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FACULDADE DE ECONOMIA E FINANÇAS IBMEC
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM
ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA
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Hedge Ótimo com Controle Estatístico da
Perda Máxima
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Rio de Janeiro, 20 de Agosto de 2009
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“Hedge Ótimo com Controle Estatístico da Perda Máxima”
ARTHUR DEMETRIO NABUCO
Dissertação apresentada ao curso de
Mestrado Profissionalizante em Economia
como requisito parcial para obtenção do
Grau de Mestre em Economia.
Área de Concentração: Finanças e
Controladoria.
ORIENTADOR: ANTONIO MARCOS DUARTE JÚNIOR
Rio de Janeiro, 20 de Agosto de 2009.
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“Hedge Ótimo com Controle Estatístico da Perda Máxima”
ARTHUR DEMETRIO NABUCO
Dissertação apresentada ao curso de
Mestrado Profissionalizante em Economia
como requisito parcial para obtenção do
Grau de Mestre em Economia.
Área de Concentração: Finanças e
Controladoria.
Avaliação:
BANCA EXAMINADORA:
_____________________________________________________
Professor ANTONIO MARCOS DUARTE JÚNIOR (Orientador)
Instituição: IBMEC-RJ
_____________________________________________________
Professor OSMANI TEIXEIRA DE CARVALHO GUILLÉN
Instituição: IBMEC-RJ
_____________________________________________________
Professor FERNANDO ROLFI QUINECHE REYNA
Instituição: NetQuant Financial Technologies (Sócio-Diretor)
Rio de Janeiro, 20 de Agosto de 2009.
FICHA CATALOGRÁFICA
Entrar em contato com a biblioteca no térreo,
ou através do e-mail:
[email protected]
1
DEDICATÓRIA
Dedico o meu título de mestre em Economia a minha
família, e também a todos os professores do IBMEC, que
me fizeram descobrir o quanto gosto de estudar e absorver
conhecimento nas áreas de Administração, Economia e
Finanças.
2
AGRADECIMENTOS
Agradeço em especial ao professor Antonio Duarte por ter viabilizando o meu ingresso no
curso, me ajudado muito como conselheiro e mentor, e por ter aceitado ser o meu orientador
de dissertação, o que me fez conhecer melhor e gostar da área de risco.
Aos professores Osmani Guillén e Fernando Reyna, por terem aceitado compôr a minha
banca.
Ao IBMEC por ter me proporcionadas condições de ensino excelentes, tanto na graduação
quanto no mestrado.
Ao meu avô por servir como fonte de inspiração para que eu possa vencer os diversos
desafios que a vida nos traz.
E por fim, à minha família e amigos, incluindo a minha namorada, que sempre me ajudaram
de alguma forma quando precisei.
3
RESUMO
A gestão de risco eficiente em fundos de investimento exige que riscos sejam considerados no
contexto do portfólio, e não no perfil de risco dos ativos de uma carteira de forma individual.
No passado, gestores de portfólio evitavam o uso de derivativos como opções de ações, pois
avaliavam seu potencial de perda de forma isolada. Hoje, instituições financeiras utilizam
derivativos tanto para potencializar a rentabilidade de suas carteiras, como para proteger o
valor patrimonial das mesmas. Este trabalho tem como principal objetivo propor um modelo
que otimiza o uso de derivativos em carteiras de investimento em ações, com o objetivo de
protegê-las em momentos de estresse. Estudos anteriores abordaram modelos de otimização
para hedge dando a mesma importância a todos os cenários gerados, no entanto, como
diferentes cenários aprensentam probabilidade de ocorrência distinta, vamos propor um
modelo que incorpora esta diferença, permitindo que seja estabelecido um nível máximo de
tolerância para a não cobertura de situações de estresse por parte do hedge no momento em
que uso de derivativos na carteira é otimizado.
Palavras Chave: Gestão de Riscos, Hedge, Derivativos, Risco de Mercado, Distribuição
Normal Multivariada.
4
ABSTRACT
The efficient risk management for investment funds shall be applied in a portfolio context,
instead of focused on individual assets. Some time ago, portfolio managers avoided the use of
derivatives, such as stock options, because they evaluated the downside risk of these assets in
an individual context. Nowadays, financial service companies use derivatives for either
enhance portfolio performance, or protect their fund’s overall market value. Our main
objective is to propose a model, which optimizes the use of derivatives, to protect a portfolio’s
value in a stressed market. Previous studies developed hedging models equally weighting all
generated scenarios, however, as different scenarios have different occurrence probabilities,
our proposed model incorporates this difference, allowing the uncoverage of some stress
situations within a maximum tolerance level when optimizing the use of derivatives to hedge
the stock portfolio.
Key Words: Risk Management, Hedge, Derivatives, Market Risk, Multivariate Normal
Distribution.
5
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Probabilidade do Cenário x Ganho ou Perda Diária da Carteira ................................1
Figura 2: Evolução da Volatilidade Anual dos Ativos da Carteira ............................................1
Figura 3: Ganho ou Perda com Derivativos / Ganho ou Perda da Carteira de Ações..............32
Figura 4: Redução Percentual das Perdas Acima de 2%............................................................1
Figura 5: Redução Percentual dos Ganhos Acima de 2% ..........................................................1
Figura 6: Cenários Não Cobertos pelo Hedge ............................................................................1
Figura 7: Histograma para
α
= 0% ...........................................................................................1
Figura 8: Histograma para
α
= 3% ...........................................................................................1
6
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Carteira Original de Ações .........................................................................................1
Tabela 2: Derivativos Disponíveis para Hedge ..........................................................................1
Tabela 3: Matriz de Correlação dos Ativos da Carteira .............................................................1
Tabela 4: Quantidade Ótima dos Derivativos para Montar o Hedge .........................................1
Tabela 5: Evolução das Estatísticas Descritivas com a Flexibilização de
α
.............................1
Tabela 6: Evolução das Estatísticas Descritivas com a Flexibilização de
λ
e
γ
.....................1
Tabela 7: Estatísticas descritivas para o MOHEP e MOHE.......................................................1
7
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO .....................................................................................................8
2
REVISÃO DA LITERATURA ..............................................................................13
2.1
GESTÃO DE RISCOS ................................................................................................................................ 13
2.2
RISCO DE MERCADO .............................................................................................................................. 16
2.3
DELTA-HEDGE ......................................................................................................................................... 18
2.4
TESTE DE ESTRESSE ............................................................................................................................... 19
3
MODELO DE OTIMIZAÇÃO PARA HEDGE SOB STRESS COM
PROBABILIDADES (MOHEP)....................................................................................21
3.1
IDÉIAS GERAIS......................................................................................................................................... 21
3.2
A FORMULAÇÃO DO MOHEP................................................................................................................ 23
4
EXEMPLO NUMÉRICO ......................................................................................26
4.1
DADOS........................................................................................................................................................ 26
4.2
RESULTADOS ........................................................................................................................................... 31
4.3
FLEXIBILIZAÇÃO DAS RESTRIÇÕES................................................................................................... 34
4.4
MOHEP x MOHE........................................................................................................................................ 38
5
CONCLUSÃO .....................................................................................................40
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................42
APÊNDICE A: A DISTRIBUIÇÃO NORMAL MULTIVARIADA .................................44
8
1 INTRODUÇÃO
Como o principal objetivo deste trabalho é propor um modelo para hedge, é altamente
relevante definir o que significa hedge. Podemos definir hedge como “realizar um
investimento para reduzir o risco de movimentos adversos no preço de um ativo” (Hull,
1995).
Investidores, de uma forma geral, buscam investimentos com a melhor relação retorno-risco
para suas carteiras, e por isso, a gestão de riscos de mercado é altamente relevante para
instituições financeiras desejem continuar operando com êxito. Fundos de investimentos que
focam sua gestão em adquirir ativos que apresentem alto potencial de apreciação e geração de
renda, ignorando a importância de gerir riscos adequadamente, têm sofrido fortes perdas
patrimoniais em tempos de crise, como os que estamos vivendo atualmente. Segundo Duarte
(1997), gerir riscos é a combinação de procedimentos, sistemas e pessoas para controlar
potenciais perdas de uma instituição financeira.
