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ESTIMA¸C
˜
AO DE MODELOS ARFIMA
EM PRESEN ¸CA DE
QUEBRA ESTRUTURAL
Mario E. Piscoya D´ıaz
mpisc[email protected]
mpiscoya@cedeplar.ufmg.br
Disserta¸c˜ao submetida ao Departamento de Estat´ıstica da
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
em 14 de mar¸co de 2006
em cumprimento `as exigˆencias para a obten¸c˜ao do grau de
MESTRE EM ESTAT
´
ISTICA
´
Area de Concentra¸c˜ao: Estat´ıstica
Orientadora: Profa. Ela Mercedes Medrano de Toscano
Co-orientador: Prof. Vald´erio Anselmo Reisen
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A mis padres, Mirtha y Francisco por todo el apoyo y dedicaci´on
A mis hermanos C´esar y Mirtha.
A la memoria de mi abuelo C´esar D´ıaz.
Muchas Gracias por estar siempre a mi lado!
i
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Agradecimentos
Para comenzar me gustar´ıa agradecer a mis padres Mirtha e Francisco por el
constante apoyo en esta etapa de mi vida. Tambi´en no puedo dejar de agradecer a
mis hermanos C´esar y Mirtha quienes supieron expresar siempre su apoyo incluso en
las horas m´as dif´ıciles de mi vida fuera de Per´u, una experiencia que con seguridad
marco mi vida para siempre.
El resultado de este trabajo de investigaci´on, mi tesis de maestr´ıa, fuera del
empe˜no personal que pueda haberle dedicado, tiene mucho que ver con el apoyo
que recib´ı de muchas personas tanto en Per´u como en Brasil. Es por ello que
quiero agradecer a la Profa. Mercedes Medrano y al Prof. Valderio A. Reisen por
su constante apoyo en el desarrollo de mi tesis. A las profesoras Sueli A. Mingoti,
Glaura Franco e Cl´elia Maria de Castro Toloi por las invalorables sugerencias hechas
a mi trabajo.
Tengo que agradecer a muchas personas que directa o indirectamente contri-
buyeron de alguna manera el ´exito del mismo. Para comenzar tengo que agradecer
a la familia Toscano - Medrano, quienes en todo momento me hicieron sentir en fa-
milia en aquellos instantes en que la soledad se hace presente cuando uno esta lejos
de casa. Tambi´en, quiero agradecer a Rosalynn Miluska y toda su familia (Yessica,
Yanoska, Karina, en fin todos ellos) por todo el apoyo que me brindaron desde Lima
en todo el tiempo que estuve aqu´ı en Brasil, tanto en R´ıo de Janeiro como en Belo
ii
Horizonte. Tambi´en quiero agradecer a mis grandes amigos Geraldo Marcelo como
a la familia de ´el por hospedarme el primer mes que llegue a Belo Horizonte. A Luis
A. T. Medrano, por todo el apoyo que me brindo desde que llegue a Brasil, a Ricardo
Tavares, el ”grande Caico”, a Jose Carlos e Rogeria aqui en la UFMG, Pedro L. e
Frederico A. mis colegas de ”republica”, con quienes pase momentos muy divertidos,
a mis amigos de la UFRJ: Marcelo, Marcus, Carla, Valmaria. Especialmente quiero
agradecer a Esther Salazar y Juan Carlos Vivar, con quienes viv´ı en R´ıo de Janeiro
por todas las sugerencias, apoyo que siempre me brindaron, a Gladys Maquera y
Carlos Abanto, por su valiosa amistad.
Tengo que agradecer tambi´en a mis profesores tanto de la UFRJ como de la
UNMSM. En la UFRJ me gustar´ıa agradecer a Cesar A. Gadelha, Helio Migon,
Marco Ferreira, Fernando Moura y Flavia Landim por las valiosas ense˜nanzas en
Estad´ıstica Bayesiana que sin ninguna duda, ampliaron mi conocimiento en esa ´area
de la Estad´ıstica. En la UNMSM, quiero agradecer a Emma Cambillo, Rosa Inga,
Doris G´omez, Antonio Bravo, Julio Ramos, Nelly Pillhuaman y especialmente a
Ysela Ag
¨
uero Palacios. Profesora Ysela, muchas gracias por su dedicaci´on y apoyo,
sin duda la mayor parte del conocimiento en Estad´ıstica que tengo se lo debo a
usted.
Quiero agradecer tambi´en a mis abuelos, Luis, Aurora y A´ıda, asi como a mi
abuelo C´esar que tengo la seguridad se sentir´ıa orgulloso de m´ı. Mis tias Bruna,
Mila, Sara, Edith y Cameche. A mis primos Javier Montero y su esposa Charo,
mi queridisma tia Gloria Salinas asi como a Gustavo, Lucho (Pich´on!!!) Sabina
y Carla!!!. A mis primos M´onica Calder´on, Karl y Adolfo Osorio (Gomer Pyle
y Private Joker!!!!) quienes siempre estuvieron en contacto conmigo. A mis t´ıos,
todos ellos. A mis amigos de toda la vida Edison Espinoza, Dante Neyra, Humberto
Nu˜nez (El gato!!!!),Jos´e Mamani, V´ıctor Murga, C´esar Aguilar (Goldo chupet´ın he
iii
he), Carlos Agapito Pe˜na, Jimmy Moreno, mi estimado Bicho hehehe, Javier de
la Cruz (a la Promoci´on 1993 del Guadalupe en general), Jenny Luz Espinoza, mi
grande amigo Edward Soto Rivera, Arnaldo Freyre, Edgar Vera y Jean!!!, a la familia
Guerra Huam´an:David, Moises, Susana y Miguel. A Jossie Barreto, Zoila Ortiz,
Karina Troncos, Ulises Osorio Angeles, Camilla Parsons, Jenny Cordova, Ludimila
Martins, Jose Herrera F., C´esar Chavez Z., a los LIONS en general!! L. A., Harry
Haller (call me 24 hours!!!), Magali Lopez Sandoval, y mi perro TOM (farewell big
brother!!!), y el perro de Miluska Puppy!.
Finalmente quiero agradecer a una persona muy especial para mi, Alice Lemos
de Morais (aunque existe la posibildad de que ella nunca lea esta pagina he he), quien
me dio el mayor apoyo en la etapa final de mi trabajo en uno de los momentos m´as
tristes de mi vida. Alice, realmente eres una persona maravillosa muchas gracias
por todo.
A todos los que contribuyeron y que por omisi´on no los mencione aqui,
MUCHAS GRACIAS!!! .
iv
Conte´udo
Resumo 9
Introdu¸c˜ao 10
1 O Modelo ARFIMA (p,d,q) 14
1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Processos Integrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 O Modelo ARFIMA (0,d,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Fun¸c˜ao de Densidade Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Fun¸c˜oes de Autocovariˆancia e Autocorrela¸c˜ao . . . . . . . . . 18
1.4 O Modelo ARFIMA (p,d,q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Fun¸c˜ao de Densidade Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Fun¸c˜oes de Autocovariˆancia e Autocorrela¸c˜ao . . . . . . . . . 21
1.5 M´etodos de Estima¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.1 M´etodos Param´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.2 M´etodos de Estima¸c˜ao Semi-param´etricos . . . . . . . . . . . 25
1.5.3 O M´etodo GPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Modelo ARFIMA (0,d,0) na presen¸ca de quebras estruturais 28
2.1 Quebras Estruturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1
2.2 Estima¸c˜ao de Modelos ARFIMA (0,d,0) com quebra estrutural . . . . 33
2.2.1 Modelos ARFIMA(0,d,0) com quebra estrutural no n´ıvel e ten-
dˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Modelos com quebra estrutural na variˆancia . . . . . . . . . . 36
2.2.3 Estima¸c˜ao de Modelos ARFIMA (0,d,0) com quebra estrutu-
ral no n´ıvel e tendˆencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.4 Estima¸c˜ao de Modelos ARFIMA (0,d,0) com quebra estrutu-
ral na variˆancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Simula¸c˜oes 41
3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Resultados das Simula¸c˜oes do Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Resultados das Simula¸c˜oes do Modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 Resultados das Simula¸c˜oes do Modelo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Resultados das simula¸c˜oes do Modelo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6 Resultados das Simula¸c˜oes do Modelo 5. . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Aplica¸c˜oes 65
4.1 S´erie 1 :Empr´estimos - Sistema Financeiro ao Setor Privado - Habita¸c˜ao”
65
4.2 S´erie 2: Contribui¸c˜ao - Finsocial/Cofins - Total - Receita L´ıquida . . 68
5 Considera¸c˜oes Finais 70
5.1 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2 Extens˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
A Apˆendice 72
A.1 Algoritmo para a simula¸c˜ao de processos ARFIMA (0,d,0) . . . . . . 72
A.2 Modelo 1 AO-0 : Gr´aficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2
Lista de Figuras
1 S´erie 1: Empr´estimos - Sistema Financeiro ao Setor Privado - Habita¸c˜ao 12
2 S´erie 2: Contribui¸c˜ao - Finsocial/Cofins - total - receita l´ıquida . . . . 13
3.1 Modelo 1: Y
t
= µ
1
+ (µ
2
− µ
1
)DU
t
+ X
t
, T=300, λ = 0.5, µ
1
= 0 . . . 44
3.2 V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro d, no modelo 1 considerando a pre-
sen¸ca de quebra estrutural quando o ponto de quebra ´e conhecido.
λ = 0,5; (µ
2
− µ
1
) =1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro (µ
2
− µ
1
) no modelo 1 considerando
a presen¸ca de quebra estrutural quando o ponto de mudan¸ca ´e conhe-
cido, λ = 0,5; (µ
2
− µ
1
) =1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Estimativas do parˆametro d = 0, 10 pelo m´etodo GP H
1
no modelo 1
quando o processo possui uma quebra estrutural e o ponto mudan¸ca
´e conhecido, λ = 0,5; T = 300 : (A) (µ
2
− µ
1
) = 1; (B) (µ
2
− µ
1
)=
2; (C) (µ
2
− µ
1
) = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Estimativas do parˆametro d = 0,10 pelo m´etodo GP H
2
no modelo
1 quando o processo possui uma quebra estrutural e o ponto de
mudan¸ca ´e conhecido, λ = 0,5; T = 300 : (D) (µ
2
− µ
1
) = 1;
(E) (µ
2
− µ
1
) = 2; (F) (µ
2
− µ
1
)= 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6 Modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3
3.7 V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro d obtidas pelo m´etodo GPH, no
Modelo 2, quando λ = 0, 5, β = 1, µ
2
− µ
1
= 100, µ
2
− µ
1
= 300 e o
ponto de mudan¸ca ´e conhecido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.8 Distribui¸c˜ao do estimador do parˆametro d obtido pelo m´etodo GPH,
no Modelo 2, quando o ponto de mudan¸ca ´e conhecido. λ = 0, 5,
T=300: (C) d=0,10 (D) d =0,40 , (µ
2
− µ
1
= 100). . . . . . . . . . . 53
3.9 Modelo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.10 Modelo 4, com d=0,10; W
v
= 10 e µ
1
= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.11 V´ıcio na estima¸c˜ao de W
v
no modelo 4, para diferentes valores de d
e ponto de mudan¸ca conhecido. W
v
= 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.12 V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro d no modelo 4, pelo m´etodo GPH
e ponto de mudan¸ca conhecido. W
v
= 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.13 V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro d no modelo 4, pelo m´etodo MV e
ponto de mudan¸ca conhecido. W
v
= 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.14 Modelo 5, com d=0,40; W
v
= 2 e µ
1
= 0 µ
2
= 3, t
0
= 125; τ
0
=250 . . 61
3.15 V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro W
v
no modelo 5, com W
v
= 2,
(µ
2
− µ
1
) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.16 V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro d no modelo 5, pelo m´etodo MV
com W
v
= 2, (µ
2
− µ
1
) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.17 V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro (µ
2
− µ
1
) no modelo 5, pelo m´etodo
OLS com W
v
= 2, (µ
2
− µ
1
) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1 Fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao da s´erie 1: Empr´estimos - Sistema Finan-
ceiro ao Setor Privado - Habita¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4
4.2 Gr´aficos correspondentes a an´alise da s´erie 1: (A) Gr´afico da fun¸c˜ao
de autocorrela¸c˜ao dos res´ıduos obtidos ap´os o ajuste do modelo 2; (B)
Gr´afico da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao dos res´ıduos do modelo 2 ap´os a
modelagem de um AR(1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Gr´aficos correspondentes a an´alise da s´erie 2: (A) Gr´afico da fun¸c˜ao
de autocorrela¸c˜ao simples da s´erie res´ıduos integrados obtida ap´os o
ajuste do Modelo 1; (B) Gr´afico de autocorrela¸c˜ao parcial da s´erie de
res´ıduos integrados obtida ap´os o ajuste do Modelo 1. . . . . . . . . . 69
A.1 V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro d, considerando a presen¸ca de que-
bra estrutural quando λ = 0,5; (µ
2
− µ
1
) = 2 . . . . . . . . . . . . . . 74
A.2 V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro d, considerando a presen¸ca de que-
bra estrutural quando λ = 0,5; (µ
2
− µ
1
) = 3 . . . . . . . . . . . . . . 74
A.3 V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro (µ
2
− µ
1
) considerando a presen¸ca
de quebra estrutural quando λ = 0,5; (µ
2
− µ
1
) =2 . . . . . . . . . . 75
A.4 V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro (µ
2
− µ
1
) considerando a presen¸ca
de quebra estrutural quando λ = 0,5; (µ
2
− µ
1
) =3 . . . . . . . . . . 75
A.5 Estimativas do parˆametro d = 0, 20 pelo m´etodo GP H
1
quando o
processo possui uma quebra estrutural em λ = 0, 5, T = 300 : (A)
(µ
2
− µ
1
) = 1; (B) (µ
2
− µ
1
) = 2; (C) (µ
2
− µ
1
) = 3 . . . . . . . . . . 76
A.6 Estimativas do parˆametro d = 0, 20 pelo m´etodo GP H
2
quando o
processo possui uma quebra estrutural em λ = 0, 5, T = 300 : (D)
(µ
2
− µ
1
) = 1 ;(E) (µ
2
− µ
1
) = 2 ;(F) (µ
2
− µ
1
) = 3 . . . . . . . . . . 76
A.7 Estimativas do parˆametro d = 0, 30 pelo m´etodo GP H
1
quando o
processo possui uma quebra estrutural em λ = 0, 5, T = 300 : (A)
(µ
2
− µ
1
) = 1 ;(B) (µ
2
− µ
1
) = 2 ;(C) (µ
2
− µ
1
) = 3 . . . . . . . . . . 77
5
A.8 Estimativas do parˆametro d = 0, 30 pelo m´etodo GP H
2
quando o
processo possui uma quebra estrutural em λ = 0, 5, T = 300 : (D)
(µ
2
− µ
1
) = 1 ;(E) (µ
2
− µ
1
) = 2 ;(F) (µ
2
− µ
1
) = 3 . . . . . . . . . . 77
A.9 Estimativas do parˆametro d = 0, 40 pelo m´etodo GP H
1
quando o
processo possui uma quebra estrutural em λ = 0, 5, T = 300 : (A)
(µ
2
− µ
1
) = 1; (B) (µ
2
− µ
1
) = 2; (C) (µ
2
− µ
1
) = 3 . . . . . . . . . . 78
A.10 Estimativas do parˆametro d = 0, 40 pelo m´etodo GP H
2
quando o
processo possui uma quebra estrutural em λ =0,5; T = 300 : (D)
(µ
2
− µ
1
) = 1; (E) (µ
2
− µ
1
) = 2 ;(F) (µ
2
− µ
1
) = 3 . . . . . . . . . . 78
6
Lista de Tabelas
1.1 Compara¸c˜ao das fun¸c˜oes de autocorrela¸c˜ao de um processo
ARFIMA(0,
1
3
,0) e um processo AR(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1 Resultados da estima¸c˜ao do Modelo 1: Y
t
= µ
1
+ (µ
2
− µ
1
)DU
t
+ X
t
;
ARFIMA (0,d,0) com uma quebra estrutural quando o ponto de mudan¸ca
´e conhecido. T=300, λ = 0, 50, µ
1
= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Resultados da estima¸c˜ao do Modelo 1: Y
t
= µ
1
+ (µ
2
− µ
1
)DU
t
+ X
t
;
ARFIMA (0,d,0) com uma quebra estrutural, quando o ponto de mudan¸ca
´e conhecido. T=500, λ = 0, 50, µ
1
= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Resultados da estima¸c˜ao do ponto de mudan¸ca no Modelo 1: Y
t
=
µ
1
+ (µ
2
− µ
1
)DU
t
+ X
t
ARFIMA (0,d,0) quando λ = 0, 5, T=300,
µ
1
= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 Resultados da estima¸c˜ao do Modelo 1: Y
t
= µ
1
+ (µ
2
− µ
1
)DU
t
+
X
t
ARFIMA (0,d,0) quando o ponto de mudan¸ca ´e desconhecido.
