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INPE-12970-TDI/1018
ESTUDO COMPARATIVO DE TÉCNICAS DE CONTROLE DE
ATITUDE EM TRÊS EIXOS PARA SATÉLITES ARTIFICIAIS
Gilberto Arantes Júnior
Dissertação de Mestrado do Curso de Pós-Graduação em Engenharia e Tecnologia
Espaciais/Mecânica Espacial e Controle, orientada pelo Dr. Ijar Milagre da Fonseca,
aprovada em 23 de fevereiro de 2005.
INPE
São José dos Campos
2005
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Milhares de livros grátis para download.
629.7.062.2
ARANTES JR, G.
Estudo comparativo de técnicas de controle de atitude
em três eixos para satélites artificiais / G. Arantes Jr. – São
José dos Campos: INPE, 2005.
201p. – (INPE-12970-TDI/1018).
1.Estabilização de veículos espaciais. 2.Controle de
atitude. 3.Estabilização em três eixos. 4.rodas de reação.
5.Controle magnético. I.Título.
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Aprovado (a) pela Banca Examinadora em
cumprimento ao requisito exigido para
obtenção do Título de Mestrado em
Engenharia e Tecnologia Espaciais/Mecânica
espacial e Controle
Aluno (a): Gilberto Arantes Junior
São José dos Campos, 23 de fevereiro de 2005
”No meio de qualquer dificuldade encontra-se a oportunidade”
ALBERT EINSTEIN
“A maior recompensa do trabalho do Ser humano n˜ao ´e o que ele(a) ganha com
isso, mas sim o que ele(a) se torna com isso.”
DESCONHECIDO
A meus pais, GILBERTO MOURA ARANTES e
C
´
ELIA DIAS ARANTES,
pelo apoio e paciˆencia.
E ao tio e amigo
MIGUEL BERNARDES DE CASTRO (in memorian).
AGRAD ECIMENTOS
A meus pais, pelo amor, compreens˜ao, paciˆencia e por incentivar e acreditar na
importˆancia de ir em busca dos sonhos.
`
A minha fam´ılia pela certeza de sempre poder contar com seu eterno apoio e incen-
tivo, em especial aos meus Av´os, Jos´e, Terezinha, Jerˆonimo e Cacilda.
`
A querida tia Maria Jos´e e ao ines quec´ıvel tio Miguel (in memorian) por todos os
conselhos, incentivos e valiosa torcida.
Aos tios Aluisio pela amizade, generosidade e todos os “ensinamentos filos´oficos”, e
Branca pelo amor de m˜ae que me foi dedicado, serei eternamente grato.
Ao orientador e amigo Prof. Dr. Ijar Milagre da Fonseca pela orienta¸c˜ao, diretrizes,
conselhos e `a valiosa confian¸ca e por acreditar que eu pudesse realizar este trabalho.
Ao apoio financeiro dos meus pais e amigos.
Ao grande amigo e colega de curso Rolf Vargas por poder dividir minhas dificuldades
e pelo seu bom humor, nos momentos dif´ıceis.
A todos os colegas do curso, pela amizade e companheirismo demonstrados, em
especial a Leandro e Cec´ılia, por toda a colabora¸c˜ao.
Ao Laborat´orio LABSIM e todos os t´ecnicos, pela oportunidade de estudos e uti-
liza¸c˜ao de suas instala¸c˜oes.
Ao Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE), pela oportunidade.
Aos professores do INPE em especial a Andr´e Fenili, Marcelo Lopes, Waldemar de
Castro, Mario Ricci e Evandro Rocco, pelo conhecimento compartilhado.
Aos professores H´elio Koiti Kuga e Roberto Vieira da Fonseca Lopes pelas, sugest˜oes
na elabora¸c˜ao desse trabalho.
A meus amigos da Rep´ublica, mestre Cl´erio, `a simp´atica mexicana Nora Trelles e
ao disciplinado Marcos Timbo por toda a paciˆencia e stress compartilhado.
`
A amiga Rose e ao amigo Fred, pelo incentivo.
`
A Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (CAPES), por um
ano de bolsa concedida.
A todas aquelas pessoas que de uma maneira ou de outra contribu´ıram, e por omiss˜ao
n˜ao constam nessa lista, pe¸co desculpas e agrade¸co.
RESUMO
Neste trabalho prop˜oe-se um estudo sobre t´ecnicas de controle de atitude para
sat´elites estabilizados em trˆes eixos e, atrav´es da modelagem e simula¸c˜ao
computacional, analisar, comparar e fazer um estudo de alternativas/viabilidade
de sistemas de controle de atitude (ACS) em trˆes eixos, com base nos requisitos de
miss˜oes espaciais. Para o estudo de alternativas/viabilidade dos sistemas de
controle de atitude foi realizado um estudo comparativo de diferentes t´ecnicas de
controle, utilizadas para estabiliza¸c˜ao de sat´elites em trˆes eixos, utilizando-se
diferentes atuadores, tais como: 1) rodas (de rea¸c˜ao e volantes de in´ercia); 2)
bobinas magn´eticas. Os procedimentos de estabiliza¸c˜ao estudados foram: 1)
controle de atitude em trˆes eixos utilizando rodas (de rea¸c˜ao e volantes de in´ercia)
e bobinas magn´eticas; 2) controle de atitude em trˆes eixos utilizando apenas
bobinas magn´eticas. Foram utilizados a teoria do Regulador Linear Quadr´atico
(LQR) e Regulador Quadr´atico Gaussiano (LQG) e controladores n˜ao lineares
baseados em energia (energy based control) para o desemvolvimento do projeto de
controle no modo de estabiliza¸c˜ao. A teoria do LQR rastreio (tracking) e o
controlador Proporcional Derivativo (PD) foram usados no modo de aquisi¸c˜ao de
atitude. Para a fase de redu¸c˜ao da velocidade angular (detumbling) foi utilizado o
controlador de Wisniewski ou Bdot. As diferentes configura¸c˜oes dos ACS s˜ao
discutidas, comparadas e analisadas, visando avaliar o desempenho dos
procedimentos de controle aqui desenvolvidos para os modos de detumble,
estabiliza¸c˜ao e aquisi¸c˜ao da atitude. A formula¸c˜ao obtida nes se trabalho foi
aplicada no controle de atitude do sat´elite brasileiro EQUARS (Equatorial
Atmosphere Research Satellite), que motivou este trabalho. Os resultados obtidos
atendem as especifica¸c˜oes e os requisitos do sat´elite.
COMPARATIVE STUDY OF THREE AXES ATTITUDE CONTROL
TECHNIQUES FOR ARTIFICIAL SATELLITES
ABSTRACT
This work deals with the study of attitude control techniques for three axes
stabilized satellite, and through modeling and computational simulation, analyze,
compare and develop a feasibility study for attitude control system based on space
missions requirements. The attitude control system feasibility study is carried out
by using different control techniques for satellite three-axis stabilization, and
different actuators such as 1) reaction wheels and momentum wheels; 2) torque
coils. The procedures used for stabilization were: 1) Three axis attitude control by
using reaction wheels and momentum wheels combined with torque coils; 2) Three
axis attitude control by using torque coils only. Each of these technique was
implemented in computer for the attitude control simulations. The control law was
based on the Linear Regulator Quadratic (LQR) and Linear Quadratic Gaussian
(LQG) for linear systems and on energy based control for no linear systems. These
techniques were used for the stabilization mode. The LQR tracking and the
proportional derivative (PD) techniques were used for the acquisition mode. The
Wisniewski or Bdot approach has been used for detumblig phase. The different
configuration results for the control modes are analyzed and discussed in terms of
the performance of the control procedures associated with the attitude control
modes (detumble, stabilization and acquisition). The control formulation has been
applied for the brazilian satellite EQUARS (Equatorial Atmosphere Research
Satellite). The results comply with the satellite specification and requirements.
SUM
´
ARIO
LISTADEFIGURAS
LISTADETABELAS
LISTADES
´
IMBOLOS
LISTADESIGLASEABREVIATURAS
CAP
´
ITULO1–INTRODUC¸
˜
AO31
CAP
´
ITULO2–OBJETIVO37
2.1MeioseRecursos...............................38
2.2Metodologia..................................38
CAP
´
ITULO3–REVIS
˜
AOBIBLIOGR
´
AFICA41
3.1Atitude....................................41
3.2Controle....................................44
3.3LiteraturadoINPE..............................47
CAP
´
ITULO4–DEFINIC¸
˜
OESDENOTAC¸
˜
OES51
4.1SistemasdeReferˆencia............................51
4.1.1ReferencialInercial.............................51
4.1.2ReferencialOrbital.............................51
4.1.3ReferencialdoSat´elite...........................52
4.2Representa¸c˜aodaAtitude..........................53
4.2.1MatrizdeRota¸c˜ao.............................53
4.2.2ParˆametrosdeEuler............................55
4.2.3
ˆ
AngulosdeEuler..............................57
4.2.4
ˆ
AnguloEixoEquivalente..........................59
4.2.5Rota¸c˜oesInfinitesimais...........................60
4.3Sum´ariodeNota¸c˜oes.............................61
CAP
´
ITULO5–FORMULAC¸
˜
AODOPROBLEMA63
5.1ModelagemMatem´atica:Cinem´aticaeDinˆamica..............63
5.1.1Equa¸c˜oesdaCinem´atica..........................64
5.1.2Equa¸c˜oesdaDinˆamica...........................66
5.1.3TorquedevidoaoGradientedeGravidade................71
5.2CampoMagn´eticoTerrestre.........................71
5.3TratamentodasEqua¸c˜oesdaDinˆamicaparaosCasosEstudadosnesse
Trabalho....................................73
5.4Lineariza¸c˜ao..................................75
5.4.1Lineariza¸c˜aodoModelodoSat´eliteEquipadocomRodas........76
5.4.2Lineariza¸c˜aodoModelodoSat´eliteEquipadocomBobinas.......78
5.5Considera¸c˜oesSobreosAtuadores,osModelosMatem´aticoseSistemas
deReferˆenicaAdotados...........................82
5.5.1ModelodosAtuadores...........................82
5.6TorquesAmbientais..............................85
5.6.1TorqueDevidoaoGradientedeGravidade................85
5.6.2TorqueAerodinˆamico...........................87
5.6.3TorquedePress˜aodeRadia¸c˜aoSolar...................88
5.6.4TorqueDevidoaoDipoloResidual....................88
5.7Perturba¸c˜oesinternas.............................89
CAP
´
ITULO6–PROJETODECONTROLE91
6.1MododeDetumble..............................91
6.1.1ControladorBdot..............................91
6.2MododeEstabiliza¸c˜ao............................92
6.2.1M´etodoLQR................................92
6.2.2M´etodoLQG................................97
6.2.3ControladoresBaseadosemEnergia....................101
6.3MododeAquisi¸c˜ao..............................102
6.3.1LQRTracking...............................103
6.3.2ProporcionalDerivativo..........................104
CAP
´
ITULO7–SIMULAC¸
˜
OES109
7.1MododeDetumble..............................109
7.2MododeEstabiliza¸c˜ao............................113
7.2.1M´etodoLQR................................114
7.2.2ControladoresBaseadosemEnergia....................124
7.2.3M´etodoLQG................................130
7.3MododeAquisi¸c˜ao..............................133
7.3.1LQRTracking...............................134
7.3.2ControlePD................................137
CAP
´
ITULO8–CONCLUS
˜
AO141
8.1Sugest˜oesparaTabalhosFuturos......................144
REFER
ˆ
ENCIASBIBLIOGR
´
AFICAS147
AP
ˆ
ENDICEA–C
´
ALCULODOGRADIENTEDEGRAVIDADE157
AP
ˆ
ENDICEB–PROPAGAC¸
˜
AODA
´
ORBITAETRANSFORMAC¸
˜
OES163
B.1C´alculoda
´
Orbita...............................163
B.1.1PosicionamentodeSat´elites-ProblemaDireto..............163
B.1.2Equa¸c˜aodeKepler.............................164
B.1.3MatrizdeRota¸c˜ao.............................166
B.2MatrizdeRota¸c˜aodoSistemaInercial-SistemadoS´atelite.......169
B.2.1MatrizR
POF
ECI
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
B.2.2MatrizR
OF
POF
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B.2.3MatrizR
BF
OF
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
B.3C´alculodaLatitude,LongitudeeAltura..................175
AP
ˆ
ENDICEC–IMPLEMENTAC¸
˜
AOEMSIMULINK183
AP
ˆ
ENDICED–PROGRAMASEMMATLAB193
D.1ProjetoLQR.................................193
D.2ProjetoLQG.................................193
AP
ˆ
ENDICEE–TOOLBOXATITUDE199
E.1Exemplos...................................200
E.1.1Equa¸c˜oesdoMovimento..........................200
E.1.2Ambiente..................................200
LISTA DE FIGURAS
4.1 Sistemas de referˆencia, inercial (ECI), orbital (OF) e do s at´elite (BF) 52
4.2 Constru¸c˜ao dos ˆangulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1 Seq¨uˆencia de rota¸c˜oes 3(ψ) − 2(θ) − 1(φ) . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Ilustra¸c˜ao do sat´elite com rodas de rea¸c˜ao, bobinas e os referenciais
orbital OF (x
o
, y
o
, z
o
) e do corpo BF (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3 Configura¸c˜ao das bobinas magn´eticas no sat´elite . . . . . . . . . . . . 70
5.4 Campo magn´etico local B
o
usando o modelo IGRF 2000 . . . . . . . 72
6.1 Configura¸c˜ao do controle LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2 Sistema planta mais controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3 Estrutura b´asica do sistema de controle LQG . . . . . . . . . . . . . 99
6.4 Estrutura do filtro de Kalman-Bucy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.5 Configura¸c˜ao do controle LQR tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.6 Configura¸c˜ao do controlador PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.1 Velocidade angular do sat´elite ω
b
ib
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.2 velocidade angular ω
b
ib
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.3 Dipolo magn´etico, torque magn´etico e potˆencia . . . . . . . . . . . . 112
7.4 Dipolo magn´etico, torque magn´etico e potˆencia . . . . . . . . . . . . 113
7.5
ˆ
Angulos de atitude roll, pitch e yaw em fun¸c˜ao do tempo para o caso 1116
7.6 Torque τ
b
w
, torque de acoplamente e quantidade de movimento angu-
lar das rodas para o caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.7 Velocidades angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
e rota¸c˜oes por minuto das rodas de
rea¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.8
ˆ
Angulos de atitude roll, pitch e yaw em fun¸c˜ao do tempo para o caso 2118
7.9 Torque τ
b
w
, torque de acoplamento e quantidade de movimento angu-
lar das rodas para o caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.10 Velocidades angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
e rota¸c˜oes por minuto das rodas para
o caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.11
ˆ
Angulos de atitude roll, pitch e yaw e tempo para o caso 3 . . . . . . 120
7.12 Velocidades angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
e rota¸c˜oes por minuto das rodas para
o caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.13 Torque τ
b
w
, torque de acoplamente e quantidade de movimento angu-
lar das rodas para o caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.14 Ganho do controlador em fun¸c˜ao das ´orbitas K
c
(1, 1) . . . . . . . . . 122
7.15
ˆ
Angulos de atitude roll, pitch e yaw em fun¸c˜ao do n´umero de ´orbitas,
utilizando bobinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.16 Dipolo magn´e tico, torque de controle (τ
b
m
) e p otˆencia das bobinas em
fun¸c˜ao do n´umero de ´orbitas, utilizando bobinas . . . . . . . . . . . . 124
7.17
ˆ
Angulos de atitude em fun¸c˜ao do n´umero de ´orbitas . . . . . . . . . . 125
7.18 Dipolo magn´etico, torque de controle e potˆencia das bobinas em
fun¸c˜ao do n´umero de ´orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.19 Velocidades angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
e campo magn´etico terrestre local B
b
127
7.20
ˆ
Angulos de atitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.21 Dipolo magn´etico, torque de controle e potˆencia das bobinas em
fun¸c˜ao do n´umero de ´orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.22 Velocidades angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
e campo magn´etico local B
b
em
fun¸c˜ao do n´umero de ´orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.23
ˆ
Angulos de atitude estimados em fun¸c˜ao do tempo . . . . . . . . . . . 131
7.24
ˆ
Angulos de atitude simulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.25
ˆ
Angulos de atitude simulados e estimados . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.26 Erro dos ˆangulos de atitude e varia¸c˜ao da atitude . . . . . . . . . . . 132
7.27 Torque τ
b
w
, torque de acoplamente e quantidade de movimento angu-
lar das rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.28
ˆ
Angulos de atitude roll, pitch e yaw em fun¸c˜ao do tempo para a
aquisi¸c˜ao de atitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.29 Torque τ
b
w
, torque de acoplamente e quantidade de movimento angu-
lar das rodas em fun¸c˜ao do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.30 Rota¸c˜oes por minuto das rodas de rea¸c˜ao e velocidades angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.31
ˆ
Angulos de Euler em fun¸c˜ao do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.32 Torque τ
b
w
, torque de acoplamente e quantidade de movimento angu-
lar das rodas em fun¸c˜ao do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.33 Rota¸c˜oes por minuto das rodas e velocidades angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
em
fun¸c˜ao do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
B.1 Referenciais (inercial, da ´orbita) e os elementos Keplerianos (i, ω, Ω) . 164
B.2 Referencial inercial (ECI) e pseudo orbital (POF) . . . . . . . . . . . 170
B.3 Orienta¸c˜ao do referencial orbital (OF) e do referencial pseudo orbital
(POF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B.4 Referencial inercial e cartesiano geocˆentrico . . . . . . . . . . . . . . . 179
B.5 Longitude (λ), latitude (φ) e altura (h) do sat´elite . . . . . . . . . . . 179
C.1 Implemeta¸c˜ao em SIMULINK do Modo de detumble . . . . . . . . . 183
C.2 Lei de controle Bdot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
C.3 Implementa¸c˜ao em SIMULINK do modo de estabiliza¸c˜ao: sat´elite
equipado com bobinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
C.4 Controle LQR e controladores baseados em energia . . . . . . . . . . 185
C.5 Modo de estabiliza¸c˜ao: sat´elite equipado com rodas, usando o m´etodo
LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
C.6 Modo de estabiliza¸c˜ao: sat´elite equipado com rodas, usando o m´etodo
LQG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
C.7 Modo de aquisi¸c˜ao usando o controlador PD . . . . . . . . . . . . . . 186
C.8 Lei de controle LQR tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
C.9 Lei de controle PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
C.10 Modelo dinˆamico do sat´elite equipado com bobinas . . . . . . . . . . 187
C.11 Modelo dinˆamico do sat´elite equipado com rodas . . . . . . . . . . . . 188
C.12 Modelo das rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
C.13 Modelo das bobinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
C.14 Modelo do torque de gradiente de gravidade . . . . . . . . . . . . . . 189
C.15 Modelo do campo magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
C.16 Propaga¸c˜ao da ´orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
C.17 C´alculo da latitude, longitude e altura . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
C.18 Matriz de transforma¸c˜ao entre os sistemas de referˆencia ECI e BF . . 191
E.1 Bloco Gyrostat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
E.2 Bloco gradiente de gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
LISTA DE TABELAS
5.1 Elementos orbitais do sat´elite EQUARS . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.1 Parˆametros de simula¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2 Condi¸c˜oes iniciais da simula¸c˜ao para o modo de estabiliza¸c˜ao utili-
zando a metodologia LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.3 Parˆametros de simula¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.4 Condi¸c˜oes iniciais da simula¸c˜ao para o modo de aquisi¸c˜ao utilizando
rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.1 Alternativas para o ACS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
B.1 Programa MATLAB para o c´alculo da ´orbita c ircular . . . . . . . . . 169
B.2 Programa MATLAB para o c´alculo de c
1i
, (i = 1, 2, 3) da matriz R
BF
ECI
176
B.3 Programa MATLAB para o c´alculo de c
2i
, (i = 1, 2, 3) da matriz R
BF
ECI
177
B.4 Programa MATLAB para o c´alculo de c
3i
, (i = 1, 2, 3) da matriz R
BF
ECI
178
B.5 Programa MATLAB para o c´alculo da longitude, latitude do ponto
sub-sat´elite e altura do sat´elite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
D.1 Programa MATLAB para o projeto LQR do modelo sat´elite equipado
com rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
D.2 Programa MATLAB para o projeto LQR do modelo sat´elite equipado
com rodas (cont.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
D.3 Programa MATLAB para o projeto LQR do modelo sat´elite equipado
com bobinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
D.4 Programa MATLAB para o projeto LQG do modelo sat´elite equipado
com rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
D.5 Programa MATLAB para o projeto LQG do modelo sat´elite equipado
com rodas (cont.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
LISTA DE S
´
IMBOLOS
B
b
Vetor campo geomagn´etico expresso no sistema BF
B
o
Vetor campo geomagn´etico expresso no sistema OF
I
n
Matriz identidade de ordem n
J Tensor de inercial em rela¸c˜ao ao sistema B F
J
i
´
Indice de desempenho
J
o
Tensor de inercial em rela¸c˜ao ao sistema o
J
s
Tensor de inercial do sat´elite sem as rodas
J
w
Tensor de inercial das rodas
K
d
Matriz de ganhos derivativos do controlador PD
K
p
Matriz de ganhos proporcionais do controlador PD
L Quantidade de movimento angular do sat´elite referido e ex-
presso no sistema inercial
L
b
Quantidade de movimento angular do sat´elite referido ao sis-
tema inercial e expresso no sistema BF
Q
c
Matriz de pondera¸c˜ao de estados
Q
f
Matriz de covariˆan¸ca do ru´ıdo nas medidas
R
a
b
Matriz de rota¸c˜ao do sistema b para o sistema a
R
c
Matriz de pondera¸c˜ao da lei de controle
R
f
Matriz de covariˆan¸ca do ru´ıdo da dinˆamica
S
a
Operador anti-sim´etrico
T Torque interno
A Matriz do sistema
B Matriz dos atuadores
C Matriz de sensores
G(s) Matriz fun¸c˜ao de transferˆencia de um sistema
H
o
Quantidade de movimento angular nominal no eixo de pitch
J
x
, J
y
, J
z
Momentos principais de in´ercia
K(s) Fun¸c˜ao de transferˆencia do controlador
K
c
Matriz de ganhos do regulador LQR
K
f
Matriz de ganhos do filtro de Kalman
P
c
Matriz solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Riccati no regime estacion´ario
para o caso do regulador
P
f
Matriz de covariˆan¸cas dos estados estimados
T
o
Per´ıodo orbital
V Fun¸c˜ao de Lyapunov do sistema
X, Y, Z Coordenadas do sistema inercial
ˆx Estimativa do estado x
c
b
1
Cosenos diretores de x
o
em rela¸c˜ao aos eixos do corpo x, y, z
c
b
2
Cosenos diretores de y
o
em rela¸c˜ao aos eixos do corpo x, y, z
c
b
3
Cosenos diretores de z
o
em rela¸c˜ao aos eixos do corpo x, y, z
f
w
Sinal de comando
h
s
Quantida de movimento angular do sat´elite
h
w
Quantida de movimento angular das rodas relativo ao sat´elite
l
w
Quantida de movimento angular das rodas
m
b
Momento dipolo magn´eico das bobinas
m
c
Dipolo magn´etico residual para o detumble
q Quaternion
r Sinal de referˆencia
A
´
Area da sec¸c˜ao da bobina magn´etica
D Matriz de influˆen¸ca do controle na sa´ıda
e Excentricidade da ´orbita
e Sinal de erro
g
n
m
, h
n
m
Coeficiente de Gauss
h Altura do sat´elite
h Ganho do controlador EB C com realimenta¸c˜ao de velocidade
angular
i Inclina¸c˜ao da ´orbita
i
k
Corrente que passa pela bobina magn´etica disposta na dire¸c˜ao
k
k Ganho do controlador Bdot
N N´umero de espiras
u Sinal de contole
v Ru´ıdo branco na medida
w Ru´ıdo branco na dinˆamica
x, y, z Coordenadas do sistema do sat´elite
x
o
, y
o
, z
o
Coordenadas do sistema orbital
y Sinal de s a´ıda do sistema
Ω Ascens˜ao do nodo ascendente
Φ
ˆ
Angulo de rota¸c˜ao em torno do vetor unit´ario λ
β Ganho do controlador EBC com realimenta¸c˜ao de atitude
Vetor do quaternion
ω
b
bw
Vetor velocidade angular das ro das referido ao sistema BF, ex-
presso no sistema BF
ω
b
ib
Vetor velocidade angular do sat´elite referido ao sistema ECI,
expresso no sistema BF
ω
b
iw
Vetor velocidade angular das rodas referido ao sistema ECI,
expresso no sistema BF
ω
b
ob
Vetor velocidade angular do sat´elite referido ao sistema OF,
expresso no sistema BF
τ
b
bc
Torques de controle das bobinas magn´eticas ou magneto tor-
ques
τ
b
cw
Torques de controle das rodas
τ
b
c
Torques de controle expresso no sistema BF
τ
b
d
Torques extenos que agem sobre o sat´elite expresso no sistema
BF
τ
b
g
Toque de gradiente de gravidade
τ
b
m
Torque magn´etico devido ao dipolo residual
τ
a
Toque de arraste aerodinˆamico
τ
ext
Torque(s) exteno(s) que agem sobre o sat´elite
τ
s
Toque de press˜ao de radia¸c˜ao solar
η Parte real do quaternion
ω
o
Velocidade orbital m´edia
φ
r
, θ
r
, ψ
r
Atitude de referˆencia
φ
ˆ
Angulo de rota¸c˜ao em torno do eixo de roll
ψ
ˆ
Angulo de rota¸c˜ao em torno do eixo de yaw
θ
ˆ
Angulo de rota¸c˜ao em torno do eixo de pitch
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ACS Sistema de Controle de Atitude
BF Referencial do Sat´elite
EBC Controladores Baseados em Energia
ECI Referencial Inercial
EQUARS Equatorial Atmosphere Research Satellite
FG Rereferencial Cartesiano Terrestre
IAGA Association of Geomagnetism and Aeronomy
IGRF International Geomagnetic Reference Field
INPE Istituto Nacional de Pesquisas Espaciais
LQG Regulador Quadr´atico Gaussiano
LQR Regulador Linear Quadr´atico
MIMO Multiplas Entradas Multiplas Sa´ıdas
OF Referencial Orbital
OOF Referencial da
´
Orbita
PD Proporcional Derivativo
PMM Plataforma Multi-Miss˜ao
POF Referencial Pseudo Orbital
SISO
´
Unica Entrada
´
Unica Sa´ıda
VLHL Vertical Local e Horizontal Local
CAP
´
ITULO 1
INTRODUC¸
˜
AO
A orienta¸c˜ao de um sat´elite, em rela¸c˜ao a um sistema de referˆencia conhecido, ´e
denominada atitude e o movimento de rota¸c˜ao em torno do seu centro de massa
´e denominado movimento de atitude. Assim, a atitude e o movimento de atitude
especificam a orienta¸c˜ao espacial e o movimento rotacional em torno do centro de
massa do sat´elite (Wertz, 1978 e Hughes, 1986). Para determinar a atitude de um
sat´elite em rela¸c˜ao a um sistema de referˆencia, e sse deve estar equipado com sensores
que possam fornecer a sua orienta¸c˜ao em rela¸c˜ao ao Sol, a Terra, e/ou alguma estrela
fixa bem como em rela¸c˜ao ao vetor campo magn´etico terrestre (dire¸c˜ao e magnitude).
Em certos casos ´e necess´ario considerar elementos orbitais do sat´elite para que seja
poss´ıvel determinar completamente a atitude e o movimento de atitude do ve´ıculo
espacial. A an´alise de atitude pode ser dividida em determina¸c˜ao, previs˜ao e controle
de atitude (Wertz, 1978).
Este trabalho trata da previs˜ao e o controle de atitude. A previs˜ao ´e o processo de
prever a orienta¸c˜ao do sat´elite pelo uso de modelos que permitam extrapolar sua ati-
tude, sendo necess´ario conhecer as for¸cas perturbadoras que agem sobre o sat´elite,
portanto, necess´ario model´a-las. O controle ´e o processo de orientar o sat´elite de
maneira que esse adquira ou mantenha a atitude prefixada pe la miss˜ao. A imple-
menta¸c˜ao do modelo cinem´atico e dinˆamico do sat´elite ´e feita neste trabalho utili-
zando o software MATLAB e SIMULINK, bem como a implementa¸c˜ao das leis e
estrat´egias de controle de atitude em trˆes eixos.
Sat´elites artificiais, em uma grande variedade de miss˜oes espaciais, seja para fins
meteorol´ogicos, de telecomunica¸c˜oes, de sensoriamento remoto e cient´ıfico, devem
estar com uma ou mais faces/equipamentos orientada(o)s para dire¸c˜oes espec´ıficas,
tais como para a Terra (BrasilSAT, Syncom, etc), para o Sol (Soho) ou para outras
estrelas (Hubble).
´
E evidente a necessidade de se conhecer a atitude do sat´elite, de
modo que se possa estabilizar seu movimento de acordo com a atitude nominal es-
pecificada. Isto ´e feito atrav´es de um sistema de controle, projetado de acordo com
os requisitos da miss˜ao. O controle de atitude ´e, portanto, o processo de orientar o
sat´elite de maneira que este adquira ou mantenha a atitude nominal especificada.
Este processo pode ser visto sob dois modos: modo de aquisi¸c˜ao de atitude, que
31
consiste em levar o sat´elite para a atitude nominal a partir de uma atitude qual-
quer e modo normal de opera¸c˜ao, que consiste em estabilizar/manter a atitude, de
acordo com a atitude nominal, fazendo corre¸c˜oes, quando necess´arias. Durante a
fase de aquisi¸c˜ao de atitude s˜ao, em geral, necess´arias manobras de grandes ˆangulos,
uma vez que o sistema de controle de atitude (ACS) deve ser capaz de, a partir de
uma atitude qualquer, levar o sat´elite para a atitude nominal. J´a a fase de estabi-
liza¸c˜ao/manuten¸c˜ao, em geral, requer manobras de pequenos ˆangulos objetivando
corre¸c˜oes na atitude. Eventualmente os requisitos do ACS podem impor manobras
de grandes ˆangulos para reorientar o sat´elite em determinada dire¸c˜ao. Um requisito
deste tipo requer manobra de reaquisi¸c˜ao da atitude.
As duas configura¸c˜oes b´asicas para estabilizar sat´elites s˜ao aquelas em um eixo
(exemplos do SCD1 e SCD2) e em dois eixos, essa conhecida como estabiliza¸c˜ao
em trˆes eixos (exemplos do CBERS1 e CBERS2), uma vez que estabilizando-se
dois eixos garante-se a estabiliza¸c˜ao do terceiro eixo. O estudo da estabiliza¸c˜ao
em um eixo ´e descrito em Kuga L. D. e Guedes (1987), Kuga e Guedes (1987),
Quirelli (2002) e Zanardi et al. (2003a). Esse trabalho ´e dedicado ao estudo da
estabiliza¸c˜ao em trˆes eixos de sat´elites artificiais. A estabiliza¸c˜ao em trˆes eixos pode
ser descrita em rela¸c˜ao ao sistema orbital. Nesse referencial o movimento em torno
da dire¸c˜ao da velocidade orbital ´e denominado roll (rolamento). O movimento em
torno da dire¸c˜ao normal `a ´orbita ´e denominado pitch (arfagem), e finalmente o
movimento em torno da dire¸c˜ao Nadir/Zˆenite ´e denominado yaw (guinada). Sat´elites
estabilizados em trˆes eixos podem ser vistos como um sistema com quantidade de
movimento angular nulo (zero momentum system) ou ent˜ao como um sistema em
que a quantidade de movimento angular ´e n˜ao nula (bias momentum system). Os
sistemas com quantidade de movimento angular n˜ao nulo cont´em, geralmente, um
volante de in´ercia com quantidade de movimento angular nominal diferente de zero
(Wertz, 1978 e Wie, 1998). Este equipamento difere das rodas de rea¸c˜ao pelo fato de
ter velocidade angular nominal diferente de zero em certa dire¸c˜ao (Larson e Wertz,
1992).
Atualmente o programa espacial brasileiro desenvolve, entre outros, projetos de dois
sat´elites; o Sat´e lite Equatorial Upper Atmosphere Research Satellite de aplica¸c˜oes
cient´ıficas (EQUARS) e a plataforma multi-miss˜ao (PMM), visando uma pla-
taforma ´unica para sat´elites com diferentes miss˜oes. Os requisitos dessas miss˜oes
imp˜oem um sistema de controle em trˆes eixos. Essas duas miss˜oes espaciais consti-
32
tuem a principal motiva¸c˜ao para o desenvolvimento do trabalho.
Diversas t´ecnicas de estabiliza¸c˜ao podem ser utilizadas quando se deseja estabilizar
sat´elites em trˆes eixos. Dentre elas destacam-se nesse trabalho, aquelas que empre-
gam como atuadores: rodas de momentum e bobinas magn´eticas. Nesse trabalho s˜ao
estudados/analisados trˆes modos de opera¸c˜ao:
• Detumble: reduzir a velocidade angular do sat´elite.
• Estabiliza¸c˜ao: adquirir e manter o referencial do sat´elite alinhado com o
referencial orbital (vertical local e horizontal local).
• Aquisi¸c˜ao: aquisi¸c˜ao de uma orienta¸c˜ao arbitr´aria.
Os modelos matem´aticos do ve´ıculo espacial usados nos procedimentos de controle
de atitude avaliados para o modo de detumble e o modo de estabiliza¸c˜ao
s˜ao: rodas de rea¸c˜ao combinadas com bobinas magn´eticas e um sistema empregando
somente bobinas magn´eticas. As bobinas s˜ao utilizadas para a redu¸c˜ao da velocidade
angular, ou seja, no modo de detumble e desatura¸c˜ao. Entretanto, nesse estudo a
estrat´egia de dessatura¸c˜ao n˜ao ´e estudada. Para o modo de aquisi¸c˜ao ´e avaliado
o emprego de rodas com objetivo de analizar a exequibilidade do procedimento a
partir das especifica¸c˜oes das rodas para o sat´elite EQUARS.
