresentam o mesmo comportamento

estoc

astico aleat

orio. Dessa forma, pode-se reescrever a equac¸

ao (1.1) da seguinte

forma:

∗

≡



∞

P (R, N|R

, 0)dR , (1.2)

sendo R

a receita m´ınima de retorno do investimento e P (R, N|R

, 0) a probabilidade da

receita ser R no instante t = N τ .

A contribuic¸

ao matem

atica para an

alise de risco em antecipac¸

ao de entrada se caracteri-

zar

a ent

ao pela tend

encia da evoluc¸

ao de φ

∗

, analisado juntamente com sua vari

ancia, que

fornecer

a a probabilidade a cada instante de que a receita R

(receita no instante t = Nτ)

seja maior que a receita R

em t = Nτ.

em disso, ser

a desenvolvida uma nova abordagem para o c

alculo do valor de empresas

em condic¸

oes de incerteza.

CAP

ITULO 2

VALUATION - M

ETODOS DE PRECIFICAC¸

AO DE

EMPRESAS

2.1 Introduc¸

As primeiras t

ecnicas de determinac¸

ao de valores de ac¸

ao remontam

a metade do s

eculo

XX, por volta dos anos de 1950. O in´ıcio de todo desenvolvimento te

orico de t

ecnicas de

precificac¸

ao de ac¸

oes de uma empresa comec¸ou, principalmente, com o estabelecimento

do ``princ´ıpio fundamental'', desenvolvido por Modigliani e Miller.

Neste primeiro cap´ıtulo do trabalho ser

ao apresentados os fundamentos que orientam a

determinac¸

ao do valor das ac¸

oes de uma companhia. Esta teoria ser

util posteriormente

na determinac¸

ao do valor de uma empresa. Para isso ser

a apresentado a seguir o princ´ıpio

fundamental e suas quatro poss´ıveis abordagens: por oportunidade de investimentos, por

fluxo de caixa descontados, por pagamento de dividendos e pela abordagem de lucros.

2.2 Precificac¸

ao de ac¸

oes e o princ

ipio fundamental

Para efeitos de an

alise e compreens

ao deste princ´ıpio, ser

a adotada a seguinte notac¸

ao:

= prec¸o da ac¸

ao no in´ıcio do ano t;

= n

umero de ac¸

oes dispon´ıveis no in´ıcio do ano t;

Δn

= n

t+1

− n

= mudanc¸a no n

umero de ac¸

oes dispon´ıveis du-

rante o ano t; todas as novas aquisic¸

oes (ou retenc¸

oes) s

assumidas ocorridas no final do ano t, a um prec¸o P

t+1

;

= N

= valor total das ac¸

oes dispon´ıveis no in´ıcio do ano t;

= dividendos pagos por ac¸

ao para o ano t, pag

aveis ao final

do ano;



= N

= total de dividendos para o ano t, pagos ao final do

ano;

k = taxa de retorno requisitado pelos investidores, ou custo de

uidade de capital para a firma;



= variac¸

ao do montante total de recursos durante o ano t, ou,

investimento l´ıquido durante ano t;

e assumido que todas

as mudanc¸as ocorrem no final do ano t;



= lucros l´ıquidos durante o ano t, assumindo que todos os

lucros s

ao recebidos no final do ano t;

= I



= investimento l´ıquido por ac¸

ao durante ano t.

Para o estabelecimento do princ´ıpio fundamental,

e necess

ario tamb

em assumir as se-

guintes hip

oteses:

1. Todo investidor

e capaz de prever com exatid

ao o valor presente e rentabilidade fu-

tura de qualquer corporac¸

ao - desta forma, a distinc¸

ao entre ac¸

oes e b

onus de d´ıvida

desaparece e todas as aplicac¸

oes de risco zero produzem a mesma taxa de retorno

sobre o investimento.

2. Os investidores tomam uma atitude perfeitamente racional para qualquer acr

escimo

em suas riquezas e n

ao se importam se este ganho

e devido a dividendos ou a ganho

de capital.

3. O mercado de capitais

e considerado livre de imperfeic¸

oes - n

ao existem custos de

transac¸

oes na transfer

encia de aplicac¸

oes de risco zero, nem taxas diferenciais na

taxac¸

ao de dividendos e ganhos de capital.

Quando estas hip

oteses s

ao aplicadas ao mercado, os retornos de diferentes ac¸

oes

tenderiam a nivelar por fora. Assim, o valor da ac¸

ao seria governado pela compuls

ao sobre

os prec¸os das ac¸

oes de se ajustarem por si mesmas para um retorno uniforme. De outra

forma, investidores achariam mais rent

avel mudar seus investimentos de baixo-rendimento

para ac¸

oes de alto-rendimento. Dessa forma, quando o equil´ıbrio de mercado

e alcanc¸ado

para qualquer ac¸

ao, o seguinte princ´ıpio fundamental deve prevalecer:

(1 + k)

+ P

t+1

) . (2.1)

Sendo que:

= prec¸o da ac¸

ao no in´ıcio do per´ıodo t;

t+1

= prec¸o da ac¸

ao no in´ıcio do per´ıodo t + 1;

= dividendo pago por ac¸

ao no final do per´ıodo t;

k = taxa de retorno de todas as ac¸

oes.

A equac¸

ao acima estabelece que, sob condic¸

oes de equil´ıbrio, o prec¸o de mercado ser

tal que a soma dos dividendos pagos mais a valorizac¸

ao do capital propiciar

ao um retorno

k sobre o investimento inicial.

Este princ´ıpio de determinac¸

ao de valor pode ser estabelecido tamb

em para o valor total

de mercado de empresas de capital semelhante. Se n

ao houver a venda de novas ac¸

oes,

nem a retirada do mercado de antigas ac¸

oes durante o per´ıodo t, pode-se afirmar ent

ao que:

(1 + k)



+ V

t+1

) . (2.2)

Sendo que:

= valor total de mercado das ac¸

oes no in´ıcio do ano t;

t+1

= valor total de mercado das ac¸

oes no in´ıcio do ano t + 1;



= total de dividendos pagos no final do ano t;

k = taxa de retorno constante de todas as ac¸

oes.

Se durante o ano t o valor total de mercado das ac¸

oes for aumentado atrav

es da venda

de novas ac¸

oes, ent

ao a equac¸

ao acima deve ser modificada de tal forma que:

(1 + k)



+ V

t+1

− Δn

t+1

) . (2.3)

Sendo Δn

o n

umero de novas ac¸

oes emitidas ao final do ano t ao prec¸o P

t+1

. Todos os

outros termos s

ao definidos como na equac¸

ao anterior.

A parcela da equac¸

ao V

t+1

− Δn

t+1

representa o montante do valor de mercado das

ac¸

oes ao final do ano t, resultantes das ac¸

oes dispon´ıveis no in´ıcio do ano t.

Dessa forma, a equac¸

ao (2.3) demonstra que sob condic¸

oes de equil´ıbrio o retorno

combinado proveniente de pagamento de dividendos e valorizac¸

ao de capital durante o ano

t deve render um retorno de k sobre o valor total das ac¸

oes no comec¸o do ano t. Se for

permitido a Δn

assumir valores negativos, a equac¸

ao (2.3) pode tamb

em representar

os casos em que ac¸

oes s

ao retidas durante o ano t.

2.3 Interpretac¸

ao econ

omica do princ

ipio fundamental

Uma forma de se aplicar o princ´ıpio fundamental

e analisando a relac¸

ao entre a determina-

c¸

ao de valor pelo princ´ıpio fundamental e pela abordagem de lucros. Suponhamos que para

gerar os lucros projetados pelo investidor, a empresa tenha que realizar aquisic¸

oes peri

dicas de recursos, atrav

es de financiamento adicional. O montante total de novos financia-

mentos que a empresa empreende durante um certo per´ıodo, pode ser equacionado para

o excedente de troca corrente da empresa no total de recursos sobre o montante de seus

lucros retidos. Dessa forma, se designarmos I



como a troca nos recursos totais, E



como lu-

cros totais e D



como dividendos totais, ent

ao I



−(E



−D



) = Δn

t+1

(novo financiamento),

sendo Δn

a variac¸

ao no n

umero de ac¸

oes dispon´ıveis durante o ano t (Δ n

= n

t+1

− n

Substituindo esta igualdade em (2.3), obtemos:

(1 + k)



− I



+ V

t+1

) , (2.4)

que

e um restabelecimento do princ´ıpio fundamental em termos de valor de juros, investi-

mento e taxa de retorno de mercado.

Para t = 1, a equac¸

ao (2.4) fornece:

(1 + k)



− I



) +

(1 + k)

. (2.5)

Em seguida, expressando V

em termos de V

, V

em termos de V

, . . ., temos que:

n−1



t=1

(1 + k)



− I



) +

(1 + k)

n−1

. (2.6)

A medida que n tende a infinito,

(1 + k)

n−1

tende a zero, e o

ultimo termo desaparece.

Assim, a equac¸

ao (2.6) transforma-se para:

∞



t=1

(1 + k)



− I



) (k > 0). (2.7)

A equac¸

ao (2.7) fornece o c

alculo do valor presente das ac¸

oes da empresa, obtidas

a partir do princ´ıpio fundamental. De acordo com esta equac¸

ao, o valor de mercado das

ac¸

oes de uma companhia n

ao pode ser encarado simplesmente como a soma dos lucros

futuros descontados. Se investimentos adicionais forem requisitados para gerar os lucros

projetados, estes desembolsos dever

ao ser comparados com os lucros correntes nos anos

em que os investimentos foram feitos. Estes lucros futuros ajustados, quando descontados

para o presente, fornecem o valor de mercado das ac¸

oes da empresa. A equac¸

ao (2.7),

desta forma,

e consistente com o m

etodo conhecido como abordagem por lucros para

determinac¸

ao de valores de ac¸

ao.

2.4 Interpretac¸

oes alternativas do princ

ipio fundamental

A equac¸

ao (2.7) pode ser tamb

em interpretada de acordo com outros tr

es m

etodos:

pela abordagem de oportunidade de investimentos, pela abordagem por dividendos e pela

abordagem por fluxo de caixa descontado.

2.4.1 Abordagem por oportunidade de investimentos

De acordo com esta abordagem, o valor de mercado das ac¸

oes de uma empresa

e equiva-

lente ao valor presente dos recursos existentes acrescidos do valor futuro das oportunidades

de investimentos. O valor dos recursos existentes

e igual ao valor capitalizado dos lucros

l´ıquidos gerados pelos recursos existentes. O valor futuro das oportunidades de investi-

mentos

e igual ao valor presente de investimentos futuros multiplicado por uma taxa de

rentabilidade para estes investimentos. Ser

a mostrado que o valor das ac¸

oes computado

dessa maneira

e id

entico

aquele computado de acordo com a equac¸

ao (2.7).

2.4.2 Fluxos de caixa descontados

Nesta abordagem, o valor de mercado de uma empresa

e igual ao valor presente de todos

valores de fluxo de caixa entre acionistas e a empresa mais o valor das oportunidades de

investimentos futuros. O neg

ocio

e visto como uma m

aquina que permite aos propriet

arios

realizarem retiradas peri

odicas ou dep

ositos em caixa. O pagamento que detentores de

ac¸

ao recebem de uma corporac¸

e tratado tanto como dividendos pagos ou como ac¸

oes

retiradas. A quantia com que detentores de ac¸

ao contribuem para a empresa recebe a

forma de compras de novas ac¸

oes. Como mostrado anteriormente, Δn

t+1

(o montante

de novo financiamento que a empresa adquire)

e igual a I



− (E



− D



), ou seja, o excesso

de investimento l´ıquido sobre lucros retidos. Da express

ao anterior,

e f

acil deduzir que



−I



= D



−Δn

t+1

. Esta

ultima igualdade mostra que E



−I



e id

entica ao fluxo de caixa

entre acionistas e a empresa durante o ano t. Dessa forma, a equac¸

ao (2.7)

e consistente

com a abordagem por fluxo de caixa descontado.

2.4.3 Pagamento de dividendos

O valor de mercado de uma empresa, pela abordagem de pagamento de dividendos,

igual ao valor presente de todos futuros pagamentos de dividendos descontados

a taxa

de retorno do mercado. A quest

ao que imediatamente surge

e de como esta abordagem

difere da abordagem por fluxo de caixa descontado. A resposta pode ser vista atrav

es da

relac¸

ao E



−I



= D



−Δn

t+1

. Esta igualdade indica que o fluxo de caixa da empresa para

os detentores de direitos

e maior do que os dividendos pagos no mesmo per´ıodo quando

antigas aplicac¸

oes de risco zero tenham sido retiradas e menor quando novas aplicac¸

oes

de risco zero tenham sido vendidas. Se o rendimento da aplicac¸

ao de risco zero for sempre

nula, o fluxo de caixa

e sempre igual ao pagamento de dividendos, e as duas abordagens se

tornam claramente id

enticas. Pode ser mostrado tamb

em que a abordagem por pagamento

de dividendos

e consistente com a determinac¸

ao de valores da equac¸

ao (2.7) e, assim,

equivalente

a abordagem por fluxo de caixa descontado mesmo quando os rendimentos de

aplicac¸

ao de risco zero n

ao forem nulos.

2.5 Equival

encia matem

atica entre as teorias alternativas

de avaliac¸

A seguir ser

a mostrado que se assumidas as hip

oteses de certeza, racionalidade e mer-

cado de capital livre de imperfeic¸

oes, os quatro modelos de avaliac¸

ao s

ao matematica-

mente equivalentes. Esta prova, elaborada por Modigliani e Miller, que aqui ser

a reproduzida

com poucas modificac¸

oes, estabelece esta equival

encia mostrando que os quatro modelos

ao formalmente equivalentes ao princ´ıpio fundamental de avaliac¸

ao descrito pela equac¸

(2.7). Sendo equivalentes ao princ´ıpio fundamental, as quatro abordagens devem ser

equivalentes umas

as outras.

2.5.1 A abordagem por oportunidades de investimento

Esta abordagem determina o valor das ac¸

oes de uma companhia atrav

es da soma do valor

presente dos recursos existentes com o valor presente das futuras oportunidades de inves-

timento. Dessa forma, se os recursos existentes de uma companhia geram lucros anuais

constantes E



, e se a companhia tem a oportunidade de reinvestir uma frac¸

ao b de cada lucro

anual, a um retorno r por ano, o valor de mercado corrente das ac¸

oes de uma companhia,

e dado pela express

ao:



∞



t=1





(1 + br)

t−1

(1 − k)



r − k



(k > 0). (2.8)

Notar que a express

ao bE



(1 +br)

t−1

fornece o montante de reinvestimento no ano t (t =

1, 2, . . .). Se designarmos bE



(1 + br)

t−1

simplesmente como I



, a equac¸

ao (2.8) transforma-

se em:



∞



t=1



(1 + k)



r − k



, (2.9)

onde todos os termos s

ao definidos como acima.

Para mostrar que a equac¸

ao (2.9) est

a implicitamente ligada ao princ´ıpio fundamen-

tal, Modigliani e Miller observam que E



, o montante dos lucros no ano t,

e igual a E



, os

lucros anuais constantes obtidos a partir dos recursos existentes, mais os retornos de in-

vestimentos realizados do ano 1 para o ano t − 1. Isto



= E



+ r(I



+ I



+ ··· + I



t−1

)

Substituindo esta relac¸

ao na equac¸

ao (2.7), pode-se reformular o princ´ıpio fundamental

de avaliac¸

ao como se segue:

∞



t=1

(1 + k)



− I



)

(1 + k)



− I



) +

∞



t=2

(1 + k)



+ r(I



+ I



+ ··· + I



t−1

) − I



]

∞



t=1



(1 + k)

∞



t=2

(1 + k)



+ I



+ ··· + I



t−1

] −

∞



t=1



(1 + k)

. (2.10)

Observe que

∞



t=1



(1 + k)

e igual a



e que

∞



t=2

(1 + k)



+ I



+ ··· + I



t−1

)

e igual a

∞



t=1







∞



τ=t+1

(1 + k)





, que

e igual a

∞



t=1





k(1 + k)



A Equac¸

ao (2.10), ent

ao, pode ser simplificada para



∞



t=1



k(1 + k)

−

∞



t=1



(1 + k)

. (2.11)

A equac¸

ao (2.11), depois de mais algumas simplificac¸

oes, se torna id

entica

a equac¸

(2.9), representando a abordagem por oportunidade de investimentos:



∞



i=1



(1 + k)



r − k



Isto prova que a abordagem por oportunidade de investimentos e o princ´ıpio fundamental

de avaliac¸

ao levam as ac¸

oes de uma companhia ao mesmo valor.

As duas

ultimas igualdades podem ser mostradas como segue:

∞



t=2

(1 + k)



+ I



+ ··· + I



t−1

]





∞



t=2

(1 + k)

+ I



∞



t=3

(1 + k)

+ I



∞



t=4

(1 + k)

+ ···



∞



t=1







∞



τ =t+1

(1 + k)





em disso,

∞



τ=t+1

(1 + k)

∞



t=1

(1 + k)

−



τ =1

(1 + k)

k(1 + k)

Da´ı,

∞



t=1







∞



τ =t+1

(1 + k)





∞



t=1



k(1 + k)

2.5.2 Equival

encia matem

atica para a abordagem de lucros

A abordagem por lucros para a avaliac¸

ao do valor de ac¸

oes equaciona o valor das ac¸

oes

de uma companhia atrav

es do valor presente de todos os lucros futuros ajustados. Se uma

empresa tiver que realizar investimentos adicionais para gerar os lucros projetados, o custo

destes investimentos tem que ser deduzido dos lucros correntes nos anos em que estes

investimentos s

ao feitos. O valor presente destes lucros futuros ajustados determina o valor

de mercado das ac¸

oes de uma empresa.

Como exemplo, suponha que uma certa companhia espere gerar lucros E



, E



, . . ., nos

anos 1, 2, . . ., e consecutivamente. Para gerar esta s

erie de lucros futuros, a companhia

ter

a que investir I



, I



, . . ., nos anos 1, 2, . . ., e consecutivamente. Os lucros ajustados ser

iguais a E



−I



no ano 1, E



−I



no ano 2, e, genericamente, E



−I



no ano t. Dessa forma,

o valor de mercado das ac¸

oes, V

e dado pela express

ao:

∞



t=1



− I



(1 + k)

Mas esta express

e exatamente a equac¸

ao que expressa o princ´ıpio fundamental para

o valor de ac¸

oes. A abordagem por lucros, dessa forma,

e consistente com o princ´ıpio

fundamental.

2.5.3 Abordagem pelo pagamento de dividendos

A abordagem por dividendos equaciona o valor das ac¸

oes de uma empresa pelo valor pre-

sente de todos dividendos futuros pagos sobre as ac¸

oes. Suponha que D



t,1

denote o mon-

tante total de dividendos pagos no ano t sobre ac¸

oes com in´ıcio no ano 1. Se para as

ac¸

oes de uma companhia s

ao esperados pagamentos de dividendos D



1,1

, D



2,1

, . . ., e etc. o

valor de mercado corrente dessas ac¸

oes, V

e dado pela express

ao:

∞



t=1



t,1

(1 + k)

. (2.12)

A equac¸

ao (2.12), tamb

em,

e equivalente ao princ´ıpio fundamental descrito pela equac¸

(2.7). Se novas ac¸

oes n

ao forem vendidas ap

os o ano 1, ent

ao D



t,1

, os dividendos pagos no

ano t sobre as ac¸

oes com in´ıcio no ano 1,

e igual a D



, a soma total dos dividendos pagos no

ano t. Al

em disso, desde que n

ao haja financiamento externo, o pagamento de dividendos



e igual ao excedente de lucros sobre os investimentos, ou seja, E



− I



. Substituindo



− I



por D



t,1

, conclui-se que a equac¸

ao (2.12) se torna id

entica

a equac¸

ao (2.7).

A seguir, suponha que algumas novas ac¸

oes tenham sido vendidas ap

os o ano 1. Para

mostrar que as equac¸

oes (2.12) e (2.7) s

ao ainda equivalentes, Modigliani e Miller reescre-

vem a equac¸

ao (2.12) como se segue:

∞



t=1



t,1

(1 + k)



1,1

(1 + k)

∞



t=2



t,1

(1 + k)





1,1

∞



t=1



t+1,1

(1 + k)



. (2.13)

Pode ser visto que a soma dos dividendos pagos, comec¸ando no ano 2, e os resultantes

das ac¸

oes com in´ıcio no ano 1,

e igual ao resultado dos dividendos pagos de todas as ac¸

oes

com in´ıcio no ano 2, menos os resultados de dividendos pagos de novas ac¸

oes emitidas

durante o ano 1. Assim:

∞



t=1



t+1,1

(1 + k)

∞



t=1



t+1,2

(1 + k)



1 −

Δn



Dessa forma, a equac¸

ao (2.13) pode ser escrita:

(1 + k)





1,1

∞



t=1

t+1,2

(1 + k)



1 −

Δn





. (2.14)

Ambas as express

oes

∞



t=1



t+1,2

(1 + k)

e n

na equac¸

ao (2.14) representam V

, o valor das

ac¸

oes da companhia no comec¸o do ano 2. Mais ainda, a obrigac¸

ao de todos os dividendos

pagos em qualquer per´ıodo resulta em ac¸

oes com in´ıcio naquele per´ıodo: D



1,1

= D



. A

equac¸

ao (2.14), desta forma, pode ser simplificada para:

(1 + k)



+ V

− Δn

). (2.15)

Sendo a equac¸

ao (2.15) consistente com a equac¸

ao (2.3), que foi mostrada para se

chegar

a equac¸

ao (2.7), a equac¸

ao (2.15) tamb

e consistente com a equac¸

ao (2.7).

2.5.4 Abordagem pelo fluxo de caixa descontado

A presente abordagem iguala o valor de mercado das ac¸

oes de uma companhia ao valor

presente de todos futuros fluxos de caixa entre os detentores de direito e a empresa. Esta

difere da abordagem por dividendos em que o fluxo de caixa inclui a variac¸

ao l´ıquida das

ac¸

oes dispon´ıveis tal qual o fluxo de caixa para pagamento de dividendos. Foi mostrado

anteriormente que o fluxo de caixa em qualquer per´ıodo

e igual a E



−I



, a diferenc¸a entre os

lucros e investimentos daquele per´ıodo. Ent

ao, a abordagem por fluxos de caixa descontado

e tamb

em consistente com o princ´ıpio fundamental da equac¸

ao (2.7).

2.6 Conclus

Neste cap´ıtulo foram apresentados os princ´ıpios te

oricos que formam a base de todas as

teorias orientadas para a precificac¸

ao de ac¸

oes e determinac¸

ao do valor de uma empresa,

sendo, dessa forma, a base te

orica fundamental deste trabalho tamb

em.

Ainda, ficou demonstrado que as abordagens de precificac¸

ao por fluxo de caixa descon-

tado, por pagamento de dividendos, por oportunidade de investimentos e por lucro s

ao eco-

nomicamente equivalentes, alinhadas todas ao princ´ıpio fundamental.

CAP

ITULO 3

ETODOS DE DETERMINAC¸

AO DO VALOR DE UMA

EMPRESA ALINHADOS AO PRINC

IPIO FUNDAMENTAL

3.1 Introduc¸

A partir das quatro abordagens de precificac¸

ao de ac¸

oes, equivalentes ao princ´ıpio fun-

damental (por pagamento de dividendos, por oportunidade de investimentos, por fluxos de

caixa descontados e pela abordagem de lucros), uma s

erie de metodologias foi desenvolvida

para a determinac¸

ao do valor de uma empresa. A id

eia principal

e substituir os par

ametros

das equac¸

oes matem

aticas das abordagens pelos par

ametros relevantes na a determinac¸

do valor de uma empresa e desta forma se obter o valor de uma companhia. Entre as abor-

dagens equivalentes ao princ´ıpio fundamental, a por fluxo de caixa descontado tem sido de

longe a mais utilizada. Os dois par

ametros principais utilizados nesta abordagem s

ao o FCL

(fluxo de caixa livre) e o CMePC (Custo M

edio Ponderado de Capital) , utilizado como taxa

de desconto.

3.2 O fluxo de caixa livre (FCL)

O fluxo de caixa livre pode ser definido como a somat

oria de todos os fluxos de caixa

dispon´ıveis para os detentores de direitos de uma empresa, ou seja, todos que possuem

ac¸

oes, b

onus e ac¸

oes preferenciais. O FCL

e gerado pela empresa ap

os a deduc¸

ao dos

impostos, investimentos permanentes e variac¸

oes esperadas no capital circulante l´ıquido e

antes do pagamento de d´ıvidas (principal e juros). O termo livre pode ser associado ent

a excedente de caixa dispon´ıvel para a distribuic¸

ao ou aumento de capital. O fluxo de caixa

livre (FCL)

e um dos principais par

ametros para a determinac¸

ao do valor de uma empresa.

O FCL

e apurado da seguinte forma:

Receitas l´ıquidas de vendas

− Despesas operacionais

− Custo de vendas

= (EBIT) − Lucro antes dos juros e tributos sobre o lucro

+ Ajuste das despesas operacionais que n

ao provocam a sa´ıda de caixa

= (EBITIDA) − Lucro antes dos juros, tributos sobre o lucro, depreciac¸

ao,

amortizac¸

ao e exaust

− Impostos

= Gerac¸

ao de caixa operacional

− Investimentos (ou desinvestimentos)

.Permanentes

.Circulantes

= Fluxo de Caixa Livre

Para a obtenc¸

ao do fluxo de caixa livre

e necess

ario considerar necessidades de reten-

c¸

ao (ou liberac¸

ao) de caixa, como novos investimentos, variac¸

oes no capital de giro l´ıquido

operacional da empresa e alterac¸

oes em seu imobilizado. Para efeitos de simplificac¸

ao, no

exemplo anterior, estas necessidades n

ao foram consideradas.

Outro aspecto importante, no c

alculo do FCL,

e a exclus

ao das despesas de depreciac¸

ao,

amortizac¸

ao e exaust

ao. Estes investimentos j

a feitos n

ao interessam mais, assumindo

relev

ancia somente aqueles que impactar

ao o fluxo de caixa no futuro. Mas, no que se

refere

a apurac¸

ao do resultado do empreendimento, estas despesas s

ao indispens

aveis. De

qualquer maneira, para o processo de avaliac¸

ao, o que importa s

ao os efeitos que ocorrer

no fluxo futuro de caixa.

O FCL pode ser calculado tamb

em a partir do fluxo de caixa para o acionista (FCFE).

Fluxos de caixa l´ıquidos do acionista (FCFE)

+ Despesas de juros (1− percentual de impostos)

+ Pagamentos de principal

− Novas d´ıvidas

+ Dividendos preferenciais

= Fluxo de Caixa Livre

3.3 Taxa de desconto

O fluxo de caixa livre e o valor da perpetuidade devem ser apresentados em valores pre-

sentes, mediante o uso de uma taxa de desconto que funcione como o custo de oportu-

nidade. A taxa escolhida

e usualmente o custo m

edio ponderado de capital (CMePC), devido

a sua capacidade impl´ıcita de incorporar os riscos associados a determinado neg

ocio.

Essa metodologia estabelece r´ıgidos pressupostos, tais como: estrutura de capital, meta

e benef´ıcios fiscais associados aos juros dos capitais de terceiros. Uma das cr´ıticas a esse

modelo

e que esses componentes geralmente s

ao vari

aveis ao longo do tempo.

O c

alculo do CMePC reflete a estrutura de capital da empresa. Portanto, os efeitos

financeiros figuram no c

omputo da taxa que est

a sendo utilizada para descontar os fluxos.

Alternativamente, caso se utilize o fluxo de caixa do propriet

ario, a taxa de desconto mais

apropriada seria o custo do capital pr

oprio.

O c

alculo do custo de capital

e extremamente complexo e subjetivo. Ele deveria refle-

tir os riscos associados ao neg

ocio, bem como as condic¸

oes particulares e expectativas

daquele que almeja adquirir ou manter uma empresa. Por isso, com freq

encia verificamos

a utilizac¸

ao pelo mercado de uma taxa de corte (Hurdle Rates). Geralmente, o agente a

estipula com base em seu bom senso e a aplica no desconto do fluxo de caixa esperado.

Algumas an

alises usam taxas diferentes para o desconto da perpetuidade e dos fluxos

de caixa operacionais. Isto se fundamenta na hip

otese de que, ap

os o per´ıodo de projec¸

ao,

a incerteza aumenta, provocando a exig

encia por maiores retornos.

3.4 Definic¸

ao do CMePC

O custo m

edio ponderado de capital

e definido como a m

edia ponderada dos custos dos

diferentes componentes do financiamento de uma empresa:

CMePC = k



(MD + CP + P S)



+ k



(MD + CP + P S)



+ k

P S



P S

(MD + CP + P S)



(3.1)

onde:

CMePC - Custo m

edio ponderado de capital pr

oprio;

- custo do capital pr

oprio: representa o risco de um inves-

timento em ac¸

oes na empresa. Pode ser calculado pelos

modelos padr

ao de risco e retorno, que convertem a me-

dida de risco em um retorno esperado;

- custo da d´ıvida: reflete o risco de n

ao pagamento da em-

presa e a vantagem em impostos associada

a d´ıvida;

P S

- custo das ac¸

oes preferenciais: refere-se ao dividendo prin-

cipal e

a aus

encia de dedutibilidade de impostos;

CP - valor de mercado do capital pr

oprio;

MD - valor de mercado da d´ıvida;

P S - valor de mercado das ac¸

oes preferenciais.

Os pesos utilizados para cada um dos componentes devem ser pesos de valor de mer-

cado, e n

ao de valor cont

abil.

3.5 Determinando o valor de uma empresa

O prec¸o de uma ac¸

ao pode ser determinado utilizando-se o fluxo de caixa do capital pr

oprio

descontado ao custo do capital pr

oprio. Esta mesma t

ecnica pode ser utilizada na determi-

nac¸

ao do valor de uma empresa, utilizando-se o fluxo de caixa livre descontado ao custo

edio ponderado de capital.

VALOR DAS AC¸

OES VALOR DA EMPRESA

Receitas Receitas

− Despesas − Despesas operacionais

− Impostos − Investimentos

− Investimentos − Impostos

− Pagamentos de principal e juros

= Fluxo de caixa do capital = Fluxo de caixa livre

oprio

Valor das Ac¸

oes = Valor da empresa =

∞



t=1

FCP

(1 + k)

, (3.2)

∞



t=1

FCL

(1 + CMePC)

, (3.3)

onde: onde:

FCP

= Fluxo de caixa capital pr

oprio

esperado para o per´ıodo t;

FCL

= Fluxo de caixa livre esperado

para o per´ıodo t

k = custo do capital pr

oprio; CMePC = Custo m

edio ponderado de

capital.

Este exemplo ilustra resumidamente a diferenc¸a entre a determinac¸

ao do valor de ac¸

oes

e de empresas pela abordagem do fluxo de caixa descontado.

A natureza de um empreendimento e a situac¸

ao financeira em que uma empresa se

encontra tamb

em devem ser consideradas no c

alculo do valor de uma empresa. Para isto,

algumas metodologias que levam em conta essas caracter´ısticas foram desenvolvidas e s

apresentadas no cap´ıtulo posterior. Em seguida s

ao apresentados tamb

em outros m

etodos

de determinac¸

ao do valor de empreendimentos que n

ao s

ao relacionados diretamente com

o princ´ıpio fundamental.

