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Activité 1 : Les deux font la paire
Figure 1 Figure 2 Figure 3 Figure 4
a. Dans les figures 2 et 4, les angles bleu et rose sont dits adjacents. Ce n'est pas le cas
pour les autres figures. À partir de tes observations, essaie d'expliquer à quelles conditions
deux angles sont adjacents.
b. Deux angles adjacents ont-ils nécessairement la même mesure ? Justifie ta réponse.
Figure 5 Figure 6 Figure 7 Figure 8
c. Dans les figures 5 et 8, les angles bleu et vert sont dits opposés par le sommet.
Ce n'est pas le cas pour les autres figures. À partir de tes observations, essaie d'expliquer à
quelles conditions deux angles sont opposés par le sommet.
d. Deux angles opposés par le sommet ont-ils nécessairement la même mesure ? Justifie ta
réponse en utilisant une propriété sur deux angles symétriques par rapport à un point.
Activité 2 : De jolies sommes !
a. Trace un triangle ABC rectangle en A puis mesure les angles
ABC
et
BCA
.
b. Marie affirme que tous les élèves de la classe ne trouveront pas nécessairement les
mêmes mesures mais qu'il y a quand même une relation entre ces deux mesures. Quelle est-
elle ? Justifie ta réponse.
On dit que deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures
est égale à 90°.
c. Les angles
ABC
et
BCA
sont-ils complémentaires ?
d. Construis deux angles complémentaires et adjacents dont l'un mesure 64°.
e. Ahmed a mesuré l'angle
x O z
ci-contre et a trouvé 110°.
Sa voisine lui dit que ce n'est pas possible et qu'à partir de l'erreur
d'Ahmed elle pense connaître la bonne mesure. Quelle est cette
mesure ? Comment a-t-elle pu la trouver ?
On dit que deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est
égale à 180°.
f. Les angles
x O z
et
z O y
sont-ils supplémentaires ?
g. Construis deux angles supplémentaires et non adjacents dont l'un mesure 52°.
ANGLES - CHAPITRE G5
Activités
Activités
1
O
x
y
z
O'
O
x
y
z
t
O
x
z
y
x
y
z
t
O
O
x
y
z
t
O
x
y
z
t
x
y
z
t
O
O
x
y
z
t
x
O
y
z
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Activité 3 : Quand ils sont symétriques, ils sont sympathiques
a. Les angles
AMG
et
EPB
sont des angles alternes-
internes déterminés par les droites (AD), (HE) et la
sécante (BG). Cite une autre paire d'angles alternes-internes
déterminés par les droites (AD), (HE) et la sécante (BG).
b. Les angles
AMG
et
HPG
sont des angles correspondants
déterminés par les droites (AD), (HE) et la sécante (BG). Cite
trois autres paires d'angles correspondants déterminés par les
droites (AD), (HE) et la sécante (BG).
c. Avec le logiciel Tracenpoche, place trois points A,
M et O non alignés. En utilisant l'outil , construis les
points B et N symétriques respectifs des points A et M
par rapport à O puis trace les droites (AM), (BN) et
(MN) en utilisant l'outil droite .
d. Que peux-tu dire des droites (AM) et (BN) ? Justifie
ta réponse.
e. Comment peux-tu qualifier les angles
AMN
et
BNM
?
f. Dans la fenêtre analyse, recopie :
angle(AMN)=
angle(BNM)=
Appuie sur la touche F9 puis déplace le point M. Que remarques-tu ? Justifie ta remarque en
utilisant une propriété sur deux angles symétriques par rapport à un point.
g. À l'aide des questions e. et f., recopie puis complète la phrase : « Si deux angles
alternes-internes sont déterminés par des droites … alors ils … . ».
h. Écris une propriété identique à celle de la question g. pour des angles correspondants.
Activité 4 : Avec des angles correspondants égaux...
a. Observe la figure ci-contre puis reproduis-la en
choisissant la même mesure pour les angles
ERF
et
ESH
.
b. Comment peux-tu qualifier les angles
ERF
et
ESH
?
c. Sur ta figure, quelle est la position relative des
droites (RF) et (SH) ?
d. À l'aide des questions b. et c., recopie puis
complète la phrase : « Si deux angles correspondants
sont … alors les deux droites coupées par la sécante
sont … ».
e. Écris une propriété identique à celle de la question d. pour les angles alternes-internes.