As leis e estrat´egias de controle empregadas nesse trabalho s˜ao associadas `a t´ecnica
do Regulador Linear Quadr´atico (LQR), LQR tracking, Regulador Quadr´atico Gaus-
siano (LQG), controle proporcional derivativo (PD), controladores baseados em
energia (attitude feedback e angular velocity feedback) usando a teoria de Lyapunov
e o controlador Bdot que tamb´em ´e baseado na teoria de Lyapunov. As estrat´egias
de controle adotadas para os trˆes modos de opera¸c˜ao s˜ao:
• O controlador Bdot, usando apenas medidas dos magnetˆometros, para o des-
capotamento/detumbling do sat´elite. Os atuadores empregados s˜ao as bo-
binas magn´eticas.
• Os controladores LQR/LQG e os baseados em energia para o modo de esta-
biliza¸c˜ao. A metodologia LQR ´e usada para rodas e bobinas e a metodologia
33
LQG apenas para rodas. Os controladores baseados em energia s˜ao usados com
o emprego de bobinas magn´eticas.
• A metodologia LQR tracking e o controlador PD para o modo de aquisi¸c˜ao,
com o objetivo de avaliar a exequibilidade/factibilidade do emprego das rodas
especificadas para o sat´elite brasileiro EQUARS.
A disserta¸c˜ao est´a organizada de acordo com a seq¨uˆencia descrita a seguir.
No Cap´ıtulo 1 ´e feita uma breve introdu¸c˜ao sobre o trabalho, descrevendo brevemente
os procedimentos e estrat´egias de controle adotadas. Nesse Cap´ıtulo ´e inclu´ıda a
motiva¸c˜ao do estudo, que se refere `a aplica¸c˜ao desse estudo ao sat´elite brasileiro
EQUARS.
O Cap´ıtulo 2 apresenta os objetivos do trabalho.
O Cap´ıtulo 3 apresenta a revis˜ao bibliogr´afica sobre o tema.
No Cap´ıtulo 4 ´e realizada uma revis˜ao das defini¸c˜oes e fundamentos matem´aticos
envolvendo atitude e movimento de atitude de ve´ıculos espaciais.
No Cap´ıtulo 5 s˜ao apresentados os modelos matem´aticos da cinem´atica e dinˆamica do
ve´ıculo espacial.
´
E mostrado o modelo do campo magn´etico terrestre e o modelo dos
principais torques ambientais (gradiente de gravidade, press˜ao de radia¸c˜ao, arrasto
atmosf´erico e dipolo residual). No Cap´ıtulo s˜ao discutidos brevemente os torques de
origem interna e uma aproxima¸c˜ao do seu modelo.
´
E apresentado ainda a lineariza¸c˜ao
dos modelos dinˆamicos e cinem´aticos da atitude para os diferentes procedimentos
adotados.
No Cap´ıtulo 6 s˜ao apresentados as estrat´egias de controle, os fundamentos e me-
todologias usadas na formula¸c˜ao das leis de controle empregadas nos sistemas de
controle de atitude (ACS).
No Cap´ıtulo 7 s˜ao apresentadas as simula¸c˜oes da dinˆamica e controle do ve´ıculo para
as diferentes configura¸c˜oes do ACS, envolvendo os diferentes modos de opera¸c˜ao. O
estudo ´e aplicado ao sat´elite brasileiro EQUARS.
´
E feita a an´alise dos resultados
34
e compara¸c˜oes das estrat´egias de controle empregadas.
Cap´ıtulo 8 encerra-se com a an´alise e discuss˜oes dos resultados, sendo feitas sugest˜oes
para trabalhos futuros.
35
36
CAP
´
ITULO 2
OBJETIVO
Este trabalho visa modelar, simular, analisar, comparar resultados e apresentar um
estudo de alternativas de sistemas de controle de atitude (ACS) para sat´elites esta-
bilizados em trˆes eixos em diferentes modos de opera¸c˜ao, utilizando como atuadores:
• Rodas de rea¸c˜ao/volantes de in´ercia (reaction wheel/momentum wheel);
• Bobinas magn´eticas.
Os procedimentos adotados para os modos de detumble e estabiliza¸c˜ao
usando os atuadores citados acima s˜ao: 1) sat´elite equipado com rodas e bobinas
magn´eticas; 2) sat´elite equipado apenas com bobinas magn´eticas. O projeto de con-
trole usado para o modo de estabili¸c˜ao utiliza diferentes reguladores: 1) os basea-
dos nas t´ecnicas modernas de controle multivari´avel: Regulador Linear Quadr´atico
(LQR) e Regulador Quadr´atico Gaussiano (LQG); 2) os controladores baseados em
energia (energy based control) com realimenta¸c˜ao de velocidade angular (angular
velocity feedback) e realimenta¸c˜ao de atitude (attitude feedback ), ambos utilizando
a teoria de Lyapunov. O projeto de controle usado para o modo de detumble usa
apenas medidas dos magnetˆometros e ´e baseado na teoria de Lyapunov. O projeto
de controle para o modo de aquisi¸c˜ao utiliza: 1) controlador Proporcional De-
rivativo (PD); 2) LQR rastreio/tracking. Esse projeto tem o objetivo de avaliar e
discutir a factibilidade do emprego das rodas especificadas para o sat´elite brasileiro
EQUARS, em adquirir uma atitude arbitr´aria, e ainda comparar os controladores
usados.
O objetivo principal desse trabalho ´e realizar um estudo de alternativas e um
estudo comparativo em fun¸c˜ao do desempenho e an´alise de custo & benef´ıcio
dos diferentes sistemas de controle de atitude. As configura¸c˜oes dos ACS(s) es-
tudados ser˜ao aplicados ao sat´elite brasileiro EQUARS (Equatorial Upper At-
mosphere Research Satellite). O estudo desenvolvido nesse trabalho (estudo de al-
ternativas/viabilidade) pode se extendido por exemplo, a plataforma Multi-Miss˜ao
(PMM).
37
2.1 Meios e Recursos
Os principais meios e recursos utilizados para se alcan¸car os objetivos propostos no
trabalho s˜ao:
• pesquisa bibliogr´afica utilizando os recursos da biblioteca do INPE, artigos
publicados na literatura da ´area, e pesquisa no portal de peri´odicos da CAPES;
• uso dos recursos da divis˜ao de Mecˆanica Espacial e Controle, no que se refere
a meios computacionais para simula¸c˜ao, laborat´orio LABSIM, incluindo os
ambientes MATLAB e SIMULINK para o desenvolvimento das simula¸c˜oes.
2.2 Metodologia
O desenvolvimento do trabalho proposto est´a fundamentado nas seguintes metodo-
logias:
• Modelagem matem´atica da dinˆamica de atitude para um ve´ıculo espacial con-
tendo como atuadores: rodas (de rea¸c˜ao e/ou volantes de in´ercia) e bobinas
magn´eticas, incluindo os efeitos do gradiente de gravidade.
• An´alise dinˆamica do modelo matem´atico, incluindo a lineariza¸c˜ao do modelo,
usados no desenvolvimento do projeto de controle (reguladores), para os c on-
troladores lineares (PD, LQR e LQG).
• Modelagem e implementa¸c˜ao, no ambiente SIMULINK, da ´orbita e do campo
magn´etico terrestre, modelo IGRF (International Geomagnetic Reference Fi-
eld).
• Estudo do problema do regulador linear quadr´atico (LQR) e regulador
quadr´atico gaussiano (LQG).
• Estudo dos controladores baseados em energia, utilizando a teoria de Lyapu-
nov.
• Estudo do controlador proposto por Wisniewski (1996) ou Bdot.
38
• Implementa¸c˜ao dos sistemas dinˆamicos no ambiente MATLAB e SIMULINK .
• Simula¸c˜ao dos sistemas dinˆamicos (n˜ao lineares).
• An´alise e compara¸c˜ao das estrat´egias de controle empregadas nas diferentes
configura¸c˜oes dos ACS(s), desenvolvidos para sat´elites estabilizados em trˆes ei-
xos, nos diversos modos de opera¸c˜ao. Aplica¸c˜ao do estudo ao sat´elite brasileiro
EQUARS.
39
40
CAP
´
ITULO 3
REVIS
˜
AO BIBLIOGR
´
AFICA
Este Cap´ıtulo apresenta uma revis˜ao da literatura relacionada ao principais assuntos
envolvidos nesse trabalho: controle de atitude de sat´elites, t´ecnicas de estabiliza¸c˜ao
em trˆes eixos, modelamento matem´atico dos sistemas (sat´elite, atuadores, meio) e
estrat´egias de controle. As metodologias modernas de controle multivari´avel LQR,
LQR/tracking e LQG s˜ao revistas, controladores PD e reguladores n˜ao lineares ba-
seados em energia tamb´em s˜ao apresentados.
3.1 Atitude
As referˆencias Wertz (1978), Kaplan (1976), Wie (1998) e Hughes (1986) apresentam
um estudo do movimento de atitude de sat´elites art´ıficiais, mostrando o hist´orico,
os fundamentos e os conceitos f´ısicos fundamentais utilizados na previs˜ao, controle
e de termina¸c˜ao de atitude. A modelagem, an´alise e controle de sistemas dinˆamicos
s˜ao revistos, as t´ecnicas de controle de atitude para sat´elites artificiais estabilizados
em trˆes eixos tamb´em s˜ao discutidas. Os tipos e descri¸c ˜ao dos sensores e atuadores
empregados no movimento de atitude s˜ao apresentados em Wertz (1978) e em Pil-
chow ski (2001). Uma descri¸c˜ao do uso de sensores em s at´elites ´e mostrada em Wright
e Wong (1989). As v´arias formas de representa¸c˜ao/parametriza¸c˜oes da atitude (qua-
ternions, ˆangulo eixo equivalente, ˆangulos de Euler, cossenos diretores, vari´aveis de
Andoyer, parˆametros de Gibbs) s˜ao apresentadas em Wertz (1978), Rodrigues e Za-
nardi (2004), Wie (1998), Fauske (2003) e Junkins e Turner (1986). O problema de
estabiliza¸c˜ao em trˆes eixos ´e tamb´em discutido em Martins Neto (2001).
A an´alise de miss˜ao ´e uma fase na qual define-se o que deve ser feito sem necessaria-
mente definir como fazer. A an´alise de miss˜ao envolvendo especifica¸c˜oes do sistema
de controle de atitude para estabiliza¸c˜ao em trˆes eixos ´e descrita e discutida em
Larson e Wertz (1992). Em Marteau e Rogers (1996) ´e feita uma an´alise de siste-
mas de controle de atitude (ACS), abordando aspectos gerais sobre as especifica¸c˜oes
(atuadores, sensores, computadores de bordo) de um sistema de controle de atitude
(ACS). O Autor discute um ACS com custo “razo´avel”, para pequenos sat´elites
(< 500kg) que requeiram apontamento de “razo´avel”precis˜ao (20 arcsec), precis˜ao
t´ıpica requerida para sat´elites j´a operacionais como IRAS (Infrared Astronomical
41
Satellite) (Beichman et al., 2004), ASCA (Advanced Satellite for Cosmology and
Astrophysics) (Tamura, 1998) e SOHO (Solar & Heliospheric Observatory) (Gur-
man, 2004).
A modelagem da dinˆamica de atitude utilizando-se rodas (de rea¸c˜ao e volantes de
in´ercia) para estabiliza¸c˜ao em trˆes eixos ´e apresentada nas referˆencias Wie (1998)
(onde se utilizam duas rodas de rea¸c˜ao e um volante de in´ercia), Yairi (1994) e Fichter
e Zentcraf (1996). Yairi (1994) e Fichter e Z entcraf (1996) apresentam a mesma
modelagem de Wie (1998), mas utilizam quatro rodas de rea¸c˜ao, sendo uma delas
disposta na diagonal (skew symmetric), redundante. A roda redundante ´e disposta
de tal forma que forne¸ca uma quantidade de movimento angular nas trˆe s dire¸c˜oes
principais de in´ercia, o que pode, eventualmente, em caso de falhas substituir uma ou
mais rodas ao longo dessas dire¸c˜oes. Essas referˆencias mostram o desenvolvimento
das equa¸c˜oes do movimento rotacional de um corpo r´ıgido equipado com rodas.
O problema ´otimo no procedimento de estabiliza¸c˜ao de sat´elites artif´ıciais com a
utiliza¸c˜ao de rodas ´e apresentado em El-Gohary (2003). Este autor apresenta um
estudo de estabilidade segundo Lyapunov. Em Varatharajoo e Fasoulas (1975) ´e feita
a an´alise do problema de atitude empregando rotores para sat´elites de observa¸c˜ao
da Terra. Spindler (2000) aborda o problema de controle para estabiliza¸c˜ao em
trˆes eixos empregando N volantes de in´ercia, exemplificando o procedimento para o
sat´elite MONS-ballerina.
O problema de estabiliza¸c˜ao de atitude em trˆes eixos usando apenas atuadores ele-
tromagn´eticos ´e discutida em Kaplan (1976), Wertz (1978), Bushenkov e Smirnov
(2002), Psiaki (2001), Wang e Shtessel (1998), Wisniewski e Blanke (1999) e Musser
e Ebert (1989). Em Wertz (1978) e Carrara (1982) ´e encontrada a modelagem das
perturba¸c˜oes ambientais (for¸cas e torques) que atuam sobre o sat´elite no espa¸co,
devido ao campo magn´etico, o campo gravitacional e a radia¸c˜ao proveniente do
Sol e da Terra. A modelagem do campo magn´etico, modelo IGRF (International
Geomagnetic Reference Field) usado nesse trabalho ´e encontrado em Macmillan e
Quinn (2000). Outros modelos do campo magn´etico (dipolo e quadripolo) podem
ser encontrados em Zanardi et al. (2003b) e Zanardi et al. (2004).
O Desenvolvimento das equa¸c˜oes da dinˆamica de atitude usando atuadores eletro-
magn´eticos/bobinas magn´eticas ´e apresentado em Psiaki (2001), Musser e E bert
(1989), Wisniewski (1997) e Marteau e Psiaki (1988). Outras referˆencias tamb´em
42
trazem as equa¸c˜oes da dinˆamica e cinem´atica de atitude, como Bushenkov e Smir-
nov (2002), Fauske (2002), Grassi e Moccia (1995) e Wang e Shtessel (1998). Es-
sas referˆencias discutem a utiliza¸c˜ao de bobinas magn´eticas para o controle para
pequenos sat´elites visando menor custo para precis˜ao requerida de 1
o
a 2
o
, sem re-
querer alta fonte de energia. Wisniewski e Blanke (1999) analisam a t´ecnica para o
sat´elite dinamarquˆes Orsted (Clausen, 2004) (sat´elite aplicado no estudo do campo
magn´etico da Terra). O autor mostra que ´e fact´ıvel obter estabiliza¸c˜ao em trˆes eixos
utilizando apenas torques magn´eticos para sat´elites de ´orbita baixa (LEO), sujeitos
ao gradiente de gravidade. O ASRI (Australian Space Research Institute) (Ardebil,
2004) confirma a viabilidade de se usar apenas atuadores magn´eticos para o con-
trole de atitude de pequenos sat´elites, atrav´es da miss˜ao cient´ıfica TechSAT. Silani
e Lovera (2003) apresentam uma revis˜ao do problema de estabiliza¸c˜ao de atitude em
trˆes eixos para pequenos sat´elites, usando atuadores magn´eticos (bobinas), baseado
na teoria de controle linear e n˜ao linear. Junkins e Carrington (1980) realizam um
estudo de otimiza¸c˜ao para manobras de atitude usando atuadores magn´eticos.
A referˆencia Kim e Choi (1999) trata da utiliza¸c˜ao de um sistema de controle de
atitude (ACS), utilizando trˆes rodas de rea¸c˜ao combinadas com bobinas magn´eticas
para o microsat´elite Koreano KITSAT-3 (sat´elite de telecomunica¸c˜oes), visando es-
tabiliza¸c˜ao em trˆes eixos, em ´orbitas baixas (LEO). Nos requisitos de payload/carga
´util do KITSAT-3 s˜ao exigidas alta precis˜ao de apontamento (0.05
o
) e estabilidade
(0.014
o
rad/s) da plataforma. Os atuadores magn´eticos tamb´em podem ser utilizados
para a desatura¸c˜ao das ro das. Bang e Choi (2003) analisam a desatura¸c˜ao de rodas
utilizadas para manobras de grandes ˆangulos. Outra t´ecnica de controle para esta-
biliza¸c˜ao em trˆes eixos, desenvolvida primeiramente para os sat´elites TIROS (Tele-
vision Infrared Observation Satellite), por Harold Perkel, utiliza uma configura¸c˜ao
particular de um volante de in´ercia (momentum wheel), ao longo do eixo de arfa-
gem (pitch), combinando com dois atuadores eletromagn´eticos, dispostos ao longo
do eixo de rolamento (roll) e guinada (yaw). Esta t´ecnica ´e denominada stabilite
e ´e encontrada na referencia Perkel (1966). Em Hamzah e Hashida (1999) ´e descrito
o desenvolvimento do sistema de controle de atitude para o sat´elite TiungSAT-1,
utilizando-se a configura¸c˜ao de Perkel obtendo uma precis˜ao de ampontamento de
±1
o
.
Whitford e Forrest (1998) descrevem o desenvolvimento de um sistema de controle
de atitude (ACS) para estabiliza¸c˜ao em trˆes eixos tamb´em baseado na combina¸c˜ao
43
de rodas (de rea¸c˜ao e volantes de in´ercia) e bobinas magn´eticas. Os v´arios modos
de opera¸c˜ao s˜ao avaliados para sistema de controle de atitude (ACS). O ACS ´e apli-
cado ao sat´elite CATSAT (Co-operative Astrophysical and Technology Satellite) do
programa STEDI (Student Explorer Demonstration Initiative). Um dos principais
problemas inerentes `a utiliza¸c˜ao de rodas ´e o da satura¸c˜ao no processo de controle,
devido a manobras de grandes ˆangulos (Bang e Choi, 2003) e/ou torques seculares.
Em Buckingham e Smirnov (1972) ´e discutida a desatura¸c˜ao de rodas de rea¸c˜ao
empregando atuadores magn´eticos. Em G¨ok¸cev e Meerkov (2001) ´e apresentada a
metodologia para sistemas com satura¸c˜ao de atuadores utilizados na estabiliza¸c˜ao
de sat´elites sujeito a perturba¸c˜oes seculares.
Da vasta literatura que apresenta o desenvolvimento das equa¸c˜oes da dinˆamica n˜ao
linear, para sat´elites equipados com bobinas, destacam-se os trabalhos de Fauske
(2002), Cohen (1973), Spencer (1977), Shigehara (1972) e Alfriend (). As equa¸c˜oes
do sistema tornam-se variantes no tempo devido ao campo geomagn´etico. A an´alise
da controlabilidade de sat´elites equipados apenas com bobinas magn´eticas ´e en-
contrada em Bhat e Dham (2003). Wisniewski e Markley (1999) desenvolvem uma
metologia de controle ´otimo aplicada ao controle de atitude em trˆes eixos. Propri-
edades el´etricas de materiais utilizados em bobinas magneticas s˜ao apresentados e
discutidos em Legg (2003). A descri¸c˜ao, especifica¸c˜oes e precis˜oes de rodas (de rea¸c˜ao
e volantes de in´ercia) da TELDIX utilizadas para estabiliza¸c˜ao em trˆes eixos s˜ao
encontrados em Auer (1983) e Heidelberg (2004). Em Auer (1983) s˜ao tamb´em apre-
sentadas repostas para os comandos de controle.
3.2 Controle
Nesta se¸c˜ao ´e feita um revis˜ao bibliogr´afica das metodologias LQR, LQR rastreio
(tracking) e LQG. Uma revis˜ao de controladores baseados em energia, tamb´em regu-
ladores, obtidos a partir da teoria de Lyapunov ´e apresentada. O controlador usado
para o modo de detumble, conhecido como Bdot ´e revisto.
Metodologia LQR e LQG
A teoria do regulador linear quadr´atico (LQR) e do regulador linear gaussiano (LQG)
aplicadas em controle multivari´avel ´e encontrada em uma vasta literatura. As prin-
44
cipais referˆencias estudadas pelo autor para elabora¸c˜ao e implementa¸c ˜ao dessas me-
todologias no sistema de controle de atitude foram Dorato e Cerone (1995), Macie-
jowski (1989), Kwakernaak e Sivan (1972), Moore e Anderson (1990), Brown (1997)
e Kirk (1970). Essas referˆencias fornecem os m´e todos para formular a lei de controle
para sistemas dinˆamicos. O projeto de controle LQR e LQG ´e baseado na linea-
riza¸c˜ao dos sistemas dinˆamicos, definindo uma fun¸c˜ao objetivo a ser minimizada, e
na obten¸c˜ao de uma matriz de ganhos (variantes no tempo ou n˜ao) usada na reali-
menta¸c˜ao (Overby, 2004), o m´etodo se aplica a sistemas variantes no tempo, como
o caso de sat´elites equipados com bobinas magn´eticas, tornando-se uma alternativa
atraente, devido a robustez e f´acil implementa¸c˜ao, essa metodologia ´e usada por
Wisniewski e Markley (1999), Wisniewski (1996) e Marteau e Psiaki (1988) para
o sistema de controle de atitude de sat´elites equipados com atuadores magn´eticos.
Yairi (1994) usa a formula¸c˜ao LQR para o sistema de controle de atitude de sat´elites
estabilizados em trˆes eixos equipados com rodas.
Nesse trabalho a lei de controle, formulada a partir do s istema linear, ´e aplicada
ao sistema dinˆamico completo, n˜ao linear, assim como feito por Musser e Ebert
(1989) e Fauske (2002). No controle de atitude para sat´elites estabilizados em trˆes
eixos ´e necess´ario manter a atitude em rela¸c˜ao a um sistema de referˆencia, inercial ou
n˜ao inercial, como ´e o caso de sat´elites Terra apontados em que o sistema do sat´elite
deve estar alinhado com a vertical local e horizontal local (VLHL) ou referencial
orbital, um sistema de referˆencia m´ovel (Wertz, 1978). Portanto, no problema de
estabiliza¸c˜ao a referˆencia para o controlador ´e zero ou constante, tratando-se de um
regulador (Distefano e Willians, 1972). Em Kirk (1970) e Dorato e Cerone (1995) ´e
apresentada a formula¸c˜ao das lei de controle para o caso em que a referˆencia difere
de zero, essa formula¸c˜ao ´e conhecida como LQR rastreio/tracking (Dorato e Cerone,
1995).
Em Overby (2004) ´e discutido v´arias estrat´egias de controle e reguladores usados
para a estabiliza¸c˜ao do sat´elite Norueguˆes Ncube. Entre essas estrat´egias a meto-
dologia LQR ´e apresentada, mostrando boas propridades de estabilidade. Overby
(2004) e Kristiansen (2000) apresentam um algoritmo para a sele¸c˜ao dos ganhos das
matrizes de ajuste usadas no LQR, baseado na satura¸c˜ao dos atuadores e interva-
los de opera¸c˜ao para os estados. Em Dorato e Cerone (1995), Kwakernaak e Sivan
(1972) e Souza (1987) ´e discutida a escolha/sele¸c˜ao das matrizes dos ganhos com
base nos requisistos e compromissos/trade-off do pro c esso. Na metologia LQR n˜ao
45
´e levada em conta as incertezas do problema, ou seja, a metodologia LQR ´e de-
termin´ıstica. Atrav´es da utiliza¸c˜ao da metodologia LQG, um controlador baseado
em observador, essas incertezas (estoc´asticas) podem ser atribu´ıdas `a planta ou pro-
cesso. A solu¸c˜ao do problema do LQG ´e obtida pelo uso do princ´ıpio da separa¸c˜ao
que possibilita a separa¸c˜ao do problema original (estoc´astico) em dois problemas:
1) estima¸c˜ao ´otima do estado, de modo que sua covariˆancia seja minimizada.
Esse sub-problema ´e resolvido pelo uso de um filtro de Kalman, ignorando-se com-
pletamente o problema de controle; 2) formula¸c˜ao da lei de controle usando a
metodologia LQR, fazendo uso da estimativa como se fosse a medida exata do es-
tado, ignorando-se completamente os aspectos ou natureza estoc´asticas do processo
(Flora, , Moore e Anderson, 1990 e Dorato e Cerone, 1995).
A solu¸c˜ao do problema 1 c onsiste na determina¸c˜ao da matriz ganho ou ganho de Kal-
man, a estrutura do filtro ´e encontrada em Maciejowski (1989), Kwakernaak e Sivan
(1972) e Athans (1971). A solu¸c˜ao do problema 2 consiste na dermina¸c˜ao da matriz
ganho do controlador usado na realimenta¸c˜ao. Para a solu¸c˜ao do problema LQG
ser assintoticamente est´avel ´e necess´ario que o sistema seja completamente ob-
serv´avel, para a solu¸c˜ao do problema 1 e completamente control´avel, para a solu¸c˜ao
do problema 2 (Brown, 1997 e Dorato e Cerone, 1995).
Controladores baseados em energia
Uma importante ferramenta em teoria de controle ´e o uso de controladores n˜ao line-
ares baseados em energia (energy based control), desenvolvidos atrav´es da teoria de
Lyapunov (Fauske, 2002 e Khalil, 2000). Fauske (2002) sugere diferentes controla-
dores baseados em energia para sat´elites equipados apenas com bobinas magn´eticas;
as leis de controle avaliadas para o modo de estabiliza¸c˜ao s˜ao: 1) realimenta¸c˜ao de
velocidade angular (angular velocity feedback); 2) realimenta¸c˜ao de atitude (attitude
feedback). Overby (2004) realiza um estudo comparativo dos controladores 1 e 2 com
o controlador obtido pela teoria linear ou seja usando a metodologia LQR. Essas es-
trat´egias de controle s˜ao aplicadas ao sat´elite Norueguˆes NCUBE. Hegrenes (2004)
realiza um estudo comparativo entre um c ontrolador usando o m´etodo LQR e um
controlador PD, para o sat´elite NCUBE, no seu modo de e stabiliza¸c˜ao.
A teoria de Lyapunov ´e desenvolvida em detalhes nas referˆencias Khalil (2000) e
46
Overby (2004). Para o modo de opera¸c˜ao de descapotamento/detumble, a lei de
controle ´e sugerida por Wisniews ki (1996) e ´e baseada na teoria de Lypunov. Essa
lei de controle tamb´em ´e conhecida como Bdot (Silani e Lovera, 2003). Wells e
Jeans (2002) utilizam essa estrat´egia de controle para o sat´elite Canadense CanX-
1. Nesse trabalho a estrat´egia de controle de Wisniewski (1996) ´e usada para o
modo de opera¸c˜ao de detumble. Portanto nos dois sistemas de controle de atitude
(ACS(s)), o detumble ´e feito com o uso de bobinas magn´eticas.
3.3 Literatura do INPE
No acervo do INPE pesquisado, destacam-se o trabalho de Souza (1981), que apre-
senta o estudo e desenvolvimento de um sistema de controle ativo de atitude em
trˆes eixos para sat´elites artificiais, usando atuadores pneum´aticos a g´as frio e rodas
de rea¸c˜ao. O estudo ´e feito atrav´es de simula¸c˜ao digital; Souza (1987) apresenta
o estudo de um sistema de controle de atitude em trˆes eixos utilizando rodas de
rea¸c˜ao. O autor ainda apresenta o modelo dinˆamico do sat´elite equipado com rodas,
utilizando as equa¸c˜oes de corpo r´ıgido ou equa¸c˜oes de Euler, assim como desen-
volvido nesse trabalho; Carrara (1982) faz o estudo das principais for¸cas e torques
atuantes em sat´elites artificiais, como gradiente de gravidade, press˜ao de radia¸c˜ao
(solar e terrestre) e arrasto atmosf´erico, desenvolvendo um programa/software para
o computo num´erico dessas influˆencias na atitude e ´orbita do sat´elite, a partir da
sua geometria.
Souza (1987) apresenta o estudo e o projeto experimental de um atuador do tipo
roda de rea¸c˜ao. Sua aplica¸c˜ao est´a no controle fino da atitude de sat´elites artificiais
atr´aves da troca de quantidade de movimento angular entre a roda e o sat´elite,
realiza, ainda testes de desempenho e confronta¸c˜ao com os resultados obtidos em
simula¸c˜ao digital. Trivelato (1988) apresenta o desenvolvimento de controladores
digitais de torques de rodas de rea¸c˜ao, usadas no controle de atitude de sat´elites
artificiais, o autor realiza simula¸c˜oes digitais e simula¸c˜ao com hardware na malha de
controle, qualificando o controlador da roda para seu uso em sistemas de controle de
atitude. O estudo detalhado de um sistema de controle por referˆencia para opera¸c˜ao
de rodas ´e apresentado em Trivelato (1988).
O projeto de controle de atitude de sat´elites estabilizados em trˆes eixos utilizando a
47
metodologia LQR e LQG ´e apresentada em Moscati (1992) mostrando ser uma op¸c˜ao
vi´avel para o sistema de controle de atitude, atravˆes dos resultados obtidos. Moscati
(1992) utiliza o modelo linear em suas simula¸c˜oes. Outros trabalhos se destacam no
estudo de atitude de sat´e lite que incluem apˆendices flex´ıveis usando metodologias
modernas e distintas de controle (LQG/LTR (Loop Transfer Recovery) e H-infinito),
Roma (1991) desenvolve um software de um manipulador simb´olico para obten¸c˜ao
das equa¸c˜oes do movimento de atitude. Flora () realiza o projeto de um sistema de
controle de atitude em trˆes eixos usando os m´eto dos LQG/LTR e H-infinito. Souza
(1987) apresenta uma extens˜ao na teoria do regulador linear quadr´atico (LQR) para
o caso de uma dinˆamica n˜ao linear, sugerindo uma nova lei de controle de atitude
para sat´elites artificiais.
A partir da revis˜ao da literatura do INPE nota-se uma grande diversidade e quali-
dade nos trabalhos voltados para o estudo de atitude em trˆes eixos, e implementa¸c˜oes
de metodologias de controle. Entretanto, os trabalhos revistos tratam de t´ecnicas
que empregam apenas rodas como atuadores, incluindo at´e mesmo o projeto da
mesma. As an´alises e simula¸c˜oes se restringem a um ´unico modo de opera¸c˜ao, o de
estabiliza¸c˜ao, envolvendo apenas manobras de pequenos ˆangulos. O presente traba-
lho que inclue o estudo de atitude empregando rodas, especificadas para o sat´elite
EQUARS, ´e usado para outros modos de opera¸c˜ao, estabiliza¸c˜ao e aquisi¸c˜ao. O mo-
delo do sat´elite equipado com atuadores magn´eticos tamb´em ´e desenvolvido. Esse
trabalho aborda o problema do uso de rodas usando as metodologias usadas em
Souza (1987), Flora () e Moscati (1992) para a obten¸c˜ao da lei de controle.
Na simula¸c˜ao digital foi adotada o modelo completo da dinˆamica (n˜ao linear e aco-
plada), assim como feito por Souza (1987). Na literatura dispon´ıvel do INPE n˜ao ´e
encotrada nenhuma referˆencia que trata da utiliza¸c˜ao de bobinas magn´eticas como
atuadores para a concep¸c˜ao do sistema de controle de atitude para sat´elites estabi-
lizados em trˆes eixos. Constitue, portanto, uma importante contribui¸c˜ao e desafio
desse trabalho, o estudo da estabiliza¸c˜ao em trˆes eixos de sat´elites artificiais atrav´es
de atuadores magn´eticos. Cabe salientar que esse estudo foi motivado pelos proje-
tos dos sat´elites Brasileiros EQUARS e a Plataforma Multi-Miss˜ao (PMM)
que est˜ao sendo desenvolvidos pelo INPE. Esses sat´elites empregam como atuadores
rodas e bobinas magn´eticas para o controle de atitude. Como contribui¸c˜ao desse es-
tudo desenvolveu-se um toolbox em SIMULINK, voltados para dinˆamica e controle
de atitude.
48
Neste trabalho as simula¸c˜oes digitais s˜ao feitas no ambiente MATLAB e SIMU-
LINK. Nesses recursos computacionais s˜ao encontrados nas referˆencias Hanselman e
Benjamin (1994), Levine e Leonard (1995), Hanselman e Littlefield (2003) e Bishop
(1997) e na documenta¸c˜ao disponibilizada pela Mathworks. Levine e Leonard (1995).
Ogata (1998) e Bishop (1997) apresentam uma introdu¸c˜ao do uso do MATLAB em
engenharia de controle e automa¸c˜ao. Em Hanselman e Benjamin (1994) e Wie (1998)
´e apresentado a implementa¸c˜ao das metodologias LQR e LQG atrav´es das functi-
ons do control toolbox do MATLAB. Hanselman e Littlefield (2003) mostra como
usar os recursos do MATLAB e apresentam todas as caracter´ısticas e benef´ıcios da
programa¸c˜ao em MATLAB. Hanselman e Littlefield (2003) mostram como realizar
o desevolvimento de um toolbox, usando SIM ULINK. Para a gera¸c˜ao do software de
atitude em SIMULINK, foram usados al´em desses recursos a documenta¸c˜ao dispo-
nibilizada pela Mathworks (http://www.mathworks.com/support/).
49
50
CAP
´
ITULO 4
DEFINIC¸
˜
OES DE NOTAC¸
˜
OES
A posi¸c˜ao e a atitude de um sat´elite podem ser representadas de v´arias formas
(Wertz, 1978, Larson e Wertz, 1992). Essa Se¸c˜ao introduz defini¸c˜oes e nota¸c˜oes
necess´arias para o desenvolvimento do trabalho proposto.
4.1 Sistemas de Referˆencia
Os sistemas de referˆencia utilizados nesse trabalho s˜ao definidos a seguir, a Figura
(4.1) ilustra os referenciais definidos.
4.1.1 Referencial Inercial
O referencial ECI, no qual as leis de Newton do movimento s˜ao formuladas, ´e conside-
rado um referencial inercial (Fauske, 2002). O referencial inercial (X, Y, Z) definido
tem origem no centro da Terra. O eixo Z aponta na dire¸c˜ao do polo norte geogr´afico,
o eixo X aponta na dire¸c˜ao do ponto vernal γ. O eixo Y ´e encontrado usando a regra
da m˜ao direita, completando o sistema dextrogiro.