T=300, µ
1
= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Resultados da estima¸c˜ao do Modelo 2: Y
t
= µ
1
+ βt + (µ
2
− µ
1
)DU
t
+ X
t
;
ARFIMA (0,d,0) com uma quebra estrutural conhecida. T=300, λ = 0, 50,
µ
1
= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7
3.6 Resultados da estima¸c˜ao do Modelo 3: y
t
= µ
1
+ βt + (β
2
− β
1
)DT
t
+ X
t
;
ARFIMA (0,d,0) com uma quebra estrutural conhecida. T=300, λ = 0, 50,
µ
1
= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.7 Resultados da estima¸c˜ao do Ponto de mudan¸ca no Modelo 3 quando λ =
0,5; T=300. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8 Resultados da estima¸c˜ao do Modelo 3: y
t
= µ
1
+ βt + (β
2
− β
1
)DT
t
+ X
t
;
ARFIMA (0,d,0) com uma quebra estrutural, quando o ponto de mudan¸ca
´e desconhecido. T=300, λ = 0,50, µ
1
= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.9 Resultados da estima¸c˜ao do Modelo 4, T=300, λ = 0, 50, X
t
ARFIMA
(0,d,0) com uma quebra estrutural na variˆancia. . . . . . . . . . . . . . . 59
3.10 Resultados da estima¸c˜ao do Modelo 5: X
t
ARFIMA (0,d,0) com uma
quebra estrutural conhecida na variˆancia e no n´ıvel. T=500, λ = 0, 25,
τ
0
=0,50T e µ
1
=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1 Estimativas dos parˆametros do Modelo 2, obtidas na primeira etapa
da an´alise na s´erie 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Estimativas do parˆametro d e φ na s´erie 1 ap´os a an´alise de regress˜ao 67
4.3 Estimativas dos parˆametros do Modelo 1 ajustado na s´erie 2 na pri-
meira etapa da modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4 Estimativas do parˆametro d na s´erie de res´ıduos obtidos ap´os do
ajuste do Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8
Resumo
Existem evidencias significativas que series macroeconˆomicas e financeiras mos-
tram uma persistˆencia consider´avel. Mais ser´a que esta persistˆencia deve ser mo-
delada por um processo estoc´astico com raiz unit´aria ou um processo estoc´astico
estacion´ario de mem´oria longa. Neste trabalho, consideramos a estima¸c˜ao do parˆa-
metro d dos processos ARFIMA (0,d,0) que apresentam uma quebra estrutural no
n´ıvel e/ou variˆancia O m´etodo de estima¸c˜ao utilizado foi o m´etodo semiparam´etrico
proposto por Geweke -Porter Hudak (1983) e de m´axima verossimilhan¸ca. Um es-
tudo simulado mostra as rela¸c˜oes que existe entre a magnitude do pulo, o tamanho
da s´erie e as estimativas do parˆametro d quando ´e ignorada a presen¸ca da quebra
estrutural nos processos. A metodologia desenvolvida foi aplicada a conjuntos de
dados reais da economia brasileira.
Palavras-chave: Longa Dependˆencia, Modelos ARFIMA, Ponto de Mudan¸ca, Que-
bra Estrutural.
9
Introdu¸c˜ao
A propriedade de mem´oria longa est´a relacionada empiricamente com a persis-
tˆencia que apresentam as autocorrela¸c˜oes amostrais de certas s´eries temporais esta-
cion´arias. Tais autocorrela¸c˜oes decrescem a um ritmo muito lento, mas finalmente
convergem para zero. Esse comportamento n˜ao ´e compat´ıvel com aquele apresen-
tado pelos modelos estacion´arios auto-regressivos e de m´edias m´oveis (ARMA) que
apresentam um decrescimento exponencial na fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao.
As referˆencias de trabalhos em s´eries temporais de mem´oria longa s˜ao muito
antigas, sendo o trabalho de Hurst (1951) no campo da hidrologia a primeira. No
campo da economia, os interesses pelos modelos de longa dependˆencia surgem com
os trabalhos de Granger (1980) e Granger e Joyeux (1980). A presen¸ca da longa de-
pendˆencia nas s´eries econˆomicas pode ser justificada pela forma freq
¨
uente da fun¸c˜ao
espectral destas s´eries, a qual n˜ao e limitada nas baixas freq
¨
uˆencias como mostra
Granger (1966). Al´em disso, Robinson (1978) e Granger (1980,1990) mostraram
que a soma dos processos AR(1) independentes com coeficientes distribu´ıdos se-
gundo uma distribui¸c˜ao Beta ´e um processo fracionalmente integrado. Pelo fato
de que muitas s´eries econˆomicas s˜ao agregadas de outras vari´aveis econˆomicas, ´e
fact´ıvel explicar a presen¸ca da longa dependˆencia nestes tipos de s´eries temporais.
Formalmente, Robinson (1994b) e Baillie (1996) definem que uma s´erie X
t
10
com fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao ρ(k) e densidade espectral f(λ) ´e um processo de
mem´oria longa se cumpre duas condi¸c˜oes: (1) as autocorrela¸c˜oes n˜ao s˜ao absoluta-
mente som´aveis, isto ´e,
∞
k=0
|ρ(k)| = ∞, e (2) a fun¸c˜ao de densidade espectral f(λ) ´e
n˜ao limitada nas baixas freq
¨
uˆencias e, por tanto, lim
x→0
+
f(λ) = +∞. As caracte-
r´ısticas mencionadas anteriormente n˜ao se ajustam `a maioria de modelos para s´eries
temporais estacion´arias que apresentam a fun¸c˜ao de densidade espectral limitada
na freq
¨
uˆencia zero e um decrescimento exponencial na fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao.
A dificuldade de tais modelos na representa¸c˜ao da fun¸c˜ao de densidade espectral
nas baixas freq
¨
uˆencias faz com que as previs˜oes obtidas a partir deles sejam inferio-
res `aquelas obtidas por modelos que apresentam as caracter´ısticas mencionadas por
Robinson (1994b) e Baillie (1996).
Neste contexto, Granger(1980), Granger e Joyeux (1980) e Hosking(1981)
prop˜oem uma classe de modelos interm´ediarios, em que a ordem de integra¸c˜ao ´e
fracion´aria, conhecida como: Modelos Autoregressivos e de M´edias M´oveis Fracio-
nalmente Integrados ARFIMA(p,d,q). Estes modelos atuam como uma ponte entre
os modelos estacion´arios (ARMA) e os modelos que apresentam ra´ızes unit´arias
(ARIMA).
Quebras estruturais numa s´erie temporal s˜ao caracterizadas pela mudan¸ca de
pelo menos um dos parˆametros envolvidos no modelo em algum instante do tempo.
Mudan¸cas que podem ocorrer tanto na m´edia como na variˆancia do processo. O prin-
cipal problema gerado pela presen¸ca de quebras estruturais numa s´erie temporal ´e
que podem-se chegar a uma conclus˜ao errada sobre a presen¸ca de uma raiz unit´aria
ou um efeito de mem´oria longa. Nas s´eries econˆomicas, a presen¸ca de quebras ´e
freq
¨
uente. A seguir, nas Figuras 1 e 2, apresentamos s´eries temporais correspon-
dentes ao Banco Central do Brasil. Tais s´eries mostram como se apresentam, na
pr´atica, as quebras estruturais.
11
Série 1
Tempo
Observações
0 20 40 60 80 100 120
9.0 9.5 10.0 10.5
Figura 1: S´erie 1: Empr´estimos - Sistema Financeiro ao Setor Privado - Habita¸c˜ao
O objetivo deste trabalho ´e estudar a forma de estima¸c˜ao de processos AR-
FIMA(p,d,q) que apresentam quebras estruturais na tendˆencia, como tamb´em na
variˆancia, num instante de tempo conhecido. Nesta disserta¸c˜ao, consideramos ade-
quado escolher o processo ARFIMA(0,d,0) pelo fato que o processo ARFIMA(p,d,q),
no longo prazo, apresenta um comportamento similar ao processo ARFIMA(0,d,0),
pois para observa¸c˜oes muito distantes, os efeitos dos parˆametros de mem´oria curta
s˜ao desprez´ıveis.
O conte´udo deste trabalho foi dividido em cinco cap´ıtulos que ser˜ao descritos a
seguir.
No cap´ıtulo 1, tem-se uma revis˜ao do modelo ARFIMA(p,d,q) mostrando as
principais defini¸c˜oes deste modelo. Tamb´em foi feita uma r´apida revis˜ao dos m´etodos
de estima¸c˜ao param´etricos e semi-param´etricos com ˆenfase especial no m´etodo GPH
para a estima¸c˜ao do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria.
12
Série 2
Tempo
Observações
0 20 40 60 80 100 120
6.8 7.0 7.2 7.4 7.6
Figura 2: S´erie 2: Contribui¸c˜ao - Finsocial/Cofins - total - receita l´ıquida
O cap´ıtulo 2 apresenta uma breve descri¸c˜ao sobre quebras estruturais, assim
como os modelos considerados nesta disserta¸c˜ao e uma metodologia na estima¸c˜ao
dos parˆametros do modelo ARFIMA (0,d,0) na presen¸ca de quebras estruturais.
No cap´ıtulo 3, apresentam-se os resultados das simula¸c˜oes feitas para os modelos
propostos no cap´ıtulo 2.
O cap´ıtulo 4 apresenta uma aplica¸c˜ao da metodologia sugerida nesta disserta¸c˜ao
usando s´eries do Banco Central de Brasil.
Finalmente no cap´ıtulo 5 apresentam-se as considera¸c˜oes finais, destacando as
conclus˜oes relevantes da pesquisa e as poss´ıveis extens˜oes para trabalhos futuros.
13
Cap´ıtulo 1
O Modelo ARFIMA (p,d,q)
1.1 Introdu¸c˜ao
Os modelos ARFIMA (p,d,q) surgem como uma alternativa na modelagem de
s´eries temporais que apresentam um comportamento diferente daquele apresentado
pelos modelos ARMA(p,q) em suas fun¸c˜oes de autocorrela¸c˜ao e de densidade espec-
tral, em que ρ(k) ∼ k
2d−1
para k −→ ∞; e f (ω) ∼ Cω
−2d
para ω −→ 0 respectiva-
mente. Na Tabela 1.1, ´e feita uma compara¸c˜ao da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao de um
processo ARFIMA(0,
1
3
,0) com a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao de um processo AR(1).
´
E
f´acil perceber que os valores da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao do modelo autoregressivo
decaem rapidamente para zero, enquanto que os valores das autocorrela¸c˜oes do mo-
delo ARFIMA decaem a um ritmo bem lento. Neste cap´ıtulo fazemos uma revis˜ao
das principais defini¸c˜oes deste modelo.
14
Tabela 1.1: Compara¸c˜ao das fun¸c˜oes de autocorrela¸c˜ao de um processo
ARFIMA(0,
1
3
,0) e um processo AR(1)
Lag (k) ARFIMA(0,
1
3
,0)
AR (1) com φ = 0.5
1 0.500 0.500
2 0.400 0.250
3 0.350 0.125
4 0.318 0.063
5 0.295 0.031
10 0.235 0.001
25 0.173 2.98x10-8
50 0.137 8.88x10-16
100 0.109 7.89x10-31
1.2 Processos Integrados
Formalmente, dizemos que X
t
´e um processo integrado de ordem d, denotado por
X
t
∼ I(d), se satisfaz a rela¸c˜ao:
(1 − L)
d
X
t
= U
t
(1.1)
onde LX
t
= X
t−1
e, o termo (1 − L)
d
´e representado pela expans˜ao binomial:
(1−L)
d
=
∞
k=0
d
k
(−L)
k
= 1−dL−
d(1 − d)
2!
L
2
−
d(1 − d)(2 − d)
3!
L
3
−· · · (1.2)
Esta expans˜ao tamb´em pode ser expressa em termos da fun¸c˜ao hipergeom´etrica:
(1 − L)
d
=
∞
k=0
Γ(k − d)L
k
Γ(k + 1)Γ(−d)
= F (−d, 1, 1; L) (1.3)
15
para d > 0, F(a,b,c,z) ´e a fun¸c˜ao hipergeom´etrica definida como:
F (a, b, c; z) =
Γ(c)
Γ(a)Γ(b)
∞
i=0
z
i
Γ(a + i)
Γ(c + i)Γ(i + 1)
.
No caso dos Modelos ARFIMA, o parˆametro d ´e um n´umero real. Se o processo U
t
´e um ARMA(p,q) da forma Φ(L)U
t
= Θ(L)ξ
t
, com ξ
t
ru´ıdo branco, ´e dito que X
t
´e
um processo ARMA(p,q) fracionalmente integrado ou ARFIMA (p,d,q).
1.3 O Modelo ARFIMA (0,d,0)
O modelo ARFIMA (0,d,0), tamb´em conhecido como ru´ıdo branco fracional-
mente integrado, pode ser considerado como uma vers˜ao an´aloga em tempo discreto
do movimento Browniano fracion´ario. O processo foi desenvolvido de forma simul-
tˆanea e independente por Granger(1980); Granger e Joyeux (1980) e Hosking (1981)
ainda quando os trabalhos de Adenstedt (1974) e Taqqu (1975) j´a faziam referˆencia
a este modelo.
O modelo ARFIMA (0,d,0) ´e definido como em (1.1). Neste caso, o termo
U
t
´e um processo de ru´ıdo branco com E(U
t
)=0, E(U
2
t
) = σ
2
e E(U
t
U
s
) = 0 para
s = t. Hosking (1981) mostrou que quando d > −0.5 o processo ´e invert´ıvel e tem
uma representa¸c˜ao autoregressiva infinita da seguinte forma:
(1 − L)
d
X
t
=
∞
k=0
π
k
X
t−k
= ξ
t
(1.4)
onde π
k
s˜ao os coeficientes do polinˆomio (1 − L)
d
definido em (1.3). Para valores
16
de d < 0.5, Hosking(1981) mostrou que X
t
´e estacion´ario e tem uma representa¸c˜ao
m´edia m´ovel infinita (ou de Decomposi¸c˜ao de Wold) da seguinte forma:
X
t
= (1 − L)
−d
ξ
t
=
∞
k=0
ψ
k
ξ
t−k
(1.5)
onde o coeficiente ψ
k
=
Γ(k+d)
Γ(d)Γ(k+1)
.
1.3.1 Fun¸c˜ao de Densidade Espectral
A partir da equa¸c˜ao (1.5) podemos considerar o processo X
t
como um processo
resultante de um sistema linear, onde o processo de entrada ´e um ru´ıdo branco ξ
t
com fun¸c˜ao de densidade espectral f(ω) =
σ
2
ξ
2π
. Neste caso, a densidade espectral de
X
t
pode ser obtida a partir da densidade de ξ
t
como mostra Priestley (1981):
f(ω) =
σ
2
2π
[2 sin(
ω
2
)]
−2d
. (1.6)
para ω [−π ; π]. Quando ω → 0
+
tem-se a seguinte aproxima¸c˜ao:
f(ω) ∼
σ
2
2π
ω
−2d
. (1.7)
a qual ´e similar ao valor de f(ω) ≈ ω
−2
para os processos integrados I(1). Neste caso,
o processo de ru´ıdo branco fracion´ario ´e consistente com a forma t´ıpica de muitas
s´eries econˆomicas como foi observado por Granger (1966).
17
1.3.2 Fun¸c˜oes de Autocovariˆancia e Autocorrela¸c˜ao
Hosking (1981) derivou as express˜oes para as fun¸c˜oes de autocovariˆancia do mo-
delo ARFIMA(0,d,0) apresentada a seguir:
γ(k) =
σ
2
Γ(1 − 2d)Γ(k + d)
Γ(d)Γ(1 − d)Γ(k + 1 − d)
k ≥ 1. (1.8)
A variˆancia do processo:
γ(0) =
σ
2
Γ(1 − 2d)
[Γ(1 − d)]
2
. (1.9)
A fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao do processo ARFIMA(0,d,0):
ρ(k) =
Γ(1 − d)Γ(k + d)
Γ(d)Γ(k − d + 1)
k ≥ 1. (1.10)
Usando a aproxima¸c˜ao de Stirling, quando k → ∞,
Γ(k+a)
Γ(k+b)
≈ k
a−b
, ent˜ao
pode-se observar que: os coeficientes da representa¸c˜ao m´edia m´ovel, ψ
k
≈ k
d−1
,
os coeficientes autoregressivos, π
k
≈ k
−d−1
, e os coeficientes da fun¸c˜ao de auto-
correla¸c˜ao, ρ
k
≈ k
2d−1
, apresentam um decaimento hiperb´olico quando k → ∞.
Resumindo, as principais propriedades do Processo ARFIMA (0,d,0) s˜ao:
• Para −0, 5 < d < 0, 5 o processo X
t
´e estacion´ario e invert´ıvel e os coeficientes
da representa¸c˜ao autoregressiva e m´edia m´ovel decaem hiperb´olicamente.
• Para 0 < d < 0, 5 , os valores de ρ
k
s˜ao positivos e convergem hiperb´olica-
mente para zero de uma forma muito lenta. As somas
|ρ
k
| e
|ψ
k
| s˜ao
18
infinitas, mas
|π
k
| < ∞. A densidade espectral tende para infinito quando
as freq
¨
uˆencias ω ficam pr´oximas de zero. O processo ´e estacion´ario com me-
m´oria longa.
• Para −0.5 < d < 0 e k > 0, os valores de ρ
k
s˜ao negativos e convergem
hiperb´olicamente para zero. A soma dos coeficientes da representa¸c˜ao autore-
gressiva ´e infinita. A fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao ´e absolutamente convergente,
isto ´e,
|ρ
k
| < ∞. O processo ´e estacion´ario com mem´oria intermedi´aria.
1.4 O Modelo ARFIMA (p,d,q)
O processo ARFIMA (p,d,q) pode ser entendido como uma generaliza¸c˜ao do
processo ARFIMA(0,d,0), onde o termo U
t
da equa¸c˜ao (1.1) ´e um processo autore-
gressivo e de m´edia m´ovel (ARMA). Neste caso X
t
´e um processo ARMA fracion´ario
integrado, o ARFIMA(p,d,q). O processo admite a seguinte representa¸c˜ao:
Φ(L)(1 − L)
d
X
t
= Θ(L)ξ
t
(1.11)
onde Φ(L) = 1 − φ
1
L − · · · − φ
p
L
p
, Θ(L) = 1 − θ
1
L − · · · − θ
q
L
q
, s˜ao os polinˆomios
de ordem p e q respectivamente. Hosking (1981) mostrou que quando d < 0.5 e
todas as ra´ızes do polinˆomio Φ(L) est˜ao fora do c´ırculo unit´ario, o processo X
t
´e
estacion´ario, e se d > −0.5 e todas as ra´ızes do polinˆomio Θ(L) est˜ao fora do c´ırculo
unit´ario, o processo ´e invert´ıvel.
A raz˜ao da escolha dessa fam´ılia de processos na modelagem de s´eries tempo-
rais, se faz pelo fato de que o efeito do parˆametro de mem´oria d sobre observa¸c˜oes
19
distantes decresce hiperb´olicamente `a medida que a defasagem aumenta, enquanto
os efeitos dos parˆametros φ e θ decrescem exponencialmente. Assim, o parˆametro
d descreve a estrutura de autocorrela¸c˜ao de longo prazo enquanto os parˆametros φ
e θ do modelo descrevem a estrutura de autocorrela¸c˜ao de curto prazo. Segundo
Hosking (1981), o comportamento de longo prazo deste modelo ´e similar ao com-
portamento do processo ARFIMA(0,d,0), pois para observa¸c˜oes muito distantes, os
efeitos dos parˆametros φ e θ do modelo s˜ao desprez´ıveis.
