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CENTRO BRASILEIRO DE PESQUISAS FÍSICAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUÇÃO EM FÍSICA
GUSTAVO PAGANINI CANAL
Desenvolvimento e Caracterização de um
Dispositivo de Limpeza a Plasma para
Processos em Nanotecnologia
RIO DE JANEIRO
2009
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GUSTAVO PAGANINI CANAL
Desenvolvimento e Caracterização de um
Dispositivo de Limpeza a Plasma para Processos
em Nanotecnologia
Dissertação apresentada ao Programa
de Pós-Graduação em Física do Centro
Brasileiro de Pesquisas Físicas, como re-
quisito parcial para obtenção do Grau de
Mestre em Ciências Físicas.
Orientador: Prof. Dr. Ricardo Magnus
Osório Galvão.
RIO DE JANEIRO
2009
Agradecimentos
Agradeço ao meu Deus, a quem eu sirvo e a quem eu amo, por tudo que tem feito em
minha vida, por ser minha fortaleza e socorro bem presente nos momentos de tristeza.
Aos meus pais, Deijair Canal e Elba Isabel Paganini Canal, e minha irmã Camila
Paganini Canal, por tudo, principalmente pelo amor, incentivo, educação e formação
do meu caráter, sem os quais jamais chegaria onde estou hoje.
À Mayara Marquete Pina por todo o amor, dedicação, paciência, apoio, lealdade e
confiança. Sem ela tudo seria mais difícil em minha vida.
Ao Prof. Alfredo G. Cunha, Prof. Jair C. C. de Freitas, Carlos G. Zucolotto e Miguel
A. Schettino Jr. por todo o conhecimento que me passaram durante toda minha gra-
duação, o qual foi bastante utilizado neste trabalho, e pela amizade que continuou.
Ao Prof. Hugo M. R. de Luna p or ter participado e contribuído bastante para o
desenvolvimento e conclusão deste trabalho e pela profunda amizade.
Ao meu orientador, Prof. Ricardo M. O. Galvão, por ter aceitado me orientar, por
me ensinar, instruir e contribuir enormemente tanto para minha formação científica
quanto pessoal. Sou muito grato.
Ao Sr. José de Almeida Ricardo (Rick) por toda a amizade durante este tempo. Isso
foi primordial para minha adaptação no Rio de Janeiro.
Ao Evaldo e sua família que, várias vezes, abriram as portas de sua casa para me
acolher. Obrigado pelo amor, carinho e cuidado que mostrara m por mim.
Ao Sr. Fernando Pinto de Pinho, técnico da oficina, pela amizade e por to da a ajuda
no desenvolvimento t écnico deste tr abalho.
Ao Sr. João Antônio Pinto de Pinho pela amizade e ajuda prestada durante todo o
trabalho.
Aos membros da banca por terem aceitado ler meu trabalho.
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo apoio
financeiro.
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Resumo
Neste trabalho foi projetado, construído e caracterizado um dispositivo de limpeza a
plasma para utilização no LABNANO; um laboratório multi-usuário de nanotecnolo-
gia voltado principalmente à nanolitografia e caracterização de sistemas nanométricos.
O dispositivo é baseado numa descarga de radiofrequência não-convencional acoplada
indutivamente, sendo a antena de RF localizada dentro do reator. Foram desenvolvi-
dos modelos teóricos para caracterizar o desempenho do sistema, tanto com relação aos
campos produzidos pela antena, como quanto à difusão de impurezas dentro do plasma,
devido a material erodido da antena. Para diagnóstico do plasma foram utilizados três
sistemas básicos, ou seja, sonda de Langmuir com filtragem de RF, espectroscopia
óptica de emissão e analisador eletrostático de energia, com os quais foi possível en-
contrar as funções de distribuição de energia eletrônica e iônica. A partir dos dados
experimentais foram desenvolvidos modelos teóricos para considerar o efeito da difusão
na determinação da função de distribuição através de sonda d e Langmuir, e a gener-
alização da equação de Saha para plasma bem descritos por funções de distribuição
de Druyvesteyn. Neste trabalho foi também estudada a transição entre regimes de
aquecimento colisional e estocástico.
Abstract
In this work was designed, built and characterized a device for plasma cleaning to use
in LABNANO; a multi-user laboratory for nanotechnology focused mainly on nano-
lithography and characterization of nanometric systems. The device is based on a
non-conventional radio frequency discharge using inductive coupling, where the RF
antenna is located inside the reactor. Theoretical models were developed to charac-
terize the performance of the system, both with respect to the fields produced by the
antenna, as for the impurities distribution within t he plasma, because the eroded ma-
terial from the antenna. For diagnosis of the plasma there were used three systems,
namely a Langmuir probe with RF filtering, optical emission spectroscopy, and elec-
trostatic energy analyzer, with which it was possible to find the energy distribution
functions of electrons and ions. Based upon the experimental data; theoretical models
were developed to consider the effect of diffusion on the determination of the energy dis-
tribution function by the Langmuir probe, and the generalization of the Saha equation
for plasmas well described by the Druyvesteyn distribution function. In this work it
was also studied the transition between the collisional and stochastic heating regimes.
Lista de Figuras
Figura 1.1 - Desenho Esquemático da Vista Superior do Equipamento Proposto.
Figura 2.1 - Desenho Esquemático do Modelo Teórico Propost o para o Reator.
Figura 2.2 - (a) Densidade de Corrente Superficial na Parede do Reator. (b) Linhas de
Campo Magnético para uma espira de Raio a = 3 cm na Posição z = 3 cm.
Figura 2.3 - (a) Densidade de Corrente Superficial na Parede do Reator. (b) Linhas de
Campo Magnético para Duas Espiras de Raio a = 3 cm Posicionadas em z
1
= 3 cm e
z
2
= 6 cm.
Figura 2.4 - (a) Densidade de Corrente Superficial na Parede do Reator. (b) Linhas de
Campo Magnético para Três Espiras de Raio a = 3 cm Posicionadas em z
1
= 3 cm, z
2
= 6 cm e z
3
= 9 cm.
Figura 2.5 - Densidade de Corrente Superficial na Base do Reator para Três Espiras
de Raio a = 3 cm Posicionadas em z
1
= 3 cm, z
2
= 6 cm e z
3
= 9 cm.
Figura 2.6 - Densidade de Corrente Superficial no Topo do Reator para Três Espiras
de Raio a = 3 cm Posicionadas em z
1
= 3 cm, z
2
= 6 cm e z
3
= 9 cm.
Figura 3.1 - Densidade de Impurezas no Plasma geradas por Sputtering na Antena.
Figura 4.1 - Diagrama de blocos de uma malha de realimanteção.
Figura 4.2 - Circuito de um Oscilador Push-Pull Valvulado.
Figura 4.3 - Oscilador Push-Pull Valvulado como Amplificador Realimentado.
Figura 4.4 - Circuito Básico de um Amplificador Valvulado.
Figura 4.5 - Circuito do 1
o
Estágio de Amplificação.
6
Figura 4.6 - Circuito Equivalente Simplificado de uma Válvula.
Figura 4.7 -Circuito Equivalente Simplificado.
Figura 4.8 - Circuito Equivalente Simplificado para Sinais.
Figura 4.9 - Circuito Equivalente.
Figura 4.10 - Circuito Equivalente.
Figura 4.11 - Circuito Equivalente.
Figura 5.1 - Curva Característica de uma Sonda Langmuir Plana.
Figura 5.2 - Projeto Básico de um Copo de Faraday.
Figura 5.3 - Distribuição dos Potenciais Dentro do Copo de Faraday.
Figura 6.1 - Esquema de uma Bobina de Rogowsky de secção circular.
Figura 6.2 - Bobina de Rogowsky de secção circular.
Figura 6.3 - Mo delo elétrico para bobina de Rogowsky ligado ao circuito integrador
RL.
Figura 7.1 - Reflectometria de Raio-X a Baixo Ângulo de um Filme de Cromo.
Figura 7.2 - Ajuste dos Valores das Posições Angulares dos Picos de Interferência por
uma Função Quadrática.
Figura 7.3 - Espectro Característico de EDS.
Figura 8.1 - Câmara de Vácuo.
Figura 8.2 - Antena de RF.
7
Figura 8.3 - Porta-Amostras.
Figura 8.4 - Bomba Difusora e Trap.
Figura 8.5 - Curvas de Calibração do Medidor de Pressão Para Pressões no intervalo
de a) 10
−6
- 10
−1
mbar e b) 10
−3
- 10
2
mbar.
Figura 8.6 - Sistema de Água Fechada para Refrigeração da Difusora.
Figura 9.1 - Desenho Esquemático da Fonte de Alimentação.
Figura 9.2 - Transformador Trifásico de Alta Tensão.
Figura 9.3 - Variac Trifásico de Alta Tensão e Potência.
Figura 9.4 - Ponte Retificadora Com Snubbers Ligada ao Transformador.
Figura 9.5 - Válvula 304TL.
Figura 9.6 - Montagem do Oscilador de RF.
Figura 9.7 - Saída Balanceada da Fonte de RF.
Figura 9.8 - Plasma a) Antes do Capacitor e b) Depois do Capacitor de Desacopla-
mento.
Figura 9.9 - Reator e Fonte de RF.
Figura 10.1 - Bobina de Rogowsky.
Figura 10.2 - Curva de Calibração da Bobina Rogowsky e Ajuste Linear (R
2
= 0,99686).
Figura 10.3 - Medidor de Potência de RF.
Figura 10.4 - Esquema do Circuito Medidor de Potência de RF.
