ads:
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE
JANEIRO
Instituto de Matemática
Departamento de Métodos Matemáticos
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
Existência e Decaimento de Soluções para Sistemas Acoplados.
Aldo Trajano Lourêdo
Tese de Doutorado apresentada
ao Instituto de Matemática da
Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisi-
tos necessários à obtenção do tí-
tulo de Doutor em Matemática
Orientador: Manuel Antolino Milla Miranda
Rio de Janeiro
Dezembro de 2008
ads:
Existência e Decaimento de Soluções para Sistemas Acoplados
Aldo Trajano Lourêdo
Tese submetida ao Programa de Pós-gradução em Matemática da Universidade Federal
do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de
Doutor em Matemática.
Aprovada por:
Manuel Antolino Milla Miranda (Orientador). ————————————————-
D.Sc. - IM/UFRJ.
Wladimir Augusto das Neves. ————————————————-
D.Sc. - IM/UFRJ
Osmundo Alves de Lima. —————————————————
D.Sc. - DME/UEPB.
Haroldo Rodrigues Clark. —————————————————
D.Sc. - IM/UFF.
Ricardo Fuentes Apolaya. —————————————————
D.Sc. - IM/UFF.
Helvécio Rubens Crippa. —————————————————–
D.Sc. - IM/UFRJ.
Rio de Janeiro
Dezembro de 2008
ii
Ficha Catalográfica
Lourêdo, Aldo Trajano.
Existência e Decaimento de Soluções
para Sistemas Acoplados
Aldo Trajano Lourêdo.
Rio de Janeiro:
UFRJ/ IM,2008
v,127
Orientador: Manuel Antolino Milla Miranda
Tese - UFRJ/ IM/ Programa de Pós-graduação em
Matemática, 2008
Referências Bibliográficas: f. 124-127.
1. Introdução.
2. Notações e Resuldados Básicos.
3. Dissipação atuando na Fronteira para um Sistema
Acoplado de Klein-Gordon.
4. Dissipação atuando na Fronteira para um Sistema
Acoplado de Equações de Kirchhoff.
iii
Dedicatória
Aos meus pais, à minha esposa
Marinalva e minhas filhas
Adrielly e Viviane, com amor.
iv
Não faças do amanhã o sinônimo de nunca,
nem o ontem te seja o mesmo que nunca mais.
Teus passos ficaram.
Olhes para trás... mas vá em frente
pois há muitos que precisam
que chegues para poderem seguir-te.
Charles Chaplin
v
Agradecimentos
Ao Professor Manuel Milla Miranda, pelo estímulo constante e principalmente pela
sua valiosa orientação acadêmica, pela paciência e amizade que sempre me prestou, no
período que estive no IM-UFRJ.
Agradeço ao Professor Luis Adauto da Justa Medeiros pela participação na minha
formação e pelas muitas lições de vida profissional.
Ao Professor Osmundo Alves de Lima, pela grande participação na minha formação.
Aos professores da UFCG, Claudianor Alves e Daniel Cordeiro que fizeram parte da
minha formação acadêmica.
A Professora Walcy Santos Coordenadora do Programa de Pós-Graduação em Matemá-
tica.
Ao Professor Ademir Fernando Pazoto por contribuir na minha formação.
Aos professores e funcionários do Instituto de Matemática da UFRJ, pelo convívio
agradável durante a realização deste curso.
A minha esposa e filhas, assim como a minha mãe e irmãs pelo encentivo contante.
Ao meu pai ”in memorian” Antônio Batista Lourêdo e ao meu irmão ”in memorian ”
Aroldo Trajano Lourêdo.
As famílias Rocha Lourêdo e Alves Lourêdo pelo encentivo.
Aos amigos de curso: Alexandro Marinho, Rica rdo Ca rvalho, Paulo Pamplona, Clever-
son e Nilza pelo estímulo constante através da amizade.
Aos coleg as do DME-UEPB, principalmente Osmundo Alves de Lima, Victor Hugo,
Anilton Falção, Orlando Almeida e Otacílio Batista.
Ao DME-UEPB por sua compreensão na minha liberação total do regime de trabalho.
A CAPES pelo suporte financeiro.
Sobretudo agradeço a Deus pela minha existência.
vi
Resumo
Neste trabalho estuda-se a existência e decaimento exponencial de soluções de um
problema misto para os seguintes sistemas acoplados:
u
− u + αv
2
u = 0 em Ω × (0, ∞)
v
− v + αu
2
v = 0 em Ω × (0, ∞)
e
u
− M
1
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)u = 0 em Ω × (0, ∞)
v
− M
2
(t, v(t)
2
, u(t)
2
)v = 0 em Ω × (0, ∞),
onde Ω é um aberto do R
n
com fronteira Γ. Em ambos os problemas atua uma dissipação
não linear na fronteira.
vii
Abstract
This work is concerned with the study of the existence and exponential decay of so-
lutions of a mixed problem for the following two coupled systems:
u
− u + αv
2
u = 0 em Ω × (0, ∞)
v
− v + αu
2
v = 0 em Ω × (0, ∞)
and
u
− M
1
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)u = 0 em Ω × (0, ∞)
v
− M
2
(t, v(t)
2
, u(t)
2
)v = 0 em Ω × (0, ∞),
where Ω is a bounded open of R
n
with boundary Γ. In both problems is introduced a
nonlinear damping on Γ.
viii
Cont eúdo
1 Introdução 1
2 Notações e Resultados Básicos. 3
2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Resultados Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Dissipação atuando na Fronteira para um Sistema Acoplado de Klein-
Gordon. 9
3.1 Introduçã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Teoremas de Traços. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Lema da Aproximação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Existência de Solução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Comportamento Assintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Dissipação atuando na Fronteira para um Sistema Acoplado de Equações
de Kirchhoff. 54
4.1 Introduçã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Resultados Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Problema Associado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4 Existência de Solução Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5 Existência de Solução Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6 Decaimento de Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Bibliografia 124
ix
Capítulo 1
Int rodução
Nesta tese estudaremos os seguintes sistemas:
(∗)
u
− u + αv
2
u = 0 em Ω × (0, ∞)
v
− v + αu
2
v = 0 em Ω × (0, ∞)
u = 0 em Γ
0
× (0, ∞)
v = 0 em Γ
0
× (0, ∞)
∂u
∂ν
+ h
1
(., u
) = 0 sobre Γ
1
× (0, ∞)
∂v
∂ν
+ h
2
(., v
) = 0 sobre Γ
1
× (0, ∞)
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
em Ω
v(0) = v
0
v
(0) = v
1
em Ω.
e
(∗∗)
u
− M
1
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)u = 0 em Ω × (0, ∞)
v
− M
2
(t, v(t)
2
, u(t)
2
)v = 0 em Ω × (0, ∞)
u = 0 sobre Γ
0
× (0, ∞)
v = 0 sobre Γ
0
× (0, ∞)
∂u
∂ν
+ h
1
(., u
) = 0 sobre Γ
1
× (0, ∞)
∂v
∂ν
+ h
2
(., v
) = 0 sobre Γ
1
× (0, ∞)
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
em Ω
v(0) = v
0
, v
(0) = v
1
em Ω.
1
A existência de solução do sistema (∗) é obtida aplicando o método de G alerkin com
uma base especial, aproximações de Strauss para funções reais e resultados de traço
sobre Γ para funções reais gerais. O decaimento de soluções segue por uma pertubação
da energia (funcional de Lyapunov) e método dos multiplicadores.
A existência de solução do sistema (∗∗) é obtida utilizando arg umentos de ponto fixo
e resultados de traço de funções não regulares. O decaimento de soluções segue por uma
pertubação da energia (funcional de Lyapunov) e método dos multiplicadores.
2
Capítulo 2
Notações e Re sultados Básicos.
Neste capítulo serão fixadas as notações e terminologia utilizada no trabalho. As
demonstrações dos resultados se encontram disponíveis na literatura indicada.
2.1 Preliminares
Seja Ω um domínio limitado do R
n
com fronteira Γ = ∂Ω de classe C
2
a qual consiste
de duas partes Γ
0
e Γ
1
de medidas não nulas tais que Γ
0
∩ Γ
1
= ∅.
Representa-se por D(Ω) o espaço das funções testes em Ω e D
(Ω) o espaço das
distribuições sobre Ω.
Por W
m,p
(Ω), 1 ≤ p < ∞ representamos o espaço de Sobolev de ordem m, isto é,
o espaço das funções reais u ∈ L
p
(Ω) tais que D
α
u ∈ L
p
(Ω), ∀|α| ≤ m, onde α =
(α
1
, α
2
, . . . , α
n
), α
i
inteiro não negativo e |α| = α
1
+ . . . + α
m
.
Munido da norma
u
W
m,p
(Ω)
=
|α|≤m
Ω
|D
α
u(x)|
p
dx
1
p
(W
m,p
(Ω), u
W
m,p
(Ω)
) é um espaço de Banach.
Quando p = ∞ temos que W
m,∞
(Ω) representa o espaço de todas as funções reais
u ∈ L
∞
(Ω) tais que D
α
u ∈ L
∞
(Ω), ∀|α| ≤ m. Em W
m,∞
(Ω) definimos a norma por
u
W
m,∞
(Ω)
=
|α|≤m
sup ess
x∈Ω
|D
α
u(x)|,
que o torna um espaço de Banach.
3
Quando p = 2 o espaço W
m,2
(Ω) será denotado por H
m
(Ω) que munido do produto
interno
(u, v) =
|α|≤m
Ω
D
α
u(x)D
α
v(x)dx
e da norma induzida
u
H
m
(Ω)
=
|α|≤m
Ω
|D
α
u(x)|
2
dx
1
2
é um espaço de Hilbert.
Por W
m,p
0
(Ω) representamos o fecho de D(Ω) em W
m,p
(Ω), 1 ≤ p < ∞, e por H
m
0
(Ω)
representamos o fecho de D(Ω) em H
m
(Ω). O dual topológico de H
m
0
(Ω) é representado
por H
−m
(Ω).
Sejam X um espaço de Banach, X separável, e T > 0 um número real. Denota-se
por L
p
(0, T ; X), 1 ≤ p < ∞, o espaço vetorial das (classes de) funções u : (0, T ) −→ X
que são fracamente mensuráveis e tais que a função t → u (t)
p
X
é integrável à Lesbegue
em (0, T ) . Com a norma
u
L
p
(0,T ;X)
=
T
0
u (t)
p
X
dt
1/p
,
resulta que L
p
(0, T ; X) é um espaço de Banach.
Quando p = 2 e X = H é um espaço de Hilbert, o espaço L
2
(0, T ; H) é também um
espaço de Hilbert cujo produto interno é dado por
(u, v)
L
2
(0,T ;H)
=
T
0
(u (s) , v (s))
H
ds.
Por L
∞
(0, T ; X) representa-se o espaço de Banach das (classes de) funções
u : (0, T ) ⊂ R −→ X que são fracamente mensuráveis e tais que t → u (t)
X
∈
L
∞
(0, T ). A norma em L
∞
(0, T ; X) é definida por
u
L
∞
(0,T ;X)
= sup ess
t∈(0,T )
u (t)
X
.
Quando X é reflexivo e separável e 1 < p < ∞, então L
p
(0, T ; X) é um espaço reflexivo
e separável, cujo dual topológico se identifica ao espaço de Banach L
p
(0, T ; X
), onde p
e p
são índices conjugados, isto é,
1
p
+
1
p
= 1. Mais precisamente, mostra-se que para
cada u ∈ [L
p
(0, T ; X)]
, existe u ∈ L
p
(0, T ; X
) tal que
u, ϕ
(L
p
(0,T ;X))
×L
p
(0,T ;X)
=
T
0
u (t) , ϕ (t)
X
×X
dt.
4
O dual topológico do espaço L
1
(0, T ; X) se identifica ao espaço L
∞
(0, T ; X
).
O espaço das aplicações lineares e contínuas de D(0, T ) em X é denominado espaço
das distribuições vetoriais sobre (0, T ) com valores em X, o qual será denotado por
D
(0, T ; X).
Seja T ∈ D
(0, T ; X). A derivada de ordem n é definida como sendo a distribuição
vetorial sobre (0, T ) com valores em X dada por
d
n
T
dt
n
, ϕ
= (−1)
n
T,
d
n
ϕ
dt
n
, ∀ϕ ∈ D
(0, T ) .
Seja u ∈ L
p
(0, T ; X), 1 ≤ p < ∞. Definimos a transformação T
u
de D(0, T ) em X
dada por:
T
u
, ϕ =
T
0
u(t)ϕ(t)dt, ∀ϕ ∈ D(0, T ),
onde a integral é entendida no sentido de Bochner. A aplicação T
u
assim definida é linear
e contínua e portanto T
u
∈ D
(0, T ; X). Além disso, como T
u
é univocamente definida
por u, podemos identificar T
u
com u dizendo simplesmente a distribuição u ao invés de
T
u
. Portanto, u
designará a derivada de u no sentido de D
(0, T ; X), ou seja,
u
, ϕ = −u, ϕ
= −
T
0
u(t)ϕ
(t)dt, ∀ϕ ∈ D(0, T ).
Definimos por
W
k,p
(0, T ; X) = {u ∈ L
p
(0, T ; X); u
(j)
∈ L
p
(0, T ; X), 0 ≤ j ≤ k},
onde u
(j)
representa a j-ésima derivada de u no sentido das distribuições vetoriais. O
espaço W
k,p
(0, T ; X) é munido da norma
u
W
k,p
(0,T ;X)
=
k
j=0
u
(j)
p
L
p
(0,T ;X)
1
p
,
ou da norma equivalente
k
j=0
u
(j)
p
L
p
(0,T ;X)
.
Quando p = 2 e X é um espaço de Hilbert, X separável, o espaço W
k,2
(0, T ; X) é
denotado por H
k
(0, T ; X), que é um espaço de Hilbert munido do produto interno
(u, v)
H
k
(0,T ;X)
=
k
j=0
(u
(j)
, v
(j)
)
L
2
(0,T ;X)
5
e norma induzida
u
H
k
(0,T ;X)
=
k
j=0
u
(j)
2
L
2
(0,T ;X)
1
2
.
Quando k = 0, H
k
(0, T ; X) é o L
2
(0, T ; X).
Definimos
H
k
0
(0, T ; X) = {u ∈ H
k
(0, T ; X); u
(j)
(0) = u
(j)
(T ) = 0, 0 ≤ j ≤ k − 1}.
O dual topológico de H
k
0
(0, T ; X) é representado por H
−k
(0, T ; X). Conforme M.Milla
Miranda [37] temos ainda que
Se u ∈ L
2
(0, T ; X) então u
∈ H
−1
(0, T ; X) (2.1)
Se u ∈ L
2
(0, T ; H
m
(Ω)) com u
∈ L
2
(0, T ; H
m
(Ω)), então γu
= (γu)
. (2.2)
Por C
0
([0, T ] ; X), 0 < T < ∞ representa-se o espaço de Banach das funções con-
tínuas u : [0, T ] −→ X munido da norma da convergência uniforme
u
C
0
([0,T ];X)
= max
t∈[0,T ]
u (t)
X
.
Por C
0
w
([0, T ] ; X) denota-se o espaço das funções u : [0, T ] −→ X fracamente con-
tínuas, isto é, a aplicação t → v, u (t)
X
,X
é contínua em [0, T ] , ∀v ∈ X
.
Quando X = H é um espaço de Hilbert, a continuidade fraca de u é equivalente a
continuidade da aplicação t −→ (u (t) , v)
H
, ∀v ∈ H.
2.2 Resultados Auxiliares
Teorema 2.1 (Aubin-Lions) Sejam B
0
, B, B
1
espaços de Banach, B
0
e B
1
reflexivos,
a imersão de B
0
em B é compacta, B imerso continuamente em B
1
, 1 < p
0
, p
1
< ∞, e,
W o espaço
W = {u ∈ L
p
0
(0, T ; B
0
) ; u
∈ L
p
1
(0, T ; B
1
)}
equipado da norma u
W
= u
L
p
0
(0,T ;B
0
)
+ u
L
p
1
(0,T ;B
1
)
. Então W é um espaço de
Banach, e a imersão de W em L
p
0
(0, T ; B) é compacta.
Demonstração: Ver J.L.Lions [24].
Observação 2.1 (Uma consequência do Teorema de Aubin-Lions 2.1): Se (u
k
)
k∈N
é
uma sequência limitada em L
2
(0, T ; B
0
) e (u
k
)
k∈N
é uma sequência limitada em L
2
(0, T ; B
1
)
então (u
k
)
k∈N
é limitada em W . Daí, segue que existe uma subsequência (u
k
)
k∈N
de
(u
k
)
k∈N
ainda denotada por (u
k
) tal que u
k
→ u forte em L
2
(0, T ; B) .
6
Proposição 2.1 Sejam V e H espaços de Hilbert, com V continuamente imerso em H.
Se u ∈ L
p
(0, T ; V ) e u
∈ L
p
(0, T ; H), com 1 ≤ p < ∞, então
u ∈ C
0
([0, T ] ; H) .
Demonstração: Ver L.A.Medeiros [27] e J.L.Lions [24]
Teorema 2.2 Sejam X e Y espaços de Banach, com X reflexivo. Suponha que a imersão
de X em Y seja contínua e densa. Então,
L
∞
(0, T ; X) ∩ C
w
([0, T ]; Y ) = C
w
([0, T ]; X).
Demonstração: Ver L.A.Medeiros [27] e J.L.Lions [24]
Vamos usar as notações →, e
∗
para representar as convergências forte, fra ca
e fraca ∗ respectivamente. Também, usaremos a notação V → W para indicar que a
imersão do espaço V no espaço W é contínua.
Proposição 2.2 (Lema de Lions) Seja Q um aberto limitado do R
n
. Seja (g
k
) uma
sequência de funções tais que
(i) g
k
→ g quase sempre em Q;
(ii) g
k
L
q
(Q)
≤ C; ∀k; 1 < q < ∞
Então g
k
g em L
q
(Q).
Demonstração: Ver J.L.Lions [24].
Proposição 2.3 Sejam g : R → R uma função Lipzchitziana tal que g(0) = 0 e
p ∈ [1, ∞]. Se u ∈ W
1,p
(Ω), então g(u) ∈ W
1,p
(Ω) e ∇g(u) = g
(u)∇u q.s sobre Ω.
Demonstração: Ver H.Brezis e T. Ca zenave [5]
Teorema 2.3 (Strauss) Seja Ω um aberto limitado do R
n
de medida finita e X e Y
espaços de Banach. Seja (u
l
) uma sequência de funções fortemente mensuráveis de Ω em
X. Seja (F
l
) uma sequência de funções de Ω × X em Y tal que
(a) (F
l
) é uniformemente limitada em Y sobre Ω×B, para qualquer subconjunto limitado
B de X;
(b) F
l
(x, u
l
(x)) é fortemente mensurável e
Ω
u
l
(x)
X
F
l
(x, u
l
(x))
Y
dx ≤ C < ∞
7
(c) F
l
(x, u
l
(x)) − v(x)
Y
→ 0 q.t.p. x ∈ Ω.
Então, v ∈ L
1
(Ω) e
Ω
F
l
(x, u
l
(x)) − v(x)
Y
dx → 0.
Demonstração: Ver Strauss, A. W [44 ].
Seja Ω um aberto limitado do R
n
. Em todo o trabalho a fronteira Γ de Ω estará co n-
stituída de duas partes disjuntas e fechadas Γ
0
e Γ
1
com medidas de Lebesgue positivas.
O vetor ν(x) estará representando o vetor normal unitário em x ∈ Γ
1
. Também o produto
escalar e norma em L
2
(Ω) serão denotados por (u, v) e |u|, respectivamente, e V estará
representando o espaço de Hilbert
V = {v ∈ H
1
(Ω), v = 0 sobre Γ
0
}
com produto escalar
((u, v)) =
Ω
∇u(x)∇v(x)dx,
e norma u.
8
Capítulo 3
Dissipação atuando na Front eira para
um Sistema Acoplado de Klein-Gordon.
3.1 Introdução
Um modelo matemático para descrever a interação de dois campos eletromagnéticos
u e v com massas a e b, respectivamente, e com constante de interação α > 0 é dado pelo
seguinte sistema de Klein-Gordon:
(∗)
1
u
tt
(x, t) − u(x, t) + a
2
u(x, t) + αv
2
(x, t)u(x, t) = 0, x ∈ Ω, t > 0
v
tt
(x, t) − v(x, t) + b
2
v(x, t) + αu
2
(x, t)v(x, t) = 0, x ∈ Ω, t > 0,
onde Ω é um aberto limitado do R
3
com fronteira Γ. Este modelo foi proposto do I.Segal
[42].
Observe que não existe perda de generalidade em supor a = b = 0.
Seja Ω um aberto limitado do R
n
com fronteira Γ. A existência e unicidade de soluções
do problema misto com condiçõ es de Dirichlet nulas em Γ para (∗)
1
com termos de
acoplamento α|v|
σ+2
|u|
σ
u e α|u|
σ+2
|v|
σ
v foram estudadas por L.A.Medeiros e M.Milla
Miranda, nos casos α > 0 e α < 0, em [29] e [33], resp ectivamente. Aqui σ ≥ 0 está
relacionado com a dimensão n do R
n
e a imersão dos espaços de Sobolev.
Seja {u, v} uma solução de (∗)
1
anulando-se na fronteira Γ e
(1) E(t) = u
(t)
2
L
2
(Ω)
+v
(t)
2
L
2
(Ω)
+∇u(t)
2
(L
2
(Ω))
n
+∇v(t)
2
(L
2
(Ω))
n
+αu(t)v(t)
2
L
2
(Ω)
a energia associada a problema. Então
E(t) = E(0), ∀t ≥ 0.
9
Assim, para obter um decaimento da energia E(t), precisa-se introduzir uma dissipação
no problema, na fronteira, por exemplo. A seguir descreve-se este problema.
Seja Ω um aberto limitado do R
3
com fronteira Γ. Supõe-se que Γ está constituida
de duas partes disjuntas e fechadas Γ
0
e Γ
1
, ambas com medidas de Lebesgue positivas.
Denota-se por ν(x) ao vetor unitário normal exterior em x ∈ Γ
1
. Considera-se funções
reais h
i
(x, s), i = 1, 2 definida em x ∈ Γ
1
e s ∈ R. Nestas condições tem-se o seguinte
problema:
(∗)
u
− u + αv
2
u = 0 em Ω × (0, ∞)
v
− v + αu
2
v = 0 em Ω × (0, ∞)
u = 0 em Γ
0
× (0, ∞)
v = 0 em Γ
0
× (0, ∞)
∂u
∂ν
+ h
1
(., u
) = 0 sobre Γ
1
× (0, ∞)
∂v
∂ν
+ h
2
(., v
) = 0 sobre Γ
1
× (0, ∞)
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
em Ω
v(0) = v
0
v
(0) = v
1
em Ω.
No caso de uma equação (isto é, quando α = 0), Ω um aberto limitado do R
n
e
h(x, s) = δ(x)s, V.Komornik e E.Zuazua [18], usando a teoria de semigrupos, mostraram
a existência de soluções. Nas mesmas hipóteses, aplicando o método de Galerkin com
uma base especial, M.Milla Miranda e L.A. Medeiros [36], obtiveram resultado seme-
lhante. O segundo método, além de construtivo, tem a vantagem de mostrar o espaço de
Sobolev onde habita
∂u
∂ν
. Aplicando este segundo método porém para uma equação não
linear, F. Araruna e A.Maciel [3] obtiveram resultado análo go .
A existência de soluções para a equação da onda com dissipação não linear na fronteira
Γ
1
tem sido obtida, entre outros, usando a teoria de operadores máximos monótonos, por
E.Zuazua [48], I.Lasiecka e D. Tataru [2 1], V.Komornik [16], e aplicando o método de
Galerkin, por E. Vitillaro [46] e M.M.Cavalcanti, V.N.D. Cavalcanti, P.Martinez [8].
Em F.Alabau-Boussouira [4] e em todos os trabalhos mencionados anteriormente,
aplicando desigualdades apropriadas, obtém-se o decaimento exponencial da energia as-
sociada à equação da onda respectiva.
É bom ressaltar que os os resultados conhecidos sobre o decaimento exponencial da
energia associada à equação da onda linear com dissipação não linear h(u
) na fronteira
Γ
1
foram obtidas supondo que h(s) tem um comportamento linear no infinito, isto é,
10
(2) d
0
|s| ≤ |h(s)| ≤ d
1
|s|, ∀|s| ≥ R,
R suficientemente grande (d
0
e d
1
constantes positivas).
Com relação ao sistema (∗) podemos mencionar o trabalho de A.T.Cousin, C.L. Frota
e N.A.Larkin [9] onde as condições na fronteira são lineares. Mencionaremos também o
trabalho de V.Komornik and B.Rao [17 ] onde os termos de acoplamento são da forma
α(u − v) e α(v − u) e as condições de fronteira são semelhantes às de (∗). Supondo
α ∈ L
∞
(Ω), α ≥ 0;
h contínua, não decrescente, h(s) = 0 se e somente se s = 0,
|h(s)| ≤ 1 + c|s|, ∀s ∈ R (c constante positiva),
e usando a teoria de operadores máximos monótonos, eles mostraram a existência de
soluções. Com h satisfazendo (2) para todo s ∈ R e aplicando a técnica dos multipli-
cadores, eles obtiveram o decaimento expo nencial da energia associada ao problema.
Neste trabalho estamos interassado em obter a existência de soluções do Problema
(∗) com condições bem gerais para h
i
, i = 1, 2. Com efeito, supondo que
h
i
∈ C
0
(R; L
∞
(Γ
1
)), h
i
(x, 0) = 0, q.t.p x ∈ Γ
1
e h
i
é fortemente monótona, isto é,
[h
i
(x, s) − h
i
(x, r)](s −r) ≥ d
i
(s − r)
2
, ∀s, r ∈ R , i = 1, 2 (d
i
constante positiva).
obtém-se a existência de soluções globais para (∗). Para tal, precisa-se obter resultados
de traço sobre Γ
1
para funções bem gerais. Estes resultados junto com aproximações
especiais de Strauss [44] para h
i
e o método de Galerkin com uma base especial permitem
obter o resultado. Analisa-se também o decaimento exponencial da energia E(t) definido
em (1) quando h
i
(x, s) é da forma m(x).ν(x)g
i
(s), g
i
(s) ∈ C
0
(R) e satisfazendo (2) para
todo s ∈ R, i = 1, 2. Aqui m(x) = x −x
0
, x ∈ Ω, x
0
∈ R
n
fixo. Nesta parte usamos um
funcional de Lyapunov (ver V.Komornik e E. Zuazua [18]) e o método dos multiplicadores.
Considere a equação
u
− u + f(u) = 0, x ∈ Ω, t > 0
com
f ∈ W
1,∞
loc
(R), f(s)s ≥ 0, ∀s ∈ R,
(f(s) − f(r)) ≤ a
1
(1 + |s|
p−1
+ |r|
p−1
)(s − r), ∀s, r ∈ R, (a
1
> 0 constante),
11
onde
1 < p ≤
n
n − 2
para n ≥ 3, p > 1 para n = 1, 2;
e a dissipação não linear de (∗). Então nossos resultados podem ser aplicados para obter
a existência e decaimento exponencial de soluções deste problema. Este resultado é uma
versão com dissipação não linear do estudo feito por F.Araruna e A.Maciel [3].
3.2 Teoremas de Traços.
O objetivo desta seção é obter resultados de traço para funções g erais que dependem
de x e t.
Definimos o espaço de Hilbert V por
V = {v ∈ H
1
(Ω); v = 0 sobre Γ
0
}
equipado com o produto interno e norma dadas por
((u, v)) =
n
i=1
∂u
∂x
i
,
∂v
∂x
i
, u
2
=
n
i=1
∂u
∂x
i
2
.
Vamos considerar o operador − definido pela terna {V, L
2
(Ω), ((., .))} cujo domínio
é
D(−) =
u ∈ V ∩ H
2
(Ω);
∂u
∂ν
= 0 sobre Γ
1
.
Teoremas de Traços
Consideremos p ≥ n + 1. Então W
2,p
(Ω) → C
0
(Ω).
Temos que a aplicação
W
2,p
(Ω) → W
2−
1
p
,p
(Γ) × W
1−
1
p
,p
(Γ)
u → {γ
0
u, γ
1
u}
é liner e contínua.
Intro duzimos a s no tações:
W
1,p
Γ
0
(Ω) = {u ∈ W
1,p
(Ω); γ
0
u = 0 sobre Γ
0
}
u
W
1,p
(Ω)
=
n
i=1
Ω
∂u
∂x
i
p
dx
1
p
,
12
e
X = W
2,p
(Ω) ∩ W
1,p
Γ
0
(Ω), Z = W
2−
1
p
,p
(Γ
1
).
Notemos que para p = 2 temos V = H
1
Γ
0
(Ω).
Identificando, por meio do isomorfismo de Riesz, o espaço L
2
(Ω) com o seu dual,
resulta
X → L
2
(Ω) → X
. (3.1)
Também identificando L
2
(Γ
1
) com seu dual, obtém-se
Z → H
1
2
(Γ
1
) → L
2
(Γ
1
) → H
−
1
2
(Γ
1
) → Z
. (3.2)
Do Teorema do Traço segue que a aplicação
X → Z
u → γ
0
u
(3.3)
é contínua.
Seja E o espaço
E = {u ∈ V ; ∆u ∈ L
2
(Ω)},
equipado com a norma
u
E
= u + u
X
. (3.4)
Por meio de (3.1) esta norma está bem definida.
Sabe-se que, se u ∈ E então
∂u
∂ν
∈ H
−
1
2
(Γ
1
).
Considere E como um subespaço de V × X
. Denote por E o fecho de E em V × X
.
Seja u ∈ E. Então existe uma sequência (u
η
) de vetores de E tal que
u
η
→ u em V
u
η
→ g em X
.
(3.5)
Note que este g é único, pois se existir outro g
1
teria-se {u, g} e {u, g
1
} pertenceriam
ao fecho de E em V × X
, e portanto g = g
1
.
Assim,
u
E
= u + g
X
Pela fórmula de Green temos
(−u
η
, ϕ) =
n
i=1
Ω
∂u
η
∂x
i
∂ϕ
∂x
i
dx −
∂u
η
∂ν
, ϕ
, ∀ϕ ∈ X,
13
onde , denota a dualidade entre H
−
1
2
(Γ
1
) × H
1
2
(Γ
1
).
Por (3.2) e (3.4) encontramos
−u
η
, ϕ
X
×X
=
n
i=1
Ω
∂u
η
∂x
i
∂ϕ
∂x
i
dx −
∂u
η
∂ν
, ϕ
Z
×Z
, ∀ϕ ∈ X. (3.6)
Pelo Teorema do Traço , seg ue-se que a aplicação
W
2−
1
p
,p
(Γ) × W
1−
1
p
,p
(Γ) → W
2,p
(Ω)
{ξ, σ} → u
é contínua.
Seja ξ ∈ Z. Considere
ξ =
0 sobre Γ
0
ξ sobre Γ
1
.
Então
ξ ∈ W
2−
1
p
,p
(Γ). Seja ϕ ∈ X o correspondente vetor a {
ξ, 0}, dado pelo Teorema
do Traço acima. Por (3.6) obtemos
∂u
η
∂ν
, ξ
Z
×Z
= u
η
, ϕ
X
×X
+
n
i=1
Ω
∂u
η
∂x
i
∂ ϕ
∂x
i
dx, ∀ξ ∈ Z.
Portanto,
∂u
η
∂ν
, ξ
Z
×Z
≤ u
η
X
ϕ
X
+ u
η
ϕ ≤
≤ Cu
η
X
ξ
Z
+ u
η
ξ
Z
.
(3.7)
Pela convergência (3.5) deduzimos que
∂u
η
∂ν
, ξ
Z
×Z
≤ Cξ
Z
, ∀ξ ∈ Z.
Assim,
∂u
η
∂ν
Z
≤ C, ∀η.
Portanto, existe uma subsequência de
∂u
η
∂ν
, ainda denotada por
∂u
η
∂ν
, e h ∈ Z
tal que
∂u
η
∂ν
h em Z
. (3.8)
Tomando o limite em (3.6) e usando as convergência is (3.5) e (3.8) encontramos
−g, ϕ
X
×X
=
n
i=1
Ω
∂u
∂x
i
∂ϕ
∂x
i
dx − h, ϕ
Z
×Z
, ∀ϕ ∈ X. (3.9)
14
Os vetores g ∈ X
e h ∈ Z
verificando (3.9) são únicos. Assim, provamos que para
cada u ∈ E existem únicos g ∈ X
e h ∈ Z
satisfazendo (3.9). Usaremos a notação
g = u e h =
∂u
∂ν
.
Assim, provamos que para cada u ∈ E existe h ∈ Z
tal que (3.9) é verificado.
Tomando o limite em (3.7) e usando as convergência s (3.5) e (3.8) encontramos
∂u
∂ν
, ξ
Z
×Z
≤ Cu
X
ξ
Z
+ uξ
Z
, ∀ξ ∈ Z,
isto é,
∂u
∂ν
Z
≤ Cu
E
.
Logo, com as considerações acima estabelecemos o seguinte teorema de traço:
Teorema 3.1 Existe uma aplicação linear e contínua
γ
1
: E → Z
tal que
γ
1
u =
∂u
∂ν
, ∀u ∈ E.
Além disso,
−u, ϕ
X
×X
= ((u, ϕ)) − γ
1
u, ϕ
Z
×Z
, ∀u ∈ E e ∀ϕ ∈ X.
Com a finalidade de obter resultados de traço para funções que dependem de x e t,
intro duzimos a lguns resultados prévios.
Lema 3.2.1 Tem-se que as imersões
X = W
2,p
(Ω) ∩ W
1,p
Γ
0
(Ω) → V ∩ H
2
(Ω) → V → L
2
(Ω),
são densas.
Demonstração: Seja u ∈ V ∩ H
2
(Ω). Dado ε > 0 então existem
f
1
∈ L
p
(Ω) tal que |f − f
1
| < ε
e
g
1
∈ W
1−
1
p
,p
(Γ
1
) tal que g − g
1
H
1
2
(Γ
1
)
< ε.
Consideremos o seguinte problema:
15
(P )
−∆u
1
= f
1
sobre Ω
u
1
= 0 sobre Γ
0
∂u
1
∂ν
= g
1
sobre Γ
1
Então a solução do problema (P ), u
1
∈ W
2,p
(Ω)∩W
1,p
Γ
0
(Ω). Então (cf em M.Milla Miranda
e L.A. Medeiros [36]) tem-se
u − u
1
2
V ∩H
2
(Ω)
= |f − f
1
|
2
+ g − g
1
2
H
1
2
(Γ
1
)
< 2ε
2
,
o que prova que X é denso em V ∩ H
2
(Ω).
Para mostrar que V ∩H
2
(Ω) é denso em V, basta notar que D(−) ⊂ V ∩H
2
(Ω) e que
D(−) é denso em V. Como V é denso em L
2
(Ω), segue-se o lema.
Fixamos um número real arbitrário T > 0. Introduzimos os seguintes espaços :
X = W
2,p
0
(0, T ; X), X
= W
−2,p
(0, T ; X
)
Y = L
2
(0, T ; V )
Z = W
2,p
0
(0, T ; Z), Z
= W
−2,p
(0, T ; Z
).
Pelo Lema 3.2.1 e por (3.3) obtém-se que as aplicações
X → Y e X → Z
(3.10)
são contínuas. Também do Lema 3.2.1 e identificando L
2
(0, T ; L
2
(Ω)) com seu dual
resulta
X → L
2
(0, T ; L
2
(Ω)) → X
(3.11)
Considere o espaço
E = {u ∈ Y; u ∈ L
2
(0, T ; L
2
(Ω))},
equipado com a norma
u
E
= u
Y
+ u
X
.
Por (3.11) esta norma está bem definida. Considere
E como um subespaço de Y × X
.
Denote por
E o fecho de
E em Y × X
.
Seja u ∈
E. Então, existe uma sequência de vetores (u
η
) de
E tal que
u
η
→ u em Y
u
η
→ g em X
.
16
Pelos mesmos argumentos do Teorema 3.1 tem-se que g é único e
u
E
= u
Y
+ g
X
. (3.12)
Com estas considerações obtemos o seguinte teorema:
Teorema 3.2 Existe uma aplicação linear e contínua
γ
1
:
E → Z
tal que
γ
1
u =
∂u
∂ν
, ∀u ∈
E.