1.4.1 Fun¸c˜ao de Densidade Espectral
No caso dos processos ARFIMA(p,d,q) estacion´arios, (d < 0.5), a fun¸c˜ao de
densidade espectral do processo ´e dada pela seguinte equa¸c˜ao:
f(ω) =
σ
2
ξ
2π
|
Θ(e
iω
)
Φ(e
iω
)
|
2
[4 sin
2
(
ω
2
)]
−d
(1.12)
para ω [−π ; π]. Quando o valor de ω vai se aproximando de zero, a express˜ao
em (1.12) pode ser escrita como:
f(ω) ≈ ω
−2d
. (1.13)
Ent˜ao, o espectro do processo X
t
´e n˜ao limitado nas baixas freq
¨
uˆencias e o
processo tem mem´oria longa. No caso de valores de d < 0, a densidade espectral do
processo se anula na freq
¨
uˆencia zero e, quando o valor de d > 0, 5 o processo tem
variˆancia infinita. Como um exemplo, a fun¸c˜ao de densidade espectral do modelo
ARFIMA(1,d,0) ´e da forma:
f(ω) =
σ
2
ξ
2π
(2 sin(
ω
2
)
−2d
(1+φ
2
−2φ cos(ω)
; 0 < ω π
ω
−2
(1−φ)
2
; ω → 0
(1.14)
20
1.4.2 Fun¸c˜oes de Autocovariˆancia e Autocorrela¸c˜ao
Hosking (1981) derivou as express˜oes exatas para a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao
para o modelo ARFIMA(p,d,q) e provou que se d < 0, 5 existe uma constante
positiva C de modo que a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao decresce hiperb´olicamente e as
autocorrela¸c˜oes n˜ao s˜ao absolutamente som´aveis. A fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao tem
a seguinte rela¸c˜ao assint´otica:
ρ(k) ≈ Ck
2d−1
(1.15)
quando k −→ ∞. Sowell (1992a) simplificou o c´alculo das express˜oes para as
autocovariˆancias e mostrou que:
γ
k
= σ
2
p
j=1
ζ
j
q
n=0
q
m=0
θ
n
θ
m
C(d, d, p + n − m − k, λ
j
) (1.16)
sendo:
• λ
j
a j-´esima raiz do polinˆomio Φ(L);
• ζ
j
= [λ
j
i=1,p
(1 − ρ
i
ρ
j
)
i=1,p
(ρ
i
− ρ
j
)
−1
;
• C(w, v, k, ρ) = G(w, v, k)[ρ
2p
F (v+k; 1; 1−w+k; ρ)+F (w−k, 1; 1−v−k; ρ)−1].
• G(w, v, k) =
Γ(1−w−v)Γ(v+k)
Γ(1−w+k)Γ(1−v)Γ(v)
;
Chung (1994a) apresentou um m´etodo alternativo para o c´alculo das auto-
covariˆancias do processo ARFIMA(p,d,q), o qual ´e apresentado a seguir:
γ
k
=
q
j=−q
a
j
p
n=1
θ
n
C(k − p − j; ψ
n
) (1.17)
onde:
21
• C(k − p − j; ψ
k
) = ψ
2p
k
∞
m=0
ψ
m
k
γ
∗
k−p−j−m
+
∞
n=1
ψ
n
k
γ
∗
k−p−j+n
;
• γ
∗
k
´e a autocovariˆancia no lag k de um processo ARFIMA(0,d,0)
• a
k
= [ψ
k
i=1,p
(1 − ψ
i
ψ
k
)
m=,p
(ψ
k
− ψ
m
)]
−1
, k = 1,p
• ψ
j
=
q−|j|
i=0
θ
i
θ
i+|j|
1.5 M´etodos de Estima¸c˜ao.
Os m´etodos de estima¸c˜ao dos modelos ARFIMA s˜ao classificados em trˆes grandes
grupos: m´etodos param´etricos, m´etodos semi-param´etricos e m´etodos n˜ao param´e-
tricos. Nesta sec¸c˜ao apresentamos somente os dois primeiros m´etodos pelo fato de
serem os mais usados na literatura atual.
1.5.1 M´etodos Param´etricos
Os m´etodos de estima¸c˜ao param´etricos precisam da especifica¸c˜ao pr´evia de um
modelo param´etrico para os dados, o que implica a especifica¸c˜ao de toda a estrutura
de autocorrela¸c˜ao (de curto e longo prazo) ou da fun¸c˜ao de densidade espectral (em
todas as freq
¨
uˆencias) do modelo.
Esses m´etodos est˜ao baseados na maximiza¸c˜ao da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca
ou de alguma aproxima¸c˜ao dela. Os estimadores obtidos, estimadores de m´axima ve-
rossimilhan¸ca, apresentam ´otimas propriedades como a consistˆencia e a normalidade
assint´otica.
Os primeiros resultados para o mais simples dos modelos fracionalmente in-
tegrados, o modelo ARFIMA(0,d,0), no enfoque param´etrico foram obtidos por Ya-
22
jima(1985) quem mostrou que o estimador do vetor de parˆametros ι = (σ
η
, d) ´e
obtido pela maximiza¸c˜ao da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca exata:
L
1
(ι, x) = −
T
2
ln(2π) −
1
2
ln |Σ(ι)| −
1
2
x
t
Σ
−1
(ι)x (1.18)
onde T ´e o tamanho da s´erie, X ´e o vetor contendo os valores observados do vetor
aleat´orio X, e Σ(ι) a matriz de variˆancias e covariˆancias de X. Maiores detalhes sobre
a forma da verossimilhan¸ca nos modelos ARFIMA (p,d,q) podem ser encontrados
em Dahlhaus(1989).
A principal desvantagem da utiliza¸c˜ao dos m´etodos param´etricos ´e o elevado
custo em tempo computacional na maximiza¸c˜ao da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca que ´e
feita usando m´etodos num´ericos no c´alculo da matriz inversa de Σ em cada itera¸c˜ao.
Al´em disso, se o valor do parˆametro d est´a perto de 0,5, a matriz inversa de Σ
apresenta instabilidade j´a que a mudan¸ca entre as autocovariˆancias ´e m´ınima e a
matriz torna-se singular. Sowell (1992) desenvolveu um algoritmo para o c´alculo da
matriz inversa de Σ a qual ´e substitu´ıda na equa¸c˜ao (1.18). Maiores detalhes sob a
forma de c´alculo da matriz inversa podem ser encontrados em Sowell (1992).
Como uma alternativa na solu¸c˜ao deste problema, Fox e Taqqu (1986) con-
sideram melhor trabalhar com a aproxima¸c˜ao da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca, no
dom´ınio da freq
¨
uˆencia, proposta por Whittle (1962). Os estimadores s˜ao obtidos
minimizando a fun¸c˜ao:
L
2
(ι; x) =
1
4π
π
−π
[ln f(ω; ι) +
I
T
(ω)
f(ω; ι)
]dω (1.19)
sendo f(ω; ι) a fun¸c˜ao de densidade espectral e I
T
(ω) a fun¸c˜ao periodograma definida
23
como:
I(ω
j
) = (2πT )
−1
|
T
t=1
X
t
exp(−iω
j
t)|
2
(1.20)
sendo ω
j
=
2kπ
T
. Fox e Taqqu (1986) provaram a consistˆencia, a normalidade e
eficiˆencia assint´otica dos estimadores de m´axima verossimilhan¸ca de Whittle para
o processo ARFIMA (p,d,q) gaussiano. Estes estimadores s˜ao atraentes pelo fato
de que substituem o c´alculo da matriz inversa Σ pelas transformadas de Fourier do
vetor de observa¸c˜oes. Sob certas condi¸c˜oes, os estimadores obtidos tˆem a mesma
distribui¸c˜ao assint´otica que os estimadores de m´axima verossimilhan¸ca exatos. Mas
ainda assim, o m´etodo proposto por Fox e Taqqu (1986) n˜ao escapa dos problemas
computacionais, pois o c´alculo da integral na equa¸c˜ao (1.19) tamb´em deve ser feito
usando algoritmos num´ericos e repete-se em cada itera¸c˜ao. Com a finalidade de
facilitar o c´alculo, ´e recomend´avel substituir a integral em (1.19) por uma soma
finita nas freq
¨
uˆencias de Fourier dada por:
L
2
(ι; x) =
1
2T
T −1
k=1
[ln f(ω
k
; ι) +
I
T
(ω
k
)
f(ω
k
; ι
] (1.21)
onde ω
k
´e a k-´esima freq
¨
uˆencia de Fourier; ω
k
=
2kπ
T
. Uma vers˜ao discreta do estima-
dor de m´axima verossimilhan¸ca do vetor de parˆametros ι ´e obtida minimizando-se
a fun¸c˜ao em (1.21).
Os estimadores param´etricos gaussianos que temos visto at´e o momento apre-
sentam propriedades boas, como a consistˆencia e eficiˆencia assint´otica, mas como
mostrou Robinson(1995b) os estimadores ser˜ao viciados e n˜ao consistentes no caso
em que o modelo param´etrico para f(ω) n˜ao for o adequado.
24
1.5.2 M´etodos de Estima¸c˜ao Semi-param´etricos
.
Os m´etodos de estima¸c˜ao semi-param´etricos s˜ao uma boa alternativa na esti-
ma¸c˜ao dos parˆametros de modelos estat´ısticos, pois estes procedimentos prescindem
da defini¸c˜ao de um modelo espec´ıfico na estima¸c˜ao do vetor de parˆametros. Estes
m´etodos s˜ao tamb´em conhecidos como m´etodos de estima¸c˜ao em duas etapas, pois
em uma primeira etapa ´e feita a estima¸c˜ao do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria
e, numa segunda etapa ´e feita a estima¸c˜ao dos parˆametros φ e θ do modelo.
1.5.3 O M´etodo GPH
O m´etodo de estima¸c˜ao usado com maior freq
¨
uˆencia ´e proposto por Geweke e
Porter-Hudak (1983). Eles prop˜oem um estimador conhecido como GPH, o qual est´a
baseado numa regress˜ao que utiliza como vari´avel dependente o logaritmo natural
do periodograma. A densidade espectral de um processo ARFIMA (p,d,q) pode ser
escrita como:
f(ω) = f
U
(ω)[4 sin
2
(
ω
2
)]
−d
(1.22)
sendo f
U
(ω) ´e a densidade espectral do processo u
t
∼ ARMA(p, q) ent˜ao:
f
U
(ω) =
σ
2
η
2π
|
Θ(e
iω
)
Φ(e
iω
)
|
2
(1.23)
Tomando o logaritmo na equa¸c˜ao (1.22), e adicionando e subtraindo o termo ln f
U
(0)
de os lados, temos que:
ln f(ω) = ln f
U
(0) − d ln[4 sin
2
(
ω
2
)] + ln{
f
U
(ω)
f
U
(0)
} (1.24)
25
Na equa¸c˜ao (1.24), substituindo ω por ω
j
=
2jπ
T
e adicionando ln I(ω
j
) temos que:
ln I(ω
j
) = ln f
U
(0) − d ln[4 sin(
ω
j
2
)] + ln{
f
U
(ω
j
)
f
U
(0)
} + ln{
I(ω
j
)
f(ω
j
)
} (1.25)
Em (1.25), o termo ln{
f
U
(ω
j
)
f
U
(0)
} ´e considerado desprez´ıvel em compara¸c˜ao com os
outros termos. Assim, a equa¸c˜ao obtida ´e aproximada por:
ln I(ω
j
)
∼
=
ln f
U
(0) − d ln[4 sin(
ω
j
2
)] + ln(
I(ω
j
)
f(ω
j
)
) (1.26)
a qual pode ser expressa como uma equa¸c˜ao de regress˜ao da seguinte forma:
Y
j
= a + bX
j
+ e
j
(1.27)
onde:
• Y
j
= ln I(ω
j
);
• a = ln f
U
(0);
• b = - d;
• X
j
= ln(4 sin(
ω
j
2
));
• e
j
= ln{
I(ω
j
)
f(ω
j
)
}.
Sendo o estimador de d a constante -b da equa¸c˜ao em (1.27). Naturalmente, as pro-
priedades deste estimador v˜ao depender das caracter´ısticas estoc´asticas do termo
e
j
. Geweke e Porter-Hudak (1983) argumentam que os erros e
j
s˜ao assintoticamente
26
independentes e igualmente distribu´ıdos com m´edia zero e variˆancia
π
2
6
. Posteri-
ormente, Hassler(1993), Cheng, Abraham e Peris (1994) e Reisen(1994) prop˜oem
uma modifica¸c˜ao do estimador usando o periodograma suavizado. Reisen (1994)
mostrou, mediante estudos de simula¸c˜ao, que esta modifica¸c˜ao fornece estimativas
do parˆametro d com menor erro quadr´atico m´edio. Robinson(1995a) prop˜oe um
estimador que ´e uma vers˜ao modificada e mais eficiente que o estimador GPH, al´em
de mostrar a consistˆencia e a normalidade do estimador para d (-0,5 ; 0,5). Uma
revis˜ao destes m´etodos de estima¸c˜ao e feita por Reisen, Abraham e Toscano (2000).
Agiaklogou (1992) mostrou que a n˜ao constˆancia da variˆancia na distribui¸c˜ao
do termo e
j
pode gerar um v´ıcio significativo, o qual pode ser maior quando o modelo
tem parˆametros autoregressivos e de m´edia m´ovel de valor elevado. Pons e Suri˜nach
(1999) mostram que ´e poss´ıvel reduzir o v´ıcio usando uma extens˜ao do modelo de
regress˜ao na equa¸c˜ao (1.26). Eles utilizam a parametriza¸c˜ao do modelo exponencial
de Bloomfield (1973) e afirmam que a inclus˜ao de regressores permite discriminar as
componentes de mem´oria longa das componentes de mem´oria curta, o que melhora a
estima¸c˜ao do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria quando o processo apresenta uma
ordem elevada de parˆametros de m´edia m´ovel e autoregressivos.
27
Cap´ıtulo 2
Modelo ARFIMA (0,d,0) na
presen¸ca de quebras estruturais
2.1 Quebras Estruturais
O estudo de quebras estruturais em s´eries financeiras e econˆomicas tem sido,
nos ´ultimos anos, centro da aten¸c˜ao da pesquisa econˆomica. Acontecimentos como
a Grande Depress~ao em 1929, a crise do petr´oleo em 1973 e as mudan¸cas nas
pol´ıticas econˆomicas na economia mundial motivaram o estudo de novos modelos que
incorporassem esses efeitos para poder realizar uma melhor avalia¸c˜ao das pol´ıticas
econˆomicas. Engle, Hendry e Richard (1983) j´a tinham referido que a estabilidade
do modelo estimado ´e crucial para fazer uma avalia¸c˜ao do impacto das pol´ıticas de
interven¸c˜ao num sistema macroeconˆomico.
A presen¸ca de quebras estruturais numa s´erie temporal pode levar a inferir
err´oneamente a presen¸ca de uma raiz unit´aria na s´erie temporal, quando de fato a
s´erie em estudo n˜ao apresenta esta caracter´ıstica. Estudos recentes mostraram que
a presen¸ca de quebras estruturais em uma s´erie temporal tamb´em gera efeito de
28
mem´oria longa na fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao, quando esse efeito realmente n˜ao est´a
presente na s´erie temporal. As solu¸c˜oes para este problema tˆem sido diversas. A
literatura estat´ıstica como a econom´etrica faz referˆencia a uma quantidade consi-
der´avel de testes para determinar a presen¸ca ou n˜ao de quebras estruturais numa
s´erie.
Seguindo Perron (2005), consideremos o modelo de regress˜ao mais simples
{y
t
; t = 1, . . . , T }:
y
t
= µ
1
+ µ
2
I
{t>λT }
+ ε
t
(2.1)
onde ε
t
∼ i.i.d.(0, σ
2
ε
), I
{t>λT }
, 0 < λ < 1, ´e uma vari´avel indicadora que
indica a mudan¸ca no n´ıvel no instante t
0
= λ T. Uma das discuss˜oes neste tema ´e
se devemos considerar o ponto de mudan¸ca conhecido ou se ele deve ser estimado
a partir dos dados. Chow (1960) apresentou uma estat´ıstica para testar a hip´otese
de n˜ao presen¸ca de quebras estruturais numa s´erie quando o ponto de mudan¸ca ´e
conhecido. Quandt (1960) argumenta que os pontos de mudan¸ca no modelo (2.1) s˜ao
desconhecidos e prop˜oe um teste em que considera a hip´otese nula de n˜ao existˆencia
de quebras estruturais versus a hip´otese alternativa que o modelo apresenta uma
mudan¸ca na m´edia num instante de tempo desconhecido. Quandt (1960) tamb´em
apresenta o teste Sup F, ou teste de raz˜ao de verossimilhan¸cas, que testa mudan¸cas
nos parˆametros do modelo. A estat´ıstica de teste ´e avaliada no tempo de quebra que
maximiza a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca. Quandt (1960) encontrou uma distribui¸c˜ao
limite para esta estat´ıstica, e fez o calculo de valores cr´ıticos para alguns casos.
