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Activité 1 : Les quadrilatères
a. Comment appelles-tu des figures géométriques qui ont
plusieurs côtés ? Trois côtés ? Quatre côtés ?
b. Quatre élèves ont nommé la Figure 1. Quels sont les élèves
qui ont mal nommé la Figure 1 ?
Saïd Gaëtan Bérénice Soumia
ADCB ABDC BCDA DACB
c. Pour chaque figure, nomme ses côtés et ses diagonales.
d. Dans la vie courante, on dit que : « Lundi et mardi sont deux
jours consécutifs. ». Peux-tu citer deux côtés consécutifs de la
Figure 3 ? Deux sommets consécutifs de la Figure 2 ?
e. Trace un quadrilatère RSTU ayant deux côtés opposés
parallèles. Donne deux sommets opposés de ce quadrilatère.
f. Connais-tu des quadrilatères particuliers ? Lesquels ?
Activité 2 : Parallélogramme et centre de symétrie
Le professeur demande à deux élèves de donner la définition d'un parallélogramme. Miguel
propose : « Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés
parallèles deux à deux. » alors que Tarek propose : « Un parallélogramme est un
quadrilatère qui possède un centre de symétrie. ».
Le professeur indique que les deux élèves ont raison et que les définitions qu'ils ont données
sont équivalentes.
a. On se propose de partir de la définition de Miguel pour aboutir à la définition de Tarek.
Le professeur demande aux élèves de tracer un quadrilatère qui a ses côtés opposés
parallèles deux à deux. Voici la réponse de plusieurs camarades :
Les quadrilatères ayant leurs côtés opposés parallèles deux à deux ont-ils un centre de
symétrie ? Si oui, où se situe-t-il ?
Recopie puis complète la phrase suivante :
« Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux alors il a ... . ».
b. On se propose de partir de la définition de Miguel pour aboutir à la définition de Tarek.
Soit ABCD un quadrilatère ayant un centre de symétrie que l'on note O.
• Quels sont les symétriques par rapport à O : du point A ? Du point B ? De la droite
(AB) ? Qu'en déduis-tu pour les deux droites (AB) et (CD) ?
• Quels sont les symétriques par rapport à O : du point A ? Du point D ? De la droite
(AD) ? Qu'en déduis-tu pour les deux droites (AD) et (CB) ?
Recopie puis complète la phrase suivante :
« Si un quadrilatère a un centre de symétie alors il a ses côtés ... . ».
PARALLÉLOGRAMMES - CHAPITRE G3
Activités
Activités
1
L
K
M
N
Florent
F
E
H
G
Mike
R
U
S
T
Tanguy
C
B
A
D
Figure 1
E
F
G
H
Figure 2
M
N
O
P
Figure 3
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Activité 3 : Une figure à main levée... à l'oeil ouvert
Un professeur demande à ses élèves de faire une figure à main levée d'un parallélogramme
ABCD tel que AD = 4 cm, DC = 7 cm,
ADC
= 72°. Voici les figures de cinq élèves :
Rachid Élodie Anissa Véronique Patrick
a. Quels sont les élèves qui ont schématisé correctement l'énoncé ? Pour les figures
fausses, explique l'erreur commise.
b. Construis en vraies grandeurs le parallélogramme ABCD.
Activité 4 : Propriétés du parallélogramme avec Tracenpoche
a. Avec le logiciel Tracenpoche, place trois points A,
B et O. En utilisant l'outil , construis les points C et
D symétriques respectifs des points A et B par rapport
à O puis trace le parallélogramme ABCD en utilisant
l'outil polygone .
b. Trace les segments [AO], [BO], [CO] et [DO].
À l'aide de l'outil , fais apparaître la longueur de
ces quatre segments. Déplace les points A et B. Que remarques-tu ? Que représente le point
O pour les segments [AC] et [BD] ?
c. À l'aide de l'outil , fais apparaître la longueur des quatre côtés du parallélogramme.
Déplace les points A et B. Que remarques-tu ? Explique ta réponse en utilisant une propriété
de la symétrie.
d. Dans la fenêtre Analyse, recopie :
angle(ABC)=
angle(BCD)=
angle(CDA)=
angle(DAB)=
Appuie sur la touche F9 puis déplace les points A et B. Que remarques-tu ? Explique ta
réponse en utilisant une propriété de la symétrie.
e. Dans la fenêtre analyse, recopie :
angle(ABC)+angle(BCD)=
angle(BCD)+angle(CDA)=
Appuie sur la touche F9 puis déplace les points A et B. Que remarques-tu ?
f. Pour les questions b. à d., écris une propriété qui commence par : « Si un quadrilatère
est un parallélogramme alors ... . ».
CHAPITRE G3 - PARALLÉLOGRAMMES
2
A
B
O
C
D
A
B
O
C
D
Activités
Activités
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Activité 5 : Parallélogrammes de bric et de broc
Pour chaque question, tu justifieras ta réponse.
a. Mathilde a superposé deux compas identiques pour matérialiser le même angle et
forme ensuite un quadrilatère en croisant les branches. Obtient-elle nécessairement un
parallélogramme ?
b. Christophe fait se croiser deux règles plates transparentes
identiques. A-t-il nécessairement un parallélogramme à l'intersection
de ces règles ?
c. Ahmed fait croiser deux règles plates de largeurs différentes. A-t-il
nécessairement un parallélogramme à l'intersection de ces règles ?
d. Paul essaie d'obtenir un parallélogramme avec deux compas
qui ont des branches de tailles différentes, en faisant coïncider
les crayons et les pointes. Y parviendra-t-il ? Pourquoi ?
e. Julie a trouvé deux façons de faire un parallélogramme avec
deux règles de même longueur et deux crayons identiques. Comment a-t-elle fait ?
f. Samir a un mètre pliant en cinq tronçons de 20 cm chacun. Il le déplie
entièrement et rejoint les deux extrémités pour former un polygone. Peut-il
former un parallélogramme ? Dolorès dit qu'avec un autre mètre dont les dix
tronçons mesurent 10 cm chacun, elle a trouvé deux solutions. Explique
lesquelles.