Além disso,
−u, w
X
×X
= (u, w)
Y
− γ
1
u, w
Z
×Z
, ∀u ∈
E e ∀w ∈ X.
Demonstração: Note que o co njunto
{θ(t)v; θ ∈ D(0, T ), v ∈ X} é total em
E.
Com efeito, identificando, por meio do Te orema de Riesz, L
2
(Ω) com seu dual (L
2
(Ω))
,
resulta
X → V → L
2
(Ω) → V
→ X
(3.13)
e, identificando L
2
(0, T ; L
2
(Ω)) com seu dual (L
2
(0, T ; L
2
(Ω)))
,
X → Y → L
2
(0, T ; L
2
(Ω)) → Y
→ X
(3.14)
Em cada cadeia de imersões um espaço é denso no seguinte.
Note que se R ∈
E
então R = S + U onde
S ∈ Y
= (L
2
(0, T ; V ))
= L
2
(0, T ; V
)
e
U ∈ (W
−2,p
(0, T ; X
))
= W
2,p
0
(0, T ; X) = X.
Seja R ∈
E
tal que
R, θv
E
×E
= 0, ∀θ ∈ D(0, T ) e v ∈ X.
Então,
R, θv
E
×E
= S, θv
Y
×Y
+ U, θv
X
×X
= 0, ∀θ ∈ D(0, T ) e v ∈ X.
17
Tem-se:
S, θv
Y
×Y
=
T
0
((S(t), θ(t)v))dt
e pela cadeia (3.14),
U, θv
X
×X
= U, θv
Y
×Y
=
T
0
((U(t), θ(t)v))dt
Logo
R, θv
E
×E
=
T
0
((S(t), θ(t)v))dt +
T
0
((U(t), θ(t)v))dt =
=
T
0
((S(t) + U(t), v))θ(t)dt = 0, ∀θ ∈ D(0, T ) e v ∈ X
A última integral implica
((S(t) + U(t), v)) = 0, ∀v ∈ X, q.t. t ∈ (0, T ).
Fixando t ∈ (0, T ), seg ue-se por densidade ( ver cadeia (3.13))
((S(t) + U(t), v)) = 0, ∀v ∈ V,
o que implica
S(t) + U(t) = 0, q.t.t ∈ (0, T ).
Assim, R = S + U = 0, o que mostra nossa afirmação.
Observe também que D(0, T ; X) é denso em W
2,p
0
(0, T ; X) = X. Pelo Teo rema 3.1,
para θ ∈ D(0, T ), v ∈ X e ψ ∈ D(0, T ; X) resulta
T
0
−(θ(t)v), ψ(t)
X
×X
dt =
T
0
((θ(t)v, ψ(t)))dt −
T
0
γ
1
(θ(t)v), ψ(t)
Z
×Z
dt,
isto é,
−(θv), ψ
X
×X
= (θv, ψ)
Y
− γ
1
(θv), ψ
Z
×Z
.
Por densidade, usando as aplicações contínuas (3.10) e argumentos análogos aos do
Teorema 3.1, obtém-se que existe um único
h ∈ Z
tal que
−g, w
X
×X
= (u, w)
Y
−
h, w
Z
×Z
, ∀ w ∈ X.
Aqui g é dado por (3.12). Usando as notações
g = u e
∂u
∂ν
=
h,
concluímos o teorema.
18
Observação 3.1 Note que:
(i) L
1
(0, T ; L
1
(Ω)) → W
−2,p
(0, T ; X
) = X
;
(ii) L
1
(0, T ; L
1
(Γ
1
)) → W
−2,p
(0, T ; Z
) = Z
.
Agora, pelo fato de W
2,p
0
(0, T ; X) → W
2,p
0
(0, T ; L
2
(Ω)) e W
2,p
0
(0, T ; X) ser denso em
W
2,p
0
(0, T ; L
2
(Ω)) obtemos:
(iii) W
−2,p
(0, T ; L
2
(Ω)) → W
−2,p
(0, T ; X
).
Mostraremos o item (i).
De fato, como 2p ≥ 2(n + 1), obtemos
W
2,p
(0, T ; W
2,p
(Ω)) = W
2,p
(Ω × [0, T ]) → C
0
(Ω × [0, T ]).
Portanto,
W
2,p
0
(0, T ; X) → C
0
(Ω × [0, T ]).
Sejam v ∈ L
1
(0, T ; L
1
(Ω)) e ϕ ∈ W
2,p
0
(0, T ; X). Então,
v, ϕ =
T
0
Ω
v(x, t)ϕ(x, t)dxdt.
Assim,
|v, ϕ| ≤ Cv
L
1
(0,T ;L
1
(Ω))
ϕ
C
0
(Ω×[0,T ])
≤ Cv
L
1
(0,T ;L
1
(Ω))
ϕ
W
2,p
0
(0,T ;X)
,
o que implica v ∈ W
−2,p
(0, T ; X
) e
v
W
−2,p
(0,T ;X
)
≤ cv
L
1
(0,T ;L
1
(Ω))
.
Analogamente obtemos L
1
(0, T ; L
1
(Γ
1
)) → W
−2,p
(0, T ; Z
).
Ainda do fato de
2 −
1
p
p = 2p − 1 > n resulta que
Z = W
2,p
0
(0, T ; W
2−
1
p
,p
(Γ
1
)) → W
2−
1
p
,p
0
(0, T ; W
2−
1
p
,p
(Γ
1
)) → C
0
(Γ
1
× [0, T ]). (3.15)
Utilizando (3.15) e seguindo o mesmo raciocínio adotado logo acima, obtemos:
v
W
−2,p
(0,T ;Z
)
≤ Cv
L
1
(0,T ;L
1
(Γ
1
))
.
3.3 Lema da Aproximação.
Aproximações para a função h.
19
Seja h ∈ C
0
(R; L
∞
(Γ
1
)) tal que:
(i) h(x, s) é não decrescente em s para quase todo x em Γ
1
;
(ii) h(x, 0) = 0 para quase todo x em Γ
1
;
(iii) [h(x, s) − h(x, r)](s − r) ≥ d
0
(s − r)
2
, ∀ s, r ∈ R e para quase todo x ∈ Γ
1
,
onde d
0
> 0 é uma constante.
Considere h ∈ C
0
(R; L
∞
(Γ
1
)). Por conveniência na escrita, usaremos a notação
h(x, r), (x ∈ Γ
1
, r ∈ R) ao invés de h(r, x).
Exemplos : (1.) A função h(x, s) = β(x)h
1
(s) onde
h
1
(s) = C
1
s + C
2
|s|
σ
, σ > −1, C
1
> 0 e C
2
≥ 0,
e β ∈ L
∞
(Γ
1
) tem as propriedades (i)-(iii) acima.
(2.) A função h(x, s) = β(x)h
1
(s), onde h
1
(s) = sens + 2s e β ∈ L
∞
(Γ
1
) com β(x) ≥
β
0
> 0 tem as propriedades (i)-(iii) acima.
Nesta seção adaptamos a aproximação de Strass [44] para obter aproximações para
função h satisfazendo as propriedades (i)-(iii) acima.
Para nossos propósitos necessitaremos do seguinte lema.
Lema 3.3.1 Seja h ∈ C
0
(R; L
∞
(Γ
1
)) verificando as condições (i)-(ii) e h(x, s) satisfaz
a condição
[h(x, s) − h(x, r)](s − r) ≥ d
0
(s − r)
2
,
para todo s, r ∈ R e para quase todo x ∈ Γ
1
, onde d
0
> 0 é uma constante. Então, existe
uma sequência (h
l
) de vetores de C
0
(R; L
∞
(Γ
1
)) tal que para cada l verifica-se :
(i) h
l
(x, s) é globalmente lipschitiziana em s para quase todo x ∈ Γ
1
.
(ii) h
l
(x, s) é não decrescente em s, para q.t.p x em Γ
1
;
(iii) h
l
(x, 0) = 0 para q.t.p x em Γ
1
;
(iv) h
l
(x, s) ≥ d
0
q.t.p. x ∈ Γ
1
e q.t.p. s ∈ R;
(v) [h
l
(x, s) − h
l
(x, r)](s −r) ≥ d
0
(s − r)
2
, ∀s, r ∈ R, para q.t.p x em Γ
1
.
(vi) Existe uma função C
l
em L
∞
(Γ
1
) satisfazendo
|h
l
(x, s) − h
l
(x, r)| ≤ C
l
|s − r|, ∀s, r ∈ R, para q.t.p x ∈ Γ
1
.
20
Além disso, (h
l
) converge para h uniformemente sobre conjuntos limitados da reta,
para quase todo x ∈ Γ
1
.
Demonstração: Para cada l ∈ N definimos:
h
l
(x, s) =
C
1l
(x)s, se 0 ≤ s ≤
1
l
l
s+
1
l
s
h(x, τ )dτ, se
1
l
≤ s ≤ l
C
2l
(x)s, se s > l
C
3l
(x)s, se −
1
l
≤ s ≤ 0
−l
s
s−
1
l
h(x, τ )dτ, se − l ≤ s ≤ −
1
l
C
4l
(x)s, se s < −l,
onde
C
1l
(x) = l
2
2
l
1
l
h(x, τ )dτ
C
2l
=
l+
1
l
l
h(x, τ )dτ
C
3l
(x) = −l
2
−
1
l
−
2
l
h(x, τ )dτ
C
4l
(x) = −
−l
−l−
1
l
h(x, τ )dτ.
A sequência (h
l
) tem as propriedades desejadas. Provaremos os itens (v) e (vi). Os
outros itens são obtidos diretamente. Mostraremos (v). Isto é feito em vários casos:
Note que
[h(x, s) − h(x, r)](s − r) ≥ d
0
(s − r)
2
, ∀s, r ∈ R, q.t.p x ∈ Γ
1
,
é equivalente a
[h(x, s) − h(x, r)] ≥ d
0
(s − r), ∀s ≥ r, q.t.p x ∈ Γ
1
.
Analizaremos h
l
(x, s) com s ∈ I
j
, sendo I
1
= (−∞, −l], I
2
= [−l, −
1
l
], I
3
= [−
1
l
, 0], I
4
=
[0,
1
l
], I
5
= [
1
l
, l] e I
6
= [l, ∞).
Note inicialmente que se τ < 0, então −h(x, τ) ≥ −d
0
τ.
21
1
0
Caso: s
1
< s
2
≤ −l
h
l
(x, s
2
) − h
l
(x, s
1
) = C
l4
(x)(s
2
− s
1
) =
−
−l
−l−
1
l
h(x, τ )dτ
(s
2
− s
1
) =
l
−l−
1
l
−h(x, τ )dτ
(s
2
− s
1
) ≥
−d
0
τ
2
2
−l
−l−
1
l
(s
2
− s
1
) =
−
d
0
2
(−l)
2
−
−l −
1
l
2
= −
d
0
2
(−2 −
1
l
2
)(s
2
− s
1
) ≥ d
0
(s
2
− s
1
).
Portanto,
[h
l
(x, s
2
) − h
l
(x, s
1
)] ≥ d
0
(s
2
− s
1
). (3.16)
2
0
Caso: −l ≤ s
1
< s
2
≤ −
1
l
h
l
(x, s
2
) − h
l
(x, s
1
) =
∂h
l
∂s
(x, s
∗
)(s
2
− s
1
) = l
h(x, s
∗
) − h(x, s
∗
−
1
l
)
(s
2
− s
1
) ≥
ld
0
[s
∗
− (s
∗
−
1
l
)](s
2
− s
1
)) = d
0
(s
2
− s
1
)
Logo,
[h
l
(x, s
2
) − h
l
(x, s
1
)] ≥ d
0
(s
2
− s
1
). (3.17)
3
0
Caso: −
1
l
≤ s
1
< s
2
≤ 0
h
l
(x, s
2
) − h
l
(x, s
1
) =
−l
2
−
1
l
−
2
l
h(x, τ )dτ
(s
2
− s
1
) ≥ −
l
2
d
0
τ
2
2
−
1
l
−
2
l
(s
2
− s
1
) =
−l
2
d
0
2
−
3
l
2
(s
2
− s
1
) =
3
2
d
0
(s
2
− s
1
)
Consequentemente,
[h
l
(x, s
2
) − h
l
(x, s
1
)] ≥ d
0
(s
2
− s
1
). (3.18)
4
0
Caso: 0 ≤ s
1
< s
2
≤
1
l
h
l
(x, s
2
) − h
l
(x, s
1
) =
l
2
2
l
1
l
h(x, τ )dτ
(s
2
− s
1
) ≥
l
2
d
0
2
τ
2
2
l
1
l
(s
2
− s
1
) =
3
2
d
0
(s
2
− s
1
)
Sendo assim,
[h
l
(x, s
2
) − h
l
(x, s
1
)] ≥ d
0
(s
2
− s
1
). (3.19)
22
5
0
Caso:
1
l
≤ s
1
< s
2
≤ l
h
l
(x, s
2
) − h
l
(x, s
1
) =
∂h
l
∂s
(x, s
∗
)(s
2
− s
1
) = l
h(x, s
∗
+
1
l
) − h(x, s
∗
)
(s
2
− s
1
) ≥
ld
0
s
∗
+
1
l
− s
∗
(s
2
− s
1
) = d
0
(s
2
− s
1
)
Portanto,
[h
l
(x, s
2
) − h
l
(x, s
1
)] ≥ d
0
(s
2
− s
1
). (3.20)
6
0
Caso: l ≤ s
1
< s
2
h
l
(x, s
2
) − h
l
(x, s
1
) =
l+
1
l
l
h(x, τ )dτ(s
2
− s
1
)) ≥
d
0
τ
2
2
l+
1
l
l
(s
2
− s
1
) = d
0
(2 +
1
l
2
)(s
2
− s
1
) ≥ 2d
0
(s
2
− s
1
)
Logo,
[h
l
(x, s
2
) − h
l
(x, s
1
)] ≥ d
0
(s
2
− s
1
). (3.21)
Vamos agora supor que r ∈ I
i
e s ∈ I
j
com i < j. Então, usando (3.16)-(3.21)
obtemos:
h
l
(x, s) − h
l
(x, r) = [h
l
(x, s) − h
l
(x, a
j−1
)] + [h
l
(x, a
j−1
) − k
l
(x, a
j−2
)]+
+ . . . + [h
l
(x, a
i
) − h
l
(x, r)] ≥ d
0
(s − a
j−1
) + d
0
(a
j−1
− a
j−2
) + . . . + d
0
(a
i
− r) =
= d
0
(s − r)
Portanto,
[h
l
(x, s) − h
l
(x, r)] ≥ d
0
(s − r), ∀s ≥ r, para q.t.p x ∈ Γ
1
, (3.22)
ou equivalentemente,
[h
l
(x, s) − h
l
(x, r)](s −r) ≥ d
0
(s − r)
2
, ∀s, r ∈ R, para q.t.p x ∈ Γ
1
.
Mostraremos agora o item (vi).
Note inicialmente que as funções h
l
são contínuas nos intervalos I
j
, onde I
1
= (−∞, −l], I
2
=
[−l, −
1
l
], I
3
= [−
1
l
, 0], I
4
= [0,
1
l
], I
5
= [
1
l
, l] e I
6
= [l, ∞).
Agora vamos provar que para cada l, que (h
l
) é uma função lipschitziana em I
j
para
quase todo x ∈ Γ
1
. Isto será feito em seis casos:
Temos h ∈ L
∞
([−l −1, l + 1]; L
∞
(Γ
1
)) = L
∞
(Γ
1
× [−l −1, l + 1]).
23
Denotamos por
C
l
= sup
x∈Γ
1
−l−1≤s≤l+1
|h(x, s)| < ∞.
1
0
Caso : Se r < s com s, r ∈ I
1
= (−∞, −l], temos:
|h
l
(x, s) − h
l
(x, r)| =
C
l4
(x)
|s − r| ≤
≤
−l
−l−
1
l
|h(x, τ )|dτ|s −r| ≤ C
l
−l −
−l −
1
l
|s − r| =
1
l
C
l
|s − r|.
Portanto,
|h
l
(x, s) − h
l
(x, r)| ≤
1
l
C
l
|s − r| ≤ 2lC
l
|s − r|.
2
0
Caso : Se r < s com s, r ∈ I
2
= [−l, −
1
l
], temos:
|h
l
(x, s) − h
l
(x, r)| =
∂h
l
∂s
(x, s
∗
)
|s − r| = l
h(x, s
∗
) − h(x, s
∗
−
1
l
)
|s − r| ≤
≤ 2lC
l
|s − r|.
Logo,
|h
l
(x, s) − h
l
(x, r)| ≤ 2lC
l
|s − r|.
3
0
Caso : Se r < s com s, r ∈ I
3
= [−
1
l
, 0], temos:
|h
l
(x, s) − h
l
(x, r)| =
C
3l
(x)
(s − r) ≤
≤ l
2
−
1
l
−
2
l
|h(x, τ )|dτ|s −r| ≤ l
2
C
l
−
1
l
−
−
2
l
|s − r| = 2lC
l
|s − r|.
Consequentemente,
|h
l
(x, s) − h
l
(x, r)| ≤ 2lC
l
|s − r|.
4
0
Caso : Se r < s com s, r ∈ I
4
= [0,
1
l
], temos:
|h
l
(x, s) − h
l
(x, r)| =
C
1l
(x)
s − r| ≤
≤ l
2
2
l
1
l
|h(x, τ )|dτ|s −r| ≤ l
2
1
l
C
l
|s − r| = lC
l
|s − r|.
Sendo assim,
|h
l
(x, s) − h
l
(x, r)| ≤ 2lC
l
|s − r|.
5
0
Caso : Se r < s com s, r ∈ I
5
= [
1
l
, l], temos
|h
l
(x, s) − h
l
(x, r)| =
∂h
l
∂s
(x, s
∗
)
|s − r| = l
h(x, s
∗
+
1
l
) − h(x, s
∗
)
|s − r| ≤
≤ 2lC
l
|s − r|.
24
Portanto,
|h
l
(x, s) − h
l
(x, r)| ≤ 2lC
l
|s − r|.
6
0
Caso : Se r < s com s, r ∈ I
6
= [l, ∞), temos:
|h
l
(x, s) − h
l
(x, r)| =
C
2l
(x)
|s − r| ≤
l+
1
l
l
|h(x, τ )|dτ|s −r| ≤ C
l
l +
1
l
− l
|s − r| =
1
l
C
l
|s − r|.
Logo,
|h
l
(x, s) − h
l
(x, r)| ≤ 2lC
l
|s − r|.
Considere r ∈ I
i
, s ∈ I
j
com i < j. Então, segue- se dos casos 1
0
a 6
0
acima que:
|h
l
(x, s) − h
l
(x, r)| ≤ |h
l
(x, s) − h
l
(a
j−1
)| + |h
l
(x, a
j−1
) − h
l
(x, a
j−2
)|+
+ . . . + |h
l
(x, r) −h
l
(a
i−1
)| ≤
≤ 2lC
l
|s − a
j−1
| + 2lC
l
|a
j−1
− a
j−2
| + . . . + 2lC
l
|r −a
i−1
| ≤ 2lC
l
|s − r|.
Portanto,
|h
l
(x, s) − h
l
(x, r)| ≤ 2lC
l
|r −s|,
o que mostra o item (vi) do lema.
Mostraremos que h
l
→ h converge uniformemente sobre conjuntos limitados da reta,
para quase todo x ∈ Γ
1
.
Seja S um conjunto limitado da reta. Então, existe l
0
tal que |s| ≤ l
0
para todo s ∈ S.
Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que, se |s − r| < δ, e s, r ∈ [−l
0
− 1, l
0
+ 1], então
h(., s) − h(., r)
L
∞
(Γ
1
)
< ε,
isto é,
sup
x∈Γ
1
|h(x, s) − h(x, r)| < ε. (3.23)
Considere
l
1
2
>
1
δ
. Seja l ≥ max{l
0
, l
1
}. Calcula-se
|h
l
(x, s) − h(x, s)|, |s| ≤ l
0
.
(i) Seja
1
l
≤ s ≤ l
0
. Então,
1
l
≤ s ≤ l. Tem-se pelo Teorema do Valor Médio para Integral
que
h
l
(x, s) − h(x, s) = l
s+
1
l
s
h(x, τ )dτ − h(x, s) =
= lh(x, τ
∗
)
1
l
− h(x, s) = h(x, τ
∗
) − h(x, s),
25
onde s ≤ τ
∗
≤ s +
1
l
< s + l. Decorre de (3.23) que
sup
x∈Γ
1
|h
l
(x, s) − h(x, r)| < ε.
(ii) Seja 0 ≤ s <
1
l
. Tem-se
h
l
(x, s) − h(x, s) =
l
2
2
l
1
l
h(x, τ )dτ
s − h(x, s) = lh(x, τ
∗
)s − h(x, s),
onde
1
l
≤ τ
∗
≤
2
l
, o que implica
|h
l
(x, s) − h(x, s)| ≤ |h
l
(x, s)| + |h(x, s)| ≤ |h(x, τ
∗
)| + |h(x, s)|.
Sendo 0 ≤ τ
∗
≤
2
l
<
2
l
1
< δ e 0 ≤ s ≤
1
l
<
2
l
1
< δ resulta de (3.23) que
sup
x∈Γ
1
|h(x, τ
∗
)| < ε e sup
x∈Γ
1
|h(x, s)| < ε.
Como, 0 ≤ s ≤ l
0
concluímos que
sup
x∈Γ
1
|h
l
(x, s) − h(x, s)| < 2ε, ∀l ≥ max{l
0
, l
1
}.
Para −l
0
≤ s ≤ 0, e utilizando os mesmos argumentos, obtém-se resultado seme-
lhante.
Portanto, h
l
→ h uniformemente sobre conjuntos limitados de R, para quase todo
x ∈ Γ
1
.
3.4 Existência de Solução.
Vamos assumir as seguintes hipóteses:
(H1) Ω é um aberto limitado do R
3
com fronteira Γ de classe C
2
.
(H2) Sejam h
i
∈ C
0
(R; L
∞
(Γ
1
)), i = 1, 2 com h
i
(x, s) não decrescente em s para q.t.p
x em Γ
1
, h
i
(x, 0) = 0 para q.t.p. x em Γ
1
e h
i
fortemente monótona em s, para q.t.p
x em Γ
1
, isto é,
[h
i
(x, s) − h
i
(x, r)](s −r) ≥ d
i
(s − r)
2
, ∀ s, r ∈ R, para q.t.p x ∈ Γ
1
(d
i
> 0).
(H3) {u
0
, v
0
} ∈ (D(−∆))
2
, {u
1
, v
1
} ∈ (H
1
0
(Ω))
2
.
Com estas hipóteses garantimos o seguinte teorema:
26
Teorema 3.3 Assuma as hipóteses (H1)-(H3). Então, existe um par de funções {u, v}
na classe
{u, v} em (L
∞
loc
(0, ∞; V ))
2
(3.24)
{u
, v
} em (L
∞
loc
(0, ∞; V ))
2
(3.25)
{u
, v
} em (L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)))
2
(3.26)
satisfazendo as equações
u
− ∆u + αuv
2
= 0 em L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)) (3.27)
v
− ∆v + αvu
2
= 0 em L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)) (3.28)
e satisfazendo
∂u
∂ν
+ h
1
(., u
) = 0 em L
1
loc
(0, ∞; L
1
(Γ
1
)) (3.29)
∂v
∂ν
+ h
2
(., v
) = 0 em L
1
loc
(0, ∞; L
1
(Γ
1
)) (3.30)
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
em Ω (3.31)
v(0) = v
0
, v
(0) = v
1
em Ω. (3.32)
Demonstração: Para a prova, empregaremos o método de Galerkin com uma base es-
pecial em V ∩ H
2
(Ω). Considere a aproximação de Strauss (h
1l
) e (h
2l
) de (h
1
) e (h
2
),
respectivamente. Então, pelo Lema 3.3.1, temos:
(i) (h
1l
), (h
2l
) são funções globalmente lipschitianas;
(ii) [h
il
(x, s) − h
il
(x, r)](s −r) ≥ d
i
(s − r)
2
, ∀s, r ∈ R e para q.t.p.x ∈ Γ
1
, com i = 1, 2;
(iii) h
il
converge para h
i
uniformemente sobre conjuntos limitados da reta para quas e
todo x ∈ Γ
1
, i = 1, 2.
Considere (u
1
l
) e (v
1
l
) sequências em D(Ω) tais que
u
1
l
→ u
1
em H
1
0
(Ω)
v
1
l
→ v
1
em H
1
0
(Ω)
(3.33)
Note que
∂u
0
∂ν
+ h
1l
(x, u
1
l
) = 0 sobre Γ
1
, ∀l
∂v
0
∂ν
+ h
2l
(x, v
1
l
) = 0 sobre Γ
1
, ∀l
(3.34)
27
Fixemos l. Seja w
l
1
, w
l
2
, w
l
3
e w
l
4
uma base do subespaço de V ∩ H
2
(Ω) gerado por
u
0
, v
0
, u
1
l
e v
1
l
. Pelo processo de Gram-Schmidt construímos uma base
{w
l
1
, w
l
2
, w
l
3
, w
l
4
, . . . , },
de V ∩H
2
(Ω). Seja V
l
m
= [w
1
,
l
, . . . , w
l
m
] o sub espaço de V ∩H
2
(Ω) gerado p o r w
l
1
, . . . , w
l
m
.
Determinamos as soluções aproximadas u
lm
(t), v
lm
(t) ∈ V
l
m
do Problema (3.35), isto
é,
u
lm
(t) =
m
j=1
g
jlm
(t)w
l
j
e v
lm
(t) =
m
j=1
h
jlm
(t)w
l
j
,
onde g
jlm
(t) e h
jlm
(t) são definidas pelo o sistema:
(u
lm
(t), ϕ) + ((u
lm
(t), ϕ)) + α(u
lm
(t)v
2
lm
(t), ϕ) +
Γ
1
h
1l
(x, u
lm
(t))ϕdΓ = 0,
∀ϕ ∈ V
l
m
(v
lm
(t), ψ) + ((v
lm
(t), ψ)) + α(v
lm
(t)u
2
lm
(t), ψ) +
Γ
1
h
2
(x, v
lm
(t))ψdΓ = 0,
∀ψ ∈ V
l
m
u
lm
(0) = u
0
, u
lm
(0) = u
1
l
em Ω
v
lm
(0) = v
0
, v
lm
(0) = v
1
l
em Ω.
(3.35)
O sistema (3.35) possui uma solução {u
lm
(t), v
lm
(t)} definida sobre [0, t
lm
), a qual
pode ser extendida pela primeira estimativa a seguir sobre o intervalo [0, ∞).
Estimativa 3.4.1 Considerando ϕ = u
lm
(t) e ψ = v
lm
(t) em (3.35)
1
e (3.35)
2
, respecti-
vamente, e adicionando ambas as equações resulta:
1
2
d
dt
|u
lm
(t)|
2
+
1
2
d
dt
u
lm
(t)
2
+
1
2
d
dt
|v
lm
(t)|
2
+
1
2
d
dt
v
lm
(t)
2
+
+
α
2
Ω
|v
lm
(t)|
2
d
dt
|u
lm
(t)|
2
dx +
α
2
Ω
|u
lm
(t)|
2
d
dt
|v
lm
(t)|
2
dx+
+
Γ
1
h
1l
(x, u
lm
(t))u
lm
(t)dΓ +
Γ
1
h
2l
(x, v
lm
(t))v
lm
(t)dΓ = 0.
(3.36)
Notemos que
1
2
Ω
|v
lm
(t)|
2
d
dt
|u
lm
(t)|
2
dx +
1
2
Ω
|u
lm
(t)|
2
d
dt
|v
lm
(t)|
2
dx =
Ω
1
2
d
dt
|u
lm
(t)v
lm
(t)|
2
dx.
Substituindo a última igualdade em (3.36) e integrando sobre [0, t), 0 ≤ t ≤ t
lm
,
28
obtemos:
1
2
|u
lm
(t)|
2
+
1
2
u
lm
(t)
2
+
1
2
|v
lm
(t)|
2
+
1
2
v
lm
(t)
2
+
α
2
|u
lm
(t)v
lm
(t)|
2
+
+
t
0
Γ
1
h
1l
(x, u
lm
(s))u
lm
(s)dΓds +
t
0
Γ
1
h
2l
(x, v
lm
(s))v
lm
(s)dΓds =
=
1
2
|u
lm
(0)|
2
+
1
2
u
lm
(0)
2
+
1
2
|v
lm
(0)|
2
+
1
2
v
lm
(0)
2
+
α
2
|u
0
v
0
|
2
.
(3.37)
Inicialmente notemos que da desigualdade de Holder e da imersão V → L
4
(Ω), pois
n ≤ 3 obtemos:
Ω
|u
lm
(0)v
lm
(0)|
2
dx ≤
Ω
|u
lm
(0)|
4
dx
1
2
Ω
|v
lm
(0)|
4
dx
1
2
=
= u
lm
(0)
2
L
4
(Ω)
v
lm
(0)
2
L
4
(Ω)
≤ u
lm
(0)
2
v
lm
(0)
2
≤ C.
(3.38)
Desta última desigualdade, do fato que as funções h
il
satifazem as propriedades,
h
il
(x, s)s ≥ d
i
s
2
, q.t.p. x ∈ Γ
1
, ∀s ∈ R e das convergências (3.33)
1
e (3.33)
2
, obtemos:
1
2
|u
lm
(t)|
2
+
1
2
u
lm
(t)
2
+
1
2
|v
lm
(t)|
2
+
1
2
v
lm
(t)
2
+
α
2
|u
lm
(t)v
lm
(t)|
2
+
+d
1
t
0
Γ
1
|u
lm
(s)|
2
dΓds + d
2
t
0
Γ
1
|v
lm
(s)|
2
dΓds ≤
≤
1
2
|u
lm
(0)|
2
+
1
2
u
lm
(0)
2
+
1
2
|v
lm
(0)|
2
+
1
2
v
lm
(0)
2
+
α
2
|u
lm
(0)v
lm
(0)|
2
<
<
1
2
|u
1
|
2
+
1
2
u
0
2
+
1
2
|v
1
|
2
+
1
2
v
0
2
+
α
2
u
0
2
v
0
2
+ 1
= N
1
, ∀l ≥ l
0
,
(3.39)
onde N
1
é uma constante independente de l, m e t, ∀l ≥ l
0
.
Portanto,
(u
lm
) é limitada em L
∞
(0, ∞; V ), ∀l ≥ l
0
, ∀m (3.40)
(v
lm
) é limitada em L
∞
(0, ∞; V ), ∀l ≥ l
0
, ∀m (3.41)
(u
lm
) é limitada em L
∞
(0, ∞; L
2
(Ω)), ∀l ≥ l
0
, ∀m (3.42)
(v
lm
) é limitada em L
∞
(0, ∞; L
2
(Ω)), ∀l ≥ l
0
, ∀m (3.43)
(u
lm
v
lm
) é limitada em L
∞
(0, ∞; L
2
(Ω)), ∀l ≥ l
0
, ∀m (3.44)
(u
lm
) é limitada em L
2
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)), ∀l ≥ l
0
, ∀m (3.45)
(v
lm
) é limitada em L
2
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)), ∀l ≥ l
0
, ∀m. (3.46)
29
Com as estimativas (3.40) e (3.41) podemos prolongar a solução aproximada {u
lm
(t), v
lm
(t)}
ao intervalo [0, ∞).
Observação 3.2 Primeiro mostraremos que (u
lm
(0)) e (v
lm
(0)) são limitadas em L
2
(Ω).
De fato, tomando t = 0 na equação aproximada (3.35)
1
e usando a fórmula de Green e a
condição de fronteira
∂u
0
∂ν
+ h
1l
(u
1
l
) = 0 sobre Γ
1
, obtemos:
(u
lm
(0), ϕ) + (∆u
lm
(0), ϕ) + α(u
lm
(0)v
2
lm
(0), ϕ) = 0. (3.47)
Tomando ϕ = u
lm
(0) em (3.47), temos:
|u
lm
(0)| ≤ |∆u
lm
(0)| + α|u
lm
(0)v
2
lm
(0)|. (3.48)
Utilizando a desigualdade de Holder com
1
3
+
1
3
+
1
3
= 1 e o Teorema de Sobolev para
garantir a imersão de V → L
6
(Ω), obtemos:
|u
lm
(0)v
2
lm
(0)|
2
=
Ω
|u
lm
(x, 0)v
2
lm
(x, 0)|
2
dx ≤
≤ u
lm
(0)
2
L
6
(Ω)
v
lm
(0)
2
L
6
(Ω)
u
lm
(0)
2
L
6
(Ω)
≤
≤ C
1
u
lm
(0)
2
v
lm
(0)
4
= C
1
u
0
2
v
0
4
≤ C,
(3.49)
onde C é uma constante independente de l e m.
Desta desigualdade e de (3.48) resulta que
(u
lm
(0)) é limitada em L
2
(Ω), ∀l, m.
Analogamente obtemos
(v
lm
(0)) é limitada em L
2
(Ω), ∀l, m.
Usando o mesmo argumento para obter (3.49) e fazendo uso da primeira estimativa
mostra-se que:
(u
lm
v
2
lm
) é limitada em L
∞
(0, ∞; L
2
(Ω)), ∀l ≥ l
0
(3.50)
(v
lm
u
2
lm
) é limitada em L
2
(0, ∞; L
2
(Ω)), ∀l ≥ l
0
. (3.51)
30
Considerando a derivada com respeito a t da equação aproximada (3.35)
1
, (3.35)
2
e
em seguida, considerando ϕ = u
lm
(t) e ψ = v
lm
(t), obtemos:
1
2
d
dt
|u
lm
(t)|
2
+
1
2
d
dt
u
lm
(t)
2
+ (u
lm
(t)v
2
lm
(t), u
lm
(t)) + 2α(u
lm
(t)v
lm
(t)v
lm
(t), u
lm
(t))+
+
Γ
1
(u
lm
(t))
2
h
1l
(x, u
lm
(t))dΓ = 0,
1
2
d
dt
|v
lm
(t)|
2
+
1
2
d
dt
v
lm
(t)
2
+ (v
lm
(t)u
2
lm
(t), v
lm
(t)) + 2α(v
lm
(t)u
lm
(t)u
lm
(t), v
lm
(t))+
+
Γ
1
(v
lm
(t))
2
h
2l
(x, v
lm
(t))dΓ = 0.
(3.52)
Nosso objetivo é obter limitações a partir de (3.52)
1
e (3.52)
2
.
A seguir analizaremos o termo: (u
lm
(t)v
2
lm
(t), u
lm
(t)).
Usando a desigualdade de Holder com
1
6
+
1
6
+
1
6
+
1
2
= 1, o Teorema de Imersão de
Sobolev para a imersão V → L
6
(Ω), e a primeira estimativa, obtemos:
(u
lm
(t)v
2
lm
(t), u
lm
(t)) =
Ω
u
lm
(t)v
2
lm
(t)u
lm
(t)dx ≤
≤
Ω
|u
lm
(t)||v
lm
(t)|
2
|u
lm
(t)|dx ≤
≤ u
lm
(t)
L
6
(Ω)
v
lm
(t)
2
L
6
(Ω)
|u
lm
(t)| ≤
≤ Cu
lm
(t)|u
lm
(t)| ≤ C(u
lm
(t)
2
+ |u
lm
(t)|
2
),
(3.53)
onde C representa as várias constantes independentes de l e m.
Analogamente obtemos:
|(v
lm
(t)u
2
lm
(t), v
lm
(t))| ≤ C(v
lm
(t)
2
+ |v
lm
(t)|
2
).
(3.54)
Agora analizaremos: (u
lm
(t)v
lm
(t)v
lm
(t), u
lm
(t)).
Aplicando os mesmos argumentos usado s na obtenção de (3.53), obtemos:
|(u
lm
(t)v
lm
(t)v
lm
(t), u
lm
(t))| ≤
≤ u
lm
(t)
L
6
(Ω)
v
lm
(t)
L
6
(Ω)
v
lm
(t)
L
6
(Ω)
|u
lm
(t)| ≤
≤ C(v
lm
(t)|u
lm
(t)|) ≤ C(v
lm
(t)
2
+ |u
lm
(t)|
2
).