Posteriormente ao trabalho de Quandt (1960), Gadner (1969) de Chernoff e
Zacks (1964) e Kander e Zacks (1966) prop˜oem um teste alternativo baseado nas
sugest˜oes feitas por Page (1955, 1957), usando as somas parciais dos dados centrados
na m´edia para a an´alise de quebras estruturais na s´erie. McNeill (1978) fez uma
29
extens˜ao do procedimento para testar a presen¸ca de quebras estruturais numa s´erie
com tendˆencia polinomial. A equa¸c˜ao do modelo considerado por ele ´e:
y
t
=
p
i=0
β
i,t
t
i
+ ε
t
β
i,t
= β
i
+ δ
i
I
{t>t
0
}
(2.2)
onde p ´e o grau do polinˆomio e t
0
o instante do tempo onde ocorre a quebra. A n˜ao
presen¸ca de quebras estruturais no modelo implica que todos os valores de δ
i
= 0,
sob essa hip´otese nula, a estat´ıstica proposta por MacNeill (1978) para fazer o teste
´e apresentada a seguir:
Q
p
=
ˆ
σ
−2
ε
T
−2
T
t=1
[
T
j=t+1
ˆε
j
]
2
(2.3)
onde
ˆ
σ
−2
ε
= T
−1
T
t=1
ˆε
t
2
, ˆε
t
2
s˜ao os res´ıduos obtidos a partir da regress˜ao (2.2). A
distribui¸c˜ao limite para esta estat´ıstica ´e dada por Q =⇒
1
0
B
p
(r)
2
dr, onde B
p
(r)
representa a ponte browniana generalizada. MacNeill (1978) fez o calculo dos valores
cr´ıticos fazendo uso de m´etodos num´ericos. Perron(1991), Tang e McNeill (1993)
fizeram a extens˜ao deste teste quando os erros ε
t
apresentam dependˆencia. Perron
(1991) apresenta uma estat´ıstica a qual sob certas condi¸c˜oes apresenta a mesma
distribui¸c˜ao limite que a estat´ıstica em (2.3):
Q
∗
p
=
ˆ
h
ε
(0)
−1
T
−2
T
t=1
[
T
j=t+1
ˆε
j
]
2
(2.4)
onde
ˆ
h
ε
(0) ´e uma estimativa consistente da fun¸c˜ao de densidade espectral do vetor
ε
t
avaliada na freq
¨
uˆencia zero. Esta estat´ıstica ´e bem conhecida pelos economistas,
o chamado teste KPSS, o que ´e usado para testar a hip´otese nula de um modelo
30
estacion´ario versus a alternativa de um modelo com presen¸ca de raiz unit´aria. Na
literatura econˆomica tem-se proposto extens˜oes deste teste, sendo a proposta por
Nyblom e Harvey (2000) a mais conhecida para fazer testes de cointegra¸c˜ao . Outras
extens˜oes foram feitas por Jandhyyala e MacNeill (1992), Hansen (1992) e Qu(2004).
A mensagem importante nesta r´apida revis˜ao ´e que uma mesma estat´ıstica
pode ser aplicada para testar estacionariedade versus a presen¸ca de uma raiz uni-
t´aria, ou a presen¸ca de uma quebra estrutural. Isto mostra que estes dois temas
est˜ao muito relacionados. Ent˜ao, evidˆencias sobre a presen¸ca de ra´ızes unit´arias
numa s´erie temporal podem ser originadas pela presen¸ca de quebras estruturais e
vice-versa.
´
E poss´ıvel fazer um paralelo a partir do coment´ario de Perron (2005), mas no
contexto de processos de longa dependˆencia. Voltando aos trabalhos de Page(1955,
1957), quem apresentou a seguinte estat´ıstica baseada na soma parcial dos dados
centrados para testar a presen¸ca de quebras estruturais em uma s´erie temporal:
max
0≤r≤T
[S
r
− min
0≤i≤r
S
i
] e max
0≤r≤T
[ min
0≤i≤r
S
i
− S
r
] (2.5)
sendo S
r
=
r
j=1
(y
j
−¯y). Ent˜ao, a hip´otese nula de n˜ao presen¸ca de quebras estruturais
no n´ıvel ser´a rejeitada se a soma parcial aumenta significativamente a partir de seu
valor m´ınimo pr´evio, ou diminui significativamente a partir de seu valor m´aximo
pr´evio. Nadler e Robbins (1971) mostraram que a estat´ıstica em (2.5) ´e equivalente
`a estat´ıstica apresentada a seguir:
R/S =
1
S
n
[ max
0≤r≤T
S
r
− min
0≤r≤T
S
r
] (2.6)
31
onde S
n
= [
1
n
r
j=1
(y
j
− ¯y)
2
]
1
2
. Mas esta ´e a estat´ıstica de amplitude relativa proposta
por Hurst (1951). Esta estat´ıstica ´e usada para testar a hip´otese de mem´oria curta
contra a alternativa de mem´oria longa numa s´erie temporal. Ent˜ao, a presen¸ca de
mem´oria longa em uma s´erie pode ser atribu´ıda `a presen¸ca de quebras estruturais e
vice-versa.
A discuss˜ao que surge ´e como entender a natureza destas mudan¸cas. Sob o
ponto de vista da modelagem estat´ıstica, as mudan¸cas que acontecem na tendˆencia
deveriam ser assumidas como de natureza estoc´astica, mas de uma natureza diferente
daqueles choques aleat´orios que acontecem em cada per´ıodo. Isto significa que essas
mudan¸cas prov´em de uma distribui¸c˜ao de probabilidade diferente, mas pelo fato
de que estas mudan¸cas s˜ao poucofreqentes”, torna-se dif´ıcil a especifica¸c˜ao e a
estima¸c˜ao dessa distribui¸c˜ao de probabilidade. Considerando que as mudan¸cas s˜ao
determin´ısticas, sob a suposi¸c˜ao de que acontecem devido `a interven¸c˜ao de algum
agente externo,o qual ocorre com freq
¨
uˆencia em s´eries econˆomicas.
O prop´osito desta disserta¸c˜ao ´e discutir a estima¸c˜ao de processos ARFIMA
(0,d,0) que apresentam quebras estruturais. Neste trabalho n˜ao ser˜ao estudadas as
quest˜oes de quebras estruturais e ra´ızes unit´arias.
32
2.2 Estima¸c˜ao de Modelos ARFIMA (0,d,0) com
quebra estrutural
2.2.1 Modelos ARFIMA(0,d,0) com quebra estrutural no
n´ıvel e tendˆencia
Seguindo a id´eia de Tsay (1988) e Robinson (1994a), n´os podemos considerar o
processo X
t
, definido em (1.1), como um processo n˜ao observ´avel. Assim, a s´erie
que apresenta quebras estruturais pode ser expressa como uma rela¸c˜ao:
Y
t
= f(t) + X
t
(2.7)
onde f(t) ´e uma fun¸c˜ao param´etrica que representa as perturba¸c˜oes que afetam X
t
.
Essa fun¸c˜ao pode ser de natureza determin´ıstica ou estoc´astica, segundo o tipo de
perturba¸c˜ao.
Considerando f(t) como uma fun¸c˜ao determin´ıstica, assim como Perron (2005),
podemos definir os seguintes modelos:
Modelo 1 : Mudan¸ca no n´ıvel de uma s´erie sem tendˆencia.
Y
t
= µ
1
+ (µ
2
− µ
1
)DU
t
+ X
t
(2.8)
Modelo 2: Mudan¸ca no n´ıvel em uma s´erie com tendˆencia.
Y
t
= µ
1
+ βt + (µ
2
− µ
1
)DU
t
+ X
t
(2.9)
33
Modelo 3: Mudan¸ca na tendˆencia.
Y
t
= µ
1
+ β
1
t + (β
2
− β
1
)DT
t
+ X
t
(2.10)
onde µ
1
, µ
2
, β
1
, β
2
s˜ao os parˆametros da fun¸c˜ao f(t), DU
t
e DT
t
s˜ao vari´aveis que
indicam o instante do tempo t
0
= λT, 0 < λ < 1, em que ocorre a mudan¸ca na
s´erie. Para os modelos 1 e 2 temos que:
DU
t
=
0 , t < t
0
1 , t ≥ t
0
(2.11)
No caso do modelo 3 temos que:
DT
t
=
0 , t < t
0
t − t
0
, t ≥ t
0
(2.12)
Para os modelos definidos em (2.8), (2.9) e (2.10), aplicando esperan¸ca `a
fun¸c˜ao em (2.7) temos express˜ao para o valor esperado de Y
t
:
E(Y
t
) = E(f(t) + X
t
).
onde para o modelo 1:
E(Y
t
) =
µ
1
+ E(X
t
) , t < t
0
µ
2
+ E(X
t
) , t ≥ t
0
(2.13)
34
para o modelo 2:
E(Y
t
) =
µ
1
+ βt + E(X
t
) , t < t
0
µ
2
+ βt + E(X
t
) , t ≥ t
0
(2.14)
Finalmente, para o modelo 3:
E(Y
t
) =
µ
1
+ β
1
t + E(X
t
) , t < t
0
µ
1
+ β
2
t + (β
1
− β
2
)t
0
+ E(X
t
) , t ≥ t
0
(2.15)
A variˆancia do modelo geral, pelo fato que f(t) ´e determin´ıstica ´e dada por:
V ar(Y
t
) = V ar(f(t) + X
t
).
V ar(Y
t
) = V ar(X
t
).
Observa-se que para estes modelos somente o valor esperado do modelo geral
muda na presen¸ca de quebras estruturais no n´ıvel e tendˆencia da s´erie. Uma forma
geral dos modelos ´e como segue:
Y
t
= Z
t
β
+ X
t
(2.16)
que pode ser escrita da seguinte forma:
Y
t
− Z
t
β
= X
t
.
35
Aplicando operador de diferencia¸c˜ao obtemos:
(1 − L)
d
(
Y
t
− Z
t
β
)=(1 − L)
d
X
t
Finalmente:
(1 − L)
d
(
Y
t
− Z
t
β
t
)
Y
∗
t
=µ
t
sendo o vetor
Y
t
uma seq
¨
uˆencia observada, Z
t
= (z
t1
, . . . , z
tl
)
um vetor de dimens˜ao
”l”de regressores n˜ao estoc´asticos e β = (β
1
, . . . , β
l
) s˜ao os parˆametros a estimar.
As componentes de Z
t
s˜ao n˜ao estoc´asticas, s˜ao fun¸c˜oes do tipo impulso ou de grau
como as definidas em (2.11) e (2.12) as quais absorvem o efeito da quebra estrutural
para um ponto de mudan¸ca determinado.
2.2.2 Modelos com quebra estrutural na variˆancia
Tsay (1988) apresenta o caso em que f(t) ´e estoc´astica e assume a seguinte forma:
f(t) = ω
0
ω(L)
δ(L)
e
(t
0
)
t
(2.17)
onde ω
0
´e a constante que indica o impacto inicial da perturba¸c˜ao, ω(L) e δ(L) s˜ao
polinˆomios de ordem p e q respectivamente no operador L ´e LX
t
= X
t−1
. O termo
e
(t
0
)
t
´e definido a seguir:
e
(t
0
)
t
=
0 , t < t
0
{e
(t
0
)
t
} , t ≥ t
0
36
Neste caso, e
(t
0
)
t
´e uma seq
¨
uˆencia de vari´aveis aleat´orias independentes e identi-
camente distribu´ıdas com m´edia zero e variˆancia σ
2
e
. A fun¸c˜ao f(t) que afeta a
variˆancia de Y
t
, ser´a usada nesta disserta¸c˜ao para fazer a modelagem das mudan¸cas
na variˆancia de X
t
.
No caso do modelo com quebra na variˆancia, consideremos f(t) como na
equa¸c˜ao (2.17). Ent˜ao, sejam ω
o
= W ,
ω(L)
δ(L)
=
Θ(L)
Φ(L)
e e
(t
0
)
t
= X
t
para t ≥ t
0
.
Defina-se X
t
ARFIMA (p,d,q) tal que X
t
∼ (µ; σ
2
ξ
) ent˜ao:
f(t) =
0 , t < t
0
W
Θ(L)
Φ(L)
X
t
, t ≥ t
0
e no caso t ≥ t
0
, substituindo no modelo (2.7) o valor de f(t) pela express˜ao definida
em (2.17) com os valores de ω
o
,
ω(L)
δ(L)
e e
(t
0
)
t
definidos acima tem-se que:
Y
t
= W
Θ(L)
Φ(L)
X
t
+ X
t
Φ(L)
Θ(L)
Y
t
= W
Φ(L)
Θ(L)
Θ(L)
Φ(L)
X
t
+
Φ(L)
Θ(L)
X
t
Φ(L)
Θ(L)
Y
t
= W X
t
+
Φ(L)
Θ(L)
X
t
Mas como X
t
´e um ARFIMA(0,d,0), ent˜ao
Φ(L)
Θ(L)
= 1. Assim, a m´edia ´e dada por
E(Y
t
) = (1+W
v
)µ e a variˆancia muda de σ
2
ξ
para (1+W )σ
2
ξ
no instante de tempo t
0
.
Sem perda da generalidade, pode-se assumir que −1 < W < ∞, e ent˜ao o modelo
com mudan¸ca estrutural na variˆancia ´e dado por:
Modelo 4 : Y
t
=
X
t
; t < t
0
(1 + W
v
)X
t
; t ≥ t
0
(2.18)
Como uma extens˜ao do modelo 1 e o modelo 4, temos um modelo que apre-
senta uma quebra estrutural no n´ıvel e uma quebra estrutural na variˆancia, que ´e
dado por:
37
Modelo 5 : Y
t
= µ
1
+ (µ
2
− µ
1
)DU
t
+ Z
t
, (2.19)
Z
t
=
X
t
; t <τ
0
(1 + W
v
)X
t
; t ≥τ
0
2.2.3 Estima¸c˜ao de Modelos ARFIMA (0,d,0) com quebra
estrutural no n´ıvel e tendˆencia.
Para estimar os parˆametros do modelo ARFIMA (0,d,0) na presen¸ca de quebras
estruturais, quando os pontos de mudan¸ca s˜ao conhecidos, n´os assumimos a id´eia
apresentada por Robinson (1994a). O vetor param´etrico neste caso est´a formado
por Λ = {β, d, σ
2
η
}.
´
E poss´ıvel tentar modelar a quebra estrutural retirando a parte
determin´ıstica do modelo, que implica a estima¸c˜ao do vetor de parˆametros β e dos
res´ıduos correspondentes a essa regress˜ao. O m´etodo de estima¸c˜ao sugerido ´e o
m´etodo de m´ınimos quadrados ordin´arios (OLS). Seja Y
T
= (y
1
, . . . , y
T
)
a seq
¨
uˆen-
cia de observa¸c˜oes,
ˆ
β
T
= (
ˆ
β
1
T
, . . . ,
ˆ
β
l
T
) o estimador OLS de β, e
T
= (e
1
, . . . e
T
) o
vetor de res´ıduos estimados. Ent˜ao as estimativas de β e dos res´ıduos s˜ao dadas
respectivamente por:
ˆ
β
T
= (
T
t=1
Z
t
Z
t
)
−1
T
t=1
Z
T
y
t
(2.20)
e
T
=
Y t − Z
t
ˆ
β
T
(2.21)
38
Os res´ıduos estimados tornam-se ent˜ao uma nova s´erie, que ´e utilizada para a
estima¸c˜ao do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria pelo m´etodo proposto por Geweke
e Porter-Hudak (1983), descrito no cap´ıtulo 1.
Considerando que o termo X
t
apresenta uma estrutura de autocorrela¸c˜ao que
n˜ao ´e compat´ıvel com aquela apresentada pelo modelo de regress˜ao linear com erros
normais independentes, temos que analizar como esse fato afeta as estimativas de
m´ınimos quadrados do vetor β no modelo em (2.16). Segundo Yajima (1985),
o estimador de m´ınimos quadrados quando o modelo apresenta erros de mem´oria
longa ´e consistente, mas n˜ao ´e mais eficiente. Yajima (1985, 1988) mostra tamb´em
que esta perda n˜ao ´e severa. Andested (1974) mostrou que somente a estimativa
OLS do vector de parˆametros β apresenta uma perda de eficiˆencia do 2% em rela¸c˜ao
a estimativa obtida pelo m´etodo de m´ınimos quadrados generalizados (GLS) no
modelo 1. Mais detalhes podem ser encontrados em Yajima (1985,1988) e Andested
(1974).
O procedimento descrito anteriormente ´e equivalente a fazer uma interven¸c˜ao
no periodograma da s´erie. O periodograma definido em (1.20) pode ser escrito
incluindo-se o efeito da mudan¸ca no valor esperado da s´erie. A seguir apresentamos
a forma como ´e considerada essa mudan¸ca.
I(ω
j
) = (2πT )
−1
|
T
t=1
Y
t
exp(−iω
j
t)|
2
I(ω
j
) = (2πT )
−1
|
T
t=1
(Y
t
− E(Y
t
))exp(−iω
j
t)|
2
sendo o valor esperado de Y
t
definido para cada modelo em (2.13), (2.14) e (2.15)
respectivamente. Ent˜ao, o pseudo-periodograma da s´erie Y
t
ser´a:
I(ω
j
) = (2πT )
−1
|
t
0
−1
t=1
(Y
t
− E(Y
t
))exp(−iω
j
t) +
T
t=t
0
(Y
t
− E(Y
t
)exp(−iω
j
t)|
2
(2.22)
39
a express˜ao (2.22) ser´a utilizada na estima¸c˜ao do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria
pelo m´etodo GPH descrito no cap´ıtulo 1.
2.2.4 Estima¸c˜ao de Modelos ARFIMA (0,d,0) com quebra
estrutural na variˆancia.
Tsay (1988) apresenta uma estat´ıstica de teste para detectar mudan¸cas na vari-
ˆancia quando o ponto de mudan¸ca ´e conhecido:
ˆr
t
0
=
(t
0
− 1)
T
t=t
0
Y
2
t
(T − t
0
+ 1)
t
0
−1
t=1
Y
2
t
(2.23)
Esta estat´ıstica est´a baseada na raz˜ao dos valores de Y
t
antes e depois do instante
do tempo em que ocorre a mudan¸ca, al´em de ser o estimador de (1 + W
v
)
2
. Sob a
hip´otese nula de n˜ao existir uma mudan¸ca na variˆancia no instante t
0
, a estat´ıstica
ˆr
t
0
tem uma distribui¸c˜ao F com (T-t
0
+1 , t
0
-1) graus de liberdade. Esse teste ´e o
mais poderoso para detectar mudan¸cas na variˆancia quando o instante de tempo t
0
´e conhecido. Quando t
0
´e desconhecido, outros testes podem ser constru´ıdos, Hsu
(1977), mas nenhum desses testes tem uma forma fechada de distribui¸c˜ao quando o
tamanho da amostra ´e maior que 2 (Tsay, 1988).
