ads:
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA (UEPG)
PROGRAMA DE MESTRADO EM EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
PATRICIA ABDANUR
MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA METODOLOGIA ALTERNATIVA DE ENSINO
PONTA GROSSA
2006
id6332218 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
PATRICIA ABDANUR
MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA METODOLOGIA ALTERNATIVA DE ENSINO
PONTA GROSSA
2006
Dissertação apresentada para obtenção do
título de mestre na Universidade Estadual de
Ponta Grossa, Área de Concentração em
Educação, Linha de Pesquisa Ensino-
Aprendizagem.
Orientador: Prof. Dr. Dion
ísio Burak
ads:
Abdanur
, Patricia
A135 Modelagem matemática : uma metodologia alternativa de
ensino / Patrícia Abdanur. – 2006.
147 f.
Disserta
ção (mestrado) – Universidade Estadual de Ponta
Grossa
– PR
Orientador: Prof. Dr. Dion
ísio Burak.
Bibliografia: f. 142-147
1- Matem
ática - Estudo e ensino. 2-Aprendizagem.
I.T
ítulo.
CDD:510.7
PATRICIA ABDANUR
MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA METODOLOGIA ALTERNATIVA DE ENSINO
Dissertação de Mestrado apresentada para obtenção do título de mestre na
Universidade Estadual de Ponta Grossa, Área de Educação.
Ponta Grossa, 07 de dezembro de 2006.
Prof. Dr. Dionísio Burak - Orientador
Doutor em Educação
Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Profa. Dra. Célia Finck Brandt
Doutora em Educação
Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC
Profa. Dra. Joyce Jaqueline Caetano
Doutora em Educação
PUC/SP
Prof. Dr. Ivo José Both
Doutor em Educação
Universidade do Ninho - Portugal
Sempre, e nunca em excesso, aos meus pais, Jamil e Irene, pessoas cujos ensinos e companhia são
indispensáveis.
Aos meus filhos, Fabinho e Paulo Henrique, pela paciência e compreensão em minhas ausências.
Aos irmãos Jamil Júnior, Marcelo e Carla, pela confiança e apoio.
Dedico.
AGRADECIMENTOS
A Deus por estar presente em todos os instantes e por ter
proporcionado a realização deste sonho.
Ao Professor Orientador Dr. Dionísio Burak que, pela forma amiga,
soube respeitar minhas limitações e por ter orientado relevantemente meu caminho.
Ao querido irmão Jamil Abdanur Júnior pela crítica e orientação que
ajudou no crescimento deste trabalho.
À Professora Daniela D. Barbieri e alunos do Colégio Campo Real e
do Colégio Estadual Professor Amarílio, ambos da cidade de Guarapuava, que me
auxiliaram nas experiências realizadas neste trabalho.
À Professora Moema França pelos esclarecimentos recebidos na
área de informática.
Aos Professores do Programa de Pós-Graduação, pelos
ensinamentos e incentivo.
Aos colegas que, com humildade e amizade, orientaram-me durante
os momentos de dificuldades no decorrer do Curso e a todos que direta ou
indiretamente contribuíram para a realização desta dissertação.
Sobre tudo o que se deve guardar,
guarda o teu cora
ção,
porque dele procedem as fontes da vida.
(Prov
érbios, 4: 23)
RESUMO
Este trabalho propõe-se a discutir e analisar aspectos da Modelagem Matemática
no âmbito da Educação Básica e também o ensino e a aprendizagem da disciplina
nesse contexto. Apresenta como objetivo central a análise da Modelagem
Matemática enquanto uma prática educativa diferenciada para o ensino de
Matemática e como questão norteadora da investigação busca identificar: quais os
aspectos favorecidos pela Modelagem enquanto uma prática que parte do interesse
do grupo ou do aluno? Por hipótese, o desinteresse pelo assunto a ser ensinado em
Matemática provoca um aprendizado deficiente no aluno. O trabalho apresenta
uma visão geral da Educação Matemática e suas perspectivas para o ensino na
Educação Básica frente às Diretrizes Nacionais para o Ensino Fundamental e Médio.
Faz uma abordagem da Modelagem desde a Pré-história até a Idade
Contemporânea. Para a consecução do objetivo central e de outros objetivos eleitos
para a investigação valeu-se das pesquisas exploratórias para proporcionar maior
familiaridade com os temas tratados sobre a Educação Matemática e a Modelagem
Matemática e para conhecer as características dos trabalhos iniciais com a
Modelagem valeu-se de algumas características das pesquisas descritivas. Para
tomar ciência dos trabalhos iniciais com a Modelagem utilizou-se do material
produzido pelos participantes das primeiras experiências com a Modelagem nos
cursos de especialização realizado em 1983/1984, que consta no acervo da
Unicentro no Laboratório de Ensino e Pesquisa em Educação Matemática - LEPEM.
Apresenta e analisa as experiências vividas com a Modelagem Matemática
buscando identificar aspectos que a constituam como prática diferenciada. A parte
prática do trabalho consta de experiências vivenciadas no âmbito de duas escolas,
uma pública e outra particular, desenvolvida seguindo os passos propostos por
Burak (1998/2004). Os resultados das experiências apontam para novas
perspectivas do ensino de Matemática na Educação.
Palavras-Chave: Ensino e Aprendizagem, Modelagem Matemática, Educação
Matemática, Interdisciplinaridade, Contextualização.
ABSTRACT
This term paper proposes to argue and to analyze aspects of the Mathematical
Modeling in the scope of the Mathematical Education, the teaching and learning of
the Mathematics in the Basic Education’s context. It presents as its central objective
the analysis of the Mathematical Modeling while a differentiated educative practice
for the teaching and as an investigation’s leading question it seeks to identify the
favored aspects of the Modeling whereas a practice that comes from the group or
student’s interest? By hypothesis, the disinterest for the taught subject in
Mathematics provokes a deficient learning in the student’s. The paper presents a
general view of Mathematical Education and its perspectives for the teaching in the
Basic Education facing the National Guidelines for the Elementary and High School
system. It approaches the Modeling since the Pre-history until the Contemporary
Age. For the central objective’s achievement and other elect objectives of this
investigation, it was used the explorative researches to provide a greater familiarity
with the subjects that treats the Mathematical Education and Modeling. Furthermore,
to become aware about the initial works’ characteristics of descriptive research. To
get the knowledge about these initial works with the Modeling, it was used material
produced by the first experiences’ participators in the specialization courses which
were carried through in 1983/1984. It consists in the quantity of Education
Laboratory of Education and Mathematical Education research – “LEPEM”. It
presents and analyzes the lived experiences with Modeling (in a public and in a
private school), trying to identify aspects that constitute it as a differentiated practice
developing and following the steps considered by Burak (1998/2004). The results of
the experiences point to new teaching perspectives of the Mathematical Education.
Word-Keys: Teaching and Learning, Modeling Mathematics, Mathematical
Education, Interdisciplinary, Contextualization
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
GRÁFICO 1 – Produção de Bolachas 1
o
. semestre 2004 – Beijo Baiano............. 128
FIGURA 1 – Mostra de relógio confeccionado pelos alunos ............................ 101
QUADRO 1 – Tempo de utilização de energia elétrica por eletrodomésticos, em
residência de aluno do Colégio Campo Real, na primeira semana
de outubro de 2004 ....................................................................... 99
QUADRO 2 – Resultado da soma do tempo de utilização de aparelho doméstico
em residência de aluno, em horas, durante uma semana............. 101
QUADRO 3 – Tempo total de utilização de energia elétrica por eletrodomésticos
em residência de aluno do Colégio Campo Real, na primeira
semana de outubro de 2004............................................................ 105
QUADRO 4 – Valor em real, conforme KWh ......................................................... 106
QUADRO 5 – Produção de bolachas da Beijo Baiano, durante o primeiro
semestre de 2004 .......................................................................... 127
QUADRO 6 – Produção de bolachas da Beijo Baiano, durante o primeiro
semestre de 2004 (porcentagem) ...................................................129
QUADRO 7 – Classificação dos funcionários da Beijo Baiano, por sexo e
estado civil, abril de 2006 ...............................................................131
LISTA DE SIGLAS
CEB
CIAEM
Câmara de Educação Básica
Comissão Inter-Americana de Educação Matemática
CNMEM Conferência Nacional de Modelagem e Educação Matemática
CFLO Companhia de Força e Luz do Oeste
DCN Diretrizes Curriculares Nacionais
ECE
EMATER
Encargo de Capacidade Emergencial
Empresa de Assistência Técnica e Extensão Rural
ENEM Encontro Nacional de Educação Matemática
FACIBEL Faculdade de Ciências Humanas de Francisco Beltrão
FAFIG Fundação Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de
Guarapuava
FGTS
Fundo de Garantia por Tempo de Serviço
ICMI International Commission of Mathematics Instruction
ICMS
IMECC
Imposto de Circulação de Mercadorias e Serviços
Instituto de Matemática, Estatística e Ciências da Computação
INSS Instituto Nacional do Seguro Social
KWh Quilowatt hora
LDB Lei de Diretrizes e Bases
MMM Movimento da Matemática Moderna
PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
PCNEM Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio
PISA Programa Internacional de Avaliação de Alunos
Saeb Sistema de Avaliação do Ensino Básico
SBEM Sociedade Brasileira de Educação Matemática
Sebrae Serviço Brasileiro de Apoio às Micro e Pequenas Empresas
SEED Secretaria de Estado da Educação do Paraná
Senai Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial
SMEV Secretaria Municipal de Educação de Vitória
TIP
UEPG
Taxa de Iluminação Púbica
Universidade Estadual de Ponta Grossa
UNESP Universidade Estadual Paulista Julio Mesquita Filho
UNICAMP Universidade Estadual de Campinas
UNICENTRO
USFS
Universidade Estadual do Centro-Oeste
Universidade Estadual de Feira de Santana
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .........................................................................................................12
CAPÍTULO I – A MATEMÁTICA, SEU ENSINO E AVALIAÇÃO DA
APRENDIZAGEM ............................................................................15
1.1 A MATEMÁTICA NO CONTEXTO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ..............15
1.2 O ENSINO DE MATEMÁTICA NOS NÍVEIS FUNDAMENTAL E MÉDIO ......28
1.3 AVALIAÇÃO EM MATEMÁTICA ....................................................................31
1.3.1 Avaliação no processo de ensino e de aprendizagem ...................................31
1.4 A MATEMÁTICA E O ENSINO: NOVAS PERSPECTIVAS ............................39
CAPÍTULO II – A MODELAGEM MATEMÁTICA: CONSIDERAÇÕES
HISTÓRICAS ..................................................................................44
2.1 MODELAGEM MATEMÁTICA: GÊNESE E DESENVOLVIMENTO ...............44
2.2 MODELAGEM NA PRÉ-HISTÓRIA E CIVILIZAÇÕES ANTIGAS ..................46
2.2.1 Civilização Egípcia .........................................................................................47
2.2.2 Civilização da Mesopotâmia ...........................................................................49
2.2.3 Civilização Grega ...........................................................................................50
2.3 MODELAGEM MATEMÁTICA NA CIVILIZAÇÃO MODERNA E NA
CONTEMPORANEIDADE ...............................................................52
2.4 MODELAGEM MATEMÁTICA NO BRASIL ....................................................53
2.5 MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA ..............................56
2.6 A AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM NA MODELAGEM MATEMÁTICA ......58
CAPÍTULO III – MODELAGEM MATEMÁTICA E O ENSINO DE
MATEMÁTICA ..............................................................................61
3.1 A MODELAGEM NOS CURSOS DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES:
PRIMEIRAS INICIATIVAS ..............................................................................61
3.2 OS PRIMEIROS TRABALHOS DESENVOLVIDOS NA FAFIG/UNICENTRO 62
3.2.1 Projeto Horticultura .........................................................................................63
3.2.2 Projeto Marcenaria .........................................................................................67
3.2.3 Projeto Jogos Infantis .....................................................................................70
3.2.4 Projeto Tecnologia Popular em pequenas construções .................................72
3.2.5 Projeto Suinocultura .......................................................................................74
3.2.6 Projeto Cetra ..................................................................................................77
3.3 PRIMEIRAS APLICAÇÕES DA MODELAGEM EM SITUAÇÕES DE
SALA DE AULA ..............................................................................................79
3.4 CONSIDERAÇÕES GERAIS RELATIVAS ÀS EXPERIÊNCIAS ...................86
CAPÍTULO IV – MODELAGEM MATEMÁTICA: DA TEORIA À PRÁTICA .......... 92
4.1 A PRIMEIRA EXPERIÊNCIA ....................................................................... 93
4.2 A SEGUNDA EXPERIÊNCIA ......................................................................109
4.3 CONSIDERAÇÕES GERAIS RELATIVAS ÀS EXPERIÊNCIAS .................133
CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................137
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................141
12
INTRODUÇÃO
Este trabalho foi elaborado com o propósito central de analisar
aspectos da Modelagem Matemática, no âmbito da Educação Matemática, do ensino
e da aprendizagem no contexto da educação básica, como decorrência de se buscar
elementos que a constituam como uma prática educativa diferenciada para o ensino
de Matemática. A questão norteadora da investigação foi compreender: Quais os
aspectos favorecidos pela Modelagem Matemática, enquanto uma prática que parte
do interesse do aluno ou do grupo? Com este objetivo focal na investigação, busca-
se analisar alguns aspectos que se darão a conhecer explicitamente no
desenvolvimento da investigação, favorecidos por essa prática educativa. Como
pressuposto da investigação pode-se atribuir o aprendizado pouco eficiente ao
desinteresse do aluno pelo assunto a ser ensinado em Matemática.
Para consecução dos objetivos da investigação, decidiu-se por vários
delineamentos de pesquisa de modo a produzir os resultados esperados em cada
etapa do trabalho. Assim, optou-se pela pesquisa exploratória com o propósito de se
obter maior familiaridade com vistas a considerar os mais variados aspectos
relativos ao estudo em pauta. Como o estudo envolveu também a descrição de
materiais produzidos pelos alunos participantes dos grupos e suas características
recorreu-se à pesquisa descritiva, que conforme Gil (2002) é capaz de fornecer
subsídios importantes para a análise pretendida. A pesquisa ainda valeu-se de
pesquisa bibliográfica, documentos, trabalhos monográficos, artigos, livros na área
em estudo.
A parte pr
ática do trabalho com a Modelagem Matemática valeu-se
das etapas propostas por Burak com base nos trabalhos de 1998 e 2004 e para a
13
sua fundamentação os de 1987 e 1992. O trabalho de acordo com os objetivos
estabelecidos ficou estruturado da seguinte forma: no primeiro capítulo tratou sobre
a Matemática no contexto da Educação Matemática, em que aborda o ensino de
Matemática na Educação Básica. Analisa elementos de avaliação no âmbito da
aprendizagem. Trata, ainda, da Matemática e do seu ensino na perspectiva da Lei
9394/96, de 20 de dezembro de 1996, que trata das Diretrizes e Bases da Educação
Nacional.
O segundo capítulo enfoca a Modelagem Matemática sob um ponto
de vista mais histórico e abrange desde a pré-história e as civilizações antigas
dentre elas: a Egípcia, a Mesopotâmica e a Grega até a Contemporaneidade,
enfocando aspectos da Modelagem Matemática no Brasil.
O terceiro capítulo trata da Modelagem Matemática e o ensino de
Matemática a partir dos primeiros trabalhos realizados no Brasil e, em particular, em
1983, na Faculdade Estadual de Filosofia Ciências e Letras de Guarapuava (FAFIG),
hoje Universidade Estadual do Centro-Oeste –UNICENTRO. Descreve cada um dos
seis projetos constituídos por três subprojetos cada um que abrangem os três níveis
de ensino: Fundamental, Médio e Superior. Descreve ainda, três trabalhos
monográficos desenvolvidos em situação real de sala de aula e faz uma análise nas
duas situações que envolvem diversos aspectos: concepções de ensino e
aprendizagem, currículo, dentre outros.
O quarto capítulo trata da Modelagem Matemática como uma
alternativa para o ensino de Matemática e apresenta o desenvolvimento de duas
experiências em escolas da Educação Básica que possibilitam a interação entre a
teoria e a prática no trabalho com a Modelagem. As considerações finais (gerais)
analisam as experiências sob a ótica da Educação Matemática, as concepções de
14
ensino e aprendizagem propostas pela Modelagem e busca explicitar os diversos
aspectos que constituem a Modelagem Matemática como uma prática educativa
diferenciada no ensino de Matemática. Convém informar e esclarecer que para
elaboração do trabalho em si seguiu-se as normas do Manual de Normalização
Bibliográfica para Trabalhos Científicos da UEPG – 2005.
15
CAPÍTULO I
A MATEMÁTICA, SEU ENSINO E AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM
1.1 A MATEMÁTICA NO CONTEXTO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Muitos educadores matemáticos e pesquisadores costumam
conceituar a Educação Matemática, como o estudo das relações de ensino e
aprendizagem da Matemática. Assim, considera-se importante uma análise da
literatura destinada aos profissionais da educação da área Matemática, tomando-a
como ponto de partida para a reflexão e aprofundamento teórico-metodológico no
campo da Educação Matemática.
Uma das primeiras referências encontradas neste sentido, foi a de
Miguel (2006a, p. 10), que diz não conceber nem a Matemática, nem a Educação e
nem a Educação Matemática, exclusivamente, como conjuntos de conhecimentos ou
resultados, “como produtos sem produtores e sem atividade produtiva, ou então,
como conjuntos de conhecimentos em si, desligados ou abstraídos das práticas
sociais no interior das quais eles foram e vêm sendo produzidos”. Isto porque,
segundo o mesmo autor, só se pode conceber tanto a Matemática e a Educação
quanto a Educação Matemática como práticas sociais, ou seja, como atividades
realizadas por “um conjunto de indivíduos que produzem conhecimentos, e não
unicamente como o conjunto de conhecimentos produzidos por esses indivíduos em
suas atividades”. (MIGUEL, 2006a, p. 11).
Isto significa dizer que, al
ém de um conhecimento intencionalmente
produzido e absolutamente necessário para uma prática social se constituir e
sobreviver, os profissionais da Educação Matemática devem também produzir outros
16
conhecimentos que, embora não sejam percebidos como tão importantes e vitais
quanto aquele intencionalmente produzido, mas que são também absolutamente
necessários para que essas práticas se constituam e sobrevivam.
Petronzelli (2002, p. 28) também não considera a Educação
Matemática apenas como uma “ciência”, pois que envolve não apenas a dimensão
didático-metodológica, como também abarca outras áreas de caráter
epistemológico, sociológico, psicológico e histórico-filosófico pertinentes à Educação
e à Matemática, “... com vistas a contemplar a melhoria da qualidade do processo
ensino-aprendizagem, em sala de aula, e o desenvolvimento da Educação
Matemática como campo de investigação”.
Há três décadas, quando se falava a respeito dos processos que
aconteciam nas aulas de Matemática, e relacionadas a elas, se utilizava, quase
sempre, a expressão Ensino de Matemática, mas, por uma variedade de motivos
que serão apresentados no decorrer deste capítulo, passou-se a preferir, cada vez
mais, o termo Educação Matemática.
Mas, para que a Educação Matemática se mostrasse tal qual no
momento se apresenta, isto é, para que se tornasse uma área autônoma, foi
necessário percorrer um longo processo de mudança histórica e cujo resultado se
deve às preocupações de matemáticos e professores de Matemática do Ensino
Fundamental, Médio e Superior, que não mediram esforços para viabilizar os
encaminhamentos didático-metodológicos da prática educativa, para a disciplina, e
cujas preocupações voltavam-se, principalmente, para “o quê ensinar” e “como
ensinar”.
De acordo com Petronzelli (2002), no in
ício, a Educação Matemática
ainda não existia como campo diferenciado de estudo ou de pesquisa, sendo que o
17
Ensino da Matemática tanto abarcava tarefas práticas de sala de aula como a
produção de materiais didáticos. Isto porque, atrás de cada modo de ensinar,
sempre se escondia uma particular concepção de aprendizagem, de ensino, de
Matemática e de Educação.
A esse respeito, Fiorentini (1994, p. 4) comenta que a maneira de
ensinar sofreu a influência dos “valores e das finalidades que o professor atribuía ao
ensino da Matemática, da forma como concebia a relação professor-aluno e, além
disso, da visão que tinha de mundo, de sociedade e de homem”. Portanto, é por
meio dessa visão de ensino que os professores desenvolviam suas atividades,
selecionavam e organizavam os conteúdos a serem trabalhados e escolhiam as
técnicas de ensino e de avaliação.
Para Schubring (1999) a Matemática foi a primeira das disciplinas
escolares a deflagrar um movimento internacional de reformulação curricular
buscando um espaço adequado para o ensino da Matemática. Este movimento
aconteceu a partir da Alemanha, no início do século XX, sob a liderança do
matemático Felix Klein que, ao publicar o livro Matemática Elementar de um Ponto
de Vista Avançado, defendeu que as escolas, ao ensinar, se ativessem mais em
bases psicológicas que sistemáticas.
D’Ambrósio (1999) confirma as colocações de Schubring e diz que tal
iniciativa e a fundação da Comissão Internacional de Instrução Matemática (ICMI),
podem ser consideradas como as primeiras tentativas de institucionalização da
Educação Matemática também no Brasil. Na época, a Educação Matemática
brasileira era encarada como ensinar bem a Matemática (ter boa didática), que
constava dos programas (conhecer bem o conteúdo) e verificar se o aluno aprendeu
bem esse conteúdo (aplicar exames rigorosos).
18
Por isso, considera-se importante caracterizar a chamada
Matemática Clássica, que predominou até o final da década de 50, assim como os
principais pólos de ensino que deram início à Educação Matemática brasileira: o
Movimento da Escola Nova, da Matemática Moderna e da Tendência Tecnicista.
A Matemática Clássica era caracterizada por um ensino expositivo
centrado no professor, cabendo ao aluno apenas copiar, repetir, memorizar e
devolver, nos momentos de avaliação, aquilo que tinha recebido anteriormente do
professor. Essa valorização excessiva pelos valores formais mostra que os
matemáticos apresentavam a Matemática com um caráter de “definitiva”, como se aí
tivesse encontrado seu significado. Era, pois, uma concepção formalista de
Matemática, visão esta adotada, ainda hoje, por professores, na sua prática
pedagógica, no ensino dessa disciplina. (SEED, 2006b).
Na década de 50, e mesmo antes dessa época, os estudantes
apresentavam uma grande defasagem entre as notas do aproveitamento em
Matemática e em outras matérias. Segundo Kline (1976, p. 32), as pesquisas
realizadas neste período constataram que as notas de Matemática eram muito mais
baixas, “em decorrência da aversão dos alunos pela disciplina, que havia pouca
retenção dos conteúdos ensinados e quase total incapacidade de efetuar as
operações”.
Ainda durante esta etapa, a Matemática Clássica sofreu oposição do
Movimento da Escola Nova (ou Pedagogia Ativa), tanto que o aluno passou a ser o
centro da aprendizagem. Esta concepção de ensino tinha como base uma nova
psicopedagogia, e encaminhava, teórica e metodologicamente, um ensino orientado
segundo o grau de desenvolvimento mental do aluno.
19
Sobre o assunto, e relacionando-o com o ensino da Matemática,
assim se expressa Petronzelli (2002, p. 31):
Esta concep
ção de ensino enfatizava a idéia da descoberta gerada
individualmente e não a memorização; valorizava a criatividade e a correção da
forma de pensar; a capacidade de tirar conclusões de uma experiência e a
descrição dos fenômenos. Essa tendência, além de auxiliar na unificação da
Matemática como disciplina, contribuiu com as diretrizes do ensino de
Matemática na Reforma Francisco Campos
1
.
Outros fatores históricos, a exemplo da entrada dos Estados Unidos
na Segunda Guerra Mundial
2
quando os militares verificaram a deficiência dos
recrutas em Matemática, e ainda, por ocasião do lançamento do Sputnik em outubro
de 1957 pelos russos, que indicou um avanço da Matemática e das Ciências pelos
soviéticos, fez com que grupos de matemáticos e professores de Matemática,
empreendessem um novo movimento que se concentrou em reformular o currículo
escolar, “partindo da premissa de que, se o componente curricular fosse melhorado,
o ensino de Matemática poderia vir a ser coroado de êxito”. (PETRONZELLI, 2002,
p. 32).
No final dos anos 1960 e seguintes, a Educação Matemática deu
um salto significativo tendo marcado o início do movimento que viria a ser
identificado como Movimento da Matemática Moderna (MMM).
O Brasil também aderiu ao movimento internacional de reforma do
currículo escolar proposto pelo MMM, mas foi a partir da metade da década de 1980,
que os pesquisadores passaram a “... interessar-se, por um lado, sobre como os
professores manifestam seus conhecimentos e suas crenças no processo de ensino
1
Em 1930, foi criado o Ministério da Educação e Saúde Pública e, em 1931, o governo provisório
sanciona decretos organizando o ensino secundário e as universidades brasileiras ainda
inexistentes. Estes Decretos ficaram conhecidos como "Reforma Francisco Campos".
2
Segundo Petronzelli (2002, p. 31), até a Segunda Guerra Mundial, a Educação Matemática
consistia em ensinar bem um conteúdo tradicional.
20
e, por outro lado, sobre como os alunos aprendem e compreendem aspectos
específicos da Matemática”. (FIORENTINI; LORENZATO, 2006, p.7).
As respostas a estes questionamentos eram buscadas, pelos
professores de Matemática, na própria lógica, na estrutura da Matemática
sistematizada produzida pelo MMM e nas técnicas didáticas, privilegiadamente, na
forma do Estudo Dirigido. Na ocasião, esta técnica encontrou muitos adeptos, dentre
eles, Malba Tahan, que assim se pronuncia:
[...] o estudo dirigido é aquele que se realiza através de técnicas científicas. Forma,
nos alunos, hábito de trabalho mental, atitudes favoráveis ao ensino, dá métodos
de reflexão e senso crítico; em suma, ensina aos alunos a aprender por si mesmo.
O estudo dirigido pode ser definido como um plano ou técnica para guiar e
estimular o aluno nos métodos de estudo e o pensamento reflexivo. (TAHAN, 1962,
p.1).
Para os defensores da Matemática Moderna, o que diferenciava o
ensino da Matemática Clássica da Matemática Moderna, é que esta tendência
propõe que o ensino seja feito com o uso de técnicas, a exemplo do Estudo Dirigido,
em que o professor ensinava o aluno a estudar, a trabalhar com método, segurança
e eficiência, assim como ensinava a técnica da leitura silenciosa e do trabalho de
pesquisa.
Já para os técnicos da Secretaria de Estado da Educação do Paraná
(SEED, 2006b), não havia muita diferença entre a Matemática Clássica e a
Matemática Moderna, pois enquanto aquela se caracterizava pela ênfase dada às
idéias e formas da Matemática, a Matemática Moderna enfatizava o retorno ao
formalismo matemático, ou seja, o uso preciso da linguagem Matemática, o rigor e
os aspectos estruturais e lógicos da mesma. De um modo geral o ensino volta a
21
centrar-se no professor de forma autoritária, por meio de exposições e
demonstrações, cabendo aos alunos a mera reprodução do que foi exposto pelo
mesmo. Os alunos apresentavam dificuldades no desenvolvimento de um raciocínio
lógico formal, no que se refere às possibilidades de organização dos dados e a
utilização das diversas ferramentas Matemáticas disponíveis, para a resolução de
uma situação-problema apresentada, assim como a falta de capacidade de analisar
quantitativamente.
Foi por isso que vários educadores matemáticos, como Bell, Birkhoff,
Courant, Coxeter, Kline, Pólya e Weil, reagiram fortemente contra a Matemática
Moderna, pois consideravam que este movimento estabelecia um currículo comum e
impunham uma Matemática de uma só visão, um conhecimento universal e
caracterizado por divulgar verdades absolutas. Nesse contexto, percebendo que a
Matemática Moderna não dava espaço para a valorização do conhecimento que o
aluno trazia para a sala de aula, proveniente do seu convívio social, tais educadores
matemáticos voltaram seus olhares para outro tipo de conhecimento, o cotidiano do
aluno, para diferenciá-lo daquele estudado no contexto escolar. (PONTE, 2003).