(3.55)
De forma análoga, obtém-se:
|(v
lm
(t)u
lm
(t)u
lm
(t), v
lm
(t))| ≤ C(u
lm
(t)
2
+ |v
lm
(t)|
2
). (3.56)
31
Integrando (3.52)
1
e (3.52)
2
de 0 a t, adicionado ambas as equações , usando as de-
sigualdades (3.53) -(3.56) e o fato que h
1l
(x, s) ≥ d
1
, h
2l
(x, s) ≥ d
2
para q.t.p. x ∈ Γ
1
e
para q.t.p. s ∈ R, obtemos:
1
2
[|u
lm
(t)|
2
+ |v
lm
(t)|
2
+ u
lm
(t)
2
+ v
lm
(t)
2
]+
+d
1
t
0
Γ
1
(u
lm
(s))
2
dΓds + d
2
t
0
Γ
1
(v
lm
(s))
2
dΓds ≤
≤
1
2
[|u
lm
(0)|
2
+ |v
lm
(0)|
2
+ u
lm
(0)
2
+ v
lm
(0)
2
]+
+
t
0
C[|u
lm
(s)|
2
+ |v
lm
(s)|
2
+ u
lm
(s)
2
+ v
lm
(s)
2
]ds.
(3.57)
Notando que (u
lm
(0)) e (v
lm
(0)) são limitadas em L
2
(Ω), segue-se das convergências
(3.33)
1
e (3.33)
2
, que (u
lm
(0)) e (v
lm
(0)) são limitadas em V. Portanto, destes fatos, da
desigualdade acima e da desigualdade de Gronwall obtemos:
1
2
[|u
lm
(t)|
2
+ |u
lm
(t)|
2
+ u
lm
(t)
2
+ v
lm
(t)
2
]+
+d
1
t
0
Γ
1
(u
lm
(s))
2
dΓds + d
2
t
0
Γ
1
(v
lm
(s))
2
dΓds ≤ C,
(3.58)
onde C é uma constante independente de l, m, l ≥ l
0
, ∀t ∈ [0, T ].
Portanto a partir de (3.58), obtemos:
(u
lm
) é limitada em L
∞
loc
(0, ∞; V ), ∀l ≥ l
0
, ∀m (3.59)
(v
lm
) é limitada em L
∞
loc
(0, ∞; V ), ∀l ≥ l
0
, ∀m (3.60)
(u
lm
) é limitada em L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)), ∀l ≥ l
0
, ∀m (3.61)
(v
lm
) é limitada em L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)), ∀l ≥ l
0
, ∀m (3.62)
(u
lm
) é limitada em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)), ∀l ≥ l
0
, ∀m (3.63)
(v
lm
) é limitada em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)), ∀l ≥ l
0
, ∀m. (3.64)
O índice l está fixado. As estimativas (3.40) - (3.46) e as estimativas (3.59) - (3.64),
permitem pelo processo diagonal obter subsequências de (u
lm
) e (v
lm
), as quais ainda
32
serão denotadas por (u
lm
), (v
lm
), e funções u
l
, v
l
: Ω × (0, ∞) → R satisfazendo:
u
lm
∗
u
l
em L
∞
(0, ∞; V )
v
lm
∗
v
l
em L
∞
(0, ∞; V )
u
lm
∗
u
l
em L
∞
loc
(0, ∞; V )
v
lm
∗
v
l
em L
∞
loc
(0, ∞; V )
u
lm
∗
u
l
em L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω))
v
lm
∗
v
l
em L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω))
u
lm
u
l
em L
2
(0, ∞; L
2
(Γ
1
))
v
lm
v
l
em L
2
(0, ∞; L
2
(Γ
1
))
u
lm
u
l
em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
))
v
lm
v
l
em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)).
(3.65)
A partir de (3.65)
3
, (3.65)
4
e do Teorema do Traço de ordem zero, obtemos:
u
lm
∗
u
l
em L
∞
loc
(0, ∞; H
1
2
(Γ
1
)) (3.66)
v
lm
∗
v
l
em L
∞
loc
(0, ∞; H
1
2
(Γ
1
)). (3.67)
Por (3.63), (3.66) e do Teorema de Aubin-Lions concluímos que existe uma subse-
quência de (u
lm
), a qual ainda será denota por (u
lm
), tal que
u
lm
→ u
l
em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)). (3.68)
Seguindo um raciocínio semelhante a partir de (3.64) e (3.67), obtemos:
v
lm
→ v
l
em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)). (3.69)
Seja T > 0 um número real arbitrário. Pelo Lema 3.3.1 tem-se que (h
1l
) e (h
2l
) são
funções lipschitizianas, e portanto, usando (3.68), obtemos:
T
0
Ω
[h
1l
(u
lm
(x, t)) − h
1l
(u
l
(x, t))|
2
dxdt ≤
≤ c
2
1l
T
0
Ω
|(u
lm
(x, t)) − (u
l
(x, t))|
2
dxdt =
= c
2
1l
u
lm
− u
l
L
2
(0,T ;L
2
(Ω))
→ 0 quando m → ∞.
33
Logo,
h
1l
(., u
lm
) → h
1l
(., u
l
) em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)). (3.70)
De maneira análoga obtemos:
h
2l
(., u
lm
) → h
2l
(., u
l
) em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)). (3.71)
Novamente usando o fato que a imersão V → L
2
(Ω) é compacta, segue-se, a partir
de (3.40), (3.41), (3.42), (3.43) e do Teorema de Aubin-Lions, que existem subsequências
de (u
lm
) e (v
lm
), respectivamente, as quais ainda serão denotadas por (u
lm
) e (v
lm
), tais
que
u
lm
→ u
l
em L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)) (3.72)
e
v
lm
→ v
l
em L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)). (3.73)
Seja T > 0 um número real arbitrário. Em particular, das convergências (3.72) e
(3.73), obtemos:
u
lm
→ u
l
q.s em Q = Ω × (0, T ) (3.74)
v
lm
→ v
l
q.s em Q = Ω × (0, T ) (3.75)
e, portanto,
u
lm
v
2
lm
→ u
l
v
2
l
q.s em Q (3.76)
v
lm
u
2
lm
→ v
l
u
2
l
q.s em Q. (3.77)
Agora de (3.50), (3.51), (3.76), (3.77), e do Lema de Lions [24] resulta que:
u
lm
v
2
lm
u
l
v
2
l
em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)) (3.78)
v
lm
u
2
lm
v
l
u
2
l
em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)). (3.79)
Multiplicando as equações (3.35)
1
e (3.35)
2
por θ ∈ D(0, ∞), integrando de 0 a ∞,
usando as convergências obtidas e a densidade de V
l
m
em V ∩ H
2
(Ω), obtemos:
∞
0
(u
l
(s), ϕ)θ(s)ds +
∞
0
((u
l
(s), ϕ))θ(s)ds + α
∞
0
(u
l
(s)v
2
l
(s), ϕ)θ(s)ds+
+
∞
0
Γ
1
h
1l
(x, u
l
(s))ϕθ(s)dΓds = 0, ∀ϕ ∈ V, ∀θ ∈ D(0, ∞),
(3.80)
e
∞
0
(v
l
(s), ψ)θ(s)ds +
∞
0
((v
l
(s), ψ))θ(s)ds + α
∞
0
(v
l
(s)u
2
l
(s), ψ)θ(s)ds+
+
∞
0
Γ
1
h
2l
(x, v
l
(s))ψθ(s)dΓds = 0, ∀ψ ∈ V, ∀θ ∈ D(0, ∞).
(3.81)
34
Agora considerando ϕ, ψ ∈ D(Ω) e θ ∈ D(0, T ), resulta de (3.80) e (3.81) que:
u
l
− ∆u
l
+ αu
l
v
2
l
= 0 em D
(Q) (3.82)
v
l
− ∆v
l
+ αv
l
u
2
l
= 0 em D
(Q). (3.83)
Já vimos que: u
l
, v
l
, u
l
v
2
l
, v
l
u
2
l
pertence a L
2
(0, T ; L
2
(Ω)). Assim, segue-se de (3.82)
e (3.83) que
u
l
− ∆u
l
+ αu
l
v
2
l
= 0 em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)) (3.84)
v
l
− ∆v
l
+ αv
l
u
2
l
= 0 em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)). (3.85)
Destas duas igualdades segue-se que ∆u
l
, ∆v
l
∈ L
2
(0, T ; L
2
(Ω)). Como u
l
, v
l
∈
L
2
(0, T ; V ), obtemos (cf em M.Milla Miranda [37]) que
∂u
l
∂ν
,
∂v
l
∂ν
∈ L
2
(0, T ; H
−
1
2
(Γ
1
)).
Multiplicando as equações (3.84) e (3.85) por ϕθ e ψθ com ϕ, ψ ∈ V e θ ∈ D(0, ∞),
respectivamente, integrando de 0 a ∞ e usando a fórmula de Green, obtemos:
∞
0
(u
l
(s), ϕ)θ(s)ds +
∞
0
((u
l
(s), ϕ))θ(s)ds + α
∞
0
(u
l
(s)v
2
l
(s), ϕ)θ(s)ds+
+
∞
0
∂u
l
(s)
∂ν
, ϕ
θ(s)ds = 0,
(3.86)
onde ; representa a dualidade H
−
1
2
(Γ
1
) × H
1
2
(Γ
1
).
Analogamente obtemos:
∞
0
(v
l
(s), ψ)θ(s)ds +
∞
0
((v
l
(s), ψ))θ(s)ds + α
∞
0
(v
l
(s)u
2
l
(s), ψ)θ(s)ds+
+
∞
0
∂v
l
(s)
∂ν
, ψ
θ(s)ds = 0.
(3.87)
Comparando (3.80) com (3.86) e (3.81) com (3.87), obtemos:
∂u
l
∂ν
+ h
1l
(., u
l
) = 0 em L
2
(0, T ; H
−
1
2
(Γ
1
)) (3.88)
∂v
l
∂ν
+ h
2l
(., v
l
) = 0 em L
2
(0, T ; H
−
1
2
(Γ
1
)). (3.89)
Como h
1l
(., u
l
), h
2l
(., v
l
) ∈ L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
)), segue-se, de (3.88) e (3.89), que:
∂u
l
∂ν
+ h
1l
(., u
l
) = 0 em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)) (3.90)
∂v
l
∂ν
+ h
2l
(., v
l
) = 0 em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)). (3.91)
Observamos que as estimativas (3.40) - (3.46), (3.50) - (3.51) e (3.59)- (3.64) também
estão asseguradas para todo l. Então, pelo mesmo processo usado na primeira parte da
35
demonstração de (3.65), obtemos pelo processo diagonal subsequências de (u
l
) e (v
l
), as
quais ainda serão denotadas por (u
l
), (v
l
), e funções u, v : Ω × (0, ∞) → R tais que
u
l
∗
u em L
∞
loc
(0, ∞; V )
v
l
∗
v em L
∞
loc
(0, ∞; V )
u
l
∗
u
em L
∞
loc
(0, ∞; V )
v
l
∗
v
em L
∞
loc
(0, ∞; V )
u
l
∗
u
em L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω))
v
l
∗
v
em L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω))
u
l
u
em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
))
v
l
v
em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
))
u
l
u
em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
))
v
l
v
em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)).
(3.92)
Usando o mesmo argumento para encontrar (3.49) e as estimativas (3.92)
1
e (3.92)
2
,
obtemos
(u
l
v
2
l
) é limitada em L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)), ∀l ≥ l
0
(3.93)
(v
l
u
2
l
) é limitada em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)), ∀l ≥ l
0
. (3.94)
Repetindo o mesmo raciocínio feito para obter (3.78) e (3.79), resulta que:
u
l
v
2
l
uv
2
em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)) (3.95)
v
l
u
2
l
vu
2
em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)). (3.96)
Usando as limitações (3.92)
3
, (3.92)
4
, e o Teorema do Traço de ordem zero, obtemos:
u
l
∗
u em L
∞
loc
(0, ∞; H
1
2
(Γ
1
)) (3.97)
v
l
∗
v em L
∞
loc
(0, ∞; H
1
2
(Γ
1
)) (3.98)
A partir de (3.92)
9
e (3.97) segue-se pelo Teorema de Aubin-Lions que
u
l
→ u
em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)). (3.99)
Analogamente de (3.92)
10
e (3.98), obtemos:
v
l
→ v
em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)). (3.100)
36
Seja T > 0 um número real a rbitrário fixado. A partir de (3.99) e (3.100), obtemos
em particular que
u
l
(x, t) → u
(x, t) q.s em Σ
1
= Γ
1
× (0, T )
e
v
l
(x, t) → v
(x, t) q.s em Σ
1
= Γ
1
× (0, T ).
Fixe (x, t) ∈ Σ
1
. Então, (u
l
(x, t)) e (v
l
(x, t)) são conjuntos limitados na reta. Assim, pela
aproximação de Strauss obtemos:
h
1l
(x, u
l
(x, t)) → h
1
(x, u
l
(x, t)) q.s em Σ
1
= Γ
1
× (0, T ), (3.101)
pois, h
1l
converge uniformemente para h
1
sobre conjuntos limitado da reta para quase
todo ponto x ∈ Γ
1
.
Agora h
1
sendo contínua, obtemos:
h
1
(x, u
l
(x, t)) → h
1
(x, u
(x, t)) q.s em Σ
1
. (3.102)
Assim de (3.101) e (3.102), obtemos:
h
1l
(x, u
l
(x, t)) → h
1
(x, u
(x, t)) q.s em Σ
1
. (3.103)
De forma análoga obtemos:
h
2l
(x, v
l
(x, t)) → h
2
(x, v
(x, t)) q.s em Σ
1
. (3.104)
A partir de (3.84) temos:
(u
l
(t), 2u
l
(t)) + ((u
l
(t), 2u
l
(t))) + 2α(u
l
(t)v
2
l
(t)), u
l
(t))+
+2
Γ
1
h
1l
(x, u
l
(t))u
l
(t)dΓ = 0,
ou ainda,
Γ
1
h
1l
(x, u
l
(t))u
l
(t)dΓ = −
1
2
d
dt
|u
l
(t)|
2
−
1
2
d
dt
u
l
(t)
2
− α(u
l
(t)v
2
l
(t), u
l
(t)).
Notemos inicialmente que, como feito em (3.53) tem-se
|α(u
l
(t)v
2
l
(t)), u
l
(t))| ≤ αC
1
(u
l
(t)
2
+ |u
l
(t)|
2
).
37
Assim,
T
0
Γ
1
h
1l
(x, u
l
(t))u
l
(t)dΓdt ≤ −
1
2
|u
l
(T )|
2
+
1
2
|u
1
l
|
2
−
1
2
u
l
(T )
2
+
1
2
u
0
2
+
+αC
1
T
0
[u
l
(t)
2
+ |u
l
(t)|
2
]dt ≤
1
2
|u
l
(T )|
2
+
1
2
|u
1
l
|
2
+
1
2
u
l
(T )
2
+
1
2
u
0
2
+
+αC
1
T
0
[u
l
(t)
2
+ |u
l
(t)|
2
]dt.
Usando as convergências (3.92) na desigualdade ac ima, obtemos:
T
0
Γ
1
h
1l
(x, u
l
(t))u
l
(t)dΓdt ≤ C, ∀t ∈ [0, T ], ∀l ≥ l
0
.
Note que h
1l
(x, s)s = |h
1l
(x, s)||s|.
Portanto,
T
0
Γ
1
|h
1l
(x, u
l
(t))||u
l
(t)|dΓdt ≤ C, ∀t ∈ [0, T ], ∀l ≥ l
0
, (3.105)
onde C representa várias constantes independente de l e t ∈ [0, T ].
Analogamente obtemos
T
0
Γ
1
|h
2l
(x, v
l
(t))||v
l
(t)|dΓdt ≤ C, ∀t ∈ [0, T ], ∀l ≥ l
0
. (3.106)
Resulta de (3.103)-(3.106) e do Teorema de Strauss [44] que
h
1l
(., u
l
) → h
1
(., u
) em L
1
(Γ
1
× (0, T )) (3.107)
e
h
2l
(., v
l
) → h
2
(., u
) em L
1
(Γ
1
× (0, T )). (3.108)
Portanto, pela Observação 3 .1, resulta que:
h
1l
(., u
l
) → h
1
(., u
) em W
−2,p
(0, T ; Z
) = Z
(3.109)
e
h
2l
(., v
l
) → h
2
(., v
) em W
−2,p
(0, T ; Z
) = Z
. (3.110)
Vimos que
u
l
u
em L
2
loc
(0, ∞; V ). (3.111)
38
Como u
l
u
em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)) e 1 < p
< 2 tem-se que
u
l
u
em L
p
loc
(0, ∞; L
2
(Ω))
e, portanto,
u
l
u
em W
−2,p
(0, T ; X
) = X
.
Também por (3.92) e análogo raciocínio, obtém-se:
u
l
v
2
l
uv
2
em W
−2,p
(0, T ; X
) = X
.
Logo,
u
l
= u
l
+ u
l
v
2
l
u = u
+ uv
2
em W
−2,p
(0, T ; X
) = X
. (3.112)
Agora por (3.111), (3.112), resulta que
u
l
u em
E. (3.113)
Então, pelo Teorema 3.2, obtemos:
γ
1
u
l
γ
1
u em W
−2,p
(0, T ; Z
) = Z
. (3.114)
Assim de (3.109) e (3.114), obtemos:
∂u
l
∂ν
+ h
1l
(., u
l
)
∂u
∂ν
+ h
1
(., u
) em W
−2,p
(0, T ; Z
) = Z
. (3.115)
Logo,
∂u
∂ν
+ h
1
(., u
) = 0 em W
−2,p
(0, T ; Z
) = Z
. (3.116)
Agora usando o fato que L
1
(0, T ; L
1
(Γ
1
)) → W
−2,p
(0, T ; Z
) = Z
, obtemos:
∂u
∂ν
+ h
1
(., u
) = 0 em L
1
loc
(0, ∞; L
1
(Γ
1
)). (3.117)
De maneira análoga, obtemos:
∂v
∂ν
+ h
2
(., v
) = 0 em L
1
loc
(0, ∞; L
1
(Γ
1
)). (3.118)
Usando as convergência s (3.92)
5
e (3.95), segue-se a partir de (3.112) e do item (iii)
da Observação 3.1 que
u
− u + αuv
2
= 0 em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)). (3.119)
39
Analogamente, obtemos:
v
− v + αvu
2
= 0 em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)). (3.120)
Por argumentos habituais mostra-se que: u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
, v(0) = v
0
e v
(0) =
v
1
.
Consideramos as seguintes hipóteses adicionais:
(H4) |h
1
(x, s)| ≤ d
3
|s|, q.t.p. x ∈ Γ
1
e ∀ s ∈ R;
(H5) |h
2
(x, s)| ≤ d
4
|s|, q.t.p. x ∈ Γ
1
e ∀ s ∈ R.
Com isso temos:
Corolário 1 Suponhamos as hipóteses do Teorema 3.3 mais (H4) e (H5). Então a
solução {u, v} do sistema (∗) é única e satisfaz
u ∈ L
∞
(0, ∞; V ) ∩ L
2
loc
(0, ∞; H
3
2
(Ω))
v ∈ L
∞
(0, ∞; V ) ∩ L
2
loc
(0, ∞; H
3
2
(Ω))
u
− ∆u + αuv
2
= 0 em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Ω))
v
− ∆v + αvu
2
= 0 em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Ω))
∂u
∂ν
+ h
1
(., u
) = 0 em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
))
∂v
∂ν
+ h
2
(., v
) = 0 em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)).
(3.121)
Demonstração: Usando a hipótese |h
1
(x, s)| ≤ d
3
|s|, obtemos pelo Lema 3.3.1 que
|h
1l
(x, s)| ≤
3
2
d
3
|s| para todo s ∈ R e para q.t.p x ∈ Γ
1
. Logo desse fato e usando (3.92)
3
,
obtemos:
T
0
Γ
1
|h
1l
(x, u
l
(x, s))|
2
dΓds ≤
9
4
(d
3
)
2
T
0
Γ
1
|u
l
(x, s)|
2
dΓds ≤ C.
Logo,
(h
1l
(., u
l
)) é limitada em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)). (3.122)
A partir de (3.103) e (3.122), resulta pelo Lema de Lions [24] que
h
1l
(., u
l
)) h(., u
) em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)). (3.123)
40
Portanto de (3.117) e (3.123), obtemos:
∂u
∂ν
+ h(., u
) = 0 em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)). (3.124)
Para completar a prova do Corolário 1 mostraremos que u ∈ L
2
loc
(0, ∞; H
3
2
(Ω)). Temos
que u é solução do seguinte problema:
−∆u = −u
− αuv
2
em Q = Ω × (0, T )
u = 0 sobre Γ
0
× [0, T ]
∂u
∂ν
= −h
1
(., u
) sobre Γ
1
× [0, T ]
(3.125)
para todo número real T > 0. Sendo −∆u = −u
− αuv
2
∈ L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)) e
∂u
∂ν
=
−h
1
(., u
) ∈ L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)), obtemos como feito em M.Milla Miranda e L.A. Medeiros
[31] que u ∈ L
2
loc
(0, ∞; H
3
2
(Ω)). De forma análoga, mostra-se que v ∈ L
2
loc
(0, ∞; H
3
2
(Ω)).
Para provar a unicidade procede-se como feito na primeira estimativa.
3.5 Comportamento Assintótico
O principal objetivo desta seção é provar o decaimento exponencial da energia E(t)
associada a solução do sistema (∗). Esta energia é dada por
E(t) =
1
2
u(t)
2
+ v(t)
2
+ |u
(t)|
2
+ |v
(t)|
2
+ α|u(t)v(t)|
2
. (3.126)
Seja ν a normal unitária exterior em x ∈ Γ
1
. Suponhamos que existe x
0
∈ R
n
tais que
(H6) Γ
0
= {x ∈ Γ : m(x)ν(x) ≤ 0} e Γ
1
= {x ∈ Γ : m(x)ν(x) > 0}.
Nesta parte consideraremos
h
1
(x, s) = m(x).ν(x)g
1
(s), ∀x ∈ Γ
1
, s ∈ R
h
2
(x, s) = m(x).ν(x)g
2
(s), ∀x ∈ Γ
1
, s ∈ R,
onde g
1
, g
2
são funções contínuas tais que g
i
(0) = 0 e satisfazendo as propriedades
(H7) [g
i
(s) − g
i
(r)](s − r) ≥ d
i
(s − r)
2
, i = 1, 2, ∀s, r ∈ R,
(H8) |g
i
(s)| ≤ d
i
|s|, i = 3, 4, ∀s ∈ R.
41
Intro duzimos a s no tações:
R = max
x∈Ω
m(x), w
L
6
(Ω)
≤ c
∗
1
w ,
Γ
1
w
2
≤ Kw
2
, ∀w ∈ V.
e
N
1
=
1
2
|u
1
|
2
+
1
2
u
0
2
+
1
2
|v
1
|
2
+
1
2
v
0
2
+
α
2
u
0
2
v
0
2
+ 1
.
Por λ
1
denotamos o primeiro autovalor do problema espectral ((w, v)) = λ(w, v), ∀v ∈
V.
Antes de enunciarmos o teorema que estabeleçe o comportamento assintótico da en-
ergia E(t), associada a solução do sistema (∗) mostraremos que u
l
(t) ∈ V ∩H
2
(Ω). Sendo
assim, podemos aplicar o Lema 2.1 como feito em M.Milla Miranda e L.A.Medeiros [35]
e a identidade de Rellich cf em V.Komornik e E.Zuazua [18] ou M.Milla Miranda e L.P.S.
Gil Jutuca [38].
Vamos justificar que: u
l
∈ L
∞
(0, T ; V ∩ H
2
(Ω)).
Fixe l. Para o comportamento assintótico consideramos as sequências
h
1l
(x, s) = m(x).ν(x)g
1l
(s) e h
2l
(x, s) = m(x).ν(x)g
2l
(s),
sendo (g
ll
) e (g
2l
) funções lipschitizianas com g
ll
(0) = g
2l
(0) = 0, g
1l
→ g
1
e g
2l
→ g
2
convergindo uniformemente nos limitados da reta, onde
h
1
(x, s) = m(x).ν(x)g
1
(s) e h
2
(x, s) = m(x).ν(x)g
2
(s),
com g
1
e g
2
sendo funções contínuas satisfazendo as condições
[g
1
(s) − g
1
(r)](s − r) ≥ d
1
(s − r)
2
, ∀s, r ∈ R e |g
1
(s)| ≤ d
3
|s|, ∀s ∈ R,
e
[g
2
(s) − g
2
(r)](s − r) ≥ d
2
(s − r)
2
, ∀s, r ∈ R e |g
2
(s)| ≤ d
4
|s|, ∀s ∈ R,
onde d
i
, i = 1, 2, 3, 4, são constantes positivas.
Notemos inicialmente que seguindo a mesma idéia da prova do Lema 3.3.1, tem-se
que
|g
1l
(s)| ≤
3
2
d
3
|s|, ∀s ∈ R. (3.127)
Analogamente obtém-se
|g
2l
(s)| ≤
3
2
d
4
|s|, ∀s ∈ R. (3.128)
42
Na segunda estimativa do Teorema 3.3 vimos que :
(u
lm
) é limitada em L
∞
loc
(0, ∞; V ), ∀l ≥ l
0
, ∀m (3.129)
(v
lm
) é limitada em L
∞
loc
(0, ∞; V ), ∀l ≥ l
0
, ∀m. (3.130)
Observação 3.3 A sequência (g
1l
) é a sequência de Strauss que aproxima g
1
. Sabemos
que as funções (g
1l
) são lipschitizianas e g
1l
(0) = 0. Sendo u
lm
(t) ∈ V tem-se pela
Proposição 2.3, que g
1l
(u
ml
(t)) ∈ V. Então, pelo Teorema do Traço de ordem zero, obte-
mos g
1l
(u
ml
(t)) ∈ H
1
2
(Γ
1
). Logo,
g
1l
(u
ml
(t))
H
1
2
(Γ
1
)
≤ C
l
u
lm
(t), ∀t ∈ [0, T ].
Como l está fixado, então pela limitação (3.129) obtemos que
(g
1l
(u
ml
)) é limitada em L
∞
(0, T ; H
1
2
(Γ
1
)).
Portanto,
g
1l
(u
ml
)
∗
χ em L
∞
(0, T ; H
1
2
(Γ
1
)) quando m → ∞. (3.131)
Seguindo o mesmo raciocínio como feito na prova do Teorema 3.3,( usando (g
1l
) no
lugar de (h
1l
) ) mostra-se que
g
1l
(u
ml
) g
1l
(u
l
) em L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
) quando m → ∞. (3.132)
Assim a partir de (3.131), (3.132) e pela unicidade do limite fraco, obtemos:
g
l
(u
ml
)
∗
g
l
(u
l
) em L
∞
(0, T ; H
1
2
(Γ
1
)) quando m → ∞. (3.133)
Na demonstração do Teorema 3.3, mostramos que
∂u
l
∂ν
+ (m.ν)g
1l
(u
l
) = 0 em L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
)). (3.134)
Portanto, de (3.133) e (3.134) obtemos:
∂u
l
∂ν
+ (m.ν)g
1l
(u
l
) = 0 em L
∞
(0, T ; H
1
2
(Γ
1
)). (3.135)
Também na prova do Teorema 3.3 mostramos que
−u
l
= −u
l
− αu
l
v
2
l
∈ L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)).
43
Consideremos o seguinte problema:
(P )
−u
l
= −u
l
− αu
l
v
2
l
em Ω × [0, T ]
u
l
= 0 sobre Γ
0
× [0, T ]
∂u
l
∂ν
= −(m.ν)g
1l
(u
l
) sobre Γ
1
× [0, T ],
para todo número real T > 0.
Como
∂u
l
∂ν
+ (m.ν)g
1l
(u
l
) = 0, sobre Γ
1
e m.ν é classe C
1
sobre Γ
1
resulta
∂u
l
∂ν
∈ L
∞
loc
(0, ∞; H
1
2
(Γ
1
)).
Disto e notando que
u
l
∈ L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)),
tem-se que a solução do problema (P ) é tal que
u
l
∈ L
∞
loc
(0, ∞; H
2
(Ω)).
Como u
l
∈ L
∞
loc
(0, ∞; V ) obtemos que
u
l
∈ L
∞
loc
(0, ∞; V ∩ H
2
(Ω)), ∀l ≥ l
0
.
Analogamente encontramos
v
l
∈ L
∞
loc
(0, ∞; V ∩ H
2
(Ω)), ∀l ≥ l
0
.
O principal resultado desta seção é:
Teorema 3.4 Sejam {u
0
, v
0
} ∈ (D(−))
2
e {u
1
, v
1
} ∈ (H
1
0
(Ω))
2
. Seja {u, v} a solução
obtida no Corolário 1 com as hipóteses (H6)-(H8), 0 ≤ α ≤ α
0
e
α
0
= min
1,
1
8R(c
∗
1
)
3
N
1
.
Então, existe uma constante ω > 0 tal que a energia (3.126) satisfaz
E(t) ≤ 4E(0)e
−
ω
2
t
, ∀t ≥ 0. (3.136)
44
Demonstração: Notemos inicialmente que podemos aplicar a identidade de Rellich
cf em V.Komornik e E.Zuazua [18] ou M.Milla Miranda e L.P.S. Gil Jutuca [38], pois
como mostramos acima u
l
(t) ∈ V ∩ H
2
(Ω), onde u
l
é a solução aproximada obtida
na demostração do Teorema 3.3. Para a demonstração do comportamento assintótico
usaremos o método de Lyapounov (ver V.Komornik e E.Zuazua [18]). Mostraremos o
teorema primeiro para energia aproximada
E
l
(t) =
1
2
[u
l
(t)
2
+ v
l
(t)
2
+ |u
l
(t)|
2
+ |v
l
(t)|
2
+ α|u
l
(t)v
l
(t)|
2
]. (3.137)
Depois tomando o limite inferior obter-se-á o teorema.
Temos:
1
2
d
dt
u
l
(t)
2
+ v
l
(t)
2
+ |u
l
(t)|
2
+ |v
l
(t)|
2
+ α|u
l
(t)v
l
(t)|
2
=
−
Γ
1
(mν)g
1l
(u
l
(t))u
l
(t)dΓ −
Γ
1
(mν)g
2l
(v
l
(t))v
l
(t)dΓ.
Sendo g
1l
(s)s ≥ 0, g
2l
(s)s ≥ 0 e m(x)ν(x) > 0 sobre Γ
1
, obtemos
d
dt
E
l
(t) ≤ 0, ∀t ≥ 0.
Logo E
l
(t) é uma função decrescente para todo t ≥ 0.
Seja ε > 0. Intro duz-se o funcional
E
lε
(t) = E
l
(t) + εψ
l
(t), (3.138)
onde
ψ
l
(t) = 2(u
l
(t), m.∇u
l
(t)) + 2(v
l
(t), m.∇v
l
(t)) + (n −1)(u
l
(t), u
l
(t)) + (n −1)(v
l
(t), v
l
(t)).
A partir da igualdade acima e usando a desigualdade 2ab ≤ a
2
+ b
2
, obtemos:
|ψ
l
(t)| ≤ 2R|u
l
(t)||∇u
l
(t)| + 2R|v
l
(t)||∇v
l
(t)|+
+(n − 1)|u
l
(t)||u
l
(t)| + (n − 1)|v
l
(t)||v
l
(t)| ≤
≤ R [|u
l
(t)|
2
+ u
l
(t)
2
+ |v
l
(t)|
2
+ v
l
(t)
2
] +
+
n − 1
2λ
1
|u
l
(t)|
2
+ |v
l
(t)|
2
| + u
l
(t)|
2
+ v
l
(t)|
2
≤
≤ C
1
E
l
(t),
onde C
1
= 2
R +
n−1
2λ
1
.
Portanto,
|ψ
l
(t)| ≤ C
1
E
l
(t). (3.139)
45
Utilizando (3.138) e (3.139), o btemos:
|E
lε
(t) − E
l
(t)| ≤ ε|ψ
l
(t)| < εC
1
E
l
(t),
ou
(1 − εC
1
)E
l
(t) ≤ E
lε
(t) ≤ (1 + εC
1
)E
l
(t).
Tomando 0 < ε <
1
2C
1
, obtemos:
E
l
(t)
2
≤ E
lε
(t) ≤ 2E
l
(t). (3.140)
Notemos que pela Observaçã o 3.3 tem-se que u
l
(t), v
l
(t) ∈ V ∩H
2
(Ω). Como u
l
(t), v
l
(t)
tem a regularidade acima, pode-se aplicar a identidade de Rellich (Ver Komornik-Zuazua
[18] e M.Milla Miranda e L.P.S. Gil Jutuca [38]). Assim,
2(u
l
(t), m.∇u
l
(t)) = (n − 2)u
l
(t)
2
−
−
Γ
(m.ν)|∇u
l
(t)|
2
dΓ + 2
Γ
∂u
l
(t)
∂ν
m.∇u
l
(t)dΓ.
(3.141)
Analogamente, obtemos:
2(v
l
(t), m.∇v
l
(t)) = (n − 2)v
l
(t)
2
−
−
Γ
(m.ν)|∇v
l
(t)|
2
dΓ + 2
Γ
∂v
l
(t)
∂ν
m.∇v
l
(t)dΓ.
(3.142)
Também notando que
∂u
l
∂ν
+ (m.ν)g
1l
(u
l
) = 0 sobre Γ
1
,
obtém-se
(u
l
(t), u
l
(t)) = (u
l
(t) − αu
l
(t)v
2
l
(t), u
l
(t)) =
−u
l
(t)
2
− α|u
l
(t)v
l
(t)|
2
+
Γ
∂u
l
(t)
∂ν
u
l
(t)dΓ =
−u
l
(t)
2
−
Γ
1
(m.ν)g
1l
(u
l
(t))u
l
(t)dΓ − α|u
l
(t)v
l
(t)|
2
,
(3.143)
pois, u
l
(t) = 0 sobre Γ
0
.
De modo semelhante para v
l
, obtemos:
(v
l
(t), v
l
(t)) = (v
l
(t) − αv
l
(t)u
2
l
(t), v
l
(t)) =
−v
l
(t)
2
− α|v
l
(t)u
l
(t)|
2
+
Γ
∂v
l
(t)
∂ν
v
l
(t)dΓ =
−v
l
(t)
2
−
Γ
1
(m.ν)g
2l
(v
l
(t))v
l
(t)dΓ − α|u
l
(t)v
l
(t)|
2
.
(3.144)
46
Derivando ψ
l
(t) e aplicando a Identidade de Rellich junto com as últimas identidades
de u
l
e v
l
obtemos, respectivamente:
ψ
l
(t) = (n − 2)u
l
(t)
2
−
Γ
(m.ν)|∇u
l
(t)|
2
dΓ+
+2
Γ
∂u
l
(t)
∂ν
m.∇u
l
(t)dΓ − 2α(u
l
(t)v
2
l
(t), m.∇u
l
(t))+
+2(u
l
(t), m.∇u
l
(t)) + (n − 1)|u
l
(t)|
2
−
−(n − 1)u
l
(t)
2
− (n − 1)
Γ
1
(m.ν)g
1l
(u
l
(t))u
l
(t)dΓ−
−2α(n − 1)|u
l
(t)v
l
(t)|
2
+ (n − 2)v
l
(t)
2
−
−
Γ
(m.ν)|∇v
l
(t)|
2
dΓ + 2
Γ
∂v
l
(t)
∂ν
m.∇v
l
(t)dΓ−
−2α(v
l
(t)u
2
l
(t), m.∇v
l
(t)) + 2(v
l
(t), m.∇v
l
(t))+
+(n − 1)|v
l
(t)|
2
− (n − 1)v
l
(t)
2
−
−(n − 1)
Γ
1
(m.ν)g
2l
(v
l
(t))v
l
(t)dΓ.
(3.145)
A seguir limitaremos o lado esquerdo da expressão acima de forma a obter
ψ
l
(t) ≤ −ηE
1l
(t) − ηE
2l
(t) − η|u
l
(t)v
l
(t)|
2
+ c
Γ
1
(m.ν)(u
l
(t))
2
dΓ + c
Γ
1
(m.ν)(v
l
(t))
2
dΓ,
onde η > 0, c > 0 com
E
1l
(t) =
1
2
|u
l
(t)|
2
+ u
l
(t)
2
e
E
2l
(t) =
1
2
|v
l
(t)|
2
+ v
l
(t)
2
.
Como u
l
(t), v
l
(t) ∈ V ∩ H
2
(Ω) resulta pelo Lema 2.1 em M.Milla Miranda e L.A.