40
Cap´ıtulo 3
Simula¸c˜oes
3.1 Introdu¸c˜ao
Neste cap´ıtulo, apresentamos simula¸c˜oes de Monte Carlo dos modelos apresenta-
dos no cap´ıtulo 2 com o prop´osito de verificar algumas propriedades dos parˆametros
desses modelos. O objetivo principal foi verificar o efeito da quebra estrutural na
estima¸c˜ao do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria nos modelos sugeridos no cap´ıtulo
2.
A posi¸c˜ao da quebra estrutural foi considerada no meio da s´erie isto ´e t
0
=λT,
sendo λ = 0, 5, pelo fato de que simula¸c˜oes preliminares mostraram que quando o
tempo de quebra ´e conhecido os valores das estimativas do parˆametro de integra¸c˜ao
fracion´aria n˜ao apresentam mudan¸cas importantes. Os tamanhos de amostra con-
siderados foram de T=300 e T=500 no caso dos modelos 1 e 5 definidos em (2.8) e
(2.19) respectivamente. Foram feitas 5000 r´eplicas do processo ARFIMA(0,d,0) no
caso dos modelos em que o ponto de mudan¸ca ´e conhecido, e 500 r´eplicas nos casos
em que o ponto de mudan¸ca ´e desconhecido. Os valores do parˆametro de integra¸c˜ao
fracion´aria considerados neste trabalho foram: d=0,10; 0,20; 0,30; 0,40. Os tama-
41
nhos dos saltos, isto ´e, os valores dos coeficientes β
i
, µ
i
, i=1,2 e W
v
, foram
escolhidos arbitrariamente.
O processo de simula¸c˜ao e estima¸c˜ao em todos os modelos foram implemen-
tados no software R; a simula¸c˜ao dos processos ARFIMA foi feita utilizando-se o
pacote fraccdiff.sim, que gera processos fracion´arios atrav´es do algoritmo proposto
por Haslett and Raftery (1989); a estima¸c˜ao dos pontos de mudan¸ca foi feita no
pacote strucchange que avalia as mudan¸cas estruturais em modelos de regress˜ao
linear usando os m´etodos CUSUM, MOSUM para a estima¸c˜ao dos pontos de mu-
dan¸ca. Maiores referˆencias podem ser encontradas em Bai e Perron (1998,2003) e
Zeileis, Kr
¨
amer e Hornik (2003).
A metodologia de simula¸c˜ao foi a seguinte:
1. Simula¸c˜ao do modelo ARFIMA em estudo;
2. Estima¸c˜ao do ponto de mudan¸ca (quando este ´e desconhecido);
3. Constru¸c˜ao da vari´avel indicadora com a informa¸c˜ao fornecida pelo item 2;
4. An´alise de regress˜ao: c´alculo das estimativas dos parˆametros do modelo e dos
res´ıduos.
5. Estima¸c˜ao do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria usando-se a s´erie de res´ıduos
obtida no item 4.
Denotamos por
ˆ
d
GP H
1
o estimador do parˆametro d obtido levando-se em conta
a metodologia sugerida na cap´ıtulo 2 e, por
ˆ
d
MV
a estimativa do mesmo parˆametro
obtido pelo m´etodo de m´axima verossimilhan¸ca. No caso do modelo 1 definido em
(2.8), foi estimado o valor do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria, quando a quebra
42
estrutural n˜ao ´e considerada na modelagem, com a finalidade de mostrar o com-
portamento n˜ao estacion´ario da s´erie originada pela quebra estrutural e fazer uma
compara¸c˜ao da metodologia apresentada no cap´ıtulo 2 com os resultados obtidos por
Tavares (2004). Essa estimativa ´e denotada por
ˆ
d
GP H
2
. A seguir apresentamos os
principais resultados das simula¸c˜oes feitas para cada um dos modelos apresentados
no cap´ıtulo 2.
3.2 Resultados das Simula¸c˜oes do Modelo 1
O Modelo 1 definido em (2.8) ´e usado na modelagem de s´eries temporais que
apresentam uma quebra estrutural no n´ıvel num instante de tempo t
0
=
T
2
conhecido.
A Figura 3.1 apresenta um gr´afico de uma s´erie correspondente a este modelo obtido
a partir de um processo de simula¸c˜ao.
Os resultados da estima¸c˜ao do modelo considerando o ponto de mudan¸ca
conhecido para T=300 e T=500 s˜ao apresentados nas Tabelas 3.1 e 3.2 respectiva-
mente. Podemos observar que o estimador de (µ
2
− µ
1
) apresenta uma distribui¸c˜ao
do v´ıcio com m´edia em torno do valor zero e uma dispers˜ao maior naqueles processos
onde o valor de d est´a mais pr´oximo da regi˜ao de n˜ao estacionariedade. Tamb´em
pode ser observada uma diminui¸c˜ao na dispers˜ao da distribui¸c˜ao quando o tamanho
de amostra aumenta. (ver Figura 3.2).
Os resultados referentes `as estimativas do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´a-
ria considerando a quebra estrutural, podemos observar que o v´ıcio do estimador
deste parˆametro apresenta uma distribui¸c˜ao centrada em torno do valor zero e uma
variabilidade menor quando o tamanho de amostra aumenta (ver Figura 3.3). Tam-
b´em pode ser observado que os valores do coeficiente de varia¸c˜ao deste estimador
43
diminuem quando o valor real do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria est´a pr´oximo
da regi˜ao de n˜ao estacionariedade (ver Tabela 3.2). Comparando as estimativas
ˆ
d
GP H
1
, considerando a quebra estrutural, com as estimativas do parˆametro de inte-
gra¸c˜ao fracion´aria obtidas sem considerar a quebra estrutural na modelagem
ˆ
d
GP H
2
,
observamos caracter´ısticas similares em variabilidade, mas a distribui¸c˜ao do v´ıcio do
estimador n˜ao est´a mais centrada em torno do valor zero (ver Figuras 3.4 e 3.5).
Na Tabela 3.3 e 3.4 apresentamos a estima¸c˜ao do modelo 1 quando o ponto
de mudan¸ca ´e desconhecido. Observamos que em m´edia o programa R identificou o
ponto de mudan¸ca certo, melhorando o percentual de acertos na estima¸c˜ao do ponto
real quando o processo apresenta valores de d pr´oximos do valor zero, e o tamanho do
salto (µ
2
− µ
1
) ´e grande (ver Tabela 3.3). Na Tabela 3.4 apresentamos os resultados
da estima¸c˜ao deste modelo. Observamos que os estimadores dos parˆametros µ
1
, µ
2
−
µ
1
e do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria, apresentam caracter´ısticas similares,
na distribui¸c˜ao do v´ıcio e variabilidade, que as obtidas quando o ponto de mudan¸ca
´e conhecido.
Figura 3.1: Modelo 1: Y
t
= µ
1
+ (µ
2
− µ
1
)DU
t
+ X
t
, T=300, λ = 0.5, µ
1
= 0
44
Tabela 3.1: Resultados da estima¸c˜ao do Modelo 1: Y
t
= µ
1
+ (µ
2
− µ
1
)DU
t
+ X
t
;
ARFIMA (0,d,0) com uma quebra estrutural quando o ponto de mudan¸ca ´e conhecido.
T=300, λ = 0, 50, µ
1
= 0
d µ
2
1 2 3
ˆµ
2
ˆ
d
GP H
1
ˆ
d
GP H
2
ˆµ
2
ˆ
d
GP H
1
ˆ
d
GP H
2
ˆµ
2
ˆ
d
GP H
1
ˆ
d
GP H
2
0,1 M´edia 1,0019 0,0975 0,1935 1,9982 0,0984 0,2707 3,0027 0,0969 0,3287
Desv. Padr˜ao 0,1312 0,0625 0,0571 0,1325 0,0630 0,0538 0,1303 0,0623 0,0531
V´ıcio 0,0019 -0,0025 0,0935 -0,0018 -0,0016 0,1707 0,0027 -0,0031 0,2287
EQM 0,0172 0,0039 0,0120 0,0175 0,0040 0,0320 0,0170 0,0039 0,0551
C.V. 0,1310 0,6413 0,2950 0,0663 0,6409 0,1989 0,0434 0,6434 0,1616
0,2 M´edia 0,9982 0,1997 0,2687 2,0003 0,2014 0,3377 3,0012 0,2001 0,3918
Desv. Padr˜ao 0,2194 0,0631 0,0593 0,2215 0,0623 0,0563 0,2206 0,0627 0,0539
V´ıcio -0,0018 -0,0003 0,0687 0,0003 0,0014 0,1377 0,0012 0,0001 0,1918
EQM 0,0481 0,0040 0,0082 0,0491 0,0039 0,0221 0,0487 0,0039 0,0397
C.V. 0,2198 0,3157 0,2207 0,1107 0,3092 0,1668 0,0735 0,3132 0,1376
0,3 M´edia 0,9978 0,3066 0,3500 1,9965 0,3062 0,4075 3,0018 0,3054 0,4567
Desv. Padr˜ao 0,3987 0,0627 0,0607 0,4008 0,0628 0,0581 0,3943 0,0611 0,0542
V´ıcio -0,0022 0,0066 0,0500 -0,0035 0,0062 0,1075 0,0018 0,0054 0,1567
EQM 0,1590 0,0040 0,0062 0,1607 0,0040 0,0149 0,1555 0,0038 0,0275
C.V. 0,3996 0,2046 0,1736 0,2008 0,2051 0,1426 0,1313 0,2002 0,1186
0,4 M´edia 0,9925 0,4173 0,4334 2,0160 0,4164 0,4780 3,0244 0,4177 0,5248
Desv. Padr˜ao 0,8536 0,0645 0,0639 0,8429 0,0640 0,0613 0,8268 0,0638 0,0584
V´ıcio -0,0075 0,0173 0,0334 0,0160 0,0164 0,0780 0,0244 0,0177 0,1248
EQM 0,7286 0,0045 0,0052 0,7107 0,0044 0,0098 0,6842 0,0044 0,0190
C.V. 0,8600 0,1545 0,1474 0,4181 0,1537 0,1282 0,2734 0,1526 0,1113
45
Tabela 3.2: Resultados da estima¸c˜ao do Modelo 1: Y
t
= µ
1
+ (µ
2
− µ
1
)DU
t
+
X
t
; ARFIMA (0,d,0) com uma quebra estrutural, quando o ponto de mudan¸ca ´e
conhecido. T=500, λ = 0, 50, µ
1
= 0.
d µ
2
1 2 3
Estat´ısticos ˆµ
2
ˆ
d
GP H
1
ˆ
d
GP H
2
ˆµ
2
ˆ
d
GP H
1
ˆ
d
GP H
2
ˆµ
2
ˆ
d
GP H
1
ˆ
d
GP H
2
0,1 M´edia 0,9969 0,0993 0,1770 2,0003 0,0989 0,2396 3,0027 0,0981 0,2894
Desv. Padr˜ao 0,1084 0,0467 0,0435 0,1055 0,0471 0,0421 0,1077 0,0471 0,0407
V´ıcio -0,0031 -0,0007 0,0770 0,0003 -0,0011 0,1396 0,0027 -0,0019 0,1894
EQM 0,0117 0,0022 0,0078 0,0111 0,0022 0,0213 0,0116 0,0022 0,0375
C.V. 0,1087 0,4705 0,2456 0,0528 0,4763 0,1756 0,0359 0,4796 0,1405
0,2 M´edia 0,9924 0,2005 0,2550 1,9964 0,1999 0,3101 2,9943 0,2002 0,3557
Desv. Padr˜ao 0,1866 0,0474 0,0457 0,1923 0,0474 0,0428 0,1867 0,0465 0,0412
V´ıcio -0,0076 0,0005 0,0550 -0,0036 -0,0001 0,1101 -0,0057 0,0002 0,1557
EQM 0,0349 0,0022 0,0051 0,0370 0,0022 0,0140 0,0349 0,0022 0,0259
C.V. 0,1881 0,2362 0,1793 0,0963 0,2370 0,1379 0,0624 0,2321 0,1158
0,3 M´edia 0,9962 0,3033 0,3371 2,0049 0,3042 0,3843 2,9933 0,3038 0,4238
Desv. Padr˜ao 0,3584 0,0475 0,0463 0,3557 0,0478 0,0444 0,3571 0,0475 0,0432
V´ıcio -0,0038 0,0033 0,0371 0,0049 0,0042 0,0843 -0,0067 0,0038 0,1238
EQM 0,1284 0,0023 0,0035 0,1266 0,0023 0,0091 0,1276 0,0023 0,0172
C.V. 0,3597 0,1565 0,1373 0,1774 0,1570 0,1157 0,1193 0,1562 0,1020
0,4 M´edia 1,0083 0,4120 0,4245 1,9979 0,4112 0,4598 3,0046 0,4127 0,4951
Desv. Padr˜ao 0,8056 0,0485 0,0482 0,7932 0,0487 0,0468 0,8011 0,0484 0,0452
V´ıcio 0,0083 0,0120 0,0245 -0,0021 0,0112 0,0598 0,0046 0,0127 0,0951
EQM 0,6491 0,0025 0,0029 0,6291 0,0025 0,0058 0,6418 0,0025 0,0111
C.V. 0,7990 0,1177 0,1135 0,3970 0,1185 0,1018 0,2666 0,1174 0,0912
46
d = 0.10
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
,30
,20
,10
-,00
-,10
-,20
-,30
d = 0.20
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
,30
,20
,10
0,00
-,10
-,20
-,30
-,40
d = 0.30
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
,30
,20
,10
-,00
-,10
-,20
-,30
d = 0.40
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
,30
,20
,10
-,00
-,10
-,20
-,30
Figura 3.2: V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro d, no modelo 1 considerando a presen¸ca
de quebra estrutural quando o ponto de quebra ´e conhecido. λ = 0,5; (µ
2
− µ
1
) =1
d = 0.10
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
,80
,60
,40
,20
-,00
-,20
-,40
-,60
d = 0.20
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
1,00
,50
0,00
-,50
-1,00
d = 0.30
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
2,00
1,50
1,00
,50
0,00
-,50
-1,00
-1,50
-2,00
d = 0.40
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
4,00
2,00
0,00
-2,00
-4,00
Figura 3.3: V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro (µ
2
− µ
1
) no modelo 1 considerando
a presen¸ca de quebra estrutural quando o ponto de mudan¸ca ´e conhecido, λ = 0,5;
(µ
2
− µ
1
) =1
47
d estimado
,30
,26
,23
,19
,16
,12
,09
,05
,02
-,02
-,05
-,09
-,12
(A)
700
600
500
400
300
200
100
0
d estimado
,30
,26
,23
,19
,15
,11
,07
,04
-,00
-,04
-,08
-,11
-,15
(B)
700
600
500
400
300
200
100
0
d estimado
,33
,28
,24
,20
,16
,12
,07
,03
-,01
-,05
-,09
-,14
-,18
(C)
800
600
400
200
0
Figura 3.4: Estimativas do parˆametro d = 0, 10 pelo m´etodo GP H
1
no modelo 1
quando o processo possui uma quebra estrutural e o ponto mudan¸ca ´e conhecido,
λ = 0,5; T = 300 : (A) (µ
2
− µ
1
) = 1; (B) (µ
2
− µ
1
)= 2; (C) (µ
2
− µ
1
) = 3.
d estimado
,40
,36
,33
,29
,26
,22
,19
,15
,12
,08
,05
,01
-,02
(D)
700
600
500
400
300
200
100
0
d estimado
,46
,43
,39
,36
,32
,29
,26
,22
,19
,15
,12
,09
,05
(E)
700
600
500
400
300
200
100
0
d estimado
,51
,48
,45
,41
,38
,35
,32
,29
,25
,22
,19
,16
,13
(F)
700
600
500
400
300
200
100
0
Figura 3.5: Estimativas do parˆametro d = 0,10 pelo m´etodo GP H
2
no modelo 1
quando o processo possui uma quebra estrutural e o ponto de mudan¸ca ´e conhecido,
λ = 0,5; T = 300 : (D) (µ
2
− µ
1
) = 1; (E) (µ
2
− µ
1
) = 2; (F) (µ
2
− µ
1
)= 3.
48
Tabela 3.3: Resultados da estima¸c˜ao do ponto de mudan¸ca no Modelo 1: Y
t
=
µ
1
+ (µ
2
− µ
1
)DU
t
+ X
t
ARFIMA (0,d,0) quando λ = 0, 5, T=300, µ
1
= 0
.
µ
2
− µ
1
=1 d=0.10 µ
2
− µ
1
=1 d=0.40 µ
2
− µ
1
=3 d=0.10 µ
2
− µ
1
=3 d=0.40
M´edia 150,544 150,410 149,982 149,800
Desv. Padr˜ao 10,6740 47,732 0,6500 7,708
V´ıcio 0,544 0,41 -0,018 -0,2
% de Acertos t
0
= 150 26 % 7,8 % 82,8 % 72 %
Tabela 3.4: Resultados da estima¸c˜ao do Modelo 1: Y
t
= µ
1
+ (µ
2
− µ
1
)DU
t
+ X
t
ARFIMA (0,d,0) quando o ponto de mudan¸ca ´e desconhecido. T=300, µ
1
= 0.
d µ
2
1 3
Estat´ısticas ˆµ
2
ˆ
d
GP H
1
ˆ
d
GP H
2
ˆµ
2
ˆ
d
GP H
1
ˆ
d
GP H
2
0,1 M´edia 1,0145 0,0987 0,1946 2,9890 0,1028 0,3307
Desv. Padr˜ao 0,1404 0,0598 0,0564 0,1362 0,0579 0,0537
V´ıcio 0,0145 -0,0013 0,0946 -0,0110 0,0028 0,2307
EQM 0,0199 0,0036 0,0121 0,0187 0,0034 0,0561
C.V. 0,1384 0,6066 0,2896 0,0456 0,5635 0,1623
0,4 M´edia 1,0301 0,4036 0,4310 3,0086 0,4116 0,5235
Desv. Padr˜ao 0,9099 0,0692 0,0646 0,8547 0,0636 0,0571
V´ıcio 0,0301 0,0036 0,0310 0,0086 0,0116 0,1235
EQM 0,8288 0,0048 0,0051 0,7305 0,0042 0,0185
C.V. 0,8833 0,1715 0,1498 0,2841 0,1546 0,1092
49
3.3 Resultados das Simula¸c˜oes do Modelo 2
.