Activité 6 : Des parallélogrammes un peu particuliers
a. Avec le logiciel Tracenpoche, place trois points A,
B et O. En utilisant l'outil , construis les points C et
D symétriques respectifs des points A et B par rapport
à O puis trace le quadrilatère ABCD en utilisant l'outil
polygone . Quelle est la nature de ce quadrilatère ?
Justifie ta réponse.
b. Dans la fenêtre Analyse, recopie :
angle(BAD)=
AB=
AD=
Appuie sur la touche F9 puis déplace le point B jusqu'à obtenir
BAD
= 90°. Quelle semble
être la nature du quadrilatère ABCD ? Explique ta réponse en utilisant les propriétés sur les
angles d'un parallélogramme.
c. Déplace le point B pour que l'angle
BAD
ne soit pas égal à 90° et pour que AB = AD.
Quelle semble être la nature du quadrilatère ABCD ? Explique ta réponse en utilisant une
propriété sur les côtés opposés d'un parallélogramme.
d. Déplace le point B pour que
BAD
= 90° et pour que AB = AD. Quelle semble être la
nature du quadrilatère ABCD ?
PARALLÉLOGRAMMES - CHAPITRE G3
3
A
B
O
C
D
Activités
Activités
Activité 7 : Mon beau losange
Un professeur demande à trois élèves d'expliquer les différentes étapes pour construire un
losange :
• Arnaud dit qu'il trace en pointillés un segment puis fait deux triangles isocèles
identiques de chaque côté.
• Sébastien dit qu'il trace en pointillés deux segments perpendiculaires qui se
coupent en leur milieu qu'il relie leurs extrémités.
• Audrey dit qu'elle trace deux segments de même longueur avec la même extrémité
puis qu'elle fait les parallèles à ces deux segments.
a. Pour chaque réponse d'élève, énonce la propriété du losange qui sert à sa construction.
b. Construis les trois losanges en respectant les programmes de construction de chacun.
Activité 8 : Vous avez dit diagonales ?
a. Avec le logiciel Tracenpoche, place trois points A,
B et O. En utilisant l'outil , construis les points C et
D symétriques respectifs des points A et B par rapport
à O puis trace le quadrilatère ABCD en utilisant l'outil
polygone . Quelle est la nature de ce quadrilatère ?
Justifie ta réponse.
b. Dans la fenêtre Analyse, recopie :
angle(AOB)=
Appuie sur la touche F9 puis déplace le point B jusqu'à obtenir
AOB
= 90°. Quelle semble
être la nature du quadrilatère ABCD ? Vérifie ta conjecture en faisant apparaître la longueur
des quatres côtés du quadrilatère ABCD à l'aide de l'outil . Explique ta réponse en
utilisant une propriété sur la médiatrice d'un segment.
c. Dans la fenêtre Analyse, recopie :
AC=
BD=
Appuie sur la touche F9 puis déplace le point B jusqu'à obtenir AC = BD et
AOB
≠ 90°.
Quelle semble être la nature du quadrilatère ABCD ? Vérifie ta conjecture en recopiant dans
la fenêtre Analyse :
angle(ABC)=
angle(BCD)=
angle(CDA)=
angle(DAB)=
Appuie sur la touche F9.
d. Avec Tracenpoche dessine un parallélogramme de centre O qui a ses diagonales
perpendiculaires et de la même longueur. Que remarques-tu ?
CHAPITRE G3 - PARALLÉLOGRAMMES
4
A
B
O
C
D
Activités
Activités
Méthode 1 : Construire un parallélogramme
dans un quadrillage
Exemple : Soient trois points A, B et C non alignés placés
comme ci-contre. Place le point D tel que ABCD soit un
parallélogramme.
Cela peut être résolu de deux façons différentes :
En utilisant une propriété des côtés d'un parallélogramme
On trace les côtés [AB] et
[BC] de ABCD.
ABCD étant un
parallélogramme, ses
côtés [BC] et [AD] sont
égaux et parallèles.
Pour aller de B à C, on se
déplace de 6 carreaux vers
la droite et de 1 carreau
vers le haut.
On reproduit ces mêmes
déplacements à partir de
A. Ainsi on obtient un
quadrilatère non croisé tel
que AD = BC et
(AD) // (BC). C'est donc
bien un parallélogramme.
En utilisant la propriété des diagonales d'un parallélogramme
On trace les côtés [AB] et
[BC] de ABCD.
ABCD étant un
parallélogramme, ses
diagonales [AC] et [BD] se
coupent en leur milieu
qu'on appelle I.
On trace [AC] et on place
son milieu I. C'est
également le milieu de
[BD].
On place D tel que I soit le
milieu de [BD] en
comptant les carreaux.
Ainsi ABCD a ses
diagonales qui se coupent
en leur milieu, c'est donc
bien un parallélogramme.
À toi de jouer
1 Reproduis sur ton cahier la figure
suivante puis trace le parallélogramme
EFGH en utilisant une propriété des
côtés du parallélogramme.
2 Reproduis sur ton cahier la figure
suivante puis trace le parallélogramme
RSTU en utilisant la propriété des
diagonales du parallélogramme.
PARALLÉLOGRAMMES - CHAPITRE G3
Méthodes
Méthodes
5
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
A
B
C
A
B
C
I
A
B
C
I
D
E
G
F
R
T
S
A
B
C
Méthode 2 : Construire un parallélogramme
avec des instruments de géométrie
Exemple : Soient trois points A, B et C non alignés. Place le point D tel que ABCD soit un
parallélogramme.
