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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NATURAIS E
MATEMÁTICA
TÁCIO VITALIANO DA SILVA
A COMPREENSÃO DA IDÉIA DO NÚMERO RACIONAL E SUAS OPERAÇÕES NA
EJA: UMA FORMA DE INCLUSÃO EM SALA DE AULA
NATAL
2007
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TACIO VITALIANO DA SILVA
A COMPREENSÃO DA IDÉIA DO NÚMERO RACIONAL E SUAS OPERAÇÕES NA
EJA: UMA FORMA DE INCLUSÃO EM SALA DE AULA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Ensino de Ciências Naturais e
Matemática do Centro de Ciências Exatas e da Terra
da Universidade Federal do Rio Grande do Norte,
como requisito parcial para a obtenção do grau de
Mestre em Ensino de Ciências Naturais e Matemática.
Orientadora: Profª. Dra. Arlete de Jesus Brito.
NATAL
2007
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TÁCIO VITALIANO DA SILVA
A COMPREENSÃO DA IDÉIA DO NÚMERO RACIONAL E SUAS OPERAÇÕES NA
EJA: UMA FORMA DE INCLUSÃO EM SALA DE AULA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Ensino de Ciências Naturais e
Matemática do Centro de Ciências Exatas e da Terra
da Universidade Federal do Rio Grande do Norte,
como requisito parcial para a obtenção do grau de
Mestre em Ensino de Ciências Naturais e Matemática.
Aprovada em: ___/___/___
BANCA EXAMINADORA
_______________________________________________________________
Profª. Dra. Bernadete Barbosa Morey - Presidente, Coordenadora do PPGECNM, Universidade
Federal do Rio Grande do Norte
_______________________________________________________________
Profª. Dra. Cláudia Helena Dezotti- Examinadora Externa,
Universidade Federal Rural de Pernambuco
_______________________________________________________________
Profª. Dra. Claudianny Amorim Noronha – Examinadora Interna,
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Dedico aos meus pais e toda minha família.
AGRADECIMENTOS
À Deus que me proporcionou condições de desenvolver este trabalho.
À Profª. Dra. Arlete de Jesus Brito pela competência desta orientação, tornando relevante
sugestões e críticas cabíveis ao trabalho e auxiliando na realização desta pesquisa.
Aos Professores Dr. Iran de Abreu Mendes, Dra. Rogéria Gaudêncio do Rêgo, Dra.
Márcia Gorette, Dra. Claudianny Amorim Noronha, Dra. Cláudia Helena Dezotti, pelas
orientações e sugestões as quais foram significativas à concretização deste trabalho.
À direção da Escola Municipal Ferreira Itajubá pela oportunidade de realização desta
pesquisa.
À Profª. Josete pelo apoio pedagógico e aos alunos que contribuíram como parte principal
à realização deste trabalho.
À equipe de professores e funcionários da referida escola pelo apoio dado ao
desenvolvimento desta pesquisa.
À Nízia e Iguaracy da Secretaria da Pós-Graduação pela cooperação prestada à nossa
pesquisa.
À minha família pelo incentivo e compreensão.
À Sandra Rodrigues pelas sugestões.
Aos meus Amigos e Professores da Pós-Graduação, que contribuíram para a melhoria
deste trabalho.
“Programados para aprender e impossibilitados de
viver sem a referência de um amanhã, onde quer que
haja mulheres e homens há sempre o que fazer, há
sempre o que ensinar, há sempre o que aprender”.
Paulo Freire
RESUMO
A consciência da dificuldade que alunos, em geral, têm em compreender o conceito e
operações com Números Racionais, nos fez desenvolver este estudo que busca colaborar para tal
compreensão. Nosso intuito foi fazer com que os alunos da Educação de Jovens e Adultos, com
dificuldade em compreender os Números Racionais, sintam-se inclusos no processo ensino-
aprendizagem de matemática. Trata-se de uma pesquisa em sala de aula, numa abordagem
qualitativa com análise das atividades resolvidas por um grupo de alunos, em sala de aula de uma
escola municipal de Natal. Para elaborarmos tais atividades, realizamos o levantamento de
dificuldades e obstáculos que os alunos têm, quando inseridos no processo de ensino-
aprendizagem dos Números Racionais. Os resultados indicam que a seqüência de atividades
aplicadas em sala de aula colaboraram para que os alunos superassem alguns entraves na
aprendizagem destes números.
Palavras-chave: Números Racionais. Educação Matemática. Conceito.
ABSTRACT
The awareness of the difficulty which pupils, in general have in understanding the concept
and operations with Rational numbers, it made to develop this study which searches to
collaborate for such understanding. Our intuition was to do with that the pupils of the Education
of Young and Adults, with difficulty in understanding the Rational numbers, feel included in the
learning-teaching process of mathematics. It deals with a classroom research in a qualitative
approach with analysis of the activities resolved for a group of pupils in classroom of a municipal
school of Natal. For us elaborate such activities we accomplished the survey difficulties and
obstacles that the pupils experience, when inserted in the learning-teaching process of the
Rational numbers. The results indicate that the sequence of activities applied in classroom
collaborated so that the pupils to overcome some impediments in the learning of this numbers.
KEY-WORDS: Rational Numbers. Mathematical Education. Concept
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO.................................................................................................................. 10
2 SITUANDO A EJA NO BRASIL: UM RESGATE DAS POLÍTICAS
EDUCACIONAIS................................................................................................................. 15
2.1 Breve histórico da Educação brasileira........................................................................ 15
3 ANÁLISES PRELIMINARES......................................................................................... 31
3.1 Breve histórico dos Números Racionais........................................................................ 31
3.2 Os Números Racionais e a medida................................................................................ 38
3.3Obstáculos didáticos e o ensino dos números racionais................................................ 43
3.3.1 Erros relacionados com o zero....................................................................................... 43
3.3.2 Erros relacionados com a ordem dos decimais.............................................................. 44
3.3.3 Erros relacionados com as operações............................................................................. 44
4 ELABORAÇÃO E APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES................................................. 52
4.1 A escola e os alunos......................................................................................................... 52
4.2 Elaboração das atividades.............................................................................................. 55
4.3 Aplicação das atividades................................................................................................. 56
4.4 Análise dos dados............................................................................................................ 59
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS........................................................................................... 80
REFERÊNCIAS.................................................................................................................... 83
APÊNDICES.......................................................................................................................... 89
A-ENTREVISTA.................................................................................................................... 91
B-ATIVIDADE DIAGNÓSTICA.......................................................................................... 97
C-ATIVIDADE I.................................................................................................................... 99
ATIVIDADE II................................................................................................................... 108
ATIVIDADE III.................................................................................................................. 121
D-ATIVIDADE DE FRAÇÃO............................................................................................... 130
10
1. INTRODUÇÃO
O trabalho ora realizado no âmbito do Programa de Pós-Graduação em Ensino de
Ciências Naturais e Matemática, teve como objetivo analisar o potencial de uma seqüência
didática para a inclusão de alunos de EJA (Educação de Jovens e Adultos) no processo de ensino-
aprendizagem. Este objetivo relaciona-se à seguinte problemática: como poderia ser desenvolvido
o ensino dos Números Racionais na representação fracionária e decimal, considerando o
conhecimento do aluno e seus questionamentos, de modo que tais alunos passassem a se sentir
inclusos no processo de ensino-aprendizagem de matemática?
Nosso intuito é contribuir com a melhoria da qualidade do ensino-aprendizagem desses
alunos, considerando não só os seus conhecimentos prévios, mas dando-lhes condições de
transpor as fronteiras do conhecimento informal, para o conhecimento matemático sistemático,
fator importante para a inclusão em sala de aula. Carraher, Carraher e Schliemann (1995, p. 27)
afirmam que: “[...] era necessário conhecer melhor a matemática inerente às atividades da vida
diária [...] a fim de construir, a partir dessa matemática, pontes e ligações efetivas para a
matemática mais abstrata”. Entendemos que a escola enquanto entidade educativa deve promover
meios com o intuito de reduzir o analfabetismo na população e incluí-la na sociedade. Como diz
Paro (2003, p. 30): “A escola básica é a instância pela qual o estado deve proporcionar ao
indivíduo pelo menos o necessário para ele desenvolver-se como cidadão”. Este desenvolvimento
tem que estar ligado a aspectos sócio-culturais e intelectuais obtidos no seu cotidiano proveniente
da relação entre saber informal e “saber-ensinado”.
O ensino dos Números Racionais se faz necessário para a EJA, pois a maioria do público
dessa modalidade é formado por trabalhadores que diariamente lidam com situações nas quais os
números racionais são utilizados. É necessário que sejam desenvolvidas situações de ensino além
daquelas inseridas nas fronteiras do conhecimento prévio do aluno e que exijam um
aprofundamento do conhecimento teórico-matemático.
Nossa prática docente junto a alunos do projeto EJA nos levou a observar a dificuldade
que estes educandos têm em compreender os números racionais e suas operações. Segundo Silva,
(1997a) o conceito de número racional é considerado entre muitos conceitos, uma das idéias
matemáticas mais complexas que o aluno deve encontrar no processo escolar. Para que os alunos
11
da EJA entendam o conceito dos racionais é preciso um trabalho que não só promova atividades
de investigação em sala de aula, mas que vise proporcionar um momento de aprendizagem em
que tais alunos consigam abstrair esse conceito.
Hart (1981 apud SILVA, 1997a), em sua pesquisa, levantou algumas dificuldades com
interpretações das frações e constatou que a maioria dos alunos considera a fração como dois
números naturais. Entendemos que muitos jovens e adultos oriundos de insucessos escolares ou
que não passaram por uma escola possuem senso numérico em diferentes níveis, de acordo com
as situações vivenciadas, mas esse conhecimento, o qual podemos chamar de informal, ainda não
é o bastante para que entendam as características conceituais e as operações dos números
racionais. É provável que os conhecimentos prévios facilitem a compreensão do conceito, desde
que as situações utilizadas partam das vivenciadas por eles, mas não se restrinjam só a elas.
Porém é dada pouca relevância, por parte de muitos professores, ao conhecimento prévio
do aluno. Os conhecimentos prévios dos alunos são diversificados e na maioria das vezes são
vistos equivocadamente como obstáculos à aprendizagem. Cabe ao educador planejar uma
intervenção didática que vise transformar essa diversidade num ponto de estímulo de modo que o
aluno consiga explicar fatos matemáticos, analisá-los e compreendê-los. Muitos jovens e adultos
que não foram à escola têm uma noção informal sobre a matemática, eles vêm com conhecimento
do cotidiano e o utilizam como suporte para compreender o conhecimento sistemático, porém na
maioria das vezes não é encontrada uma orientação significativa, por parte do professor, que os
levem a relacionar saberes formal e informal, ou superar o saber informal.
Segundo o Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional (2002), 79% da população
brasileira têm algum tipo de exclusão social por não compreenderem conceitos e/ou
representações matemáticas. Acreditamos que uma aprendizagem significativa dos Números
Racionais, pode colaborar para a inclusão em sala de aula, de modo a cumprir o papel social que
a matemática deve desempenhar, quando o professor conduz através de novas metodologias o
processo ensino-aprendizagem com os alunos da EJA.
O ensino inclusivo diz respeito à inclusão de todos, isso sem os julgar talentosos,
deficientes ou classificá-los por origem sócio-econômica ou cultural. Para realizar o ensino
inclusivo o professor tem que ser capaz de promover uma atmosfera de aprendizagem em sala de
aula. E como se promove essa atmosfera? Através do desenvolvimento de atitudes positivas com
base nos conhecimentos prévios dos alunos em ambientes integralizados e de interações entre
12
professor-aluno e aluno-aluno. Essa interação proporciona o desenvolvimento do senso crítico, a
elevação da auto-estima e a certeza de se sentirem incluídos em sala de aula. Considerando esta
necessidade pela busca de metodologias de ensino que visem à inclusão escolar de alunos, em
aulas de matemática, desenvolvemos o estudo aqui apresentado. Para tal, utilizamos conceitos da
Engenharia Didática que nos ajudaram a organizar as etapas da pesquisa. A Engenharia Didática
é uma metodologia de pesquisa experimental que se baseia nas ações didáticas em sala de aula.
Pais (2001) relata em sua pesquisa que a Engenharia Didática traz um ponto de
semelhança entre a maneira de trabalho do pesquisador em Didática e o trabalho do engenheiro
no tocante à concepção, planejamento e execução de um projeto. Já Queiroz e Coutinho (1996)
definem Engenharia Didática como uma metodologia caracterizada por um esquema de
experimento, tendo como base a didática em sala.
Dessa forma, Pais (2001) assegura que o sucesso do trabalho, em Engenharia Didática,
depende da realização das seguintes etapas:
Análise preliminar: recomenda-se fazer uma descrição dos principais aspectos que definem o
conceito em questão, tais como epistemológico, didático e cognitivo. Esses aspectos fazem parte
da formação do objeto de estudo. Além disso, é necessário o levantamento das constatações
empíricas, o destaque da formação de idéias das pessoas envolvidas e a compreensão da realidade
em torno da experiência a ser executada. Neste trabalho, tal discussão é realizada na seção 3.
Análise a priori: segundo Pais (2001) é uma fase em que é necessário se ter uma definição de
determinada quantidade de variáveis que, de certa forma, podem interferir no experimento.
Aplicação da seqüência didática: É feita por uma quantidade de aulas ou sessões. Segundo Pais
(2001) essas aulas devem passar por um planejamento e uma análise prévia apurada com o intuito
de observar situações de aprendizagem, envolvendo os conceitos previstos na pesquisa didática.
Análise a posteriori: Esta fase é voltada ao tratamento das informações adquiridas por
conseqüência da aplicação da seqüência didática. A aquisição dessas informações vem por
intermédio do pesquisador ou da equipe que está aplicando a experiência. A análise a posteriori
tem o objetivo de complementar os dados obtidos por intermédio de questionários, entrevistas,
entre outros.
A quarta fase que é a validação é o resultado do confronto entre as análises a priori e a posteriori
e se qualifica como validade interna, limitada ao contexto da experiência realizada. Estas duas
últimas fases encontram-se na seção 4.
13
A pesquisa foi desenvolvida na Escola Municipal Ferreira Itajubá localizada na rua dos
Pegas s/n, Quintas. O universo dessa pesquisa é formado pelos alunos do nível III da EJA turma
D da escola anteriormente citada. A turma é composta por 30 adultos, a maioria residente no
bairro e tem uma característica peculiar: estando ou não no espaço escolar, tem um bom
relacionamento com a sua educadora, a professora Cristiane Lima (nome fictício), licenciada em
Matemática e com 20 anos de profissão.
Para a execução desse trabalho de pesquisa inicialmente foi feita uma atividade
diagnóstica baseada nos erros detectados por Perez (1988) em sua pesquisa sobre o ensino dos
números racionais na representação decimal. Nosso objetivo foi conhecer algumas dificuldades
dos alunos com relação ao estudo dessa temática. Nossa pesquisa foi iniciada através da
observação do contexto nos quais nossos sujeitos estavam inseridos, neste caso, em sala de aula.
Nesse primeiro momento, fomos apenas expectadores concernente à aplicação da atividade
diagnóstica e comparamos a pesquisa de Perez (1988) com o resultado dessa atividade.
A atividade diagnóstica foi aplicada no início do II semestre do ano de 2005, pela
professora Cristiane Lima na turma D do III nível da EJA. Participaram dessa atividade 14
alunos. Foram elaboradas quatro questões e os resultados foram analisados na seção 3.
Com base na análise da atividade diagnóstica, escolhemos uma amostra de 4 alunos e o
critério de escolha foi decidido entre nós colaboradores da pesquisa, tendo como base os alunos
com maior deficiência em matemática, fazendo jus ao tema que é a inclusão em sala de aula.
Foram dados a eles nomes fictícios, no entanto suas idades foram divulgadas numa entrevista
feita por nós. São eles: Dy, 46 anos; Lya, 28 anos; Rose, 24 anos e Ana com 26 anos; todos
vindos de uma escolarização seriada seguida de algumas repetências motivadas por desistência,
falta de tempo ou por motivo de trabalho. Quanto à relação com a matemática, dois deles acham-
na difícil outros dois fácil, porém todos têm dificuldade nessa disciplina.
Elaboramos as atividades baseadas na metodologia da Engenharia Didática considerando
os seguintes pontos: abordagem dos conhecimentos prévios, conceitos a serem desenvolvidos,
objetivos a serem alcançados e material necessário.
Foram propostas algumas atividades em sala de aula, através de uma seqüência didática.
Essas atividades foram elaboradas em algumas reuniões, ocorridas nas terças e quintas-feiras, à
tarde na sala da orientadora, pelo autor da pesquisa, pela Professora colaboradora (Cristiane) e
pela orientadora Profª Dra. Arlete Brito. Essas atividades se inserem no campo conceitual dos
14
Números Racionais na representação fracionária e decimal. Podemos classificá-las em: Atividade
I (Atividade com palitos), Atividade II (Atividade com material quadriculado), Atividade III
(Atividade com material dourado).
O texto aqui apresentado está dividido nas seguintes seções: na primeira seção temos a
introdução. A segunda seção consta das políticas educacionais e a Proposta pedagógica da EJA.
Aspectos históricos, os números racionais medida e análise da atividade diagnóstica, encontram-
se na terceira seção desta pesquisa. Na quarta seção temos a elaboração e aplicação das atividades
assim como a análise dos dados.
Na próxima seção faremos uma abordagem histórica da política educacional da EJA assim
como a evolução de sua proposta no ensino.
15
2. SITUANDO A EJA NO BRASIL: UM RESGATE DAS POLÍTICAS EDUCACIONAIS
Nesta seção iremos situar a Educação de Jovens e Adultos no Brasil através de um breve
histórico das políticas educacionais em que se observam algumas ações do governo na educação
de adultos e o processo que essa modalidade passou ao longo do tempo. Além disto, situamos, a
partir das atuais propostas curriculares para EJA, o ensino dos números racionais. Ao final,
fazemos um paralelo entre tais propostas e o modo como tais números vêm sendo ensinados na
escola em que desenvolvemos a pesquisa.
2.1 Breve histórico da Educação brasileira
As questões que conduzem à implantação da Educação de Adultos nos transpõem ao
período colonial. Essa ação ocorreu quando os jesuítas, estrategicamente, tentavam atingir os pais
dos alunos através da catequese infantil. (ROMANELLI, 1986).
A economia colonial brasileira fundada na grande propriedade e na mão-de-obra escrava,
teve implicações sociais e políticas bastante profundas. Ela favoreceu o aparecimento da unidade
básica do sistema de produção, de vida social e do sistema de poder, cuja representação era
legada à família patriarcal. A família patriarcal favoreceu a importação de pensamentos e idéias
dominantes da cultura medieval européia, feita por intermédio da obra dos jesuítas, que durante
um certo tempo catequizaram os índios e negros e mais tarde dirigiram as escolas de humanidade
para os filhos dos colonos.
A educação dada pelos jesuítas, vista como educação de classe, com características que
davam importância à educação da elite, atravessou todo período colonial e imperial e atingiu o
período republicano, sem ter ocorrido mudança estrutural em suas bases.
Os Jesuítas tinham um interesse pela ciência, as atividades técnicas e artísticas, mas também
tinham uma aproximação muito forte com as letras e atividades acadêmicas, isto era
caracterizado pela educação da camada nobre portuguesa. Essa educação foi resistente, pois
mesmo com sua expulsão, por volta de 1759, eles mantiveram seminários para formação do clero
16
secular. Romanelli (1986) diz que esse clero que atuava como mestres-escolas, foram os
continuadores da ação pedagógica dos jesuítas.