Segundo SEED (2006b) o Golpe Militar de 1964, apesar das
resistências, fez com que a escola acabasse assumindo uma função primordial na
manutenção do regime militar, adaptando o aluno a essa sociedade, tornando-o útil
ao sistema. Não se pode descartar que a Matemática Moderna, na época, continuou
a influenciar os currículos de Matemática do Ensino Fundamental e Médio. Nesse
contexto, em 1971, a tendência tecnicista foi implantada com a Lei n. 5.692/71
(BRASIL, 1971), dando ênfase às tecnologias do ensino, fundamentadas
22
psicologicamente no Behaviorismo,
3
tornando-se a tendência pedagógica oficial e
atendendo às exigências do sistema de produção capitalista. (SEED, 2006b, p. 3).
Nessa perspectiva, a aprendizagem seria basicamente uma mudança
de comportamento, sendo mais importante depois do “ensinar”, pedir que o aluno
executasse o que se ensinou, corrigindo-o imediatamente, seqüência esta, chamada
por Skinner de “contingências do reforço”.
A Tendência Tecnicista enfatizava além das técnicas de ensino como
instrução programada (estudo por meio de fichas ou módulos instrucionais), o
emprego de tecnologias modernas audiovisuais (retro-projetor, filmes, slides) ou
mesmo computadores, bem como de resoluções de exercícios ou de problemas-
padrão. (SEED, 2006b). Ou seja, tirava o centro do processo de ensino-
aprendizagem do professor e do aluno, focando-o nos objetivos instrucionais e nas
técnicas de ensino.
Considerando que o professor é o mediador entre o ensino e a
aprendizagem, tais tendências pretendiam mudanças nas atitudes do professor.
Petronzelli (2002, p. 57-61) aponta como a
“função docente é percebida pelas considerações psicológicas, sociológicas,
antropológicas e epistemológicas:
a) a considera
ção psicológica sugere que o professor desempenhe o papel de levar
o aluno a reconstruir modelos matemáticos que ele compreenda em outras
situações, representá-los de maneira a poder utilizar os mais poderosos sistemas
simbólicos da Matemática, como instrumento de pensamento, utilizá-los em uma
variedade de situações que lhe dêem significado;
b) a considera
ção sociológica discute a representação social do professor e lhe
abre perspectivas para uma nova definição a ser conquistada por novas maneiras
de interagir com seus alunos;
c) algumas mudan
ças são sugeridas na consideração antropológica e estas
determinam que o professor deve estar consciente de “quem são seus alunos” e
que eles podem ajudar os seus alunos a construírem os seus futuros;
3
Behaviorismo é a corrente psicológica defendida por Skinner, onde a aprendizagem é uma mudança de
comportamento (desenvolvimento de habilidades ou mudanças de atitudes) que decorre como resposta a estímulos
externos, controlados por meio de reforços. Seu princípio é que só é possível teorizar e agir sobre o que é cientificamente
observável. Com isso, ficam descartados conceitos e categorias centrais para outras correntes teóricas, como consciência,
vontade, inteligência, emoção e memória — os estados mentais ou subjetivos. (SKINNER, 1988).
23
d) a consideração epistemológica prevê que o professor não pode mais reproduzir
os modelos educacionais que ele próprio vivenciou enquanto aluno; na verdade,
parte-se do princípio de que o mundo, os objetivos e a concepção de ciência
mudaram e por conseqüência, precisa também mudar o professor”.
Nesse contexto, novas tendências pedagógicas foram ganhando uma
dimensão maior contrapondo-se ao tecnicismo até então imperante. Dentre elas, a
Teoria Construtivista de Jean Piaget, proposta teórica que pretendeu fornecer
subsídios para adotar determinadas ações pedagógicas em favor da aprendizagem.
Entende-se, assim, que o Construtivismo passou a ser uma teoria
preciosa, proporcionando ao aluno a capacidade de observar, pesquisar, questionar
e resolver novos dilemas que vão aparecendo na medida em que seu nível de
conhecimento vai progredindo. O papel do professor se torna, então, mediar a
relação entre o conhecimento proposto e o aluno, ajudando-o no seu caminho e
dando o direcionamento necessário ao conhecimento.
Martino (1999), ao apoiar o Construtivismo, lembra que em vez de
apontar "erros" e fornecer a resposta "correta", cabia ao professor questionar as
respostas dadas pelo aluno, de maneira que ele percebesse as limitações da sua
resposta. É, pois, fundamental permitir que o aluno desenvolva suas próprias teorias
e hipóteses a respeito das situações-problema e garantir o raciocínio, que não se
desenvolve com a repetição mecânica de conteúdos.
No mesmo período, surge outra concepção, a socioetnocultural,
tendo como ícone o professor Ubiratan D’Ambrósio, idealizador do que viria a ser
conhecido como Etnomatemática.
“Para essa tendência, o conhecimento matemático é considerado um saber prático,
produzido histórico-culturalmente nas práticas sociais, tendo como ponto de partida
os problemas da realidade, utilizando-se da Modelagem Matemática e da relação
dialógica entre professor e aluno, na solução da problematização inicialmente
proposta”. (SEED, 2006b, p. 3).
24
A década de 90 é marcada pelo aparecimento da tendência histórico-
crítica que considera a Matemática como
[...] um saber vivo, dinâmico e que, historicamente, vem sendo construído,
atendendo a estímulos externos (necessidades sociais) e internos (necessidades
teóricas de ampliação dos conceitos). Esse processo de construção foi longo e
tortuoso. É obra de várias culturas e de milhares de homens que, movidos pelas
necessidades concretas, construíram coletivamente a Matemática que conhecemos
hoje. (FIORENTINI 1994, p.31).
Assim, “a tendência histórico-crítica considera que o aluno aprendeu
significativamente Matemática, quando atribui sentido e significado à mesma,
podendo discutir, justificar e estabelecer relações sobre as idéias Matemáticas.”
(SEED, 2006b, p. 4).
No mesmo período, surgem também as tendências interacionistas,
4
a
exemplo da teoria sociointeracionista de Vygotsky, e para a qual as interações
sociais são centrais, estando então, a aprendizagem e o desenvolvimento inter-
relacionados, ou seja, para o sociointeracionismo o conhecimento é construído “na e
pela” interação social. (PLACCO, 2001).
Guimarães (2006), ao analisar o Construtivismo, mostra como este
tem sido influenciado pelo referencial teórico de Vygotsky que, em primeira
instância, incorpora a importância da participação do sujeito na apreensão do
conhecimento, mas nega esta participação como resultado da interação proposta
4
O interacionismo é uma grande base para a integração de Piaget e Vygotsky, pois concordam que o
desenvolvimento e a aprendizagem não são resultantes só dos estímulos externos (objetos), nem só da
produção da razão (sujeito), mas fruto da interação dos dois, sujeito e objeto. No interacionismo cada um dos
pólos – sujeito e objeto – entra com a sua parte: o sujeito entra com a ”forma” de pensamento e o objeto, com
o “conteúdo” da matéria. A síntese da ação dos dois é que produz, por construção, tanto a mente quanto o
conhecimento. (MATUI, 1996
).
25
por Piaget. Enquanto no referencial construtivista o conhecimento se dá a partir da
ação do sujeito sobre a realidade (sendo o sujeito considerado ativo), para o
sociointeracionismo, esse mesmo sujeito não é apenas ativo, mas interativo, porque
constitui conhecimentos e se constitui a partir de relações intra e interpessoais. Ou
seja, é na troca com outros sujeitos e consigo próprio que se vão internalizando
conhecimentos, papéis e funções sociais, o que permite a constituição de
conhecimentos e da própria consciência.
Vygotsky (1987, p. 71) também afirma:
[...] a experiência prática mostra que o ensino de conceitos é impossível. Um
professor que tentar fazer isto ocorrerá num verbalismo vazio, uma repetição de
palavras pela criança, semelhante a um papagaio, que simula um conhecimento
dos conceitos correspondentes, mas que na realidade oculta um ‘vácuo’.
No entanto, ainda que mantendo uma certa divergência no papel da
linguagem e da mediação do "outro" na construção do conhecimento, tanto Piaget
como Vygotsky reconhecem o papel ativo da criança na construção do
conhecimento. Na realidade, pode-se afirmar que tanto um quanto o outro
distinguem na Educação o que precisa ser construído pelos alunos: os conceitos.
Isto leva à compreensão de que, também quando se trabalham conteúdos
matemáticos, os próprios alunos é que devem construí-los, naturalmente, mediados
pela ação pedagógica do professor.
A partir da segunda metade da década de 90, o governo brasileiro
intensificou suas ações no sentido de ajustar as políticas educacionais ao processo
de reforma do Estado Brasileiro, em face das exigências colocadas pela
26
reestruturação global da economia. Para tanto, desencadeou um conjunto de
iniciativas que operariam mudanças em diferentes níveis e setores do campo
educacional, que passam a configurar um verdadeiro processo de reforma das
estruturas da política educacional no país. Dentre essas iniciativas, o governo
federal, por meio do Ministério da Educação (Secretaria de Educação Fundamental
e Secretaria de Educação Média e Tecnológica), propõe os Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCNs) para todas as séries do Ensino Fundamental (BRASIL, 1997) e,
posteriormente, em 1999, para o Ensino Médio. (BRASIL, 1999).
Os PCNs tiveram como matriz o referencial teórico do construtivismo
e do sociointeracionismo, dando ênfase ao significado socialmente construído dos
conteúdos escolares em diferentes momentos históricos. Também é reforçada a
idéia da
“problematização do real, a elaboração de hipóteses e a experimentação,
atividades que se interligam aos fatores afetivos, motivacionais e relacionais, como
pretendido por Piaget. Buscou, também, no sociointeracionaismo de Vygotsky, “a
visão de que pensamento e linguagem imbricam-se com o desenvolvimento da
criança e são construídos na sua história pessoal e coletiva”. (NEVES, 2006, p. 11).
Entende-se, portanto, que uma das grandes contribuições dos PCNs,
embasadas no sociointeracionismo, foi a percepção de que a construção do
processo ensino-aprendizagem é dinâmico, complexo e ocorre em situações
concretas e tem múltiplas determinações, internas e externas à escola. Nesse
sentido, o professor deve evitar um fazer pedagógico-mecânico, repetitivo, mas
abranger o comprometimento da sala de aula com a escola, com a comunidade,
com a sociedade e com a cultura, numa prática comprometida e transformadora.
Pode-se, portanto, afirmar que os PCNs propõem uma Educação
Matemática mais crítica e próxima da realidade dos alunos, respeitando as
27
especificidades de cada contexto. Para os idealizadores dos PCNs, no ensino de
Matemática, destacam-se dois aspectos básicos: um consiste em relacionar
observações do mundo real com representações; outro consiste em relacionar essas
representações com princípios e conceitos matemáticos. (BRASIL, 1997).
Assim, depois de consideradas as diferentes concepções
pedagógicas, acredita-se que o processo do ensino e da aprendizagem não deva
ocorrer apenas dentro de uma sala de aula, mas organizado segundo seus objetivos
e atividades favorecedoras da construção-reconstrução do conhecimento e da busca
de novas formas de aplicá-lo.
Nessa perspectiva é pertinente estabelecer uma comparação entre a
Educação Matemática e o Ensino da Matemática: “enquanto nesta última o centro
está nos conteúdos, na primeira o centro está no sujeito, em sua vida social”. Melhor
dizendo, no Ensino da Matemática toma-se apenas o contexto da sala de aula e se
preocupa apenas com aprendizagem como resultado do sucesso do ensino,
enquanto a Educação Matemática entende que a aprendizagem só pode ser
efetivada quando é colocada no contexto da sociedade, para o “sucesso social” dos
alunos, entendido aqui como a capacidade para exercício de seus direitos
democráticos, inclusive o direito ao trabalho. (SEED, 2006a, p. 11).
Assim, ao refletir a respeito das opiniões sobre Educação
Matemática, se pode retomar as definições de Modelagem Matemática que propõe
“uma metodologia de ensino e aprendizagem que parte de uma situação/tema e
sobre ela desenvolve questões, que tentarão ser respondidas mediante o uso do
ferramental matemático e da pesquisa sobre o tema”. (BIEMBENGUT e HEIN, 2003,
p. 28).
28
Mas, a concepção que parece mais adequada é a proposta por Burak
(1992, p. 62), quando diz que a
"Modelagem Matemática constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo
objetivo é construir um paralelo para tentar explicar, matematicamente, os
fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e
a tomar decisões.”
Desta forma, a Modelagem Matemática, inserida na Educação
Matemática, formula, resolve e elabora expressões que valem não apenas para uma
solução particular, mas que também servem, posteriormente, como suporte para
outras aplicações e teorias.
1.2 O ENSINO DA MATEMÁTICA NOS NÍVEIS FUNDAMENTAL E MÉDIO
O papel que a Matemática desempenha, tanto no Ensino
Fundamental como no Ensino Médio, é extremamente importante para o aluno, pois
o conhecimento gerado nessa área do saber, assim como em outras áreas, é fruto
da construção humana na sua interação constante com o contexto natural, social e
cultural. Nesse contexto, a finalidade da Matemática, nesses níveis de ensino, é
contribuir para a formação da cidadania, proporcionando ao aluno condições de
participar no processo de democratização do seu conhecimento, assim como no
processo de democratização das relações de gênero, de trabalho e dos grupos
sociais. (SMEV, 2006).
Isto significa dizer que o ensino deve dar condições ao aluno de
perceber a interação da Matemática com outras áreas do conhecimento, entendê-la
29
como uma atividade social, proporcionando as condições necessárias para que ele
possa desenvolver estudos de forma mais autônoma que lhe possibilitem maior
capacidade de analisar, criticar e agir para modificar a realidade na qual está
inserida. Ou seja, o aluno ser capaz de agir e interagir com os diferentes tipos de
conhecimentos, a partir da troca entre professor/aluno e aluno/aluno, num processo
contínuo de aprendizagem.
Em documento da Secretaria de Estado de Educação do Paraná
SEED (2005, p. 33), a Educação Matemática “pode e deve estar ao alcance de
todos os alunos, priorizando a análise e a reflexão, de modo a contribuir para que os
alunos se posicionem criticamente em relação às informações e aos
acontecimentos”. Nesse sentido, o professor ao elaborar e/ou selecionar os
conteúdos e atividades deve priorizar aquelas que permitam estabelecer inter-
relações entre os conhecimentos matemáticos, abordando a Educação Matemática
com o uso de conceitos que contribuam para a compreensão crítica do cotidiano e, a
partir destes, deve tratar de conceitos mais complexos sem esquecer, no entanto, a
articulação entre os conteúdos matemáticos e as suas relações intrínsecas às outras
disciplinas.
Já em 1990, no Currículo Básico para a Escola Pública do Estado do
Paraná, assim constava:
(...) aprender Matemática é muito mais do que manejar fórmulas, saber fazer
contas ou marcar X na resposta correta: é interpretar, criar significados, construir
seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber
estes mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de
conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível. (SEED, 1992, p. 66)
30
Naturalmente que o professor deve buscar diferentes metodologias
para embasar o seu fazer pedagógico, mas deve fazer de modo coerente, aplicando
aquelas metodologias que contribuam com sua ação pedagógica, ou seja, que
permitam ao aluno desenvolverem conceitos fundamentais e conhecimentos que
lhes proporcionem uma melhor compreensão da sua realidade e da realidade do
outro.
Há um consenso que a maioria dos estudantes necessitam aprender mais e muitas
vezes diferentes Matemáticas. Não somente os enfoques principais e os conteúdos
matemáticos têm que mudar, mas também a metodologia de ensino. Esta deve
incluir experimentação, investigação e comunicação de idéias Matemática assim
como raciocínio matemático
5
. (COMISIÓN NACIONAL PARA PROFESORES EN
MATEMÁTICAS, 1989, tradução nossa).
Nesse caso, cabe ao professor, em sua prática, fazer uso de
recursos metodológicos que aproximem a teoria à prática, para que o aluno possa
associar o conhecimento matemático aos diversos contextos sociais históricos e
culturais. Um dos recursos utilizados pelo professor é o livro didático adotado na
escola, que, apesar de ser um objeto cultural contraditório que gera intensas
polêmicas e críticas de muitos setores, tem sido “considerado como um instrumento
fundamental no processo de escolarização” (BITTENCOURT, 2006, p.1). Os livros
didáticos surpreendem pela monotonia e repetitividade de exercícios que conduzem
os alunos à atividades de reprodução dos pensamentos elaborados por outros, em
vez de se ocuparem no processo de construção do seu próprio conhecimento. Mas
para Romanatto (2006, p.1):
5
“Hay consenso que la mayoria de los estudiantes necesitan aprender más y muchas veces diferentes Matemáticas. No
solamente los enfoques principales y los contenidos matemáticos tienen que cambiar, sino también la metodología de
enseñanza. Ésta debe incluir experimentación, investigación y comunicación de ideas Matemáticas así como razonamiento
matemático” (COMISIÓN NACIONAL PARA PROFESORES EN MATEMÁTICAS, 1989).
31
O livro didático, como qualquer outro recurso, tem sua importância condicionada ao
uso que o professor dele faça. Não só pelo seu emprego correto, mas sabendo
explorá-lo em função dos objetivos a alcançar, sabendo enfatizar os seus pontos
fortes e anular seus pontos fracos.
Assim, os professores podem vir a ser os promotores de uma
modificação total no ensino, levando o aluno ao uso do raciocínio, abandonado pelos
processos de automatização do pensamento, mas para que isto aconteça, precisam
mudar o seu papel, criando situações, armando dispositivos, suscitando problemas e
organizando contra-exemplos.
1.3 AVALIAÇÃO EM MATEMÁTICA
1.3.1 Avaliação no processo de ensino e de aprendizagem
“O ato de avaliar é exercido pelas pessoas em todos os momentos da
vida diária. De uma forma mais ampla, a todo o momento se emitem juízos, opiniões
que ajudam na tomada de decisões”. (SMEV, 2006, p. 12).
No contexto escolar quando se fala em “avaliação”, as primeiras
idéias que surgem são: avaliação do aluno (realizada pelo professor), notas,
aprovação e reprovação, sucesso e fracasso, prêmio e castigo. Isto é um equívoco,
pois o aluno não é o que, sozinho, faz o sucesso e o fracasso escolar.
Naturalmente que o aluno é o principal sujeito do processo ensino-
aprendizagem, mas não o único a ser avaliado: ele deve ser um dos elementos
desse processo que participará da avaliação, de diversas formas e em diferentes
momentos. Como diz Rodrigues (2006, p. 3), “Antes de se pensar em avaliar o
32
aluno, é necessário que a avaliação seja pensada de uma maneira mais global,
envolvendo tudo e todos que participam do processo educacional que acontece na
escola”. E complementa:
[...] o aluno precisa, sim, aprender e é um personagem muito importante, se não o
mais importante, no contexto escolar. Mas há outros elementos a considerar. É
pensando no aluno, nos seus direitos à educação e à cidadania que a escola deve
se organizar e se estruturar. Essa organização resulta do trabalho de diversas
pessoas, em diferentes níveis do sistema educacional. A forma como uma escola
se acha organizada é expressão das idéias daqueles que dela participam e
daqueles que elaboram as diretrizes para sua organização, seja em nível municipal,
estadual, seja federal.
Se a organização da escola envolve tantas pessoas (direta ou
indiretamente), o primeiro passo é rever as normas, as diretrizes e os parâmetros
que norteiam a avaliação escolar e como pretendem assegurar um ensino de
qualidade. É preciso, pois, refletir sobre as diretrizes para a avaliação da
aprendizagem, emanadas da Lei de Diretrizes e Bases (LDB - Lei n. 9.394/96), dos
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) e das normas complementares.
A LDB quando trata da avaliação na Educação Básica, em seu art.
24, inciso V, estabelece:
[...] V - a verificação do rendimento escolar observará os seguintes critérios: a)
avaliação contínua e cumulativa do desempenho do aluno, com prevalência dos
aspectos qualitativos sobre os quantitativos e dos resultados ao longo do período
sobre os de eventuais provas finais; b) possibilidade de aceleração de estudos para
alunos com atraso escolar; c) possibilidade de avanço nos cursos e nas séries
mediante verificação do aprendizado; d) aproveitamento de estudos concluídos
com êxito; e) obrigatoriedade de estudos de recuperação, de preferência paralelos
ao período letivo, para os casos de baixo rendimento escolar, a serem disciplinados
pelas instituições de ensino em seus regimentos [...] (BRASIL, 1996).
33
Diante desses princípios educativos, a LDB propõe que a prática
pedagógica passe a considerar professor e aluno como “parceiros” no processo
ensino-aprendizagem, apontando como necessária uma mudança de paradigma dos
professores em relação à aprendizagem e à avaliação. Para tanto o professor deve
optar por diferentes instrumentos de avaliação, pois este processo não pode ser
fundamentado apenas em provas bimestrais, mas deve ocorrer ao longo do
processo do ensino e da aprendizagem, de modo a propiciar ao educando múltiplas
possibilidades de expressar e aprofundar a sua visão do conteúdo trabalhado.
No entanto, o modelo de avaliação mais comum nas escolas
brasileiras apresenta procedimentos habituais, caracterizados por Perrenoud (1999,
p.65):
1. Após ter ensinado uma parte do programa, o professor interroga alguns alunos
oralmente ou faz uma prova escrita para toda a turma. 2. em função de seus
desempenhos, os alunos recebem notas ou apreciações qualitativas, que são
registradas e eventualmente levadas ao conhecimento dos pais. 3. ao final do
bimestre, do semestre ou do ano, faz-se uma síntese das notas ou das apreciações
acumuladas sob a forma de uma média, de um perfil, de um balanço qualquer. 4.
combinado a apreciações sintéticas de mesma natureza para o conjunto das
disciplinas ensinadas, esse balanço contribui para uma decisão no final do ano
escolar, admissão ou transferência para determinada habilitação, acesso a
determinado nível, obtenção ou não de um certificado, etc.
Estes procedimentos de avaliação levantam um obstáculo à inovação
pedagógica, impedindo ou retardando mudanças. Perrenoud (1999, p.66) distingue
mecanismos que explicam esta afirmação:
1. A avaliação freqüentemente absorve a melhor parte da energia dos alunos e dos
professores e não sobra muito para inovar. 2. O sistema clássico de avaliação
favorece uma relação utilitarista com o saber. Os alunos trabalham “pela nota”:
todas as tentativas de implantação de novas pedagogias se chocam com esse
minimalismo. 3. O sistema tradicional de avaliação participa de uma espécie de
chantagem, de uma relação de força mais ou menos explícita, que coloca
professores e alunos em campos opostos, impedindo sua cooperação. 4. A
34
necessidade de regularmente dar notas ou fazer apreciações qualitativas baseadas
em uma avaliação padronizada favorece uma transposição didática conservadora.
5. O trabalho escolar tende a
privilegiar atividades fechadas, estruturadas,
desgastadas, que podem ser retomadas no quadro de uma avaliação clássica. 6. O
sistema clássico de avaliação força os professores a preferir os conhecimentos
isoláveis e cifráveis às competências de alto nível (raciocínio, comunicação),
difíceis de delimitar em uma prova escrita ou em tarefas individuais.
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), houve a preocupação
de apresentar aos profissionais da educação, de todo o país, determinada
concepção de avaliação, de ensino e aprendizagem e de escola.
Para o Ensino Fundamental, foram listados os “conteúdos mínimos
de aprendizagens essenciais” quanto aos objetivos estabelecidos para cada ciclo e
componente curricular, precisando as expectativas de aprendizagem e, por
conseguinte, o que seria aferido mediante avaliação. (BRASIL, 1997). Para o Ensino
Médio, as expectativas de resultados a serem aferidos pela avaliação foram
expressas em termos de “competências e habilidades”. (BRASIL, 1999)
Em decorrência, a Câmara de Educação Básica (CEB) estabeleceu
as Diretrizes Curriculares Nacionais, que instituiu e implementou o Sistema de
Avaliação da Educação Básica (SAEB) um instrumento na busca pela eqüidade,
para o sistema escolar brasileiro, o que possibilita a melhoria de condições para o
trabalho de educar com êxito, nos sistemas escolarizados. Coube, então, aos
Conselhos e Secretarias de Educação a formulação e o aperfeiçoamento de
orientações para a melhoria da qualidade do ensino, inclusive com a preposição de
diretrizes para a avaliação do ensino-aprendizagem.
No estado do Paran
á a Secretaria de Estado da Educação (SEED)
editou, as Diretrizes Curriculares de Matemática para o Ensino Fundamental,
propondo que a avaliação se estenda em “todos os momentos do processo do
35
ensino e da aprendizagem e que seja coerente com a proposta pedagógica da
escola e com a metodologia utilizada pelo professor”. (SEED, 2006a, p. 31).
Tratada deste modo, a avaliação deve servir como um dos
componentes que orientam a prática do professor e possibilita ao educando tomar
consciência do seu próprio processo de aprendizagem. Considerando que o
desenvolvimento das ações pedagógicas deve acontecer ao longo do ano letivo,
pode-se dizer que a avaliação, como parte integrante do Planejamento do Processo
de Ensino e de Aprendizagem, apresenta três funções: diagnóstica, formativa e
somativa.
Rodrigues (2006, p. 3-4) analisa essas funções da avaliação e
recomenda que se deve usá-las de acordo com as necessidades:
A função diagnóstica tem por finalidade realizar uma sondagem de conhecimentos
e experiências já disponíveis no aluno, bem como a existência de pré-requisitos
necessários à aquisição de um novo saber. Permite ainda identificar progressos e
dificuldades de alunos e professores diante do objetivo proposto. A função
formativa tem por finalidade proporcionar o feedback (retroalimentação) para o
professor e para o aluno, durante o desenvolvimento do processo ensino-
aprendizagem, propiciando aos envolvidos a correção de falhas, esclarecimentos
de dúvidas e estímulo a continuação do trabalho para alcance do objetivo. [...]
proporciona informações sobre o desenvolvimento do trabalho, adequação de
métodos e materiais, comunicação com o aluno e adequabilidade da linguagem
(estratégias). A função somativa tem o propósito de oferecer subsídios para o
registro das informações relativas ao desempenho do aluno, visando proporcionar
uma medida que poderá ser expressa em uma nota ou conceito sobre o
desempenho do aluno, entendendo que a mesma acontecerá ao final de cada
unidade de ensino ou ao final de cada bimestre ou ainda no final do ano letivo, por
ocasião do Conselho de Classe, visto que esta avaliação é que proporcionará um
diálogo mais objetivo entre os professores.
Isto significa dizer que a avaliação somativa deve contemplar tudo
aquilo que foi visualizado na função diagnóstica e formativa. Portanto, é preciso
ressaltar que provas, testes, trabalhos e pesquisas são instrumentos utilizados na
36
avaliação para colher informações e estabelecer medidas, mas que não podem ser
identificados como processo de avaliação.
Portanto, é necessário que o professor adote uma metodologia
compatível com os pressupostos do que é ensinado, além disso, quando avalia,
deve levar em conta quais conteúdos o aluno domina; como ele se apropria desses
conteúdos; se ele domina a linguagem própria desse conteúdo; se e como ele aplica
esses conteúdos; é capaz de relacioná-los com o seu cotidiano ou com outros
saberes.
Ressalte-se que os procedimentos metodológicos, tanto quanto os
instrumentos avaliativos, necessitam ser elaborados em consonância com os
conteúdos/conceitos, considerando os avanços, desconstruções e reconstruções,
limites e desafios do educando. Tais procedimentos apresentam para o professor o
que necessita ser retomado, entendendo que ambos – professor e educando – são
participantes e sujeitos do próprio processo avaliativo.