Cela peut être résolu de plusieurs façons différentes, en voici deux :
En utilisant une propriété des côtés d'un parallélogramme
On trace les côtés [AB] et
[BC] de ABCD.
ABCD étant un
parallélogramme, ses
côtés opposés (AB) et (CD)
sont parallèles deux à
deux.
On trace la parallèle à (AB)
passant par C.
On trace la parallèle à (BC)
passant par A. Ces deux
droites se coupent en D.
ABCD a ses côtés opposés
parallèles deux à deux :
c'est donc bien un
parallélogramme.
En utilisant une autre propriété des côtés d'un parallélogramme
On trace les côtés [AB] et
[BC] de ABCD.
ABCD étant un
parallélogramme, ses
côtés opposés [AB] et [CD]
sont égaux deux à deux.
On mesure la longueur AB
avec le compas et on
reporte cette longueur à
partir du point C.
On mesure la longueur BC
et on la reporte à partir de
A. On place le point D à
l'intersection des deux
arcs de cercle puis on
trace les côtés [AD] et
[CD].
ABCD a ses côtés opposés
égaux deux à deux : c'est
donc bien un
parallélogramme.
À toi de jouer
3 Construis le parallélogramme PRLG tel que PR = 5 cm, PG = 6 cm et
RPG
= 74° en utilisant la propriété sur le parallélisme des côtés opposés du
parallélogramme.
4 Construis le parallélogramme DRAP de centre O tel que DR = 6 cm, DP = 8 cm et
RDP
= 40°
en
utilisant
la
propriété
sur
l'égalité
des
côtés
opposés
du
parallélogramme.
5 Construis le parallélogramme VOLE tel que VO = 4 cm, VE = 5 cm et VL = 3 cm en
utilisant la méthode de ton choix.
CHAPITRE G3 - PARALLÉLOGRAMMES
6
C
B
A
C
B
A
C
B
A
D
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
D
Méthodes
Méthodes
Méthode 3 : Utiliser les propriétés d'un parallélogramme
À connaître
Les propriétés sont du type :
« Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ... . ».
Exemple : TRUC est un parallélogramme tel que CT = 5 cm,
TR = 6 cm et
CTR
= 55°. Détermine la mesure de
CUR
.
Justifie.
Recherche :
➊ On sait que TRUC est un
parallélogramme ;
on dispose donc de toutes
les propriétés de ce
quadrilatère.
➋ On demande la mesure
d'un angle, on utilise donc
une propriété sur les
angles du
parallélogramme.
➌ Comme T et U sont deux
sommets opposés, on
utilise la propriété sur les
angles opposés.
Démonstration :
Données Propriétés Conclusion
On sait que TRUC est un
parallélogramme et que
CTR
= 55°.
Si un quadrilatère est un
parallélogramme alors ses
angles opposés sont égaux.
Donc
CTR
=
CUR
=
55°.
Méthode 4 : Démontrer qu'un quadrilatère est
un parallélogramme
À connaître
Les propriétés sont du type :
« Si un quadrilatère a ... alors c'est un parallélogramme ».
Exemple : Soit IDE un triangle et le milieu R du segment [EI]. On a
tracé le point A, symétrique de D par rapport à R. Démontre
que AIDE est un parallélogramme.
Recherche :
➊ On sait que AIDE est un quadrilatère.
On sait de plus que R est le milieu de la
diagonale [EI] de ce quadrilatère et que,
comme D et A sont symétriques par
rapport à R, il est également le milieu de
la diagonale [AD].
➋ On cherche donc une propriété qui
permet de démontrer qu'un quadrilatère
est un parallélogramme en utilisant ses
diagonales.
Démonstration :
Données Propriétés Conclusion
On sait que R est le milieu
de [EI]. On sait que A et D
sont symétriques par
rapport à R, donc R est
aussi le milieu de [AD].
Si un quadrilatère a ses
diagonales qui se coupent
en leur milieu alors c'est
un parallélogramme.
Donc AIDE est un
parallélogramme.
PARALLÉLOGRAMMES - CHAPITRE G3
7
U
R
T
C
5
cm
6 cm
55°
D
E
I
R
A
Méthodes
Méthodes
Méthode 5 : Construire un quadrilatère particulier
par ses diagonales
À connaître
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur
alors c'est un rectangle.
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires
alors c'est un losange.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur et perpendiculaires
alors c'est un carré.
Exemple : Dessine un rectangle RECT de centre A dont les diagonales mesurent 6 cm et tel
que RE = 2cm.
Le quadrilatère RECT étant
un rectangle, ses
diagonales ont même
milieu et même longueur.
On construis le triangle
REA isocèle en A et tel que
RE = 4 cm et AE = 3 cm.
On construis alors les
points C et T symétriques
respectifs de R et de E par
rapport à A.
On termine le rectangle en
traçant les segments [RT],
[TC] et [EC].
Donc RECT a ses
diagonales qui se coupent
en leur milieu et de la
même longueur, c'est bien
un rectangle.
Exemple : Dessine un losange ANGE dont les diagonales vérifient AG = 8 cm et NE = 5 cm.
Le quadrilatère ANGE étant
un losange, ses diagonales
ont même milieu et sont
perpendiculaires.
On trace la diagonale [AG]
et on place son milieu.
On trace la perpendiculaire
à (AG) passant par le
milieu et on place les
points N et E à 2,5 cm de
part et d'autre du segment
[AG].
On relie les points A, N, G
et E pour former le
losange.
Donc ANGE a ses
diagonales qui se coupent
en leur milieu et
perpendiculaires, c'est
donc bien un losange.
Remarque : Pour construire un carré, on la même méthode que pour le losange, les
diagonales étant en plus de même longueur.