Ainda no Império, o Brasil viu surgir uma camada intermediária na sociedade. Essa
camada, chamada de pequena burguesia, estava ligada a mineração, ao artesanato, ao comércio e
à burocracia. Sua participação passou a ser mais ativa na vida social, não tanto pelas atividades
produtoras citadas, mas, sobretudo, pelo comprometimento político. O título de doutor tinha tanta
importância, quanto o de proprietário de terras, desta forma era a garantia para a conquista de
prestígio social e de poder político. Era de se entender que essa pequena burguesia desprovida de
terras apelasse para o título a fim de firmar-se como classe e a educação tornou-se um meio de
ascensão social.
A Constituição Brasileira de 1824, influenciada pelo Iluminismo, dava o direito à
“Instrução Primária e Gratuita para todos os cidadãos”. Mas esse direito ficou impedido de ser
cumprido por dois motivos: o primeiro é que no Império apenas um grupo reduzido da população
possuía cidadania e assim administrava-se a educação apenas para esse grupo. Os índios, negros e
boa parte das mulheres não usufruíram dessa oportunidade por não serem considerados cidadãos.
O outro motivo foi que a responsabilidade da educação básica era jogada para as províncias e o
governo geral ficava só com a responsabilidade de educar as elites. Como as províncias privadas
de recursos não podiam tomar atitudes sérias para mudar essa realidade, ao final do Império cerca
de 82% da população com idade superior aos cinco anos era analfabeta.
Foram desenvolvidas algumas campanhas de educação básica no Império, sem obter
êxito, por se tratarem de experiências sem grande sistematização, como por exemplo, as escolas
noturnas para adultos. Desse período até 1930 a alfabetização de adultos era baseada na
apropriação do código lingüístico. Conforme Moura (1999, p. 24):
Até aproximadamente a revolução de 1930 os formuladores de políticas e
responsáveis pelas ações tomam a alfabetização de adultos como aquisição de
um sistema de código alfabético, tendo como único objetivo instrumentalizar a
população com os rudimentos de leitura e escrita.
Observamos que desde o Império tenta-se resolver os problemas mais elementares, como
o analfabetismo, em curto prazo. A realidade nos faz ver pequenas melhorias quando observamos
a História da Educação Brasileira, que muitas vezes é composta de modismos, esquemas e
experimentos.
17
Dentre tais reformas podemos citar: Reforma “Leôncio de Carvalho” (1879), “Bejamin
Constant” (1890), Código “Epitácio Pessoa” (1901), Reforma “Rivadávia” (1911), “Carlos
Maximiliano” (1915), “Luiz Alves/ Rocha Vaz” (1925), “Francisco Campos” (1931),
“Capanema” (1942), “Lei de diretrizes e bases da educação Nacional” (1961), Reforma
Universitária (Lei n.5540/68 e Decreto-Lei n. 464/69), Reforma do ensino de I e II graus (Lei n.
5692/71) e atualmente a Lei de Diretrizes e Bases (LDB nº 9394/96).
Conforme Vieira (1992, p. 15) “em pesquisa recente chegou-se à conclusão de que todos
os governos brasileiros entre 1951 e 1985 lançaram campanhas de alfabetização para erradicar o
analfabetismo”. O processo intenso de urbanização, o crescimento demográfico e o aumento
sensível da renda per capita, foram fatores importantes que contribuíram para uma redução
natural da taxa de analfabetismo. No entanto, tal redução não foi proporcional ao crescimento da
população. Por exemplo, entre 1900 e 1970 a população cresceu quatro vezes, a densidade
demográfica aumentou na ordem de quase cinco vezes e o crescimento da população urbana
ultrapassou a ordem de cinco vezes, enquanto o índice de alfabetização apenas dobrou. Entre
1940 e 1970 eram alfabetizados uma média de 85000 adolescentes e adultos na faixa etária de 15
anos ou mais, por ano. Nesse mesmo período, entre 1940 e 1970, começou-se a buscar o
desenvolvimento de programas que contemplassem a Educação de Jovens e Adultos.
A EJA configurou-se como um importante campo de formação para as pessoas que não
tiveram acesso ao estudo regular, seja por insucessos escolares ou por história de exclusão e até
mesmo por acesso negado a bens culturais.
A partir de 1930 a educação básica de adultos demarcou o seu lugar na história da
educação no Brasil. Como afirmamos anteriormente, neste período estava acontecendo uma
efervescente transformação na indústria e a concentração populacional em centros urbanos estava
muito evidente.
Na década de 1940 a educação de adultos teve um período áureo pois houve várias
iniciativas públicas importantes, como por exemplo, a Regulamentação do Fundo Nacional do
Ensino Primário (1942) e a Criação do Fundo Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais.
Após a segunda Guerra, percebeu-se uma ação mais efetiva no campo da educação de
adultos com um programa do Ministério da Educação, que visava levar a educação fundamental
aos iletrados.
18
Em 1945, com o fim da ditadura Vargas, o Brasil passava por um processo de
redemocratização e a Organização das Nações Unidas (ONU) alertava para a integração dos
povos, com o intuito de produzir paz e democracia. Nesse contexto surgiu a campanha de
Educação de Adultos, proposta em 1947. Segundo Ribeiro (1997, p. 20) o objetivo desta era
alfabetizar em três meses e depois condensar o curso primário em dois períodos de sete meses.
Logo após viria outra etapa de “ação em profundidade”, destinada a capacitação profissional e ao
desenvolvimento comunitário. Essa campanha, sob a direção do professor Lourenço Filho, obteve
resultados importantes nos primeiros anos e estendeu-se às diversas regiões do país. Em pouco
tempo, “foram criadas várias escolas supletivas, mobilizando esforços das diversas esferas
administrativas de profissionais e voluntários” (RIBEIRO, 1997 p. 20).
Os métodos adotados estavam baseados no documento Primeiro Dia de Leitura que foi
produzido e distribuído em larga escala pelo Ministério da Educação. Esse guia era baseado no
Laubach (método de ensino de leitura para adultos) e determinava o ensino pelo método silábico.
As lições originavam-se de palavras-chave ordenadas segundo suas características fonéticas. As
sílabas deveriam ser memorizadas e remontadas para formar outras palavras.
Por volta de 1950 a campanha perdeu força em virtude das críticas feitas aos métodos
adotados. Tais críticas eram feitas tanto às deficiências administrativas da campanha, quanto à
sua orientação pedagógica. Nesse mesmo período denunciava-se o caráter superficial do
aprendizado, devido a um período curto da alfabetização e ao método inadequado para os adultos
e para as diferentes regiões do país. De 06 a 16 de julho de 1958, no Rio de Janeiro, ocorreu o II
Congresso Nacional de Adultos onde foram discutidas a inadequação dos métodos de ensino e a
falta de qualificação profissional do professor de adultos. Paulo Freire, que estava presente nesse
congresso, justificou a idéia de Centro Educacional Humanizador, compreendida como um ato
político e um ato de conhecimento. As críticas feitas ao método de memorização das sílabas,
tenderam a uma nova visão sobre o problema do analfabetismo e à consolidação de um novo
paradigma pedagógico para a educação de adultos na figura do educador Paulo Freire, principal
articulador das propostas para a alfabetização de adultos e educação popular no início de 1960.
Em 1963 o Ministério da Educação adotou as orientações metodológicas do professor
Paulo Freire, as quais até os dias atuais ficaram popularmente conhecidas como Método Paulo
Freire de alfabetização de adultos, tamanho sucesso que obteve. Esse Método consistia em uma
proposta de alfabetização de adultos conscientizadora, cujo princípio baseava-se em uma frase de
19
Paulo Freire: “A leitura do mundo precede a leitura da palavra”. Com base na utilização de
cartilhas, Paulo Freire desenvolveu um conjunto de procedimentos pedagógicos que foi chamado
de Método Paulo Freire. Ele previa uma etapa preparatória que era quando o alfabetizador
desenvolvia uma pesquisa sobre a realidade de seu grupo. Ao mesmo tempo, ele fazia um
levantamento do universo das palavras que o grupo utilizava para expressar essa realidade. Desse
universo deveria ocorrer, por parte do alfabetizador, uma seleção das palavras com maior
densidade de sentido, que mostrasse as situações existenciais mais relevantes. Logo após, era
preciso selecionar um conjunto que contivesse vários padrões silábicos da língua e organizá-lo de
acordo com o grau de complexidade desses padrões. Essas eram as palavras geradoras e a partir
delas faria-se um estudo da escrita e da leitura como o da realidade. Paulo Freire também
propunha que o educador utilizasse ilustrações e abrisse uma discussão que evidenciasse o papel
ativo dos homens como produtores de cultura, e que o educando assumisse a sua capacidade e
responsabilidade na aprendizagem.
Com o golpe militar de 1964, os programas de alfabetização e educação popular, que
haviam se expandido entre 1961 e 1964, foram tidos como ameaçadores e sofreram repressão. O
governo só permitiu a realização de programas de alfabetização com caráter assistencialista e
conservador, dentre eles a Ação Básica Cristã. Até que, em 1967, conforme Ribeiro (1997, p. 26)
“o governo assumiu o controle dessa atividade lançando o Mobral (Movimento Brasileiro de
Alfabetização”). Tido como organização autônoma, instalou-se em cada município do país,
através das comissões municipais, fruto das negociações entre o prefeito e a sociedade local, foi
ao ápice no final da década de 1970 ampliando a sua atuação às quatro primeiras séries do ensino
fundamental.
As propostas didáticas e a metodologia de Paulo Freire sem o tom crítico, influenciaram
os principais programas de alfabetização e de educação popular. Conforme Ribeiro (1997, p.26)
“as orientações metodológicas e os materiais didáticos do Mobral reproduziram muitos
procedimentos consagrados nas experiências de início dos anos 60, mas esvaziando-os de todo
sentido crítico e problematizador”. Expunha-se a alfabetização a partir de palavras-chaves,
retiradas da “simplicidade do povo”, mas as mensagens eram direcionadas sempre ao esforço
individual, ao contrário do que Paulo Freire preconizava para a alfabetização conscientizadora.
O Mobral diversificou sua atuação derivando vários outros programas de alfabetização —
Dentre eles o mais importante foi o programa de Educação Integrada. Esse programa dava
20
condições tanto aos recém-alfabetizados quanto aos analfabetos funcionais
11
a continuarem seus
estudos. Na década de 1980 projetos alfabetizadores davam suporte ao trabalho com a língua
escrita e com as operações básicas da matemática. Nessa mesma época, o governo proporcionou
a alguns Estados e Municípios que não o tinham, a autonomia em relação ao Mobral. Ele foi
extinto em 1985 por não ter mais prestígio entre os políticos e educadores. Nesse mesmo ano foi
substituído pela Fundação Educar que trazia uma proposta mais flexível baseada no Método
Paulo Freire. No entanto esse projeto não deu conta do esvaziamento das políticas públicas para
jovens e adultos nesta década.
No final da década de 1980 e em meados de 1990, foram realizados estudos sobre a EJA e
desencadeou-se a necessidade de mudança na educação básica. Dessa forma os programas
destinados à EJA não poderiam de maneira alguma estar voltados somente para a alfabetização,
mas também precisavam garantir a possibilidade de continuidade para outras séries para esses
jovens e adultos. Domingues (1999, p. 11) fala na proposta pedagógica SESC EDUCAÇÃO:
Módulo de Educação de Jovens e Adultos que:
A Constituição de 1988 ratificou o dever do Estado em proporcionar
escolaridade básica, independente da idade, elevando, assim, a Educação de
Jovens e Adultos ao mesmo patamar da educação de crianças de 07 a 14 anos,
garantindo a sua obrigatoriedade e gratuidade.
Em 1997 ocorreu a V Conferência Internacional de Educação de Jovens e Adultos em
Hamburgo, na Alemanha. Nessa conferência foi endossada a importância desta educação tanto
para os países desenvolvidos como para os em desenvolvimento. Isso levou o governo do Brasil a
desenvolver mais ações visando o combate ao analfabetismo devido às pressões da política
educacional adotada no mundo.
Por intermédio do Plano Decenal de Educação para Todos (Domingues, 1999) foi inserida
em âmbito mundial, a questão da universalização e educação para todos.
Em 2001 foi criado o Programa Recomeço — Supletivo de Qualidade — financiado pela
União, que visava a expansão do número de vagas para jovens e adultos do ensino fundamental.
No final de 2002, baseado numa série de dados coletados por meio de pesquisa, o MEC lançou a
proposta curricular do segundo segmento da EJA III e IV que correspondem às de 5ª a 8ª séries
11
Pessoas que dominavam precariamente a leitura e a escrita.
21
do ensino regular. Esse programa tem o objetivo de proporcionar ao aluno sua integração na
escola mostrando-se preocupado com os problemas da sua comunidade e exerça o ato de
cidadania na escola e na comunidade. Apesar das reformas, o índice de analfabetismo funcional
ainda é significativo entre jovens e adultos no Brasil. O
analfabetismo funcional a princípio foi
entendido como a incapacidade absoluta de ler e escrever, mas o seu conceito foi se modificando
ao longo das décadas. Conforme o 2º INAF
12
(2002, p.5) “em 1958 a UNESCO definia como
alfabetizada uma pessoa capaz de ler e escrever um enunciado simples, relacionado à sua vida
diária”, ou seja, a pessoa nesta condição teria passado da fase de analfabeta funcional para
alfabetizada. No final da década de 70, a UNESCO estabeleceu critérios que considerava uma
pessoa alfabetizada funcional quando ela tinha capacidade de usar a leitura e escrita, face ao seu
contexto social e utilizar essas habilidades no processo contínuo de aprendizagem e
desenvolvimento ao longo de sua vida. Na década de 90 a UNESCO, já de posse dos critérios do
alfabetismo funcional, solicitou que o IBGE mostrasse os índices de analfabetismo funcional
baseado em alguns critérios e revelou que “são consideradas analfabetas funcionais as pessoas
com permanência inferior a quatro anos de escolaridade” (2º INAF, 2002, p. 5). Podemos ampliar
essa definição conforme Moreira (2003, p.1):
[...] analfabetos funcionais são pessoas completamente analfabetas no sentido
tradicional ou pessoas aparentemente alfabetizadas, mas cujo grau de
alfabetização é insuficiente para que exerçam funções básicas nas sociedades
modernas.
É relativo o tempo de permanência na escola para que a pessoa passe da fase de
analfabetismo funcional para a fase de alfabetismo funcional, pois há uma relação imediata das
demandas de leitura e escrita atribuídas pela sociedade. Tanto na Europa como na América do
Norte, o tempo mínimo de permanência de escolaridade para chegar ao alfabetismo funcional é
entre oito e nove anos (2º INAF, 2002, p.5). No entanto, esses países estão desenvolvendo
pesquisas para verificar os níveis de habilidades no campo da leitura e da escrita. Cada vez mais,
nas pesquisas sobre alfabetismo funcional, é dada importância às habilidades matemáticas.
Entende-se por habilidade matemática o conhecimento ligado à quantidade, ordenação, operações
e resolução de situações-problema (2º INAF, 2002, p.6).
12
2º Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional: um diagnóstico para a inclusão social- avaliação de matemática
primeiros resultados dezembro 2002.
22
É de suma importância considerar essas habilidades enquanto indicadores do alfabetismo
funcional. A segunda edição do INAF 2002, que foi uma pesquisa desenvolvida pelo Instituto
Paulo Montenegro com objetivo de avaliar as habilidades matemáticas, propôs tarefas que medem
habilidades de leitura e interpretação de números, gráficos, tabelas, assim como operações simples
de aritmética, proporções, porcentagem, medidas de tempo, comprimento, área e massa. Essas
tarefas foram propostas oralmente pelo entrevistador que também utilizou artefatos conhecidos
pela população, tais como: jornais, calendários, moedas, instrumentos de medidas, etc. O
entrevistado (população) dava a resposta oralmente ou através de lápis, papel, calculadora. Além
disso, o entrevistado responderia a uma série de questões relacionadas a aspectos sociais, familiar,
prática de leitura e de cálculo. Chegou-se à conclusão de que apenas 3% da população entre 15 e
64 anos são considerados analfabetos matemáticos
13
, Foram também considerados os níveis de
alfabetismo matemático 1, 2 e 3 atingindo os índices de 32%, 44% e 21% respectivamente.
O sujeito do nível 1 detém a leitura dos números contextualizando preços, horários,
número de telefone. O sujeito do nível 2 além de ler bem os números naturais, compara os
decimais e “passa” troco. O do nível 3 consegue desenvolver uma estratégia na resolução de
problemas, cálculos usando noções de proporcionalidade e leitura de gráficos. Nessa pesquisa (2º
INAF, 2002), ficou constatado que a escolarização interfere no alfabetismo matemático: 80% dos
entrevistados até a 3ª série primária não conseguem transpor o 1º nível de alfabetismo matemático
descrito. Entre os que concluíram da 4ª a 7ª série do fundamental, é evidente o número daqueles
que permanecem no 1º nível (38%). No caso de quem tem o ensino fundamental completo, o
resultado é outro, 80% chega aos níveis 2 e 3 de alfabetismo matemático. Ficou também
comprovado que a classe econômica e gênero também influenciaram o desempenho dos alunos na
pesquisa. Comparando-se as pessoas que têm a mesma escolaridade, as que estão em uma classe
econômica mais elevada, têm uma tendência a serem mais bem colocadas no teste.Tal diferença
pode ter uma ligação com a qualidade da escolarização do entrevistado e de seus pais, assim como
o seu acesso a bens culturais e materiais. Quanto à questão de gênero, segundo a pesquisa, os
homens têm uma média de acerto ligeiramente superior ao das mulheres de mesma escolaridade.
A pesquisa desenvolvida pelo 2º INAF (2002) apresenta profundas desigualdades face às
oportunidades, tanto de adquirir como de utilizar as habilidades matemáticas funcionais. Essas
13
Pessoas que não conseguem ler o preço de um produto ou anotar um número de telefone.
23
diferenças denunciam fatores que pesam na hora da avaliação sobre o alfabetismo matemático,
tais como, a escolarização, classe econômica, gênero, acesso a bens culturais e materiais.
Observamos que são questões sociais que interferem bastante nessa avaliação e que refletem no
índice classificatório do indivíduo nos níveis de alfabetismo matemático.
Segundo o 2º INAF (2002) só 21% da população obtêm informações a partir da leitura de
gráficos e tabelas que são divulgados nas revistas, jornais entre outros, em contrapartida 79% dos
brasileiros não têm uma participação ativa no convívio social por não compreenderem essas
informações que podem ser importantes tanto na construção do senso crítico como na tomada de
decisões. Dessa forma, entendemos que a escola deve fornecer subsídios ao indivíduo para
desenvolver-se como cidadão e ser incluso na sociedade.
De posse desses dados do INAF, podemos refletir sobre o diagnóstico para a inclusão em
sala de aula. Sabemos que pouco mais de 21% das pessoas sabem ler e interpretar dados
matemáticos, o que nos leva a uma importante reflexão sobre o quanto de pessoas desprovidas
dessa habilidade existem ao nosso redor, excluídas de um dos aspectos mais importantes de suas
vidas, o de estarem inseridas no contexto social. Relacionando tais dados com nossa pesquisa,
consideramos que é necessário lançar e analisar propostas que busquem propiciar aos alunos
inclusão nas aulas de matemática e que lhes possibilite alcançar o nível 3 de alfabetização
matemática.
Entendemos que a escola, como entidade educativa que se propõe, deve promover meios
com intuito de reduzir o analfabetismo na população e incluí-la na sociedade.