De acordo com Vygotsky (1987), o professor é o mediador da
aprendizagem do aluno, facilitando-lhe o domínio e a apropriação dos diferentes
instrumentos culturais. Isto é, o professor é aquele que ajuda o aluno na resolução
de problemas que estão fora do seu alcance, desenvolvendo estratégias para que,
pouco a pouco, possa resolvê-los de modo independente, favorecendo a tomada de
consciência do aluno e a percepção de que ele tem o poder de mudanças e
transformação.
Para a SEED (2006a) em decorrência do contínuo desenvolvimento
da comunidade da Educação Matemática e da pesquisa por ela realizada, existe
uma variedade de abordagens que podem ser utilizadas nas aulas de Matemática,
37
como por exemplo, modelagem, resolução de problemas, jogos, produção de textos,
uso de tecnologias diversas e investigações.
Nesse sentido é necessário desenvolver idéias e experiências que
possibilitem situações de avaliação para mapear o percurso de aprendizagem dos
alunos, prevendo questões para identificar que conteúdos/conceitos já foram
apropriados.
Com isso, o professor pode diagnosticar em que medida os novos
conceitos/conteúdos foram incorporados e o que precisa ser retomado. Trata-se de
uma tarefa que não pode ser realizada por um professor isoladamente, mas requer
um trabalho persistente, desenvolvido em cooperação por equipes de professores,
tanto no nível da escola como num nível mais amplo. (SEED, 1992, p. 77).
Na especificidade da Educação Matemática, a SEED (2006a, p. 33),
pontua como relevantes os seguintes aspectos que devem ser observados pelos
professores:
a) na presença de “erros” dos alunos é importante fazer uma análise cuidadosa
para compreender a origem dessas elaborações; nesse sentido, o professor deve
buscar compreender os caminhos trilhados pelos alunos para explorar as
possibilidades advindas desses “erros”, dado que, muitas vezes, resultam de uma
visão parcial que o educando possui do conteúdo;
b) a avalia
ção não pode ser fundamentada apenas em provas bimestrais, mas
ocorrer ao longo do processo do ensino e da aprendizagem, de modo a propiciar
ao educando múltiplas possibilidades de expressar e aprofundar a sua visão do
conteúdo trabalhado;
c) a avalia
ção deve ser um processo de reelaboração do encaminhamento das
aulas, resignificando-as de modo que diante do diagnóstico possa ser
(re)encaminhado o conteúdo a ser apreendido.
Rodrigues (2006, p. 6), também apresenta um modelo de avaliação,
por ele chamado de “democrático e participativo”, mas que ainda é pouco presente
nas escolas brasileiras, ou seja,
38
“uma avaliação que atenda aos seguintes princípios:
a) valoriza
ção dos aspectos qualitativos da avaliação;
b) preocupa
ção com a avaliação de todo o processo, e não apenas avaliação do
produto;
c) participa
ção de todos os sujeitos envolvidos no processo educativo;
d) maior desenvolvimento e aprendizagem dos alunos, focalizando mais o sucesso
escolar do que a reprovação;
e) preocupa
ção com a avaliação de todos os que participam do processo educativo
escolar e não apenas com a avaliação do aluno.”
Estas idéias, entretanto, não são fáceis de concretizar. A escola vem
reproduzindo um modelo de avaliação calcada nos testes escritos usuais, seja pela
experiência pessoal escolar dos professores, seja pela dificuldade em usar outro tipo
de instrumento.
Nesse sentido, pode-se dizer que as avaliações em Matemática
ainda hoje têm por prática a reprodução de um modelo de ensino, que prioriza a
memorização orientada para um tipo de condicionamento em que o conhecimento
se apresenta pronto e acabado, não sendo levada em consideração a construção de
conhecimento, seguindo “os procedimentos habituais de avaliação”. (PERRENOUD,
1999, p.21).
Um dos maiores propósitos da avaliação é ajudar aos professores a
entender melhor o que sabem os alunos e a tomar decisões significativas sobre
atividades de ensino e aprendizagem. Segundo Zacharias (1998, p.1) “deve-se usar
uma diversidade de métodos de avaliação para melhor avaliar os alunos
individualmente, incluindo provas escritas, orais e demonstrações, as quais devem
todas concordar com o currículo”. Desta forma, todos os aspectos do conhecimento
matemático e suas relações devem ser
valorizados e utilizados para ajudar o
professor a planejar atividades de ensino e aprendizagem.
Zacharias (1998, p.1) afirma que, na prática do ensino da Matemática
e em sua avaliação, é necessário que:
39
[...] aumente: - as discussões sobre Matemática – justificar o pensamento –
escrever sobre Matemática – solução de problemas como enfoque de ensino –
integração de conteúdos – ser um facilitador de aprendizagem – avaliar a
aprendizagem como parte integral do ensino – desenvolver sentido numérico e de
operações – fazer uso de técnicas múltiplas de avaliação que incluam provas
escritas, orais e demonstrações.
Diminua: - memoriza
ção mecânica de regras e fórmulas – respostas únicas e
métodos únicos para encontrar respostas – prática da escrita repetitiva – ensinar a
calcular fora de contexto – enfatizar a memorização – avaliar unicamente para
classificar – ser a fonte única do conhecimento – cálculos complexos e tediosos
com lápis e papel – avaliar contando simplesmente as respostas corretas de provas
ou exames realizados com o único propósito de aprovar ou reprovar.
Analisando estas constatações entende-se que a avaliação no ensino
de Matemática deve contemplar os diferentes momentos do processo de ensino e
aprendizagem, e ser coerente com a proposta pedagógica da escola e com a
metodologia utilizada pelo professor, assim como deve servir como instrumento que
orienta a prática do mesmo e possibilita ao aluno rever sua forma de estudar. “É
importante a sistematização e a explicitação dos objetivos de ensino no trabalho
pedagógico com a Matemática numa mudança de prática docente e, em particular,
do processo avaliativo numa perspectiva qualitativa”. (GITIRANA, 2002, p.3).
1.4 A MATEMÁTICA E O ENSINO: NOVAS PERSPECTIVAS
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) decorrentes da Lei
9394/96 e das Diretrizes Curriculares Nacionais (DCNs) constituem referências para
os Ensinos Fundamental e Médio de todo o país e têm como objetivo garantir a
todas as crianças e jovens brasileiros, mesmo em locais com condições
socioeconômicas desfavoráveis, o direito de usufruir do conjunto de conhecimentos
reconhecidos como necessários para o exercício da cidadania. Não possuem caráter
40
de obrigatoriedade e, portanto, pressupõe-se que serão adaptados às peculiaridades
locais. (PCNs, 1997).
Passado quase dez anos de sua implantação, espera-se que a
comunidade escolar já esteja ciente de que os PCNs não são uma coleção de regras
que pretendem ditar o que os professores devem ou não fazer, mas sim, uma
referência para a transformação de objetivos, conteúdos e didática do ensino.
Um dos méritos dos PCNs foi o fato de ter trazido à tona a discussão
sobre o currículo, porque rompeu com a concepção inercial vigente até então,
associada à idéia da lista fechada de tópicos e objetivos e por ter contribuído para
perturbar a relação passiva de professores, coordenadores e pedagogos com o
currículo.
Em Matemática, os PCNs colocam a avaliação como um dos focos
da discussão sobre o currículo, recuperando temas importantes que faziam parte do
ensino antes do advento da Matemática Moderna, como o cálculo mental e a
estimativa, trazendo para o centro da discussão curricular temáticas e abordagens
não tradicionais como a Etnomatemática, na perspectiva de Matemática para todos.
Também manteve a orientação em torno de abordagens e recursos metodológicos
como resolução de problemas, exploração e uso de jogos e materiais manipuláveis,
história da Matemática e interdisciplinaridade.
Segundo os PCNs (1997) a aprendizagem ocorre pela
problematização da realidade, utilizando-se da Modelagem Matemática e da relação
dialógica entre professor e aluno, onde buscam juntos, pesquisar, identificar e
solucionar problemas. Sob esta perspectiva, considera-se que o aluno aprendeu
significativamente Matemática, quando atribui sentido e significado à mesma,
podendo discutir, justificar e estabelecer relações sobre as idéias matemáticas.
41
Por meio da Modelagem Matemática, há uma troca de
conhecimentos entre professor e aluno, de modo que cada um traz consigo algo da
sua cultura que contribui no processo de ensino e aprendizagem.
Na Modelagem Matemática e de acordo com os PCNs, o currículo
não é algo pré-estabelecido e comum, sendo que cada região deve adaptá-lo de
acordo com os costumes e necessidades do contexto em que está inserido. Como
diz D’Ambrósio (2003), ao pensar no currículo como uma estratégia da ação
pedagógica, deve-se considerar solidariamente os objetivos, os conteúdos e os
métodos como coordenadas de um ponto no espaço.
Destaquem-se ainda os PCNs para o Ensino Médio, que objetivaram
auxiliar os educadores na reflexão sobre a prática diária em sala de aula e servir de
apoio ao planejamento de aulas e ao desenvolvimento do currículo da escola.
A interdisciplinaridade, para os PCNs do Ensino Médio, é a
mobilidade dos conhecimentos das mais diversas disciplinas, uma interação entre
saberes, independente de separação por matérias. Por exemplo, em uma aula de
química pode-se utilizar os conhecimentos da biologia, da física, da Matemática e
assim sucessivamente, fazendo interfaces com qualquer disciplina. (PCNEM, 1999).
Nessa visão, pretende-se que o aluno do Ensino Médio perceba a
Matemática como um sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem de
comunicação de idéias permitindo modelar a realidade e interpretá-la. Assim, os
números e a álgebra como sistemas de códigos, a geometria na leitura e
interpretação do espaço, a estatística e a probabilidade na compreensão de
fenômenos em universos finitos são subáreas da Matemática especialmente ligadas
às aplicações.
42
A Matemática no Ensino Médio não possui apenas o caráter
formativo ou instrumental, devendo ser vista como ciência, com suas características
estruturais específicas. Os PCNs pretendem que o aluno perceba que as definições,
demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir
novos conceitos e estruturas a partir de outros e que servem para validar intuições e
dar sentido às técnicas aplicadas.
A essas concepções da Matemática no Ensino Médio, une-se a idéia
de que, no Ensino Fundamental, os alunos devem ter se aproximado de vários
campos do conhecimento matemático e, agora estão em condições de utilizá-los e
ampliá-los e desenvolver de modo mais amplo capacidades tão importantes quanto
as de abstração, raciocínio em todas as suas vertentes, resolução de problemas de
qualquer tipo, investigação, análise e compreensão de fatos matemáticos e de
interpretação da própria realidade.
A própria avaliação deve ser também tratada como estratégia de
ensino, de promoção do aprendizado da Matemática, assumindo um caráter
eminentemente formativo, favorecendo o progresso pessoal e da autonomia do
aluno, integrada ao processo de ensino-aprendizagem, para permitir ao aluno
consciência de seu próprio caminhar em relação ao conhecimento e permitir ao
professor controlar e melhorar sua prática pedagógica. (PCNEM, 1999).
Isto significa dizer que a avaliação se modifica quando se assume
uma outra postura quanto aos procedimentos pedagógicos e resposta dos alunos
frente ao que é ensinado em sala de aula. Mas, além do desempenho dos alunos, a
avaliação também deve abranger o próprio processo de ensino.
É importante lembrar que no desenrolar do processo são necessárias
adaptações em relação aos procedimentos de avaliação. Não se trata de fixar uma
43
única forma de avaliar, mas verificar quando o aluno atua espontaneamente, na
mediação e possui o espírito de cooperação, assiduidade, responsabilidade na
execução das atividades propostas, sejam estas individuais ou coletivas. (PCNEM,
1999). Dar sentido a avaliação, torna-se imprescindível.
Este tipo de avaliação pode ser percebida quando da utilização da
Modelagem Matemática enquanto Metodologia de Ensino alternativo.
Este capítulo tratou sobre a Matemática no contexto da Educação
Matemática em que aborda o ensino de Matemática na Educação Básica, analisou
elementos da avaliação sob os aspectos da aprendizagem.
Abordou ainda, a Matemática e o ensino na perspectiva da lei
9394/96 que trata das Diretrizes e Bases da Educação Nacional.
44
CAPÍTULO II
A MODELAGEM MATEMÁTICA: CONSIDERAÇÕES HISTÓRICAS
2.1 MODELAGEM MATEMÁTICA: GÊNESE E DESENVOLVIMENTO
As primeiras manifestações matemáticas surgiram da necessidade
do homem primitivo, de quantificar, contar e realizar trocas. De fato, ao longo do
processo de desenvolvimento histórico, esse conhecimento foi sendo desenvolvido a
partir das necessidades de sobrevivência, fazendo com que os homens,
gradativamente, elaborassem códigos de representações, sejam de quantidades ou
dos objetos por eles manipulados.
Para Ohse (2005), desde que o homem começou a observar os
fenômenos naturais e verificar que os mesmos seguiam princípios constantes, ele
constatou que estes fenômenos podiam ser expressas por meio de "fórmulas". Este
princípio levou a utilização da Matemática como uma ferramenta para auxiliar estas
observações. Este é o princípio da Matemática como um modelo, ou seja, como
modelar matematicamente o mundo em que se vive e suas leis naturais.
Na opinião de Rosa e Orey (2004, p. 1),
“se o sistema matemático é utilizado constantemente por um determinado grupo
cultural, como um sistema baseado numa prática cotidiana, capaz de resolver
situações-problema reais, este sistema de resolução pode ser descrito como
Modelagem”.
Souza e Pereira (2005, p. 4), partindo dessas considera
ções,
definem Modelagem Matemática como “a arte de expressar por intermédio de
linguagem Matemática situações-problema de nosso meio”, afirmando que esta
45
metodologia tem estado presente desde os tempos mais primitivos, ou seja, a
Modelagem é tão antiga quanto a própria Matemática, surgindo de aplicações na
rotina diária dos povos antigos.
“Hoje, a Modelagem constitui um ramo próprio da Matemática que tenta traduzir
situações reais para uma linguagem Matemática, para que, por meio dela, se
possa melhor compreender, prever e simular ou, ainda, mudar determinadas vias
de acontecimentos, com estratégias de ação, nas mais variadas áreas de
conhecimento” (SOUZA, 2005, p.2).
Genericamente, pode-se dizer que Matemática e realidade são dois
conjuntos disjuntos e a Modelagem é um meio de fazê-los interagir. Daí, as
colocações de Biembengut e Hein (2003, p.13,
6
apud SOUZA; PEREIRA, 2005), de
que a Modelagem Matemática é uma arte, pois formula, resolve e elabora
expressões que valem não apenas para uma solução particular, mas que também
servem, posteriormente, como suporte para outras aplicações e teorias.
Mas, para conhecer, entender e explicar como determinadas
pessoas ou grupos sociais utilizaram ou utilizam a Modelagem Matemática, é preciso
rever a História da Matemática. Esta revisão é bastante significativa, já que, como
bem o disseram Biembengut e Hein (2003
7
apud ROSA e OREY, 2005, p. 4),
oferece uma oportunidade de “penetrar no pensamento de uma cultura e obter uma
melhor compreensão de seus valores, sua base material e social, dentre outras
vantagens”.
Portanto, a localização de situações Matemáticas, no tempo e no
espaço, permite compreender como eram expressos os interesses e como as
manifestações relacionadas à modelagem Matemática vêm ocorrendo, desde os
6
BIEMBENGUT, M.S; HEIN, N. Modelagem Matemática no ensino. São Paulo: Contexto, 2003.
7
Ibid., p. 137.
46
povos primitivos, passando pelos egípcios, gregos, babilônios e outros povos da
antiguidade, até a contemporaneidade.
2.2 MODELAGEM NA PRÉ-HISTÓRIA E CIVILIZAÇÕES ANTIGAS
O homem primitivo, ao sentir a necessidade de utilizar símbolos que
servissem para registrar, representar e comunicar as quantidades que percebia em
seu meio ambiente passou a usar parte de sua racionalidade e começou a elaborar
alguns artifícios que possibilitaram resolver seus problemas de contagem. Assim, por
meio dos recursos oferecidos pela natureza, ou seja, por meio de símbolos e
relações que pudessem ser socialmente compartilhados foram, aos poucos, criando
seus modelos matemáticos, ao mesmo tempo em que forçavam o desenvolvimento
da modelagem Matemática. (CHAVES, 2005).
Para exemplificar as situações-problema percebidas pelo homem
primitivo, Gundiack (1992) destaca suas necessidades, em determinar a quantidade
dos membros de sua tribo, de carneiros de seu rebanho, dos animais que precisava
caçar para sustentar a si próprio e sua família, por quantos dias a comida seria
suficiente, dentre outras situações.
E mesmo que o período pré-histórico tenha sido marcado por um
baixíssimo nível intelectual, científico e matemático, não se pode negar que na
busca de soluções para os problemas enfrentados no cotidiano, o processo utilizado
na época, serviu para abrir caminhos não só para a criação das grandes civilizações,
mas também para tudo aquilo que cerca as construções Matemáticas. (OHSE,
2005).
47
Como se vê, o conhecimento matemático construído e a sua
utilização não foram feitos somente por matemáticos e cientistas, mas também, por
maneiras diferentes, por todos os grupos sociais, que, ao longo da história,
desenvolveram e utilizaram as habilidades necessárias para contar, localizar, medir,
representar e explicar, de acordo com as suas necessidades e interesses.
O estudo das civilizações antigas está compreendido entre 4.000 a
30 a.C. e envolve os povos egípcios, babilônicos e gregos. Por meio da História,
observa-se que a Matemática dessa civilização estava sempre ligada à Astronomia,
tanto que os astros eram estudados com objetivos práticos, como medir a passagem
do tempo (fazer calendários) para prever a melhor época para o plantio e a colheita,
ou com objetivos mais relacionados à astrologia, como fazer previsões do futuro, já
que acreditavam que os deuses do céu tinham o poder da colheita, da chuva e
mesmo da vida.
Foram as necessidades relacionadas à irrigação, à agricultura e à
navegação que concederam à Astronomia o primeiro lugar nas ciências, o que
determinou o rumo da Matemática.
2.2.1 Civilização Egípcia
Segundo Ohse (2005)
A civilização egípcia desenvolveu-se ao longo de uma extensa faixa de terra fértil
que margeava o rio Nilo, tendo este se prestado para que grupos humanos aí se
estabelecessem. Todos os períodos históricos egípcios tiveram, basicamente, o
mesmo aspecto sócio-político e econômico, bem como matemático e científico.
Somente com a invasão pelos romanos, no século I a.C., é que ocorreu um
rompimento com sua cultura milenar.
48
Tudo o que hoje se sabe a Matemática dos antigos egípcios se
baseia em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou. Uma vez
que estes papiros são compostos por problemas e das suas resoluções, alguns dos
quais elementares, supõe-se que eles tinham intenções puramente pedagógicas e
que eram basicamente destinados ao ensino dos funcionários do estado, dos
escribas. Não se sabe se os egípcios tinham, ou não conhecimentos matemáticos
mais avançados, no entanto, os monumentos por eles construídos levam a pensar
que na realidade os arquitetos eram possuidores de conhecimentos não revelados
nos papiros. Outros papiros, da mesma época, são o papiro de Berlim, que contém
dois problemas que envolvem equações do 2º grau e o Papiro de Kahun. (HISTÓRIA
da Matemática no Egito, 2005).
É nesse sentido que Ohse (2005), considera que a Matemática
egípcia era essencialmente prática, voltada para a resolução de problemas do
cotidiano, oferecendo soluções para alguns dos problemas que se apresentavam,
como também propunha problemas teóricos que só poderiam ser resolvidos dentro
da própria Matemática.
Como exemplo, o autor cita as soluções apontadas, por meio de
cálculos astronômicos, para resolver as situações de enchentes do Rio Nilo e,
baseando-se nesses cálculos, construíram um calendário com 12 meses de 30 dias.
“Também desenvolveram outros ramos da Matemática e, por meio deles,
construíram obras hidráulicas, reservatórios de água e canais de irrigação no rio,
drenagem dos pântanos e regiões alagadas”. (OHSE, 2005).
Desse modo, pode-se afirmar que a Matem
ática egípcia foi um dos
pilares da Matemática grega, a qual foi a base da Matemática moderna. Isto em
geometria, trigonometria ou mesmo na Astronomia. Não se pode negar, pois, que os
49
primeiros exercícios de modelagem Matemática foram feitos pelos povos egípcios e
babilônicos.
2.2.2 Civilizações da Mesopotâmia
A Babilônia era uma das cidades da Mesopotâmia, região a sul da
Ásia, e situava-se no Oriente Médio, no atual Iraque e Síria e terras circundantes,
principalmente. Por estar situada nessa região geográfica, a região estava mais
sujeita às invasões e conquistas de vários povos, ao contrário do que ocorreu no
Egito. A civilização mesopotâmica (também chamada babilônica) se desenvolveu no
mesmo período que a egípcia. (OHSE, 2005).
Os Mesopotâmicos foram os primeiros a cultivar a Astronomia e
parece justo reconhecê-los como fundadores dessa ciência, apesar de terem sido
também os criadores da Astrologia. Realmente, a princípio, observavam os astros
por motivos místicos, porém, com o tempo, deixaram as suas pretensões místicas
para se limitarem a observar pela simples observação. Assim fazendo, passaram de
astrólogos a astrônomos. “A partir da análise dos fenômenos celestes, surgiram as
primeiras aplicações de métodos matemáticos, que expressavam as variações
observadas nos movimentos da Lua e dos planetas”. (A ASTRONOMIA através dos
tempos, 2005).
A Matemática mesopotâmica foi desenvolvida pelos sacerdotes,
que detinham o saber nessa civilização e a introdução desta ciência, Astronomia.
Foi o avanço fundamental na história da ciência. Adotavam o tipo de escrita em
tábuas de argila, onde faziam registros de Matemática e de economia. Pode-se,
50
então dizer, que os mesopotâmicos faziam uso da modelagem Matemática,
considerando-se que essas tábuas continham listas de problemas que revelavam o
dia-a-dia da população: tijolos necessários para construir paredes, canais, diques e
escavações, irrigação de campos, quantidade de cereal produzido num terreno,
portas e canas encostadas a uma parede, peso original de uma pedra, empréstimos,
trabalho de diversos tipos metalúrgico, produção de tecidos e cordas, carregamento
de material, dentre outros. (HISTÓRIA da Matemática na Babilônia, 2005).
Essa descrição mostra que a Matemática babilônica tinha um nível
elevado e, por estar a Mesopotâmia situada no centro do mundo conhecido da
época, propiciou grandes invasões e contatos com outros povos, daí, seu relevante
papel para o desenvolvimento da Matemática de outros povos, como por exemplo,
do povo grego.
2.2.3 Civilização Grega
A Matemática grega sofreu as influências dos problemas de
administração e da Astronomia desenvolvidas no Oriente e o contato entre as duas
Matemáticas (grega e oriental) foi extremamente importante e produtivo,
principalmente no período de 350 a 200 a.C. Teve como principal estimulador Tales
de Mileto, considerado o “pai da Matemática moderna”. (OHSE, 2005).
A base da revolução Matemática exercida pela civilização grega partiu de uma
idéia muito simples: enquanto os egípcios e os babilônicos perguntavam “como”,
os gregos passaram a indagar o “por quê”. Assim, a Matemática que até aquele
51
momento era essencialmente prática, passou a ter seu desenvolvimento voltado
para conceituação, teoremas e axiomas. (OHSE, 2005, p. 9).
Entre os povos antigos, especialmente os gregos, a Matemática
sempre esteve voltada às necessidades relacionadas com a irrigação, agricultura e
com a navegação que concederam à astronomia o primeiro lugar nas ciências,
determinando o rumo da Matemática. No caso, os gregos, elaboravam estudos
sobre os modelos matemáticos já existentes, generalizando-os, sistematizando-os,
ao mesmo tempo em que, por conseqüência, acabaram por descobrir e construir
novos modelos. Assim, a Matemática que até este momento era essencialmente
prática, passou a ter seu desenvolvimento voltado para conceituação, teoremas e
axiomas. Durante o período grego, vários filósofos e matemáticos deram sua
contribuição ao desenvolvimento da Matemática, tendo aí surgido os cientistas, que
dedicavam sua vida à procura do conhecimento, como por exemplo, Tales de Mileto,
Pitágoras, Platão, Eudoxo, Euclides, Arquimedes e Eratóstenes. (OHSE, 2005).
O trabalho mais famoso de Euclides é a coleção “Os Elementos”,
que contém aplicações da álgebra à geometria, baseados numa dedução
estritamente lógica de teoremas, postulados, definições e axiomas. Até os dias de
hoje, este é o livro mais impresso em Matemática. Diz Ohse (2005, p. 12) que “sem
a axiomatização desenvolvida pelos gregos, não haveria o desenvolvimento da
Matemática abstrata e dos conceitos, postulados, definições e axiomas tão
necessários à nossa Matemática”.
52
2.3 MODELAGEM MATEMÁTICA NA CIVILIZAÇÃO MODERNA E NA
CONTEMPORANEIDADE
Segundo Eves (2002), foi no século XVII que a História da
Matemática teve maior importância, quando se abriram novos e vastos campos para
as pesquisas Matemáticas. Na época, surgiram grandes cientistas e pensadores,
que impulsionaram a matemática, dentre os quais, o astrônomo polonês Nicolau
Copérnico, que buscou compreender o comportamento dos astros e tudo que lhes
era relativo e que elaborou vários modelos matemáticos, muitos deles congregados
no que hoje se chama Trigonometria.
Outro importante astrônomo que contribuiu notavelmente para a
Matemática, no início do século XVII, foi o italiano Galileu Galilei, o primeiro a usar
fórmulas matemáticas para descrever fenômenos naturais. Daí, considera-se Galileu
Galilei, o “pai da Modelagem Matemática”, método empregado com sucesso na
ciência moderna. (SAMPAIO, 2004). Também para René Descartes, a Matemática
era a grande modeladora da ciência, pois, entre todas as áreas do conhecimento só
a Matemática era certa e tudo deveria ser nela baseado. (EVES, 2002).
Burak (1992) e Chaves (2005) destacam Isaac Newton como um
importante modelador matemático, pois foi dando uma abordagem Matemática para
as observações feitas sobre os fenômenos da natureza que ele desenvolveu a
Física e contribuiu com importantes ferramentas de cálculo para a Matemática.
O progresso da Matemática culminou com o surgimento do Cálculo
Diferencial e Integral, no fim do século XVI e início do século XVII, com Isaac
Newton e Leibnitz, quando se possibilitou a correlação de dois conceitos muito
importantes: tempo e espaço. Com tal cálculo é possível otimizar modelos
53
matemáticos ou, em outras palavras, torná-los mais representativos em relação ao
objeto de estudo: a Modelagem Matemática. (CHAVES, 2005).
Até o século XIX, a Matemática Aplicada estava ligada à Física e à
Engenharia. Depois, se estendeu a outros campos, tais como, a Psicologia, a
Geografia Geral e Humana e a Economia, para citar apenas algumas ciências. Nas
últimas décadas, inicia-se um fluxo maior e um interesse explícito em Modelagem
Matemática, em todas as ciências, principalmente, nas ciências voltadas à
Educação. Nesse sentido, muitos países passaram a desenvolver experiências
sobre o ensino das aplicações Matemáticas, com o processo da construção de
modelos nos cursos de formação de professores.
A expansão do ensino da Matemática causou inquietações e
preocupações com a qualidade da aprendizagem de matemática abrindo espaço
para a Educação Matemática,
Burak (1992) comenta que a partir dos movimentos voltados para a
Educação Matemática, houve um interesse maior para a modelagem Matemática,
tanto, que algumas universidades e centros politécnicos, a exemplo da Faculdade de
Matemática do Instituto de Tecnologia Educacional da Universidade Aberta, da
Inglaterra, começaram a promover cursos envolvendo a Modelagem Matemática.