CHAPITRE G5 - ANGLES
2
A
B
O
M
N
H
A
B
D
E
G
M
P
Activités
Activités
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Méthode 1 : Caractériser deux angles
ayant un sommet commun
À connaître
Deux angles adjacents sont deux angles qui ont un sommet commun, un côté
commun et qui sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont un sommet
commun et qui ont leurs côtés dans le prolongement l'un de l'autre.
Exemple 1 : Sur la figure ci-dessous, que peux-tu dire des angles
AOB
et
BOC
?
Les angles
AOB
et
BOC
ont comme sommet commun le
point O, comme côté commun la demi-droite [OB) et sont
placés de part et d'autre de [OB) : ils sont donc adjacents.
Exemple 2 : Sur la figure ci-dessous, que peux-tu dire des angles
AOB
et
DOE
?
Les angles
AOB
et
DOE
ont comme sommet commun le
point O et des côtés dans le prolongement l'un de l'autre
(A,O,D et B,O,E sont alignés) : ils sont donc opposés par le
sommet.
À toi de jouer
1 Sur la figure ci-contre, nomme trois paires d'angles
adjacents.
2 Que dire des angles
VST
et
ESR
pour un parallélogramme VERT de centre S ?
Méthode 2 : Caractériser deux angles complémentaires
À connaître
Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme de leurs mesures
est égale à 90°.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, que peux-tu dire des angles
AOB
et
BOC
?
Les angles
AOB
et
BOC
forment un angle droit : la somme
de leurs mesures vaut 90°. Ce sont donc des angles
complémentaires.
Remarque : Deux angles complémentaires et adjacents
forment un angle droit. On peut donc en déduire que des
droites sont perpendiculaires.
À toi de jouer
3 Les angles ci-
contre sont-ils
complémentaires ?
4 Donne le comlémentaire d'un angle
de 27°.
5 Que peux-tu dire des angles aigus
d'un triangle rectangle ? Justifie ta
réponse.
ANGLES - CHAPITRE G5
Méthodes
Méthodes
3
O
A
B
C
O
A
B
D
E
O
A
C
B
O
A
B
C
D
58°
34°
Méthode 3 : Caractériser deux angles supplémentaires
À connaître
Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme de leurs mesures
est égale à 180°.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, que peux-tu dire des angles
AOB
et
FED
?
AOB
+
FED
= 57° + 123° = 180° donc les angles
AOB
et
FED
sont supplémentaires.
Remarque : Deux angles supplémentaires et adjacents
forment un angle plat. On peut donc en déduire que des
points sont alignés.
À toi de jouer
6 Les angles ci-dessous sont-ils
supplémentaires ?
7 Les points A, O et B sont-ils alignés ?
Méthode 4 : Caractériser deux angles
définis par deux droites et une sécante
À connaître
Les angles verts sont alternes-internes.
Ils sont déterminés par les droites (d), (d') et
la sécante (d
1
).
Les angles roses sont correspondants.
Ils sont déterminés par les droites (d), (d') et
la sécante (d
2
).
Exemple : À l'aide de la figure, nomme des angles alternes-internes et des correspondants.
Les droites (ut), (vz) et la sécante (yw) forment :
• deux paires d'angles alternes-internes qui sont :
uBw
et
y C z
,
v C y
et
t Bw
.
• quatre paires d'angles correspondants qui sont :
y Bu
et
v C y
,
y Bt
et
y C z
,
uBw
et
v C w
,
t Bw
et
z C w
.
À toi de jouer
8 Sur la figure ci-dessous, les angles
y O x '
et
x E z '
sont-ils alternes-
internes ?
9 Sur la figure ci-dessous, nomme
deux paires d'angles alternes-internes
et quatre paires d'angles
correspondants.
CHAPITRE G5 - ANGLES
4
O
A
57°
B
123°
D
E
F
57°
113°
A
O
B
C
108°
72°
(d)
(d')
(d
1
)
(d
2
)
B
y
C
t
z
u v
w
O
x
x'
E
y
z
y'
z'
T
H
L
E
O
x
x'
Méthodes
Méthodes
Méthode 5 : Calculer la mesure d'un angle
À connaître
Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure.
Si deux angles alternes-internes sont déterminés par des droites parallèles
alors ils ont la même mesure.
Si deux angles correspondants sont déterminés par des droites parallèles
alors ils ont la même mesure.
Exemple :
Les
droites
(vt)
et
(uy)
sont
parallèles.
Calcule
la
mesure
des
angles
z E y
et
v G w
.
Les angles correspondants
z Gt
et
z E y
sont déterminés par les
droites (vt) et (uy) qui sont parallèles. Ils sont donc de la même
mesure. L'angle
z E y
mesure donc 72°.