8
Figura 10.5 - Curva de Calibração do Medidor de Potência e Ajuste Polinomial (R
2
=
0,99764).
Figura 10.6 - Potência Dissipada no Sistema sem Plasma em Função da Corrente na
Antena e Ajuste Polinomial (R
2
= 0,99907).
Figura 10.7 - Resistência do sistema em Função da Corrente na Antena.
Figura 10.8 - Eficiência do Acoplamento entre a Fonte de RF e o Plasma.
Figura 11.1 - Sonda de Langmuir com circuito passa-baixa.
Figura 11.2 - Curva característica I versus V
B
em um plasma com potencial de plasma
oscilante Φ
p
(t), mostrando (curva escura) a média temporal das curvas características
obtendo uma temperatura eletrônica aparente muito maior que a verdadeira.
Figura 11.3 - Representação esquemática da Sonda de Langmuir com Filtro Passa-
Baixa.
Figura 11.4 - Medidores de Tensão e Corrente e Fonte variável de -70 a 70 volts para
medidas de sonda de Langmuir.
Figura 11.5 - Função de Transferências do Filtro Passa-Baixa da Sonda de Langmuir.
Figura 11.6 - Figura esquemática do espectrômetro HR4000. 1 - Entrada da fibra
óptica, 2 - Fenda colimadora, 3 - Filtro (opcional), 4 e 5 - Espelhos esféricos, 6 - Grade
de difração, 7 - CCD, 8 - Janela de quartzo.
Figura 11.7 - Espectrômetro Óptico e Fibra Óptica.
Figura 11.8 - Lente Coletora em Frente a Janela do Reator.
Figura 11.9 - Copo de Faraday Desmontado para Visualização.
Figura 11.10 - Copo de Faraday (em cima) e Porta-Amostras (em baixo).
9
Figura 11.11 - Esquema Interno da Ligação Elétrica do Copo de Faraday.
Figura 12.1 - Placa de Aquisição de Dados da NATIONAL INSTRUMENTS.
Figura 12.2 - Curvas de Calibração da Entrada AI0, Responsável pelas Medidas de
Corrente, Para a Sonda de Langmuir (Círculo) e Copo de Faraday (Triângulo).
Figura 12.3 - Curva de Calibração da Entrada AI1 - Responsável pela Medida de
Tensão.
Figura 12.4 - Programa de Aquisição de Dados da Placa USB-6008.
Figura 13.1 - Curva Característica da Sonda de Langmuir.
Figura 13.2 - Curva Experimental Para Encontrar o Potencial de Plasma e a Tem-
peratura Eletrônica para pressão p = 4,0×10
−2
mbar de Argônio e potência P =120
W.
Figura 13.3 - Função de Distribuição de Energia dos Elétrons do Plasma para pressão
p = 4,0×10
−2
mbar de Argônio e potência P =120 W.
Figura 13.4 - Espectro Óptico de um Plasma de Argônio Para Pressão p = 4,0×10
−2
mbar e Potência P =120 W.
Figura 13.5 - Lâmpada Halogênica de Tungstênio para Calibração do Espectrômetro.
Figura 13.6 - Curvas de Langmuir para Cálculo de Incertezas Obtidas Para Pressão p
= 4,0×10
−2
mbar de Argônio e Potência P =120 W.
Figura 14.1 - Curva Experimental Obtida com o Copo de Faraday Para P ressão p =
4,0×10
−2
mbar de Argônio e Potência P =120 W e Ajuste por uma Curva do tipo
Boltzmann.
Figura 14.2 - Função de Distribuição de Energia dos Íons Para Pressão p = 4,0×10
−2
mbar de Argônio e Potência P =120 W.
10
Figura 14.3 - Potencial V
bias
obtido com osciloscópio mostrando Polarização Dinâmica
do Porta-Amostras para pressão de p = 4,3×10
−3
mbar.
Figura 15.1 - Densidade de Potência Luminosa em Função da Pressão Para z = 22 cm
e Potência = 120 W.
Figura 15.2 - Densidade e Temperatura de Elétrons em Função da Pressão Para z =
22 cm e Potência = 120 W.
Figura 15.3 - Fluxo de Partículas em Função da Pressão Para z = 22 cm e Potência =
120 W.
Figura 15.4 - Densidade e Tempe ratura de Elétrons em Função da Posição Radial
para z = 22 cm, Potência = 120 W e Pressão = 3,0×10
−2
mbar e Ajuste dos Pontos
Experimentais de Densidade por uma Função de Bessel de Ordem Zero (R
2
= 0,99117).
Figura 15.5 - Densidade e Temperatura de Elétrons em Função da Posição z para r =
0 cm, Potência = 120 W e Pressão = 3,0×10
−2
mbar.
Figura 15.6 - Densidade de Elétrons em Função da Posição Dentro de Reator.
Figura 15.7 - Densidade e Temperatura de Elétrons em Função da Potência Para z =
22 cm, r = 0 cm e Pressão = 3, 0 ×10
−2
mbar.
Figura 15.8 - Densidade e Energia Média dos Íons em Função da Pressão Para z = 22
cm e Potência = 120 W.
Figura 15.9 - Evolução de Filmes de Cromo sobre Silício expostos a um Plasma de
Argônio (P = 120 W).
Figura 15.10 - Microscopia Eletrônica de Varredura da Amostra Limpa.
Figura 15.11 - Microscopia Eletrônica de Varredura da Amostra Suja em Duas Regiões
Diferentes a) e b).
Figura 15.12 - Microscopia Eletrônica de Varredura da Amostra Após a Limpeza a
Plasma.
11
Figura 15.13 - Espectro de EDS da Amostra Limpa.
Figura 15.14 - Espectro de EDS da Amostra Suja.
Figura 15.15 - Espectro de EDS da Amostra Após a Limpeza a Plasma.
Figura 16.1 - Temperatura dos Elétrons e do Gás em Função da Pressão.
Figura 16.2 - Funções de Distribuição de Energia dos elétrons em Função da Pressão
Para Pressões Dentro do Intervalo 4, 0 × 10
−2
- 1, 0 × 10
−1
mbar.
Figura 16.3 - Funções de Distribuição de Energia dos elétrons em Função da Pressão
Para Pressões Dentro do Intervalo 4, 5 × 10
−3
- 4, 0 × 10
−2
mbar.
Figura 16.4 - Desenho Esquemático das Densidades Íônicas e Eletrônicas na Bainha do
Plasma.
Figura 16.5 - Ajuste dos Pontos Experimentais por uma Maxwelliana (R
2
= 0,82838)
e por uma Druyvesteyn (R
2
= 0,99896) para p = 1, 0 × 10
−1
mbar.
Figura 16.6 - Ajuste dos Pontos Experimentais por uma Maxwelliana (R
2
= 0,87281)
e por uma Druyvesteyn (R
2
= 0,99916) para p = 4, 0 × 10
−2
mbar.
Figura 16.7 - Ajuste dos Pontos Experimentais por uma Maxwelliana (R
2
= 0,83570)
e por uma Druyvesteyn (R
2
= 0,99978) para p = 4, 5 × 10
−3
mbar.
Figura 16.8 - Frequências de Colisão em Função da Pressão.
Figura 16.9 - Ajuste dos Pontos Experimentais por uma bi-Maxwelliana (R
2
= 0.98537)
e por uma bi-Druyvesteyn (R
2
= 0,99977) para p = 4, 5 × 10
−3
mbar.
Figura 16.10 - Ajuste dos Pontos Experimentais por Parábolas Para Determinação da
Densidade e Temperatura dos Dois Gases de Elétrons Para p = 4, 5 × 10
−3
mbar (R
2
= 0,99982 e R
2
= 0,99972).
Figura 16.11 - Funções de Distribuição de Energia dos Íons em Função da Pressão Para
z = 22 cm e Potência = 120 W.
12
Figura 16.12 - Funções de Distribuição de Energia dos Íons em Função da Pressão Para
z = 22 cm e Potência = 120 W.
Figura 17.1 - Secções de Choque de Elétrons em Argônio Para Espalhamento Elástico,
Excitação e Ionização.
Figura 17.2 - Caminho Livre Médio λ
e
e Parâmetro Adimencional a/λ
e
em Função da
Pressão de Trabalho.
Figura 17.3 - Correções na Função de Distribuição de Energia até Quinta Ordem Para
Pressão p = 3,0×10
−1
mbar.
Figura 17.4 - Funções de Distribuição de Energia Corrigidas até Quinta Ordem Para
Pressão p = 3,0×10
−1
mbar.
Figura 17.5 - Valores Corrigidos de Densidade e Temperatura Eletrônica em Função
do Número de Iterações Para Pressão p = 3,0×10
−1
mbar.
Figura 17.6 - Variação Percentual entre os Valores Medidos e Corrigidos, até Quinta
Ordem, da Densidade e Tempeartura Eletrônica em Função da Pressão.
Figura 18.1 - Espectro Óptico de Emissão de um Plasma de Argônio à Pressão p =
3, 0 × 10
−2
mbar.
Figura 18.2 - Método Gráfico Para Encontrar a Temperatura Utilizando a Equação de
Saha.
Figura 18.3 - Método Gráfico Para Encontrar a Temperatura Utilizando a Equação de
Saha Generalizada.
Figura 18.4 - Laboratório de Aplicações de Plasmas (LAP).
Figura 18.5 - Projeto Elétrico da Fonte de RF.
Figura 18.6 - Circuito Snubber.