À toi de jouer
6 Construis un rectangle BLAN, de centre C dont les diagonales mesurent 7 cm et tel
que l'angle
BCL
mesure 80°.
CHAPITRE G3 - PARALLÉLOGRAMMES
8
E
2 cm
R
T
C
A
E
2 cm
R
T
C
A
8 cm
A G
N
E
2,5 cm
A G
N
E
2,5 cm
A G
N
E
E
2 cm
R
3
cm
A
Méthodes
Méthodes
Méthode 6 : Utiliser les propriétés
d'un rectangle, d'un losange ou d'un carré
Exemple : MATH est un rectangle de centre I. Démontre que le triangle MAI est un triangle
isocèle en I.
Recherche :
➊ On parle d'un rectangle et de son
centre. Le triangle MAI fait intervenir les
demi-diagonales du rectangle.
➋ On s'oriente donc vers une propriété
des diagonales du rectangle.
Démonstration :
Données Propriétés Conclusion
On sait que
MATH est un
rectangle de
centre I.
Si un quadrilatère est un
rectangle alors ses
diagonales ont même
longueur et même milieu.
Donc MT = AH puis
MT
2
=
AH
2
, d'où
MI = AI. Comme le triangle MAI a
deux côtés égaux, il est isocèle en I.
À toi de jouer
7 Dessine un parallélogramme BEAU tel que BE = 5 cm, EA = 3 cm et
EAU
= 90°.
Place son centre X. Démontre que AUX est un triangle isocèle en X.
Méthode 7 : Démontrer qu'un parallélogramme est
un rectangle, un losange ou un carré
À connaître
Si un parallélogramme a un angle droit
alors c'est un rectangle.
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux
alors c'est un losange.
Si un parallélogramme a un angle droit et deux côtés consécutifs égaux
alors c'est un losange.
Exemple : ABD est un triangle isocèle en A. La parallèle à (AD) passant par B et la parallèle
à (AB) passant par D se coupent en C. Démontre que ABCD est un losange.
Démonstration :
Données Propriétés Conclusion
Par construction, le quadrilatère ABCD a ses
côtés deux à deux parallèles, c'est donc un
parallélogramme . De plus, il a deux côtés
consécutifs [AB] et [AD] de même longueur
puisque ABD est isocèle en A.
Si un parallélogramme
a deux côtés
consécutifs égaux
alors c'est un losange.
Donc ABCD
est un
losange.
À toi de jouer
8 Dessine un parallélogramme ABCD tel que AB = 3 cm et AD = 6 cm et place les
milieux E et F des côtés [BC] et [AD] . Démontre que ABEF est un losange.
PARALLÉLOGRAMMES - CHAPITRE G3
9
Méthodes
Méthodes
Série 1 : Propriétés (1)
Série 1 : Propriétés (1)
1 Parallélogrammes ou pas ?
a. Observe tous les quadrilatères ci-dessous et
cite tous ceux qui sont des parallélogrammes
en justifiant ta réponse.
b. Reproduis les parallélogrammes sur ton
cahier et code-les.
2 Nom d'un parallélogramme !
a. Parmi tous ces noms, relève ceux qui
correspondent bien au parallélogramme
ci-contre :
ABCD BDAC ACDB BADC
BDCA DABC CBAD CABD
BCDA ABDC DBAC ADCB
BACD DACB CDBA DCBA
b. Trouve tous les
noms possibles du
parallélogramme ci-
contre (8 réponses).
c. Trouve tous les noms utilisant les lettres E, F,
G et H qui ne correspondent pas au
parallélogramme du b..
d. Cite tous les parallélogrammes qu'on peut
voir sur le dessin ci-dessous (un seul nom par
parallélogramme) :
3 On considère le parallélograme LION
ci-dessous. Recopie et complète les phrases :
a. N est l'image de … par la symétrie de … .
b. L'image du segment [IL] par la symétrie de
centre … est le segment … .
c. OI = …
d.
ILN
= …
e. RL = …
4 Dans chaque cas, indique si le codage
permet de déduire que le quadrilatère est un
parallélogramme ; justifie :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
5 Le quadrilatère CRUE ci-dessous est-il un
parallélogramme ? Explique pourquoi.
6 Milieu de trois segments
a. Trace trois segments [AB], [CD] et [EF] ayant
le même milieu O.
b. Cite une droite parallèle à la droite (AC).
Justifie ta réponse.
c. Cite cinq autres paires de droites parallèles.
d. Sur cette figure, construis trois
parallélogrammes de couleurs différentes.
7 Programme de tracé
a. Place trois points A, B et C et trace la droite
(d) parallèle à (AB) passant par C.
b. Trace le cercle de centre C et de rayon AB. Il
coupe la droite (d) en deux points D et E.
c. L'un des quadrilatères ABCD ou ABCE est un
parallèlogramme. Explique pourquoi.
CHAPITRE G3 - PARALLÉLOGRAMMES
S'entraîner
S'entraîner
10
a b c
d e
f
g
h k
A
B
C
D
E
F
G
H
I
(AC) // (HD) // (GE)
(AG) // (BF) // (CE)
O
L
N
I
R
E
2
,
8
c
m
1
,
5
c
m
U
RC
1,
4
cm
2
,
8
c
m
E
F
G
H
A B
CD
Série 2 : Propriétés (2)
Série 2 : Propriétés (2)
8 Propriétés du rectangle
a. Dans la figure ci-dessous, quelle est la
nature du quadrilatère BLEU ? Pourquoi ?
b. Que peut-on dire de la longueur des côtés
opposés d'un rectangle ? Déduis-en la longueur
des côtés [BL] et [LE].
c. Que peut-on dire des diagonales [BE] et
[LU] ?