Les angles
z Gt
et
v G w
sont opposés par le sommet. Ils sont
donc de la même mesure. L'angle
v G w
mesure donc 72°.
À toi de jouer
10 Sur la figure ci-contre, les droites (zz') et (uu') sont
parallèles. Calcule la mesure de l'angle
x ' R z '
puis celle de
l'angle
uE x
.
Méthode 6 : Justifier que des droites sont parallèles
À connaître
Si deux angles alternes-internes sont de même mesure
alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.
Si deux angles correspondants sont de même mesure
alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.
Exemple : Les droites (yy') et (zz') sont-elles parallèles ? Les droites (xx') et (uu') sont-elles
parallèles ?
Les angles
x ' A y '
et
x B z
déterminés par les droites (yy'),
(zz') et la sécante (xx') sont alternes-internes. Les angles
x ' A y '
et
x B z
ont la même mesure.
Donc les droites (yy') et (zz') sont parallèles.
Les angles
x ' A y '
et
u ' D y '
déterminés par les droites
(xx'), (uu') et la sécante (yy') sont correspondants. Si les
droites
(xx')
et
(uu')
étaient
parallèles alors les angles
x ' A y '
et
u ' D y '
seraient de la même mesure, ce qui n'est pas le
cas. Donc les droites (xx') et (uu') ne sont pas parallèles.
À toi de jouer
11 Dans chaque cas, indique si les droites
(AB) et (OT) sont parallèles. Justifie ta réponse.
ANGLES - CHAPITRE G5
5
110°
B
T
U
S
E
C
110°
A
O
1
90°
B
T
U
S
E
C
A
O
2
89°
A
x
B
112°
y
z
x'
z'
y'
C
D
112°
108°
u
u'
G
y
E
u
v
w
72°
t
z
72°
113°
x
x'
E
R
u'
u
z'
z
Méthodes
Méthodes
Série 1 : Angles, vocabulaire
Série 1 : Angles, vocabulaire
1 Les angles
a
et
b
sont deux angles
complémentaires. Calcule la mesure de
b
si :
a
= 45°,
a
= 37°,
a
= 2°,
a
= 8
b
.
2 Les angles
x
et
y
sont deux angles
supplémentaires. Calcule la mesure de
y
si :
x
= 103°,
x
= 95°,
x
= 56°,
x
= 14
y
.
3 Indique si les angles rose et bleu sont
adjacents, opposés par le sommet. Justifie ta
réponse.
Figure 1 Figure 2 Figure 3
Figure 4 Figure 5 Figure 6
4 Indique si les angles proposés sont
adjacents, complémentaires, supplémentaires,
adjacents et complémentaires, adjacents et
supplémentaires. Justifie ta réponse.
a.
yOz
et
zOt
b.
xOy
et
yOu
c.
xOy
et
tOu
d.
yOu
et
tOu
e.
xOz
et
tOz
f.
yOt
et
zOt
5 Nomme, en justifiant, deux angles de la
figure codés ou non :
a. complémentaires et adjacents ;
b. complémentaires et non adjacents ;
c. supplémentaires et adjacents ;
d. supplémentaires et non adjacents ;
e. opposés par le sommet.
6 Deux droites coupées par une sécante
Que peut-on dire des angles :
a. 1 et 3 ?
b. 1 et 5 ?
c. 3 et 5 ?
d. 1 et 4 ?
e. 4 et 6 ?
f. 3 et 7 ?
7 Nomme deux angles de la figure et précise
le nom de la sécante correspondante :
a. alternes-internes avec l'angle n° 3 ;
b. correspondants avec l'angle n° 10 ;
c. alternes-internes avec l'angle n° 16 ;
d. correspondants avec l'angle n° 7.
8 Recherche de mesures d'angles
a. Nomme deux paires d'angles de la figure :
• alternes-internes aigus ;
• alternes-internes de même mesure ;
• correspondants aigus ;
• supplémentaires et non adjacents ;
• complémentaires et non adjacents dont
une paire d'angles est de même mesure.
b. Sachant de plus que
EFH
= 27°, calcule la
mesure de l'angle
SFT
puis celle de
SFG
.
CHAPITRE G5 - ANGLES
S'entraîner
S'entraîner
6
B
A
E FG
CD
67°
23°
115°
65°
42°
48°
Les droites (EF), (GD) et (BF)
sont concourantes en A.