Nota: De fato, o referencial acima ´e aproximadamente inercial, devido ao movimento
da Terra; para as escalas de tempo adotadas, entretanto, o referencial ECI constitui
uma boa aproxima¸c˜ao de um referencial inercial (Chobotov, 1996).
4.1.2 Referencial Orbital
O referencial orbital (OF) definido por (x
o
, y
o
, z
o
) ´e um sistema de coordenadas com
origem no centro de massa do sat´elite. O eixo z
o
aponta na dire¸c˜ao do centro da
Terra (dire¸c˜ao Nadir) e o eixo y
o
aponta na dire¸c˜ao normal a ´orbita. O eixo x
o
´e
obtido pela regra da m˜ao direita, e coincide com a dire¸c˜ao do vetor velocidade orbital
linear, para uma ´orbita circular (Wertz, 1978).
Nota: Esse referencial tamb´em ´e referido como Vertical Local e Horizontal Local
(VLHL).
51
4.1.3 Referencial do Sat´elite
O referencial do corpo (BF), ou do sat´elite definido por (x, y, z) ´e um sistema de
coordenadas com origem no centro de massa do sat´elite. Os eixos s˜ao escolhidos como
sendo coincidentes com os eixos dos momentos principais de in´ercia. Para estudos
de sat´elite estabilizados em trˆes eixos, Terra-apontado, ´e pr´atico definir os eixos de
roll, pitch e yaw como sendo (Wie, 1998, Moscati, 1992)
• eixo de roll x, nominalmente alinhado com x
o
• eixo de pitch y, nominalmente alinhado com y
o
• eixo de yaw z, nominalmente alinhado com z
o
Figura 4.1- Sistemas de referˆencia, inercial (ECI), orbital (OF) e do sat´elite (BF).
52
4.2 Representa¸c˜ao da Atitude
A atitude em trˆes eixos ´e convenientemente representada atrav´es de uma trans-
forma¸c˜ao de coordenadas, na qual transforma-se um conjunto de coordenadas no
espa¸co inercial em um conjunto de coordenadas fixadas ao sat´elite (Wertz, 1978).
Existem parametriza¸c˜oes/representa¸c˜oes alternativas para estas transforma¸c˜oes. A
principais representa¸c˜oes s˜ao:
• Matriz de rota¸c˜ao ou matriz de atitude;
•
ˆ
Angulos de Euler;
• Quaternions ou parˆametros de Euler;
•
ˆ
Angulo eixo equivalente;
Cada um desses conjuntos de parametriza¸c˜oes apresentam vantagens e desvanta-
gens. Em Wertz (1978), Hughes (1986), Fauske (2003) e Wie (1998) s˜ao discutidas
pormenorizadamente cada uma dessas parametriza¸c˜oes.
4.2.1 Matriz de Rota¸c˜ao
A matriz de rota¸c˜ao, tamb´em chamada de matriz de cossenos diretores, tem as
interpreta¸c˜oes (Fauske, 2003):
• Descreve a orienta¸c˜ao m´utua entre dois referˆenciais, onde cada vetor coluna
s˜ao os cossenos dos ˆangulos entre os dois referenciais;
• Transforma um vetor representado em um referencial para outro;
A matriz de rota¸c˜ao R de um referencial a para um referencial b denotada por R
b
a
´e um elemento do conjunto SO (3), definido como
SO (3) =
R | R ∈
3×3
, R
T
R = I e detR = 1
, (4.1)
53
onde I ´e a matriz identidade 3 × 3.
A nota¸c˜ao seguinte ´e usada para transformar um vetor r de um referencial para
outro:
r
to
= R
to
from
r
from
(4.2)
onde o ´ındice superior descreve em qual referencial o vetor est´a expresso.
Devido a propriedade de ortogonalidade, R
T
R = I, pode-se mostrar que a derivada
no tempo da matriz de rota¸c˜ao ´e dada p or
˙
R
a
b
= S(ω
a
ab
)R
b
a
(4.3)
onde a nota¸c˜ao usada ω
a
ab
representa a velocidade angular do referencial b em rela¸c˜ao
ao referencial a, expressa no referencial a. Essa nota¸c˜ao ´e usada em todo o trabalho.
A velocidade angular tem a propriedade ω
a
ab
= −ω
a
ba
(Fauske, 2003), e S(ω) ´e o
operador anti-sim´etrico (skew-symmetric):
S (ω) =
0 −ω
z
ω
y
ω
z
0 −ω
x
−ω
y
ω
x
0
, ω =
ω
x
ω
y
ω
z
(4.4)
reescrevemos (4.3), temos
˙
R
a
b
= S(ω
a
ab
)R
b
a
= −S(ω
a
ba
)R
b
a
(4.5)
Denotaremos a matriz de rota¸c˜ao por
54
R
b
a
=
c
b
1
c
b
2
c
b
3
(4.6)
onde c
b
i
=
c
b
ix
c
b
iy
c
b
iz
T
(i = 1, 2, 3) s˜ao matrizes coluna, tendo como componentes
os cossenos diretores dos eixos de a em rela¸c˜ao aos eixos do referencial b. Daqui para
frente o ´ındice b ser´a usado para representar o referencial do corpo e o ´ındice o
ser´a usado para representar o referencial orbital. A ausˆencia de ´ındice representa o
referencial inercial.
4.2.2 Parˆametros de Euler
Os parˆametros de Euler, s˜ao tamb´em chamados quaternions (Fauske, 2003), e s˜ao
uma representa¸c˜ao atrativa devido a parametriza¸c˜ao sem singularidades e equa¸c˜oes
diferenciais da cinem´atica serem lineares (Fauske, 2003, Wie , 1998). A representa¸c˜ao
em quaternion requer menos tempo computacional que a representa¸c˜ao por ˆangulos
de Euler (Arantes e Fonseca, 2004a), e portanto ´e usado em aplica¸c˜oes onde os
recursos computacionais s˜ao limitados (Wertz, 1978).
Um quaternion q ´e definido como uma grandeza hiper-imagin´aria composta por uma
parte real η e um vetor dada por
η = cos
Φ
2
, = λ sin
Φ
2
(4.7)
que, representa uma rota¸c˜ao de Φ em torno do vetor unit´ario λ. Um quaternion
satisfaz o v´ınculo q
T
q = 1, ou s eja
η
2
+
2
1
+
2
2
+
2
3
= 1 (4.8)
As equa¸c˜oes diferenciais da cinem´atica s˜ao dadas por (Wertz, 1978, Wie e Arapos-
tathis, 1989, Wie, 1985):
55
˙
q =
1
2
Ωq (4.9)
onde
Ω =
0 ω
z
−ω
y
ω
x
−ω
z
0 ω
x
ω
y
ω
y
−ω
x
0 ω
z
−ω
x
−ω
y
−ω
z
0
(4.10)
A matriz de atitude (4.1) obtida a partir dos quaternions ´e dada por (Wie, 1998)
R
b
a
=
η
2
− q
T
q
I + 2qq
T
− 2ηQ () (4.11)
onde Q () ´e o ope rador anti-sim´etrico dado por
Q () =
0 −
3
2
3
0 −
1
−
2
1
0
(4.12)
Dada a matriz de atitude (4.1), podemos determinar η e pelas rela¸c˜oes
η = (1 + c
11
+ c
22
+ c
33
)
1
2
para 0 ≤
Φ
2
≤ π (4.13)
=
1
4η
c
23
− c
32
c
31
− c
13
c
12
− c
21
se η = 0 (4.14)
Se η = 0 escolhe-se outra sequˆencia de rota¸c˜oes.
56
4.2.3
ˆ
Angulos de Euler
A orienta¸c˜ao de um corpo tamb´em pode ser descrita por trˆes ˆangulos (trˆes
parˆametros independentes) denominados ˆangulos de Euler. A Figura (4.2) ilustra
a seq¨uˆencia de rota¸c˜oes necess´arias para levar um referencial
¯
X ≡ (X, Y, Z) a outro
¯x ≡ (x, y, z), que s˜ao listadas como.
• Rota¸c˜ao em torno do eixo Z de um ˆangulo φ que leva ao sistema ξ
, θ
, ζ
.
• Rota¸c˜ao em torno do eixo ξ
de um ˆangulo θ que le va ao sistema ξ, θ, ζ.
• Rota¸c˜ao em torno do eixo ζ de um ˆangulo ψ que leva ao sistema x, y, z.
Para essa seq¨uˆencia de rota¸c˜oes 3 − 1 − 3 a matriz de atitude ´e dada por (Kaplan,
1976)
R
X
x
=
cos ψ cos φ − sin ψ cos θ sin φ cos ψ sin φ + sin ψ cos θ cos φ sin ψ sin θ
−cos ψ cos φ − cos ψ cos θ sin φ −sin ψ sin φ + cos ψ cos θ cos φ cos ψ sin θ
sin θ sin φ −sin θ cos φ cos θ
Figura 4.2- Constru¸c˜ao dos ˆangulos de Euler.
Em problemas de estabiliza¸c˜ao de atitude em trˆes eixos ´e comum definir:
• ˆangulo de roll (φ) ´e o ˆangulo de rota¸c˜ao em torno do eixo de roll
57
• ˆangulo de pitch (θ) ´e o ˆangulo de rota¸c˜ao em torno do eixo de pitch
• ˆangulo de yaw (ψ) ´e o ˆangulo de rota¸c˜ao em torno do eixo de yaw
Note que os ˆangulos s˜ao definidos para rota¸c˜oes em torno de eixos distintos. Usados
comumente para relacionar o refe rˆencial orbital (OF) ou LVHL com o referˆencial
do sat´elite (BF), adequado para tais aplica¸c˜oes (Moscati, 1992). Existem doze (12)
conjuntos poss´ıveis de ˆangulos de Euler para descrever um referencial em rela¸c˜ao a
outro (Wertz, 1978). Esses conjuntos/seq¨uˆencias s˜ao dividas em dois tipos:
Tipo 1 (anti-sim´etrica): Nesse caso as rota¸c˜oes s˜ao feitas, sucessivamente, em
cada um dos trˆes eixos. Esse tipo apresenta uma singularidade em θ = ±
π
2
. As
seq¨uˆencias s˜ao 1 − 2 − 3, 2 − 1 −3, 3 − 2 − 1, 2 − 3 − 1, 3 − 1 − 2, 1 − 3 − 2.
Tipo 2 (sim´etrica): Nesse caso a primeira e terceira rota¸c˜ao s˜ao feitas sobre o
mesmo eixo. Esse tipo apresenta uma singularidade em θ = π e θ = 0. As seq¨uˆencias
s˜ao 3 − 1 − 3, 2 − 1 − 2, 1 − 2 −1, 2 − 3 − 2, 1 − 3 − 1, 3 − 2 − 3.
As matrizes de rota¸c˜ao e as equa¸c˜oes cinem´aticas para cada uma dessas seq¨uˆencias
de rota¸c˜ao (sim´etricas e anti-sim´etricas) s˜ao encontradas nas referˆencia Wertz (1978)
e Hughes (1986). Apesar das equa¸c˜oes da cinem´atica apresentarem singularidades do
tipo 1 e tipo 2, os ˆangulos de Euler tem um clara interpreta¸c˜ao f´ısica e s˜ao utilizadas
na entrada e sa´ıda das simula¸c˜oes.
Dada a matriz de rota¸c˜ao (4.11) es crita em termos de quaternions, os ˆangulos de
roll (φ), pitch (θ) e yaw (ψ) para a seq¨uˆencia de rota¸c˜ao 3 −2 −1, ou seja, primeira
rota¸c˜ao em yaw, segunda rota¸c˜ao em pitch e terceira rota¸c˜ao em roll, s˜ao dados por
(Wie, 1998, Hughes, 1986):
φ = arctan
c
23
c
33
0 ≤ φ ≤ 2π (4.15)
θ = arcsin (−c
13
) −
π
2
≤ θ ≤
π
2
(4.16)
ψ = arctan
c
12
c
11
0 ≤ ψ ≤ 2π (4.17)
58
Nota: A s eq¨uencia de rota¸c˜oes escolhida para ser utilizada nesse trabalho ´e 3−2−1.
4.2.4
ˆ
Angulo Eixo Equivalente
O ˆangulo eixo equivalente ´e definido a partir do teorema de Euler que diz: um
corpo r´ıgido pode atingir qualquer orienta¸c˜ao/atitude a partir de uma orienta¸c˜ao
arbitr´aria (de referˆencia), atrav´es de uma rota¸c˜ao Φ sobre um eixo unit´ario fixo λ
em rela¸c˜ao ao corpo e a referˆencia. Esse eixo ´e chamado de eixo equivalente ou eixo
de Euler.
Definindo
λ =
λ
1
λ
2
λ
3
e Λ =
0 −λ
3
λ
2
λ
3
0 −λ
1
−λ
2
λ
2
0
(4.18)
Pode-se mostrar que a matriz de atitude ´e dada por (Wie, 1998, Fauske, 2002):
R
b
a
= cos ΦI + (1 − cos Φ) λλ
T
− sin ΦΛ (4.19)
onde I ´e a matriz identidade. A express˜ao (4.19) ´e tamb´em conhecida como f´ormula
de Rodrigues.
Dada a matriz de atitude (4.1) Φ pode ser obtido como
cos Φ =
1
2
(c
11
+ c
22
+ c
33
) (4.20)
e pode se mostrar (Wie, 1998) que λ ´e dado por
59
λ =
λ
1
λ
2
λ
3
=
1
2 sin Φ
c
23
− c
32
c
31
− c
13
c
12
− c
21
para Φ = 0, ±π, ±2π, . . . (4.21)
Usando a parametriza¸c˜ao (4.19) e a identidade trigonom´etrica (4.7), a matriz de
rota¸c˜ao pode ser escrita em fun¸c˜ao dos quaternions como
R
b
a
= 1 + 2ηS () + 2S
2
() (4.22)
4.2.5 Rota¸c˜oes Infinitesimais
No modo de estabiliza¸c˜ao durante a manuten¸c˜ao da atitude nominal, em geral, s˜ao
realizadas manobras de pequenos ˆangulos para corre¸c˜oes da atitude, justificando
aproximar a matriz de atitude por (Moscati, 1992)
R
b
o
=
1 ψ −θ
−ψ 1 φ
θ −φ 1
(4.23)
que ´e a matriz de transforma¸c˜ao do sistema orbital (VLHL) para o sistema do
s´atelite. Os ˆangulos φ, θ, ψ s˜ao tomados no sentido anti-hor´ario. Para rota¸c˜oes infi-
nitesimais a seq¨uˆencia de rota¸c˜oes n˜ao ´e importante (Wie, 1998, Moscati, 1992).
A representa¸c˜ao em quaternions, para pequenos ˆangulos pode ser aproximado por
η
∼
=
1 (4.24)
1
∼
=
φ
2
(4.25)
2
∼
=
θ
2
(4.26)
3
∼
=
ψ
2
(4.27)
60
sendo necess´ario a normaliza¸c˜ao dos quaternions para satisfazer a rela¸c˜ao
η
2
+
2
1
+
2
2
+
2
3
= 1 (4.28)
4.3 Sum´ario de Nota¸c˜oes
As principais nota¸c˜oes usadas nesse trabalho s˜ao:
ω
n
eb
Velocidade angular do referencial b em rela¸c˜ao ao referencial e ex-
presso/escrito no referencial n
r
a
Vetor r expresso no referencial a
R
a
b
Matriz de rota¸c˜ao do referencial b para o referencial a. r
a
= R
a
b
r
b
S (k) Operador anti-sim´etrico
ˆ
r Versor ou vetor unit´ario
61
62
CAP
´
ITULO 5
FORMULAC¸
˜
AO DO PROBLEMA
Neste Cap´ıtulo o problema objeto desta disserta¸c˜ao ´e formulado. A formula¸c˜ao aqui
apresentada envolve:
• os modelos matem´aticos da cinem´atica e da dinˆamica de um sat´elite contendo
3 rodas de rea¸c˜ao e 3 bobinas magn´eticas;
• a modelagem do gradiente de gravidade e dos torques magn´eticos;
• a modelagem do campo geomagn´etico, modelo IGRF;
• o tratamento das equa¸c˜oes diferenciais, incluindo a lineariza¸c˜ao dos modelos
matem´aticos, para serem utilizadas no projeto de controle linear nos modos
de controle de estabiliza¸c˜ao e aquisi¸c˜ao;
• uma discuss˜ao do emprego de atuadores usados neste trabalho com enfoque
nas suas aplica¸c˜oes, factibilidade, vantagens e desvantagens;
• uma discuss˜ao dos torques ambientais incluindo o modelo de pior caso.
5.1 Modelagem Matem´atica: Cinem´atica e Dinˆamica
Esta sess˜ao apresenta e discute os modelos matem´aticos da cinem´atica e da dinˆamica
de um sat´elite equipado com trˆes rodas de rea¸c˜ao e bobinas magn´eticas. As equa¸c˜oes
da cinem´atica s˜ao obtidas a partir da representa¸c˜ao da atitude em ˆangulos de Euler e
quaternions. Essas parametriza¸c˜oes s˜ao amplamente utilizadas na ´area de dinˆamica
de atitude uma vez que permitem representar a dinˆamica e a atitude dos ve´ıculos
espaciais em diferentes sistemas de coordenadas. As equa¸c˜oes da cinem´atica n˜ao
envolvem as for¸cas ou torques associados ao movimento. Elas descrevem a velocidade
do ve´ıculo espacial em termos de sua orienta¸c˜ao em rela¸c˜ao a um ou mais sistemas
de coordenadas. A orienta¸c˜ao do ve´ıculo em rela¸c˜ao a um referencial conhecido
´e chamada atitude. A atitude pode ser representada por diferentes conjuntos de
parˆametros, como ´e mostrado no Cap´ıtulo (4).
63
5.1.1 Equa¸c˜oes da Cinem´atica
A cinem´atica descreve a orienta¸c˜ao de um ve´ıculo em rela¸c˜ao a um sistema de eixos
conhecido. O modelo matem´atico da cinem´atica ´e escrito na forma de um sistema de
equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem que, em conjun¸c˜ao com as equa¸c˜oes de Euler,
permite escrever as e qua¸c˜oes do movimento na forma de estado e, por integra¸c˜ao
num´erica, obter os ˆangulos de atitude e sua derivada temporal em fun¸c˜ao do tempo.
Em geral as equa¸c˜oes da cinem´atica podem ser representadas por quaternions, matriz
de rota¸c˜ao, ˆangulos de Euler, etc. Cada uma das formas de representar a atitude tem
vantagens e desvantagens. A representa¸c˜ao por quaternions tem a vantagem de n˜ao
conter fun¸c˜oes trigonom´etricas e nem conter singularidades, que s˜ao t´ıpicas quando
se representa a cinem´atica em ˆangulos de Euler. Wertz (1978), Kaplan (1976) e
Hughes (1986) apresentam as equa¸c˜oes da cinem´atica em quaternions na forma
˙η =
1
2
T
ω
b
ob
(5.1)
˙ =
1
2
ηω
b
ob
−
1
2
ω
b
ob
× (5.2)
Usando o operador anti-sim´etrico S (ω), a Equa¸c˜ao (5.2) pode ser reescrita como
˙ =
1
2
[ηI + S ()] ω
b
ob
(5.3)
Os parˆametros de Euler ou quaternions dados nas equa¸c˜oes (5.2) s˜ao apresentados
na Se¸c˜ao (4.2). ω
b
ob
´e o vetor velocidade angular do sat´elite escrito no referencial
do corpo, referido ao sistema orbital. As equa¸c˜oes da cinem´atica podem tamb´em
ser escritas em fun¸c˜ao dos ˆangulos de Euler. A forma do sistema de equa¸c˜oes da
cinem´atica em termos dos ˆangulos de Eule r depende da seq¨uˆencia de rota¸c˜oes esco-
lhidas para se passar de um sistema de referencia para outro. A forma mostrada a
seguir pode ser vista em Wertz (1978) e Wie e Arapostathis (1989) e ´e obtida para
a seq¨uˆencia de rota¸c˜oes 3 − 2 −1.
64
˙
φ
˙
θ
˙
ψ
=
1
cos θ
cos θ sin φ sin θ cos φ sin θ
0 cos φ cos θ −sin φ cos θ
0 sin φ cos φ
ω
b
ib
+
ω
o
cos θ
sin ψ
cos θ cos ψ
sin θ sin ψ
(5.4)
onde ω
o
´e a velocidade orbital, que para uma ´orbita circular ´e constante.
A Figura (5.1) mostra a seq¨uencia de rota¸c˜oes associadas `a Equa¸c˜ao (5.4) para
representar o sistema do corpo em rela¸c˜ao ao sistema orbital, atrav´es de rota¸c˜oes
subseq¨uentes dos ˆangulos ψ, θ e φ.
Figura 5.1- Seq¨uˆencia de rota¸c˜oes 3(ψ) − 2(θ) − 1(φ) .
Os eixos x, y e z e os demais sistemas de eixos formados pelas rota¸c˜oes s˜ao ortogonais.
Entretanto, as rota¸c˜oes em torno dos eixos que s˜ao escritas as velocidades angulares
n˜ao s˜ao ortogonais . Por esta raz˜ao tem-se seno ou co-seno no denominador (depen-
dendo da seq¨uˆencia de rota¸c˜oes escolhida) quando se representa o vetor [
˙
φ
˙
θ
˙
ψ]
T
em fun¸c˜ao dos respectivos ˆangulos e das componentes do vetor velocidade angu-
lar ω
b
ob
. Tal caracter´ıstica explica a singularidade sempre presente na representa¸c˜ao
da atitude via ˆangulos de Euler, uma vez que para cos
±n
π
2
, n = 1, 3, 5, ··· e
sin (±nπ), n = 0, 1, 2, ··· tem-se denominador nulo. A Equa¸c˜ao (5.4) ilustra o caso
do co-seno.
65
5.1.2 Equa¸c˜oes da Dinˆamica
O modelo real do sat´elite ´e aproximado por um modelo f´ısico constitu´ıdo de um
corpo r´ıgido principal (main bus) contendo internamente 3 rodas de rea¸c˜ao, como
mostrado na Figura (5.2), tamb´em representadas por corpos r´ıgidos. O sistema,
entretanto, n˜ao constitui de fato um corpo r´ıgido uma vez que cont´em partes moveis
internas, representadas pelas rodas de rea¸c˜ao. O mo delo matem´atico da dinˆamica ´e
descrito pelas equa¸c˜oes de Euler, expressas no sistema BF (x, y, z) do corpo, referida
ao sistema inercial. A origem do sistema de eixos do ve´ıculo ´e definida no centro de
massa, CM, do sat´elite. Os eixos x, y e z s˜ao coincidentes com os eixos principais de
in´ercia da espa¸conave. A Figura ilustra o conceito do sat´elite objeto da modelagem
matem´atica bem como os sistemas de referˆencias orbital OF(x
o
, y
o
, z
o
) e do corpo
BF (x, y, z). O referencial orbital foi apresentado e comentado na Se¸c˜ao (4.1.2).
As equa¸c˜oes de Euler utilizadas aqui para representar a dinˆamica do sat´elite, s˜ao
obtidas a partir da derivada temporal da quantidade de movimento angular, como
´e mostrado a seguir.
Figura 5.2- Ilustra¸c˜ao do sat´elite com rodas de rea¸c˜ao, bobinas e os referenciais
orbital OF (x
o
, y
o
, z
o
) e do corpo BF (x, y, z).
Seja L
b
a quantidade de movimento angular do sat´elite, expressa no sistema do
66
corpo. O torque externo τ
ext
´e dado pela taxa de varia¸c˜ao no tempo da quantidade
de movimento angular. Matematicamente:
dL
b
dt
=
dL
b
dt
b
+ ω
b
ib
× L
b
= τ
ext
(5.5)
onde
˙
L
b
=
dL
b
dt
b
= J
s
˙
ω
b
ib
+ J
w
˙
ω
b
ib
+
˙
ω
b
bw
(5.6)
onde J
s
´e a matriz de in´ercia do sat´elite (sem considerar as rodas), J
w
´e a matriz de
in´ercia das rodas, ω
b
bw
´e a velocidade angular das rodas relativa ao sat´elite e ω
b
ib
´e
a velocidade angular do sat´elite em rela¸c˜ao ao sistema inercial expresso no sistema
do sat´elite.
L
b
pode ser escrito com a soma dos vetores quantidades de movimento angular do
corpo principal do ve´ıculo (main bus) mais o vetor quantidade de movimento angular
das rodas de rea¸c˜ao. Matematicamente
L
b
= h
s
+ l
w
(5.7)
temos que h
s
= J
s
ω
b
ib
´e a quantidade de movimento angular do sat´elite e l
w
=
J
w
ω
b
ib
+ ω
b
bw
´e a quantidade de movimento angular das rodas. Substituindo na
Equa¸c˜ao (5.5)
Escrevendo L
b
dessa forma pode-se reescrever a Equa¸c˜ao (5.5) na forma:
dL
b
dt
= J
s
˙ω
b
ib
+ J
w
˙
ω
b
ib
+
˙
ω
b
bw
+ ω
b
ib
×
J
s
ω
b
ib
+ J
w
ω
b
ib
+ ω
b
bw
= τ
ext
(5.8)
67
A matriz de in´ercia J
s
do corpo principal do sat´elite (main bus) ´e dada por
J
s
=
J
x
−J
xy
−J
xz
−J
xy
J
y
−J
yz
−J
xz
−J
yz
J
z
J
x
=
B
y
2
+ z
2
dm, J
y
=
B
x
2
+ z
2
dm, J
z
=
B
x
2
+ y
2
dm (5.9)
J
xy
=
B
(xy) dm, J
xz
=
B
(xz) dm, J
yz
=
B
(yz) dm (5.10)
Como considerou-se o sistema BF (x, y, z) coincidente com os eixos principais de
in´ercia, essas matrizes s˜ao diagonais e os elementos J
x
, J
y
e J
z
s˜ao os momentos
principais de in´ercia. Matematicamente:
J
s
=
J
x
0 0
0 J
y
0
0 0 J
z
(5.11)
J
w
´e matriz de in´ercia associada `as trˆes rodas de rea¸c˜ao. Como cada rotor tem seu
eixo principal de in´ercia alinhado com cada um dos eixos principais de in´ercia do
ve´ıculo, a matriz de in´ercia J
w
, associada aos trˆes rotores, ´e tamb´em diagonal e
os elementos da diagonal s˜ao os momentos de in´ercia axiais associados ao eixo de
rota¸c˜ao de cada roda de rea¸c˜ao. Matematicamente:
J
w
=
J
wx
0 0
0 J
wy
0
0 0 J
wz
(5.12)
Reescrevendo a Equa¸c˜ao (5.8) em termos das velocidade angulares e sua taxa de
varia¸c˜ao no tempo na forma:
68
dL
b
dt
= (J
s
+ J
w
) ˙ω
b
ib
+ J
w
˙
ω
b
bw
+ ω
b
ib
×
(J
s
+ J
w
) ω
b
ib
+ J
w
ω
b
bw
) = τ
ext
(5.13)
A matriz de in´ercia total do ve´ıculo ´e J = J
s
+ J
w
. Matematicamente
J = J
s
+ J
w
=
J
x
+ J
wx
0 0
0 J
y
+ J
wy
0
0 0 J
z
+ J
wz
(5.14)
Substituindo a Equa¸c˜ao (5.14) na Equa¸c˜ao (5.13) e usando o operador anti-sim´etrico,
reescrevemos a Equa¸c˜ao (5.13)
J ˙ω
b
ib
+ J
w
˙
ω
b
bw
+ S
ω
b
ib
Jω
b
ib
+ J
w
ω
b
bw
= τ
ext
(5.15)
Pode-se identificar a express˜ao correspondente ao torque de controle gerado pelas
rodas de rea¸c˜ao:
J
w
˙
ω
b
bw
+ S(ω
b
ib
)J
w
ω
b
bw
= τ
b
w
(5.16)
ou seja, o torque das rodas de rea¸c˜ao aplicados no sat´elite para fins de controle e
estabiliza¸c˜ao. Usando esta defini¸c˜ao p ode-se reescrever a express˜ao do torque (5.15)
como:
J ˙ω
b
ib
+ S
ω
b
ib
Jω
b
ib
= τ
ext
− τ
b
w
(5.17)
O torque externo τ
ext
representa o somat´orio de todos os torques externos que
atuam no ve´ıculo espacial. Neste trabalho considerou-se apenas o torque devido ao
gradiente de gravidade e o torque de controle gerado pela intera¸c˜ao das bobinas
magn´eticas com o campo magn´etico da Terra. Considerou-se 3 bobinas, dispostas
69
segundo os eixos x, y e z, como mostrado na Figura (5.3). O torque externo pode,
ent˜ao, ser escrito como na forma:
Figura 5.3- Configura¸c˜ao das bobinas magn´eticas no sat´elite.
τ
ext
= τ
b
d
+ τ
b
m
(5.18)
onde τ
b
d
representa todos os torques de perturba¸c˜ao externa (gradiente de gravidade,
press˜ao de radia¸c˜ao, arrasto atmosf´ericos, etc) e τ
b
m
representa o torque gerado pelas
bobinas, dado por (Fauske, 2002)
τ
b
m
= m
b
× B
b
(5.19)
onde m
b
´e o momento dipolo magn´etico gerado pelas bobinas, cujas caracter´ısticas
depende de projeto (magnitude e dire¸c˜ao do torque) e pode ser representado na
forma
m
b
= m
b
x
+ m
b
y
+ m
b
z
=
N
x
i
x
A
x
N
y
i
y
A
y
N
z
i
z
A
z
=
m
x
m
y
m
z
, (5.20)
Nessa Equa¸c˜ao x, y e z s˜ao os eixos do sistema BF (x, y, z) e N, i e A s˜ao o n´umero
de espiras, a corrente el´etrica e a ´area da espira (parˆametros de projeto), respecti-
vamente, para as trˆes bobinas, dispostas segundo os eixos x, y e z.
B
b
=
B
b
x
B
b
y
B
b
z
T
´e o vetor campo magn´etico local, escrito no referencial do
70
sat´elite.
Portanto o modelo matem´atico que representa o sat´elite equipado com bobinas ´e
dado por:
J ˙ω
b
ib
+ S
ω
b
ib
Jω
b
ib
= τ
b
d
+ τ
b
m
(5.21)
5.1.3 Torque devido ao Gradiente de Gravidade
O torque de gradiente de gravidade ´e causado devido a varia¸c˜ao da for¸ca gravitaci-
onal ao longo do corpo do sat´elite. O torque depende da altitude, da geometria e da
atitude do sat´elite (Carrara, 1982). Esse efeito ´e usado para estabiliza¸c˜ao passiva de
sat´elites O gradiente de gravidade alinha o eixo de menor momento de in´ercia com
a vertical local (Fauske, 2002 e Arantes e Fonseca, 2004a). Esse fato requer que um
dos momentos principais de in´ercia do sat´elite seja muito menor dos que os outros.
Em geral essa configura¸c˜ao ´e obtida atrav´es de mastros extens´ıveis colocados no
sat´elite. Uma vez em ´orbita o mastro ´e estendido segundo o eixo conveniente a ser
alinhado com a vertical local. Exemplos de sat´elites que usam a estabiliza¸c ˜ao por
gradiente de gravidade s˜ao DODGE, GEOS-3 e RAE-2.
Como deduzido no apˆendice A, o torque devido ao gradiente de gravidade, expresso
no referencial do sat´elite, ´e dado por
τ
b
g
= 3ω
2
o
c
b
3
× Jc
b
3
(5.22)
onde c
b
3
´e o vetor coluna com os cosenos diretores da vertical local ou eixo z
o
nas
dire¸c˜oes dos eixos x, y e z e ω
o
´e a velocidade orbital.
5.2 Campo Magn´etico Terrestre
O c ampo magn´etico terrestre ´e calculado como o gradiente de uma fun¸c˜ao potencial
escalar, que ´e mode lada por um s´erie de harmˆonicos esf´ericos, dada por (Fauske,
71
2002)
V (r, θ, φ) = a
∞
n=1
a
r
n+1
n
m=0
[g
m
n
cos mφ + h
m
n
sin mφ] P
m
n
(θ) (5.23)
A fun¸c˜ao potencial V ´e uma fun¸c˜ao da posi¸c˜ao do sat´elite em coordenadas esfˆericas
no sistema ECI definido em 4.1.1. Os coeficientes g
n
m
e h
n
m
s˜ao chamados coeficientes
de Gauss, que s˜ao constantes e obtidos empiricamente. A cada cinco anos a IAGA
(Association of Geomagnetism and Aeronomy) publica um novo conjunto de coefici-
entes que constituem o modelo IGRF (International Geomagnetic Reference Field).
Discuss˜oes e detalhes desse modelo s˜ao encontrados em Macmillan e Quinn (2000).
O modelo (c´odigo fonte nas linguagens C e FORTRAN) ´e fornecido em Mclean, .
Nesse trabalho a implementa¸c˜ao do modelo IGRF ´e feita no ambiente MATLAB e
SIMULINK. A Figura (5.4) mostra as componentes do vetor campo magn´etico local
B
o
=
B
o
x
B
o
y
B
o
z
T
, expresso no referencial da ´orbita (OF) ou VLHL, as compo-
nentes do campo magn´etico s˜ao dadas para trˆes revolu¸c˜oes do sat´elite em torno da
Terra.
Figura 5.4- Campo magn´etico local B
o
usando o modelo IGRF 2000.
A propaga¸c˜ao da ´orbita ´e descrita no apˆendice B. Foi usada uma ´orbita circular ke-
pleriana. A ´orbita propagada para o c´alculo do campo magn´etico ´e a ´orbita nominal
72
do sat´elite EQUARS. Os elementos orbitais s˜ao mostrados na Tab e la (5.1).