9 Propriétés du rectangle
a. Recopie et complète :
OV = ………… ;
ET = ……… ;
RVT
= ……… ;
OEV
= ……… .
b. Cite tous les triangles isocèles de la figure.
c. Cite tous les triangles rectangles de la figure.
10 Avec le codage
Les deux quadrilatères ci-dessous sont-ils des
rectangles ? Justifie ta réponse.
11 À l'aide des étiquettes suivantes, que tu
peux utiliser plus d'une fois, reconstitue cinq
phrases correctes :
un parallélogramme qui a
est un losange
un rectangle qui a
des diagonales égales
deux côtés consécutifs égaux
est un carré
est un rectangle
un losange qui a
des diagonales perpendiculaires
12 Propriétés du losange
Dans chacun des cas suivants, on donne
certaines mesures d'un losange ROSE de
centre T. Trouve celles qui sont demandées en
appliquant les propriétés du losange.
a. On donne : RO = 9,1 cm,
ORE
= 50°.
On demande : le périmètre P du losange,
ORS
,
OSE
,
ROS
.
b. On donne : RT = 2,8 cm, OE = 4,2 cm.
On demande : OT, RS,
RTO
.
c. On donne : RE = 5,1 cm,
RES
= 110°.
On demande :
REO
,
ROE
,
ORE
.
d. On donne : OR = 5 cm,
OSE
= 60°.
On demande :
ORE
,
SOR
,
SOE
,
SEO
.
Quelle est la nature du triangle OSE ?
13 Propriétés du carré
a. Construis, sur une feuille blanche, un carré
NOIR tel que NO = 5,2 cm.
b. Place son centre et ses axes de symétrie.
c. Explique pourquoi on a
NOR
= 45°.
d. Recopie et complète :
RNI
= ……… ;
OIN
= ……… ;
ONI
= ………
14 Faux semblants
a. Construis un quadrilatère qui a quatre côtés
de même longueur et qui n'est pas un carré.
Quelle est la nature de ce quadrilatère ?
b. Construis un quadrilatère qui a quatre angles
droits et qui n'est pas un carré. Quelle est la
nature de ce quadrilatère ?
15 Axes de symétrie du carré
Sur une feuille blanche, trace deux droites (d)
et (d') perpendiculaires. Pour chacun des cas,
construis le(s) carré(s) ayant (d) et (d') pour
axes de symétrie sachant que :
a. ses côtés mesurent 5 cm.
b. ses diagonales mesurent 5 cm .
PARALLÉLOGRAMMES - CHAPITRE G3
11
2,5 cm
4,4 cm
B
L
E
U
V
E
R
T
O
35°
4,
2
cm
90°
90° 89°
R
O
S
E
T
S'entraîner
S'entraîner
Série 3 : Contructions (1)
Série 3 : Contructions (1)
16 Trace, si possible, les parallélogrammes
ABCD suivants. Quand la construction n'est pas
possible, explique pourquoi.
a. AB = 5 cm, AD = 3,5 cm et BD = 7 cm.
b. AB = 2 cm, AD = 4,5 cm et AC = 3,5 cm.
c. AD = 4 cm, AB = 2,8 cm et BD = 7 cm.
17 Avec trois points
a. Place trois points P, I et M non alignés.
b. Place à main levée un point N tel que les
points P, I, M et N soient les sommets d'un
parallélogramme.
c. Combien y-a-t-il de positions possibles pour
le point N ? On appellera ces points N
1
, N
2
...
Dans chaque cas, trace puis nomme le
parallélogramme obtenu.
18 Dans chaque cas, trace un
parallélogramme :
a. LISE tel que LI = 5 cm et IS = 2,5 cm en
utilisant l'équerre et la règle graduée.
b. MARC tel que MR = 7 cm et AC = 6 cm en
utilisant la règle graduée.
c. NOAH tel que NO = 3 cm et NA = 8 cm en
utilisant le compas et la règle graduée.
d. Les parallélogrammes tracés sont-ils les
mêmes pour tous les élèves de la classe ?
19 Construis en vraie grandeur les
parallélogrammes schématisés ci-dessous en
utilisant les instruments de ton choix.
a. b.
c.
d.
20 Dans un repère
a. Place dans un repère les points suivants :
A(– 1 ; 0), B(1 ; 1) et C(4 ; – 2).
b. Place les points D, E et F pour que ABCD,
ABEC et ACBF soient des parallélogrammes.
c. Donne les coordonnées des points D, E et F ?
d. Que dire des points A, B et C pour le triangle
DEF ?
21 Après avoir fait un schéma à main levée,
construis en vraie grandeur les
parallélogrammes suivants :
a. VERT avec VT = 5 cm,
ERT
= 125°
VE = 4 cm.
b. BLEU de centre I avec BL = 6 cm, UI = 3 cm
et IE = 4 cm.
c. NOIR avec NI = 62 mm,
NIR
= 40° et
RNI=30°
.
22 Trace un segment [GR] de 7 cm de
longueur. Construis un parallélogramme dont
[GR] est un côté puis un autre dont [GR] est
une diagonale.
23 Avec le périmètre
Construis un parallélogramme dont le périmètre
est 16 cm et dont la longueur d'un côté est le
triple de celle de l'autre.
24 Avec des cercles
Trace deux cercles concentriques de centre O.
En te servant uniquement d'une règle non
graduée, trace un parallélogramme de centre O
dont deux sommets appartiennent à l'un des
cercles et les deux autres à l'autre cercle.
25 À partir d'un programme de tracé
a. Construis un parallélogramme NUIT.
b. Trace la diagonale [NI].
c. Dans le triangle NUI, construis la hauteur
relative au côté [UI]. Elle coupe (UI) en O.
d. Dans le triangle NIT, construis la hauteur
relative au côté [NT]. Elle coupe (NT) en R.
e. Quelle semble être la nature du quadrilatère
NOIR ?