Lista de Símbolos
λ
e
- Caminho Livre Médio do Elétron
D - Coeficiente de Difusão
λ
D
- Comprimento de Debye
k
B
- Constante de Boltzmann
e - Carga Elétrica Elementar
ℏ - Constante de Planck
n - Densidade de Partículas
E - Energia
W
av
- Energia Média
Γ - Fluxo
ν - Frequência de Colisão
L - Indutância
m
e
- Massa do Elétron
M
i
- Massa do Íon
χ - Potencial de Ionização
σ - Seção de Choque
T - Temperatura
14
c - Velocidade da Luz
→
D
- Vetor Deslocamento Elétrico
→
E
- Vetor Campo Elétrico
→
H
- Vetor Campo Magnético
→
B
- Vetor Indução Magnética
→
J
- Vetor Densidade de Corrente
ρ - Densidade de Carga Elétrica
→
A
- Potencial Vetor
→
j
ℓ
- Vetor Densidade de Corrente Superficial
ǫ
0
- Permissividade Elétrica do Vácuo
µ
0
- Permeabilidade Magnético do Vácuo
γ - Coeficiente de Emissão por Sputtering (Sputtering Yield)
I
ES
- Corrente de Saturação Eletrônica
I
IS
- Corrente de Saturação Iônica
φ
p
- Potencial de Plasma
V
f
- Potencial Flutuante
V
B
- Tensão Aplicada à Sonda de Langmuir
15
Sumário
I Introdução 20
1 Plasmas e Nanotecnologia 21
1.1 Aplicações Tecnológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Plasmas Acoplados Indutivamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Plasma Cleaner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Objetivos do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II Fundamentação Teórica do Equipamento e dos Sistemas
de Diagnóstico 27
2 Modelo Teórico do Equipamento - Eletromagnético 28
2.1 Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Desenvolvimento em Autofunções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Condições de Contorno em r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Condições de Contorno em z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Desenvolvimento em termos das Autofunções . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 Campos Elétrico e Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.8 Densidade de Corrente Superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.9 Indutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.10 Antena com Várias Espiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.11 Resultados da Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
16
3 Modelo Teórico do Equipamento - Difusão de Partículas 45
3.1 Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Desenvolvimento em Autofunções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Condições de Contorno em r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Condições de Contorno em z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6 Desenvolvimento em termos das Autofunções . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.7 Fluxo de Partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.8 Antena com Várias Espiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.9 Resultados da Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Modelo Teórico do Oscilador de RF 56
4.1 Osciladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Teoria da Realimentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Oscilador com Amplificador Realimentado . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 Diagnóstico dos Parâmetros do Plasma 65
5.1 Teoria da Sonda de Langmuir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Determinação Direta da Função de Distribuição de Energia . . . . . . . 68
5.3 Correções na Função de Distribuição de Energia Devido à Difusão . . . 71
5.4 Espectroscopia da Radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.1 Espectroscopia Ótica de Emissão . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.2 Equilíbrio Termodinâmico Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.3 Equação de Transferência Radiativa . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.4.4 Temperatura em Plasmas no ETL . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4.5 Equação de Saha Modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4.6 Temperatura em Plasmas fora do ETL . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5 Analisador de Energia - Copo de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6 Diagnóstico da Radiofrequência 88
17
7 Diagnóstico dos Parâmetros de Processos Tecnológicos 93
7.1 Difratometria de Raios-X a Baixo Ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Espectroscopia por Dispersão de Energia - EDS . . . . . . . . . . . . . 95
III Desenvolvimento Experimental 97
8 O Reator 98
8.1 Câmara de Vácuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2 Antena de RF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.3 Porta-Amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.4 Sistema de Vácuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.5 Refrigeração da Difusora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9 Fonte de Radiofrequência 103
9.1 Alta Tensão DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.1.1 Elevação da Tensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.1.2 Retificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2 Oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.2.1 Válvula 304TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.2.2 Componentes do Oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.3 Linha de Transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
10 Dispositivos para Diagnóstico da Radiofrequência 111
10.1 Corrente de Radiofrequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.1.1 Bobina de Rogowsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.1.2 Calibração da Bobina de Rogowsky . . . . . . . . . . . . . . . . 112
10.2 Potência de Radiofrequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10.2.1 Medidor de Potência de RF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10.2.2 Calibração do Medidor de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.3 Eficiência do Acoplamento Plasma-Fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
18
11 Dispositivos para Diagnóstico dos Parâmetros do Plasma 119
11.1 Sonda de Langmuir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11.2 Espectrômetro Óptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
11.3 Copo de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
12 Aquisição de Dados 126
IV Procedimentos Experimentais 130
13 Densidade e Temperatura dos Elétrons 131
13.1 Sonda de Langmuir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
13.2 Função de Distribuição de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
13.3 Espectroscopia Óptica de Emissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
13.4 Incertezas Associadas às Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
14 Densidade e Energia Média de Íons 137
V Resultados 140
15 Caracterização do Equipamento 141
15.1 Densidade e Temperatura Eletrônica em Função da Pressão . . . . . . . 141
15.2 Densidade e Temperatura Eletrônica em Função da Posição Radial . . . 143
15.3 Densidade e Temperatura Eletrônica em Função da Posição z . . . . . . 145
15.4 Densidade e Temperatura Eletrônica em Função da Potência de RF . . 146
15.5 Densidade e Energia Média dos Íons em Função da Pressão . . . . . . . 147
15.6 Taxa de Sputtering em Filmes de Cromo . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
15.7 Limpeza de Amostras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
16 Maxwelliana versus Druyvesteyn 154
17 Correções na Função de Distribuição de Energia 166
19
18 Equação de Saha Modificada 172
VI Conclusões e Propostas para Traba lhos Futuros 175
Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Propostas para Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Apêndice 179
Apêndice A - Distribuição de Druyvesteyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Apêndice B - Montagem do Laboratório de Aplicações de Plasma do CBPF 188
Apêndice C - Programa para Gráficar Linhas de Campo Magnético . . . . . 189
Apêndice D - Programa para Graficar a Densidade de Corrente Superficial . 192
Apêndice E - Programa para Cálculo da Indutância . . . . . . . . . . . . . . 194
Apêndice F - Programa para Cálculo da Densidade e Fluxo de Partículas . . 198
Apêndice G - Programa para Correção na Função de Distribuição . . . . . . 206
Apêndice H - Válvula 304TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Apêndice I - Circuito Elétrico da Fonte de RF . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Apêndice J - Operação do Equipamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Apêndice H - Artigo Publicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Referências Bibliográficas 228
20
Parte I
Introdução
21
Capítulo 1
Plasmas e Nanotecnologia
1.1 Aplicações Tecnológicas
Plasmas de baixa temperatura têm sido intensamente utilizados em processos tec-
nológicos na indústria de microeletrônica [1] e se tornam cada vez mais relevantes
para a nanotecnologia, tanto como uma ferramenta direta de nanofabricação, como
também auxiliar em limpeza de amostras sendo bastante utilizados em pré ou pós-
tratamento [2–4].
Está sendo implantado no CBPF um laboratório multi-usuário de nanotecnologia, de-
nominado LABNANO, voltado principalmente à nanolitografia e caracterização de
sistemas nanométricos. Neste laboratório serão instalados dois microscópios, um de
transmissão e outro de varredura.
Para obter resultados otimizados em microscopia eletrônica, é essencial que as amostras
sejam preparadas com áreas representativas, sem artefatos, transparentes a elétrons
e livres de contaminantes, em particular hidrocarbonetos. Existem vários métodos
de preparação dessas amostras; no entanto, estas técnicas de preparação (raspagem
volumétrica ou em covas, usinagem iônica, eletrop olimento, etc.) às vezes introduzem
contaminação, como camadas superficiais de resíduos amorfo s, et c.
Uma técnica bastante utilizada em laboratórios modernos de microscopia é a limpeza
das amostras, após os pro cessos convencionais de preparação (raspagem volumétrica
ou em covas, usinagem iônica, eletro polimento, etc.), numa câmara de tratamento
(limpeza) a plasma - Plasma Cleaner.
A pesquisa em filmes finos cerâmicos, tanto básica quanto aplicada, é um campo in-
terdisciplinar em pleno desenvolvimento no mundo todo. A motivação das pesquisas,
22
tanto em laboratórios industriais quanto nas universidades, é a promessa de uma nova
geração de dispositivos avançados que levarão ao surgimento de novas tecnologias.
Filmes finos têm sido utilizados há mais de quatro milênios; porém somente recente-
mente esta tecnologia começou a ser estudada cientificamente. Os egípcios foram os
primeiros a obter folhas de ouro de espessuras muito finas (menores que 0,3 µm) para
utilização em ornamentação e na proteção contra corrosão.
A partir da década de 80 iniciou-se o estudo de filmes finos cerâmicos devido a cres-
cente necessidade de miniaturização de dispositivos de alta tecnologia. A utilização de
materiais na forma de filmes finos apresenta diversas vantagens como menor tamanho,
menor peso, fácil integração à tecnologia do circuito integrado e o aparecimento de
novos fenômenos devido aos efeitos de superfície que se tor n am mais acentuados, além
de benefícios adicionais, tais como: baixa voltagem de operação, alta velocidade e a p os-
sibilidade de fabricação de estruturas em nível microscópico. Por esse motivo, diversos
materiais estudados anteriormente na forma de cerâmicas passaram a ser desenvolvidos
na forma de filmes finos.
Durante as últimas duas década, ou mais, plasmas tem sido amplamente usados em
processos industriais como uma das principais técnicas de deposição de filmes finos,
uma vez que estes permitem um controle preciso e versátil da microestrutura e das
propriedades do filme, como densidade, aderência, rugosidade superficial e cristalin-
idade [5].