Tabela 5.1- Eleme ntos orbitais do sat´elite EQUARS.
altura (h) 750 km
excentricidade (e)
∼
=
0
ascen¸c˜ao do nodo ascendente (Ω) 30 graus
inclina¸c˜ao (i) 20 graus
5.3 Tratamento das Equa¸c˜oes da Dinˆamica para os Casos Estudados nesse
Trabalho
O controle de atitude de sat´elites artificiais tem in´ıcio na separa¸c˜ao foguete-sat´elite.
At´e ent˜ao, qualquer que seja o controle, sua atua¸c˜ao ´e sobre o ve´ıculo lan¸cador.
Por exemplo, o lan¸c ador pode ter um sistema de controle que reduz a a rota¸c˜ao do
´ultimo est´agio, para n´ıveis de projeto, imediatamente antes da separa¸c˜ao. Conhe-
cida a atitude final do ´ultimo est´agio do foguete, tem-se uma estimativa razo´avel
da atitude do sat´elite imediatamente ap´os a separa¸c˜ao. Por outro lado, o ´ultimo
est´agio do foguete pode garantir apenas a inser¸c˜ao do ve´ıculo na ´orbita correta, n˜ao
fornecendo dados sobre a atitude do sat´elite imediatamente ap´os a separa¸c˜ao. Nesse
caso, o sistema de controle do sat´elite deve s er capaz de controlar o movimento de
atitude do mesmo a partir de qualquer configura¸c˜ao de atitude imediatamente ap´os
a separa¸c˜ao. Portanto, se o lan¸cador n˜ao fornecer, a priori, uma atitude final que
possa ser estendida ao sat´elite imediatamente ap´os a se para¸c˜ao, o sitema de controle
de atitude dever´a, de acordo com requisitos de miss˜oes:
• Reduzir para valores especificados ou eliminar, de acordo tamb´em com espe-
cifica¸c˜oes de projeto, a rota¸c˜ao do sat´elite imediatamente ap´os a separa¸c˜ao.
Esta fase constitui um dos modos de estabiliza¸c˜ao, comumente conhecido como
detumble, traduzido aqui como descapotamento.
´
E a opera¸c˜ao de eliminar o
movimento de rota¸c˜ao arbitr´aria do sat´elite imediatamente ap´os a separa¸c˜ao.
Este aspecto ´e tratado nesta Se¸c˜ao porque o controle para este modo p ode re-
querer manobras de grandes ˆangulos e, neste caso, a lineariza¸c˜ao do sistema de
equa¸c˜oes diferenciais e as t´ecnicas de controle linear n˜ao se aplicam. Portanto
neste modo de opera¸c˜ao utiliza-se t´ecnicas de controle n˜ao linear;
73
• Uma vez que o sistema de controle de atitude fa¸ca o detumbling e tenha con-
trole sobre a velocidade angular e atitude do ve´ıculo, o sat´elite entra no modo
de estabiliza¸c˜ao. Uma vez reduzida a velocidade angular do sat´elite imedi-
atamente ap´os a separa¸c˜ao, o sat´elite deve ser manobrado para adquirir a
atitude nominal. Nesse caso, a rota¸c˜ao residual pode sobrecarregar o sistema
de controle e, portanto, ´e desej´avel que, no modo anterior, a velocidade angular
residual n˜ao seja cr´ıtica, ou seja, n˜ao comprometa a eficiˆencia do sistema de
controle. A fase de estabiliza¸c˜ao pode requerer, tamb´em, manobras de grandes
ˆangulos, uma vez que, no modo detumble, o objetivo ´e a redu¸c˜ao da velocidade
angular e n˜ao manobras angulares para levar o ve´ıculo para uma configura¸c˜ao
nominal em atitude. Novamente, neste caso, deve se ter um certo conheci-
mento da atitude do sat´elite na f ase final do detumbling para se decidir sobre
a aplica¸c˜ao de leis de controle linear ou n˜ao linear.
• Uma vez adquirida a condi¸c˜ao normal de opera¸c˜ao o sistema de controle deve
manter o ve´ıculo est´avel em torno da atitude nominal, de acordo com espe-
cifica¸c˜oes de projeto para atender as miss˜oes. Nesse trabalho, esse proces so
tamb´em faz parte do modo de estabiliza¸c˜ao. Nesse modo o controle deve fazer
sempre manobras de pequenos ˆangulos (corre¸c˜oes) visando manter o ve´ıculo
na atitude nominal especificada. Neste modo de opera¸c˜ao as equa¸c˜oes do mo-
vimento podem ser linearizadas em torno da atitude nominal e as t´ecnicas de
controle linear se aplicam. Neste estudo as t´ecnicas de controle linear aplicadas
s˜ao as do PD, LQR e LQG.
Eventualmente, dependendo da miss˜ao, pode-se requerer a mudan¸ca de uma atitude
nominal para outra, arbitr´aria, por um certo intervalo de tempo. Nesse trabalho esse
modo de contigˆencia ´e chamado modo de aquisi¸c˜ao. Quando isto ocorre novamente
requer-se manobras de grandes ˆangulos e posterior reaquisi¸c˜ao da nova atitude no-
minal.
A vis˜ao do sistema de controle em modos de opera¸c˜ao ´e mais pr´atica sob o ponto
de vista de que o projeto de sistemas de controle reais ´e implementado por modos
de opera¸c˜ao. S˜ao necess´arias diferentes estrat´egias e t´ecnicas de controle para cada
modo.
74
5.4 Lineariza¸c˜ao
Para o projeto do controlador linear usando as metodologias LQR e LQG, que s˜ao
baseadas em uma planta linear, ´e feita a line ariza¸c˜ao das equa¸c˜oes do movimento
em torno de um ponto de opera¸c˜ao. As equa¸c˜oes linearizadas tamb´em podem ser
usadas para estudos de estabiliza¸c˜ao/manuten¸c˜ao da atitude nominal, para os casos
onde s˜ao realizadas manobras de pequenos ˆangulos (< 15
o
). As equa¸c˜oes usadas s˜ao
escritas em termos dos ˆangulos de Euler, j´a que a sigularidade do tipo 1 (±π/2),
n˜ao acontece para a faixa de manobras realizadas (pequenos ˆangulos). Outra justi-
ficativa ´e a clara interpreta¸c˜ao f´ısica que os ˆangulos de Euler fornecem. S˜ao feitas as
lineariza¸c˜oes para as vers˜oes:
• Sat´elite equipado com rodas, Equac˜ao (5.17);
• Sat´elite equipado com bobinas, Equa¸c˜ao (5.21).
A Equa¸c˜ao da cinem´atica (5.4) pode ser escrita como (Bryson, 1994)
ω
b
ib
=
1 0 −sin θ
0 cos φ sin φ cos θ
0 −sin φ cos φ cos θ
˙
φ
˙
θ
˙
ψ
− ω
o
cos θ sin ψ
sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ
cos φ sin θ sin ψ − sin φ cos ψ
(5.24)
Para pequenos ˆangulos a express˜ao (5.24) pode ser aproximada por (Bryson, 1994)
ω
1
≡
˙
φ − ω
o
ψ −
˙
ψθ
ω
2
≡
˙
θ − ω
o
−
˙
ψφ
ω
3
≡
˙
ψ + ω
o
φ −
˙
θφ
(5.25)
O valor m´edio, por ´orbita, dos termos n˜ao lineares
˙
ψθ,
˙
ψφ,
˙
θφ
s˜ao pequenos com-
parados com as magnitude m´edia dos termos lineares em (5.25). Se φ e θ oscilam em
torno de zero ou se a magnitude de
˙
ψ e
˙
θ s˜ao pequenos comparados com a velocidade
orbital ω
o
. Nesses casos a Equa¸c˜ao (5.25) pode ser aproximada por
75
˙
φ ≡ ω
1
+ ω
o
ψ
˙
θ ≡ ω
2
+ ω
o
˙
ψ ≡ ω
3
− ω
o
φ
(5.26)
Usando a nota¸c˜ao ω
b
ib
= [ω
1
ω
2
ω
3
]
T
temos
ω
b
ib
= I
˙
φ
˙
θ
˙
ψ
+ ω
o
−ψ
−1
φ
(5.27)
onde I ´e a matriz identidade de ordem 3.
5.4.1 Lineariza¸c˜ao do Modelo d o Sat´elite Equipado com Rodas
Definimos o vetor de vari´aveis de estado como
x =
φ θ ψ
˙
φ
˙
θ
˙
ψ
T
(5.28)
Usando a nota¸c˜ao h
w
= [h
w1
h
w2
h
w3
]
T
onde h
wi
, (i = 1, 2, 3) s˜ao as componen-
tes, ao longo das dire¸c˜oes (x, y, z), da quantidade de movimento angular total das
rodas. Para a configura¸c˜ao adotada para as rodas, cada componente da quantidade
de movimento angular corresponde a uma roda. Substituindo a Equa¸c˜ao (5.27) na
Equa¸c˜ao (5.17) e incluindo o torque de gradiente de gravidade dado pela Equa¸c˜ao
(5.22), obtemos
J
x
¨
φ = [4ω
2
o
(J
z
− J
y
) + ω
o
h
w2
] φ + ω
o
h
3
+ [ω
o
(J
x
− J
y
+ J
z
) + h
w2
]
˙
ψ
+ [ω
o
(J
y
− J
z
) φ + h
w3
+ (J
z
− J
y
)]
˙
θ −
˙
h
w1
(5.29)
76
J
y
¨
θ = 3ω
2
o
(J
z
− J
x
) θ − ω
o
φh
1
− [ω
2
o
(J
z
− J
x
) φ + ω
o
h
w3
] ψ − [ω
o
(J
z
− J
x
) ψ + h
w1
]
˙
ψ
−
ω
o
(J
x
− J
z
) φ − h
w3
+ (J
x
− J
z
)
˙
ψ
˙
φ −
˙
h
w2
(5.30)
J
z
¨
ψ = [ω
2
o
(J
x
− J
y
) + ω
o
h
w2
] ψ − ω
o
h
w1
− [ω
o
(J
x
− J
y
+ I
z
) + h
w2
]
˙
φ
+
ω
o
(J
y
− J
x
) ψ + h
w1
+ (J
x
− J
y
)
˙
φ
˙
θ −
˙
h
w3
(5.31)
onde J
x
, J
y
e J
z
s˜ao os momentos principais de in´ercia.
Transformando as equa¸c˜oes (5.29), (5.30) e (5.31), de segunda ordem em equa¸c˜oes
de primeira ordem e fazendo a expans˜ao em s´erie de Taylor em (x = 0), ou seja, a
vertical e horizontal local (VLHL), obtemos
x
∗
= 0
h
∗
w
=
0 H
o
0
T
(5.32)
Onde o termo H
o
´e a quantidade de movimento angular na dire¸c˜ao do eixo de pitch
gerado pelo volante de in´ercia. Esse procedimento ´e utilizado para produzir r´ıgidez
girosc´opica durante a fase de manuten¸c˜ao da atitude.
Escrevendo na forma de estados as equa¸c˜oes linearizadas, temos
˙
x = Ax + Bu (5.33)
com
77
A =
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
4ω
2
o
(J
z
−J
y
)−ω
o
H
o
J
x
0 0 0 0
ω
o
(J
x
−J
y
+J
z
)−H
o
J
x
0
3ω
2
o
(J
z
−J
x
)
J
y
0 0 0 0
0 0
ω
2
o
(J
x
−J
y
)−ω
o
H
o
J
z
ω
o
(−J
x
+J
y
−J
z
)+H
o
J
z
0 0
(5.34)
e
B =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
−
1
J
x
0 0
0 −
1
J
y
0
0 0 −
1
J
z
(5.35)
O vetor de controle ´e dado por
u =
u
1
u
2
u
3
T
(5.36)
onde
u
1
=
˙
h
w1
− ω
o
h
w3
u
2
=
˙
h
w2
u
1
=
˙
h
w3
+ ω
o
h
w1
(5.37)
5.4.2 Lineariza¸c˜ao do Modelo d o Sat´elite Equipado com Bobinas
Definimos o vetor de vari´aveis de estado e o vetor de c ontrole como
78
x =
φ θ ψ
˙
φ
˙
θ
˙
ψ
T
(5.38)
e
u =
m
x
m
y
m
z
T
(5.39)
Usando a nota¸c˜ao B
b
=
B
b
x
B
b
y
B
b
z
, onde B
b
i
,(i = x, y, z) s˜ao as componentes do
vetor campo magn´etico local expresso no sistema do sat´elite. Substituindo a Equa¸c˜ao
(5.27) na Equa¸c˜ao (5.21) e incluindo o torque de gradiente de gravidade dado pela
Equa¸c˜ao (5.22), obtemos
J
x
¨
φ =
4ω
2
o
(J
z
− J
y
) − ω
o
(J
z
− J
y
)
˙
θ
φ + ω
o
(J
x
− J
y
+ J
z
)
˙
ψ + (J
y
− J
z
)
˙
θ
˙
ψ
+m
y
B
b
z
(t) − m
z
B
b
y
(t)
(5.40)
J
y
¨
θ = 3ω
2
o
(J
x
− J
z
) θ −
ω
2
o
(J
z
− J
x
) ψ + ω
o
(J
x
− J
z
)
˙
φ
φ + ω
o
(J
x
− J
z
) ψ
˙
ψ
+ (J
z
− J
x
)
˙
φ
˙
ψ + m
z
B
b
x
(t) − m
x
B
b
z
(t)
(5.41)
J
y
¨
ψ =
ω
2
o
(J
x
− J
y
) + ω
o
(J
y
− J
x
)
˙
θ
ψ −
ω
o
(J
x
− J
y
+ J
z
) + (J
y
− J
x
)
˙
θ
˙
φ
+m
x
B
b
y
(t) − m
y
B
b
x
(t)
(5.42)
Transformando as equa¸c˜oes (5.40), (5.41) e (5.42), de segunda ordem, em equa¸c˜oes
de primeira ordem e fazendo a expans˜ao em s´erie de Taylor em torno de (x = 0), ou
seja, a vertical e horizontal local (VLHL), obtemos
˙
x = Ax + B (t) u (5.43)
79
com
A =
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
4ω
2
o
(J
z
−J
y
)
J
x
0 0 0 0
ω
o
(J
x
−J
y
+J
z
)
J
x
0
3ω
2
o
(J
z
−J
x
)
J
y
0 0 0 0
0 0
ω
2
o
(J
x
−J
y
)
J
z
ω
o
(−J
x
+J
y
−J
z
)
J
z
0 0
(5.44)
e
B =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
B
b
z
(t)
J
x
−
B
b
y
(t)
J
x
−
B
b
z
(t)
J
y
0
B
b
x
(t)
J
y
B
b
y
(t)
J
z
−
B
b
y
(t)
J
z
0
(5.45)
O sistema linear dado pela Equa¸c˜ao (5.43) ´e var iante no tempo (LTV), devido
ao campo magn´etico terrestre n˜ao ser constante. O campo ´e aproximadamente
peri´odico. No sistema linearizado, o vetor campo magn´etico expresso no referen-
cial do sat´elite (B
b
) coincide com o vetor campo magn´etico expresso no referencial
orbital (B
o
). Portanto a matriz B pode ser escrita como
B =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
B
o
z
(t)
J
x
−
B
o
y
(t)
J
x
−
B
o
z
(t)
J
y
0
B
o
x
(t)
J
y
B
o
y
(t)
J
z
−
B
o
y
(t)
J
z
0
(5.46)
80
As equa¸c˜oes (5.43) e (5.33) representam o modelo matem´atico linearizado do sat´elite
equipado com rodas (de rea¸c˜ao e volante de in´ercia) e bobinas magn´eticas, que
constituem uma boa aproxima¸c˜ao do modelo para manobras de pequenos ˆangulos
(< 15
o
). Os projetos do controladores multivari´avel LQR e LQG foram feitos sobre o
modelo linear dado pelas equa¸c˜oes (5.43) e (5.33). Entretanto, a simula¸c˜ao digital ´e
feita sobre o modelo completo, n˜ao linear, equa¸c˜oes (5.4), (5.21) e (5.17). O sistema
de controle no modo normal de opera¸c˜ao (que ´e a fase de manuten¸c˜ao da atitude
nominal), constitue um problema de regulador, ou seja, a referˆencia ´e constante e
igual a zero (x = 0). O que corresponde ao sat´elite estar alinhado com a VLHL.
O modelo linear do sat´elite equipado com bobinas, a atitude ´e descrita em quaterni-
ons e ´e dado em Arantes e Fonseca (2004b) e Overby (2004). No modelo do sat´elite
parametrizado em quaternions o estado ´e dado por
x =
1
2
3
˙
1
˙
2
˙
3
T
(5.47)
Escrevendo o modelo na forma da Equa¸c˜ao (5.43), as matrizes A e B s˜ao dadas por
A =
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
4ω
2
o
(J
z
−J
y
)
J
x
0 0 0 0
ω
o
(J
x
−J
y
+J
z
)
J
x
0
3ω
2
o
(J
z
−J
x
)
J
y
0 0 0 0
0 0
ω
2
o
(J
x
−J
y
)
J
z
ω
o
(−J
x
+J
y
−J
z
)
J
z
0 0
(5.48)
e
81
B =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
B
o
z
(t)
2J
x
−
B
o
y
(t)
2J
x
−
B
o
z
(t)
2J
y
0
B
o
x
(t)
2J
y
B
o
y
(t)
2J
z
−
B
o
y
(t)
2J
z
0
(5.49)
Nota: As lineariza¸c˜oes das equa¸c˜oes da dinˆamica foram feitas com o aux´ılio do
manipulador simb´olico do programa MATHEMATICA e as equa¸c˜oes obtidas foram
aferidas com as encontradas na literatura.
A pr´oxima Se¸c˜ao discute algumas considera¸c˜oes sobre os modelos matem´aticos e
sistemas de referencias associados, e os atuadores escolhidos para compor os sistemas
de controle nesse trabalho.
5.5 Considera¸c˜oes Sobre os Atuadores, os Modelos Matem´aticos e Sistemas
de Referˆenica Adotados
As considera¸c˜oes sobre os atuadores s˜ao mostradas a seguir.
5.5.1 Modelo dos Atuadores
Existem v´arios tipos de atuadores que podem ser usados para o controle de atitude
de sat´elites artificiais. Os atuadores podem ser dividos em trˆes categorias: 1) propul-
sores; e 2) dispositivos de troca de quantidade de movimento angular, como rodas
e 3) atuadores magn´eticos.
´
E comum o emprego de mais de um tipo de atuador
em sat´elites, dependendo dos requisitos da miss˜ao, e das caracter´ısticas do projeto
de controle, Wertz (1978) e Larson e Wertz (1992) apresentam uma descri¸c˜ao do
emprego de atuadores, empregados em diferentes miss˜oes.
Roda de Rea¸c˜ao e Volante de In´ercia
As rodas de rea¸c˜ao e volantes de in´ercia podem ser modelados como motores DC,
essa modelagem pode ser encontrada em Bryson (1994), Wilson (2000) e Trivelato
82
(1988). Uma aproxima¸c˜ao para a fun¸c˜ao de transferˆencia desses atuadores ´e dada
em Souza (1981). Define-se (Larson e Wertz, 1992)
• Rodas de rea¸c˜ao: rodas com quantidade de movimento angular nomi-
nal nulo
• Volante de in´ercia: s˜ao rodas de rea¸c˜ao com quantidade de movimento
angular nominal diferente de zero
Sat´elites equipados com volantes de in´ercia s˜ao referidos como sat´elites com quanti-
dade de movimento angular embarcado (momentum bias system), e sat´elites equipa-
dos com rodas de rea¸c˜ao s˜ao referidos como sat´elites com quantidade de movimento
angular nulo (zero momentum system). Basicamente, o funcionamento consiste na
gera¸c˜ao de torques devido a acelera¸c˜ao de uma roda, ligada ao rotor de um motor
el´etrico, em rela¸c˜ao a seu estator que ´e fixado `a estrutura do sat´elite (Souza, 1987).
A dinˆamica da roda ´e fun¸c˜ao do seu atrito, sua velocidade, e voltagem aplicada pelo
motor. Considera-se nesse trabalho que exista um sistema de controle fino para a
opera¸c˜ao das rodas, que seja e ficiente, fornecendo o torque requisitado pelo sistema
de controle de atitude. Um estudo detalhado de um sistema de controle por referˆencia
para opera¸c˜ao de rodas pode ser encontrado em Trivelato (1988). Em Souza (1987)
´e apresentado o estudo e o projeto de um modelo experimental de uma roda de
rea¸c˜ao.
O uso de volantes de in´ercia, que apresentam quantidade de movimento angular
nominal diferente de zero, fornece r´ıgidez girosc´opica ao sat´elite. Para as rodas de
rea¸c˜ao espera-se que op erem em torno de velocidade (relativa) nula ao longo de um
per´ıodo orbital, adequada para absorver torques externos c´ıclicos. A presen¸ca de
torques seculares, pode levar `a velocidade angular m´axima da roda, exigindo a sua
dessatura¸c˜ao. Isso pode ser feito por bobinas magn´eticas e/ou propulsores.
Nesse trabalho considerou-se somente rodas de rea¸c˜ao combinadas com atuadores
magn´eticos para compor o sistema de controle. Propulsores n˜ao foram considerados.
83
Bobinas Magn´eticas
As bobinas magn´eticas podem ser modeladas como um circuito RL (resistˆencia e
indutˆancia) usando as leis de Kirchoff. As bobinas tem uma dinˆamica muito r´apida
comparada com a dinˆamica do sat´elite. Incluindo a dinˆamica das bobinas na si-
mula¸c˜ao, o sistema torna-se muito lento, pois envolve duas escalas de tempo distin-
tas, portanto, a dinˆamica das bobinas ´e ignorada na simula¸c˜ao. O erro indroduzido
devido a isso ´e negligenci´avel (Fauske, 2002). Logo, a dinˆamica total do sistema ´e
relativamente lenta.
Bobinas magn´eticas s˜ao comumente usadas em aplica¸c˜oes espaciais desde que os
requisitos de tempo n˜ao sejam muito exigentes. As manobras de grandes ˆangulos via
bobinas magn´eticas podem levar horas, dependendo das especifica¸c˜oes da bobina.
As bobinas s˜ao tamb´em muito usadas para a dessatura¸c˜ao de rodas de rea¸c˜ao. A
satura¸c˜ao das rodas ocorre quando elas atingem sua quantidade m´axima de quanti-
dade de movimento especificada. Quando isto ocorre n˜ao se consegue mais acelerar
as rodas e, portanto, n˜ao se consegue mais us´a-las para finalidade de torque objeti-
vando o controle da atitude. As bobinas podem tamb´em ser usadas para manobras de
pequenos ˆangulos. Uma aplica¸c˜ao muito comum para manobras de grandes ˆangulos
se refere as opera¸c˜oes do controle no modo detumble.
O estudo de dessatura¸c˜ao das rodas p ode ser encontrado nas referˆencias Bryson
(1994) e Bang e Choi (2003). Para manobras de pequenos e grandes ˆangulos, ou seja,
estabiliza¸c˜ao e aquisi¸c˜ao, respectivamente, as bobinas s˜ao, em geral, usadas para
pequenos sat´elites (< 500kg) (Wisniewski e Blanke, 1999,Wisniewski e Markley,
1999), como ´e o caso do sat´elite brasileiro EQUARS (
∼
=
150kg). O controle de
pequenos sat´elites usando somente bobinas magn´eticas s´o ´e poss´ıvel para ´orbitas
em que a varia¸c˜ao do campo magn´etico seja suficiente para garantir o controle do
sat´elite (Wisniewski, 1997, Musser e Ebert, 1989).
O uso das bobinas magn´eticas para opera¸c˜oes em ´orbita faz uso da intera¸c˜ao entre
o momento dipolo magn´etico gerado pelas bobinas e do campo magn´etico terres-
tre. Por isso, para efeitos de simula¸c˜oes para avalia¸c˜ao do desempenho dos torques
magn´eticos ´e muito importante um bom modelo do campo magn´etico terrestre.
Em termos de projeto ´e sempre poss´ıvel, dentro das limita¸c˜oes de espa¸co, massa e
energia, alterar o momento das bobinas magn´eticas, via parˆametros de projeto tais
84
como n´umero de espiras, corrente dispon´ıvel e ´area das bobinas. Entretanto n˜ao se
tem controle do campo geomagn´etico, que ´e parte do ambiente espacial. O modelo
do campo geomagn´etico e sua eficiˆencia para os sistemas de controle com bobinas
magn´eticas depende dos parˆametros orbitais. Portanto, o estudo do controle via bo-
binas exige conhecimento do modelo do campo bem como do modelo da ´orbita do
sat´elite em quest˜ao.
Esse Cap´ıtulo ´e conclu´ıdo com a apresenta¸c˜ao dos modelos de pior caso para os
principais torques ambientais e um modelo de torques de perturba¸c˜ao internos.
5.6 Torques Ambientais
Um sat´elite est´a sujeito a pequenos mas a persistentes torques externos devido a
perturba¸c˜oes ambientais. Sem resistˆencia a essas perturba¸c˜oes o sat´elite pode perder
a atitude nominal. Os principais torques ambientais s˜ao:
• torque devido ao gradiente de gravidade;
• torque aerodinˆamico;
• torque devido a press˜ao de radia¸c˜ao (solar e terrestre);
• torque devido a intera¸c˜ao do dipolo residual com o campo magn´etico.
Essa Se¸c˜ao discute brevemente esses torques ambientais, e apresenta o modelo de pior
caso, conveniente para dimensionaliza¸c˜ao dos atuadores (torque de controle), para
sat´elites em geral. Uma discuss˜ao pormenorizada ´e encontrada em Carrara (1982),
Wertz (1978), Hughes (1986) e Fauske (2002). Ne sse trabalho somente o torque
devido ao gradiente de gravidade ´e considerado. Esse torque ´e considerado, nesse
estudo, como o mais importante em termos de perturba¸c˜ao, desde que se considere
um bom balanceamento magn´etico. Os outros torques n˜ao s˜ao considerados.
5.6.1 Torque Devido ao Gradiente de Gravidade
Este torque depende da altitude do ve´ıculo, das suas propriedades de in´ercia e de sua
atitude em rela¸c˜ao `a vertical local. Uma express˜ao que leva em conta estes asp ectos e
85
que ´e apropriada para se calcular em primeira aproxima¸c˜ao a magnitude do torque
do gradiente de gravidade para o pior caso ´e dada em Larson e Wertz (1992) e
reproduzida aqui
τ
b
g
=
3ω
2
o
2
|J
x
− J
z
|sin 2θ (5.50)
onde θ ´e o ˆangulo que descreve o deslocamento angular na dire¸c˜ao da vertical local
ou nadir. O gradiente de gravidade tem a propriedade de alinhar o eixo de menor
momento de in´ercia com a vertical local, em uma configura¸c˜ao de estabilidade cha-
mada estabiliza¸c˜ao por gradiente de gravidade. Por esta raz˜ao sat´elites estabilizados
por gradiente de gravidade requerem o projeto estrutural de tal forma a permitir
que o eixo de apontamento para a Terra seja o eixo de menor momento de in´ercia.
Um exemplo interessante refere-se `a primeira vers˜ao do sat´elite brasileiro de co-
leta de dados, SCD-1, que deveria ser estabilizado por gradiente de gravidade. O
ve´ıculo deveria conter um mastro a ser destendido em ´orbita. O mastro teria um
comprimento de 10 m, com uma massa de 3 kg na ponta. Isto aumentaria de apro-
ximadamente dez vezes os momentos de in´ercia transversais do sat´elite enquanto
manteria o momento de in´ercia axial (eixo de apontamento para a Terra) aproxi-
madamente igual. Posteriormente a configura¸c˜ao de estabiliza¸c˜ao foi reconsiderada
e o projeto modificado para a estabiliza¸c˜ao por spin (dire¸c˜ao de ω coincidente com
eixo axial do ve´ıculo). Esta configura¸c˜ao de estabiliza¸c˜ao requer apenas que o eixo
de rota¸c˜ao do ve´ıculo seja o de maior momento de in´ercia. A mudan¸ca diminuiu
os riscos associados as opera¸c˜oes de abertura e captura do sat´elite (SCD-1) em
torno da vertical local. Normalmente os sat´elites estabilizados por gradiente de gra-
vidade requerem um mastro a ser aberto em ´orbita para adequar as propriedades
de in´ercia do sat´elite a estabiliza¸c˜ao por gradiente de gravidade. Portanto a compli-
cada dinˆamica na fase transit´oria da abertura dos mastros representam um aspecto
delicado para tal tipo de estabiliza¸c˜ao. Como existem restri¸c˜ao de espa¸co e volume
nos ve´ıculos lan¸cadores n˜ao h´a como lan¸car um sat´elite estabilizado por gradiente
de gravidade j´a com a configura¸c˜ao adequada em termos de propriedades de in´ercia.
A geometria em forma de l´apis (pencil-shaped) que caracteriza os sat´elites estabili-
zados por gradiente de gravidade ´e, de fato, inadequada para os ve´ıculos lan¸cadores.
Da´ı a necessidade de mastros com massa adicional na ponta para dar ao sat´elite a
forma e as propriedades de in´ercia apropriadas para a estabiliza¸c˜ao por gradiente de
86
gravidade.
Neste trabalho considerou-se apenas o torque do gradiente de gravidade como per-
turba¸c˜ao ambiental. A justificativa ´e que assumi-se um sat´elite de ´orbita baixa da
Terra, LEO (Low Earth Orbit). Assumiu-se tamb´em que o sat´elite objeto de si-
mula¸c˜oes, neste caso o EQUARS, tenha um balan¸co magn´etico adequado de tal
forma que a perturba¸c˜ao predominante seja associada ao gradiente de gravidade.
Entretanto outros torques podem perturbar o movimento do sat´elite em ´orbita da
Terra. A seguir ao feitas algumas considera¸c˜oes sobre outros torques importantes na
an´alise da dinˆamica e controle de atitude de sat´elites artificiais da Terra.
5.6.2 Torque Aerodinˆamico
Para sat´elites de ´orbitas baixas (< 900km) a densidade do ar ´e suficiente para
influenciar a dinˆamica de atitude do sat´elite. Al´em da altitude o arrasto atmosf´erico
tamb´em depende das dimens˜oes do sat´elite, da sua geometria e velocidade relativa
(Fauske, 2002). O torque aerodinˆamico pode ser escrito como
τ
a
=
1
2
ρV
2
C
d
A (u
v
× s
cp
) (5.51)
onde ρ ´e a densidade da atmosfera em (kg/m
3
), A em (m
2
) ´e a ´area perpendicular a
u
v
, u
v
´e o versor na dire¸c˜ao da velocidade, C
d
´e o coeficiente de arrasto aerodinˆamico,
V ´e a velocidade em (m/s) e s
cp
´e o vetor distˆancia do centro de massa ao centro
de press˜ao.
Uma express˜ao para o pior caso ´e dada por Fauske (2002)
τ
a
= F (c
pa
− c
g
) (5.52)
F = 0.5
ρC
d
AV
2
(5.53)
onde c
g
´e o centro de gravidade e c
pa
´e o centro de press˜ao.
87
5.6.3 Torque de Press˜ao de Radia¸c˜ao Solar
A radia¸c˜ao e part´ıculas do Sol afetam a dinˆamica do sat´elite. Para baixas ´orbitas o
efeito pode ser negligenciado se comparado com outros torques ambientais (Fauske,
2002). Uma express˜ao para o pior caso ´e dada por Larson e Wertz (1992)
τ
s
= F (c
ps
− c
g
) (5.54)
F =
F
s
c
A
s
(1 + q) cos i (5.55)
onde F
s
´e uma constante solar (1367W/m
2
), A
s
´e a ´area superficial irradiada em
(m
2
), c
g
´e o centro de gravidade (m), i ´e o ˆangulo de incidˆencia do Sol, c ´e a
velocidade da luz na v´acuo em (m/s), c
ps
´e o centro de press˜ao solar (m) e q ´e o
fator de reflectˆancia, que varia de 0 a 1.
5.6.4 Torque Devido ao Dipolo Residual
Os sistemas eletrˆonicos no sat´elite podem gerar um dipolo magn´etico residual. Esse
dipolo residual ir´a interagir com o campo magn´etico da Terra. O dipolo residual
tamb´em mascara as medidas de B
b
, feitas pelos magnetˆometros. O torque resultante
pode ser expresso como (Fauske, 2002)
τ
m
= D · B (5.56)
onde D ´e o dipolo magn´etico residual em (Am
2
) varia de 0.1 `a 20Am
2
, dependendo
do tamanho e desbalanceamento magn´etico do sat´elite, e B ´e o campo magn´etico
da Terra medido em Tesla. Para uma ´orbita polar B pode ser aproximado por
B =
2M
R
2
s
(5.57)
88
onde M = 7.95 · 10
15
T · m
3
´e o momento magn´etico da Terra e R
s
´e distˆancia do
centro de massa da Terra ao centro de massa do sat´elite.
Nesta Se¸c˜ao faz-se tamb´em algumas considera¸c˜oes sobre torques internos ao sistema.
Esses torques n˜ao alteram a quantidade de movimento angular do sistema, impli-
cando torque externo nulo. Entretanto, os efeitos dos torques internos podem causar
problemas no apontamento de antenas, pain´eis , telesc´opios (tipo Hubble). Por outro
lados efeitos internos dissipadores podem ser ´uteis, principalmente quando se tratam
dos amortecedores de nuta¸c˜ao, quase sempre requeridos quando se usa estabiliza¸c˜ao
por spin (SCD-1 e SCD-2).
5.7 Perturba¸c˜oes internas
Perturba¸c˜oes internas s˜ao torques internos exercidos sobre o corpo do sat´elite devido
a partes m´oveis. O efeito de torques internos ´e a dissipa¸c˜ao de energia cin´etica e a
redistribui¸c˜ao das componentes da quantidade de movimento angular no sistema do
sat´elite (Wertz, 1978), como acontece na presen¸ca de rodas. Entretanto, a presen¸ca
de perturba¸c˜oes internas n˜ao altera a quantidade de movimento angular referido ao
espa¸co inercial. As principais fontes de perturba¸c˜oes internas s˜ao:
• Movimento de pain´eis, rodas, mastros, antenas, etc;
• slosh devido ao movimento de l´ıquidos (combust´ıvel);
• Deforma¸c˜ao na estrutura (snap) devido a dilata¸c˜ao t´ermica;
• Choque de gases no corpo do sat´elite propelidos pelo sistema de propuls˜ao;
• etc.