3.6 Abordagem por fluxo de caixa descontado

Entre os m

etodos at

e hoje desenvolvidos, o desconto em fluxo de caixa

e tido como aquele

que melhor revela a efetiva capacidade de gerac¸

ao de riqueza de determinado empreendi-

mento. Como indicador da capacidade de gerac¸

ao de riquezas, encontramos no fluxo de

caixa a evid

encia da efici

encia esperada de determinado neg

ocio. Ele prop

oe-se a retratar

o potencial econ

omico dos itens patrimoniais de determinado empreendimento, inclusive a

parcela de ativos intang´ıveis.

A abordagem pelo fluxo de caixa descontado pode ser dividida em duas partes. Na

primeira, s

ao trazidos a valor presente, os fluxos de caixa livres esperados para o per´ıodo de

projec¸

ao, que compreende a quantidade de intervalos de tempo (anos, trimestres, meses,

etc.) sobre os quais podemos projetar os fluxos de caixa com um n´ıvel razo

avel de es-

peranc¸a de concretizac¸

ao. A segunda parte da abordagem trata do c

alculo do valor da

perpetuidade, que

e trazido a valor presente e somado ao valor presente do per´ıodo de

projec¸

ao para a obtenc¸

ao do valor da empresa.

O per´ıodo de projec¸

ao usualmente

e determinado de acordo com a natureza dos neg

cios e o grau de previsibilidade das vari

aveis relevantes. Os principais aspectos relaciona-

dos com sua definic¸

ao referem-se aos prec¸os dos produtos, volume de vendas, custos de

mat

erias-primas, despesas operacionais e vari

aveis macroecon

omicas (juros, c

ambio, etc.).

As projec¸

oes exigem a identificac¸

ao dos componentes relevantes e o desenvolvimento de

hip

oteses e perspectivas que sirvam de base para o estabelecimento dos cen

arios prov

aveis

que ser

ao experimentados pela empresa. Em termos pr

aticos, a maioria das avaliac¸

oes

trabalha com per´ıodos de projec¸

ao que variam entre cinco e dez anos, dependendo do grau

de previsibilidade das vari

aveis.

O valor da perpetuidade

e aquele que o neg

ocio possuir

a ap

os o per´ıodo de projec¸

ao,

em termos atuais. Geralmente ele

e estimado com base no fluxo de caixa livre do

ultimo

per´ıodo de projec¸

ao e incrementado pela expectativa de crescimento. Sua equac¸

ao seria a

seguinte:

Valor da perpetuidade =

FCL

× (1 + g)

(CMePC − g)

, (3.4)

em que;

FCL

- fluxo de caixa livre do

ultimo per´ıodo de projec¸

ao;

CMePC - custo m

edio ponderado de capital;

g - taxa de crescimento perp

etua.

A perpetuidade pode ser um dos elementos mais relevantes para a avaliac¸

ao de uma

empresa. Em determinadas situac¸

oes, grande parte do valor de uma empresa

e explicado

por esse conceito. Dependendo da esp

ecie do neg

ocio, este componente poder

a ser maior

ou menor.

O valor da perpetuidade

e influenciado pela expectativa de crescimento ap

os o per´ıodo

de projec¸

ao. Modelos mais sofisticados podem trabalhar com a hip

otese de taxas g distintas

por intervalos (crescentes ou decrescentes).

etodos alternativos de c

alculo da perpetuidade aplicam multiplicadores sobre alguns

indicadores espec´ıficos, tais como: lucro operacional, fluxo de caixa e outros.

Embora o uso da taxa de crescimento apure uma aproximac¸

ao bastante razo

avel do

valor da perpetuidade em algumas circunst

ancias, pode ser

util a previs

ao dos valores das

vari

aveis de decis

ao para v

arios per´ıodos futuros e descont

a-los para o presente. O atual

n´ıvel tecnol

ogico que experimentamos nos permite realizar essa tarefa com relativa facili-

dade. Assim procedendo, reduzimos o risco de equ´ıvocos relacionados com as simplifica-

c¸

oes assumidas pelos modelos matem

aticos, nem sempre

obvias.

3.6.1 Modelos de avaliac¸

ao pela abordagem do fluxo de caixa livre

(a) Vers

ao geral do modelo FCL

O valor de uma empresa pode ser expresso como o valor presente do fluxo de caixa livre

esperado. Este valor presente pode ser entendido como o investimento necess

ario para

adquirir este mesmo valor do fluxo de caixa livre no futuro, calculado com base na taxa de

desconto.

Valor da Empresa =

∞



t=1

FCL

(1 + CMePC)

, (3.5)

sendo:

FCL

= FCL no ano t;

CMePC = custo m

edio ponderado do capital.

Se a empresa alcanc¸ar uma situac¸

ao de equil´ıbrio e depois de n anos comec¸ar a crescer

a uma taxa de crescimento est

avel g, o valor da empresa poder

a ser descrito como:

Valor da Empresa =



t=1

FCL

(1 + CMePC)

FCL

n+1

/(CMePC − g)

(1 + CMePC)

. (3.6)

(b) Modelo FCL de crescimento est

avel

Uma empresa em situac¸

ao est

avel, com ritmo de crescimento est

avel, com os fluxos de caixa

crescendo a uma taxa, pode ser avaliada utilizando-se uma variante do modelo anterior:

Valor da Empresa =

FCL

(CMePC − g)

, (3.7)

FCL

= FCL esperado para o pr

oximo ano;

CMePC = custo m

edio ponderado de capital;

g = taxa perp

etua de crescimento no FCL.

Existem duas premissas b

asicas que precisam ser atendidas para a aplicac¸

ao do modelo

de crescimento est

avel. A primeira diz que a taxa de crescimento aplicada no modelo tem

de ser coerente e razo

avel, relativamente,

a taxa de crescimento nominal da economia. A

segunda diz que a relac¸

ao entre despesas de capital e depreciac¸

oes tem que ser coerente

com uma empresa em crescimento est

avel. Uma empresa est

avel geralmente n

ao ter

despesas de capital significativamente maiores que a depreciac¸

ao, j

a que n

ao ocorre um

crescimento extraordin

ario e, conseq

uentemente, novos investimentos de capital adicional

ao ser

ao necess

arios.

Segundo Damodaran (2005, cap. 12, p. 299) este modelo

e sens´ıvel aos

pressupostos relativos

a taxa de crescimento esperada, acentuado pelo fato que a taxa

de desconto utilizada

e o custo m

edio ponderado de capital, que

e significativamente mais

baixo que do que o custo do patrim

onio na maioria das empresas. O modelo tamb

sens´ıvel aos pressupostos tomados em relac¸

as despesas de capital e em relac¸

depreciac¸

oes. O fluxo de caixa livre pode ser inflado reduzindo-se as despesas de capital

em relac¸

a depreciac¸

ao e vice-versa.

O valor de uma empresa

e afetado pelo n´ıvel de alavancagem de uma companhia na medida

em que este afeta o custo m

edio ponderado de capital. Tal valor

e obtido descontando-se

os futuros fluxos de caixa l´ıquido da empresa ao custo m

edio ponderado de capital. O fluxo

de caixa livre

e obtido antes do pagamento de d´ıvidas, n

ao sendo afetado, portanto, pelo

n´ıvel de alavancagem de uma empresa.

Se os fluxos de caixa livre n

ao forem afetados pela relac¸

ao d´ıvida/patrim

onio de uma

companhia, ent

ao seu valor ser

a maior quanto menor for o CMePC. Para isso

e necess

ario

se obter a relac¸

otima d´ıvida/patrim

onio que fornec¸a o menor valor para o custo m

edio

ponderado de capital.

Abaixo, temos uma tabela em que s

ao mostrados v

arios n´ıveis de endividamento e a

conseq

encia no valor do CMePC e da empresa.

Embora parec¸a trivial a escolha de uma relac¸

otima d´ıvida/patrim

onio, nem sempre,

ou melhor, quase nunca os analistas disp

oem de uma tabela dos custos de endividamento

para an

alise. Na maioria dos casos, o

unico n´ıvel de endividamento ao qual se pode ter

certeza absoluta acerca dos custos

e o n´ıvel atual. Al

em disso, a an

alise pressup

oe que

ao exista efeito nenhum do n´ıvel de alavancagem sobre os fluxos de caixa da empresa e,

conseq

uentemente, o fluxo de caixa n

e afetado pelo risco de inadimpl

encia da empresa.

Estas pressuposic¸

oes podem ser razo

aveis em alguns casos, mas n

ao em todos.

MD/(MD + CP )

Custo de Custo de

CMePC

Valor da

CMePC

Valor da

Patrim

onio D´ıvida Empresa Empresa

0% 10,50% 4,80% 10,50% 4.711 3.250 4.711

10% 11,00% 5,10% 10,41% 4.807 3.205 4.807

20% 11,60% 5,40% 10,36% 4.862 3.180 4.862

30% 12,30% 5,52% 10,27% 4.970 3.135 4.970

40% 13,10% 5,70% 10,14% 5.121 3.070 5.121

50% 14,00% 6,30% 10,15% 5.108 3.075 5.108

60% 15,00% 7,20% 10,32% 4.907 3.160 4.907

70% 16,10% 8,10% 10,50% 4.711 3.250 4.711

80% 17,20% 9,00% 10,64% 4.569 3.320 4.569

90% 18,40% 10,20% 11,02% 4.223 3.510 4.223

100% 19,70% 11,40% 11,40% 3.926 3.700 3.926

(d) Determinac¸

ao do CMePC em diferentes n

iveis de alavancagem

Custo de Patrim

onio L

iquido

A principal tarefa

e a de estimar o custo de patrim

onio l´ıquido em diferentes n´ıveis de

endividamento. A abordagem descrita a seguir se aplica quando o CMePC for utilizado

para estimar o custo de patrim

onio l´ıquido. A abordagem pode ser modificada se o APM for

utilizado.

Passo: obter uma estimativa atual do beta do patrim

onio l´ıquido e do coeficiente

endividamento/patrim

onio.

Passo: estimar o beta n

ao alavancado, ou seja, o beta que a empresa teria se ela

ao tivesse d´ıvida alguma. Se a relac¸

ao entre beta e alavancagem for utilizada, o beta n

alavancado poder

a ser descrito como:

βatual

(1 + (1 −τ )MD/CP )

, (3.8)

sendo que

= beta n

ao alavancado para a empresa;

atual

= beta do patrim

onio atual da empresa;

τ = percentual de impostos da empresa;

MD/CP = coeficiente atual de endividamento/patrim

onio

(em termos de valor de mercado).

Passo: Reestimar os betas alavancados para diferentes n´ıveis de endividamento;

alavancado

= β

(1 + [1 −τ ]MD/CP ) , (3.9)

onde

alavancado

= beta patrimonial em vista da nova alavancagem;

MD/CP = coeficiente d´ıvida/patrim

onio.

A cada n´ıvel de alavancagem medido com a utilizac¸

ao do coeficiente endividamento/pa-

trim

onio, reestimar o beta patrimonial.

Passo: Estimar os custos do patrim

onio utilizando este beta alavancado.

= r

+ β

alavancado

(E(r

) − r

) , (3.10)

onde

= custo do patrim

onio;

CP (r

) = retorno esperado com base no ´ındice de mercado;

= taxa atual livre de risco.

Custo da d

ivida

Estimar o custo da d´ıvida da empresa em diferentes n´ıveis de endividamento. Como

parte dos antecedentes para estimar o custo da d´ıvida, duas tabelas ter

ao que ser desen-

volvidas:

(a) Uma tabela apresentar

a a relac¸

ao entre o risco de inadimpl

encia e as principais ca-

racter´ısticas de uma empresa. Por exemplo, se as classificac¸

oes dos b

onus forem

utilizadas para medir o risco de inadimpl

encia, esta tabela descrever

a a relac¸

ao en-

tre as classificac¸

oes e os coeficientes financeiros, utilizando informac¸

oes gerais ou

informac¸

oes pertencentes a um setor industrial em particular. Se as classificac¸

oes dos

onus n

ao estiverem dispon´ıveis ou n

ao forem utilizadas, como no caso de muitos mer-

cados fora dos EUA, classes gerais de risco de inadimpl

encia podem ser criadas para

captar diferenc¸as entre empresas e relacionadas com as caracter´ısticas da empresa.

(b) A outra tabela incluir

a as taxas atuais de juros no mercado em b

onus corporativos

em cada classe de b

onus ou classe de risco de inadimpl

encia. Estes pr

emios de

inadimpl

encia se alterar

ao com o tempo e ter

ao que ser atualizados regularmente.

Com base nestes antecedentes, o custo da d´ıvida de uma empresa pode ser estimado

em diferentes n´ıveis de endividamento, estimando-se, em primeiro lugar, a classificac¸

ao dos

onus ou a classe de risco de inadimpl

encia da empresa em cada n´ıvel de endividamento

e, depois, utilizando-se a taxa de juros que corresponda a esta classificac¸

ao.

Passo: Preparar o demonstrativo de receitas mais recentes, mostrando a receita

operacional atual e os coeficientes financeiros relevantes.

Passo: Calcular o valor de mercado atual da empresa:

Valor de mercado da empresa = Valor de Mercado do Patrim

onio

+Valor de Mercado da D´ıvida.

Passo:

A medida que o coeficiente de endividamento se altera, calcule o valor da

d´ıvida em d

olares:

Valor em D

olar da D´ıvida = D´ıvida / (D´ıvida + Patrim

onio)

×Valor Atual de Mercado da Empresa.

Passo: Calcular o montante que ser

a pago como juros (Taxa de Juros x Valor em

olar da D´ıvida) e os coeficientes financeiros a cada coeficiente novo de endividamento.

Passo: Utilizando a tabela desenvolvida que relaciona as classificac¸

oes de b

onus

aos coeficientes financeiros, estimar quais ser

ao as classificac¸

oes da empresa (classe de

inadimpl

encia) a cada novo coeficiente de endividamento e a taxa de juros do mercado que

corresponderia a esta classificac¸

ao (classe de endividamento). Este

e o custo da d´ıvida

antes dos impostos.

Passo: O custo da d´ıvida depois dos impostos pode ent

ao ser calculado utilizando-se

o percentual de impostos da empresa:

= Custo da D´ıvida Depois dos Impostos;

= Custo da D´ıvida Antes dos Impostos.(1− Al´ıquota de Impostos).

Custo de capital

Com os custos de patrim

onio e d´ıvida em diferentes n´ıveis de endividamento, os custos

de capital para diferentes n´ıveis de endividamento podem ser estimados. O coeficiente de

endividamento em que o custo de capital

e minimizado ser

a o coeficiente

otimo de d´ıvida.

Premissas gerais

A abordagem aqui descrita para estimar o custo de capital em diferentes n´ıveis de en-

dividamento baseia-se em diferentes pressupostos. Primeiro, o efeito sobre a empresa de

se mudar a estrutura de capital

e isolado, mantendo-se fixa a parte de ativos e alterando a

parte de passivos. Em termos pr

aticos, isto implica que o coeficiente de d´ıvida

e aumentado

atrav

es de t´ıtulos de d´ıvida e da recompra de patrim

onio e reduzido atrav

es da emiss

de patrim

onio e do recolhimento de d´ıvidas. Poder

a o coeficiente

otimo de d´ıvidas obtido

atrav

es desta pr

atica ser generalizado a casos em que a empresa planeja investir os novos

fundos em projetos em vez de recomprar t´ıtulos? Contanto que a empresa continue a fazer

investimentos na mesma linha de neg

ocio, a classe de risco que ela vinha operando no

passado, o coeficiente

otimo de d´ıvida obtido da an

alise acima pode continuar a ser usado.

Se a empresa estiver planejando investir em novas

areas com diferentes perfis de risco, o

coeficiente

otimo de endividamento calculado, mantendo-se fixa a parte dos ativos, poder

ao ser mais adequada.

Segundo, presume-se que a receita operacional antes dos impostos n

ao seja afetada

pelo mix de financiamento e, por extens

ao, pelo risco de inadimpl

encia da empresa. Se a

receita operacional for uma func¸

ao do risco de inadimpl

encia da empresa, o quadro contex-

tual b

asico n

ao se alterar

a. Entretanto, a minimizac¸

ao do custo de capital pode n

ao ser o

curso de ac¸

otimo, uma vez que o valor da empresa

e determinado tanto pelos fluxos de

caixa quanto pelo custo de capital. O valor da empresa ter

a que ser calculado para cada

n´ıvel de endividamento e o coeficiente

otimo de endividamento ser

a aquele que maximiza

o valor da empresa.

3.7 Casos particulares na abordagem por fluxo de caixa

descontado

Em alguns casos, a determinac¸

ao de valor de uma empresa por fluxo de caixa descontado

tem que ser modificada, devido a caracter´ısticas especiais que diferenciam certos tipos de

empreendimentos.

3.7.1 Empresas c

iclicas

Estas empresas apresentam lucros intimamente ligados ao estado da economia, sendo ex-

tremamente vol

ateis. Em per´ıodos de ``boom'' econ

omico, os lucros destas empresas nor-

malmente inflar

ao, enquanto que em per´ıodos de recess

ao os lucros provavelmente estar

deprimidos. Desta forma

e necess

ario abordar, nos c

alculos do valor destas empresas, a

ciclicidade dos lucros durante o ano-base e os efeitos da volatilidade dos lucros.

Normalmente, o ano-base utilizado para c

alculo do Fluxo de Caixa Descontado

e o ano

corrente e as taxas de crescimento s

ao usadas para se projetar lucros e fluxos de caixa

futuros. Se o est

agio do ciclo econ

omico for um momento de pico, os lucros podem ser

demasiadamente elevados. Se o est

agio econ

omico no instante da avaliac¸

ao apresentar

um cen

ario de recess

ao, os lucros podem ser demasiadamente reduzidos. Aplicar taxas de

crescimento aos lucros sem ajust

a-los (devido a efeitos c´ıclicos), pode levar a erros signi-

ficativos de avaliac¸

ao.

3.7.2 Empresas em dificuldades financeiras

A avaliac¸

ao de empresas em dificuldades financeiras como lucros e fluxos de caixa negati-

vos, incapacidade de atender aos pagamentos da d´ıvida, aus

encia de dividendos, etc., torna

dif´ıcil a aplicac¸

ao de modelos de desconto em fluxos de caixa. Pode-se aplicar soluc¸

oes em

func¸

ao do grau de dificuldade que a empresa se encontra. Se a dificuldade n

ao for fatal,

ou seja, a empresa n

ao se encontra na imin

encia de sua liquidac¸

ao, existe uma variedade

de soluc¸

oes potenciais, tais como a avaliac¸

ao da empresa ao inv

es do patrim

onio l´ıquido, a

utilizac¸

ao de lucros normalizados ou m

edios, e estimativas de fluxo de caixa detalhado para

per´ıodo de transic¸

ao. Quando n

ao houver sequer esperanc¸a de recuperac¸

ao (``luz no fim

do t

unel''), as soluc¸

oes poss´ıveis s

ao estipular o valor de liquidac¸

ao (valor de liquidac¸

ao dos

ativos - d´ıvida pendente) ou utilizar o modelo de precificac¸

ao de opc¸

oes.

3.8 Modelo do valor presente dos dividendos

O modelo b

asico para avaliar o patrim

onio l´ıquido

e o desconto de dividendos. O valor da

ac¸

ao de uma empresa pode ser calculado com base no fluxo futuro de dividendos. Quando

investidores compram ac¸

oes, geralmente esperam obter dois tipos de fluxo: os dividendos

durante o per´ıodo em que conservam as ac¸

oes e um prec¸o esperado ao final deste per´ıodo.

Como este prec¸o esperado

e determinado pelos dividendos futuros, o valor de uma ac¸

o valor presente dos dividendos at

e o infinito:

Valor esperado por ac¸

ao: =

∞



t=1

(1 + k)

, (3.11)

em que

= dividendos esperados por ac¸

ao;

k = taxa exigida de retorno sobre as ac¸

oes.

Existem dois dados b

asicos para o modelo: os dividendos esperados e a taxa de re-

torno exigida sobre o patrim

onio l´ıquido. Para obter os dividendos esperados, s

ao trac¸adas

hip

oteses sobre as futuras taxas de crescimento dos lucros e ´ındices payout em relac¸

ao ao

lucro. A taxa de retorno exigida de uma ac¸

e determinada por seu grau de risco, avaliado

de forma diferente de acordo com o modelo utilizado. O modelo

e flex´ıvel o suficiente para

permitir taxas de desconto vari

aveis com o tempo, em que a variac¸

ao com o tempo se deva

a mudanc¸as esperadas nas taxas de juros ou no risco ao longo do tempo.

O modelo de crescimento de Gordon

e uma vers

ao do modelo de dividendos que crescem

a uma mesma taxa g, indefinidamente. Considerando P

o prec¸o corrente e D

o dividendo

pago do pr

oximo per´ıodo, o valor de uma ac¸

e dado por:

(1 + k)

(1 + g)

(1 + k)

(1 + g)

(1 + k)

+ ··· +

(1 + g)

N−1

(1 + k)

+ ···

Usando-se a f

ormula da soma dos termos de uma progress

ao geom

etrica, dada por:

soma = Primeiro termo ∗ [1 − (raz

ao)

]/(1 − raz

ao), onde N

e o n

umero de termos da

progress

ao, obt

em-se a f

ormula do crescimento de Gordon, definida por P

(1+k)



1 −



1+g

1+k





1 −

1+g

1+k

k − g

, (3.12)

sendo: D

os dividendos esperados daqui a 1 ano; k a taxa exigida de retorno para investi-

dores em patrim

onio l´ıquido; g a taxa de crescimento perp

etua dos dividendos.

Segundo Damodaran (2005, cap. 10, p. 240), o modelo de Gordon se ajusta melhor

empresas que crescem a uma taxa compar

avel ou inferior

a taxa nominal de crescimento

da economia, que tenham pol´ıticas de pagamento de dividendos em relac¸

ao aos lucros bem

estabelecidas e que pretendam continu

a-las a executar no futuro. O payout de dividendos

em relac¸

ao aos lucros da empresa tem de ser consistente com a hip

otese de estabilidade,

pois empresas est

aveis, geralmente, pagam dividendos substanciais.

3.8.1 Modelo de dividendos em dois est

agios

Este modelo permite a exist

encia de dois est

agios de crescimento: uma fase inicial de cresci-

mento alto e uma fase posterior de equil´ıbrio com taxa de crescimento est

avel, que se espera

que permanec¸a por um longo prazo.

Considerando que a fase de crescimento alto dure n anos, com g para percentual de

crescimento, temos que:



t=1

(1 + k)

, onde P

n+1

− g

, (3.13)

em que

= dividendos pagos por ac¸

ao no ano t;

k = taxa exigida de retorno (custo do patrim

onio l´ıquido) no

per´ıodo de alto crescimento;

= Prec¸o ao final do ano n;

g = taxa de crescimento extraordin

ario para os primeiros n

anos;

= taxa de crescimento perp

etua ap

os o ano n;

= taxa exigida de retorno no estado de equil´ıbrio.

As mesmas restric¸

oes para o crescimento est

avel de Gordon, se aplicam ao modelo de

dois est

agios. A taxa de crescimento est

avel da empresa g

deve ser compar

avel

a taxa de

crescimento da economia. Al

em disso o ´ındice payout tem de ser consistente com a taxa

de crescimento estimada.

Limitac¸

oes do modelo

O modelo de precificac¸

ao por dividendos apresenta tr

es problemas na sua aplicac¸

ao. O

primeiro se refere

a determinac¸

ao do per´ıodo de durac¸

ao de crescimento extraordin

ario.

Quanto maior for este per´ıodo, maior o valor do investimento. Na pr

atica

e dif´ıcil converter

considerac¸

oes qualitativas sobre o per´ıodo de crescimento maior em um per´ıodo espec´ıfico

de tempo.

O segundo problema est

a relacionado

a hip

otese de que a taxa de crescimento seja alta

durante o per´ıodo inicial e se altere da noite para o dia em uma taxa menor, est

avel ao final

do per´ıodo. Embora tais mudanc¸as bruscas possam acontecer,

e mais realista imaginar que

a mudanc¸a de alto crescimento pra crescimento est

avel acontec¸a gradualmente ao longo

do tempo.

E finalmente, o modelo tamb

e sens´ıvel

as hip

oteses relativas ao crescimento est

avel,

assim como no modelo de Gordon. Superestimar ou subestimar essa taxa de crescimento

est

avel pode levar a erros significativos de valor.

Apesar disso, podem ocorrer cen

arios aonde as hip

oteses do modelo se aplicam. Uma

empresa pode apresentar um alto crescimento devido aos direitos de uma patente de um

produto muito lucrativo pelos pr

oximos anos, ou uma empresa que desfrute de altos lucros

devido a barreiras de entrada em seu mercado significativas, que pode se esperar que man-

tenham novos concorrentes afastados por v

arios anos.

3.8.2 O modelo H para a avaliac¸

ao do crescimento

Este modelo tamb

em apresenta dois est

agios para o crescimento de uma empresa, com a

diferenc¸a de que no primeiro est

agio a taxa de crescimento n

e constante, mas diminui

linearmente ao longo do tempo at

e atingir a taxa de crescimento est

avel do segundo est

agio.

O modelo baseia-se no pressuposto de que a taxa de crescimento de lucros comece em

uma taxa inicial alta g

e decline linearmente sobre o per´ıodo de crescimento extraordin

ario

- quantidade 2H de durac¸

ao - para uma taxa de crescimento est

avel g

-. Tamb

em se sup

que o payout dos dividendos

e constante sobre o tempo, n

ao sendo afetado pelas taxas de

crescimento mut

aveis.

Modelos de desconto de dividendo

✻

❄

Fase de crescimento extraordin

ario: 2H anos Fase de crescimento infinito

✲

✻

tempo

crescimento

O valor dos dividendos no modelo H pode ser expresso como:

(1 + g

)

k − g

  

crescimento est

avel

× H(g

− g

)

k − g

  

crescimento extraordin

ario

, (3.14)

onde:

= valor da empresa por ac¸

ao nesse momento;

= D no ano t = 0;

k = retorno exigido pelo investidor em patrim

onio l´ıquido;

= taxa inicial de crescimento;

= taxa de crescimento ao final de 2H anos, que se aplica

perpetuamente ap

os esse per´ıodo.

Limitac¸

oes do modelo

Apesar de evitar os problemas com a queda repentina da taxa de crescimento, o modelo H

ainda apresenta limitac¸

oes. Primeiro, espera-se que o decl´ınio da taxa de crescimento no

per´ıodo inicial siga uma estrutura r´ıgida estabelecida no modelo. Embora pequenos desvios

dessa hip

otese n

ao afetem significativamente o valor, grandes desvios podem causar pro-

blemas. Al

em disso, a hip

otese de que o´ındice payout seja o mesmo em ambas as fases de

crescimento exp

oe o analista a uma inconsist

encia:

a medida que as taxas de crescimento

diminuem, o ´ındice payout permanece inalterado, quando deveria aumentar.

Segundo Damodaran (2005), este modelo pode ser

util para algumas empresas que, por

exemplo, estejam no momento crescendo rapidamente, crescimento este que se espera

que decline gradualmente com o tempo

a medida que as empresas se tornarem maiores

e a vantagem diferencial que t

em em relac¸

ao a outras empresas se reduzir. A hip

otese de

´ındice de payout constante faz o modelo inadequado para empresas que tenham baixo ou

nenhum dividendo atualmente. Dessa forma, o modelo, por exigir uma combinac¸

ao de alto

crescimento e alto pagamento, pode ser bastante limitado em sua aplicac¸

ao.

3.8.3 Modelo de desconto de dividendos (MDD) em tr

es est

agios

O modelo em tr

es est

agios combina o modelo de dois est

agios com o modelo H. Considera

a exist

encia de um per´ıodo inicial de alto crescimento, um per´ıodo de transic¸

ao em que o

crescimento declina linearmente e uma fase final perp

etua de crescimento est

avel. Al

disso, n

ao imp

oe restric¸

ao ao ´ındice payout.

O valor da ac¸

ao neste modelo

e expresso a seguir:

t=n



t=1

(1 + g

)

× Π

(1 + k)

  

crescimento elevado

t=n



t=n

(1 + k)

  

transic¸

(1 + g

) × Π

− g

)(1 + k

)

  

crescimento est

avel

, (3.15)

onde

= lucros por ac¸

ao no ano t;

= dividendos por ac¸

ao no ano t;

= taxa de crescimento na fase de alto crescimento (durante

per´ıodos);

= taxa de crescimento na fase de crescimento est

avel;

= ´ındice payout na fase de alto crescimento;

= ´ındice payout na fase de crescimento est

avel;

k = taxa exigida de retorno sobre o patrim

onio l´ıquido no

per´ıodo de alto crescimento;

= taxa exigida de retorno sobre o patrim

onio l´ıquido no

per´ıodo de crescimento est

avel.

O ´ındice payout geralmente ser

a menor no per´ıodo de alto crescimento, aumentando

durante o per´ıodo de transic¸

ao e alto no per´ıodo de crescimento est

avel.

Crescimento esperado no MDD de tr

es est

agios

Taxas de crescimento de lucros

✻

❄

❍

✻

❄

Alto crescimento Per´ıodo de transic¸

ao Fase de crescimento infinito

✏

Altos ´ındices payout

Indices payout de dividendos

Pagamento crescente

Baixos ´ındices payout

✲

✻

tempo

crescimento

Limitac¸

oes do modelo

Este modelo remove muitas restric¸

oes impostas por outras vers

oes do modelo de descontos

de dividendos, mas, segundo Damodaran (2005, cap. 10) exige uma quantidade muito maior

de dados: ´ındices payout, taxas de crescimento e betas espec´ıficos para cada ano. Erros

nestes dados podem sobrepujar quaisquer benef´ıcios que provenham da flexibilidade deste

modelo.

3.9 Modelo baseado no P /L (

indice Prec¸o/Lucro) de ac¸

oes

similares

O modelo baseado no P /L de ac¸

oes similares constitui-se na comparac¸

ao da empresa

com outras que apresentam caracter´ısticas semelhantes (segmento econ

omico, n´ıvel tec-

nol

ogico, perfil gerencial, etc.). A relac¸

ao entre o prec¸o e o lucro por ac¸

ao (P /L) dessas

outras entidades seria multiplicada pelo lucro da avaliada, produzindo o suposto valor do

empreendimento, ou seja:

P /L = x ⇒ P = x.L

Este indicador, num mercado eficiente, proporcionaria uma medida normalizada para

comparar os prec¸os das ac¸

oes. Uma relac¸

ao P /L alta indica a exist

encia da expectativa

de crescimento dos benef´ıcios gerados pela empresa. Ela tamb

e interpretada como o

tempo em que se recupera o investimento inicial, considerando que os n´ıveis de benef´ıcios

permanecer

ao constantes. O inverso desse quociente (Lucro/Prec¸o)

e uma medida de rendi-

mento do t´ıtulo. Algumas cr´ıticas para este modelo s

ao normalmente citadas por alguns

autores:

• considera o lucro cont

abil;

• ignora o valor do dinheiro no tempo e os riscos; e

• considera impl´ıcita a id

eia de efici

encia do mercado.

Outros autores, como Damodaran (2005, cap. 14), fazem uma avaliac¸

ao dife-

rente, mostrando que o valor do dinheiro no tempo e os riscos est

ao relacionados ao ´ındice

P /L.