Para que o cidadão esteja incluso nessa perspectiva, ele deve entender o que significa o
saber produzido historicamente. Segundo Paro (2003, p. 29):
O saber não diz respeito apenas a informações, a que se costumam reduzir às
disciplinas escolares, do modo como são ‘ensinadas’ na escola tradicional. Saber
envolve conhecimentos, valores, crenças, tecnologias, arte, filosofia, visões de
mundo, tudo, enfim, que se sintetiza na cultura[...].
O homem se apropria da cultura por meio da educação. É necessário que cada geração
nova se aproprie da cultura de gerações passadas, com a finalidade de atualizar-se tanto histórica
como culturalmente do desenvolvimento da humanidade. Dessa forma, a escola básica deve estar
inserida na proposta do desenvolvimento humano, como diz Paro (2003, p.30), “a escola básica é
a instância pela qual o estado deve proporcionar ao indivíduo pelo menos o necessário para ele
desenvolver-se como cidadão”. Sabemos que existem fatores que desviam o foco de prática
24
educativa tais como políticas públicas inadequadas e a não utilização de métodos didáticos que
proporcionem o desenvolvimento humano. Isso deve ser considerado como desafio para mudar a
maneira como é encarada a educação, de modo que a proposta educativa seja encarada de forma
que: “[...] os valores e todas as demais dimensões da cultura humana estejam presentes,
promovendo, com isso, a real inclusão do cidadão na sociedade” (PARO, 2003, p.30). Ou seja, a
proposta educativa deve propiciar um ensino inclusivo sem ver se os educandos são talentosos,
deficientes ou classificá-los por origem socioeconômica ou cultural. Essa idéia deveria ser
praticada em escolas e salas de aulas a fim de satisfazer as necessidades dos alunos.
Os alunos inseridos na EJA trazem para a escola experiências de insucessos tanto em
instituições escolares ao qual faziam parte como em situações vivenciadas no cotidiano. Muitas
vezes sentem-se excluídos do convívio social e incapazes de dialogar com suas indagações. É
necessário que a escola proponha ações educativas que minimizem essas carências. Entendemos
que a matemática colabora para a exclusão escolar. Se o aluno não compreende determinado
conceito matemático, e tal entendimento é necessário ao seu convívio social, é importante que a
escola cumpra o seu papel de propor ações compensatórias à deficiência desse aluno. Conforme
Saviani (2005, p.33):
a função básica da educação continua sendo interpretada em termos da
equalização social. Entretanto, para que a escola cumpra sua função
equalizadora é necessário compensar as deficiências cuja persistência acaba
sistematicamente por neutralizar a eficácia da ação pedagógica.
Porém, segundo o autor, é ingênua a idéia de que a educação é a redentora da sociedade.
Baseado nas compensações das carências educacionais é necessário falar de um tipo de
compensação educacional que em si embute valores que abrangem diferentes modalidades com
intuito de promover a inclusão.
As atitudes positivas com base nas deficiências dos alunos com dificuldades de
aprendizagem, são desenvolvidas em ambientes integralizados através de interações entre
professor-aluno, aluno-aluno. Essa integração proporciona o desenvolvimento do senso crítico, a
elevação da auto-estima e a certeza de se sentirem incluídos em sala de aula. Dessa forma a
extinção das práticas educacionais excludentes proporciona aos alunos uma oportunidade de
terem de volta o sonho da educação para todos, da inclusão na sociedade e na sala de aula. Neste
25
nosso trabalho queremos desenvolver um trabalho de inclusão em sala de aula por meio do estudo
dos números racionais.
Quando os jovens e adultos aprendem a calcular, medir, raciocinar, argumentar, eles estão
exercendo um direito básico de aprender matemática, ou seja, dizemos que eles estão exercendo a
cidadania. A matemática é necessária na formação dos jovens e adultos, no entanto, um ensino
fundamentado na memorização de regras ou voltado para conteúdos pouco significativos, com
certeza, não vai contribuir para uma boa formação matemática. É necessário, portanto, estimular
o aluno para que desenvolva um senso crítico e a matemática concorre para isto.
A Matemática que se ensina na Educação de Jovens e Adultos muitas vezes é confundida
com a matemática do ensino regular ou outro tipo de programa. Sabe-se que existem algumas
variáveis que têm dificultado o ensino de matemática na EJA, composta por um público especial
com limitações de tempo, recursos didáticos e de literatura escassa e no geral professores sem
formação específica para essa modalidade de ensino.
Além disso, normalmente professores e alunos tratam a matemática como sendo uma
matéria difícil e responsável pelo seu fracasso na escola. O deficiente desempenho em
matemática na Educação de Jovens e Adultos controla o fluxo de alunos fortalecendo a seleção
para os que vão ter oportunidade ou não de avançar na educação básica. Os alunos desistem da
escola e fazem isso por diversos fatores, seja por questões sociais ou econômicas, mas isso ocorre
também por se sentirem excluídos da dinâmica que ocorre no processo de ensino-aprendizagem.
O insucesso da matemática na escola leva a um distanciamento por parte dos alunos e um certo
temor dessa disciplina que eles, na maior parte das vezes, acham sem sentido.
Um outro aspecto refere-se às deficiências encontradas na formação do professor, que
consiste em interpretações confusas de concepções pedagógicas e a falta de uma política de
formação voltada especialmente para esse profissional de educação. A falta de publicações
específicas faz com que o professor “adapte” o material destinado a outro tipo de programa. Essa
adaptação muitas vezes exclui alguns conteúdos que são extremamente importantes no dia-a-dia
dos Jovens e Adultos. Em outros casos, por carência de material didático, há professores que
utilizam o livro didático do ensino fundamental durante o ano e dedicam apenas os conteúdos de
uma só série escolar, contrariando a proposta curricular do III e IV segmento da EJA que
contemplam duas séries em um ano. Além disso, há o desconhecimento por parte de alguns
professores, de metodologias que tornem a aprendizagem mais significativa. Segundo a Proposta
26
Curricular da EJA, “[...] a grande maioria dos professores ainda desconhece a abordagem baseada
na resolução de problemas como eixo orientador da aprendizagem em matemática.” (RIBEIRO,
1997, p.13).
Muitos professores utilizam estratégias didáticas como aulas expositivas, exercícios
individuais ou em grupo e propõem para os seus alunos atividades que podem ser resolvidas de
forma mecânica. Os problemas, quando utilizados, se encaminham mais à aplicação dos
conceitos dados do que da reflexão do processo. Muitas vezes, nas aulas de Matemática, os
problemas são feitos no fim da seqüência das atividades onde são apresentados modelos
artificiais. Além disso, muitos professores ignoram os conhecimentos advindos das experiências
vividas pelos jovens e adultos que deveriam ser consideradas como suporte para a construção de
novos conhecimentos.
Muitos alunos da EJA têm noções matemáticas adquiridas informalmente muito antes de
estudar suas representações simbólicas. Esse saber deve ser considerado como suporte para o
ensino de matemática em sala de aula. É necessário dar oportunidade aos alunos para contarem
suas histórias de vida, seus questionamentos e expor seu saber informal sobre assuntos do seu
cotidiano, isso é importante para que eles estabeleçam conexões entre diferentes temáticas no
campo da matemática e estabeleçam uma relação com as demais áreas do conhecimento, pois os
conceitos matemáticos, quando vistos isoladamente, causam certa confusão na compreensão do
aluno. Segundo Ribeiro (1997, p.15) “quando são abordados de forma isolada, os conteúdos
matemáticos não são efetivamente compreendidos nem incorporados pelos alunos como
ferramentas eficazes para resolver problemas e para construir novos conceitos”.
Grande parte do público da EJA já viveu experiências decepcionantes com o saber
matemático. Assim, a idéia e o trauma que eles têm sobre a Matemática interferem durante o
processo ensino-aprendizagem. O aluno crê que a Matemática é a ciência exata, do “certo ou
errado”, e que só precisa saber com antecedência como se resolve um problema e ter uma certa
habilidade em solucioná-lo. Esse aluno tenderá a não valorizar as etapas da resolução de
problemas.
Segundo a proposta curricular da EJA III e IV (BRASIL, 2002) o fato de aprender
matemática está ligado a uma gama de conceitos e procedimentos que abrange métodos de
investigação, de raciocínio e ao mesmo tempo de maneiras de representação e comunicação.
Dessa forma podemos dizer que a matemática abrange um vasto campo de relações, assim como
27
as mais variadas formas de comunicação e expressão. Os conhecimentos prévios são
diversificados e, algumas vezes, são obstáculos à aprendizagem, podem funcionar como elemento
facilitador do processo de ensino-aprendizagem ou também, ao contrário dificultar a
compreensão de determinado conteúdo. Cabe ao educador planejar uma intervenção didática que
vise transformar essa diversidade em um ponto de estímulo em que o aluno consiga explicar fatos
matemáticos, analisá-los e compreendê-los.
Muitos jovens e adultos que não foram à escola têm uma noção informal sobre a
matemática, mas na maioria das vezes não dominam suas representações simbólicas. Esses
alunos, quando matriculados na escola, têm interesse em aprender a matemática dentro de um
processo formal. O papel do professor é ser o mediador entre o conhecimento informal e o
sistematizado, dando a possibilidade do aluno construir vínculos entre a matemática extra-escolar
e a simbólica. Acioly-Régnier (2006, p. 70) chama a atenção para este vínculo quando relata que:
“a exclusão da matemática não escolar pela escola poderia conduzir ‘o aluno’ a uma manutenção
de crenças e atitudes suscetíveis de impedi-lo de construir pontes entre as diferentes
matemáticas”. Outra forma em que jovens e adultos aprendem a matemática é por meio da
comunicação oral. Nesse caso é de suma importância os alunos terem oportunidade de falar de
matemática, de argumentar suas idéias antes de representá-las no papel, produzindo registros
gráficos a respeito da matemática, conforme comenta Ribeiro (1997, p. 101), “Os adultos não
escolarizados aprendem muito através da comunicação oral, por isso é importante dar-lhes a
oportunidade de falar de matemática.” Deve-se visar uma aprendizagem matemática significativa,
em que os alunos possam estabelecer conexões entre vários conteúdos. É recomendado conforme
Ribeiro (1997, p.103) que os conceitos matemáticos sejam vistos por intermédio da resolução de
problemas.
Uma situação–problema pode ser vista como algo em que a solução não pode ser obtida
pela ação imediata da memória, é necessário que se elabore um plano em que se obedeça as
seguintes etapas: compreender o problema; elaborar um plano que solucione o problema;
executar o plano; verificar a solução; justificar a solução; comunicar a resposta obtida durante o
processo.
Conforme Ribeiro (1997), essa maneira de encarar a utilização pedagógica do problema
proporciona um ambiente agradável aos alunos, assim como a possibilidade de aperfeiçoarem
28
seus procedimentos, confiança em si mesmo, defesa de seus argumentos e esforço na busca de
soluções.
A aprendizagem matemática refere-se a uma junção simultânea de definições e
procedimentos que engloba uma metodologia investigativa e racional, assim como expõe formas
de comunicar e representar o mundo ao seu redor. Ela incentiva a capacidade de generalização de
previsão de resultados e abstrações.
A matemática na Educação de Jovens e Adultos diferencia-se de qualquer outro processo
de ensino-aprendizagem, pois se refere às idéias prévias dos educandos adquiridas em suas
práticas sociais de trabalho e de escolaridades anteriores. A apropriação de novos conhecimentos
deve levar em conta os conhecimentos prévios dos alunos, ou seja, ter como ponto de partida os
conceitos provenientes de suas experiências e suas interações sociais e assim servir como suporte
para aquisição do saber sistematizado. A matemática deve possibilitar além da organização, a
sistematização dos conhecimentos prévios formulados pelos alunos com o objetivo de valorizar o
saber cultural.
Na Proposta Curricular da EJA (2002) os conteúdos conceituais e os procedimentais estão
explicitados de forma clara e concisa tais como conteúdos referentes à geometria, grandezas e
medidas, estatística, probabilidade e combinatória e proporcionalidade e equivalência, aos quais
podemos destacar os números racionais e suas relações com grandezas e medidas. A proposta
expõe também o esboço de uma rede que sugere conexões dos números racionais com alguns
conteúdos medindo comprimentos, fração como razão, representação fracionária e decimal,
medidas, fração como quociente e relação parte-todo.
A proposta curricular da escola na qual está sendo desenvolvida a pesquisa, possui uma
estrutura seriada em que os conteúdos estão organizados em blocos:
- História dos números;
- Números naturais e suas operações;
- Atividade interdisciplinar entre história e as operações com números naturais;
- Adição, Subtração, Multiplicação, Divisão, Potenciação e Radiciação;
- Situações-problema do 1º grau;
- Noções de estatística;
- Gráficos em barras e linha;
- MMC e MDC;
29
- Números inteiros relativos;
- Números Racionais;
- Noções de geometria;
- Formas Geométricas;
- Proporcionalidade;
- Equações do 1º grau;
- Regra de três simples e composta;
- Porcentagem.
Desses itens, gostaríamos de destacar “números racionais”.
Esta proposta curricular refere-se à EJA III. Os números racionais não se relacionam a
outros blocos e não há sugestão de atividades. Segundo a professora Cristiane não há outros
níveis que tratem dos racionais fora do nível III. A professora disse que trabalhava o assunto
baseado no livro didático. O máximo que ela associava a fração à vida prática era a metade de um
bolo e cinqüenta centavos. Outro aspecto é que não havia articulação entre os racionais e outros
conteúdos, eles eram vistos separados e isolados dos outros conteúdos.
Segundo Perez (1988) os números racionais na representação decimal são signos de uma
linguagem que permite expressar — uma vez fixada a unidade — medidas de quantidades
menores ou maiores que ela.
Entendemos que os números racionais são de suma importância para nossa sociedade que
convive com situações-problema que exigem a utilização de tais conhecimentos. O ensino dos
números racionais na sua representação decimal se faz necessário à Educação de Jovens e
Adultos, pois, a maioria do público dessa modalidade é composto por trabalhadores que
diariamente lidam com situações nas quais a representação decimal dos racionais é utilizada.
Essas pessoas vivem situações em que números decimais são utilizados, como por exemplo,
orçamento alimentar doméstico, operador de caixa de supermercados, feirantes, frentistas etc.
Essas pessoas detêm este conhecimento matemático de modo informal.
Outra questão é o aumento sensível do uso das representações decimais, especificamente
em função das calculadoras e instrumentos digitais que tornam menos usuais as representações de
números racionais na forma fracionária, o que tem levado a se reconsiderar se esse conteúdo deve
permanecer no currículo. Mas, a noção de fração deve estar evidente para que se compreendam
outras noções matemáticas tal como a proporcionalidade e a razão.
30
Casos que tratam o sistema monetário e medidas de comprimento abrem um precedente
para a introdução de noções de números racionais nas representações fracionária e decimal.
Nossa moeda está organizada no sistema posicional de base dez e é comum vermos propagandas
se apropriando de tal representação. O ponto de partida para o trabalho com racionais pode ser o
conhecimento prévio que os jovens e adultos têm sobre as relações entre as unidades do sistema
monetário brasileiro (real e centavos) e um certo conhecimento com as unidades de medida de
comprimento e massa. No entanto, apesar deste domínio informal, pesquisas (SILVA, Maria José
1997) apontam que o ensino da matemática não está conseguindo superar o conhecimento
informal do aluno fazendo com que este consiga generalizar o conceito de número racional e
aplicá-lo a situações cotidianas em geral, por exemplo, compreender o significado de R$ 25,3
milhões, representação muito utilizada pelos meios de comunicação de massa.
Para se entender os números racionais nas representações de fração e de decimais é necessário
compreender conceitos de unidades e subdivisões em partes iguais. Quando se constrói esse
conceito é importante utilizar representações gráficas como ponte entre a linguagem oral e a
simbólica. Na seção seguinte faremos algumas análises preliminares — fase de engenharia
didática — que nortearão a elaboração e a aplicação das atividades com números racionais em
uma turma de EJA III.
31
3. ANÁLISES PRELIMINARES
Os números racionais são tão importantes para a nossa sociedade atual como foi no
passado. Eles são importantes no processo de ensino–aprendizagem em EJA, pois o universo da
EJA é composto por trabalhadores e jovens que estão se inserindo no mercado de trabalho e
lidam com este tipo de número no seu dia-a-dia. Portanto iremos desenvolver um estudo teórico,
tanto histórico como epistemológico, no campo dos racionais a fim de contextualizar o seu
desenvolvimento e detectar possíveis dificuldades, erros e obstáculos provavelmente existentes
no cognitivo dos alunos, como parte da análise preliminar proposta pela engenharia didática.
Queremos ressaltar que estas análises se restringirão ao conjunto dos racionais positivos, devido
ao fato dos alunos — com os quais foi desenvolvida a pesquisa — não terem, na ocasião,
aprendido o conjunto dos números relativos.
3.1 Breve Histórico dos Números Racionais
Os números racionais podem ser vistos como relação parte-todo e medida, divisão, razão
ou operador, conforme Vieira (2004). Na relação parte-todo e medida observa-se que o todo é
dividido em partes igualitárias, não obedecendo criteriosamente uma mesma forma, mas as partes
devem conter a mesma medida, nesse caso, a fração indica a relação que há entre o número de
partes consideradas (numerador) e o número total de partes (denominador). Podemos utilizar a
relação parte-todo tanto em conjunto discreto como em conjunto contínuo. Na fração como
divisão temos a idéia de partilha, já na fração como razão temos uma relação entre os elementos
de um par ordenado de números ou quantidades expressando um índice comparativo. Tais
maneiras de compreender os racionais são históricas como veremos a seguir.
Ao término do período neolítico, o Egito tinha a característica de estado organizado. A
sociedade egípcia estava centrada às margens do Nilo, ao norte, fazendo fronteira com o
32
Mediterrâneo e nas demais fronteiras observava-se um ambiente hostil. Os egípcios viviam
independentes, com sua religião, idioma e escrita hieroglífica.
Os conhecimentos acerca da Matemática egípcia provêm dos papiros que tratam de
questões matemáticas, dentre eles os mais importantes são: o papiro de Rhind e o de Moscou que
datam provavelmente do século XVIII a.C.
Com as transformações sociais surgiu a figura do escriba, que pertencia à classe
dominante e desempenhava trabalhos judiciais além de utilizar a matemática quando ia medir
uma terra ou calcular
impostos. No Egito a aritmética possuía já um nível elevado. Na contagem
era seguida uma numeração decimal que não era posicional, cada potência de dez possuía um
símbolo próprio.
O símbolo hieroglífico “ە” servia para designar as frações. Logo após, o “ە” passou a ser
um ponto cuja representação iremos descrever no exemplo :
n
n
1
*
=
.
Os egípcios utilizavam apenas frações unitárias, com exceção da fração 2/3.
Uma tabela de equivalência de frações do tipo
n
2
aparece no Papiro de Rhind ( entre 1788
e 1580 a.C), como nos mostra o exemplo a seguir:
Ex:
15
1
3
1
153
5
2
**
+==
.
Essa tabela foi utilizada por milhares de anos.
A Mesopotâmia, entre os rios Tigre e Eufrates, não foi terra de um só povo. Há muito
tempo atrás ela começou a se estruturar como sociedade de classe. Segundo Chassot (2002, p.
22): “entre o quarto e o terceiro milênio a .C., a região passou a ser habitada pelos Sumérios”. Os
Sumérios chegaram a alcançar as matemáticas na Mesopotâmia, fato esse constatado quando
foram encontrados os primeiros textos matemáticos em Uruk, a mais importante das cidades
sumérias na época. No entanto, na metade do terceiro milênio, a estrutura da cidade-estado já não
contemplava as exigências da economia que necessitava de uma maior organização. Dessa forma
surgiu o império semítico que entrou em contato com as tradições científicas dos Sumérios. A
ciência suméria se manteve sob o domínio dos Babilônicos, dos Assírios e dos Persas.