Um exemplo bem conhecido onde a influˆencia de perturba¸c ˜oes internas, provocado
pelo movimento de antenas, ´e o do sat´elite explorer 1, lan¸cado em 1958. O efeito
de dissipa¸c˜ao de energia, resultou na mudan¸ca do eixo de rota¸c˜ao, eixo de menor
momento de in´ercia, para o eixo de maior momento de in´ercia (Kaplan, 1976).
Perturba¸c˜oes internas s˜ao dif´ıceis de serem modeladas e podem gerar jitter. Uma
aproxima¸c˜ao para esse e feito ´e fornecida por Wilson (2000)
89
T = a
0
+
k
a
k
cos (kω
o
t + β) + b
k
sin (kω
o
t + β) (5.58)
no qual ω
o
´e o velocidade orbital, a
o
, a
k
e b
k
s˜ao coeficientes constantes e β a fase. A
influˆencia desse efeito ´e conveniente para estudos de longa dura¸c˜ao, particularmente
para sistema de controle com quantidade de movimento angular embarcado (Wilson,
2000).
90
CAP
´
ITULO 6
PROJETO DE CONTROLE
Este Cap´ıtulo ´e dedicado a apresentar as estrat´egias de controle usadas para os
modos de opera¸c˜ao do sat´elite: 1) detumble, fase em que o sat´elite ´e injetado em
´orbita; 2) estabiliza¸c˜ao, fase em que o sat´elite adquire a vertical local e realiza a
manuten¸c˜ao da atitude nominal e 3) aquisi¸c˜ao, fase em que o sat´elite faz uma reo-
rienta¸c˜ao da atitude.
´
E apresentado o controlador Bdot, os controladores baseados
em energia e as metodologias do Regulador Linear Quadr´atico (LQR) e do Regu-
lador Quadr´atico Gaussiano (LQG) usados no modo de estabiliza¸c˜ao. O m´etodo
LQR ´e analisado primeiramente, formando a base para um melhor entendimento do
m´etodo LQG. Essas estrat´egias s˜ao discutidas pormenorizadamente nas referˆencias
Dorato e Cerone (1995), Maciejowski (1989), Kwakernaak e Sivan (1972), Moore e
Anderson (1990), Brown (1997), Kirk (1970), Fauske (2002) e Overby (2004).
6.1 Modo de Detumble
O objetivo do controlador usado no modo de detumble ´e dissipar a energia cin´etica
do sat´elite, reduzindo sua velocidade de rota¸c˜ao.
6.1.1 Controlador Bdot
O controlador usado nesse trabalho para o detumble ´e proposto por Wisniewski
(1996) e ´e conhecido como controlador Bdot (Silani e Lovera, 2003). O controlador
Bdot ou de Wisniewski (1996) usa a taxa de varia¸c˜ao das medidas feitas pelos
magnetˆometros embarcados no sat´elite. Sua viabilidade ´e confirmada pela aplica¸c˜ao
no sat´elite Canadense CanX-1 (Wells e Jeans, 2002).
A lei de controle ´e dada por
m
b
= −k
˙
B
b
− m
c
(6.1)
onde
91
m
c
= [0 0 m
c
] (6.2)
no qual k ´e uma constante escalar maior que zero e m
c
o momento dipolo nominal
da bobina disposta na dire¸c˜ao z.
A demostra¸c˜ao anal´ıtica de que a lei de controle Bdot dissipa a energia cin´etica de
rota¸c˜ao do sat´elite, ´e dada usando a teoria de Lyapunov. Essa demostra¸c˜ao ´e encon-
trada em Fauske (2002) e Wisniewski (1996). Nos dois procedimentos ou sistemas de
controle de atitude propostos, o detumbling ´e feito com o uso do controlador acima,
atrav´es dos atuadores magn´eticos.
6.2 Modo de Estabiliza¸c˜ao
Para modo de estabiliza¸c˜ao definido no Cap´ıtulo 1 as leis de controle s˜ao baseadas:
• na metodologia LQR e LQG;
• nos controladores baseados e m energia.
Essas estrat´egias s˜ao apresentadas a seguir.
6.2.1 M´etodo LQR
O m´etodo LQR ´e baseado na lineariza¸c˜ao de sistemas dinˆamicos, pois a metodologia
´e formulada para sistemas lineares. O problema de controle ´otimo consiste em mini-
mizar uma fun¸c˜ao custo quadr´atica e gerar uma matriz de ganhos para realimenta¸c˜ao
(Dorato e Cerone, 1995 e Maciejowski, 1989). A metodologia LQR ´e formulada para
os dois sistemas dinˆamicos envolvidos: 1) sat´elite equipado com rodas e 2) sat´elite
equipado com bobinas. As equa¸c˜oes linearizadas dos modelos, Equa¸c˜ao (5.33), inva-
riante no tempo e Equa¸c˜ao (5.43) variante no tempo s˜ao utilizadas para o projeto
de controle. A formula¸c˜ao do problema ´e feita no dom´ınio do tempo e ´e descrita a
seguir.
92
Seja um sistema linear descrito por
˙
x = A(t)x + B(t)u (6.3)
O problema de otimiza¸c˜ao consiste em encontrar uma lei de controle linear do tipo
u = −K
c
(t)x (6.4)
que minimize o ´ındice de desempenho quadr´atico
J
p
=
T
0
x
T
Q
c
x + u
T
R
c
u
(6.5)
onde Q
c
´e uma matriz positiva semi-definida (Q
c
≥ 0), R
c
positiva definida (R
c
>
0), x ´e o vetor de estado de dimens˜ao n × 1 e u ´e o vetor de controle de dimens˜ao
m × 1. As matrizes Q
c
e R
c
s˜ao as pondera¸c˜oes no vetor de estado e no vetor de
controle, respectivamente.
Nota: para a existˆencia e estabilidade da solu¸c˜ao do problema LQR, a condi¸c˜ao
necess´aria e suficiente ´e que o sistema seja completamente control´avel (Dorato e
Cerone, 1995 e Maciejowski, 1989). As an´alises de controlabilidade, mostradas em
Kwake rnaak e Sivan (1972), feitas para os sistema envolvidos. As equa¸c˜oes (5.33) e
(5.43), garantem a solu¸c˜ao do problema LQR.
A solu¸c˜ao do problema LQR, ou seja, o c´alculo do ganho de controle ´e obtido resol-
vendo a Equa¸c˜ao de Ricatti, dada por (Moore e Anderson, 1990)
˙
P
c
= −P
c
A(t) − A(t)
T
P
c
+ P
c
B(t)R
−1
c
B
T
P
c
− Q
c
(6.6)
Resolvendo a Equa¸c˜ao diferencial matricial de Ricatti obtemos o controlador variante
no tempo:
93
u = −R
−1
c
B(t)P
c
(t)x (6.7)
Da Equa¸c˜ao (6.4), temos
K
c
= R
−1
c
B(t)P
c
(t) (6.8)
A Figura (6.1) mostra a configura¸c˜ao do LQR para o sistema em malha fechada.
Figura 6.1- Configura¸c˜ao do controle LQR.
O controlador (6.7) exige um grande esfor¸co computacional, devido ao fato de que
a cada passo de integra¸c˜ao P
c
(t) deve ser computado, nos casos em que o sistema
for variante no temp o, Equa¸c˜ao (5.43).
M´etodo LQR Aplicado para o S at´elite Equipado com Rodas
Devido ao f ato do sistema (5.33) ser invariante no tempo e considerando o intervalo
de otimiza¸c˜ao infinito, ou seja, T da Equa¸c˜ao (6.5) tendendo ao infinito. A solu¸c˜ao
do problema LQR ´e dada para o estado estacion´ario. Esse problema ´e referido como
problema do LQR estacion´ario (steady-state LQR) (Dorato e Cerone, 1995). Nessas
condi¸c˜oes a Equa¸c˜ao diferencial matricial de Ricatti torna-se uma Equa¸c˜ao matricial
alg´ebrica, dada por:
0 = −P
c
A − A
T
P
c
+ P
c
BR
−1
c
B
T
P
c
− Q
c
(6.9)
94
e a lei de controle para o sistema dado pela Equa¸c˜ao (5.33) resulta em
u = −R
−1
c
BP
c
x (6.10)
onde as matrizes A e B s˜ao dadas em (5.34) e (5.35), respectivamente.
M´etodo LQR Aplicado para o S at´elite Equipado com Bobinas
Para a formula¸c˜ao da lei de controle usada no sistema (5.43) utilizando a metodolo-
gia LQR, pode ser feita a seguinte aproxima¸c˜ao: consideramos o campo magn´etico
apresentado na se¸c˜ao 5.2, peri´odico, e tomamos um valor m´edio de B
o
. Dessa forma
assumimos que o modelo (5.43) seja invariante no tempo. Com essas considera¸c˜oes
e tomando (T → ∞) o problema se reduz ao problema LQR estacion´ario. Temos
que a Equa¸c˜ao de Ricatti resulta
0 = −P
c
A − A
T
P
c
+ P
c
BR
−1
c
B
T
P
c
− Q
c
(6.11)
e a lei de controle para o sistema dado pela Equa¸c˜ao (5.33) resulta em
u = −R
−1
c
BP
c
x (6.12)
Overby (2004) e Silani e Lovera (2003) apresentam resultados satisfat´orios usando
o procedimento acima. Entretanto, nesse trabalho, a Equa¸c˜ao matricial alg´ebrica
de Ricatti ´e calculada para cada passo de integra¸c˜ao, considerando-se a matriz de
entrada B(t) variante no tempo, obtida a partir das componentes do campo geo-
magn´etico, dada pela Equa¸c˜ao (5.49). A solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao alg´ebrica matricial de
Ricatti resulta em um ganho variante no tempo para o controlador, dado por
u = −R
−1
c
B(t)P
c
(t)x (6.13)
95
ou
u = −K
c
(t)x (6.14)
onde K
c
(t) = R
−1
c
B(t)P(t).
As matrices de pondera¸c˜ao Q
c
e R
c
s˜ao definidas como:
R
c
= diag ([r
1
, r
2
, ··· , r
n
a
]) (6.15)
Q
c
= diag ([q
1
, q
2
, ··· , q
n
s
]) (6.16)
onde n
a
´e o n´umero de atuadores no sistema de controle e n
s
´e o n´umero de estados
de interesse. Para o EQUARS nos dois pro cedimentos/modelos temos n
a
= 3 e
n
s
= 6. O desempenho desejado do sistema ´e obtido pelo ajuste das pondera¸c˜oes.
Como sugerido por Overby (2004) e Kristiansen (2000) as pondera¸c˜oes s˜ao escolhidas
como:
q
i
=
1
(∆x
i
)
2
e r
i
=
1
(∆u
i
)
2
(6.17)
Os valores de ∆u
i
s˜ao baseados no m´aximo esfor¸co de controle ou valor m´aximo
de opera¸c˜ao dos atuadores, ou seja, m´aximo torque no caso de rodas e m´aximo
momento dipolo no caso de bobinas. Os valores de ∆x
i
s˜ao baseados na faixa/interva-
lo de opera¸c˜ao dos estados. Para os sistemas dinˆamicos avaliados as escolhas dos
parˆametros usados s˜ao baseadas nas especifica¸c˜oes do sat´elite EQUARS, temos
∆x
i
= 10 graus, ∆u
i
= 75 mNm (i = 1, 2, 3) e ∆ ˙x
i
= 1 graus/s (i = 4, 5, 6)
(6.18)
96
para o modelo do sat´elite equipado com rodas
e
∆x
i
= 10 graus, ∆u
i
= 1 Am
2
(i = 1, 2, 3) e ∆ ˙x
i
= 1 graus/s (i = 4, 5, 6)
(6.19)
para o modelo do sat´elite equipado com bobinas.
6.2.2 M´etodo LQG
Nessa se¸c˜ao o problema do LQG ´e apresentado. A metodologia ser´a implementada
ao sistema (5.43). A solu¸c˜ao ´e obtida no estado estacion´ario (T → ∞). As medidas
s˜ao corrompidas por ru´ıdos, modelados como distribui¸c˜oes aleat´orias gaussianas.
´
E
apresentado a estrutura do filtro de Kalman-Bucy e o princ´ıpio da separa¸c˜ao.
O problema LQG ´e apresentado como segue. Dado o sistema da Figura (6.2), onde
G ´e a fun¸c˜ao de transferˆencia da planta. O problema LQG pode ser colocado como
sendo o de calcular uma lei de controle que matenha o sistema est´avel e minimize um
crit´erio de erros quadr´aticos (Maciejowski, 1989). O sinal de referˆencia r na Figura
´e tomado como nulo (r = 0).
Figura 6.2- Sistema planta mais controlador.
97
Representado o sistema da Figura (6.2) na forma de vari´aveis de estado, temos
˙
x = Ax + Bu + Γw (6.20)
y = Cx + v (6.21)
onde x ´e o vetor de estado, u ´e o vetor de controle e y ´e o vetor de sa´ıdas corrom-
pidas por v; w e v s˜ao modelados como ru´ıdos brancos, caracterizando processos
estoc´asticos gaussianos com m´edia zero. Considera-se que w e v n˜ao s˜ao correlacio-
nadas no tempo e entre si, tendo as covariˆancias:
E
ww
T
= R
f
≥ 0 E
νν
T
= Q
f
> 0 E
wν
T
= 0 (6.22)
No problema LQG deseja-se minimizar a fun¸c˜ao custo:
J
p
=
T
0
x
T
Q
c
x + u
T
R
c
u
(6.23)
Onde as matrizes Q
c
e R
c
s˜ao as mesmas definidas em 6.2.1. Considera-se que o
vetor de sa´ıda seja os estados do sistema, nesse caso a matriz de sa´ıda ´e uma matriz
identidade, ou seja:
y = Cx (6.24)
onde C = I, I ´e a matriz indentidade de ordem 6.
O sistema 6.21 est´a sujeito a perturba¸c˜oes da planta e ru´ıdos na observa¸c˜ao da sa´ıda,
a filosofia do projeto do c ontrolador K
c
pode ser estruturada (Athans, 1971) em trˆes
passos:
98
• projeto/an´alise determin´ıstica do problema do controle;
• projeto/an´alise do problema de estima¸c˜ao estoc´astica do estado;
• projeto de um sistema de controle estoc´astico.
A Figura (6.3) mostra a configura¸c˜ao do sistema de controle utilizado, note que o
controle LQG ´e baseado em observador.
Figura 6.3- Estrutura b´asica do sistema de controle LQG.
A solu¸c˜ao do problema LQG ´e conseguida pelo princ´ıpio da separa¸c˜ao que pos-
sibilita a separa¸c˜ao do problema original em dois problemas:
Problema 1: Obter uma estimativa ´otima
ˆ
x do estado x de modo que
E
(
ˆ
x − x)
T
(
ˆ
x − x)
seja minimizado. Esse sub-problema ´e resolvido pelo uso de
um filtro de Kalman-Bucy, ignorando-se completamente o problema de controle.
Problema 2: Obter o controlador para o problema linear quadr´atico determin´ıstico
(LQR considerando a referˆe ncia zero (r = 0)), fazendo uso da estimativa
ˆ
x como se
fosse a medida exata do estado, ignorando-se completamente os asp ectos estoc´asticos
do problema. O problema do LQR ´e resolvido na se¸c˜ao 6.2.1.
Nota: para a existˆencia e estabilidade da solu¸c˜ao do problema de estima¸c˜ao e/ou
observa¸c˜ao, a condi¸c˜ao necess´aria e suficiente ´e que o sistema seja completamente
99
observ´avel (Dorato e Cerone, 1995 e Maciej owski, 1989). As an´alises de observabi-
lidade, mostradas em Kwakernaak e Sivan (1972), feitas para os sistema envolvido,
Equa¸c˜ao (5.33), garantem a solu¸c˜ao do problema 2.
A solu¸c˜ao do problema 1 consiste na determina¸c˜ao da matriz ganho K
f
. A estrutura
do filtro de Kalman-Bucy ´e mostrado na Figura (6.4).
Figura 6.4- Estrutura do filtro de Kalman-Bucy.
A matriz ganho de Kalman K
f
´e dada por (Athans, 1971 e Maciejowski, 1989)
K
f
= P
f
C
T
R
−1
f
(6.25)
Onde P
f
´e dada pela Equa¸c˜ao matricial alg´ebrica de Ricatti
0 = −P
f
A − A
T
P
f
+ P
f
C
T
R
−1
f
P
f
− Q
f
(6.26)
´
E poss´ıvel mostrar que os autovalores do sistema completo, filtro mais controlador,
s˜ao compostos pelo soma dos autovalores do filtro e do LQR (Kwakernaak e Sivan,
1972). As referˆencias Flora (), Dorato e Cerone (1995) e Maciejowski (1989) mos-
100
tram que os autovalores do filtro e do LQR est˜ao no semi-plano esquerdo (SPE)
do plano c omplexo, ou seja os dois projetos s˜ao assintoticamente est´aveis, ent˜ao o
sistema completo ´e, tamb´em assintoticamente est´avel. Na an´alise de robustez os dois
projetos quando considerados isoladamente apresentam boas caracter´ısticas de ro-
bustez. Entretanto, como mostrado por Doyle (1978), o sistema completo, formado
pelo filtro de Kalman-Bucy e pelo controlador determin´ıstico n˜ao mant´em as boas
caracter´ısticas de robustez apresentadas, isoladamente, pelo filtro e pelo controlador.
A recupera¸c˜ao das propriedades de robustez ´e conseguida pelo m´etodo LQG/LTR
(loop transfer recovery), esse m´etodo ´e discutido em Maciejowski (1989) e Kwaker-
naak e Sivan (1972).
6.2.3 Controladores Baseados em Energia
Nesta se¸c˜ao os controladores com realimenta¸c˜ao de velocidade angular e atitude
s˜ao investigados para o modo de estabiliza¸c˜ao. Ambos s˜ao baseados em energia e
usam os atuadores magn´eticos para o controle. Diz-se que esses controladores s˜ao
baseados em energia pois a partir do c´alculo da energia do sistema ´e escolhido uma
lei de controle que satisfaz os crit´erios de estabilidade, usando para isso a teoria de
Lyapunov. A fun¸c˜ao de Lyapunov V ´e escolhida como sendo a energia do sistema. As
discuss˜oes s˜ao baseadas nas referencias Wisniewski (1996) e Fauske (2002). A prova
da estabilidade dos controladores propostos e a obten¸c˜ao dos pontos de equil´ıbrio
est´aveis do sistema s˜ao obtidos a partir da teoria de Lyapunov, e n˜ao fazem parte da
proposta desse trabalho. Essas provas s˜ao fornecidas em Wisniewski (1996), Fauske
(2002) e Overby (2004).
Realimenta¸c˜ao de Velocidade Angular
A lei de controle com realimenta¸c˜ao de velocidade angular ´e dada por (Fauske, 2002)
m
b
= hω
b
ob
× B
b
(6.27)
onde h ´e uma constante escalar maior que zero (h > 0), que faz com que o sistema
sat´elite equipado com bobinas, seja assintoticamente est´avel sobre quatro pontos de
equil´ıbrio.
101
ω
b
ob
, c
b
3
, c
b
2
: (0, ±c
o
3
, ±c
o
2
)
(6.28)
onde c
o
i
i = 1, 2, 3 s˜ao matrizes coluna tendo como componentes os cosenos diretores
dos eixos do referencial do corpo em rela¸c˜ao aos eixos do referencial orbital. Os
quatro pontos de equil´ıbrio correspondem a orienta¸c˜ao dos eixos x, y e z na mesma
dire¸c˜ao dos eixos x
o
, y
o
e z
o
, respectivamente.
Realimenta¸c˜ao de Atitude
A lei de controle com realimenta¸c˜ao de atitude ´e dada por (Fauske, 2002)
m
b
= hω
b
ob
× B
b
− α × B
b
(6.29)
onde ´e a componente vetorial do quaternion, Equa¸c˜ao (4.7), e α ´e uma constante
escalar, essa lei de controle faz com que o sistema, sat´elite equipado com bobinas,
seja assintoticamente est´avel sobre a referˆencia ou a VLHL.
ω
b
ob
, c
b
3
, c
b
2
: (0, c
o
3
, c
o
2
)
(6.30)
6.3 Modo de Aquisi¸c˜ao
Para o estudo de aquisi¸c˜ao de uma atitude arbitr´aria, definido nesse trabalho como
modo de aquisi¸c˜ao ´e feita a implementa¸c˜ao da metodologia LQR rastreio (tracking)
e um controlador proporcional derivativo (PD). O objetivo ´e avaliar, atrav´es da for-
mula¸c˜ao desenvolvida nesse trabalho, a factibilidade do uso das rodas da TELDIX
especificadas para o sat´elite EQUARS, para manobras de atitude e tamb´em com-
parar e discutir as leis de controle formuladas. Nas simula¸c˜oes os controladores s˜ao
aplicados `a dinˆamica completa, n˜ao linear.
102
6.3.1 LQR Tracking
Na aquisi¸c˜ao de uma atitude arbitr´aria, onde a referˆencia difere de zero (x = 0),
o problema de formular uma lei de controle utilizando a metodologia LQR ´e co-
nhecido como LQR rastreio/tracking. No LQR traking a lei de controle envolve um
termo antecipativo (feedfoward) adicionado ao termo de realimenta¸c˜ao do estado
(state-feedback) (Dorato e Cerone, 1995 e Kirk, 1970), apresentado na se¸c˜ao 6.2.1. O
problema de LQR tracking consiste em minimizar um ´ındice de desempe nho definido
como
J
p
=
T
0
˜
x
T
Q
c
˜
x + u
T
R
c
u
(6.31)
onde
˜
x(t) = x(t) − x
d
(t) (6.32)
onde x
d
´e a trajet´oria de referˆencia ou o estado desejado, x ´e obtido atrav´es do
sistema dinˆamico
˙
x = A(t)x + B(t)u (6.33)
No problema assumimos que o estado desejado (x
d
) ´e conhecido e que o todos os
estados x s˜ao dispon´ıveis para realimenta¸c˜ao. As matrizes Q
c
e R
c
s˜ao as mesmas
definidas na se¸c˜ao 6.2.1. A lei de controle ´otima para o problema de tracking ´e dada
por (Kirk, 1970)
u = −K
c
(t)x + f
w
(t) (6.34)
onde K
c
(t) ´e a matriz de ganhos para realimenta¸c˜ao dos estados, obtido pela Equa¸c˜ao
(6.8), obtido atrav´es da Equa¸c˜ao de Ricatti, Equa¸c˜ao (6.6), definida na se¸c˜ao 6.2.1:
103
˙
P = −PA(t) − A(t)
T
P + PB(t)R
−1
c
P − Q
c
(6.35)
e o termo antecipativo (f
w
(t)) ´e denominado sinal de comando e ´e dado por
f
w
(t) = −R
c
B
T
s(t) (6.36)
onde s(t) ´e c´alculado a partir da Equa¸c˜ao diferencial linear (Kirk, 1970)
˙
s = −
A(t) − PB(t)R
−1
c
B(t)
−1
s(t) + Q
c
x
d
(6.37)
Note que o s inal de comando (f
w
(t)) depende dos parˆametros do sistema e do sinal
de referˆencia. A Figura (6.5) mostra a configura¸c˜ao do LQR tracking.
Figura 6.5- Configura¸c˜ao do controle LQR tracking.
6.3.2 Proporcional Derivativo
O controlador proporcional derivativo (PD), tamb´em ´e projetado a partir da
planta linearizada, Equa¸c˜ao (5.33). Nesse trabalho o projeto do controlador PD
´e baseado em Kaplan (1976). Uma discuss˜ao pormenorizada dos controladores in-
dustriais PD e PID ´e encontrada em Ogata (1998). P rimeiro ´e obtida uma lei de
controle para o movimento em torno do eixo de pitch, como se fosse um sistema
104
SISO, pois o movimento em pitch (θ) ´e desacoplado dos outros movimentos, roll e
yaw. Em seguida ´e projetada uma lei de controle para o sistema de equa¸c˜oes diferen-
ciais acopladas, que descrevem o movimento de roll e yaw, e constitue um sistema
MIMO com duas entradas e duas sa´ıdas.
Projeto em Pitch
A partir da Equa¸c˜ao (5.33), obtemos a Equa¸c˜ao linearizada do movimento em pitch
dada por
J
2
¨
θ + 3ω
2
o
(J
1
− J
3
) θ + u
2
= 0 (6.38)
onde u
2
representa o torque de controle da roda de rea¸c˜ao disposta na dire¸c˜ao
do eixo de pitch. Note que a Equa¸c˜ao (6.38) indica que o sistema n˜ao apresenta
amortecimento, isso pode ser obtido atrav´es do sinal de controle u
2
. Uma forma
satisfat´oria para a lei de controle, discutida em Kaplan (1976) ´e dada por
u
2
= K
p
2
T
d
2
˙
θ + θ − θ
r
(6.39)
onde o termo
˙
θ introduz amortecimento ao sistema, K
p
2
´e o ganho proporcional
(P) e T
d
2
a constante de tempo. O ganho derivativo ´e dado por K
d
2
= K
p
2
T
d
2
, θ
r
´e o ˆangulo de pitch de referˆencia, considerado constante. Com a lei de controle o
movimento em pitch torna-se o cl´assico sistema amortecido de segunda ordem.
J
2
¨
θ + K
p
2
T
d
2
˙
θ +
K
p
2
+ 3ω
2
o
(J
1
− J
3
)
θ − K
p
2
θ
r
= 0 (6.40)
Os ganhos do controlador PD (K
p
2
e K
d
2
), s˜ao obtidos nesse trabalho a partir da
metodologia LQR, ou seja, a partir da matriz K
c
tomando-se os ganhos da linha 2,
que correspondem ao sinal de controle u
2
. Uma outra alternativa para escolha dos
ganhos ´e ajustar/sintonizar os ganhos a partir do diagrama de lugar das ra´ızes, esse
procedimento ´e usado em Kaplan (1976).
105
Projeto em Roll e Yaw
A partir da Equa¸c˜ao (5.33), obtemos as equa¸c˜oes linearizadas do movimento em roll
e yaw dadas por
J
1
¨
φ + a
1
φ + a
2
˙
ψ + u
1
= 0 (6.41)
J
3
¨
ψ + c
1
ψ + c
2
˙
φ + u
3
= 0 (6.42)
onde os coeficientes a
1
, a
2
, c
1
e c
2
, s˜ao
a
1
= 4ω
2
o
(J
2
− J
3
) + ωH
o
(6.43)
a
2
= −ω
o
(J
1
− J
2
+ J
3
) + H
o
(6.44)
c
1
= ω
2
o
(J
2
− J
1
) + ωH
o
(6.45)
c
2
= ω
o
(J
1
− J
2
+ J
3
) − H
o
(6.46)
os sinais de controle u
1
e u
3
s˜ao os torques de controle gerados pelas rodas de rea¸c ˜ao
dispostas na dire¸c˜ao do eixo de roll e yaw, respectivamente. Devido ao acoplamento
dos movimentos as leis de controle s˜ao escolhidas como sendo
u
1
= K
p
1
T
d
1
˙
φ + K
p
1
(φ − φ
r
) + K
c
1
˙
ψ (6.47)
´e lei de controle para o movimento em roll. O termo
˙
φ introduz amortecimento
ao sistema, K
p
1
´e o ganho proporcional (P), T
d
1
a constante de tempo. O ganho
derivativo ´e dado por K
d
1
= K
p
1
T
d
1
, φ
r
´e o ˆangulo de roll de referˆencia, conside-
rado constante. O termo K
c
1
´e inserido devido ao acoplamento entre os movimentos
em roll e yaw. Com a lei de controle o movimento em roll torna-se um sistema
amortecido de segunda ordem.
106
J
1
¨
φ + a
1
φ + a
2
˙
ψ + K
p
1
T
d
1
˙
φ + K
p
1
(φ − φ
r
) + K
c
1
˙
ψ = 0 (6.48)
Anologamente, a lei de controle para o movimento em yaw ´e escolhida como
u
3
= K
p
3
T
d
3
˙
ψ + K
p
3
(ψ − ψ
r
) + K
c
3
˙
φ (6.49)
O termo
˙
ψ introduz amortecimento ao sistema, K
p
3
´e o ganho proporcional (P),
T
d
3
a constante de tempo, o ganho derivativo ´e dado por K
d
3
= K
p
3
T
d
3
, ψ
r
´e o
ˆangulo de yaw de referˆencia, considerado constante. O termo K
c
3
´e inserido devido
ao acoplamento entre os movimentos. Com a lei de controle o movimento em yaw
torna-se em um sistema amortecido de segunda ordem.
J
3
¨
ψ + c
1
ψ + c
2
˙
φ + K
p
3
T
d
3
˙
ψ + K
p
3
(ψ − ψ
r
) + K
c
3
˙
φ = 0 (6.50)
Reescrevendo a equa¸c˜oes (6.41) e (6.42) temos
J
1
¨
φ + K
p
1
T
d
1
˙
φ + (a
1
+ K
p
1
) φ − K
p
1
φ
r
+ (K
c
1
+ a
2
)
˙
ψ = 0 (6.51)
J
3
¨
ψ + K
p
3
T
d
3
˙
ψ + (c
1
+ K
p
3
) ψ − K
p
3
ψ
r
+ (K
c
3
+ c
2
)
˙
φ = 0 (6.52)
A Figura (6.6) mostra a configura¸c˜ao do controlador PD.
Os ganhos s˜ao obtidos a partir da metodogia LQR (matriz K
c
), assim como feito
para o projeto de controle em pitch. A partir da matriz K
c
toma-se os ganhos das
linhas 1 e 3, que correspondem ao sinal de controle para u
1
e u
3
, respectivamente.
Os valores de referˆencia (φ
r
, θ
r
, ψ
r
) correspondem a uma atitude nominal arbitr´aria.
A vantagem do uso do controlador PD ´e que a realimenta¸c˜ao ´e apenas dos ˆangulos
de atitude, n˜ao sendo necess´ario medir as taxas de varia¸c˜ao dos ˆangulos, entretanto,
o procedimento de deriva¸c˜ao dos ˆangulos gera erros.
107
Figura 6.6- Configura¸c˜ao do controlador P D.
108
CAP
´
ITULO 7
SIMULAC¸
˜
OES
Neste Cap´ıtulo, s˜ao feitas as simula¸c˜oes utilizando as estrat´egias de controle para os
modos de opera¸c˜ao:
• Detumble;
• Estabiliza¸c˜ao;
• Aquisi¸c˜ao.
As configura¸c˜oes propostas para o ACS utilizam como atuadores: rodas de rea¸c˜ao
combinadas com bobinas magn´eticas e apenas bobinas magn´eticas para o controle
autˆonomo do sat´elite, nos dois primeiros modos de opera¸c˜ao (detumble e estabi-
liza¸c˜ao). O controlador Bdot ´e utilizado para o descapotamento/detumbling do
sat´elite. O controlador proposto para estabiliza¸c˜ao e manuten¸c˜ao da atitude nominal
´e obtido usando a metodologia LQR e LQG. Outra alternativa apresentada para fase
de estabiliza¸c˜ao e manuten¸c˜ao da atitude nominal, usando bobinas magn´eticas, s˜ao
os controladores baseados em energia: realimenta¸c ˜ao da velocidade angular (angular
velocity feedback) e realimenta¸c˜ao da atitude ()(attitude feedback ). Nas simula¸c˜oes
s˜ao usados os parˆametros do sat´elite brasileiro EQUARS. Para a fase de aquisi¸c˜ao
´e analisada a exeq¨uibilidade da utiliza¸c˜ao das rodas de rea¸c˜ao onde ´e proposto o
controle PD e LQR rastreio/tracking.
Os parˆametros usados na simula¸c˜ao s˜ao mostrados na Tabela (7.1). Os parˆametros
e especifica¸c˜oes obtidos para o sat´elite EQUARS s˜ao baseados em Carvalho (2003)
e Heidelberg (2004). As trˆes rodas de rea¸c˜ao s˜ao iguais e as trˆes bobinas tamb´em
s˜ao iguais.
7.1 Modo de Detumble
O controlador usado para o modo de detumble foi o controlador Bdot. As condi¸c˜oes
iniciais e os parˆametros do controlador s˜ao listados a seguir.
109
Tabela 7.1- Parˆametros de simula¸c˜ao.
Parˆametros Valores
Tensor de in´ercia do sat´elite (J) J
x
= 13.31, J
y
= 14.22, J
z
= 11.20 kgm
2
Precis˜ao de apontamento 1
o
sobre cada eixo (φ, θ, ψ)
Bobinas magn´eticas:
M´aximo momento dipolo 2 Am
2
Se¸c˜ao da ´area 0.075 m
2
N´umero de espiras 100
Resistˆencia 20 Ω
Rodas de rea¸c˜ao:
Momento de in´ercia J
w
= 0.015 kgm
2
M´axima rota¸c˜ao por minuto 7500 rpm
M´axima quantidade de movimento angular 12 Nms
M´aximo torque 75 mNm
Parˆametros orbitais:
Altura (h) 750 km
Excentricidade (e)
∼
=
0
Ascen¸c˜ao do nodo ascendente (Ω) 30 graus
Inclina¸c˜ao (i) 20 graus
Velocidade orbital m´edia ω
o
= 0.001 rad/s
Per´ıodo orbital T
o
∼
=
1h40mim
Data da simula¸c˜ao 31 − 12 − 2004
110
Condi¸c˜oes iniciais ω
b
ib
= [10 10 10]
T
graus/s
Parˆametros de controlador k = 2 · 10
5
, m
c
= −0.1 Am
2
onde a lei de controle Bdot ´e dada pela Equa¸c˜ao (6.1)
m
b
= −k
˙
B
b
− m
c
(7.1)
A escolha da velocidade angular inicial foi baseada nas simula¸c˜oes feitas para o
modo de estabiliza¸c˜ao, Se¸c˜ao (6.2). Para essa condi¸c˜ao inicial de velocidade angular
(ω
b
ix
, ω
b
iy
, ω
b
iz
) (≈ 2 rpm) os atuadores especificados saturam rapidamente no modo
de estabiliza¸c˜ao e n˜ao s˜ao capazes de estabilizar ou controlar a atitude do ve´ıculo,
definindo uma situa¸c˜ao ou velocidade angular cr´ıtica. Os parˆametros do controlador
foram obtidos por tentativa. A Figura (7.1) mostra a redu¸c˜ao da velocidade angular
do sat´elite. Depois de quatro revolu¸c˜oes em volta da Terra, o ve´ıculo j´a est´a apto a
executar manobras de atitude, ou seja, entrar no modo de estabiliza¸c˜ao.