Medeiros [35] as seguintes igua ldades s obre Γ
0
:
∂u
l
(t)
∂x
i
= ν
i
∂u
l
(t)
∂ν
e |∇u
l
(t)|
2
=
∂u
l
(t)
∂ν
2
,
onde ν = (ν
i
, . . . , ν
n
). Logo
−
Γ
(m.ν)|∇u
l
(t)|
2
dΓ = −
Γ
0
(mν)
∂u
l
(t)
∂ν
2
dΓ−
−
Γ
1
(mν)
n
i=1
∂u
l
(t)
∂x
i
2
dΓ.
(3.146)
47
De forma análoga obtemos
−
Γ
(m.ν)|∇v
l
(t)|
2
dΓ = −
Γ
0
(mν)
∂v
l
(t)
∂ν
2
dΓ−
−
Γ
1
(mν)
n
i=1
∂v
l
(t)
∂x
i
2
dΓ.
(3.147)
• Análise de 2
Γ
∂u
l
(t)
∂ν
m.∇u
l
(t)dΓ.
Note que sobre Γ
0
, tem-se
∂u
l
(t)
∂x
j
= ν
j
∂u
l
(t)
∂ν
e sobre Γ
1
, tem-se
∂u
l
(t)
∂ν
= −(m.ν)g
1l
(u
l
(t)).
Assim,
2
Γ
∂u
l
(t)
∂ν
m.∇u
l
(t)dΓ = 2
Γ
0
∂u
l
(t)
∂ν
m.∇u
l
(t)dΓ + 2
Γ
1
∂u
l
(t)
∂ν
m.∇u
l
(t)dΓ =
= 2
Γ
0
∂u
l
(t)
∂ν
n
j=1
m
j
∂u
l
(t)
∂x
j
dΓ − 2
Γ
1
(m.ν)g
1l
(u
l
(t))m.∇u
l
(t)dΓ =
= 2
Γ
0
(m.ν)
∂u
l
(t)
∂ν
2
dΓ − 2
Γ
1
(m.ν)g
1l
(u
l
(t))m.∇u
l
(t)dΓ.
Por outro lado
−2
Γ
1
(m.ν)g
1l
(u
l
(t))m.∇u
l
(t)dΓ ≤ 2R
Γ
1
(mν)|g
1l
(u
l
(t))||∇u
l
(t)|dΓ ≤
≤ R
2
Γ
1
(mν)|g
1l
(u
l
(t))|
2
dΓ +
Γ
1
(mν)|∇u
l
(t)|
2
dΓ ≤
≤ R
2
3
2
d
3
2
Γ
1
(mν)|u
l
(t)|
2
dΓ +
Γ
1
(mν)|∇u
l
(t)|
2
dΓ.
(Note que |g
1l
(s)| ≤
3
2
d
3
|s|). Destas duas últimas expressões resulta
2
Γ
∂u
l
(t)
∂ν
m.∇u
l
(t)dΓ ≤ 2
Γ
0
(m.ν)
∂u
l
(t)
∂ν
2
dΓ+
+R
2
3
2
d
3
2
Γ
1
(mν)|u
l
(t)|
2
dΓ +
Γ
1
(mν)|∇u
l
(t)|
2
dΓ.
(3.148)
48
De (3.146) e (3.148), obtém-se:
−
Γ
(m.ν)|∇u
l
(t)|
2
dΓ + 2
Γ
∂u
l
(t)
∂ν
m.∇u
l
(t)dΓ ≤
≤
Γ
0
|∇u
l
(t)|
2
m.νdΓ + R
2
3
2
d
3
2
Γ
1
(mν)|u
l
(t)|
2
dΓ.
Como m.ν ≤ 0 sobre Γ
0
, resulta desta última desigualdade que
−
Γ
(m.ν)|∇u
l
(t)|
2
dΓ + 2
Γ
∂u
l
(t)
∂ν
m.∇u
l
(t)dΓ ≤
≤ R
2
3
2
d
3
2
Γ
1
(mν)|u
l
(t)|
2
dΓ.
(3.149)
Analogamente, obtemos
−
Γ
(m.ν)|∇v
l
(t)|
2
dΓ + 2
Γ
∂v
l
(t)
∂ν
m.∇v
l
(t)dΓ ≤
≤ R
2
3
2
d
4
2
Γ
1
(mν)|v
l
(t)|
2
dΓ.
(3.150)
• Análise do termo −2α(u
l
(t)v
l
(t), m∇u
l
(t)).
Note que pela estimativa (3.37) do Teorema 3.3, obtemos:
u
l
(t)
2
+ v
l
(t)
2
< |u
1
|
2
+ |v
1
|
2
+ u
0
2
+ v
0
2
+ α|u
0
v
0
|
2
+ 1 = N
1
, ∀t ≥ 0, ∀l ≥ l
0
.
Vamos introduzir a notação
w
L
6
(Ω)
≤ c
∗
1
w, ∀w ∈ V.
Agora pela desigualdade de Holder e a imersão de V → L
6
(Ω), tem-se:
−2α(u
l
(t)v
2
l
(t), m.∇u
l
(t)) = −2α
Ω
u
l
(t)v
2
l
(t)(m.∇u
l
(t))dx ≤
≤ 2αR
Ω
|u
l
(t)||v
l
(t)|
2
|∇u
l
(t)|dx ≤ 2αR
Ω
u
2
l
(t)v
4
l
(t)dx
1
2
Ω
|∇u
l
(t)|
2
dx
1
2
≤
≤ 2αRu
l
(t)
L
6
(Ω)
v
l
(t)
2
L
6
(Ω)
u
l
(t) ≤ 2αR(c
∗
1
)
3
N
1
u
l
(t)
2
.
Logo,
−2α(u
l
(t)v
2
l
(t), m.∇u
l
(t)) ≤ 2αR(c
∗
1
)
3
N
1
u
l
(t)
2
. (3.151)
De forma análoga
−2α(v
l
(t)u
2
l
(t), m.∇v
l
(t)) ≤ 2αR(c
∗
1
)
3
N
1
v
l
(t)
2
. (3.152)
49
• Análise do termo (u
l
(t), m.∇u
l
(t)).
Adota-se a convençã o de índices repetidos para indicar a so ma de 1 a n destes índices.
Note que u
l
(t) = 0 sobre Γ
0
. Tem-se:
(u
l
(t), m.∇u
l
(t)) =
Ω
u
l
(t)m
j
∂u
l
(t)
∂x
j
dx =
1
2
Ω
m
j
∂
∂x
j
(u
l
(t))
2
dx =
−
1
2
Ω
∂m
j
∂x
j
(u
l
(t))
2
dx +
1
2
Γ
1
m
j
ν
j
(u
l
(t))
2
dΓ =
−
n
2
|u
l
(t)|
2
+
1
2
Γ
1
(mν)|u
l
(t)|
2
dΓ,
isto é,
2(u
l
(t), m.∇u
l
(t)) = −n|u
l
(t)|
2
+
Γ
1
(mν)|u
l
(t)|
2
dΓ.
(3.153)
Semelhantemente encontramos
2(v
l
(t), m.∇v
l
(t)) = −n|v
l
(t)|
2
+
Γ
1
(mν)|v
l
(t)|
2
dΓ.
(3.154)
• Análise do termo −(n − 1)
Γ
1
(m.ν)g
1l
(u
l
(s))u
l
(s)dΓ.
Note que |g
1l
(s)| ≤
3
2
d
3
|s|, para todo s ∈ R.
Intro duz-se a notação
Γ
1
w
2
dΓ ≤ Kw, ∀w ∈ V.
Tem-se:
−(n − 1)
Γ
1
(m.ν)g
1l
(u
l
(s))u
l
(s)dΓ ≤ (n − 1)
Γ
1
(mν)|g
1l
(u
l
(s))||u
l
(s)|dΓ ≤
≤
3
2
(n − 1)d
3
R
1
2
Γ
1
√
2K(mν)
1
2
|u
l
(t)|
1
√
2K
|u
l
(t)|dΓ ≤
≤
1
2
(n − 1)
2
3
2
2
d
2
3
RK
2
Γ
1
(m.ν)(u
l
(t))
2
dΓ +
1
4K
2
Γ
1
(u
l
(t))
2
dΓ ≤
≤
1
2
(n − 1)
2
3
2
2
d
2
3
RK
2
Γ
1
(m.ν)(u
l
(t))
2
dΓ +
1
4
u
l
(t)
2
,
isto é,
−(n − 1)
Γ
1
(m.ν)g
1l
(u
l
(s))u
l
(s)dΓ ≤ L
1
Γ
1
(m.ν)(u
l
(t))
2
dΓ +
1
4
u
l
(t)
2
,
(3.155)
onde L
1
=
1
2
(n − 1)
2
3
2
2
d
2
3
RK
2
.
50
De forma análoga, obtém-se:
−(n − 1)
Γ
1
(m.ν)g
2l
(v
l
(s))v
l
(s)dΓ ≤ L
2
Γ
1
(m.ν)(v
l
(t))
2
dΓ +
1
4
v
l
(t)
2
,
(3.156)
onde L
2
=
1
2
(n − 1)
2
3
2
2
d
2
4
RK
2
. Substituindo (3.149)-(3.156) em (3.145) resulta
ψ
l
(t) ≤ (n − 2)u
l
(t)
2
+ R
2
3
2
d
3
2
Γ
1
(mν)|u
l
(t)|
2
dΓ + 2αR(c
∗
1
)
3
N
1
u
l
(t)
2
−
−n|u
l
(t)|
2
+
Γ
1
(mν)|u
l
(t)|
2
dΓ + (n − 1)|u
l
(t)|
2
− (n − 1)u
l
(t)
2
+
+L
1
Γ
1
(mν)|u
l
(t)|
2
dΓ +
1
4
u
l
(t)
2
+ (n − 2)v
l
(t)
2
+ R
2
3
2
d
4
2
Γ
1
(mν)|v
l
(t)|
2
dΓ+
+2αR(c
∗
1
)
3
N
1
v
l
(t)
2
− n|v
l
(t)|
2
+
Γ
1
(mν)|v
l
(t)|
2
dΓ + (n − 1)|v
l
(t)|
2
−
−(n − 1)v
l
(t)
2
+ L
2
Γ
1
(mν)|v
l
(t)|
2
dΓ +
1
4
v
l
(t)
2
− 2α(n − 1)|u
l
(t)v
l
(t)|
2
.
Cortando os termos semelhantes, na última expressão obtemos:
ψ
l
(t) ≤ −|u
l
(t)|
2
− u
l
(t)
2
+ 2αR(c
∗
1
)
3
N
1
u
l
(t)
2
+
+
1
4
u
l
(t)
2
+
R
2
3
2
d
2
3
+ 1 + L
1
Γ
1
(m.ν)|u
l
(t)|
2
dΓ−
−|v
l
(t)|
2
− v
l
(t)
2
+ 2αR(c
∗
1
)
3
N
1
v
l
(t)
2
+
1
4
v
l
(t)
2
+
+
R
2
3
2
d
2
4
+ 1 + L
2
Γ
1
(m.ν)|v
l
(t)|
2
dΓ − 2α(n −1)|u
l
(t)v
l
(t)|
2
.
(3.157)
Intro duz-se a notação
L = max
R
2
3
2
d
2
3
+ 1 + L
1
, R
2
3
2
d
2
4
+ 1 + L
2
.
Escolhe-se 0 ≤ α
0
≤ 1 tal que
α
0
≤
1
8R(c
∗
1
)
3
N
1
.
Decorre destas expressões e de (3.157) que
ψ
l
(t) ≤ −|u
l
(t)|
2
−
1
2
u
l
(t)
2
+ L
Γ
1
(m.ν)|u
l
(t)|
2
dΓ−
−|v
l
(t)|
2
−
1
2
v
l
(t)
2
+ L
Γ
1
(m.ν)|v
l
(t)|
2
dΓ −
α
2
|u
l
(t)v
l
(t)|
2
,
(3.158)
51
onde 0 ≤ α ≤ α
0
. Assim,
ψ
l
(t) ≤ −
1
2
|u
l
(t)|
2
+ |v
l
(t)|
2
−
1
2
u
l
(t)
2
+ v
l
(t)
2
−
−
α
2
|u
l
(t)v
l
(t)|
2
+ L
Γ
1
(m.ν)[|u
l
(t)|
2
+ |v
l
(t)|
2
]dΓ,
onde 0 ≤ α ≤ α
0
e α
0
= min
1,
1
8R(c
∗
1
)
3
N
1
.
Sendo g
il
(s)s ≥ d
i
s
2
, i = 1, 2 para todo s ∈ R, obtemos da desigualdade acima que
ψ
l
(t) ≤ −
1
2
|u
l
(t)|
2
+ |v
l
(t)|
2
−
1
2
u
l
(t)
2
+ v
l
(t)
2
−
α
2
|u
l
(t)v
l
(t)|
2
+
+L
∗
Γ
1
(m.ν)[g
1l
(u
l
(t))u
l
(t) + g
2l
(v
l
(t))v
l
(t)]dΓ,
(3.159)
onde L
∗
= max{
1
d
1
L,
1
d
2
L}.
Considerando a derivada da expressão (3.138), obtemos:
E
lε
(t) = E
l
(t) + εψ
(t). (3.160)
Notemos inicialmente que
E
l
(t) = −
Γ
1
(mν)g
1l
(u
l
(t))u
l
(t)dΓ −
Γ
1
(mν)g
2l
(v
l
(t))v
l
(t)dΓ. (3.161)
Multiplicando (3.159) por ε > 0 e substituindo em (3.160), e posteriormente usando
(3.161), obtemos:
E
lε
(t) ≤ −ωE
l
(t) − (1 − εL
∗
)
Γ
1
(mν)g
1l
(u
l
(s))u
l
(s)dΓ−
−(1 − εL
∗
)
Γ
1
(mν)g
2l
(v
l
(s))v
l
(s)dΓ,
(3.162)
onde
ω
2
= ε e 0 < ε < min
2
R +
n−1
2λ
1
, (L
∗
)
−1
.
Agora notando que mν ≥ 0 sobre Γ
1
, segue-se de (3.162) que:
E
lε
(t) ≤ −
ω
2
E
l
(t).
Da desigualdade acima e de (3.140), obtemos:
E
lε
(t) ≤ −
ω
2
E
lε
(t). (3.163)
Portanto,
E
lε
(t) ≤ E
lε
(0)e
ω
2
t
, ∀t ≥ 0.
52
Sendo E
lε
(0) ≤ 2E
l
(0) e
E
l
(t)
2
≤ E
lε
(t), obtemos:
E
l
(t) ≤ 4E
l
(0)e
−
ω
2
t
, ∀t ≥ 0, (3.164)
o que mostra o teorema para a energia aproximada.
Notemos agora que E
l
(0) → E(0) e que usando a estimativas (3.92) mostra-se que
E(t) ≤ lim inf E
l
(t), ∀t ≥ 0. Tomando o limite inferior em (3.164) quando l → ∞ e
usando estes dois últimos limites, obtemos:
E(t) ≤ 4E(0)e
−
ω
2
t
, ∀t ≥ 0. (3.165)
53
Capítulo 4
Dissipação atuando na Front eira para
um Sistema Acoplado de Equações de
Kirchhoff.
4.1 Introdução
As pequenas vibrações transversais de uma corda elástica de comprimento L pressa
no seus extremos, quando é levado em consideração a variação da tensão, é descrita pela
seguinte equação:
u
tt
(x, t) −
m
0
+ m
1
L
0
u
2
x
(x, t)dx
u
xx
(x, t) = 0, 0 < x < L, t > 0, (4.1)
onde m
0
é a tensão inicial e m
1
esta relacionado com o material da corda.
O modelo (4.1) foi introduzida por G.Kirchhoff [15].
As vibrações acima, quando considerem-se as três componentes {u, v, w} do desloca-
mento, é descrito pelo seguinte sistema:
u
x
(x, t) +
1
2
v
2
x
(x, t) + w
2
x
(x, t)
=
1
2L
L
0
v
2
x
(x, t) + w
2
x
(x, t)
dx, 0 < x < L, t > 0
v
tt
(x, t) −
m
0
+ m
1
L
0
[v
2
x
(x, t) + w
2
x
(x, t)]dx
v
xx
(x, t) = 0, 0 < x < L, t > 0
w
tt
(x, t) −
m
0
+ m
1
L
0
[v
2
x
(x, t) + w
2
x
(x, t)]dx
w
xx
(x, t) = 0, 0 < x < L, t > 0.
(4.2)
Este sistema foi introduzido por A.H. Nayfeh e D.T. Mook [39].
54
Observe que uma vez conhecidos v e w satisfazendo as equações (4.2)
2
e (4.2)
3
, re-
spectivamente, é possível determinar a solução u de (4.2)
1
.
Seja Ω um aberto limitado do R
n
com fronteira regular Γ e M(λ) uma função re-
gular satisfazendo M(λ) ≥ m
0
> 0. Uma significativa generalização da equação (4.1) é a
seguinte:
(K) u
(x, t) + M
Ω
|∇u(x, t)|
2
dx
(−u(x, t)) = 0, x ∈ Ω, t > 0;
e das duas últimas equações de (4.2) :
(N)
v
(x, t) + M
Ω
[|∇v(x, t)|
2
+ |∇w(x, t)|
2
]dx
(−v(x, t)) = 0, x ∈ Ω, t > 0,
w
(x, t) + M
Ω
[|∇v(x, t)|
2
+ |∇w(x, t)|
2
]dx
(−w(x, t)) = 0, x ∈ Ω, t > 0.
A equação (K) tem sido extensivamente estudada. Primeiro, comenta-se brevemente,
o estudo da existência de soluções do problema misto para (K) com condições de Dirichlet
nulas em Γ. Com efeito, soluções globais com dados iniciais C
∞
e satisfa zendo certas
propriedades, tem sido obtidas, entre outros por S.Bernstein [6], S.I. Pohozaev [41],
J.L.Lions [25], A.Arosio e S. Spagnolo [2] e H.Clark[7]. Observa-se que soluções globais
com da dos iniciais em H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω), H
1
0
(Ω) e M(λ) geral é um problema em aberto.
Soluções locais tem sido obtido, entre outros, por Y. Ebihara, L.A. Medeiros e M.Milla
Miranda [11], A.Arosio e S.Garavaldi [1] e Y. Yamada [47].
Quando consideramos a formulação abstrata de (K) com u
0
∈ D(A), u
1
∈ D(A
1
2
),
θ =
1
2
e A
−1
for um operador não compacto de H, a existência de so lução local foi
analizado por M.P. Matos [26], H. Crippa [10] e S.S. Sousa e M.Milla Miranda [43].
Para a existência de solução local, global e o c omportamento assintótico da equação
de Kirchhoff-Carrier em espaços de Banach podemos citar os recentes trabalhos de
R.Izaguirre, R.Fuentes e M.Milla Miranda [13 ] e [14].
Uma lista e xtensiva de referências sobre a equação de Kirchhoff pode ser encontrada
em L.A. Medeiros, J.Limaco e S.B, Menezes [28].
Para obter soluções globais de (K) com dados em H
1
0
(Ω)∩H
2
(Ω), H
1
0
(Ω), introduz-se
uma dissipaçã o na equação ou uma dissipação na fronteira. No primeiro caso tem-se os
resultados, entre outros, de L.A.Medeiros e M.Milla Miranda [32], M. Hosoya e Y.Yamada
[12], S.Kouémou-Patcheu [19] e J. Limaco, H.R. Clark e L.A. Medeiros [23]. No segundo
caso, enumera-se os resultados de K. Ono [40], M.Tucsnak [45] (ambas para n=1), M.Milla
55
Miranda e L.P.San Gil Jutuca [38] e J.Ong e I.Lasiecka [20]. Neste último trabalho a
dissipação na fronteira é de classe C
1
e globalmente lipschitziana porém M(λ) tem a
forma particular M(λ) = m
0
+ m
1
λ.
Nossos resultados obtidos melhora o resultado obtido por M.Milla Miranda e L.P.San
Gil Jutuca [38] em relação a não linearidade em parte da fronteira e em relação ao
trabalho de J.Ong e I.Lasiecka [20] a forma da M.
Observa-se que em todos estes últimos quatro trabalhos a norma dos dados iniciais é
pequena.
Nosso objetivo é estudar o sistema (N) com uma dissipação globalmente lipschitziana
na fronteira.
A seguir descreve- se o problema a estudar. Supõe-se que a fronteira Γ de Ω está
constituída de duas partes disjuntas e fechadas Γ
0
e Γ
1
. Denota-se por ν(x) à normal
unitária exterior em x ∈ Γ
1
. Introduz-se duas funções regulares M
1
(t, λ, ξ) e M
2
(t, λ, ξ)
verificando
M
i
(t, λ, ξ) ≥ m
i
> 0 (m
i
constantes), i = 1, 2,
e funções h
i
(x, s), i = 1, 2 definida em x ∈ Γ
1
e s ∈ R. Nessas condições tem-se o seguinte
problema:
(S)
u
− M
1
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)u = 0 em Ω × (0, ∞)
v
− M
2
(t, v(t)
2
, u(t)
2
)v = 0 em Ω × (0, ∞)
u = 0 sobre Γ
0
× (0, ∞)
v = 0 sobre Γ
0
× (0, ∞)
∂u
∂ν
+ h
1
(., u
) = 0 sobre Γ
1
× (0, ∞)
∂v
∂ν
+ h
2
(., v
) = 0 sobre Γ
1
× (0, ∞)
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
em Ω
v(0) = v
0
, v
(0) = v
1
em Ω.
As condições iniciais devem verificar as c ondições de compatibilidade
∂u
0
∂ν
+ h
1
(., u
1
) = 0 sobre Γ
1
∂v
0
∂ν
+ h
2
(., v
1
) = 0 sobre Γ
1
.
56
Quando h
i
(x, s) verifica h
i
∈ C
1
(R; L
∞
(Γ
1
)) e
h
i
(x, v(x)) ∈ L
2
(Γ
1
), h
i
(x, s) ≥ d
i
> 0 q.t.p x ∈ Γ
1
, i = 1, 2
obtém-se uma solução local de (S).
Por questão de comodidade, vamos escrever simplismente h
1
= h
2
= h.
O decaimento exponencial de (S) é obtido para o caso particular
(S
1
)
u
− M(t, u(t)
2
+ v(t)
2
)u = 0 em Ω × (0, ∞)
v
− M(t, u(t)
2
+ v(t)
2
)v = 0 em Ω × (0, ∞)
u = 0 sobre Γ
0
× (0, ∞)
v = 0 sobre Γ
0
× (0, ∞)
∂u
∂ν
+ (m.ν)h(u
) = 0 sobre Γ
1
× (0, ∞)
∂v
∂ν
+ (m.ν)h(v
) = 0 sobre Γ
1
× (0, ∞)
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
em Ω
v(0) = v
0
, v
(0) = v
1
em Ω,
onde m(x) = x − x
0
, x ∈ R
n
, x
0
fixo e h ∈ C
0
(R) verificando
0 < d
0
s
2
≤ h(s)s ≤ d
1
s
2
< ∞, ∀s ∈ R.
Na obtenção de soluções locais utiliza-se argumentos de ponto fixo e resultados de
traço de funções não regulares. Pela forma particular de (S
1
) este pode ser escrito numa
forma vetorial com duas componentes
u
v
,
e seu estudo fica reduzido ao de uma equação escalar. A obtenção de soluções globais
desta equação escalar foi inspirado pelo trabalho de I. Lasiecka e J.Ong [20]. Neste artigo
eles obtem solução global para a equação com a função particular M(λ) = m
0
+ m
1
λ.
O decaimento exponencial da energia da equação escalar é obtida usando o método de
pertubação da energia ( funcional de Lyapunov), a técnica dos multiplicadores e uma
identidade de Rellich (ver Komornik, V e E, Zuazua [18] e M.Milla Miranda e L.P.S. Gil
Jutuca [38]).
57
4.2 Resultados Fundamentais
O objetivo desta seção é obter resultados que permitam construir uma base especial
em V ∩H
2
(Ω). No entanto, a demonstração que daremos permite construir tal base para
qualquer função h contínua, crescente e com a propriedade que h(., ϕ) ∈ L
2
(Γ
1
) para
toda ϕ ∈ L
2
(Γ
1
).
Seja V o espaço de Hilbert definido por
V = {v ∈ H
1
(Ω); v = 0 sobre Γ
0
}
munido do produto escalar
((u, v)) =
Ω
∇v(x)∇u(x)dx
e norma
u =
Ω
|∇u(x)|
2
dx
1
2
.
Seja W o espaço de Hilbert
W = {u ∈ V : u ∈ L
2
(Ω)},
munido do produto escalar
(u, v)
W
= ((u, v)) + (u, v).
Proposição 4.1 Sejam f ∈ L
2
(Ω) e g ∈ H
−
1
2
(Γ
1
). Então a solução u do problema de
valor de fronteira:
−∆u = f em Ω
u = 0 sobre Γ
0
∂u
∂ν
= g sobre Γ
1
(4.1)
pertence a W e
u
W
≤ C
|f| + g
H
−
1
2
(Γ
1
)
.
Demonstração: Consideremos o problema:
(∗)
−w = 0 em Ω
w = 0 sobre Γ
0
∂w
∂ν
= g sobre Γ,
58
Por L.A.Medeiros e M.Milla Miranda [31], tem-se que a aplicação
{0, g} ∈ L
2
(Ω) × H
−
1
2
(Γ
1
) → w ∈ W = {w ∈ V ; u ∈ L
2
(Ω)},
onde w é a solução do problema (∗) acima, é bijetora e contínua. Assim,
w
W
≤ Cg
H
−
1
2
(Γ
1
)
.
Agora consideremos o seguinte problema:
−∆v = f em Ω
v = 0 sobre Γ
0
∂v
∂ν
= 0 sobre Γ
1
.
(4.2)
A solução fraca v do Problema 4.2 pertence a H
2
(Ω) e por resultados de regularização
elíptica tem-se:
v
H
2
(Ω)
≤ C|f|
Então, u = v + w ∈ W e u é uma soluçã o do Problema 4.1. Portanto,
u
W
≤ C[|f| + g
H
−
1
2
(Γ
1
)
]
Observação 4.1 Em W as normas de u
W
e
u
W
=
|u|
2
+
∂u
∂ν
H
−
1
2
(Γ
1
)
1
2
,
são equivalentes.( cf. Teorema 3.11, pg. 189 de L.A. Medeiros e M.Milla Miranda [34].)
Intro duzimos a hipótese:
(H1) h ∈ C
0
(R, L
∞
(Γ
1
)), h(x, s) não decrescente em s para q.t.p x ∈ Γ
1
e h(., ϕ) ∈ L
2
(Γ
1
)
para toda ϕ ∈ L
2
(Γ
1
).
Exemplo 4.2.1 A função h(x, s) = (sens + 2s)β(x), com β ∈ L
∞
(Γ
1
) e β(x) ≥ β
0
> 0
satisfaz a hipótese (H1).
Proposição 4.2 Assuma (H1). Então,
h : V → L
2
(Γ
1
), z → h(., z)
é contínua.
59
Demonstração: Seja z
l
→ z em V. Então pela imersão de V → L
2
(Γ
1
), tem-se que
z
l
→ z em L
2
(Γ
1
). Assim existe uma subsequência de (z
l
), a qual a inda será denotada
por (z
l
), e uma função f ∈ L
2
(Γ
1
) tais que:
(a) z
l
(x) → z(x) q.t.p x ∈ Γ
1
;
(b) |z
l
(x)| ≤ f(x) q.t.p x ∈ Γ
1
.
Por h ser contínua em s, decorre de (a) que
h(x, z
l
(x)) → h(x, z(x)) q.t.p x ∈ Γ
1
. (4.3)
Tem-se
(i) |h(x, z
l
(x)) − h(x, z(x))|
2
≤ g(x), g ∈ L
1
(Γ
1
).
Com efeito,
(ii) |h(x, z
l
(x)) − h(x, z(x))|
2
≤ 2[h(x, z
l
(x))]
2
+ 2[h(x, z(x))]
2
.
Como h é crescente na segunda variável, obtém-se:
h(x, −f(x)) ≤ h(x, z
l
(x)) ≤ h(x, f(x)),
onde f(x) foi introduzido em (b). Logo,
(iii) [h(x, z
l
(x))]
2
≤ [h(x, f(x))]
2
+ [h(x, −f (x))]
2
= g
1
(x), g
1
∈ L
1
(Γ
1
).
Também por hipótese vem que
(iv) [h(x, z(x))]
2
∈ L
1
(Γ
1
). Combinando (ii)-(iv), obtém-se a afirmação 1.
De (4.3), (i) e do Teorema da Convergência Dominada de Lebesque, resulta que
h(., z
l
) → h(., z) em L
2
(Γ
1
).
Como o raciocínio anterior pode ser feito com qualquer subsucessão de (z
l
) e sendo o
limite sempre h(., z) vem que toda a sucessão (z
l
) converge para h(., z) em L
2
(Γ
1
).
Corolário 2 Sob as mesmas hipóteses da Proposição 4.2 tem-se que
h : L
2
(Γ
1
) → L
2
(Γ
1
), z → h(., z)
é contínua.
Corolário 3 h ∈ C
0
(R, L
∞
(Γ
1
)), h(x, s) não decrescente em s para q.t.p x ∈ Γ
1
tal que
h(., ϕ) ∈ L
2
(Γ
1
×]0, T [), para toda ϕ ∈ L
2
(Γ
1
×]0, T [). Então
h : L
2
(Γ
1
×]0, T [) → L
2
(Γ
1
×]0, T [)
é contínua.
60
Proposição 4.3 Assuma a hipótese (H1). Suponhamos u
0
∈ W, u
1
∈ V e
∂u
0
∂ν
+ h(., u
1
) = 0 sobre Γ
1
.
Então, para cada ε > 0 existem w e z em W tal que
w −u
0
W
< ε, z − u
1
< ε,
e
∂u
∂ν
+ h(., z) = 0 sobre Γ
1
.
Demonstração: Fixa-se ε > 0 arbitrário. Como h : V → L
2
(Γ
1
) é contínua e W é
denso em V, tem-se que existem z ∈ W e δ > 0 com δ < ε tais que
z − u
1
< δ e h(., z) − h(., u
1
)
L
2
(Γ
1
)
< ε.
Consideremos o seguinte problema:
−w = −u
0
em Ω
w = 0 sobre Γ
0
∂w
∂ν
= −h(., z) sobre Γ
1
.
(4.4)
Como u
0
∈ L
2
(Ω) e h(., u
1
), h(., z) ∈ L
2
(Γ
1
) → H
−
1
2
(Γ
1
), segue-se pela Observação
4.1 que:
w −u
0
2
W
= |∆(w −u
0
)|
2
+
∂w
∂ν
−
∂u
0
∂ν
H
−
1
2
(Γ
1
)
≤
≤ C
∂w
∂ν
−
∂u
0
∂ν
L
2
(Γ
1
)
= Ch(., z) − h(., u
1
)
2
L
2
(Γ
1
)
≤ Cε
2
.
Portanto, encontramos z e w nas condições da Proposição 4.3.
Observação 4.2 Como h(., s) é uma função crescente tem-se que o operador
h : L
2
(Γ
1
) → L
2
(Γ
1
), s → h(., s)
é monótono.
Dizemos que u ∈ L
p
loc
(0, T
max
; X), X sendo um espaço de Hilbert, quando u ∈
L
p
(0, T ; X) para cada 0 < T < T
max
.
Intro duzimos a seguinte hipótese sobre a função h.
(H2) h ∈ C
1
(R, L
∞
(Γ
1
)), h(x, 0) = 0 q.t.p x ∈ Γ
1
e
h
(x, s) ≥ d
0
> 0, q.t.p x ∈ Γ
1
.
61
Observação 4.3 Note que, para x ∈ Γ
1
fixo, resulta que h(x, s) =
∂h
∂s
(x, s
∗
)s. Portanto,
h(x, s)s = h
(x, s
∗
)s
2
≥ d
0
s
2
, ∀s ∈ R, q.t.p x ∈ Γ
1
.
4.3 Problema Associado.
Associado ao sistema (∗∗) vamos considerar o seguinte problema:
(∗ ∗ ∗)
θ
− µ(t)θ = 0 em Ω ×(0, ∞)
θ = 0 sobre Γ
0
× (0, ∞)
∂θ
∂ν
+ h(., θ
) = 0 sobre Γ
1
× (0, ∞)
θ(0) = θ
0
, θ
(0) = θ
1
, em Ω,
onde µ ∈ W
1,1
loc
(0, ∞) e µ(t) ≥ µ
0
> 0, para todo t ∈ [0, ∞), µ
0
constante.
Resolveremos o problema (∗∗∗) pelo método de Galekin com uma base especial. As
estimativas a priori obtidas na demonstração do problema (∗ ∗ ∗) serão essenciais para
obter uma solução local do sistema (∗∗) pelo método do ponto fixo de Banach.
Para a existência de solução do sistema linearizado associado ao sistema (∗∗) as-
sumiremos as hipóteses (H1) e (H2) sobre a função h.
Teorema 4.1 Sejam µ ∈ W
1,1
loc
(0, ∞) com µ(t) ≥ µ
0
> 0, µ
0
constante, e h satisfazendo
as hipóteses (H1) e (H2). Sejam θ
0
∈ W e θ
1
∈ V, verificando
∂θ
0
∂ν
+ h(., θ
1
) = 0 sobre Γ
1
.
Então, existe uma única função θ na classe
θ ∈ L
∞
loc
(0, ∞; W ), θ
∈ L
∞
loc
(0, ∞; V )∩ ∈ L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)), θ
∈ L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω))
(4.5)
tal que θ é solução da equação
θ
− µθ = 0 em L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω))
(4.6)
verificando as condições de fronteira
∂θ
∂ν
+ h(., θ
) = 0 em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
))
(4.7)
e as condições iniciais
θ(0) = θ
0
, θ
(0) = θ
1
.
(4.8)
62
Intro duzimos a hipótese.
(H3) h ∈ C
1
(0, ∞; L
2
(Γ
1
)), h
(x, s) ≤ d
1
, ∀s ∈ R, q.t.p x ∈ Γ
1
(d
1
> 0 constante).
Tem-se o seguinte resultado.
Corolário 4 Se além das hipóteses do Teorema 4.1 verifica-se (H3), então
∂θ
∂ν
+ h(., θ
) = 0 em C
0
([0, ∞); L
2
(Γ
1
))
∂θ
∂ν
+ (h(., θ
))
= 0 em L
2
loc
([0, ∞); L
2
(Γ
1
))
Demonstração: A prova do Teorema 4.1 é feita pelo método de Galerkin com uma base
especial para W. De fato, pela Proposição 4.3, obtemos sequências (θ
0
l
), (θ
1
l
) de vetores
de W satisfazendo:
lim
l→∞
θ
0
l
= θ
0
em W
lim
l→∞
θ
1
l
= θ
1
em V
∂θ
0
l
∂ν
+ h(., θ
1
l
) = 0 sobre Γ
1
.
(4.9)
Utilizando as sequências acima, para cada l ∈ N, construiremos uma base especial
de W da seguinte fo rma: primeiro, determinamos uma base ortonormal {w
l
1
, w
l
2
} do
subespaço de W gerado pelos vetores θ
0
l
, θ
1
l
. Pelo processo de ortogonalização de Gram-
Schmidt, completaremos (w
l
j
) até obtermos uma base para W. Esta base especia l de W
é representada por
{w
l
1
, w
l
2
, . . . . . . , w
l
j
, . . .} para cada l ∈ N. (4.10)
Fixemos l ∈ N. Para m ∈ N consideremos o subespaço V
l
m
de V ∩ H
2
(Ω) gerado por
[w
l
1
, w
l
2
, . . . , w
l
m
]. Com esta base de dimensão finita determinamos soluções aproximadas
u
lm
(t) do Problema (4.11), isto é,
θ
lm
(t) =
m
j=1
g
jlm
(t)w
l
j
,
onde g
jkm
(t) é definida pelo sistema
(θ
lm
(t), v) + µ(t)((θ
lm
(t), v)) + µ(t)
Γ
1
h(., θ
lm
(t))vdΓ = 0,
∀v ∈ V
l
m
θ
lm
(0) = θ
0
l
e θ
lm
(0) = θ
1
l
.
(4.11)
63
Mostra-se que o sistema (4.11) encontra-se nas condições do Teorema de Caratheodory
para equações diferenciais ordinárias. Deste teorema resulta que existe (g
jlm
(t))
1≤j≤m
definidas num intervalo [0, t
lm
). As estimativas a seguir permitirão extender a solução ao
interva lo [0, T ], para qualquer número real T > 0.