Os principais obstáculos a serem superados nos processos de deposição de filmes podem
ser classificados como de caráter científico e tecnológico. Um deles é o entendimento da
nucleação e do crescimento do filme em termos dos parâmetros do plasma, utilizados
para o controle da microestrutura e propriedades relacionadas. Outro obstáculo é a
relação entre a estrutura do filme fino e os parâmetros do plasma, que estão intimamente
associados aos parâmetros do processo como pressão, potência de entrada, densidade
e temperatura do processo.
1.2 Plasmas Acoplados Indutivamente
Os dispositivos de limpeza a plasma, geralmente referenciados pelo nome em inglês
“Plasma Cleaner” e “Plasma Etcher”, são muito usados para limpeza, preparação e
modificação de superfícies. Os métodos para gerar descargas estáveis deste t ipo são
classificados em dois grupos: descargas acopladas indutivamente e descargas acopladas
capacitivamente [4,6].
23
O primeiro método é baseado na indução eletromagnética; uma corrente de alta fre-
quência passa através de uma antena (esta antena possui apenas uma ou algumas
poucas espiras). O campo magnético de radiofrequência (RF) gerado pela corrente nas
espiras induz um campo elétrico em vórtex. Os elétrons adquirem energia deste campo
e ionizam o gás de fundo através de ionização colisional, mantendo a descarga estável.
O segundo grupo, que é mais simples e de geometria mais ampla, corr esponde a uma
voltagem de RF aplicada entre dois eletrodos planos paralelos, geralmente imersos no
plasma [6,7].
Descargas de RF acopladas capacitivamente são rotineiramente utilizadas na produção
de plasmas para fabricação de dispositivos semicondutores. Por exemplo, a corrosão de
cristais de silício é uma tecnologia bem desenvolvida baseada na produção de plasmas
por meio de descargas capacitivas [1].
Uma descarga acoplada indutivamente é desprovida de eletrodos, de modo a produzir
um plasma menos contaminado [8], enquanto que, em plasmas acoplados capacitiva-
mente, a contaminação gerada a partir da erosão dos eletrodos é inevitável. Esta carac-
terística às vezes é decisiva para aplicação de plasmas para a produção de componentes
de alta pureza e metais refratários granulares.
Essencialmente, plasmas são constituídos por p ortadores de carga positivos e negativos,
cujas concentrações são, a princípio, iguais. Como a massa dos elétrons é três ordens
de grandeza menor que a dos íons, estes se movem muito mais rápido sob a ação de
campos elétricos. Colisões inelásticas entre elétrons e moléculas ou átomos dos gases
presentes são os principais responsáveis pela geração e manutenção da descarga.
1.3 Plasma Cleaner
O tratamento a plasma pode ser aplicado a uma ampla variedade de materiais. Algumas
das aplicações são: limpeza de células de transmissão, janelas, slides de microscópios
e elementos de reflexão interna; mas também tem sido amplamente utilizado para
esterilização de componentes cirúrgicos e de implantes médicos e dentários. Outras
aplicações incluem preparação de amostras para microscopia eletrônica, tratamento de
superfície de polímeros e biomateriais através da ativação e revestimento de superfícies,
remoção de resinas orgânicas fotosensíveis (photoresist) sobre pastilhas semicondutoras,
ativação de superfícies, bem como alteração de sua energia, entre outras.
Um Plasma Etcher ou Plasma Cleaner consiste de três partes básicas: a câmara de
reação, a fonte de potência e a bomba de vácuo. As amostras a serem tratadas são
24
colocadas dentro da câmara. Esta é então evacuada e purgada com um gás que será
utilizado com o gás de plasma. Este gás é ionizado pela aplicação de RF na câmara
e reage com determinados materiais existentes sobre a superfície das amostras. Esta
reação forma compostos voláteis que são expelidos pela bomba de vácuo.
Às vezes ocorre uma confusão de terminologia na literatura, ou seja, “O que é Plasma
Cleaner?” versus “O que é Plasma Etcher?”. Geralmente, um Plasma Etcher é uma
unidade que opera a partir de aproximadamente 100 Watts, enquanto que um Plasma
Cleaner opera em níveis de p otência menor, da ordem de 10 Watts, podendo chegar
até 50 Watts e não mais que isso.
É possível criar plasmas onde a energia dos íons é da ordem de 100 eV; entretanto
isto pode alterar significantemente as propriedades da amostra, uma vez que estas
energias são suficientes para quebrar ligaçõ es moleculares e provocar sputerring em sua
superfície [9].
Em plasmas de altas energias, os vários componentes em contato com o plasma, in-
cluindo a amostra, o suporte da amostra, as paredes da câmara, e os eletrodos (no caso
de descargas acopladas capacitivamente) terão material removido por sputerring que
pode acabar sendo depositado sobre a amostra.
Medidas da energia dos íons num plasma ajustado para limpeza indicam que estes
possuem energia entre 10 e 15 eV. Esta energia está bem abaixo da energia limite de
ocorrência de sputerring para a maioria dos materiais possibilitando uma limpeza da
superfície sem alterá-la.
1.4 Objetivos do Trabalho
O objetivo deste trabalho é desenvolver e caracterizar uma câmara de limpeza a plasma
para utilização no LABNAN O. Embora esses dispositivos possam ser obtidos comer-
cialmente, eles são geralmente fabricados de uma forma integrada e compacta, com o
propósito de atender determinadas aplicações, e não permitem fácil acesso ao plasma
para diagnóstico e estudo [10,11].
Variações na densidade ou na energia média das espécies presentes no plasma influ-
enciam processos como a deposição de filmes, limpeza e tratamentos de superfícies.
Portanto, o conhecimento de como condições externas do processo afetam os parâme-
tros intrínsecos do plasma permite um melhor entendimento dos mecanismos envolvidos
no processo e, conseqüentemente, determina as melhores condições experimentais.
25
Nos dispositivos comerciais apenas parâmetros externos do equipamento, como pressão
de operação e potência de radiofrequência, são monitorados. Assim, propomos construir
um equipamento mais versátil que, além das aplicações previstas, permita também um
estudo detalhado do plasma produzido, com a finalidade de modelar os processos físicos
relevantes na descarga, e adquirir conhecimento que permita extender as pesquisas em
aplicações tecnológicas de plasmas no CBPF.
Antes de iniciar o trabalho foi realizada uma pesquisa bibliográfica sobre plasmas
acoplados indutivamente. A literatura mostrou que a maioria destes plasmas utiliza
uma antena de RF localizada fora do reator, ou seja, fora do plasma. Existem duas
configurações que são mais utilizadas: a primeira consiste em um reator cilíndrico de
quartzo no qual a antena é enrolada em sua volta pelo lado de fora [12–15] e a segunda
é constituída de um cilíndro metálico, sendo que em sua parte superior é instalada uma
janela de quartzo onde fica localizada uma antena plana [12, 16–18].
Um dos problemas destes tipos de configuração é que, devido a interação do plasma
com a parede de quartzo, o interior do sistema acaba sendo contaminando com sílica.
Para eliminar essa contaminação, optou-se em não utilizar paredes de quartzo. Por-
tanto, a antena deve estar localizada dentro do reator. Na literatura poucos estudos
sobre este tipo de configuração foram encontrados [8, 19, 20], sendo que em nenhuma
das referências encontramos um sistema próximo ao que está sendo proposto por este
trabalho. Da mesma forma, o sistema de alimentação (Fonte de RF) em todos os casos
encontrados eram desbalanceados, enquanto que neste trabalho é balanceado.
O sistema desenvolvido é formado por uma câmara cilíndrica, com a antena de RF e um
dispositivo de diagnóstico localizados em um dos lados da câmara, enquanto que pelo
outro lado entram as amostras e um outro dispositivo de diagn óstico. No lado próximo
às amostras foram instaladas janelas para observação e espectroscopia. O sistema é
evacuado pela parte inferior de sistema pelo lado onde está localizada a antena. Um
desenho esquemático do sistema pode ser visto na figura 1.1.
O fato da antena estar em contato com o plasma gera a suspeita de que as amostras a
serem processadas sejam contaminadas pelo material removido da superfície da antena
devido a ocorrência de sputtering. No entanto, Yamashita mostra em seu trabalho [8]
que, nas análises de EPMA (Electron Probe Micro-Analyzer) e XPS (X-ray Phot o-
electron Spectroscopy) feitas em suas amostras, não foi encontrado material da antena;
portanto, a presença de contaminação devido a antena estar localizada dentro do reator
pode ser pequena.
A realização deste trabalho foi dividida em seis partes sendo que, na primeira é feita
uma introdução, onde são apresentadas as aplicações de plasmas em processos nano-
26
Figura 1.1: Desenho Esquemático da Vista Superior do Equipamento Proposto.
tecnológicos, em particular, plasmas acoplados indutivamente; na segunda parte é feita
uma descrição teórica da fonte de RF, do equipamento desenvolvido (Reator) e dos
dispositivos usados para diagónstico dos parâmetros do plasma e da RF; a terceira
parte trata da construção destes equipamentos e dispositivos; a quarta parte refere-se
aos procedimentos utilizados para coleta de dados e como obter resultados a partir
desses dados; na quinta parte são apresentados os resultados obtidos e as conclusões
com relação aos resultados são deixados para a sexta e última parte.