Figura 7.1- Velocidade angular do sat´elite ω
b
ib
.
A Figura (7.2) mostra o amortecimento da velocidade angular do sat´elitea partir
da quarta ´orbita. Reduzindo a velocidade de rota¸c˜ao do sat´elite para abaixo de (2
graus/s) .
111
Figura 7.2- velocidade angular ω
b
ib
.
A Figura (7.3) mostra o dipolo magn´etico das bobinas, o torque de controle gerado e
a potˆencia de cada bobina. Os valores do dipolo magn´etico atendem as especifica¸c˜oes
dos atuadores magn´eticos (m
x
, m
y
e m
z
< 2 Am
2
).
Figura 7.3- Dipolo magn´etico, torque magn´etico e potˆencia.
112
A Figura (7.4) mostra os mesmos resultados mas tomados a partir da quarta ´orbita.
Figura 7.4- Dipolo magn´etico, torque magn´etico e potˆencia.
A lei de controle apresentada (Bdot) ´e de simples implenta¸c˜ao e n˜ao requer in-
forma¸c˜oes da atitude do ve´ıculo. Apesar das simula¸c˜oes terem avaliado uma condi¸c˜ao
inicial cr´ıtica de velocidade angular, essa pode ser maior, dependendo de como o fo-
guete lan¸ca o sat´elite na sua ´orbita, ou seja, depende do ve´ıculo lancador. Ainda
assim o controlador Bdot pode ser utilizado, entretanto, exigindo um tempo maior
para a redu¸c˜ao da velocidade angular.
7.2 Modo de Estabiliza¸c˜ao
As estrat´egias de controle usada no modo de estabiliza¸c˜ao s˜ao baseadas nas metodo-
logias LQR e LQG, apresentadas no Cap´ıtulo 6. A metodologia LQR ´e implementada
nos dois modelos: sat´elite equipado com bobinas e sat´elite equipado com rodas. A
metodologia LQG ´e usada no modelo do sat´elite equipado com rodas. Os controla-
dores baseados em energia s˜ao usados no modelo do sat´elite equipado com bobinas.
113
7.2.1 M´etodo LQR
Nessa Se¸c˜ao o m´etodo LQR ´e usado na formula¸c˜ao da lei de controle do modelo do
sat´elite equipado com rodas. S˜ao investigados trˆes cen´arios:
• condi¸c˜oes iniciais cr´ıticas (ω
x
, ω
y
, ω
z
> 1 rpm) ;
• condi¸c˜oes iniciais quase cr´ıticas (ω
x
, ω
y
, ω
z
= 1 rpm);
• velocidade angular (ω
x
, ω
y
, ω
z
∼
=
0 rpm).
O objetivo ´e avaliar situa¸c˜oes nas quais o projeto LQR ainda ´e v´alido no controle de
atitude em trˆes eixos. A Tabela (7.2) mostra as condi¸c˜oes iniciais para os trˆes casos.
Tabela 7.2- Condi¸c˜oes iniciais da simula¸c˜ao para o modo de estabiliza¸c˜ao utili-
zando a metodologia LQR.
casos velocidade angular inicial atitude inicial
1 ω
b
ib
= [0 0 0]
T
graus/s (φ, θ, ψ) = (30, −20, 25) graus
2 ω
b
ib
= [6 6 6]
T
graus/s (φ, θ, ψ) = (30, −20, 25) graus
3 ω
b
ib
= [10 10 10]
T
graus/s (φ, θ, ψ) = (30, −20, 25) graus
Em seguida ser´a usada a formula¸c˜ao da lei de controle do modelo do sat´elite equipado
com bobinas. O objetivo e estudar/analisar os dois procedimentos para o modo de
estabiliza¸c˜ao
Sat´elite Equipado com Rodas
Caso 1: Velocidade Angular
Para o primeiro caso considera-se que a velocidade angular do sat´elite seja nula,
conseguida atrav´es do controlador Bdot. A partir dessa condi¸c˜ao inicial temos que
a lei de controle para o modo de estabiliza¸c˜ao ´e dada pela Equa¸c˜ao (6.7), reescrita
aqui
114
u = −K
c
x (7.2)
onde
K
c
= R
−1
c
BP
c
(7.3)
onde P
c
´e dado pela solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Ricatti, Equa¸c˜ao (6.6). Os valores
n´umericos das matrizes A e B, usadas no projeto de controle, s˜ao obtidos a partir
das equa¸c˜oes (5.34) e (5.35). As matrizes de pondera¸c˜ao R
c
e Q
c
selecionadas s˜ao
mostradas na Se¸c˜ao (6.2.1). Resolvendo a Equa¸c˜ao de Ricatti, obtemos o ganho
usado na lei de controle
K
c
=
−0.0286 0.0000 0.0004 −0.8476 0.0000 0.0000
0.0000 −0.0287 0.0000 0.000 −0.9180 0.0000
−0.0004 0.0000 −0.0286 0.000 0.0000 0.9510
(7.4)
´
E importante resaltar que em todas as simula¸c˜oes aplicou-se a lei de controle linear
para o modelo completo, n˜ao linear. A Figura (7.5), mostra os ˆangulos de atitude
em fun¸c˜ao do tempo, durante o modo de e stabiliza¸c˜ao. O resultado mostra um bom
desempenho do sistema de controle. Note que a partir de 100 segundos o sat´elite
j´a atinge a precis˜ao requerida (< 1
o
) para a atitude nominal especificada, (VLHL),
realizando em seguida a manuten¸c˜ao da atitude nominal.
A Figura (7.6) mostra o torque gerado pelas trˆes rodas de rea¸c˜ao. O primeiro gr´afico
mostra o torque (τ
b
w
) gerado pelas rodas dispostas nas trˆes dire¸c˜oes principais de
in´ercia. O segundo gr´afico mostra o torque de acoplamento devido ao movimento de
rota¸c˜ao do sat´elite, sendo da ordem de 100 vezes menor que o torque τ
b
w
gerado pelas
rodas. O torque efetivo de controle ´e a soma dos dois torques. Para efeito de projeto
da roda o efeito de acoplamento ´e considerado uma perturba¸c˜ao. O ´ultimo gr´afico
mostra a quantidade de movimento angular das rodas, note que a roda ao longo do
eixo de pitch (normal a ´orbita) tem uma quantidade de movimento angular nominal
diferente de zero, fornecendo r´ıgidez girosc´opica ao sistema durante a manuten¸c˜ao
115
Figura 7.5-
ˆ
Angulos de atitude roll, pitch e yaw em fun¸c˜ao do tempo para o caso
1.
da atitude nominal.
Figura 7.6- Torque τ
b
w
, torque de acoplamente e quantidade de movimento angular
das rodas para o caso 1.
A Figura (7.7) mostra as rota¸c˜oes por minuto de cada uma das rodas e as veloc idades
116
angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
, respectivamente. Como era de se esperar a velocidade relativa
entre os referenciais do sat´elite (BF) e orbital (OF) ´e nula.
Figura 7.7- Velocidades angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
e rota¸c˜oes por minuto das rodas de
rea¸c˜ao.
A simula¸c˜oes mostram que, para a condi¸c˜ao inicial de velocidade angular assumida,
Tabela (7.2), todos os requisitos de precis˜ao e opera¸c˜ao s˜ao atendidos, n˜ao havendo
satura¸c˜ao dos atuadores no modo de estabiliza¸c˜ao.
Caso 2: Velocidade Angular Quase Cr´ıtica
Para o segundo caso considera-se que a velocidade angular residual do sat´elite seja
de 1 rpm, que equivale a 6 graus/s. A partir dessa condi¸c˜ao inicial usa-se a lei de
controle dada pela Equa¸c˜ao (6.7), como no caso 1. O objetivo ´e avaliar se mesmo
sob uma condi¸c˜ao de velocidade angular n˜ao nula. Esta configura¸c˜ao poderia, por
exemplo, ser causada por imprecis˜ao de medidas ou falha no sistema de controle
para o modo de detumble. Os resultados mostram que ainda assim, o sistema de
controle ainda ´e capaz de estabilizar e controlar o movimento de atitude, a partir
dos atuadores (rodas) espec´ıficadas para o sat´elite EQUARS. Os valores de K
c
obtidos e as matrizes de pondera¸c˜ao R
c
e Q
c
selecionadas s˜ao as mesmas utilizadas
no caso 1.
117
A Figura (7.8), mostra os ˆangulos de atitude durante o modo de estabiliza¸c˜ao. O
resultado mostra um desempenho pobre do sistema de controle. Note que, apesar do
desempenho, a partir de 200 segundos o sat´elite atinge a precis˜ao requerida (< 1
o
)
para a atitude nominal especificada (VLHL), realizando em seguida manuten¸c˜ao da
atitude nominal sem maiores problemas.
Figura 7.8-
ˆ
Angulos de atitude roll, pitch e yaw em fun¸c˜ao do tempo para o caso
2.
A Figura (7.9) mostra o torque gerado pelas trˆes rodas de rea¸c˜ao, o primeiro gr´afico
mostra o torque (τ
b
w
) gerado pelas rodas, o gr´afico mostra, claramente, a satura¸c˜ao
dos atuadores, todas as rodas e m algum momento sofrem satura¸c˜ao o segundo gr´afico
mostra o torque de acoplamento devido ao movimento de rota¸c˜ao do sat´elite, sendo
bem maior a influˆencia que no caso 1. O ´ultimo gr´afico mostra a quantidade de mo-
vimento angular das rodas, note que apesar da satura¸c˜ao em torques (> 75mNm),
nenhuma das rodas apresentam satura¸c˜ao na quantidade de movimento angular
(< 12Nms).
A Figura (7.10) mostra as rota¸c˜oes por minuto de cada uma das rodas e as veloci-
dades angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
.
A simula¸c˜oes mostram que para a condi¸c˜ao inicial de velocidade angular assumida
(Tabela (7.2)) mesmo sob satura¸c˜ao das rodas, todos os requisitos de precis˜ao s˜ao
118
Figura 7.9- Torque τ
b
w
, torque de acoplamento e quantidade de movimento angular
das rodas para o caso 2.
Figura 7.10- Velocidades angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
e rota¸c˜oes por minuto das rodas para
o caso 2 .
atendidos pelo sistema de controle.
119
Caso 3: Velocidade Angular Cr´ıtica
Para o terceiro caso analisado usamos o mesmo projeto de controle dos casos 1 e 2,
e as condi¸c˜oes iniciais mostradas na Tabela (7.2). A Figura (7.11) mostra os ˆangulos
de atitude em rela¸c˜ao ao tempo. Nota-se que o sistema de controle n˜ao ´e capaz de
atender os requisitos no modo de estabiliza¸c˜ao, devido a uma velocidade angular
cr´ıtica de aproximamente 1.5 rota¸c˜oes por minuto (rpm). Portanto, para o projeto
do sistema de controle avaliado ´e necess´ario garantir que no modo de estabiliza¸c˜ao
a velocidade angular inicial seja igual ou menor que 1.5 rpm. Essa redu¸c˜ao ´e obtida
no modo de detumble como mostrado nas simula¸c˜oes, Se¸c˜ao (7.1).
Figura 7.11-
ˆ
Angulos de atitude roll, pitch e yaw e tempo para o caso 3.
A Figura (7.12) mostra os gr´aficos das velocidades angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
e as rota¸c˜oes
por minuto das rodas, nota-se que as rodas dispostas ao longo dos eixos de roll e yaw
saturam (> 7500rpm). A roda em roll atinge rapidamente sua velocidade m´axima
de opera¸c˜ao.
A Figura (7.13) mostra a satura¸c˜ao em torque e quantidade de movimento angular
das rodas.
Os resultados da simula¸c˜ao mostram que o sistema de controle n˜ao ´e capaz de
120
Figura 7.12- Velocidades angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
e rota¸c˜oes por minuto das rodas para
o caso 3.
Figura 7.13- Torque τ
b
w
, torque de acoplamente e quantidade de movimento an-
gular das rodas para o caso 3.
estabilizar e controlar a atitude. Isso se deve, fundamentalmente, a limita¸c˜ao dos
atuadores e a dinˆamica se tornar altamente n˜ao linear.
121
Sat´elite Equipado com Bobinas
A formula¸c˜ao da lei de controle utilizando a metodologia LQR para o modelo do
sat´elite equipado com bobinas foi discutida na Se¸c˜ao (6.2.1). O ganho de controle
K
c
´e variante no tempo, dada pela Equa¸c˜ao (6.13)
u = −K
c
(t)x (7.5)
A matriz solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Ricatti P
c
, Equa¸c˜ao (6.6), ´e calculada para
cada passo de integra¸c˜ao, sendo aproximadamente peri´odica devido ao campo geo-
magn´etico (B
o
) ser quase peri´odico. Os valores n´umericos das matrizes A, B, usadas
no projeto de controle, s˜ao obtidos a partir das equa¸c˜oes (5.48) e (5.49). A Figura
(7.14) mostra a varia¸c˜ao do elemento K
c
(1, 1) da matriz de ganho do controlador,
mostrando claramente que os ganhos s˜ao aproximadamente peri´odicos. Isso permite
reduzir o esfor¸co computacional introduzindo uma matriz de ganhos previamente
calculada para uma ´orbita nominal.
Figura 7.14- Ganho do controlador em fun¸c˜ao das ´orbitas K
c
(1, 1).
As matrizes de pondera¸c˜ao R
c
e Q
c
selecionadas s˜ao mostradas na Se¸c˜ao (6.2.1). As
condi¸c˜oes iniciais s˜ao listadas a seguir
122
Condi¸c˜oes iniciais:
Velocidade angular ω
b
ib
= [0 0 0]
T
graus/s
Atitude inicial (φ, θ, ψ) = (15, −10, 10)
Novamente utilizou-se nas simula¸c˜oes o modelo completo, n˜ao linear e no caso do
sat´elite equipado com bobinas o modelo tamb´em ´e variante no tempo. A Figura
(7.15) mostra os ˆangulos de atitude durante o modo de estabiliza¸c˜ao, o resultado
mostra um desempenho razo´avel do sistema de controle, a partir dos parˆametros
selecionados para o controlador. Note que ´e necess´ario duas revolu¸c˜oes do sat´elite
em torno da Terra (≈ 3h20min) para que esse atinga a precis˜ao requerida (< 1
o
)
realizando em seguida a manuten¸c˜ao da atitude nominal, ou seja, alinhado com a
vertical local (VLHL).
Figura 7.15-
ˆ
Angulos de atitude roll, pitch e yaw em fun¸c˜ao do n´umero de ´orbitas,
utilizando bobinas.
A Figura (7.16) mostra o dipolo magn´etico das bobinas, o torque de controle gerado,
e a potˆencia de cada bobina, os valores do dipolo magn´etico atendem as especi-
fica¸c˜oes dos atuadores magn´eticos (m
x
, m
y
e m
z
< 2 Am
2
), ficando bem abaixo do
dimensionado para o sistema de controle de atitude.
Apesar das bobinas apresentarem um tempo de resp osta bem maior, a p otˆencia
exigida pelo sistema de controle ´e muito menor do que aquela usada no sistema de
123
Figura 7.16- Dipolo magn´etico, torque de controle (τ
b
m
) e potˆencia das bobinas
em fun¸c˜ao do n´umero de ´orbitas, utilizando bobinas.
controle de atitude do sat´elite equipado com rodas; tornando-se uma op¸c˜ao atrativa,
devido a seu custo e baixo consumo de energia.
7.2.2 Controladores Baseados em Energia
Uma alternativa para o sistema de controle de atitude empregando bobinas
magn´eticas s˜ao os controladores n˜ao lineares propostos na Se¸c˜ao (6.2.3). Sua prin-
cipal vantagem ´e a de que as leis de controle s˜ao formuladas a partir do sistema
n˜ao linear, baseado nos cr´ıterios de estabilidade de Lyapunov. Isso garante a estabi-
liza¸c˜ao, n˜ao sendo v´alida somente em torno de um ponto de opera¸c˜ao, como no caso
de sistema lineares. S˜ao analisados duas leis de controle: realimenta¸c˜ao de velocidade
angular e realimenta¸c˜ao de atitude.
Realimenta¸c˜ao de Velocidade Angular
A lei de controle ´e dada pela Equa¸c˜ao (6.27)
124
m
b
= hω
b
ob
× B
b
(7.6)
As condi¸c˜oes iniciais e os parˆametros do controlador obtidos por tentativa s˜ao lista-
dos a seguir
Condi¸c˜oes iniciais:
Velocidade angular ω
b
ib
= [0 0 0]
T
graus/s
Atitude inicial (φ, θ, ψ) = (60, −30, 40)graus
Parˆametros do controlador h = 3.25 · 10
6
A Figura (7.17) mostra os ˆangulos de atitude no modo de estabiliza¸c˜ao usando a
realimenta¸c˜ao de velocidade angular. O resultado mostra um desempenho razo´avel
para os ˆangulos de roll e pitch. Para o eixo de yaw ´e obtido um pobre desempenho do
sistema de controle. Esse resultado ocorre devido a falta de informa¸c˜ao da atitude.
´
E necess´ario quatro revolu¸c˜oes do sat´elite em torno da Terra (≈ 6h40min) para que
esse atinga a precis˜ao requerida (< 1
o
) nos eixos de roll e pitch, sendo necess´ario
quase o dobro de revolu¸c˜oes para o eixo de yaw. Em seguida realiza-se a manuten¸c˜ao
da atitude nominal, ou seja, alinhado com a vertical local (VLHL).
Figura 7.17-
ˆ
Angulos de atitude em fun¸c˜ao do n´umero de ´orbitas.
A Figura (7.18) mostra o dipolo magn´etico das bobinas, o torque de controle gerado,
125
e a potˆencia de cada bobina, os valores do dipolo magn´etico atendem as especi-
fica¸c˜oes dos atuadores magn´eticos, ficando abaixo do dimensionado para o sistema
de controle de atitude. O terceiro gr´afico mostra que a potˆencia exigida pelas bobinas
´e bem baixa.
Figura 7.18- Dipolo magn´etico, torque de controle e potˆencia das b obinas em
fun¸c˜ao do n´umero de ´orbitas.
A Figura (7.19) mostra as velocidades angulares e o campo geomagn´etico expresso
no sistema do sat´elite.
´
E poss´ıvel mostrar (Fauske, 2002 e Overby, 2004) que a lei de controle apresentada
n˜ao garante, sobre outras condi¸c˜oes iniciais, a estabiliza¸c˜ao e o controle em trˆes eixos
de interesse, ou seja, alinhado com a VLHL. Isso se deve, ao sistema dinˆamico ter
mais de um ponto de equil´ıbrio, sendo necess´ario informa¸c˜oes da atitude para a es-
tabiliza¸c˜ao de interesse. A lei de controle apresentada ´e uma alternativa que deve ser
considerada, para os casos em que nenhuma informa¸c˜ao da atitude ´e dispon´ıvel para
o sistema de controle, devido a poss´ıveis falhas nos sensores de atitude. Entretanto,
n˜ao se pode garantir, em alguns casos, o controle em para a orienta¸c˜ao de interesse
(VLHL). Novamente o uso de b obinas apresenta um baixo consumo de energia.
126
Figura 7.19- Velocidades angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
e campo magn´etico terrestre local
B
b
.
Realimenta¸c˜ao de Atitude
A lei de controle ´e dada pela Equa¸c˜ao (6.29)
m
b
= hω
b
ob
× B
b
− α × B
b
(7.7)
As condi¸c˜oes iniciais e os parˆametros do controlador s˜ao listados a seguir
Condi¸c˜oes iniciais:
Velocidade angular ω
b
ib
= [0 0 0]
T
graus/s
Atitude inicial (φ, θ, ψ) = (60, −30, 40)graus
Parˆametros do controlador h = 3.25 · 10
6
α = −3000
A Figura (7.20) mostra os ˆangulos de atitude no modo de estabiliza¸c˜ao usando a
realimenta¸c˜ao de velocidade angular e atitude. O resultado mostra um desempenho
razo´avel para os ˆangulos de roll, pitch e yaw.
´
E necess´ario duas revolu¸c˜oes do sat´elite
em torno da Terra (≈ 3h20min) para que esse atinja a precis˜ao requerida (< 1
o
)
nos eixos de roll, pitch e yaw. O desempenho do sistema de controle ´e pr´oximo
127
ao obtido com a metodologia LQR, entretanto, a atitude inicial assumida ´e bem
maior. O resultado mostra que a informa¸c˜ao da atitude ´e importante para um bom
desempenho do sistema de controle, na estabiliza¸c˜ao da atitude em trˆes eixos. A
partir da segunda revolu¸c˜ao do sat´elite em torno da Terra ocorre a manuten¸c˜ao
da atitude nominal (VLHL), ou seja, o sistema se estabiliza em torno da atitude
nominal.
Figura 7.20-
ˆ
Angulos de atitude.
A Figura (7.21) mostra o dipolo magn´etico das bobinas, o torque de controle ge-
rado, e a potˆencia de cada bobina. Os valores do dipolo magn´etico atendem as
especifica¸c˜oes dos atuadores magn´eticos, Tabela (7.1), ficando abaixo do dimensio-
nado para o sistema de controle de atitude. O terceiro gr´afico mostra que a potˆencia
exigida pelas bobinas ´e bem baixa.
A Figura (7.22) mostra as velocidades angulares e o campo geomagn´etico expresso
no sistema do sat´elite.
A lei de controle apresentada ´e uma boa alternativa para o sistema de controle de
atitude em trˆes eixos, p ois apresenta um desempenho razo´avel. A principal vantagem
em rela¸c˜ao a metodologia LQR ´e que mesmo sob as n˜ao linearidades, a eficiˆencia do
sistema de controle de atitude na estabiliza¸c˜ao do sistema ´e garantida. Novamente o
128
Figura 7.21- Dipolo magn´etico, torque de controle e potˆencia das b obinas em
fun¸c˜ao do n´umero de ´orbitas.
Figura 7.22- Velocidades angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
e campo magn´etico local B
b
em
fun¸c˜ao do n´umero de ´orbitas.
uso de bobinas apresenta uma op¸c˜ao atrativa devido a baixa potˆe ncia, o que equivale
a um baixo consumo de energia.
129
7.2.3 M´etodo LQG
Como descrito na Se¸c˜ao (6.2.2), metodogia LQG ´e usada no modo de estabiliza¸c˜ao
para o sat´elite e quipado com rodas. As condi¸c˜oes iniciais, e os parˆametros do filtro
de Kalman s˜ao listados na Tabela (7.3)
Tabela 7.3- Parˆametros de simula¸c˜ao.
Condi¸c˜oes iniciais:
Velocidade angular ω
b
ib
[0 0 0]
T
graus/s
Atitude inicial (φ, θ, ψ) (30, −20, 25)graus
Parˆametros do filtro:
Matriz R
f
diag[(1, 1, 1, 0.1, 0.1, 0.1)]0.5
2
× (π/180
o
)
Matriz Q
f
diag[(1, 1, 1, 1, 1, 1)]15
2
× (π/180
o
)
A matriz R
f
´e obtida a partir do desvio padr˜ao de sensores solares (0.5
o
) e de
girˆometros (0.05graus/s) t´ıpicos. A matriz Q ´e obtida atrav´es de ajustes por ten-
tativa. A partir dos parˆametros do filtro obtemos o matriz de ganho de Kalman
K
f
=
30.0002 0.0000 0.0000 0.9091 0.0000 0.0000
0.0000 30.0002 0.0000 0.000 0.9109 0.0000
0.0000 0.0000 30.0002 0.000 0.0000 0.9509
0.0000 0.0000 0.0000 300.0000 0.0000 0.0001
0.0000 0.0091 0.0000 0.0000 300.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0091 0.001 0.0000 300.0000
(7.8)
Os parˆametros do controlador usado s˜ao os mesmos utilizados no m´etodo LQR.
A Figura (7.23) mostra os ˆangulos de atitude ou de Euler estimados com o filtro de
Kalman. O desempenho do controlador ´e muito pr´oximo ao obtido com o projeto
LQR (caso 1).
A Figura (7.24), mostra os ˆangulos de Euler simulados, esses s ˜ao corrompidas por
ru´ıdos de distribui¸c˜ao aleat´oria e uniforme.
130
Figura 7.23-
ˆ
Angulos de atitude estimados em fun¸c˜ao do tempo.
Figura 7.24-
ˆ
Angulos de atitude simulados.
A Figura (7.25) confronta os ˆangulos de atitude estimados e simulados, mostrando
claramente a suaviza¸c˜ao do sinal estimado, que ´e usado na realimenta¸c˜ao do sistema
de controle. A Figura (7.26) mostra os gr´aficos do erro (valor real (simulado) −
valor estimado). O primeiro gr´afico mostra o erro nos ˆangulos de atitude e o segundo
131
gr´afico mostra o erro nas taxas de varia¸c˜ao dos ˆangulos de atitude. Em ambos os
casos o erro ´e menor que a covariˆancia em
∼
=
70% dos casos, representada pela linha
vermelha.
Figura 7.25-
ˆ
Angulos de atitude simulados e estimados.
Figura 7.26- Erro dos ˆangulos de atitude e varia¸c˜ao da atitude.
A Figura (7.27) mostra o torque gerado pelas trˆes rodas de rea¸c˜ao, o torque de
132
acoplamento e a quantidade de movimento angular. O primeiro gr´afico mostra o
torque (τ
b
w
) gerado por cada roda, o segundo gr´afico mostra o torque de acoplamento
devido ao movimento de rota¸c˜ao do sat´elite. As magnitudes ou esfor¸co de controle
s˜ao pr´oximas `as obtida no projeto LQR (caso 1), como era de se esperar, pois o
controlador ´e o mesmo desenvolvido no caso 1. O ´ultimo gr´afico mostra a quantidade
de movimento angular das rodas. A roda ao longo do eixo de pitch (normal a ´orbita)
tem uma quantidade de movimento angular nominal diferente de zero, fornecendo
r´ıgidez girosc´opica ao sistema durante a manuten¸c˜ao da atitude.
Figura 7.27- Torque τ
b
w
, torque de acoplamente e quantidade de movimento an-
gular das rodas.
7.3 Modo de Aquisi¸c˜ao
Para o sistema de controle no modo de aquisi¸c˜ao s˜ao avaliados duas alternativas
para o projeto de controle: 1) controlador Proporcional Derivativo (PD); 2) LQR
rastreio/tracking. Esse projeto tem o objetivo de avaliar a factibilidade do emprego
das rodas especificadas para o sat´elite brasileiro EQUARS (ver Heidelberg, 2004),
na execus˜ao de manobras de grandes ˆangulos. No modo de aquisi¸c˜ao, assume-
se que a condi¸c˜ao inicial o sat´elite est´a alinhado com a vertical e horizontal local
(VLHL), ou seja, o sat´elite parte do modo de estabiliza¸c˜ao. As condi¸c˜oes iniciais e
a atitude de refˆerencia s˜ao mostradas na Tabela (7.4).
133
Tabela 7.4- Condi¸c˜oes iniciais da simula¸c˜ao para o modo de aquisi¸c˜ao utilizando
rodas.
Lei de controle velocidade angular inicial atitude inicial atitude de referˆencia
(φ, θ, ψ) (φ
r
, θ
r
, ψ
r
)
LQR tracking ω
b
ib
= [0 0 0]
T
graus/s (0, 0, 0) graus (−60, 70, 130) graus
PD ω
b
ib
= [0 0 0]
T
graus/s (0, 0, 0) graus (−60, 70, 130) graus
7.3.1 LQR Tracking
A lei de controle ao m´etodo LQR tracking no modo de aquisi¸c˜ao, apresentada na
Se¸c˜ao (6.3.1), ´e dada pela Equa¸c˜ao (6.34),
u = −K
c
(t)x + f
w
(t) (7.9)
onde a matriz K
c
´e obtida atrav´es da solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Ricatti. As matrizes de
pondera¸c˜ao Q
c
e R
c
s˜ao as mesma utilizadas no projeto LQR. O sinal de comando
´e dado pela Equa¸c˜ao (6.36).
f
w
(t) = −R
c
B
T
s(t) (7.10)
onde o vetor s(t) ´e fun¸c˜ao da referˆencia, atitude (φ
r
, θ
r
, ψ
r
) e velocidades angulares
(
˙
φ
r
,
˙
θ
r
,
˙
ψ
r
), calculada pe la Equa¸c˜ao (6.37). As matrizes obtidas no projeto LQR
tracking s˜ao:
K
c
=
−0.0286 0.0000 0.0004 −0.8476 0.0000 0.0000
0.0000 −0.0286 0.0000 0.0000 −0.9180 0.0000
0.0004 0.0000 −0.0286 0.0000 0.0000 −0.9510
(7.11)
e
134
s =
0.1015
−0.1285
−0.2472
1.3734
−1.8581
−3.7070
(7.12)
A Figura (7.28) mostra os ˆangulos de atitude durante o modo de aquisi¸c˜ao. O resul-
tado mostra um bom desempenho do sistema do controle, usando o m´etodo LQR
tracking. A partir de 200 segundos o sat´elite atingi a precis˜ao requerida (< 1
o
) para
a atitude especificada ou de referˆencia (φ
r
, θ
r
, ψ
r
) = (−60, 70, 130). O modelo do
sat´elite usado nas simula¸c˜oes ´e o modelo completo, n˜ao linear.
Figura 7.28-
ˆ
Angulos de atitude roll, pitch e yaw em fun¸c˜ao do tempo para a
aquisi¸c˜ao de atitude.
A Figura (7.29) mostra o torque gerado pelas trˆes rodas de rea¸c˜ao, o primeiro gr´afico
mostra o torque (τ
b
w
) gerado pelas rodas dispostas nas trˆes dire¸c˜oes principais de
in´ercia o segundo gr´afico mostra o torque de acoplamento devido ao movimento
de rota¸c˜ao do sat´elite. O torque efetivo de controle ´e a soma dos dois torques. O
resultado mostra que mesmo para manobras de grandes ˆangulos, n˜ao h´a satura¸c˜ao
da quantidade de movimento das rodas (h
w
< 12Nms), ficando abaixo do valor
135
de satura¸c˜ao. O primeiro grafico mostra que n˜ao ocorre satura¸c˜ao do esfor¸co ou
torque de controle (τ
b
w
< 75mNm). Esse resultado mostra a viabilidade da utiliza¸c˜ao
das rodas especificadas para o sat´elite EQUARS para a aquisi¸c˜ao de uma atitude
arbitr´aria.
Figura 7.29- Torque τ
b
w
, torque de acoplamente e quantidade de movimento an-
gular das rodas em fun¸c˜ao do tempo.
A Figura (7.30) mostra as rota¸c˜oes em rpm de cada uma das rodas e as velocidades
angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
. Na manuten¸c˜ao da atitude de referˆencia as velocidades das
rodas s˜ao nominalmente diferentes de zero.
Nas simula¸c˜oes, apesar do projeto do controlador LQR tracking se basear na planta
linear, o controle empregado sobre a planta n˜ao linear apresenta boas caracter´ısticas
de desempenho. O resultado se deve em parte as boas propriedades de robustez do
controle LQR. O controle LQR ´e uma alternativa atraente devido a otimalidade. A
escolha de pondera¸c˜oes para o estado e controle, permite ao projetista um projeto
de controle com base em informa¸c˜oes e especifica¸c˜oes dos atuadores e respectivas
faixas de opera¸c˜ao. Um menor esfor¸co para o ajuste dos ganhos Q
c
e R
c
tamb´em ´e
conseguido, atrav´es do algoritmo apresentado, Equa¸c˜ao (6.17).
136
Figura 7.30- Rota¸c˜oes por minuto das rodas de rea¸c˜ao e velocidades angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
.
7.3.2 Controle PD
Os ganhos para o controlador PD foram obtidos usando a metodologia LQ, Se¸c˜ao
(6.2.1). A lei de controle PD, obtida na Se¸c˜ao (6.3.2), equa¸c˜oes (6.47), (6.39) e (6.49)
podem ser reescritas como
u = K
p
φ − φ
r
θ − θ
r
ψ − ψ
r
+ K
d
˙
φ
˙
θ
˙
ψ
(7.13)
Onde as matrizes K
p
e K
d
s˜ao as matrizes com os ganhos proporcionais e derivativos,
respectivamente. Os ganhos do controlador PD obtidos s˜ao
K
p
=
−0.0286 0.0000 0.0000
0.0000 −0.0286 0.0000
0.0000 0.0000 −0.0286
(7.14)
137
e
K
d
=
−0.8476 0.0000 6.2714 · 10
−5
0.0000 −0.9180 0.0000
8.1064 · 10
−5
0.0000 −0.9510
(7.15)
A Figura (7.31) mostra os ˆangulos de atitude durante o modo de aquisi¸c˜ao. O
resultado mostra um bom desempenho do sistema do controle, a partir dos ga-
nhos K
p
e K
d
usados para o controlador PD. A partir de 200 segundos o sat´elite
j´a atinge a precis˜ao requerida (< 1
o
) para a atitude especificada ou de referˆencia
(φ
r
, θ
r
, ψ
r
) = (−60, 70, 130). Novamente foi usado o modelo completo (n˜ao linear),
nas simula¸c˜oes.
Figura 7.31-
ˆ
Angulos de Euler em fun¸c˜ao do tempo.