2.4 MODELAGEM MATEMÁTICA NO BRASIL
No Brasil, embora as discussões sobre Modelagem Matemática na
perspectiva da Educação Matemática tenham iniciado na década de 70 até os anos
80, as universidades brasileiras ainda não tinham a preocupação em proporcionar
aos acadêmicos dos cursos de licenciatura, o estágio em indústrias ou na
54
agricultura, o que lhes permitiria ter uma visão mais profunda das aplicações
Matemáticas, nesses setores, dando-lhes a idéia do desenvolvimento do processo
de modelagem, que resultaria na construção de modelos. Para Burak (1987, p. 24),
“a falta de tal experiência gera a insegurança e se constitui em forte obstáculo à
adoção do estudo com modelos matemáticos, no ensino elementar”.
A partir da década de 1980, alguns professores da Universidade
Estadual de Campinas (Unicamp), fortaleceram e consolidaram as discussões sobre
modelagem, cuja difusão se efetuou, em particular, pelo professor Dr. Rodney
Carlos Bassanezi e seus orientandos. A Modelagem Matemática foi trabalhada a
partir das experiências conduzidas por um grupo de professores de Biomatemática
que, ao abordarem a Matemática a partir de temas sócio-culturais das pessoas,
trabalhavam com modelos matemáticos. Barbosa (2000) recorda que, a princípio, os
estudos envolviam modelos de crescimento cancerígenos.
Já em ambiente escolar formal, segundo Silveira e Ribas (2005), a
idéia da modelagem foi materializada, pela primeira vez, pelo professor Dr. Rodney
Carlos Bassanezi, quando do início dos cursos de especialização para professores,
em 1983, na Universidade Estadual do Centro-Oeste (UNICENTRO), em
Guarapuava, região Centro-Oeste do Estado do Paraná. Revendo os arquivos da
UNICENTRO, constatou-se que esse curso de especialização foi realizado no
período de 12 de janeiro de 1983 a 27 de janeiro de 1984, quando foram ministradas
nove disciplinas, sendo quatro voltadas para a Modelagem Matemática
(Etnomatemática, Módulos e Modelos Matemáticos).
Esta iniciativa foi a alavanca e não tardou muito para que as
experiências com Modelagem Matemática inspirassem outras iniciativas, desta
modalidade, em cursos regulares. O Paraná aderiu integralmente a esta proposta,
55
tendo vários pólos distribuídos pelo Estado, com vistas à capacitação de
professores, nesta perspectiva.
Mas, somente em janeiro de 1988 é que os Educadores
Matemáticos Brasileiros organizam-se em uma associação própria, durante o
Encontro Nacional de Educação Matemática, realizado em Maringá (PR),
denominando-o de Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM). Com o
objetivo de aprimorar a formação dos Educadores Matemáticos, a SBEM promove, a
cada três anos, o Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM) e as
regionais promovem, a cada dois anos, o Encontro Regional de Educação
Matemática. (PETRONZELLI, 2002).
Posteriormente, a Modelagem Matemática foi introduzida nos
programas de Mestrado em Ensino de Matemática, na UNESP/Campus de Rio
Claro, quando angariou adeptos, pois “a grande preocupação sentida consistia em
encontrar formas alternativas para o ensino de Matemática que trabalhassem ou que
tivessem a preocupação de partir de situações vivenciadas pelo aluno do ensino de
1º e 2º graus, atualmente ensino Fundamental e Médio”. (SILVEIRA; RIBAS, 2004).
Em novembro de 1999, foi realizada a 1ª Conferência Nacional de
Modelagem e Educação Matemática (CNMEM), em Rio Claro, Estado de São Paulo.
A II CNMEM foi realizada pela Universidade São Francisco/Campus de Itatiba (SP),
em outubro de 2001, com participação bastante representativa das regiões do país.
Em outubro de 2003, mostrando a consolidação da 2ª Conferência no
calendário da Educação Matemática no Brasil, ocorre a III CNMEM, com o tema
“Modelagem na Perspectiva da Educação Matemática”, organizada pela
Universidade Metodista de Piracicaba/Campus de Taquaral. Aqui também se
observa um crescimento do evento em relação à edição anterior. A IV CNMEM
56
aconteceu em novembro de 2005, na Universidade Estadual de Feira de Santana,
Estado da Bahia.
Além das Conferências que acontecem a cada dois anos, têm sido
realizados encontros, seminários e palestras sobre a modelagem Matemática, em
todo o país, assim como elaboradas pesquisas científicas (dissertações e teses),
abordando a Modelagem Matemática. (UEFS, 2005).
É importante lembrar que todas as descobertas Matemáticas
realizadas pelos povos pré-históricos, egípcios e babilônicos serviram como subsídio
para a Matemática desenvolvida pelos gregos. E todo desenvolvimento tecnológico
obtido na contemporaneidade, tem como ponto de partida a Matemática Grega. Foi
esta que permitiu o desenvolvimento da Matemática contemporânea, enfocada na
perspectiva da Modelagem Matemática.
2.5 MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA
A Modelagem Matemática tem o objetivo de interpretar e
compreender os mais diversos fenômenos do nosso cotidiano e se trabalhada de
maneira criativa e motivadora, pode proporcionar diversos benefícios, como
facilitação da aprendizagem, desenvolvimento do raciocínio, desenvolvimento do
aluno como cidadão crítico, compreensão do papel sócio-cultural da Matemática
tornando-a mais importante e agradável.
Os trabalhos precursores sobre a Modelagem Matemática aplicada
na Educação Básica são de Burak (1987), Biembengut (1990), Alexandrina (1992) e
57
mais recentemente, dentre outros, os trabalhos de Caldeira (1998) e Barbosa (2001)
como disseminadores da Modelagem.
Burak (1998) propôs as seguintes etapas para o encaminhamento do
trabalho em sala de aula:
a) Escolha do tema;
b) Pesquisa exploratória;
c) Levantamento do(s) problema(s);
d) Resolução do(s) problema(s) e o trabalho com a matemática no
contexto do tema;
e) Análise crítica da(s) solução(ões).
O processo da Modelagem tem início com a escolha do tema
de acordo com o interesse ou afinidade dos alunos, podendo o professor utilizar
estratégias que facilitem aos alunos a escolha de um assunto motivador e
abrangente.
O papel que o professor desempenhará é de fundamental
importância para o sucesso da experiência. Ele deve dar liberdade aos alunos,
atuando como mediador em relação ao ensino-aprendizagem, levando o aluno a
pensar e refletir sobre os problemas envolvidos no tema escolhido.
Definido o tema e os grupos, pode-se iniciar a fase exploratória,
onde serão coletadas informações através de entrevistas, visitas e pesquisas
bibliográficas. Esta etapa é muito rica, pois o grupo se insere no contexto conforme
o tema. Os dados a serem colhidos referem-se aos aspectos quantitativos e
qualitativos do assunto escolhido, fornecendo elementos necessários para a
formulação dos problemas, a princípio em linguagem corrente e posteriormente a
tradução para a linguagem matemática, estabelecendo relações entre as variáveis
58
do problema. O contato com outras realidades é um aspecto positivo na formação de
um aluno mais dinâmico e crítico.
Após conhecer os aspectos envolvidos na pesquisa exploratória
passa-se para a construção dos problemas, os quais apresentam características
distintas dos problemas apresentados pela maioria dos livros textos, pois são
elaborados a partir dos dados coletados na pesquisa de campo, favorecendo a
compreensão de uma determinada situação.
Essa fase favorece a formulação e a construção do pensar
matemático. A busca e organização dos dados, beneficia, ainda, o trabalho com os
conteúdos matemáticos, que são ensinados à medida em que os problemas exigem,
podendo acontecer em momentos distintos dos observados no ensino usual. Neste
momento o professor terá a oportunidade de mostrar a relação entre os conteúdos
matemáticos e a realidade diária dos alunos, dando significado à aprendizagem,
aguçando o seu interesse e proporcionando-lhe o despertar de sua criatividade para
a resolução de problemas.
A última etapa da Modelagem destina-se a discutir e analisar a
solução encontrada para observar a sua coerência e consistência, desenvolvendo
no aluno o senso crítico e argumentação lógica.
2.6 A AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM NA MODELAGEM MATEMÁTICA
A avaliação é o momento na qual o professor estuda e interpreta os
dados da aprendizagem e de seu trabalho, tendo como finalidade acompanhar e
59
aperfeiçoar o processo de aprendizagem dos alunos, diagnosticando seus
resultados e atribuindo-lhe valor.
Como reorientação, a avaliação deve ser contínua, permitindo ao
aluno acompanhar o seu progresso e ao professor reorientar suas atividades e
oferecer assistência quando necessário.
Também é o momento em que o aluno se conscientiza de seu
desempenho escolar pela análise e interpretação de resultados que ele deve fazer
acerca de si mesmo. O aluno também é responsável pelo seu processo de
aprendizagem, do acompanhamento de seus progressos e fracassos.
Para a LDB a verificação do rendimento escolar deve priorizar a
avaliação contínua e cumulativa do desempenho do aluno, optar por diferentes
instrumentos de avaliação e não apenas fundamentar-se em provas bimestrais. E
mais importante que saber o que o aluno aprendeu em Matemática é saber como o
que ele aprendeu, produziu nele mais competência para se inserir na realidade
vivida.
Com relação a avaliação de aprendizagem na Modelagem
Matemática, Biembengut (1999) considera dois aspectos importantes que devem ser
levados em conta: avaliação como fator de redirecionamento do trabalho do
professor e avaliação para verificar o grau de aprendizado do aluno, podendo
analisá-lo através da qualidade dos questionamentos levantados, da pesquisa
elaborada pelo aluno, da adequação da solução, provas escritas e exercícios do tipo
convencional que meçam o grau de aprendizagem do conteúdo específico e ainda
pela observação quanto o grau do interesse e participação.
Barbosa (2006) sugere uma avalia
ção através de relatórios,
analisando o grau de desenvolvimento do aluno e seu processo de evolução, ou
60
seja, o que ele realmente aprendeu através da Modelagem Matemática, tirando do
professor aquele compromisso com provas e modelos prontos para algo mais aberto
a discussões.
As alunos podem estar sendo avaliados de maneira contínua
durante o transcorrer de suas atividades, levando em consideração a participação,
criatividade, capacidade de generalização, iniciativa, interpretação, compreensão e
conclusão das atividades propostas. Pode ainda ser complementada com uma auto-
avaliação e/ou uma avaliação do grupo, deixando assim, a avaliação de ser um
problema e um terror para os alunos, para se tornar um auxílio no momento de se
repensar um ou outro modo de trabalhar com determinados conteúdos. “Nesta
prática educativa a avaliação deverá ter sempre o caráter de reorientação do
método”. (BURAK, 1992, p.315).
Este capítulo tratou da Modelagem Matemática sob um ponto de
vista mais histórico e abrangeu desde a pré-história e as civilizações antigas até a
Contemporaneidade, enfocando aspectos da Modelagem Matemática no Brasil, no
ensino de Matemática na Educação Básica e na avaliação da aprendizagem.
No próximo capítulo será apresentada a descrição dos trabalhos de
Modelagem Matemática do Curso de Especialização (lato sensu) em Ensino da
Matemática, promovido pela Fundação Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e
Letras de Guarapuava (FAFIG), pela Universidade Estadual do Centro-Oeste
(UNICENTRO) e pela Faculdade de Ciências Humanas de Francisco Beltrão
(FACIBEL), nas décadas de 1980 e 1990.
61
CAPÍTULO III
MODELAGEM MATEMÁTICA E O ENSINO DE MATEMÁTICA
3.1 A MODELAGEM NOS CURSOS DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES:
PRIMEIRAS INICIATIVAS
Este capítulo apresenta uma retrospectiva histórica do trabalho com
a Modelagem na Faculdade Estadual de Filosofia Ciências e Letras de Guarapuava
– FAFIG, hoje Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO, em 1982, no
âmbito da Pós-graduação lato-sensu. Descreve as primeiras iniciativas de trabalho
com a Modelagem nos cursos para professores. São seis projetos com seus
respectivos sub-projetos atendendo aos três níveis de ensino. Em seguida, foram
descritos três trabalhos envolvendo a Modelagem, frutos de experiências reais em
sala de aula, já no início da década de 1990.
Após a descrição buscou-se levantar e analisar aspectos relativos à
metodologia utilizada, os tipos de problemas envolvidos, as concepções de ensino e
de aprendizagem presentes nos trabalhos desse dois períodos, bem como a visão
de currículo e outros aspectos que pudessem levantar enfoques diferenciados de
encaminhamentos no trabalho com a Modelagem.
A descrição dos trabalhos, nos dois momentos, bem como seus
encaminhamentos e a aplicação da Modelagem na situação de sala de aula, estarão
fornecendo os dados para responder ao problema da investigação.
62
3.2 OS PRIMEIROS TRABALHOS DESENVOLVIDOS NA FAFIG/UNICENTRO
No ano de 1983, por iniciativa de um grupo de professores do
Instituto de Matemática, Estatística e Ciências da Computação - IMECC da
Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP – Campinas – São Paulo,
coordenados pelo Professor Doutor Rodney C. Bassanezi, teve início uma
experiência pioneira no âmbito da Educação, no ensino de Matemática, no Brasil
com a aplicação da Modelagem Matemática em Cursos de especialização para
professores dos três níveis de ensino: 1° Grau, 2° Grau (hoje ensino fundamental e
médio, respectivamente) e ensino superior.
Um desses cursos foi desenvolvido na Fundação Faculdade
Estadual de Filosofia Ciências e Letras de Guarapuava – FAFIG, hoje Universidade
Estadual do Centro Oeste, UNICENTRO no período de janeiro de 1983 a janeiro de
1984. A estrutura curricular do curso estava constituída por nove disciplinas, sendo
quatro específicas de Modelagem Matemática: Etnomatemática e o Ensino, Módulo
de Aprendizagem I, Módulo de Aprendizagem II e Modelos Matemáticos I e II. Além
dessas disciplinas, os pós-graduandos também cursaram Metodologia Científica
Aplicada e participaram de duas palestras sobre Estudos de Problemas Brasileiros I
e II.
O grupo estava constituído por 36 participantes, professores dos
três níveis de ensino.
A turma foi dividida em pequenos grupos que desenvolveram os
projetos propositivos, envolvendo temas, nos quais havia possibilidades de
aplicação da Modelagem Matemática para os vários níveis de ensino.
63
Os projetos apresentados pelos pós-graduandos versavam sobre os
seguintes temas: Horticultura, Marcenaria, Jogos Infantis, Tecnologia Popular em
Pequenas Construções, Suinocultura e Cetra.
Como complemento dos projetos os alunos deveriam ainda,
apresentar relatórios das atividades desenvolvidas, bem como uma auto-avaliação.
Cada projeto era constituído por 4 subprojetos. Esses subprojetos
envolviam o trabalho com a Modelagem Matemática nos níveis de ensino já
mencionados.
Cabe ressaltar que todos os subprojetos de número 1 eram parte
integrante da disciplina de Etnomatemática e o Ensino. Já os de número 2
integravam a disciplina Módulos de Aprendizagem I. Os subprojetos de número 3
foram desenvolvidos na disciplina de Módulos de Aprendizagem II. Os subprojetos
de número 4 foram objetos da disciplina de Modelos Matemáticos I e II. Em relação
aos subprojetos de número 4 encontram-se nos arquivos da UNICENTRO apenas o
material referente ao projeto Horticultura, os demais não foram encontrados.
3.2.1 Projeto Horticultura
Este projeto envolveu 5 (cinco) professores
Subprojeto 1
Este subprojeto tratou das hortali
ças. Definido o tema o grupo
buscou coletar dados sobre o assunto. Dentre as várias possibilidades para a coleta
64
de dados o grupo escolheu uma propriedade às margens do Rio Jordão, distante
7km do município de Guarapuava.
Com a definição do local, o grupo passou à elaboração de
instrumentos que seriam aplicados junto ao proprietário da referida propriedade. Os
instrumentos aplicados com o propósito de coletar, entre outros, dados sobre a
propriedade, tipos de hortaliças, formas de plantio, época, comercialização e custos
de forma a poder se fazer um estudo mais aprofundado do tema.
Complementando esta etapa, o grupo realizou ainda, a coleta de
dados em alguns estabelecimentos comerciais, atacado e varejo, de cinco produtos
plantados na horta da propriedade visitada: repolho, tomate, pepino, pimentão e
alface.
Com os dados da coleta, foi elaborada uma tabela na qual
constavam os dados relativos aos tipos de hortaliças cultivadas na propriedade, a
época de plantio, forma de semeadura, manejo, transporte e comercialização. Na
seqüência o grupo analisou e discutiu os dados coletados na pesquisa.
Na perspectiva de um trabalho mais elaborado e após discutir com o
professor-orientador o grupo fez a opção pelo estudo e aprofundamento das
pesquisas de uma única hortaliça – o tomate. Tal opção deveu-se ao entendimento
que de esta escolha oportunizaria subsídios suficientes para a aplicação da
Matemática. Na seqüência o grupo elaborou quadros para as informações coletadas,
desenhos e fotos. Este subprojeto caracterizou uma das etapas do projeto, a
pesquisa de campo propriamente dita. Esta parte constituía a disciplina de
Etnomatemática e o Ensino.
Subprojeto 2
65
Este subprojeto elaborado pelo grupo, destinado aos alunos de 11 a
13 anos, teve como objetivo a aplicação da Matemática em situações concretas no
Ensino de 1° Grau, atual Ensino Fundamental e constituiu a disciplina de Módulo de
Aprendizagem I. O propósito era que os componentes do grupo, propusessem uma
situação que seria desenvolvida posteriormente em sala de aula com alunos dessa
faixa etária.
Como forma inicial de encaminhamento do trabalho, seria chamada
a atenção dos alunos para a importância do cultivo da terra na região e que esta se
constituía na atividade mais intensa dos habitantes das áreas rurais. A seguir seria
estimulado o diálogo com os alunos a respeito dos diversos cultivos da terra até
surgir o cultivo do tomate que seria o assunto da pesquisa.
A seguir, os alunos deveriam elaborar uma tabela com os dados
obtidos na coleta, a exemplo do que ocorreu com o grupo, exceto pelo fato de que
esta seria preenchida pelos alunos do 1° Grau, após a observação de várias hortas.
Tal situação estaria favorecendo a escolha do tomate como objeto de estudo, já que
havia sido proposta, anteriormente, uma pesquisa sobre esta hortaliça. Esta situação
facilitaria a aplicação do trabalho por parte dos pós-graduandos, caso aplicassem o
Projeto.
O projeto propõe ao grupo participante a formulação de situações-
problema para serem resolvidas, como forma de fixação dos conteúdos e dos
conceitos. Os conteúdos aplicados poderiam versar sobre medidas de superfície,
perímetro, números naturais, números relativos e decimais, exploração do
termômetro (exploração das unidades de medida de temperatura), proporções,
operações básicas como adição, subtração, multiplicação e divisão, regras de três,
frações, porcentagem, equações do primeiro grau e estudo das figuras geométricas.
Foram propostos pelo grupo de pós-graduandos os seguintes problemas:
66
1 “O horticultor fez um empréstimo de Cr$ 60.000,00 para custeio da horta, a
taxa de 60% ao ano, por um período de 6 meses. Qual o valor a ser devolvido?”
2 “Qual a área do canteiro de semeadura? Área da sala de aula? Área da
carteira? Área do vitrô? Qual a área total do canteiro? Que parte do canteiro total é o
canteiro da semeadura? Cada uma das partes chama-se ............ Se fosse 2/3 do
canteiro total, a área seria ....... Se fosse ¼ do canteiro total, a área seria .......”
Subprojeto 3
Esta etapa do trabalho visava o aprofundamento de conteúdos
matemáticos a partir de situações concretas em nível de Ensino Médio,
diferentemente da etapa anterior, destinada a alunos do ensino fundamental. Os
conteúdos que poderiam ser explorados eram, prioritariamente, os estudos da
trigonometria no triângulo retângulo e no círculo trigonométrico. Esta etapa constituía
a disciplina de Módulo de Aprendizagem II.
Foram propostos os seguintes problemas:
1 “O horticultor precisa construir uma ponte sobre o rio Jordão
para transportar seu produto para os centros de consumo. Como deve fazê-la? O
que é necessário para construí-la?”
2 “Uma escada apoiada na extremidade do suporte da caixa
d’água construída ao lado da horta, escada esta que dista da base do suporte 4,5m
formando um ângulo de 40
o
com o solo. A que altura está colocada a caixa e qual o
comprimento da escada?”
Subprojeto 4
67
Os pós-graduandos, nesta fase do projeto, propunham extrair
conteúdos da pesquisa de campo sobre horticultura a ser trabalhado em nível
superior. Os conteúdos matemáticos que poderiam ser aplicados nesta etapa e que
constituía a disciplina de Modelos Matemáticos I e II foram de otimização, aplicando
derivadas, representações gráficas e integrais.
Foram propostos os seguintes problemas:
1 “Em uma área de 2.464m
2
plantou-se 4.480 pés de tomates,
cada pé produz em média 5,8kg, o equivalente a mais ou menos 75 tomates. Em
cada 100 pés de tomate que se coloca à mais, a produção diminui 1 tomate por pé.
Quantos pés de tomate devemos ter para que a produção seja máxima?”
2 “Sabemos que a altura de uma caixa de tomate (sem tampa), é
de 36 cm e seu volume é de 46.800 cm
3
. Quais serão as medidas das outras arestas
para que tenhamos o mínimo de material gasto?”
3.2.2 Projeto Marcenaria
Este projeto envolveu 7 (sete) professores.
Subprojeto 1
Os pós-graduandos visitaram uma fábrica de móveis, em
Guarapuava, denominada “Móveis Trianon Ltda”, que empregava vinte e duas
pessoas e um empreiteiro. Coletaram informações como aquisição de matéria-prima,
produção de madeira serrada, secagem do material, industrialização da matéria-
prima, montagem de porta almofadada. Tiraram fotos e anexaram os projetos de
esquadrias, executadas pelo marceneiro. Também se preocuparam em entrevistar o
68
proprietário bem como, em conversar com os marceneiros para familiarizar-se com o
vocabulário usado por eles.
Subprojeto 2
Este subprojeto visava a aplicação da Matemática em situações
concretas no Ensino Fundamental, com alunos na faixa etária de 12 a 14 anos. A
escolha do tema foi motivada, segundo consta no projeto, pelo fato de que em todas
as cidades há marcenarias de grande ou pequeno porte e por ser um trabalho
artesanal em extinção, após o surgimento das grandes indústrias que produzem em
série e a um custo significativamente menor.
Deste modo, o trabalho tinha como objetivos: “valorizar o que a
comunidade oferece para o desenvolvimento psico-social-cultural do educando;
evidenciar o espírito crítico, a capacidade de observação e análise e a perseverança
no trabalho e descobrir as figuras geométricas, os princípios básicos da geometria e
sentenças Matemáticas, objetivamente por meio de observação, comparação,
construção e deduções lógicas”.
Em princípio, o professor conversaria com seus alunos sobre os
móveis da sala de aula, lançando perguntas e comentando sobre o envolvimento
matemático na fabricação de móveis, assim como proporia uma visita a uma
marcenaria.
Depois de levantadas as informações com o marceneiro, os alunos
participantes da pesquisa confeccionariam portas em miniatura, utilizando o material
que achassem mais adequados e com dimensões por eles idealizadas. Nesse
sentido, as discussões em sala de aula poderiam abarcar conceitos importantes tais
69
como: sólidos geométricos, figuras planas, medidas de comprimento, de área,
razões e proporções, monômios e polinômios e cabendo, portanto, ao professor
escolher os tópicos que considerasse mais convenientes e os momentos mais
adequados para desenvolvê-los.
Foram propostos os seguintes problemas:
1 “Desenhar no caderno uma das maiores superfícies da miniatura
da porta. Dividir a superfície da porta em quadrados de um centímetro. Fazendo com
que o aluno conte quantos quadrados existem na superfície da porta.”
2 “Desenhar no caderno uma das superfícies maiores da miniatura
da porta. Traçar uma das diagonais. Verificar que a superfície foi dividida em duas
partes iguais. Verificar a relação que existe entre a área do retângulo e a área do
triângulo retângulo. Construir vários triângulos retângulos e calcular a área de cada
uma das figuras.”
Subprojeto 3
Este subprojeto foi destinado a alunos de 15 a 17 anos, cursando o
Ensino Médio, objetivando uma mudança no ensino, no sentido de suprir as
necessidades do meio em que a escola está inserida e, ao mesmo tempo, dar
condições para que haja um acompanhamento deste avanço, despertando o aluno
para a realidade que o cerca. Os conteúdos que poderiam ser explorados, segundo
o grupo, eram: progressão linear, funções, gráficos, sistemas de equações e de
inequações.
Foram propostos os seguintes problemas:
70
1 “De acordo com a pesquisa, o número de portas em série é mais
ou menos o quíntuplo do de almofada, sem propaganda. Pergunta-se, quantas
portas em série e portas de almofadas devem ser fabricadas para obtenção do lucro
máximo?”
2 “De acordo com a pesquisa que fizeram a respeito da cola usada
na marcenaria, montar uma desigualdade. Representar no plano cartesiano a
desigualdade obtida.”
3.2.3 Projeto Jogos Infantis
Este projeto envolveu 5 (cinco) professores.
O Projeto “Jogos Infantis” está subdividido em três subprojetos:
Subprojeto 1
A pesquisa de campo para a realização deste trabalho ocorreu na
Vila SANBRA, periferia da cidade de Guarapuava, Estado do Paraná. Os tipos de
jogos encontrados naquela comunidade foram: pé-na-bola, cruzada, casinha,
caçador, polícia e ladrão, bete-ombro, futebol, bambolê, bolinhas de gude, mãe-de-
cola, salvação, tiroteio, amarelinha, queima e caracol. Desse modo, o projeto
apresentava as características e as regras de cada um dos jogos mencionados.
71
Subprojeto 2
Este subprojeto propunha uma melhoria no ensino matemático para
alunos do Ensino Fundamental, explorando as brincadeiras infantis, que as próprias
crianças conhecem e brincam, acreditando que estas estariam mais próximas da
realidade e assim poderiam sentir-se mais motivadas, percebendo a Matemática
como solução em sua vida e não como problema.
A proposição é que, em sala de aula, fossem coletados, junto aos
alunos, todo conhecimento possível de brincadeiras infantis, como: regras, onde
brincam, quem brinca, dentre outras situações.
Os pós-graduandos tiveram a preocupação de alertar que não se
deve interferir nos dados coletados. Embasados na coleta de informações,
introduziriam os conteúdos matemáticos desejados, construindo modelos. Os
conteúdos definidos eram os seguintes: cálculo de área, frações, proporções,
números decimais e trigonometria.
Foram propostos os seguintes problemas:
1 “Uma criança ao disputar amarelinha conseguiu fazer 6
quadrinhos de 10. Como você pode escrever em forma de fração e
posteriormente em forma decimal?”
2 “Para jogar betes utilizou-se a cancha de futebol de salão, que
mede 40 metros de comprimento e 22 metros de largura. Calcule quantos m
2
possui
essa cancha.”
Subprojeto 3
72
Este subprojeto propunha atividades para alunos do Ensino Médio,
objetivando despertar no aluno o senso de observação da Matemática aplicada por
ele próprio no seu dia-a-dia. Os conteúdos matemáticos para a aplicação do projeto
poderiam ser: medidas de capacidade, circunferência e Teorema de Pitágoras.
Foram propostos os seguintes problemas:
1 “Num jogo de bolinha de gude, o vencedor retirou as duas
bolinhas restantes e fez o lançamento sobre um ângulo de 45
o
. Qual deve ser a
distância entre as bolinhas A e B para tal situação, sabendo-se que o garoto se
encontra a 60 cm da segunda bolinha?”