27
Parte II
Fundamentação Teórica do
Equipamento e dos Sistemas de
Diagnóstico
28
Capítulo 2
Modelo Teórico do Equipamento -
Eletromagnético
2.1 Modelagem
Nesta seção será realizada uma modelagem teórica dos fenômenos eletromagnéticos
existentes no interior do reator. No modelo proposto o reator apresentado na figura
1.1 será modelado como sendo um cilindro perfeitamente condutor de raio b e altura
H. A antena responsável pela geração do campo de RF será modelada por uma espira
de corrente de raio a posicionada numa altura h dentro do reator. A generalização dos
resultados para uma antena constituída por N espiras de corrente será implementada
utilizando o princípio da superposição dos campos. Um desenho esquemático do modelo
teórico para o reator pode ser visto na figura 2.1.
2.2 Formulação do Problema
Partindo das equações de Maxwell para um meio qualquer,
→
∇
·
→
D
= ρ (2.1)
→
∇
·
→
B
= 0 (2.2)
→
∇
×
→
E
= −
∂
→
B
∂t
(2.3)
29
Figura 2.1: Desenho Esquemático do Modelo Teórico Proposto para o Reator.
→
∇
×
→
H
=
→
J
+
∂
→
D
∂t
(2.4)
e supondo, à princípio, que o meio dentro do cilindro condutor seja o vácuo, cujas
relações constitutivas são
→
D
= ǫ
0
→
E
e
→
B
= µ
0
→
H
, (2.5)
onde ǫ
0
e µ
0
são a permissividade elétrica e permeabilidade magnética do vácuo, res-
pectivamente, chegamos as equações de Maxwell
→
∇
·
→
E
=
ρ
ǫ
0
, (2.6)
→
∇
·
→
B
= 0 , (2.7)
→
∇
×
→
E
= −
∂
→
B
∂t
(2.8)
→
∇
×
→
B
= µ
0
→
J
+ µ
0
ǫ
0
∂
→
E
∂t
. (2.9)
30
Utilizando as relações entre os campos e os pot enciais dadas p or
→
B
=
→
∇
×
→
A
(2.10)
→
E
= −
→
∇
φ −
∂
→
A
∂t
(2.11)
e fazendo algumas manipulações, chegamos à equação
∇
2
→
A
−
1
c
2
∂
2
→
A
∂t
2
= −µ
0
→
J
+
→
∇
→
∇
·
→
A
+
1
c
2
∂φ
∂t
(2.12)
que, por meio de uma transformação de calibre sobre os potenciais da forma
→
A
−→
→
A
′
=
→
A
+
→
∇
Γ e φ −→ φ
′
= φ −
∂Γ
∂t
(2.13)
e escolhendo Γ de modo que
→
∇
·
→
A
′
+
1
c
2
∂φ
′
∂t
= 0 (Calibre de Lorentz) (2.14)
chegamos à uma equação de onda para o potencial vetor cujo termo de fonte é a
densidade de corrente [21]
∇
2
→
A
−
1
c
2
∂
2
→
A
∂t
2
= −µ
0
→
J
. (2.15)
Modelando a antena como uma espira de corrente de raio a numa altura h por
→
J
(r, z, t) = I
0
e
iωt
δ (r − a) δ (z − h) e
ϕ
(2.16)
e como a densidade de corrente varia harmonicamente com freqüência ω e só possui
componente e
ϕ
, assim também será o potencial vetor. Dessa forma a equação de onda
para o potencial vetor adquire a forma
∇
2
→
A
+ k
2
→
A
= −µ
0
I
0
δ (r − a) δ (z − h) e
ϕ
, (2.17)
onde k é o vetor de onda dado por k =
ω
c
.
31
Como a densidade de corrente está na direção e
ϕ
, tomaremos esta componente do
laplaciano do potencial vetor, em coordenadas cilíndricas, que é dado por
∇
2
→
A
ϕ
= ∇
2
A
ϕ
+
2
r
2
∂A
r
∂ϕ
−
1
r
2
A
ϕ
, (2.18)
onde o laplaciano, neste sistema de coordenadas, é dado por
∇
2
=
1
r
∂
∂r
r
∂
∂r
+
1
r
2
∂
2
∂ϕ
2
+
∂
2
∂z
2
. (2.19)
Devido a simetria do problema, o potencial vetor A
ϕ
não deve depe nder de ϕ, e assim
chegamos à equação
1
r
∂
∂r
r
∂A
ϕ
∂r
+
∂
2
A
ϕ
∂z
2
+
k
2
−
1
r
2
A
ϕ
= −µ
0
I
0
δ (r − a) δ (z − h) . (2.20)
2.3 Desenvolvimento em Auto funções
Para resolver o problema, vamos considerar a equação homogênea de autovalores asso-
ciada e encontrar suas autofunções juntamente com seus respectivos autovalores. Feito
isto, vamos desenvolver o potencial vetor na base das autofunções encontradas
Escrevendo a equação de autovalor homogênea associada
1
r
∂
∂r
r
∂ψ
∂r
+
∂
2
ψ
∂z
2
+
λ
2
−
1
r
2
ψ = 0 , (2.21)
e supondo que ψ (r, z) possa ser separada em
ψ (r, z) = R (r) Z (z) , (2.22)
substituímos esta solução tipo produto na equação de autovalores e, após algumas
manipulações, chegamos à equação
1
Rr
d
dr
r
dR
dr
+
λ
2
−
1
r
2
= −
1
Z
d
2
Z
dz
2
= m
′ 2
, (2.23)
onde m
′
é uma constante. Daqui tiramos que
32
d
2
Z
dz
2
+ m
′ 2
Z = 0 (2.24)
e
d
2
R
dr
2
+
1
r
dR
dr
+
k
′ 2
−
1
r
2
R = 0 (2.25)
onde k
′ 2
= λ
2
− m
′ 2
, e cujas soluções são da forma
Z (z) = C
1
sen (m
′
z) + C
2
cos (m
′
z) (2.26)
e
R (r) = C
3
J
1
(k
′
r) + C
4
Y
1
(k
′
r) , (2.27)
sendo J
1
e Y
1
as funções de Bessel de ordem 1 de primeiro e segundo tipo respectiva-
mente. Portanto, as soluções gerais são da forma
ψ (r, z) = [C
1
sen (m
′
z) + C
2
cos (m
′
z)] [C
3
J
1
(k
′
r) + C
4
Y
1
(k
′
r)] . (2.28)
2.4 Condições de Contorno em r
Como vamos desenvolver o potencial vetor
→
A
na base das autofunções encontradas
ψ, estas devem satisfazer as condições de contorno imposta sobre ele, ou no caso,
sobre suas derivadas, já que as condições de contorno se aplicam aos campos elétrico e
magnético.
Primeiramente, como os campos devem ser finitos no interior do cilindro, inclusive em
r = 0, devemos fazer C
4
= 0 pois Y
1
diverge na origem. Assim, incorporando C
3
às
outras constantes teremos
ψ (r, z) = [C
1
sen (m
′
z) + C
2
cos (m
′
z)] J
1
(k
′
r) . (2.29)
Impondo agora a condição de contorno
B
1n
= B
2n
(2.30)
33
e admitindo uma alta condutividade para o cilindro, devemos fazer com que a compo-
nente normal do campo magnético sobre a lateral do cilindro B
2n
seja nula e, portanto,
temos uma condição de contorno sobre a derivada de ψ da forma
[B
1n
]
r=b
= B
r
(r = b, z) =
−
∂ψ
∂z
r=b
= 0 , (2.31)
isto é,
B
r
(r = b, z) = −m
′
[C
1
cos (m
′
z) − C
2
sen (m
′
z)] J
1
(k
′
b) = 0 (2.32)
o que implica que
J
1
(k
′
b) = 0 =⇒ k
′
b = j
1,n
=⇒ k
′
=
j
1,n
b
(2.33)
onde j
1,n
são os zeros da função de Bessel de ordem 1. Portanto, as autofunções ficam
na forma
ψ (r, z) = [C
1
sen (m
′
z) + C
2
cos (m
′
z)] J
1
j
1,n
r
b
. (2.34)
2.5 Condições de Contorno em z
Aplicando a condição de contorno B
1n
= B
2n
para o campo magnético na base do
cilindro e impondo que este seja nulo, devido a alta condutividade do cilindro, teremos
que
[B
1n
]
z=0
= B
z
(r, z = 0) =
1
r
∂
∂r
(rψ)
z=0
= 0 . (2.35)
Assim, chegamos à
B
z
(r, z = 0) =
1
r
d
dr
rJ
1
j
1,n
r
b
C
2
= 0 =⇒ C
2
= 0 (2.36)
e as autofunções são da forma
ψ (r, z) = J
1
j
1,n
r
b
sen (m
′
z) . (2.37)
Aplicando agora a condição de contorno B
1n
= B
2n
no topo do cilindro
34
[B
1n
]
z=H
= B
z
(r, z = H) =
1
r
∂
∂r
(rψ)
z=H
= 0 , (2.38)
encontramos que
B
z
(r, z = H) =
1
r
d
dr
rJ
1
j
1,n
r
b
C
1
sen (m
′
H) = 0 =⇒ m
′
=
mπ
H
(2.39)
e assim chegamos as autofunções não-normalizadas do problema que são da forma
ψ
m,n
(r, z) = J
1
j
1,n
r
b
sen
mπz
H
(2.40)
Lembrando que k
′ 2
= λ
2
− m
′ 2
, que k
′
=
j
1,n
b
e ainda que m
′
=
mπ
H
, chegamos aos
respectivos autovalores que são dados por
λ
2
m,n
=
j
1,n
b
2
+
mπ
H
2
. (2.41)
2.6 Desenvolvimento em termos das Autofunções
Para encontrar o potencial vetor dentro do cilindro vamos desenvolvê-lo na base de
autofunções encontradas e determinar os coeficientes de sua série. As autofunções não
precisam ser normalizadas, uma vez que os fatores de normalização serão imbutidos
dentro dos coeficientes da série.