A Figura (7.32) mostra o torque gerado pelas trˆes rodas de rea¸c˜ao. O primeiro gr´afico
mostra o torque (τ
b
w
) gerado pelas rodas dispostas nas trˆes dire¸c˜oes principais de
in´ercia. O segundo gr´afico mostra o torque de acoplamento devido ao movimento
de rota¸c˜ao do sat´elite. O torque efetivo de controle ´e a soma dos dois torques. O
´ultimo gr´afico mostra a quantidade de movimento angular das rodas. Note que as
trˆes rodas ao longo dos eixos de roll, pitch e yaw apresentam uma quantidade de
138
movimento angular nominal diferente de zero, fornecendo r´ıgidez girosc´opica ao sis-
tema durante a manuten¸c˜ao da atitude de ref erˆencia. O resultado mostra que mesmo
para manobras de grandes ˆangulos n˜ao h´a satura¸c˜ao de quantidade de movimento
angular das rodas (h
w
< 12Nms), ficando abaixo desse valor. O primeiro grafico
mostra que n˜ao ocorre satura¸c˜ao do esfor¸co de controle (τ
b
w
< 75mNm), chegando a
um valor m´aximo no eixo de yaw de
∼
=
60mNm. Esse resultado mostra que as rodas
especificadas para o sat´elite EQUARS podem ser usadas para realizar manobras
de grandes ˆangulos, ou seja, ser usadas para aquisi¸c˜ao de uma atitude arbitr´aria.
Figura 7.32- Torque τ
b
w
, torque de acoplamente e quantidade de movimento an-
gular das rodas em fun¸c˜ao do tempo.
A Figura (7.33) mostra as rota¸c˜oes por minuto de cada uma das rodas e as veloci-
dades angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
. Na manuten¸c˜ao da atitude de referˆencia as velocidades
das rodas s˜ao nominalmente diferentes de zero.
O resultados obtidos mostram que ´e fact´ıvel o uso das rodas especificadas (Tabela
7.1), para o modo de aquisi¸c˜ao do sat´elite EQUARS. Uma das vantagens no uso
do controlador PD em rela¸c˜ao ao LQR ´e usar como realimenta¸c˜ao apenas a atitude.
Entretanto, tem como incoveniente a deriva¸c˜ao dos sinais. A metodologia LQ usada
para sele¸c˜ao/ajuste dos ganhos mostra-se muito pr´atica para o controle PD.
139
Figura 7.33- Rota¸c˜oes por minuto das rodas e velocidades angulares ω
b
ib
e ω
b
ob
em
fun¸c˜ao do tempo.
140
CAP
´
ITULO 8
CONCLUS
˜
AO
Nesse Cap´ıtulo apresentam-se as principais conclus˜oes relacionadas aos resultados
obtidos, encerrando com sujest˜oes para trabalhos futuros.
Nesse trabalhos apresentou-se um estudo de alternativas de sistemas de controle
(ACSs) para sat´elites artificiais estabilizados em trˆes e ixos. Os procedimentos ado-
tados foram: 1) sat´elite utilizando rodas e bobinas como atuadores e 2) sat´elite
utilizando apenas bobinas magn´eticas. Para cada um dos procedimentos analisou-se
a exeq¨uibilidade dos ACS(s) para os dois principais modos de opera¸c˜ao estudados:
1) detumble, 2) estabiliza¸c˜ao. As leis de controle empregadas para esses modos foram
LQR, LQG e controladores baseados em energia (Bdot, realimenta¸c˜ao de atitude e
velocidade angular). Os m´eto dos LQR e LQG resultam em projetos lineares e os re-
guladores baseados em energia resultam em projetos n˜ao lineares. Ape sar do projeto
linear os m´etodos LQR e LQG foram aplicados `a dinˆamica n˜ao linear, apresentando
bons resultados, no que se refere ao desempenho e robustez, tamb´em fornecendo
boas margens de ganho e de fase.
A Tabela (8.1) resume as diferentes configura¸c˜oes dos ACS(s) estudados e as dife-
rentes estrat´egias de controle.
Tabela 8.1- Alternativas para o ACS.
Modo ACS Lei de controle
Detumble bobinas Bdot
Rodas e bobinas Bdot
Estabiliza¸c˜ao Rodas e bobinas LQR
Rodas e bobinas LQG
Bobinas LQR
Bobinas Realimenta¸c˜ao de velocidade angular
Bobinas Realimenta¸c˜ao de atitude
Aquisi¸c˜ao Rodas e Bobinas PD
Rodas e Bobinas LQR tracking
A lei de controle Bdot utilizada no modo de detumble, apresentou um bom resul-
141
tado em termos de tempo, reduzindo a velocidade de rota¸c˜ao do sat´elite para um
n´ıvel t´ıpico admiss´ıvel (< 0.01rpm), colocando o sat´elite em condi¸c˜oes de inicializar
o modo de estabiliza¸c˜ao. A partir de uma velocidade cr´ıtica
∼
=
2rpm(definida nesse
trabalho como a velocidade em que o ACS no modo de estabiliza¸c˜ao n˜ao ´e apropri-
ado, devido a satura¸c˜ao dos atuadores) a estrat´egia de controle leva aproximada-
mente quatro ´orbitas para atingir uma faixa de velocidades angulares admiss´ıveis.
A estrat´egia de controle ´e fact´ıvel de ser empregada, tomando como base a consumo
de energia dos atuadores e valores de satura¸c˜ao. A an´alise de factibilidade do sis-
tema de controle foi feita com base na potˆencia especificada para sat´elites t´ıpicos do
EQUARS. A lei de controle ´e f´acil de ser implementada e n˜ao requer informa¸c˜oes
ou conhecimento da atitude do ve´ıculo, mas apenas dados dos magnetˆometros. Ape-
sar das simula¸c˜oes terem avaliado uma condi¸c˜ao inicial de velocidade angular cr´ıtica
de
∼
=
2rpm, ela pode ser maior dependendo do ve´ıculo lan¸cador. Entretanto, o con-
trolador Bdot ainda pode ser usado, se o requisito de tempo n˜ao for muito estreito,
pois exigiria um tempo maior para a redu¸c˜ao da velocidade angular.
Para o modo de e stabiliza¸c˜ao foram comparados o uso de bobinas e rodas. Na
utiliza¸c˜ao de rodas foram analisadas trˆes cen´arios: 1) com velocidade residual de
rota¸c˜ao nula (ω
b
ib
= [0, 0, 0]
T
graus/s), 2) com velocidade quase cr´ıtica (ω
b
ib
=
[6, 6, 6]
T
graus/s) e 3) com velocidade cr´ıtica (ω
b
ib
= [10, 10, 10]
T
graus/s). Os re-
sultados mostram que para o primeiro caso o sistema de controle consegue atender
os requisitos de opera¸c˜ao muito bem, n˜ao ocorrendo satura¸c˜ao na velocidade da ro-
das nem em esfor¸c o de controle ou torque. Para o segundo caso mesmo ocorrendo
satura¸c˜ao no torque o sistema de controle consegue estabilizar a atitude e reali-
zar a manuten¸c˜ao ou o alinhamento com a VLHL. Para o terceiro caso o sistema
de controle desestabiliza a atitude devido a satura¸c˜ao nos atuadores. Uma solu¸c˜ao
para esse problema seria ajustar os ganhos do controlador atrav´es das matrizes de
pondera¸c˜ao do estado e controle (Q
c
e R
c
), Diminuindo o esfor¸co de controle e au-
mentado o tempo para estabiliza¸c˜ao que nos casos 1 e 2 estudados ´e relativamente
r´apido (< 200s).
O m´etodo LQR desenvolvido para os dois modelos: sat´elite equipado com rodas e
sat´elite equipado com bobinas, atende as especifica¸c˜oes do sistema de controle em
ambos os casos. As principais caracter´ısticas apresentadas pelo m´etodo s˜ao: controle
´otimo, robustez, f´acil implementa¸c˜ao, pondera¸c˜oes no estado e controle permitindo
ao projetista um maior sentimento f´ısico do problema. A principal desvantagem do
142
m´etodo ´e o esfor¸co computacional para o caso de sistema variantes no tempo, como
´e o caso do sat´elite equipado com bobinas. Entretanto isso pode ser contornado
estocando-se um ganho previamente calculado que, devido a quase periodicidade
do campo geomagn´etico, o ganho ´e quase peri´odico, com mostrado nas simula¸c˜oes.
Outro importante resultado ´e que, devido a robustez do m´etodo ele se mostra efi-
ciente quando aplicado para o sistema n˜ao linear. No m´etodo LQR ´e necess´ario
conhecer todos os estados para a realimenta¸c˜ao, caso n˜ao seja poss´ıvel medir todos
os estados podemos usar um controlador baseado em observador como ´e o caso do
m´etodo LQG. Para o m´etodo LQG implentado para o sat´elite equipado com ro-
das, considerou-se um modelo com incertezas estoc´asticas na sa´ıda e na dinˆamica,
tornando o estudo mais realista. As medidas dos sensores foram corrompidas com
ru´ıdos de distribui¸c ˜ao gaussiana, a partir dos ajustes do filtro de Kalman obtemos
uma boa estima¸c˜ao do estado, como pode se ver nos resultados das simula¸c˜oes. Ape-
sar da perda de robustez que a inser¸c˜ao do filtro pode causar os resultados mostram
um desempenho pr´oximo do obtido pelo m´etodo LQR, o que evidencia que a sele¸c˜ao
das pondera¸c˜oes do controle sugeridas por Kristiansen (2000) ´e conveniente.
Os controladores baseados em energia usando realimenta¸c˜ao de atitude e velocidade
angular, para o modo de estabiliza¸c˜ao, mostram-se eficientes, apresentando como
vantagem a simplicidade na imple menta¸c˜ao. A lei de controle utilizando apenas
realimenta¸c˜ao de velocidade angular n˜ao garante, para outras condi¸c˜oes iniciais, a
estabiliza¸c˜ao e o controle em trˆes eixos de interesse, sendo necess´ario informa¸c˜oes da
atitude. Entretanto ainda ´e uma alternativa que deve ser considerada, para os casos
em que nenhuma informa¸c˜ao da atitude ´e dispon´ıvel para o sistema de controle. Os
resultados mostram que a lei de controle apresentada ´e uma boa alternativa para
o sistema de controle com realimenta¸c˜ao de velocidade angular e atitude, obtendo
um desempenho razo´avel para o controle em trˆes eixos. Em ambos os casos o uso
de bobinas apresenta uma op¸c˜ao atrativa devido ao baixo consumo de energia. Uma
vantagem em rela¸c˜ao a metodologia LQR ´e que mesmo sob manobras de grandes
ˆangulos, a eficiˆencia do sistema de controle de atitude na estabiliza¸c˜ao do sistema ´e
garantida.
Realizou-se o estudo de viabilidade do uso de rodas para manobras de grandes
ˆangulos durante o modo de aquisi¸c˜ao. Para esse modo de opera¸c˜ao as leis de con-
trole empregadas foram: 1) LQR tracking e 2) controle PD. Para o controle PD
foi utilizado a meto dologia LQ para o c´alculo dos ganhos do controlador. As si-
143
mula¸c˜oes mostram desempenhos muito pr´oximos dos dois controladores devido ao
uso da metodologia LQ para o controlador PD. O m´etodo LQR utiliza o estado como
realimenta¸c˜ao e o PD apenas informa¸c˜oes da atitude, entretanto tem a desvantagem
de necessitar derivar esses sinais. Os resultados mostram que ´e vi´avel e fact´ıvel o uso
das rodas especificadas para manobras de aquisi¸c˜ao. E mesmo para as manobras de
grandes ˆangulos os controladores que s˜ao baseados na planta linear apresentam um
bom desempenho.
Finalizando esse trabalho contribuiu para a ´area de dinˆamica e controle de atitude
no sentido de que:
• apresenta um estudo de referenciais e parˆametros mais usados para representar
a atitude;
• apresenta o modelo matem´atico da dinˆamica de atitude para ve´ıculos espaciais
contendo rodas de rea¸c˜ao e bobinas magn´eticas;
• discute e apresenta as t´ecnicas de controle ´otimo (LQR, LQR tracking ´e LQG)
bem como as leis de controle desenvolvindas pelo m´etodo de energia;
• desenvolve as leis de controle utilizando as t´ecnicas referidas no ´ıtem anterior
para aplica¸c˜ao de dois conceitos de sistemas de controle para sat´elites e stabi-
lizados em trˆes eixos. Um procedimento que utiliza uma combina¸c˜ao de rodas
de rea¸c˜ao e bobinas magn´eticas como atuadores e outro que utiliza somente
bobinas magn´eticas com atuadores;
• simula em ambiente MATLAB/SIMULINK o controle de sat´elites estabiliza-
dos em trˆes eixos, utilizando diferentes leis de controle para as concep¸c˜oes de
sistemas de controle;
• disponibiliza um pacote de sofware desenvolvido na plataforma MA-
TLAB/SIMULINK que poder´a ser utilizado no futuro para o estudo de
dinˆamica e controle de atitude.
8.1 Sugest˜oes para Tabalhos Futuros
Referente ao modelo seria prop˜oe-se al´em do modelo do torque de gradiente de
gravidade os modelos dos torques de press˜ao de radia¸c˜ao, arrasto atmosf´erico, dipolo
144
residual e o efeito jitter, associado a fontes de perturba¸c˜ao interna. Outra sugest˜ao
seria a implementa¸c˜ao do m´etodo LQG para o sat´elite equipado com bobinas e
a apresenta¸c˜ao rigorosa das provas de estabilidade para os controladores baseados
em energia usando a teoria de Lyapunov. Sugere-se tamb´em inserir um filtro para
estima¸c˜ao dos dados dos magnetˆometros para o projeto do ACS que utiliza bobinas.
Para uma simula¸c˜ao mais realista sugere-se:
• incluir o modelo da roda de rea¸c˜ao;
• incluir o modelo do magnetˆometro;
• testes de robustez atrav´es de Monte Carlo.
145
146
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155
156
AP
ˆ
ENDICE A
C
´
ALCULO DO GRADIENTE DE GRAVIDADE
No desenvolvimento do modelo do torque devido ao gradiente de gravidade
consideram-se as seguintes aproxima¸c˜oes, v´alidas para sat´elites em ´orbita da Terra
em sua maioria.
• somente o campo gravitacional da Terra ´e considerado;
• a Terra ´e considerada esf´erica com distribui¸c˜ao de massa uniforme;
• as dimens˜oes do sat´elite s˜ao pequenas em compara¸c˜ao com a distˆancia Terra
- sat´elite;
• o sat´elite ´e um corpo simples .
A partir das aproxima¸c˜oes 1, 2 e 3 o torque devido ao gradiente de gravidade pode
ser expresso por
τ
g
= −µ
sat
r × R
R
3
dm (A.1)
onde µ ´e a constante geo-gravitacional, R ´e o vetor distˆancia do centro da Terra
ao elemento de massa dm do sat´elite e r ´e o vetor distˆancia do centro de massa do
sat´elite ao elemento de massa dm. Tem-se que
R = |R
s
+ r| (A.2)
onde R
s
´e o vetor distˆancia do centro de massa do sat´elite ao centro de massa da
Terra.
Substituindo a Equa¸c˜ao (A.2) em (A.1), expandindo o termo |R
s
+ r|
−3
em s´erie
de Taylor e desprezando os termos de ordem igual e superior a dois, O
|r|
|R
s
|
2
,
admiss´ıvel com base na aproxima¸c˜ao 4 (
|r|
|R
s
|
<< 1) obtemos
157
τ
g
=
µ
R
5
s
sat
(R
s
· r) (r × R
s
) dm (A.3)
Manipulando a Equa¸c˜ao (A.3) como segue (Wie, 1998)
τ
g
= −3
µ
R
5
s
R
s
×
sat
r (r · R
s
) dm (A.4)
= −3
µ
R
5
s
R
s
×
sat
rrdm · R
s
(A.5)
Usando a nota¸c˜ao dyadic, pormenorizadas em Hughes (1986) e Wie (1998), o tensor
de in´ercia pode ser escrito como
J =
sat
r
2
ˆ
I − rr
(A.6)
onde
ˆ
I = ˆxˆx + ˆyˆy + ˆzˆz ´e o dyadic unit´ario, e ˆx, ˆy e ˆz s˜ao os vetores unit´arios/versores
que formam a base do sistema do sat´elite.
Substituindo (A.6) na Equa¸c˜ao (A.5), temos
τ
g
= −3
µ
R
5
s
R
s
×
sat
r
2
ˆ
I − J
· R
s
(A.7)
= −3
µ
R
5
s
R
s
×
sat
r
2
ˆ
Idm · R
s
+ 3
µ
R
5
s
R
s
× J · R
s
(A.8)
de (A.6) e da rela¸c˜ao
ˆ
I · R
s
= R
s
obtemos
τ
g
= 3
µ
R
5
s
R
s
× J · R
s
(A.9)
158
O torque devido ao gradiente de gravidade pode ser expresso por
τ
g
= 3
µ
R
3
s
R
s
R
s
× J ·
R
s
R
s
(A.10)
= 3
µ
R
3
s
ˆ
R
s
× J ·
ˆ
R
s
(A.11)
onde
ˆ
R
s
´e o vetor unit´ario na dire¸c˜ao R
s
. Escrevendo o torque de gradiente de
gravidade no referencial orbital ou VLHL, resulta
τ
o
g
= 3
µ
R
3
s
ˆ
z
o
× J ·
ˆ
z
o
(A.12)
onde
ˆ
z
o
´e o vetor int´ario na dire¸c˜ao nadir/vertical local.
A velocidade orbital m´edia ´e dada por
ω
o
=
µ
R
3
s
(A.13)
Substituindo na Equa¸c˜ao (A.12) obtemos
τ
o
g
= 3ω
2
o
ˆ
z
o
× J ·
ˆ
z
o
(A.14)
Usando a nota¸c˜ao do operador anti-sim´etrico para o produto vetorial, reescrevemos
a Equa¸c˜ao (A.14)
τ
o
g
= 3ω
2
o
S (
ˆ
z
o
) J ·
ˆ
z
o
(A.15)
Expressando o vetor unit´ario
ˆ
z
o
no referencial do sat´elite (ˆx, ˆy, ˆz) temos
159
ˆ
z
o
= c
b
3x
ˆ
x + c
b
3y
ˆ
y + c
b
3z
ˆ
z (A.16)
onde c
b
3i
, (i = x, y, z) s˜ao os cosenos diretores do vetor init´ario
ˆ
z
o
nas dire¸c˜oes ˆx, ˆy, ˆz.
Desenvolvendo a Equa¸c˜ao (A.15)
τ
b
g
= 3ω
2
o
0 −c
b
3z
c
b
3y
c
b
3z
0 −c
b
3x
−c
b
3y
c
b
3x
0
J
c
b
3x
c
b
3y
c
b
3z
(A.17)
Como os eixos do sistema de referˆencia do sat´elite coincide com os eixo principais
de in´ercia, temos que os produtos de in´ercia s˜ao zeros, temos que a Equa¸c˜ao (A.17)
resulta
τ
b
g
= 3ω
2
o
0 −c
b
3z
c
b
3y
c
b
3z
0 −c
b
3x
−c
b
3y
c
b
3x
0
c
b
3x
J
x
c
b
3y
J
y
c
b
3z
J
z
(A.18)
Desenvolvendo a Equa¸c˜ao (A.18) obtemos o modelo do torque de gradiente de gra-
vidade expresso no referencial do sat´elite
τ
b
g
= 3ω
2
o
(J
z
− J
y
) c
b
3y
c
b
3z
(J
x
− J
z
) c
b
3x
c
b
3z
(J
y
− J
x
) c
b
3x
c
b
3y
(A.19)
Podemos escrever o gradiente de gravidade em termos dos ˆangulos de Euler/de
atitude; roll (ψ), pitch (θ) e yaw (φ) como segue
Para a seq¨uˆencia de rota¸c˜ao 3 −2 −1 os cosenos diretores c
b
3
s˜ao dados por (Wertz,
1978)
160
c
b
3x
= −sin θ (A.20)
c
b
3y
= sin φ cos ψ (A.21)
c
b
3z
= cos φ cos ψ (A.22)
Substituindo na Equa¸c˜ao (A.19) obtemos o modelo do torque de gradiente de gra-
vidade em fun¸c˜ao dos ˆangulos de Euler
τ
b
g
= 3ω
2
o
(J
z
− J
y
) sin φ cos φ cos θ
2
(J
x
− J
z
) cos φ cos θ sin θ
(J
y
− J
x
) sin φ sin θ cos θ
(A.23)
Usando a Equa¸c˜ao (4.11) do Cap´ıtulo (4), Se¸c˜ao (4.2.2), podemos expressar o gra-
diente de gravidade em fun¸c˜ao dos parˆametos de Euler/quaternions como
τ
b
g
= 6ω
2
o
(J
z
− J
y
) (
1
η +
2
3
) (1 − 2
2
1
− 2
2
2
)
(J
x
− J
z
) (
1
3
−
2
η) (1 − 2
2
1
− 2
2
2
)
2 (J
y
− J
x
) (
1
3
−
2
η) (
1
η +
2
3
)
(A.24)
Lineariza¸c˜ao da Express˜ao do Torque de Gradiente de Gravidade
No modo de opera¸c˜ao onde s˜ao realizadas manobras de pequenos ˆangulos, ´e razo´avel
aproximar as equa¸c˜oes por equa¸c˜oes lineares, v´alidas em torno de um ponto de
opera¸c˜ao. Considerando θ, φ e ψ menores que at´e 15 graus, podemos fazer as se-
guintes aproxima¸c˜oes sin φ ≡ φ, sin θ ≡ θ, cos θ ≡ 1 e θφ ≡ 0. Fazendo essas
aproxima¸c˜oes, o modelo do torque de gradiente de gravidade, dado pela Equa¸c˜ao
(A.23) ´e aproximado por (Wie, 1998, Kaplan, 1976)
τ
b
g
= 3ω
2
o
(J
z
− J
y
) φ
(J
x
− J
z
) θ
0
(A.25)
161
Em termos dos parˆametros de Euler o modelo do torque de gradiente de gravidade
pode ser aproximado por
τ
b
g
= 3ω
2
o
(J
z
− J
y
) 2
1
(J
x
− J
z
) 2
2
0
(A.26)
162
AP
ˆ
ENDICE B
PROPAGAC¸
˜
AO DA
´
ORBITA E TRANSFORMAC¸
˜
OES
Esse apˆendice descreve de maneira detalhada a teoria necess´aria para o c´alculo da
propaga¸c˜ao da ´orbita Kepleriana (modelo de dois corpos). S˜ao descritas ainda as
transforma¸c˜oes entre os diferentes referˆenciais envolvidos e o c´alculo da longitude,
latitude e altura do ponto sub-s´atelite. Todas as transforma¸c˜oes e o c´alculo da ´orbita
s˜ao implementados em MATLAB.
Para a propaga¸c˜ao do campo magn´etico terrestre (modelo IGRF) ´e necess´ario in-
cluir:
• c´alculo/propaga¸c˜ao da ´orbita (Kepleriana);
• matriz de transforma¸c˜ao do sistema inercial para o sistema do sat´elite;
• obten¸c˜ao da latitude, longitude e a altura do ponto sub-sat´elite;
A partir desses c´alculos podemos obter as componentes do campo magn´etico terres-
tre, espressas no referencial do sat´elite.
Nota: O modelo IGRF, dispon´ıvel nas linguagens C e FORTRAN foi con-
vertido para ambiente MATLAB e SIMULINK, usando S-functions. Detalhes
desse procedimento ´e encotrado na documenta¸c˜ao da mathworks, dispon´ıvel em
www.mathworks.com.
B.1 C´alculo da
´
Orbita
B.1.1 Posicionamento de Sat´elites - Problema Direto
O problemo direto consiste em dados os elementos Keplerianos (a, e, i, ω, Ω, M) de-
terminar `a posi¸c˜ao do sat´elite em coordenadas cartesianas X = [X
i
Z
i
Z
i
]
T
(Kuga
e Kondapalli, 1995). Onde X ´e o vetor posi¸c˜ao no referencial inercial (ECI).
163
Figura B.1- Referenciais (inercial, da ´orbita) e os elementos Keplerianos (i, ω, Ω).
Pela Figura (B.1) pode-se notar que os elementos Keple rianos que representam os
ˆangulos de Euler s˜ao:
• Ω ´e a ascens˜ao do nodo ascendente 0
o
≤ Ω ≤ 360
o
;
• i ´e a inclina¸c˜ao da ´orbita em rela¸c˜ao ao equador −90
o
≤ i ≤ 90
o
;
• ω ´e o argumento do perigeu 0
o
≤ ω ≤ 360
o
.
Esses elementos Keplerianos definem a orienta¸c˜ao da ´orbita. Os elementos Kepleri-
anos (a, e) definem o tamanho e tipo (el´ıptica, circular, hiperb´olica) da ´orbita.
Sistema da ´orbita (OOF): O sistema da ´orbita definido (X
o
, Y
o
, Z
o
) ´e um sistema
de coordenadas com origem no centro de massa da Terra. O eixo X
o
aponta na
dire¸c˜ao do perigeu Π, o eixo Z
o
aponta na dire¸c˜ao normal ao plano da ´orbita. O eixo
Y
o
´e obtido pela regra da m˜ao direita.
B.1.2 Equa¸c˜ao de Kepler
As coordenadas do sat´elite em rela¸c˜ao ao sistema da ´orbita s˜ao dadas por
164
X
o
= a (cos u −e) (B.1)
Y
o
= a
√
1 − e
2
(sin u) (B.2)
Z
o
= 0 (B.3)
onde a ´e o semi-eixo maior, u ´e a anomalia excˆentrica e e ´e a excentricidade da
´orbita.
A Equa¸c˜ao de Kepler ´e dada por (Brown, 1998)
M = u − e sin u (B.4)
onde M ´e a anomalia m´edia dada por
M = n (t − t
o
) (B.5)
n ´e o movimento m´edio, que ´e dado por
n =
µ
a
3
(B.6)
e
µ = GM (B.7)
onde G ´e a constante gravitacional e M a massa do corpo central. Para a Terra
temos µ = 398600.4
km
3
s
2
165
B.1.3 Matriz de Rota¸c˜ao
Dados os elementos orbitais (i, Ω, ω) temos que a matriz de transforma¸c˜ao/rota¸c˜ao
que fornece as coordenadas do sistema inercial em fun¸c˜ao das coordenadas do sistema
da ´orbita ´e dada por (Kuga e Kondapalli, 1995).
R (i, Ω, ω) = R
Z
o
(−Ω) R
X
o
(−i) R
Z
o
(−ω) (B.8)
Sendo a rela¸c˜ao/transforma¸c˜ao dos sistemas expressa por
X
i
Y
i
Z
i
= R (i, Ω, ω)
X
o
Y
o
Z
o
(B.9)
Temos, para cada seq ¨uˆencia de rota¸c˜oes, as matrizes
R
Z
o
(−ω) =
cos ω −sin ω 0
sin ω cos ω 0
0 0 1
(B.10)
R
Z
o
(−Ω) =
cos Ω −sin Ω 0
sin Ω cos Ω 0
0 0 1
(B.11)
R
X
o
(−i) =
1 0 0
0 cos i −sin i
0 sin i cos i
(B.12)
Substituindo na Equa¸c˜ao (B.8) obtemos.
166
R (i, Ω, ω) =
cos Ω cos ω − sin Ω cos i sin ω −cos Ω sin ω − sin Ω cos i cos ω sin Ω sin i
sin Ω cos ω + cos Ω cos i sin ω −sin Ω sin ω + cos Ω cos i cos ω −cos Ω sin i
sin i sin ω sin i cos ω cos i
(B.13)
Portanto, de (B.1), (B.2), (B.3) e (B.13) em (B.9), obtemos as coordendas do sat´elite
no sistema inercial.
X
i
Y
i
Z
i
=
(cos Ω cos ω − sin Ω cos i sin ω) X
o
− (cos Ω sin ω − sin Ω cos i cos ω) Y
o
(sin Ω cos ω + cos Ω cos i sin ω) X
o
− (sin Ω sin ω + cos Ω cos i cos ω) Y
o
sin i sin ωX
o
+ sin i cos ωY
o
(B.14)
´
Orbita Circular
Para uma ´orbita circular temos que:
a = R
⊗
+ h (B.15)
e
∼
=
0 (B.16)
ω = 0 (B.17)
Note que a referˆencia para o in´ıcio do c´alculo da ´orbita circular ´e tomado sobre o
nodo. R
⊗
´e o raio m´edio da Terra e h a altitude do sat´elite. Da Equa¸c˜ao de Kepler
(B.4) resulta.
M = u = f (B.18)
logo de (B.5) temos
167
u = n (t − t
o
) (B.19)
onde n = ω
o
= velocidade orbital constante.
As equa¸c˜oes (B.1), (B.2) e (B.3) se reduzem a
X
o
= a cos u (B.20)
Y
o
= a sin u (B.21)
Z
o
= 0 (B.22)
e a matriz de transforma¸c˜ao (B.13) se reduz a
R (i, Ω, ω) =
cos Ω −sin Ω cos i sin Ω sin i
sin Ω cos Ω cos i −cos Ω sin i
0 sin i cos i
(B.23)
Substituindo na Equa¸c˜ao (B.9), obtemos as coordenadas dos sat´elite no sistema
inercial para o caso de uma ´orbita circular.
X
i
Y
i
Z
i
=
a cos Ω cos u − a sin Ω cos i sin u
a sin Ω cos u + a cos Ω cos i sin u
a sin i sin u
(B.24)
A Tabela (B.1) apresenta o programa em MATLAB para a propaga¸c˜ao da ´orbita
circular.
168
Tabela B.1- Programa MATLAB para o c´alculo da ´orbita circular.
function [X] = SimOrbitaECI(par)
% by Gilberto Arantes 2004 INPE
%
% [X] = SimOrbitaECI(par) Pro paga uma orbita circular
%
% Calculo da posicao do satelite no referencial ECI
%
% Input
% par = [ h i asc nodo u]
% h = altura do satelite (km)
% i = inclinacao da orbita (graus)
% asc nodo = ascensao do nodo ascendente (graus)
% u = anomalia excentrica (rad)
%
% Output
% X = vetor posicao no referencial inercial (km)
%
h = par(1);
i = par(2);
asc nodo = par(3);
u = par(4);
r = 6378 + h; % a = distancia do centro da Terra ao satelite em km
% Calculo da matriz de tranformacao do sistema orbital para o inercial (ref.: Kuga, 1995)
fator = pi/180;
a = 0; % Orbita circular: argumento do perigeu e zero
b = fator*i;
c = fator*asc nodo;
R = [(cos(c)*cos(a)-sin(c)*cos(b)*sin(a)) (-cos(c)*sin(a)-sin(c)*cos(b)*cos(a)) (sin(c)*sin(b))
(sin(c)*cos(a)+cos(c)*cos(b)*sin(a)) (-sin(c)*sin(a)+cos(c)*cos(b)*cos(a)) (-cos(c)*sin(b))
sin(b)*sin(a) sin(b)*cos(a) cos(b) ];
% Posicao no referencial orbi tal
xo = r*cos(u);
yo = r*sin(u);
zo = 0;
Xo=[xo;yo;zo]; % Coordenadas no Sistema da Orbita
% Posicao no referencial iner cial ECI
X = R*Xo; % X = X [X Y Z]’
% end
B.2 Matriz de Rota¸c˜ao do Sistema Inercial - Sistema do S´atelite
O c´alculo da matriz de transforma¸c˜ao do sistema inercial ECI (definido em 4.1.1)
para o sistema do sat´elite ´e mostrado nessa Se¸c˜ao. As etapas do procedimento para
o c´alculo da matriz de transforma¸c˜ao s˜ao:
• obtemos a matriz de transforma¸c˜ao do referencial inercial (ECI) para o pseudo
169
orbital (POF) (R
P OF
ECI
);
• obtemos a matriz de transforma¸c˜ao do referencial pseudo orbital (POF) para
o orbital (OF)(R
OF
P OF
);
• obtemos a matriz de transforma¸c˜ao do referencial orbital (OF) para o sistema
do sat´elite (BF) (R
BF
OF
).
Obtida cada uma das matrizes de rota¸c˜ao, temos que a matriz de transforma¸c˜ao do
sistema inercial para o sistema do sat´elite ser´a dada por
R
BF
ECI
= R
BF
OF
R
OF
P OF
R
P OF
ECI
(B.25)
B.2.1 Matriz R
P OF
ECI
Referencial pseudo orbital: O referencial pseudo orbital (POF) definido por
X
o
, Y
o
, Z
o
´e um sistema de coordenadas com origem no centro da Terra. O eixo
X
o
aponta na dire¸c˜ao do centro de massa do sat´elite, o eixo Z
o
aponta na dire¸c˜ao
normal a plano da ´orbita. O eixo Y
o
´e obtido pela regra da m˜ao direita (Ulrich,
2004). Note que o referencial pseudo orbital ´e um referencial girante, assim como o
referencial orbital, definido em 4.1.2. A Figura (B.2) ilustra o referido referencial.
Figura B.2- Referencial inercial (ECI) e pseudo orbital (POF).
170
A partir da Figura (B.2) podemos ver que a seq¨uˆencia de rota¸c˜oes que leva o sistema
inercial para o sistema pseudo orbital ´e dada por R
Z
i
(u) ← R
X
i
(i) ← R
Z
i
(Ω), ou
seja, primeira rota¸c˜ao de um ˆangulo Ω em torno do eixo Z
i
, segunda rota¸c˜ao de um
ˆangulo i em torno do eixo X
i
e terceira rota¸c˜ao de um ˆangulo u em torno do eixo
Z
i
, essa seq¨uenc ia ´e v´alida para uma ´orbita circular.