Estas civilizações utilizavam um sistema de numeração ao mesmo tempo aditivo e de
posição e base 60. Os 59 primeiros números eram em base 10 e utilizavam notação cuneiforme.
Os números maiores que 59 obedeciam a um sistema de posição. Nas frações sexagesimais
33
utilizavam um clavo duplo inclinado para indicar a ausência de unidades, como acontece na
representação de graus, minutos e segundos. Os babilônicos representavam números não-inteiros
por meio de uma notação parecida com a nossa decimal, porém sem o uso da vírgula e na base
60.
A matemática grega se revelou em quatro períodos, sendo o primeiro o jônico, onde a
matemática se revelou como ciência independente. O segundo se denomina período
ateniense,
que na matemática se desenvolveu como
álgebra geométrica. O terceiro é conhecido como
período
helenístico, onde a matemática da Antiguidade conheceu seu maior apogeu. O helenismo
foi essencialmente uma civilização urbana e sua ação se estendeu ao Egito, Mesopotâmia e uma
parte da Índia. Este contato da ciência da Grécia com o oriente era extremamente fértil,
especialmente durante os primeiros séculos.
O quarto período é o
alexandrino, em que Alexandria era o centro matemático do mundo
antigo e
onde a matemática da Antiguidade conheceu seu maior apogeu. A conquista de
Alexandre estava entre três impérios que se evidenciaram em: baixo Egito, Mesopotâmia baixa
Síria e Macedônia. A imediata conseqüência das companhias de Alexandre foi o avanço da
civilização grega além de uma parte do mundo oriental.
Partindo de uma numeração decimal parecida com a dos egípcios, os gregos fizeram um
sistema que tratava uma representação particular de cada número.
Os gregos utilizavam as frações em declarações de propriedades, câmbio de moedas e na
arquitetura.
As frações, na sociedade grega, expressavam razões de números inteiros. Além disto,
utilizaram o sistema babilônico para desenvolver suas tabelas astronômicas.
Os gregos desenvolveram a idéia de fração como razão de dois números inteiros positivos,
principalmente devido a situações de medida. É esta maneira de entender os racionais que está
implícita na definição atualmente utilizada para número racional. No entanto, hoje utilizamos o
conjunto dos inteiros relativos naquela definição.
Roma foi centro de um grande império que se formou e teve um grande papel na história
da civilização. A civilização romana era dotada de exaltação diante das aptidões boas para a
estratégia, a administração e a jurisprudência. De outra forma ela tinha uma mínima força
criadora intelectual, pois as suas artes, sua ciência e até sua medicina levou a crer que foi
34
importação grega. A civilização romana só tinha interesse pela ciência se via nela como realizar
obras práticas na arquitetura, engenharia e medicina.
Houve um romano que apresentou nove artes e dentre elas está a geometria, e a aritmética.
Esse homem foi Varrão que viveu entre 116 e 27 a.C.
Cálculo com moedas e metrologia eram os principais usos das frações pelos romanos na
relação de operador, onde cada fração tinha um nome especial e na maioria utilizavam o
denominador 12 (moeda
as tinha uma libra dividida em 12 unciae).
No vale do rio Hoangô, a partir do terceiro milênio a . C. , se desenvolveu uma civilização
agrícola neolítica. O utensílio de cerâmica encontrado revelava ligação com civilizações asiáticas.
Dessa forma começou a civilização chinesa. Sua prosperidade e decadência foram vistas em
diferentes dinastias na qual ocorreu a construção de grandes capitais. No século XVIII a .C.
sucedeu a conquista da China pelos mongois. As relações científicas dos estudiosos chineses se
alongaram para Ásia Central onde foi estabelecido contato com estudiosos árabes.
Na antiga
China utilizaram diferentes tipos de escritura numérica. A numeração hieroglífica foi vastamente
utilizada desde o século II a.C. Até os séculos XII e XIII d.C, a escritura numérica de palitos de
bambu era utilizada, sendo modificada no século XIII conforme Wussing (1998).
O sistema de numeração com palitos é decimal (na base 10) e se utiliza do zero.
O sistema de numeração chinês por volta dos séculos VIII e VII a.C. utilizava
alternadamente barras verticais e horizontais para representar seus números. Nesta época
utilizavam lacunas para representar a ausência de unidades. No século VIII passaram a
representar a ausência de unidades por um pequeno círculo. Um documento da época mongólica
traz as frações decimais representadas de uma forma muito próxima da nossa.
Um documento do século I chamado “Nove Capítulos Sobre os Procedimentos
Matemáticos” tratava de problemas econômicos e administrativos tais como: medida de terrenos,
cálculo de impostos e questões matemáticas de cálculo de área, raiz quadrada e cúbica,
resoluções de equações algébricas e já trazia um tratamento de frações. Este foi reorganizado por
Liu Hui no século III, que utilizou para representar as frações, as palavras:
fen ( partes), zi
(numerador) e um (denominador) e dedicou um capítulo às operações de somar, subtrair,
multiplicar, dividir, simplificar, comparar e calcular média. No seu 5º problema enuncia pela
primeira vez, x de y partes para designar
y
x
, com x<y. Para divisão utilizavam situações
35
concretas: “Agora temos sete homens que dividem oito sapecas
14
e um terço. Perguntamos
quanto um homem obtém”.
Os chineses entendiam das operações sobre frações, em que achavam o mínimo
denominador comum. Em outros contextos os chineses viam analogias que davam por referência
o numerador como “filho” e o denominador como “mãe”.
Nos primórdios do terceiro milênio a.C. existiu uma próspera cultura no vale do Rio Indo.
As inscrições achadas ainda hoje são enigmáticas e poucas informações se sabem sobre os
conhecimentos científicos que os hindus possuíam. Desse período são os Vedas que é uma
enciclopédia das escrituras sagradas de várias religiões da Índia. É a mais antiga literatura indo-
européia conhecida. Os Vedas foram divulgados oralmente e depois escritos em sânscrito
arcaicos
15
Nessa civilização Buda se detinha em muitos interesses, inclusive na ciência, Chassot
(2002, p. 26) relata que
:
“No primeiro milênio a.C. surge o nome de Buda (560-480 a .C.), que se destaca
ao propor uma filosofia moral, difundida também em sânscrito. Buda fundava
seu sistema sobre o amor e o conhecimento e no respeito à razão e à verdade.
[...]. A filosofia budista, entre outros interesses, buscou explicações para
problemas científicos. Formulou uma teoria atômica primitiva”.
A aritmética hindu do século III a.C. possuía um sistema de numeração do qual originou o
sistema que usamos hoje.
O sistema de numeração indiano era de base 10. As frações foram tratadas de forma
separada pela primeira vez no tratado Aryabhata (476), em que apresenta todas as operações com
frações, sendo a soma e a subtração com redução ao mesmo numerador.
Brahmagupta (598) enunciou a divisão de frações da seguinte forma: “depois de ter
invertido o denominador e o numerador do divisor, o denominador do dividendo é multiplicado
pelo (novo) denominador o seu numerador pelo (novo) numerador...”.
Mahavira (850)
completou os trabalhos anteriores e apresentou um capítulo completo às frações, utilizando as
palavras e respectivos significados abaixo, conforme Silva, Maria José (1997):
Ansa (parte) = numerador
Cheda (divisor) = denominador
Bhaga (dividir) aparecia com freqüência
14
Pequena moeda chinesa.
15
Uma das mais antigas línguas clássicas da Índia, da qual descendem várias línguas ou grupos de línguas.
36
Não é fácil resumir a significativa contribuição dos árabes para o avanço da ciência.
Al-kowarizmi (780-850) foi o autor de “Tratado de Aritmética”, considerada a primeira
obra de tratamento do sistema decimal árabe e suas operações. Ele se baseou nos símbolos do
modelo numérico indiano. Utilizou os conceitos de unidade, dezena e centena e descreveu suas
operações de cálculo. Noutro capítulo tratou das frações atribuindo nomes especiais para as
frações unitárias.
O matemático Al-Uglidisi (952) recompilou a aritmética indiana, grega e árabe de sua
época, determinou uma representação das frações decimais, ex: 2’35 = 2,35 (lê-se 2 unidades e
35 de cem) e facilitou as multiplicações e divisões com potência de 10.
A obra
“A chave da matemática” foi escrita por Al-Kasi. O segundo capítulo desta obra é
dedicado às frações e estabelece tabelas de conversão de frações sexagesimais em frações
decimais. Também determinou um procedimento para transformar frações ordinárias em frações
decimais que é o seguinte: “
Para multiplicar os números 153
2
1
e 16
4
1
, se substitui
2
1
por 5 e
4
1
por 25. Se separa os algarismos que ocupam as três últimas posições do produto 1535 x 1625
= 2494375 o que dá 2494,375 .
Indica-se que a parte fracionária é igual a 3/8”.
Al-Hassar (séc. XII) desenvolveu um procedimento para o produto de um inteiro ou
fração por outra fração, vejamos:
“ Reduz as frações de cada fator ao mesmo denominador e
depois multiplica numeradores e denominadores entre si”.
Por volta do terceiro milênio a.C. a Palestina viu o desenvolvimento de uma civilização
dotada de originalidade e que recebeu o nome de civilização cananéia
16
. Os Hebreus foram
influenciados por cerca de 3 mil anos pelas culturas egípcia, mesopotâmica e egéia.
A respeito da ciência hebraica, pouco se conservou do que estava escrito nos
pergaminhos, pelo fato destes se deteriorarem facilmente. O que se tem de referência está na
Bíblia.
Em Israel encontramos dois sistemas de numeração: o decimal originário da ação de
contar nos dedos e o sexagesimal, herança da Babilônia.
16
Esse nome foi tirado da Bíblia, que chama de Canaã a região onde se fixaram os hebreus.
37
Abraham bar Hiyya (1065-1145) escreveu a obra “
O livro das superfícies e das medidas”,
que era um pequeno tratado de geometria prática, utilizando as frações em notação alfabética e
designada por “
n partes de p”, ou seja, como relação parte /todo.
Abraham ibn Ezra foi autor do “
O livro dos Números” (1160), que trazia um sistema
posicional de nove algarismos (nove primeiras letras do alfabeto hebraico) mais o zero.
Na Idade Moderna, um dos principais divulgadores dos números decimais, inclusive não
inteiros, foi Stevin.
Simon Stevin (1548-1620) escreveu a primeira obra da história que trata exclusivamente
de frações:
“A décima”. Para representar décimos, centésimos e milésimos utilizou um círculo
acima ou depois de cada dígito com a sua respectiva potência de dez.
John Napier não tinha a matemática como profissão era um Barão que cuidava de suas
propriedades e tinha interesse por alguns aspectos da matemática. A obra de Napier pode ser
explicada da seguinte forma: “Para conservar próximos os termos numa progressão geométrica
de potências inteiras de um número dado, é necessário tomar o número dado muito próximo de
um.” (BOYER, 1974 P.228). Essa compreensão levou Napier a inventar os logaritmos em 1614.
Na sua obra “
Descriptio” traduzida para o inglês em 1616 existe a representação das frações
decimais com um ponto separando a parte inteira da fracionária. Já em 1617 na obra
“
Rhabdologia” foi descrito os cálculos com uso de barras, dessa forma Napier tomou como
referência à aritmética decimal de Stevin e sugeriu o uso de um ponto ou de uma vírgula como
separação decimal. Em 1619 com sua obra “
Constructio” o ponto decimal passou a ser padrão na
Inglaterra, já a vírgula utilizada hoje foi adotada pelo neerlandês Wilbord Snellius no início do
século XVII.
Roberval (1602-1675) desenvolveu uma teoria de ordenação entre razões, o que
desencadeou o processo de formação do conjunto dos racionais.
Em 1879 o matemático Dedekind, que defendeu a tese sobre o cálculo, escreveu a
primeira definição explícita de corpo numérico, dando então aos conjuntos dos números
racionais, dos reais e dos complexos a estrutura algébrica de um corpo.
A seguir, faremos uma análise do conjunto dos racionais, iniciando pela relação entre tais
números e o processo de medição, conforme é realizado por Caraça (1989).
38
3.2 Os Números Racionais e a medida
O ato de medir é tão antigo quanto a contagem e são operações que em cada momento das
nossas vidas são praticadas com freqüência. A costureira usa certa unidade para medir tecidos
para confecção de vestuário. O pedreiro utiliza outra unidade de medida na construção. Medir é
comparar duas grandezas da mesma espécie; dois comprimentos, duas áreas, dois volumes, etc.
Nesse caso, estabelecer uma unidade de medida de grandeza única para comparação com
qualquer grandeza da mesma espécie, é necessário nas diversas situações do cotidiano, como
podemos perceber através do exemplo: vamos supor que uma costureira utilizasse um pedaço de
tecido em forma de fita, que este fosse dividido em dez partes iguais e que se estabelecesse uma
unidade de comparação, no caso 1cm. O número obtido (10cm) do tamanho do pedaço de tecido,
que podemos chamar de
medida da grandeza, é o resultado da comparação entre o comprimento
e a unidade. Podemos também dizer que esse pedaço de tecido tem 0,1m se transformássemos a
medida da grandeza para outra unidade: o metro.
Segundo Caraça (1989) para se eleger uma unidade de medida deve-se considerar as
questões
de caráter prático, de comodidade e de economia, por exemplo, não é confortável você
tomar como unidade de comprimento o quilômetro para confeccionar um vestido ou utilizar o
milímetro para medir a distância de um trópico a outro.
O ato de medir mostra a necessidade de outro campo numérico que não o dos naturais,
pois estes últimos servem para enumerar e contar objetos. Desta forma, o conjunto dos naturais é
insuficiente quando se trata de mensurar grandezas contínuas, tais como: massa, pressão, peso,
área, entre outros. Assim é necessário um conjunto numérico com o qual seja possível realizar
tais medições, ou seja, o conjunto dos racionais e também os irracionais algébricos, no entanto
não vamos discutir os irracionais nesse trabalho porque não faz parte do nosso objeto de
pesquisa.
Vamos considerar a seguinte situação de medida: sejam os segmentos
A
B
e
CD
,
conforme a figura 1:
39
Coincidindo os extremos A e C podemos ver que o ponto D cai entre A e B. Dessa forma
concluímos que o comprimento de
A
B
é maior que o de
CD
ou que o comprimento de
CD
é
menor que o de
A
B . Mas só isso não basta para relacionarmos as grandezas envolvidas. Para
prosseguirmos na construção desse conceito temos que responder a seguinte indagação: Quantas
vezes cabe um comprimento noutro? Para responder essa pergunta devemos ter uma espécie de
termo de comparação
único para todas as grandezas da mesma espécie.
Além disso, é necessário:
a) Estabelecer uma
unidade de medida de grandeza, única de comparação para todas as
grandezas da mesma espécie.
Ex: centímetro para comprimento, o segundo para o tempo.
b) Ser possível estabelecer o número que mostre o resultado da comparação com a unidade.
Esse número é chamado de
medida de grandeza em relação a essa unidade.
Podemos usar a figura 1 para comparar os comprimentos. Dessa forma o segmento
CD
cabe quatro vezes na unidade
A
B
. Há, portanto três aspectos na medida em que são: escolha da
unidade,
comparação com a unidade; expressão do resultado dessa comparação por um número.
Suponhamos o caso da figura 1, o segmento
A
B
, medido com a unidade
CD
= u, mede 4.
Se dividirmos a unidade
CD
em três partes iguais e tomarmos uma nova unidade o segmento
u’=
CE
, a medida de
A
B baseado na unidade u’=
CE
é 12.
Segundo Caraça (1989), de um modo geral, se uma grandeza, medida com a unidade u,
mede
m, e subdividimos u em n partes iguais, a medida da mesma grandeza, com a mesma
unidade u, se exprime pela razão de dois números
P e n, onde P=m.n é o número de vezes que a
nova unidade cabe na grandeza a medir.
m=m.n/n.
A ___________________________________________B
C_________D
Figura 1-Representação de dois segmentos
Fonte: Caraça (1989)
40
Outro caso que ocorre na subdivisão é o que se observa na figura 2.
Nesse caso, a unidade sobre
A
B
, sobeja uma porção,
PB
, de segmento inferior a
unidade, então, dividimos
CD
em três partes iguais e a nova unidade coube onze vezes em
A
B
.
A medida de
A
B em relação à nova unidade é 11. Pelo princípio da economia essa medida é
dada pela razão 11/3. Sabemos que não existe esse quociente no conjunto dos inteiros, mas ele
pode ser representado a partir do conjunto dos racionais.
Uma outra representação dos números racionais a partir da medida é a seguinte:
considerando
M uma grandeza, podemos exemplificar como comprimento, e s uma unidade da
mesma espécie que
M. “Suponhamos que não existe um número p tal que p vezes s (s.p) seja
igual a
M.” (PEREZ,1988, p.61). Entendemos que M é igual a p vezes s mais um segmento que é
menor que
s. Observe a expressão que reflete isso: M = s.p+r
_______________________F
M
_________________________________
__
s __ _r _
______________________________
0 1 2 3 4 5
Figura 3-Representação dos racionais a partir da medida
Fonte: Caraça (1989)
Figura 2-Representação da subdivisão
Fonte: Caraça (1989)
P
A __________________________________________B
C_________D
●
41
Consideramos a unidade
s dividida em um número n de partes iguais, cada uma delas será
a enésima parte de
s (1/n de s que representamos s/n).
Suponhamos que existe um número
q tal que q vezes s/n é igual a grandeza r . Esta
situação escrevemos da seguinte forma:
M= (p.n.s/n)+q.s/n e diremos que a medida de M, em
relação a unidade
s/n é o número (p.n+q). Seja a medida [M]=
(
p.n.s/n)+(q.s/n)=(p.n+q).s/n=m/n.s (fazendo p.n+q=m) dizemos que m/n é a medida de M com a
unidade
s e chamamos número fracionário m/n. Este procedimento supõe que se pode subdividir
indefinidamente a unidade.
Essa maneira de se construir os números racionais nos proporciona algumas definições
que fazem possível a existência de números “obtidos das medidas”. Essa construção se apóia na
geometria e na intuição geométrica de que é possível fazer indefinidamente as subdivisões da
unidade.
Quando conseguimos uma mesma unidade de medida que meça dois segmentos, dizemos
que eles são comensuráveis, caso contrário, dizemos que são incomensuráveis. Nesta última
situação, necessitamos de outro conjunto numérico, ou seja, o conjunto dos irracionais.
Para todo número racional será possível encontrar um ponto sobre a reta que vemos na
relação:
a>b, se e somente se, existir um elemento c que verifique a igualdade: a=b+c. Além
disso, constatamos que os números racionais se distribuem de maneira
densa sobre a reta. Para
qualquer par de números racionais
a e b, pode-se encontrar outro racional e, de modo que
c=(a+b)/2. Caraça (1989, p. 56) afirma que: “Todo conjunto [...] tal que entre dois dos seus
elementos quaisquer exista uma infinidade de elementos do mesmo conjunto, diz-se um conjunto
denso”.
Podemos ordenar os elementos do conjunto dos números racionais de modo a mostrar que
é um conjunto enumerável, ou seja, com a mesma cardinalidade dos inteiros e que eles sejam
conjuntos equivalentes, segundo Caraça (1989, p. 14): “[...] se, entre os elementos de dois
conjuntos infinitos, puder estabelecer-se uma correspondência biunívoca, esses dois conjuntos
dizem-se equivalentes”. Se podermos provar a possibilidade de estabelecer entre os números
racionais e os números inteiros uma correspondência biunívoca, provaremos a sua
enumerabilidade. Para fazer a demonstração é preciso agrupar todos os números racionais de
maneira que em cada grupo a soma dos dois termos de cada fração seja a mesma. Assim teremos:
42
1º grupo: 1
1
1
= ; a soma dos dois termos da fração é igual a 2;
2º grupo: 2
1
2
,
2
1
= ; a soma dos dois termos da fração é igual a
3;
3º grupo: 3
1
3
,1
2
2
,
3
1
== ; a soma dos dois termos da fração é
igual 4;
4º grupo:
4
1
4
,
2
3
,
3
2
,
4
1
=
; a soma dos dois termos da fração é
igual a 5.