Escrevendo o desenvolvimento como
A
ϕ
(r, z) =
∞
m=1
∞
n=1
a
m,n
ψ
m,n
(r, z) (2.42)
e chamando
L =
1
r
∂
∂r
r
∂
∂r
+
∂
2
∂z
2
−
1
r
2
(2.43)
o operador cuja equação de autovalores é dada por
L ψ
m,n
(r, z) = −λ
2
m,n
ψ
m,n
(r, z) , (2.44)
35
chegamos a equação
1
r
∂
∂r
r
∂ψ
m,n
∂r
+
∂
2
ψ
m,n
∂z
2
−
ψ
m,n
r
2
= −λ
2
m,n
ψ
m,n
(2.45)
que é a equação de autovalores 2.21.
Reescrevendo a equação 2.20 usando o operador
L, chegamos a
L A
ϕ
(r, z) = −k
2
A
ϕ
(r, z) − µ
0
I
0
δ (r − a) δ (z − h) (2.46)
e substituindo a solução em série, dada pela equação 2.42, para o potencial vetor nesta
equação de autovalores temos
∞
m=1
∞
n=1
a
m,n
L ψ
m,n
= −k
2
∞
m=1
∞
n=1
a
m,n
ψ
m,n
− µ
0
I
0
δ (r − a) δ (z − h) . (2.47)
Substituindo a equação 2.44 nesta equação ficamos com
∞
m=1
∞
n=1
a
m,n
−λ
2
m,n
ψ
m,n
= −k
2
∞
m=1
∞
n=1
a
m,n
ψ
m,n
−µ
0
I
0
δ (r − a) δ (z − h) , (2.48)
de onde tiramos que
∞
m=1
∞
n=1
a
m,n
ψ
m,n
k
2
− λ
2
m,n
= −µ
0
I
0
δ (r − a) δ (z − h) . (2.49)
Substituindo as autofunções encontradas, multiplicando ambos os lados por sen
lπz
H
e integrando de z = 0 até z = H teremos
∞
m=1
∞
n=1
a
m,n
k
2
− λ
2
m,n
J
1
j
1,n
r
b
H
0
sen
lπz
H
sen
mπz
H
dz =
= −µ
0
I
0
δ (r − a)
H
0
sen
lπz
H
δ (z − h) dz (2.50)
Usando a relação de ortogonalidade
36
H
0
sen
lπz
H
sen
mπz
H
dz =
H
2
δ
l,m
(2.51)
chegamos à
∞
n=1
a
m,n
k
2
− λ
2
m,n
H
2
J
1
j
1,n
r
b
= − µ
0
I
0
δ (r − a) sen
mπh
H
. (2.52)
Multiplicando agora ambos os lados por rJ
1
j
1,n
′
r
b
e integrando de r = 0 até r = b
temos
∞
n=1
a
m,n
k
2
− λ
2
m,n
H
2
b
0
rJ
1
j
1,n
r
b
J
1
j
1,n
′
r
b
dr =
= − µ
0
I
0
sen
mπh
H
b
0
rJ
1
j
1,n
′
r
b
δ (r − a) dr (2.53)
Usando agora a relação de ortogonalidade
b
0
rJ
ν
j
ν,n
r
b
J
ν
j
ν,n
′
r
b
dr =
b
2
2
[J
ν+1
(j
ν,n
)]
2
δ
n,n
′
, (2.54)
chegamos à
a
m,n
k
2
− λ
2
m,n
H b
2
4
[J
2
(j
1,n
)]
2
= − µ
0
I
0
sen
mπh
H
a J
1
j
1,n
a
b
(2.55)
de onde podemos tirar os coeficientes
a
m,n
=
−4aµ
0
I
0
sen
mπh
H
J
1
j
1,n
a
b
H b
2
k
2
− λ
2
m,n
J
2
(j
1,n
)
2
. (2.56)
Substituindo os autovalores λ
2
m,n
=
j
1,n
b
2
+
mπ
H
2
nesta equação chegamos finalmente
aos coeficientes
a
m,n
=
4aµ
0
I
0
sen
mπh
H
J
1
j
1,n
a
b
H b
2
j
1,n
b
2
+
mπ
H
2
− k
2
[J
2
(j
1,n
)]
2
. (2.57)
37
2.7 Campos Elétrico e Magnético
Para encontrar o campo magnético vamos usar a equação
→
B
=
→
∇
×
→
A
(2.58)
enquanto que para encontrar o campo elétrico vamos usar a expressão
→
E
= −
∂
→
A
∂t
(2.59)
A parte referente ao gradiente do potencial eletrostático foi desconsiderada pois o
campo elétrico é devido, apenas, a variação temporal do campo magnético. Calculando
a derivada temporal de
→
A
chegamos ao campo elétrico que é da forma
→
E
(r, z, t) = −
∞
m=1
∞
n=1
i ω a
m,n
J
1
j
1,n
r
b
sen
mπz
H
e
iωt
e
ϕ
. (2.60)
Tomando apenas sua parte real chegamos à
→
E
(r, z, t) =
∞
m=1
∞
n=1
ω a
m,n
J
1
j
1,n
r
b
sen
mπz
H
sen (ωt) e
ϕ
. (2.61)
Para encontrar o campo magnético vamos escrever o rotacional em coordenadas cilín-
dricas e calculá-las componente a componente.
Escrevendo então as componentes do rotacional
→
B
=
1
r
∂A
z
∂ϕ
−
∂A
ϕ
∂z
e
r
+
∂A
r
∂z
−
∂A
z
∂r
e
ϕ
+
1
r
∂
∂r
(rA
ϕ
) −
1
r
∂A
r
∂ϕ
e
z
, (2.62)
e como o potencial vetor possui comp onente apenas na direção e
ϕ
, temos que
→
B
=
−
∂A
ϕ
∂z
e
r
+
1
r
∂
∂r
(rA
ϕ
)
e
z
(2.63)
e, assim,
B
r
(r, z, t) = −
∂A
ϕ
∂z
(2.64)
e
38
B
z
(r, z, t) =
1
r
∂
∂r
(rA
ϕ
) . (2.65)
Portanto, calculando a derivada de A
ϕ
em relação a z e tomando a parte real temos
que
B
r
(r, z, t) = −
π
H
∞
m=1
∞
n=1
a
m,n
m J
1
j
1,n
r
b
cos
mπz
H
cos (ωt) . (2.66)
Para a componente z do campo ficamos com
B
z
(r, z, t) =
∞
m=1
∞
n=1
a
m,n
sen
mπz
H
1
r
d
dr
rJ
1
j
1,n
r
b
e
iωt
, (2.67)
onde usando a relação
d
dρ
[ρ
ν
J
ν
(ρ)] = ρ
ν
J
ν−1
(ρ) (2.68)
e tomando a parte real, chegamos a
B
z
(r, z, t) =
∞
m=1
∞
n=1
a
m,n
j
1,n
b
J
0
j
1,n
r
b
sen
mπz
H
cos (ωt) . (2.69)
2.8 Densidade de Corrente Superficial
Usando a condição de contorno
n ×
→
H
2
−
→
H
1
=
→
j
ℓ
, (2.70)
onde
→
j
ℓ
é a densidade de corrente superficial nas paredes do cilindro temos que em
r = b, ou seja, na lateral do cilindro, encontramos que
→
j
ℓ
= − n×
→
H
1
, (2.71)
já que a condutividade do cilindro foi considerada infinita. Assim, na lateral do cilindro,
como H
1n
= H
1r
= 0, e n = e
r
, temos que
39
→
j
lateral
= −
B
z
µ
0
e
r
× e
z
, (2.72)
de onde tiramos que
→
j
lateral
=
B
z
(b, z)
µ
0
e
ϕ
, (2.73)
e como na base e no topo do cilindro B
z
= 0, temos que na base
→
j
base
=
B
r
(r, 0)
µ
0
e
ϕ
, (2.74)
e no topo
→
j
topo
= −
B
r
(r, H)
µ
0
e
ϕ
. (2.75)
2.9 Indutância
Para calcular a indutância do sistema vamos usar a relação
1
2
L I
2
0
=
1
2 µ
0
B
2
dV (2.76)
Assim, a indutância do sistema é
L =
1
µ
0
I
2
0
B
2
r
+ B
2
z
dV (2.77)
2.10 Antena com Várias Espiras
Uma vez obtida as componentes do potencial vetor para uma esp ira de raio r = a na
posição z = h, podemos usar o princípio da superposição para encontrar os campos
elétrico e magnético para uma antena com N espiras. Dessa forma, o potencial vetor
resultante será dado por
→
A
R
(r, z, t) =
N
k=1
→
A
(r, z, t ; h
k
) , (2.78)
onde h
k
é a posição da k-ésima espira.