Um gestor que adota uma estratégia passiva, tendo por exemplo o Ibovespa como padrão de
comparação, teria perdido grande parte do seu patrimônio no segundo semestre de 2008. A
crise das hipotecas de alto risco nos Estados Unidos fez com que grandes bancos e
seguradoras como Lehman Brothers, Bear Sterns e AIG registrassem fortes perdas
patrimoniais em suas demonstrações financeiras, sendo que em muitos casos, essas
9
instituições faliram ou pediram socorro ao governo Norte-Americano para que pudessem
continuar operando. A crise financeira reduziu a liquidez nos mercados globais e foi agravada
por uma intensa crise de confiança, desacelerando a economia global, e obrigando analistas a
reavaliarem suas projeções de crescimento para economia como um todo e consequentemente
para as empresas. Além disso, a aversão ao risco fez com que investidores se desfizessem de
ativos de maior risco para adquirir títulos do tesouro Norte-Americano, considerados livres de
risco. Este movimento fez com que bolsas globais registrassem fortes perdas, principalmente
em países emergentes como o Brasil.
Momentos de crise, que geralmente são acompanhados por estresse nos mercados financeiros,
colocam bons gestores de risco em evidência. Muitos fundos de investimento que
apresentavam rentabilidade exageradamente acima de seus padrões de comparação ou muito
alta para o perfil de investimentos de seus portfólios, sofreram fortes perdas com a crise por
não terem adotado uma gestão de risco de mercado adequada. Em muitos casos, gestores
potencializaram a rentabilidade de suas carteiras utilizando técnicas de alavancagem
irresponsáveis, o que agravou a perda de valor de mercado desses fundos.
O principal problema das instituições financeiras é a falta de uma gestão de riscos de mercado
adequada, que as permitam atravessar uma crise como a que estamos vivendo sem perdas
desastrosas. Esta deficiência na gestão de riscos foi o principal motivo para que fundos de
investimentos perdessem de valor de mercado de forma acentuada nos últimos meses. Alguns
fundos de hedge, que por definição têm gestão ativa e maior liberdade para definir suas
estratégias de alocação, obtiveram ganhos com posições vendidas durante a crise, no entanto
poucos escaparam de sofrer perdas.
10
Gestores comprometidos com uma gestão eficiente de riscos de mercado devem se defender
contra perdas patrimoniais acentuadas, geralmente presentes em momentos de estresse,
implementando ações que protegam o valor de mercado de suas carteiras. Tal questão tem
sido tratada por gestores de fundos de investimento através de ferramentas tradicionais para
hedge, como por exemplo o Delta-Hedge, que veremos mais a frente, com estratégias long-
short, ou seja, ficar comprado em alguns ativos e vendido em outros, o que em situações de
estresse fornece alguma proteção à carteira pois as posições vendidas terão algum ganho, ou
simplesmente tem sido ignorada por gestores que se preocupam apenas em encontrar
oportunidades de investimento que apresentem maior potencial de ganho, desprezando
possíveis perdas. Pinho (2007) trata a questão de gerir risco de mercado em carteiras de
investimento de forma semelhante a nossa, propondo o Modelo de Otimização para Hedge
sob Estresse (MOHE), o qual serviu como base para o modelo proposto neste trabalho, como
veremos em detalhe mais a frente.
Segundo Duarte (1999), a natureza assimétrica das opções, ou seja, o potencial limitado de
perda e ilimitado de ganho de uma posição comprada em uma opção de compra, por exemplo,
faz com que estes derivativos sejam potentes ferramentas de gestão de risco de mercado
quando combinados a carteiras de ativos com distribuição simétrica. Vamos tratar o problema
de gerir risco de mercado em carteiras de investimentos em ações, com um modelo de
otimização para hedge que aproveite a natureza assimétrica dos derivativos. Segundo Neftci
(2000), “derivativos são contratos financeiros cujo valor deriva do preço de instrumentos
como ações, bonds, moedas e commodities”.
Veremos mais a frente que existe um trade-off entre o custo para montar o hedge e a limitação
das perdas de um portfólio de ações. Quanto menor for o custo do hedge, o potencial de
perdas da carteira será menos limitado, e vice-versa. Vince (1992) e Cox (1985) discutem os
11
benefícios de uma estratégia simples para hedge, onde o gestor protege uma carteira composta
por uma ação, comprando uma opção de venda, e assim consegue limitar perdas sem limitar
ganhos. Veremos mais a frente que este tipo de hedge aparentemente muito atraente, tem um
custo de montagem muito alto.
Duarte (2005) discute a importância da utilização de modelos de otimização na rotina de
gestores de ativos, o que ainda é pouco explorado em países emergentes. O principal objetivo
do modelo proposto neste trabalho, o Modelo de Otimização para Hedge sob Estresse com
Probabilidades (MOHEP), que veremos em detalhe mais a frente, é neutralizar a exposição ao
mercado de uma carteira de investimentos financeiros, a um custo relativamente baixo, em
períodos de estresse. Segundo Litterman (1996), exposição ao mercado é o “coeficiente
gerado em uma regressão entre o retorno de uma carteira de investimentos contra o retorno do
mercado”. Gestores que tentam proteger suas carteiras, minimizando custos sem limitar
ganhos, estão sujeitos a sofrer perdas acentuadas em seus portfólios. O MOHEP tem como
objetivo neutralizar o máximo possível a exposição da carteira de investimentos em relação ao
mercado. A limitação dos ganhos é uma consequência natural e esperada dos modelos para
hedge.
Veremos mais a frente que o MOHEP é uma ferramenta útil para gerir risco de mercado em
carteiras de investimento em ações, reduzindo perdas em momentos de estresse. Veremos
também que o MOHEP captura o MOHE como um caso particular, e que os resultados
apresentam determinada melhora quando utilizamos o MOHEP no lugar do MOHE para
implementar uma estratégia para hedge.
Neste capítulo fizemos uma breve introdução para explicar a estrutura do trabalho, definir
alguns termos que serão utilizados com certa frequência, mostrar a importância de gerir risco
12
de mercado, principalmente em momentos de estresse, e demonstrar a utilidade e
aplicabilidade do MOHEP para gestores de riscos de fundos de investimentos.
No segundo capítulo faremos uma revisão da literatura, onde vamos mostrar alguns conceitos
básicos de risco, descrever algumas das medidas de risco de mercado mais utilizadas no
mercado por gestores de fundos.
O terceiro capítulo detalha o MOHEP, apresentando sua formulação matemática e restrições.
Neste capítulo também citamos o MOHE, de Pinho (2007), demonstrando como o MOHEP
captura o MOHE como caso particular.
No quarto capítulo, altamente relevante, mostraremos um exemplo numérico, que se aproxima
o máximo possível de uma situação real de mercado, onde montamos uma carteira de ações e
aplicamos o MOHEP como ferramenta principal de gestão de risco de mercado da carteira de
investimentos.
Por fim, a conclusão irá consolidar a discussão apresentada nos demais capítulos, reforçando
as principais vantagens do MOHEP, junto à sua aplicabilidade e limitações.
13
2 REVISÃO DA LITERATURA
2.1 GESTÃO DE RISCOS
Gestores de risco buscam se preparar da melhor forma possível para lidar com incertezas e
potenciais perdas que possam surgir no dia-a-dia de suas empresas. Segundo Rosenfeld
(1972), instituições financeiras podem gerir diversos tipos de risco diversificando os
investimentos de seus portfólios entre distintos setores, regiões e classes de ativos. Segundo
Duarte (2003), existe quatro grandes tipos de risco: risco de mercado, risco operacional, risco
de crédito e risco legal. Vamos falar com mais detalhe sobre risco de mercado mais a frente,
pois é o principal tipo de risco estudado neste trabalho.
Risco operacional está relacionado a perdas que são resultadas por falha de controles,
sistemas, supervisão e/ou erro humano. Um ambiente organizacional mal planejado, com
sistemas que não forneçam informações de forma adequada a todas as áreas da empresa, pode
resultar em perdas significativas e diminuir a eficiência de uma firma colocando em risco sua
competitividade frente aos seus concorrentes.
Podemos citar como exemplo de risco organizacional, quando a área de vendas de uma
empresa não se comunica adequadamente com o estoque. Quando existe essa falha de
14
comunicação, um determinado produto que está sendo vendido rapidamente não poderá ser
reposto em tempo hábil, e com isso a empresa deixa de vender este produto até que ele seja
reposto com atraso.
Também como outra ramificação de risco operacional, temos o risco de operações. Como
exemplo, podemos citar uma empresa de vendas online que não estruturou sua rede de
comunicações de forma alinhada à perspectiva de crescimento de suas vendas. Para que uma
empresa aumente a capacidade da sua rede de comunicações, é necessário algum tempo para
trocar e reforçar equipamentos já existentes, logo, essa firma que não se preparou para
crescer, poderá ter seu sistema sobrecarregado caso muitos clientes façam pedidos ao mesmo
tempo, gerando prejuízos devido a uma falha na gestão de riscos operacionais.