O ´ındice P /L, para uma empresa est

avel, pode ser obtido a partir do modelo de cresci-

mento de Gordon para uma empresa est

avel:

(k − g

)

, (3.16)

onde

= valor do patrim

onio l´ıquido;

= dividendos esperados por ac¸

ao no ano seguinte;

k = taxa exigida de retorno sobre o patrim

onio l´ıquido;

= taxa de crescimento dos dividendos (para sempre);

= E

(

Indice payout)(1 + g

O valor do patrim

onio l´ıquido pode ser expresso como:

(

Indice payout)(1 + g

)

(k − g

)

. (3.17)

Rearranjando para explicitar o ´ındice PL:

= P E =

Indice payout(1 + g

)

k − g

. (3.18)

Se o ´ındice PL for estabelecido em termos dos lucros esperados no per´ıodo de tempo

seguinte, a express

ao pode ser simplificada para:

= P E

Indice payout

k − g

. (3.19)

O ´ındice PL

e uma func¸

ao crescente do ´ındice payout e da taxa de crescimento, e uma

func¸

ao decrescente do risco da empresa.

3.10 Metodologia do valor presente ajustado

Esta metodologia ajusta os fluxos de caixa e valores presentes pelos custos e benef´ıcios

provenientes de financiamentos.

Nas considerac¸

oes de Modigliani e Miller para o princ´ıpio fundamental, aplicado em ava-

liac¸

ao de empresas, uma das pressuposic¸

oes

e de que o custo m

edio ponderado de capital,

em um mundo livre de impostos, deve ser constante, independente da estrutura de capital.

Segundo Copeland, Koller e Murrin (2002, cap. 8), isto

e evidente se o valor total

for constante e os fluxos de caixa livre, por definic¸

ao, forem independentes da estrutura do

capital. Dessa forma, a estrutura de capital s

o pode afetar fluxos de caixa por meio de im-

postos, outras imperfeic¸

oes e distorc¸

oes do mercado. Na maioria dos pa´ıses, pagamentos

de juros s

ao dedut´ıveis para fins fiscais, e, dessa forma, o total de impostos pagos poder

ser menor se a empresa utilizar endividamento em sua estrutura de capital.

Uma forma de se ajustar estes valores

e atrav

es do c

alculo de um novo custo m

edio

ponderado de capital, considerando-se custos n

ao alavancados do capital social com custos

de endividamentos e impostos.

CMePC = k

− k



B + S



T , (3.20)

onde

= custo n

ao alavancado do capital social;

= custo do endividamento;

T = al´ıquota tribut

aria marginal sobre as despesas com juros;

B = valor de mercado do endividamento;

S = valor de mercado do capital social.

Os efeitos colaterais do capital de terceiros podem ser os mais variados. Um destes

e o

efeito positivo resultante de subs´ıdios fiscais, conseq

encia da dedutibilidade do valor dos

impostos sobre o lucro que uma d´ıvida pode provocar. Outra forma de subs´ıdio

e o que

se refere a financiamentos com capital de terceiros que podem apresentar alternativas de

endividamento com condic¸

oes especiais, provocando um aumento do spread entre captac¸

e aplicac¸

ao de recursos. Efeitos colaterais negativos podem ser devido ao surgimento de

custos referentes

a emiss

ao de novos t´ıtulos (motivado por lanc¸amento de t´ıtulos junto ao

ublico) e o custo associado

as dificuldades financeiras, com elevac¸

ao do risco de fal

encia

e do custo m

edio ponderado de capital, causado pela alavancagem financeira.

3.11 Valor de uma empresa em termos de goodwill

Segundo Iudic´ıbus (2004, cap. 13), o goodwill

e um item que pode ser definido como um

ativo intang´ıvel n

ao identific

avel. Kohler define um ativo intang´ıvel como sendo ``um ativo

de capital que n

ao tem exist

encia f´ısica, cujo valor

e limitado pelos direitos e benef´ıcios que

antecipadamente sua posse confere ao propriet

ario''. O termo ``n

ao identific

avel'' representa

o fato de que o goodwill apresenta vantagens que n

ao s

ao especificamente identific

aveis e

ao possui usos alternativos.

O goodwill trata-se, portanto, de um assunto complexo e tem sido considerado, segundo

Iudic´ıbus (2004), sob tr

es perspectivas:

1. como excesso de prec¸o pago pela compra de um empreendimento ou patrim

onio sobre

o valor de mercado de seus ativos l´ıquidos;

2. nas consolidac¸

oes, como o excesso de valor pago pela companhia-m

ae por sua par-

ticipac¸

ao sobre os ativos l´ıquidos da subsidi

aria;

3. como o valor presente dos lucros futuros esperados, descontados de seus custos de

oportunidade.

A metodologia apresentada a seguir

e uma das v

arias maneiras de se estimar o goodwill

de uma empresa, que pode levar tamb

em a uma particular maneira de avaliar o valor de

uma empresa.

Considerar que:

P E

= patrim

onio l´ıquido a valores de realizac¸

ao (tang´ıveis e in-

tang´ıveis identific

aveis), avaliando no momento zero;

k = taxa de retorno de um investimento de risco zero; a taxa de

custo de oportunidade, aplic

avel a um P L

por apresentar

o recebimento de P L

um risco nulo (est

a avaliado o valor

da realizac¸

ao);

= lucro projetado para o per´ıodo i;

j = taxa desejada de retorno, que deve ser superior

a taxa

r, pois o lucro E

e gerado por elementos tang´ıveis e in-

tang´ıveis; o risco

e maior, logo se faz necess

ario adicionar

a r um pr

emio pelo risco.

A equac¸

ao que expressa o ``lucro em excesso'' no per´ıodo i

Lucro em excesso (valor presente) =

− kP E

i−1

(1 + j)

. (3.21)

Esta express

e v

alida para todos os per´ıodos, de forma que o valor presente do good-

will ser

G =

− kP E

(1 + j)

− kP E

(1 + j)

+ ··· +

− kP E

n−1

(1 + j)

. (3.22)

O valor presente da empresa ser

V P = P E

+ G .

Para um lucro m

edio constante anual L com horizonte indefinido, obt

em-se:

G =

E − P Ek

. (3.23)

O valor da empresa ser

a :

V P = P E + G .

Igualando a taxa k

a taxa j e denominando J, obt

em-se:

V P =

E − P EJ

+ P E . (3.24)

Logo:

JV P = E −P EJ + JP E .

Assim:

JV P = E

Finalmente:

V P =

3.12 Conclus

Neste cap´ıtulo foram apresentadas metodologias de c

alculo do valor de empresas, alinhadas

ao princ´ıpio fundamental. Fica evidente que a principal abordagem utilizada

e a por fluxo de

caixa descontado.

Para isto, foi definido um importante par

ametro, o CMePC: custo m

edio ponderado de

capital, utilizado como taxa de desconto que funciona como o custo de oportunidade. Tam-

em foram apresentados alguns modelos de casos particulares na abordagem por fluxo de

caixa descontado, como empresas c´ıclicas e empresas em dificuldades financeiras.

Outra abordagem importante

e a do modelo de precificac¸

ao do valor presente por dividen-

dos, e formas alternativas de aplicac¸

ao deste modelo como o modelo de dividendos em dois

est

agios, o modelo H para avaliac¸

ao do crescimento e o modelo de desconto de dividendos

em tr

es est

agios. O ponto negativo desta abordagem

e considerar uma taxa de crescimento

constante e ser aplic

avel apenas em casos de empresas extremamente est

aveis, situac¸

oes

improv

aveis de se encontrar.

Foram apresentadas tamb

em outras formas de precificac¸

ao alinhadas ao princ´ıpio fun-

damental, com abordagens diferenciadas, como o modelo baseado no ´ındice prec¸o/lucro de

ac¸

oes similares, a metodologia do valor presente ajustado e o valor de uma empresa em

termos de ``goodwill''.

CAP

ITULO 4

ETODOS DE DETERMINAC¸

AO DO VALOR DE UMA

EMPRESA N

AO ASSOCIADOS AO PRINC

IPIO

FUNDAMENTAL

4.1 Introduc¸

Neste cap´ıtulo s

ao apresentadas outras metodologias de precificac¸

ao de empresas n

ao a-

linhadas ao princ´ıpio fundamental. Como um dos objetivos deste trabalho

e a de fornecer

um panorama geral das v

arias possibilidades de c

alculo do valor de empreendimentos,

alido apresentar nesta parte do trabalho formas alternativas de precificac¸

ao de empresas,

que consideram outros par

ametros dos empreendimentos e soluc¸

oes interessantes quando

a base de dados para a precificac¸

ao for insuficiente.

4.2 Modelo de avaliac¸

ao cont

abil

Segundo este modelo, o valor de uma empresa est

a baseado na soma alg

ebrica dos ativos

e passivos exig´ıveis mensurados de acordo com os princ´ıpios cont

abeis tradicionais. A

equac¸

ao que representa este modelo

e mostrada a seguir:

Valor da Empresa = Ativos Cont

abeis - Passivos exig´ıveis cont

abeis

= Patrim

onio L´ıquido.

Segundo Martins (2001), o modelo de avaliac¸

ao patrimonial cont

abil pode ser utilizado

por empresas cujos ativos mensurados pelos princ´ıpios cont

abeis n

ao divergem muito de

seus valores de mercado e que n

ao possuem um goodwill (ativos intang´ıveis) significativo.

Dessa forma, seu uso deve ser muito restrito.

4.3 Modelo de avaliac¸

ao patrimonial pelo mercado

O modelo de avaliac¸

ao patrimonial pelo mercado contabiliza o conjunto de ativos e passivos

exig´ıveis com base no valor de mercado e seus itens espec´ıficos. Os valores de entrada

ou sa´ıda s

ao aplicados de acordo com a natureza e a intenc¸

ao de uso de cada item. No

livro Avaliac¸

ao de Empresas: Da Mensurac¸

ao Cont

abil

a Econ

omica,

e mostrado o seguinte

exemplo:

Item patrimonial Crit

erio de avaliac¸

ao proposto

Estoque de mat

eria prima Custo de reposic¸

Estoque de produtos acabados Valor l´ıquido de realizac¸

Contas a receber Valor presente do recebimento futuro

Passivo exig´ıvel Ajustado a seu valor de mercado, de

acordo com as condic¸

oes de cr

edito e

taxas de juros acordadas

Em termos de equac¸

ao, obt

em-se:

Valor da empresa = Ativos ajustados − passivos exig´ıveis ajustados.

Segundo Martins (2001), embora v

alida para um n

umero maior de situac¸

oes es-

pec´ıficas, a adoc¸

ao do modelo de avaliac¸

ao patrimonial pelo mercado costuma desconside-

rar os benef´ıcios l´ıquidos futuros que o conjunto de ativos e passivos exig´ıveis seria capaz

de gerar. Na realidade, tem fundamento quando ele

e superior ao valor da empresa em

marcha.

4.4 Modelo de capitalizac¸

ao de lucros

Esta metodologia parte dos lucros m

edios ponderados antes dos juros e tributos e capitaliza-

os com o uso de uma taxa subjetivamente determinada. Conseq

uentemente, a determina-

c¸

ao desta taxa pode gerar diverg

encias.

Em pequenos neg

ocios que apresentam certa tradic¸

ao de lucratividade, a taxa de capi-

talizac¸

ao geralmente

e fixada entre 33% e 17% e tamb

em pode ser expressa em m

ultiplos

(6, 3, etc.)

Segundo Scharf, Shea e Beck (1991:79), o modelo de capitalizac¸

ao de lucros

exige cuidados na identificac¸

ao de dois elementos:

1. o lucro do comprador depois da operac¸

ao ajustado pelas tend

encias;

2. a taxa de capitalizac¸

ao adequada.

A principal limitac¸

ao desta abordagem

e que o lucro

e apurado atrav

es da contabilidade

tradicional.

4.5 Modelo dos m

ultiplos de faturamento

O modelo de m

ultiplos de faturamento consiste numa vers

ao simplificada do modelo de

capitalizac¸

ao dos lucros. Neste modelo o lucro cont

abil

e substitu´ıdo pelo faturamento

da empresa. As informac¸

oes sobre os demais itens do resultado do exerc´ıcio tornam-se

desnecess

arias, simplificando significativamente a avaliac¸

ao. Essa opc¸

ao pode surtir efeitos

satisfat

orios em empreendimentos que n

ao possuem um sistema cont

abil ou que n

ao se

pode confiar.

Segundo Martins (2001), a simplicidade do modelo dos m

ultiplos de faturamento parece

compat´ıvel com pequenos neg

ocios (padarias, farm

acias, etc.), em que os eventos econ

micos associados

as operac¸

oes da entidade possuem baixo n´ıvel de complexidade e existe

forte homogeneidade no setor. Assim, com base na experi

encia do avaliador, a fixac¸

primordialmente subjetiva do multiplicador tende a n

ao comprometer a aproximac¸

ao do valor

econ

omico do empreendimento.

4.6 Modelo dos m

ultiplos de fluxo de caixa

O modelo por m

ultiplos de fluxo de caixa

e m

etodo an

alogo ao modelo de m

ultiplos de lucros

na avaliac¸

ao de empresas. O EBITIDA (Earnings Before Interest, Taxes, Depreciation and

Amortization ou Lucros Antes dos Juros, Impostos sobre o Lucro, Depreciac¸

ao, Amortizac¸

e Exaust

ao)

e calculado e combinado com os multiplicadores, resultando num valor estimado

para a empresa.

O exemplo simplificado, Avaliac¸

ao de Empresas: Da Mensurac¸

ao Cont

abil

a Econ

omica,

ilustra a aplicac¸

ao desse modelo.

E apresentada a seguinte demonstrac¸

ao do resultado,

considerando um m

ultiplo de 3:

Demonstrac¸

ao do resultado do exerc´ıcio (em $)

Itens do resultado Valores

Vendas 1.200

Custo das vendas -400

Despesas operacionais (que afetam o caixa) -200

Lucros antes dos juros, tributos sobre o lucro, depreciac¸

ao,

amortizac¸

ao e exaust

ao (EBITIDA)

600

Depreciac¸

ao, amortizac¸

ao e exaust

ao -300

Resultado financeiro -100

Lucros antes dos tributos sobre o lucro 200

IR + Contribuic¸

ao Social -70

Lucro l´ıquido 130

Considerando que a empresa possui $50,00, em aplicac¸

oes financeiras e $600,00 em

d´ıvidas, o valor da empresa seria:

Itens Valor

EBITIDA $600

Multiplicador 3

Subtotal $1.800

Aplicac¸

oes financeiras $50

D´ıvidas -$600

Valor da empresa $1.250

E claramente observado que a escolha do multiplicador influencia significativamente o

valor estimado da empresa. Desta forma, um cuidado especial, deve ser atribu´ıdo a esta

tarefa. Segundo Martins (2001), o uso dos multiplicadores apresenta indiretamente a

eia de per´ıodos para o retorno do investimento (payback), e

e, a exemplo do modelo dos

ultiplos de faturamento, aplic

avel aos setores econ

omicos homog

eneos. Cada segmento

econ

omico tende a ter seu pr

oprio multiplicador em func¸

ao da estrutura da formac¸

ao de seu

resultado e da taxa de retorno requerida.

4.7 Modelos baseados no EVA

O modelo de gerenciamento de empresas, baseado no EVA, consiste na busca da maximi-

zac¸

ao do valor econ

omico adicionado:

EVA = Nopat − (C% ×TC) ,

onde:

EVA = valor econ

omico adicionado (Economic Value Added);

Nopat = resultado operacional l´ıquido depois dos impostos (Net

Operating Profit After Taxes);

C% = custo percentual do capital total (pr

oprio e de terceiros);

TC = capital total investido.

Um outro indicador importante neste t

opico

e o MVA

❣

- Market Value Added - cuja

proposta

e mensurar a riqueza gerada por empreendimento, em termos de percepc¸

ao do

mercado relativo ao valor de seus t´ıtulos imobili

arios. Conseq

uentemente, sua equac¸

ao,

segundo Ehrbar (1999:36), seria:

MVA

❣

= valor de mercado − capital total.

De acordo com Ehrbar, o valor de mercado

e igual a soma do valor de mercado do capital

oprio mais o valor de mercado do endividamento. No que se refere ao endividamento,

parece haver algum consenso de que seu valor cont

abil tradicional se constitui num bom

substituto do valor de mercado.

Muitas empresas, pressionadas pela crescente competitividade e exig

encia de posturas

gerenciais mais eficazes, v

em orientando sua administrac¸

ao por este m

etodo. Segundo

Stewart (1991),

e poss´ıvel obter o valor de uma empresa com base no lucro econ

omico, ou

seja;

Valor de mercado = Valor presente dos EVA

❣

+ Capital.

Calculamos, ent

ao, o valor presente dos EVA

❣

projetados e adicionamos o capital em-

pregado para apurar o valor da empresa. As equac¸

oes a seguir sintetizam as id

eias de

Stewart (1991):

Valor da empresa = Capital total empregado + Valor adicionado ∗

∗Valor presente dos EVA

❣

futuros (MVA positivo)

Valor da empresa = Capital total empregado − Valor destru´ıdo ∗

∗Valor presente dos EVA futuros (MVA negativo)

A determinac¸

ao do valor de uma empresa pelo m

etodo EVA estar

a sujeita

as vanta-

gens e desvantagens do m

etodo no gerenciamento de uma empresa. Entre as vantagens

destaca-se a capacidade de conscientizar rapidamente o gestor sobre as expectativas do

investidor em relac¸

a sua atuac¸

ao e a simplicidade de compreens

ao. Por outro lado, ape-

sar de reconhecer a inadequac¸

ao dos resultados cont

abeis tradicionais para a mensurac¸

do valor do empreendimento, o modelo limita-se a ajust

a-los globalmente, em vez de tratar

as informac¸

oes

a medida que ocorrem os eventos. Outra desvantagem

e que a base de re-

sultados globais da empresa impede a identificac¸

ao da contribuic¸

ao gerada por cada

area.

4.8 Conclus

e este cap´ıtulo, foram apresentadas as metodologias tradicionais no que se refere

precificac¸

ao de uma empresa. A partir deste ponto, o trabalho comec¸ar

a a se enveredar

em metodologias de precificac¸

ao mais elaboradas, mas ainda com forte sustentac¸

ao no

princ´ıpio fundamental. A evoluc¸

ao e o aumento da complexidade do mundo dos neg

ocios

impuseram a necessidade do desenvolvimento de novas metodologias que incorporassem

elementos do mundo real n

ao adotados por qualquer das metodologias apresentadas at

e o

presente momento do trabalho.

E sobre estas novas abordagens que o trabalho se desen-

volver

a daqui por diante.

CAP

ITULO 5

TEORIA DE PRECIFICAC¸

AO DE OPC¸

OES APLICADAS

AVALIAC¸

AO DE PATRIM

ONIO L

IQUIDO

5.1 Introduc¸

Durante a

ultima d

ecada, avanc¸os te

oricos e tecnol

ogicos possibilitaram metodologias al-

ternativas

a abordagem por fluxo de caixa descontado para a determinac¸

ao do valor de

empresas. Uma metodologia que vem ganhando destaque

e a aplicac¸

ao de modelos de

precificac¸

ao de opc¸

oes na avaliac¸

ao de investimentos, principalmente aqueles em que o

grau de flexibilidade for significativo. Segundo Damodaran (2005) no m

etodo de de-

scontos de fluxos de caixa, dois aspectos importantes em tomadas de decis

oes de investi-

mentos s

ao ignorados: a) a irreversibilidade, ou seja, o fato de que o investimento

e um custo

afundado, de modo que o investidor n

ao consegue recuper

a-lo em caso de arrependimento;

e b) a possibilidade de adiamento da decis

ao de investir.

Em decis

oes de investimento, irreversibilidade, incerteza e possibilidade de adiamento

ao caracter´ısticas importantes. Na metodologia de precificac¸

ao de opc¸

oes, essas carac-

ter´ısticas s

ao captadas explicitamente nos c

alculos.

5.2 Definindo uma opc¸

Opc¸

e um ativo derivado de um outro ativo, denominado ativo subjacente. Trata-se de um

direito que um investidor adquire de comprar ou vender uma quantidade pr

e-determinada de

um ativo a um prec¸o fixo, denominado prec¸o de exerc´ıcio, antes ou na data de vencimento

da opc¸

ao. Por se tratar de um direito, e n

ao uma obrigac¸

ao, o investidor pode decidir se

exercer

a seu direito ou n

ao, permitindo que a opc¸

ao expire. Esta decis

ao ser

a baseada

no valor de mercado do ativo subjacente no per´ıodo do vencimento. Existem dois tipos de

opc¸

ao: opc¸

ao de compra e opc¸

ao de venda.

5.2.1 Opc¸

oes de compra

Uma opc¸

ao de compra d

a o direito ao comprador da opc¸

ao de adquirir o ativo subjacente por

um prec¸o fixo a qualquer momento antecedente

a data de vencimento da opc¸

ao e inclusive.

O comprador, no momento da compra da opc¸

ao, paga um pr

emio ao portador da ac¸

ao por

este direito.

Se o valor S do ativo no mercado, no instante ou anteriormente ao vencimento da opc¸

ao,

for maior que o prec¸o de exerc´ıcio (K) - o prec¸o determinado no instante da compra da

opc¸

ao - o comprador exerce o direito. Seu lucro bruto ser

a S −K (valor do ativo no mercado

menos o valor de exerc´ıcio) e seu lucro l´ıquido ser

a o lucro bruto menos o valor do pr

emio

da opc¸

ao.

Se o valor S do ativo no mercado for menor que o prec¸o de exerc´ıcio K, o comprador da

opc¸

ao n

ao exerce seu direito e paga o pr

emio ao detentor do ativo, sendo este o preju´ızo

do comprador da opc¸

ao e lucro para o vendedor.

Podemos associar

a opc¸

ao de compra um diagrama de retorno, que exemplifica o fluxo

de caixa desta opc¸

ao. O retorno ser

a negativo, e igual ao valor do pr

emio pago pela opc¸

ao,

se o valor do ativo subjacente for menor que o prec¸o de exerc´ıcio no vencimento ou antes

deste. Se o prec¸o do ativo no mercado exceder o prec¸o de exerc´ıcio, o lucro l´ıquido ser

a o

valor do ativo no mercado, menos o prec¸o de exerc´ıcio e menos o valor do pr

emio.

Diagrama de retorno de uma opc¸

ao de compra

✲

✚

✚❃

Prec¸o de exerc´ıcio

Prec¸o de ativo subjacente

Retorno l´ıquido de

opc¸

ao de venda

✻

retorno

5.2.2 Opc¸

oes de venda

Uma opc¸

ao de venda d

a o direito ao comprador da opc¸

ao de vender o ativo subjacente por

um prec¸o fixo a qualquer momento antecedente

a data do vencimento. O comprador paga

um pr

emio por este direito.

Se o valor de mercado do ativo S no instante do vencimento da opc¸

ao for menor que o

prec¸o de exerc´ıcio, o comprador da opc¸

ao exerce seu direito. Seu lucro l´ıquido ser

a o prec¸o

de exerc´ıcio K menos o prec¸o de mercado S e menos ainda o valor do pr

emio da opc¸

ao. Se

o prec¸o de exerc´ıcio K for menor que o valor de mercado do ativo no instante do vencimento

(ou antes dele), o comprador da opc¸

ao n

ao exerce seu direito, e seu preju´ızo ser

a o valor

do pr

emio da opc¸

ao, que ser

a o lucro do vendedor.

Um diagrama de retorno de opc¸

oes de venda

e mostrado a seguir.

Diagrama de pagamento de opc¸

ao de venda

✲

❩

❩⑥

Prec¸o de exerc´ıcio

Prec¸o de ativo subjacente

Retorno l´ıquido de

opc¸

ao de venda

✻

retorno

5.3 Determinantes do valor de uma opc¸

Uma opc¸

ao pode ser negociada no mercado e seu valor

e determinado por uma s

erie de

vari

aveis relativas ao ativo subjacente e ao mercado financeiro.

Opc¸

oes s

ao ativos que derivam seus valores de um ativo subjacente. Mudanc¸as neste

ativo afetam o valor das opc¸

oes. Quanto maior for a vari

ancia do prec¸o do ativo subjacente

no mercado e maior for o prazo at

e o vencimento da opc¸

ao esta se valorizar

a, tanto opc¸

oes

de compra quanto opc¸

oes de venda. O aumento na medida de risco, no caso vari

ancia,

aumenta o valor das opc¸

oes, ao contr

ario de outros investimentos. Como o preju´ızo dos

compradores de opc¸

ao nunca ser

a maior que o valor do pr

emio pago, movimentos de prec¸o

podem significar potencial de ganhos de uma opc¸

ao.

A taxa de juros livre de risco tamb

em entra na avaliac¸

ao de opc¸

oes quando o valor pre-

sente do prec¸o de exerc´ıcio for calculado, j

a que o prec¸o de exerc´ıcio n

ao precisa ser pago

(recebido) at

e o vencimento das opc¸

oes de compra (venda). Aumento nas taxas de juros

aumentar

ao o valor das opc¸

oes de compra e reduzir

ao o valor das opc¸

oes de venda.

5.4 Modelos de precificac¸

ao de opc¸

oes

A partir de 1972, a teoria de precificac¸

oes de opc¸

oes se desenvolveu intensamente com

a publicac¸

ao do trabalho de Black e Scholes sobre o assunto. Neste trabalho, Black e

Scholes determinam o valor de uma opc¸

ao a partir de uma ``carteira replicante'', composta

pelo ativo subjacente e o ativo de risco zero que produziria os mesmos fluxos de caixa da

opc¸

ao avaliada. Existem duas abordagens poss´ıveis para a precificac¸

ao de uma opc¸

ao a

partir do trabalho de Black e Scholes: um modelo binomial mais simples e o modelo de Black

e Scholes, ambos fundamentados pela mesma fonte de l

ogica.

5.4.1 Modelo binomial

O modelo binomial de precificac¸

ao de opc¸

oes

e baseado numa f

ormula simples do processo

de prec¸os de ativos, em que o ativo, a qualquer momento, pode se deslocar para um de dois

prec¸os poss´ıveis.

O objetivo, ao se criar uma carteira replicante,

e utilizar uma combinac¸

ao de tomar (cap-

tar) / emprestar (aplicar) recursos livre de risco com o ativo subjacente para criar os mesmos

fluxos de caixa que os da opc¸

ao sendo avaliada. Os princ´ıpios da arbitragem ent

ao se apli-

cam, e o valor da opc¸

ao ter

a que ser igual ao valor da carteira replicante. Suponha que um

ativo com valor de mercado S, em que seu prec¸o pode se deslocar a qualquer momento

para S

ou S

, sendo S

maior que S e S

menor que S. A carteira replicante para uma

opc¸

ao de compra com prec¸o de exerc´ıcio K envolver

a tomar emprestado $B e adquirir uma

quantidade Δ do ativo subjacente, em que:

Δ = n

umero de unidades do ativo subjacente adquiridas

= (C

− C

)/(S

− S

) ,

sendo

= valor da opc¸

ao de compra se o prec¸o da ac¸

ao for S

;

= valor da opc¸

ao de compra se o prec¸o da ac¸

ao for S

❳

✘

❳

✘

❳

✘

O modelo binomial fornece uma vis

ao das determinantes do valor das opc¸

oes. O valor de

uma opc¸

ao n

e determinado pelo prec¸o esperado do ativo, mas sim pelo seu prec¸o atual

que,

e claro, reflete expectativas sobre o futuro. Isto

e conseq

encia direta da arbitragem.

Se o valor da opc¸

ao desvia do valor da carteira replicante, os investidores podem criar uma

posic¸

ao de arbitragem, ou seja, uma posic¸

ao que n

ao requeira qualquer risco e produza

retornos positivos. O valor da opc¸

ao valoriza

a medida que o prazo at

e o vencimento

ampliado e que os movimentos de prec¸o (u e d) tornam-se maiores e com o aumento das

taxas de juro.

5.4.2 Modelo de Black e Scholes

O modelo binomial de determinac¸

ao do prec¸o de uma opc¸

ao requer grande quantidade de

dados de entrada em termos de prec¸os futuros esperados em cada n

o. O modelo de Black

e Scholes

e um caso limitador do binomial, que reduz substancialmente as necessidades

de informac¸

ao.

O modelo binomial

e um modelo de tempo discreto da movimentac¸

ao de prec¸os de ativos,

com um intervalo de tempo (t) entre as movimentac¸

oes de prec¸o.

A medida que o intervalo

de tempo

e encurtado, a distribuic¸

ao limitadora (quando t se aproxima de zero), pode as-

sumir uma de duas formas. Se

a medida que t aproxima de zero e as variac¸

oes de prec¸os

se tornam menores, a distribuic¸

ao limitadora

e a distribuic¸

ao normal e o processo de prec¸os

e um processo cont´ınuo. Se

a medida que t se aproximar de zero e as flutuac¸

oes de prec¸os

permanecerem grandes, a distribuic¸

ao limitadora

e a distribuic¸

ao de Poisson, ou seja, uma

distribuic¸

ao que permite saltos de prec¸os.

O modelo de Black e Scholes se aplica quando a distribuic¸

ao limitadora

e a distribuic¸

normal e sup

oe, explicitamente, que o processo de prec¸os

e cont´ınuo e que n

ao h

a saltos

nos prec¸os de ativos.

A vers

ao do modelo apresentada por Black e Scholes foi projetada para a avaliac¸

ao de

opc¸

oes europ

eias, que s

ao protegidas de dividendos. Desta forma, nem a possibilidade

de exerc´ıcio antecipado nem o pagamento de dividendos afetam o valor das opc¸

oes neste

modelo.

O valor de uma opc¸

ao de compra no modelo Black-Scholes pode ser expresso como

func¸

ao das seguintes vari

aveis:

S = valor atual do ativo subjacente;

K = prec¸o do exerc´ıcio da opc¸

ao;

t = vida remanescente at

e a vida da opc¸

ao;

= taxa de juros livre de risco correspondente

a vida da opc¸

ao;

= vari

ancia do logaritmo neperiano (ln) do valor do ativo subjacente.

O modelo em si pode ser expresso como:

Valor da opc¸

ao de compra = S.N(d

) − (Ke

−r

)N(d

) , (5.1)

onde

(

)

(

)

ao estimativas das func

oes cumulativas da distribuic

ao normal.

As determinantes de valor no modelo Black e Scholes s

ao as mesmas do modelo bino-

mial: prec¸o atual da ac¸

ao, variabilidade nos prec¸os das ac¸

oes, o tempo a decorrer at

e o

vencimento da opc¸

ao, o prec¸o de exerc´ıcio e a taxa de juros livre de risco. O princ´ıpio das

carteiras replicantes usado na avaliac¸

ao binomial tamb

e subjacente ao modelo Black-

Scholes.

A vers

ao do modelo Black-Scholes apresentada n

ao leva em considerac¸

ao a possibili-

dade de exerc´ıcio antecipado nem o pagamento de dividendos. Ambos impactam o valor

das opc¸

oes, e h

a ajustes que, embora n

ao sejam perfeitos, oferecem correc¸

oes parciais de

valor.

Caracter´ısticas como irreversibilidade, incerteza e possibilidade de adiamento podem

ser sintetizadas no modelo de Black e Scholes atrav

es da analogia entre a oportunidade de

investimento e a opc¸

ao financeira (Dixt e Pindyck (1994)): uma firma, com uma oportunidade

de investimento irrevers´ıvel, carrega uma opc¸

ao de investir no futuro (ou esperar); ela tem

o direito - mas n

ao a obrigac¸

ao - de comprar um ativo (o projeto) no futuro, a um prec¸o de

exerc´ıcio (o investimento). Quando a firma investe, ela exerce a opc¸

ao e paga um custo de

oportunidade igual ao seu valor. O exerc´ıcio da opc¸

ao (o investimento)

e irrevers´ıvel, mas a

firma sempre tem a possibilidade de preservar o valor da sua opc¸

ao (adiar o investimento)

e que as condic¸

oes de mercado se tornem mais favor

aveis.