40
Os campos elétrico e magnético resultantes podem ser obtidos fazendo
→
E
R
= −
∂
→
A
R
∂t
(2.79)
e
→
B
R
=
→
∇
×
→
A
R
. (2.80)
Podemos ainda obter a densidade superficial de corrente e indutância resultantes para
o sistema com N espiras por meio de
→
j
ℓ
R
=
B
Rz
(b, z)
µ
0
e
ϕ
(2.81)
e
L =
1
µ
0
I
2
0
B
2
R
dV (2.82)
2.11 Resultados da Simulação
Com os resultados apresentados acima é possível calcular a indutância do sistema e
tirar informações sobre a densidade de corrente superficial na parede do reator, das
linhas de campo elétrico e magnético dentro do reator entre outros mais. Na intenção
de estudar melhor os efeitos dos campos eletromagnéticos dentro do reator, foram feitos
alguns programas em MATLAB para efetuar os cálculos de indutância e gr aficar linhas
de campo magnético e densidade de corrente superficial (Apêndices C, D e E).
Supondo que a antena seja formada por apenas uma espira de raio a = 3 cm posicionada
em z = 3 cm, encontramos que a indutância do sistema é L = 2,416 µH e as linhas de
campo magnético e densidade de corrente superficial po dem ser vistas na figura 2.2.
Para encontrar a equação diferencial das linhas de indução e plotá-las, definiu-se um
elemento de arco ao longo da linha de campo magnético ds dado por
ds = dr
ˆ
r + dz
ˆ
k. (2.83)
41
Figura 2.2: (a) Densidade de Corrente Superficial na Parede do Reator. (b) Linhas de
Campo Magnético para uma espira de Raio a = 3 cm na Posição z = 3 cm.
Fazendo o produto vetorial do elemento de arco ds com o vetor campo magnético
B,
obtemos que
ds ×
B = 0 (2.84)
uma vez que ds é paralelo a
B.
Dessa forma temos que a equação diferencial das linhas de campo é
dr
B
r
=
dz
B
z
. (2.85)
Como B
r
e B
z
são dados por
B
r
= −
∂A
ϕ
∂z
(2.86)
B
z
=
1
r
∂
∂r
(rA
ϕ
) (2.87)
42
chegamos, finalmente, a
d (rA
ϕ
) = 0. (2.88)
Esta equação mostra que cada linha de indução do campo magnético é traçada de tal
forma a manter sempre o produto rA
ϕ
invariante, ou seja, rA
ϕ
deve ser uma constante
ao longa de uma linha de campo.
Supondo agora que a antena seja formada por duas espiras de raio a = 3 cm posi-
cionadas em z
1
= 3 cm e z
2
= 6 cm encontramos que a indutância do sistema é igual
à L = 6,242 µH. As linhas de indução do campo magnético e a densidade de corrente
superficial podem ser visualizadas na figura 2.3.
Figura 2.3: (a) Densidade de Corrente Superficial na Parede do Reator. (b) Linhas de
Campo Magnético para Duas Espiras de Raio a = 3 cm Posicionadas em z
1
= 3 cm e
z
2
= 6 cm.
Finalmente, supondo que a antena seja formada por três espiras de raio a = 3 cm
posicionadas em z
1
= 3 cm, z
2
= 6 cm e z
3
= 9 cm encontramos que a indutância
do sistema é L = 10,34 µH e as linhas de campo magnético e densidade de corrente
superficial podem ser visualizadas na figura 2.4.
43
Com o objetivo de maximizar o campo elétrico induzido, será utilizada a configuração
com maior indutância (três espiras), uma vez que quanto maior a indutância maior o
fluxo magnético e, consequentemente, o campo elétrico.
Figura 2.4: (a) Densidade de Corrente Superficial na Parede do Reator. (b) Linhas de
Campo Magnético para Três Espiras de Raio a = 3 cm Posicionadas em z
1
= 3 cm, z
2
= 6 cm e z
3
= 9 cm.
É interessante notar que a indutância do sistema aumenta a medida que o número de
espiras cresce. Se pensarmos que as indutâncias estão sendo ligadas em paralelo, esta
deveria diminuir. No entanto, devemos lembrar que a cada posição na qual a espira é
colocada dentro do reator corresponde a uma indutância diferente devido a interação
com as paredes do cilíndro. Portanto, neste caso a relação entre as indutâncias não é
simplesmente como se elas fossem ligadas em paralelo.
Foram graficadas também as densidades de corrente superficial na base e no topo do
cilíndro. Os gráficos podem ser vistos nas figuras 2.5 e 2.6.
44
Figura 2.5: Densidade de Corrente Superficial na Base do Reator para Três Espiras de
Raio a = 3 cm Posicionadas em z
1
= 3 cm, z
2
= 6 cm e z
3
= 9 cm.
Figura 2.6: Densidade de Corrente Superficial no Topo do Reator para Três Espiras de
Raio a = 3 cm Posicionadas em z
1
= 3 cm, z
2
= 6 cm e z
3
= 9 cm.
45
Capítulo 3
Modelo Teórico do Equipamento -
Difusão de Partículas
3.1 Modelagem
Nesta seção será desenvolvido um modelo teórico para estimar a densidade de impurezas
no plasma devido ao sputtering da antena. Como já foi dito, Yamashita mostrou em seu
trabalho [8] que não foi encontrado, em suas amostras, material removido da antena.
No entanto, é importante quantificar o efeito do sputtering da antena com relação à
densidade de impurezas no plasma. Para isso, o reator será modelado utilizando o
mesmo desenho esquemático da figura 2.1.
3.2 Formulação do Problema
Partindo da lei de Fick aplicada a um meio com coeficiente de difusão livre D
→
Γ
= −D
→
∇
n (3.1)
e da equação da continuidade
→
∇
·
→
Γ
+
∂n
∂t
=
dn
dt
(3.2)
chegamos à equação de difusão
∇
2
n −
1
D
∂n
∂t
= −
F
D
(3.3)
46
onde F = dn/dt é a taxa com que as partículas são arrancadas da antena.
3.3 Desenvolvimento em Auto funções
Para resolver o problema para uma fonte qualquer, vamos considerar a equação ho-
mogênea de autovalores asso ciada e encontrar suas autofunções e seus respectivos au-
tovalores. Escrevendo a quação homogênea associada como
∇
2
ψ −
1
D
∂ψ
∂t
= 0 (3.4)
e supondo que ela possa ser separada em
ψ(
→
r
, t) = ϕ(
→
r
)T (t) (3.5)
teremos que
T (t) = T
0
e
−λDt
(3.6)
e
∇
2
ϕ(
→
r
) = −λϕ(
→
r
) (3.7)
onde o laplaciano é dado pela equação 2.19. Supondo ainda que ϕ(
→
r
) possa ser separada
em
ϕ(
→
r
) = R(r)Z(z) (3.8)
e fazendo algumas manipulações, chegamos à equação
1
Rr
d
dr
r
dR
dr
+ λ = −
1
Z
d
2
Z
dz
2
= m
′ 2
, (3.9)
onde m
′
é uma constante. Daqui tiramos que
d
2
Z
dz
2
+ m
′ 2
Z = 0 (3.10)
e
d
2
R
dr
2
+
1
r
dR
dr
+ n
′ 2
R = 0 (3.11)
47
onde n
′ 2
= λ − m
′ 2
. As soluções são dadas por
R(r) = A
1
J
0
(n
′
r) + B
1
Y
0
(n
′
r) (3.12)
e
Z(z) = A
2
sen(m
′
z) + B
2
cos(m
′
z). (3.13)
Portanto as soluções gerais do problema são da forma
ϕ(r, z) = [A
1
J
0
(n
′
r) + B
1
Y
0
(n
′
r)] [A
2
sen(m
′
z) + B
2
cos(m
′
z)] (3.14)
3.4 Condições de Contorno em r
Primeiramente, para que as solução sejam finitas no interior do cilíndro devemos fazer
B
1
= 0, pois Y
0
diverge na origem. Sendo assim, as soluções gerais tornan-se
ϕ(r, z) = [A
2
sen(m
′
z) + B
2
cos(m
′
z)] J
0
(n
′
r) (3.15)
Impondo agora a condição ϕ(r = b, z) = 0, teremos que
ϕ(r = b, z) = [A
2
sen(m
′
z) + B
2
cos(m
′
z)] J
0
(n
′
b) = 0 (3.16)
implicando em
n
′
=
j
0,n
b
(3.17)
Portanto, após as condições de contorno em r, as soluções gerais são
ϕ(r, z) = [A
2
sen(m
′
z) + B
2
cos(m
′
z)] J
0
j
0,n
r
b
(3.18)
3.5 Condições de Contorno em z
Impondo a condição ϕ(r, z = 0) = 0 temos que
48
ϕ(r, z = 0) = B
2
J
0
j
0,n
r
b
= 0. (3.19)
Ou seja, temos que B
2