26 Écris un programme de tracé pour les
deux figures suivantes en commençant à
chaque fois par :
« Trace un parallélogramme... »
a.
b.
RSTU et ABCD sont des parallélogrammes.
CHAPITRE G3 - PARALLÉLOGRAMMES
12
6
4
110°
2
3
40°
3,3
3
5
2
3
2,4
R
S
T
U
V
P
A
B
C
D
E
S
S'entraîner
S'entraîner
Série 4 : Constructions (2)
Série 4 : Constructions (2)
27 Unique ou pas ?
Dans chacun des cas, construis deux figures
non superposables quand c'est possible :
• un rectangle de diagonale 7 cm ;
• un losange de côté 4 cm ;
• un carré de diagonale 6 cm.
28 Construis un triangle LIN rectangle en I.
Trace ensuite le rectangle LINU en utilisant le
compas et la règle non graduée.
29 Construis les rectangles dessinés
ci-dessous à main levée en respectant les
mesures indiquées sur les figures (les
longueurs sont données en cm) :
a. b.
c. d.
30 Même exercice pour les losanges
suivants :
a. b.
c. d.
31 Réalise un schéma à main levée puis
construis dans chaque cas le quadrilatère
demandé.
a. Un rectangle MANU tel que MN = 9 cm et
MA = 5 cm.
b. Un losange OURS tel que OR = 8 cm et
US = 6 cm. Calcule l'aire de ce losange.
c. Un rectangle PAUL tel que PA = 8 cm et
LAU
= 53°. Rédige le programme de
construction correspondant à ta construction.
d. Un losange LOUP de centre I tel que
OI = 4,5 cm et LO =
2
3
OP.
32 Un losange a pour périmètre 20 cm et
l'une de ses diagonales mesure 6 cm. Construis
un tel losange.
33 Avec règle et compas
a. Place deux points E et O. Construis les points
F, G et H tels que EFGH soit un carré de
centre O.
b. Décris ta construction.
34 Avec l'équerre et la règle graduée
Place un point C puis construis un carré MUSE
de centre C et de côté mesurant 6,4 cm.
35 Avec les axes de symétrie
a. Trace une droitre (d), place un point S sur la
droite (d) et un point L hors de cette droite, (LS)
n'étant pas perpendiculaire à (d).
Construis un losange dont S et L sont deux
sommets et (d) un axe de symétrie.
b. Trace une droite (d), place un point T sur la
droite (d) et place un point R hors de cette
droite.
Construis un rectangle dont R est un sommet, T
un point d'un côté et (d) un axe de symétrie.
36 Avec le centre de symétrie
a. Construis un triangle ABH rectangle en H tel
que BH = 3 cm et AH = 2,1 cm.
b. Construis le point C symétrique du point B
par rapport à la droite (AH).
c. Place les points D et E tels que le
quadrilatère BCDE soit un rectangle de centre
A.
d. Place le point O tel que le quadrilatère COBA
soit un losange de centre H.
e. Calcule l'aire du polygone EDCOB.
PARALLÉLOGRAMMES - CHAPITRE G3
13
58°
3
R
S
T
U
32°
3,2
A
B
C
D
3,5
E
F
G
H
2,4
4
,
5
7
A
C
D
B
L
M
N
K
110°
4
4
,
5
7
E
F
G
H
K
L
M
N
3
NL = 8
6
27°
R
S
T
U
S'entraîner
S'entraîner
Série 5 : Démonstrations (1)
Série 5 : Démonstrations (1)
37 Propriétés du parallélogramme
Pour chaque énoncé, fais une figure à main
levée et rédige une démonstration :
a. Le quadrilatère NOIR est un parallélogramme
tel que RN = 4 cm. Donne la longueur OI.
b. Le quadrilatère BLEU est un
parallélogramme de centre S tel que sa
diagonale [BE] a pour longueur 8 cm. Donne la
longueur BS.
c. Le quadrilatère VERT est un parallélogramme
tel que l'angle
VER
a pour mesure 53°. Quelle
est la mesure de l'angle
VTR
?
38 Démontrer qu'un quadrilatère est un
parallélogramme
Pour chaque énoncé, fais une figure codée à
main levée et rédige une démonstration :
a. JEUX est un quadrilatère de centre K tel que
KJ = KU et KX = KE.
Démontre que c'est un parallélogramme.
b. GARS est un quadrilatère tel que (GA) est
parallèle à (SR) et (GS) est parallèle à (RA).
Démontre que c'est un parallélogramme.
c. DOUX est un quadrilatère tel que
ODX
=
OUX
et
DOU
=
DXU
.
Démontre que c'est un parallélogramme.
d. VERS est un quadrilatère tel que (VE) est
parallèle à (SR) et VE = SR.
Démontre que c'est un parallélogramme.
39 Avec des cercles
a. Construis un cercle C
1
de centre O et de
rayon 3,5 cm, et un cercle C
2
de centre O et de
rayon 5 cm.
b. Place deux points A et B sur C
1
tels que [AB]
soit un diamètre de C
1
. Puis place deux autres
points C et D sur C
2
tels que [CD] soit un
diamètre de C
2
.
c. Démontre que ACBD est un
parallélogramme.
d. Démontre que AB = 7 cm et que
CD = 10 cm.
40 Cache-cache
a. Trace un parallélogramme EFGH.
b. La parallèle à (EG) passant par H coupe la
droite (FG) en M. Construis le point M.
c. Démontre que EGMH est un
parallélogramme.
41 En utilisant la symétrie
a. On donne un triangle BAS.
Construis le point I symétrique du point A par
rapport au point B. Construis le point L
symétrique du point S par rapport au point B.
b. Démontre que le quadrilatère LISA est un
parallélogramme.
42 En deux étapes
a. ABCD et CDEF sont deux parallélogrammes.