115°
1
2
4
3
5
6
8
7
(d
2
)
(d
1
)
(d)
1
2
4
3
5
6
8
7
9
10
12
11
13
14
16
15
(d
1
)
(d
2
)
(d
4
)
(d
3
)
F
F
S
T
E
G
H
EFGH est un rectangle
H, F et S sont alignés
E, F et T sont alignés
Série 2 : Propriétés
Série 2 : Propriétés
9 Dans chaque cas, dire si les droites (d
1
) et
(d
2
) sont ou non parallèles et pourquoi :
10 Droites parallèles
Sur la figure ci-dessus, les droites (xy) et (zt)
sont parallèles. L'angle
x Mu
vaut 125°.
a. Donne la mesure de l'angle
v M y
. Justifie
ta réponse.
b. Donne d'autres angles dont la mesure est de
125°. Justifie ta réponse.
11 Angles supplémentaires
a. Justifie que les angles
BAC
et
BDC
sont
égaux.
b. Que dire des angles
BDC
et
BDE
?
Pourquoi ? Justifie alors que les deux angles
marqués sont supplémentaires.
12 Angles et droites parallèles
a. Calcule la mesure de l'angle
uBr
.
b. Les droites (xy) et (sr) sont-elles parallèles ?
Justifie ta réponse.
13 Angles et triangle
Sur la figure ci-dessus, la droite (xy) est
parallèle à la droite (BC) et passe par le point A.
a. Montre que :
x AB
=
ABC
.
b. Montre que :
y AC
=
ACB
.
c. Quelle propriété connue sur les triangles
peux-tu alors démontrer ?
14 Parallèles ?
Sur la figure ci-dessus, les angles
BAE
et
FEO
sont égaux à 58°.
a. Que peux-tu dire des droites (EF) et (AB) ?
Justifie ta réponse.
b. Nous savons de plus que la mesure de
l'angle
FBA
vaut 45°. Déduis-en la mesure de
l'angle
OFE
. Justifie ta réponse.
15 La droite (BC) est la hauteur issue de B
dans le triangle ABD mais quelle est l'autre
nature de la demi-droite [BC) dans le triangle
ABD ?
Pour répondre à la question posée, Saïd s'aide
des informations relevées sur la figure.
Voici une partie de sa copie :
Rédige une solution en tenant compte des
remarques du correcteur. Justifie ta réponse.
ANGLES - CHAPITRE G5
7
32°
32°
(d)
(d
1
)
(d
2
)
Figure 1Figure 1
(d
1
)
(d
2
)
(d)
59°
58°
Figure 2
M
z
x
t
u
v
N
y
125°
A B
C D E
ABCD est
un parallélogramme
C, D et E sont alignés
x s
ry
u v
A B
135°
45°
A
B
C
x
y
A
O
B
E
F
S'entraîner
S'entraîner
16 Dans chaque cas, précise si les droites
(d
1
) et (d
2
) sont ou non parallèles et pourquoi.
17 Triangle isocèle
La figure ci-dessus est telle que :
• B, A et D sont des points alignés ;
•
BAC
et
ACD
sont supplémentaires ;
•
BAC
= 110°.
a. Montre, en justifiant, que les angles
DAC
et
DCA
sont égaux à 70°.
b. Montre alors que le triangle ADC est isocèle.
c. De plus, l'angle
ACB
mesure 50°. Montre, en
justifiant, que les angles
BCA
et
ADC
sont
complémentaires.
d. Trouve, en justifiant, deux autres paires
d'angles complémentaires.
18 Parallèles ou non ?
La figure est tracée à main levée.
a. Calcule la mesure de l'angle
LON
.
b. Déduis-en la mesure de l'angle
ONL
.
c. Détermine alors si les droites (LN) et (MP)
sont parallèles.
d. Sachant que les segments [LN] et [MP] sont
de même longueur, détermine la nature du
quadrilatère LNPM.
19 Un isocèle de plus
La figure ci-dessus est telle que :
• Les droites (RO) et (SN) sont sécantes
en T ;
• Le triangle RST est isocèle en R ;
• Les droites (RS) et (NO) sont parallèles.
Montre que le triangle TNO est isocèle.
20
Sur la figure ci-dessus :
• Les droites (AB), (CD) et (EF) sont parallèles ;
• R est un point de la droite (AB), S est un point
de la droite (CD) et T est un point de la
droite (EF) tels que :
BRS
= 20° et
RST
= 57°.
Calcule la mesure de l'angle
STF
.