5.5 Aplicac¸

ao da teoria de precificac¸

ao de opc¸

oes ao pa-

trim

onio l

iquido

Os modelos de precificac¸

ao de opc¸

oes podem ser utilizados para avaliar qualquer ativo

que possua as caracter´ısticas das opc¸

oes, com algumas observac¸

oes. A seguir, a teoria

de precificac¸

ao de opc¸

oes ser

a aplicada

a avaliac¸

ao do patrim

onio l´ıquido como opc¸

ao de

compra sobre a empresa.

5.5.1 Cuidados a serem tomados na aplicac¸

ao de modelos de precifi-

cac¸

ao de opc¸

oes

De acordo com Damodaran (2005) quando a teoria de precificac¸

ao de opc¸

oes

e aplicada

em casos reais, diversos problemas em potencial precisam ser considerados.

(1) O ativo subjacente n

e negociado em bolsa.

O modelo de Black e Scholes

e constru´ıdo sobre a premissa de que uma carteira repli-

cante pode ser criada. Isso

e possivelmente realiz

avel no contexto de opc¸

oes sobre

ac¸

oes negociadas em bolsa e, dessa forma, torna-se menos justific

avel quando o ativo

subjacente n

ao o for. Portanto, a arbitragem n

e aplic

avel. Os valores decorrentes

de modelos de precificac¸

ao de opc¸

oes t

em que ser interpretados com cuidado em caso

de opc¸

oes reais (investimentos, projetos e empresas).

(2) O prec¸o do ativo segue um processo cont´ınuo.

O modelo de precificac¸

ao de opc¸

oes de Black e Scholes

e derivado sob o pressuposto

de que n

ao existem saltos de prec¸o. Se esta pressuposic¸

ao for violada, como o

e no

caso das maiorias das opc¸

oes reais, o modelo subestimar

a o valor de opc¸

oes com

prec¸os out of the money.* Uma soluc¸

e utilizar uma maior estimativa de vari

ancia

para avaliar opc¸

oes fora do valor de mercado* e uma estimativa de vari

ancia menor

para aquelas opc¸

oes cotadas no valor de mercado ou abaixo daquele valor.

(3) A vari

ancia

e conhecida e n

ao se altera ao longo da vida da opc¸

ao.

A pressuposic¸

ao que os modelos de precificac¸

ao de opc¸

oes fazem - que a vari

ancia

e conhecida e n

ao se altera ao longo do tempo -

e razo

avel quando aplicada

opc¸

oes de curto prazo cotadas sobre t´ıtulos negociados em bolsa. Quando a teo-

ria de precificac¸

e aplicada

as opc¸

oes reais de longo prazo, h

a problemas com essa

pressuposic¸

ao uma vez que

e pouco prov

avel que a vari

ancia permanec¸a constante

ao longo de per´ıodos mais extensos, podendo, na verdade serem dif´ıceis de estimar

desde o in´ıcio. Mais uma vez, existem vers

oes modificadas do modelo de precificac¸

de opc¸

oes que permitem a mudanc¸a de vari

ancias, mas exigem que o processo pelo

qual as vari

ancias se modificam sejam, explicitamente, modelados.

(4) O exerc´ıcio

e instant

aneo.

Os modelos de precificac¸

ao de opc¸

oes se baseiam na premissa de que o exerc´ıcio

de uma opc¸

e instant

aneo. Essa premissa poder

a ser dif´ıcil de justificar no caso de

opc¸

oes reais, em que o exerc´ıcio pode exigir a construc¸

ao de uma f

abrica ou de uma

plataforma de petr

oleo, ac¸

oes pouco prov

aveis de acontecer instantaneamente. O fato

de que o exerc´ıcio demanda tempo tamb

em implica em que a vida real de uma opc¸

real seja freq

uentemente menor do que a vida declarada. Dessa forma, embora uma

empresa possa deter os direitos a uma reserva de petr

oleo pelos pr

oximos dez anos,

o fato de levar v

arios anos para se conseguir extrair o petr

oleo reduz a vida da opc¸

sobre os recursos naturais que a empresa possui.

5.5.2 Avaliando o patrim

onio l

iquido como opc¸

A teoria de precificac¸

ao de opc¸

oes pode ser uma forma alternativa de avaliac¸

ao de patrim

nio l´ıquido de uma empresa.

O patrim

onio l´ıquido

e um direito residual, isto

e, os detentores de patrim

onio l´ıquido t

o direito sobre todos os fluxos de caixa remanescentes depois que outros detentores de

direitos financeiros (d´ıvidas, ac¸

oes preferenciais, etc.) tenham sido satisfeitos. Se uma em-

presa for liquidada, o mesmo princ´ıpio se aplica, com os investidores em patrim

onio l´ıquido

recebendo aquilo que sobrar depois de todas as d´ıvidas e outras obrigac¸

oes financeiras

tiverem sido pagas. O princ´ıpio de responsabilidade limitada, entretanto, protege os investi-

dores em patrim

onio l´ıquido de empresas de capital aberto, caso o valor da empresa se

revele menor do que o valor da d´ıvida pendente, e eles n

ao perder

ao mais do que seu in-

vestimento na empresa. O resultado para os investidores em patrim

onio l´ıquido, quando da

liquidac¸

ao, ser

Retorno do patrim

onio l´ıquido na liquidac¸

ao =



V − D , se V > D ,

0 , se V < D ,

onde V = valor da empresa, D = valor de face da d´ıvida pendente e de outros direitos

externos.

Uma opc¸

ao de compra , com um prec¸o de exerc´ıcio K, sobre um ativo com valor atual

S, render

a os seguintes retornos:

Retorno do exerc´ıcio =



S − K , se S > K ,

0 , se S < K.

O patrim

onio l´ıquido poder

a ser encarado como uma opc¸

ao de compra da empresa, em

que o exerc´ıcio da opc¸

ao requer que a empresa seja liquidada e que o valor de face da

d´ıvida - que corresponde ao prec¸o de exerc´ıcio - seja quitado.

Se o endividamento da empresa for uma

unica emiss

ao de b

onus de cupom zero com um

tempo de vida pr

e-fixado, e a empresa puder ser liquidada pelos investidores em patrim

onio

l´ıquido a qualquer momento antecedente, a vida do patrim

onio l´ıquido como opc¸

ao de com-

pra corresponder

a vida do b

onus.

Diagrama de retornos: retorno l´ıquido sobre patrim

onio l´ıquido

✲

✚

✚❃

Valor nominal

da d´ıvida

(valor de face)

Valor da empresa

Retorno l´ıquido

sobre patrim

onio

l´ıquido

✻

retorno

5.5.3 Implicac¸

oes em focalizar o patrim

onio L

iquido como opc¸

ao de

compra

(a) Avaliando o patrim

onio l´ıquido de uma empresa em dificuldades

As implicac¸

oes em focalizar o patrim

onio l´ıquido de uma empresa em dificuldades s

ao as

seguintes, segundo Damodaran (2005, p. 465):

``A primeira implicac¸

e a de que o patrim

onio l´ıquido ter

a valor, mesmo que o valor da em-

presa caia para bem abaixo do valor da d´ıvida pendente. Tal empresa ser

a vista por investidores,

contadores e analistas como estando em dificuldades, mas isto n

ao significa que seu patrim

onio n

tenha valor algum. Na realidade, da mesma forma que as opc¸

oes negociadas fora do valor de mer-

cado ter

ao valor devido

a possibilidade que o valor do ativo subjacente venha a subir al

em do prec¸o

de exerc´ıcio durante a vida futura remanescente da opc¸

ao, o patrim

onio l´ıquido ter

a valor devido

ao pr

emio de tempo sobre a opc¸

ao (o tempo a decorrer at

e o vencimento e resgate de b

onus) e a

possibilidade de que o valor dos ativos suba acima do valor de face dos b

onus antes do vencimento

destes.''

(b) O conflito entre investidores em b

onus e acionistas

Este conflito tamb

e esclarecido por Damodaran (2005):

``Acionistas e investidores em b

onus t

em func¸

oes objetivas diferentes, o que pode levar a proble-

mas internos, em que os acionistas podem expropriar riqueza dos investidores em b

onus. O conflito

pode se manifestar de v

arias formas - por exemplo, os acionistas s

ao incentivados a assumirem

projetos mais arriscados do que os investidores em b

onus, e a pagar mais em dividendos do que

os investidores em b

onus gostariam que fizessem. Este conflito entre acionistas e investidores em

onus pode ser dramaticamente ilustrado atrav

es do uso do modelo de precificac¸

ao de opc¸

oes. Como

o patrim

onio l´ıquido

e uma opc¸

ao de compra sobre o valor da empresa, um aumento na vari

ancia

do valor da empresa e todo o restante permanecendo inalterado, levar

a a um aumento no valor

do patrim

onio l´ıquido.

E conceb´ıvel, portanto, que os acionistas possam empreender projetos ar-

riscados com valores l´ıquidos presentes negativos os quais, embora sendo bom para eles, podem

desvalorizar os investidores em

onus e o valor da empresa''.

5.6 Obtendo dados de entrada para precificac¸

ao de op-

c¸

oes; alguns problemas do mundo real

Nos coment

arios feitos at

e aqui, algumas suposic¸

oes simplificadoras foram consideradas:

(1) Existem apenas dois detentores de direitos na empresa - d

ivida e patrim

onio

iquido;

Restringindo-se os detentores de direito a dois, o problema se torna mais trat

avel. A

introduc¸

ao de outros detentores de direitos, como ac¸

oes preferenciais, tornar

a mais

dif´ıcil chegar a um resultado, embora n

ao imposs´ıvel.

(2) H

a apenas uma emiss

ao de d

ivida pendente, que poder

a ser baixada pelo valor

de face;

Pressupondo apenas uma emiss

ao de d´ıvida de cupom zero, que pode ser baixada

pelo valor de face, a qualquer momento antecedente

a data de resgate, as carac-

ter´ısticas da d´ıvida passam a corresponder estreitamente

as caracter´ısticas do prec¸o

de exerc´ıcio de uma opc¸

ao padr

ao.

(3) A d

ivida

e de cupom zero e

e isenta de caracter

isticas especiais (conversibili-

dade, cl

ausulas de venda, etc.);

Se a d´ıvida for uma d´ıvida de cupom, ou se mais de uma emiss

ao de d´ıvida estiver

pendente, os investidores em patrim

onio l´ıquido podem ser forc¸ados a exercitar (liqui-

dar a empresa) nestas datas anteriores ao payout de cupons, caso n

ao tenham os

fluxos de caixa necess

arios para atenderem

as suas obrigac¸

oes com os cupons.

(4) O valor da empresa e sua vari

ancia podem ser estimados.

Conhecer o valor de uma empresa e a vari

ancia deste valor faz com que a precificac¸

de opc¸

oes se torne poss´ıvel, mas tamb

em levanta uma quest

ao interessante sobre a

utilidade da precificac¸

ao de opc¸

oes no contexto da avaliac¸

ao. Se os b

onus da empresa

forem negociados em bolsa, o valor de mercado da d´ıvida pode ser subtra´ıdo do valor

da empresa para se obter o valor do patrim

onio l´ıquido muito mais diretamente. Em

defesa da abordagem de precificac¸

ao de opc¸

oes, esta tem suas vantagens. Quando

a d´ıvida da empresa n

ao for negociada em bolsa, a utilizac¸

ao da teoria de precificac¸

de opc¸

oes pode fornecer uma estimativa do valor do patrim

onio l´ıquido da empresa.

Mesmo quando a d´ıvida for negociada em bolsa, os b

onus podem n

ao ter sido correta-

mente avaliados, e a estrutura de precificac¸

ao de opc¸

oes pode ser

util para avaliar os

valores da d´ıvida e do patrim

onio l´ıquido. Finalmente, relacionando-se os valores de

d´ıvida e de patrim

onio l´ıquido

a vari

ancia no valor da empresa, oferece-se uma vis

dos efeitos redistributivos das ac¸

oes empreendidas pela empresa.

5.6.1 Aplicabilidade em avaliac¸

Como a maioria das empresas n

ao se enquadra na estrutura organizada anteriormente de-

senvolvida, em que h

a apenas um b

onus de cupom zero pendente, h

a compromissos que

em que ser assumidos para que se possa utilizar este modelo em avaliac¸

ao. Esses com-

promissados s

ao apresentados a seguir segundo Damodaran (2005):

(1) Valor da Empresa

O valor da empresa pode ser obtido por uma de duas maneiras. Na primeira, os valores

de mercado da d´ıvida e do patrim

onio l´ıquido s

ao acumulados, partindo da premissa

de que toda a d´ıvida e todo o patrim

onio l´ıquido s

ao negociados, para se obter o valor

da empresa. O modelo de precificac¸

ao de opc¸

oes ent

ao redistribui o valor da empresa

entre d´ıvida e patrim

onio l´ıquido. Na segunda, os valores de mercado dos ativos da

empresa s

ao estimados, ou atrav

es dos descontos de fluxo de caixa esperados pelo

custo m

edio ponderado de capital ou pela utilizac¸

ao de prec¸os de mercado existentes

para esses ativos.

(2) Vari

ancia do Valor da Empresa

A vari

ancia do valor da empresa pode ser obtida diretamente no caso de tanto as ac¸

oes

quanto os b

onus da empresa serem negociados no mercado. Definindo δ

como a

vari

ancia no prec¸o das ac¸

oes e δ

como a vari

ancia no prec¸o dos b

onus, w

como o

peso do valor de mercado do patrim

onio l´ıquido e w

como o peso do valor de mercado

da d´ıvida, a vari

ancia no valor da empresa pode ser expressa como:

empresa

= w

+ w

+ 2w

onde ρ

e a correlac¸

ao entre os prec¸os das ac¸

oes e os dos b

onus.

Quando os b

onus da empresa n

ao forem negociados, a vari

ancia de b

onus semelhan-

temente classificados

e utilizada como estimativa de ρ

(3) Resgate de D

ivida

Em contraste com o pressuposto de que uma empresa tem um b

onus de cupom zero

pendente, a maioria das empresas tem mais de uma emiss

ao de t´ıtulos de d´ıvida em

seus registros cont

abeis, e grande parte do endividamento adv

em de cupons. Como

o modelo de precificac¸

ao de opc¸

oes permite apenas uma entrada para o tempo a

decorrer at

e o vencimento, estas m

ultiplas emiss

oes de b

onus e payout de cupons

em que ser comprimidas em uma

unica medida, isto

e, elas t

em que ser convertidas

em um b

onus de cupom zero. Uma soluc¸

ao que leva em conta tanto os pagamentos de

cupons quanto o resgate dos b

onus

e a de se estimar o duration de cada emiss

ao de

d´ıvida e calcular uma m

edia ponderada baseada em valores nominais dos durations

de cada uma das diferentes emiss

oes. Este duration ponderado com base em valores

e ent

ao utilizado como medida do tempo a decorrer at

e o vencimento da opc¸

ao.

5.7 Conclus

Neste cap´ıtulo foi introduzido um conceito importante para o desenvolvimento do trabalho,

que

e a teoria de precificac¸

ao de opc¸

oes. No cap´ıtulo 7, toda uma teoria de precificac¸

de empresas ser

a desenvolvida baseado nesta teoria. No item 5.5 deste cap´ıtulo, um

breve ind´ıcio de como a abordagem de opc¸

oes pode ser

util para precificac¸

ao de empresas

foi mostrado. Aspectos como incerteza, possibilidades de adiamento e irreversibilidade (ou

seja, a impossibilidade de recuperar o investimento em casos de fracasso) ser

ao contempla-

dos em novas metodologias de precificac¸

ao de empresas, aspectos estes n

ao considerados

em nenhuma das metodologias apresentadas at

e o cap´ıtulo quatro. Al

em disso, outra im-

portante considerac¸

ao ser

a feita: a passagem da abordagem de tempo discreto (presente

em todas as metodologias apresentadas at

e aqui) para tempo cont´ınuo, que ser

a abordada

no cap´ıtulo sete.

CAP

ITULO 6

PROCESSOS ESTOC

ASTICOS

6.1 Introduc¸

e este ponto do trabalho, todos os modelos de c

alculo de valores de empresas e ac¸

oes

se deram em tempo discreto, ou seja, aquele em que a vari

avel (prec¸o da ac¸

ao ou valor

da receita) altera seu valor somente em instantes definidos de tempo. O objetivo deste

cap´ıtulo

e, baseado em Malliaris (1990), mostrar como se deduz um processo estoc

astico de

vari

avel cont´ınua e tempo cont´ınuo, adequado para descrever o comportamento de vari

aveis

econ

omico financeiras (prec¸os de ac¸

oes, rendimentos de ativos, taxas de retorno, etc) e, em

seguida, apresentar novos modelos com base neste processo de tempo cont´ınuo, diferente

de todas as modelagens apresentadas at

e aqui.

Um processo estoc

astico

e definido como um processo capaz de descrever a evoluc¸

temporal de uma vari

avel aleat

oria.

Um processo estoc

astico pode ser do seguinte tipo:

- de tempo discreto: aquele em que a vari

avel pode mudar de valor somente em instan-

tes definidos de tempo;

- de tempo cont´ınuo: aquele em que a vari

avel pode variar de valor em qualquer instante

de tempo;

- de vari

avel discreta: aquele em que a vari

avel s

o pode apresentar determinados valo-

res discretos;

- de vari

avel cont´ınua: aquele em que a vari

avel pode apresentar qualquer valor do

conjunto dos n

umeros reais.

6.2 Express

ao anal

itica de um processo estoc

astico

O comportamento de uma vari

avel aleat

oria

e descrito mediante uma distribuic¸

ao adequa-

da de probabilidades. Em um processo estoc

astico o comportamento da vari

avel aleat

oria

considerada varia com o tempo. Portanto, a distribuic¸

ao de probabilidade utilizada para

descrev

e-la tamb

em poder

a variar com o tempo.

Para descrever o processo estoc

astico que segue uma vari

avel aleat

oria x

, deve-se

indicar a cada instante t qual

e a distribuic¸

ao de probabilidade associada a x

Exemplo 6.1 Considere o processo estoc

astico x

dado por:

∼ N(x

+ µT, σ

T ) , x

, µ, σ constantes conhecidas.

Em um instante final de tempo T , x

segue uma distribuic¸

ao de probabilidade de m

edia

+ µT e de vari

ancia σ

T (→ N(x

+ µT, σ

T )).

Quando se est

a modelando um fen

omeno real, surgem dificuldades de estabelecer di-

retamente qual ser

a a distribuic¸

ao de probabilidade adequada e como

e a variac¸

ao de seus

par

ametros com o tempo. Por isso

e freq

uente que os processos estoc

asticos sejam apre-

sentados mediantes equac¸

oes, similares

a dos modelos discretos em diferenciais finitas.

Nestas equac¸

oes se relaciona o valor da vari

avel aleat

oria x

no instante t, com seu valor

no instante anterior x

t−1

Agora, para que uma equac¸

ao em diferenciais seja estoc

astica,

e necess

ario que sua

express

ao apresente uma vari

avel aleat

oria ɛ

. Deste modo, o valor de x

ao se deduz de

forma determinista a partir do valor de x

t−1

, mas tamb

em depende do comportamento da

vari

avel aleat

oria ɛ

, que induzir

a em x

uma distribuic¸

ao de probabilidade vari

avel com o

tempo. Dessa forma, x

seguir

a um processo estoc

astico.

6.3 Exemplos de processos estoc

asticos definidos por e-

quac¸

oes

= x

t−1

+ ɛ

conhecido).

Caso 1: ɛ

segue uma distribuic¸

ao de probabilidades dada por:

P (ɛ

= 1) = P (ɛ

= −1) = 1/2.

A distribuic¸

ao de probabilidades de x

ser

a deduzida a partir da distribuic¸

ao binomial que

segue ɛ

. Este exemplo pode ser ilustrado mediante o experimento de lanc¸amento de uma

moeda.

Caso 2: ɛ

segue uma distribuic¸

ao de probabilidades dada por:

P (ɛ

= 1) = p ;

P (ɛ

= −1) = 1 − p .

Caso 3: ɛ

segue uma distribuic¸

ao de probabilidades N(0, σ)

= δ + ρx

t−1

+ exp

t ,

onde x

e conhecido; δ e ρ s

ao constantes, sendo −1 ≤ ρ ≤ 1; ɛ

segue uma distribuic¸

ao de

probabilidade N(0, σ) (Processo auto-regressivo de primeira ordem).

Em muitos casos,

e poss´ıvel deduzir, a partir da equac¸

ao que define o processo es-

toc

astico, qual seria a distribuic¸

ao de probabilidade da vari

avel aleat

oria x

. Este procedi-

mento ser

a demonstrado para equac¸

oes diferenciais estoc

asticas, objeto de interesse deste

estudo.

6.4 Processo de Markov

O Processo de Markov

e um tipo particular de processo estoc

astico em que somente o

estado atual do processo

e relevante no momento de predizer o estado futuro. Assim, o

hist

orico passado do processo e a forma em que o presente se apresentou do passado s

irrelevantes.

Mais formalmente, o valor esperado de uma vari

avel aleat

oria x

no instante t, depende

unicamente do valor pr

evio x

t−1

. Generalizando, possuindo-se informac¸

oes sobre x

, com

r < t, ent

ao para a estimativa de x

, a

unica informac¸

ao necess

aria

e a de x

, para o maior

r do qual se possui informac¸

ao.

Sup

oe-se habitualmente que os prec¸os das ac¸

oes seguem um processo de Markov. Esta

propriedade dos prec¸os das ac¸

oes est

a relacionada com a denominada ``efici

encia d

ebil

do mercado''. Isto significa que o prec¸o atual da ac¸

ao encerra toda a informac¸

ao contida

no registro dos prec¸os do passado. Se esta propriedade n

ao fosse correta, os analistas

ecnicos poderiam obter benef´ıcios acima da m

edia, interpretando as bases de dados do

hist

orico das ac¸

oes. Existem poucas evid

encias de que os analistas sejam capazes de

interpretar estes dados.

6.5 Processo de Wiener

O processo de Wiener

e um tipo especial do processo estoc

astico de Markov. Diz-se que

uma vari

avel x

segue um processo de Wiener se a seguinte equac¸

ao for satisfeita:

= x

t−1

+ ɛ

√

Δt , (6.1)

onde x

e conhecido, t = t −1 + Δt, ɛ

segue uma distribuic¸

ao de probabilidade N (0, 1) e ɛ

e independente de ɛ

para todo t = s.

6.5.1 Propriedades do processo de Wiener

Para um intervalo temporal Δt, o incremento da vari

avel aleat

oria Δx se distribui segundo

uma normal de m

edia zero e vari

ancia Δt,

Δx ∼ N(0, Δt) ,

= x

t−1

+ ɛ

√

Δt ⇒ Δx = x

− x

t−1

= ɛ

√

Δt . (6.2)

Como ɛ

segue uma distribuic¸

ao de probabilidade normal, ent

ao ɛ

√

Δt tamb

em segue

uma distribuic¸

ao normal. A m

edia e a vari

ancia de ɛ

√

Δt ser

a ent

ao:

µ = E[Δx] = E[ɛ

√

Δt] =

√

Δt × E[ɛ

] = Δt × 0 = 0 ,

var = E[(Δx − µ)

] = E[(Δx − 0)

] = E[(Δx)

] = E[ɛ

Δt]

= Δt × E[ɛ

] = Δt × E[(ɛ

− 0)

] = Δt × 1 = Δt ,

segue uma N(0, 1).

Para estudar o comportamento de Δx em um intervalo de tempo relativamente amplo

[0, T ], deve-se proceder da seguinte forma:

• Subdivide-se o intervalo [0, T ] em k intervalos de amplitude Δt = T /k.

• Aplica-se a f

ormula do processo de Wiener a cada intervalo k e soma-se, membro a

membro, as equac¸

oes obtidas:

− x

T −1

= ɛ

k−1

√

Δt ,

T −1

− x

T −2

= ɛ

k−2

√

Δt ,

− x

= ɛ

√

Δt ,

− x

= ɛ

√

Δt ,

− x



k−1



i=0



√

Δt . (6.3)

Como as vari

aveis aleat

orias ɛ

ao independentes e se distribuem segundo uma normal

N(0, 1), ent



se distribui segundo uma normal de m

edia igual

a soma das m

edias e de

vari

ancia igual

a soma das vari

ancias. Portanto, x

−x

apresenta uma distribuic¸

ao normal

de m

edia e vari

ancia da seguinte forma:

E[x

− x

] = E



k−1



i=0



√

Δt



√

Δt × E



k−1



i=0



√

Δt × 0 = 0 ,

var [x

− x

] = var



k−1



i=0



√

Δt



= Δt × var



k−1



i=0



= Δt ×

k−1



i=0

1 = Δt × q =

× q = T ,

− x

∼ N(0, T ) , (6.4)

∼ N(x

, T ) . (6.5)

6.6 Movimento Browniano aritm

etico

O movimento browniano aritm

etico (MBA)

e um processo estoc

astico definido em termos de

um processo de Wiener de acordo com a seguinte equac¸

ao:

− x

t−1

= Δx = µΔt + σΔz , (6.6)

onde µ e σ s

ao constantes e Δz = ɛ

√

Δt

e um processo de Wiener.

A constante µ representa a taxa esperada de variac¸

ao da vari

avel x por unidade de

tempo. De fato, se eliminasse o segundo termo da soma do lado direito da equac¸

ao,

ter´ıamos que x

= x

t−1

+ µΔt.

O termo σΔt ``perturba'' a tend

encia expressa por µΔt. Esta perturbac¸

ao ser

a σ vezes

o processo de Wiener Δz (Δz = ɛ

√

Δt).

6.6.1 Propriedades do Movimento Browniano Aritm

etico

Para um intervalo de tempo Δt, o incremento da vari

avel aleat

oria Δx se distribui segundo

uma normal de m

edia µΔt e vari

ancia σ

Δt,

Δx ∼ N(µΔt, σ

Δt) . (6.7)

Como Δz

e um processo de Wiener, ent

ao Δz segue uma distribuic¸

ao de probabilidade

normal de m

edia zero e vari

ancia Δt. Ent

ao Δx seguir

a tamb

em uma distribuic¸

ao normal,

com m

edia e vari

ancia calculadas como a seguir:

µ = E[Δx] = E[µΔt + σΔz] = µΔ + σE[Δz] = µΔt + 0 = µΔt ,

var = E[(Δx − µΔt)

] = E[σ

Δz

] = σ

E[(Δz)

] = σ

E[(Δz − 0)

]

= σ

var [Δz] = σ

Δt .

Para avaliar o comportamento de Δx em um intervalo de tempo relativamente amplo

[0, T ], deve-se proceder da seguinte forma:

• Subdivide-se o intervalo [0, T ] em k intervalos de amplitude Δt = T /k.

• Aplica-se a f

ormula do movimento browniano aritm

etico a cada intervalo e soma-se,

membro a membro, as equac¸

oes obtidas:

− x

T −1

= µΔt + σɛ

k−1

√

Δt ,

T −1

− x

T −2

= µΔt + σɛ

k−2

√

Δt ,

− x

= µΔt + σɛ

√

Δt ,

− x

= µΔt + σɛ

√

Δt ,

− x

= kµΔt + σ



k−1



i=0



√

Δt ,

− x

= µT + σ



k−1



i=0



√

Δt . (6.8)

Como as vari

aveis aleat

orias ɛ

ao independentes e se distribuem segundo uma normal

N(0, 1), ent



se distribui segundo uma normal de m

edia igual

a soma das m

edias e de

vari

ancia igual

a soma das vari

ancias. Portanto, x

− x

segue uma distribuic¸

ao normal de

edia e vari

ancia calculadas da seguinte forma:

E[x

− x

] = E



µT + σ



k−1



i=0



√

Δt



= µT + σ

√

ΔtE



k−1



i=0



= µT + σ

√

Δt × 0 = µT ,







k−1



i=0







= var



k−1



i=0



k−1



i=0

var [ɛ

] ,

var [x

− x

] = E







µT + σ



k−1



i=0



√

Δt − µT







= E







k−1



i=0



√

Δt







= σ

Δt

k−1



i=0

1 = σ

Δtk = σ

T ,

− x

∼ N(µT, σ

T ) , (6.9)

∼ N(x

+ µT, σ

T ) . (6.10)

6.6.2 Intervalos de confianc¸a para o Movimento Browniano Aritm

etico

Considerando que:

∼ N(x

+ µT, σ

T ) (6.11)

e utilizando-se propriedades conhecidas da distribuic¸

ao normal, tem-se que os intervalos de

confianc¸a de 66%, 95% e 99% s

ao, respectivamente:

+ µT − σ

√

T , x

+ µT + σ

√

T ) ,

+ µT − 2σ

√

T , x

+ µT + 2σ

√

T ) ,

+ µT − 2.33σ

√

T , x

+ µT + 2.33σ

√

T ) .

6.7 Movimento Browniano Geom

etrico

Um movimento browniano geom

etrico (MBG)

e um processo estoc

astico definido pela se-

guinte equac¸

ao:

− x

t−1

= Δx = µx

t−1

Δt + σx

t−1

Δz , (6.12)

onde µ e σ s

ao constantes e Δz = ɛ

√

Δt

e um processo de Wiener. Note que:

− x

t−1

= µΔt + σΔz .

Como se pode observar, o quociente do incremento da vari

avel dividido pelo valor anterior

da vari

avel segue um movimento browniano aritm

etico. Esta abordagem atualmente vem

sendo utilizada para estudar a rentabilidade de uma ac¸

ao quando x representa o prec¸o de

uma determinada ac¸

ao.

6.8 Integrais estoc

asticas e processos de difus

Os movimentos brownianos se baseiam na definic¸

ao do processo de Wiener. As trajet

orias

do processo de Wiener s

ao cont´ınuas, mas n

ao deriv

aveis. Portanto, a passagem de um

processo estoc

astico de tempo discreto para outro de tempo cont´ınuo n

e imediato. Re-

quer a construc¸

ao de uma nova ferramenta matem

atica: a integral estoc

astica.

Em geral, pode-se definir processos estoc

asticos cujos incrementos dependem de um

processo de Wiener. O processo de difus

e um processo de Wiener generalizado em que

os par

ametros µ e σ se apresentam como func¸

oes da pr

opria vari

avel e do tempo.

t+1

− x

= f(x

, t)Δt + g(x

, t)Δz . (6.13)

Se na equac¸

ao anterior Δt tender a zero, transforma-se a equac¸

ao de tempo discreto

para tempo cont´ınuo, e pode-se escrever formalmente que:

= f(x

, t)dt + g(x

, t)dz . (6.14)

A vari

avel estoc

astica x

e definida se, na equac¸

ao integral abaixo, as integrais que

aparecem fazem sentido e s

ao calcul

aveis:

= x



f(x

, t)ds +



g(x

, t)dz , (6.15)

onde



f(x

, t)ds

e uma integral de Rieman e



g(x

, t)dz n

e uma integral de Rieman,

a que dz n

ao existe. Embora z seja cont´ınua, sua variac¸

ao n

e ``definida'' e, portanto, a

integral n

e uma integral de Rieman-Stieljes.

Dessa forma deve-se definir um novo tipo de integral: a integral estoc

astica.