Démontre que ABFE est un parallélogramme.
b. Prouve que AE = BF.
43 L'un dans l'autre
Les quadrilatères BOUE et BRUT, représentés
sur la figure ci-dessous, sont deux
parallélogrammes
a. Que représente le point S pour la figure ?
b. Démontre que le quadrilatère ROTE est un
parallélogramme.
44 Bissectrices
a. Construis un parallélogramme ABCD tel que
ADC
= 110°, DA = 5 cm et DC = 9 cm. La
bissectrice de l'angle
ADC
coupe le segment
[AB] en K et la bissectrice de l'angle
ABC
coupe le segment [DC] en L.
b. Démontre que les angles
KDC
et
BLC
sont
égaux.
c. Démontre que LBKD est un parallélogramme.
CHAPITRE G3 - PARALLÉLOGRAMMES
14
A
B
C
D E
F
B
O
U
E
S
R
T
S'entraîner
S'entraîner
Série 6 : Démonstrations (2)
Série 6 : Démonstrations (2)
45 Propriétés des parallélogrammes
particuliers
Pour chaque énoncé, fais une figure à main
levée et rédige une démonstration :
a. Le quadrilatère PONT est un losange de
centre E. Démontre que les droites (PN) et (OT)
sont perpendiculaires.
b. Le quadrilatère CRUE est un rectangle de
centre O tel que CU = 5,5 cm. Donne la
longueur RE.
c. Le quadrilatère TORE est un carré de centre
D tel que TO = 3,7 cm. Donne la longueur OR.
46 Démontrer qu'un parallélogramme est
particulier
a. Le quadrilatère CHAT est un
parallélogramme tel que AT = TC. Démontre
que c'est un losange.
b. Le quadrilatère GRIS est un parallélogramme
tel que GI = RS. Démontre que c'est un
rectangle.
c. Le quadrilatère NUIT est un parallélogramme
de centre S tel que SN = SU et les droites (IN)
et (NT) sont perpendiculaires. Démontre que
c'est un carré.
47 D'un quadrilatère à l'autre
a. Sur la figure ci-dessus, on a dessiné un
quadrilatère ABCD. Puis on a tracé les parallèles
aux diagonales passant par les sommets
A, B, C et D du quadrilatère. Les droites ainsi
obtenues se coupent en E, F, G et H. Démontre
que EFGH est un parallélogramme.
b. On suppose maintenant que ABCD est un
rectangle. Refais le dessin et démontre que
EFGH est un losange.
c. On suppose enfin que ABCD est un losange.
Refais le dessin et démontre que EFGH est un
rectangle.
48 Avec les propriétés de droites vues en
6
ème
En observant la figure ci-dessous (les droites de
même couleur sont parallèles), prouve que le
quadrilatère DEFG est un rectangle.
49 Avec la symétrie centrale
a. Construis un rectangle PLUS.
b. Construis les points E et A, symétriques
respectifs des points U et P par rapport à L.
c. Prouve que le quadrilatère PEAU est un
losange.
50 Avec les angles
Sur la figure ci-dessous :
OAD
=
ODA
; OA = OB et
OBC
=
BCO
.
a. Quelle est la nature des triangles AOD, BOA,
COB ? Justifie.
b. Que peut-on en déduire pour les longueurs
OA, OB, OC et OD ?
c. Démontre alors que le quadrilatère ABCD est
un rectangle.
d. Les angles
OAD
et
OBC
sont-ils égaux ?
Explique pourquoi ?
51 A main levée
En utilisant le codage
de la figure ci-contre :
a. Démontre que le
quadrilatère RSTU est
un parallélogramme.
b. Peut-on être plus
précis sur la nature du
quadrilatère RSTU ?
PARALLÉLOGRAMMES - CHAPITRE G3
15
A
B
C
D
E
F
G
H
A
C
D
E
F
G H
B
C
A B
D
O
R
S
T
U
45
°
45
°
45
°
O
S'entraîner
S'entraîner
52 Dans un repère
a. Construis un repère orthogonal d'unité de
longueur 1 cm. Place les points suivants :
A(1 ; 2), B(3 ; – 1) et C(– 1 ; – 1).
b. Place le point D tel que ABCD soit un
parallélogramme. Quelles sont les coordonnées
du point D ?
c. Place le point E tel que ABEC soit un
parallélogramme. Quelles sont les coordonnées
du point E ?
53 Les poupées russes
Soit ABCD un parallélogramme. Les droites (AC)
et (BD) se coupent en O. Fais une figure.
a. Démontre que O est le milieu de [AC].
b. Soit E le milieu de [DO] et F le milieu de
[BO]. Explique pourquoi O est le milieu de [EF].
c. Démontre que AECF est un parallélogramme.
54 Comme au cirque
a. ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD].
La perpendiculaire à (AC) passant par D coupe
(AB) en I et la perpendiculaire à (AC) passant
par B coupe (DC) en J. Construis la figure
b. Démontre que le quadrilatère IBJD est un
parallélogramme.
55 Au feu !
a. Construis le parallélogramme FEUX tel que
FE = 5 cm, EU = 6 cm et
FEU
= 50°.
b. Trace la perpendiculaire à (FE) passant par
F, elle coupe (UX) en R. Trace la perpendiculaire
à (UX) passant par U, elle coupe (FE) en G.
c. Quelle est la nature du quadrilatère FRUG ?
Justifie ta réponse.
56 ABCD est un parallélogramme de centre I.
Le cercle C est de centre I.
a. Démontre que RSTU est un rectangle.
b. Démontre que VWXY est un rectangle.