O Modelo 2 definido em (2.9) ´e usado na modelagem de s´eries temporais que
apresentam uma tendˆencia linear e uma quebra estrutural no n´ıvel num instante
determinado de tempo. A Figura 3.6 apresenta um exemplo do modelo simulado.
Time
Y
0 50 100 150 200 250 300
0 1000 2000 3000 4000
Figura 3.6: Modelo 2
A Tabela 3.5, apresenta os resultados obtidos na estima¸c˜ao do modelo 2
considerando o ponto de mudan¸ca conhecido. Observamos que os estimadores dos
parˆametros β
1
e (µ
2
− µ
1
) apresentam uma distribui¸c˜ao do v´ıcio centrada em torno
do valor zero, com um aumento da variabilidade quando o valor real de d est´a
pr´oximo da regi˜ao de n˜ao estacionariedade. Os resultados referentes `as estimativas
do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria, obtidas pelo m´etodo GPH e MV, apresentam
uma distribui¸c˜ao do v´ıcio centrada em torno de zero para diversas magnitudes do
salto (ver Figura 3.7). O estimador obtido pelo m´etodo GPH apresenta um valor do
v´ıcio menor do que aquele obtido pelo m´etodo de m´axima verossimilhan¸ca, mas este
´ultimo apresenta uma variabilidade menor em compara¸c˜ao com o estimador obtido
pelo m´etodo GPH.(ver Tabela 3.5).
50
Podemos observar tamb´em que o estimador GPH do parˆametro d apresenta
uma distribui¸c˜ao sim´etrica centrada em torno do valor d real, (ver Figura 3.8), e a
variabilidade da distribui¸c˜ao do estimador diminui quando os valores do parˆametro
d real est˜ao pr´oximos da regi˜ao de n˜ao estacionariedade (ver Tabela 3.5).
51
Tabela 3.5: Resultados da estima¸c˜ao do Modelo 2: Y
t
= µ
1
+βt + (µ
2
− µ
1
)DU
t
+X
t
;
ARFIMA (0,d,0) com uma quebra estrutural conhecida. T=300, λ = 0, 50, µ
1
= 0.
d real β = 1 β = 1 β = 1
Estat´ısticas µ
2
= 100 µ
2
= 200 µ
2
= 300
ˆ
β
ˆµ
2
ˆ
d
GP H
ˆ
d
MV
ˆ
β
ˆµ
2
ˆ
d
GP H
ˆ
d
MV
ˆ
β
ˆµ
2
ˆ
d
GP H
ˆ
d
MV
0,1 M´edia 1,000 100,001 0,090 0,076 1,000 199,999 0,090 0,075 1,000 299,997 0,090 0,075
Desv Padr˜ao 0,001 0,298 0,063 0,046 0,001 0,292 0,064 0,047 0,001 0,286 0,063 0,046
V´ıcio 6,83E-06 -0,001 0,010 0,024 -7,78E-06 0,001 0,010 0,025 -1,04E-05 0,003 0,010 0,025
EQM 1,63E-03 0,089 0,004 0,003 1,58E-06 0,085 0,004 0,003 1,52E-06 0,082 0,004 0,003
CV 0,001 0,003 0,696 0,609 0,001 0,001 0,713 0,622 0,001 0,001 0,695 0,616
0,2 M´edia 1,000 100,008 0,190 0,173 1,000 200,004 0,192 0,174 1,000 299,993 0,189 0,172
Desv Padr˜ao 0,002 0,421 0,064 0,050 0,002 0,417 0,064 0,049 0,002 0,419 0,065 0,050
V´ıcio 1,12E-05 -0,008 0,010 0,027 1,32E-05 -0,004 0,008 0,026 -3,35E-05 0,007 0,011 0,028
EQM 3,83E-06 0,177 0,004 0,003 3,82E-06 0,174 0,004 0,003 3,77E-06 0,175 0,004 0,003
CV 0,002 0,004 0,338 0,292 0,002 0,002 0,332 0,283 0,002 0,001 0,342 0,292
0,3 M´edia 1,000 100,007 0,297 0,276 1,000 199,984 0,296 0,274 1,000 300,006 0,296 0,275
Desv Padr˜ao 0,003 0,637 0,064 0,049 0,003 0,635 0,064 0,049 0,003 0,640 0,064 0,049
V´ıcio 1,79E-06 -0,007 0,003 0,024 -1,06E-04 0,016 0,004 0,026 4,06E-05 -0,006 0,004 0,025
EQM 1,13E-05 0,405 0,004 0,003 1,12E-05 0,404 0,004 0,003 1,12E-05 0,410 0,004 0,003
CV 0,003 0,006 0,215 0,177 0,003 0,003 0,217 0,180 0,003 0,002 0,216 0,180
0,4 M´edia 1,000 100,004 0,410 0,378 1,000 199,975 0,409 0,377 1,000 300,001 0,410 0,379
Desv Padr˜ao 0,007 1,055 0,069 0,048 0,007 1,065 0,067 0,047 0,007 1,061 0,069 0,047
V´ıcio 4,33E-05 -0,004 -0,010 0,022 -1,01E-04 0,025 -0,009 0,023 5,46E-05 -0,001 -0,010 0,021
EQM 4,75E-05 1,112 0,005 0,003 4,71E-05 1,135 0,005 0,003 4,72E-05 1,126 0,005 0,003
CV 0,007 0,011 0,167 0,127 0,007 0,005 0,164 0,125 0,007 0,004 0,168 0,125
52
Figura 3.7: V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro d obtidas pelo m´etodo GPH, no Modelo
2, quando λ = 0, 5, β = 1, µ
2
− µ
1
= 100, µ
2
− µ
1
= 300 e o ponto de mudan¸ca ´e
conhecido.
Figura 3.8: Distribui¸c˜ao do estimador do parˆametro d obtido pelo m´etodo GPH, no
Modelo 2, quando o ponto de mudan¸ca ´e conhecido. λ = 0, 5, T=300: (C) d=0,10
(D) d =0,40 , (µ
2
− µ
1
= 100).
53
3.4 Resultados das Simula¸c˜oes do Modelo 3.
O Modelo 3 definido em (2.10) ´e usado na modelagem de s´eries temporais com
tendˆencia linear, que apresentam uma quebra estrutural nesta tendˆencia num ins-
tante determinado de tempo. A Figura (3.9) descreve o modelo simulado.
Time
Y
0 50 100 150 200 250 300
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
Figura 3.9: Modelo 3.
A Tabela 3.6 apresenta os resultados da estima¸c˜ao deste modelo. Podemos
observar que os estimadores dos parˆametros β
1
e (β
2
− β
1
) apresentam uma distri-
bui¸c˜ao do v´ıcio centrada em torno do valor zero e a variabilidade dessas distribui¸c˜oes
aumenta na medida que o valor real do parˆametro d se torna pr´oximo da regi˜ao de
n˜ao estacionariedade. Os resultados referentes `a estima¸c˜ao do parˆametro de inte-
gra¸c˜ao fracion´aria apresentam caracter´ısticas similares aqueles obtidos nos modelos
1 e 2.
Na Tabela 3.7 apresentamos os resultados da estima¸c˜ao do ponto de mudan¸ca
para o Modelo 3. Observamos que, em m´edia, o programa R identificou o ponto de
mudan¸ca corretamente, melhorando o percentual de acertos na estima¸c˜ao do ponto
real quando o processo apresenta valores do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria d
pr´oximos ao valor zero e o valor da diferen¸ca (β
2
− β
1
) ´e grande.
54
Na Tabela 3.8, apresentamos os resultados da estima¸c˜ao deste modelo usando
a informa¸c˜ao do ponto de mudan¸ca estimado. Podemos observar que os estimadores
dos parˆametros β
1
e (β
2
−β
1
) apresentam caracter´ısticas similares aquelas estimativas
obtidas quando o ponto de mudan¸ca ´e conhecido, enquanto os resultados referentes
`a estima¸c˜ao do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria apresentaram mudan¸cas em
compara¸c˜ao com aqueles resultados em que o ponto de mudan¸ca ´e conhecido. O
estimador do parˆametro d obtido pelo m´etodo GPH e MV apresenta um maior
v´ıcio que aquele observado no caso em que o ponto de mudan¸ca ´e conhecido. No
referente `a variabilidade, a distribui¸c˜ao do estimador do parˆametro de integra¸c˜ao
fracion´aria tem caracter´ısticas similares `aquelas obtidas quando o ponto de mudan¸ca
´e conhecido. Neste caso, o estimador obtido pelo m´etodo de m´axima verossimilhan¸ca
tem menor v´ıcio e menor variabilidade que aquele obtido pelo m´etodo GPH.
55
Tabela 3.6: Resultados da estima¸c˜ao do Modelo 3: y
t
= µ
1
+ βt + (β
2
− β
1
)DT
t
+ X
t
;
ARFIMA (0,d,0) com uma quebra estrutural conhecida. T=300, λ = 0, 50, µ
1
= 0.
d Estat´ısticas β
1
= 1 β
2
= 2 β
1
= 1 β
2
= 3 β
1
= 1 β
2
= 4
ˆ
β
1
(
ˆ
β
2
−
ˆ
β
1
)
ˆ
d
GP H
ˆ
d
MV
ˆ
β
1
(
ˆ
β
2
−
ˆ
β
1
)
ˆ
d
GP H
ˆ
d
MV
ˆ
β
1
(
ˆ
β
2
−
ˆ
β
1
)
ˆ
d
GP H
ˆ
d
MV
0,1 M´edia 1,000 1,000 0,087 0,074 1,000 2,000 0,086 0,074 1,000 3,000 0,086 0,074
Desv padr˜ao 0,001 0,003 0,065 0,046 0,001 0,003 0,064 0,046 0,001 0,003 0,064 0,045
V´ıcio -1,8E-05 6,3E-05 -0,013 -0,026 -2,4E-05 2,4E-05 -0,014 -0,026 4,7E-06 2,7E-05 -0,014 -0,026
EQM 1,3E-06 9,6E-06 0,004 0,003 1,4E-06 9,5E-06 0,004 0,003 1,3E-06 9,1E-06 0,004 0,003
CV 0,001 0,003 0,744 0,626 0,001 0,002 0,744 0,630 0,001 0,001 0,746 0,616
0,2 M´edia 1,000 1,000 0,189 0,173 1,000 2,000 0,187 0,172 1,000 3,000 0,188 0,172
Desv padr˜ao 0,002 0,005 0,064 0,049 0,002 0,005 0,065 0,050 0,002 0,005 0,065 0,050
V´ıcio 7,2E-06 4,6E-05 -0,011 -0,027 -2,0E-05 8,7E-05 -0,013 -0,028 1,1E-05 -5,6E-05 -0,012 -0,028
EQM 3,8E-06 2,2E-05 0,004 0,003 3,7E-06 2,2E-05 0,004 0,003 3,8E-06 2,2E-05 0,004 0,003
CV 0,002 0,005 0,336 0,287 0,002 0,002 0,346 0,292 0,002 0,002 0,345 0,293
0,3 M´edia 1,000 1,000 0,290 0,272 1,000 2,000 0,291 0,272 1,000 3,000 0,290 0,272
Desv padr˜ao 0,004 0,008 0,066 0,050 0,003 0,008 0,065 0,049 0,004 0,008 0,065 0,050
V´ıcio -2,1E-05 1,4E-04 -0,010 -0,028 2,2E-05 -2,0E-05 -0,009 -0,028 1,6E-06 8,7E-05 -0,010 -0,028
EQM 1,2E-05 5,7E-05 0,004 0,003 1,2E-05 5,7E-05 0,004 0,003 1,2E-05 5,9E-05 0,004 0,003
CV 0,004 0,008 0,226 0,182 0,003 0,004 0,223 0,181 0,004 0,003 0,225 0,182
0,4 M´edia 1,000 1,000 0,398 0,372 1,000 2,000 0,397 0,371 1,000 3,000 0,399 0,372
Desv padr˜ao 0,007 0,013 0,065 0,047 0,007 0,013 0,067 0,047 0,007 0,013 0,067 0,047
V´ıcio 2,4E-04 -4,9E-04 -0,002 -0,028 -3,9E-05 1,8E-04 -0,003 -0,029 2,9E-05 -3,0E-05 -0,001 -0,028
EQM 5,3E-05 1,8E-04 0,004 0,003 5,3E-05 1,7E-04 0,004 0,003 5,2E-05 1,7E-04 0,004 0,003
CV 0,007 0,013 0,162 0,126 0,007 0,007 0,168 0,126 0,007 0,004 0,167 0,127
56
Tabela 3.7: Resultados da estima¸c˜ao do Ponto de mudan¸ca no Modelo 3 quando λ = 0,5;
T=300.
Estat´ısticas β
1
= 1, β
2
= 2 β
1
= 1, β
2
= 4
0,1 M´edia 150,45 150,49
Desv padr˜ao 1,72 0,70
V´ıcio 0,45 0,49
% Acertos t
0
=150 23,0 % 48,2 %
0,4 M´edia 150,53 150,45
Desv padr˜ao 1,89 0,77
V´ıcio 0,53 0,45
% Acertos t
0
=150 19,8 % 46,0 %
Tabela 3.8: Resultados da estima¸c˜ao do Modelo 3: y
t
= µ
1
+ βt + (β
2
− β
1
)DT
t
+ X
t
;
ARFIMA (0,d,0) com uma quebra estrutural, quando o ponto de mudan¸ca ´e desconhecido.
T=300, λ = 0,50, µ
1
= 0.
d Estat´ısticas β
1
= 1 , β
2
= 2 β
1
= 1 , β
2
= 4
ˆ
β
1
(
ˆ
β
2
− β
1
)
ˆ
d
GP H
ˆ
d
MV
ˆ
β
1
(
ˆ
β
2
− β
1
)
ˆ
d
GP H
ˆ
d
MV
0,1 M´edia 1,001 1,001 0,185 0,177 1,004 3,004 0,212 0,205
Desv padr˜ao 0,005 0,006 0,103 0,099 0,006 0,007 0,144 0,139
V´ıcio 0,001 0,001 0,085 0,077 0,004 0,004 0,112 0,105
EQM 2,61E-05 3,80E-05 0,018 0,016 5,37E-05 6,47E-05 0,033 0,030
CV 0,005 0,006 0,557 0,563 0,006 0,002 0,678 0,675
0,4 M´edia 1,002 1,001 0,433 0,399 1,004 3,003 0,453 0,414
Desv padr˜ao 0,008 0,014 0,073 0,053 0,009 0,015 0,085 0,055
V´ıcio 1,004 0,001 0,033 -0,001 0,004 0,003 0,053 0,014
EQM 1,007 1,97E-04 0,006 0,003 1,06E-04 2,34E-04 0,010 0,003
CV 0,008 0,014 0,169 0,132 0,009 0,005 0,187 0,132
57
3.5 Resultados das simula¸c˜oes do Modelo 4
Em algumas situa¸c˜oes, algumas s´eries temporais apresentam mudan¸cas na com-
ponente da variˆancia a partir de um instante do tempo. O modelo 4 definido em
(2.18) ´e uma alternativa na modelagem destas s´eries. A Figura 3.10 mostra o modelo
simulado.
Time
Y[, 1]
0 100 200 300 400 500
−30 −20 −10 0 10 20 30
Modelo 4 VC−0
Figura 3.10: Modelo 4, com d=0,10; W
v
= 10 e µ
1
= 0
A Tabela 3.9 apresenta os resultados da estima¸c˜ao deste modelo. Pode-se
observar que a o estimador do parˆametro W
v
apresenta uma distribui¸c˜ao com m´edia
centrada em torno do valor zero e que a variabilidade da distribui¸c˜ao do estimador
aumenta na medida que o valor de d se aproxima da regi˜ao de n˜ao estacionariedade
(ver Figura 3.11).
O v´ıcio do estimador do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria apresenta uma
distribui¸c˜ao que n˜ao est´a centrada em torno do valor zero e sua variabilidade di-
minui quando o valor real de d est´a pr´oximo da regi˜ao de n˜ao estacionariedade.
O estimador de m´axima verossimilhan¸ca apresenta um v´ıcio menor em compara¸c˜ao
com o estimador GPH (ver Figuras 3.12 e 3.13).
58
Tabela 3.9: Resultados da estima¸c˜ao do Modelo 4, T=300, λ = 0, 50, X
t
ARFIMA
(0,d,0) com uma quebra estrutural na variˆancia.
d Estat´ısticas W
v
= 10 W
v
= 50 W
v
= 100
ˆ
d
GP H
ˆ
d
MV
ˆ
W
ˆ
d
GP H
ˆ
d
MV
ˆ
W
ˆ
d
GP H
ˆ
d
MV
ˆ
W
v
0,1 M´edia 0,087 0,091 9,993 0,083 0,086 49,977 0,083 0,086 99,828
Desv Padr˜ao 0,057 0,047 0,705 0,075 0,060 4,288 0,076 0,060 8,446
V´ıcio -0,013 -0,009 -0,007 -0,017 -0,014 -0,023 -0,017 -0,014 -0,172
EQM 0,003 0,002 0,497 0,006 0,004 18,387 0,006 0,004 71,365
CV 0,654 0,523 0,071 0,906 0,702 0,086 0,924 0,705 0,085
0,2 M´edia 0,175 0,189 10,008 0,171 0,182 50,020 0,175 0,184 100,302
Desv Padr˜ao 0,058 0,051 0,809 0,076 0,067 4,933 0,075 0,067 9,644
V´ıcio -0,025 -0,011 0,008 -0,029 -0,018 0,020 -0,025 -0,016 0,302
EQM 0,004 0,003 0,655 0,007 0,005 24,332 0,006 0,005 93,089
CV 0,330 0,268 0,081 0,441 0,367 0,099 0,428 0,362 0,096
0,3 M´edia 0,267 0,292 10,047 0,265 0,287 50,351 0,263 0,286 100,537
Desv Padr˜ao 0,057 0,050 1,222 0,076 0,065 6,846 0,076 0,066 13,556
V´ıcio -0,033 -0,008 0,047 -0,035 -0,013 0,351 -0,037 -0,014 0,537
EQM 0,004 0,003 1,496 0,007 0,004 46,984 0,007 0,005 184,057
CV 0,214 0,170 0,122 0,286 0,226 0,136 0,291 0,232 0,135
0,4 M´edia 0,361 0,396 10,177 0,362 0,391 50,807 0,363 0,393 101,689
Desv Padr˜ao 0,058 0,048 2,112 0,077 0,062 10,835 0,076 0,060 21,457
V´ıcio -0,039 -0,004 0,177 -0,038 -0,009 0,807 -0,037 -0,007 1,689
EQM 0,005 0,002 4,494 0,007 0,004 118,044 0,007 0,004 463,273
CV 0,162 0,121 0,208 0,214 0,158 0,213 0,209 0,153 0,211
59
d real
0,400,300,200,10
Vcio
20
10
0
-10
Figura 3.11: V´ıcio na estima¸c˜ao de W
v
no modelo 4, para diferentes valores de d e
ponto de mudan¸ca conhecido. W
v
= 10
d real
0,400,300,200,10
Vicio GPH
,3
,2
,1
0,0
-,1
-,2
-,3
-,4
Figura 3.12: V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro d no modelo 4, pelo m´etodo GPH e
ponto de mudan¸ca conhecido. W
v
= 10
d real
0,400,300,200,10
Vcio MV
,3
,2
,1
-,0
-,1
-,2
-,3
Figura 3.13: V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro d no modelo 4, pelo m´etodo MV e
ponto de mudan¸ca conhecido. W
v
= 10
60
3.6 Resultados das Simula¸c˜oes do Modelo 5.
O modelo 5 apresentado em (2.19) ´e uma mistura do modelo 1 e do modelo
4, onde a s´erie al´em de apresentar uma quebra estrutural no n´ıvel num instante t
0
,
tamb´em apresenta uma quebra estrutural na variˆancia num instante τ
0
determinado.