6.9 Apresentac¸

ao do Lema de Ito

Seja x

um processo de difus

ao cuja din

amica

= f(x

, t)dt + g(x

, t)dz . (6.16)

Suponha que y

= F (x

, t) seja uma func¸

ao do processo anterior, sendo F (x

, t) uma

func¸

ao de classe C

( × 

Ent

ao y

ser

a um processo de difus

ao cuja diferencial estoc

astica

e dada por:



∂F

∂t

+ f(x

, t)

∂F

∂x

g(x

, t)

∂

∂x



dt +



g(x

, t)

∂F

∂x



dz . (6.17)

6.9.1 Aplicac¸

ao do Lema de Ito ao estudo do Movimento Browniano

Geom

etrico (MBG)

Considere o seguinte MBG em tempo discreto:

t+1

− x

= µx

Δt + σx

√

Δt = µx

Δt + σx

Δz (6.18)

e sua generalizac¸

ao para tempo cont´ınuo:

= µx

dt + σx

dz . (6.19)

Pode-se notar que o processo y

= ln x

segue um MBA em tempo cont´ınuo:

• Como y

= y(t, x

), ent

ao se pode calcular a seguinte express

ao:

∂y

∂t

= 0,

∂y

∂x

∂

∂x

= −

; (6.20)

• Aplicando o lema de Ito:



µx



−



dt +

σx

dz =



µ −



dt + σdz ; (6.21)

• Logo yt segue um MBA de par

ametros µ −

e σ.

Aplicando-se os resultados do MBA, obt

em-se:

Δy

= Δ(ln x

) ∼ N



µ −



Δt, σ

Δt



. (6.22)

Supondo ln x

conhecido, temos que:

= ln x

∼ N



ln x



µ −



T, σ



. (6.23)

Como y

= l nx

, ent

ao x

= e

1/t

Dessa forma, pode-se afirmar que x

segue uma distribuic¸

ao lognormal.

Como y

segue uma distribuic¸

ao normal, ent

ao:

E(e

1/t

) = e

E(y

var (y

)

. (6.24)

Logo:

E(x

) = x

µt

, (6.25)

var (x

) = x

2µt

t−1

) . (6.26)

6.9.2 Intervalos de confianc¸a do Movimento Browniano Geom

etrico

Pode-se afirmar que ln x

∼ N(ln x

+ (µ −

)T, σ

Ent

ao, o intervalo de confianc¸a de 95%

e representado por:



ln x



µ −



T − 2

√

T , ln x



µ −



T + 2σ

√



em disso, temos que:

ln x



µ −



T − 2σ

√

T ≤ ln x ≤ ln x



µ −



T + 2σ

√

T .

Logo:

(µ−

)T −2σ

√

≤ x

(µ−

)T +2σ

√

. (6.27)

6.10 Conclus

Neste cap´ıtulo foram apresentados conceitos e deduc¸

oes matem

aticas de processos es-

toc

asticos que ser

uteis nos cap´ıtulos posteriores. Entre as deduc¸

oes apresentadas,

vale destacar a que apresenta o movimento browniano geom

etrico, onde o incremento na

vari

avel, dividido pelo seu valor anterior, pode ser descrito como um movimento browniano

aritm

etico. Esta definic¸

ao ser

a utilizada no Cap´ıtulo 7 para descrever o comportamento de

uma receita e, conseq

uentemente, a evoluc¸

ao do fluxo de caixa livre de um empreendimento

ao longo do tempo, com abordagem em tempo cont´ınuo.

CAP

ITULO 7

OPC¸

OES DE ENTRADA E SA

IDA

7.1 Introduc¸

ao: a busca de maximizac¸

ao de lucros em lon-

go prazo

Conforme afirma Penrose (Penrose, 2006), os administradores de firmas desejam

maximizar lucros a longo prazo oriundos de investimentos na pr

opria empresa. Parece haver

um paradoxo entre crescer de forma bem sucedida reeinvestindo os lucros e reembolsar os

seus propriet

arios em relac¸

ao aos capitais que estes aplicaram e assumiram riscos pelos

mesmos.

Na realidade, os acr

escimos de lucros a longo prazo s

ao equivalentes

a sua taxa de

crescimento neste longo prazo. Desta forma n

ao h

a muita import

ancia em falar sobre cresci-

mento como metas alternativas das atividades de investimento da firma.

Segundo Penrose (2006) a empresa constitui simultaneamente uma organizac¸

ao admi-

nistrativa e um conjunto de recursos produtivos. A empresa concatena os seus recursos

ditos pr

oprios com os recursos de terceiros como bens e servic¸os organizando-os em um

ente ou agregando uma energia ou, ainda, transformando-os para serem vendidos.

A estrutura administrativa da firma

e uma criac¸

ao de pessoas de forma racional em que as

tarefas s

ao divididas. J

a as atividades produtivas, tamb

em de acordo com Penrose (2006),

ao oportunidades buscadas pelos seus acionistas ou investidores.

Por outro lado, tamb

em temos que pressupor que as empresas n

ao cresc¸am e que ma-

logros sigam-se em seq

encias tal qual ondas fazendo com que umas sigam as outras em

direc¸

ao ao fim. E ainda assim, outras sobreviver

ao por longos per´ıodos.

A compet

encia administrativa nem sempre caminha junto com a compet

encia empresa-

rial. Sabe-se que um efeito ou outro pode ser danoso para a firma levando

a sua morte.

Por compet

encias administrativas entende-se que s

ao as habilidades de seus principais

gerenciadores de mobilizarem recursos tanto financeiros como de outra natureza como m

de obra etc. O chamado tino comercial pode estar presente ou n

ao, ele que

e a vis

ao de

neg

ocios que os mesmos possuam. Da compet

encia empresarial podemos citar substan-

cialmente a capacidade da firma de aproveitar a sua energia ao m

aximo. Por energia, aqui,

definimos a maximizac¸

ao de recursos ora escassos em todos os seus ciclos de compra,

venda, produc¸

ao etc.

O conjunto destes dois entes tornam a firma uma construtora de ativos que se aproveita-

dos de forma maximizada poder

ao levar a um crescimento de seus lucros e sua expans

desejados pelos seus acionistas. Ent

ao os fatores subjetivos impulsionam o crescimento da

firma suplantando os fatos objetivos, embora n

ao s

o o desejo esteja presente mas tamb

a sua realidade objetiva.

No entorno deste crescimento surge o investimento que busca auferir os mesmos lu-

cros derivados de seu desempenho. Os investidores interessados em financiar a com-

pet

encia empresarial da firma pode impulsionar rapidamente este crescimento. A confianc¸a

deste investidores est

a na crenc¸a de que as suas expectativas futuras ser

ao saciadas pelos

acr

escimos de seu capital aplicados ao neg

ocio. Mas residem a´ı dois efeitos que v

ao estar

acoplados, o risco e a incerteza.

Riscos e incertezas

Na definic¸

ao de Penrose (2006), a incerteza est

a ligada

a confianc¸a do empres

ario em

suas estimativas e expectativas, e os riscos se relacionam com o resultado de uma ac¸

ao e

as poss´ıveis perdas derivadas desta ac¸

ao.

Os riscos incluem tanto a probabilidade de perdas como o significado daquilo que vier a

ser perdido. A ac¸

ao destes riscos ocorre pelas projec¸

oes e estimativas futuras realizadas

pelas trocas de ativos presentes por um ativo futuro.

Na literatura corrente referencia-se ao princ´ıpio do risco crescente, que

e o ato de uma

dada firma ao aumentar os seus investimentos incorrer em aumento dos seus riscos em uma

dada probabilidade de perda. Por este princ´ıpio o capital fica restrito por riscos crescentes.

Com riscos crescentes a ac¸

ao do empres

ario em sua compet

encia administrativa entra

em cena tentando reduzir as incertezas que surgem para tentar aumentar o plano de ex-

pans

ao e a disponibilizac¸

ao de capital da empresa minimizando desta forma tais riscos e

incertezas. Observamos que as incertezas e os riscos nem sempre andam juntos, podendo

ocorrer um ou outro ou ainda os dois juntos. Numa empresa pode haver elevado n´ıvel de

incerteza com baixo risco, ou ainda um alto risco com uma incerteza m´ınima, os exemplos

ao in

umeros. A confianc¸a pode estar vinculada

a solidez e os riscos

as ac¸

oes nos projetos.

Surge ent

ao a import

ancia do conhecimento das informac¸

oes que podem trazer ou n

ao um

menor grau de incerteza. Uma empresa pode aceitar consider

aveis riscos e suas avers

oes

numa crenc¸a na avaliac¸

ao da situac¸

ao futura dos projetos.

Os informativos financeiros, em particular as demonstrac¸

oes cont

abeis, pouco predizem

sobre os riscos futuros j

a que n

ao abordam sobre ac¸

oes dos administradores e seus meios

que dever

ao procurar. Os fluxos de caixas baseados em estimativas ajudam nesta predic¸

mas se pronunciam muito pouco sobre riscos dos projetos.

Os investidores t

em que se valer de alguma informac¸

ao mais significativa para retoma-

rem o grau de confianc¸a desejado e ao fazerem isto podemos dizer que apostam neste

futuro desejando retorno sobre os benef´ıcios que v

ao trazer retorno ao seu capital. Surge

da´ı a necessidade destes investidores modelarem o fluxo de caixa em tempo cont´ınuo para

avaliarem as aplicac¸

oes de seus investimentos ao longo do comportamento do neg

ocio. O

presente trabalho versa sobre o estudo de opc¸

ao de entrada e opc¸

ao de sa´ıda dos investi-

mentos nos neg

ocios.

7.2 Modelo de tempo cont

inuo para fluxo de caixa livre

Este modelo

e utilizado para estudos de opc¸

oes de entrada e sa´ıda em tempo cont´ınuo.

Todos os modelos apresentados at

e agora abordam suas an

alises atrav

es de per´ıodos de

tempo discretos, onde o exerc´ıcio

e, geralmente, considerado ao final do per´ıodo. As abor-

dagens com tempo discreto s

ao suficientes para uma s

erie de avaliac¸

oes, mas n

ao para

alises de opc¸

oes reais. Segundo Arzac (2005) a formulac¸

ao por tempo cont´ınuo

oferece uma s

erie de vantagens para avaliac¸

oes de opc¸

oes de entrada e sa´ıda:

(1) Permite compactar um modelo transparente da equac¸

ao do prec¸o de arbitragem as-

sociado a opc¸

oes de entrada e sa´ıda de um empreendimento;

(2) Normalmente

e suficientemente capaz de captar a complexidade dessas decis

oes e

de incorporar as informac¸

oes relevantes: custo total ou custo de entrada da base em

diferentes pontos do tempo, evoluc¸

ao temporal de fluxos de caixa livre como func¸

de receitas e sua volatilidade e custos de sa´ıda ou prosseguimentos;

(3) Um n

umero de opc¸

oes de entrada e sa´ıda de empresas em marcha n

ao apresentam

um final definido e n

ao s

ao aplic

aveis na representac¸

ao por

arvore de decis

ao (modelo

binomial, que utiliza tempos discretos), mas podem ser modeladas em tempo cont´ınuo;

(4) A soluc¸

ao geral para equac¸

oes de precificac¸

e fornecida em formas exatas ou atra-

es de c

alculos num

ericos.

Para a apresentac¸

ao do modelo do fluxo de caixa livre em tempo cont´ınuo, ser

a utilizada

a seguinte notac¸

ao:

Y fluxo de caixa livre;

R receita;

+ c

.R custos operacionais, com c

e c

constantes;

DeCap despesas de capital (investimentos em ativos fixos);

ΔCGL acr

escimo em capital de giro l´ıquido;

Dep depreciac¸

ao;

ΔImpProt acr

escimo em impostos protelados;

τ taxa de imposto da empresa;

taxa de risco zero em tempo cont´ınuo;

taxa de endividamento da empresa em tempo cont´ınuo;

k custo do patrim

onio l´ıquido da empresa tal que k = r

+ πβ,

onde π representa o valor de mercado do patrim

onio l´ıquido

e β

e o coeficiente de patrim

onio l´ıquido compar

avel com

empresas do setor;

w custo m

edio ponderado de capital (CMePC) em tempo

cont´ınuo.

A partir desta notac¸

ao, o fluxo de caixa livre pode ser descrito como:

Y = (1 − τ)(R − c

− c

.R) + ΔImpProt + Dep −DeCap − ΔCGL

= (1 − τ)(1 −c

)R − (1 − τ)c

+ ΔImpProt + Dep − DeCap − ΔCGL .

Para facilitar o tratamento do problema, a express

ao ΔImpProt + Dep −DeCap −ΔCGL

ser

a considerada uma constante, com valor igual a a. Dessa forma, o valor de FCL (fluxo

de caixa livre) pode ser expresso como uma func¸

ao linear da receita:

FCL ≡ Y = a + bR,

onde a = −(1 − τ)c

+ ΔImpProt + Dep − DeCap − ΔCGL e b = (1 − τ)(1 − c

A incerteza sobre o valor da receita R

e representada por uma vari

avel aleat

oria com

distribuic¸

ao logar´ıtimica normal. Ou seja,

e assumido que o logar´ıtimo natural de R (ln R)

e distribu´ıdo segundo uma curva normal. Uma vari

avel com estas caracter´ısticas pode as-

sumir valores entre zero e infinito, e

e suficientemente caracterizada pela m

edia e seu re-

spectivo desvio padr

ao de ln R. O desvio padr

ao de ln R representa a volatilidade de R,

denotada por σ, que pode ser estimado atrav

es de dados hist

oricos sobre o valor de R ou

atrav

es de previs

oes de variac¸

oes futuras de R.

Esta caracterizac¸

ao de R permite uma representac¸

ao matematicamente trat

avel do pro-

cesso estoc

astico apresentado por receitas e fluxos de caixa livre. Ser

a assumido que a

variac¸

ao em porcentagem em R ser

a representada por d(ln R) = dR/R, para um pequeno

intervalo de tempo dt dada por:

= αdt + σdz , (7.1)

onde:

α = taxa de crescimento esperada para a receita;

σ = desvio padr

ao de dR/R ou volatilidade;

dz = mudanc¸a em z(t), sendo dz = ε(dt)

1/2

e ε tem m

edia zero

e desvio padr

ao igual a 1.

A func¸

ao z(t)

e denominada de Movimento Browniano. A equac¸

ao acima representa

uma generalizac¸

ao conhecida como Processo de Ito ou Movimento Browniano Geom

etrico.

Sendo os fluxos de caixa livre func¸

ao de receitas, variac¸

oes em Y podem ser expressas

pelo diferencial:

dY = bdR = bαRdt + bσRdz . (7.2)

Segundo Arzac (2005) a equac¸

ao do movimento browniano geom

etrico representa um ra-

avel comportamento do prec¸o de ac¸

oes. Tem sido freq

uentemente utilizada para modelar

o comportamento de vari

aveis econ

omicas que n

ao assumem valores negativos e crescem

com o tempo, mas que est

ao sujeitas a mudanc¸as aleat

orias n

ao-correlacionadas sobre

suas taxas de crescimento esperadas.

7.3 Formulac¸

ao de avaliac¸

ao de empresas em tempo con-

inuo

O valor de uma empresa pode ser determinado pela abordagem de tempo cont´ınuo com

movimento browniano. Para isso, basta descontar em tempo cont´ınuo o fluxo de caixa livre

obtido tamb

em em tempo cont´ınuo. Isto

e poss´ıvel computando-se o valor presente atrav

da integrac¸

ao apresentada a seguir:

V (R) = a



∞

exp(−(1 − τ)r

t)dt + b



∞

E(R) exp(−wt)dt

= a[−(1 − τ)−1r

−1

exp(−(1 − τ)r

t)]

0,∞

+ bR



∞

exp(−(w − α)t)dt

(1 − τ)r

w − α

, (7.3)

onde (1 − τ )r

e w agora denotam as taxas equivalentes no tempo cont´ınuo. Este valor

um pouco maior, pois a formulac¸

ao em tempo cont´ınuo permite a chegada do fluxo de caixa

continuamente atrav

es do tempo e n

ao s

o no final do per´ıodo de desconto. Uma estrutura

mais geral para avaliac¸

ao em tempo cont´ınuo

e apresentado na sec¸

ao seguinte.

7.4 Avaliac¸

ao de um empreendimento em tempo cont

inuo

Para avaliac¸

oes de empreendimentos com opc¸

oes de entrada e sa´ıda,

e preciso primeira-

mente avaliar um empreendimento em marcha sem opc¸

oes de entrada e sa´ıda. Este ser

o assunto principal discutido a seguir.

Considere-se V (R) (o valor de um empreendimento, ou uma empresa) como func¸

ao de

suas receitas geradas. De acordo com a abordagem do item anterior, a receita

e equivalente

ao ativo subjacente de uma opc¸

ao, e o valor do empreendimento (ou empresa)

e tratado

como um valor derivativo (valor da opc¸

ao).

Para a obtenc¸

ao de V (R),

e constru´ıda uma carteira replicante (com a mesma l

ogica

do modelo de Black-Scholes), a partir da propriedade de um empreendimento em marcha

e uma posic¸

ao de curto prazo em n unidades de R, tal que n proporcione uma carteira de

risco zero. Dessa forma, torna-se poss´ıvel reproduzir os mesmos fluxos de caixa atrav

es de

uma carteira com t´ıtulos de risco zero. Uma vez que o fluxo de caixa

e linear com a receita,

a receita

e ``medida'' pelo mercado e um comportamento de curto prazo para R pode ser

estabelecido.

Uma carteira ``limitada''

e criada para posic¸

oes de longo e curto prazo. A longo prazo, a

carteira rende Y dt em um pequeno intervalo de tempo dt, mas a carteira de curto prazo deve

pagar um ``dividendo'' para fazer a diferenc¸a entre a taxa de retorno requerida w e a taxa

esperada de crescimento do fluxo de caixa R, denominada α. Assim, a carteira deve pagar

(w − α)Rdt por unidade no curto prazo. Dessa forma, a carteira rende (Y − n(w − α)R)dt,

mais o ganho de capital l´ıquido dV −ndR. Ent

ao, o retorno total da carteira ser

a (Y −n(w −

α)R)dt+dV −ndR = (bR+a−n(w −α)R)dt+dV −ndR. Os dois

ultimos termos da equac¸

(dV − ndR) representam a diferenc¸a entre a mudanc¸a no valor do ativo e o acr

escimo no

valor das posic¸

oes de curto prazo. Para se remover o risco sistem

atico relacionado a R, a

posic¸

ao de curto prazo n

e escolhida de forma a limitar a componente estoc

astica z(t), com

a posic¸

ao de curto prazo n sendo denotada por n

∗

E importante observar que a carteira

``limitada'' n

e absolutamente livre de risco, porque ainda existe o risco associado com

a componente fixa. Este risco n

e sistem

atico, mas um risco omitido, similar ao risco

de d

ebitos incorporados de fluxos de caixa que apresentam uma expectativa mais baixa

do que os valores indicados. Perceba que o valor perp

etuo de um d

ebito $a por ano ser

a/((1−τ )r

). Este fluxo de caixa

e equivalente a a

= a.r

/((1−τ )r

). Isto acontece porque

e o fluxo de caixa livre esperado de risco omitido que tem o mesmo valor de a. Assim, o

retorno total da carteira apresenta uma certeza equivalente a um retorno sem riscos igual a

(bR + a

− n

∗

(w − α)R ) dt + dV −n

∗

dR. Este retorno poderia ser ent

ao igual ao retorno de

risco zero r

dt sobre o custo inicial (V − n

∗

R), e a seguinte equac¸

e v

alida:

(bR + a

− n

∗

(w − α)R)dt + dV − n

∗

dR = r

(V − n

∗

R)dt . (7.4)

E mostrado em anexo que a soluc¸

ao para esta equac¸

e a seguinte:

V (R) =

(w − α)

(1 − τ)r

. (7.5)

Exemplo 7.2 Considere uma empresa que apresenta os seguintes valores para os par

metros da equac¸

ao (7.5):

a = −$25 milh

oes

b = 0, 35

g = 4, 0% (taxa de crescimento anual) → α = ln(1 + g)

τ = 50% (taxa de imposto da empresa)

σ = 12% (volatilidade da receita)

= 7, 0% (custo real de d

ebito) → (1 − τ)r

= ln(1 + (1 −τ )k

)

CMePC = 7, 46% (custo de capital) → w = ln(1 + CMePC)

= $120 milh

oes

Substituindo estes valores na equac¸

ao (7.5), temos que o valor da empresa ser

a V (R

)

= $556,60 milh

oes.

7.5 Avaliac¸

ao de opc¸

oes de entrada

Se em um empreendimento a opc¸

ao de adiar a entrada n

ao for poss´ıvel, ou seja, a aquisic¸

ao,

ou in´ıcio das atividades, tiver que ser realizada imediatamente, a decis

ao de iniciar o em-

preendimento ser

a baseada se o valor do empreendimento V (R) exceder aos custos da

aquisic¸

ao ou entrada no neg

ocio. Este n

ao ser

a o caso aonde a decis

ao de adiar for poss´ıvel.

Considere-se um empreendimento com valor V (R) condicionado

a receita R. Seja o

custo de entrada (aquisic¸

ao) igual a $I. Se o valor de R for baixo, nenhuma aquisic¸

ao ser

feita. Por outro lado, com valores mais altos de R , o valor do fluxo de caixa que seria perdido,

pelo adiamento da aquisic¸

ao, excederia o valor de espera. O mesmo argumento se aplica

decis

ao de iniciar um neg

ocio que geraria um fluxo de caixa Y (R). Assim, a quest

e qual

o valor de receita

e alto o suficiente para dar in´ıcio ao empreendimento.

Para isso, pela abordagem de precificac¸

ao de opc¸

oes,

e necess

ario estabelecer uma

carteira replicante de risco zero que rende

a taxa de juros de risco zero. A carteira ser

a uma

opc¸

ao de longo prazo para investir (adquirir a firma) representada por F (R) com opc¸

oes de

curto prazo de n unidades de R. Os detalhes s

ao mostrados na sec¸

ao A.3. A soluc¸

ao para

esta equac¸

e que o valor da opc¸

ao de amortizac¸

ao ser

F (R) = A

, (7.6)

onde λ

e a raiz positiva da equac¸

ao quadr

atica:

λ(λ − 1) + (r

− w + α)λ − r

= 0 . (7.7)

E ainda:

= (λ

− 1)

−1



I −

(1 − τ)r



−(λ

−1)

[λ

(w − α)]

−λ

. (7.8)

A decis

otima

e adquirir o empreendimento se e quando R ≥ R

, aonde:

= λ

(λ

− 1)

−1



I −

(1 − τ)r



(w − α)

. (7.9)

em disso, ao substituir a express

ao de R

na equac¸

ao (7.5),

e fornecido o valor de

entrada em termos do valor do empreendimento:

V (R

) = λ

(λ

− 1)

−1



I −

(1 − τ)r



(1 − τ)r

. (7.10)

Isto

e, a aquisic¸

ao seria paga se V (R) ≥ V (R

). Esta express

ao mostra o afastamento

da regra NPV (Net Present Value - Valor Presente L´ıquido) quando h

a a opc¸

ao de adiamento.

A regra NPV indica que a aquisic¸

ao do empreendimento deve acontecer assim que V (R) ≥

$I. Aqui, λ

> 1 e, dessa forma, λ

/(λ

− 1) > 1. Al

em disso, a constante a representa

o componente fixo negativo do fluxo de caixa livre. Da´ı, segue da equac¸

ao (7.10) que o

investimento somente ser

a feito quando V (R) ≥ V (R

) > I.

Devido ao valor da opc¸

ao de esperar, o valor de aquisic¸

ao, ou in´ıcio do empreendimento,

tem que ser maior que o custo de entrada para se induzir

a realizac¸

ao do investimento.

Esta caracter´ıstica justifica a pr

atica de composic¸

ao de taxas de barreira sobre o custo de

capital. A regra de decis

ao assume que o custo de investimento n

ao varia com o valor de R.

O exerc´ıcio antecipado da opc¸

ao de entrada pode compensar quando o custo da entrada

aumentar ao longo do tempo em raz

ao da quantidade de competidores e outras raz

oes.

Exemplo 7.3 Considere que a empresa do exemplo 7.2 est

a sendo vendida por $400 mi-

oes e que a taxa de juros livre de risco seja igual a 4% ao ano. Ser

a melhor entrar no

empreendimento imediatamente ou aguardar por mais informac¸

oes? Para se obter esta

resposta, basta calcular o valor da opc¸

ao de entrada e a receita de entrada. Para um valor

de I = $400 milh

oes para a empresa do exemplo 7.2, temos que:

= 2, 3836 A

= 0, 0034 F (R

) = $303, 72 milh

oes

= $181, 51 V (R

) = 1.214, 35

Ou seja, a opc¸

ao de entrada mostra que a entrada no empreendimento (aquisic¸

ao) deve

ser realizada somente quando a receita atingir $181,51 ou a empresa valer $1.214,35.

7.6 Opc¸

oes de entrada e sa

ida

Considerando que o valor de um empreendimento apresenta a alternativa de adiar a entrada

e a possibilidade de sair do empreendimento ap

os a entrada. Primeiro consideraremos o

valor de um empreendimento em marcha com uma opc¸

ao de sa´ıda. Este valor

e dado pela

equac¸

ao:

V (R) = B

(w − α)

(1 − τ)r

Seja R

o limite para in´ıcio de sa´ıda tal que o empreendimento seja cancelado quando R

caia abaixo de R

. Al

em disso, ser

a introduzido um custo extra de sa´ıda igual a



E, referente

a pagamentos, cancelamento de contratos e outros custos de fechamento.

Considere o valor de uma opc¸

ao de adiamento com prec¸o de aquisic¸

ao $I. Da equac¸

(7.6), o valor da opc¸

ao de adiamento

F (R) = A

O problema na avaliac¸

ao de um empreendimento com opc¸

oes de sa´ıda e adiamento

simplificado quando considerado que o empreendimento abandonado pode ser retomado

com o mesmo investimento $I. Isto normalmente n

ao representa a realidade, mas ambas

as probabilidades de reentrada e o valor de opc¸

ao da reentrada seriam muito mais baixas

no limite de sa´ıda R

, e nenhum ingrediente tendencioso

e introduzido por esta abordagem

quando a reentrada n

ao for poss´ıvel. Esta hip

otese leva a um caminho simples de com-

putar simultaneamente a entrada, o limite de sa´ıda e o valor do empreendimento antes da

aquisic¸

ao.

E mostrado na sec¸

ao A.4 que a soluc¸

ao R

, R

, A

, e B

satisfazem as seguintes

equac¸

oes:

− B

−

(w − α)

−

(1 − τ)r



E ; (7.11)

− λ

−1

−

(w − α)

= 0 ; (7.12)

− B

−

(w − α)

−

(1 − τ)r

= −I ; (7.13)

−1

− λ

−1

−

(w − α)

= 0 . (7.14)

Este sistema de equac¸

oes n

ao-lineares pode ser resolvido em uma planilha de Excel por

uma combinac¸

ao de (1) uma busca num

erica para identificar uma soluc¸

ao inicial adequada

e (2) uma busca local utilizando-se a ferramenta de soluc¸

ao do Excel.

As principais hip

oteses desse modelo assumem que o custo de entrada n

ao aumenta

com o tempo e nem

e uma func¸

ao das receitas, e que o processo do fluxo de caixa n

ao ser

afetado se a entrada for adiada. Este n

e o caso em muitas situac¸

oes reais. Adiamen-

tos em um investimento podem permitir a competidores entrarem no mercado e obterem

vantagens por agirem primeiro. Se este for o caso, o modelo pode ainda ser utilizado para

estabelecer o valor de uma entrada imediata enquanto o benef´ıcio de sa´ıda

e permitido para

o caso em que o fluxo de caixa apresentar resultados bem abaixo do esperado.

Exemplo 7.4 Adicionando a opc¸

ao de sa´ıda

a empresa do exemplo anterior, com um custo

de fechamento igual a $70 milh

oes, os valores de λ

, λ

, A

, B

, R

e R

, calculados em

uma planilha do Excel, s

ao:

= 2, 3836 λ

= −2, 2854 A

= 0, 0055

= 1.711.884, 6 R

= $177, 6 R

= $61, 2

Substituindo estes valores nas f

ormulas para o valor de entrada da opc¸

ao e o valor da

empresa em marcha, temos que:

F (R

) = $500, 34 milh

oes V (R

) = $586, 92 milh

oes

Com a opc¸

ao de sa´ıda, mais o custo para abandonar o neg

ocio, a opc¸

ao de entrada

passa de $303,72 milh

oes para $500,34 milh

oes e a firma ainda aumenta seu valor em

$30,31 milh

oes, que

e o valor da opc¸

ao de sa´ıda.

7.7 Avaliando investimentos iniciais a opc¸

oes de cresci-

mento

Uma empresa, ou um empreendimento, pode apresentar fluxos de caixa negativo e receita

igual a zero e oferecer uma possibilidade incerta de se obter uma frac¸

ao de mercado com um

potencial de crescimento e alta rentabilidade em algum momento futuro. Alguns empreendi-

mentos envolvem uma fase inicial, em um determinado per´ıodo de tempo, que

e seguida de

uma decis

ao de abandonar ou expandir o projeto atrav

es de novos investimentos. O aban-

dono pode ser tratado como uma opc¸

ao de sa´ıda poss´ıvel em qualquer momento da fase

inicial e durante a fase de expans

ao. O investimento inicial ser

a feito se as perspectivas

futuras do neg

ocio forem suficientemente atrativas. A seguir ser

a apresentado um modelo

de an

alise para empreendimentos com estas caracter´ısticas.

Entrar em um neg

ocio, ou expandir para outra regi

ao ou pa´ıs, normalmente requer um

in´ıcio em escala modesta, a fim de se avaliar as possibilidades do novo mercado e/ou

100

para o desenvolvimento das tecnologias necess

arias e produtos. Dessa forma, um per´ıodo

longo envolvendo custos de pesquisa e desenvolvimento pode ser necess

ario. Em seguida,

em se prosseguindo com o empreendimento, investimentos para o est

agio de produc¸

ao e

divulgac¸

ao devem ser realizados.

Uma maneira simples de se avaliar empreendimentos com estas caracter´ısticas

e adi-

cionar ao custo ocorrido no primeiro est

agio o valor da opc¸

ao de crescimento com decis

no futuro T. O valor deste empreendimento ser

a ent

ao:

−



t=1

−w(t−1)



−wx

dx + F

−wT

= −



t=1

−w(t−1)

−1

(1 − e

−w

) + F

−wT

onde I

representa a taxa de investimento anual durante a fase inicial, que assume a forma

de t = 1 para T . O valor da opc¸

ao de crescimento em T

e dado por F

, fornecida pela

soluc¸

ao da sec¸

ao 7.5.

Exemplo 7.5 Suponha, para a mesma firma dos exemplos anteriores, que I

= $60 milh

oes

por ano at

e o fim do ano T = 3. A receita esperada para em T = 3 ser

a R

= $120e

(0,03922)

(3)

= $134, 98 milh

oes. Assuma que o custo de expans

ao para o instante T

e estimado em $400

milh

oes e que o custo de sa´ıda, se as receitas forem desalentadoras, seja $70 milh

oes. O

valor da opc¸

ao de expans

ao F

, calculada como na sec¸

ao 6.6, ser

a F

) = $500, 34

milh

oes. Assim, o valor presente l´ıquido do investimento inicial ser





t=1

40 exp[(−0, 07195)(t − 1)].[0, 07195

−1

].[1 − exp(0, 07195)]



+500, 34 exp[(−0, 07195)(3)] = $241, 33 milh

oes.