Agora faremos a correspondência biunívoca associando a cada número do grupo
(racional) a um número inteiro. Observe:
Números
racionais
1
1
2
1
2
3
1
3
4
1
3
2
2
3
4
5
1
5
Números
inteiros
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Figura 4-Correspondência biunívoca
Fonte: Caraça (1989)
Assim concluímos que além de enumerável, o conjunto dos racionais é também denso,
porém não é contínuo porque há elementos de corte que dividem este conjunto em duas classes,
de modo que tais elementos não pertencem aos racionais.
Uma maneira de estruturar os números racionais na representação decimal consta em
encontrar as soluções desta equação:
10
n
.x=a, sendo a um número inteiro e n um natural.
Definimos em ZxN a classe de equivalência:
(a,n)
⇔
(b,p)=a . 10
p
=b.10
n
A classe do par ordenado (a,n) especificado acima se escreve
n
a
10
e é um conjunto de
frações equivalentes a fração
n
a
10
, que podemos nomeá-la de número decimal.
43
Um exemplo que podemos dar é: [1000x=67] que é equivalente a [x=67/1000] essa classe
que podemos representar também por [67/10³] tem várias frações equivalentes à 67/1000 que é
um número racional na representação decimal, onde a=67 e n=3 (expoente).
3.3 Obstáculos
17
didáticos e o ensino dos números racionais
Segundo Silva (1997a) o conceito de número racional é considerado entre muitos
conceitos, uma das idéias matemáticas mais complexas que o aluno deve encontrar.
Hart (1981 apud SILVA, 1997a) em sua pesquisa levantou algumas dificuldades com
interpretações das frações e constatou que a maioria dos alunos considera a fração como dois
números naturais, e que se pode somar os numeradores e os denominadores principalmente na
adição de fração com denominadores diferentes.
Esse trabalho visa levantar dificuldades que os alunos enfrentam no processo de
aprendizagem dos números racionais, uma delas é a questão dos obstáculos didáticos,
epistemológicos e cognitivos que tem levado, muitas vezes, os alunos a cometerem erros quando
vão utilizar os números racionais. A seguir comentaremos alguns desses erros detectados na
pesquisa de Perez (1988):
3.3.1 Erros relacionados com o zero
17
Segundo Brousseau (1981) há obstáculos de ordem:
Didático – São os que dependem da escolha de um projeto do sistema educacional, ou seja, são as
dificuldades criadas pela escola, através da estratégia de ensino escolhida que provoca posteriormente obstáculos ao
desenvolvimento da conceituação. Segundo Rosa (1998, p. 35) “Reconhecer um obstáculo permite ao professor rever
sua primeira apresentação do conceito em questão, para explicitar melhor a dificuldade vivida pelo aluno”.
Ontogênetico- Origina-se de limitações do sujeito em um dado momento de seu desenvolvimento mental.
Normalmente surgem quando a aprendizagem está muito deslocada em relação a maturidade conceitual do sujeito.
Epistemológico - São inerentes ao próprio saber, constitutivos do próprio conhecimento. Podem ser
percebidos nas dificuldades que os próprios matemáticos encontraram na história e por isso “não podemos nem
escapar deles nem deixá-los escapar”.
O obstáculo é um conhecimento, mesmo que seja falso, não consiste na ausência de conhecimento. Tem
validade que produz respostas inerentes a certos problemas, mas que há uma condução de respostas erradas em
outros problemas. O obstáculo é resistente a modificação e se torna preponderante em certas situações. É necessário
negá-lo para a aquisição de um novo saber. (SILVA, 1997b).
44
A utilização do zero faz parte de mecanismos que funcionam de formas diferentes.
Ex; “alguns alunos ignoram o zero e interpretam 0,036 como 36, não considerando
a estrutura global do número e vendo só como inteiro.” (PEREZ, 1988, p.137). Outro exemplo é
que o aluno considerar 1,35 diferente de 1,350.
3.3.2 Erros
18
relacionados com a ordem dos decimais.
É lançada a proposta aos alunos que ordene os números a seguir do menor ao maior e a
resposta é essa: 4,05<4,5<4,15 e eles respondem que o menor é o que tem o zero e logo após 5 é
menor que 15.
3.3.3 Erros relacionados com as operações
Existem algumas operações que devem ter uma atenção especial por parte do professor,
pois muitas vezes os seus resultados traz erros.
Ex: 0,70+0,40+0,20=0,130 ; 17,3+21,8=38,11.
Ex: Fazendo o número 437,56 dez vezes maior. Resposta: 437,560.
Podemos considerar que estes erros apontados por Perez (1988) são obstáculos á
aprendizagem.
18
Há algumas décadas atrás, a área da didática da matemática em alguns países vem se interessando e
desenvolvendo pesquisa relacionada aos erros dos alunos. Segundo Schubring (1998) ficou reconhecido que os erros
não vêm só de relatos que demonstre incapacidade subjetiva ou até mesmo falta de atenção, vem de outros fatores
que estão ligados a sua experiência escolar. Para Radatz (1979 apud Schubring, 1998, p. 15):
“Erros de alunos são muito mais o resultado ou o produto de experiências anteriores nas aulas de
matemática. [...] Pode-se constatar que os erros e alunos são casualmente determinados e muitas vezes sistemáticos,
sem a ação do professor, são persistentes podendo perdurar ao longo de vários anos escolares, são analisáveis e
descritíveis como técnica de erros”.
45
Entendemos que muitos jovens e adultos oriundos de insucessos escolares ou que não
passaram por uma escola têm um certo senso numérico, claro que em diferentes níveis e de
acordo com as situações vivenciadas por eles. Mas, esse conhecimento, que podemos chamar de
informal, que eles detêm não é o bastante para que entendam as características conceituais e as
operações dos números racionais. É provável que os seus conhecimentos prévios facilitem a
compreensão do conceito, mas não permitam ampliar suas concepções numéricas dentro de um
contexto social em que estão inseridos.
Estudos feitos em alguns países tais como Inglaterra e Brasil têm apresentado resultados
em relação ao estudo dos números racionais na representação fracionária. A pesquisa de Lima
(1997) analisa as conseqüências de iniciar o ensino de fração partindo do modelo parte-todo em
situações do cotidiano. Já Hart (1981 apud SILVA, 1997a) discutiu em sua pesquisa a dificuldade
que alguns alunos têm com a interpretação das frações.
Baseado nesses resultados constatamos que os alunos se mostram com dificuldade
19
em
entender o conceito dos racionais e não vêem a fração como quociente. Silva, (1997a) alerta que
enquanto os números naturais precisam de uma ação de contagem, a compreensão dos conceitos
dos números racionais na representação fracionária e decimal depende do entendimento de outras
construções, tais como: quociente, medida, operador, razão, zero à esquerda, comparação de
decimais e relação de equivalência.
Preocupados com essa questão, decidimos focar nossos estudos sobre números racionais
na representação decimal e fracionária com o intuito de realizar um trabalho com os alunos da
EJA e criar um espaço de reflexão partindo das idéias envolvidas nos números racionais visando
uma maneira significativa de aprender com criatividade desmistificando as regras e modelos.
Nossa pesquisa foi iniciada através da observação da dificuldade de se construir a
compreensão do conceito dos números racionais, no contexto aos quais nossos sujeitos se
encontravam inseridos, neste caso, a sala de aula. Antes de tratarmos a questão da formação do
conceito elaboramos um instrumento de avaliação diagnóstica contendo quatro questões, com o
objetivo de verificar a concepção que os alunos têm antes de qualquer intervenção sobre os
Números Racionais. Esse instrumento foi uma atividade diagnóstica baseada no estudo de Perez
(1988) em sua pesquisa sobre o ensino dos números racionais na representação decimal. Com
19
A dificuldade é algo que impede de executar de imediato e bem alguma coisa. Elas podem ser causadas por
diversos fatores como: conceito que se aprende, método do professor, conhecimentos prévios dos alunos e sua
própria disposição para aprender.
46
base nessas questões, elaboramos a atividade com objetivo de conhecer algumas dificuldades dos
alunos da EJA face ao estudo dessa temática assim como comparar em termos percentuais o
confronto entre o resultado de Perez (1988) e o dessa atividade.
ATIVIDADE DIAGNÓSTICA: Números Decimais
1)
QUESTÃO:
Seis décimos se escreve assim 0,6. Como se escreve três centésimos?
( ) 0,300 ( ) 3,00 ( ) 3,0 ( ) 3,100 ( ) 00,3 ( )0,03
2)
QUESTÃO:
Compare os decimais 4,5; 4,15; 4,05 e diga quem é o maior entre eles.
3)
QUESTÃO:
Faça o número 437,56 dez vezes maior.
( ) 437,560 ( ) 4375,6 ( ) 4,3756 ( ) 43756
4)
QUESTÃO:
Considere a seguinte soma de decimais 0,70+0,40+0,20. Qual o resultado?
( ) 0,130 ( ) 01,30 ( )1,30
A atividade diagnóstica foi aplicada no início do segundo semestre do ano de 2005, pela
professora da turma D do III nível da EJA, Cristiane Lima, da Escola Municipal Ferreira Itajubá
da zona oeste de Natal. Nesse primeiro momento a professora da turma e o professor pesquisador
foram apenas expectadores, sem intenção de interferir na interpretação das questões. Participaram
dessa atividade 14 alunos que resolveram as questões individualmente, sem consulta, e teve
duração de uma hora e trinta minutos.
Foram elaboradas quatro questões e a seguir descreveremos os resultados.
Na primeira questão perguntei como se escreve três centésimos.
Opções de resposta: ( ) 0,300 ( ) 3,00 ( ) 3,0 ( ) 3,100 ( ) 00,3 ( ) 0,03
OBJETIVO: Esta questão tem o objetivo de suscitar a compreensão dos alunos em relação
ao sistema de numeração decimal quando se trata de números inferiores a um.
47
Acreditamos que muitos têm a compreensão do sistema de numeração decimal no
campo dos números decimais.
RESULTADOS
RESPOSTA
Certa 4 alunos Errada 71,43%
Item 0,300 5 alunos
Item 3,00 1 aluno
Item 3,100 2 alunos
Item 0,03
Resposta certa
Item 00,3 2 alunos
Quadro1 - Percentual relativo as respostas certas e erradas da questão 1
Nesta questão quatro alunos responderam certo e dez alunos responderam errado e dentre
este percentual de erro cinco marcaram a resposta 0,300. Neste caso observamos que os alunos
que optaram por esta resposta não estão totalmente familiarizados com o sistema de numeração
decimal quando a representação decimal é menor que um, e que, por conseguinte, não podem
compreender o sistema de numeração decimal no campo dos decimais inferiores como no sistema
de numeração decimal nos números inteiros. Outro aspecto importante dessa resposta é a palavra
“centésimos” que lembra centena: como a expressão da resposta é “três centésimos”, o aluno
associa o número três ao cem e acha o produto trezentos; como está se tratando de números com
vírgula ele assinala a resposta que enfoca os dois aspectos: o trezentos e a vírgula. Um aluno
marcou a alternativa 3,00 e mais uma vez veio à tona o desconhecimento do sistema de
numeração decimal na representação dos decimais e do sistema posicional. Explicando melhor, é
que no seu conhecimento prévio não há uma dimensão do que é parte inteira e parte decimal.
Outra questão é que ele não se dá conta de que a resposta 3,00 é a mesma da alternativa 3,0; se
soubesse, marcaria as duas.
Dois alunos marcaram a alternativa de resposta 3,100 em que analisamos o não
conhecimento do sistema de numeração decimal dos decimais. Outra questão é que a expressão
“três centésimos” leva o aluno a associá-la à resposta “três cem”.
48
Dois alunos assinalaram 00,3. Mais uma vez o não-conhecimento do sistema de
numeração é observado neste quesito. Um outro fato interessante também é observado: os dois
zeros antes da vírgula referem-se aos zeros da centena justificando assim a expressão acima
citada. E ainda esses alunos não atentaram para alternativa, 0,300 que é o mesmo número do item
00,3. Há um desconhecimento de que o primeiro zero não assume valor operacional, portanto a
sua exclusão não interfere na resposta. É evidente quando eles acham que as duas alternativas são
equivalentes.
Na segunda questão pedi para comparar 4,5; 4,15: e 4,05 e dizer qual é o maior entre
eles.
Opções de resposta:
resposta aberta de acordo com a ordem que eles julgam ser certa.
OBJETIVO:
observar como os alunos comparam os números decimais indicando quem é
o maior e o menor e ver se eles fazem a conexão entre decimais e inteiros na reta numérica.
RESULTADOS
RESPOSTA
Certa 4 alunos Errada 10 alunos
Respondeu 4_15 1 aluno Item 4,5
Resposta certa
Respondeu 415 1 aluno
_ _ Responderam 4,15 8 alunos
Quadro 2 - Percentual relativo as respostas certas e erradas da questão 2
Nesta questão, quatro alunos responderam certo, e dez alunos responderam errado. Destes
dez, oito responderam 4,15 justificando que este é o maior número, possivelmente eles
constataram essa resposta porque compararam os números após a vírgula, 5; 15 e 05, e disseram
que 15 é o maior. No universo desse percentual de erros um aluno escreveu a resposta 4_15. Esta
resposta está demonstrando o desconhecimento do que é parte inteira e parte decimal. A vírgula é
49
substituída por um traço destacando o número 15. Esse traço observado pode ser representado
pelo traço da fração na tentativa de uma possível conversão. Em outra situação um aluno
respondeu 415. Observamos mais uma vez o pouco conhecimento da representação decimal,
neste caso, a ordem nos números naturais é confundida com a ordem dos decimais no campo dos
centésimos. Dessa forma também não está claro para o aluno a relação parte inteira e decimal.
Na terceira questão a proposta é eles fazerem o número 437,56 dez vezes maior.
Opções de respostas:
( ) 437,560 ( ) 4375,6 ( ) 4,3756 ( ) 43756
OBJETIVO:
Nesta questão o intuito é verificar como eles utilizam a multiplicação nos
decimais, se eles encaram como um prolongamento da multiplicação nos naturais e se há intenção
em deslocar a vírgula ao invés de operar a multiplicação. Um outro fato atrelado a este é que os
alunos sabem que multiplicar é acrescentar. Perez (1988, p. 138, tradução nossa) afirma que,
“Um bom número de alunos justificam que multiplicar é fazer um número maior”.
Acreditamos que muitos irão deslocar a vírgula observando a ordem da dezena.
RESULTADOS
RESPOSTA
Certa 5 alunos Errada 9 alunos
Responderam 4,3756 8 alunos Item 4375,6
Resposta certa
Respondeu 437,560 1 aluno
Quadro 3 - Percentual relativo as respostas certas e erradas da questão 3
Nesta questão, cinco alunos responderam certo, assinalando o item 4375,6. Nove
alunos responderam errado. Desses erros, oito alunos assinalaram a alternativa 4,3756.
Observamos nesta resposta uma falta de conhecimento de como processar a operação
multiplicação nos decimais, considerando no final da operação o lugar adequado para colocar a
vírgula e entender na reta numérica a idéia de dimensão entre número assinalado e a resposta
correta. Um outro aspecto é que os alunos têm em mente, e pensa-se como obstáculo, que
50
multiplicar é aumentar o resultado. Transformar 437,56 em um número dez vezes maior significa
para eles comparar. Portanto, a parte decimal 3756 da resposta é maior que 56 proposto na
questão. Um aluno respondeu 437,560. Neste caso ele multiplicou o 56 por dez e o fez
corretamente no campo dos números naturais, mas partindo para a compreensão no sistema dos
números decimais, ele não conseguiu desenvolver a resposta certa.
Na quarta questão perguntou-se qual seria o resultado da soma 0,70+0,40+0,20?
Opções de respostas:
( ) 0,130 ( ) 01,30 ( ) 1,30
OBJETIVO:
Nesta questão queremos observar se os alunos conseguem identificar o que é
número inteiro e o que é representação decimal na organização do dispositivo prático
20
e se eles
conseguem aplicar e entender a regra “vírgula abaixo de vírgula”.
Acreditamos que muitos alunos vão utilizar a regra: “vírgula abaixo de vírgula”.
RESULTADOS
RESPOSTA
Certa 5 alunos Errada 9 alunos
Responderam 0,130 8 alunos Item 1,30
Resposta certa
Respondeu 01,30 1 aluno
Quadro 4 - Percentual relativo as respostas certas e erradas da questão 4
Cinco alunos responderam certo, 1,30, e nove alunos responderam errado. Desses erros
oito alunos assinalaram a opção 0,130, e ao optarem por esta resposta, os alunos demonstraram o
desconhecimento do valor posicional. Ao operarem a soma colocaram a parte inteira 1 do
decimal abaixo da parte, dos décimos, contrariando assim a ordem dos algarismos nos decimais.
Batista (1995, p. 70) relata que: “[...] parece-nos que predomina a não compreensão do valor
posicional, que se reflete na dificuldade com operações aritméticas com números de dois ou mais
20
Colocam-se as representações decimais de modo que as vírgulas se correspondam e efetua-se a adição como se
fossem números naturais. (SANGIORGI, 1986, p. 139)
51
algarismos”. Em outra situação um aluno optou pelo item 01,30, observa-se nesta resposta que
todas as etapas da resolução do algoritmo são obedecidas, sendo que um outro algarismo, o zero,
é preservado por entender que a resposta tem que ser acompanhada pelo zero pois as parcelas são
assim. Um outro aspecto é considerarem os decimais como pares de números naturais, de forma
que a resposta tem que exibir uma quantidade maior de algarismos do que as parcelas. (PEREZ,
1988)
Tendo nesta seção detalhado a construção do campo dos Números Racionais, vamos nas
próximas seções mostrar o estudo que fizemos junto aos alunos.
52
4 ELABORAÇÃO E APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES
Para a definição dos aspectos dos números racionais que vamos abordar nesta pesquisa,
utilizamos Perez (1988) e Silva (1997a). Escolhemos os seguintes temas: relação parte-todo,
operador, equivalência, razão, quociente e decimal. Além disso, foram considerados os resultados
obtidos a partir da aplicação de uma atividade diagnóstica, que buscou identificar os
conhecimentos prévios que os alunos do III nível da EJA turma D, tinham em relação aos
números racionais.
Desta forma propusemos uma seqüência didática a ser desenvolvida em 10 aulas, dirigida
aos trinta alunos do III nível EJA da referida escola pública municipal, sendo que, vamos
observar uma amostra de quatro alunos.
As atividades foram elaboradas considerando os seguintes pontos: abordagem dos
conhecimentos prévios, conceito, objetivos, material necessário e procedimentos que os alunos
deverão realizar.
4.1 A escola e os alunos
A pesquisa foi desenvolvida na Escola Municipal Ferreira Itajubá localizada na Rua dos
Pêgas s/n bairro das Quintas. Nela funcionam, 14 salas nos turnos matutino e vespertino e 10 no
noturno. Há 430 alunos no matutino, 480 no vespertino e 270 no noturno. São 13 ciclos de 1º e 2º
segmento e 1 educação infantil no matutino, 12 turmas seriadas de 5ª a 8ª e 2 de educação infantil
no vespertino e, no noturno, 5 turmas do III nível EJA, 4 turmas do IV nível EJA e 1 turma do II
nível EJA. A escola ainda possui 1 biblioteca, 1 sala de informática e a sala de vídeo que
funciona na biblioteca. Esses recursos são utilizados pelos alunos do III e do IV níveis da EJA.