E por fim, a última área de risco operacional trata do risco de pessoal. Este tipo de risco está
relacionado à contratação de capital humano inadequado. Profissionais sem qualificação
técnica para exercer suas funções e com características comportamentais indesejadas podem
trazer prejuízos às empresas.
O risco operacional se torna mais evidente quando organizações têm sistemas, estrutura e
supervisão deficiente, o que aumenta o risco de perda por falha nas operações desta empresa.
O risco operacional mais relacionado a este trabalho é, sem dúvida, o risco de modelagem.
De acordo com Duarte (1997), um modelo matemático é “uma representação aritmética de um
problema do mundo real com o propósito de estudar e prever”. Todos os modelos
matemáticos utilizados por instituições financeiras podem ser chamados de Procedimentos de
Decisão Matemática (PDM). Veremos mais a frente que o MOHEP é uma ferramenta
quantitativa que pode ser usada por uma instituição financeira que deseja controlar suas
perdas, logo podemos dizer que o MOHEP é um PDM. Os PDMs apresentam papel
15
fundamental na gestão de risco das empresas que desejam ser altamente competitivas nos
mercados em que atuam, pois são ferramentas que auxiliam o processo de tomada de decisão,
transformando dados em informações que possam ser analisadas no momento em que gestores
precisem implementar ações para gerir os riscos que suas empresas estão expostas.
Segundo Duarte (1997), “o risco de crédito está relacionado a possíveis perdas quando um dos
contratantes não honra seus compromissos”. Podemos citar como exemplo, quando uma
empresa pega um empréstimo com um banco e se compromete a pagar principal mais juros
daqui a um ano. O banco assume o risco de crédito, pois há uma probabilidade que a empresa
não pague o que prometeu na data de maturação da dívida. Segundo Saunders (1999),
podemos avaliar o risco de crédito destas empresas, utilizando os cinco “C” do crédito:
caráter, capital, capacidade, collateral e ciclo. O primeiro “C” pode ser observado através da
reputação e histórico de pagamento, o segundo através do capital próprio e nível de
endividamento, o terceiro através da volatilidade dos lucros, o quarto através de garantias
adicionais fornecidas, como por exemplo, um imóvel, e por fim o quinto através do ciclo
econômico no qual a indústria da empresa em questão está passando.
Gestores de carteiras que investem em renda fixa podem utilizar derivativos de crédito para
gerir este tipo de risco a que estão expostos. Segundo Bonfim (2007), “derivativos de crédito
são contratos financeiros que permitem a transferência do risco de crédito de um agente de
mercado para outro”, e são instrumentos altamente relevantes para gerir risco de crédito em
carteiras de investimento em renda fixa. O chamado Credit Default Swap (CDS) é um bom
exemplo de derivativo de crédito utilizado atualmente por fundos que investem em
instrumentos de renda fixa. O comprador do CDS transfere o risco de crédito de um
determinado instrumento de renda fixa para o vendedor do CDS, que recebe um prêmio para
isso.
16
Segundo Lemgruber (2001), “o risco legal está relacionado a possíveis perdas quando um
contrato não pode ser legalmente amparado”. Podemos citar como um simples exemplo, uma
empresa que está poluindo o solo no processo produtivo de um determinado produto, e que
após alguns anos, é multada pelo governo de acordo com uma legislação ambiental que não
foi discutida previamente pelos gestores da empresa antes de efetuar o projeto. Nesse caso, os
riscos legais não foram mapeados de forma adequada antes que a empresa implementasse o
processo produtivo poluidor.
Segundo Duarte (2003), riscos legal e operacional devem ser analisados caso a caso, pois não
existe uma medida padronizada para mensurá-los, como temos para o risco de mercado e de
crédito.
2.2 RISCO DE MERCADO
O risco de mercado é o principal risco abordado neste estudo. Podemos classificá-lo como um
dos mais importantes para empresas que fazem gestão de investimentos de forma geral.
Segundo Duarte (2005), o risco de mercado pode ser separado em quatro grandes grupos:
mercado acionário, taxa de câmbio, estrutura termo da taxa de justos e preço das commodities.
O risco de mercado está associado a flutuações no preço de mercado dos ativos, sendo que o
preço de mercado de diferentes ativos é influenciado de forma distinta pelos quatro grupos.
O valor de mercado de um ativo real, como por exemplo um bem imobiliário, é influenciado
pela taxa de juros, taxa de câmbio, valor dos aluguéis e vacância esperada das propriedades.
Podemos citar como exemplo uma empresa que tem uma carteira de prédios de escritório no
Brasil. O valor de mercado desses prédios será influenciado pelo fluxo de caixa que estes
ativos podem gerar aos seus investidores. O fluxo de caixa é influenciado pela vacância
17
esperada e nível dos aluguéis. O valor dos ativos também é influenciado pela taxa de juros,
que quanto mais baixa, maior será o valor presente dos fluxos de caixa, e pela taxa de câmbio,
que se for localmente depreciada, poderá aumentar a demanda por escritórios no Brasil por
parte das empresas, e por ativos imobiliários por parte dos investidores estrangeiros.
Muitos gestores controlam a exposição de seus portfólios ao risco de mercado utilizando o
conceito de value-at-risk (VaR). O VaR mede a perda patrimonial máxima que uma carteira
pode sofrer em um certo período, assumindo um determinado nível de significância. Por
exemplo, suponha que calculamos o VaR semanal de uma carteira de ações, com um nível de
significância de 1%, e encontramos o valor de R$100.000,00. Podemos supor que esta carteira
tem apenas 1% de chance de perder mais do que R$100.000,00 em uma semana. Como
proposta para hedge utilizando o conceito de VaR, Duarte (1998) propõe uma metodologia
para hedge dinâmico que minimiza o VaR de carteiras de ações, balanceando com
determinada frequência o uso de derivativos.
O risco de mercado de carteiras que investem em ações pode ser minimizado com a utilização
de opções de ações. Veremos mais a frente que opções de ações é o tipo de derivativo
utilizado pelo MOHEP para montar o hedge em um determinado portfólio. Segundo
Bellemore (1979), “opções de ações são contratos que garantem aos seus detentores o direito
de comprar ou vender um número específico de ações de uma determinada empresa, a um
preço previamente estabelecido, em uma determinada data”. Derivativos como futuros e
opções são instrumentos amplamente utilizados por gestores de risco de fundos que investem
em ativos financeiros.
18
2.3 DELTA-HEDGE
Para que possamos discutir o modelo Delta-Hedge, precisamos saber o que é o delta de uma
opção. Segundo Bessada (2005), “o delta de uma opção indica que quantidade de ativos
objeto se deve adquirir ou vender para proteger uma carteira de opções”. Se assumirmos que o
prêmio de uma opção é calculado pelo modelo de Black e Scholes (Hull, 1995) e é dado por
C(S, T, K, σ, r), onde S denota o preço do ativo objeto, T o tempo para o vencimento, K o
preço de exercício, σ a volatilidade do ativo objeto e r a taxa de juros, podemos calcular a
variação do preço da opção utilizando a expansão de Taylor descrita abaixo:
dT
T
C
d
C
dr
r
C
dS
S
C
dS
S
C
dC
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
σ
σ
2
2
2
2
1
Onde as derivadas parciais
T
CC
r
C
S
C
S
C
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,,,
2
1
,
2
2
σ
denotam a taxa de variação do preço da
opção referentes a variações de S, S², r, σ e T. A literatura geralmente atribui as seguintes
letras gregas a cada uma destas derivadas parciais:
T
C
Teta
C
Vega
r
C
Rô
S
C
Gama
S
C
Delta
∂
∂
==
∂
∂
==
∂
∂
==
∂
∂
=Γ=
∂
∂
=∆=
θ
σ
κρ
;;;
2
1
;
2
2
Para ilustrarmos como podemos gerir risco de mercado utilizando o modelo Delta-Hedge,
vamos supor uma carteira que contém apenas uma ação, que chamaremos de i. Para
neutralizar o delta desta carteira, a protegendo contra variações do mercado, vamos vender
uma quantidade
d
H
1
da opção 1. que tem como ativo objeto a ação i. Usando a expansão de
Taylor podemos escrever a seguinte equação:
19
ii
d
iii
d
iii
i
d
dSHHdSHdSHdSHdS
S
C
HdP )(
111
+∆=+∆=+
∂
∂
=
onde
i
dS denota a variação de preço da ação i e
i
H a quantidade da ação i. Resolvendo esta
equação para neutralizar o risco de mercado do portfólio, para que dP = 0 , concluímos que
∆−=
d
i
HH
1
, com isso neutralizamos o delta da carteira. Segundo Chew (1996), um gestor
que utiliza o Delta-Hedge deve sempre ajustar continuamente suas posições em ações,
derivativos ou ambos, pois o delta das opções variam. Por isso que o Delta-Hedge também é
conhecido como
hedge
dinâmico.