7.8 Avaliando investimentos iniciais e opc¸

oes de expan-

O momento exato de se iniciar um empreendimento que envolva uma fase inicial de pesquisa

e desenvolvimento pode ser adiado at

e que se obtenha mais informac¸

oes sobre perspectivas

futuras de receita. Mesmo durante a fase inicial, investimentos podem ser cancelados em

baixos n´ıveis de receita esperada. O valor do empreendimento mais a opc¸

ao de crescimento

requerem a avaliac¸

ao de duas opc¸

oes compostas. A opc¸

ao da fase inicial

e decidir realizar

o investimento inicial ou esperar por mais informac¸

oes. A opc¸

ao da segunda fase envolve

a decis

ao da expans

ao, uma vez que a fase inicial tenha se mostrado satisfat

oria. Nas

101

duas fases existem opc¸

oes de sa´ıda quando as expectativas sobre o futuro n

ao justifiquem

investimentos adicionais. A fase inicial ser

a denominada como uma opc¸

ao de investimento

inicial e a segunda fase de opc¸

ao de crescimento ou opc¸

ao de expans

ao.

O potencial de receita ser

a denotado por R

para a fase inicial e R

para a fase de

expans

ao. A quest

ao ser

a qual valor potencial R

e suficiente para a entrada na primeira fase

e qual potencial de receita R

e suficiente para a fase de expans

ao. O potencial de receita

e estimado atrav

es da equac¸

ao do movimento browniano apresentado anteriormente. O

movimento no valor da receita

e caracterizado por: (1) a receita obtida em um certo instante

de tempo; (2) sua taxa de crescimento e (3) sua volatilidade.

Para resolver o problema, ser

a considerado que a primeira fase j

a esteja conclu´ıda.

Ent

ao, a decis

ao de se investir ou n

ao o valor $I

para a fase 2 de expans

ao e operac¸

do neg

ocio ter

a que ser tomada. Esta

e a opc¸

ao de crescimento. Para a precificac¸

ao da

opc¸

ao de crescimento deve-se utilizar a soluc¸

ao de entrada e sa´ıda do modelo da sec¸

6.6 com a soluc¸

ao F

) fornecida pelas equac¸

oes (7.11) a (7.14). Note-se

que o valor da opc¸

ao de crescimento F

) inclui a opc¸

ao de sa´ıda do neg

ocio em n´ıveis

baixos de receita.

Uma vez que a soluc¸

ao da segunda fase esteja determinada, resta obter a soluc¸

ao para

o valor da opc¸

ao de investimento inicial para a fase 1. Esta

e a opc¸

ao de entrar no mer-

cado e investir sobre o per´ıodo inicial $K (fluxo de caixa negativo acumulado). No final da

primeira fase, o investidor tem a opc¸

ao de investir $I

para a realizac¸

ao da segunda fase.

Durante a primeira fase, o empreendimento recebe fluxos de caixa l´ıquido negativo. Embora

seja poss´ıvel interromper investimentos e reinici

a-los em momento posterior, a primeira fase

requer um custo para ser completado igual a K(t).

De acordo com o modelo de Majd e Pindyck (1987) de ``tempo de construc¸

ao'', seja a

din

amica de K(t) dada por:

dK = −I

dt , (7.15)

sendo I

a taxa de investimento que pode assumir valores no intervalo [0, I

max

]. Esta espe-

cificac¸

e feita para permitir o desenvolvimento do aprendizado com o custo restante da

primeira fase declinando com o investimento. Como mostrado anteriormente, a variac¸

ao da

102

receita

dR = αRdt + σRdz , (7.16)

associado ao fluxo de caixa livre Y = bR + a.

O valor da opc¸

ao de investimento inicial ser

a representado pela func¸

ao F

, K). Este

valor estar

a condicionado a uma pol´ıtica de investimentos

otima durante a primeira fase. A

pol´ıtica

otima ser

a representada por I

∗

, K).

E mostrado na sec¸

ao A.5 que I

∗

fornece

uma soluc¸

ao ``bang-bang'' com I

igual a 0 ou I

max

, dependendo se R

< R

∗

ou R

≥ R

∗

Na avaliac¸

ao da opc¸

ao de investimento inicial, o procedimento consiste em estabelecer

uma carteira com opc¸

ao de longo prazo para investimento inicial e n posic¸

oes de R

a curto

prazo. O valor desta carteira ser

a F

, K) − nR

, sendo que, em pequenos intervalos

de tempo dt, a carteira apresentar

a uma variac¸

ao dF

, K) − ndR

. O n

umero n ser

igual ao n

umero n

∗

que produz rendimentos para a carteira livres de risco. Seu retorno ser

obtido pela variac¸

ao no valor durante o per´ıodo dt menos a compensac¸

ao requerida pelo

comprador da posic¸

ao de curto prazo, que

e igual a (w −α)n

∗

Rdt, e menos o fluxo de sa´ıda

dt que ocorre enquanto o investimento acontece. Ao equacionar o retorno total da carteira

ao retorno de risco zero, fica estabelecido que:

− n

∗

− (w − α)n

∗

dt − I

dt = r

− n

∗

)dt (7.17)

A soluc¸

ao desta equac¸

ao precisa satisfazer certas condic¸

oes:

1. Quando K = 0, a firma obt

em a opc¸

ao de investir I

e operar o empreendimento na

segunda fase;

2. O valor da opc¸

ao de investimento inicial

e desprez´ıvel quando R

= 0;

3. A equac¸

ao (7.17) deve satisfazer outras condic¸

oes t

ecnicas detalhadas na sec¸

ao A.5.

E demonstrado na sec¸

ao A.5 que a soluc¸

ao da equac¸

ao (7.17), quando R < R

∗

e I = 0,

apresenta a mesma forma da equac¸

ao (7.6), ou seja, F

, K) = A(K)R

. De qualquer

maneira, quando R

> R

∗

e I

> 0, a equac¸

ao (7.17)

e uma equac¸

ao diferencial parcial de

segunda ordem que n

ao possui soluc¸

ao exata e, portanto, precisa ser resolvida por m

etodos

num

ericos.

103

Exemplo 7.6 Considere a firma do exemplo anterior:

= $120 milh

oes (receita potencial esperada em t = 0)

α = 3, 922% (taxa de crescimento cont´ınua esperada da receita)

σ = 12% (volatilidade da receita)

= 4% (taxa de juros livre de risco)

w = 7, 195% (custo m

edio ponderado de capital)

= 0, 0055 (constante da soluc¸

ao da opc¸

ao de expans

ao)

= 2, 3836 (pot

encia de soluc¸

ao da opc¸

ao de expans

ao)

Suponha que a entrada no empreendimento possa ser adiada, que o investimento possa

ser parado a qualquer instante e reativado imediatamente. Resolvendo a equac¸

ao (7.17)

por m

etodos num

ericos, temos a seguinte tabela para a pol´ıtica

otima de investimento, de

acordo com os seguintes valores para K e I

max

Opc¸

ao de Investimento Inicial: Pol´ıtica

Otima de Investimento

Caso 1: K = $190 milh

oes (Investimento requerido). I

max

= $60 milh

oes (Taxa m

axima

anual de investimento).

Invest. Remanescente K Valor Cr´ıtico R

∗

Invest. Remanescente K Valor Cr´ıtico R

∗

190 290,4 34,2 144,4

175 278,7 30,4 138,6

157,7 267,5 28,5 133

142,5 256,7 24,7 127,7

129,2 246,4 22,8 122,5

115,9 236,5 20,9 117,6

104,5 226,95 19 112,8

95 217,8 17,1 108,3

85,5 209,1 15,2 103,9

77,9 200,6 13,3 99,8

70,3 192,54 11,4 91,9

62,7 184,8 9,5 84,6

57 177,35 7,6 78

51,3 170,2 5,7 68,9

45,6 163,3 3,8 58,5

41,8 156,8 1,9 43,85

38 150,5 0 19,3

*Valores em $milh

oes

104

Caso 2: K = $110 milh

oes e I

max

= $40 milh

oes.

Invest. Remanescente K Valor Cr´ıtico R

∗

Invest. Remanescente K Valor Cr´ıtico R

∗

110 213 22 111,1

102,3 205 19,8 106,9

92,4 197,3 18,7 102,9

83,6 189,9 16,5 99

75,9 182,8 15,4 95,3

69,3 175,9 14,3 91,8

62,7 169,3 12,1 88,3

57,2 162,9 11 85

51,7 156,8 9,9 78,7

47,3 150,9 8,8 75,8

42,9 145,3 7,7 72,9

39,6 139,8 6,6 67,5

35,2 134,6 5,5 62,5

33 129,5 4,4 57,9

29,7 124,6 3,3 49,7

26,4 119,9 2,2 42,6

24,2 115,4 1 31,4

*Valores em $milh

oes

Caso 3: K = $80 milh

oes e I

max

= $50 milh

oes

Invest. Remanescente K Valor Cr´ıtico R

∗

Invest. Remanescente K Valor Cr´ıtico R

∗

80 213 28,8 119,9

78,4 205 26,4 115,4

72,8 197,3 24,8 111,1

67,2 189,9 23,2 106,9

63,2 182,8 21,6 102,9

58,4 175,9 20 99

54,4 169,3 18,4 95,3

50,4 162,9 16,8 91,8

47,2 156,8 15,2 88,3

44 150,9 13,6 85

40,8 145,3 11,2 78,7

38,4 139,8 8 75,8

35,2 134,6 4,8 72,9

32,8 129,5 2,4 67,5

30,4 124,6 0,8 62,5

*Valores em $milh

oes

7.9 Deduzindo custos incertos em investimentos iniciais

Uma generalizac¸

ao poss´ıvel do modelo da primeira fase

e permitir que o investimento inicial

apresente um custo com vari

avel aleat

oria $

K com expectativa K = E(

K). Isto pode ser

105

feito atrav

es do modelo de investimento de Pindyck (1993) para custo incerto. A variac¸

de K(t) pode ser expressa ent

ao como:

dK = −I

dt + ν(I

1/2

dξ , (7.18)

sendo I(t) a taxa de investimento, que pode assumir valores no intervalo de [0, I

max

]. A

incerteza do custo

e representada por dξ = ε(dt)

1/2

e dξ representa o processo de Wiener

(movimento geom

etrico browniano), tal que dξ = ε(dt)

1/2

, sendo que ε apresenta zero de

edia e desvio padr

ao unit

ario. O par

ametro ν da equac¸

ao (7.18) pode ser estimado da

vari

ancia do custo de completac¸

ao.

var (

K) =



2 − ν



. (7.19)

O primeiro termo da equac¸

ao (7.18) mostra que o custo esperado diminui com o

investimento. O termo adicional introduz a incerteza como func¸

ao do n´ıvel de investimen-

tos e do custo esperado para completac¸

ao (finalizac¸

ao da primeira fase). Dessa forma, a

incerteza decresce conforme o custo para completac¸

ao diminui e o desenvolvimento ocorre

quando h

a investimento (I

> 0).

E razo

avel admitir que a incerteza do custo

e idioss-

incr

atica para a firma e n

ao-correlacionada com o mercado, o que significa que dξ pode ser

diversificado.

Como mostrado anteriormente, a variac¸

ao da receita pode ser expressa como:

dR = αRdt + σRdz , (7.20)

com fluxo de caixa livre associado Y = bR + a.

Como na sec¸

ao 6.5, o valor da opc¸

ao de investimento inicial ser

a F

, K) e a pol´ıtica

otima representada por I

∗

, K).

E mostrado na sec¸

ao A.6 que I

∗

fornece uma soluc¸

``bang-bang'' com I

igual a 0 ou I

max

, em func¸

ao de R

< R

∗

ou R

≥ R

∗

A opc¸

ao de investimento inicial

e avaliada atrav

es da construc¸

ao de uma carteira com

uma posic¸

ao de longo prazo na opc¸

ao de investimento inicial e posic¸

oes de curto prazo com n

unidades de R

. O valor desta carteira ser

a F

, K)−nR

, com variac¸

ao dF

, K)−ndR

sobre um pequeno intervalo de tempo dt. Igualamos n a n

∗

, que faz com que a carteira renda

livre de risco. O retorno

e realizado pela variac¸

ao no valor durante dt, menos a compensac¸

requerida pelo comprador da posic¸

ao de curto prazo, que

e igual a (w −α) n

∗

Rdt, e menos o

106

fluxo de sa´ıda I

dt que ocorre quando o investimento

e realizado. Equacionando o retorno

total da carteira ao retorno sem risco, obt

em-se:

− n

∗

− (w − α)n

∗

dt − I

dt = r

− F

)dt . (7.21)

A soluc¸

ao desta equac¸

ao precisa satisfazer certas condic¸

oes:

1. Na completac¸

ao, ou seja, quando K = 0, a firma adquire a opc¸

ao de investir I

e operar

o empreendimento na segunda fase;

2. O valor da opc¸

ao de investimento inicial

e desprez´ıvel quando R

= 0;

3. Quando o valor de K for muito alto, o valor da opc¸

ao de investimento inicial ser

tamb

em desprez´ıvel.

4. Al

em disto, a equac¸

ao (7.18) deve satisfazer outras condic¸

oes t

ecnicas descritas na

sec¸

ao A.6.

A equac¸

ao (7.21)

e uma equac¸

ao diferencial de segunda ordem, cuja soluc¸

ao fechada

ao existe e, desta forma, se faz necess

ario solucion

a-la atrav

es de m

etodos num

ericos. Um

etodo num

erico poss´ıvel de ser utilizado

e atrav

es de um algoritmo baseado no m

etodo

de diferenc¸as impl´ıcitas, que n

e poss´ıvel de ser realizado atrav

es das planilhas do Excel.

7.10 Conclus

Neste cap´ıtulo pode-se verificar um novo tipo de metodologia de precificac¸

ao de empresas

baseado em tempo cont´ınuo e na teoria de precificac¸

ao de opc¸

oes, atrav

es da montagem

de carteiras baseadas nas receitas do empreendimento. Uma primeira diferenc¸a

e que

o prec¸o de uma empresa calculada por este m

etodo tende a ser um pouco maior que o

valor da empresa calculada em tempo discreto, j

a que a formulac¸

ao em tempo cont´ınuo

permite que a receita tenha um fluxo cont´ınuo atrav

es do tempo, diferente da formulac¸

ao em

tempo discreto que s

o permite a chegada de receita ao final do per´ıodo de desconto. Al

disto, considerac¸

oes como irreversibilidade, possibilidade de adiamento e incertezas foram

incorporados

a formulac¸

ao, fazendo com que este modelo se aproxime mais da realidade.

CAP

ITULO 8

A ESCOLHA RACIONAL VERSUS MOTIVAC¸

OES DE

INGRESSO EM NEG

OCIOS (um processo de julgamento individual)

A escolha matem

atica do momento ideal de ingresso no neg

ocio e por conseguinte o

valor da empresa como base para decis

ao, nem sempre s

ao os elementos para o investidor

aplicar seu investimento. Considerac¸

oes de outra natureza s

ao por muitas vezes determi-

nantes nas negociac¸

oes em que ocorrem a venda ou a compra dos neg

ocios.

Pode-se destacar que posic¸

oes pessoais dos propriet

arios, considerac¸

oes fiscais, bene-

f´ıcios outros n

ao captados nas modelagens, vantagens competitivas como marcas, partici-

pac¸

oes de mercados e outros s

ao fatores determinantes neste processo. A prova disso s

os excessos de

agio registrados nos balanc¸os das empresas, muito embora os patrim

onios

estejam sub avaliados. Por outro lado, vemos nas Bolsas de Valores as perdas equilibrando-

se com os ganhos, em que investidores `apostaram' em um determinado neg

ocio. Al

disso, tais modelagens dificilmente captam rendimentos alternativos proporcionados por fun-

dos adicionais investidos nestes neg

ocios.

Tamb

e poss´ıvel que uma determinada alavancagem nos recursos da sociedade pro-

porcione retornos inesperados sobre estes novos investimentos, e as empresas atrav

es de

seus administradores buscam estes recursos com partilhamento da sociedade, como se v

nas aberturas de capitais nas bolsas de valores, t´ıtulos da companhia etc.

Quando o capital apresenta uma oferta abundante, isto

e, a obtenc¸

ao de recursos est

de alguma forma, facilitada, a tend

encia

e que n

ao haja propens

ao de venda da sociedade,

exceto por prec¸os superiores ao valor presente de seus lucros esperados. Por outro lado, se

esta administrac¸

ao e este capital estiverem completamente absorvidos pelas atividades e

apresentarem um alto custo de oportunidade, a firma, atrav

es de seus propriet

arios, poder

107

108

achar atraente vender o neg

ocio por prec¸o menor. Os valores base da negociac¸

ao estar

variando em um processo de escolha nem sempre racional.

Esta tomada de decis

ao dos investidores

a luz de algum prop

osito, nem sempre revelado,

baseia-se em estrat

egias que os motivam a tomar atitudes contr

arias

as sugeridas pelas

modelagens de avaliac¸

ao de neg

ocios dispon´ıveis na literatura sobre o assunto.

Quanto mais os investidores acreditarem em suas suposic¸

oes formuladas, maior ser

a sua confianc¸a e os valores que estes investidores estar

ao dispostos a oferecer ser

maiores. Algumas destas motivac¸

oes s

ao conhecidas, e podemos citar a busca de lucros,

oportunidades competitivas, crescimento a longo prazo que no futuro realizar

ao o retorno

de seus capitais.

Os modelos de avaliac¸

ao de empresas buscam determinar o valor de um empreendi-

mento atrav

es da observac¸

ao de seu objeto, no caso, dados de seu passado, que s

ao ob-

serv

aveis de forma l

ogica.

No entanto, por mais que os modelos possam direcionar um valor mais justo ao neg

ocio,

estas escolhas derivadas de opc¸

oes pessoais n

ao s

ao captadas nos modelos at

e aqui ap-

resentados, talvez por pressuporem o comportamento dos investidores totalmente cobertos

de racionalidade.

Talvez seja por isso que vemos pagamentos de neg

ocios abaixo das expectativas do

mercado ou acima destas, materializadas nos

agios e des

agios ou nas negociac¸

oes das

bolsas de valores.

Os investidores ao ingressarem em um determinado neg

ocio, exercem a vis

ao estrat

gica, que nas palavras de Agr´ıcola de Souza Bethlem (Bethlem, 1989), define que

unica forma de se conseguir, numa empresa, participac¸

ao, acesso, recrutamento me-

lhor, treinamento constante e oportunidade de fazer o que se gosta

e ter uma empresa em

que ser

ao criadas oportunidades necess

arias para que haja o acesso e para que haja a

preocupac¸

ao constante de melhorar'. Segundo o autor, este crescimento est

a associado ao

poder de criatividade (palavra esta que tinha como raiz a origem `creatividade'). Define como

vis

ao estrat

egica esta capacidade de ac¸

ao inteligente para se atingir objetivos, no contexto

de recursos e circunst

ancias dif´ıceis de se avaliar, quase sempre n

ao adequados

as neces-

sidades da empresa e agindo atrav

es de pessoas com objetivos muitas vezes diferentes,

com as quais a comunicac¸

e dif´ıcil.

109

Neste contexto, a vis

ao estrat

egica dos administradores vai ser determinante no padr

de sucesso e insucesso das empresas.

Segundo Bethlem (1989) as pesquisas e desenvolvimento tem sido respons

aveis

por grandes sucessos e tamb

em por grandes fracassos. Muitas empresas se dedicaram

pesquisa investindo vultuosas somas em seus projetos, mas se esqueceram de investir em

marketing, criando desta forma a chamada `obsolesc

encia planejada'. As vendas s

ao volta-

das para as necessidades do vendedor e o marketing est

a voltado para as necessidades do

comprador. O produto

e uma conseq

encia e n

ao uma causa do esforc¸o de marketing. Por

outro lado, sorte n

ao seria o fator decisivo, que nas palavras de Levitt - `A melhor maneira

de ter sorte

e criar a pr

opria sorte atrav

es de pesquisa e conhecimento do consumidor e

seus desejos e inclinac¸

oes'.

umeras empresas foram v´ıtimas do chamado Fracasso do Sucesso. Atrav

es de investi-

mentos, ingressaram em determinados ramos de neg

ocios, atra´ıdas pelo sucesso de outras,

mas o mercado mostrou-se indiferente a elas. Algumas empresas adapt

aveis sobreviveram

e outras espelhadas em comportamentos bem sucedidos do passado foram extintas.

Estes diversos fatores citados at

e aqui fazem com que os investidores escolham sob a

forma de `aposta' os valores que desejam aplicar nos diversos neg

ocios e projetos que se

apresentam. Al

em disso, como se sabe, as informac¸

oes iguais s

ao percebidas de forma

diferente por diferentes pessoas em func¸

ao de desigualdades de mem

orias e julgamentos

individuais.

8.1 Os objetivos de longo prazo

Ao procurarmos uma definic¸

ao de empresa podemos reconhecer que os objetivos de longo

prazo de uma empresa se voltam para a motivac¸

ao tradicional capitalista que

e a maxi-

mizac¸

ao dos lucros atribu´ıdo ao capital investido. Parece um tanto vago tal conceituac¸

quando observam-se empresas que tiveram lucros supra-normais em comparac¸

ao a outras

no mesmo segmento de neg

ocio e com as mesmas caracter´ıstica uma da outra.

Na procura de maior clareza para justificar tal acontecimento, surgem opini

oes e tenta-

tivas de explicac¸

oes atrav

es de construc¸

oes de modelos que muitas vezes s

o servem para

uma determinada entidade.

110

Alberto Asquini, professor da Universidade de Roma, em artigo publicado na Rivista Del

Diritto Commerciale (Milano, 1943, vol. 41 1a parte) citado na obra de Romano Cristiano

(Conceito de Empresa 1995) diz ``...Como tal, o conceito econ

omico de empresa diz respeito

essencialmente

a economia da troca, porque somente na

orbita da economia da troca a

atividade do empres

ario pode adquirir car

ater profissional.

E portanto empresa, no sentido

do c

odigo civil, toda organizac¸

ao de trabalho e de capital, com a finalidade da produc¸

ao de

bens ou servic¸os para a troca...``

O valor de troca assume ent

ao o papel preponderante nas organizac¸

oes que buscam

maximizar os seus lucros em objetivos de longo prazo.

Obviamente, as empresas est

ao inseridas em um ambiente mercadol

ogico que muitas

vezes dita regras que envolvem prec¸os, condic¸

oes, qualidade etc, que afetam o ciclo das

suas operac¸

oes.

Os desajustes deste ciclo entre os fluxos de receitas e despesas levando

a ruptura do

equil´ıbrio financeiro tornam-se um aspecto do risco financeiro ao qual toda empresa est

a su-

jeita. Constitui assim a entidade um centro aut

onomo de decis

ao, em que os seus gestores

controlam o capital da empresa. Esse grau de autonomia leva

a manutenc¸

ao do equil´ıbrio fi-

nanceiro dependendo da manutenc¸

ao da estrutura de ativos cuja transformac¸

ao progressiva

ocasiona receitas e, simultaneamente, alterac¸

ao da estrutura dos recursos.

Portanto, o grau de risco da entidade ligado

a natureza da aplicac¸

ao destes fundos ge-

rados por esta troca de ativos e da origem dos recursos, que aqui definimos como investi-

mentos, e ainda condicionado

a natureza da atividade econ

omica.

Para refutar os limites do condicionalismo do financiamento e permitir o seu crescimento,

a empresa

e levada a reduzir as suas disponibilidades, aumentando o seu endividamento,

aceitando assim a diminuir o seu grau de autonomia, mantendo a sua solvabilidade ao captar

novos capitais e aumentando o seu risco financeiro.

Surge ent

ao a concepc¸

ao de rentabilidade, que se aplica a todas a ac¸

oes econ

omicas

da empresa envolvendo aplicac¸

oes dos meios dispon´ıveis e exprimindo-se pelos resultados

obtidos.

Como a empresa

e uma c

elula econ

omica relacionada com outros agentes econ

omicos

que se encontra em diferentes mercados, o seu comportamento e a sua atividade s

ao in-

dissoci

aveis da atitude dos seus gestores na busca da sobreviv

encia e da prolongac¸

ao da

111

situac¸

ao adquirida em face ao meio em que est

a contida.

O objetivo principal perseguido pela empresa a longo prazo

e a rentabilidade e a de-

cis

ao fundamental

e a decis

ao do investimento, pois visa os ganhos em v

arios per´ıodos

sucessivos.

Muitas vezes o financiamento do investimento necess

ario para proporcionar os bene-

f´ıcios futuros

e assegurado pelos valores previamente acumulados, mas outras vezes vai

exigir o ingresso de recursos adicionais dos s

ocios e investidores. Ent

ao a decis

ao deve

fazer face ao equil´ıbrio em aplicac¸

ao e recurso.

8.2 O desenvolvimento da empresa

Segundo Copeland, Koller e Murrin (2002) as empresas que se concentram na criac¸

de valor para os seus acionistas seriam boas n

ao somente para estes, mas tamb

em para

a economia e as demais partes interessadas, como funcion

arios etc. Isto faz com que os

administradores da entidade passem a focar o seu desempenho no retorno do capital in-

vestido sobrepujando o custo de oportunidade do capital, ou seja, cada vez que se decida

investir em retornos superiores ao custo do capital, mais valor se cria, e desta forma deve-

se escolher como melhor estrat

egia ou a maximizac¸

ao dos valores presentes dos fluxos de

caixa previstos ou o lucro econ

omico.

Ainda segundo Copeland, Koller e Murrin (2002), a busca permanente na criac¸

ao de

valor deve ser o principal objetivo a ser perseguido pelos gestores do capital da empresa.

Nos assevera de que o mercado, no qual est

a inserida a entidade, adota a perspectiva de

longo prazo em detrimento dos resultados imediatos de curto prazo.

Muito embora n

ao se possa generalizar o comportamento, mas em oposic¸

ao a vis

ao de

longo prazo, em que o crescimento e a independ

encia predominam, o objetivo de lucro no

curto prazo tem bastante procura nas empresas cujos horizontes n

ao est

ao delineados de

forma sist

emica.

Podem ocorrer fatores ex

ogenos

a entidade advindos de fatores de mercados como opor-

tunidades, excesso de demanda, investimentos adequados e outros que podem conduzir o

crescimento da empresa, trazendo consigo o seu desenvolvimento posterior.

Ou ainda, tais oportunidades se dissipam criando uma ``bolha'' de crescimento levando

112

a um segundo momento efeitos mal

eficos aos investidores, acionistas e outros.

O perigo de desequil´ıbrio financeiro

e permanente nestes casos e o ajuste de receita e

despesas, na hip

otese de n

ao se conseguir a pr

opria exist

encia da empresa, pode ser posto

em causa.

Quando ao contr

ario, o objetivo perseguido for o longo prazo com a criac¸

ao de valor para

a entidade e com o crescimento de capital, haver

a ent

ao um crescimento dos ativos, o que

a explicar a dissociac¸

ao entre o capital da empresa e o seu patrim

onio, agregando um valor

acima de seus ativos.

8.3 O desempenho hist

orico

Os valores expressos nos balanc¸os trazem valores com dados hist

oricos na moeda da

epoca

em que se materializou a transac¸

ao economica.

Segundo Martins (2001), pelas suas palavras, ``Os valores de entrada representam o

sacrif´ıcio que a empresa teve (passado), tem (presente) ou ter

a (futuro) que realizar para

adquirir um dado recurso``. Ainda segundo este autor, as demonstrac¸

oes cont

abeis que

fazem uso dos valores de entrada se fundamentam em tr

es conceitos, - o lucro como di-

ferenc¸a entre caixa obtido em um neg

ocio menos o caixa desembolsado ou investido, - a

praticabilidade e, - a objetividade. Sem d

uvida, as demonstrac¸

oes a valores de entrada s

mais pr

aticas e objetivas do que as de sa´ıda. No entanto, assim nos assevera este autor,

o custo hist

orico deve ser evitado nos casos em que se pretende apurar a capacidade de

gerac¸

ao futura da riqueza do objeto avaliado.

Ainda segundo Iud´ıcibus (2004), informac¸

oes cont

abeis a prec¸os correntes s

melhores alternativas para tomadas de decis

oes, pois possibilitam o reconhecimento de

ganhos ou perdas ainda n

ao realizados. Muito embora, os ativos variem de prec¸os em

proporc¸

ao diferente das variac¸

oes de moedas, enquanto os passivos j

a est

ao pr

oximos de

valores correntes.

Por outro lado, os gestores parecem impotentes para contrapor medidas em suas em-

presas para abrandar os movimentos de ``stop and go'' das economias que funcionam mal.

As inflac¸

oes, apesar de diminutas, n

ao est

ao refletidas nos demonstrativos das entidades,

fatores que levam a distorc¸

oes do resultado apurado.

113

Independentemente da discuss

ao do poder aquisitivo que os valores possam represen-

tar, vamos nos ater

a situac¸

ao em que tais valores ocorridos no passado poder

ao n

ao ocorrer

no futuro. Tendo-se por escopo que tais valores ser

ao utilizados como base preditiva para

projec¸

oes, poderemos incorrer em avaliac¸

ao ing

enua da entidade, ao consideramos tais

expectativas.

Os ativos que geraram resultados em determinado cen

ario podem n

ao ser os mesmos

que v

ao gerar os benef´ıcios futuros da entidade.

De outra forma, ao fazermos predic¸

oes futuras com base em desempenhos hist

oricos e

em taxas de crescimentos hist

oricos, poderemos incorrer em estimativas super-avaliadas,

pois nada garante-nos que tais crescimentos venham a ter o mesmo desempenho do pas-

sado.

Considerando a vida

util dos ativos, a sua obsolesc

encia, as novas tecnologias que se

apresentam, os novos produtos, as novas oportunidades, o mercado etc, s

ao trazidos nos

desempenhos passados refletidos nas demonstrac¸

oes cont

abeis.

Outros aspectos que podemos trazer s

ao os relativos a desempenhos negativos que

podem n

ao se repetir no futuro, por alguma raz

ao, seja de mercado ou seja intr´ınseca

empresa. As oportunidades de neg

ocios ao serem aproveitadas pela sociedade tornam o

seu desempenho futuro positivo em oposic¸

ao ao seu passado.

Portanto, os resultados e as respectivas demonstrac¸

oes devem ser vistos e revistos com

o rigor cr´ıtico. Se forem base exclusiva para predic¸

ao futura os aspectos citados devem ser

considerados quando poss´ıvel.

Mas, poderemos utilizar os demonstrativos entre sociedades similares para efeito de

comparac¸

ao.

8.4 Conclus

Pelos aspectos aqui demonstrados

e que notamos valores patrimoniais diferentes daqueles

avaliados e tamb

em notamos as perdas equilibrando-se com os ganhos nas bolsas de va-

lores, e da´ı constatamos os excessos ou a falta de investimento, materializado nos

agios e

des

agios registrados nos balanc¸os.

CAP

ITULO 9

AVALIAC¸

AO DE EMPREENDIMENTOS EM CONDIC¸

AO DE

INCERTEZA

9.1 Introduc¸

Irreversibilidade, incerteza e possibilidade de adiamento s

ao tr

es caracter´ısticas importantes

das decis

oes de investimento. Na pr

atica, as decis

oes dos investidores levam em conta

cada uma delas e as suas interac¸

oes.

A irreversibilidade decore do fato do investimento, em muitas situac¸

oes, ser um custo

afundado, ou seja, em caso de arrependimento o valor investido n

ao poder

a ser recuperado.