O universo de nossa pesquisa é formado pelos alunos do nível III da EJA turma D da
escola anteriormente citada. A turma era composta por muitos adultos, a maioria reside no bairro
e possui um bom relacionamento com a professora. As aulas de matemática dessa turma
aconteciam nas segundas das 20h 30min às 22h e nas terças, das 19h às 20h 30. A escola possui
53
em seu suporte pedagógico: 2 supervisores no turno matutino; 2 no turno vespertino e 3 no
noturno.
A professora que aplicou as atividades é Cristiane Lima
21
, trabalha na educação há 20
anos e na EJA, há 5 anos. Possui Licenciatura em matemática, é uma educadora inteirada e não
têm nenhuma objeção em aplicar na sala de aula novas propostas de ensino. Com larga
experiência na rede pública, emite um carisma muito agradável a seus alunos. Portanto, fizemos o
convite certos de que a relação profissional entre a professora e o pesquisador iria render muitas
experiências boas em sala de aula. A opção por uma escola da rede pública municipal deu-se pelo
fato do pesquisador já trabalhar nesta escola.
O questionário de entrevista foi elaborado pelo professor-pesquisador e pela orientadora
com intuito de não só coletar informações formais da vida profissional e escolar dos alunos, mas
também deixá-los à vontade para expressarem seus questionamentos, suas vitórias e insucessos
durante a vida escolar e o que representa a matemática para eles. A entrevista é classificada como
semi-estruturada (Apêndice A), pois reflete uma intervenção menos rígida na abordagem dos
alunos. Ludke e André (1986, p. 34) afirmam que “a entrevista semi-estruturada se desenrola a
partir de um esquema básico, porém não aplicado rigidamente, permitindo que o entrevistador
faça as necessárias adaptações”.
O critério de escolha foi decidido entre nós, os colaboradores da pesquisa. O público
escolhido foram os alunos com maior deficiência na matemática, fazendo jus ao tema que é a
inclusão em sala de aula. Os alunos escolhidos para serem analisados foram 3 pessoas do sexo
feminino e 1 do sexo masculino. A descrição a seguir é fruto de uma entrevista e revela um pouco
da vida de cada um. Optamos por não divulgar seus nomes verdadeiros porque entendemos que,
mesmo sendo parte e estrelas autênticas dessa pesquisa, precisam ter suas identidades
preservadas.
Começamos por
Dy, 46 anos, mecânico, há pelo menos 20 anos na profissão. Quanto à
escolarização ele relatou que: “foi bom, estudei em vários cantos, não tive problema com a
matemática e é a matéria que gosto mais.” Quando perguntei por que parou de estudar ele disse
que faltava professor na escola em que estudava e em outra ocasião estudava numa escola muito
distante e que sentia dificuldade em ir, pois precisava trabalhar. Perguntamos por que voltou a
estudar e ele respondeu que sentia necessidade em evoluir na leitura e na escrita. Perguntamos
21
Esse nome é fictício.
54
ainda o que ele achava da matemática, ao que ele respondeu que “é bom e importante, mas tenho
dificuldade com ‘matéria nova’ só com um certo tempo consigo evoluir.” A respeito da
utilização da matemática na sua profissão ele respondeu que “às vezes utilizo o ‘paquímetro’
para medir as peças.”
Lya, 28 anos, doméstica, exerce essa profissão há 13 anos. Perguntamos a respeito da
escolarização, ela disse que mudava muito de escola porque seus pais se mudavam muito de um
bairro para outro. Parou de estudar por dois motivos: primeiro, porque seus pais se separaram e
ela teve que cuidar de seus irmãos menores, segundo porque trabalhava em casa de família e o
patrão não a deixava estudar. Perguntamos por que voltou a estudar, ela respondeu que não queria
ficar toda a vida na profissão de doméstica. Perguntamos ainda o que ela achava da matemática,
ela disse que “antigamente tinha dificuldade, mas agora estou aprendendo e estou gostando.”
Quanto a utilização da matemática na profissão, ela falou que utilizava quando ia todos os dias ao
mercado fazer compras e na culinária quando cozinhava a metade (
2
1
) do pacote de macarrão e
1kg de feijão.
Rose, 24 anos, doméstica, trabalha nesse ramo há 5 anos. Sobre sua escolarização, ela
disse que “estudava e parava, isso sempre aqui em Natal e em escola pública.”Parou de estudar
por falta de tempo. Resolveu voltar porque queria melhorar de vida. Perguntamos o que ela
achava da matemática e ela revelou que “era ruim e difícil,” apesar disso, admitiu usar a
matemática em sua profissão.
Ana, 26 anos, estudante, informou que foi alfabetizada logo, mas tem dificuldade em
escrever certo. Parou de estudar, porque ia se divertir com os amigos. Voltou a estudar, porque
“percebi que sem estudo não sou nada e não vou arranjar um emprego.” Gosta de matemática e
a utiliza em sua profissão.
A nossa pesquisa foi feita na escola pública, a qual como toda estrutura educacional
pública possui suas dificuldades e limitações. Descreveremos aqui algumas que intervieram na
pesquisa.
Em se tratando de espaço físico a sala de aula não é adequada para esse tipo de coleta de
dados, pois possui uma parede com estrutura de ventilação que fica justamente do lado do
corredor. Quando era dado o sinal do intervalo os alunos que se deslocavam para outras salas
faziam muito barulho, dificultando a gravação dos dados e o próprio aprendizado dos que
55
estavam em sala. Uma outra barreira física que detectamos é a instalação elétrica da sala que só
dispunha de duas tomadas. Quando os grupos se separavam, o professor tinha que sempre
localizá-los próximo a essas tomadas, isso gerava um certo constrangimento pois nem todos
queriam sair do lugar previamente demarcado. Esses aspectos não chegaram a inviabilizar a
pesquisa, mas trouxe certas limitações.
4 .2 Elaboração das atividades
Nesta seção apresentaremos a seqüência didática elaborada a partir do resultado da
atividade diagnóstica aplicada aos alunos da Educação de Jovens e Adultos e de algumas de suas
deficiências observadas dentro do campo dos Números Racionais.
A seqüência didática foi organizada em forma de atividades, sendo boa parte delas
resolvidas com o auxílio do material concreto, ou seja, palitos de fósforo, material dourado e
papel quadriculado. A escolha dos palitos de fósforo e do quadriculado foi feita por dois aspectos,
um é que esses materiais podem ser um auxílio prático na exploração das idéias inseridas nos
conceitos, Moysés (2004, p. 103) fala que: “os objetos e os demais recursos visuais [...] passaram
a ser apenas o signo que os ajudava a compreender as idéias contidas nos conceitos que estavam
aprendendo”. Outro é que esses materiais são de baixo custo.
O material dourado foi escolhido por ser didaticamente um material de apoio em vários
conteúdos matemáticos, inclusive nos racionais. A manipulação desse material permite não só a
compreensão de conceitos no campo dos racionais, mas em outros campos do conhecimento
matemático.
“Este fato faz com que um mesmo conceito possa ser explorado em diversos campos e
situações, permitindo desta forma uma compreensão melhor do mesmo”. (SILVA, Maria Célia,
1997, p. 48). É com esta finalidade que utilizamos esses materiais em nossa seqüência.
Com a seqüência didática temos os seguintes objetivos específicos:
Espera-se que o aluno consiga entender o que significa relação parte-todo;
56
Definir o conceito de fração e suas operações a partir de situações propostas na seqüência
tendo como base o material concreto;
Compreender diferentes formas de representar os números racionais;
Definir o que é unidade;
Trabalhar com materiais manipulativos em sala de aula, integrando-os como suporte
didático na resolução das atividades no campo dos racionais.
Na elaboração das atividades tivemos as seguintes hipóteses:
No ensino há uma dissociação das diferentes formas da representação dos números
racionais; nas atividades elaboradas pretende-se desmistificar essa problemática associando as
muitas formas de representação destes números;
Os alunos têm dificuldade e resistência em utilizar o material dourado; as atividades
visam superar essas dificuldades;
O saber produzido no campo dos racionais com o auxílio do material concreto, que no
caso deste trabalho são os palitos de fósforo, material dourado e o material quadriculado,
possibilita uma compreensão mais ampla do que aquele que é tratado em aula expositiva;
Os alunos têm dificuldades para operar com números racionais, porém acreditamos que ao
propormos situações significativas para que resolvam, eles conseguirão realizar tais operações.
4.3 Aplicação das atividades
A seqüência didática foi aplicada pela professora Cristiane e o professor pesquisador,
sendo que este último ficou observando e gravando o grupo escolhido para a análise. Ele só
intervinha, orientando, quando era interpelado pelo grupo. A seqüência desenvolveu-se durante
dez sessões de uma hora e meia cada, sendo que, em algumas, o tempo transcorrido era pouco
mais de uma hora, o que estava associado a alguns fatores internos da escola que limitava a
pesquisa.
57
No decorrer da seqüência foi colocado a disposição dos grupos o material concreto
outrora mencionado e a cópia das atividades que foi fornecida individualmente.
A professora Cristiane em todas as sessões procedeu da seguinte maneira:
• Distribuiu as atividades;
• Pediu que os grupos de trabalho se organizassem;
• Recolhia todo o material e as atividades ao final de cada sessão.
A primeira sessão
(17/10/05): No primeiro encontro com a turma do III nível D, foi distribuída a
atividade com palitos (apêndice C atividade I) que tinha como objetivo desenvolver junto aos
alunos o conceito de fração. Foram distribuídos também palitos de fósforos para auxiliar os
alunos na execução da atividade. A professora Cristiane explicou que a atividade se tratava de
uma pesquisa e que tanto ela como o pesquisador a estavam desenvolvendo em parceria.
Explicou o procedimento das atividades, separou os grupos em duplas, pois o número de alunos
estava reduzido, e indicou para o pesquisador a dupla que iria formar o grupo dos supostos
excluídos do processo de ensino em sala de aula devido à dificuldade de acompanhar o nível da
turma.
Segunda sessão
(26/10/05): Nesta aula a atividade dos palitos foi suspensa, pois o pesquisador e a
Orientadora identificaram na análise da 1ª aula, um obstáculo didático proveniente da não
compreensão do conceito de o que é numerador e denominador. Baseado nessa problemática, o
pesquisador, a Orientadora e a professora Cristiane elaboraram uma atividade de fração
(apêndice D) que visava transpor esse obstáculo. Cristiane distribuiu a atividade e explicou que
ao invés da atividade com palitos, eles iriam fazer outro tipo de atividade. Feito a divisão da
turma em duplas, deu-se início aos trabalhos.
Terceira sessão
(27/10/05): Nesta aula foi retomada a atividade dos palitos. Cristiane iniciou a
aula revisando o conceito de numerador e denominador tendo como base a atividade de fração
aplicada em sala na aula anterior e falou um pouco sobre a parte histórica. Nos dirigimos à dupla
58
a qual eu já vinha observando e fui interrogado sobre a letra “a” da “situação 3” (apêndice C
atividade I),
esclareci e verifiquei que o interesse e a participação era algo em destaque.
Quarta sessão
(31/10/05): A professora Cristiane deu alguns informes à turma a respeito do que já
havia sido feito das atividades e logo em seguida distribuiu as atividades dos palitos. A maioria
do grupo estava fazendo a situação 5 (apêndice C atividade I) e o grupo em observação também
pediu explicações ao pesquisador a respeito do item e desta situação. Uma outra aluna de outro
grupo faltou as duas primeiras aulas e iniciou a atividade dos palitos nesta aula.
Quinta sessão
(07/11/05): Nesta aula foi retomada a atividade dos palitos. Mais uma vez Cristiane
dividiu os grupos, que já foram formados anteriormente, e deu início a aula. Ela ficou dando
assistência aos demais grupos e eu fiquei observando o grupo da pesquisa. Começamos com um
problema, Dy faltou duas aulas e ficou com a atividade atrasada em relação ao grupo e o resto da
turma. Tive que encaminhar o conceito de numerador e denominador para que ele entendesse as
questões abordadas nesse dia.
Sexta sessão
(08/11/05): A aula iniciou às 19h45min e neste dia o grupo que o pesquisador vem
sempre observando estava com 4 integrantes. Um dos integrantes pediu para que discutíssemos o
quesito 1 item b da atividade dos quadriculados (apêndice C atividade II) explicamos a ele, mais
interpelando do que afirmando. Aplicamos algumas questões aos grupos e encerramos a sessão.
Sétima sessão
(24/11/05): A aula foi iniciada pela professora Cristiane e foram distribuídas as
atividades para todos os grupos. Nessa aula só estavam presente no grupo que o pesquisador
observava duas alunas, Lya e Rose. De início elas tiveram dúvidas no quesito 4 item a da
atividade dos quadriculados (apêndice C atividade II) e após explicações do pesquisador,
conseguiram resolver este item bem como os outros apresentados.
Oitava sessão
(29/11/05): Alguns alunos nesta aula estavam encerrando a atividade dos
quadriculados e entraram na atividade do material dourado (apêndice C atividade III). Cristiane
distribuiu o material (material dourado e os exercícios) e mostrou seu uso como suporte na
resolução das questões. A sala inicialmente respondeu bem ao exercício.
59
Nona sessão
(05/12/05): Antes de iniciar a aula, Cristiane distribuiu 3 placas, 10 barras e 33
cubinhos para cada grupo. Assim, ela iniciou a aula pedindo para que todos lessem o quesito 6
(apêndice C atividade III), todos leram, houve uma breve discussão e Dy estava com dificuldade
justamente nessa questão, em se tratando do item a e b. Precisou do nosso apoio para explicar-lhe
e até ler com ele.
Décima sessão
(06/12/05): Antes de iniciar a aula a Professora Cristiane distribuiu o material
dourado para toda a turma e retomou o quesito oito da atividade do material dourado,
distribuindo o material dourado e as atividades. Algumas pessoas da turma retomaram o quesito
8, mas outras já tinham terminado as atividades e ficaram ajudando aos outros. O grupo ao qual
estávamos observando não tinha concluído a atividade. Lya se queixou das questões pelo seu
grau de dificuldade.
4.4 Análise dos dados
A análise de dados em uma pesquisa tem que dar uma margem de compreensão
sobre as informações coletadas; mostrar se são válidas ou não as hipóteses e explicitar as
questões propostas na pesquisa.
Optamos por uma interpretação qualitativa em que ora a aprendizagem significativa é
mostrada, ora os entraves, em algumas vezes, são evidentes. Dessa forma, Ludke e André (1986,
p. 45) relatam que “Analisar os dados qualitativos significa ‘trabalhar’ todo material obtido
durante a pesquisa, ou seja, os relatos de observação, as transcrições de entrevistas”. Para adquirir
estes dados o pesquisador tanto fez anotações das aulas observadas como achou por bem gravar
em áudio, como diz Ludke e André (1986, p. 37) “A gravação tem a vantagem de registrar todas
as expressões orais”.
60
- Atividade I
Elaboramos uma seqüência de atividades (Apêndice C) composta de duas atividades que
chamarei de Atividade I e Atividade II. A primeira contém cinco situações que obedecem a um
grau de dificuldade crescente e cujo objetivo é conceituar a fração a partir de questões que
enfocam a relação numerador denominador, relação parte-todo, equivalência de fração, razão e
conceito de fração em situação de conjunto discreto e de todo contínuo. A segunda contém dez
questões referentes a unidade, operações com racionais, relação parte-todo e conversão da
representação decimal para a fração, em situação de inteiro contínuo.
Essas atividades foram elaboradas a partir do resultado da atividade diagnóstica e do
levantamento de dificuldades na concepção dos alunos em relação aos números racionais.
Na situação 1
da primeira atividade é pedido para considerar um conjunto de 24 palitos e
em seguida dividir em três partes iguais. O professor pesquisador e a professora Cris se
surpreenderam
quando Dy, um dos integrantes do grupo observado, respondeu corretamente
quase todos os quesitos desta situação apenas na relação parte-todo e não fazendo a equivalência,
isso depois de uma ligeira explicação desta relação e equivalência, enquanto que o restante da
turma depois dessa ligeira explicação, que foi geral, não conseguiu responder de imediato e
“chutou” a resposta
. Este fato está evidenciado no diálogo a seguir:
Cristiane: Leu o item b da situação 1 e perguntou: “alguém sabe?” um breve silêncio...
Dy: Um terço professora.
Cristiane: Como você sabe disso Dy?
Dy: Ah, professora, eu dividi em 3 partes o 24 e não tirei esta parte, então fica 1 de 3.
Dy demonstrava-se empolgado com o desenrolar da situação e se arriscou a ajudar Lya que
estava com dificuldade em entender a relação parte-todo:
Cristiane: E você Lya, concorda?
Lya: Eu, eu não sei professora, tenho dúvidas.
Cristiane: Quais?
Lya: Ah professora, esse negócio de fração é difícil!
Dy: Eu te explico, você num tem 24 palitos e quando a gente separou cada tanto desse ficou com
8 ?
Lya: É.
Dy:Então quando você tira essa parte é um de três, entendeu?
61
Lya: Médio!...
Vemos que, depois da explicação de Dy, Lya passou da fase: “fração é difícil” para:
“entendeu? É médio...”. Em algumas falas do diálogo, Dy demonstra compreender a relação
parte-todo e tenta passar para Lya aquilo que ele entendeu por intermédio de uma explicação.
Nesta situação não houve uma percepção da equivalência de frações por parte de Dy e
Lya. Ao responder os itens se restringiam apenas a relação parte-todo. Só no item b que Lya tenta
fazer a relação sem sucesso. A seguir mostraremos os seus exercícios para evidenciar tal fato:
Quadro 5 – Respostas de Dy na situação 1
No próximo quadro observamos o desempenho de Lya na situação 1.
Quadro 6 – Respostas de Lya na situação 1
No quadro 5 observamos que no item f Dy errou a resposta e não conseguiu associar a
resposta de cada item a sua equivalência. No quadro 6 Lya acertou todos os itens, mas não
conseguiu também associá-los a equivalência. No item b ela tentou fazer uma relação entre as
duas respostas, mas não demonstrou conhecimento de equivalência.
62
Na questão de participação em sala de aula, tanto Dy como Lya participaram e
interagiram entre si, questionando e respondendo os itens propostos.
Quanto à manipulação do material, não tiveram dificuldades, pelo contrário, facilitou nas
operações não contempladas nesta análise tais como: divisão e agrupamento.
Na situação 2
foi interessante a maneira com que o grupo respondeu o item a. Dy
agrupou os palitos de 3 em 3 formando 6 grupos e o que sobrou dos 24 palitos, no caso 6 palitos,
foi redistribuído nesse agrupamento ficando assim 4 palitos para cada grupo sendo um total de 6
grupos. Em seguida Dy foi explicar o processo para Lya e ela com uma certa dificuldade
concluiu esse item.
O item b foi confuso para eles, pois para pegar uma parte do agrupamento (4 palitos) e
dizer o que isso representaria do todo causou divergência nas respostas que foram:
.