2 “No problema anterior se o ângulo for de 30
o
, qual será as
distâncias entre o garoto e a bolinha A? Qual a distância entre as bolinha?”
3.2.4 Projeto Tecnologia Popular em Pequenas Construções
Este projeto envolveu 6 (seis) professores.
Foi subdividido em três subprojetos, a seguir descritos.
Subprojeto 1
Este apresentou uma breve análise dos procedimentos utilizados em
pequenas construções, por mestres-de-obras. As informações foram obtidas em
pequenas obras em construção, através de entrevistas com mestres de obras e
pedreiros, observando suas atividades e solicitando informações sobre métodos e
73
técnicas empregadas, fotografando detalhes da obra, fazendo croquis e anotações
das explicações recebidas.
Subprojeto 2
O subprojeto 2 tinha por objetivo, a exemplo dos anteriores, facilitar
o ensino da Matemática, relacionando a prática com a teoria, a fim de obter um
relacionamento entre o enfoque intuitivo ocupacional e a apresentação formal da
disciplina. Foi destinado a alunos de 8
as
séries do Ensino Fundamental.
Dentre os objetivos específicos, destacam-se: as aplicações
básicas de geometria no campo da construção, o uso da geometria como inter-
relação natural com o processo construtivo e a interação informal da álgebra com o
meio em que os alunos vivem. Para tanto, foram propostos alguns problemas
envolvendo construções de casas com representações gráficas, uso de
porcentagem, cálculos de área e semelhança de triângulos.
Além destes, apresentaram-se:
1 “Em visita a uma pequena construção e não tendo em mãos um
projeto estrutural da mesma, estava sendo construído baldrames. O pedreiro agiu da
seguinte maneira: corta e dobra os ferros para a constituição da armadura das vigas.
Sendo conhecido a altura do estribo, determina-se o comprimento da dobra em 450
do referido ferro, para que o mesmo possa ser colocado dentro da armadura da viga.
Multiplicou a altura do estribo pelo número 14, e obtém o comprimento do ferro, o
qual terá inclinação de 45
º
a) esquematize um baldrame (confecção); justifique o
74
porque do produto da altura do estribo pelo número 14; qual significado do número
14?”
2 “Nas obras visitadas observou-se que as aberturas, mais
propriamente as janelas, têm tamanhos, de acordo com as áreas dos pisos. a)
representação gráfica do observado na obra (comparação); b) como são feitos os
cálculos que determinam a área das paredes e pisos? c) como são determinados os
tamanhos das janelas em relação as áreas dos pisos?”
Subprojeto 3
Tomando-se como base a determinação dos valores quantitativos
na montagem do orçamento de uma pequena obra, identificaram os diversos
procedimentos matemáticos relacionando-os com os programas aplicados no ensino
médio nos campos da geometria espacial e trigonometria. O projeto destinava-se a
alunos de 1
as
e 2
as
séries do Ensino Médio, com proposições de problemas
envolvendo prismas, frações e cálculos de volume.
Foi proposto o seguinte problema:
1 “Fazer um orçamento quantitativo para construção da casa tipo
3 - 47 B
8
.”
3.1.5 Projeto Suinocultura
Este projeto envolveu 7 (sete) professores.
O Projeto “Suinocultura” foi desmembrado em três subprojetos,
conforme relatado a seguir:
75
Subprojeto 1
Para o desenvolvimento deste subprojeto foi necessária a aplicação
de uma pesquisa de campo, realizada numa chácara no município de Guarapuava –
BR 277, a 10km do centro da cidade. Foram descritas as características de uma
pocilga, da criação de porcos e do dia-a-dia de um suinocultor. O tema Suinocultura,
a exemplo do que ocorreu no Projeto “Horticultura”, foi escolhido em função das
características locais, ou seja pelo fato de Guarapuava ser predominantemente
agropecuária e por ser, segundo justificativas apresentadas pelos pós-graduandos, a
carne de porco muito apreciada pela população e ainda o suíno um animal
doméstico de fácil aquisição e venda.
Subprojeto 2
Este subprojeto foi destinado a alunos de 11 a 13 anos de idade, do
Ensino Fundamental. O professor poderia iniciar suas atividades com um diálogo,
induzindo o aluno a chegar ao animal desejado para a pesquisa (porco). Em seguida
seria sugerido uma visita a uma pocilga a fim de observar todo o processo de
criação do suíno e uma entrevista com o proprietário. Posteriormente, uma visita aos
açougues da cidade, construindo tabelas com os dados fornecidos e que seriam
utilizados na formulação de problemas e na realização de cálculos em que se
poderia aplicar medidas de superfície, operações básicas, regras de três e
porcentagem.
8
Casa de 47 m
2
com 3 dormitórios e padrão de acabamento B.
76
Foram propostos os seguintes problemas:
1 “Desenhar a planta da pocilga pesquisada.”
2 “Partindo desse desenho, responda: a) qual o comprimento total
da pocilga? b) qual a largura? c) quais as medidas do primeiro compartimento? d)
do segundo, terceiro...? e) quais as medidas da maternidade? f) qual a soma das
medidas da pocilga?”
Subprojeto 3
Este subprojeto destinava a alunos do Ensino Médio, na faixa etária
média de 15 anos. Foi sugerido, inicialmente, uma pesquisa de campo, envolvendo
o tema. Posteriormente, propõe-se o encaminhamento de convite a um suinocultor
para desenvolver uma palestra à classe, assim como uma mesa redonda com
alunos e suinocultores. Com os dados coletados iniciaram as possíveis aplicações
Matemáticas utilizando regra de três, funções, equações, inequações, gráficos,
derivadas, cálculos de área e relações trigonométricas.
Foram propostos os seguintes problemas:
1 “Um suinocultor dispõe de 3.450kg de milho moído e 1.180kg de
concentrado. Sabendo-se que para a alimentação de um suíno de 75 dias são
necessários 25 kg de milho moído e 10kg de concentrado e que para a alimentação
de um suíno de 180 dias são necessários 400kg de milho moído e 135kg de
concentrado. Seu lucro é de 3.000,00 com o suíno de 75 dias e 6.000,00 com o
suíno de 180 dias. Quantos suínos de 75 dias e de 180 dias deve o suinocultor criar
com seu estoque para que tenha lucro máximo?”
77
2 “Qual a forma mais econômica de se construir as divisões
internas de uma pocilga, para que com um mínimo de material possa abrigar o
máximo de suínos?”
3.2.6 Projeto Cetra
Estavam envolvidos neste projeto 6 (seis) professores.
Este projeto foi subdividido em três subprojetos, a seguir relatados.
Subprojeto 1
Na percepção dos pós-graduandos, autores deste subprojeto, o
magnetismo inexplicável que as “armas” causam nas crianças seria extremamente
interessante para atrair os alunos a esse tema. Desta forma, escolheram a “cetra”
como assunto a ser trabalhado, imaginando que por meio de um simples “brinquedo”
pudessem ensinar muitas coisas relacionadas com a Matemática e com outras áreas
do conhecimento. Deslocaram-se para a zona rural do município de Guarapuava e
escolheram ao acaso, uma chácara, para a execução da pesquisa de campo.
Conheceram um garoto que lhes emprestou um estilingue e concedeu entrevista
explicando como se constrói uma cetra.
Subprojeto 2
78
Este subprojeto foi destinado a alunos do Ensino Fundamental, na
faixa etária entre 12 a 15 anos de idade. Os pós-graduandos apresentaram
sugestões para identificação dos problemas e algumas de suas aplicações,
utilizando operações com frações, ângulos, comprimento de circunferência, área de
figuras planas triângulos, relações e funções.
Foram propostos os seguintes problemas:
1 ”Uma pedra é lançada ao ar. Supondo que a sua altura “h” em
metros e “ t” segundos após o lançamento seja: h = - 5t
2
+ 10 t. Qual é a altura
máxima atingida por esta pedra? Em que instante ela a atinge? Em que ponto ela
toca o solo?”
2 “Determinar a trajetória de um pedra lançada de um ponto 0 com
velocidade inicial v
o
e um ângulo ”.
Subprojeto 3
Podendo ser aplicado a jovens de 15 a 18 anos, cursando o Ensino
Médio, este subprojeto procurou mostrar uma maneira simples de abordar
conteúdos matemáticos e físicos, sobre o modelo apresentado, dando maior ênfase
à área da Física, por existirem poucos modelos voltados a esse campo. Ofereceram
sugestões para a formulação dos problemas e aplicações Matemáticas como
trajetória, velocidade, distância percorrida, mecânica, funções, estudo do círculo,
triângulos e representações gráficas dos assuntos estudados.
Foram propostos os seguintes problemas:
1 “Toma-se uma forquilha qualquer, faz-se o esboço da forquilha e
em cada uma das extremidades coloca-se um ponto fechando a seguir com o
79
formato de um triângulo. Determina-se, com o compasso, as metades das distâncias
entre os pontos, traçando-se perpendiculares, prolongando-as até que se encontrem
no centro do triângulo. Tomando-se o centro com um compasso, com abertura igual
à distância entre o centro e um dos três pontos, traça-se uma circunferência. Dado
três pontos quaisquer no plano, determine a circunferência que contém estes
pontos.”
2 “Dado três pontos quaisquer no plano, determine a
circunferência que contém estes pontos.”
3.3 PRIMEIRAS APLICAÇÕES DA MODELAGEM EM SITUAÇÕES DE SALA DE
AULA
Foram descritos e analisados três trabalhos monográficos sobre
Modelagem Matemática apresentados em cursos de Pós-Graduação ministrados na
FAFIG, UNICENTRO E FACIBEL e sob a orientação do Prof. Dr. Dionísio Burak:
Modelagem Matemática: Uma Metodologia Alternativa para o Ensino de Matemática
na 4
a
. Série do 1
o
. Grau (FAFIG/1990), Modelagem Matemática: Uma Estratégia
para Ensinar Matemática a partir da Realidade (UNICENTRO/1993) e Modelagem
Matemática: Uma Experiência Alternativa para o Ensino da Matemática nas 7ª séries
do 1º grau (FACIBEL/1997).
Modelagem Matemática: Uma Metodologia Alternativa para o Ensino de Matemática
na 4
ª
Série do 1
º
Grau.
80
Este trabalho foi desenvolvido com uma turma de 38 alunos na
faixa etária entre 9 e 15 anos, da 4
a
Série do 1
o
Grau do Colégio Estadual Dr.
Cândido de Abreu – Ensino de 1
o
e 2
o
Graus, Município de Cândido de Abreu,
Estado do Paraná.
O objetivo deste trabalho era propor, por meio da Modelagem
Matemática, uma alternativa para o ensino de Matemática na 4
a
série do 1
o
Grau.
A autora alega que na década de 60 o Ensino de Matemática, no
Brasil, tinha como objetivo fixar técnicas de cálculo, nomenclaturas e modelos de
resolução dos chamados “problemas-padrão”, sem preocupação com o que o aluno
compreendesse os conceitos básicos. Os programas eram extensos e não levavam
em consideração a faixa etária a que se destinavam, devido ao pouco conhecimento
das teorias de aprendizagem que os responsáveis pela elaboração dos currículos
deveriam ter.
Na década de 1980, os profissionais da educação sentiram a
necessidade de mudanças e inovações no ensino da Matemática, uma vez que este
ensino há muito não correspondia às expectativas, às necessidades e à realidade
vivenciadas pelos alunos. Diante disso, tornaram-se necessários métodos de Ensino
que oportunizassem a participação do aluno no processo ensino-aprendizagem.
Uma das propostas de inovação foi a Modelagem Matemática, método que procura
dar ao aluno mais liberdade para raciocinar, estimar e dar vazão ao pensamento
criativo. Uma prática de Ensino onde não há seqüência rígida de conteúdos e cada
tópico do programa estudado é tratado com a profundidade de acordo e com o nível
de cada série.
81
Depois de concluído o Curso de Pós-graduação a autora iniciou a
etapa que considerava mais difícil com seus alunos da 4ª série, utilizar o método
Modelagem. A escolha do tema partiu de uma aluna, que sugeriu proceder como na
novela “A Gata Comeu”, ou seja, pintar a escola. A classe ficou motivada com a
idéia e iniciaram com as sugestões de como proceder com a proposta. Conversando
com a direção optaram por pintar apenas a sala de aula onde estudavam.
Para arrecadar verbas para a pintura, realizaram uma rifa de uma
ovelha, doada pelo pai de um aluno. Na seqüência do trabalho surgiram as primeiras
dúvidas: quanto comprar; quanto gastariam; quantos números de rifas seriam
necessários vender; o preço de cada número; quantos números cada aluno deveria
vender; que cor de tinta usar; quais as medidas da sala de aula.
Com este diálogo, a autora foi vendo os conteúdos previstos para a
4
ª
série e o que poderia explorar com o trabalho de Modelagem. Estes foram:
sistemas de medidas; área de figuras planas; porcentagem, emissão de recibo
(assunto visto na disciplina de Português); operações fundamentais. No decorrer do
trabalho, a autora percebeu alguns pontos que poderiam ser melhor desenvolvidos,
mas por inexperiência do método só percebeu no final do trabalho.
Com a sala pintada, resolveram com o que restou do dinheiro
realizar uma festinha para inauguração da sala. Este trabalho realizou a todos com o
resultado e com a maneira diferente de estudarem Matemática.
A autora relata que o trabalho foi gratificante, apesar das
dificuldades e insegurança pelas quais passou e do número de vezes que sentiu-se
sufocada estando prestes a fraquejar. Porém, concluiu serem nas horas de
dificuldades que surgem oportunidades diversas de reflexão/ação e
conseqüentemente de busca e soluções variadas. Salienta a importância de se usar
a Modelagem Matemática para o Ensino, seja em nível de 1
º
, 2
º
grau ou mesmo em
82
nível Superior e de como as várias oportunidades de ensino surgem de forma
natural, espontânea e conseguem monopolizar a atenção do educando sem que isto
se torne monótono e “maçante”.
Modelagem Matemática: Uma Estratégia Para Ensinar Matemática a Partir da
Realidade.
Este trabalho foi desenvolvido no Colégio Estadual Dom Carlos –
Ensino de 1
º
e 2
º
Graus, no município de Palmas, Paraná, com alunos da 6
ª
série, do
período vespertino, no 1
º
semestre de 1993. Iniciadas as aulas e após um período
de entrosamento com alunos, a autora explicou para os alunos os objetivos a serem
desenvolvidos em um trabalho conjunto, totalmente diferente do costumeiro: a
Modelagem Matemática.
O desafio foi aceito e a vibração verificada incentiva a necessidade
de implantação de novas técnicas que renovem o interesse pela aprendizagem. O
trabalho começou com um levantamento sobre os assuntos de maior interesse dos
alunos, recaindo essa escolha sobre o tema Fumo. Os alunos foram orientados a
conhecer um pouco da história do fumo, o que resultou em uma pesquisa
bibliográfica e, depois, entrevistas com um certo número de pessoas do município
de Palmas para conhecer a predominância do fumante ou não fumante, para
verificar a quantidade média de cigarros consumidos por pessoa/dia, a preferência
de marca, a faixa etária, o sexo, a religião, os gastos com o vício de fumar e a
economia se guardado esse dinheiro em poupança.
83
Terminadas as entrevistas, procederam em sala de aula o
levantamento e a estratificação dos dados. Os resultados não foram satisfatórios,
segundo a autora, havendo a necessidade de saber mais, despertando o interesse
pela porcentagem, números representativos, regra de três, números decimais,
criando e desenvolvendo situações-problema e resolvendo-as a partir dos dados
reais obtidos nas pesquisas. Para finalizar os alunos elaboraram um relatório
individual sobre o trabalho desenvolvido.
A autora descreve que desde o início do trabalho foi constante a
preocupação em se fazer com que o resultado final pudesse ser positivo na difícil
tarefa de ser professor de Matemática. Alega que a maneira como vinha sendo
ensinada a Matemática na escola, de forma desvinculada da realidade do aluno,
tornava-se uma tortura para ele e com resultados pouco proveitosos.
A Modelagem Matemática apresenta-se como uma alternativa para
superar a forma usual de ensinar Matemática, trabalhando-se por meio de
questionamentos e reflexões, sem a preocupação de seguir conteúdos, mas usando-
os à medida que surgisse o interesse, ou seja, que os conteúdos fossem
trabalhados de uma maneira prazerosa e interessante.
O objetivo desse trabalho foi resgatar o gosto e o interesse do aluno
pela Matemática, por meio de uma política que o levasse à busca da relação
existente e estabelecida entre o mundo real e o mundo matemático. A opção pelo
tema “fumo” deveu-se por ser um problema real na vida do adolescente, além de se
apresentar como um grave problema social. Funcionou como elemento motivador,
levando-os a adquirir conhecimentos científicos e matemáticos sobre o tema, por
meio dos dados coletados nas entrevistas, assim como dos problemas levantados e
resolvidos pelos próprios alunos.
84
A autora do projeto considerou o resultado gratificante, rendoso e
positivo porque fundamentou os conhecimentos adquiridos no curso de pós-
graduação, de que se deve despertar o interesse dos alunos para a Matemática,
com o levantamento de problemas a partir de seus interesses, ao invés de
simplesmente “jogar” fórmulas seguindo um programa pré-estabelecido.
O trabalho de Modelagem Matemática propiciou interação entre o
ensino e a aprendizagem, entre professor e aluno, transformando este último, de
agente passivo para agente ativo, dentro da sala de aula. Mostrou, ainda, que é
possível revolucionar o ensino com uma técnica inovadora diante do desinteresse
pelo estudar.
Modelagem Matemática: Uma Experiência Alternativa Para o Ensino da Matemática
nas 7ª
Séries do 1
º
Grau.
Trata-se de uma experiência alternativa para o ensino da
Matemática nas 7
as
séries do 1
º
Grau, tendo em vista a grande dificuldade
apresentada pelos alunos em desenvolver as atividades Matemáticas, tais como,
cálculo de área, produtos notáveis, grandezas proporcionais e outras.
O estudo experimental foi desenvolvido no Colégio Estadual de
Renascença – Francisco Beltrão, Ensino de 1
º
e 2
º
Graus, com 30 alunos, da 7
ª
série, período matutino do curso regular, numa faixa etária de 12 a 15 anos.
Dialogando, os alunos listaram alguns assuntos de interesse e que
poderiam ser estudados no decorrer das aulas para o desenvolvimento do projeto. A
maioria optou pelo estudo do “Jardim da Matemática” por considerarem importante o
85
embelezamento do Colégio, tornando o ambiente mais bonito e aconchegante, onde
todos conseguiriam inspirar mais vida por meio da beleza das flores.
Depois da escolha do tema, os alunos foram reconhecer o espaço
onde poderiam construir o jardim. Com levantamento de algumas questões foi
possível a previsão de todas as ações que os alunos poderiam desenvolver,
tornando possível, também, a construção do jardim, como por exemplo: tamanho do
terreno; espaço entre canteiros; formato dos canteiros; materiais necessários;
preparo da terra; tipo de solo e de flores. Os alunos buscaram informações técnicas
com os professores de Ciências e um técnico da EMATER.
A partir do reconhecimento do local e em grupos de três ou quatro
alunos, iniciaram a formulação dos problemas. Os assuntos explorados foram:
sistema métrico decimal; cálculo de área e perímetro; equação do 1
º
grau; produtos
notáveis; custos; planta do jardim; escala; razão; proporção; figuras geométricas
planas; porcentagem; ângulos; posições relativas de retas e Teorema de Pitágoras.
Ao concluir esta fase, partiram para a demarcação das medidas,
formando os canteiros, revendo e analisando mais uma vez os estudos anteriores,
servindo como revisão de estudos. Com a participação ativa dos pais, construíram
os contornos dos jardins e com a orientação do professor de Ciências e de técnico
da EMATER, foram orientados quanto às misturas de produtos, correção de solo,
escolha de flores e plantio, integrando o trabalho com as áreas de Química, Física,
Biologia e Matemática.
O objetivo principal deste projeto consistia em possibilitar aos
educandos um nível maior de compreensão e assimilação dos conteúdos
matemáticos usando o método alternativo. O estudo dos conteúdos foi desenvolvido
de forma que todos participassem ativamente em todas as etapas e a compreensão
86
e assimilação acontecessem, sem que houvesse necessidade de grande esforço
mental.
Avaliando comparativamente os alunos que trabalharam com o
método da Modelagem com as demais turmas da mesma série, não participantes do
projeto, percebeu-se que a expectativa com a aprendizagem foi maior entre os
primeiros. Os alunos que assistiam suas aulas pelo método tradicional, onde é
grande a insistência na obediência, imitação e repetição, o que conduz a uma
negligência das capacidades criativas individuais em detrimento de competências
que são puramente mecânicas e repetitivas, estavam constantemente reclamando,
tinham dificuldades de assimilação e se distraiam com facilidade, enquanto que os
alunos participantes do Método da Modelagem agiam com interesse e criatividade.
Segundo a autora, houve momentos em que esteve apreensiva
com o assunto que seria trabalhado, mas no decorrer das atividades os conteúdos
iam surgindo e eram trabalhados naturalmente, percebendo que não havia
necessidade e nem preocupação em ter uma seqüência de temas pré-estabelecidos,
pois com esta nova metodologia de ensino, tem-se a oportunidade de integrar os
conteúdos e atender ao planejamento.
3.4 CONSIDERAÇÕES GERAIS RELATIVAS ÀS EXPERIÊNCIAS
Foram analisados seis projetos elaborados nos anos de 1983/1985
e três projetos elaborados e executados em 1990/1993.
O trabalho com a Modelagem Matem
ática na década de 80 visou a
capacitação do professor, seu preparo para o trabalho nos três níveis de ensino: 1
o
.
87
e 2
o
. graus e superior. Buscava-se a visão usual do ensino de Matemática. Pela
insipiência de estudo sobre Modelagem que estava em fase inicial, percebe-se,
ainda, a visão linear de currículo.
Em relação com ao trabalho com os conteúdos matemáticos
constata-se o tratamento pontual em função dos problemas levantados, nos
subprojetos destinados ao ensino do 1
o
. e 2
o
. graus, hoje fundamental e médio.
Com aprofundamentos, adequações e vivências dos professores
com a Modelagem Matemática, verifica-se nos trabalhos desenvolvidos no início da
década de 90 uma melhor compreensão na aplicação.
Os seis primeiros projetos, continuavam apresentando
características dos métodos tradicionais, principalmente, em relação ao currículo
escolar.
Segundo Sperd (1976, p. 45), o currículo proposto pelos métodos
tradicionais era “uma lista de matérias a estudar, sob orientação do professor [...] era
essencialmente um conjunto de conhecimentos a memorizar [...] o ambiente escolar
pouco importava aos planejadores do currículo”.
Nessa perspectiva, qualquer pessoa, mesmo aqueles que não
participavam do contexto escolar, elaboravam o currículo, pois bastava selecionar os
conteúdos relevantes e estabelecer determinada ordem para serem trabalhados.
Nesse caso, os profissionais da educação que atuavam diretamente com o aluno,
não participavam da elaboração, mas apenas executavam o proposto no currículo
escolar.
Na proposta atual de currículo, não é possível desconsiderar o
cotidiano do aluno, pois esta é a realidade que sustenta as demais ações
88
curriculares, ou seja, o currículo deve estar aberto para uma vivência de situações
inovadoras e com significado para o aluno.
Neste sentido, Santomé (1998, p. 29) considera que a finalidade de
uma proposta curricular “... não encerra em si mesma; sua validade é dada pela
medida em que puder servir ou não aos propósitos que se exigem da educação
institucionalizada em sociedade democrática”.
Ainda em relação aos conteúdos, observa-se que os projetos
elaborados na década de 80, atendiam a uma idéia de linearidade e hierarquização.
Aqueles elaborados na década de 90, não atendiam a esta linearidade, mas a
proposta do currículo não linear, assim como sugere D’Ambrósio (2003, p. 83): “O
currículo de Matemática deve ser considerado como algo capaz de vencer a
linearidade e a idéia que existe no conhecimento matemático, uma hierarquia de
conceitos, onde um deve vir sempre precedido do outro [...]”.
Os projetos analisados reportam à discussão com os professores
de Matemática, pois é entre eles que a resistência ao currículo se torna maior, visto
que a maioria ainda não concebe o conhecimento matemático de outra forma, senão
a linear, que é extremamente fragmentada e, por vezes, desconexa e sem sentido. A
idéia de disciplinarização está tão enraizada, tanto que os profissionais da educação
não conseguem (ou não querem) admitir outra disposição curricular, que não a
linear. Nem mesmo a preposição dos PCNs, em 1997, conseguiu mudar o método
adotado por muitos professores de Matemática.
Mas, alguns profissionais da educação, adeptos do modelo não
linear de ensino, consideram que as diretrizes apresentadas pelos PCNs são
essencialmente linear e que os conteúdos se mostram hierarquizados. No entanto,
quando se estuda tais diretrizes,” há que se considerar que os conteúdos propostos
89
estão articulados com o cotidiano do aluno, assim como com outras áreas do
conhecimento.” (BRASIL, 1997, p. 53).
No caso, os pré-requisitos, tão presentes no conhecimento
matemático escolar, são considerados, apenas, como uma eventual possibilidade, já
que alguns conteúdos não podem ser trabalhados, sem que os conteúdos básicos já
tenham sido estudados pelos alunos.
Voltando aos três últimos projetos analisados (1990), observa-se
que foram trabalhados com o modelo curricular não linear, pois não deixaram de
considerar que os alunos são diferentes, que vêm de espaços diferentes e que seus
tempos de aprendizagem são diferentes, já que não é possível considerar que o
ensino da Matemática seja estático e imutável, nem tampouco linear.
Percebe-se, ainda, que estes projetos atenderam a todos os
procedimentos didáticos para a aplicação do método de Modelagem Matemática, ou
seja, o tema foi escolhido dentro do cotidiano sócio-familiar do aluno; elaborou-se
uma pesquisa exploratória sobre o assunto; colheram-se dados, levantaram-se
problemas, apresentaram-se a resolução desses problemas, finalizando com uma
análise crítica dos resultados.
Ressalte-se, porém, que todos os projetos analisados
preocuparam-se no sentido de que o ensino da Matemática tivesse significado aos
alunos, com aplicação dentro e fora da sala de aula. Isto pode ser verificado quando
da contextualização dos conteúdos com o intuito de que estes fossem trabalhados
de forma mais acessíveis aos alunos.
Nos projetos da década de 80, percebeu-se uma dificuldade na
superação de conceitos já enraizados, principalmente, entre os professores de
Matemática. Pela análise destes projetos, também se observou que não atenderam
a interdisciplinaridade, ou seja, não levaram em consideração o que, para Machado
90
(1995), consiste em dialogar com as outras áreas de conhecimento, para que o
processo de ensino e aprendizagem pudesse alcançar os objetivos propostos.
Nestes projetos, a forma de organização era predominantemente
linear, com uma indicação pré-requisitos e com uma seriação excessivamente rígida.
É nesse sentido que se recordam as colocações de Machado (1995, p. 100), de que
“hoje se deve conceber a necessidade urgente de substituir as cadeias lineares, não
apenas nas relações interdisciplinares, mas, especialmente, no interior das
disciplinas”. Neste caso, no interior da disciplina Matemática.
De acordo com Pires (2000, p. 70), cabe à organização escolar
propor um currículo que propicie, de fato, o ensino da Matemática, de forma
interdisciplinar, pois “... a interdisciplinaridade não vai diminuir a importância da
Matemática”. Portanto, ao se trabalhar conteúdos matemáticos utilizando o processo
de Modelagem, há que se ater ao currículo não linear.