Primeira Estimativa: Fazendo v = θ
lm
(t) ∈ V
l
m
na equação aproximada (4.11)
1
,
obtemos
1
2
d
dt
|θ
lm
(t)|
2
+
1
2
d
dt
µ(t)θ
lm
(t)
2
+ µ(t)
Γ
1
h(x, θ
lm
(t))θ
lm
(t)dΓ ≤
1
2
|µ
(t)|θ
lm
(t)
2
.
Integrando a desigualdade acima de 0 a t onde 0 ≤ t ≤ t
lm
e usando a hipótese que
h(x, s)s ≥ d
0
s
2
, ∀s ∈ R e q.t.p x ∈ Γ
1
, obtemos:
|θ
lm
(t)|
2
+ µ(t)θ
lm
(t)
2
+ 2d
0
µ
0
t
0
Γ
1
(θ
lm
(s))
2
dΓds ≤
≤ |θ
1
l
|
2
+ µ(0)θ
0
l
2
+
t
0
|µ
(s)|θ
lm
(s)
2
ds.
Notando que µ(t) ≥ µ
0
> 0, obtemos da desigualdade de Gronwall que:
|θ
lm
(t)|
2
+ µθ
lm
(t)
2
+ 2d
0
t
0
Γ
1
(θ
lm
(s))
2
dΓds ≤
≤ (|θ
1
l
|
2
+ µ(0)θ
0
l
2
)exp
2
t
0
|µ
(s)|
µ(s)
ds
.
Sendo (θ
0
l
) e (θ
1
l
) convergentes obtemos da desigualdade acima que:
|θ
lm
(t)|
2
+ µ(0)θ
lm
(t)
2
+ 2d
0
t
0
Γ
1
[(θ
lm
(s))
2
]dΓds ≤ C(T ),
onde C uma constante independente de l, m ∈ N, para todo 0 ≤ t ≤ T.
Donde podemos estender a solução ao intervalo [0, T ] e obtermos
(θ
lm
) é limitada em L
∞
(0, T ; V ) (4.12)
(θ
lm
) é limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)) (4.13)
(θ
lm
) é limitada em L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
)). (4.14)
Segunda Estimativa: Primeiro mostraremos que (θ
lm
(0)) é limitada em L
2
(Ω).
De fato, considerando t = 0 na equação aproximada temos:
(θ
lm
(0), v) + µ(0)((θ
lm
(0), v)) + µ(0)
Γ
1
h(x, θ
lm
(0))vdΓ = 0, ∀v ∈ V
l
m
,
64
ou seja,
(θ
lm
(0), v) + µ(0)((θ
0
l
, v)) + µ(0)
Γ
1
h(x, θ
1
l
)vdΓ = 0. (4.15)
Usando a fórmula de Green na segunda parcela em (4.15) e o fato que
∂θ
0
l
∂ν
= −h(x, θ
1
l
),
sobre Γ
1
, obtemos:
(θ
lm
(0), v) − (µ(0)∆u
0
l
, v) = 0. (4.16)
Considerando v = θ
lm
(0) em (4.16) e usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, o fato
que θ
0
l
converge para θ
0
em W, obtemos que
(θ
lm
(0)) é limitada em L
2
(Ω).
Observação 4.4 Na limitação de (θ
lm
(0)) vemos a importância da condição de fron-
teira da base especial.
Derivando a equação aproximada (4.11)
1
com respeito a t e considerando v = θ
lm
(t) ∈
V
l
m
, obtemos:
1
2
d
dt
|θ
lm
(t)|
2
+ µ(t)θ
lm
(t)
2
+ µ(t)
Γ
1
(θ
lm
(t))
2
h
(x, θ
lm
(t))dΓ =
=
1
2
µ
(t)θ
lm
(t)
2
− µ
(t)((θ
lm
(t), θ
lm
(t))) − µ
(t)
Γ
1
h(x, θ
lm
(t))θ
lm
(t)dΓ.
(4.17)
Considerando v =
µ
1
(t)
µ
1
(t)
θ
lm
(t) na equação aproximada (4.11)
1
, obtemos:
µ
(t)
µ(t)
|θ
lm
(t)|
2
= −µ
(t)((θ
lm
(t), θ
lm
(t))) − µ
(t)
Γ
1
h(x, θ
lm
(t))θ
lm
(t)dΓ.
Substituindo essa igualdade em (4.17) e usando o fato que h
(x, s) ≥ d
0
para todo
s ∈ R, e q.t.p x ∈ Γ
1
, obtemos:
1
2
d
dt
|θ
lm
(t)|
2
+ µ(t)θ
lm
(t)
2
+ d
0
µ
0
Γ
1
(θ
lm
(t))
2
dΓ ≤
≤
1
2
|µ
(t)|
µ(t)
|θ
lm
(t)|
2
+ µ(t)θ
lm
(t)
2
.
(4.18)
Integrando de 0 a t com 0 ≤ t ≤ t
lm
e usando a desigualdade de Gronwa ll, o btemos
|θ
lm
(t)|
2
+ µ
0
θ
lm
(t)
2
+ d
0
µ
0
t
0
Γ
1
(θ
lm
(s))
2
dΓds ≤
≤ (|θ
lm
(0)|
2
+ µ(0)θ
1
l
2
)exp
2
t
0
|µ
(s)|
µ(s)
ds
.
(4.19)
65
Usando o fato que (θ
lm
(0)) é limitada em L
2
(Ω) e ainda que (θ
1
l
) converge para θ
1
em
V, obtemos da desigualdade acima que
|θ
lm
(t)|
2
+ µ
0
θ
lm
(t)
2
+ 2d
0
µ
0
t
0
Γ
1
(θ
lm
(s))
2
dΓds ≤ C(T ),
(4.20)
onde C(T ) é uma constante independente de l, m ∈ N, para todo 0 ≤ t ≤ T.
Donde obtemos:
(θ
lm
) é limitada em L
∞
(0, T ; V ) (4.21)
(θ
lm
) é limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)) (4.22)
(θ
lm
) é limitada em L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
)). (4.23)
De (4.21) e do teorema do traço de ordem zero, tem-se:
(θ
lm
) é limitada em L
∞
(0, T ; H
1
2
(Γ
1
)). (4.24)
As estimativas (4.12), (4.21), (4.22), (4.23) e (4.24), permitem obter uma subsequência
de (θ
lm
), a qual ainda vamos denotar por (θ
lm
) e uma função θ
l
: Ω ×(0, T ) → R tais que
θ
lm
∗
θ
l
em L
∞
(0, T ; V ) (4.25)
θ
lm
∗
θ
l
em L
∞
(0, T ; V ) (4.26)
θ
lm
∗
θ
l
em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)) (4.27)
θ
lm
∗
θ
l
em L
∞
(0, T ; H
1
2
(Γ
1
)) (4.28)
θ
lm
θ
l
em L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
)). (4.29)
Sendo a imersão de H
1
2
(Γ
1
) em L
2
(Γ
1
) compacta, tem-se a partir de (4.28), (4.29) e
do Teorema de Aubin-Lions que existe uma subsequência de (θ
lm
), ainda denotada por
(θ
lm
), tal que
θ
lm
→ θ
l
em L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
)). (4.30)
Logo pelo Corolário 3, obtemos:
h(., θ
lm
) → h(., θ
l
) em L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
)). (4.31)
Multiplicando a equação aproximada (4.11)
1
por ϕ ∈ D(0, T ), integrando de 0 a T,
usando as convergências (4.25 ), (4.27 ) e (4.3 1) e fazendo m → ∞, obtemos:
66
T
0
(θ
l
(t), v)ϕ(t)dt +
T
0
µ(t)((θ
l
(t), v))ϕ(t)dt +
T
0
µ(t)
Γ
1
h(θ
l
(t))vϕ(t)dΓdt = 0,
(4.32)
para todo ϕ ∈ D(0, T ) e v ∈ W.
Observe que as estimativas obtidas são válidas para todo l ∈ N. Então pelo mesmo
processo usado para obter as convergências acima, obtemos uma subsequência de (θ
l
), a
qual ainda vamos denotar por (θ
l
), e uma função θ : Ω × (0, T ) → R tais que:
θ
l
∗
θ em L
∞
(0, T ; V ); (4.33)
θ
l
∗
θ
em L
∞
(0, T ; V ) (4.34)
θ
l
∗
θ
em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)) (4.35)
θ
l
∗
θ
em L
∞
(0, T ; H
1
2
(Γ
1
)) (4.36)
θ
l
θ
em L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
)). (4.37)
Seguindo o mesmo raciocínio para encontrar (4.31), obtemos:
h(., θ
l
) h(., θ
) em L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
)). (4.38)
Fazendo l → ∞ em (4.32) e usando as convergências (4.33), (4.3 5) e (4.38) obtemos:
T
0
(θ
(t), v)ϕ(t)dt +
T
0
µ(t)((θ(t), v))ϕ(t)dt +
T
0
µ(t)
Γ
1
h(., θ
(t))vϕ(t)dΓdt = 0,
(4.39)
para todo ϕ ∈ D(0, T ) e v ∈ W. Considerando θ ∈ D(0, T ) e v ∈ D(Ω) tem-se por (4.39)
que:
u
− µ∆u = 0 em D
(Q), Q = Ω × (0, T ).
Como θ
∈ L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)), obtemos:
θ
− µ∆θ = 0 em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)). (4.40)
Sendo θ ∈ L
∞
(0, T ; V ) e por (4.40), ∆θ ∈ L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)), tem-se cf em M.Milla
Miranda [37] que
∂θ
∂ν
∈ L
∞
(0, T ; H
−
1
2
(Γ
1
)). Multiplicando amb os os membros de (4.40)
por vϕ com v ∈ W e ϕ ∈ D(0, T ) e usando a fórmula de Green, obtemos:
T
0
(θ
(t), v)ϕ(t)dt +
T
0
µ(t)((θ(t), v))ϕ(t)dt −
T
0
µ(t)
∂θ(t)
∂ν
, v
ϕ(t)dt = 0, (4.41)
67
onde , denotada a dualidade ,
H
1
2
(Γ
1
)×H
−
1
2
(Γ
1
)
.
Comparando (4.39) e (4.41), obtemos:
T
0
µ(t)
∂θ(t)
∂ν
+ h(., θ
), v
ϕ(t)dt = 0 (4.42)
o que implica
∂θ(t)
∂ν
+ h(., θ
) = 0 sobre Γ
1
× (0, T ). (4.43)
Daí e de h(., θ
) ∈ L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
)) tem-se que:
∂θ
∂ν
+ h(., θ
) = 0 em L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
)). (4.44)
A unicidade de soluções é obtida pelo método da energia. Pelo processo de diagonali-
zação, obtém-se a regularidade expressada no teorema para θ em [0, ∞).
Observação 4.5 Da regularidade (4.5) e da (4.6) segue
θ ∈ C
0
s
([0, T ]; V ) ∩ C
1
s
([0, T ]; V ), ∀ T > 0.
Demonstração: Prova do Corolário 4. Com efeito, do fato que
θ
∈ L
2
loc
(0, ∞; L
2
(Γ
1
))
e (h(., θ
))
= h
(., θ
)θ
segue-se |(h(., θ
))
| ≤ d
1
|θ
| o que implica o resultado.
4.4 Existência de Solução Local
Nosso objetivo nesta seção é provar a existência de solução local do sistema (∗∗)
quando {u
0
, v
0
} e {u
1
, v
1
} são regulares. Mostraremos a existência de uma solução local
para o sistema (∗∗), usando o Teorema do Ponto Fixo de Banach.
A seguir vamos co nsiderar as seguintes hipóteses sobre as funções M
i
, i = 1, 2.
(H4) M
i
∈ W
1,∞
loc
(]0, ∞[×]0, ∞[×]0, ∞[) com M
i
(t, λ, ξ) ≥ m
i
> 0, com
(m
i
constantes, i = 1, 2), ∀{t, λ, ξ} ∈ ([0, ∞[)
3
.
Teorema 4.2 Sejam {u
0
, u
1
}, {v
0
, v
1
} ∈ W ×V tal que as condições de compatibilidade
∂u
0
∂ν
+ h(., u
1
) = 0,
∂v
0
∂ν
+ h(., v
1
) = 0 sobre Γ
1
,
68
são satisfeitas. Suponhamos que as funções M
i
satisfazem a hipótese (H4) e a função h
verificando as hipóteses (H1) e (H2). Então, existe T
0
> 0 e um único par de funções
u, v : Ω × (0, T
0
) → R na classe
{u, v} ∈ (L
∞
(0, T
0
; W ))
2
{u
, v
} ∈ (L
∞
(0, T
0
; V )
2
{u
, v
} ∈ (L
∞
(0, T
0
; L
2
(Ω)))
2
,
(4.45)
tal que {u, v} é uma solução do sistema acoplado
u
− M
1
(t, u
2
, v
2
)u = 0 em L
∞
(0, T
0
; L
2
(Ω))
v
− M
2
(t, v
2
, u
2
)v = 0 em L
∞
(0, T
0
; L
2
(Ω)),
(4.46)
verifica as condições de fronteira
∂u
∂ν
+ h(., u
) = 0 em L
2
(0, T
0
; L
2
(Γ
1
))
∂v
∂ν
+ h(., v
) = 0 em L
2
(0, T
0
; L
2
(Γ
1
)),
(4.47)
e satisfaz as condições iniciais
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
v(0) = v
0
, v
(0) = v
1
.
(4.48)
Demonstração: Mostraremos que o sistema (4.46) possui uma solução local usando o
Teorema do Ponto Fixo de Ba nach.
Vamos considerar um número real R > 0 tal que
R >
2
m
1
2
0
(R
1
+ R
2
), (4.49)
onde
1
m
1
2
0
= máx{
1
m
1
1
2
,
1
m
2
1
2
} e
R
2
1
= |u
1
|
2
+ M
1
(0, u
0
2
, v
0
2
)u
0
2
+ |v
1
|
2
+ M
2
(0, v
0
2
, u
0
2
)v
0
2
+ 1
R
2
2
= M
1
(0, u
0
2
, v
0
2
)|u
0
|
2
+ M
1
(0, u
0
2
, v
0
2
)u
1
2
+
+M
2
(0, v
0
2
, u
0
2
)|v
0
|
2
+ M
2
(0, v
0
2
, u
0
2
)v
1
2
+ 1,
(4.50)
e T
0
um número real tal que 0 < T
0
< 1 a ser determinado posteriormente.
69
Definamos B
R,T
0
como
B
R,T
0
=
{u, v} : {u, v} ∈ (L
∞
(0, T
0
; V ))
2
, {u
, v
} ∈ (L
∞
(0, T
0
; V ) ∩ C
0
([0, T
0
]; L
2
(Ω)))
2
,
u
L
∞
(0,T
0
;V )
+ u
L
∞
(0,T
0
;V )
+ v
L
∞
(0,T
0
;V )
+ v
L
∞
(0,T
0
;V )
≤ R,
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
, v(0) = v
0
, v
(0) = v
1
Vamos munir B
R,T
0
da métrica
d(w
1
, w
2
) = u
1
−u
2
L
∞
(0,T
0
;V )
+v
1
−v
2
L
∞
(0,T
0
;V )
+u
1
−u
2
C
0
([0,T
0
];L
2
(Ω))
+v
1
−v
2
C
0
([0,T
0
];L
2
(Ω))
,
onde w
1
= {u
1
, v
1
}, w
2
= {u
2
, v
2
} ∈ B
R,T
0
. Mostra-se cf em M.Milla Miranda e L.P.San
Gil Jutuca [38] que (B
R,T
0
, d(u, v)) é um espaço métrico completo.
Consideremos a aplicação S : B
R,T
0
→ H, (z, w) → S(z, w) = (ϕ, ψ) onde H denota
o conjunto das soluções (ϕ, ψ) do sistema:
(S1)
ϕ
− M
1
(t, z(t)
2
, w(t)
2
)ϕ = 0 em Ω × (0, T
0
)
ψ
− M
2
(t, w(t)
2
, z(t)
2
)ψ = 0 em Ω × (0, T
0
)
ϕ = 0 sobre Γ
0
× (0, T
0
)
ψ = 0 sobre Γ
0
× (0, T
0
)
∂ϕ
∂ν
+ h(., ϕ
) = 0 sobre Γ
1
× (0, T
0
)
∂ψ
∂ν
+ h(., ψ
) = 0 sobre Γ
1
× (0, T
0
)
ϕ(0) = u
0
, ϕ
(0) = u
1
em Ω
ψ(0) = v
0
, ψ
(0) = v
1
em Ω.
Seja
K = máx
∂M
i
∂t
(t, λ, ξ)
,
∂M
i
∂λ
(t, λ, ξ)
,
∂M
i
∂ξ
(t, λ, ξ)
: 0 ≤ t ≤ T
0
, λ, ξ ∈ [0, R
2
]
,
(4.51)
com, i = 1, 2. Considerando µ
1
(t) = M
1
(t, z(t)
2
, w(t)
2
), tem-se que µ
1
∈ W
1,1
(0, T
0
).
De fato,
µ
1
(t) =
∂M
1
∂t
(t, z(t)
2
, w(t)
2
) +
∂M
1
∂λ
(t, z(t)
2
, w(t)
2
)
d
dt
z(t)
2
+
+
∂M
1
∂ξ
(t, z(t)
2
, w(t)
2
)
d
dt
w(t)
2
.
Como z, w ∈ B
R,T
0
tem-se que z(t), z
(t), w(t), w
(t) ≤ R e, portanto,
z(t)
2
, z
(t)
2
, w(t)
2
, w
(t)
2
≤ R
2
.
70
Logo,
|µ
1
(t)| ≤ K(1 + 4R
3
). (4.52)
Assim µ
1
∈ W
1,1
(0, T
0
). Analogamente, obtemos que µ
2
∈ W
1,1
(0, T
0
), onde µ
2
(t) =
M
2
(t, w(t)
2
, z(t)
2
).
Logo pelo Teorema 4.1, existe um único par de soluções {u, v} do sistema (S1) e
esta solução tem a regularidade dos vetores de B
R,T
0
. Portanto a aplicação S está bem
definida.
Nosso objetivo é mostrar que S(B
R,T
0
) ⊂ B
R,T
0
e que S é uma contração estrita.
Sejam {ϕ, ψ} a solução do sistema (S1) dada pelo Teorema 4.1 com µ
1
, µ
2
∈ W
1,1
(0, T
0
),
onde µ
1
(t) = M
2
(t, z(t)
2
, w(t)
2
) e µ
2
(t) = M
2
(t, w(t)
2
, z(t)
2
). Então pela primeira
estimativa do Teorema 4.1 e (4.50)
1
, obtemos:
m
1
ϕ
lm
(t)
2
≤ R
2
1
exp
2
t
0
|µ
1
(s)|
m
1
ds
m
2
ψ
lm
(t)
2
≤ R
2
1
exp
2
t
0
|µ
2
(s)|
m
2
ds
,
(4.53)
o que implica
m
1
2
1
ϕ
lm
(t) ≤ R
1
exp (KT
0
)
m
1
2
2
ψ
lm
(t) ≤ R
1
exp (KT
0
) ,
(4.54)
para 0 ≤ t ≤ T
0
, l ≥ l
1
e m ≥ 1 com K = m
0
(1 + 4R
3
) e
1
m
0
= máx{
1
m
1
,
1
m
2
}.
A segunda estimativa do Teorema 4.1, juntamente com (4.50)
2
proporciona
m
1
2
1
ϕ
lm
(t) ≤ R
2
exp (KT
0
)
m
1
2
2
ψ
lm
(t) ≤ R
2
exp (KT
0
) ,
(4.55)
para 0 ≤ t ≤ T
0
, l ≥ l
1
e m ≥ 1.
Tomando o máximo sobre [0, T
0
] em ambos os membros de (4.54) e (4.55) e depois o
limite inferior, primeiro com respeito a m e depois com respeito a l, obtemos:
ϕ
L
∞
(0,T
0
;V )
+ ϕ
L
∞
(0,T
0
;V )
+ ψ
L
∞
(0,T
0
;V )
+ ψ
L
∞
(0,T
0
;V )
≤
2
m
1
2
0
(R
1
+ R
2
)exp(KT
0
).
(4.56)
Neste momento calcularemos o valor de T
0
para que a expressão acima seja menor ou
igual a R.
Seja
f(t) =
2
m
1
2
0
(R
1
+ R
2
)e
Kt
.
71
Então, f é contínua crescente com f(t) → ∞ quando t → ∞ e
f(0) =
2
m
1
2
0
(R
1
+ R
2
) < R.
Do Teorema do Valor Intermediário existe T
0
> 0 tal que f(T
0
) = R, isto é,
T
0
=
1
K
ln
R
2
m
1
2
0
(R
1
+ R
2
)
. (4.57)
Utilizando (4.56) e (4.57), obtemos T
0
> 0 tal que
ϕ
L
∞
(0,T
0
;V )
+ ϕ
L
∞
(0,T
0
;V )
+ ψ
L
∞
(0,T
0
;V )
+ ψ
L
∞
(0,T
0
;V )
≤ R, (4.58)
isto é, {ϕ, ψ} ∈ B
R,T
0
, o que prova que S(B
R,T
0
) ⊂ B
R,T
0
.
Vamos agora mostrar que S é uma contração estrita.
Sejam {r
1
, p
1
}, {y
1
, q
1
} ∈ B
R,T
0
tais que S{r
1
, p
1
} = {r, p}, S{y
1
, q
1
} = {y, q} e
{ϕ, ψ} = {r − y, p − q}. Então,
ϕ
− M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
)∆r + M
1
(t, y
1
(t)
2
, q
1
(t)
2
)∆y = 0
ψ
− M
2
(t, p
1
(t)
2
, r
1
(t)
2
)∆p + M
2
(t, q
1
(t)
2
, y
1
(t)
2
)∆q = 0
ϕ(0) = 0 sobre Γ
0
ψ(0) = 0 sobre Γ
0
∂ϕ
∂ν
+ [h(., r
) − h(., y
)] = 0 sobre Γ
1
∂ψ
∂ν
+ [h(., p
) − h(., q
)] = 0 sobre Γ
1
ϕ(0) = ψ(0) = 0, ϕ
(0) = ψ
(0) = 0 em Ω.
(4.59)
Tomando o produto interno em L
2
(Ω) com ϕ
(t) em (4.59)
1
e com ψ
(t) em (4.59)
2
,
obtemos:
1
2
d
d
|ϕ
(t)|
2
− M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
)(∆r(t), ϕ
(t))+
+M
1
(t, y
1
(t)
2
, q
1
(t)
2
)(∆y(t), ϕ
(t)) = 0
1
2
d
d
|ψ
(t)|
2
− M
2
(t, p
1
(t)
2
, r
1
(t)
2
)(∆p(t), ψ
(t))+
+M
2
(t, q
1
(t)
2
, y
1
(t)
2
)(∆q(t), ψ
(t)) = 0.
(4.60)
72
De (4.60)
1
, obtemos
1
2
d
d
|ϕ
(t)|
2
− M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
)(∆ϕ(t), ϕ
(t)) =
= [M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
) − M
1
(t, y
1
(t)
2
, q
1
(t)
2
)] (∆y(t), ϕ
(t)).
(4.61)
• Análise de M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
)(∆ϕ(t), ϕ
(t))
Utilizando o Teorema da Green e a condição de fronteira (4.59)
5
, obtemos:
−M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
)(∆ϕ(t), ϕ
(t)) = M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
)
1
2
d
dt
ϕ(t)
2
+
+M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
)
Γ
1
[h(., r
(t)) − h(., y
(t))]ϕ
(t)dΓ.
Sendo h um operador h : L
2
(Γ
1
) → L
2
(Γ
1
), z → h(z) monótono tem-se:
Γ
1
[h(., r
(t)) − h(., y
(t))]ϕ
(t)dΓ =
Γ
1
[h(., r
(t)) − h(., y
(t))][r
(t) − y
(t)]dΓ ≥ 0.
Destes fatos podemos escrever (4.61) como
1
2
d
d
|ϕ
(t)|
2
+ M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
) ≤
1
2
d
dt
ϕ(t)
2
≤
[M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
) − M
1
(t, y
1
(t)
2
, q
1
(t)
2
)] (∆y(t), ϕ
(t)).
(4.62)
• Notemos que
[M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
) − M
1
(t, y
1
(t)
2
, q
1
(t)
2
)] (∆y(t), ϕ
(t)) =
= [M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
) − (M
1
(t, r
1
(t)
2
, q
1
(t)
2
)] (∆y(t), ϕ
(t))+
+ [M
1
(t, r
1
(t)
2
, q
1
(t)
2
) − M
1
(t, y
1
(t)
2
, q
1
(t)
2
)] (∆y(t), ϕ
(t)).
(4.63)
Recordemos que
d({r
1
, p
1
}, {y
1
, q
1
}) = r
1
− p
1
L
∞
(0,T
0
;V )
+ p
1
− q
1
L
∞
(0,T
0
;V )
+
r
1
− p
1
C
0
(0,T
0
;L
2
(Ω))
+ p
1
− y
1
C
0
(0,T
0
;L
2
(Ω))
.
Temos que M
1
∈ W
1,∞
loc
([0, ∞[)
3
. Faço uma extensão
M
1
de M
1
a ([−η, ∞[)
3
de forma
que
M
1
∈ W
1,∞
loc
(] − η, ∞[
3
). Tem-se que
M
1
∈ W
1,∞
(] − η, T
0
[×] − η, 2R
2
[×] − η, 2R
2
[).
Assim
M
1
é uma função lipschitiziana em (] −η, T
0
[×] − η, 2R
2
[×] − η, 2R
2
[), isto é,
|
M
1
(t
1
, λ
1
, ξ
1
) −
M
1
(t
1
, λ
1
, ξ
2
)| ≤ C(T
0
, R
2
){t
1
, λ
1
, ξ
1
} − {t
1
, λ
1
, ξ
2
},
73
onde C(R, T
0
) é uma constante que depende de R e de T
0
. Logo
|M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
) − M
1
(t, r
1
(t)
2
, q
1
(t)
2
)| ≤ C(T
0
; R
2
)
r
1
(t) − q
1
(t)
.
Portanto,
|M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
) − M
1
(t, r
1
(t)
2
, q
1
(t)
2
)(y(t), ϕ
(t))| ≤
≤ C(T
0
; R
2
)|y(t)||ϕ
(t)|d({r
1
, p
1
}, {y
1
, q
1
}).
Analogamente obtemos
|M
1
(t, r
1
(t)
2
, q
1
(t)
2
) − M
1
(t, y
1
(t)
2
, q
1
(t)
2
)(y(t), ϕ
(t))| ≤
≤ C(T
0
; R
2
)|y(t)||ϕ
(t)|d({r
1
, p
1
}, {y
1
, q
1
}).
Substituindo as duas últimas desigualdades em (4.63) proporciona:
[M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
) − M
1
(t, y
1
(t)
2
, q
1
(t)
2
)] (∆y(t), ϕ
(t))
≤
≤ C|y(t)||ϕ
(t)|d((r
1
, p
1
), (y
1
, q
1
)).
(4.64)
Como y
(t) − M
1
(t, y
1
(t)
2
, q
1
(t)
2
)y(t) = 0, da segunda estimativa do Teorema 4.1
e seguindo o mesmo raciocínio utilizado na obtenção de (4.55) e (4.56), obtemos:
|y
(t)| ≤ R
2
exp(KT
0
) para todo 0 ≤ t ≤ T
0
,
e sendo M
1
(t, λ, ξ) ≥ m
1
> 0, obtemos:
|y(t)| ≤ m
−1
1
R
2
exp(KT
0
) para todo 0 ≤ t ≤ T
0
.
Daí e da desigualdade elementar 2ab ≤ a
2
+ b
2
, tem-se a partir de (4.64) que
[M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
) − M
1
(t, y
1
(t)
2
, q
1
(t)
2
)] (∆y(t), ϕ
(t))
≤
≤ Cd
2
((r
1
, p
1
), (y
1
, q
1
))
m
−1
1
R
2
exp(KT
0
)
2
+ |ϕ
(t)|
2
.
(4.65)
Como
M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
)
1
2
d
dt
ϕ(t)
2
=
1
2
d
dt
M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
)ϕ(t)
2
−
∂M
1
∂t
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
) −
∂M
1
∂λ
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
)
d
dt
r
1
(t)
2
ϕ(t)
2
−
−
∂M
1
∂ξ
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
)
d
dt
p
1
(t)
2
ϕ(t)
2
.
(4.66)
74
Substituindo (4.65), (4.66) em (4.62) e usando (4.52), obtemos:
1
2
d
d
|ϕ
(t)|
2
+ M
1
(t, r
1
(t)
2
, p
1
(t)
2
)ϕ(t)
2
≤
≤ Cd
2
((r
1
, p
1
), (y
1
, q
1
))
m
−1
1
R
2
exp(KT
0
)
2
+ |ϕ
(t)|
2
+
+K(1 + 4R
3
)ϕ(t)
2
.
(4.67)
Integrando (4.67) de 0 a t com t ≤ T
0
e usando o fato que ϕ(0) = ϕ
(0) = 0 e que
M
1
(t, λ, ξ) ≥ m
1
> 0, obtemos:
|ϕ
(t)|
2
+ m
1
ϕ(t)
2
≤ Cd
2
((r
1
, p
1
), (y
1
, q
1
))
m
−1
1
R
2
exp(KT
0
)
2
T
0
+
+
t
0
|ϕ
(s)|
2
ds + K(1 + 4R
3
)
t
0
ϕ(s)
2
ds.
(4.68)
Trabalhando com (4.60)
2
e seguindo o mesmo raciocínio, obtemos como feito acima
que:
|ψ
(t)|
2
+ m
2
ψ(t)
2
≤ Cd
2
((r
1
, p
1
), (y
1
, q
1
))
m
−1
2
R
2
exp(KT
0
)
2
T
0
+
+
t
0
|ψ
(s)|
2
ds + K(1 + 4R
3
)
t
0
ψ(s)
2
ds.
(4.69)
Adicionando (4.68) e (4.69) e considerando
b
2
1
=
1
min{1, m
1
, m
2
}
máx{C(m
−1
1
(R
2
exp(K)T
0
))
2
, C(m
−1
2
(R
2
exp(K)T
0
))
2
}
e
b
2
=
1
min{1, m
1
, m
2
}
máx{1, K(1 + 4R
3
)},
obtemos:
ϕ(t)
2
+ ψ(t)
2
+ |ϕ
(t)|
2
+ |ψ
(t)|
2
≤ b
2
1
d
2
((r
1
, p
1
), (y
1
, q
1
))T
0
+
+b
2
t
0
ϕ(s)
2
+ ψ(s)
2
+ |ϕ
(s)|
2
+ |ψ
(s)|
2
ds.
(4.70)
De (4.70) e da desigualdade de Gronwall, obtemos:
ϕ(t)
2
+ ψ(t)
2
+ |ϕ
(t)|
2
+ |ψ
(t)|
2
≤ b
2
1
d
2
((r
1
, p
1
), (y
1
, q
1
))T
0
exp(2b
2
T
0
),
para todo 0 ≤ t ≤ T
0
.
Portanto,
ϕ(t) + ψ(t) + |ϕ
(t)| + |ψ
(t)| ≤ 4b
1
d((r
1
, p
1
), (y
1
, q
1
))T
1
2
0
exp(b
2
T
0
), (4.71)
75
para todo 0 ≤ t ≤ T
0
.
Logo,
d(S(r
1
, p
1
), S(y
1
, q
1
))) ≤ 4b
1
d((r
1
, p
1
), (y
1
, q
1
))T
1
2
0
exp(b
2
T
0
). (4.72)
Já tinhamos as condições T
0
> 0 e T
0
=
1
K
ln
R
m
1
2
0
(R
1
+R
2
)
, queremos agora encontrar
T
0
> 0 tal que
4b
1
T
1
2
0
exp(b
2
T
0
) ≤ α com 0 < α < 1.
Tem-se que a função g(t) = 4b
1
t
1
2
exp(b
2
t) → 0 quando t → 0, logo existe T
1
> 0 tal
que
4b
1
T
1
2
1
exp(b
2
T
1
) < 1. (4.73)
Considerando T
0
< min
1
K
ln
R
m
1
2
0
(R
1
+R
2
)
, T
1
, obtemos que S é uma contração.
Portanto, S é uma contraçã o estrita e consequentemente pelo Teorema do Ponto Fixo de
Banach, S tem um único ponto fixo {u, v} e {u, v} é a solução procurada. Assim,
{u, v} ∈ (L
∞
(0, T
0
; W )
2
{u
, v
} ∈ (L
∞
(0, T
0
; V )
2
{u
, v
} ∈ (L
∞
(0, T
0
; L
2
(Ω)))
2
u
− M
1
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)u = 0 em L
∞
(0, T
0
; L
2
(Ω))
v
− M
2
(t, v(t)
2
, u(t)
2
)v = 0 em L
∞
(0, T
0
; L
2
(Ω))
∂u
∂ν
+ h(., u
) = 0 em L
2
(0, T
0
; L
2
(Γ
1
))
∂v
∂ν
+ h(., v
) = 0 em L
2
(0, T
0
; L
2
(Γ
1
))
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
em Ω
v(0) = v
0
, v
(0) = v
1
em Ω.
(4.74)
A seguir mostra-se a unicidade de soluções. Sejam então {u, v} e {w, z} soluções do
Problema (∗∗), {u, v}, {w, z} na classe (4.45). Sejam ϕ = u − w e ψ = v − z. Tem-se
1
2
d
dt
|ϕ
(t)|
2
− M
1
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)(∆ϕ(t), ϕ
(t)) =
= [M
1
(t, u(t)
2
, v(t)
2
) − M
1
(t, u(t)
2
, z(t)
2
)] (∆w(t), ϕ
(t)).
(4.75)
Seguindo o mesmo raciocínio para encontrar (4.64), obtemos:
M
1
(t, u(t)
2
, v(t)
2
) − M
1
(t, u(t)
2
, z(t)
2
)
(∆w(t), ϕ
(t))
≤
≤ C|∆w(t)||ϕ
(t)|ψ(t).
(4.76)
76
Temos:
M
1
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)
1
2
d
dt
ϕ(t)
2
=
1
2
d
dt
M
1
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)ϕ(t)
2
−
∂M
1
∂t
(t, u(t)
2
, v(t)
2
) −
∂M
1
∂λ
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)
d
dt
u(t)
2
ϕ(t)
2
−
−
∂M
1
∂ξ
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)
d
dt
v(t)
2
ϕ(t)
2
.
(4.77)
Usando a fórmula de Green no primeiro membro de (4.75) e substituindo (4.76) e
(4.77) em (4.75) e usa ndo a condição de fronteira
∂ϕ(t)
∂ν
+ [h(., u
(t)) − h(., w
(t))] = 0 sobre Γ
1
e o fato que
Γ
1
[h(., u
(t)) − h(., w
(t))](u
(t) − w
(t))dΓ ≥ 0,
obtemos:
1
2
d
dt
|ϕ
(t)|
2
+ M
1
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)ϕ(t)
2
≤
≤
∂M
1
∂t
(t, u(t)
2
, v(t)
2
) +
∂M
1
∂λ
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)
d
dt
u(t)
2
ϕ(t)
2
+
+
∂M
1
∂ξ
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)
d
dt
v(t)
2
ϕ(t)
2
+ C|w(t)||ϕ
(t)|ψ(t).
(4.78)
Usando a hipótese (H4) no primeiro e segundo termo do segundo membro de (4.78), a
regularidade da solução {u, v} e a desigualdade elementar 2ab ≤ a
2
+ b
2
no último termo
do segundo membro, obtemos:
1
2
d
dt
|ϕ
(t)|
2
+ M
1
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)ϕ(t)
2
≤
≤ C
1
ϕ(t)
2
+ C(|w(t)||ϕ
(t)|)
2
+ ψ(t)
2
≤
≤ [C
1
+ 1 + C|w(t)|
2
] [ϕ(t)
2
+ |ϕ
(t)|
2
+ ψ(t)
2
] .
Logo,
1
2
d
dt
|ϕ
(t)|
2
+ M
1
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)ϕ(t)
2
≤
≤ [C
1
+ 1 + C|w(t)|
2
] [ϕ(t)
2
+ |ϕ
(t)|
2
+ ψ(t)
2
] .
(4.79)
Analogamente, obtemos:
1
2
d
dt
|ψ
(t)|
2
+ M
2
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)ψ(t)
2
≤
≤ [C
1
+ 1 + C|z(t)|
2
] [ψ(t)
2
+ |ψ
(t)|
2
+ ϕ(t)
2
] .