Temos para cada seq ¨uˆencia de rota¸c˜ao
R
Z
i
(u) =
cos u sin u 0
−sin u cos u 0
0 0 1
(B.26)
R
Z
i
(Ω) =
cos Ω sin Ω 0
−sin Ω cos Ω 0
0 0 1
(B.27)
R
X
i
(i) =
1 0 0
0 cos i sin i
0 −sin i cos i
(B.28)
Temos que a matriz de transforma¸c˜ao ´e dada por
R (i, Ω, u) = R
Z
i
(u) R
X
i
(i) R
Z
i
(Ω) (B.29)
onde
X
o
Y
o
Z
o
= R (i, Ω, u)
X
i
Y
i
Z
i
(B.30)
Substituindo a Equa¸c˜ao (B.26), (B.27) e (B.28) em (B.29), obtemos a matriz de
171
rota¸c˜ao que leva o sistema inercial (ECI) para o sistema pseudo orbital (POF)
R
P OF
ECI
=
cos u cos Ω − cos i sin u sin Ω cos Ω cos i sin u + cos u cos Ω sin i sin u
−cos Ω sin u − cos i cos u cos Ω cos Ω cos i cos u − sin u sin Ω sin i cos u
sin i sin Ω −cos Ω sin i cos i
(B.31)
B.2.2 Matriz R
OF
P OF
O referencial orbital foi definido em (4.1.2), a Figura (B.3) ilustra a orienta¸c˜ao do
referencial orbital em rela¸c˜ao ao refe rencial pseudo orbital, note que o referencial
pseudo orbital ´e representado no centro de massa do sat´elite.
Figura B.3- Orienta¸c˜ao do ref erencial orbital (OF) e do referencial pseudo orbital
(POF).
A seq¨uˆencia de rota¸c˜oes que descreve o referencial pseudo orbital em rela¸c˜ao ao
referencial orbital ´e R
X
o
(−90
o
) ← R
Z
o
(90
o
), onde
R
Z
o
(90
o
) =
0 1 0
−1 0 0
0 0 1
(B.32)
172
R
X
o
(−90
o
) =
1 0 0
0 0 −1
0 1 0
(B.33)
Temos que a matriz de transforma¸c˜ao ´e dada por
R
OF
P OF
= R
X
o
(−90
o
) R
Z
o
(90
o
) (B.34)
onde
x
o
y
o
z
o
= R
OF
P OF
X
o
Y
o
Z
o
(B.35)
Substituindo as equa¸c˜oes (B.32) e (B.33) em (B.34), obtemos a matriz de trans-
forma¸c˜ao do referencial pseudo orbital para o referencial orbital
R
OF
P OF
=
0 1 0
0 0 −1
−1 0 0
(B.36)
B.2.3 Matriz R
BF
OF
A matriz de rota¸c˜ao do sistema orbital para o sistema do corpo ´e obtida a partir
dos ˆangulos de atitude ou ˆangulos de Euler. A seq¨uˆencia de rota¸c˜oes escolhida foi
3 − 2 − 1, cuja matriz de atitude ´e dada por (Wertz, 1978)
173
R
BF
OF
=
cos θ cos ψ cos θ sin ψ −sin θ
−cos φ sin ψ + sin φ sin θ cos ψ cos ψ cos φ + sin ψ sin θ sin φ sin φ cos θ
sin ψ sin φ + cos φ sin θ cos ψ −sin φ cos ψ + cos φ sin θ sin ψ cos φ cos θ
(B.37)
Matriz R
BF
ECI
Substituindo as equa¸c˜oes (B.31), (B.36) e (B.37) na Equa¸c˜ao (B.25), e com o aux´ılio
do manipulador simb´olico do programa MATHEMATICA, obtemos finalmente a
matriz de transforma¸c˜ao do sitema inercial para o sistema do sat´elite.
R
BF
ECI
=
c
11
c
12
c
13
c
21
c
22
c
23
c
31
c
32
c
33
(B.38)
com
c
11
= −cθsisψsΩ − cθcψ (cΩsu − cicusΩ) − sθ (cisusΩ − cucΩ)
c
12
= cθsisψcΩ + cθcψ (−sΩsu − cicucΩ) − sθ (−cisucΩ − cusΩ)
c
13
= cucθsψsi + sisusθ − cicθsψ
(B.39)
que s˜ao os cosenos diretores de X
i
em rela¸c˜ao aos eixos do sat´elite (x, y, z)
c
21
= −sisΩ (cφ + sθsφsψ) + (cψsθsφ − cφsψ) (−cΩsu − cicusΩ) + cθsφ (−cucΩ + cisusΩ)
c
22
= sicΩ (cφ + sθsφsψ) + (cψsθsφ − cφsψ) (−sΩsu + cicucΩ) + cθsφ (−cusΩ − cisucΩ)
c
23
= −cθsisusφ + cusi (cψsθsφ − cφsψ) − ci (cφcψ + sθsφsψ)
(B.40)
que s˜ao os cosenos diretores de Y
i
em rela¸c˜ao aos eixos do sat´elite (x, y, z)
174
c
31
= −sisΩ (−cψsφ + cφsθsψ) + (cφcψsθ + sφsψ) (−cΩsu − cicusΩ) + cθcφ (cisusΩ − cucΩ)
c
22
= sicΩ (−cψsφ + cφsθsψ) + (cφcψsθ + sφsψ) (−sΩsu + cicucΩ) + cθcφ (−cisucΩ − cusΩ)
c
23
= −cθcφsisu − ci (cφsθsψ − cψsφ) + cusi (cφcψsθ + sφsψ)
(B.41)
que s˜ao os cosenos diretores de Z
i
em rela¸c˜ao aos eixos do sat´elite (x, y, z)
A matriz R
BF
ECI
´e usada para expressar o vetor campo magn´etico, fornecido em
coordenadas inerciais, no sistema do sat´elite.
As Tab elas (B.2),(B.3) e (B.4) apresentam o programa em MATLAB para o c´alculo
da matriz R
BF
ECI
.
B.3 C´alculo da Latitude, Longitude e Altura
Para o c´alculo da latitude, longitude e altura, primeiro expressamos a posi¸c˜ao do
sat´elite no referencial cartesiano geocˆentrico.
Referencial cartesiano terrestre ou geocˆentrico: (FG) (X
g
, Y
g
, Z
g
) ´e um sis-
tema de coordenadas com origem no centro de massa da Terra. O eixo X
o
aponta
na dire¸c˜ao do meridiano de Greenwich, o eixo Z
o
aponta na dire¸c˜ao normal ao plano
do equador. O eixo Y
o
´e obtido pela regra da m˜ao direita. A Figura (B.4) ilustra o
referencial inercial e o referenc ial cartesiano geocˆentrico (Kuga e Kondapalli, 1995).
Na Figura (B.4) θ
g
´e o tempo sideral de Greeenwich. O c´alculo do tempo sideral
de Greenwich ´e mostrado em Escobal (1965). A matriz de transforma¸c˜ao do sistema
inercial para o sistema cartesiano geocˆentrico ´e dada por (Pilchowski e Ferreira,
1981)
R
F G
ECI
(θ
g
) =
cos θ sin θ 0
−sin θ cos θ 0
0 0 1
(B.42)
175
Tabela B.2- Programa MATLAB para o c´alculo de c
1i
, (i = 1, 2, 3) da matriz R
BF
ECI
.
function [R1] = ECI2BF X(par)
% by Gilberto Arantes 2004 INPE
%
% [R1] = ECI2BF X(par) Cosenos diretores X.x X.y X.z
%
% Calculo dos cosenos diretor es
%
% Input
% par = [orb atitude]
%
% atitude [phi teta psi] = angulos de atitude (rad)
% orb = [u i asc nodo] = elementos orbitai s/Ke pler iano s (rad, graus, graus]
%
% Output
% R1 = [r11,r21,r31]
% r11 = cos(X.x)
% r21 = cos(X.y)
% r31 = cos(X.z)
orb(1) = par(1); %u
orb(2) = par(2); %i
orb(3) = par(3); %asc nodo
%
f = pi/180; %graus->radianos
at(1) = par(4); %rad phi
at(2) = par(5); %rad teta
at(3) = par(6); %rad psi
%
% Calculo dos cosenos diretor es
%
% cos(X.x)
r11 = -cos(at(2))*sin(orb(2)*f)*sin(at(3))*sin(orb(3)*f)+...
cos(at(2))*cos(at(3))*(-cos(orb(3)*f)*sin(orb(1))-cos(orb(2)*f)*cos(orb(1))*sin(orb(3)*f))-...
sin(at(2))*(-cos(orb(1))*cos(orb(3)*f)+cos(orb(2)*f)*sin(orb(1))*sin(orb(3)*f));
% cos(X.y)
r21 = cos(at(2))*sin(orb(2)*f)*sin(at(3))*cos(orb(3)*f)+...
cos(at(2))*cos(at(3))*(-sin(orb(3)*f)*sin(orb(1))+cos(orb(2)*f)*cos(orb(1))*cos(orb(3)*f)-...
sin(at(2))*(-cos(orb(1))*sin(orb(3)*f)-cos(orb(2)*f)*sin(orb(1))*cos(orb(3)*f));
% cos(X.z)
r31 = cos(at(2))*sin(orb(2)*f)*cos(at(3))*cos(orb(1))+...
sin(orb(2)*f)*sin(orb(1))*sin(at(2))-cos(orb(2)*f)*cos(at(2))*sin(at(3));
%
R1 = [r11 r21 r31];
%
% end
Obtido as coordenadas do sat´elite no referencial cartesiano geocˆentrico podemos
obter a latitude φ a longitude λ e a altura h do sat´elite, como segue.
176
Tabela B.3- Programa MATLAB para o c´alculo de c
2i
, (i = 1, 2, 3) da matriz R
BF
ECI
.
function [R2] = ECI2BF Y(par)
% by Gilberto Arantes 2004 INPE
%
% [R2] = ECI2BF Y(par) Cosenos diretores Y.x Y.y Y.z
%
% Calculo dos cosenos diretor es
%
% Input
% par = [orb atitude]
% atitude [phi teta psi] = angulos de atitude (rad)
% obr = [u i asc nodo] = elementos orbitais/Keplerianos (rad, graus, graus]
%
% Output
% R1 = [r12,r22,r32]
% r12 = cos(Y.x)
% r22 = cos(Y.y)
% r32 = cos(Y.z)
%
f = pi/180; %graus->radianos
u = par(1); % rad
i = par(2); % graus
nodo = par(3); % graus
%
phi = par(4); %rad phi
teta = par(5); %rad teta
psi = par(6); %rad psi
%
% Calculo dos cosenos diretor es
%
% cos(Y.x)
r12 = -sin(i*f)*sin(nodo*f)*(cos(phi)*cos(psi)+sin(teta)*sin(phi)*sin(psi)) ...
+(cos(psi)*sin(teta)*sin(phi)-cos(phi)*sin(psi))*(-cos(nodo*f)*sin(u)-cos(i*f)*cos(u)*sin(nodo*f))+...
cos(teta)*sin(phi)*(-cos(u)*cos(nodo*f)+cos(i*f)*sin(u)*sin(nodo*f));
% cos(Y.y)
r22 = cos(nodo*f)*sin(i*f)*(cos(phi)*cos(psi)+sin(teta)*sin(phi)*sin(psi))+ ...
cos(teta)*sin(phi)*(-cos(u)*sin(nodo*f)-cos(i*f)*sin(u)*cos(nodo*f))+...
(cos(psi)*sin(teta)*sin(phi)-cos(phi)*sin(psi))*(-sin(nodo*f)*sin(i*f)+...
cos(i*f)*cos(u)*cos(nodo*f));
% cos(Y.z)
r32 = -cos(teta)*sin(i*f)*sin(u)*sin(phi)+...
cos(u)*sin(i*f)*(cos(psi)*sin(teta)*sin(phi)-cos(phi)*sin(psi))-...
cos(i*f)*(cos(phi)*cos(psi)+sin(teta)*sin(phi)*sin(psi));
%
R2 = [r12 r22 r32];
%
% end
Observando a Figura (B.5), temos que
177
Tabela B.4- Programa MATLAB para o c´alculo de c
3i
, (i = 1, 2, 3) da matriz R
BF
ECI
.
function [R3] = ECI2BF Z(par)
% by Gilberto Arantes 2004 INPE
%
% [R3] = ECI2BF Z(par) Cosenos diretores Z.x Z.y Z.z
%
% Calculo dos cosenos diretor es
%
% Input
% par = [orb atitude]
% atitude [phi teta psi] = angulos de atitude (rad)
% obr = [u i asc nodo] = elementos orbitais/Keplerianos (rad, graus, graus]
%
% Output
% R3 = [r13,r23,r33]
% r13 = cos(Z.x)
% r23 = cos(Z.y)
% r33 = cos(Z.z)
%
f = pi/180; %graus->radianos
u = par(1); % rad
i = par(2); %rad
nodo = par(3); %rad
%
phi = par(4); %rad phi
teta = par(5); %rad teta
psi = par(6); %rad psi
%
% Calculo dos cosenos diretor es
%
% cos(Z.x)
r13 = -sin(i*f)*sin(nodo*f)*(-sin(phi)*cos(psi)+sin(teta)*cos(phi)*sin(psi) )+. ..
(cos(psi)*sin(teta)*cos(phi)+sin(phi)*sin(psi))*(-cos(nodo*f)*sin(u)-cos(i*f)*cos(u)*sin(nodo*f))+...
cos(teta)*cos(phi)*(-cos(u)*cos(nodo*f)+cos(i*f)*sin(u)*sin(nodo*f));
% cos(Z.y)
r23 = cos(nodo*f)*sin(i*f)*(-sin(phi)*cos(psi)+sin(teta)*cos(phi)*sin(psi)) +.. .
cos(teta)*cos(phi)*(-cos(u)*sin(nodo*f)-cos(i*f)*sin(u)*cos(nodo*f))+...
(cos(psi)*sin(teta)*cos(phi)+sin(phi)*sin(psi))*(-sin(nodo*f)*sin(u)+cos(i*f)*cos(u)*cos(nodo*f));
% cos(Z.z)
r33 = -cos(teta)*sin(i*f)*sin(u)*cos(phi)+...
cos(u)*sin(i*f)*(cos(psi)*sin(teta)*cos(phi)+sin(phi)*sin(psi))-...
cos(i*f)*(-sin(phi)*cos(psi)+sin(teta)*cos(phi)*sin(psi));
%
R3 = [r13 r23 r33];
%
% end
X
g
Y
g
Z
g
= (R
⊗
+ h)
cos φ cos λ
cos φ sin λ
sin φ
(B.43)
178
Figura B.4- Referencial inercial e cartesiano geocˆentrico.
Figura B.5- Longitude (λ), latitude (φ) e altura (h) do sat´elite.
Logo, a longitude ser´a dada por:
λ = arctan
Y
g
X
g
onde 0 ≤ λ ≤ 2π (B.44)
A latitude ser´a dada por:
φ = arcsin
Z
g
R
⊗
+ h
onde −
π
2
≤ φ ≤
π
2
(B.45)
179
e a altura dada por:
h =
X
2
g
+ Y
2
g
+ Z
2
g
− R
⊗
(B.46)
A Tabela (B.5) apresenta o programa em MATLAB para o c´alculo da longitude,
latitude do ponto sub-sat´elite e altura do sat´elite.
180
Tabela B.5- Programa MATLAB para o c´alculo da longitude, latitude do ponto sub-sat´elite e altura do sat´elite.
function [LLA] = ECI2LLA(par)
% by Gilberto Arantes 2004 INPE
%
% [LLA] = ECI2LAA(par) para uma orbita circular
%
% Calculo da latitude, longit ude do ponto sub-satelite e altitude do satelite
%
% Input
% par = [ teta g X ]
% teta g = Tempo sideral em graus
% X = [X Y Z] coordenadas no referencial inercial em km
%
% Output
% LLA = [latitude longitude altitude]
% latitude em rad
% Longitude em rad
% altitude em km
%
teta g = par(1);
X(1) = par(2)*1000; % transfo rman do para metros
X(2) = par(3)*1000;
X(3) = par(4)*1000;
%
Raio t = 6378000; % R = Raio da Terra em m
%
% Calculo da matriz de tranformacao do sistema inercial para o terresrte (ref.: Silva, 1981)
%
fator = pi/180;
a = teta g*fator;
%
R = [ cos(a) sin(a) 0
-sin(a) cos(a) 0
0 0 1];
% Posicao no referencial terr estr e
x g = R*transpose(X); % x g = [x g y g z g]’
% Calculo da altura
h = ((sqrt( x g(1)
^
2 + x g(2)
^
2 + x g(3)
^
2 ) - Raio t))/1000;
% Calculo da latitude
lat = asin(x g(3)/(Raio t+h)); % Sul (-) Norte (+)
% Calculo da longitude
long = atan2(x g(2),x g(1)); % Leste (+) Oeste (-)
% conversao da saida (0 <= long <= 360)
if sign(long) < 0;
long = 2*pi+long;
else sign(long) >= 0;
long = long;
end
%
LLA = [lat long h];
%
% end
181
182
AP
ˆ
ENDICE C
IMPLEMENTAC¸
˜
AO EM SIMULINK
Os modelos apresentados no Cap´ıtulo (5) e as leis de controle apresentadas no
Cap´ıtulo (6) foram implementedas em SIMULINK. O sistema foi dividido nos blocos
de: 1) dinˆamica que contˆem o modo completo do sat´elite equipado com bobinas
e rodas; 2) ambiente que contem o modelo do gradiente de gravidade e do campo
magn´etico; 3) ´orbita com o c´alculo da ´orbita (modelo kepleriano) do sat´elite e 3)
com os controladores avaliados para os trˆes modos de opera¸c˜ao. A implenta¸c˜ao ´e
feita para os trˆes modos de opera¸c˜ao:
• Detumble;
• Estabiliza¸c˜ao;
• aquisi¸c˜ao.
A Figura (C.1) mostra a implemta¸c˜ao em SIMLINK do modo de detumble. A
Figura (C.2) mostra o controlador usado para o detumbling.
Figura C.1- Implemeta¸c˜ao em SIMULINK do Modo de detumble.
183
Figura C.2- Lei de controle Bdot.
A Figura (C.3) mostra o modo de estabiliza¸c˜ao, para o procedimento de controle
caracterizado por bobinas, os diferentes controladores, LQR e baseados em energia,
que s˜ao implentados usando-se multiport switches, Figura (C.4), o que torna f´acil
selecionar a lei de controle para o modo de estabiliza¸c˜ao.
Figura C.3- Implementa¸c˜ao em SIMULINK do modo de estabiliza¸c˜ao: sat´elite
equipado com bobinas.
As Figuras (C.5) e (C.6) mostram o modo de estabiliza¸c˜ao, com comtrole via rodas
de rea¸c˜ao. A primeira utilizando o m´etodo LQR e a segunda utilizando o m´etodo
LQG. S˜ao mostrados o modelo linear e o completo (n˜ao linear) da dinˆamica, para
efeito de compara¸c˜ao dos resultados relativos `a aplica¸c˜ao das leis de controle para
ambos os modelos.
184
Figura C.4- Controle LQR e controladores baseados em energia.
Figura C.5- Modo de estabiliza¸c˜ao: sat´elite equipado com rodas, usando o m´etodo
LQR.
185
Figura C.6- Modo de estabiliza¸c˜ao: sat´elite equipado com rodas, usando o m´etodo
LQG.
A Figura (C.7) mostra o sistema de controle para o modo de aquisi¸c˜ao utilizando-
se um controlador PD. A Figura (C.8) mostra a lei de controle do m´etodo LQR
tracking implementada para a fase de aquisi¸c˜ao.
Figura C.7- Modo de aquisi¸c˜ao usando o controlador PD.
186
Figura C.8- Lei de controle LQR tracking.
Figura C.9- Lei de controle PD.
As Figuras (C.10) e (C.11) mostram a implementa¸c˜ao em SIMULINK dos modelos:
sat´elite equipado com bobinas e sat´elite equipado com rodas, respectivamente.
Figura C.10- Modelo dinˆamico do sat´elite equipado com bobinas.
A Figura (C.12) mostra o mode lo das rodas de rea¸c˜ao. Note que as satura¸c˜oes s˜ao
inclu´ıdas. A Figura (C.13) mostra o modelo das bobinas magn´eticas.
187
Figura C.11- Modelo dinˆamico do sat´elite equipado com rodas.
Figura C.12- Modelo das rodas.
A Figura (C.14) mostra o modelo do gradiente de gravidade e a Figura (C.15) mostra
o modelo do campo magn´etico.
As Figuras (C.16), (C.17) e C.18) mostram a implemeta¸c˜ao da propaga¸c˜ao da ´orbita,
do c´alculo da latitude e longitude do ponto sub-sat´elite e das transforma¸c˜oes dos
referenciais envolvidos, respectivamente. Note que a implemtenta¸c˜ao para ´orbita e as
transforma¸c˜oes utilizam os arquivos mostrados em MATLAB mostrados na Se¸c˜ao
(B).
188
Figura C.13- Modelo das bobinas.
Figura C.14- Modelo do torque de gradiente de gravidade.
189
Figura C.15- Modelo do campo magn´etico.
Figura C.16- Propaga¸c˜ao da ´orbita.
190
Figura C.17- C´alculo da latitude, longitude e altura.
Figura C.18- Matriz de transforma¸c˜ao entre os sistemas de referˆencia ECI e BF.
191
192
AP
ˆ
ENDICE D
PROGRAMAS EM MATLAB
A seguir s˜ao apresentados os arquivos de inicializa¸c˜ao com o projeto LQR para os
modelos do sat´elite equipado com rodas e bobinas e o projeto LQG.
D.1 Projeto LQR
As Tabelas (D.1) e (D.3) mostram os programas em MATLAB para o projeto LQR
dos dois modelos analisados.
D.2 Projeto LQG
A Tabela (D.4) mostra o programa em MATLAB para o projeto LQG, usado no
modelo do sat´elite equipado com rodas.
193
Tabela D.1- Programa MATLAB para o projeto LQR do modelo sa t´elite equipado com rodas.
% Por Gilberto Arantes @INPE 2003
%
% Gera as matrizes para o projeto do sistema de controle LQR e LQR rastreio
% Calculo da equacao matricia l de Ricatti e implementacao do LQR
% Matrizes A, B, C e D do sistema: sat´elite equipado com rodas
% d/dt(x) = Ax + Bu
% y = Cx +du
% Inicializacao clc
clear all
close all
%
deg2rad = pi/180;
rad2deg = 180/pi;
mi=3.986e14; % moviemnto medio em (m)
r=(6378+750)1000; % raio da o rbit a circular em (m)
n=sqrt(mir
^
3)); % movimento orbital medi o em (rad/s)
H o = n*0.01; % Momento angular nominal kgm2/s
% Momentos e produtos de inercia (14/10/2003 de Sebastia o)
% Ixx = 13.31 kg.m2 Ixy = 0.37 kg.m2
% Iyy = 14.22 kg.m2 Ixz = 0.39 kg.m2
% Izz = 11.2 kg.m2 Iyz = -0.22 kg.m2
I = [13.31 0.37 0.39
0.37 14.22 -0.22
0.39 -0.22 11.2];
% Momentos principais de iner cia
[v, e] = eig(I);
I1 = e(1,1); I2 = e(2,2); I3 = e(3,3);
% inercia da roda
Iw = 12/(45000*(pi/180)) ;
hs = 12; %saturacao
ws = 7500*6 ;%7500rpm*6graus/s
a2rpm = 1/6;
%---------------------------------------------------------------------
% Dinamica linearizada: satelite + rodas
%----------------------------------------------------------------------
% Matriz A
A =[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;...
(-4*n
^
2*(I2-I3)-n*H o)/I1 0 0 0 0 (n*(-I2+I3+I1)-H o)/I1;...
0 3*n
^
2*(-I1+I3)/I2 0 0 0 0;...
0 0 (n
^
2*(-I2+I1)-n*H o)/I3 (-n*(I1-I2+I3)+H o)/I3 0 0];
% Matriz B
B=[0 0 0
0 0 0
0 0 0
-1/I1 0 0
0 -1/I2 0
0 0 -1/I3];
%Matriz C e D
C=eye(6);
D=zeros(6,3);
194
Tabela D.2- Programa MATLAB para o projeto LQR do modelo sa t´elite equipado com rodas (cont.).
% Calculo da matriz de controlabilidade
co = ctrb(A,B);
posto co = rank(co);
posto A = rank(A);
%-------------------------------------------------
% Lei LQ Regulador
%------------------------------------------------
% Matrizes R e Q (ganho) ref. Overby, 2004
rc = 1/((5e-3)
^
(2)); % u = 5mNm
qc1 = 1/((10*(pi/180))
^
(2)); % x = 10 graus
qc2 = 1/((1*(pi/180))
^
(2)); % xdot = 1 grau/s
Rc = rc*diag([1,1,1]); %peso do controle
Qc = diag([qc1,qc1,qc1,qc2,qc2,qc2]); %peso do estado
% Matriz Kc: ganho do controlador
[Kc, S, E] = LQR(A, B, Qc, Rc);
%-----------------------------------------------
% Tracking r(t)
%-----------------------------------------------
% u = Kc*x + v
% v = -inv(R)B’s
% ds/dt = -[A’-K*B*inv(R)*B’]s + Q*r(t)
% r(t) vector reference
At = - [A’-S*B*inv(Rc)*B’];
Bt = Qc;
Ct = C;
Dt = zeros(size(A));
% simulink
run(’SimLQEquarsRodasSat’)
% end
195
Tabela D.3- Programa MATLAB para o projeto LQR do modelo sa t´elite equipado com bobinas.
% Por Gilberto Arantes INPE 2004
%
% sintaxe [K] = LQcontrolNcub e(B)
% Output
% K = control matrix gain
% Input
% B = magnetic field
% ------------------------------
% LQ Initialization
%-------------------------------
function [K] = LQcontrolNcube(B)
% Initial Values
Ix = 18.941;
Iy = 21.726;
Iz = 16.983;
n = 1.083e-3;
kx = (Iy - Iz)/Ix;
ky = (Ix - Iz)/Iy;
kz = (Iy - Ix)/Iz;
% The Goeomagnetic field
Bx o = B(1);
By o = B(2);
Bz o = B(3);
A = [ 0 0 0 1 0 0;
0 0 0 0 1 0;
0 0 0 0 0 1;
-4*kx*n
^
2 0 0 0 0 (1-kx)*n;
0 -3*ky*n
^
2 0 0 0 0;
0 0 -kz*n
^
2 -(1-kz)*n
^
2 0 0];
% The input matrix for the linearied system
B = [zeros(3,3);
0 Bz o/(2*Ix) -By o/(2*Ix);
-Bz o/(2*Iy) 0 Bx o/(2*Iy);
By o/(2*Iz) -Bx o/(2*Iz) 0];
% LQ weighting matrices
Q = diag([1 1 1 0 0 0])*inv(10*pi/180)
^
2;
P = diag([1 1 1])*inv(.1)
^
2;
K = -lqr(A,B,Q,P);
% Coil Parameters
Nx = 100; Ny = 100; Nz = 100; % nunber of coil windings
Ax = 0.075; Ay = 0.075; Az = 0.075; % coil area [m
^
2]
Rx = 20; Ry = 20; Rz = 20; % Coil resistance [Ohm]
M = Nx*Ax;
%end
196
Tabela D.4- Programa MATLAB para o projeto LQG do modelo sa t´elite equipado com rodas.
% Por Gilberto Arantes @INPE 2003
%
% Gera as matrizes para o projeto do sistema de controle LQG
% Calculo da equacao matricia l de Ricatti e implementacao do LQG
% Matrizes A, B, C e D do sistema d/dt(x) = Ax + Bu
% y = Cx +du
% Inicializacao
clc
clear all
close all
deg2rad = pi/180;
rad2deg = 180/pi;
mi=3.986e14; % moviemnto medio em (m)
r=(6378+750)*1000; % raio da orbita circular em (m)
n=sqrt(mi/(r
^
3)); % movimento orbital medi o em (rad/s)
H o = n*0.01; % Momento angular nominal kgm2/s
% Momentos e produtos de inercia (14/10/2003 de Sebastia o)
% Ixx = 13.31 kg.m2 Ixy = 0.37 kg.m2
% Iyy = 14.22 kg.m2 Ixz = 0.39 kg.m2
% Izz = 11.2 kg.m2 Iyz = -0.22 kg.m2
I = [13.31 0.37 0.39
0.37 14.22 -0.22
0.39 -0.22 11.2];
% Momentos principais de iner cia
[v,e] = eig(I);
I1 = e(1,1); I2 = e(2,2); I3 = e(3,3);
% inercia da roda
Iw = 12/(45000*(pi/180)) ;
hs = 12; %saturacao
ws = 7500*6 ;%7500rpm*6graus/s
a2rpm = 1/6;
%--------------------------------------------------------
% Dinamica linearizada: satelite + rodas
%--------------------------------------------------------
% matriz A
A = [0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;...
(-4*n
^
2*(I2-I3)-n*H o)/I1 0 0 0 0 (n*(-I2+I3+I1)-H o)/I1;...
0 3*n
^
2*(-I1+I3)/I2 0 0 0 0;...
0 0 (n
^
2*(-I2+I1)-n*H o)/I3 (-n*(I1-I2+I3)+H o)/I3 0 0];
% Matriz B
B=[0 0 0
0 0 0
0 0 0
-1/I1 0 0
0 -1/I2 0
0 0 -1/I3];
%Matriz C e D
C=eye(6);
D=zeros(6,3);
197
Tabela D.5- Programa MATLAB para o projeto LQG do modelo sa t´elite equipado com rodas (cont.).
% Calculo da matriz de controlabilidade
co = ctrb(A,B);
posto co = rank(co);
posto A = rank(A);
%---------------------------------------------------
% Lei LQ Regulador
%---------------------------------------------------
Matria R e Q (ganho)
rc = 1/((5e-3)
^
(2)); % u = 5mNm
qc1 = 1/((10*(pi/180))
^
(2)); % x = 10 graus
qc2 = 1/((1*(pi/180))
^
(2)); % xdot = 1 grau/s
Rc = rc*diag([1,1,1]); %peso d o controle
Qc = diag([qc1,qc1,qc1,qc2,qc2,qc2]); %peso do estado
% Matriz Kc: ganho do controlador
[Kc,S,E] = LQR(A,B,Qc,Rc);
%---------------------------------------------------
% Tracking r(t)
%---------------------------------------------------
% u = Kc*x + v
% v = -inv(R)B’s
% ds/dt = -[A’-K*B*inv(R)*B’]s + Q*r(t)
% r(t) vector reference
At = - [A’-S*B*inv(Rc)*B’];
Bt = Qc;
Ct = C;
Dt =zeros(size(A));
%--------------------------------------------------
%---------------------------------------------------
% Implementation Kalman filter
% dynamic d/dt(x) = Ax + Bu + Gw
% y = Cx + du + v
% state estimation
% d/dt(xe) = Axe + Bu + Kf(delta - Cxe - Du) delta = yn-ym
% d/dt(xe) = Axe + B(-kcxe) + Kf(delta - Cxe - Du)
% covariance noise sensor: Ev v’ = Rk
% covariance noise dynamic Ew w’ = Qk
G = eye(6,6);
sigma angle = (0.5*deg2rad)
^
2; % desvio padrao dos sensor de orientacao
sigma rate = (0.05*deg2rad)
^
2; % desvio padrao dos giros
Qk = eye(6)*(15*deg2rad)
^
2; % angle +/-(0.5 graus )
Rk = [eye(3)*sigma angle zeros(3); zeros(3) eye(3)*sigma rate];
[Kf,P,E2] = lqe(A,G,C,Qk,Rk);
% Structure of compensator
% Ac = A - B*Kc - Kf*C;
% Bc = Kf;
% Simulink
run(’SimLQGEquarsRodas’)
%end
198
AP
ˆ
ENDICE E
TOOLBOX ATITUDE
Durante o desenvolvimento do trabalho foi desenvolvido um toolbox para atitude,
no ambiente MATLAB e SIMULINK, constituindo uma importante contribui¸c˜ao
desse trabalho. Esse apˆendice tem por objetivo divulgar o uso do toolbox, apresen-
tando alguns exemplos. A vers˜ao final do toolbox ser´a disponibilizado para uso do
INPE e institui¸c˜oes interessadas em pesquisas envolvendo dinˆamica e c ontrole de
atitude. A documeta¸c˜ao do toolbox, estar´a dispon´ıvel na bibiloteca do INPE.
O toolbox ´e divido nos blocos:
• Equa¸c˜oes do movimento: C inem´atica e dinˆamica
•
´
Orbita
• Ambiente
• Controle
• Visualiza¸c˜ao
O bloco Equa¸c˜oes do movimento contˆem as equa¸c˜oes da cinem´atica em diferentes
representa¸c˜oes: ˆangulos de Euler e quaternions. O modelo dinˆamico da atitude (corpo
r´ıgido) e o modelo dinˆamico do gyrostat (extens˜ao das equa¸c˜oes do corpo r´ıgido
envolvendo movimento interno de rodas).
O bloco
´
Orbita cont´em modelo de ´orbita Kepleriana, c´alculo da latitude e longitude
sub-sat´elite e altura do ve´ıculo e transforma¸c˜oes entre os referenciais envolvidos no
estudo de atitude e ´orbita.
O bloco Ambiente cont´e m o modelo do torque de gradiente de gravidade, modelo
do campo magn´etico IGRF, e modelo do torque devido ao momento dipolo residual
do sat´elite.
O bloco Controle cont´em os controladores desenvolvidos nesse trabalho: LQR, LQR
tracking, LQG, PID e controladores baseados em energia (Energy based control).
199
O bloco Visualiza¸c˜ao cont´em a visualiza¸c˜ao/anima¸c˜ao da atitude do ve´ıculo.
E.1 Exemplos
E.1.1 Equa¸c˜oes do Movimento
A Figura (E.1) mostra um dos blocos que fazem parte do bloco equa¸c˜oes do mo-
vimento, o bloco mostrado integra as equa¸c˜oes do movimento de um corpo r´ıgido
contendo rodas (gyrostat ), modelo completo, n˜ao linear. No ambiente SIMULINK
existem v´arios integradores dispon´ıveis de passo fixo e/ou vari´avel. A janela mostra
os parˆametros de entrada.
(a) Modelo do Gyrostat (b) Parˆametros de entrada
Figura E.1- Bloco Gyrostat.
E.1.2 Ambiente
O bloco mostrado na Figura (E.2) calcula o modelo completo, n˜ao linear, do torque
de gradiente de gravidade. A janela mostra os parˆametros de entrada.
200
(a) Modelo do gradiente
de gravidade
(b) Parˆametros de entrada
Figura E.2- Bloco gradiente de gravidade.
201
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