2.4
TESTE DE ESTRESSE
Outra potente ferramenta de gestão de risco de mercado é o chamado teste de estresse, que
serve para verificar a sensibilidade de um portfólio em relação a movimentos abruptos em
determinados fatores de mercado. Segundo Litterman (1996), teste de estresse é “o resultado
de um exercício onde as posições de um portfólio são reavaliadas em cenários onde os fatores
de risco de mercado flutuam de forma acentuada”.
Litterman (1996) também discute a fragilidade de analisar riscos de forma padronizada,
citando um exemplo onde um portfólio de opções de ações e títulos de renda fixa são
avaliados em dois cenários distintos. No primeiro a curva de juros se desloca de forma
paralela, ao mesmo tempo em que a volatilidade do mercado de ações varia. No segundo
cenário, somente dois “nós” específicos da estrutura termo da taxa de juros variam, ou seja, o
deslocamento da curva de juros não é paralelo, e sim pontual em duas determinadas
maturidades. No primeiro caso, o potencial de ganho é muito alto e o de perda é bem limitado,
já no segundo, o potencial de perdas e ganhos é muito alto. Este exemplo ilustra bem como é
20
importante definir os fatores de risco de mercado quando formos analisar a sensibilidade da
carteira em relação às variações destes fatores.
Perceba que estas análises, medidas e ferramentas de gestão de risco de mercado que
discutimos, como variância, semivariância, VaR, downside risk, teste de estresse e Delta-
Hedge não discriminam a probabilidade relativa de cada evento, logo, MOHEP, que tem uma
função tanto analítica quanto otimizadora, demonstra-se uma ferramenta interessante para
gestores de risco de mercado.
21
3 MODELO DE OTIMIZAÇÃO PARA HEDGE SOB STRESS COM
PROBABILIDADES (MOHEP)
3.1
IDÉIAS GERAIS
O MOHE de Pinho (2007) foi proposto com a idéia de montar uma estratégia de
posicionamento em derivativos para proteger o valor patrimonial de uma carteira de ações em
períodos de alta volatilidade nos mercados financeiros, que geralmente resultam em perdas
acentuadas do valor de mercado destas carteiras. O MOHE tem como principal objetivo
reduzir a perda máxima da carteira de ações, considerando todos os cenários gerados,
inclusive àqueles extremamente improváveis de ocorrer.
Com base no MOHE, estamos propondo um modelo de otimização para
hedge
sob stress que
captura o MOHE como caso particular, como veremos mais a diante. O MOHEP incorpora
algumas modificações, sendo a mais importante delas a aplicação de probabilidade aos
cenários gerados, utilizando a função densidade de probabilide e uma distribuição Normal
Multivariada (ver apêndice). Mais a diante, vamos testar se ao tolerarmos que o
hedge
não
cubra alguns dos cenários gerados, podemos melhorar os resultados de forma significativa.
Segundo Dembo (2000), é indispensável que gestores de recursos de terceiros utilizem um
número considerável de cenários para montar um
hedge
em uma carteira de investimentos.
Outra extensão interessante seria testar a adequabilidade do modelo para portfólios que
22
invistam em outras classes de ativos, como por exemplo renda fixa, tais como títulos públicos
e debêntures.
Gestores de fundos de investimento em ações comprometidos em gerir riscos de forma eficaz
buscam de alguma forma minimizar o risco de mercado de suas carteiras, principalmente em
momentos de estresse quando perdas acentuadas tornam-se mais evidentes, no entanto, em
alguns casos pode não ser tão simples elaborar uma estratégia para
hedge
eficaz com um custo
relativamente baixo quando utilizamos derivativos. O principal objetivo do MOHEP é propor
uma alocação ótima nos derivativos disponíveis, com um custo restrito, que proteja da forma
mais eficaz possível o valor patrimonial da carteira de ações em períodos de alta volatilidade
no mercado. Podemos afirmar que gostaríamos que o modelo neutralizasse o risco de mercado
da carteira, respeitando algumas restrições previamente estabelecidas.
O MOHEP é uma evolução do MOHE, pois atribui probabilidade aos cenários gerados,
utilizando a função densidade de probabilidade e a distribuição Normal Multivariada (ver
apêndice), com o intuito de controlar estatísticamente o nível máximo de tolerância para a não
cobertura de situações de estresse por parte do
hedge
. Veremos mais a frente que esta
tolerância pode trazer benefícios para gestores de risco que atuam em fundos de investimento
em ações. A distribuição Normal Padrão não pode ser utilizada neste caso, pois a variação de
um determinado ativo apresenta certa correlação (não necessariamente causalidade) com os
demais ativos da carteira.
23
3.2
A FORMULAÇÃO DO MOHEP
A formulação do Modelo de Otimização para Hedge sob Estresse com Probabilidades
(MOHEP) é:
1)
Assumimos que
a
n
ativos estão na carteira original do gestor.
2)
Assumimos que
d
n
derivativos estão disponíveis para o hedge ótimo.
3)
Assumimos que
m
cenários foram gerados para o modelo de otimização.
4)
Denotamos por
a
ij
r
o retorno esperado para o ativo
i
(com
a
ni
≤≤1 ) sob o cenário
j
(com
mj
≤
≤
1 ).
5) Denotamos por
d
kj
r
o retorno esperado para o derivativo
k
(com
d
nk
≤≤1 ) sob o cenário
j
(com
mj
≤
≤
1 ).
6) Denotamos por
a
i
p
o preço (em R$) pago pelo ativo
i
(com
a
ni
≤≤1 ) na carteira original
do gestor.
7) Denotamos por
d
k
p
o preço (em R$) pago pelo derivativo
k
(com
d
nk
≤≤1 ) na carteira
de hedge ótimo.
8) Denotamos por
a
i
h
a quantidade do ativo
i
(com
a
ni
≤≤1 ) na carteira original do gestor.
24
9) Denotamos por
d
k
H
a quantidade do derivativo
k
(com
d
nk
≤≤1 ) na carteira de hedge
ótimo, onde ,...}2,1,0,1,2{..., −−∈
d
k
H
. Associa-se
d
k
H
< 0 a uma posição vendida no
derivativo
k
, e
d
k
H
> 0 a uma posição comprada no derivativo
k
. Estas são as principais
variáveis de interesse para o gestor uma vez que apontam as quantidades a serem
compradas/vendidas de cada derivativo usado para o hedge da carteira original.
10) Denotamos por
γ
o percentual máximo do total do patrimônio da carteira original do
gestor que se deseja permitir em termos de custos/recebimentos da carteira de derivativos,
resultando na restrição
∑∑
==
≤
ad
n
i
a
i
a
i
n
k
d
k
d
k
hpHp
11
γ
11) Denotamos por
d
k
l
o número máximo de lotes disponíveis no mercado para
comprar/vender o derivativo
k
(
d
nk ≤≤
1 ).
12) Denotamos por
λ
o percentual máximo de lotes que o gestor pode comprar/vender do
derivativo
k
, resultando na equação
dd
k
d
k
nklH ,,2,1 Κ=∀≤
λ
.
13)
Denotamos por
j
R o ganho/perda (em R$) da carteira de ativos original do gestor para o
cenário
j
, onde
∑∑
==
+=
da
n
k
d
k
d
k
d
kj
n
i
a
i
a
i
a
ijj
HprhprR
11
, com
mjR
j
,...,2,1=∀ℜ∈
.
14)
Denotamos por
j
φ
a probabilidade do cenário
j
(com mj
≤
≤
1 ) ocorrer.
25
{ }
{ }
ℜ∈
=∀∈Φ
=∀−−∈
=∀ℜ∈
=∀≤
≤Φ
=∀Φ+≤
≤
=∀+=
∑
∑∑
∑∑
=
==
==
V
mj
nkH
mjR
nklH
mjRV
hpHp
mjHprhprR
V
j
dd
k
j
dd
k
d
k
m
j
jj
jj
n
i
a
i
a
i
n
k
d
k
d
k
n
k
d
k
d
k
d
kj
n
i
a
i
a
i
a
ijj
ad
da
,,2,11,0
,,2,1,2,1,0,1,2,
,,2,1
,,2,1
,,2,1
,,2,1:a Sujeito
Maximize
1
11
11
Κ
ΚΚΚ
Κ
Κ
Κ
Κ
λ
αφ
ω
γ
15)
Denotamos por
j
Φ uma variável auxiliar onde
{
}
mj
j
,,2,11,0 Κ=∀∈Φ .