(4.80)
77
Adicionando (4.79) e (4.80), obtemos:
1
2
d
dt
|ϕ
(t)|
2
+ |ψ
(t)|
2
+ M
1
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)ϕ(t)
2
+ M
2
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)ψ(t)
2
≤
≤ [2C
1
+ 2 + C|w(t)|
2
+ C|z(t)|
2
] [|ϕ
(t)|
2
+ |ψ
(t)|
2
+ ψ(t)
2
+ ϕ(t)
2
] .
(4.81)
Integrando (4.81) de 0 a t e usando o fato que ϕ(0) = ϕ
(0) = 0 e ψ(0) = ψ
(0) = 0,
obtemos:
|ϕ
(t)|
2
+ |ψ
(t)|
2
+ M
1
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)ϕ(t)
2
+ M
2
(t, u(t)
2
, v(t)
2
)ψ(t)
2
≤
≤
t
0
g(s)(|ϕ
(s)|
2
+ |ψ
(s)|
2
+ ψ(s)
2
+ ϕ(s)
2
)ds,
(4.82)
onde
g(s) =
1
min{1, m
1
, m
2
}
2 + 2C
1
+ C|w(t)|
2
+ C|z(t)|
2
.
Notando que g(s) ∈ L
1
(0, T
0
), pois |w(s)|
2
, |z(s)|
2
∈ L
1
(0, T
0
) segue-se de (4.82)
e do Lema de Gronwall que: z(t) = w(t) = 0 para todo 0 ≤ t ≤ T
0
.
Portanto, u = w e v = z, mostrando a unicidade de solução do sistema (∗∗).
Suponhamos agora que a hipótese (H3) sobre h é satisfeita.
Notemos inicialmente que L
∞
(0, T
0
; W ) ∩C
s
([0, T
0
]; V ) = C
s
([0, T
0
]; W ), portanto de
(4.74)
1
e (4.74)
2
conclui-se que faz sentido calcular u(T
0
), v(T
0
) e pela observação acima
que u(T
0
), v(T
0
) ∈ W e também temos u
(T
0
), v
(T
0
) ∈ V. Também do Corolário 4 resulta
que
∂u
∂ν
+ h(., u) = 0 em C
0
([0, T
0
]; L
2
(Γ
1
))
portanto
∂u(T
0
)
∂ν
+ h(., u(T
0
)) = 0 em L
2
(Γ
1
).
De forma análoga
∂v(T
0
)
∂ν
+ h(., v(T
0
)) = 0 em L
2
(Γ
1
).
Com {u(T
0
), v(T
0
)} ∈ W
2
, {u
(T
0
), v
(T
0
)} ∈ V
2
verificando as duas últimas igual-
dades, aplicando o Teorema 4.1, determinamos a solução local {ϕ, ψ} em [0, T
1
] do Pro-
blema.
78
ϕ
−
M
1
(t, ϕ
2
, ψ
2
)ϕ = 0 em Ω × (0, T
1
)
ψ
−
M
2
(t, ϕ
2
, ψ
2
)ψ = 0 em Ω ×(0, T
1
)
ϕ = 0 sobre Γ
0
× (0, T
1
)
ψ = 0 sobre Γ
0
× (0, T
1
)
∂ϕ
∂ν
+ h(., ϕ
) = 0 sobre Γ
1
× (0, T
1
)
∂ψ
∂ν
+ h(., ψ
)) = 0 sobre Γ
1
× (0, T
1
)
ϕ(0) = u(T
0
), ϕ
(0) = u
(T
0
) em Ω
ψ(0) = v(T
0
), ψ
(0) = v
(T
0
) em Ω,
(4.83)
onde
M
1
(t, λ, ξ) = M
1
(t + T
0
, λ, ξ) e
M
2
(t, λ, ξ) = M
2
(t + T
0
, λ, ξ).
Então, podemos obter uma solução {ϕ, ψ} sobre [0, T
1
] com T
1
> 0 do sistema (S1).
Tem-se que:
ϕ(t) =
u(t), se 0 ≤ t ≤ T
0
ϕ(t − T
0
), se T
0
≤ t ≤ T
0
+ T
1
,
ψ(t) =
v(t), se 0 ≤ t ≤ T
0
ψ(t − T
0
), se T
0
≤ t ≤ T
0
+ T
1
representa uma solução {ϕ,
ψ} do sistema (∗∗) com dados iniciais u
0
, v
0
, u
1
, v
1
sobre o
interva lo [0, T
0
+ T
1
].
Aplicando o mesmo raciocínio feito na demonstração da unicidade de solução da
solução local do Teorema 4.2, obtemos a unicidade de solução no intervalo [0, T
0
+ T
1
].
Consideremos então a família {u
i
(t), v
i
(t)}
i∈I
de soluções sobre o intervalo [0, T
i
] do
sistema (∗∗) com dados iniciais {u
0
, v
0
} ∈ W
2
, {u
1
, v
1
} ∈ V
2
satisfazendo:
∂u
0
∂ν
+ h(u
1
) = 0,
∂v
0
∂ν
+ h(v
1
) = 0 sobre Γ
1
.
A unicidade de soluções implica que se T
i
< T
j
então {u
i
(t), v
i
(t)}, {u
j
(t), v
j
(t)} coin-
cidem sobre o intervalo [0, T
i
]. Assim encontramos um intervalo de existência maximal
[0, T
max
) dado por [0, T
max
) = ∪
i∈I
[0, T
i
) e este é o intervalo maximal da solução {u, v}
do sistema (∗∗), quando h satisfaz as hipóteses (H1)-(H3). Aonde u(t) = ∪
i∈I
u
i
(t) e
v(t) = ∪
i∈I
v
i
(t).
Observação 4.6 Usando a Proposição 2.3 e seguindo as idéias introduzidas em M.Milla
Miranda e L.A. Medeiros [36], constroi-se uma base especial em V ∩ H
2
(Ω) com u
0
∈
V ∩ H
2
(Ω), u
1
∈ V e
∂u
0
∂ν
+ h(u
1
) = 0 sobre Γ
1
, sendo h uma função lipschitiziana.
79
4.5 Existência de Solução Global
Nesta seção obtém-se uma solução u(x, t) para o problema
()
u
+ M(., u
2
)u = 0 em Ω × (0, ∞)
u = 0 sobre Γ
0
× (0, ∞)
∂u
∂ν
+ h(u
) = 0 sobre Γ
1
× (0, ∞)
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
em Ω
com u
0
e |u
1
| pequenos.
Os resultados obtidos foram inspirados pelo Trabalho de I.Lasiecka e J.Ong [20] onde
eles obtém uma solução u do problema () acima para o caso particular
M(t, λ) = m
0
+ m
1
λ, m
0
> 0, m
1
≥ 0
Fixam-se as seguintes hipóteses:
(H1)
M ∈ C
1
([0, ∞)
2
), M(t, λ) ≥ m
0
> 0, ∀{t, λ} ∈ [0, ∞)
2
∂M
∂t
(t, λ) ≤ 0,
∂M
∂λ
(t, λ) ≥ 0, ∀{t, λ} ∈ [0, ∞)
2
Existem funções contínuas Q(λ) e R(λ) satisfazendo
Q(0) = 0 e
∂M
∂t
(t, λ)
≤ Q(λ),
∂M
∂λ
(t, λ)
≤ R(λ), ∀{t, λ} ∈ [0, ∞)
2
(H2) h ∈ C
1
(R), h(0) = 0, 0 < d
0
≤ h
(s) ≤ d
1
< ∞, ∀s ∈ R (d
0
e d
1
constantes)
e
(H3)
u
0
∈ V ∩ H
2
(Ω), u
1
∈ V
∂u
0
∂ν
+ h(u
1
) = 0 sobre Γ
1
Observação 4.7 A função M(t, λ) = m
0
+
m
1
1+t
λ
σ
, σ ∈ R, σ ≥ 1, m
0
> 0, m
1
≥ 0
constantes satisfaz as condições da hipóteses (H1).
Com relação ao Problema () sabe-se da seção anterior que e xiste uma única u na
classe
u ∈ L
∞
loc
(0, T
max
; V ∩ H
2
(Ω))
u
∈ L
∞
loc
(0, T
max
; V )
u
∈ L
∞
loc
(0, T
max
; L
2
(Ω))
(4.84)
80
que verifica
(P 1)
u
− M(., u
2
)u = 0 em L
∞
loc
(0, T
max
; L
2
(Ω))
∂u
∂ν
+ h(u
) = 0 em L
2
loc
(0, T
max
; H
1
2
(Γ
1
))
∂u
∂ν
+ h
(u
)u
= 0 em L
2
loc
(0, T
max
; L
2
(Γ
1
))
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
,
onde
T
max
= sup {T > 0, T e u vefiricam (4.84) e (P 1) em [0, T ]}
Seja
µ(t) = M(t, u(t)
2
), t ∈ [0, T
max
). (4.85)
Da classe (4.84) resulta que
u ∈ C
0
([0, T
max
); V ), u
∈ C
0
s
([0, T
max
); V )
Logo
((u(t), u
(t))) é contínua em [0, T
max
).
Das duas últimas expressões, da hipótese (H1) e do fato
µ
(t) =
∂M
∂t
(t, u(t)
2
) + 2
∂M
∂λ
(t, u(t)
2
)((u(t), u
(t)))
tem-se que
µ ∈ C
1
([0, T
max
))
µ(t) ≥ m
0
> 0, ∀t ∈ [0, T
max
)
(4.86)
Formalmente da equação (P 1) tem-se
u
− µu
−
µ
µ
(µu) = 0.
Notando que u
= µu resulta que
u
− µu
−
µ
µ
u
= 0.
Usando a notação u
= w, obtém-se:
w
− µw −
µ
µ
w
= 0.
Com relação a esta equação tem-se o seguinte resultado:
81
Proposição 4.4 Existe w na classe
w ∈ C
0
([0, T
max
); V )
w
∈ C
0
([0, T
max
); L
2
(Ω))
(4.87)
tal que
(P 2)
w
− µw −
µ
µ
w
= 0 em C
0
([0, T
max
); V
)
∂w
∂ν
+ h
(u
)w
= 0 em L
2
loc
(0, T
max
; L
2
(Γ
1
))
w(0) = u
1
, w
(0) = µ(0)u
0
,
onde u
0
e u
1
foram determinados em (H3) e u
em (4.84).
Observação 4.8 Note que o Problema (P 2) com a primeira equação válida em L
∞
loc
(0, T
max
; V
)
tem unicidade de soluções na classe
w ∈ L
∞
loc
(0, T
max
; V )
w
∈ L
∞
loc
(0, T
max
; L
2
(Ω))
Este fato é mostrado pelo método de Ladyahenskaya, ver M.Milla Miranda e L.A.Medeiros
[36].
Demonstração: Faz-se a demonstração em três etapas.
Primeira Etapa (Regularização de Funções)
Fixa-se T com 0 < T < T
max
. Sejam
f(t) =
µ
(t)
µ(t)
, 0 ≤ t ≤ T
e
f(t) a função contínua em R :
f(t) =
f(t), t ∈ [0, T ]
linear, t ∈ [−1, 0)
linear, t ∈ (T, T + 1]
0, t /∈ [−1, T + 1]
Considere uma sucessão regularizante (ρ
l
) de R e a sucessão (ρ
l
∗
f). Então pelas
propriedades de convolução de funções, obtém-se:
F
l
= ρ
l
∗
f → f em C
0
([0, T ]) (4.88)
82
Por outro lado, seja g(x, t) = h
(u
(x, t)), x ∈ Γ
1
, t ∈ [0, T ]. Considere um sistema de
cartas locais
{U
1
, ϕ
1
}, . . . , {U
N
, ϕ
N
}
de Γ
1
e {θ
1
, . . . , θ
N
} uma partição C
∞
subordinada a {U
1
, . . . , U
N
}. Sejam
g
j
(x, t) = θ
j
(x)g(x, t), x ∈ Γ
1
, t ∈ (0, T ), j = 1, . . . , N,
v
j
(y
, t) = g
j
(ϕ
−1
j
(y
, t)), y
∈ [−1, 1]
n−1
, t ∈ [0, T ]
e
v
j
(y
, t) =
v
j
(y
, t), {y
, t} ∈ [−1, 1]
n−1
× [0, T ]
d
0
, {y
, t} ∈ [−1, 1]
n−1
× [−1, 0)
d
1
, {y
, t} ∈ [−1, 1]
n−1
× (T, T + 1]
0, {y
, t} /∈ [−1, 1]
n−1
× [−1, T + 1]
Considere uma sucessão regularizante (σ
l
) em R
n
. Sejam
G
lj
(x, t) = (σ
l
∗ v
j
)(ϕ
j
(x, t)), x ∈ Γ
1
, t ∈ R
e
G
l
(x, t) =
N
j=1
G
lj
(x, t)
Então
G
l
→ g em L
∞
(Γ
1
× (0, T )) (4.89)
e
1
2
d
0
≤ G
l
(x, t) ≤
3
2
d
1
, ∀x ∈ Γ
1
, t ∈ [0, T ], e l ≥ l
0
. (4.90)
Segunda Etapa (Problema Aproximado)
Considere (w
0
k
) e (w
1
k
) sequências de D(−) e D(Ω), respectivamente, tais que
w
0
k
→ u
1
em V e w
1
k
→ µ(0)u
0
em L
2
(Ω) (4.91)
Observe
∂w
0
k
∂ν
+ G
l
w
1
k
= 0 sobre Γ
1
. (4.92)
Fixe k e considere a base de V ∩ H
2
(Ω)
{w
k
1
, w
k
2
, . . . , },
83
onde w
0
k
e w
1
k
pertencem ao subespaço gerado por w
k
1
e w
k
2
. Denote por V
k
m
o subespaço
gerado por w
k
1
, w
k
2
, . . . , w
k
m
.
Seja
w
lkm
(t) =
n
j=1
g
lkmj
(t)w
j
definido por
(P A)
(w
lkm
(t), v) + µ((w
lkm
(t), v)) + µ
Γ
1
G
l
w
lkm
(t)vdΓ − (F
l
w
lkm
(t), v) = 0, ∀v ∈ V
k
m
w
lkm
(0) = w
0
k
, w
lkm
(0) = w
1
k
Terceira Etapa (Estimativas a Priori)
Primeira Estimativa: Para facilitar a notação deixaremos de escrever os índices l, k, m
de w
lkm
. Substituindo v por 2w
em (P A) resulta
d
dt
|w
|
2
+ µ
d
dt
w
2
+ 2µ
Γ
1
G
l
w
2
dΓ − 2(F
l
w
, w
) = 0
donde, por (4.88) e (4.90) tem-se
d
dt
|w
|
2
+
d
dt
µ|w
|
2
+ µ(0)d
0
Γ
1
w
2
dΓ ≤ C|w
|
2
+
|µ
|
µ
µw
2
onde C > 0 é uma constante independente de l, k e m. Aplicando a desigualdade de
Gronwall resulta então
|w
lkm
(t)|
2
+ µw
lkm
(t)
2
+ µ(0)d
0
t
0
Γ
1
w
2
lkm
(s)dΓds ≤
≤
|w
1
k
|
2
+ µ(0)w
0
k
2
exp
T
0
|µ
|
µ
+ C
ds, ∀t ∈ [0, T ], l ≥ l
0
(4.93)
o que implica
w
lkm
L
∞
(0,T ;V )
≤ C
k
, ∀m e l ≥ l
0
w
lkm
L
∞
(0,T ;L
2
(Ω))
≤ C
k
, ∀m e l ≥ l
0
w
lkm
L
∞
(0,T ;L
2
(Γ
1
))
≤ C
k
, ∀m e l ≥ l
0
(4.94)
Segunda Estimativa: Derivando com relação a t a equação aproximada (P A) e substi-
tuindo v por 2w
, obtém-se:
2(w
, w
) + µ((w
, 2w
)) + 2µ
((w, w
)) + 2µ
Γ
1
G
l
w
w
dΓ+
+2µ
Γ
1
G
l
w
2
dΓ + 2µ
Γ
1
G
l
w
w
dΓ − 2(F
l
w
, w
) − 2(F
l
w
, w
) = 0
(4.95)
84
Substituindo v por 2
µ
µ
w
na equação aproximada (P A) resulta
2µ
((w, w
)) + 2µ
Γ
1
G
l
w
w
dΓ = −2
µ
µ
|w
|
2
+ 2
µ
µ
(F
l
w
, w
).
Levando em consideração esta igualdade em (4.95) tem-se
d
dt
|w
|
2
+ µ
d
dt
w
2
− 2
µ
µ
|w
|
2
+ 2
µ
µ
(F
l
w
, w
) + 2µ
Γ
1
G
l
w
w
dΓ+
+2µ
Γ
1
G
l
w
2
dΓ − 2(F
l
w
, w
) − 2(F
l
w
, w
) = 0,
o que implica
d
dt
|w
|
2
+
d
dt
µw
2
+ µ(0)d
0
Γ
1
w
2
dΓ ≤
≤
|µ
|
µ
µw
2
+ 2
|µ
|
µ
|w
|
2
+ 2
|µ
|
µ
|(F
l
w
, w
)|+
+2µ
Γ
1
|G
l
||w
||w
|dΓ + 2|(F
l
w
, w
)| + 2|(F
l
w
, w
)|
Observe que
2µ
Γ
1
|G
l
||w
||w
|dΓ ≤ C
l
Γ
1
|w
||w
|dΓ ≤
≤
C
2
l
ε
Γ
1
|w
|
2
dΓ + ε
Γ
1
|w
|
2
dΓ
Escolhendo ε =
µ(0)d
0
2
e substituindo esta desigualdade na penúltima expressão resulta
d
dt
|w
|
2
+
d
dt
µw
2
+
µ(0)d
0
2
Γ
1
w
2
dΓ ≤
≤
|µ
|
µ
µw
2
+ 2
|µ
|
µ
|w
|
2
+ C|w
|
2
+
+2
C
2
l
µ(0)d
0
Γ
1
|w
|
2
dΓ + C|w
|
2
Integrando com relação a t e considerando as estimativas (4.94) tem-se
|w
(t)|
2
+ µ(t)w
(t)
2
+
µ(0)d
0
2
t
0
Γ
1
w
2
dΓds ≤
≤
w
(0)
2
+ µ(0)w
0
k
2
+ C
T
0
|w
|
2
dt + C
T
0
Γ
1
w
2
dΓdt
exp
T
0
3
|µ
|
µ
+ C
dt
(4.96)
85
Por outro lado, da equação aproximada (P A) calculada em t = 0, fazendo v = w
(0)
e usando a relação (4.92), obtém-se:
|w
(0)|
2
− µ(0)(w
0
k
, w
(0)) − (F
l
(0)w
1
k
, w
(0)) = 0
o que implica
|w
lkm
(0)| ≤ C
k
, ∀l, m.
Considerando esta desigualdade em (4.96) resulta
w
lkm
L
∞
(0,T ;V )
≤ C
l,k
, ∀m e l ≥ l
0
w
lkm
L
∞
(0,T ;L
2
(Ω))
≤ C
l,k
, ∀m e l ≥ l
0
w
lkm
L
2
(0,T ;L
2
(Γ
1
))
≤ C
l,k
, ∀m e l ≥ l
0
(4.97)
Das estimativas (4.94) e (4.97) tem-se que existe uma subsequência de (w
lkm
), ainda
denotada por (w
lkm
), e uma função w
lk
tal que
w
lkm
∗
w
lk
em L
∞
(0, T ; V )
w
lkm
∗
w
lk
em L
∞
(0, T ; V )
w
lkm
∗
w
lk
em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω))
w
lkm
w
lk
em L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
))
w
lkm
w
lk
em L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
))
(4.98)
As convergências acima implicam
w
lk
∈ C
0
([0, T ]; V ), w
lk
∈ C
0
([0, T ]; L
2
(Ω)) e w
lk
∈ C
0
([0, T ]; L
2
(Γ
1
)) (4.99)
Levando em consideração as convergências acima e seguindo o raciocínio desenvolvido
em M.Milla Miranda e L.A. Medeiros [36], obtém-se
(P
lk
)
w
lk
− µ∆w
lk
− F
l
w
lk
= 0 em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω))
∂w
lk
∂ν
+ G
l
w
lk
= 0 em L
2
(0, T ; H
1
2
(Γ
1
))
w
lk
(0) = w
0
k
, w
lk
(0) = w
1
k
Observação 4.9 Das equações acima e das convergências (4.98) segue-se que
w
lk
∈ L
∞
(0, T ; V ∩ H
2
(Ω))
w
lk
∈ L
∞
(0, T ; V ) ∩ L
2
(0, T ; H
1
2
(Γ
1
))
w
lk
∈ L
∞
(0, T ; L
2
(Ω))
86
Considere duas soluções w
lk
e w
lp
do Problema (P
lk
) e por w
lkp
= w
lk
−w
lp
. Obtém-se
de (P
lk
)
(P
lkp
)
w
lkp
− µ∆w
lkp
− F
l
w
lkp
= 0 em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω))
∂w
lkp
∂ν
+ G
l
w
lkp
= 0 em L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
))
w
lkp
(0) = w
0
k
− w
0
p
, w
lkp
(0) = w
1
k
− w
1
p
Para facilitar a escrita deixaremos de escrever os índices l, k, p e w
lkp
. De (P
lkp
) resulta
(w
, 2w
) + µ((w, 2w
)) + 2µ
Γ
1
G
l
w
w
dΓ − 2(F
l
w
, w
) = 0
o que implica
d
dt
|w
|
2
+
d
dt
µw
2
+ µ(0)d
0
Γ
1
w
2
dΓ ≤
|µ
|
µ
µw
2
+ C|w
|
2
onde C > 0 é uma constante independente de l. Integrando com relação a t resulta
|w
(t)|
2
+ µ(t)w(t)
2
+ µ(0)d
0
t
0
Γ
1
w
2
dΓds ≤
≤
|w
1
k
− w
1
p
|
2
+ µ(0)w
0
k
− w
0
p
2
exp
T
0
|µ
|
µ
+ C
dt, ∀l ≥ l
0
Das convergências (4.91) obtém-se então
(w
lk
) é de Cauchy em C
0
([0, T ]; V )
(w
lk
) é de Cauchy em C
0
([0, T ]; L
2
(Ω))
(w
lk
) é de Cauchy em L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
))
Notando que o segundo membro da última desigualdade não depende de l, tem-se
então que existe uma função w tal que
w
lk
→ w em C
0
([0, T ]; V )
w
lk
→ w
em C
0
([0, T ]; L
2
(Ω))
w
lk
→ w
em L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
))
(4.100)
Considere v ∈ L
∞
(0, T ; V ) com v
∈ L
2
(0, T ; L
2
(Ω)) e v(0) = v(T ) = 0. Tomando o
produto escalar em L
2
(Ω) da equação em (P
lk
) com v resulta:
−
T
0
(w
lk
, v
)dt +
T
0
µ((w
lk
, v))dt +
T
0
Γ
1
G
l
w
lk
vdΓdt −
T
0
(F
l
w
lk
, v)dt = 0 (4.101)
87
Das propriedades (4.89) e (4.90) de G
l
, implicam
G
l
v → gv em L
2
(0, T ; L
2
(Γ
1
))
e de (4.88), resulta
F
l
w
lk
→ fw
em L
2
(0, T ; L
2
(Ω))
Tomando o limite em (4.101) e usando as duas últimas convergências e as convergên-
cias (4.100), obtém-se:
−
T
0
(w
, v
)dt +
T
0
µ((w, v))dt +
T
0
Γ
1
gw
vdtdt −
T
0
(fw
, v)dt = 0
Considerando v ∈ D(Ω × (0, T )) nesta última equação obtém-se a primeira equação
de (P 2) em [0, T ]. Procedendo como em M.Milla Miranda e L.A. Medeiros [36], obtém-se
tamb ém a segunda equação de (P 2) em [0, T ] e as condições iniciais de (P 2).
Notando que T com 0 < T < T
max
foi arbitrário, segue a proposição.
Note que u
é solução do Problema (P 2) na classe dada na Observação 4.8. Como
nessa classe as soluções de (P 2) são únicas tem-se que u
= w. Assim
u
∈ C
0
([0, T
max
); V )
u
∈ C
0
([0, T
max
); L
2
(Ω))
Da equação u
− µu = 0 tem-se então
u ∈ C
0
([0, T ]; L
2
(Ω)).
Também por h ser lipschitiziana resulta
h(u
) ∈ C
0
([0, T ]; H
1
2
(Γ
1
))
logo
∂u
∂ν
∈ C
0
([0, T ]; H
1
2
(Γ
1
))
As três últimas expressões e a segunda equação de (P 1) implicam
u ∈ C
0
([0, T
max
); V ∩ H
2
(Ω))
Observação 4.10 Seja z ∈ V então γ
0
h(z) = h(γ
0
z). De fato, seja (ϕ
η
) uma sucessão
de funções, ϕ
η
∈ C
1
(
Ω), tal que
ϕ
η
→ z em V
Tem-se γ
0
h(ϕ
η
) = h(γ
0
ϕ
η
). Tomando o limite em ambos os membros desta igualdade
segue-se o resultado.
88
Do exposto e de (4.84) e (P 1), obtém-se:
Teorema 4.3 Sob as hipóteses (H1)-(H3), existe uma única u na classe
u ∈ C
0
([0, T
max
); V ∩ H
2
(Ω))
u
∈ C
0
([0, T
max
); V )
u
∈ C
0
([0, T
max
); L
2
(Ω)),
(4.102)
que verifica
(P 1)
u
− M(., u
2
)u = 0 em C
0
([0, T
max
); L
2
(Ω))
∂u
∂ν
+ h(u
) = 0 em C
0
([0, T
max
); H
1
2
(Γ
1
))
∂u
∂ν
+ h
(u
)u
= 0 em L
2
loc
(0, T
max
; L
2
(Γ
1
))
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
,
onde 0 < T
max
≤ ∞.
Seja
M(t, λ) =
λ
0
M(t, σ)dσ então
M(t, λ) ≥ m
0
λ, ∀{t, λ} ∈ [0, ∞)
2
(4.103)
Seja u a solução obtida no Teorema 4.3. Então
d
dt
M(t, u(t)
2
) =
u(t)
2
0
∂
∂t
M(t, σ)dσ + M(t, u(t)
2
)
d
dt
u(t)
2
.
Multiplicando amb o s o s membros da equação (P 1)
e integrando em Ω resulta
d
dt
|u
|
2
+ M(., u
2
)
d
dt
u
2
− 2M(., u
2
)
Γ
1
∂u
∂ν
u
dΓ = 0
Levando em consideração a segunda equação de (P 1)
e a última igualdade, obtém-se:
d
dt
|u
|
2
+
d
dt
M(., u
2
) −
u(t)
2
0
∂
∂t
M(., σ)dσ + 2M(., u(t)
2
)
Γ
1
h(u
)u
dΓ = 0.
Integrando de 0 < s < t < T
max
, segue-se então
|u
(t)|
2
+
M(t, u
2
) −
t
s
u(t)
2
0
∂
∂t
M(t, σ)dσ
dξ+
+2
t
s
Γ
1
M(ξ, u(ξ)
2
)h(u
(ξ))u
(ξ)dΓ
dξ =
= |u
(s)|
2
+
M(s, u(s)
2
), ∀0 ≤ s < t < T
max
89
Intro duz-se a notação
E
u
(t) = |u
(t)|
2
+
M(t, u(t)
2
) (4.104)
Então a última igualdade adota a forma
(I1)
E
u
(t) −
t
s
u(t)
2
0
∂
∂t
M(t, σ)dσ
dξ+
+2
t
s
Γ
1
M(ξ, u(ξ)
2
)h(u
(ξ))u
(ξ)dΓ
dξ = E
u
(s), ∀0 ≤ s < t < T
max
.
Os fatos
∂M
∂t
≤ 0, M ≥ m
0
> 0 e a identidade (I1) implicam
m
0
u(t)
2
≤ E
u
(t) ≤ E
u
(0)
Seja
L = max
0≤λ≤
1
m
0
E
u
(0)
M(0, λ)
Então das duas últimas expressões decorre
m
0
≤ µ(t) = M (t, u(t)
2
) ≤ M(0, u(t)
2
) ≤ L
isto é,
m
0
≤ µ(t) ≤ L, ∀0 ≤ t < T
max
. (4.105)
Seja w a solução obtida na Proposição 4.4. Então multiplicando ambos os membros
da equação (P
lk
) e integrando em Ω tem-se
d
dt
|w
lk
|
2
+
d
dt
[µw
lk
2
] + 2µ
Γ
1
G
l
w
lk
dΓ − 2(F
l
w
lk
, w
lk
) =
µ
µ
[µw
lk
2
]
Integrando de 0 ≤ s < t < T
max
e tomando o limite resulta
|w
(t)|
2
+ µ(t)w(t)
2
+ 2
t
0
µ(ξ)
Γ
1
h
(u
(ξ))w
2
(ξ)dΓ
dξ =
=
t
s
µ
(ξ)
µ(ξ)
µ(ξ)w(ξ)
2
+ 2|w
(ξ)|
2
dξ + |w
(s)|
2
+ µ(s)w(s)
2
Intro duz-se a notação
E
w
(t) = |w
(t)|
2
+ µ(t)w(t)
2
(4.106)
Então a última igualdade adota a forma
90
(I2) E
w
(t) + 2
t
0
µ(ξ)
Γ
1
h
(u
(ξ))w
2
(ξ)dΓ
dξ =
=
t
s
µ
(ξ)
µ(ξ)
µ(ξ)w(ξ)
2
+ 2|w
(ξ)|
2
dξ + E
w
(s), ∀0 ≤ s < t < T
max
.
A seguir enuncia-se o principal resultado desta seç ão.
Teorema 4.4 Suponha satisfeitas as hipóteses (H1)-(H3). Seja
E
u
(0) ≤ ρ
2
onde ρ > 0 é um número real pequeno e satisfazendo a condição (4.144), a qual depende
das funções M, h, Ω, d
0
e d
1
. Então T
max
= ∞. Além disso verifica-se
|µ(t)∆u(t)|
2
+ µ(t)u
(t)
2
≤ C
|µ(0)u
0
|
2
+ µ(0)u
1
2
, ∀0 ≤ t < T
max
(4.107)
onde µ(t) = M(t, u(t)
2
) e C > 0 é uma constante que depende de M, h, Ω, e ρ.
A demonstração do Teorema 4.4 será feita em duas etapas. Na primeira mostra-se o
seguinte resultado.
Proposição 4.5 Seja w a solução obtida na Proposição 4.4. Então
E
w
(t) ≤ CE
w
(0), ∀0 ≤ t < T
max
(4.108)
onde C > 0 é a mesma constante de (4.107).
Na segunda etapa, utilizando a Proposição 4.5 mostra-se o Teorema 4.4.
A Proposição 4.5 seguira depois da demonstração de três lemas. Para enunciar o
primeiro lema, intro duz a lguns co nceitos prévios.
Localmente para cada x ∈ Γ
1
determina-se uma base ortonormal
{ν(x), τ
1
(x), τ
2
(x), . . . , τ
n−1
(x)}
do R
n
onde ν(x) é o vetor normal unitário exterior em x ∈ Γ
1
e τ
1
(x), τ
2
(x), . . . , τ
n−1
(x)
são vetores tangentes em x ∈ Γ
1
.
Seja w a solução do Problema (P
lk
) e 0 ≤ t < T
max
. Então
∇w(x, t) = ν(x)[∇w(x, t).ν(x)] +
n−1
k=1
τ
k
(x)[∇w(x, t).τ
k
(x)]
91
que implica
|∇w(x, t)|
2
= [∇w(x, t).ν(x)]
2
+
n−1
k=1
[∇w(x, t).τ
k
(x)]
2
isto é,
|∇w(x, t)|
2
=
∂
∂ν
w(x, t)
2
+
n−1
k=1
∂w
∂τ
k
(x, t)
2
Usando a notação
∂w
∂τ
(x, t)
2
=
n−1
k=1
∂w
∂τ
k
(x, t)
2
tem-se então
|∇w(x, t)|
2
=
∂
∂ν
w(x, t)
2
+
∂w
∂τ
(x, t)
2
, q.t x ∈ Γ
1
, ∀ 0 ≤ t < T
max
(4.109)
Seja w
lk
a solução do Problema (P
lk
). Intro duz-se a notação
E
w
lk
(t)
= |w
lk
(t)|
2
+ µ(t)w
lk
(t)
2
, 0 ≤ t < T
max
.
Tem-se o seguinte resultado.
Lema 4.5.1 Seja w
lk
a solução do Problema (P
lk
). Então
t
0
E
w
lk
(ξ)dξ ≤ CE
w
lk
(0) + C
t
0
Γ
1
∂w
lk
∂ν
2
+ w
2
lk
+
∂w
lk
∂τ
2
dΓdξ+
+C
t
0
[|F
l
(ξ)| + ε]E
w
lk
(ξ)dξ, ∀ 0 ≤ t < T
max
, l ≥ l
0
(ε),
onde ε > 0 e C > 0 é uma constante que é independente de t, l, k e ε.
Demonstração: Para facilitar a notação deixaremos de escrever os índices l, k de w
lk
e
l de F
l
.
Seja m(x) = x − x
0
, x ∈ R
n
. Usaremos o multiplicador m(x).∇w(x), x ∈ Ω.
Seja 0 ≤ t < T
max
. De (P
lk
) tem-se
t
0
(w
, m.∇w)dξ +
t
0
µ(−w, m.∇w)dξ −
t
0
F (w
, m.∇w)dξ = 0 (4.110)
Tem-se:
t
0
(w
, m.∇w)dξ = (w
, m.∇w)
t
0
−
t
0
(w
, m.∇w
)dξ (4.111)
Também da Observação 4.9, resulta
(−w, m.∇w) = (∇w, ∇[m.∇w]) −
Γ
∂w
∂ν
(m.∇w)dΓ.
92
(∇w, ∇[m.∇w]) =
i
Ω
∂w
∂x
i
∂
∂x
i
j
m
j
∂w
∂x
j
dx =
=
i,j
Ω
∂w
∂x
i
∂m
j
∂x
i
∂w
∂x
j
dx +
i,j
Ω
∂w
∂x
i
m
j
∂
2
w
∂x
i
∂x
j
dx =
=
i,j
Ω
∂w
∂x
i
δ
ij
∂w
∂x
j
dx +
i,j
Ω
m
j
1
2
∂
∂x
j
∂w
∂x
i
2
dx =
=
i
Ω
∂w
∂x
i
2
dx −
1
2
i,j
Ω
∂m
j
∂x
j
∂w
∂x
i
2
dx +
1
2
i,j
Γ
m
j
∂w
∂x
i
2
v
j
dΓ =
= w
2
−
n
2
w
2
+
1
2
Γ
(m.ν)|∇w|
2
dΓ,
isto é,
(−w, m.∇w) = w
2
−
n
2
w
2
+
1
2
Γ
(m.ν)|∇w|
2
dΓ −
Γ
∂w
∂ν
(m.∇w)dΓ (4.112)
Por outro lado,
t
0
(w
, m.∇w
)dξ =
j
t
0
Ω
w
m
j
∂w
∂x
j
dxdξ =
=
j
t
0
Ω
m
j
1
2
∂
∂x
j
w
2
dxdξ =
= −
1
2
j
t
0
Ω
∂m
j
∂x
j
w
2
dxdξ +
1
2
j
t
0
Γ
m
j
ν
j
w
2
dΓdξ =
= −
n
2
t
0
Ω
w
2
dxdξ +
1
2
t
0
Γ
(m.ν)w
2
dΓdξ
isto é,
t
0
(w
, m.∇w
)dξ = −
n
2
t
0
Ω
w
2
dxdξ +
1
2
t
0
Γ
(m.ν)w
2
dΓdξ (4.113)
Então (4.111) toma a forma
t
0
(w
, m.∇w)dξ = (w
, m.∇w)
t
0
+
n
2
t
0
|w
|
2
dξ −
1
2
t
0
Γ
(m.ν)w
2
dΓdξ (4.114)
Substituindo (4.112) e (4.114) em (4.110) resulta
t
0
n
2
|w
|
2
− µw
2
dξ = −
t
0
µw
2
dξ − (w
, m.∇w)
t
0
+
+
1
2
t
0
Γ
(m.ν)
w
2
− µ|∇w|
2
dΓdξ +
t
0
Γ
µ
∂w
∂ν
(m.∇w)dΓdξ+
+
t
0
F (w
, m.∇w)dξ
(4.115)
93
De (P
lk
) resulta
t
0
(w
− µw − F w
, w)dξ = 0 (4.116)
Tem-se
t
0
(w
, w)dξ = (w
, w)
t
0
−
t
0
|w
|
2
dξ (4.117)
Também
Ω
(−ww)dξ = w
2
−
Γ
∂w
∂ν
wdΓ
o que implica
t
0
µ(−w, w)dξ =
t
0
µw
2
dξ −
t
0
Γ
µw
∂w
∂ν
dΓdξ (4.118)
Substituindo (4.117) e (4.118) em (4.116), obtém-se:
t
0
[|w
|
2
− µw
2
]dξ = (w
, w)
t
0
−
t
0
Γ
µw
∂w
∂ν
dΓdξ−
−
t
0
F (w
, w)dξ
o que implica
t
0
n
2
[|w
|
2
− µw
2
]dξ =
n
2
(w
, w)
t
0
−
n
2
t
0
Γ
µw
∂w
∂ν
dΓdξ−
−
n
2
t
0
F (w
, w)dξ
(4.119)
Igualando os primeiros membros de (4.115) e (4.119) resulta:
−
t
0
µw
2
dξ − (w
, m.∇w)
t
0
+
1
2
t
0
Γ
(m.ν)
w
2
− µ|∇u|
2
dΓdξ+
+
t
0
Γ
µ
∂w
∂ν
(m.∇w)dΓdξ +
t
0
F (w
, m.∇w)dξ =
=
n
2
(w
, w)
t
0
−
n
2
t
0
Γ
µw
∂w
∂ν
dΓdξ −
n
2
t
0
F (w
, w)dξ
Notando que w e w
são iguais a zero sobre Γ
0
resulta então
t
0
µw
2
dξ +
1
2
t
0
Γ
µ(m.ν)|∇w|
2
dΓdξ = −(w
, m.∇w)
t
0
+
+
1
2
t
0
Γ
1
(m.ν)w
2
dΓdξ +
t
0
Γ
µ
∂w
∂ν
(m.∇w)dΓdξ +
t
0
F (w
, m.∇w)dξ−
−
n
2
(w
, w)
t
0
+
n
2
t
0
Γ
1
µw
∂w
∂ν
dΓdξ +
n
2
t
0
F (w
, w)dξ
(4.120)
94
Usando as notações:
• I =
1
2
t
0
Γ
µ(m.ν)|∇w|
2
dΓdξ,
• J
1
=
1
2
t
0
Γ
1
(m.ν)w
2
dΓdξ,
• J
2
=
1
2
t
0
Γ
µ
∂w
∂ν
(m.∇w)dΓdξ,
• J
3
=
n
2
t
0
Γ
1
µw
∂w
∂ν
dΓdξ,
• J
4
= −(w
, m.∇w)
t
0
−
n
2
(w
, w)
t
0
,
• J
5
=
t
0
F (w
, m.∇w)dξ +
n
2
t
0
F (w
, w)dξ.
a expressão (4.120) toma a forma
t
0
µw
2
dξ + I =
5
l=1
J
l
(4.121)
A seguir modifica-se I e os J
l,s
.