Nas primeiras experiências a Modelagem Matemática aproximava-
se, portanto, muito ao que se via e se vê ainda hoje no “ensino tradicional”, no qual o
problema subordina-se ao conteúdo e não o inverso. Hordiernamente, a aplicação
da Modelagem Matemática como metodologia de ensino leva o aluno à formalização
e resolução de problemas. As soluções vão surgindo gradativamente usando suas
próprias motivações e estratégias, com a mediação do professor, favorecendo o
desenvolvimento e a construção do pensar matemático.
Atualmente, a educação Matemática exige uma nova postura dos
profissionais da educação frente aos conhecimentos e práticas pedagógicas, no
ensino da Matemática. É preciso que esse ensino seja visto de maneira
multidisciplinar, contextualizado e interdisciplinar. Ou seja, é preciso uma nova
prática em que o conhecimento matemático seja, como afirma Pires (2000, p. 137),
91
“... um instrumento de compreensão do mundo, que vença a linearidade e a
estaticidade do conhecimento”.
A Modelagem Matemática possibilita um ganho na aprendizagem
quando trabalhada com temas de interesse e significado para o aluno, no qual o
conteúdo não é dissociado da realidade. A adoção desta metodologia de ensino é
um meio que propicia ao aluno atingir melhor desempenho, tornando-o um dos
principais agentes de mudanças.
92
CAPÍTULO IV
MODELAGEM MATEMÁTICA: DA TEORIA À PRÁTICA
Neste capítulo serão descritos duas experiências realizadas
utilizando o Método da Modelagem Matemática, bem como algumas possibilidades
de trabalho com unidades de conteúdo e uma breve análise acerca das descrições.
A Modelagem Matemática é uma metodologia alternativa para o
ensino de Matemática que pode ser utilizada em qualquer nível de ensino. A partir
de conceitos gerais, procura-se mostrar a importância da Matemática para o
conhecimento e compreensão da realidade onde se vive. Uma forma de avaliar se a
Modelagem Matemática é eficiente como metodologia alternativa no ensino e na
aprendizagem, é utilizar esta prática pedagógica em sala de aula.
Na utilização da Modelagem Matemática no ensino, investigou-se seu
uso com alunos das 7ª e 8ª séries do Ensino Fundamental do Colégio Campo Real e
da 3ª série do Ensino Médio do Colégio Estadual Professor Amarílio, ambos da
cidade de Guarapuava, região Centro-Oeste do Estado do Paraná. As atividades
apresentadas neste estudo relatam duas experiências desenvolvidas pela
pesquisadora.
4.1 A PRIMEIRA EXPERIÊNCIA
A experiência foi realizada e desenvolvida sob forma de projeto no
Colégio Campo Real-Objetivo, com alunos das 7ª e 8ª séries do Ensino
Fundamental, no período de outubro a novembro de 2004. Ao solicitar permissão
93
para o desenvolvimento do projeto à Direção e Coordenação do Colégio, foram
apresentados os objetivos do trabalho. De início houve alguma resistência da
Direção do Colégio pelo desenvolvimento de um método novo, diferente do utilizado
naquele ambiente escolar (escola particular), mas aceitou sua execução, uma vez
atendida a sugestão da Coordenação Pedagógica, de que fosse desenvolvido fora
do horário normal de aula, ou seja, em contraturno. A Coordenação justificou sua
posição dizendo que existe uma “pressão” dos pais em seguir a apostila, por eles
adquirida.
Esta preocupação já perpassa mais de duas décadas, tanto que
Burak (1992) já questionava a preocupação de alguns professores e coordenadores
de área, quando se fala em aplicar algum método alternativo. E explicita:
A grande preocupação para alguns professores e coordenadores de área,
quando se trata de Modelagem, é com relação ao programa estabelecido
para a série. Dentro da concepção atual da Matemática, a preocupação
com o programa a ser cumprido é muito grande. O grande desafio
experimentado ao se propor a Modelagem, como um método alternativo
para o ensino da Matemática, nos cursos regulares de 1º e 2º graus, é
encontrar uma ou mais formas alternativas no sentido de compatibilizar os
conteúdos previstos para determinada série e o conteúdo possível,
trabalhando com a Modelagem Matemática. (BURAK, 1992, p. 296).
A Modelagem Matemática busca traduzir situações reais para uma
linguagem Matemática, para que, por meio desta, se possa melhor compreender,
prever e simular ou, ainda, mudar determinadas vias de acontecimentos, com
estratégias de ação, nas mais variadas áreas de conhecimento. O objetivo da
Modelagem Matemática consiste, segundo Bassanezi (2002, p. 16) “ na arte de
transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los
interpretando suas soluções na linguagem do mundo real”.
94
Mas, apesar de todos os argumentos favoráveis ao uso da
Modelagem Matemática, muitos profissionais da Educação Matemática colocam
obstáculos, principalmente quando aplicada em cursos regulares.
Bassanezi (2002, p. 37) explica: “Os cursos regulares possuem uma
programação que deve ser desenvolvida completamente. A modelagem pode ser um
processo muito demorado, não dando tempo para cumprir o programa todo [...]”.
É nesse sentido que se concordou com a direção do referido Colégio,
que o projeto fosse desenvolvido em contraturno, com um evento semanal de 2
horas, durante os meses de outubro e novembro de 2004.
Essa falta de tempo para cumprir o programa, por parte do professor
do curso regular, somada à inexperiência da professora/pesquisadora e,
principalmente, por considerar que ainda não estava apta convenientemente para
trabalhar com Modelagem Matemática, levou ao desenvolvimento de um projeto
menos extenso.
Sobre o assunto, Biembengut (1999, p. 44) assim comenta:
Em cursos regulares [...] o método da modelagem deve sofrer algumas
alterações, levando em consideração o grau de escolaridade dos alunos, o
tempo disponível que terão para trabalho extra-classe, o programa a ser
cumprido e o estágio em que o professor se encontra, seja em relação ao
conhecimento da modelagem, seja no apoio por parte da comunidade
escolar para implantar mudanças.
Depois de aceitas as condições e com a devida autorização para o
desenvolvimento da Modelagem Matemática, apresentou-se aos alunos das 7ª e 8ª
séries, os objetivos e a maneira como o projeto estaria sendo desenvolvido;
mostrou-se a importância do processo de aprendizagem, procurando motivar os
alunos para que, voluntariamente, decidissem por um desenvolvimento ativo do
95
aprendizado, tornando-se co-responsáveis pelo ensino-aprendizagem. Aceitaram
participar do projeto 16 alunos, notadamente, aqueles que gostam de Matemática e
que desejam “aprender mais”, até porque não teriam outra motivação ou benefícios
senão o próprio aprendizado. A partir de então, iniciaram-se as atividades.
Embora a escolha do tema deva ser sugerida pelo aluno, cabe ao
professor usar estratégias que facilitem a escolha de um tema abrangente,
motivador e sobre o qual, de certa maneira, seja possível a obtenção de dados e
informações. Considerando que existe um conteúdo programático a ser seguido,
cabe ao professor fazê-lo fluir a partir do tema. Para que isso ocorra, o professor
pode elaborar a primeira questão ou propor aos alunos que dêem sugestões do que
se possa estudar ou propor que eles mesmos levantem questões. Desta forma, o
professor poderá levantar a situação mais adequada para desenvolver o conteúdo
programático. (BIEMBENGUT, 1997).
Depois de terem sido repassados algumas orientações, foi proposto
aos alunos que pensassem em situações-problema do dia-a-dia e que gostariam de
pesquisar e resolver por meio da Matemática, seguindo as considerações de
Biembengut (1997), quando diz que é importante que os alunos se envolvam no
processo e se sintam motivados pelos temas e problemas que serão levantados.
Entre os temas sugeridos pelos alunos, surgiram muitas idéias.
Fazendo alguns questionamentos e levando-os a refletir sobre cada um dos
assuntos, chegou-se à conclusão de que o tema “Energia Elétrica”, no atual
contexto, era o que se poderia melhor explorar, naquele momento, tanto pela “onda”
de se economizar energia elétrica, feita pela mídia e por estarem estudando este
conteúdo na disciplina de Física. No caso, tratava-se de tema legítimo para os
alunos, que tangenciavam seus interesses, pois o assunto além de estar relacionado
96
como conteúdo a ser ministrado, também tinha implicações diretas no seu contexto
de vida.
Sabe-se que nem sempre é simples a escolha de um tema que vá ao
encontro ao interesse de todos os alunos, mas conforme diz Biembengut (1999, p.
38), a atuação do professor, nesse momento, “deve estar primordialmente voltada
para a utilização de estratégias que facilitem aos alunos a escolha de um assunto
abrangente, motivados e sobre o qual seja fácil obter dados ou informações”.
Levando em consideração a importância cada vez maior da
Educação Matemática não é suficiente que o aluno aprenda Matemática e saiba
utilizá-la para resolver os problemas cotidianos. É preciso que ele seja capaz de
interpretar e agir numa situação social e política, estruturada pela Matemática. O que
se espera neste sentido, é que a interação entre a vida real e a Matemática
proporcione a reflexão, levando a uma conscientização do lugar e do papel desta na
sociedade.
Barbosa (2003, p. 68), também considera que “... as situações
fictícias não devem ser exploradas no âmbito da Modelagem, mas sim, situações
cujas circunstâncias sustentam-se no mundo social e não criadas por alguém, ou
seja, as atividades Matemáticas devem ter referência na realidade”.
Uma vez escolhido o tema, o próximo passo foi propor aos alunos
que buscassem informações relacionadas ao assunto. A coleta de dados qualitativos
foi efetuada por meio de pesquisa bibliográfica e da integração com a disciplina de
Física. Isto porque, ao escolher um tema não se tem a noção exata do tipo de
situações Matemáticas que podem surgir, assim, se considera como caminho mais
seguro fazer a relação entre as disciplinas e se basear em uma situação real.
97
Biembengut (1999) sugere que depois de escolhido o tema, numa
segunda fase, haja interação com o assunto, reconhecimento da situação problema
e familiarização com o assunto a ser estudado.
Assim, para que a situação a ser estudada fosse delineada e para
torná-la mais clara foi realizada pesquisa sobre o assunto escolhido, por meio de
livros, sob a orientação do professor das disciplinas de Física e de Língua
Portuguesa, e dados obtidos junto aos especialistas da área. Machado (1995, p.
162), considera importante o diálogo com as outras áreas de conhecimento, para
que “o processo de ensino e aprendizagem possa alcançar os objetivos propostos”.
O professor de Língua Portuguesa participou do projeto, nesta
primeira fase, desenvolvendo atividade de produção de texto, sobre a crise do
“apagão”, mostrada à exaustão nos noticiários de televisão, rádios e em reportagens
de jornais e revistas, situação esta que há cerca de três anos obrigou a população
brasileira a racionar energia elétrica. Também prepararam um formulário para anotar
o resultado da investigação sobre o consumo de energia elétrica nas residências dos
alunos participantes do projeto. O professor de Física participou de todo o
desenvolvimento do trabalho, repassando informações em relação aos
ensinamentos de novos conceitos sobre energia elétrica e mais precisamente sobre
seu consumo.
Almeida e Dias (2004, p. 23) também consideram importante a
relação entre escola e sociedade, devendo, pois, ser estimulada, uma vez que “o
problema investigado pelo aluno tem nela sua origem”. Assim, depois de todos
estarem embasados e familiarizados com o assunto energia elétrica concluiu-se que
a situação-problema proposta não era igual àquelas que os alunos estavam
habituados a resolver e, nesse sentido, a resposta exigiu investigação, junto a
98
especialistas da área, funcionários da Companhia de Força e Luz do Oeste (CFLO),
empresa que distribui energia elétrica para o município de Guarapuava.
Em seguida, também como recomendam Biembengut e Hein (2003),
foram feitos questionamentos sobre assuntos que poderiam ser estudados e que os
alunos desconheciam e qual a questão a ser por primeiro resolvida. Foi feita a
sistematização dos conceitos que seriam usados na resolução da situação-problema
e que fazia parte do conteúdo do curso em questão.
Quando o professor solicita a participação do aluno na escolha dos
conteúdos a serem trabalhados é bastante significativa, pois na medida em que
diminui a quantidade de tarefas que cabem ao professor aumenta a do aluno,
transferindo para este mais responsabilidade pela resolução do problema e por
conseqüência, pela sua própria aprendizagem, sem, entretanto, eximir o professor
da condução do processo. (BIEMBENGUT, 1999).
E, como diz Chaves (2005, p. 5), assumindo tal postura, cada vez
mais predominante de mediador entre o conhecimento e o aprendiz, o professor
“deixa de ser o que detêm e transmite o conhecimento para ser aquele que, por
meio de tarefas, oportuniza a aquisição do conhecimento. Ser, portanto, aquele que
ensina a aprender”.
Considerando-se que a situação-problema era calcular o gasto com
energia enérgica em suas residências, os alunos coletaram dados quantitativos e
informações que pudessem auxiliar a apresentação de hipóteses. Assim, durante
uma semana, preencheram o formulário idealizado nas aulas de Língua Portuguesa,
registrando o tempo em que os aparelhos elétricos escolhidos ficavam ligados em
seu ambiente familiar
9
cuja amostra aparece no Quadro 6.
9
Em suas ausências os pais ou os empregados anotavam o tempo gasto.
99
TEMPO DE UTILIZAÇÃO EM HORAS E MINUTOS
DIAS
APARELHOS
2ª
FEIRA
3ª
FEIRA
4ª
FEIRA
5ª
FEIRA
6ª
FEIRA
SÁBADO
DOMINGO
TV 8h 25 5h 6h 7h 32 5h 25m 9h 7h 4m
Ferro 2h 30m 24m 5m - - -
Geladeira * 12h 12h 12h 12h 12h 12h 12h
Computador 1h 4h 2h 8h 9h 2h 2h
Secador 2h 30m 25m - - 10m -
Chuveiro 2h 2h 4h 6h 2h 2h 2h
QUADRO 1 – Tempo de utilização de energia elétrica por eletrodomésticos, em
residência de aluno do Colégio Campo Real, na primeira semana de
outubro de 2004
Fonte: Dados retirados da pesquisa realizada pela aluna Thaís Diegues.
NOTA: (*) Os alunos utilizaram como base de c
álculo12 horas de tempo em que a geladeira fica,
efetivamente, ligada, conforme informação prestada por fabricantes e confirmada pela
CFLO.
O próximo passo foi uma visita à CFLO, com a intenção de trabalhar
a fase de compreensão da situação estudada. Por meio de entrevistas com
funcionários da empresa, os alunos aprenderam a fórmula de cálculo de consumo,
onde se exige conhecimentos a respeito de potência (W), que foi conseguida por
meio de tabela fornecida pelos pesquisados e sob a orientação do professor de
Física. Os alunos receberam dos funcionários da CFLO, tabelas de gastos de
energia e panfletos com sugestões para economia doméstica. Também foram
agraciados com brindes, dentre outros, régua, bonés e imãs de geladeira.
A fórmula para cálculo do consumo, utilizada pela CFLO é a seguinte:
KWh = w x h x d, onde:
Kwh – consumo W – Potência
H – horas por dia D – dias no mês
100
A descoberta da potência que cada aparelho possui ficou a cargo dos
alunos, que utilizaram a anotação no aparelho de suas residências ou por tabela
fornecida pela CFLO ou, ainda, pela Internet.
O tempo gasto que cada aparelho ficou ligado foi obtido por meio de
pesquisa realizada pelos alunos, partindo-se daí, para o preenchimento de tabela de
consumo. Com esses dados os alunos foram orientados quanto à soma do tempo
que cada aparelho ficou ligado, durante a semana, em suas residências.
Para realizar tais adições, construíram um relógio (Figura 1), com um
único ponteiro e doze algarismos, compreendidos entre 1 e 12. Assim, num primeiro
momento, os alunos “exploraram” o relógio, manuseando seu ponteiro. Foi discutido
que o andar do ponteiro de um número para outro, significa que está se
representando “5 minutos” da hora, o que já era conhecido por eles. Passou-se,
então, para o manuseio do relógio conforme a tabela dos alunos.Depois de terem
compreendido a situação-problema, em todos os seus aspectos, tanto os gerais
como os mais específicos, não priorizando a procura imediata de algoritmos,
métodos e regras para solucioná-los, mas fomentando a busca de informações, o
desenvolvimento de habilidades de pesquisa, o pensar e refletir sobre o momento, o
fazer conexão entre os dados da situação-problema e a forma com que se possa ser
matematizada, trabalhando, pois, o momento de abstração e de elaboração de um
plano de ação para resolvê-la.
101
FIGURA 1 – MOSTRA DE RELÓGIO CONFECCIONADO PELOS ALUNOS
Fonte: Relógio confeccionado pelos alunos
Os alunos somaram, então, o tempo em horas em que os aparelhos
listados no trabalho ficaram ligados durante uma semana (Quadro 7). Os alunos não
encontraram dificuldade para realizar as adições, pois usaram o algoritmo da adição
para resolvê-las.
APARELHOS DOMÉSTICOS HORAS UTILIZADAS
POR DIA DA SEMANA
GELADEIRA COMPUTADOR CHUVEIRO
2ª feira 12 1 2
3ª feira 12 4 2
4ª feira 12 2 4
5ª feira 12 8 6
6ª feira 12 9 2
Sábado 12 2 2
Domingo 12 2 2
TOTAL DO TEMPO 84 28 20
QUADRO 2 – Resultado da soma do tempo de utilização de aparelho doméstico
em residência de aluno, em horas, durante uma semana
FONTE: Dados retirados da pesquisa realizada pela aluna Thaís Diegues.
Para a geladeira, na pesquisa de todos os alunos aparecia o tempo
de 12 horas, em todos os dias da semana.
10
10
Cf a CFLO as geladeiras são programadas para funcionarem 12 horas diárias.
102
Os alunos efetuaram assim: 12h (diárias) X 7 (dias) = 84 horas
(semanais) de tempo utilizado. Aqui foi relembrado o conceito da multiplicação
concebido como soma de parcelas iguais:
12 + .... + 12 = 12 X 7 = 84
7 vezes
Em relação ao aparelho de TV, a soma calculada
11
pode assim ser
expressa:
(8h 25) + (5h) + (6h) + (7h 32) + (5h 20) + (9h) + (7h 41) = 47h 118
Manuseando o relógio, os alunos observaram que quando o ponteiro
percorre todo o relógio, ele obteve 60 minutos, o que representa 1 hora. Portanto, a
cada 60 minutos, obtinha-se 1 hora. Apresentam-se os cálculos:
(118min – 60min) = 58 min = 118 min = 1h 58 min = 48h 58 min
Alguns alunos usaram o conceito de regra de três simples:
1h 60 min
x 118 min
x = 118/60
x 1,966h
1,966 – 1 0,966h = 0,966h X 60min 58min 48h 58min
Para o ferro el
étrico:
11
Observe-se que cada aluno fez os cálculos referentes à pesquisa individual. Não cabe aqui relatar
cada uma das situações, mas apenas representá-las, a título de exemplo.
103
(2h ) + (0h 30min) + (0h 24min) + (0h 5min) = 2h 59min
Para o secador:
(21min) + (30min) + (25min) + (10min) = 86min
Ou
1h 60min
x 86min
x = 86 / 60
x 1, 433
1,433 – 1 0,4333h = 0,4333 X 60min 26min
Como a exigência dada pela fórmula era de obter em horas o tempo
em que cada aparelho elétrico ficou ligado, procedeu-se, juntamente com os alunos,
os cálculos a seguir.
Para os aparelhos: geladeira, computador e secador, não houve
dificuldades, porque os números estavam representados em horas.
Para os demais aparelhos obteve-se 2h59min, como consumo
semanal. Em decorrência surgiu dentre alguns alunos o seguinte questionamento: o
que representam 59 minutos da hora?
Esses 59 min representam:
59 0, 9833min
60
Então,
2h 59min = 2h + 0,9833
= 2,9833h
104
Para o secador obteve-se 1h 26min, como soma semanal. Então, os
26 minutos representam quanto da hora? Como seria a simplificação desta fração?
Veja-se:
26min (: 2) = 13 0,4333
60min (: 2) 30
Então, 1h 26min = 1h + 0,4333 1,4333h
Observe-se o cálculo para a TV, cujo resultado foi de 48h 58min. O
que representa 58 minutos da hora? Vejam-se os cálculos:
58min (: 2) = 29 0,96667h
60min (: 2) 30
Então,
48h 58min = 48h + 0,96667h 48, 96667h
Além de trabalhar conceitos de simplificação de frações, foi
relembrada divisão de números inteiros, resultando em números decimais e soma de
números decimais.
A intenção de propiciar aos alunos a busca de organização dos
dados, também foram orientados quanto à necessidade de acrescentar uma coluna
no Quadro 6, para colocar os novos dados. Os alunos tiveram total liberdade de
ação, para experienciar o novo, tomar atitudes intuitivas e criativas.
105
O Quadro 8 mostra como ficou o resultado do tempo total da
utilização de energia elétrica.
DIAS
APARELHO
2ª
FEIRA
3ª
FEIRA
4ª
FEIRA
5ª
FEIRA
6ª
FEIRA
SÁB.
DOM
TEMPO
TOTAL
(h)
TV 8h25min
5h 6h 7h 32
5h25min
9h 7h4min 48,97
Ferro 2h 30min 24min 5min - - - 2,98
Geladeira * 12h 12h 12h 12h 12h 12h 12h 84,0
Computador 1h 4h 2h 8h 9h 2h 2h 25,0
Secador 2h 30min 25min - - 10min - 1,43
Chuveiro 2h 2h 4h 6h 2h 2h 2h 20,0
QUADRO 3 – Tempo total de utilização de energia elétrica por eletrodomésticos, em
residência de aluno do Colégio Campo Real, na primeira semana de
outubro de 2004
FONTE: Dados retirados da pesquisa realizada pela aluna Thaís Diegues.
A etapa seguinte consistiu na resolução da situação, ou seja, calcular
o consumo em KWh de cada aparelho elétrico e, posteriormente, calcular o consumo
em reais.
Para tanto, e de acordo com a fórmula, multiplica-se a quantidade de
“W” do aparelho pelo número de horas em que ele fica ligado e, por 4, para obter o
total de consumo em 1 mês, considerando que os alunos pesquisaram durante uma
semana; depois, divide-se tudo por 1000, já que o consumo é calculado em “KWh” e
a potência é dada em “W”, tem-se que: 1 KWh = 1000W.
O resultado assim se apresentou:
TV/29” (consumo em KWh) = 110W X 48,97h X 4 = 21.546,80 = 21,55
1000 1.000
Ferro (consumo em KWh) = 1.000W X 2,98h X 4 = 11.920 = 11,92
1.000 1.000
Geladeira: (consumo em KWh) = 90W X 84h X 4
= 30.000,24 = 30,24
1.000 1.000
106
Computador (consumo em KWh) = 180W X 28 X 4 = 20.160 = 20,16
1.000 1.000
Secador (consumo em KWh) = 1.400W X 1,43h X 4 = 8.008 = 8,01
1000 1.000
Chuveiro (consumo em KWh) = 3.500W X 20h X 4 = 280.000 = 280
1000 1.000
Assim, somando-se todos os resultados, tem-se 371,88 KWh de
consumo.
Para o cálculo do consumo em KWh de todos os aparelhos
pesquisados, relembrou-se a multiplicação de números decimais e a divisão por
potência de 10, ou seja: 1 KWh = 1.000W = 10
3
W.
A soma de todos os aparelhos no mês foi de 371,88 KWh.
Tendo-se, então, a quantidade de KWh gasto no mês, foi necessário
saber o valor em reais do KWh, para calcular o consumo em reais, durante um mês.
Os valores do KWh foram fornecidos pela CFLO,
12
quando da visita à
empresa, no início deste projeto (Quadro 9).
KWh Valor (1000KWh)
(R$)
0 a 30 85,25
31 a 100 146,11
101 a 160 219,17
Acima de 162 243,54
QUADRO 4 – Valor em real, conforme KWh
FONTE: Tabela elaborada pela Companhia Força e Luz do Oeste (CFLO)
12
A CFLO também forneceu o valor da Taxa de Iluminação Pública (TIP) de 351 a 500 KWh = R$
10,75 e a alíquota de 27% referente ao Imposto de Circulação de Mercadorias e Serviços (ICMS),
prevista na Lei n. 13410/2001 .
107
O cálculo do consumo, em reais, durante o mês foi assim efetuado,
multiplicando o consumo (KWh) pela tarifa (R$), obtendo-se: 371,88 KWh X R$
0,24354 = R$ 90,57.
Além desses cálculos fez-se necessário obter o valor do ICMS (27%),
por meio da fórmula fornecida pela CFLO:
ICMS = Valor energia x alíquota
100 - alíquota
ICMS = 90,57 X 27 = 2445,39 = R$ 33,50
100 – 27 73
O Encargo de Capacidade Emergencial (ECE), o chamado “Seguro
Apagão”, é estabelecido pela seguinte fórmula:
ECE = 371,88KWh X R$ 0,0085 = R$ 3,16
Agora, para se obter o valor total a ser pago à CFLO, basta adicionar
o valor, em reais, referente ao consumo de energia durante o mês, com o cálculo do
ICMS, a TIP e o ECE. Tomando-se os dados levantados nos exemplos acima, tem-
se o valor total da fatura da energia elétrica:
R$ 90,57 + R$ 33,50 + R$ 10,75 + R$ 3,16 = R$ 137,98
Consumo ICMS TIP ECE Total da Fatura
Terminada a resolução da situação-problema colocada, foi trabalhada
a fase de verificação, que consiste em decisão, aceitação (ou não) do modelo
108
inicialmente formulado que, neste caso, foi verificar o valor em reais obtido, com o
valor em reais constante na fatura da conta de energia, fornecida pela CFLO.
13
Houve compatibilidade na análise realizada, sendo que se não
tivesse ocorrido, seria feita uma reformulação da situação-problema real, colocada
em linguagem Matemática, ou seja, seria estabelecida uma nova relação entre as
variáveis utilizadas.
Entende-se que a avaliação é parte integrante da ação didática do
docente, necessária, indispensável e realizada simultaneamente ao processo de
ensino.
Nesta experiência, os alunos foram avaliados constantemente, sendo
observado o seu interesse, a criatividade na formulação e resolução das situações-
problema, o desenvolvimento dos conteúdos matemáticos e a capacidade de
generalização. Ainda foi complementada com um relatório das atividades
desenvolvidas e uma auto-avaliação.
Isto vem ao encontro do que Burak (1992, p. 315) ensina, que a
avaliação, visando o caráter de reorientação, favorece a criatividade do processo
que caracteriza a Modelagem Matemática. Afirma o educador, “se a avaliação
mostra baixa adequação das respostas dos alunos, pode direcionar o processo na
perspectiva da busca do objetivo proposto, por outro caminho ainda não trilhado”.
13
Este valor é aproximado, pois não foram utilizados todos os aparelhos elétricos usados, sendo que os cálculos
realizados foram baseados pela média do uso dos aparelhos.
109
4.2 A SEGUNDA EXPERIÊNCIA
Este projeto foi desenvolvido no Colégio Estadual Professor Amarílio
– Ensino Fundamental e Médio, com 15 alunos da 3ª série do Ensino Médio, turno
noturno, na faixa etária de 15 a 19 anos. O projeto desenvolveu-se durante todo
segundo bimestre do período letivo do ano de 2006, com encontros às terças-feiras,
com duas horas-aulas cada evento.
Ao solicitar permissão para o desenvolvimento do projeto à Direção,
à Supervisão Pedagógica e à professora de Matemática do Colégio em pauta,
explicitou-se os objetivos da Modelagem Matemática e, portanto, das atividades que
estavam sendo propostas, naquele momento. De imediato os profissionais da
educação aceitaram, vendo uma oportunidade de proporcionar aos alunos uma nova
metodologia de ensino, e um caminho para despertar o interesse e a valorização
pela Matemática, com possibilidades para desenvolver o senso crítico, a criatividade
e torná-los co-responsáveis pelo seu aprendizado.