A possibilidade de adiamento em muitos casos

e fact´ıvel. Os benef´ıcios de esperar

informac¸

ao nova para subsidiar a decis

ao de investir podem ser grandes o suficiente para

justificar adiamentos. Mas nem sempre isso

e poss´ıvel. Considerac¸

oes estrat

egicas podem

forc¸ar os investidores a antecipar investimentos para inibir o crescimento dos competidores

efetivos ou a entrada de competidores potenciais na ind

ustria.

em disso, incertezas sobre o empreendimento podem acarretar dificuldades na deter-

minac¸

ao do valor de uma firma. O desempenho da receita de um empreendimento qualquer

e incerto na esmagadora maioria dos casos. Ainda sim,

e poss´ıvel formular a evoluc¸

ao de

uma receita no tempo, respeitando-se as incertezas, atrav

es, por exemplo, da formulac¸

por movimento browniano geom

etrico em tempo cont´ınuo.

Outras incertezas significativas podem surgir na avaliac¸

ao de um empreendimento. Por-

tanto, este cap´ıtulo pretende desenvolver duas abordagens matem

aticas:

1. o desenvolvimento de uma nova metodologia de an

alise de risco em antecipac¸

ao de

entrada;

114

115

2. a apresentac¸

ao de uma nova abordagem em avaliac¸

ao de empreendimentos que in-

corpore as incertezas inerentes ao empreendimento.

9.2 Avaliac¸

ao de riscos

Para o desenvolvimento deste cap´ıtulo, ser

ao utilizados os conceitos de avaliac¸

ao e minimi-

zac¸

ao de riscos propostos em (Bouchaud, Potters; 14, 2003) para casos simples

de contratos futuros. Estes contratos ocorrem atrav

es da compra ou venda de uma certa

quantidade de ativos X (o ativo subjacente) com pagamento e entrega em um instante futuro

T = Nτ , sendo:

T - instante futuro definido por:

τ - intervalo de tempo m´ınimo (1 dia, 1 semana, 1 m

es, etc);

N - n

umero natural que identifica a data final do contrato futuro.

Qual o prec¸o F deste contrato, sabendo-se que este contrato deve ser pago no instante

futuro T ?

Este prec¸o, segundo uma proposta inicial em (Bouchaud, Potters; 13, 2003), pode ser

calculado dentro de uma condic¸

ao de ``jogo justo'': o prec¸o deve ser ajustado de forma

que, na m

edia, as duas partes envolvidas apresentem o mesmo desempenho na data de

maturidade T. Do ponto de vista do vendedor do contrato, o balanc¸o de ganhos associado

ao contrato futuro pode ser expresso como:

ΔW

= F − x(T ) , (9.1)

onde: ΔW

e a variac¸

ao dos ganhos na data de maturidade T ; F

e o prec¸o do contrato

futuro e x(T )

e o valor do ativo subjacente X na data de maturidade T .

Dessa forma, a condic¸

ao de ``jogo justo'' exige que ΔW

 = 0. Ent

ao, o prec¸o justo do

contrato ser

= x(T ) ≡



xP (x, T |x

, 0)dx (9.2)

sendo: x(T ) o valor m

edio de X em T ; P (x, N|x

, 0) a probabilidade do prec¸o x em T

quando em t = 0 e x = x

; F

o prec¸o do contrato de Bachelier.

O ´ındice B em F refere-se ao prec¸o de Bachelier, que fez esta proposta de precificac¸

de contratos futuros no in´ıcio do s

eculo XX. Mas este c

alculo n

e satisfat

orio, j

a que n

116

leva em conta o risco de que o prec¸o do ativo subjacente x(T ) esteja bem acima do valor de

x(T ), o que faz com que o vendedor do contrato tenda a fixar o prec¸o F acima do prec¸o

Atualmente, o prec¸o de Bachelier F

e relacionado ao prec¸o de mercado por uma

quest

ao simples: o vendedor do contrato pode suprimir totalmente seu risco comprando no

instante t = 0 o ativo subjacente X a um prec¸o x

e guardando-o at

e a data de maturidade

T . A este procedimento, conhecido como hedge, ser

a dado o nome ``estrat

egia de

ancoragem''. Entretanto, esta estrat

egia

e custosa: a quantidade de dinheiro ``congelado''

investido durante o per´ıodo do contrato pode n

ao superar a taxa de juros livre de risco.

Dessa forma, o custo desta estrat

egia ser

a x

T , onde r

e a taxa de juros livre de risco

por unidade de tempo. Do ponto de vista do comprador, seria absurdo pagar mais que

T , que

e o custo do cr

edito em dinheiro necess

ario para pagar o ativo imediatamente.

Assim, o

unico prec¸o vi

avel para o contrato futuro ser

a F = x

T = F B, que

e um prec¸o

completamente n

ao correlacionado aos potenciais movimentos de X.

Um argumento elementar ent

ao permite determinar o prec¸o do contrato futuro e pode-se

seguir uma perfeita estrat

egia de ancoragem: comprando-se uma quantidade φ = 1 por

cada ativo subjacente, durante o per´ıodo inteiro do contrato. O objetivo seguinte

e ent

estabelecer este resultado trivial de uma forma mais sofisticada, para se precificar contratos

futuros mais complexos como opc¸

oes.

9.2.1 Balanc¸o financeiro geral

Para se escrever um balanc¸o financeiro geral que leve em conta a estrat

egia de ancoragem

do ativo subjacente X, ser

a definida uma carteira com dois tipos de ativos: o ativo de risco

X e um ativo B com retorno fixo e conhecido atrav

es de uma taxa de juros livre de risco.

O capital total investido ser

a dividido ent

ao entre esses dois ativos, de forma que o capital

total em um instante t = nτ

e definido por:

= φ

+ B

, (9.3)

onde: φ

e a quantidade do ativo X em t = nτ ; x

e o prec¸o do ativo X em t = nτ ; B

e a

quantidade de capital livre de risco em t = nτ .

A evoluc¸

ao de W

com o tempo se deve

a mudanc¸a de prec¸o do ativo X e ao fato de

117

que o ativo livre de risco rende a uma taxa de retorno determinada r. Dessa forma, tem-se

que:

n+1

− W

= φ

n+1

− x

) + B

ρ , (9.4)

com ρ = rτ .

Por outro lado, pode haver um fluxo de capital atrav

es da compra ou venda de ativos X,

com recursos do ativo B livre de risco. Assim:

n+1

− B

= B

ρ − x

n+1

(φ

n+1

− φ

) . (9.5)

Observe que a equac¸

ao (9.3)

e compat´ıvel com as equac¸

oes (9.4) e (9.5). A soluc¸

ao da

equac¸

ao (9.5) mostra que:

= (1 + ρ)

−



k=1

(φ

− φ

k−1

)(1 + ρ)

n−k

. (9.6)

Incorporando este

ultimo resultado

a equac¸

ao (9.3), e renomeando k−1 → k na segunda

parte da soma, obt

em-se que o resultado final de W

ser

a dado por:

= W

(1 + ρ)

n−1



k=0

k+1

− x

− ρx

) ··· (9.7)

com ψ

≡ φ

(1 + ρ)

n−k−1

Esta

ultima express

ao apresenta um significado intuitivo: o ganho ou perda incorridos

entre o instante k e o instante k + 1 deve incluir o custo da estrat

egia de ancoragem −ρx

em disso, este ganho ou esta perda deve ser levado at

e o instante n atrav

es dos efeitos

da taxa de juros livre de risco; por isso o fator extra (1 + ρ)

n−k−1

. Outra forma de se escrever

a equac¸

ao (9.7),

e introduzindo o conceito de prec¸os descontados x



≡ x

(1 + ρ)

. Assim,

pode-se reescrever que:

= (1 + ρ)



n−1



k=1

(˜x

k+1

− ˜x

)



. (9.8)

Assim, os prec¸os descontados x



passam a representar os prec¸os ``verdadeiros'', e a

diferenc¸a x



k+1

−x



a variac¸

ao de ganhos real. O fator (1 + ρ )

ent

ao converte esta variac¸

de ganhos real no valor corrente do dinheiro.

O balanc¸o geral de ganhos associado ao contrato futuro cont

em ainda mais dois outros

termos: o prec¸o do contrato futuro F e o valor do ativo subjacente X na data de expirac¸

do contrato. Obt

em-se ent

ao:

= F − x

+ (1 + ρ)



N−1



k=0

(˜x

k+1

− ˜x

)



. (9.9)

118

Como ˜x =



N−1

k=0

(˜x

k+1

− ˜x

) + x

, esta

ultima express

ao pode ser reescrita da seguinte

forma:

= F + (1 + ρ)



− x

N−1



k=0

(φ

− 1)(˜x

k+1

− ˜x

)



. (9.10)

9.2.2 Balanc¸o financeiro geral de opc¸

oes

Como j

a discutido anteriormente, uma opc¸

ao de compra

e um contrato futuro aonde o vende-

dor do contrato se compromete a vender, para o comprador do contrato, o ativo subjacente

X por um prec¸o pr

e-determinado x

(chamado ``prec¸o de exerc´ıcio'') em um determinado

instante futuro T = Nτ . Para isso, o comprador paga um pr

emio C ao vendedor do contrato

para ter esse direito. Se no instante t = T o prec¸o de mercado do ativo subjacente X es-

tiver maior que o prec¸o de exerc´ıcio pr

e-determinado, o comprador do contrato exerce seu

direito, e realiza um lucro x(T ) − x

. Caso contr

ario, o comprador n

ao realiza seu direito e

tem como preju´ızo apenas o pagamento do pr

emio C no instante t = 0.

Seguindo a metodologia e as notac¸

oes propostas no item 9.2.1 deste cap´ıtulo, pode-se

escrever o balanc¸o geral de ganhos do vendedor da opc¸

ao, na data de maturidade T = N τ ,

de acordo com a equac¸

ao (9.7). Para isso, basta somar ao balanc¸o o pr

emio C na data

de in´ıcio do contrato e adicionar

a equac¸

ao um membro que represente a eventual perda,

descrita pelo termo max(x

− x

, 0).

Assim obt

em-se que:

= [W

+ C](1 + ρ)

− max(x

− x

, 0) +



k+1

− x

− ρx

) . (9.11)

De acordo com a equac¸

ao anterior, ao vendedor do contrato somente ocorrer

a o preju´ızo

−x

se a opc¸

ao for exercida. O termo max(x

−x

, 0) significa ``escolher o m

aximo valor

entre x

− x

ou 0 na data t = Nτ''.

em disso, a estrat

egia de ancoragem ψ

≡ φ

(1 + ρ)

N−k−1

exige que o vendedor do

contrato converta uma certa quantidade de ativos B livres de risco em ativos subjacentes X

de risco diferente de zero.

Uma equac¸

ao, para a determinac¸

ao do valor ``justo'' do pr

emio C, pode ser obtida admi-

tindo-se que o excesso de retorno devido ao contrato de opc¸

ao, ΔW = W

− W

(1 + ρ)

119

na m

edia seja igual a zero:

(1 + ρ)

C =



max(x

− x

, 0) −

N−1



k=0

ψ

k+1

− x

− ρx

)



. (9.12)

O prec¸o C, dessa forma, depender

a da estrat

egia ψ

≡ φ

(1 + ρ)

N−k−1

. Al

em disso, o

procedimento inverso tamb

e v

alido: fixado arbitrariamente um valor de C (dentro dos

limites que viabilizem o neg

ocio), pode-se calcular a estrat

egia ψ

≡ φ

(1 + ρ)

N−k−1

que

minimize o risco envolvido na operac¸

ao.

9.2.3 Ancoragem est

atica

Conforme Bouchaud em (Bouchaud, Poters; 14, 2003), uma metodologia de an-

coragem est

atica

e proposta. A ancoragem est

atica se caracteriza pela compra de uma

certa quantidade de ativos para ancoragem no instante t = 0, sendo que esta quantidade

ao se alterar

a at

e a data de expirac¸

ao do contrato. Este caso pode acontecer quando os

custos de transac¸

ao forem extremamente elevados e, dessa maneira, a mudanc¸a da quanti-

dade φ

durante o per´ıodo do contrato torna-se invi

avel. Al

em disso, assume-se que a taxa

de juros livre de risco seja nula (ρ = 0). O balanc¸o geral de ganhos, representado pela

equac¸

ao (9.12) ser

a ent

ao:

ΔW = C −max(x

− x

, 0) + φ

N−1



k=0

δx

. (9.13)

Para o caso em que o retorno m

edio

e zero (Δx

 = 0) e que os incrementos sejam n

ao-

correlacionados (i.e, Δx

.Δx

 = DτΔ

k,l

), a vari

ancia do ganho final (R

= ΔW

−ΔW 

)

fica ent

ao:

= NDτφ

− 2φ(x

− x

) max(x

− x

, 0) + R

, (9.14)

onde R

representa o risco intr´ınseco, associado

a opc¸

ao n

ao ancorada (φ = 0):

= max(x

− x

, 0)

 − max(x −x

, 0)

. (9.15)

De acordo com a equac¸

ao (9.14), a func¸

ao do risco a ser minimizada

e uma equac¸

do segundo grau em func¸

ao de φ. Como o coeficiente que multiplica o termo φ

e positivo,

ent

ao esta func¸

ao apresenta um valor m´ınimo. Para se calcular este valor m´ınimo, basta

derivar a equac¸

ao uma vez em relac¸

ao a φ e igualar a express

ao a zero. Realizando-se esta

120

operac¸

ao, obt

em-se que:

dφ



φ=φ

∗

= 0 ,

∗

DτN



∞

(x − x

)(x − x

)P (x, N |x

, 0)dx ··· (9.16)

No caso em que a probabilidade P (x, N|x

, 0) for uma Gaussiana (que se torna uma

melhor aproximac¸

a medida que N = T /τ aumenta), pode-se escrever:



∞

√

2πDT

(x − x

)(x − x

) exp



−

(x − x

)

2DT



= −



∞

√

2πDT

(x − x

)

∂

∂x

exp



−

(x − x

)

2DT



dx . (9.17)

Resolvendo esta integral por partes (demonstrada no ap

endice) obt

em-se que

∗



∞

P (x, N |x

, 0)dx ,

calculada no instante t = 0. Ou seja, a express

ao de φ

∗

calculada em t = 0 fornece tamb

a probabilidade de que o valor x( T ) seja maior que x

no instante T = Nτ da maturidade,

no momento em que t = 0. Por exemplo, se para uma determinada opc¸

ao de compra,

envolvendo uma quantidade de 10 ativos de um mesmo tipo, o c

alculo de φ

∗

fornecer um

valor igual a 0,6 significa que deve-se ter mais 6 unidades do mesmo ativo para ancoragem

de forma a minimizar eventuais perdas no instante da maturidade da opc¸

ao.

9.3 An

alise de risco na antecipac¸

ao de entrada

Em decis

oes de investimento, quando n

ao houver a possibilidade de adiamento, a decis

de investir deve ser positiva se o VPL da empresa for maior que o investimento.

Agora, suponha o caso em que o VPL de um determinado empreendimento

e menor

que o investimento a ser realizado, mas tanto o vendedor quanto o comprador acreditam,

por algum motivo, na possibilidade de crescimento do neg

ocio, mas o contr

ario tamb

pode acontecer, ou seja, taxa de crescimento negativo das receitas. Esta situac¸

ao pode ser

representada por um valor da volatilidade da receita que possibilite que o empreendimento

assuma valores bem acima ou bem abaixo dos valores atuais em curto ou m

edio prazo.

Assim, a taxa de crescimento esperada ser

a zero.

Dessa forma, a proposta que aqui se faz

e a de analisar a evoluc¸

ao do risco em anteci-

pac¸

ao de entrada, ou seja, quando VPL < I.

121

9.3.1 Condic¸

oes para aplicac¸

ao da ancoragem est

atica na avaliac¸

de riscos em antecipac¸

ao de entrada

Para o desenvolvimento matem

atico a seguir,

e necess

ario que algumas considerac¸

oes

sejam feitas. Como a receita de um empreendimento pode ser descrita atrav

es de um movi-

mento browniano geom

etrico (equac¸

ao (7.1)), pode-se substituir o prec¸o do ativo subja-

cente X na equac¸

ao:

ΔW = C −max(x

− x

, 0) + φ

N−1



k=0

Δx

, (9.18)

pelo valor da receita R. Obt

em-se ent

ao:

ΔW = C −max(R

− R

, 0) + φ

N−1



k=0

ΔR

, (9.19)

sendo: R

o valor da receita no instante T da maturidade da ``opc¸

ao''; ΔR

a variac¸

ao da

receita no instante k; R

o valor da receita m´ınima de retorno do investimento; C

o valor do

emio da opc¸

ao. Para o nosso caso C

= 0.

O prec¸o de exerc´ıcio x

e substitu´ıdo pela receita R

m´ınima de retorno. O instante

de maturidade T = Nτ pode ser entendido como a data limite m

axima que o investidor

estabelece para que a receita R atinja o valor de receita R

, por exemplo.

De acordo com a proposta de ancoragem est

atica em Bouchaud, Potters (2003, p. 14),

a variac¸

ao Δx a cada instante de tempo, em m

edia,

e igual a zero. Isto significa que o

termo ΔR

tamb

em deve ser, em m

edia, igual a zero para que a metodologia mostrada

anteriormente possa ser utilizada. Isto significa que a taxa de crescimento esperada da

receita

e nula, ent

ao α = 0 nas equac¸

oes do cap´ıtulo 7. Dessa forma, sobre a receita, a

unica informac¸

ao dispon´ıvel ser

a sua volatilidade.

9.3.2 Metodologia

A proposta

e avaliar o risco da antecipac¸

ao de entrada atrav

es da tend

encia de evoluc¸

ao da

receita, a partir de um certo instante t = 0, com vistas em um instante futuro T = Nτ pr

determinado. Segundo o processo de Markov, no qual o processo de evoluc¸

ao da receita

pelo movimento geom

etrico browniano se enquadra, somente o estado atual

e relevante

no momento de predizer o estado futuro. N

e dif´ıcil imaginar que no caso de receitas

122

de um empreendimento esta afirmac¸

ao n

ao seja satisfat

oria. Informac¸

oes sobre um pas-

sado recente podem ser relevantes para predic¸

oes em estados futuros pr

oximos, ou n

ao distantes (m

edio e curto-prazo).

A proposta de ancoragem est

atica feita na equac¸

ao (9.16)

e indicada para os casos (no

contexto de mercado financeiro) em que os custos de transac¸

ao apresentem valores muito

altos. Al

em disso, considera tamb

em a taxa de juros livre de risco igual a zero. Estas

hip

oteses se adequam bem para a an

alise de evoluc¸

ao de receita, j

a que taxa de juros livre

de risco e ``custos de transac¸

ao'' n

ao afetam o comportamento de receitas de forma direta.

Suponha ent

ao que um investidor calcule no instante t = 0 o valor de φ

∗

de acordo com

a equac¸

ao (9.16). Para isto, a

unica informac¸

ao necess

aria

e a volatilidade da receita. Al

disto,

e necess

ario estabelecer uma data limite no futuro (id

entico ao tempo de maturidade

da opc¸

ao) e definir o valor de R

E considerado tamb

em que a probabilidade P (R, N|R

, 0)

seja uma Gaussiana de m

edia zero e vari

ancia igual a (σ

)(N −k)τ , onde σ

e a volatilidade

da receita.

Considerando-se as hip

oteses anteriores, obt

em-se que:

∗



∞

√

2πDT

exp



−

(R − R

)

2DT



dR . (9.20)

Pode-se ainda generalizar esta express

ao para qualquer instante t = i, para i > 0. Deste

modo, a equac¸

ao anterior pode ser escrita da seguinte forma:

∗

(i) =



∞



2πD(N − i)τ

exp



−

(R − R

)

2D(N − i)τ



dR . (9.21)

Os valores de φ

∗

(i) representam a probabilidade no instante i de que a receita em T = N τ

seja maior que R

. A proposta, ent

ao,

e avaliar a evoluc¸

ao da probabilidade de que a receita

seja maior que R

em um determinado instante T e a vari

ancia deste processo, ou seja, o

risco envolvido.

Considerando-se um intervalo de tempo de t = 0 at

e t = kτ , com k < N, em que as

informac¸

oes sobre os valores de receitas em cada um destes instantes est

ao dispon´ıveis, e

considerando uma volatilidade σ constante e conhecida,

e poss´ıvel calcular a vari

ancia de

∗

ao longo do intervalo de tempo [0, k] considerado, atrav

es da seguinte equac¸

ao:

∗

(k) ≡ φ

∗

 − φ

∗



. (9.22)

123

O valor m

edio φ

∗



e definido da seguinte forma:

φ

∗

 ≡ M(k) ≡



i=0

∗

k + 1

. (9.23)

Assim, temos que:

φ

∗



≡ [M(k)]

≡





i=0

∗

k + 1



, (9.24)

φ

∗

 ≡

k+1



i=0

2πD(N −i)τ



∞



∞

dy exp



−

(y − R

)

2D(N −i)τ



exp



−

(R − R

)

2D(N −i)τ



. (9.25)

Dessa forma, subtraindo-se do resultado da equac¸

ao (9.25) o resultado da equac¸

(9.24), obt

em-se o valor de σ

∗2

(k). O c

alculo da equac¸

ao (9.25) pode ser realizado

atrav

es da utilizac¸

ao de tabelas dos valores da func¸

ao erro calculada para aqueles limites

da integral. Assim, torna-se poss´ıvel desenhar um gr

afico da evoluc¸

ao de φ

∗

(t) ao longo

do intervalo de tempo considerado. Al

em disso, a evoluc¸

ao da vari

ancia de φ

∗

(t), ao longo

do intervalo de tempo, fornece uma medida do risco de que a probabilidade mais recente

calculada se confirme ou n

ao.

9.3.3 Exemplo

Considere os seguintes par

ametros para uma empresa, de acordo com a equac¸

ao (7.5):

Margem de lucro (b) = 0, 3

Custo fixo (a) = −$20, 00 milh

oes

Taxa de crescimento esperada (α) = 0 (para efeito de c

alculo)

CMePC (ω)= 4%

Taxa de Imposto (τ) = 40%

Custo de d´ıvida (r

) = 5, 5%

Taxa de juros livre de risco (r

) = 7%

Volatilidade = 20%

Receita no presente = $ 100,00 milh

oes

Investimento (I) = $ 460,00 milh

oes (valor exigido para a venda da empresa)

Aplicando-se a equac¸

ao (7.5)

e obtido o seguinte valor para a empresa:

→ V (R

) = $ 148,9 milh

oes

124

Por algum motivo, o comprador acreditava que esta empresa apresentaria taxas de

crescimento elevadas, que no momento da compra eram incertas. O objetivo ent

e esta-

belecer qual a probabilidade de que a empresa em 4 anos (tempo arbitrado pelo comprador)

compense o investimento, sendo que 2,5 anos j

a se passaram e, portanto, encontram-se

dispon´ıveis informac¸

oes sobre as receitas neste per´ıodo.

Para isso,

e calculado o custo de oportunidade do investimento em 4 anos:

T = 4 anos → I(1 + r

)

= 607, 84 → R

= $160 milh

oes.

Para que a o investimento seja recompensado

e necess

ario ent

ao que a receita em T = 4

anos seja maior que $ 160,00 milh

oes. Logo, qual a probabilidade disto acontecer?

Receitas m

es a m

es:

passo: C

alculo das vari

ancias

→ A partir dos dados das receitas em cada instante i, calcular a vari

ancia para todos

intervalos de tempo T − i, com i assumindo valores de 0 at

e k (k = 2,5 anos = 30 meses)

125

passo: C

alculo de φ

∗

→ Para cada instante i, calcular o valor de φ

∗

, sendo φ

∗



∞

P (R

, T |R

, i)dR.

Para o caso em que a probabilidade de R

em T possa ser descrita por uma gaussiana,

o valor de φ

∗

ser

a dado pela seguinte express

ao:

∗



∞

exp



−(R−R

)

2σ





2πσ

dR .

Como n

e poss´ıvel determinar o valor desta integral de forma anal´ıtica, este c

alculo

pode ser feito atrav

es do uso de tabelas de func¸

ao erro fornecidas em anexo.

A func¸

ao erro de x (erf x)

e definida da seguinte forma:

erf x =

√



−t

dt .

Substituindo-se a vari

avel t por

R − R



2σ

, temos exatamente a forma da integral de φ

∗

, a

ao ser pelos limites de integrac¸

ao:

erf x

= 2



exp



−(R−R

)

2σ





2πσ

dR,





t =

R − R



2σ

⇒ dt =



2σ





Para saber o valor de x

correspondente a φ

∗

, basta fazer:

− R



2σ

→ erf x

tabela.

O valor de φ

∗

ser

a ent

ao dado pela seguinte express

ao:

∗

= 0, 5 −

erf x

126

passo: Gr

afico de φ

∗

× tempo:

→ Atrav

es dos dados da tabela anterior, plota-se o gr

afico de φ

∗

(t = i) pelo tempo e

estima-se a tend

encia de crescimento de φ

∗

, que

e id

entica

a estimativa do crescimento da

receita. Como o movimento browniano geom

etrico

e formado por uma reta (αRdt) (que re-

presenta a tend

encia de crescimento da receita) e por uma componente aleat

oria represen-

tada por σRdz que caminha em torno da reta de crescimento esperado, a estimativa desta

reta, que nos fornece os valores esperados da receita, pode ser feita atrav

es da obtenc¸

da regress

ao linear dos pontos do gr

afico, garantindo que em t = 0 a regress

ao linear passe

pelo valor de φ

∗

(0) em t = 0.

afico φ

∗

× tempo e Regress

ao Linear

No gr

afico acima, a equac¸

ao y = 0, 0067.x + 0, 0688 representa a regress

ao linear, com y

representando os valores de φ

∗

(t = i) e x representando o tempo.

O valor estimado de α (taxa de crescimento em tempo cont´ınuo) ser

a dado pela seguinte

express

ao:

estimado

= 1 + (0, 0067) → α

estimado

= ln(1, 0067) → α

estimado

= 0, 67% .

Dessa forma, pode-se calcular o valor esperado de φ

∗

(T ) com T = 4 anos:

E[φ

∗

(T = 4anos)] = 0, 0067.48 + 0, 0688 → E[φ

∗

(T )] = 0, 3904 .

Ou seja, a probabilidade de que a receita em T seja maior que $ 160,00

e de 39,04%.

passo: Avaliac¸

ao do risco

→Como medida de risco, ser

a utilizada a proposta de Bouchaud em (Bouchaud, Potters;

2003) que considera a vari

ancia dos processos como uma medida de risco. Para isso

calculada a vari

ancia da evoluc¸

ao de φ

∗

ao longo do tempo, segundo as definic¸

oes das

127

equac¸

oes (9.22) a (9.25). Os resultados para este exemplo s

ao mostrados na tabela e no

afico a seguir:

afico de σ

∗

(k)× tempo

Pelo gr

afico acima, nota-se que a vari

ancia a partir do m

es 20 retoma uma tend

encia de

crescimento, ou seja, aumenta-se o risco da medida de φ

∗

. Este acontecimento em particular

deve-se

a queda da receita a partir do m

es 20. Ou seja, o risco voltou a aumentar ap

os uma

tend

encia de queda da receita. No instante t = 30 meses a vari

ancia de φ

∗

apresentava

um valor igual a 0,00125. Dessa forma, o desvio-padr

ao da medida da probabilidade nesse

momento vale 3,53%. Isto sugere que a probabilidade de 39% de que a receita seja maior

que $160,00

e confi

avel.

9.4 Avaliac¸

ao de empreendimentos em condic¸

ao de incer-

teza

Para o desenvolvimento deste item, ser

a utilizado como exemplo um caso particular do

valor de uma firma que possui o direito de explorac¸

ao de um poc¸o de petr

oleo, mediante

a realizac¸

ao de um investimento I conhecido. Al

em da incerteza na receita devido

a vo-

latilidade do prec¸o de petr

oleo, ser

a considerada tamb

em uma incerteza na quantidade K

128

oleo contido no poc¸o, representada pelo valor esperado de K que

e K e pelo desvio

padr

ao σ

. Dessa forma o problema pode ser descrito atrav

es das seguintes hip

oteses e

par

ametros:

p - prec¸o do petr

oleo, descrito pela seguinte equac¸

ao:

dp = α.p.dt + α.p.ɛ

1/2

, (9.26)

sendo: α a taxa de crescimento esperada do prec¸o do petr

oleo (em tempo cont´ınuo); σ a

volatilidade do prec¸o do petr

oleo e ɛ

a normal de m

edia zero e vari

ancia igual a 1.

Assim, pode-se definir os lucros gerados Y conforme proposta mostrada no cap´ıtulo 7

deste trabalho:

Y = b.q.p + a , (9.27)

sendo: b a margem de lucro da receita (0 < b < 1); q a vaz

ao constante com que o petr

oleo

e retirado do poc¸o (qtde/tempo); a

e o custo fixo e p o prec¸o do petr

oleo.

Como a quantidade de

oleo a ser retirado

e finita, o tempo T de durac¸

ao da explorac¸

deste poc¸o ser

T = K/q . (9.28)

Como a quantidade K de

oleo

e incerta, o tempo de explorac¸

ao T tamb

em ser

a incerto,

a que o petr

oleo

e retirado a uma taxa constante q.

A pergunta que se faz

e: Qual o valor deste empreendimento?

Para o c

alculo do valor deste empreendimento, ser

a utilizada a equac¸

ao (7.3):

V (p) = bq



∞

E(p) exp(−wt)dt + a



∞

exp[−(1 − τ)r

t]dt . (9.29)

A diferenc¸a na aplicac¸

ao desta equac¸

ao para o valor do empreendimento de explorac¸

do poc¸o de petr

oleo

e que as receitas se encerrar

ao no instante T . Dessa forma, deve-se

reescrever a equac¸

ao (7.3) da seguinte forma:

V (p, T ) = bq



E(p) exp(−wt)dt + a



exp[−(1 − τ)r

t]dt . (9.30)

A soluc¸

ao desta integral

e a seguinte:

V (p, T ) =

bqp

w − α

[1 − exp[−(w − α)T ]] +

(1 − τ)r

[1 − exp[−(1 −τ )r

T ]] . (9.31)

129

Como se pode perceber, o valor da empresa depende do tempo T , que

e incerto. Como

ent

ao resolver este problema?

Como o tempo T

e proporcional

a quantidade de petr

oleo K, pode-se afirmar que o

desvio padr

ao de T ser

a igual ao desvio padr

ao de K. Ou seja:

= σ

. (9.32)

Dessa forma, podemos associar a T uma distribuic¸

ao de probabilidades P (T ). Assim,

a determinac¸

ao do valor desta empresa, de acordo com os conceitos desenvolvidos por

Bouchaud em (Bouchaud, Potters; 2003)

e realizada atrav

es do seguinte c

alculo:

V (p) =



∞

−∞

dT V (p, T )P (T ) . (9.33)

Assumindo-se que a func¸

ao probabilidade P (T ) possa ser representada por uma gaus-

siana, com m

edia T  = K/c e vari

ancia σ

, a equac¸

ao (9.33) pode ser re-escrita da

seguinte forma;

V (p) =



∞

−∞



bqp

w − α

[1 − exp[−(w − α)T ]] +

(1 − τ)r

[1 − exp[−(1 −τ )r

T ]]



× ···

···

exp



−(T −T )

2σ





2πσ

dT (9.34)

Resolvendo esta equac¸

ao, o seguinte resultado

e obtido (demonstrac¸

ao em nota):

V (p) =

bqp

w − α



1 − exp



(w − α)

− (w − α)T



(1 − τ)r



1 − exp



(1 − τ)

− (1 −τ)r



(9.35)

E importante notar que a equac¸

ao (9.33) pode ser aplicada a qualquer par

ametro

T incerto que seja relevante no valor de uma empresa, desde que seja poss´ıvel representar

a incerteza de T por uma distribuic¸

ao de probabilidades P (T ).