16)
Denotamos por
ℜ
∈
V o retorno mínimo da carteira sob hedge ótimo.
17)
Denotamos por
ω
um parâmetro definido pelo usuário (o qual equivale ao uso do “Big
M” em modelos de otimização). Valem as restrições
mjRV
jj
,,2,1
Κ=∀Φ+≤
ω
.
18)
Denotamos por
α
o nível máximo de tolerância para a não cobertura de situações de
estresse por parte do hedge. Em outras palavras, fixado o conjunto de cenários e suas
probabilidades associadas, o nível máximo de probabilidade para o qual o hedge ótimo
não é efetivo é
α
. Vale a restrição
αφ
≤Φ
∑
=
m
j
jj
1
.
A formulação do MOHEP é:
26
4 EXEMPLO NUMÉRICO
Com o objetivo de aplicar o MOHEP em uma situação real, montamos uma carteira hipotética
composta por cinco ativos, implementamos uma estratégia de hedge utilizando derivativos
para proteger a carteira contra possíveis perdas, e por fim observamos os benefícios trazidos
pela aplicação do MOHEP, como forma de gestão de risco de mercado da carteira de ações.
4.1
DADOS
No exemplo numérico, montamos uma carteira com data-base em 09-Jun-2009, composta por
cinco ações (ou seja,
a
n =5) de empresas negociadas da Bolsa de Valores de São Paulo, sendo
elas: Petrobras (PETR4), Vale do Rio Doce (VALE5), Itaú-Unibanco (ITUB4), Bradesco
(BBDC4) e Tele Norte (TNLP4). Como vamos precisar de opções de ações para montar o
hedge mais a frente, escolhemos as ações que possuem as respectivas opções mais líquidas no
mercado. O investimento inicial da carteira é ponderado igualmente entre os cinco ativos,
sendo investidos aproximadamente R$50.000.000,00 em cada empresa. Utilizamos cotações
no período de 14-Jun-2007 a 09-Jun-2009, representadas pelo preço de fechamento diário.
Com os dados obtidos calculamos a variação diária do preço dos ativos, formando 490
possíveis cenários que o gestor poderá esperar para o dia 10-Jun-2009, e assim elaborar sua
estratégia de hedge para proteger sua carteira. Os dados foram coletados no dia 10-Jun-2009
do terminal Reuters 3000XTRA
27
Foram utilizadas uma opção de compra e uma opção de venda para cada ação da carteira
original (ou seja,
d
n =10), sendo escolhidas as que tiveram mais liquidez no pregão do dia 09-
Jun-2009. Como não existem opções de venda disponíveis para as ações BBDC4, ITUB4 e
TNLP4, criamos opões hipotéticas com o mesmo vencimento e preço de exercício de suas
respectivas opções de compra.
As restrições a seguir foram utilizadas no modelo padrão, o que não impede que o MOHEP as
flexibilize caso o gestor de riscos deseje.
•
O somatório do valor financeiro absoluto das opções não pode ultrapassar 2% do valor
financeiro da carteira de ações do gestor (ou seja,
γ
=2%).
•
O número máximo de lotes que posso comprar ou vender de cada derivativo se limita
ao total de 10% dos lotes disponíveis no mercado (ou seja,
λ
=10%). Para as opções
de venda hipotéticas, utilizamos os lambdas ao quadrado e os lotes em aberto das suas
respectivas opções de compra (quando
λ
=10%, a opção hipotética terá
λ
=1%).
Para precificar as opções em cada um dos 490 cenários, utilizamos o modelo de precificação
de opções de Black and Scholes (Hull, 1995). Como dados de entrada para o modelo, foram
gerados cenários para o preço do ativo subjacente, como descrito anteriormente, volatilidade,
taxa de juros e tempo que resta para o exercício.
Após precificar as opções na data de montagem da carteira, precificamos as mesmas um dia
após esta data para podermos gerar os cenários de ganho ou perda das posições em aberto dos
derivativos para cada cenário, e então adicionar este ganho ou perda ao resultado da carteira
28
PETR4 VALE5 ITUB4 BBDC4 TNLP4
Lote Mínimo:
100 100 100 100 100
Numero de Lotes Comprados: 2,984 3,023 3,185 3,364 3,040
Numero de Ações Compradas:
298,400.00 302,300.00 318,500.00 336,400.00 304,000.00
Financeiro de Cada Ação: $9,999,384 $10,000,084 $10,000,900 $10,001,172 $10,001,600
Financeiro da Carteira: $50,003,140
Data de Montagem:
9-Jun-09
Código da
Opção
Vencimento da Opção Preço de Exercício
Tipo da
Opção
Ativo Objeto Delta Gamma
PETRF34
15-Jun-09 R$ 33.66 Compra PETR4 0.49 0.20
PETRS27
20-Jul-09 R$ 27.00 Venda PETR4 -0.06 0.26
VALEF34
15-Jun-09 R$ 33.48 Compra VALE5 0.45 0.18
VALER34
15-Jun-09 R$ 33.48 Venda VALE5 -0.55 0.18
ITUBF30
15-Jun-09 R$ 29.99 Compra ITUB4 0.76 0.23
PUT ITUB
15-Jun-09 R$ 29.99 Venda ITUB4 -0.24 0.23
BBDCF28
15-Jun-09 R$ 27.98 Compra BBDC4 0.85 0.39
PUT BBDC
15-Jun-09 R$ 27.98 Venda BBDC4 -0.15 0.39
TNLPF34
15-Jun-09 R$ 34.00 Compra TNLP4 0.30 0.24
PUTTNLP
15-Jun-09 R$ 34.00 Venda TNLP4 -0.70 0.24
de ações, resultando no ganho ou perda total de carteira de ações com opções em cada um dos
490 cenários.
Para precificar as opções em cada cenário, o preço de exercício permanece estático, o tempo
para maturar reduz em um dia comparado à precificação das opções na data de montagem da
carteira, utilizamos a Selic de mercado como ativo livre de risco na data de montagem da
carteira e calculamos sua variação diária histórica para encontrarmos os cenários de taxa de
juros, e por fim utilizamos a volatilidade histórica dos últimos 126 dias no dia de montagem
da carteira, e também calculamos a variação da volatilidade histórica para encontrar os
cenários de volatilidade.
Tabela
1
: Carteira Original de Ações
Tabela
2
: Derivativos Disponíveis para
Hedge
29
PETR4 VALE5 ITUB4 BBDC4 TNLP4
PETR4
1
VALE5
0.80468476 1
ITUB4
0.64105585 0.70993472 1
BBDC4
0.53375819 0.58286654 0.71193742 1
TNLP4
0.43891968 0.49394563 0.50789787 0.42020855 1
O principal diferencial do MOHEP é a aplicação de probabilidades aos cenários gerados. O
grande desafio dos gestores de risco é tentar antecipar o que acontecerá com o mercado nos
períodos subsequentes, então obviamente quanto maior a precisão e poder preditivo das
ferramentas utilizadas pelos gestores de risco, mais bem elaboradas serão suas estratégias de
investimento. O MOHEP tenta prever quais dos 490 cenários gerados apresentam maior
probabilidade de ocorrência daqui a um dia. Quanto mais precisa a previsão do cenário
esperado, mais eficaz será a estratégia de hedge elaborada pelo gestor.
A tabela abaixo mostra a matriz de correlação dos ativos da carteira, o que influencia a função
densidade de probabilidade utilizada para calcular as probabilidades dos cenários.
Cenários de perda ou ganho acentuados, ou que não respeitem a correlação entre os ativos,
são naturalmente consderados mais improváveis pela função densidade de probabilidade.
Observe na Figura 2 que quanto maior o ganho ou a perda patrimonial da carteira, menor a
probabilidade de ocorrência deste cenário.
Tabela 3: Matriz de Correlação dos Ativos da Carteira
30
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
11-Jan-01 11-Jan-03 11-Jan-05 11-Jan-07 11-Jan-09
PETR4 VALE5 ITUB4 BBDC4 TNLP4
Volatilidade Anual
0.00%
0.05%
0.10%
0.15%
0.20%
0.25%
0.30%
0.35%
0.40%
0.45%
0.50%
0.55%
0.60%
0.65%
-$6,000,000-$4,000,000-$2,000,000 $0 $2,000,000$4,000,000$6,000,000$8,000,000
Probabilidade de Ocorrência dos Cenários
Ganho/Perda Diária da Carteira de Ações
A crise iniciada em meados de 2007 fez com que a volatilidade nos mercados acionários
globais aumentasse consideravelmente, principalmente em países emergentes como o Brasil.