• Modificação de I.
Por ter-se m.ν > 0 sobre Γ
1
obtemos:
1
2
t
0
Γ
0
µ(m.ν)|∇w|
2
dΓdξ ≤ I
• Modificação de J
1
.
J
1
≤
R
2
t
0
Γ
1
w
2
dΓdξ ≤
R
2m
0
t
0
Γ
1
µw
2
dΓdξ
• Modificação de J
2
.
Tem-se
J
2
=
t
0
Γ
0
µ
∂w
∂ν
(m.∇w)dΓdξ +
t
0
Γ
1
µ
∂w
∂ν
(m.∇w)dΓdξ (4.122)
Note que m.∇w = (m.ν)
∂w
∂ν
e
∂w
∂ν
2
= |∇w|
2
sobre Γ
0
. (Ver M.Milla Miranda e L.A.
Medeiros [35]). Logo,
Γ
0
µ
∂w
∂ν
(m.∇w)dΓ =
Γ
0
µ(m.ν)
∂w
∂ν
2
dΓ =
Γ
0
µ(m.ν)|∇w|
2
dΓ,
isto é,
t
0
Γ
0
µ
∂w
∂ν
(m.∇w)dΓdξ =
t
0
Γ
0
µ(m.ν)|∇w|
2
dΓdξ (4.123)
95
Também, usando (4.109), obtém-se:
Γ
1
µ
∂w
∂ν
(m.∇w)dΓ
≤ R
Γ
1
µ
∂w
∂ν
|∇w|dΓ ≤
≤
R
2
µ
Γ
1
∂w
∂ν
2
dΓ +
R
2
µ
Γ
1
|∇w|
2
dΓ ≤
≤
R
2
µ
Γ
1
∂w
∂ν
2
dΓ +
R
2
µ
Γ
1
∂w
∂ν
2
+
∂w
∂τ
2
dΓ =
≤ Rµ
Γ
1
∂w
∂ν
2
dΓ +
R
2
µ
Γ
1
∂w
∂τ
2
dΓ
isto é,
t
0
Γ
1
µ
∂w
∂ν
(m.∇w)dΓdξ ≤ R
t
0
Γ
1
µ
∂w
∂ν
2
dΓdξ+
R
2
t
0
Γ
1
µ
∂w
∂τ
2
dΓdξ (4.124)
Combinando (4.123) e (4.124) com (4.122) resulta
J
2
≤
t
0
Γ
0
µ(m.ν)|∇w|
2
dξ + R
t
0
Γ
1
µ
∂w
∂ν
2
dΓdξ +
R
2
t
0
Γ
1
µ
∂w
∂τ
2
dΓdξ
• Modificação de J
3
.
Para ε > 0 resulta
J
3
≤ ε
t
0
Γ
1
µw
2
dΓdξ + C(ε)
t
0
Γ
1
µ
∂w
∂ν
2
dΓdξ,
onde C(ε) > 0 é uma consta nte independente de 0 ≤ t < T
max
.
• Modificação de J
4
.
Por cálculos simples segue-se que existe uma constante C > 0, independente de 0 ≤
t < T
max
, tal que
J
4
≤ C[E
w
(0) + E
w
(t)]
• Modificação de J
5
.
Também por cálculos simples obtém-se que existe uma constante C > 0, independente
de 0 ≤ t < T
max
, tal que
J
5
≤ C
t
0
|F (ξ)|E
w
(ξ)dξ.
96
Levando em consideração as modificações sobre I e sobre as J
l
, 1 ≤ l ≤ 5, obtém-se:
t
0
µw
2
dξ −
1
2
t
0
Γ
0
µ(m.ν)|∇w|
2
dΓdξ ≤ C[E
w
(0) + E
w
(t)]+
+ε
t
0
Γ
1
µw
2
dΓdξ + C(ε)
t
0
Γ
1
µ
∂w
∂ν
2
+ w
2
+
∂w
∂τ
2
dΓdξ+
+C
t
0
|F (ξ)|E
w
(ξ)dξ.
(4.125)
Do fato w
2
L
2
(Γ
1
)
≤ Kw
2
segue-se
ε
t
0
Γ
1
µw
2
dΓdξ ≤ Kε
t
0
µw
2
dξ
Somando
t
0
|w
|
2
dξ a ambos os membros da desigualdade (4.125), notando que m.ν ≤
0 sobre Γ
0
e levando em consideraç ão a última desigualdade, obtém-se:
t
0
E
w
(ξ)dξ ≤ C[E
w
(0) + E
w
(t)] + (K + 1)ε
t
0
E
w
(ξ)dξ+
+C(ε)
t
0
Γ
1
µ
∂w
∂ν
2
+ w
2
+
∂w
∂τ
2
+
+C
t
0
|F (ξ)|E
w
(ξ)dξ.
Escolhendo ε > 0 apropriado e notando que
m
0
≤ µ(t) ≤ L, ∀0 ≤ t < T
max
(ver (4.105) para a definição de L) resulta da última desigualdade.
t
0
E
w
(ξ)dξ ≤ C[E
w
(0) + E
w
(t)]+
+C(ε)L
t
0
Γ
1
∂w
∂ν
2
+ w
2
+
∂w
∂τ
2
+
+C
t
0
|F (ξ)|E
w
(ξ)dξ.
(4.126)
A seguir modifica-se E
w
(t). A identidade (I2) para a solução w
lk
adota a forma:
E
w
(t) +
t
0
µ(ξ)
Γ
1
G
l
(ξ)w
2
(ξ)dΓ
dξ =
=
t
0
µ
(ξ)
µ(ξ)
µ(ξ)w(ξ)
2
+ 2(F (ξ)w
(ξ), w
(ξ))
dξ + E
w
(0)
97
Esta expressão junto com a desig ualdade
µ
µ
[µw
2
] + 2(F w
, w
) ≤ 2(F + ε)
µw
2
+ |w
|
2
implica
E
w
(t) ≤ C
t
0
[|F (ξ)| + ε]E
w
(ξ)dξ + E
w
(0), 0 ≤ t < T
max
(4.127)
A desigualdade acima e (4.126) proporcionam o lema. A desigualdade acima e (4.126)
proporcionam o lema.
Note que não se tem informações sobre
∂w
∂τ
, log o para poder utilizar o Lema 4.5.1
é preciso escrever esta derivada em função dos outros termos do membro esquerdo da
desigualdade do Lema 4.5.1. Isto é feito utilizando o seguinte resultado devido a I.Lasiecka
e R. Triggiane [22]:
Lema 4.5.2 Dado 0 < t < T
max
, seja δ um número real positivo tal que δ <
t
2
. Sejam w
lk
a solução do Problema (P
lk
) e ε, ε
0
constantes positivas pequenas e arbitrárias. Então a
seguinte estimativa é válida
t−δ
δ
∂w
lk
∂τ
L
2
(Γ
1
)
dξ ≤ C(δ, ε)
t
0
∂w
lk
∂ν
2
L
2
(Γ
1
)
+ w
lk
2
L
2
(Γ
1
)
+ F
l
w
2
H
−
1
2
+ε
(Ω)
dξ+
+C(δ, ε
0
)w
lk
2
H
1
2
+ε
0
(Ω×(0,T ))
O Lema 4.5.2 vai proporcionar o seguinte resultado
Lema 4.5.3 Seja w a solução obtida na Proposição 4.4. Então
t
0
E
w
(ξ)dξ ≤ CE
w
(0) + CL
t
0
[|µ
(ξ)| + |µ
(ξ)|
2
]E
w
(ξ)dξ+
+CL
t
0
Γ
1
∂w
∂ν
2
+ w
2
dΓdξ + C
t
0
E
u
(ξ)dξ, ∀0 ≤ t < T
max
onde C > 0 é uma constante independente de 0 ≤ t < T
max
. A constanta L foi definida
em (4.105).
Demonstração: De início mostra-se uma versão do lema para as soluções w
lk
de (P
lk
).
Passando ao limite neste resultado e usando as convergências (4.100) e (4.88), obtém-se-á
o lema.
98
Seja então w
lk
a solução de (P
lk
). Para facilitar a notação deixaremos de escrever os
índices l e k de w
lk
e o índice l de F
l
. Observe que o Lema 4.5.1 é válido para a integral
t
s
E
w
(ξ)dξ, mais precisamente,
t
s
E
w
(ξ)dξ ≤ CE
w
(s) + C
t
s
Γ
1
∂w
∂ν
2
+ w
2
+
∂w
∂τ
2
dΓdξ+
+C
t
s
[|F (ξ)| + ε
2
]E
w
(ξ)dξ, 0 ≤ s < t < T
max
.
Combinando esta desigualdade com o Lema 4.5.2 e fa zendo a s majorações respectivas
nas integrais, resulta
t−δ
δ
E
w
(ξ)dξ ≤ CE
w
(δ) + C
t
0
[|F (ξ)| + ε
2
]E
w
(ξ)dξ+
+C
1
(δ, ε)
t
0
∂w
∂ν
2
L
2
(Γ
1
)
+ w
2
L
2
(Γ
1
)
+ F w
2
H
−
1
2
+ε
(Γ
1
)
dξ+
+C
1
(δ, ε
0
)w
2
H
1
2
+ε
0
(Ω×(0,T ))
(4.128)
Note que para ε > 0 pequeno resulta
H
1
2
−ε
(Ω) → L
2
(Ω) → H
−
1
2
+ε
(Ω)
portanto
F w
2
H
−
1
2
+ε
(Ω)
≤ K
1
|F w
|
2
≤ K
1
|F |
2
|w
|
2
o que implica
t
0
F w
2
H
−
1
2
+ε
(Ω)
dξ ≤ K
1
t
0
[|F (ξ)|
2
+ ε
2
]|w
(ξ)|
2
dξ ≤ K
1
t
0
[|F (ξ)|
2
+ ε
2
]E
w
(ξ)dξ
Substituindo esta desigualdade em (4.128) resulta
t−δ
δ
E
w
(ξ)dξ ≤ CE
w
(δ) + CLC
1
(δ, ε)
t
0
[|F (ξ)| + |F(ξ)|
2
+ 2ε
2
]E
w
(ξ)dξ+
+CLC
1
(δ, ε)
t
0
Γ
1
∂w
∂ν
2
+ w
2
dΓdξ + CLC
1
(δ, ε
0
)w
2
H
1
2
+ε
0
(Ω×(0,T ))
(4.129)
A seguir estuda-se o comportamento de E
w
(ξ) em [0, δ] e em [t − δ, t]. De fato, de
(4.127), segue-se
δ
0
E
w
(ξ)dξ ≤ δE
w
(0) + 2Cδ
t
0
[|F (ξ)| + ε
2
]E
w
(ξ)dξ
99
e
t
t−δ
E
w
(ξ)dξ ≤ δE
w
(t − δ) + 2Cδ
t
0
[|F (ξ)| + ε
2
]E
w
(ξ)dξ
Se 0 < t ≤ 1, escolho δ < t, o que implica δ < 1 e se t ≥ 1, escolho δ < 1. Com estas
considerações e combinando as duas últimas desigualdades com (4.129), obtém-se:
t
0
E
w
(ξ)dξ ≤ (C + 2)[E
w
(δ) + E
w
(0) + E
w
(t − δ)]+
+CLC
1
(δ, ε)
t
0
[|F (ξ)| + |F(ξ)|
2
+ 2ε
2
]E
w
(ξ)dξ+
+CLC
1
(δ, ε)
t
0
Γ
1
∂w
∂ν
2
+ w
2
dΓdξ + CLC
1
(δ, ε
0
)w
2
H
1
2
+ε
0
(Ω×(0,T ))
(4.130)
De (4.127) resulta
E
w
(δ) + E
w
(t − δ) ≤ 2E
w
(0) + C
t
0
[|F (ξ)| + ε
2
]E
w
(ξ)dξ (4.131)
Fixo 0 < ε
0
<
1
2
. Então
H
1
(Ω × (0, T )) → H
1
2
+ε
0
(Ω × (0, T )) → L
2
(Ω × (0, T ))
Logo, usando a desigualdade de interpolação com ε
3
> 0, obtém-se:
w
2
H
1
2
+ε
0
(Ω×(0,T ))
≤ ε
3
w
2
H
1
(Ω×(0,T ))
+ C(ε
3
)w
2
L
2
(Ω×(0,T ))
(4.132)
Limita-se cada um dos termos do segundo membro desta desigualdade por E
w
e E
u
,
respectivamente. Tem-se:
w
2
H
1
(Ω×(0,T ))
=
t
0
|w|
2
dξ +
t
0
|w
|
2
dξ +
t
0
w
2
dξ ≤
≤ K
2
t
0
w
2
dξ +
t
0
|w
|
2
dξ ≤ K
3
t
0
E
w
(ξ)dξ
portanto,
ε
3
w
2
H
1
(Ω×(0,T ))
≤ K
3
ε
3
t
0
E
w
(ξ)dξ
Também, notando que w = u
, resulta
w
2
L
2
(Ω×(0,T ))
=
t
0
|u
|
2
dξ ≤
t
0
E
u
(ξ)dξ
Substituindo as duas últimas desigualdades em (4.132) segue-se
100
w
2
H
1
2
+ε
0
(Ω×(0,T ))
≤ K
3
ε
3
t
0
E
w
(ξ)dξ + C(ε
3
)
t
0
E
u
(ξ)dξ. (4.133)
Levando em consideração (4.131) e (4.133) em (4.130), resulta
t
0
E
w
(ξ)dξ ≤ CE
w
(0) + CL
t
0
[|F (ξ)| + |F(ξ)|
2
+ 2ε
2
]E
w
(ξ)dξ+
+CL
t
0
Γ
1
∂w
∂ν
2
+ w
2
dΓdξ + K
3
ε
3
t
0
E
w
(ξ)dξ + C(ε
3
)
t
0
E
u
(ξ)dξ.
Escolhendo ε
3
> 0 apropriadamente, obtém-se a versão do lema para as soluções w
lk
de (P
lk
). Faxendo l, k → ∞, ε
2
→ 0 e usando as convergências (4.100) e (4.88), obtém-se
o lema.
Demonstração: (da Prop osição 4.5 ) Tem-se:
Γ
1
∂w
∂ν
2
dξ =
Γ
1
(h
(u
)w
)
2
dξ ≤ d
2
1
Γ
1
w
2
dξ
Substituindo esta desigualdade na expressão do Lema 4.5.3 resulta
t
0
E
w
(ξ)dξ ≤ CE
w
(0) + CL
t
0
[|µ
(ξ)| + |µ
(ξ)|
2
]E
w
(ξ)dξ+
+CL
t
0
Γ
1
w
2
dΓdξ + C
t
0
E
u
(ξ)dξ
(4.134)
Da identidade (I2) obtém-se:
E
w
(t) + 2m
0
d
0
t
0
Γ
1
w
2
dΓdξ ≤ E
w
(0) +
2
m
0
t
0
|µ
(ξ)|E
w
(ξ)dξ
o que implica para N > 0 constante,
NE
w
(t) + 2m
0
d
0
N
t
0
Γ
1
w
2
dΓdξ ≤
≤ NE
w
(0) +
2N
m
0
t
0
|µ
(ξ)|E
w
(ξ)dξ
(4.135)
Substituindo (4.134) em (4.135) resulta
NE
w
(t) +
t
0
E
w
(ξ)dξ + (2m
0
d
0
N − CL)
t
0
Γ
1
w
2
dΓdξ ≤
≤ C(1 + N)E
w
(0) +
CL +
2N
m
0
t
0
|µ
(ξ)| + |µ
(ξ)|
2
E
w
(ξ)dξ + C
t
0
E
u
(ξ)dξ
101
Escolhe-se N > 0 tal que
2m
0
d
0
N − CL > 0
Depois multiplica-se a ambos os membros da desigualdade obtida por
1
N
. Após arrumação
das contantes resulta então
E
w
(t) +
t
0
E
w
(ξ)dξ ≤ C
2
E
w
(0)+
+C
1
t
0
|µ
(ξ)| + |µ
(ξ)|
2
E
w
(ξ)dξ + C
0
t
0
E
u
(ξ)dξ
Disto e notando que E
u
(t) ≤ E
u
(0) resulta
E
w
(t) +
t
0
E
w
(ξ)
1
2
− C
1
|µ
(ξ)| + |µ
(ξ)|
2
+
1
2
E
w
(ξ) − C
0
E
u
(0)
dξ ≤ C
2
E
w
(0)
(4.136)
onde C
0
, C
1
, C
2
são constantes positivas independentes de 0 ≤ t < T
max
.
A seguir estabelece-se uma relação entre E
u
(0) e E
w
(0).
Tem-se:
u
(0) = µ(0)u
0
, w
(0) = u
(0)
(4.137)
Também,
M(t, λ) =
λ
0
M(t, σ)dσ ≤ M(t, λ)λ
Logo,
M(0, u
0
2
) ≤ M(0, u
0
2
)u
0
2
(4.138)
Também
u
0
2
≤ Cu
0
V ∩H
2
(Ω)
≤ C
|u
0
|
2
+
∂u
0
∂ν
2
L
2
(Γ
1
)
≤
≤ C[|u
0
|
2
+ h(u
1
)
2
L
2
(Γ
1
)
] ≤ C[|u
0
|
2
+ d
2
1
u
1
2
L
2
(Γ
1
)
] ≤
≤ C(Ω, d
1
) [|u
0
|
2
+ u
1
2
]
isto é,
u
0
2
≤ C(Ω, d
1
)
|u
0
|
2
+ u
1
2
(4.139)
De (4.138) e (4.139) seg ue-se
M(0, u
0
2
) ≤ C(Ω, d
1
)M(0, u
0
2
)
|u
0
|
2
+ u
1
2
(4.140)
Lembre-se que
E
u
(0) = |u
1
|
2
+
M(0, u
0
2
)
102
Logo de (4.140) e (4.137) resulta
E
u
(0) ≤ Cu
1
2
+ C(Ω, d
1
)M(0, u
0
2
)[|u
0
|
2
+ u
1
2
] =
= [C + C(Ω, d
1
)M(0, u
0
2
)]u
1
2
+
+
C(Ω, d
1
)
m
0
[M(0, u
0
2
)]
2
|∆u
0
|
2
≤
≤ C(Ω, d
1
)u
1
2
+ C(Ω, d
1
)µ
2
(0)|u
0
|
2
= C(Ω, d
1
)E
w
(0),
isto é,
E
u
(0) ≤ C(Ω, d
1
)E
w
(0)
(4.141)
Sejam
C
3
= max{C
2
, 4C
0
C
2
C(Ω, d
1
)}, C
2
> 1
(4.142)
e ρ > 0 um número real.
Intro duz-se as notações:
N
0
(ρ) = max
0≤λ≤
ρ
2
m
0
Q(λ), P
0
(ρ) = max
0≤λ≤
ρ
2
m
0
R(λ)
(4.143)
Considere ρ verificando
C
1
N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
0
C
1
2
3
E
1
2
w(0) + 2N
2
0
(ρ) + 8P
2
0
(ρ)
ρ
2
m
2
0
C
3
E
w
(0)
≤
1
4
.
(4.144)
A seguir, com as condições acima e u
0
, u
1
verificando
E
u
(0) = |u
1
|
2
+
M(0, u
0
2
) ≤ ρ
2
,
mostra-se que
E
w
(t) ≤ C
3
E
w
(0), ∀0 ≤ t < T
max
(4.145)
Note que u(t)
2
≤
ρ
2
m
0
.
A demonstração de (4.145) será feita considerando os dois casos:
4C
0
E
u
(0) ≤ E
w
(0) e 4C
0
E
u
(0) > E
w
(0)
PRIMEIRO CASO
Primeira Etapa. De início mostra-se que o integrando de (4.136) calculado em ξ = 0 é
positivo. De fato µ(t) = M(t, u(t)
2
) e
µ
(t) =
∂M
∂t
(t, u(t)
2
) + 2
∂M
∂λ
(t, u(t)
2
)((u(t), u
(t)))
103
Logo,
|µ
(0)| ≤
∂M
∂t
(0, u(0)
2
)
+ 2
∂M
∂λ
(0, u(0)
2
)
u(0)u
(t) ≤
≤ Q(u
0
2
) + 2R(u
0
2
)u
0
u
1
≤
≤ N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
1
2
0
E
w
(0)
m
0
1
2
≤ N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
0
C
1
2
3
E
1
2
w
(0)
isto é,
|µ
(0)| ≤ N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
0
C
1
2
3
E
1
2
w
(0)
Também, temos:
|µ
(0)|
2
≤ 2N
2
0
(ρ) + 8P
2
0
(ρ)
ρ
2
m
0
C
3
E
w
(0)
Logo, disto e da condição (4.144) resulta
C
1
(|µ
(0)| + |µ
(0)|
2
) ≤
≤ C
1
N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
0
C
1
2
3
E
1
2
w
(0) + 2N
2
0
(ρ) + 8P
2
0
(ρ)
ρ
2
m
2
0
C
3
E
w
(0)
≤
1
4
Portanto,
1
2
− C
1
(|µ
(0)| + |µ
(0)|
2
) ≥
1
2
−
1
4
> 0 (4.146)
o que implica
E
w
(0)
1
2
− C
1
(|µ
(0)| + |µ
(0)|
2
)
≥ 0
Por outro lado, notando que 4C
0
E
u
(0) ≤ E
w
(0), segue-se
1
2
E
w
(0) − C
0
E
u
(0) ≥ 2C
0
E
u
(0) − C
0
E
u
(0) = C
0
E
u
(0) > 0 (4.147)
Observação 4.11 Supoe-se que E
u
(0) > 0. O caso E
u
(0) = 0 proporciona a solução
global u ≡ 0 do Problema ().
Das duas últimas desigualdades resulta que
E
w
(0)
1
2
− C
1
(|µ
(0)| + |µ
(0)|
2
)
+
1
2
E
w
(0) − C
0
E
u
(0) > 0 (4.148)
Por continuidade segue-se que
E
w
(t)
1
2
− C
1
(|µ
(t)| + |µ
(t)|
2
)
+
1
2
E
w
(t) − C
0
E
u
(0) > 0, ∀0 ≤ t < T
max
ou existe T
1
com 0 < T
1
< T
max
tal que
E
w
(t)
1
2
− C
1
|µ
(t)| + |µ
(t)|
2
+
1
2
E
w
(t) − C
0
E
u
(0) > 0, 0 ≤ t < T
1
104
e
E
w
(T
1
)
1
2
− C
1
(|µ
(T
1
)| + |µ
(T
1
)|
2
)
+
1
2
E
w
(T
1
) − C
0
E
u
(0) = 0 (4.149)
Na segunda situação, da expressão (4.136), resulta
E
w
(t) ≤ C
2
E
w
(0) ≤ C
3
E
w
(0), ∀0 ≤ t < T
max
(4.150)
A primeira situação mostra a proposição. Suponha que acontece a segunda situação.
Segunda Etapa. Note que
m
0
u(T
1
)
2
≤ E
u
(T
1
) ≤ E
u
(0) ≤ ρ
2
.
Desta desigualdade e de (4.150) resulta
|µ
(T
1
)| ≤
∂M
∂t
(T
1
, u(T
1
)
2
)
+ 2
∂M
∂λ
(T
1
, u(T
1
)
2
)((u(T
1
), u
(T
1
)))
≤
≤ Q(u(T
1
)
2
) + 2R(u(T
1
)
2
)u(T
1
)u
(T
1
) ≤
≤ N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
1
2
0
E
1
2
w
(Γ
1
)
m
1
2
0
≤ N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
0
C
1
2
3
E
1
2
w
(0),
isto é,
|µ
(T
1
)| ≤ N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ) +
ρ
m
0
C
1
2
3
E
1
2
w
(0)
Também
|µ
(t)|
2
≤ 2N
2
0
(ρ) + 8P
2
0
(ρ)
ρ
2
m
2
0
C
3
E
w
(0)
Das duas últimas desigualdades e da restrição (4.144) resulta
C
1
(|µ
(T
1
)| + |µ
(T
1
)|
2
) ≤ N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
0
C
1
2
3
E
1
2
w
(0)+
+2N
2
0
(ρ) + 8P
2
0
(ρ)
ρ
2
m
2
0
C
3
E
w
(0) ≤
1
4
Logo
1
2
− C
1
(|µ
(T
1
)| + |µ
(T
1
)|
2
) ≥
1
2
−
1
4
> 0
Portanto,
E
w
(T
1
)
1
2
− C
1
(|µ
(T
1
)| + |µ
(T
1
)|
2
)
≥ 0
Esta expressão e a igualdade (4.149) acarreta
1
2
E
w
(T
1
) − C
0
E
u
(0) ≤ 0
105
o que implica
E
w
(T
1
) ≤ 2C
0
E
u
(0) < 4C
0
E
u
(0)
Por continuidade esta última desigualdade nos diz que
E
w
(t) < 4C
0
E
u
(0) ≤ C
3
E
w
(0), T
1
≤ t < T
max
ou existe T
2
com T
1
< T
2
< T
max
tal que
E
w
(t) < 4C
0
E
u
(0) ≤ C
3
E
w
(0), T
1
≤ t < T
2
(4.151)
e
E
w
(T
2
) = 4C
0
E
u
(0) (4.152)
Se acontece a primeira situação então a Proposição 4.5 está provada. Suponha que
acontece a segunda situação . De (4.136) com T
2
no lugar de zero tem-se:
E
w
(t) +
t
T
2
E
w
(ξ)
1
2
−
|µ
(ξ)| + |µ
(ξ)|
2
+
1
2
E
w
(ξ) − C
0
E
w
(T
2
)
dξ ≤
≤ C
2
E
w
(T
2
), t > T
2
(4.153)
Por continuidade, de (4.151), resulta
E
w
(T
2
) ≤ C
3
E
w
(0). (4.154)
Terceira Etapa. Com (4.152)- (4.154), aplica-se a Primeira Etapa. De fato
|µ
(T
2
)| ≤
∂M
∂t
(T
2
, u(T
2
)
2
)
+ 2
∂M
∂λ
(T
2
, u(T
2
)
2
)((u(T
2
), u
(T
2
)))
≤
≤ Q(u(T
2
)
2
) + 2R(u(T
2
)
2
)u(T
2
)u
(T
2
) ≤
≤ N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
1
2
0
E
1
2
w
(T
2
)
m
1
2
0
,
portanto,
|µ
(T
2
)| ≤ N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
0
C
1
2
3
E
1
2
w
(0)
Também,
|µ
(T
2
)|
2
≤ 2N
2
0
(ρ) + 8P
2
0
(ρ)
ρ
2
m
2
0
C
3
E
w
(0)
As duas últimas desigualdades e a restrição (4.144) implicam
C
1
(|µ
(T
2
)| + |µ
(T
2
)|
2
) ≤
≤ C
1
N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
0
C
1
2
3
E
1
2
w
(0) + 2N
2
0
(ρ) + 8P
2
0
(ρ)
ρ
2
m
2
0
C
3
E
w
(0)
≤
1
4
106
assim
1
2
− C
1
(|µ
(T
2
)| + |µ
(T
2
)|
2
) ≥
1
2
−
1
4
> 0.
Logo,
E
w
(T
2
)
1
2
− C
1
(|µ
(T
2
)| + |µ
(T
2
)|
2
)
≥ 0
Por outro lado, de (4.152) segue-se
1
2
E
w
(T
2
) − C
0
E
u
(T
2
) ≥ 2C
0
E
u
(0) − C
0
E
u
(0) = C
0
E
u
(0) > 0
Assim,
E
w
(T
2
)
1
2
− C
1
(|µ
(T
2
)| + |µ
(T
2
)|
2
)
+
1
2
E
w
(T
2
) − C
0
E
u
(T
2
) > 0
que é semehante a (4.148). Portanto, pode-se aplicar a Primeira Etapa em t = T
2
.
Continua-se o processo se necessário, mostrando em cada etapa que
E
w
(t) ≤ C
3
E
w
(0).
SEGUNDO CASO.
Por hipótese
4C
0
E
u
(0) > E
w
(0)
Quarta Etapa. Por (4.141) segue então
E
w
(0) < 4C
0
C(Ω, d
1
)E
w
(0)
Por continuidade resulta
E
w
(t) < 4C
0
C(Ω, d
1
)E
w
(0), ∀0 ≤ t < T
max
ou existe 0 < T
1
< T
max
tal que
E
w
(t) < 4C
0
E
u
(0) ≤ 4C
0
C(Ω, d
1
)E
w
(0) < C
3
E
w
(0), 0 ≤ t < T
1
(4.155)
e
E
w
(T
1
) = 4C
0
E
u
(0). (4.156)
Portanto,
E
w
(T
1
) ≤ 4C
0
C(Ω, d
1
)E
w
(0) ≤ C
3
E
w
(0) (4.157)
Na primeira situação, obtém-se a desigualdade (4.145).
107
Suponha que aconteça a segunda situação. Escreve-se (4.136) com T
1
no lugar de zero
e usa-se (4.156), então
E
w
(t) +
t
T
1
E
w
(ξ)
1
2
−
|µ
(ξ)| + |µ
(ξ)|
2
+
1
2
E
w
(ξ) − C
0
E
u
(T
1
)
dξ ≤
≤ C
2
E
w
(T
1
), t > T
1
(4.158)
e
C
2
E
w
(T
1
) = 4C
2
C
0
E
u
(0) ≤ 4C
2
C
0
C(Ω, d
1
)E
w
(0) ≤ C
3
E
w
(0) (4.159)
Note que o integrando da penúltima desigualdade calculada em ξ = T
1
é positivo. De
fato, de (4.157) tem-se
|µ
(T
1
)| ≤
∂M
∂t
(T
1
, u(T
1
)
2
)
+ 2
∂M
∂λ
(T
1
, u(T
1
)
2
)((u(T
1
), u
(T
1
)))
≤
≤ Q(u(T
1
)
2
) + 2R(u(T
1
)
2
)u(T
1
)u
(T
1
) ≤
≤ N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
1
2
0
E
1
2
w
(T
1
)
m
1
2
0
≤
≤ N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
0
C
1
2
3
E
w
(0),
isto é,
|µ
(T
1
)| ≤ N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
0
C
1
2
3
E
1
2
w
(0)
isto implica
|µ
(T
1
)|
2
≤ 2N
2
0
(ρ) + 8P
2
0
(ρ)
ρ
2
m
2
0
C
3
E
w
(0)
As duas últimas desigualdades e a restrição (4.144) acarretam
C
1
(|µ
(T
1
)| + |µ
(T
1
)|
2
) ≤
≤ C
1
N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
0
C
1
2
3
E
1
2
w
(0) + 2N
2
0
(ρ) + 8P
2
0
(ρ)
ρ
2
m
2
0
C
3
E
w
(0)
≤
1
4
Logo
1
2
− C
1
(|µ
(T
1
)| + |µ
(T
1
)|
2
) ≥
1
2
−
1
4
> 0.
Portanto
E
w
(T
1
)
1
2
− C
1
(|µ
(T
1
)| + |µ
(T
1
)|
2
)
≥ 0
Por outro lado, de (4.156) e observando que E
u
(t) ≤ E
u
(0), resulta
1
2
E
w
(T
1
) − C
0
E
u
(T
1
) ≥ 2C
0
E
u
(0) − C
0
E
u
(0) = C
0
E
u
(0) > 0
108
As duas últimas expressões implicam
E
w
(T
1
)
1
2
− C
1
(|µ
(T
1
)| + |µ
(T
1
)|
2
)
+
1
2
E
w
(T
1
) − C
0
E
u
(T
1
) > 0
Quinta Etapa. Por continuidade a última desigualdade implica que
E
w
(t)
1
2
− C
1
(|µ
(t)| + |µ
(t)|
2
)
+
1
2
E
w
(t) − C
0
E
u
(T
1
) > 0, ∀T
1
≤ t < T
max
ou existe T
2
com T
1
< T
2
< T
max
tal que
E
w
(t)
1
2
− C
1
(|µ
(t)| + |µ
(t)|
2
)
+
1
2
E
w
(t) − E
u
(T
1
) > 0, ∀T
1
≤ t < T
2
(4.160)
e
E
w
(T
2
)
1
2
− C
1
(|µ
(T
2
)| + |µ
(T
2
)|
2
)
+
1
2
E
w
(T
2
) − E
u
(T
1
) = 0 (4.161)
Se acontece a primeira situação, então a desigualdade (4.145) está provada. Suponha que
aconteça a segunda situaçã o. Combinando (4.158), (4.159), (4.160) e (4.157) tem-se
E
w
(T
2
) ≤ C
2
E
w
(T
1
) ≤ C
3
E
w
(0)
Tem-se, desta última desigualdade
|µ
(T
2
)| ≤
∂M
∂t
(T
2
, u(T
2
)
2
)
+ 2
∂M
∂λ
(T
2
, u(T
2
)
2
)((u(T
2
), u
(T
2
)))
≤
≤ Q(u(T
2
)
2
) + 2R(u(T
2
)
2
)u(T
2
)u
(T
2
) ≤
≤ N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
1
2
0
E
1
2
w
(T
2
)
m
1
2
0
≤
≤ N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
0
C
1
2
3
E
w
(0),
isto é,
|µ
(T
2
)| ≤ N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
0
C
1
2
3
E
1
2
w
(0)
Isto implica
|µ
(T
2
)|
2
≤ 2N
2
0
(ρ) + 8P
2
0
(ρ)
ρ
2
m
2
0
C
3
E
w
(0)
As duas últimas desigualdades acarretam
C
1
(|µ
(T
2
)| + |µ
(T
2
)|
2
) ≤
≤ C
1
N
0
(ρ) + 2P
0
(ρ)
ρ
m
0
C
1
2
3
E
1
2
w
(0) + 2N
2
0
(ρ) + 8P
2
0
(ρ)
ρ
2
m
2
0
C
3
E
w
(0)
≤
1
4
109
Portanto
1
2
− C
1
(|µ
(T
2
)| + |µ
(T
2
)|
2
) ≥
1
2
−
1
4
> 0.