5
1
,
6
1
,
20
4
,
24
4
Para isso intervi tentando encaminhar a resposta certa, desenhei uma circunferência, dividi em 24
pedaços e em seguida fiz a representação da retirada de 4 pedaços, pedi para a dupla me dar a
resposta e no entanto, eles não conseguiram chegar à resposta:
24
4
. Insistiam na resposta:
20
4
,
depois de um certo tempo de questionamentos por parte do pesquisador eles responderam o valor
24
4
, mas sem ter a certeza se a resposta era esta. Logo em seguida o pesquisador fez uma
comparação dos agrupamentos dos palitos com taças de pudim e fez a seguinte pergunta “se eu
tirar essa porção quanto tirei do todo?” a resposta obtida foi:
5
1
, tirei um bloco de palitos e
perguntei novamente quanto isso representa em relação ao todo, eles responderam:
6
1
. Um outro
fator importante observado nesse processo foi que a dupla não conseguiu enxergar a equivalência
entre as frações:
24
4
6
1
e
. Os outros itens foram respondidos por Dy e em seguida ele explicava
para Lya. Cristiane não precisou intervir, pois as respostas desses itens estavam todas certas. O
que observamos mais uma vez foi a ausência da relação de equivalência.
Essa dificuldade de estabelecer a compreensão de numerador e denominador é observada
no diálogo de Dy e o professor referente ao item b:
Dy: Um por cinco professor!
63
Pesquisador: Dy, você tem uma pizza e divide em 24 pedaços. Tirando 4 pedaços como posso
representar isso?
Dy: 4 por vinte.
Pesquisador: Não, Dy, o total é quanto?
Dy: 24, professor!
Pesquisador: Então! Se eu pego 4 de... 24 fica quanto Dy?
Dy: 4 por 24 professor!
Pesquisador: E se eu transformar essas partes em pudim?
Dy: Que beleza professor...
Pesquisador: E pegar uma parte , quanto isso representa?
Dy: Um por cinco professor!
Esse depoimento revela o quanto é difícil para Dy fazer uma interconexão entre o que ele
sabe sobre numerador e denominador e o que o problema pede.
Um outro aspecto a ser analisado nesta situação é a dificuldade em estabelecer a razão.
Observe o diálogo:
Pesquisador: divida 24 para 6 num grupo aqui
Dy: 24 em 6... dá ...(Dy atende o celular...) 24 de 6... chega, professor, aqui eu me enganchei.
O diálogo a seguir mostra que o material manipulativo quando usado no auxílio da divisão
ou agrupamento contribui para o sucesso do aluno. Veja:
Pesquisador: Você num dividiu 24 em 6 grupos?
Dy: foi.
Pesquisador: 1,2,3,4 tirei de 6 ( se referindo a quantos palitos ele tira de cada agrupamento).
Pesquisador: E um grupo tem quantos palitos?
Dy: Um grupo tem 4.
Pesquisador: então a resposta é 4.
Em decorrência da problemática em estabelecer o significado do que é numerador e
denominador, a segunda aula (26/10/2005) foi suspensa assim como a resolução da situação três.
Baseados nessa problemática, o pesquisador, a professora Cristiane e a Orientadora desta
pesquisa elaboraram uma atividade de fração (Apêndice D) que visava transpor esse obstáculo.
Nesse mesmo dia aplicamos a atividade.
A atividade de fração é composta de seis quesitos que tratam do conceito do numerador e
denominador assim como a relação entre eles e as figuras contidas em algumas questões. Essa
atividade foi auxiliada pelo pesquisador e pela professora Cristiane cujo objetivo era fazer com
64
que os alunos apreendessem o conceito do numerador e denominador e a relação entre si. A
seguir descreveremos o que ocorreu na aula:
Cristiane distribuiu a atividade e explicou que ao invés da atividade com palitos, eles
iriam fazer outro tipo de atividade. Foi dividida a turma em duplas e logo após deu-se início aos
trabalhos, o pesquisador ficou observando o grupo de Dy e Lya e no quesito I item a Dy e Lya
ficaram com dúvida na representação do numerador e denominador, então o professor leu o
conceito de numerador e denominador, que já estava na atividade, deu uma ligeira explicação e
com uma certa dificuldade Dy e Lya entenderam que o número de cima é o numerador e o de
baixo o denominador.
Na representação do numerador cada dupla interpretou de uma maneira diferente, uma
disse: “quantas partes foram tomadas” outra disse “quantas partes foram tiradas” outra dupla
“quantas partes foram pintadas” e outra “quantas partes foram usadas”.
Voltando a dupla observada, Lya pediu ao pesquisador explicação sobre o item 3 do
quesito I, ele explicou e pediu para ela ler o conceito, ela leu com muita dificuldade, veja:
Lya: O... num...rador(o aluno não conseguiu pronunciar a palavra com exatidão) indica
quantas parte estão pintadas.
(Dy leu da mesma forma que ela).
Neste caso vemos uma carência na leitura e na interpretação de dados matemáticos, o que
nos reporta a primeira seção deste trabalho sobre alfabetismo matemático e sobre a UNESCO que
define como alfabetizada uma pessoa capaz de ler e escrever um enunciado simples. É um caso
preocupante para nós que analisamos estas falas de Dy e Lya, pois constatamos que essa carência
na leitura dificulta mais ainda a compreensão dos racionais.
No quesito II Lya leu e não quis responder, quando o pesquisador perguntou quem é o
denominador do item a do quesito II ela resolveu responder e disse: “é 4”, Dy não soube
responder, pensou um pouco e concordou com a resposta de Lya. Um detalhe importante que o
pesquisador observou foi que todos eles tinham dificuldade de ler as questões. Lya chamou o
pesquisador para auxiliá-la na leitura, pois ela não conseguia ler a palavra denominador, ela lia
“deminador”. No quesito III o pesquisador retomou o conceito de numerador e de denominador
para que eles pudessem responder as questões, depois desse esclarecimento eles responderam
certo.
65
No quesito IV foi retomada novamente a explicação do numerador e denominador, só
assim eles responderam a questão. No quesito V, Dy se colocou: “eu resolvo!, deixa comigo”, e a
sua resposta foi:
3
2
. Indagado se a sua resposta era aquela, ele disse que sim, foi retomado o
conceito de numerador e denominador e só então ele conseguiu responder
5
2
.
No quesito VI eles começaram a dividir os doze palitos em 4 grupos de 3 só que não
tinham atentado para o enunciado do problema, o qual foi preciso ser lido novamente e só então é
que fizeram o devido agrupamento em 3 grupos. Nos itens b e c o pesquisador, através do
conceito de numerador e denominador, fez alguns esclarecimentos que os ajudaram a chegar à
resposta certa. Logo após essas questões foi explicado que existia outra resposta pela
equivalência de fração, eles pensaram um pouco então o pesquisador perguntou: em uma parte
quando eu considero do total? A resposta veio, porém, com certa dificuldade.
Depoimento
No final da aula o pesquisador perguntou a Lya o que ela achou da aula
Lya respondeu: “Deu para aprender alguma coisa com certeza”
Na situação 3
Nesta aula foi retomada a atividade dos palitos. Cristiane iniciou a aula revisando o
conceito de numerador e denominador e falou um pouco sobre a parte histórica. O pesquisador se
dirigiu à dupla Lya e Dy e esclareceu suas dúvidas. Na letra a da situação 3 Dy respondeu
24
6
antes que o professor explicasse. Foi mostrado a Dy que era só dividir os palitos em 4 partes
iguais e ele respondeu: “ seis, professor”.
Na letra b da situação 3, Dy ficou confuso para responder por não ter um domínio do
conceito de numerador e denominador, por isso, novamente foi retomado o conceito. A seguir um
diálogo revela a participação do grupo observado:
Pesquisador: quantos palitos têm no total?
Eles: vinte e quatro.
Pesquisador: quantos palitos foram considerados?
Ele: seis professor.
66
Para que eles entendessem a questão de equivalência eu explicava os itens em forma de
grupos. Observe:
Pesquisador: eu tenho 4 grupos de 6 palitos qual o total de grupos formados?
Dy responde: vinte e quatro!
Pesquisador: não, você deve considerar os grupos, eu dividi em quatro grupos, o denominador
indica o quanto o todo foi dividido em partes iguais?
Dy: É
Pesquisador: quantos grupos eu tenho
Dy: quatro.
Pesquisador: e quantos grupos estão sendo considerados?
Dy: um grupo.
E a resposta da equivalência que eles responderam foi:
4
1
. Tratei a questão da
equivalência comparando grupos com palitos e disse que:
4
1
é equivalente a
24
6
. No item c da
mesma situação tive que explicar da mesma forma da situação anterior e dei subsídios para eles
responderem. Lya estava mais atenta e respondendo as questões que eu perguntava, no entanto
Dy em algumas questões permanecia calado. Até o item f eles responderam sem nenhum
problema, já no item g eles tiveram certa dificuldade em responder em forma de fração, retomei o
conceito de numerador e denominador e expliquei as respostas equivalentes para eles entenderem
e representarem a resposta em forma de fração. No item i Dy dividiu os palitos em 8 grupos, cada
qual com 3 palitos. No item j ele respondeu em forma de frações equivalentes:
8
1
24
3
e
. Foi
explicado que se multiplicássemos 1 (numerador) vezes 3 e 8(denominador) vezes 3, teríamos a
fração:
24
3
, no entanto não ficou claro essa questão para eles.
Nesta situação observamos a participação do grupo e em especial Dy que responde os
questionamentos. Ponte e Brocardo e Oliveira (2005, p. 23) relatam que: “Na disciplina de
Matemática, [...] o envolvimento ativo do aluno é uma condição fundamental da aprendizagem. O
aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e afetivos com vista a atingir um
objetivo”.
Outra questão a ser observada é a dificuldade com a equivalência. O pesquisador
conduziu as questões da equivalência e incentivava os alunos a utilizarem os palitos para que
através do agrupamento chegar a uma resposta satisfatória. Neste caso sua intervenção foi
67
importante no incentivo dos alunos, pois “Essas situações podem conduzir a um impasse quando
os alunos persistem em continuar a exploração na mesma direção. A intervenção do professor
pode ser muito útil nesses casos” (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2005, p. 33). A seguir
mostraremos nos exercícios resolvidos por Dy e Lya a presença da fração equivalente.
Quadro 7 – Resposta de Dy na situação 3
Neste quadro observamos que não houve equivalência no item b Dy não associou
a quantidade de cada grupo de palitos com o número de grupos.
A seguir mostraremos como Lya desenvolveu a equivalência nas suas respostas:
Quadro 8 – Resposta de Lya na situação 3
Na situação 4 a questão era a seguinte: pegue um conjunto de 8 palitos, o item a dizia assim:
quantos conjuntos desses necessito para formar um todo?
68
Lya chegou a responder corretamente este item dizendo que a resposta era três. Já no item b a
pergunta é: que parte isso é do todo? Lya escreveu a resposta 24 não associando a relação parte-
todo e a razão.
Nessa mesma situação Dy respondeu tanto o item a como o b corretamente, fazendo a
relação parte-todo e a razão.
Situação 5
nessa ocasião a maioria do grupo estava fazendo a situação 5 e o grupo observado
pediu explicações sobre o item e dessa situação que diz o seguinte: “vinte e seis palitos
representariam que parte do todo?” eles perguntaram se era confirmada a seguinte resposta: 1
inteiro e
6
1
, o professor disse que não e explicou que era um inteiro que representava 24 palitos e
como a questão girava em torno de 12 conjuntos de palitos então representava 2 palitos na forma
fracionária como
12
1
, então a resposta é: 1inteiro e
12
1
. Lya e Rose perguntaram sobre o item f
da situação 5: trinta e quatro palitos como representar? O pesquisador explicou que elas tinham
que ver a questão do todo e das partes consideradas. Um todo representa a parte total dos palitos
que seria 24 palitos, só que, sobrava 10 e aí representaríamos como
12
5
e o total que é os 24
palitos tinha sua representação fracionária como 12/12.
Uma outra aluna de outro grupo faltou às duas primeiras aulas e iniciou a atividade dos
palitos nessa aula. Cristiane perguntou o item b da situação 1 da atividade dos palitos que diz
assim: “que parte 8 palitos representa do total? Ela respondeu: ‘primeira parte’ enquanto que a
resposta correta é
24
8
.
Nesta situação ocorreu um outro fenômeno onde ficou evidenciado a dificuldade em Dy
de estabelecer a razão entre números. Observemos o diálogo:
Pesquisador: Já esse você vai pegar o que, vai dividir 24 pra 12, vai fazer 12 grupos com esses
24 palitos.
Dy: 4.. 4 de 12
No item c dessa situação Dy sentiu dificuldade em definir numerador como as partes que
estão sendo consideradas e o denominador, como o número de partes em que o inteiro foi
69
dividido. O professor teve que citar esse conceito para que ele entendesse a questão e respondesse
certo. Já no item e ele sentiu dificuldade de leitura e o orientou para que lesse correto, no item f o
professor encaminhou o conceito de numerador e denominador para que ele entendesse essa
questão.
A empolgação e a participação de Dy é evidenciada a seguir pois, mesmo fora do horário
de aula ele se interessou em resolver a questão. Vejamos:
(Acontece o toque do fim do horário)
Dy: já! Já tocou?
Aluna: já é dez horas.
(Pesquisador continua com Dy)
Logo após o toque retomamos a dificuldade que Dy sentiu na razão, o que neste caso,
proporcionou um amadurecimento cognitivo em Dy em relação ao conteúdo em questão.
Observemos:
Pesquisador: Sim Dy, aí é 24, você divide em doze, aí tem que ser dois para cada um, tem que
ficar doze de dois?
Dy: É.
Pesquisador: Concorda que é doze de dois?
Dy: É.
Pesquisador: Então doze de dois, eu pergunto a você, em quatros grupos tem quantos palitos?
Dy: São oito.
No encerramento da atividade I tanto Dy e Lya como Rose e Ana fizeram o item
conclusão final corretamente. Ana não participou da resolução dos itens anteriores por motivo da
sua freqüência instável. Já no relato do conceito de fração ocorreram algumas respostas idênticas.
Podemos citar aqui que algumas aulas dessa atividade Ana não compareceu, porém respondeu de
forma correta as questões.
Vejamos o resultado conforme o quadro:
70
Quadro 9 – Resposta do conceito de fração de Ana
Nesta questão de conceituar fração, Ana resolve de maneira espontânea conforme
orientação do professor.
No quadro a seguir Lya expressa as suas respostas de maneira correta, fruto da freqüência
da maioria das aulas. Veja:
Quadro 10 – Resposta do conceito de fração de Lya
Dy respondeu corretamente as questões, sendo que na questão conceitue fração ele
cometeu erro gramatical. Veja:
71
Quadro 11 – Resposta do conceito de fração de Dy
Algumas aulas desta atividade Rose não compareceu, mas respondeu corretamente as
questões. Veja:
Quadro 12 – Resposta do conceito de fração de Rose
- Atividade II
Nesta atividade teremos a relação com a unidade, comparação dela com determinada
superfície, operações com Números decimais e identificação de superfície de acordo com as
medidas.
Questão 1
Lya e Rose estavam no item b da atividade dos quadriculados e sentiram um
pouco de dificuldade nessa atividade. Já no quesito 2 (soma e subtração de frações), O
pesquisador explicou a elas e responderam com dificuldade a soma de fração baseada nos
quadriculados. No item c elas responderam certo já no item d desenhei quadrinhos que
72
representavam
7
2
3
1
e foi apagado os quadrinhos que representavam a fração
7
2
e verifiquei que
sobrou 1 quadradinho que representava a resposta
21
1
.
Dy iniciou a atividade do quadriculado e estava desenhando a representação dos
quadrinhos do item b. Ele sentiu uma certa dificuldade nas últimas questões do item b, No item e,
que é um quesito da soma de frações, eles perceberam que a resposta é
21
21
. Foi mais difícil eles
perceberem que essa fração representa 1 inteiro e disseram que a resposta é 1 unidade. Quando
perguntei a Dy qual atividade ele achou mais complicada, dos palitos ou dos quadriculados, ele
respondeu que era uma coisa pela outra.
A seguir veremos alguns diálogos que demonstram os fenômenos ocorridos na atividade II.
Pesquisador: Então vamos lá, um inteiro quem é 1 inteiro? Num é essa plaquinha?
Dy: Sim.
No diálogo acima Dy demonstra familiarização com a unidade representada pelo
quadriculado.
Pesquisador: Esse com esse vai dá o quê? Juntando os quadradinhos?
Pesquisador: Você vai juntar esse com esse, esse 1 com o 7 vai dá quanto?
Rose: Sete?
Pesquisador: Olhe direitinho.
Rose: Dez é.
Pesquisador: É.
Nesse outro diálogo observamos a compreensão do numerador e denominador. Observe:
Pesquisador: Vinte né. Vinte é a quantidade que eu estou considerando, mas o total da unidade é
quanto?
Dy, Ana, Lya e um aluno de outro grupo (juntos): vinte e um!
Pesquisador: Então o vinte e um vai ser em cima ou em baixo?
Dy, Ana, Lya e um aluno de outro grupo (juntos): Em baixo.
Pesquisador: Em baixo?
Todos: É.
Pesquisador: E o vinte vai ser aonde?
Todos: Em cima.
Pesquisador: Pronto.
Em relação às operações, observamos três alunos do grupo fazendo a interpretação da
relação parte-todo e somando frações a partir do quadriculado. É interessante observar que nesta
73
soma eles não utilizam o máximo divisor comum para reduzir a um mesmo denominador. Veja o
depoimento:
Pesquisador: Então 2/3 vai ser isso, essas duas placas (14 quadriculados), ai você vai somar
com quem? Com 2/7 dois sétimos já tem ai que é a figura 2 (6 quadriculados).
Pesquisador: Aí somar é o quê? É juntar, então eu vou juntar isso com isso vai dar quantos
quadriculados? Contando tudo? Dá quantos quadriculados?
Ana: 20 é professor?
Pesquisador: Oi?
Ana: 20?
Pesquisador: É 20 né?
Ana: Vinte!
Pesquisador: Vinte é a quantidade que eu estou considerando, mas o total da unidade é quanto?
Dy, Ana, Lya e um aluno de outro grupo (juntos): Vinte e um!
Pesquisador: Então o vinte e um vai ser em cima ou em baixo?
Dy, Ana, Lya e um aluno de outro grupo (juntos): Em baixo.
Pesquisador: Em baixo?
Todos: É.
Pesquisador: E o vinte vai ser aonde?
Todos: Em cima.
Pesquisador: Pronto.
Rose, uma das integrantes do grupo observado, não participou desta atividade, portanto
ela não pontua na categoria de participação em sala.
Neste outro diálogo Dy reconheceu a figura que representava a quantidade de
quadradinhos em relação à unidade. Observe:
Dy: 2/7 de 1(referente a unidade)...é...
Pesquisador: Oh, 2/7 de 1 quem é 2/7 de 1 né esse aqui? Aí você vai dizer o quê que é a figura...
Dy: Figura nº 2.
Dy soma os quadradinhos e representa o resultado em termos de fração na relação parte-
todo sem utilizar o mínimo múltiplo comum. Veja:
Pesquisador: 1/3+1/7 quem é 1/3 aqui? 1/3 vai ser uma plaquinha dessa, certo?
Dy: Certo.
Pesquisador: 1/3+1/7 um sétimo quem é?
Dy: É isso aqui (apontando para a figura)
Pesquisador: Então você vai juntar isso com isso, somando os dois dá quanto?
Dy: Dá dez.
Pesquisador: Não Dy, pense um pouquinho.
Dy: 10 de 21.
Pesquisador: Certo.
74
No dia 24/11/2005 a aula foi iniciada pela professora Cristiane e foram distribuídas as
atividades para todos os grupos. Nessa aula só estava presente no grupo que o Pesquisador
observa Lya e Rose. De início elas tiveram dúvidas no quesito 4 da atividade dos quadriculados.