21 Nature du triangle OBC
Voici une figure faite à main levée :
On recherche la nature du triangle OBC. Pour
cela :
a. Que dire des angles aigus d'un triangle
rectangle ?
b. En utilisant la propriété donnée en
question a., calcule la mesure de l'angle
AOD
puis déduis-en celle de l'angle
BOC
.
c. Calcule la mesure de l'angle
OBC
.
d. En déduire la nature du triangle OBC.
CHAPITRE G5 - ANGLES
Approfondir
Approfondir
8
(d
1
)
(d
2
)
(d)
(d
1
)
(d
2
)
(d)
59°
111°
119°
61°
110°
A
B
C
D
O
L
N
M
P
128°
43°
85°
R
S
T
N
O
R
S
T
A B
F
DC
E
A
B
D
C
O
3
0°
Triominos avec les angles
1
ère
étape : Calculer et justifier
a. Voici six figures. Pour chacune d'elles,
calculez, en justifiant votre calcul, l'angle
marqué par un point d'interrogation (les droites
d'une même couleur sont parallèles).
Type t1 Type t2 Type t3
Type t4 Type t5 Type t6
b. Voici six énoncés. Pour chacun d'eux,
répondez à la question en justifiant la réponse :
Type t7 Le complémentaire de 14° ?
Type t8 Le supplémentaire de 56° ?
Type t9
A
et
B
sont opposés par le
sommet.
A
= 34°.
B
= ?
Type t10
Dans un triangle ABC,
A
= 25°,
B
= 8°.
C
= ?
Type t11 Dans un triangle EFG isocèle en F,
F
= 46°.
E
= ?
Type t12 Dans le parallélogramme HIJK,
H
= 34°.
I
= ?
2
ème
étape : Construction des Triominos
c. Voici un tableau qui va vous permettre de
construire le jeu de triominos.
A B C D E F G H I J
1
45° 60° 90° 65° 50° 110° 14° 166° 76° 80°
2
t1
t7
t1
t7
t1
t7
t1
t7
t1
t7
3
t2
t8
t2
t8
t2
t8
t2
t8
t2
t8
4
t3 t3
t9
t4 t3 t3
t9
t4 t3 t3
5
t5 t5 t5 t6 t6 t6 t5 t6 t5 t6
6 t11 t12 t11 t12 t10 t11 t12 t11 t12 t10
Toutes les cases d'une même colonne renvoient
à l'angle indiqué en ligne 1. Par exemple, les
cases F2, F3… renvoient à un angle de 110°.
Pour le type t3, mettez aussi des exemples
d'angles correspondants.
d. Dans une feuille blanche au format A4,
construisez 10 triangles équilatéraux de 9 cm
de côté. Utilisez une seconde feuille pour
obtenir 20 triominos au total. Complétez chacun
d'eux avec les énoncés ou constructions
indiqués dans le tableau de la question c. en
respectant l'ordre donné ci-dessous. Pour vous
aider, voici un exemple pour le premier triomino
de la série :
3
ème
étape : Par équipe de deux joueurs
Retournez tous les triominos pour former la
pioche. Chaque joueur en prend quatre.
Un triomino est tiré dans la pioche pour servir
de départ. Chaque joueur place à son tour un
triomino (les côtés qui se touchent doivent
correspondre à des angles égaux). Si le joueur
ne peut pas jouer, il passe son tour et pioche.
Le premier joueur qui n'a plus de triominos est
déclaré vainqueur.
Attention : si un joueur se trompe en plaçant un
triomino, il doit le reprendre et tirer un triomino
supplémentaire dans la pioche ; c'est alors à
son adversaire de jouer...
ANGLES - CHAPITRE G5
Travailler en groupe
Travailler en groupe
9
40°
?
135°
?
40°
?
166°
?
52°
?
?
80°
E
4
F
3
I6
Le
s
u
p
p
l
é
me
n
t
a
i
r
e
d
e
7
0
°
5
0
°
?
Dans le
parallélogramme
ABCD :
E
4
F
3
I6
F
4
A5
J6
I
2
D
4
B3
J
2
F
1
D6
J
5
E
6
G3
E
2
C
4
D1
D
2
H
5
C1
I
5
J
4
G6
I
4
F
2
C6
A4
C
2
B1
F
5
G
1
E3
E
1
C5
B6
B
4
H
6
G5
I
3
H
1
B2
B
5
H
3
G2
E
5
D
3
A6
I
1
J
3
H4
F
6
G
4
D5
A2
A3
A1
J
1
C
3
H2
A = 76°,
C = ?
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