A Figura 3.14 mostra um exemplo deste modelo simulado.
Time
Y[, 1]
0 100 200 300 400 500
−10 −5 0 5 10
Modelo 5 VC−A0 − 0
Figura 3.14: Modelo 5, com d=0,40; W
v
= 2 e µ
1
= 0 µ
2
= 3, t
0
= 125; τ
0
=250
Os resultados obtidos na estima¸c˜ao deste modelo s˜ao apresentados na Tabela
3.10. A Figura 3.15 mostra que a distribui¸c˜ao do v´ıcio do estimador de W
v
esta
centrada em torno de -0.5. A variabilidade desta distribui¸c˜ao apresenta um com-
portamento semelhante ao modelo 4, isto ´e, na medida em que o valor de d vai se
aproximando da regi˜ao de n˜ao estacionariedade, a variabilidade aumenta.
A m´edia da distribui¸c˜ao do v´ıcio do estimador de m´axima verossimilhan¸ca
de d n˜ao est´a centrada em torno de zero (ver Figura 3.16), observando-se uma
diminui¸c˜ao na variabilidade na medida em que o valor de d vai se aproximando da
regi˜ao de n˜ao estacionariedade (ver Tabela 3.10).
Observa-se na Figura 3.17 que a distribui¸c˜ao do v´ıcio do estimador de (µ
2
−µ
1
)
61
mostra caracter´ısticas semelhantes ao estimador do mesmo parˆametro obtido no
modelo 1. A Figura 3.17 mostra tamb´em que essa distribui¸c˜ao est´a centrada em
torno do valor zero, apresentando um aumento na variabilidade na medida que o
valor de d vai se aproximando da regi˜ao de n˜ao estacionariedade.
62
Tabela 3.10: Resultados da estima¸c˜ao do Modelo 5: X
t
ARFIMA (0,d,0) com uma
quebra estrutural conhecida na variˆancia e no n´ıvel. T=500, λ = 0, 25, τ
0
=0,50T e
µ
1
=0.
d Estat´ısticas µ
2
= 1, W
v
= 2 µ
2
= 2, W
v
= 2 µ
2
= 3, W
v
= 2
ˆµ
2
ˆ
d
GP H
ˆ
d
MV
ˆ
W
v
ˆ
β
ˆ
d
GP H
ˆ
d
MV
ˆ
W
v
ˆ
β
ˆ
d
GP H
ˆ
d
MV
ˆ
W
v
0,1 M´edia 1,002 0,087 0,086 1,517 1,996 0,088 0,088 1,517 2,996 0,087 0,088 1,521
Desv. Padr˜ao 0,226 0,053 0,045 0,196 0,225 0,052 0,045 0,200 0,227 0,052 0,045 0,195
V´ıcio 0,002 -0,013 -0,014 -0,483 -0,004 0,012 0,012 0,483 -0,004 -0,001 -1,430 0,479
EQM 0,051 0,003 0,002 0,271 0,051 0,003 0,002 0,273 0,052 0,003 2,046 0,267
CV 0,226 0,608 0,521 0,129 0,113 0,592 0,507 0,132 0,076 0,596 0,509 0,128
0,2 M´edia 0,995 0,177 0,186 1,504 2,002 0,177 0,188 1,503 3,000 0,178 0,187 1,497
Desv. Padr˜ao 0,408 0,052 0,046 0,222 0,407 0,053 0,047 0,224 0,402 0,053 0,047 0,218
V´ıcio -0,005 -0,023 -0,014 -0,496 0,002 0,023 0,012 0,497 -0,000 0,022 0,013 0,503
EQM 0,167 0,003 0,002 0,296 0,165 0,003 0,002 0,298 0,161 0,003 0,002 0,300
CV 0,410 0,294 0,248 0,148 0,203 0,299 0,248 0,149 0,134 0,299 0,251 0,145
0,3 M´edia 1,002 0,270 0,289 1,458 1,989 0,270 0,288 1,454 3,008 0,269 0,288 1,456
Desv. Padr˜ao 0,803 0,052 0,046 0,296 0,804 0,053 0,045 0,289 0,808 0,053 0,046 0,301
V´ıcio 0,002 -0,030 -0,011 -0,542 -0,011 0,030 0,012 0,546 0,008 0,031 0,012 0,544
EQM 0,644 0,004 0,002 0,382 0,647 0,004 0,002 0,381 0,653 0,004 0,002 0,386
CV 0,801 0,192 0,159 0,203 0,404 0,195 0,157 0,198 0,269 0,197 0,160 0,206
0,4 M´edia 0,977 0,366 0,392 1,315 1,992 0,366 0,391 1,315 2,993 0,365 0,390 1,308
Desv. Padr˜ao 1,832 0,053 0,043 0,466 1,807 0,053 0,043 0,475 1,780 0,053 0,043 0,471
V´ıcio -0,023 -0,034 -0,008 -0,685 -0,008 0,034 0,009 0,685 -0,007 0,035 0,010 0,692
EQM 3,358 0,004 0,002 0,686 3,265 0,004 0,002 0,695 3,167 0,004 0,002 0,701
CV 1,875 0,146 0,111 0,354 0,907 0,144 0,111 0,361 0,595 0,144 0,110 0,360
63
d real
0,400,300,200,10
Vcio W
1,5
1,0
,5
0,0
-,5
-1,0
-1,5
-2,0
-2,5
Figura 3.15: V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro W
v
no modelo 5, com W
v
= 2,
(µ
2
− µ
1
) = 1
d real
0,400,300,200,10
Vicio d
,2
,1
-,0
-,1
-,2
-,3
Figura 3.16: V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro d no modelo 5, pelo m´etodo MV com
W
v
= 2, (µ
2
− µ
1
) = 1
d real
0,400,300,200,10
Vicio
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
Figura 3.17: V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro (µ
2
− µ
1
) no modelo 5, pelo m´etodo
OLS com W
v
= 2, (µ
2
− µ
1
) = 1
64
Cap´ıtulo 4
Aplica¸c˜oes
Neste cap´ıtulo, apresentamos os resultados de aplica¸c˜ao da metodologia desen-
volvida nesta disserta¸c˜ao a duas s´eries de dados correspondentes ao Banco Central
do Brasil. Nosso objetivo ´e mostrar que essa metodologia pode ser usada em situa-
¸c˜oes pr´aticas. Inicialmente ser´a feito uma descri¸c˜ao destas s´eries e, posteriormente
ser´a aplicada a teoria desenvolvida no presente trabalho.
4.1 S´erie 1 :Empr´estimos - Sistema Financeiro ao
Setor Privado - Habita¸c˜ao”
A Figura 1 apresenta a s´erie de dados Empr´estimos - Sistema Financeiro ao Setor
Privado - Habita¸c˜ao no per´ıodo de julho de 1994 at´e junho de 2004. A s´erie apresenta
um comportamento decrescente no longo do per´ıodo e percebe-se a existˆencia de
uma quebra estrutural no instante de tempo t
0
= 83. A existˆencia desta quebra
estrutural que pode ser observada atrav´es da Figura 1 foi verificada utilizando-se o
pacote strucchange do software R.
A Figura 4.1, que mostra a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao da s´erie, sugere um pro-
65
cesso n˜ao estacion´ario devido a presen¸ca de uma quebra estrutural pelo que conside-
ramos adequado fazer uso do Modelo 2 na modelagem desta s´erie. Numa primeira
etapa, foram calculadas as estimativas de β, µ
1
e (µ
2
- µ
1
) que s˜ao apresentadas na
Tabela 4.1.
0 5 10 15 20 25 30
−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Lag
ACF
Função de Autocorrelação Simples: Série 1 − ESFSPHABFPBCBLN
Figura 4.1: Fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao da s´erie 1: Empr´estimos - Sistema Financeiro
ao Setor Privado - Habita¸c˜ao
Tabela 4.1: Estimativas dos parˆametros do Modelo 2, obtidas na primeira etapa da
an´alise na s´erie 1
Parˆametro Estimativa Erro Padr˜ao P-valor
β - 1,353978 0,02577 2,E-16
µ
1
10,491772 0,01417 2,E-16
µ
2
− µ
1
-0,4189 0,6431 2,E-16
O correlograma dos res´ıduos indica um comportamento de longa dependˆencia (ver
Figura 4.2 (A)). Assim, foi feita a estima¸c˜ao do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria e
a posterior integra¸c˜ao da s´erie. A Tabela 4.2 apresenta os resultados da estima¸c˜ao do
parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria pelo m´etodo GPH, MV (assumindo um processo
ARFIMA(1,d,0) ) e da componente AR(1).
66
0 5 10 15 20
−0.2 0.2 0.6 1.0
Lag
ACF
(A) Função de Autocorrelação dos residuos do modelo AO−A
0 5 10 15 20
−0.2 0.2 0.6 1.0
Lag
ACF
(B) Função de Autocorrelação dos residuos após do ajuste de um AR(1)
Figura 4.2: Gr´aficos correspondentes a an´alise da s´erie 1: (A) Gr´afico da fun¸c˜ao
de autocorrela¸c˜ao dos res´ıduos obtidos ap´os o ajuste do modelo 2; (B) Gr´afico da
fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao dos res´ıduos do modelo 2 ap´os a modelagem de um AR(1).
Tabela 4.2: Estimativas do parˆametro d e φ na s´erie 1 ap´os a an´alise de regress˜ao
M´etodo Valor Erro Padr˜ao
d
GP H
0,7833 0,1876
d
MV
0,4989 1,62E-06
φ 0,5756 0,0754
A metodologia desenvolvida mostra que o processo real ´e um ARFIMA(1,d,0)
que apresenta uma tendˆencia determin´ıstica com uma quebra estrutural segundo o
modelo 2. O modelo ajustado ´e como segue:
ˆ
Y
t
= 10, 4918 − 1, 354t − 0, 4189DU
t
+ X
t
onde,
DU
t
=
0 ; t < 83
1 ; t ≥ 83
(1 − 0, 5756L)(1 − L)
0,49
X
t
= ξ
t
67
4.2 S´erie 2: Contribui¸c˜ao - Finsocial/Cofins - To-
tal - Receita L´ıquida
A Figura 2 da p´agina 13, representa a segunda s´erie de dados correspondente `a
Contribui¸c˜ao - Finsocial/Cofins -Total-Receita L´ıquida, com per´ıodo mensal desde
julho de 1994 at´e junho de 2004. Nesta s´erie, percebe-se uma quebra estrutural no
n´ıvel no instante de tempo t
0
= 56 correspondente a fevereiro de 1999. A existˆencia
desta quebra foi verificada fazendo-se uso do pacote strucchange do software R.
Pelas caracter´ısticas que esta s´erie apresenta, consideramos adequado usar o modelo
1 na modelagem. Numa primeira etapa, foram calculadas as estimativas de µ
1
e
(µ
2
− µ
1
) apresentadas na Tabela 4.3 e os res´ıduos. Sob esses res´ıduos foi feita
a estima¸c˜ao do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria (ver Tabela 4.4) pelo m´etodo
GPH e de m´axima verossimilhan¸ca. Seguidamente, foi feita a integra¸c˜ao da s´erie
de res´ıduos. A Figura 4.3 mostra as fun¸c˜oes de autocorrela¸c˜ao simples e parcial da
s´erie de res´ıduos integrada. Nestas podemos observar que o processo ´e semelhante
ao ARFIMA(0,d,0) com uma quebra estrutural no n´ıvel. O modelo ajustado ´e como
segue:
ˆ
Y
t
= 6, 9653 + 0, 50196DU
t
+ X
t
onde:
DU
t
=
0 ; t < 56
1 ; t ≥ 56
(1 − L)
0,30
X
t
= ξ
t
68
Tabela 4.3: Estimativas dos parˆametros do Modelo 1 ajustado na s´erie 2 na primeira
etapa da modelagem
Parˆametro Estimativa Erro Padr˜ao
µ
1
6,96528 0,01166
µ
2
− µ
1
0,50196 0,01602
Tabela 4.4: Estimativas do parˆametro d na s´erie de res´ıduos obtidos ap´os do ajuste
do Modelo 1
M´etodo
ˆ
d
Erro Padr˜ao
GPH 0,1892739 0,1876507
MV 0,3087767 1,367105e-06
0 5 10 15 20
−0.2 0.2 0.6 1.0
Lag
ACF
(A)
5 10 15 20
−0.1 0.1
Lag
Partial ACF
(B)
Figura 4.3: Gr´aficos correspondentes a an´alise da s´erie 2: (A) Gr´afico da fun¸c˜ao de
autocorrela¸c˜ao simples da s´erie res´ıduos integrados obtida ap´os o ajuste do Modelo
1; (B) Gr´afico de autocorrela¸c˜ao parcial da s´erie de res´ıduos integrados obtida ap´os
o ajuste do Modelo 1.
69
Cap´ıtulo 5
Considera¸c˜oes Finais
5.1 Conclus˜oes
A metodologia apresentada neste trabalho, ´e uma alternativa boa na estima¸c˜ao
de processos ARFIMA(0,d,0) que apresentam quebras estruturais na tendˆencia ou na
variˆancia. Observa-se que as estimativas dos parˆametros da fun¸c˜ao determin´ıstica,
quando o ponto de mudan¸ca ´e conhecido apresentam uma distribui¸c˜ao do v´ıcio
centrada em torno de zero, e que a variabilidade destes aumenta quando o valor de
d vai se aproximando da regi˜ao de n˜ao estacionariedade. Nos casos onde o ponto de
mudan¸ca ´e desconhecido, as estimativas dos parˆametros da fun¸c˜ao f(t) apresentam
as mesmas caracter´ısticas que o caso onde o ponto de mudan¸ca ´e conhecido, mas
isso n˜ao acontece com as estimativas do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria quando
a quebra ´e apresentada numa tendˆencia crescente (Modelo 3).
As estimativas obtidas nos modelos com quebra estrutural na tendˆencia,usando a
metodologia proposta neste trabalho (
ˆ
d
GP H
1
) ficam melhores em rela¸c˜ao aos resul-
tados onde aquela n˜ao aplicada (
ˆ
d
GP H
2
). Al´em disso, se observa que existe uma
70
rela¸c˜ao direta entre o v´ıcio da estimativa do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria e
o tamanho de salto quando ´e calculada a estimativa de d sem considerar a quebra
estrutural na modelagem.
Referente aos modelos com mudan¸ca na variˆancia, as caracter´ısticas dos pa-
rˆametros da parte determin´ıstica do modelo, s˜ao similares aquelas observadas nos
modelos com quebra no n´ıvel mas as estimativas da distribui¸c˜ao do v´ıcio do parˆame-
tro de integra¸c˜ao fracion´aria n˜ao est˜ao mais centradas em torno de zero. O estimador
de m´axima verossimilhan¸ca ´e mais consistente que o estimador GPH nesta classe de
modelos. O comportamento da variabilidade do parˆametro de integra¸c˜ao fracion´aria
´e similar aquele apresentado nos modelos com quebras na tendˆencia.
5.2 Extens˜oes
As possive´ıs extens˜oes ao presente trabalho s˜ao apresentadas a seguir:
• Estender o estudo para processos n˜ao estacionarios (d > 0.5).
• Modelagem de quebras estruturais em Modelos ARFIMA (p,d,q) que apresen-
tam erros GARCH(p,q).
• Estudo de quebras estruturais em Modelos FIGARCH (P,D,Q).
71
Apˆendice A
Apˆendice
A.1 Algoritmo para a simula¸c˜ao de processos AR-
FIMA (0,d,0)
Os passos para a simula¸c˜ao de processos ARFIMA (0,d,0), considerando um
ru´ıdo branco gaussiano, s˜ao os seguintes:
1. Gerar uma vari´avel aleat´oria X
0
com distribui¸c˜ao N(0,1);
2. Calcular os coeficientes φ
tt
e φ
tj
usando:
φ
tt
=
d
t−d
e φ
tj
= φ
t−1,j
− φ
tt
φ
t−1,t−j
para j = 1,2, . . . , t-1 e t = 1, 2, . . . , T;
3. Calcular a m´edia m
t
e a variˆancia ν
t
por
72
m
t
=
t
j=1
φ
tj
X
tj
ν
t
= (1 − φ
2
tt
)ν
t−1
, ν
0
= σ
2
= 1;
4. Gerar uma vari´avel aleat´oria X
t
com distribui¸c˜ao N(m
t
, ν
t
);
5. Repetir (2), (3) e (4) para t = 1,2, . . . , T-1;
Maiores detalhes sobre o processo de simula¸c˜ao do modelos ARFIMA podem
ser encontrados em Reisen (1995) e Hosking (1982, 1984).