A Figura 3 mostra com clareza a evolução da volatilidade anual dos ativos escolhidos para a
carteira hipotética.
Figura 1: Probabilidade do Cenário x Ganho ou Perda Diária da Carteira
Figura 2: Evolução da Volatilidade Anual dos Ativos da Carteira
31
Código Lote Mínimo
Quantidade Ótima
de Lotes
Quantidade Ótima
de Opções
PETRF34
100 -4,762 -476,200
PETRS27
100 521 52,100
VALEF34
100 -4,345 -434,500
VALER34
100 41 4,100
ITUBF30
100 -509 -50,900
PUT ITUB
100 51 5,100
BBDCF28
100 -1,233 -123,300
PUT BBDC
100 123 12,300
TNLPF34
100 -680 -68,000
PUT TNLP
100 68 6,800
4.2
RESULTADOS
O objetivo do modelo é maximizar V , ou seja, a perda máxima (em R$) da carteira,
desconsiderando os cenários mais improváveis de ocorrer, cuja soma de suas probabilidades é
menor ou igual à
α
.
Para ilustrarmos o resultado da utilização do MOHEP em um exemplo prático, vamos utilizar
um
α
de 1%, e rodar a otimização. Observe na Figura 4 que o MOHEP reduz as perdas e
ganhos simultaneamente. O eixo X foi ordenado da maior perda para o maior ganho por parte
dos derivativos da esquerda para a direita, e o eixo Y foi ordenado da maior perda para o
maior ganho da carteira de ações de baixo para cima.
Tabela 4: Quantidade Ótima dos Derivativos para Montar o Hedge
32
-$6,000,000
-$4,000,000
-$2,000,000
$0
$2,000,000
$4,000,000
$6,000,000
$8,000,000
$10,000,000
-$5,000,000 -$4,000,000 -$3,000,000 -$2,000,000 -$1,000,000 $0 $1,000,000 $2,000,000
Ganho/Perda da Carteira de Ações
Ganho/Perda dos Derivativos
-10%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
10.12%
7.54%
6.76%
5.88%
5.33%
4.76%
4.59%
4.49%
4.13%
3.92%
3.62%
3.42%
3.28%
3.07%
2.99%
2.86%
2.83%
2.79%
2.55%
2.45%
2.34%
2.29%
2.18%
2.06%
Redução Percentual da Perda
Devido ao Uso de Derivativos
Perda Diária da Carteira de Ações
Figura 3: Ganho ou Perda com Derivativos / Ganho ou Perda da Carteira de Ações
Note que o MOHEP minimiza não somente as perdas, como também os ganhos, o que é
natural, pois queremos obter um custo de hedge baixo (no caso aproximadamente 2% do valor
patrimonial da carteira de ações). Se o modelo sugerisse somente a compra de opções de
venda, poderíamos nos proteger somente das perdas da carteira de ações, sem limitar o ganho,
no entanto, o custo do hedge seria muito alto. Para obter um custo razoável, o modelo mescla
a compra e venda de opções, para que o desembolso na compra dos derivativos fique dentro
do limite estabelecido.
Figura 4: Redução Percentual das Perdas Acima de 2%
33
-160%
-140%
-120%
-100%
-80%
-60%
-40%
-20%
0%
2.00%
2.06%
2.12%
2.16%
2.29%
2.37%
2.43%
2.63%
2.79%
2.84%
3.12%
3.31%
3.48%
3.61%
3.95%
4.20%
4.56%
4.87%
5.49%
5.88%
7.07%
8.51%
12.95%
Redução Percentual do Ganho
Devido ao Uso de Derivativos
Ganho Diário da Carteira de Ações
Note na Figura 5 que o modelo reduz de forma satisfatória as perdas diárias acima de 2%, ou
seja, as perdas mais acentuadas. Observe que as perdas patrimoniais diárias da carteira de
ações, que estão entre 5% e 10%, são reduzidas de 20% e 30% pelo MOHEP.
O mesmo não pode ser dito para os cenários com ganho acima de 2% do valor da carteira sem
hedge. Note na Figura 6 que o MOHEP reduz os ganhos diários mais acentuados, nesse caso
os que estão acima de 2% do valor patrimonial da carteira de ações original do gestor.
Observe que os ganhos diários acima de 5% são reduzidos em aproximadamente 50% após a
otimização do hedge.
Figura 5: Redução Percentual dos Ganhos Acima de 2%
34
4.3
FLEXIBILIZAÇÃO DAS RESTRIÇÕES
Nesta seção veremos como o MOHEP pode trazer resultados distintos com a flexibilização de
três importantes restrições:
•
O percentual máximo do total do patrimônio da carteira original do gestor que se
deseja permitir em termos de custos/recebimentos da carteira de derivativos (
γ
).
•
O percentual máximo de lotes que o gestor pode comprar/vender de cada derivativo
(
λ
).
•
O nível máximo de tolerância para a não cobertura de situações de estresse por parte
do hedge (
α
).
Note na Tabela 5 que quando flexibilizamos
α
, ou seja, ao passo que vamos aumentando o
nível máximo de tolerância para a não cobertura de situações de estresse por parte do hedge,
as estatísticas descritivas permanecem relativamente estáveis. No entanto, quando observamos
a evolução do primeiro quartil e mediana com a flexibilização de
α
até um nível de 0.04%,
podemos concluir que, com alguma tolerância, ainda que esta seja muito pequena, a
otimização consegue melhorar os resultados de forma significativa.
Tudo nos leva a crer que alguns poucos cenários, extremamente improváveis, impedem que o
resultado seja melhorado com a otimização. Vimos que não precisamos de um
α
muito
flexível para obter resultados superiores, basta que exista alguma flexibilidade.
35
Alpha Min 1Q Mediana 3Q Max
0.00% -$4,000,739 -$589,625 -$16,065 $647,836 $6,366,592
0.01% -$4,033,381 -$518,369 $2,484 $397,429 $6,498,072
0.02% -$4,035,993 -$496,183 $30,090 $445,082 $3,707,251
0.03% -$4,274,857 -$538,068 $20,372 $501,635 $4,610,244
0.04% -$4,032,736 -$457,515 $26,891 $439,982 $3,687,448
0.05% -$4,032,736 -$457,515 $26,891 $439,982 $3,687,448
0.06% -$4,032,733 -$457,588 $26,881 $439,918 $3,687,545
0.07% -$4,032,465 -$466,051 $31,060 $438,173 $3,686,477
0.08% -$4,032,463 -$466,104 $31,067 $438,157 $3,686,554
0.09% -$4,022,360 -$463,832 $22,451 $476,163 $3,681,917
0.10% -$4,022,360 -$463,832 $22,451 $476,163 $3,681,917
0.20% -$4,024,501 -$452,882 $56,028 $464,990 $3,761,357
0.30% -$4,030,878 -$465,575 $30,882 $440,125 $3,718,678
0.40% -$4,028,989 -$471,654 $28,829 $450,224 $3,775,775
0.50% -$4,030,401 -$462,332 $28,529 $438,656 $3,753,827
0.60% -$4,030,010 -$454,515 $27,312 $445,042 $3,758,215
0.70% -$4,030,121 -$462,006 $35,037 $443,085 $3,775,931
0.80% -$4,030,075 -$457,149 $30,397 $443,798 $3,763,009
0.90% -$4,030,063 -$457,704 $31,634 $442,849 $3,766,821
1.00% -$4,029,586 -$466,298 $32,616 $443,844 $3,777,691
1.10% -$4,029,727 -$462,927 $32,127 $445,928 $3,772,586
1.20% -$4,029,582 -$461,480 $27,874 $442,215 $3,764,207
1.30% -$4,029,582 -$461,480 $27,874 $442,215 $3,764,207
1.50% -$4,100,742 -$481,861 $36,932 $471,758 $4,114,116
1.60% -$4,102,335 -$482,219 $36,906 $471,774 $4,121,652
1.70% -$4,029,161 -$470,078 $25,267 $447,568 $3,776,235
1.80% -$4,029,289 -$470,136 $24,567 $447,098 $3,779,274
1.90% -$4,025,588 -$485,406 $16,296 $452,675 $5,120,522
2.00% -$4,022,249 -$458,149 $48,832 $461,618 $3,731,242
3.00%
-$4,089,370 -$484,381 $33,459 $473,368 $4,061,999
5.00% -$4,614,724 -$559,971 $65,949 $647,507 $6,310,396
Tabela 5: Evolução das Estatísticas Descritivas com a Flexibilização de
α
36
0.00%
0.05%
0.10%
0.15%
0.20%
0.25%
0.30%
0.35%
0.40%
0.45%
0.50%
0.55%
0.60%
0.65%
-$4,100,000 -$2,100,000 -$100,000 $1,900,000 $3,900,000
Probabilidade de Ocorrência do Cenário
Ganho/Perda da Carteira de Ações
Observe na Figura 7 que os cenários não cobertos por parte do hedge (pontos vermelhos), são
aqueles mais improváveis de ocorrer, como havíamos previsto quando analisamos a Tabela 5.