Logo
E
w
(T
2
)
1
2
− C
1
(|µ
(T
2
)| + |µ
(T
2
)|
2
)
≥ 0
Esta desigualdade e (4.145) implicam
1
2
E
w
(T
2
) − C
0
E
u
(T
1
) ≤ 0
Portanto,
E
w
(T
2
) ≤ 2C
0
E
u
(T
1
) ≤ 2C
0
E
u
(0) < 4C
0
E
u
(0) ≤ 4C
0
C(Ω, d
1
)E
w
(0) (4.162)
Sexta Etapa. Com a desigualdade (4.162) volta-se a implicar a Quinta Etapa. De
fato, por continuidade resulta que
E
w
(t) < 4C
0
E
u
(0) ≤ 4C
0
C(Ω, d
1
)E
w
(0) < C
3
E
w
(0), ∀T
2
≤ t < T
max
ou existe T
3
com T
2
< T
3
< T
max
verificando
E
w
(t) < 4C
0
E
u
(0) < C
3
E
w
(0), T
2
≤ t < T
3
e
E
w
(T
3
) = 4C
0
E
u
(0)
Esta igualdade implica
E
w
(T
3
) ≤ 4C
0
C(Ω, d)E
w
(0) ≤ C
3
E
w
(0)
A seguir procede-se como na Quinta Etapa. O procedimento prosegue se necessário.
Observe que em todas as etapas sempre se tem
E
w
(t) ≤ C
3
E
w
(0)
A seguir mostra-se que com o procedimento introduzido no Primeiro Ca so ou com o
do Segundo Caso pode-se chegar a qualquer t com 0 < t < T
max
, valendo
E
w
(t) ≤ C
3
E
w
(0)
De fato, suponha que exista t com 0 < t < T
max
tal que
E
w
(t) > C
3
E
w
(0).
110
Então existe T
∗
com 0 < T
∗
< T
max
tal que
E
w
(T
∗
) = C
3
E
w
(0) (4.163)
e
E
w
(t) > C
3
E
w
(0), T
∗
< t ≤ T
∗
1
, T
∗
1
< T
max
(4.164)
Tem-se por (4.136) (trocando 0 por T
∗
)
E
w
(t) +
t
T
∗
E
w
(ξ)
1
2
−
|µ
(ξ)| + |µ
(ξ)|
2
+
1
2
E
w
(ξ) − C
0
E
u
(T
∗
)
dξ ≤
≤ C
2
E
w
(T
∗
), t ≥ T
∗
(4.165)
Acontece que
4C
0
E
u
(0) ≤ E
w
(T
∗
) (4.166)
ou
4C
0
E
u
(0) > E
w
(T
∗
) (4.167)
Suponha que aconteça (4.166). Então de (4.163) e aplicando raciocínio análogo ao
feito na Segunda Etapa do Primeiro Caso, obtém-se
1
2
− C
1
(|µ
(T
∗
)| + |µ
(T
∗
)|
2
) > 0.
portanto
E
w
(T
∗
)
1
2
− C
1
(|µ
(T
∗
)| + |µ
(T
∗
)|
2
)
≥ 0
Também de (4.166) resulta
1
2
E
w
(T
∗
) − C
0
E
u
(T
∗
) ≥ 2C
0
E
u
(0) − C
0
E
u
(0) = C
0
E
u
(0) > 0
Usando as duas últimas desigualdades em (4.165), obtém-se
E
w
(t) ≤ C
3
E
w
(0), T
∗
≤ t ≤ T
∗
2
, T
∗
< T
∗
2
< T
max
o qual está em contradição co m (4.164).
Suponha que acontece (4.167). Então por continuidade existe T
∗
3
com T
∗
< T
∗
3
<
T
max
, T
∗
3
≤ T
∗
1
, tal que
E
w
(t) < 4C
0
E
u
(0), T
∗
≤ t ≤ T
∗
3
Tem-se
E
w
(T
∗
3
) < 4C
0
E
u
(0) ≤ 4C
0
C(Ω, d
1
)E
w
(0) ≤ 4C
2
C
0
C(Ω, d
1
)E
w
(0) ≤ C
3
E
w
(0)
111
isto é,
E
w
(T
∗
3
) < C
3
E
w
(0)
o que contraria (4.164). Assim a afirmação está mostrada. Isto conclui a demonstração
da Proposição 4.5.
Demonstração: (do Teorema 4.4.)
Suponha que T
max
seja finito. Considere uma sucessão de números reais (t
η
) com
0 < t
η
< T
max
tal que
t
η
→ T
max
Da identidade (I1) tem-se
|u
(t
η
)|
2
+
M(t
η
, u(t
η
2
)) ≤ |u
1
|
2
+
M(0, u
0
2
), ∀η (4.168)
e da Proposição 4.5 e do Teorema 4.3, tem-se
|µ(t
η
)u(t
η
)|
2
+ µ(t
η
)u
(t
η
)
2
≤ C
|µ(0)u
0
|
2
+ µ(0)u
1
2
, ∀η (4.169)
De (4.168) obtém-se
u(t
η
) ϕ em V (4.170)
e de (4.169),
∆u(t
η
) χ em L
2
(Ω) (4.171)
u
(t
η
) ψ em V (4.172)
Por ser (u
(t
η
)) limitado em V resulta que (h(u
(t
η
))) é limitado em V, o que implica, pela
segunda equação de (P 1)
do Teorema 4.3, que
∂u(t
η
)
∂ν
é limitado em H
1
2
(Γ
1
). Destas
duas limitações resulta
h(u
(t
η
)) α em H
1
2
(Γ
1
) (4.173)
∂u(t
η
)
∂ν
β em H
1
2
(Γ
1
) (4.174)
As convergências (4.170), (4.171) e notando que ∆ é um operador fechado em L
2
(Ω),
implicam
∆u(t
η
) ∆ϕ em L
2
(Ω) (4.175)
Esta convergência e (4.170) proporcionam
∂u(t
η
)
∂ν
∂ϕ
∂ν
em H
−
1
2
(Γ
1
)
112
Comparando esta convergência com (4.174), obtém-se
∂u(t
η
)
∂ν
∂ϕ
∂ν
em H
1
2
(Γ
1
) (4.176)
As convergências (4.170), (4.175) e (4.176) implicam que ϕ ∈ V ∩ H
2
(Ω) e
u(t
η
) ϕ em V ∩ H
2
(Ω)
Por ser (u
(t
η
)) limitado em H
1
2
(Γ
1
) e a imersão de H
1
2
(Γ
1
) em L
2
(Γ
1
) ser compacta,
resulta que existe uma subsucessão de (u
(t
η
)), ainda denotada por u
(t
η
) tal que
u
(t
η
) → ψ em L
2
(Γ
1
)
Da desigualdade
Γ
1
[h(u
(t
η
)) − h(ψ)]
2
dΓ ≤ d
2
1
Γ
1
[u
(t
η
) − ψ]
2
dΓ
tem-se então
h(u
(t
η
)) → h(ψ) em L
2
(Γ
1
)
Esta convergência e (4.173) implicam
h(u
(t
η
)) h(ψ) em H
1
2
(Γ
1
) (4.177)
Tomando o limite na equação
∂u(t
η
)
∂ν
+ h(u
(t
η
)) = 0
tem-se das convergências (4.176) e (4.177) que
∂ϕ
∂ν
+ h(ψ) = 0 em H
1
2
(Γ
1
)
com ϕ ∈ V ∩ H
2
(Ω) e ψ ∈ V.
A seguir determina-se uma solução v do problema
v
(t) − M(t, v(t)
2
)∆v(t) = 0, 0 < t ≤ T
0
v = 0 sobre Γ
0
× (0, T
0
)
∂v
∂ν
+ h(v
) = 0 sobre Γ
1
× (0, T
0
)
v(0) = ϕ, v
(0) = ψ
113
Esta solução local v existe (ver Teorema 4.2).
A função
z(t) =
u(t), 0 ≤ t < T
max
v(t − T
max
), T
max
≤ t ≤ T
0
+ T
max
é solução do Problema () em [0, T
max
+ T
0
] o que contraria a definição de T
max
. Assim,
T
max
= ∞, o que conclui a demonstração do teorema.
4.6 Decaimento de Soluções
Nesta seção vamos supor que
M
1
(t, λ, ξ) = M
2
(t, λ, ξ) = M(t, λ + ξ).
Pela forma particular de M
1
e M
2
, o caso do sistema (S
1
) ficará reduzido a uma
equação vetorial com duas componentes. Neste caso, será suficiente o estudo do problema
escalar. Para analisar o comportamento assintótico da solução {u, v} do sistema (S
1
).
Intro duzimos a lgumas hipóteses para enunciar este problema escalar.
Suponha que exista x
0
∈ R
n
tal que as partes fechadas, disjuntas e regulares, Γ
0
e Γ
1
,
da fronteira Γ de Ω tenham a forma:
(H1) Γ
0
= {x ∈ Γ; m(x).ν(x) ≤ 0}, Γ
1
= {x ∈ Γ; m(x).ν(x) > 0},
onde m(x) = x − x
0
, x ∈ R
n
.
Sejam dadas as funções
(H2) M ∈ C
1
([0, ∞[
2
), M(t, σ) ≥ m
0
> 0, ∀t ≥ 0, σ ≥ 0 (m
0
constante).
O problema escalar em questão é o seguinte:
(P G)
u
− M(t, u
2
)u = 0 em Ω × (0, ∞)
u = 0 sobre Γ
0
× (0, ∞)
∂u
∂ν
+ (m.ν)h(u
) = 0 sobre Γ
1
× (0, ∞)
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
em Ω.
A seguir define-se o conceito de solução global de (P G).
Sejam u
0
∈ V ∩ H
2
(Ω) e u
1
∈ V verificando
114
(H3)
∂u
0
∂ν
+ (m.ν)h(u
1
) = 0 sobre Γ
1
.
Diz-se que u é uma solução global de (P G), se satisfeitas as hipóteses (H1)-(H3), a
função u pertence à classe
u ∈ L
∞
loc
(0, ∞; V ∩ H
2
(Ω))
u
∈ L
∞
loc
(0, ∞; V )
u
∈ L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω))
e verifica
u
− M(t, u
2
)u = 0 em L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)) (4.178)
∂u
∂ν
+ (m.ν)h(u
) = 0 em L
∞
loc
(0, ∞; H
1
2
(Γ
1
)) (4.179)
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
.
Com as hipóteses suplementares:
•
∂M
∂t
(t, σ) ≤ 0, ∀t ∈ [0, ∞),
• Existem constantes a > 0 e b > 0 tais que
∂M
∂λ
(t, λ)
≤ b, ∀λ ∈ [0, a] e t ≥ 0,
• u
0
V ∩H
2
(Ω)
, u
1
pequeno e h(s) = s,
M.Milla Miranda e L.P. San Gil Jutuca [38] mostraram a existência de uma solução global
de (P G). Também nas condições:
• M(t, σ) = 1 + m
1
σ, m
1
> 0;
• 0 < d
0
≤ h
(s) ≤ d
1
< ∞
• u
0
V ∩H
2
(Ω)
, u
1
pequenos,
I. Lasiecka e J.Ong [20] mostraram a existência de uma solução glo bal u de (P G).
Intro duzimos a lgumas hipóteses e notações para enunciar o teorema de decaimento
de soluções. Suponha que
(H4)
∂M
∂σ
(t, σ) ≥ 0, ∀t ∈ [0, ∞); σ ≥ 0,
(H5)
h ∈ C
0
(R)
0 < d
0
s
2
≤ h(s)s ≤ d
1
s
2
, ∀s ∈ R (d
0
, d
1
constantes)
115
Seja
M(t, σ) =
σ
0
M(t, σ)dσ.
Considere a energia
E(t) = |u
(t)|
2
+
M(t, u(t)
2
, t ≥ 0.
Sendo Γ
1
compacto e regular existe τ
0
> 0 tal que m(x).ν(x) ≥ τ
0
, ∀x ∈ Γ
1
.
Usa-se as notações:
• m(x).ν(x) ≤ τ
1
, ∀x ∈ Γ
1
,
• R = max
x∈Ω
m(x),
• |v|
2
≤ k
0
v
2
, ∀v ∈ V,
• v
2
L
2
(Γ
1
)
≤ k
1
v
2
, ∀v ∈ V
e
• µ(t) = M(t, u(t)
2
), t ≥ 0.
Tem-se o seguinte resultado:
Teorema 4.5 Suponha que são satisfeitas as hipóteses (H1)-(H5). Seja u uma solução
global de (PG). Então, existe η > 0 tal que
E(t) ≤ 3E(0)e
−
η
3
t
, ∀ t ≥ 0,
onde η = min{
1
2k
,
2
k
∗
}, sendo
k =
R
2
m
0
+ 1 +
(n − 1)
2
2m
0
+
1
2
k
0
e k
∗
=
R
2
τ
1
τ
0
+
1
m
0
d
0
+ (n − 1)
2
k
1
τ
1
d
1
.
Demonstração: Introduzimos o funcional
ρ(t) = 2(u
(t), m.∇u(t)) + (n −1)(u
(t), u(t)), t ≥ 0
e consideramos a energia pertubada
E
ε
(t) = E(t) + ερ(t), (ε > 0). (4.180)
Note que
M(t, u(t)
2
) =
u(t)
2
0
M(t, σ)dσ ≥ m
0
u(t)
2
.
116
Tem-se:
|ρ(t)| ≤ 2R|u
(t)|u(t) + (n − 1)|u
(t)||u(t)| ≤
≤
R
2
m
0
|u
(t)|
2
+ m
0
u(t)
2
+
(n − 1)
2
2m
0
|u
(t)|
2
+
1
2
k
0
m
0
u(t)
2
≤
≤
R
2
m
0
|u
(t)|
2
+
M(t, u(t)
2
) +
(n − 1)
2
2m
0
|u
(t)|
2
+
1
2
k
0
M(t, u(t)
2
),
isto é,
|ρ(t)| ≤ kE(t), ∀t ≥ 0,
onde
k =
R
2
m
0
+ 1 +
(n − 1)
2
2m
0
+
1
2
k
0
. (4.181)
Logo,
|E
ε
(t) − E(t)| ≤ εkE(t).
Seja ε
0
> 0 tal que
ε
0
k =
1
2
. (4.182)
Então,
1
2
E(t) ≤ E
ε
(t) ≤
3
2
E(t), ∀t ≥ 0, 0 < ε ≤ ε
0
. (4.183)
Tomando o produto escalar em L
2
(Ω) a ambos os membros da equação (4.178) com
2u
(t) resulta
(u
(t), 2u
(t)) + M(t, u(t)
2
)((u(t), 2u
(t)))+
+2M(t, u(t)
2
)
Γ
1
(m.ν)h(u
(t))u
(t)dΓ = 0
ou
d
dt
|u
(t)|
2
+
d
dt
M(t, u(t)
2
) + 2M(t, u(t)
2
)
Γ
1
(m.ν)h(u
(t))u
(t)dΓ = 0,
isto é,
d
dt
E(t) + 2M(t, u(t)
2
)
Γ
1
(m.ν)h(u
(t))u
(t)dΓ = 0 (4.184)
Vamos calcular a derivada de ρ
(t). Para facilar a escrita deixamos de escrever a
variável t. Tem-se:
ρ
= 2(u
, m.∇u) + 2(u
, m.∇u
) + (n − 1)(u
, u) + (n −1)|u
|
2
. (4.185)
(i) Cálculo de 2(u
, m.∇u)
117
Pelo Teorema de Rellich, ver V. Komornik e E. Zuazua [18] e M.Milla Miranda e L.P.
San Gil Jutuca [38], resulta que
2(u
, m.∇u) = 2(µu, m.∇u) = 2µ(u, m.∇u) =
= (n − 2)µu
2
− µ
Γ
(m.ν)|∇u|
2
dΓ + 2µ
Γ
∂u
∂ν
m.∇udΓ,
isto é,
2(u
, m.∇u) = (n − 2)µu
2
+ µI
1
+ µI
2
, (4.186)
onde
I
1
= −
Γ
(m.ν)|∇u|
2
dΓ e I
2
= 2
Γ
∂u
∂ν
m.∇udΓ.
Note que sobre Γ
0
, verifica-se |∇u|
2
=
∂u
∂ν
2
e m.∇u = m.ν
∂u
∂ν
, ver M.Milla Miranda
e L.A, Medeiros [35]. Tem-se:
I
1
= −
Γ
0
(m.ν)|∇u|
2
dΓ −
Γ
1
(m.v)|∇u|
2
dΓ =
= −
Γ
0
(m.ν)
∂u
∂ν
2
dΓ −
Γ
1
(m.v)|∇u|
2
dΓ.
Também temos
I
2
= 2
Γ
0
∂u
∂ν
m.∇udΓ + 2
Γ
1
∂u
∂ν
m.∇udΓ ≤
≤ 2
Γ
0
(m.ν)
∂u
∂ν
2
dΓ + 2R
Γ
1
∂u
∂ν
|∇u|dΓ ≤
≤ 2
Γ
0
(m.ν)
∂u
∂ν
2
dΓ +
R
2
τ
0
Γ
1
∂u
∂ν
2
dΓ +
Γ
1
(m.ν)|∇u|
2
dΓ,
isto é,
I
2
≤ 2
Γ
0
(m.ν)
∂u
∂ν
2
dΓ +
R
2
τ
0
Γ
1
∂u
∂ν
2
dΓ +
Γ
1
(m.ν)|∇u|
2
dΓ.
Somando I
1
com I
2
e notando que m.ν ≤ 0 sobre Γ
0
, resulta
I
1
+ I
2
≤
R
2
τ
0
Γ
1
∂u
∂ν
2
dΓ.
(4.187)
Combinando (4.186) e (4.187) obtemos:
2(u
, m.∇u) ≤ (n − 2)µu
2
+
R
2
τ
0
µ
Γ
1
∂u
∂ν
2
dΓ.
(4.188)
118
(ii) Cálculo de 2(u
, m.∇u)
Temos
2(u
, m.∇u
) = 2
n
j=1
Ω
u
m
j
∂u
∂x
j
dx = 2
n
j=1
m
j
1
2
∂u
2
∂x
j
dx =
= −n|u
|
2
+
Γ
1
(m.ν)u
2
dΓ,
isto é,
2(u
, m.∇u
) = −n|u
|
2
+
Γ
1
(m.ν)u
2
dΓ.
(4.189)
(iii) Cálculo de (n − 1)(u
, u).
Tem-se:
(u
, u) = µ(u, u) = −µu
2
− µ
Γ
1
(m.ν)h(u
)udΓ,
isto é,
(n − 1)(u
, u) = −(n − 1)µu
2
− (n − 1)µ
Γ
1
(m.ν)h(u
)udΓ.
(4.190)
Levando em consideração (4.188)-(4.190) em (4.185) e fazendo os respectivos cance-
lamentos, resulta que
ρ
≤ −|u
|
2
− µu
2
+
R
2
τ
0
µ
Γ
1
∂u
∂ν
2
dΓ+
+
Γ
1
(m.ν)u
2
dΓ − (n − 1)µ
Γ
1
(m.ν)h(u
)udΓ.
(4.191)
(iv) Cálculo de
R
2
τ
0
Γ
1
∂u
∂ν
2
dΓ.
Observe que h
2
(s) ≤ d
1
h(s)s, para todo s ∈ R. Logo,
Γ
1
∂u
∂ν
2
=
Γ
1
(m.ν)
2
h
2
(u
)dΓ ≤ τ
1
d
1
Γ
1
(m.ν)h(u
)u
dΓ,
isto é,
R
2
τ
0
µ
Γ
1
∂u
∂ν
2
dΓ ≤
R
2
τ
0
τ
1
d
1
µ
Γ
1
(m.ν)h(u
)u
dΓ.
(4.192)
(v) Cálculo de
Γ
1
(m.ν)u
2
dΓ.
Note que d
0
s
2
≤ h(s)s, para todo s ∈ R. Portanto
Γ
1
(m.ν)u
2
dΓ ≤
1
m
0
d
0
µ
Γ
1
(m.ν)h(u
)u
dΓ.
(4.193)
119
(vi) Cálculo de −(n − 1)µ
Γ
1
(m.ν)h(u
)udΓ.
Tem-se:
Γ
1
(m.ν)h(u
)udΓ
≤
Γ
1
(m.ν)|h(u
)||u|dΓ ≤
≤
1
2α
0
Γ
1
(m.ν)
2
h
2
(u
)dΓ +
α
0
2
Γ
1
u
2
dΓ ≤
≤
1
2α
0
τ
1
d
1
Γ
1
(m.ν)h(u
)u
dΓ +
α
0
2
k
1
u
2
,
onde α
0
> 0. Assim,
−(n − 1)µ
Γ
1
(m.ν)h(u
)udΓ ≤
(n − 1)
2α
0
τ
1
d
1
µ
Γ
1
(m.ν)h(u
)u
dΓ+
+
(n − 1)
2
α
0
k
1
µu
2
.
(4.194)
Obtém-se de (4.191)-(4.194):
ρ
≤ −|u
|
2
−
1 −
(n − 1)α
0
k
1
2
µu
2
+
+
R
2
τ
1
d
1
τ
0
+
1
m
0
d
0
+
(n − 1)τ
1
d
1
2α
0
µ
Γ
1
(m.ν)h(u
)u
dΓ.
Escolhendo α
0
> 0 tal que
1 −
(n − 1)α
0
k
1
2
=
1
2
,
isto é,
α
0
=
1
(n − 1)k
1
=
1
2
, n > 1.
Então
ρ
≤ −
1
2
|u
|
2
−
1
2
µu
2
+ k
∗
µ
Γ
1
(m.ν)h(u
)u
dΓ,
(4.195)
onde
k
∗
=
R
2
τ
1
d
1
τ
0
+
1
m
0
d
0
+
(n − 1)
2
k
1
τ
1
d
1
2
.
(4.196)
Note que
M(t, u(t)
2
) =
u(t)
2
0
M(t, τ )dτ = M(t, τ
∗
)u(t)
2
,
onde τ
∗
∈ [0, u(t)
2
]. Como M(t, σ) é crescente na variável σ resulta
M(t, u(t)
2
) ≤ M(t, u(t)
2
)u(t)
2
= µu(t)
2
.
120
Assim,
ρ
(t) ≤ −
1
2
E(t) + k
∗
µ(t)
Γ
1
(m.ν)h(u
)u
dΓ.
(4.197)
Escolha ε
1
> 0 tal que
ε
1
k
∗
= 2
(4.198)
Combinando (4.184) com (4.197) resulta
E
ε
(t) ≤ −
ε
2
E(t), ∀ 0 < ε ≤ ε
1
.
(4.199)
Seja η = min{ε
0
, ε
1
}, ε
0
definido em (4.182) e ε
1
em (4.199). Então de (4.183) e
(4.199), obtemos
1
2
E(t) ≤ E
η
(t) ≤
3
2
E(t), ∀t ≥ 0
E
η
(t) ≤ −
η
2
E(t), ∀t ≥ 0.
Portanto,
E
η
(t) ≤ −
η
3
E
η
(t), ∀t ≥ 0,
o que implica
E
η
(t) ≤ E
η
(0)e
−
η
3
t
, ∀t ≥ 0.
Assim,
E(t) ≤ 3E(0)e
−
η
3
t
, ∀t ≥ 0.
A seguir descreveremos o sistema que desejamos analizar. O problema a estudar é o
seguinte:
(S)
u
− M(t, u(t)
2
+ v(t)
2
)u = 0 em Ω × (0, ∞)
v
− M(t, u(t)
2
+ v(t)
2
)v = 0 em Ω × (0, ∞)
u = 0 sobre Γ
0
× (0, ∞)
v = 0 sobre Γ
0
× (0, ∞)
∂u
∂ν
+ h(., u
) = 0 sobre Γ
1
× (0, ∞)
∂v
∂ν
+ h(., v
) = 0 sobre Γ
1
× (0, ∞)
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
em Ω
v(0) = v
0
, v
(0) = v
1
em Ω.
121
A energia associada a (S) é o funcional
E(t) = |u
(t)|
2
+ |v
(t)|
2
+
M(t, u(t)
2
+ v(t)
2
), t ≥ 0,
onde
M(t, σ) =
σ
0
M(t, σ)dσ.
Intro duzimos a s seg uintes notações:
• H
s
r
=
h(s)
h(r)
,
H
s
r
,
s
r
= h(r)r + h(s)s, ∀r, s ∈ R;
• w =
u
v
, w
=
u
v
, w
2
= u
2
+ v
2
, |w
|
2
= |u
|
2
+ |v
|
2
;
• H(w
) = H
u
v
=
h(u
)
h(v
)
;
• u
0
=
u
0
v
0
, u
1
=
u
1
v
1
, 0 =
0
0
.
Com estas notações o sistema (S) adota a seguinte forma:
(SV )
w
− M(t, w
2
)w = 0 em Ω × (0, ∞)
w = 0 sobre Γ
0
× (0, ∞)
∂w
∂ν
+ (m.ν)H(w
) = 0 sobre Γ
1
× (0, ∞)
w(0) = w
0
, w
(0) = w
1
em Ω.
A energia associada a (SV ) é o funcional
E(t) = |w
(t)|
2
+
M(t, w(t)
2
), t ≥ 0.
Sejam u
0
∈ (V ∩ H
2
(Ω))
2
e u
1
∈ V
2
verificando
(H6)
∂u
0
∂ν
+ (m.ν)H(u
1
) = 0 sobre Γ
1
.
Diz-se que uma função vetorial w =
u
v
é uma solução global de (SV ) se w
pertence à classe
w ∈ (L
∞
loc
(0, ∞; V ∩ H
2
(Ω)))
2
w
∈ (L
∞
loc
(0, ∞; V ))
2
w
∈ (L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)))
2
122
e verifica
w
− M(t, w
2
)w = 0 em (L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(Ω)))
2
∂w
∂ν
+ (m.ν)H(w
) = 0 em (L
2
loc
(0, ∞; H
1
2
(Γ
1
)))
2
w(0) = w
0
, w
(0) = w
1
.
A hipótese (H5) na sua versão vetorial tem a forma
(H7)
H ∈ (C
0
(R))
2
,
0 < d
0
r
s
2
≤
H
r
s
,
r
s
≤ d
1
r
s
2
, ∀
r
s
∈ R
2
.
Teorema 4.6 Suponha satisfeitas as hipóteses (H1), (H2), (H4), (H6) e (H7). Seja w
uma solução global de (SV ). Então existe η > 0 tal que
E(t) ≤ 3E(0)e
−
η
3
t
, ∀t ≥ 0,
onde η está definido no Teorema 4.5.
Demonstração: Tomando o produto escala r a ambo sos membros de (SV ) com 2w
resulta
(w
(t), 2w
(t)) + M(t, w(t)
2
)(w(t), 2w
(t)) = 0
ou
d
dt
|w
(t)|
2
+ M(t, w(t)
2
)
d
dt
w(t)
2
+
+2M(t, w(t)
2
)
Γ
1
(m.ν)(H(w
(t)), w
(t))dΓ, ∀t ≥ 0,
isto é,
d
dt
E(t) + 2M(t, w(t)
2
)
Γ
1
(m.ν)(H(w
(t)), w
(t))dΓ, ∀t ≥ 0,
Considera-se o funcional vetorial
ρ(t) = 2(u
(t), m.∇u(t)) + (n −1)(u
(t), u(t)) + 2(v
(t), m.∇v(t)) + (n − 1)(v
(t), v(t)),
e a energia pertubada
E
ε
(t) = E(t) + ερ(t), ε > 0.
A seguir prosegue-se como Teorema 4.5 e obtém-se o resultado.
123
Bibliografia
[1] Arosio, A and Garavaldi, S. On the mildly Kirchhoff string, Math. Appl. Science,
14 (1991), 177-195.
[2] Arosio, A and Spagnolo, S. Global solutions to the Cauchy problem for a nonlinear
hyperbolic equation, Nonlinea r Partial Differential Equations, H. Brezis and J. L.
Lions eds., College de France Seminar, Vol. 6, Pitman, London, 1984, 1-26.
[3] Araruna, F.D and A.B. Maciel. Existence and boudary stabilization of the semilinear
wave equation. Nonlinear Analysis 67(2007) 1288-1305 .
[4] Alabau-Boussouira, F. Convexity and weighted integral inequalities for energy decay
rates of nonlinear dissipative hyperbolic system, Appl.Math. Optim. 51(1) (2 00 5)
61-105.
[5] Brezis, H and Cazenave, T. Nonlinear evolution equations, Notas de aula, IM-UFRJ,
1994.
[6] Bernstein, S. On a class of fuctional partial differential equations, Izv. Acad. Nauk
SSSR, Ser. Math. 4(1940), 17-26.
[7] Clark, H.R. Global classical solutions to the Cauchy problem for a nonlinear wave
equation, Int. J. Math. and Math. Sci. 21(3), 533 -5 48 (199 8).
[8] Cavalcanti,M.M., V.N.D Cavalcanti a nd P. Martinez. Existence a nd decay rate es-
timates for the wave equation with nonlinear boundary damping and source term,
J.Differential Equations, 203(2004) 11 9-1 58 .
[9] Cousin, A.T, Frota, C.L e N. A.Larkin. On a system of Klein-Gordon type equations
with acoustic boundary conditions, J.Math. Anal. Appl. 293 (2004) 293-309.
[10] Crippa, H. R. On local solutions of some mildly degenerate hyperbolic equation,
Nonlinear Analysis TMA, 21 (1993), 565-574.
124
[11] Ebihara, Y., Medeiros, L. A. and Milla Miranda, M. Local solutions for a nonlinear
degenerate hyp erbolic equation, Nonlinear Analysis TMA, 10 (1986), 27-40.
[12] Hosoya, M. and Yamada, Y. On some nonlinear wave equation II: global solution
existence and energy of solutions, J. Fac. Univ. Tokyo 38(1991), 239-250.
[13] Izaguirre, R., Fuentes, R. and Milla Miranda, M. Existence of local solutions of the
Kirchhoff-Carrier equation in Banach spaces, Nonlinear Analysis 68 (2008), 3565-
3580.
[14] Izaguirre, R, Fuentes, R and Milla Miranda, M. Global and decay of solutions of
a damped Kirchhoff-Carrier equation in Banach spaces, Mat. Contemp. 32 (2007),
147-168.
[15] Kirchhoff, G. Vorlesungen über mechanik, Tauber Leipzig (1983)
[16] Komornik,V. Exact controllability and stabilization. John Wiley & Sons, (199 4).
[17] Komornik, V and Rao, B. Boundary stabilizations of complactly coupled wave equa-
tions, Asymptotic Analysis 14 (1997) 339-359.
[18] Komornik,V and E. Zuazua. A direct method for boundary stabilization of the wave
equation, J. Math. Pure Appl. 69(1990) 33-54.
[19] Kouémou-Patcheu, S. Existence globale et décroissance exponentielle de l’érrgie
d’une équation quasilinéaire, C.R. Acad. Sci. Paris série I 322(1996), 631-6 34 .
[20] Lasiecka, I and J. Ong. Global solvability and uniform decays of solutions to quasi-
linear equation with nonlinear boundary dissipation, Com. Partial Differential Equa-
tions 24 (1999) 2069-2107.
[21] Lasiecka, I a nd D. Tataru. Uniform bo ndary of semilinear wave equation with non-
linear boundary damping, Differentila Integral Equations 6 (3) (1993) 50 7- 53 3.
[22] Lasiecka, I and R. Triggiane. Uniform stabilization of the wave equation with Dirich-
let or Neumann feedback control without geometric condition, Applied Math. Opti-
miz. 25(1992), 189-224.
[23] Limaco, J, Clark, H.R. and Medeiros, L.A. On damping Kirchhoff equation with
variable coefficients, J. Math.Anal. Appl., 30 7(20 05 ), 641 -6 55 .
125
[24] Lions, J.L. Quelques Méthodes de Résolutions des Problèms aux Limites Non-
Linéaires. Dunod, Paris. 1969.
[25] Lions, J.L. On some equations in boundary value problems of mathematical physics,
Contemp oraty developments in continuum mechanics and partial differential equa-
tions, G.M. De la Penha and L.A. Medeiros eds, North-Holland, Lo ndon. 19 78 .
[26] Matos, M.P., Mathematical analysis of the nonlinear model for the vibrations of a
string, Nonlinear Analysis TMA, 17(1991), 1125-1137.
[27] Medeiros, L.A. Tópicos em Equações Diferenciais Parciais - Parte 1. Editora UFRJ,
Rio de Janeiro - RJ, (2006).
[28] Medeiros, L.A, Limaco, J and Menezes, S.B. Vibrations of Elastic Strings: Mathe-
matical Aspects, Part One, Journal of Computational Analysis and Applications,
Vol.4, No. 2, April 2002.
[29] Medeiros, L.A, and Milla Miranda, M. Weak solutions for a coupled nonlinear Klein-
Gordon equations, Ann.Mat.Pura Appl. (4) 146 (1987) 173-183.
[30] Medeiros, L.A, and Milla Miranda,M. On a nonlinear wave equations damping,
Revista Matemática de la Universidad Complutense de Madrid, 3(19 90 ), 61 3-6 27 .
[31] Medeiros, L.A e Milla Miranda, M. Espaços de Sobolev (Iniciação aos Problemas
Eliticos não Homogêneos). Editora, IM-UFRJ, 5
a
Edição, 2006.
[32] Medeiros, L.A and Milla Miranda, M. Solutions for the equation of nonlinear vi-
brations in Sobolev spaces of fractionary order, Comp. Appl. Math. 6(3), 257-276
(1987).
[33] Milla Miranda, M and Medeiros, L.A. On the existence of Global solutions of a
coupled nonlinear Klein-Gordon equations, Funkcialaj Ekvacioj, vol.30, N0 1, aprilo,
1987.
[34] Milla Miranda, M e Medeiros, L.A. Introdução aos Espaços de Sobolev e às Equações
Diferenciais Parciais. Texto de Métodos Matemáticos no. 25, IM-UFRJ, 1993.
[35] Milla Miranda, M e Medeiros, L.A. Hidden Regularity for semilinear defferential
equations, Ann. Fac. Sci. Toulouse 9(1)(1988) 103-120 Equation., Commun. in Par-
tial Differential Equations, 24(9 & 10), 1 75 9-1 88 0(19 99 )
126
[36] Milla Miranda, M and Medeiros, L.A. On a boundary value problem for wave equa-
tion:Existence uniqueness-asymptotic behavior. Revista de Matemáticas Aplicadas,
Univerdad de Chile, 1996.
[37] Milla Miranda,M. Traço para o Dual dos Espaços de Sobolev, Bol. Soc.
Paran.Matemática (2
a
série) 11(2), (1990), 131-157.
[38] Milla Miranda, M and L.P.San Gil Jutuca. Existence and Boundary Stabilization of
Solutions for the Kirchhoff Equation., Commun. in Partial Differential Equations,
24(9 & 10), 1759-1880(1999).
[39] Nayfeh, A.H and Mook, D.T. Nonlinear Oscillations, John Wiley & Sens, New York,
1979, pg. 487-490.
[40] Ono, K. A stretched string equation with a boundary dissipation. Kyushu Tournal
of Mathematics vol. 48, no. 2 , 19 94 , pp. 2 65 -28 1.
[41] Pohozaev, S.I. On a class of quasilinear hyperbolic equations, Math. Sbornik
96(1975), 97-127.
[42] Segal, I. Nonlinear partial differential equations in quantum field theory, Proc. Symp.
Appl. Math. A.M.S. 17(1965), 210-226.
[43] Souza, S. S. and Milla Miranda, M. Existence and decay o f solutions of a damped
Kirchhoff equation, Int. J. of Pure and Appl. Math., 32 (2006), 483-508.
[44] Strauss,W.A. On weak solutions of semilinear hyperbolic equations, An. Acad.
Brasil. Ciênc. 42(4)(1970)645-651.
[45] Tucsnak,M. Boundary stabilization for the stretched string equation. Differential
integral equations 6 (1993), no. 4, 925-935.
[46] Vitillaro, E. Global existence for the wave equation with nonlinear boundary dam-
ping and source terms.
[47] Yamada, Y. Some nonlinear degenerate wave equation, Nonlinear Analysis TMA,
11 (1987), 1155-1168.
[48] Zuazua, E. Uniform stabilization of the wave equation by nonlinear boundary feed-
back, SIAM J. Control Optim. 28 (1990) 466-478.
127
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