Almeida e Dias (2004, p. 20) ensinam que “o desenvolvimento de
ações que visam uma prática escolar em que a Matemática seja associada de forma
mais efetiva à realidade dos alunos, tem sido uma alternativa de mudança”.
No dia 18 de abril de 2006, foi iniciado o projeto com os alunos,
oportunidade em que foram expostos os objetivos da Modelagem Matemática. Seu
desenvolvimento e as atividades que seriam desenvolvidas durante o bimestre,
sempre acompanhados pela professora de Matemática da turma.
Depois da exposição e esclarecidas as dúvidas dos alunos em
relação ao projeto, foi sugerido que pensassem e escolhessem um tema para
nominar e serem trabalhados de acordo com seus interesses ou afinidades. Para
110
Almeida e Dias (2004, p. 25), a Modelagem Matemática é uma alternativa para os
alunos de “identificar e estudar situações-problema de sua realidade, despertando
maior interesse e desenvolvendo um conhecimento mais crítico e reflexivo em
relação aos conteúdos da Matemática”.
Assim, reunidos em equipes de 4 e 5 alunos, discutiram e apontaram
várias idéias, como: voleibol, lutas, comércio, dança, construção e fabricação de
bolachas. Os alunos expuseram os motivos da sugestão e, depois de refletirem,
deveriam trabalhar um único tema. Escolheram o tema “Fabricação de Bolachas”,
tendo como justificativa o fato de que um dos alunos era funcionário da fábrica de
bolachas.
Cury (2003) considera que a busca de temas que podem ser
modelados é um dos momentos mais interessantes de um projeto de Modelagem
Matemática, pois nessa escolha os alunos desvelam suas preocupações,
educacionais, sociais e pessoais, ou seja, são temas ligados a situações reais
vivenciadas por eles ou por suas comunidades, o que ficou caracterizado neste
trabalho com a escolha de um tema relacionado á experiência de vida de um dos
envolvidos.
Depois da escolha do tema surgiram diversos questionamentos sobre
a origem da produção de bolachas, de como se fabricam, os ingredientes, o
acondicionamento, as embalagens e outras curiosidades. Foi então sugerido, por
esta pesquisadora, que os alunos fizessem uma pesquisa bibliográfica sobre
fabricação de bolachas para recolher todas as informações possíveis e discuti-las no
próximo encontro.
111
Os alunos pensaram, também, em entrevistar um fabricante de
bolachas, para obter informações sobre sua confecção e, com auxílio do professor
de Língua Portuguesa elaboraram um questionário para ser aplicado ao proprietário
da fábrica em questão. A empresa escolhida para a investigação, de propriedade do
Sr. Douglas Luis Limberger, a “Beijo Baiano”, localizada no Bairro Santa Cruz,
cidade de Guarapuava, há 12 anos fabrica bolachas de mel, macarrão e bolos sob
encomenda. A produção média diária é de 650 Kg de bolachas, sendo que nos
meses de junho, julho e agosto, a produção e o consumo aumentam.
As embalagens de 500g são adquiridas na cidade de Jaraguá do Sul,
as de 250g em Curitiba e as etiquetas para as embalagens de 250g aqui mesmo em
Guarapuava. As embalagens de 500g não são etiquetadas, em razão da forma de
acondicionamento.
Segundo o proprietário da empresa, esta tem uma margem de lucro
que varia entre 8% e 10%, sendo que os produtos são comercializados em 13
municípios do Paraná, Santa Catarina e São Paulo.
Durante a semana, alguns alunos foram até a fábrica para entrevistar
o proprietário que, de início se mostrou apreensivo, mas depois de exposto o
objetivo do questionário, foi prestativo e forneceu todas as informações solicitadas.
Na ocasião, distribuiu aos alunos, pacotes de bolachas de 500g e 250g e algumas
embalagens de papelão de dimensões distintas.
Com os dados coletados em mãos, os alunos questionaram: O peso
de cada bolacha? Quais as medidas das embalagens? Quantas bolachas são
produzidas por dia? Qual o gasto e o lucro do fabricante de bolachas? Com estas e
112
outras questões similares, os alunos estavam diante de problemas formulados por
eles próprios.
Neste momento ocorreu o que Mendonça (1993, p. 30) chama de
problematização. Segundo a autora “é o caminho em direção ao problema, é a
problemática que leva à formulação do problema”. No caso, trata-se de problemas
legítimos para os alunos, relacionados aos seus interesses, pois é um assunto com
implicações diretas no seu contexto de vida.
Para resolver as situações-problema, dividiu-se a classe em grupos,
conforme já mencionado, para facilitar o atendimento às possíveis dúvidas
levantadas pelos grupos. “O professor não pode prescrever para o aluno que etapa
deverá cumprir, mas permitir que ele próprio esboce seu caminho”. Barbosa (2003,
p. 65). Desse modo, elaboraram e resolveram as situações-problema, apresentadas
no decorrer deste capítulo.
A complexidade dos problemas levantados pelos alunos evoluíram
gradativamente. Inicialmente, foram propostas questões que buscam resultados
imediatos de aplicação elementar de Matemática.
Primeiramente, levantaram a seguinte questão: Qual o peso de 1
bolacha de mel, coberta com chocolate e embalada em pacotes de 500g e 250g?
Para chegar ao solicitado, os alunos resolveram as seguintes
questões Matemáticas:
250g tem 12 bolachas 250 : 12 = 20,83g cada bolacha
500g tem 24 bolachas 500 : 24 = 20,83g cada bolacha
113
Pensou-se, em seguida, sobre as medidas das embalagens
utilizadas, questionando-se: Qual a medida das embalagens? Qual a área das
embalagens?
250g: 24cm por 15cm A = 24 X 15 = 360cm
2
500g: 28cm por 18cm A = 28 X 18 = 504cm
2
A próxima questão levantada foi: qual a quantidade de plástico usado
para confeccionar as embalagens? Considerando que as embalagens são
retangulares e duplas, os alunos multiplicaram o valor das áreas pelo número 2,
conforme apresentação:
18cm
2 X 360 = 720cm
2
28cm
2 X 504 = 1.008cm
2
24cm
15cm
Os alunos observaram que não existe a mesma proporcionalidade
que encontraram com o peso da bolacha.
Pensou-se, em seguida: Qual a capacidade do pacote de 500g?
Os alunos multiplicaram as três dimensões da embalagem:
V = 4 x 28 x 18 = 2.016cm
3
Em seguida, indagaram: qual a capacidade das caixas de papelão
utilizadas para armazenamento e transporte das bolachas?
A questão foi assim resolvida:
500g
250g
114
Caixa pequena: V = 44 x 24 x 15 = 15.849cm
3
Caixa grande: V = 28 x 45 x 25 = 31.500cm
3
A pesquisadora questionou como ficaria a diagonal da face lateral
das caixas se medidas com régua e com aplicação do Teorema de Pitágoras. Os
alunos realizaram os cálculos e observaram que houve uma pequena diferença
entre a medida com a régua e pela encontrada por cálculo. Concluíram que tal
diferença é devido à imprecisão dos instrumentos de medida, no caso, a régua.
Veja-se o resultado dos cálculos encontrados pelos alunos:
Caixa pequena - medida por régua: 28cm; pelo Teorema de
Pitágoras: x
2
= 24
2
+ 15
2
= 28,3cm
Caixa grande - medida por régua 52 cm; pelo Teorema de Pitágoras:
x
2
= 45
2
+ 25
2
= 51,4cm
2 25cm
45cm
Passou-se, em seguida, para a razão entre os volumes das caixas:
15.840
: 2
= 7.920
: 2
= 3.960
: 5
= 792
: 3
= 264
: 3
= 88 = 0,5029
31.500
: 2
15.750
: 2
7.875
: 5
1.575
: 3
525
: 3
175
Nesse ponto, foi relembrada a simplificação de frações e o conceito
de fração irredutível.
x
115
Os alunos pretenderam averiguar qual o valor das embalagens,
quantas embalagens são produzidas por dia e qual a produção diária de bolachas.
A primeira questão proposta foi: Qual o valor da embalagem plástica
para 1 pacote de bolacha? Veja-se o resultado dos cálculos, para embalagens de
250g e de 500g:
a) 250g
1.000 etiquetas = R$ 55,00
1.000 embalagens = R$ 35,00
Total R$ 90,00
O custo de cada embalagem/pacote C
1
= 90,00 = R$0,09
1.000
b) 500g
1.000 embalagens = R$ 48,00
O custo de cada embalagem/pacote C
2
= 48,00 = R$0,048
1.000
Considerando que a produção diária da fábrica, conforme dados
fornecidos pelo proprietário, é de 650 Kg de bolachas, questionou-se: quantas
unidades são produzidas por dia? Quantos pacotes de 500g poderão ser
confeccionados?
Os alunos chegaram aos seguintes resultados:
500g 24 bolachas
650.000g x
x = 31.200 bolachas
1 pct 24 un.
x 31.200 un.
x = 1.300 pacotes
116
Então, se podem ser confeccionados 1.300 pacotes, por dia, quantas
caixas podem ser arrumadas com a produção diária, sendo que em cada caixa são
armazenadas 20 pacotes de 500g?
1 cx 20 pct
x 1.300 pct
x = 65 caixas
Houve curiosidade dos alunos em saber qual era a produção mensal
da fábrica, já que ela funciona apenas 20 dias no mês. Segundo os cálculos e
considerando que podem ser produzidas 31.200 bolachas diárias, em 20 dias, tem-
se:
20 X 31.200 = 624.000 bolachas por mês
624.000 bolachas : 24 = 26.000 pacotes de bolachas
26.000 pacotes : 20 = 1.300 caixas de bolachas por mês
A partir desses dados, surgiu outra curiosidade: porque o preço do
pacote de 250g não é a metade do preço do pacote de 500g, já que o número de
bolachas neste pacote representa a metade do de 500g? Por meio dos custos das
embalagens, calculadas anteriormente, os alunos perceberam que se gasta mais
com os pacotes de 250g de bolachas.
Então, se a caixa pequena de papelão comporta 16 pacotes de 250g
e, a grande, 20 pacotes de 500g, qual o peso de cada caixa com as bolachas
armazenadas?
Os alunos foram lembrados que os cálculos devem ser feitos em
gramas e quilogramas, assim ficando:
117
Caixa Pequena = 16 X 250g = 4.000g = 4Kg
Caixa Grande = 20 X 500g = 10.000g = 10Kg
Alguns alunos dividiram os pesos em grama por 1.000 para encontrarem o
correspondente em quilograma. Outros utilizaram a regra de três:
1 Kg 1.000g 1 Kg 1.000g
x 4.000g x 10.000g
x = 4Kg x = 10Kg
Também se pensou: quantos metros quadrados de papelão são
necessários para construir 1.000 caixas, para armazenar as bolachas de 500g?
Para encontrar a resposta da situação-problema, percebeu-se a
necessidade de calcular a área de cada face, multiplicar o resultado por 2 e somá-
las.
De posse de uma caixa, com as medidas abaixo, passaram a
resolver a questão:
Desenvolvendo as operações, obtiveram o seguinte resultado:
Área lateral Al
1
= 28cm x 25cm = Al
1
= 700cm
2
x 2 = 1.400cm
2
28cm
45cm
25cm
118
Área lateral Al
2
= 45cm x 25cm = Al
2
= 1.125cm
2
x 2 = 2.250cm
2
Área das bases = Ab = 45 x 28
Ab = 1.260cm
2
x 2 = 2.520cm
2
Como a tampa e o fundo da caixa possuíam mais um reforço, foi
necessário calcular a área desses, baseando-se nas seguintes medidas: 28cm de
largura por 15cm de comprimento, e chegaram ao seguinte resultado:
A = 28cm x 15cm
A = 420cm
2
x 2 (da tampa) x 2 (do fundo) = 1.680cm
2
Área total: At = 1.400 + 2.250 + 2.520 + 1.680 = 7.850cm
2
E, para transformar em metros quadrados, utilizaram regra de três:
1m
2
10.000cm
2
x 7.850cm
2
x = 0, 785m
2
0,785 m
2
para 1 caixa = 0,785m
2
x 1.000 = 785m
2
Reforço da caixa
25
45
25
28
28
45
25
45
25
28
28
45
15
28
15
28
119
Área lateral de um paralelepípedo:
(45cm x 25cm) = (45 x 25) cm.cm = 1.125cm
2
2 (1.125cm
2
) = 2250cm
2
(25cm x 28cm) = (25 x 28) cm.cm = 700cm
2
2 (700cm
2
) = 1.400cm
2
Área da base:
(45cm x 28cm) = (45 x 28) cm.cm = 1.260 cm
2
2 (1260 cm
2
) = 2.520 cm
2
Área dos reforços da caixa:
(28cm x 15cm) = (28 x 15) cm.cm = 420cm
2
4 (420cm
2
) = 1.680cm
2
Área total do paralelepípedo:
Área lateral + área base
2.250 + 1.400 + 2.520 = 6.170cm
2
Neste caso necessita somar a
área total do paralelepípedo a área
dos reforços.
6.170 + 1.680 Área total da caixa = 7.850m
2
25
45
25
28
28
45
15
28
120
Para um paralelepípedo genérico de dimensões a, b, e c
1
St = ab + bc + ac + ab + bc + ac
St = 2ab + 2bc + 2ac c
St = 2 (ab + bc + ac) b
Caso as medidas de a, b e c forem iguais:
St = 2 (aa + aa + aa)
St = 2 (3a
2
) = 6a
2
Outra questão levantada diz respeito ao volume máximo de uma
caixa. Com uma folha de papelão de 100 cm x 100 cm, quer se construir uma caixa
que tenha o volume máximo. Quanto se deve tirar de cada lado para construir essa
caixa?
Os alunos colocaram os dados numa folha, para melhor situarem-se,
conforme mostra a seguir.
x
Elaboraram os cálculos para encontrar o volume da caixa que seria
confeccionada, observando-se a quantidade de centímetros que teriam de ser
retiradas de seus quatro cantos (x):
x
x
a
x
121
FOLHA (CM)
QUANTIDADE
RETIRADA (X)
EM CM
VOLUME (CM
3)
1 100 x 100 10 80 x 80 x 10 = 64.000
2 100 x 100 12 76 x 76 x 12 = 69.312
3 100 x 100 15 70 x70 x 15 = 73.500
4 100 x 100 16 68 x 68 x 16 = 73.984
5 100 x 100 17 66 x 66 x 17 = 74.052
6 100 x 100 18 64 x 64 x 18 = 73.728
7 100 x 100 20 60 x 60 x 20 = 72.000
8 100 x 100 22 56 x 56 x 22 = 68.992
9 100 x 100 24 52 x 52 x 24 = 64.896
Depois dos cálculos foi observado que seria preciso retirar 17cm de
cada canto do papelão, já que a tabela indicava que o volume máximo da caixa seria
de 74.052cm
3
, ou seja, a caixa deveria ser confeccionada com as seguintes
dimensões: 66cm de largura, por 66 cm de comprimento e 17cm de altura.
Mas surge um outro questionamento: haveria um caminho mais
rápido para encontrar o volume da caixa? Então explicou-se que poderia ser feita a
generalização, transformando numa função e resolvida por derivadas. Considerando
que este assunto não fazia parte do conteúdo de Matemática para o Ensino Médio,
naquele momento, mas optou-se por demonstrar aos alunos como seriam esses
cálculos, apenas a título de curiosidade, como segue:
V = a . b . c
V = (100 – 2x) (100 – 2x) x
V = (10.000 - 400x + 4 x
2
) x
V = 10.000x – 400x
2
+ 4x
3
V = 4x
3
- 400x
2
+ 10.000 x
100cm
V’ = 12x
2
– 800x + 10.000
12x
2
- 800x + 10.000 = 0
3x
2
- 200x + 2.500 = 0
x’ = 50
100-2x
100-2x
x
x
x
x
x
x
x
x
122
x’’ = 17 (aproximadamente)
V’’ (x) = 24x - 800
V’’ (50) = 24 . 50 - 800 = 1.200 – 800 = 400 > 0 (vol. mínimo)
V’’ (17) = 24 . 17 - 800 = 408 – 800 = - 392 < 0 (vol. Máximo)
Portanto o valor que produz volume máximo é 17cm
Depois de vistos peso e valor de bolachas e medidas de caixas,
lembrou-se dos funcionários da fábrica, e aí, os alunos ficaram curiosos em saber
como eram calculados seus salários. Para melhor explicar as questões trabalhistas,
foram convidados o Contador Carlos Alberto da Silva e o professor Marcelo
Abdanur, do Instituto Politécnico do Paraná (IPP) de Guarapuava, da área de
Recursos Humanos para conversarem com os alunos e tirarem suas dúvidas sobre
folha de pagamento, encargos sociais, tributação, porcentagem de comissão de
vendas e outros assuntos relativos.
Depois da palestra e sempre mantendo contato com o professor
convidado, foi possível resolver as situações problemas a seguir relacionadas.
Na entrevista o proprietário da fábrica havia informado que a
empresa emprega 5 vendedores, com um salário fixo de R$ 120,00 semanais e 7%
sobre as vendas efetuadas no mês, e 15 auxiliares de produção ganhando,
aproximadamente, R$ 400,00 mensais.
Os alunos passaram, então, a resolver as questões levantadas,
iniciando por: Sendo que a fábrica possui 5 vendedores e 15 auxiliares de produção,
qual o valor mensal da folha de pagamento, considerando apenas o salário fixo?
R$ 480,00 x 5 = R$ 2.400,00
123
R$ 400,00 x 15 = R$ 6.000,00
Agora, incluindo a porcentagem de 7% no salário de um vendedor,
supondo-se que o mesmo tenha concretizado vendas num total de R$ 189.000,00,
qual seria seu salário, no mês? Sabendo-se que o salário total é igual à soma do
salário fixo mais a comissão, apresentaram os seguintes cálculos:
R$ 189.000,00 x 0,07 = R$ 13.230,00
S = R$ 480,00 + R$ 13.230,00 = R$ 13.710,00
Verificou-se a aplicação de funções, neste caso de função salário.
Salário mensal = salário fixo + comissão de vendas mensal: S(x) = 480 + 0,07x,
onde x é a quantidade em reais vendidas no mês.
Sabendo-se que este vendedor realizou a venda de R$ 189.000,00,
sendo que cada caixa acondiciona 20 pacotes de 500g de bolachas, quantas caixas
de bolacha e quantos pacotes de bolachas foram vendidos? Observe-se que 1 caixa
comporta 20 pacotes de bolachas, que cada pacote custa R$ 2,70 e que cada caixa
custa R$ 54,00.
R$ 189,000,00 = 3.500 caixas
54
3.500 caixas x 20 pacotes = 70.000 pacotes
Portanto, o vendedor comercializou 3.500 caixas contendo 70.000
pacotes de bolachas.
Considere-se que o fabricante tenha vendido 1.000 Kg de bolachas.
Se as bolachas foram vendidas em pacotes de 500g, ao preço de R$ 2,70 cada
pacote, qual seria sua receita? E se ele vender em pacotes de 250g, ao preço de R$
1,60 cada um, qual seria sua receita? Qual das hipóteses será mais lucrativa?
124
1.000 Kg = 1.000.000g : 500g = 2.000 pacotes de 500g
2.000 pacotes x R$ 2,70 + R$ 5.400,00 (Receita)
1.000 Kg = 1.000.000g : 250g = 4.000 pacotes de 250g
4.000 pacotes x R$ 1,60 = R$ 6.400,00 (Receita)
Os alunos consideraram mais vantajosa a venda de pacotes de 250g,
pois teria uma receita de R$ 1.000,00 a mais, com a mesma quantidade de bolachas
vendidas.
Supondo-se agora que a “Beijo Baiano” tenha fabricado no ano de
2004, a quantidade de 312.000 pacotes de 500g de bolachas de mel, quantos
pacotes produzirá em 2008, se o aumento anual de produção for de 20%?
O fato do aumento anual da produção ser de 20% significa que a
produção da indústria, em um ano, é de 1,20 vezes sua produção, em relação ao
ano anterior.
Os alunos elaboraram os cálculos, sabendo que a produção de
bolachas, em 2004, foi de 312.000 pacotes.
Então,
2005 (produção de 2004) X 1,20 = 312.000 X 1,20 = 374.400
2006 (produção de 2005) X 1,20 = 374.000 X 1,20 = 449.280
2007 (produção de 2006) X 1,20 = 449.280 X 1,20 = 539.136
2008 (produção de 2007) X 1,20 = 539.136 X 1,20 = 646.963,20
Ou,
312.000 x 1,20
4
= 646.963, 20
125
Então, no ano de 2008, a fábrica de bolachas produzirá 646.963
pacotes de bolachas de 500g, se for considerado o aumento médio anual de
produção, em 20%.
Outra forma de se calcular a produção no ano de 2008 é construir um
modelo matemático para a situação:
Considerando: P
0
= 2004; P
1
= 2005; P
2
= 2006; P
3 =
2007; P
4
= 2008
P
0
= P
0
P
1
= P
0
+ iP
0
P
2
= P
1
+ iP
1
(desmembrando em função de P
0
)
P
2
= (P
0
+ iP
0
) + (P
0
+ iP
0
)
P
2
= (P
0
+ iP
0
) + (1 + i)
P
2
= P
0
(1 + i ) (1+ i )
P
2
= P
0
( 1 + i )
2
P
3
= P
2
+ i P
2
P
3 =
P
0
( 1 + i )
2
+ i [P
0
( 1 + i )
2
]
P
3 =
P
0
( 1 + i )
2
( 1 + i )
P
3 =
P
0
( 1 + i )
3
para
n qualquer
P
n
= P
0
(1 + i)
n
(modelo matemático)
Fazendo exemplo numérico referente ao exercício
Para n = 4
P
4 =
P
0
( 1 + i )
4
P
4 =
312.000 (1 + 20/100 )
4
P
4 =
312.000 (1,20 )
4
P
4 =
646.963,20
126
Todo o processo de Modelagem é revisado e criticado. Nesta etapa a
Modelagem Matemática passa por um tratamento mais refinado, com a interpretação
crítica da solução e sua validação na realidade considerada.
“A validação é importante na medida em que o modelo tem caráter
preditivo ou de decisão.” (BURAK, 1992, p.181)
Se o modelo não atender as necessidades que o geraram, o
processo deve ser retomado na etapa da formulação do problema e resolução,
mudando-se ou ajustando as variáveis ou hipóteses.
Supondo, agora, que o custo fixo da fábrica é de R$ 4.500,00,
determinem-se as funções custo total, a receita e o lucro, sabendo que o custo do
pacote de bolacha é de R$ 2,40 e o preço de venda é de R$ 2,70. Novamente
utiliza-se os conceitos de funções.
Custo total = custo Fixo + custo variável
Custo total = 4.500,00 + 2,40x
C(x) = 4.500 + 2,40
Receita = preço x quantidade
Receita = 2,70x
R(x) = 2,70x
Lucro = Receita - Custo
Lucro = 2,70x - (4.500 + 2,40x)
Lucro = 2,70x - 4.500 - 2,40x
Lucro = 0,30x - 4.500
L(x) = 0,30x – 4.500
Assim, se forem produzidos 26.000 pacotes de bolachas, qual será o
custo?
127
C (26.000) = 4.500 + 2,40 x 26.000 = R$ 66.900,00
Qual será a receita?
R (26.000) = 2,70 X 26.000 = R$ 70.200,00
De quanto será o lucro?
L (26.000) = 0,30 X 26.000 - 4.500 = R$ 3.300,00
Sabendo-
se que o lucro da indústria é dado pela função
L (x) = 0,30x – 4.500, onde “x” representa a quantidade de pacotes de bolachas
vendidas, qual a quantidade mínima de produtos que devem ser vendidos para que
haja lucro? 0,30x – 4.500 > 0
0,30x > 4.500
x > 15.000
Portanto, para que haja lucro devem ser vendidos 15.001 pacotes de
bolachas de 500g.
Em seguida solicitou-se aos alunos que utilizassem os dados da
produção da fábrica “Beijo Baiano”, durante o primeiro semestre de 2004 (Quadro
10), para a construção de um gráfico ilustrativo.
MESES QUANTIDADE (KG)
Janeiro 10.000
Fevereiro 12.500
Março 10.000
Abril 15.000
Maio 18.000
Junho 20.000
Julho 25.000
TOTAL 110.000
QUADRO 5 – Produção de bolachas da Beijo Baiano – primeiro semestre/04
FONTE: entrevista concedida pelo proprietário da Beijo Baiano em abril de 2006
128
Os alunos então construíram o seguinte gráfico ilustrativo:
10.000
12.500
10.000
15.000
18.000
20.000
25.000
0
5.000
10.000
15.000
20.000
25.000
Quantidade
(Kg)
J
a
n
e
i
r
o
F
e
v
e
r
e
i
r
o
A
b
r
i
l
M
a
i
o
J
u
n
h
o
J
u
l
h
o
Meses
GRÁFICO 1 – Produção de Bolachas 1
o
. Semestre 2004 – Beijo Baiano
FONTE: entrevista concedida pelo propriet
ário da Beijo Baiano em abril de 2006
Para saber qual o comportamento da produção da fábrica de
bolachas, de um mês para o outro e para completarem o quadro anterior com uma
coluna de taxas percentuais, os alunos elaboraram os seguintes cálculos, utilizando
regra de três:
Para calcular as taxas percentuais:
110.500 100%
10.000 x
x = 9,05%
e analogamente as outras.
Para calcular o desenvolvimento de produção de um mês para o outro:
129
10.000 100%
2.500 x
x = 25%
e assim sucessivamente para os outros meses.
Tem-se, assim, que o comportamento da produção de 2004, de
janeiro para o mês de fevereiro foi de 25%; de fevereiro para março de 20% de
redução, de março para abril de 50%; de abril para maio 20%; de maio para junho
11,11% e de junho a julho de 25%.
Depois, completaram o quadro:
MESES QUANTIDADE (KG) %
Janeiro 10.000 9,05
Fevereiro 12.500 11,31
Março 10.000 9,05
Abril 15.000 13,58
Maio 18.000 16,29
Junho 20.000 18,10
Julho 25.000 22,62
TOTAL 110.000 100,00
QUADRO 6 - Produção de bolachas da Beijo Baiano, durante o primeiro semestre
de 2004 (porcentagem)
FONTE: taxa calculada pelos alunos do Colégio Estadual Professor Amarílio – Ensino Fundamental
e Médio, em abril de 2006.
Em relação aos salários dos vendedores da empresa, de acordo com
informações do proprietário, nos meses de julho a dezembro de 2004, estes foram,
respectivamente, R$ 9.500,00, R$ 10.430,00, R$ 11.630,00, R$ 12.400,00, R$
14.000,00 e R$ 13.220,00. Questiona-se qual o valor médio dos salários dos
vendedores.
130
Os alunos efetuaram os seguintes cálculos, utilizando o conceito de
“média aritmética”:
M = ( 9.500 + 10.430 + 11.630 + 12.400 + 14.000 + 13.220) : 6
M = 71.180 = R$ 11.863,35
6
Conclui-se, assim, que o salário médio mensal pago aos vendedores
foi de R$ 11.863,35.
Utilizando as informações dos palestrantes Carlos e Marcelo, foi
possível calcular os encargos sociais da empresa com Tributação Normal na Receita
Federal. São recolhidos por parte da empresa 28, 80%, onde:
20% refere-se ao Instituto Nacional do Seguro Social (INSS)
14
3% refere-se ao seguro de acidente de trabalho
15
5,80% refere-se à contribuições a terceiros, como Serviço Brasileiro
de Apoio às Micro e Pequenas Empresas (Sebrae), Serviço Nacional de
Aprendizagem Industrial (Senai), dentre outros, de acordo com o tipo de empresa,
isto é, se de pequeno, médio ou grande porte. E ainda: 8,5% do Fundo de Garantia
por tempo de Serviço (FGTS), sendo 0,5% de contribuição social, totalizando
37,30%.