Com a não cobertura destes cenários podemos melhorar de forma significativa o hedge ótimo
da carteira, ao custo de não estarmos preparados para lidar com estes cenários caso os
mesmos voltem a ocorrer.
Quando mantemos
α
constante em 1%, e flexibilizamos o percentual máximo do total do
patrimônio da carteira original do gestor que se deseja permitir em termos de
custos/recebimentos da carteira de derivativos e o percentual máximo de lotes que o gestor
pode comprar/vender de cada derivativo, ou seja,
λ
e
γ
respectivamente, obtemos os
resultados a seguir.
Figura 6: Cenários Não Cobertos pelo Hedge
37
Alpha Gamma Lambda Min 1Q Mediana 3Q Max
1.00% 2.00% 2.00% -$4,328,608 -$515,224 $18,544 $509,626 $4,657,085
1.00% 5.00% 2.00% -$4,328,608 -$515,224 $18,544 $509,626 $4,657,085
1.00% 2.00% 4.00% -$4,104,520 -$494,909 $12,205 $443,903 $5,553,510
1.00% 5.00% 4.00% -$3,936,876 -$460,279 $4,315 $407,078 $4,200,723
1.00% 2.00% 6.00% -$4,084,101 -$478,083 $678 $438,476 $3,877,457
1.00% 5.00% 6.00% -$4,161,527 -$486,548 $23,617 $470,366 $4,095,710
1.00% 2.00% 10.00% -$4,029,586 -$466,298 $32,616 $443,844 $3,777,691
1.00% 5.00% 10.00% -$3,656,528 -$394,189 $13,669 $324,685 $3,090,507
Ao passo que vamos aumentando
λ
e
γ
, as estatísticas de mínimo e primeiro quartil
apresentam melhora significativa, a mediana se mantém relativamente estável e as estatísticas
de máximo e terceiro quartil apresentam uma piora significativa. O resultado é satisfatório,
pois o MOHEP demonstrou ênfase em reduzir perdas ao custo de reduzir ganhos, o que
esperamos de modelo de otimização para hedge eficaz.
Tabela 6: Evolução das Estatísticas Descritivas com a Flexibilização de
λ
e
γ
38
alpha=0%
Min 1Q Mediana 3Q Max
-$4,000,739 -$589,625 -$16,065 $647,836 $6,366,592
alpha=3%
Min 1Q Mediana 3Q Max
-$4,089,370 -$484,381 $33,459 $473,368 $4,061,999
4.4
MOHEP x MOHE
Com foi dito em capítulos anteriores, o MOHE de Pinho (2007), é capturado pelo MOHEP
como um caso particular, ou seja, o MOHE é um caso específico do MOHEP quando
α
é
igual à zero. Em outras palavras, o MOHEP permite um nível máximo de tolerância para a
não cobertura de situações de estresse por parte do hedge, ou seja, os cenários mais
improváveis podem ser desconsiderados pelo modelo. Mesmo desconsiderando os cenários
mais improváveis para otimizar o hedge, vamos analisar as estatísticas descritivas incluindo
todos os cenários na análise. A seguir, veremos que a flexibilização de
α
permitida pelo
MOHEP nos permite obter resultados superiores ao MOHE.
Note na Tabela 6, que o com a flexibilização de
α
o MOHEP permite que consigamos
resultados semelhantes de mínimo, superiores de primeiro quartil e mediana, que são mais
importantes em uma situação de hedge do que os resultados do terceiro quartil e máximo, que
foram inferiores.
Tabela 7: Estatísticas descritivas para o MOHEP e MOHE
39
0
20
40
60
80
100
120
140
160
-
R$ 6,500,000.00
-
R$ 6,000,000.00
-R$ 5,500,000.00
-
R$ 5,000,000.00
-
R$ 4,500,000.00
-R$ 4,000,000.00
-
R$ 3,500,000.00
-
R$ 3,000,000.00
-R$ 2,500,000.00
-
R$ 2,000,000.00
-
R$ 1,500,000.00
-R$ 1,000,000.00
-
R$ 500,000.00
R$ 0.00
R$ 500,000.00
R$ 1,000,000.00
R$ 1,500,000.00
R$ 2,000,000.00
R$ 2,500,000.00
R$ 3,000,000.00
R$ 3,500,000.00
R$ 4,000,000.00
R$ 4,500,000.00
R$ 5,000,000.00
R$ 5,500,000.00
R$ 6,000,000.00
R$ 6,500,000.00
R$ 7,000,000.00
Frequência
Ganho/Perda da Carteira com Hedge
0
20
40
60
80
100
120
140
160
-
R$ 6,500,000
-
R$ 6,000,000
-R$ 5,500,000
-
R$ 5,000,000
-R$ 4,500,000
-
R$ 4,000,000
-
R$ 3,500,000
-R$ 3,000,000
-
R$ 2,500,000
-
R$ 2,000,000
-R$ 1,500,000
-
R$ 1,000,000
-
R$ 500,000
R$ 0
R$ 500,000
R$ 1,000,000
R$ 1,500,000
R$ 2,000,000
R$ 2,500,000
R$ 3,000,000
R$ 3,500,000
R$ 4,000,000
R$ 4,500,000
R$ 5,000,000
R$ 5,500,000
R$ 6,000,000
R$ 6,500,000
R$ 7,000,000
Frequência
Ganho/Perda da Carteira com Hedge
Note que a flexibilização de
α
, permitida pelo MOHEP, faz com que a parte da esquerda do
histograma seja “empurrada” para a direita. Em outras palavras, o MOHEP faz com que os
cenários negativos sejam menos frequentes e mais brandos.
Figura 7: Histograma para
α
= 0%
Figura 8: Histograma para
α
= 3%
40
5 CONCLUSÃO
Este trabalho propõe um modelo que busca minimizar o risco de mercado de carteiras de
investimento em ações, comprando e vendendo derivativos de forma ótima. Estes derivativos
protegem o valor de mercado destas carteiras em momentos de estresse, respeitando restrições
de custo e liquidez. Podemos observar que o MOHEP otimiza o hedge combinando posições
compradas e vendidas nos derivativos, para que o custo do hedge não ultrapasse o limite
estabelecido. Notamos também que o MOHEP controla estatísticamente um determinado
nível de tolerância para a não cobertura de situações de estresse por parte do hedge, que fica a
critério do gestor. Esta tolerância pode melhorar os resultados, no entanto os cenários
desconsiderados não estão cobertos pelo hedge caso voltem a ocorrer.
Vimos também que o MOHEP captura o MOHE de Pinho (2007) como um caso particular.
Em outras palavras, o MOHE é um caso específico do MOHEP para situações onde o nível
máximo de tolerância para a não cobertura de situações de estresse por parte do hedge é igual
a zero, ou seja, o MOHEP tem o mesmo efeito do MOHE quando parâmetro
α
é igual a zero.
Quando abordamos um exemplo numérico, vimos que quando o MOHEP otimiza a alocação
em derivativos para a proteção da carteira de ações, perdas e ganhos mais acentuados são
reduzidos, logo podemos concluir que o MOHEP está em linha com o que esperamos de um
modelo para hedge.
41
Também flexibilizamos o percentual máximo do total do patrimônio da carteira original do
gestor que se deseja permitir em termos de custos ou recebimentos da carteira de derivativos e
o percentual máximo de lotes que o gestor pode comprar ou vender de cada derivativo com o
objetivo de observar como os resultados poderiam variar com estas flexibilizações.
Intuitivamente, quanto mais frouxas são as restrições, melhores são os resultados de mínimo,
primeiro quartil e mediana, no entanto esse benefício exige um desembolso maior por parte do
gestor.
Com a flexibilização do nível máximo tolerado para a não cobertura por parte de hedge (
α
),
permitimos que o MOHEP desconsiderasse um determinado número de cenários, que foram
escolhidos pela otimização do modelo, cujo somatório de suas probabilidades não
ultrapassasse
α
. Ao passo que fomos aumentando
α
, ou seja, desconsiderando mais cenários
improváveis, vimos que a estatística de mínimo permanece relativamente estável, ao passo
que o primeiro quartil e a mediana melhoraram de forma significativa, principalmente para
níveis de
α
até 0,04%.