9.5 C

alculo do valor de uma opc¸

ao real

Considere que o detentor do direito de explorac¸

ao de um poc¸o de petr

oleo queira saber

qual o valor da opc¸

ao de compra deste direito, considerando uma maturidade T (data de

exerc´ıcio da opc¸

ao em t = 0) e I o valor a ser investido para a retirada do

oleo do poc¸o, que

representar

a o valor do prec¸o de exerc´ıcio.

130

Este poc¸o de petr

oleo ainda apresenta uma incerteza na sua quantidade K total de

oleo,

representada pelo valor K (valor esperado de K) e pelo desvio-padr

ao σ

(K em barris

oleo). Sabendo que o prec¸o de petr

oleo

e representado por um movimento browniano

geom

etrico, a pergunta que se faz

e: qual o valor desta opc¸

ao de compra?

A primeira hip

otese a ser feita

e a de que o valor do poc¸o de petr

oleo em cada instante

i ser

a dado pela multiplicac¸

ao do prec¸o do petr

oleo em i pela quantidade K. Ent

ao o valor

do poc¸o de petr

oleo no instante T ser

Valor do poc¸o de petr

oleo em T = P

K .

Dessa forma temos duas vari

aveis aleat

orias e independentes: P

e K.

A segunda hip

otese ser

a a seguinte:

K = I ,

K

, (9.36)

onde P

representa o prec¸o de exerc´ıcio da opc¸

ao em termos do prec¸o do petr

oleo, K o

valor esperado de K e I o investimento. Assim, a opc¸

ao ser

a exercida se P

> P

Para se determinar o valor desta opc¸

ao de compra,

e verificado o prec¸o da opc¸

ao de

compra de uma unidade de barril no mercado futuro com prec¸o de exerc´ıcio P

, para o

mesmo per´ıodo de maturidade T . Multiplicando-se este resultado por K, obt

em-se:

) = KC

) , (9.37)

sendo C

) o custo total e C

) o custo de uma unidade.

Assim, o retorno R

no instante T de maturac¸

ao da opc¸

ao de compra do barril no

mercado futuro ser

= 0 , se P

< P

;

= (P

− P

)K , se P

> P

(9.38)

a o retorno R

da opc¸

ao de compra do poc¸o de petr

oleo em T ser

= 0 , se P

< P

;

= (P

− P

)K , se P

> P

(9.39)

A diferenc¸a Δ

OR−MF

de retorno entre a opc¸

ao real e o mercado futuro ser

OR−MF

= 0 , se P

< P

;

OR−MF

= (K − K).P

, se P

> P

(9.40)

131

Ent

ao o valor esperado dessa diferenc¸a ser

E[(K −K).P

||P

> P

] = 0 . (9.41)

A vari

ancia ser

a dada por:

E[(K −K)

||P

> P

] = E[(K −K)

].E[P

||P

> P

] = σ

= σ



||P

> P

) . (9.42)

Dessa forma, qual ser

a o valor da opc¸

ao de compra deste poc¸o de petr

oleo?

→ Resposta: N

ao menos que KC

) − λσ

, onde λ representa o prec¸o de risco

estipulado pelo mercado.

9.6 Generalizac¸

ao de avaliac¸

ao de empreendimentos em

condic¸

ao de incerteza

em das incertezas inerentes ao neg

ocio, incertezas externas ao empreendimento como

previs

oes econ

omicas, avaliac¸

ao de risco do mercado, etc, podem contribuir na determinac¸

de valores destes empreendimentos. A proposta a seguir sugere uma forma matem

atica

de se incorporar estes riscos externos ao valor do empreendimento, atrav

es da seguinte

formulac¸

ao:

(p) = V (p) −λσ

, (9.43)

sendo: V

(p) o valor do empreendimento visto pelo mercado; V (p) o valor do empreendi-

mento; λ o prec¸o de risco do mercado e σ

o desvio-padr

ao intr´ınseco ao neg

ocio.

Ou seja, quanto maior for o prec¸o de risco dado pelo mercado e quanto maior for a

incerteza interna do neg

ocio, maior ser

a o desconto que o mercado considerar

a ao avaliar

o valor deste empreendimento. Se for considerado que n

ao existem riscos externos ao

neg

ocio, o valor de λ ent

ao ser

a zero. Dessa forma, a equac¸

ao (9.43) apresenta a forma

mais geral de se incorporar incertezas ao valor do neg

ocio, j

a que incorpora tanto incertezas

internas quanto externas.

No exemplo do poc¸o de petr

oleo, λ

e um valor fornecido pelo mercado. Resta ent

determinar o valor de σ

As incertezas internas referem-se

as incertezas no prec¸o do petr

oleo (representada pela

volatilidade σ

) e pela incerteza na quantidade, representado por σ

. Dessa forma, pode se

132

escrever, de acordo com a equac¸

ao (9.42), que:

= σ

Assim, a express

ao que melhor representa o valor do poc¸o de petr

oleo da equac¸

(9.35), incorporando-se riscos externos ao neg

ocio, ser

V (p) =

bqp

w − α



1 − exp



(w − α)

− (w − α)T



(1 − τ)r



1 − exp



(1 − τ)

− (1 −τ)r



− λσ

. (9.44)

9.7 Conclus

Como pode-se perceber, incertezas em um empreendimento podem ocasionar grandes per-

das e grandes lucros tamb

em.

E no desenvolvimento de uma nova abordagem matem

atica

que seja capaz de incorporar tais caracter´ısticas que este cap´ıtulo pretendeu desenvolver-

se. Espera-se que estas novas abordagens simples, objetivas e diretas, possam trazer

alguma contribuic¸

ao em avaliac¸

ao de riscos de quaisquer empreendimentos.

CONSIDERAC¸

OES FINAIS

Em decis

oes de investimentos, o investidor normalmente se depara com um conjunto de in-

certezas como, por exemplo, o comportamento aleat

orio da receita, a concorr

encia de outros

competidores, etc.

E nesta situac¸

ao que decis

oes devem ser tomadas para a aplicac¸

ao dos

recursos e minimizac¸

ao dos riscos. O adiamento do ingresso em um neg

ocio pode acar-

retar a perda de mercado por conta da entrada de potenciais concorrentes. Contudo, ao se

antecipar uma entrada, sempre existir

a o risco da realizac¸

ao de um mau neg

ocio.

Uma s

erie de metodologias e t

ecnicas de avaliac¸

ao de empreendimentos e minimizac¸

de riscos, com o objetivo de auxiliar estrat

egias de neg

ocios, foram apresentadas neste

trabalho. As decis

oes de investimentos n

ao seguem apenas regras matem

aticas. Os in-

vestidores normalmente se valem de alguma informac¸

ao mais significativa para atingir o

grau de confianc¸a desejado e, assim, acabam por ``apostar'' no neg

ocio. Isto ocorre devi-

do ao conjunto de incertezas sobre o futuro que qualquer neg

ocio possui intrinsecamente.

Estas incertezas tornam a aplicac¸

ao de t

ecnicas matem

aticas de decis

ao limitadas e, ine-

vitavelmente, sempre ao se ingressar em um neg

ocio o investidor estar

a correndo riscos.

Dessa forma, cada empreendedor desenvolve suas ``regras de decis

ao'' baseadas na sua

opria vis

ao estrat

egica e fundamentadas tamb

em nas t

ecnicas j

a mencionadas.

Este trabalho apresenta aos interessados novas abordagens matem

aticas em an

alises

de riscos e avaliac¸

ao de empreendimentos. Estas abordagens prop

oem a incorporac¸

ao das

incertezas caracter´ısticas do neg

ocio em seu desenvolvimento e, conseq

uentemente, em

seus resultados, fornecendo assim novos instrumentos de an

alise que possam auxiliar as

vis

oes estrat

egicas de cada empreendedor em decis

oes de investimentos.

133

ENDICE

A.1 Lema de Ito

A avaliac¸

ao em tempo cont´ınuo faz uso de um resultado sobre diferenciac¸

ao de func¸

oes

do movimento geom

etrico Browniano, chamado Lema de Ito. Considere o movimento geo-

etrico Browniano V (R, t) e expresse sua diferencial dV como uma expans

ao em s

erie de

Taylor at

e os termos de segunda ordem em R:

dV =

∂V

∂R

dR +

∂

∂R

(dR)

∂V

∂t

∂V

∂R

(αRdt + σRdz) +

∂

(αRdt + σRdz)

∂V

∂t

dt .

Note que (αRdt + σRdz)

= α

(dt)

+ 2αR

dtdz + σ

(dz)

→ σ

dt para dt pequeno,

pois (dt)

e dtdz = ε(dt)

1/2

tendem a zero mais r

apido do que dt. Relembre que dz = ε

√

e (dz)

= ε

dt. Al

em disso, a vari

ancia de ε

e de ordem dt

e, ent

ao, ε

dt se torna n

estoc

astico e igual ao seu valor esperado dt quando dt → 0. Mais, todos os termos de

terceira ordem e ordens maiores omitidos na expans

ao de Taylor desaparecem mais r

apido

do que dt. Levando estes resultado em conta, chegamos ao Lema de Ito da forma que

aplicado a V (R, t), com R de acordo com a Equac¸

ao (7.1):

dV =



αR

∂V

∂R

σR

∂

∂R

∂V

∂t



dt + σR

∂V

∂R

dz .

A.2 Avaliac¸

ao de uma empresa em marcha em tempo con-

inuo

Aqui, derivamos a soluc¸

ao para a Equac¸

ao (7.5)

[bR + a

− n

∗

(w − α)R]dt + dV − n

∗

dR = r

(V − n

∗

R)dt . (A.2.1)

Vamos escrever dV em termos de R. Pelo Lema de Ito,

dV = [αRV

σR

]dt + σRV

dz , (A.2.2)

134

onde V

= ∂V /∂R e V

= ∂

R/∂R

. Note que a empresa em marcha

e modelada como

um bem de vida infinita, cujo valor

e independente do tempo. Ent

ao, a vari

avel t

e exclu´ıda

de V (R, t), tornando-se apenas V (R). Ou seja, o valor de uma empresa em marcha de-

pende apenas do valor da vari

avel R em qualquer ponto no tempo, mas n

ao de sua data no

calend

ario. Isso implica que dV /dt = 0. Esta simplificac¸

ao se aplica a todos os modelos

de avaliac¸

ao considerados no Cap´ıtulo 7, pois as opc¸

oes consideradas n

ao t

em data de

expirac¸

ao.

Substituindo a Equac¸

ao (A.2.2) em dV − n

∗

dR, temos

dV − n

∗

dR = αR(V

− n

∗

)dt +

dt + σR(V

− n

∗

)dz ,

onde n

∗

e igual a V

para eliminar o termo em dz e fazer o portif

olio sem risco. O retorno

total

dV − n

∗

dR + [Y − n

∗

(w − α)R]dt =

dt + [bR + a

− V

(w − α)R]dt . (A.2.3)

Este

e o lado direito da Equac¸

ao (A.2.1). Substituindo n

∗

= V

no lado direito e simplifi-

cando, a Equac¸

ao (A.2.1) pode ser escrita como a equac¸

ao diferencial

+ (r

− w + α)RV

− r

V + bR + a

= 0 . (A.2.4)

Considere agora a soluc¸

ao AR

para a parte homog

enea da equac¸

Aλ(λ − 1)R

λ−2

+ (r

− w + α)RAλR

λ−1

− r

= 0 . (A.2.5)

A Equac¸

ao (A.2.5) requer que λ seja a raiz da equac¸

ao quadr

atica

λ(λ − 1) + (r

− w + α)λ − r

= 0 . (A.2.6)

As duas ra´ızes s

−

− w + α)









− w + α)

−









1/2

, (A.2.7)

−

− w + α)

−









− w + α)

−









1/2

. (A.2.8)

Note que λ

> 1 e λ

< 1. Ent

ao, a soluc¸

ao geral da parte homog

enea da Equac¸

ao (A.2.4)

e A

+ A

. Uma soluc¸

ao particular que completa a equac¸

w − α

(1 − τ)r

. De

135

fato, para a soluc¸

ao V

w − α

, V

= 0, e a Equac¸

ao (A.2.4)

e satifeita. Ent

ao a soluc¸

completa

V (R) = A

+ A

w − α

(1 − τ)r

. (A.2.9)

As constantes A

e A

ao determinadas pelas condic¸

oes de fronteira dadas pela na-

tureza econ

omica do problema. Queremos que V (0) = 0. Ou seja, se a receita chega a

zero, ela permanecer

a naquele n´ıvel, visto que R segue o movimento geom

etrico Brown-

iano (Equac¸

ao (7.1)) e o valor da firma ser

a irris

orio. Mas, uma vez que λ

< 0, isto

requer que A

= 0. De outra forma, V (R) iria para o infinito quando R tendesse a zero.

Similarmente, A

deve ser zero se V (R) n

ao excede seu valor fundamental calculado na

Equac¸

ao (7.3) do texto principal. Isto

V (R) =

w − α

(1 − τ)r

. (A.2.10)

Fazer A

= 0, significa que o valor da empresa

e determinado pela especulac¸

ao. Con-

tudo, veremos a seguir que a constante A

tem um papel na avaliac¸

ao da opc¸

ao de adia-

mento de entrada.

A.3 Avaliac¸

ao da opc¸

ao de entrada

Como em A.2, constru´ımos um portf

olio sem risco que resulta na taxa de juros sem risco.

O portf

olio

e constitu´ıdo de uma opc¸

ao de longo prazo de investir (adquirir) a firma F (R) e

posic¸

oes de curto prazo de n unidades da receita R.

Procedendo como em A.2, aplicamos o Lema de Ito a F (R) e obtemos

+ (r

− w + α)RF

− r

F = 0 . (A.3.1)

A Equac¸

ao (A.3.1) difere da Equac¸

ao (A.2.4) em que a opc¸

ao de adiamento n

ao tem

fluxo de caixa. Como a Equac¸

ao (A.3.1)

e homog

enea, sua soluc¸

F (R) = A

+ A

, (A.3.2)

com λ

> 0 e λ

< 0, soluc¸

oes da equac¸

ao quadr

atica (A.2.6). Note que quando R → 0,

devemos ter F (R) → 0 e, ent

ao, A

= 0. Isto resulta que F (R) = A

. Ent

ao, h

a tr

inc

ognitas a serem determinadas: A

, A

e R

, sendo que R

corresponde ao in´ıcio no qual

136

se paga o prec¸o I para adquir a firma. λ

e calculado a partir da Equac¸

ao (A.2.6). A

e R

resultam das duas condic¸

oes seguintes:

F (R

) = V (R

) − I , (A.3.3)

) = V

) . (A.3.4)

A Equac¸

ao (A.3.3) requer que o valor da opc¸

ao seja igual ao valor l´ıq

uido obtido pelo e-

xerc´ıcio. Esta condic¸

e chamada condic¸

ao de value-matching. A Equac¸

ao (A.3.4) requer

que F (R) e V (R) − I encontrem-se tangencialmente em R

E a chamada condic¸

ao de

smooth-pasting. Estas duas condic¸

oes devem ser satifeitas pela pol´ıtica

otima

. Usando a

Equac¸

ao (A.3.2) para F (R) e a Equac¸

ao (A.2.10) para V (R), as Equac¸

oes (A.3.3) e (A.3.4)

podem ser escritas como

w − α

+ I −

(1 − τ)r

−1

w − α

cujas soluc¸

oes, para R

e A

= λ

(λ

− 1)

−1



I −

(1 − τ)r



w − α

= (λ

− 1)

−1



I −

(1 − τ)r



−(λ

−1)

[λ

(w − α)]

−λ

A.4 Opc¸

oes de entrada e sa

ida

Considere a opc¸

ao de sa´ıda de uma empresa em marcha. Lembre-se da soluc¸

ao geral da

Equac¸

ao (A.2.9)

V (R) = B

+ B

w − α

(1 − τ)r

Da Equac¸

ao (A.2.10), sabemos que os dois

ultimos termos representam o valor da firma

quando n

ao havia opc¸

ao de sa´ıda. Isto significa que os dois primeiros termos levam em

conta o valor da opc¸

ao de sa´ıda quando R

e muito baixo. Note que o valor da opc¸

ao de

sa´ıda tende a zero quando R → ∞. Da´ı, B

= 0 e

V (R) = B

w − α

(1 − τ)r

. (A.4.1)

Veja Dixit e Pindyck, (1994, pp. 130--132).

137

Seja R

o limite de sa´ıda tal que a firma para suas operac¸

oes quando R cai para R

em disso,



E denota o custo total de sa´ıda.

Para resolver para R

e B

, usamos as seguintes condic¸

oes de contorno:

V (R

) = V

) −



E , (A.4.2)

) = V

) , (A.4.3)

onde V

denota o valor da firma abandonada.

Considere agora o valor da opc¸

ao de entrada (aquisic¸

ao), com prec¸o de aquisic¸

ao I.

Vimos em A.3 que

F (R) = A

. (A.4.4)

em disso, as condic¸

oes (A.3.3) e (A.3.4) devem ser satisfeitas no in´ıcio da sa´ıda R

Vamos assumir que a firma abandonada pode ser reiniciada ou readquirida por $I. A opc¸

de re-entrada implica que V

(R) = F (R). Ent

ao, as seguintes condic¸

oes devem ser satis-

feitas em R

e R

V (R

) = F (R

) −



E ,

) = F

) ,

F (R

) = V (R

) − I ,

) = V

) .

Substituindo (A.4.1) e (A.4.4) nestas condic¸

oes, chegamos

as Equac¸

oes (7.11) a (7.14).

O algoritmo da soluc¸

e programado em Excel.

E feito em dois est

agios. Comec¸a com

enumerac¸

ao para resolver os valores das constantes A e B em cada par das Equac¸

oes

(7.11) e (7.12), assim como com (7.13) e (7.14), assumindo pares de valores de (R

, R

Para qualquer par desses valores, as equac¸

oes s

ao lineares em A e B. A soluc¸

ao de cada

par de equac¸

oes gera um par (A, B). Depois, as soluc¸

oes com a diferenc¸a absoluta m´ınima

entre esses (A, B) s

ao selecionadas regi

oes de pesquisa cont´ıguas. A pesquisa

e feita

sobre 100 valores de R

, espac¸ados entre 0 e tr

es vezes o valor esperado de renda.

permitido que R

assuma valores entre a renda potencial esperada e tr

es vezes este valor,

em valores espac¸ados a 1% do valor inicial.

E tomada a m

edia dos pares selecionados

(A, B) sobre cada regi

ao e aquele com menor desvio absoluto do lado direito da equac¸

ao a

138

ser resolvida

e escolhido como soluc¸

ao enumerada. Esta soluc¸

e usada como o ponto de

in´ıcio da melhoria proporcionada pelo Excel Solver. Solver pesquisa soluc¸

oes locais usando

uma variac¸

ao do m

etodo de Newton.

Dixit e Pindyck (1994) mostram que quando os custos de entrada e sa´ıda se aprox-

imam de zero, a sa´ıda e o in´ıcio da sa´ıda convergem para −a/b, a componente do custo

fixo do fluxo de caixa definido na Sec¸

ao 6.2 dividido pela margem do fluxo de caixa. Eles

tamb

em mostram que os in´ıcios se tornam extremamente sens´ıveis a pequenas mudanc¸as

nos custos quando o

ultimo assume valores pequenos. Por causa disso, o valor inicial

pode n

ao convergir a −a/b nas aplicac¸

oes com custo zero de entrada e de sa´ıda. Afor-

tunadamente, o valor da opc¸

ao de entrada calculado pelo algoritmo n

e sens´ıvel a tais

discrep

ancias da soluc¸

ao inicial. Al

em disso, pode-se forc¸ar o in´ıcio a ser igual a −a/b de-

pois que a soluc¸

ao obtida e reiterar o algoritmo para confirmar a estabilidade do valor da

opc¸

ao.

A.5 Avaliac¸

ao do investimento inicial e opc¸

ao de expan-

Lembre-se da din

amica de K(t) e R(t) das Equac¸

ao (7.17) e (7.18):

dK = −I

dt , (A.5.1)

dR = αRdt + σRdz . (A.5.2)

A equac¸

ao diferencial para F

, K)

e obtida considerando o seguinte portf

olio: uma opc¸

de longo prazo de investir no neg

ocio e posic¸

oes de curto prazo de n unidades de R

. O

valor deste portf

olio

e F

, K) − nR

. Ent

ao,

, K) − ndR

= F

1RR

(dR

)

+ F

dK − ndR

. (A.5.3)

Fazemos n = F

para obter o portf

olio livre de risco e obter as variac¸

oes instant

aneas

, K) − ndR

)

dt − I

dt . (A.5.4)

em disso, o comprador das posic¸

oes de curto prazo requer compensac¸

ao igual a (w −

af)F

e h

a um fluxo de sa´ıda I

dt quando o investimento

e feito. Equacionando o retorno

139

total do portf

olio para o retorno sem risco, temos

)

1RR

dt − I

dt − (w − α)R

dt − I

dt = r

− F

)dt . (A.5.5)

Substituindo a Equac¸

ao (A.5.2) para dR

, simplificando e rearranjando os termos, temos

a seguinte equac¸

ao diferencial para F

, K):

1RR

+ (r

− w + α)R

− r

− I

= 0 . (A.5.6)

A Equac¸

ao (A.5.6) deve satisfazer as seguintes condic¸

oes de fronteira:

, 0) = F

) , (A.5.7)

(0, K) = 0 , (A.5.8)

lim

R→∞

1,R

, K) = lim

g→∞

−1

−(w−αλ

)K/I

max

(A.5.9)

e as condic¸

oes do ``value matching'' e ``smooth pasting'' que F

e F

1,R

sejam cont´ınuas em

;

A Equac¸

ao (A.5.7) diz que quando K = 0, a firma obt

em a opc¸

ao de investir I

e operar

no segundo est

agio. A Equac¸

ao (A.5.8) diz o valor da opc¸

ao do investimento inicial

e irris

orio

quando R

= 0. A Equac¸

ao (A.5.8) reconhece que quando R

e muito grande, a probabil-

idade de interromper o investimento

e muito baixa. Uma vez que o tempo para completar

ainda seria de K/I

max

, ent

ao F

, K)

e igual ao valor presente de F

) = A

, ou

= A

αK/I

max

]

−wK/I

max

= A

−(w−αλ

)K/I

max

Da´ı,

= A

−1

−(w−αλ

)K/I

max

= F

−1

−(w−αλ

)K/I

max

A Equac¸

ao (A.5.6) mostra que dF

e linear em I

com inclinac¸

ao −F

− 1. Da´ı, a taxa

que maximiza o valor do investimento inicial

e ou seu valor m

aximo I

max

ou zero.

Note que quando R

< R

∗

, I

= 0 e a Equac¸

ao (A.5.6) fica

1RR

+ (r

− w + α)R

− r

= 0 , (A.5.10)

que tem a mesma forma da Equac¸

ao (A.4.4) e, ent

ao, tem soluc¸

ao F

(R, K) = A(K)R

onde

− (r

− w + α)σ

−2





− w + α)σ

−2

−



+ 2r

−2



1/2

140

e A(K) tem valores obtidos pela soluc¸

ao da Equac¸

ao (6.18) ao longo da fronteira R

= R

∗

O procedimento num

erico

e simplificado pela eliminac¸

ao de A(K) usando as condic¸

oes de

value-matching e smooth-pasting:

∗

, K)

I=I

max

= F

∗

, K)

I=0

∗

, K)

I=I

max

= Aν

∗

−1

= (ν

∗

)AR

∗

, K) = (R

∗

/ν

∗

, K) . (A.5.11)

O valor da opc¸

ao de investimento inicial pode ser obtido resolvendo-se a Equac¸

ao (A.5.6)

para I

= I

max

, sujeito

as Equac¸

oes (A.5.7), (A.5.9) e (A.5.11). Note que a Equac¸

ao (A.5.8)

ao se aplica quando I

= I

max

A.6 Opc¸

ao de investimento inicial e custos incertos

Lembre a din

amica de K(t) e R(t) para o caso de um investimento inicial com custos incertos

dK = −I

dt + ν(I

1/2

dζ , (A.6.1)

dR = αRdt + σRdz . (A.6.2)

A equac¸

ao diferencial para F

, K)

e obtida considerando-se o seguinte portf

olio: uma

opc¸

ao de longo prazo de investir no neg

ocio e n posic¸

oes de curto prazo de R

. O valor deste

portf

olio

e F

, K) − nR

. Al

em disso, o comprador das posic¸

oes de curto prazo requer

compensac¸

ao igual a (w − α)F

Rdt e h

a um fluxo de sa´ıda de I

dt quando o investimento

e feito. Equacionando o retorno total do portf

olio ao retorno sem risco, temos

− F

− (w − α)F

dt − I

dt = r

− F

)dt . (A.6.3)

Usando o Lema de Ito, escrevemos dF

como

= F

+ F

1RR

(dR

)

1KK

(dK

)

1RK

dK . (A.6.4)

Substituindo esta express

ao nas Equac¸

oes (A.6.3), (A.6.1) para dK

e (A.6.2) para dR

simplificando e rearranjando os termos, temos a seguinte equac¸

ao diferencial para F

, K):

1RR

IKF

1KK

+ (r

− w + α)R

− r

− IF

− I

= 0 . (A.6.5)

141

A Equac¸

ao (A.6.5) deve satisfazer as seguintes condic¸

oes de contorno:

∗

, 0) = F

∗

) , (A.6.6)

(0, K) = 0 , (A.6.7)

lim

K→∞

1,R

, K) = 0 , (A.6.8)

1KK

∗

, K) − F

∗

, K) − 1 = 0 (A.6.9)

e a condic¸

ao value matching de que F

seja cont´ınua em R

∗

, isto

e, F

= 0) = F

max

A Equac¸

ao (A.6.6) diz que no final, isto

e, quando K = 0, a firma obt

em a opc¸

ao de

investir I

e operar no segundo est

agio. A Equac¸

ao (A.6.7) diz que o valor do investimento

inicial

e irris

orio quando R

= 0. A Equac¸

ao (A.6.8) reconhece que quando K

e muito

grande o valor do investimento inicial

e muito pequeno. A Equac¸

ao (A.6.9)

e a condic¸

smooth pasting de que F

1,R

e cont´ınua em R

∗

, isto

e, F

1,R

= 0) = F

1,R

= I

max

A Equac¸

ao (A.6.5) mostra que dF

e linear em I

, com inclinac¸

1KK

∗

, K)−

∗

, K) − 1. Da´ı, a taxa I

que maximiza o valor do investimento inicial

e ou o m

aximo

valor I

max

ou zero. Ou seja, I

∗

= I

max

para

1KK

∗

, K) −F

∗

, K) −1 > 0 e I

∗

= 0,

caso contr

ario.

A soluc¸

ao R

∗

, F

∗

, K) foi encontrada por m

etodos num

ericos, como comentado na

Sec¸

ao 6.7.

A.7 Ancoragem est

atica

Da equac¸

ao (9.17) temos que

−



∞

√

2πDT

(x − x

)

∂

∂x

exp



−

(x − x

)

2DT



dx .

Considerando:

x − x

= u , dx = du ,

∂

∂x

exp



−

(x − x

)

2DT



dx = dv , ent

ao, v = exp



−

(x − x

)

2DT



∂v

∂x

dx = dv



Integrando por partes:



udv = uv



−



vdu

142

−

√

2πDT



(x − x

)

∂

∂x

exp



−

(x − x

)

2DT



= −

√

2πDT





(x − x

) exp



−

(x − x

)

2DT





∞

−



∞

exp



−

(x − x

)

2DT







= −

√

2πDT



(0 − 0) −



∞

exp



−

(x − x

)

2DT





∞

√

2πDT

exp



−

(x − x

)

2DT



dx ≡



∞

P (x, N |x

, 0)dx .

A.8 Valor da empresa em condic¸

ao de incerteza

Da equac¸

ao (9.34) temos que:

V (p) =



∞

−∞



bqp

w − α



1 − e

−(w−α)T



(1 − τ)r



1 − e

−(1−τ )r





exp



−(T −T )

2σ





2πσ

dT . (A.8.1)

Rearranjando-se os temos, obt

em-se:

V (p) =

bqp

w − α











1 −



∞

−∞

exp



−(T −T )

2σ

− (w − α)T





2πσ











(1 − τ)r











1 −



∞

−∞

exp



−(T −

)

2σ

− (1 −τ)r





2πσ











. (A.8.2)

Vamos calcular a seguinte integral:



∞

−∞

exp



−(T −T )

2σ

− (w − α)T





2πσ

= I . (A.8.3)

Considerando u = T −T , temos que du = dT . Substituindo-se estes valores em (A.8.3):

I =



∞

−∞

exp



−u

2σ

− (w − α)(u + T )





2πσ

−(w−α)T

√

2πσ



∞

−∞

du exp



−u

2σ

− (w − α)u



. (A.8.4)

E sabido que



∞

−∞

due

−mu

+nu

= e

/4m



, com m ∈ IR

Substituindo m = 1/2σ

e n = −(w − α), temos que



∞

−∞

due

(

−1

2σ

u−(w−α)u)

= e

(w−α)



π2σ

. (A.8.5)

143

Voltando este resultado para a equac¸

ao (A.8.4):

I =



(w−α)

−(w−α)T





2πσ



2πσ

= exp



(w − α)

− (w − α)T



. (A.8.6)

Substituindo este resultado em (A.8.2), obt

em-se finalmente

V (p) =

bqp

w − α



1 − exp



(w − α)

− (w − α)T



(1 − τ)r



1 − exp



(1 − τ)

− (1 −τ)r



. (A.8.7)

144

A.9 Func¸

ao erro

− R



2σ

145

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147

Tabela 1- Comparação entre valor das ações e valor da empresa

Tabela 2 – Exemplo de valores e parâmetros de uma empresa em função do nível de

endividamento

Gráco 1 – Exemplo do valor de uma empresa e de seu CMePC em função do nível de

endividamento

Gráco 2 – Modelo H de desconto de dividendos

Gráco 3 – Modelo de desconto de dividendos em três estágios

Tabela 3 – Modelo de avaliação patrimonial pelo mercado

Tabela 4 - Exemplo para aplicação do modelo dos múltiplos de caixa

Tabela 5 – Resultado do exemplo do modelo dos múltiplos de caixa

Gráco 4 – Diagrama de retorno de uma opção de compra

Gráco 5 – Diagrama de pagamento da opção de venda

Gráco 6 – Modelo binomial

Gráco 7 – Diagrama do retorno líquido sobre patrimônio líquido

Tabela 6 – Exemplo de valores críticos de receita para a realização de investimentos

remanescentes: caso 1

Tabela 7 – Exemplo de valores críticos de receita para a realização de investimentos

remanescentes: caso 2

Tabela 8 – Exemplo de valores críticos de receita para a realização de investimentos

remanescentes: caso 3

Tabela 9 – Exemplo de receitas mês a mês

Tabela 10 – Exemplo do cálculo da variância em cada mês

Tabela 11 – Exemplo do cálculo de Φi* mês a mês

Gráco 8 – Exemplo da evolução de Φi* ao longo do tempo

Tabela 12 – Exemplo da evolução da variância de Φi* mês a mês

Gráco 9 – Exemplo da evolução da variância de Φi* ao longo do tempo

Tabela 13 – Valores da função erro de xi (erf xi)

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