57 « Le pied dans le plat »
On a tracé le quadrilatère PIED sur la face
supérieure d'un parallélépipède rectangle de
telle sorte que chaque sommet du quadrilatère
soit le milieu d'une arête de la face.
a. Reproduis le quadrilatère PIED en vraie
grandeur.
b. Démontre que c'est un losange.
c. Quelles figures obtiendrait-on si on procédait
de la même façon sur les autres faces ?
d. Quelles dimensions le parallélépipède doit-il
avoir pour que PIED soit un carré ?
e. Quelles dimensions doit-il avoir pour que les
quadrilatères sur toutes ses faces soient des
carrés ?
58 Figures juxtaposées
a. Construis un triangle équilatéral ABC de
5 cm de côté.
b. A l'extérieur du triangle et de telle sorte que
les figures ne se recouvrent pas, place les
points D et E tels que ABDE soit un rectangle
avec AD = 7 cm.
c. De la même façon, place les points F et G
tels que ACFG soit un losange avec
ACF
= 150°.
d. En justifiant, donne la mesure de l'angle
CAG
, puis celle de l'angle
BAG
. Que peut-on
en déduire pour les points G, A et E ? Justifie.
59 Bissectrices de deux angles consécutifs
a. Construis un parallélogramme ABCD, puis les
bissectrices
d
1
et
d
2
respectivement des
angles
ABC
et
BAD
. Ces droites se coupent
en un point U.
b. Détermine
BAU
+
ABU
sans effectuer de
mesure d'angle. Quelle est la nature du triangle
ABU ?
c. Que peut-on en déduire pour les droites
d
1
et
d
2
?
CHAPITRE G3 - PARALLÉLOGRAMMES
Approfondir
Approfondir
16
P
I
E
D
8 cm
6 cm
5
c
m
I
R
W
B
V
A
U
T
D
Y
X
C
S
1 La bataille des quadrilatères !
1
ère
partie : Réalisation des cartes
a. Découpez trois feuilles de format A4 en
16 parties rectangulaires identiques qui
formeront les cartes .
b. Sur 7 cartes, faites une figure à main levée
et codée des quadrilatères suivants :
parallélogramme, rectangle, losange, carré,
cerf-volant, trapèze et quadrilatère quelconque.
c. Sur 7 autres cartes, construisez avec vos
instruments les quadrilatères précédents.
d. Pour chaque catégorie (les rectangles, les
losanges et les carrés) complétez chaque
propriété suivante (ce qui fera 12 cartes au
total) :
• « Je suis un quadrilatère avec des
diagonales … . » ;
• « Je suis un quadrilatère avec des côtés
… . » ;
• « Je suis un quadrilatère avec des angles
… . » ;
• « Je suis un quadrilatère avec … centre(s)
de symétrie et … axe(s) de symétrie qui
passent par … . ».
e. Pour les rectangles et les losanges,
complétez chacune des propriétés suivantes sur
une carte (ce qui fera 4 cartes au total) :
• « Je suis un parallélogramme qui a des
diagonales … . » ;
• « Je suis un parallélogramme qui a des
côtés … . ».
f. Pour les carrés, complétez de deux façons
différentes les propriétés suivantes sur une
carte (ce qui fera 6 cartes au total) :
• « Je suis un parallélogramme qui a … . » ;
• « Je suis un rectangle qui a … . » ;
• « Je suis un losange qui a … . » .
g. Vérifiez que vous avez bien 36 cartes (14
avec des figures et 22 avec des propriétés).
2
ème
partie : À l a bataille !
Maintenant que le jeu est construit, vous allez
pouvoir jouer, par groupe de deux, à la bataille
des quadrilatères.
h. Mélangez puis distribuez les cartes faces
cachées. Appliquez alors les règles de la bataille
traditionnelle sachant que les cartes sont
rangées dans l'ordre suivant :
• carré (la plus forte) ;
• losange ou rectangle (à égalité) ;
• parallélogramme ;
• trapèze ou cerf-volant (à égalité) ;
• quadrilatère quelconque (la plus faible).
2 Rédiger des programmes de tracé
a. Voici deux programmes de construction de la
figure ci-dessus. Le premier a été écrit par un
élève et le second par un professeur. Indiquez
les différences entre les deux textes et dites
pourquoi la formulation de l'élève n'est pas
correcte.
Texte de l'élève
Je trace une ligne verticale de 4 cm de longueur
et je mets les points A et D. Puis je trace une
ligne horizontale formant un angle droit avec la
première et qui la coupe au milieu (qui
s'appelle E), de 4 cm aussi ; je place le point F
au bout. Après, je trace une autre ligne
verticale qui forme un angle droit avec la ligne
horizontale, je place les points B et C et je trace
des lignes qui relient E, B, F et C. Pareil pour A
et B, puis C et D. Et pour finir, je prends le
compas, je mets la pointe sur I et j'écarte
jusqu'au point A pour faire un cercle. Et voilà !
Texte du professeur
Trace le segment [AD] de longueur 4 cm et de
milieu E. Place le point F sur la médiatrice de
[AD] tel que EF = 4 cm. Place les points B et C
tel que BECF soit un carré. Place le point I à
l'intersection de (BD) et (AC). Trace le
quadrilatère ABCD. Trace le cercle de centre I et
passant par A.
b. Dessinez une autre figure géométrique
contenant six points, un cercle et deux
quadrilatères particuliers (pensez à coder la
figure et à nommer les points).
c. Rédigez un programme de construction de la
figure tracée au b. en tenant compte des
caractéristiques d'un texte mathématique.
d. Reproduisez votre figure sur une feuille puis
écrivez le programme de construction
correspondant sur une autre feuille. La figure
sera donnée au professeur et les groupes
s'échangent les programmes. Réalisez alors la
figure que vous avez reçue et remettez-la au
professeur qui la validera.
PARALLÉLOGRAMMES - CHAPITRE G3
Travailler en groupe
Travailler en groupe
17
A
D
E
F
B
C
I
4 cm
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