Portanto, para calcular 37,30% dos R$ 400,00 (salário de um
funcionário), foi utilizada uma regra de três:
14
O INSS descontado (pago pelo empregado e não pelo empregador) é determinado conforme
tabela progressiva do Instituto.
15
A percentagem do seguro pode variar de 1% a 3%, conforme o risco das tarefas executadas pelo
funcionário.
131
400 100
x 37,30
100x = 14.920
x = 149,20
Constatou-se, assim, que o empregador gasta em encargos, com
esse funcionário, o valor de R$ 149,20.
De acordo com a entrevista concedida aos alunos, pelo proprietário
da empresa Beijo Baiano, pode-se classificar os 20 funcionários da empresa por
sexo e estado civil. (Quadro 12).
ESTADO CIVIL HOMEM MULHER
Casado 04 03
Solteiro 02 05
Separado 02 01
Divorciado 01 02
TOTAL 09 11
QUADRO 7 – Classificação dos funcionários da Beijo Baiano, por sexo e estado
civil, abril de 2006
Fonte: Dados coletados da entrevista com o Sr. Douglas Luis Limberger, em abril de 2006.
Com base nestes dados foi possível ainda trabalhar com os alunos
cálculos probabilísticos, conforme pode ser observado a seguir.
Se for considerado que em uma reunião entre funcionários e gestores
da firma seja feito o sorteio de um prêmio, qual seria a probabilidade de:
a) ser um homem: p = 9/20
b) ser mulher: p = 11/20
c) ser pessoa casada: p = 7/20
d) ser pessoa solteira: p = 7/20
e) ser pessoa separada: p = 3/20
f) ser pessoa divorciada: p = 3/30
132
g) ser homem casado: p = 4/20
Barbosa (2003) comenta que a discussão pode levantar questões
que não são necessariamente conteúdos de Matemática, para o momento, mas que
se referem ao significado da exploração Matemática realizada pelos alunos.
Assim, depois de terem utilizado diversos dados fornecidos pelo
proprietário da fábrica de bolachas e terem resolvido as situações-problema
elaboradas, os alunos sugeriram ir ao supermercado e verificar os preços das
bolachas.
Ana, Paula e Luis desejando comprar bolachas de 250g e de 500g,
fizeram as seguintes escolhas:
Nº PACOTES
NOME
250 g
500g
Ana 04 02
Paula 03 04
Luis 02 03
A cotação de preços dos pacotes de bolachas foi feita em dois
supermercados, tendo apresentado os seguintes preços:
PESO MERCADO A
(R$)
MERCADO B
(R$)
250g 3,00 3,50
500g 5,00 5,60
Os alunos fizeram as compras no Supermercado A. Quanto teriam
gasto se comprassem no Supermercado B?
Com o os dados fornecidos nas duas tabelas, os alunos montaram
matrizes e realizaram multiplicação entre elas:
133
4 2 3 3,5
3 4 5 5,6
2 3
(12 + 10 ) (14 + 11,20 ) 22 25,20
( 9 + 20 ) (10,5 + 22,40 ) = 29 32,90
( 6 + 15 ) ( 7 + 16,80 ) 21 23,80
A matriz resultante fornece os valores gastos nos mercados A e B
(colunas) pelos alunos Ana, Paula e Luis (linhas)
Nesta ocasião foi feito um estudo de matrizes, conceitos,
propriedades, tipos e operações.
A realização deste trabalho permitiu concluir que ao realizar a
Modelagem Matemática em sala de aula, os alunos tiveram a oportunidade de
atribuir significados aos aspectos matemáticos, isto porque, como dizem Almeida e
Dias (2004, p. 37) se faz a “identificação das variáveis do problema em estudo e
estabelece relações entre elas, transferindo aspectos da realidade para a linguagem
Matemática”.
4.3 CONSIDERAÇÕES GERAIS RELATIVAS ÀS EXPERIÊNCIAS
Feito as descrições das experiências e apontados algumas
possibilidades de encaminhamentos de trabalhos com a Modelagem será
apresentada uma breve análise acerca das experiências desenvolvidas.
134
Em ambos os projetos, inicialmente os alunos mantinham uma
atitude passiva, como, via de regra, ocorre no ensino ‘tradicional’. Somente com o
desenvolvimento das aulas é que puderam entender melhor a proposta com o uso
do Método da Modelagem e, a partir daí, houve uma participação mais ativa.
Nestas experiências, diferentemente dos projetos inicialmente
desenvolvidos na pós-graduação da Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e
Letras de Guarapuava, os alunos é que escolheram o tema a ser trabalhado, sem
que o docente os induzisse ao tema.
É de grande importância que o tema seja escolhido pelos alunos,
pois desta forma, se sentirão co-responsáveis pelo processo de aprendizagem,
tornando sua participação mais efetiva. “A escolha do tema pelos alunos fará com
que se sintam participantes do processo”. (BIEMBENGUT, 1999, p. 45)
Como uma das etapas do projeto, os alunos das duas escolas
buscaram dados no campo, ou seja, na Companhia de Energia Elétrica e na Fábrica
de Bolachas, aplicando questionário e entrevista com os responsáveis pelas
entidades pesquisadas. No desenvolvimento do trabalho da fábrica de bolachas,
houve a interação com profissionais da área trabalhista, onde proferiram uma
palestra no Colégio, o que propiciou uma melhor visualização da importância da
Matemática estudada, como a valorização e conhecimento do trabalho de outro
profissional. A partir dos dados levantados, foi possível trabalhar vários conteúdos
previstos no programa da disciplina, e outros que não estavam previstos, sem que
os alunos perdessem o interesse pela matéria.
Os alunos, como participantes ativos no processo, formularam,
discutiram, resolveram e analisaram os problemas, contribuindo para a formação da
135
autonomia, do desenvolvimento da criatividade e a um amadurecimento construído
na ação individual e grupal.
No projeto relacionado à energia as situações-problema envolveram
a realidade cotidiana dos alunos de um modo geral, servindo como elemento
motivador para o aprendizado, não só dos conteúdos da disciplina de Matemática,
mas como de outras disciplinas, possibilitando a interdisciplinaridade. No projeto
desenvolvido na Fábrica de Bolachas, ocorreu o mesmo, exceto pelo fato do tema
estar relacionado ao cotidiano de um dos alunos da turma que trabalhava na referida
fábrica e que acabou interessando a todos os demais participantes.
Com o uso da Modelagem, os alunos relembraram conteúdos
matemáticos já aprendidos, como também foi possível assimilar outros novos,
refletiram sobre as diferentes maneiras de encontrar respostas às questões
levantadas e utilizaram técnicas complementares como construção de tabelas,
organização e interpretação de gráficos. Diferentemente do que ocorre no ensino
‘tradicional’, nestas experiências não foi observado o currículo linear, com uma
seqüência rígida dos conteúdos, pois estes são determinados pelos problemas ou
interesse de cada grupo, apresentando-se como um desafio ao professor.
As Diretrizes Curriculares Nacionais enfatizam o desenvolvimento do
currículo superando a visão disciplinar, apontando caminhos que desafiam e
rompem com a forma usual de ensino de Matemática. A Modelagem Matemática
favorece o enfoque interdisciplinar utilizando os conhecimentos de várias disciplinas
para resolver uma situação-problema.
Em ambos os projetos as manifesta
ções dos alunos foram positivas:
“aprendi mais e melhor com a modelagem”; “as aulas foram bem interessantes, pois
saíram daquela rotina”; “quando compramos esse produto nem pensamos que isso
136
envolve muito a Matemática”; “achei um jeito bem inteligente de deixar a Matemática
mais interessante”; “eu prefiro Modelagem Matemática, fica mais interessante e
legal, até a aprendizagem é melhor”; “todos trabalhamos com mais entusiasmo, com
vontade e até aprendemos com mais facilidade” (informação verbal)
16
.
Apenas dois alunos manifestaram gostar de estudar Matemática pela
forma tradicional, alegam estarem habituados a serem coordenados pelo professor e
resolver problemas que já estão prontos na apostila.
Em cada etapa do trabalho e atividade desenvolvida os alunos foram
avaliados, observando-se o interesse, a participação e a qualidade das sugestões e
discussões apresentadas, bem como realizadas auto-avaliações. Desta forma os
alunos sentiram-se livres para expor suas potencialidades sem medo de errar. Os
alunos que participaram da segunda experiência realizaram, ainda, uma avaliação
formal.
Durante todo o trabalho o papel do professor foi de orientar,
encaminhar, incentivar, ou seja, ser o mediador, criando condições para a
aprendizagem. O contato mais próximo com os alunos, no trabalho em grupo,
possibilita um vínculo mais estreito entre professor x aluno e aluno x aluno,
transformando a sala de aula em ambiente harmonioso e agradável.
16
Afirmações de alunos durante a experiência.
137
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho se propôs a discutir os vários aspectos da Modelagem
Matemática no âmbito da Educação Matemática bem como, do ensino e a
aprendizagem. Tinha como principal questão norteadora identificar os aspectos
favorecidos pela Modelagem enquanto uma prática educativa diferenciada para o
ensino de Matemática.
O referencial teórico apresentou vários aspectos da Matemática no
contexto da Educação Matemática, valendo-se de vários teóricos como Miguel,
Petronzelli, Schumbring e D`Ambrósio dentre outros, buscou mostrar a trajetória dos
Movimentos da Matemática Moderna, do Movimento da Educação Matemática e as
perspectivas para o ensino de Matemática a partir das Diretrizes ditadas pela Lei
9394/96 que trata da Educação Nacional. A trajetória da Modelagem Matemática,
desde a pré-história, os primeiros passos na Educação Brasileira, na concepção de
autores como Bassanezi, Burak, Biembengut dentre outros e as experiências
desenvolvidas no âmbito de duas escolas: uma particular e outra estadual, foram
importantes e significativas para a consecução dos objetivos e a identificação dos
vários aspectos favorecidos pela Modelagem Matemática.
O trabalho com a Modelagem, enquanto uma metodologia para o
ensino de Matemática evidenciou vários aspectos no seu desenvolvimento, dentre
eles pôde-se destacar: o interesse dos alunos, a construção e o desenvolvimento de
conceitos e dos conteúdos matemáticos, a contextualização das situações e a
integração com outras áreas do conhecimento, a socialização favorecida pelo
trabalho em grupo e a ruptura com o currículo linear.
138
O interesse dos alunos pôde-se constatar pela forma de agir, sempre
dispostos a colaborar, a contribuir e pelo envolvimento em todas as etapas do
trabalho, mesmo não havendo a atribuição de nota ou qualquer outro incentivo como
na primeira experiência relatada.
O desenvolvimento dos conteúdos matemático envolveu vários
conceitos e conteúdos matemáticos de séries anteriores, inclusive do Ensino
Fundamental na segunda experiência desenvolvida pelos alunos do Ensino Médio.
Ainda em relação aos conceitos e conteúdos matemáticos foram
trabalhados os modelos matemáticos já estabelecidos, mas também ocorreu a
construção de modelos matemáticos durante o desenvolvimento do trabalho com os
alunos do Ensino Médio, embora simples se constituíram em ações significativas
para o pensar matemático. A ampliação do conceito de modelo matemático também
se pôde constatar quando se deviam tomar decisões com bases em uma tabela.
Dessa forma, o conceito como uma representação transcende a visão exclusiva de
modelo matemático.
Algumas diferentes estratégias abordadas no desenvolvimento dos
conteúdos matemáticos, quando da resolução de situações-problema, evidenciaram
que quando o aluno se sente com mais liberdade para conjecturar e estabelecer
suas estratégias aflora a criatividade e a segurança.
Outro aspecto identificado foi que as ações desenvolvidas pelos
alunos têm um contexto como base para as situações-problema e o uso dos
conteúdos matemáticos. Nessa perspectiva, esses conteúdos ganham significados
uma vez que mantém estreita relação com a situação estudada, são importantes
para a resolução daquela situação. A Modelagem favorece a contextualização
quando parte de um tema de interesse dos alunos ou dos grupos de alunos
139
envolvidos. Nas experiências os temas trabalhados surgiram de situações discutidas
pelos grupos envolvidos nas duas experiências: Energia Elétrica e Fábrica de
Bolachas.
A interdisciplinaridade, característica fundamental da Modelagem, foi
acontecendo na medida em que os alunos iam pesquisando e aprofundando o tema,
através de atividades variadas, que se abriam para várias questões relacionadas a
outras áreas disciplinares. Essa metodologia favorece o enfoque interdisciplinar,
revigorando a integração e a articulação dos conhecimentos de outras áreas para
resolver um problema ou entender um determinado fenômeno, superando assim, o
tratamento estanque e compartimentado.
Nesse trabalho ao desenvolver o tema Energia Elétrica, constatou-se
o envolvimento da área da Física com suas unidades de medidas de consumo, a
área de Hidrografia, a área Matemática, Financeira, da Administração dentre outras.
No segundo trabalho além da Matemática, a área Comercial, Administração,
Ciências Contábeis entre outras. A Modelagem Matemática favorece a inserção de
outras áreas na medida em que são levantados os problemas diversos,
conseqüência da coleta de dados.
A socialização das ações, dos conteúdos e da resolução dos
problemas propostos favorecem a participação, as trocas de idéias e a iniciativa. O
trabalho em pequenos grupos desenvolve o espírito de equipe, o respeito entre cada
membro do grupo e as interações entre o grupo e os demais grupos, favorece as
discussões, análise crítica e a reflexão. Promovem no âmbito da sala de aula um
ambiente com discussões, trocas de idéias e reflexões que favorecem a
aprendizagem. Esses aspectos geralmente estão ausentes no ambiente de sala de
aula quando se ensina na forma usual.
140
Outro ponto identificado foi à forma de se trabalhar o currículo. O
ensino da Matemática realizado por meio da Modelagem, não é preso ao
planejamento curricular, não tem seqüência rígida, pois atende a proposta do
currículo não linear. O conteúdo a ser trabalhado é determinado pelos problemas
levantados em decorrência da pesquisa de campo. No ensino usual ocorre o
contrário, o conteúdo estabelecido no programa é que determina o tipo de problema
a ser trabalhado, onde é comum o uso do livro didático, e que muitas vezes é
seguido pelo professor sem adaptações ou introdução de outras técnicas ou
estratégias de abordagem. Os livros textos apresentam as fórmulas logo em seguida
da definição, os exemplos são colocados como se fossem modelos a serem
seguidos para a solução dos exercícios que são repetitivos. Quanto a este aspecto
observa-se que passividade dos alunos favorece a memorização sem compreensão
das fórmulas.
Dessa forma, a Modelagem Matemática enquanto uma metodologia
alternativa de ensino de Matemática mostrou vários aspectos decorrentes de sua
aplicação que a constituem como uma prática diferenciada. A possibilidade da
Modelagem, na perspectiva de Burak, como uma metodologia para o ensino de
Matemática parece favorecer o ensino de Matemática nos vários níveis de ensino.
Assim, a Modelagem Matemática num primeiro momento possibilita o
interesse por partir de temas da escolha do grupo ou dos grupos, promovendo à
valorização da Matemática contextualizada e, num segundo instante, à vontade de
conhecê-la, de explorá-la, de redescobri-la e, principalmente, de sentir gosto pelo
aprender matemático.
141
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
A ASTRONOMIA através dos tempos. Disponível em: <
http://www.vestibular1.com.br >. Acesso em: 20 out. 2005.
ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; DIAS, Michele Regiane. Um estudo sobre o uso
da modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem. Bolena, a.
17, n. 22, p. 19-35, 2004.
BARBOSA, Jonei Cerqueira. Modelagem matemática na sala de aula. Perspectiva,
Erechim (RS), EdiFAPES, v. 27, n. 98, p. 65-75, jun. 2003.
BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem
matemática. São Paulo: Contexto, 2002.
BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem matemática e implicações no ensino e
aprendizagem. Blumenau: Ed da Furb, 1999.
______. Qualidade no ensino de matemática na engenharia: uma proposta
metodológica e curricular. Tese de Doutorado, Florianópolis, 1997.
BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. 3. ed.
São Paulo: Contexto, 2003.
BITTENCOURT, Circe M. F. História, produção e memória do livro didático.
2006. Disponível em: <
www.scielo.br/scielo.php
>.
BRASIL. Lei n. 5.692, de 11 de agosto de 1971. Fixa Diretrizes e Bases para o
ensino de 1° e 2º graus, e dá outras providências. (Revogada pela Lei n. 9.394, de
20 de dezembro de 1996).
______. Lei n. 9.394, de 20 de dezembro de 1996. Estabelece as diretrizes e bases
da educação nacional. Diário Oficial da União, 23 dez. 1996.
______. Ministério de Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio (PCNEM). Brasília: MEC/SEMT,
1999.
______. Secretaria de Educa
ção Fundamental. Parâmetros curriculares
nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.
BURAK, Dionísio. Modelagem matemática: ações e interações no processo de
ensino-aprendizagem Campinas: UNICAMP/Faculdade de Educação. 1992.
142
______. Modelagem matemática: uma metodologia alternativa para o ensino de
matemática na 5ª série, 1987. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática),
Universidade Estadual Paulista Julio Mesquita A. Filho, Campus de Rio Claro, São
Paulo, 1987.
___________. Uma experiência com a Modelagem Matemática. Revista Pró-Mat
Paraná , Curitiba, n. 1, dez. 1998.
______. Modelagem Matemática e a sala de aula. In: ENCONTRO PARANAENSE
DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 1, 2004, Londrina. Anais...
Londrina: UEL, 2004.
CHAVES, Maria Isaura de Albuquerque. Modelando matematicamente questões
ambientais relacionadas com a água a propósito do ensino-aprendizagem de
funções na 1ª série do ensino médio. 2005. Dissertação (Mestrado em Educação:
Ciências e Matemática), Núcleo Pedagógico de Apoio ao Desenvolvimento
Científico, Universidade Estadual do Pará, Belém, 2005.
CURY, Helena Noronha. Modelagem matemática e problemas em ciências: uma
experiência em um curso de mestrado. Revista Perspectiva, v. 27, n. 98, p. 75-86,
2003.
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à prática. 10 ed.
Campinas: Papirus, 2003.
______. Etnomatemática. Educação Matemática em Revista, Sociedade Brasileira
de Educação Matemática (SBEM), a. 6, n. 7, jul. 1999, p. 5-10.
DISCUSSÕES sobre Modelagem Matemática e o Ensino-aprendizagem. Disponível
em: www.somatematica.com.br/artigos/a8/p.4.php. Nov.2004.
EDUCACIÓN MATEMÁTICA. Comissión nacional para profesores en
matemáticas. v.1, n.3, pg.58, dez.1989.
EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 2. ed. São Paulo: UNICAMP,
2002.
FIORENTINI, D. Rumos da pesquisa brasileira em educação matemática: o caso
da produção científica em cursos de pós-graduação. 1994. Tese (Doutorado em
Educação), Universidade Estadual de Campinas, 1994.
______.; LORENZATO, S. Investigação em educação matemática: percursos
teóricos e metodológicos. Ed 1. Campinas, SP: 2006, autores associados.
143
GIL, Antonio Carlos. Como elaborar projetos de pesquisa. 4. ed. São Paulo: Atlas,
2002.
GITIRANA, Verônica. Práticas avaliativas em língua portuguesa e matemática.
Texto 2 – Avaliação em matemática. 2002. Disponível em: <
www.tvebrasil.com.br/salto/boletins2002/aas >. Acesso em 06 jul. 2006
GUIMARÃES, Ana Archangelo. O professor construtivista: desafios de um sujeito
que aprende. Disponível em: <http://www.unicamp.br/iel/memoria/construtivista.html
>. Acesso em 15 maio 2006.
GUNDLACH, Bernard H. História dos números e numerais: tópicos de história da
matemática. São Paulo: Atual, 1992.
HISTÓRIA da matemática na Babilônia. Disponível em:
<http://www.malhatlantica.pt>. Acesso em: 18 out. 2005.
HISTÓRIA da matemática no Egito. Disponível em: <http://www.malhatlantica.pt>.
Acesso em: 18 out. 2005.
KLINE, M. O fracasso da matemática moderna. São Paulo: Ibrasa, 1976, p. 32 a
41.
MACHADO, Nilson José. Epistemologia e didática: as concepções de
conhecimento e inteligência e a prática docente. São Paulo: Cortez, 1995.
MARTINO, Luis Mauro. Métodos e teorias pedagógicas. Revista Educação, n. 221
set. 1999.
MATUI, Jiron. Construtivismo: teoria construtivista sócio-histórica aplicada ao
ensino. São Paulo: Moderna, 1996.
MENDONÇA, Ana Valeska. Universidade e formação de professores: uma
perspectiva integradora. A “Universidade de Educação” de Anísio Teixeira. Rio de
Janeiro, Departamento de Educação, PUCRJ, 1993, Tese de Doutorado.
MIGUEL, Antonio. Disciplinarização da educação matemática. In: MIGUEL, Antonio
et al. A educação matemática: uma área de conhecimento em consolidação.
São Paulo: UNICAMP/UNESP/PUC. Disponível em:
<http://www.anped.org.br/26/outrostextos/tegt19.rtf.>. Acesso em 12 maio 2006a.
MIGUEL, Jos
é Carlos. O ensino de matemática na perspectiva da formação de
conceitos: implicações teórico-metodológicas. Disponível em <
http://www.unesp.br/prograd/PDFNE2003/O%20ensino%20de%20matematica.pdf. > Acesso
em 16 maio 2006b.
144
NEVES, Vilma Fernandes. Aprender, ensinar segundo os fundamentos pedagógicos
dos parâmetros curriculares nacionais: uma proposta aplicável? Disponível em:
<http://www.utp.br/mestradoemeducacao/peddc.html >. Acesso em 15 maio 2006.
OHSE, Marcos Leandro. História da matemática. Disponível em: <
http://www.somatematica.com.br >. Acesso em 24 out. 2005.
OREY, Daniel C.; ROSA, Millton. Minicurso etnomatemática como ação
pedagógica. II Congresso Brasileiro de Etnomatemática, Natal (RN), 4 -7 abr. 2004.
Disponível em: < http://www.csus.edu/indiv/o/oreyd/ethnomath/oreyrosa.cbem2.htm
>. Acesso em 10 jan. 2006.
PELISSARI, Bernadete. Modelagem matemática: uma estratégia para ensinar
matemática a partir da realidade. Monografia de Conclusão de Curso de Pós-
Graduação (latu sensu), UNICENTRO, Guarapuava, 1993.
PERRENOUD, Philippe. Avaliação: da excelência à regulação das aprendizagens –
entre duas lógicas. Porto Alegre: Artmed, 1999.
PETRONZELLI, Vera Lúcia Lucio. Educação matemática e a aquisição de
conhecimentos simbólicos: alguns caminhos a serem trilhados. Dissertação.
Universidade Tuiuti do Paraná, 2002. Disponível em: <www.utp.br>. Acesso em 28
out. 2005.
PIRES, Célia Maria Carolino. Currículos de matemática: da organização linear à
idéia de rede. São Paulo: FTD, 2000.
PLACCO, Vera Maria N. S. Correntes psicológicas subjacentes à didática do
ensino: em foco o professor do ensino superior. CASTANHO, Sérgio; CASTANHO,
Maria Eugênia (org.). Temas e textos em metodologia do ensino superior. 5. ed.
Campinas: Papirus, 2001. p. 47-56.
PONTE, João Pedro da. O ensino da Matemática em Portugal: Uma prioridade
educativa? In O ensino da Matemática: Situação e perspectivas (pp. 21-56).
Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. 2003. Disponível em: <
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte>.
RODRIGUES, Cleire Maria do Amaral. Avaliação da aprendizagem e avaliação
institucional. Disponível em: < http://www.fundacaojoseeliastajra.org.br>. Acesso
em 18 maio 2006.
ROMANATTO, Mauro Carlos. O livro didático: alcances e limites. Disponível em <
http://www.sbempaulista.org.br/epem/anais/mesas_redondas/mr19-Mauro.doc>.
Acesso em: 05 jul. 2006
ROSA, Milton; OREY, Daniel C. Vinho e queijo: etnomatemática e modelagem.
Disponível em: < http://www.csus.edu >. Acesso em 10 jan. 2005.
145
SAMPAIO, João C. V. Funções e alguma história. DM-UFSCar. Disponível em:
< http://www2.dm.ufscar.br/~sampaio/funcoesgalileu.PDF >. Acesso em: 31/01/2004.
SANTOMÉ, Jurjo Torres. Globalização e interdisciplinaridade: o currículo
integrado. Trad. Claudia Schillimg. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 1998.
SANTOS, Inês Grasiela Dalmolin dos. Modelagem matemática: uma experiência
alternativa para o ensino da matemática nas 7ª séries do 1º grau. Monografia de
Conclusão de Curso de Pós-Graduação (latu sensu), FACIBEL, Francisco Beltrão,
1997.
SANTOS, Maria Elena Prado dos. O ensino de matemática nas séries iniciais.
Monografia de Conclusão de Curso de Pós-Graduação (latu sensu), FAFIG,
Guarapuava, 1990.
SCHUBRING, G. O primeiro movimento internacional de reforma curricular em
matemática e o papel da Alemanha: um estudo de caso na transição e conceitos.
Zetetiké, v.7, n. 11, pg-29,50, 1999.
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ (SEED). Departamento
de Ensino Fundamental. Diretrizes curriculares de matemática para o ensino
fundamental: matemática. Disponível em: <
http://www.seed.pr.gov.br/portals/portal/diretrizes >. Acesso em 15 mar. 2006a.
______. ______. Roteiro de estudo do texto preliminar das diretrizes
curriculares de matemática. Curitiba: SEED, 2005.
______. Departamento de Ensino Médio. Orientações curriculares de
matemática. Disponível em: < http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br >. Acesso em
21 mar. 2006b.
______. Superintendência de Educação. Departamento de Ensino de Primeiro Grau.
Currículo básico para a escola pública do estado do Paraná. 2. ed. Curitiba,
1992.
______. ______. ______. Alfabetização & conteúdos de ensino. Curitiba, 1992.
(Cadernos do Ensino Fundamental, 3).
______. ______. Departamento de Ensino de Primeiro Grau. Currículo básico
para a escola pública do estado do Paraná. 2. ed. Curitiba, 1992.
SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO (SMEV). Vitória (ES). Matemática.
Disponível em: Disponível em: <http://www.vitoria.es.gov.br>. Acesso em 5 abr.
2006.
SILVEIRA, Jean Carlos; RIBAS, João Luiz Domingues. Discussões sobre
modelagem matemática e o ensino-aprendizagem. ENCONTRO PARANAENSE
146
DE MODELAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA, 2004, 1., Londrina. Disponível
em: < http://www.somatematica.com.br/artigos/a8/ >. Acesso em: 23 out. 2005.
SKINNER, F.B. Sobre o Behaviorismo. Trad. Maria da P. Villalobos. São Paulo:
Cultrix, 1988.
SOUZA, Analucia C. P. DE. PEREIRA, Mariângela. Tendências em educação
matemática em um curso de extensão universitária. In: Relatório, 19 mar. a 07
maio 2005. Olímpia (SP): Faculdade Ernesto Riscali (FAER). Disponível em:
<http://200.231.172.253/cnmac/storal2/analucia_souza_SE5.pdf>. Acesso em 15
out. 2005.
SPERD, Dalila C. Problemas gerais do currículo. Porto Alegre: Globo; Brasília:
INL, 1976.
TAHAN, M. Didática da matemática. São Paulo: Saraiva, 1962.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA (USFS). Histórico das
conferências nacionais de modelagem e educação matemática. Disponível em:
< http://www.uefs.br/cnmem/histo.html >. Acesso em: 26 out. 2005.
VYGOTSKY, L S. A formação social da mente. São Paulo: Martins Fontes, 1987.
ZACHARIAS, Vera Lúcia C. Disponível em: <
www.centrorefeducacional.com.br/ensimate.htm >. 1998. Acesso em: 06 jul. 2006.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