O pesquisador explicou à Lya a respeito de 2 unidades existente no desenho do item a então ela
entendeu. Foi perguntado sobre o item b do mesmo quesito e ela respondeu corretamente. Foi
explicado pelo pesquisador o quesito 4 item a do exercício dos quadriculados a Rose e depois
Lya tentou explicar a Rose. Lya falou que as contas a estavam deixando com dor de cabeça. O
pesquisador explicou o quesito 7, e a partir desta explicação eles resolveram o quesito 8.
Um outro grupo lançou uma opinião: “o exercício 3 dos quadriculados é muito
complicado”.
Já no grupo observado, Lya perguntou ao pesquisador sobre o quesito 10 item (a.1): o
número 100 se escreve com 2 ou 3 zeros? Foi explicado para ela algo sobre o Sistema de
Numeração enfocando unidades, dezenas, centenas, entre outros e ela conseguiu entender como
se escreve as potências de dez. Rose não estava conseguindo dar seqüência na sua resposta e Lya,
de vez em quando, dava explicação a Rose. Lya teve dificuldade de somar 20+20+20... Foi
explicado o processo aditivo para ela que conseguiu responder. Rose não sabia escrever o número
109, tive que explicar o que é unidade, dezena, centena, entre outros e ela conseguiu entender
como se escreve. Lya, no quesito 10 item (a.10), escreveu o número
100
127
como
100
1027
pensando
que essa resposta representava cento e vinte sete sobre cem. O pesquisador explicou, tanto para
Lya como para Rose, como se escreve 127 partindo da soma da dezena 27 com o 100, desta
forma elas conseguiram entender e responderam a pergunta do quesito 10 item (a.10).
Em relação ao quesito 4 desta atividade, Lya e Rose responderam corretamente o item b.
Veja:
Cristiane: Duas unidades. Coloque o nome unidade porque aqui num é unidade? Duas unidades
de triângulo, gente. Na letra b, quantos triângulos podemos colocar nessa figura?
Lya e Rose: três!
Já no item a do quesito 4, Lya entende a questão da unidade:
Pesquisador: Oh isso aqui num é a unidade?
Lya: É.
Pesquisador: Quantas vezes têm nesse desenho aqui?
75
Lya: Duas.
No quesito 6, item a, vemos Rose entendendo o conceito de unidade:
Pesquisador: Olhe, aqui num é uma?
Rose: É.
Pesquisador: Faltam quantas?
Rose: Duas.
Pesquisador: E o total?
Rose: Três.
Pesquisador: Três né? Certo. Mas eu quero que você me dê a medida dessa, certo? E a medida é
uma?
Rose: É.
Pesquisador: Uma de quantas, o total? (breve silêncio) uma do total de...
Rose: Três.
Pesquisador: Certo, uma de três. Sempre o de baixo, no caso o denominador, é o total das
figuras que é dividida a unidade, quantas figuras têm no total aqui?
Nesta aula o pesquisador aproveita para responder a dúvida de Rose em relação à
compreensão do numerador e denominador. Veja:
Pesquisador: Então você bota em baixo né?
Rose: Em baixo?
Pesquisador: Sim, num é fração?
Rose: Em baixo de onde? Aqui?
Pesquisador: (se dirige ao quadro e explica da seguinte forma): Oh, a fração num é assim
oh?(escrevendo no quadro e explicando) sempre o de baixo...
Rose: (interrompe a explicação) Sim! Ah, entendi....
Nesta mesma aula Lya entende a relação parte-todo:
Pesquisador: Agora vamos essa outra questão, a unidade é essa têm quantas barrinhas de
chocolate? Uma, duas, três, quatro.
Lya: Quatro.
Pesquisador: Aí como é que eu represento isso aqui?
Lya: Duas de...
Pesquisador: Duas de quanto?
Lya: Duas de quatro.
Pesquisador: É.
No quesito 10 itens (a.2) e (a.3) desta atividade tanto Lya com Rose, entendem a relação
parte-todo. Veja:
Lya: É dois de cem não, é um de cem porque eu num vi....
Pesquisador: Entendeu Lya porque aqui é um sobre cem?
Lya: Entendi.
Pesquisador: É esse aqui, o 3.
76
Lya: É três de cem.
Pesquisador: Quanto?
Rose: Treze.
Pesquisador: Treze de quanto?
Lya: Treze de cem?
Rose: Treze de cem.
Dy não participou desta aula.
Nesta aula observamos uma situação em que o aluno Clóvis, que não faz parte do grupo
observado, intermedia o processo de aprendizagem sem a interferência do pesquisador, veja o
diálogo a seguir:
Rose: 127 em cima...
Clóvis: Sobre 100. Veja aqui...
Lya: Olhe, você está louco.
Rose: Ri.
Clóvis: 20 sobre 100
Lya: Ninguém merece, eu num sei mais não, me esqueci.
Clóvis: Vinte... sobre... cem...assim você tá botando mais um aqui oh 201 mais 100...(se referindo
a resposta de Rose)
Rose: Aonde Clóvis?
Clóvis: Aqui, oh! Tem que ser ao contrário...
Rose: Ai meu Deus!
Clóvis: Tem que ser deitado (se referindo a linha que divide o numerador do denominador
quando escrita só numa linha. Ex: ½).
Rose: Tem que deitar é?
Clóvis: Assim oh, é uma barra...ai...(olhando ela fazer)
Lya: Isso daí é o quê? Um dois é?
Clóvis: É o onze... aqui oh...
Lya: É vai sair...
Rose: Ave maria! (reprovando a interrupção de Lya)
Clóvis: É 20 sobre 100.
Na aula do dia 29/11/2005 os alunos estavam encerrando a atividade dos quadriculados e
entraram no (Apêndice C atividade III) do material dourado. Cristiane distribuiu o material
(material dourado e os exercícios) e explicou como se fazia o quesito 1. A sala inicialmente
interagiu bem ao exercício e Dy não encontrou dificuldade em raciocinar nessas questões, mas
disse que se “enrolava” quando ia escrever a representação da resposta. Lya teve dificuldade em
raciocinar o processo e representar, foi preciso Dy ficar com ela e explicar o que ele sabia. Por
algum instante ele pediu explicação a um outro grupo quanto ao quesito 4, —o grupo explicou
77
ligeiramente. Lya continuava a não entender o processo, pois tinha chegado atrasada, ela não
conseguia entender o quesito 1 item e, ao pedir explicação notamos que ela se atrapalhava na
soma das barrinhas: dez barrinhas mais dez barrinhas quantos cubinhos? “Vinte professor!” E
trinta barrinhas mais quarenta barrinhas, quantos cubinhos? Ela respondeu “não sei!” Rose teve
as dúvidas quase que idênticas à Lya e conseguiu entender alguns conteúdos dentro dessa
atividade.
Já na aula do dia 05/12/2005, antes de iniciar a aula, Cristiane distribuiu 3 placas, 10
barras e 33 cubinhos para cada grupo.
Cristiane iniciou a aula pedindo para que todos lessem o quesito 6 e todos leram. Houve
uma breve discussão e Dy estava com dificuldade em ler a mesma. Em se tratando dos itens a e b
deste quesito, o pesquisador explicou e pediu para que ele lesse, e assim ele o fez. Cristiane
perguntou para todos “quantos cubinhos têm em cada barra?”, Dy disse “10 professora!”.
Enquanto Lya estava no item d, Dy estava no item e. Rose estava respondendo as
questões com uma certa dificuldade e pedindo ajuda ao vizinho que não fazia parte do grupo.
Lya estava atrasada nos exercícios em relação ao grupo e a turma, enquanto todos estavam
no quesito 7 ela estava no item h do quesito 6. O pesquisador perguntou a ela “se eu pegar 20
cubinhos da placa como eu posso representar na forma de fração? Lya respondeu: “20 de 100, o
20 sobe e o 100 desce”. No item i do quesito 7, Lya sentiu dificuldade em fazer a grafia do sinal
(+) ela trocava o (+) pelo (x), tivemos que desenhar o sinal da soma para que ela conseguisse
entender. Só que, o 1 inteiro mais 23 cubinhos de 100 ela não soube representar.
No item d do quesito 8, Lya não entendeu a representação do número 0,567 e o
pesquisador esclareceu para ela que três casas após a vírgula representavam 3 zeros do nº 1000,
ao que ela disse que entendeu.
Um aluno de outro grupo desabafou dizendo: “é professora, gostei dessa aula de hoje! Se
todas fossem assim, tudo na prática...”
Dy estava respondendo de acordo com o que a professora estava explicando e pouco nos
perguntou. Já Rose respondia o que sabia, e o que não sabia pedia explicação ao aluno ao lado, de
outro grupo. Dy disse que: “essa atividade é beleza, mas às vezes agente fica perdido!”.
Já na aula do dia 06/12/2006 O grupo que o pesquisador estava observando não tinha
concluído, Dy faltou nesse dia, Lya solicitou a ajuda do pesquisador para resolver o quesito 8, e
ela conseguiu resolver tanto esse quesito como o 9, mas no item c desse mesmo quesito Lya não
78
soube representar em forma de fração o seguinte número: 0,1. Foi explicado pelo pesquisador a
questão do zero, que têm valor mesmo estando a esquerda e ele disse que ali tinha uma casa após
a vírgula e que representava a razão de um sobre dez. Ainda no quesito 9 letra b o pesquisador
perguntou quem era maior: 0,06 ou 0,053. Rose e Lya responderam que era 0,053, isso tendo
como base o material dourado, o professor explicou para elas, considerando cubinhos, barrinhas e
placas e elas chegaram a conclusão que a resposta é 0,06. Nesta mesma aula Lya se queixou das
questões, que estavam difíceis.
Há alguns aspectos que destacamos aqui a partir da fala do grupo.
Na compreensão do conceito da relação parte-todo:
Pesquisador: Eu lhe pergunto, fração pode representar partes de um todo?
Dy: Sim.
Pesquisador: Porque o todo eu represento assim oh, quando eu digo assim... quando eu digo 1/3
o três é o todo né?
Dy: É.
Pesquisador: Eu estou representando uma parte de três, certo?
Dy: Certo.
Pesquisador: Ah, eu acho que é o todo mais as partes, eu acho que é...
Dy: O todo mais as partes!
Pesquisador: Certo, pronto.
Em relação ao material concreto vemos que:
Pesquisador: Mudou né? Ao invés de palitos mudamos o material de se trabalhar. Estão
achando melhor ou pior?
Dy: Está uma coisa pela outra, tanto palitos como isso aqui tá um coisa, só a contagem é a
mesma.
Em relação a mudança psicossocial temos um depoimento:
Dy: Ela está gostando. (se referindo a Lya)
Lya: Claro, eu estou gostando porque eu estou aprendendo.
Cristiane: Lya deixa eu ver suas mãos, ...nunca mais suou, mas tem muito a ver com a pessoa, às
vezes Lya tinha deixado de estudar ainda cedo por conta da mãe, com medo que o assunto não
rendia num é?
79
Em relação ao gostar de matemática:
Em 24/11/2005 Lya dá um depoimento na seguinte frase: “Eu não gostava de matemática, mas a
partir dessas atividades eu estou passando a gostar”.
Entendemos que as atividades atingiram parcialmente os objetivos propostos — tanto o
geral, como os específicos — conforme sintetizamos nas considerações finais.
80
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nossa pesquisa teve como tema o processo de ensino-aprendizagem dos números
racionais e suas operações, bem como sua importância para o ensino inclusivo na Educação de
Jovens e Adultos.
Alguns resultados positivos foram evidenciados na aplicação da seqüência didática
elaborada por nós:
- Os alunos do grupo observado, que faltaram menos às aulas, ou seja, Dy, Lya e Rose,
participaram ativamente da formação do conceito do número racional, incluindo-se nas
discussões em sala de aula, ou seja, nosso objetivo de inclusão dos alunos no processo de ensino-
aprendizagem foi alcançado, ao menos no que se refere ao estudo dos racionais positivos.
- Os alunos tiveram a oportunidade de compreender, a partir de situações problematizadoras, a
fração, tanto como relação parte-todo, quanto como razão.
- Os alunos superaram algumas hipóteses que os levaram a identificar os racionais e os naturais.
Podemos constatar no diálogo do grupo na p. 65: Pesquisador pergunta: quantos palitos têm no
total? Eles responderam: vinte e quatro. Pesquisador: quantos palitos foram considerados? Eles
responderam: seis, professor.
- A relação entre números positivos e medida também foi compreendida pelos alunos que, a partir
de figuras que representavam medidas, conseguiram expressar a medida de outras figuras
representadas.
- Os alunos conseguiram relacionar números racionais na representação fracionária e na decimal,
superando, ao menos neste caso, a fragmentação excessiva do conhecimento matemático.
- O grupo chegou à solução de algumas questões relacionadas à operações de adição e subtração,
sem a utilização da técnica que utiliza o mínimo múltiplo comum.
A seqüência didática atingiu o objetivo permitindo que os alunos percebessem que os
números racionais são importantes como suporte na compreensão de algumas situações.
Ao analisarmos dados da entrevista feita com alguns alunos e encaminhada na seção 4, p.
54 constatamos que, apesar de utilizarem a matemática em suas profissões eles não conseguiram
relacionar os seus conhecimentos prévios com os conceitos matemáticos dos números racionais.
A limitação destes conhecimentos ficou explicitada na resolução das atividades aqui propostas.
81
Na introdução deste trabalho, explicitamos que a nossa meta é contribuir com a melhoria
da qualidade da aprendizagem dos alunos, não só considerando os seus conhecimentos prévios,
mas dando-lhes condições de compreender o conhecimento matemático a partir da ampliação
destes saberes que os alunos adultos possuem ao chegar na escola. Como havíamos previsto, este
conhecimento informal sobre os racionais não é o suficiente para que entendam todos os
conceitos envolvidos na construção da idéia de número racional, como por exemplo, equivalência
de frações e a relação entre as diferentes formas de representação de tais números. Esta limitação
ficou evidente em alguns momentos de nossa pesquisa, como podemos constatar com Dy e Lya.
Na seção 4, p.54 Lya falou que utilizava a fração na sua profissão, de doméstica, quando
cozinhava a metade (1/2) do pacote de macarrão. Porém, o que ela sabia sobre fração não lhe
garantiu grande sucesso na resolução das atividades na p.67. No quadro de respostas de Lya
podemos ver que na situação 3 item d Lya faz a equivalência entre 12/24 e 2/4 mas não associa ½
como equivalente a estas frações. Dessa forma fica explicitado que ela não conseguiu relacionar o
que disse que sabia sobre a fração ½ em outra situação diferente da cozinha...
Na entrevista que fizemos com Dy ouvimos dele que, na sua profissão de mecânico,
utilizava o paquímetro para medir as peças. Como o paquímetro é um instrumento de medida de
precisão, podemos relacioná-lo à proposta de ensino dos racionais usando medidas. Mas para se
ter conhecimento dos racionais é necessário ir além do que Dy conhece. Percebemos que Dy
mostrou bastante desenvoltura na solução das atividades com medidas, como já relatamos
anteriormente, porém seus conhecimentos sobre os racionais não lhe proporcionaram grandes
avanços nas atividades propostas com os palitos, que exigiam um conhecimento da fração em
conjunto discreto. Além disto, na seção 4, p. 63, Dy revelou num diálogo com o pesquisador, que
não compreendia a relação entre numerador e denominador, ou seja, sua dificuldade em utilizar a
representação fracionária dos racionais, apesar de utilizar a representação decimal em seu
trabalho, era por não conhecer a relação entre ambas. Isto ocorreu na resolução da Atividade I
(ver apêndice c) situação 2 item (b).
Entretanto, temos consciência de que a utilização de situações extra-escolares dos
racionais — como, por exemplo, análise de contas de água, luz, discussão sobre juros em
compras — não foi realizada por nós nessa seqüência didática, o que, acreditamos, limita a
possibilidade de transferência dos conhecimentos adquiridos em sala de aula para aquele tipo de
situação. A não-utilização dessa relação ocorreu devido ao fato do grupo de alunos possuírem
82
muito mais dificuldades do que imaginávamos. Por exemplo, não tínhamos consciência de que os
alunos teriam dificuldade em entender o que representam o numerador e o denominador de uma
fração. Dessa forma nos detivemos mais em atividades que visassem muito mais a construção
conceitual do que a aplicação delas.
Apesar de termos pensado que os alunos adultos teriam resistência em trabalhar com
material manipulativo durante as aulas, isto não ocorreu, ou seja, não houve objeções por parte
dos alunos quanto ao uso de materiais tais como palitos e material dourado. Observamos que tais
materiais foram de grande ajuda na compreensão das noções envolvidas nas atividades.
A pesquisa realizada foi o início de uma discussão dentro de um conteúdo específico e
que precisa ser expandida para outros conceitos em diferentes campos matemáticos
correlacionados a esse objeto de estudo.
Esperamos que as conclusões deste trabalho possam contribuir para o desenvolvimento do
ensino dos números racionais em sala de aula, um ensino que busque a aprendizagem
significativa de tal conjunto numérico.
83
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89
APÊNDICES
90
APÊNDICE A
91
APÊNDICE A
ESCOLA MUNICIPAL FERREIRA ITAJUBÁ
DISCIPLINA: MATEMÁTICA
ENTREVISTA
1) Nome:
2) Idade:
3) Profissão:
4) Há quanto tempo exerce profissão?
5) Como foi a escolarização?
6) Por que parou de estudar?
7) Por que voltou a estudar?
8) O quê você acha de matemática?
9) Você utiliza matemática na sua profissão?
92
APÊNDICE A
ENTREVISTA DE LYA
93
APÊNDICE A
ENTREVISTA DE ANA
94
APÊNDICE A
ENTREVISTA DE ROSE
95
APÊNDICE A
ENTREVISTA DE DY
96
APÊNDICE B
97
APÊNDICE B
Escola Municipal Ferreira Itajubá
Disciplina: Matemática
EJA III Turma D
Profª: Cristiane
ATIVIDADE DIAGNÓSTICA
Números Decimais
5) QUESTÃO:
Seis décimos se escreve assim 0,6. Como se escreve três centésimos?
( ) 0,300 ( ) 3,00 ( ) 3,0 ( ) 3,100 ( ) 00,3 ( )0,03
6) QUESTÃO:
Compare os decimais 4,5; 4,15; 4,05 e diga quem é o maior entre eles.
7) QUESTÃO:
Faça o número 437,56 dez vezes maior.
( ) 437,560 ( ) 4375,6 ( ) 4,3756 ( ) 43756
8) QUESTÃO:
Considere a seguinte soma de decimais 0,70+0,40+0,20. Qual o resultado?
( ) 0,130 ( ) 01,30 ( )1,30
98
APÊNDICE C
Atividade I
99
APÊNDICE C
ATIVIDADE I DE LYA
100
101
APÊNDICE C
ATIVIDADE I ANA
102
103
APÊNDICE C
ATIVIDADE I ROSE
104
105
APÊNDICE C
ATIVIDADE I DY
106
107
APÊNDICE C
Atividade II
108
APÊNDICE C
ATIVIDADE II LYA
109
110
111
APÊNDICE C
ATIVIDADE II ANA
112
113
114
APÊNDICE C
ATIVIDADE II ROSE
115
116
117
APÊNDICE C
ATIVIDADE II DY
118
119
120
APÊNDICE C
Atividade III
121
APÊNDICE C
ATIVIDADE III LYA
122
123
APÊNDICE C
ATIVIDADE III ANA
124
125
APÊNDICE C
ATIVIDADE III ROSE
126
127
APÊNDICE C
ATIVIDADE III DY
128
129
APÊNDICE D
Atividade de fração
130
APÊNDICE D
ATIVIDADE DE FRAÇÃO LYA E DY
131
APÊNDICE D
ATIVIDADE DE FRAÇÃO ANA
132
APÊNDICE D
ATIVIDADE DE FRAÇÃO ROSE
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