73
A.2 Modelo 1 AO-0 : Gr´aficos
d = 0.10
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
,30
,20
,10
-,00
-,10
-,20
-,30
d = 0.20
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
,30
,20
,10
-,00
-,10
-,20
-,30
d = 0.30
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
,30
,20
,10
-,00
-,10
-,20
-,30
d = 0.40
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
,30
,20
,10
-,00
-,10
-,20
-,30
Figura A.1: V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro d, considerando a presen¸ca de quebra
estrutural quando λ = 0,5; (µ
2
− µ
1
) = 2
d = 0.10
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
,30
,20
,10
-,00
-,10
-,20
-,30
d = 0.20
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
,30
,20
,10
-,00
-,10
-,20
-,30
d = 0.30
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
,30
,20
,10
-,00
-,10
-,20
-,30
d = 0.40
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
,30
,20
,10
-,00
-,10
-,20
-,30
Figura A.2: V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro d, considerando a presen¸ca de quebra
estrutural quando λ = 0,5; (µ
2
− µ
1
) = 3
74
d = 0.10
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
,60
,40
,20
-,00
-,20
-,40
-,60
d = 0.20
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
1,00
,50
0,00
-,50
-1,00
d = 0.30
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
2,00
1,50
1,00
,50
0,00
-,50
-1,00
-1,50
-2,00
d = 0.40
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
-1,00
-2,00
-3,00
-4,00
Figura A.3: V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro (µ
2
− µ
1
) considerando a presen¸ca de
quebra estrutural quando λ = 0,5; (µ
2
− µ
1
) =2
d = 0.10
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
,60
,40
,20
-,00
-,20
-,40
-,60
d = 0.20
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
1,00
,50
0,00
-,50
-1,00
d = 0.30
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
2,00
1,50
1,00
,50
0,00
-,50
-1,00
-1,50
-2,00
d = 0.40
Tamanho de Amostra
500300
Vicio
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
-1,00
-2,00
-3,00
-4,00
Figura A.4: V´ıcio na estima¸c˜ao do parˆametro (µ
2
− µ
1
) considerando a presen¸ca de
quebra estrutural quando λ = 0,5; (µ
2
− µ
1
) =3
75
d estimado
,45
,41
,36
,32
,28
,23
,19
,14
,10
,06
,01
-,03
-,08
(A)
800
600
400
200
0
d estimado
,43
,39
,35
,31
,27
,23
,19
,15
,11
,07
,03
-,01
-,05
(B)
700
600
500
400
300
200
100
0
d estimado
,40
,36
,33
,29
,25
,21
,17
,14
,10
,06
,02
-,02
-,05
(C)
700
600
500
400
300
200
100
0
Figura A.5: Estimativas do parˆametro d = 0, 20 pelo m´etodo GP H
1
quando o
processo possui uma quebra estrutural em λ = 0, 5, T = 300 : (A) (µ
2
− µ
1
) = 1;
(B) (µ
2
− µ
1
) = 2; (C) (µ
2
− µ
1
) = 3
d estimado
,47
,44
,40
,37
,33
,30
,26
,23
,19
,16
,12
,09
,05
(D)
700
600
500
400
300
200
100
0
d estimado
,54
,50
,47
,44
,41
,38
,34
,31
,28
,25
,22
,18
,15
(E)
700
600
500
400
300
200
100
0
d estimado
,57
,54
,50
,47
,43
,40
,36
,33
,29
,26
,22
,19
,15
(F)
700
600
500
400
300
200
100
0
Figura A.6: Estimativas do parˆametro d = 0, 20 pelo m´etodo GP H
2
quando o
processo possui uma quebra estrutural em λ = 0, 5, T = 300 : (D) (µ
2
− µ
1
) = 1
;(E) (µ
2
− µ
1
) = 2 ;(F) (µ
2
− µ
1
) = 3
76
d estimado
,53
,49
,45
,41
,37
,33
,29
,25
,21
,17
,13
,09
,05
(A)
800
700
600
500
400
300
200
100
0
d estimado
,58
,53
,49
,44
,40
,36
,31
,27
,22
,18
,14
,09
,05
(B)
800
600
400
200
0
d estimado
,53
,49
,45
,41
,38
,34
,30
,26
,22
,19
,15
,11
,07
(C)
700
600
500
400
300
200
100
0
Figura A.7: Estimativas do parˆametro d = 0, 30 pelo m´etodo GP H
1
quando o
processo possui uma quebra estrutural em λ = 0, 5, T = 300 : (A) (µ
2
− µ
1
) = 1
;(B) (µ
2
− µ
1
) = 2 ;(C) (µ
2
− µ
1
) = 3
d estimado
,55
,51
,47
,43
,38
,34
,30
,26
,22
,17
,13
,09
,05
(D)
800
600
400
200
0
d estimado
,65
,61
,57
,53
,49
,45
,41
,37
,33
,29
,25
,21
,17
(E)
800
600
400
200
0
d estimado
,67
,64
,60
,56
,53
,49
,46
,42
,38
,35
,31
,28
,24
(F)
800
600
400
200
0
Figura A.8: Estimativas do parˆametro d = 0, 30 pelo m´etodo GP H
2
quando o
processo possui uma quebra estrutural em λ = 0, 5, T = 300 : (D) (µ
2
− µ
1
) = 1
;(E) (µ
2
− µ
1
) = 2 ;(F) (µ
2
− µ
1
) = 3
77
d estimado
,63
,59
,55
,51
,48
,44
,40
,36
,32
,29
,25
,21
,17
(A)
700
600
500
400
300
200
100
0
d estimado
,68
,63
,59
,55
,51
,47
,42
,38
,34
,30
,26
,21
,17
(B)
700
600
500
400
300
200
100
0
d estimado
,65
,61
,57
,53
,48
,44
,40
,36
,32
,27
,23
,19
,15
(C)
700
600
500
400
300
200
100
0
Figura A.9: Estimativas do parˆametro d = 0, 40 pelo m´etodo GP H
1
quando o
processo possui uma quebra estrutural em λ = 0, 5, T = 300 : (A) (µ
2
− µ
1
) = 1;
(B) (µ
2
− µ
1
) = 2; (C) (µ
2
− µ
1
) = 3
d estimado
,65
,61
,56
,52
,48
,43
,39
,34
,30
,26
,21
,17
,12
(D)
800
600
400
200
0
d estimado
,68
,64
,60
,56
,53
,49
,45
,41
,37
,34
,30
,26
,22
(E)
700
600
500
400
300
200
100
0
d estimado
,71
,67
,64
,60
,57
,53
,49
,46
,42
,39
,35
,31
,28
(F)
700
600
500
400
300
200
100
0
Figura A.10: Estimativas do parˆametro d = 0, 40 pelo m´etodo GP H
2
quando o
processo possui uma quebra estrutural em λ =0,5; T = 300 : (D) (µ
2
− µ
1
) = 1; (E)
(µ
2
− µ
1
) = 2 ;(F) (µ
2
− µ
1
) = 3
78
Referˆencias Bibliogr´aficas
[01] AGIAKLOGLOU, C. P. NEWBOLD (1993) Bias in an estimator of the frac-
tional difference parameter. Journal of Time Series Analysis, 14 235 - 246.
[02] ANDENSTEDT, R. K. (1974) On large sample estimation for the mean of a
stationary random sequence. Annals of Statistics 2, 259-72
[03] BAI, J., PERRON, P. (1998) Estimating and Testing Linear Models with Mul-
tiple Structural Changes. Econometrica, 66, 47-78.
[04] BAILLIE, Richard T. (1996) Long Memory Processes and Fractional Integra-
tion in Econometrics. Journal of Econometrics, Vol.73, n
o
1,
pp. 5-59.
[05] BERAN, J. (1994) Statistics for Long-Memory Processes. New York, Chapman
and Hall.
[06] BLOOMFIELD, P. (1973) An exponential model for the spectrum of a scalar
time series. Biometrika, 60, 217-226.
[07] BLOOMFIELD, P. (1976) Fourier Analysis of Time Series: An Introduction.
New York, Wiley.
[08] BROCKWELL, P.J. AND DAVIS, R.A. (1991) Time Series: Theory and
Methods. Berlin, Springer Verlag
79
[09] CHERNOFF, H., ZACKS, S. (1964) Estimating the current mean of a normal
distribution which is subject to changes in time. The Annals of Mathematical
Statistics 35, 999-1018.
[10] CHENG,G., ABRAHAM,B AND PEIRIS,S. (1994) Lag window estimation of
the degree of differencing in fractionally integrated time series models. Journal
of Time Series Analysis 15, 473-487.
[11] CHOW, G. (1960) Tests of the equality between two sets of coefficients in two
linear regressions, Econometrica, 65, 561-605.
[12] CHUNG, C.F. (1994) A note on calculating the autocovariances of the fracti-
onally integrated ARMA models. Economics Letters, 18, 791-806.
[13] DALHLAUS, R. (1989) Efficient parameter estimation for self-similar proces-
ses. The Annals of Statistics, 17, 1749-1766
[14] ENGLE, R. F., HENDRY, D. F., AND RICHARD, J. F. (1983) Exogeneity.
Econometrica 51, 277-304.
[15] FOX, R. AND TAQQU, M.S. (1986) Large-sample properties of Parameter
Estimates for Strongly Dependent Stationary Gaussian Time Series. Annals of
Statistics, 14, 221-238.
[16] GARDNER, L.A. (1969) On detecting changes in the mean of normal variates.
The Annals of Mathematical Statistics 40, 116-126.
[17] GIL-ALANA, L.A. (2004) A joint test of fractional integration and structural
breaks at a known period of time. Journal of Time Series Analysis, 25, No.5
691-700.
80
[18] GEWEKE, J., PORTER-HUDAK, S. (1983) The Estimation and Application
of Long Memory Time Series Models. Journal of Time Series Analysis, 4, 15-39.
[19] GRANGER,CW.J.. (1966) The Typical spectral shape of an economic variable.
Econometrica, 34, 150-161 .
[20] GRANGER,CW.J.. (1980) Long-memory relationships and the aggregation of
dinamic models.Journal of Econometrics, 14, 227-238. .
[21] GRANGER,CW.J.. (1990) Aggregation of time series variables: a survey. In
T. Baker and M.H. Pesaran (eds.). Disaggregation in Econometric Modelling.
London, Routledge.
[22] GRANGER,CW.J.AND JOYEUX, R. (1980) An introduction to Long-memory
Time Series Models and Fractional Differencing.Journal of Time Series Analy-
sis, 1, 15-29.
[23] HANSEN, B.E. (1992) Testing for parameter instability in linear models. Jour-
nal of Policy Modeling 14, 517-533.
[24] HASLETT, J. AND RAFTERY, A.E. (1989) Space-time modelling with long-
memory dependence: Assessing Ireland’s wind power resource. Journal of the
Royal Statistical Society C 38, 1-50.
[25] HASSLER, U. (1993) Regression of spectral estimators with fractionally inte-
grated time series. Journal of Time Series Analysis 14, 369-380.
[26] JANDHYALA,V.K., MACNEILL, I.B. (1989) On testing for the constancy
of coefficients under random walk and change-point alternatives. Econometric
Theory 8, 501-517.
81
[27] KANDER, Z., ZACKS, S. (1966) Test procedures for possible changes in para-
meters of statistical distributions ocurring at unknown time points. The Annals
of Mathematical Statistics 37, 1196-1210.
[28] HOSKING, J. R. M. (1981) Fractional Differencing. Biometrika, 68, 165-176.
[29] HURST, H. E. (1951) Methods for storage capacity of reservoirs. Trans. Am.
Soc. Civil Engineers, 116. 770-799.
[30] KUAN, Chung-Ming, HSU, Chih-Chiang (1998) Change-point estimation of
fractionally integrated processes. Journal of time series analysis, vol. 19, n
o
6.
[31] MACNEILL, I.B. (1978) Properties of sequences of partial sums of polynomial
regression residuals with aplications to test for change of regression at unknown
times. The Annals of Mathematical Statistics 6, 422-433.
[32] MANDELBROT,B.B., TAQQU, M.S. (1979) Robust R/S analysis of long run
serial correlation. In Proceedings of the 42nd Session of International Statistical
Institute, Vol. 2, 69-99.
[33] NADLER, J., ROBBINS, N.B. (1971) Some characteristics of Page’s two-
sided procedure for detecting a change in a location parameter. The Annals of
Mathematical Statistics 42, 538-551.
[34] NYBLOM,J., HARVEY,A.C. (2000) Test of common stochastic trends. Eco-
nometric Theory 16, 176-199.
[35] PAGE, E.S. (1955) A test for a change in a parameter occurring at an unknown
point. Biometrika 42, 523-527.
[36] PAGE, E.S. (1957) On problems in which a change in a parameter occurs at
an unknown point.Biometrika 44, 248- 252.
82
[37] PERRON, P. (1991) A test for a changes in a polynomial trend function for
dynamic time series. Research Memorandum No. 363, Econometric Research
Program, Princeton University.
[38] PERRON, P. (2005) Dealing with Structural Breaks. Paper prepared for the
Palgrave Handbook of Econometrics, Vol 1: Econometric Theory.
[39] PALMA, Wilfredo. (1999) Change points in ARFIMA models. Catholic Uni-
versity.
[40] PRIESTLEY, M.B.. (1981) Spectral Analysis and Time Series. London Aca-
demic Press.
[41] PONS, E., SURI
˜
NACHM J. (1999) Una extensi´on de la regresi´on propuesta
por Geweke y Porter Hudak para la estimaci´on del orden de diferenciaci´on en
Modelos ARFIMA, Documento de Trabajo Universitat de Barcelona, Setiembre
1999
[42] PFEILSTICKER, Nizam de Abreu, TOSCANO, Ela Mercedes M. de, REISEN,
Vald´erio A. (2003). Modelos ARFIMA-FIGARCH: Um Estudo Aplicado. De-
partamento de Estat´ıstica, UFMG.
[43] QU, Z. (2004) Searching for cointegration in a dynamic system. Manuscript,
Departament of Economics, Boston University.
[44] QUANDT, R.E. (1960) Test of the hypotesis that a linear regression system
obeys two separate regimes. Journal of the American Statistical Association 55,
324-330.
[45] REISEN, V. A. (1994) Estimation of the fractional parameter for the
ARIMA(p,d,q) model using the smoothed periodogram. Journal of Time Series
Analysis, v.15, p.335-350.
83
[46] REISEN, Vald´erio A. (1995) ARFIMA - O Modelo ARIMA para d Fracion´ario.
6
a
ESTE - ABE & SBE, Vit´oria/ES, Brasil.
[47] REISEN, V. A., LOPES, S. (1999) Some simulations and applications of fo-
rescating long memory time series models. Journal of Statistical Planning and
Inference, v.80, p.269-287.
[48] REISEN, V. A., ABRAHAM, B., TOSCANO, E. M. (2000) Parametric and
Semiparametric Estimations of Stationary Univariate ARFIMA Models. Bra-
zilian Journal of Probability and Statistics 14, pp. 185-206.
[49] ROBINSON,P.M. (1978) Statistical Inference for a random coefficient autore-
gressive model. Scandinavian Journal of Statistics 5, 163-168.
[50] ROBINSON,P.M. (1994a) Efficient tests of nonstationary hypotheses. Journal
of the American Statistical Association 89, 1420-37
[51] ROBINSON,P.M. (1994b) Time series with strong dependence. In C.A. Sims
(ed.), Advances in Econometrics: Sixth World Congress vol 1, 47-96. Cam-
bridge, Cambridge University Press.
[52] ROBINSON,P.M. (1995a) Log-periodogram regression of time series with long-
run dependence. Annals of Statistics 23, 1048-1072.
[53] ROBINSON,P.M. (1995b) Gaussian semiparametric estimation of long range
dependence. Annals of Statistics 23, 1630-1661.
[54] SIBBERTSEN, Philipp (2002) Long Memory in Volatilities of German Stock
Returns. Fachbereich Statistik, Universit
¨
at Dortmund, Germany.
[55] SOWELL,F. (1992) Maximum likelihood of Stationary univariate fractionally
integrated time series models. Journal of Econometrics, 53, 165-188.
84
[56] TANG, S.M., MACNEILL,I.B. (1993) The effect of serial correlation on test
for parameter change at unknown time. Annals of Statistics 21, 552-575.
[57] TAQQU, M. S. (1975) Weak convergence to fractional Brownian Motion and
to the Rosenblatt Process. Probability Theory and Related Fields 31, 287 - 302.
[58] TSAY, R. S. (1988) Outliers, level shifts and variance changes in time series.
Journal of Forecasting 7, 1-20.
[59] TAVARES, R. (2004) Quebra estrutural , Teste ADF, e Difererencia¸c˜ao Fra-
cion´aria em S´eries Financeiras. Disserta¸c˜ao de Mestrado, ICEX, UFMG
[60] TOJEIRO, C. A. V., TOSCANO, E. M. M. de, REISEN, Vald´erio A. (1999).
Testes de Ra´ızes Unit´arias no Fenˆomeno de Longa Dependˆencia. Departamento
de Estat´ıstica, UFMG.
[61] TOSCANO, E. M. M., REISEN, V. A. (2000) The use of canonical analysis to
identify the order of multivariate ARMA models. Journal of Forecasting, v.19,
n.3, p. 441-456.
[62] YAJIMA, Y. (1985) On estimation of long-memory time series models. Aus-
tralian Journal of Statistics, 27, 303-320.
[63] YAJIMA, Y. (1988) On estimation of a Regression Model with Long-Memory
Stationary Errors. The annals of Statistics, Vol 16,No. 2 791-807.
[64] WHITTLE, P. (1962) Gaussian Estimation in Stationary Time Series. Bulletin
of the International Statistical Institute, 39, 105-129
[65] ZEILEIS, Achim, LEISCH, Friedrich, HORNIK, Kurt, KLEIBER, Christian
(2002) strucchange: An R package for testing for structural change in linear
regression models. Journal of Statistical Software, 7(2):1-38.
85
[66] ZEILEIS, Achim, KLEIBER, Christian, KR
¨
AMER, Walter, HORNIK, Kurt
(2003) Testing and dating of structural changes in practice. Computational
Statistics and Data Analysis, 44(1-2): 109-123.
86
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