42
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44
APÊNDICE A: A DISTRIBUIÇÃO NORMAL MULTIVARIADA
Segundo Johnson (2007), o caso geral do uso da distribuição Normal Multivariada pode ser
descrito nos tópicos abaixo:
Um vetor aleatório
T
N
XXX ],...,[
1
=
segue uma distribuição Normal Multivariada se satisfaz
as seguintes condições:
Toda combinação linear
NN
XaXaY
++=
...
11
é normalmente distribuída.
Existe um vetor aleatório
T
M
ZZZ ],...,[
1
=
no qual seus componentes são variáveis aleatórias
normais padrão independentes, um vetor
T
N
],...,[
1
µµµ
=
e uma matriz
A
NM
×
, onde
µ
+
=
AZX .
Existe um vetor
µ
e uma matriz
Σ
simétrica, positiva e semi-definida na qual a função
característica de X é:
)
2
1
exp(),;( uuuiux
TT
Σ−=Σ
µµφ
45
Se
Σ
é não-singular, então a distribuição deverá ser descrita pela seguinte função densidade de
probabilidade:
( )
−Σ−−
Σ
=
−
)()(
2
1
exp
)2(
1
,...,
1
2/1
2/
1
µµ
π
xxxxfx
T
N
N
onde
Σ
é o determinante de
Σ
.
O vetor
µ
é o valor esperado de
X
no caso, e a matriz
T
AA
=
Σ
é a matriz covariância dos
componentes de
X
.
O fato de que a distribuição de um vetor aleatório
X
siga uma distribuição Normal
Multivariada, pode ser escrito da seguinte forma
(
)
Σ= ,
µ
N
NX
Para ilustrarmos numericamente o cálculo da função densidade de probabilidade, utilizamos o
dia 09-Nov-2008 como a data base da montagem da carteira, e através dos retornos semanais
das ações PETR4, VALE5, ITAU4, NETC4 e TNLP4 do período de 01/Jan-2006 a 09-Nov-
2008, foram gerados 149 possíveis cenários que poderão ocorrer uma semana após o dia 09-
Nov-2008.
46
PETR4 VALE5 ITAU4 NETC4 TNLP4
Cenário 1 24,61 25,84 26,54 14,15 24,15
Cenário 2 23,37 25,24 24,62 14,14 23,80
Cenário 3 23,28 24,67 25,08 13,89 23,90
Cenário 4 22,79 25,00 24,87 15,14 23,80
Cenário 5 22,02 23,24 24,30 13,20 23,41
Cenário 6 20,98 22,92 25,76 14,13 23,78
Cenário 7 23,84 24,23 25,16 13,89 25,44
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Cenário 149 22,37 23,25 26,38 14,06 23,52
CENÁRIOS
PETR4 VALE5 ITAU4 NETC4 TNLP4
1/jan/06
17,67 20,01 21,13 16,05 31,02
8/jan/06
19,40 21,28 23,01 16,35 30,95
15/jan/06
20,23 22,10 23,24 16,65 30,42
22/jan/06
21,02 22,43 23,91 16,65 30,04
29/jan/06
21,37 23,07 24,40 18,15 29,54
5/fev/06
20,99 22,07 24,32 17,25 28,56
12/fev/06
19,65 20,82 25,71 17,55 28,06
19/fev/06
20,90 20,76 26,54 17,55 29,49
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9/nov/08 22,41 24,30 24,37 13,89 24,21
COTAÇÕES
PETR4 VALE5 ITAU4 NETC4 TNLP4
8/jan/06
0,10 0,06 0,09 0,02 0,00
15/jan/06
0,04 0,04 0,01 0,02 -0,02
22/jan/06
0,04 0,02 0,03 0,00 -0,01
29/jan/06
0,02 0,03 0,02 0,09 -0,02
5/fev/06
-0,02 -0,04 0,00 -0,05 -0,03
12/fev/06
-0,06 -0,06 0,06 0,02 -0,02
19/fev/06
0,06 0,00 0,03 0,00 0,05
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9/nov/08 0,00 -0,04 0,08 0,01 -0,03
RETORNOS
47
−−−
−−−
−−−−
−−−
−−−
=Σ
−
71,046,009,003,018,0
46,064,249,056,017,0
09,049,079,017,020,0
03,056,017,039,173,0
18,017,020,073,031,1
1
=Σ
11,266,098,074,077,0
66,073,077,061,046,0
98,077,033,210,101,1
74,061,010,168,113,1
77,046,001,113,159,1
(
)
21,2490,1345,2437,2448,22
=
µ
Agora que estimamos os vetores dos cenários, os quais denotamos por
x
, alguns parâmetros
precisam ser encontrados para o cálculo da função densidade de probabilidade, como o vetor
de médias, denotado por
µ
, a matriz covariância, denotada por
Σ
, a inversa da matriz
covariância, denotada por
1−
Σ
e o determinante da matriz covariância, denotado por
Σ
.
48
Cenário 1 0,002799871
Cenário 2 0,014915535
Cenário 3 0,017384248
Cenário 4 0,003936061
Cenário 5 0,012742427
Cenário 6 0,001509602
Cenário 7 0,005649114
.
.
.
.
.
.
Cenário 149 0,001341855
∑
=
÷=
m
j
jjj
ffP
1
(
)
N
xxfx ,...,
1
Agora que já temos todos os elementos para encontrar a função densidade de probabilidade
para cada cenário, devemos aplicar a equação a seguir:
( )
−Σ−−
Σ
=
−
)()(
2
1
exp
)2(
1
,...,
1
2/1
2/
1
µµ
π
xxxxfx
T
N
N
Observe que a primeira parte da equação
Σ
2/1
2/
)2(
1
N
π
é uma constante, logo, o
determinante da matriz covariância torna-se insignificante para o resultado final.
Uma vez calculada a função densidade de probabilidade para cada cenário, basta normalizar o
resultado para encontrar a probabilidade de cada cenário.
Se denotarmos por
j
f a função densidade de probabilidade do cenário
j
(com mj
≤
≤
1 ),
logo, a probabilidade normalizada de ocorrência do cenário
j
(com mj
≤
≤
1 ), denotada
por
i
P , é dada por
49
PROBABILIDADE
DOS CENÁRIOS
Cenário 1 0,29%
Cenário 2 1,52%
Cenário 3 1,77%
Cenário 4 0,40%
Cenário 5 1,30%
Cenário 6 0,15%
Cenário 7 0,58%
.
.
.
.
.
.
Cenário 149 0,14%
PETR4 VALE5 ITAU4 NETC4 TNLP4
Cenário 51 1,95% -0,04% -0,66% -2,82% 0,47% 2,0220458%
Cenário 55 0,07% 1,54% 3,27% 2,46% -0,52% 2,0997523%
Cenário 69 -1,91% -1,78% -0,01% -0,49% -0,29% 2,3962369%
Cenário 71 -1,72% 0,25% 1,93% 1,64% -0,86% 2,0843254%
Cenário 78 0,64% -1,51% -0,12% 1,91% 0,96% 2,0064513%
Cenário 100 -6,01% 5,57% 18,05% 13,92% 2,75% 0,0001151%
Cenário 108 6,88% -6,76% 4,66% -12,77% 2,41% 0,0003086%
Cenário 109 6,46% 7,55% -5,89% 16,88% 15,54% 0,0000335%
Cenário 117 4,63% 13,57% -1,76% 1,94% 8,13% 0,0028792%
Cenário 122 2,02% 3,88% 11,87% 10,59% -10,74% 0,0009267%
Cenário 144 -12,50% -16,03% -9,74% -7,98% 6,98% 0,0004900%
Cenário 145 -22,58% -16,09% -17,87% -23,40% -22,85% 0,0000130%
Cenário 146 -4,21% -1,88% 0,74% 14,01% 16,96% 0,0005102%
Cenário 147 -11,27% -4,75% -24,11% -13,28% -17,79% 0,0000791%
Cenário 148 14,26% 15,19% 33,14% 20,77% 12,80% 0,0000024%
PROBABILIDADE DOS
CENÁRIOS
RETORNOS
Perceba que cenários de perdas ou ganhos acentuados, ou com direções que não respeitam a
correlação entre os ativos, apresentam probabilidade de ocorrência mais baixa. Note que o
“Cenário 148” apresenta ganhos muito altos em relação ao vetor de médias dos retornos, e o
“Cenário 108” registra um ganho muito alto para PETR4 e ao mesmo tempo uma perda
acentuada para “VALE5”, quando esses dois ativos apresentam correlação positiva
considerável, por isso estes cenários têm probabilidade baixa de ocorrência.
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