= 0. Após isso, as soluções são
ϕ(r, z) = J
0
j
0,n
r
b
sen(m
′
z). (3.20)
Aplicando agora a condição ϕ(r, z = H) = 0,
ϕ(r, z = H) = J
0
j
0,n
r
b
sen(m
′
H) = 0 (3.21)
encontramos que
m
′
=
mπ
H
(3.22)
e, finalmente, chegamos as autofunções do problema, que são da forma
ϕ
m,n
(r, z) = J
0
j
0,n
r
b
sen
mπz
H
(3.23)
com autovalores dados por
λ
m,n
=
j
0,n
b
2
+
mπ
H
2
. (3.24)
Com isso, a equação de autovalor 3.7 torna-se
∇
2
ϕ
m,n
(
→
r
) = −λ
m,n
ϕ(
→
r
) (3.25)
3.6 Desenvolvimento em termos das Autofunções
A partir de agora podemos desenvolver n(
→
r
, t) e F(
→
r
, t) em termos das autofunções
encontradas. Portanto,
n(
→
r
, t) =
∞
n=1
∞
m=1
a
m,n
(t)ϕ
m,n
(
→
r
) (3.26)
e
F (
→
r
, t) =
∞
n=1
∞
m=1
c
m,n
(t)ϕ
m,n
(
→
r
) (3.27)
49
Substituindo estes desenvolvimentos na equação 3.3, temos que
∞
n=1
∞
m=1
a
m,n
(t)∇
2
ϕ
m,n
(
→
r
) −
1
D
∞
n=1
∞
m=1
ϕ
m,n
(
→
r
)
da
m,n
(t)
dt
= −
∞
n=1
∞
m=1
c
m,n
(t)
D
ϕ
m,n
(
→
r
)
(3.28)
Usando a equação 3.25 e colocando ϕ
m,n
(
→
r
) em evidência, chegamos à equação
∞
n=1
∞
m=1
ϕ
m,n
(
→
r
)
−λ
m,n
a
m,n
(t) −
1
D
da
m,n
(t)
dt
+
c
m,n
(t)
D
= 0. (3.29)
Para que esta equação seja sempre satisfeita, devemos impor que
da
m,n
(t)
dt
+ D λ
m,n
a
m,n
(t) = c
m,n
(t). (3.30)
Multiplicando ambos os lados desta equação por e
Dλ
m,n
t
e notando que
d
dt
a
m,n
(t)e
D λ
m,n
t
= e
D λ
m,n
t
da
m,n
(t)dt + Dλ
m,n
a
m,n
(t) e
D λ
m,n
t
(3.31)
teremos que
d
dt
a
m,n
(t)e
D λ
m,n
t
= c
m,n
(t)e
D λ
m,n
t
. (3.32)
Integrando esta equação e impondo a condição inicial a
m,n
(t = 0) = 0, chegamos à
a
m,n
(t) = e
−D λ
m,n
t
t
0
c
m,n
(τ) e
D λ
m,n
τ
dτ. (3.33)
Desta equação percebemos que para encontrar os coeficientes a
m,n
é necessário primeiro
conhecer os coeficientes c
m,n
. Portanto, multiplicando ambos os lados da equação 3.27
por
rJ
0
j
0,l
r
b
sen
γπz
H
(3.34)
e integrando, chegamos à equação
b
0
H
0
rJ
0
j
0,l
r
b
sen
γπz
H
F (r, z, t) dr dz =
50
=
∞
n=1
∞
m=1
c
m,n
(t)
b
0
rJ
0
j
0,l
r
b
J
0
j
0,n
r
b
dr
H
0
sen
γπz
H
sen
mπz
H
dz. (3.35)
Utilizando as equações 2.51 e 2.54 do capítulo anterior, temos que
b
0
H
0
rJ
0
j
0,l
r
b
sen
γπz
H
F (r, z, t) dr dz =
=
∞
n=1
∞
m=1
c
m,n
(t)
b
2
2
[J
1
(j
0,l
)]
2
H
2
δ
n,l
δ
m,γ
. (3.36)
e, portanto, os coeficientes c
m,n
(t) são
c
m,n
(t) =
4
Hb
2
[J
1
(j
0,n
)]
2
b
0
H
0
rJ
0
j
0,n
r
b
sen
mπz
H
F (r, z, t) dr dz (3.37)
Até aqui, os cálculos foram realizados para qualquer fonte F (r, z, t). Aplicando este
modelo ao nosso problema experimental, onde a função F (r, z, t) será modelada por
F (r, z, t) = F
0
δ(r − a)δ(z − h), t > 0 (3.38)
e
F (r, z, t) = 0, t ≤ 0 (3.39)
sendo F
0
a taxa de produção de partículas. Portanto, para t > 0, os coeficientes c
m,n
(t)
podem ser encontrados através da equação
c
m,n
(t) =
4F
0
Hb
2
[J
1
(j
0,n
)]
2
b
0
H
0
rJ
0
j
0,n
r
b
sen
mπz
H
δ(r −a)δ(z −h) dr dz (3.40)
que fornece
c
m,n
(t) =
4aF
0
Hb
2
[J
1
(j
0,n
)]
2
J
0
j
0,n
a
b
sen
mπh
H
. (3.41)
Desta equação temos que os coeficientes c
m,n
(t) para esta aplicação são, na verdade,
independentes do tempo. Para encontrar os coeficientes a
m,n
(t), basta substituir os
c
m,n
na equação 3.33, que torna-se
a
m,n
(t) = c
m,n
e
−D λ
m,n
t
t
0
e
D λ
m,n
τ
dτ. (3.42)
51
e temos, finalmente, os a
m,n
(t) que são dados por
a
m,n
(t) =
c
m,n
Dλ
m,n
1 − e
−D λ
m,n
t
. (3.43)
Portanto, a densidade n(r, z, t) pode ser escrita como sendo
n(r, z, t) =
∞
n=1
∞
m=1
c
m,n
Dλ
m,n
1 − e
−D λ
m,n
t
J
0
j
0,n
r
b
sen
mπz
H
. (3.44)
3.7 Fluxo de Partículas
Utilizando a equação 3.1 é possível determinar o fluxo de partículas sobre uma amostra
posicionada ao longo do eixo z (r = 0) e em z = z
0
. Uma vez encontrado o fluxo de
partículas arrancadas da antena podemos compará-lo com o fluxo de íons, e létrons e
partículas neutras verificando o resultado experimental obtido por Yamashita. Sendo
o gradiente em coordenadas cilíndricas dado por
→
∇
= ˆr
∂
∂r
+
ˆ
k
∂
∂z
(3.45)
podemos escrever os fluxos radial Γ
r
e axial Γ
z
como sendo
Γ
r
= −
∞
n=1
∞
m=1
c
m,n
λ
m,n
1 − e
−D λ
m,n
t
sen
mπz
H
d
dr
J
0
j
0,n
r
b
(3.46)
e
Γ
z
= −
∞
n=1
∞
m=1
c
m,n
λ
m,n
1 − e
−D λ
m,n
t
J
0
j
0,n
r
b
d
dz
sen
mπz
H
(3.47)
de onde obtemos que
Γ
r
=
∞
n=1
∞
m=1
c
m,n
λ
m,n
1 − e
−D λ
m,n
t
J
1
j
0,n
r
b
sen
mπz
H
(3.48)
e
Γ
z
= −
∞
n=1
∞
m=1
mπc
m,n
Hλ
m,n
1 − e
−D λ
m,n
t
J
0
j
0,n
r
b
cos
mπz
H
. (3.49)
Fazendo r = 0 e z = z
0
e observando que Γ
z
é a única componente que contribui para
o fluxo sobre a amostra, temos que
52
Γ
z
= −
∞
n=1
∞
m=1
mπc
m,n
Hλ
m,n
1 − e
−D λ
m,n
t
cos
mπz
0
H
. (3.50)
Tomando t → ∞ (Caso Estacionário) temos que o fluxo estacionário de partículas
arrancadas da antena sobre a amostra é dado por
Γ
z
= −
π
H
∞
n=1
∞
m=1
m c
m,n
λ
m,n
cos
mπz
0
H
. (3.51)
3.8 Antena com Várias Espiras
Para extender os resultados obtidos para uma antena constituída por N espiras, será us-
ado novamente o princípio da superposição. Portanto, a densidade resultante n
res
(r, z, t)
será dada por
n
res
(r, z, t) =
N
i=1
n
i
(r, z, t) (3.52)
enquanto o fluxo resultante
→
Γ
res
será dado por
→
Γ
res
= −D
→
∇
n
res
(3.53)
3.9 Resultados da Simulação
Com o objetivo de obter resultados quantitativos com relação ao fluxo de partículas
indesejáveis sobre a amostra, foi feito um programa em MATLAB para graficar o fluxo
axial e a densidade de partículas arrancadas da antena em função da posição dentro
do reator (Apêndice F).
Foi feita uma comparação entre a densidade de partículas arrancadas da antena n
sputt
,
calculada pelo modelo proposto, com a das partículas do gás neutro n
n
. Para isso foi
necessário estimar os valores do coeficiente de difusão livre D e da taxa de produção
de partículas F
0
. Os valores foram encontrados utilizando as equações
D =
k
B
T
sputt
M
sputt
ν
c
(3.54)
53
sendo ν
c
, M
sputt
e T
sputt
a frequência de colisão, a massa e a temperatura das partículas
arrancadas da antena, respectivamente, e
F
0
=
dn
dt
=
→
Γ
sputt
· ˆn dA (3.55)
sendo
→
Γ
sputt
o fluxo de partículas arrancadas da superfície da antena e a integral reali-
zada sobre a área da antena.
Para determinar o coeficiente de difusão livre D vamos supor que as partículas arran-
cadas da antena estejam a mesma temperatura do gás de partículas neutras, ou seja,
à temperatura ambiente.
A frequência de collisão pode ser obtida através da equação
ν
c
= n
n
σv. (3.56)
Realizando a média σv sobre uma função de distribuição Maxwelliana, encontramos
que o coeficiente de difusão livre é da ordem de D = 1, 0 × 10
−4
m
2
.s
−1
.
Para determinar a taxa F
0
vamos supor que o fluxo de íons seja igual em toda a
superfície da antena, e usando o valor da área superficial de aproximadamente A =
1 × 10
−4
m
2
, podemos encontrar um valor estimado para F
0
usando os resultados
experimentais obtidos neste trabalho.
Sendo o fluxo de íons dado por
Γ
i
= n
i
v
B
(3.57)
onde n
i
é a densidade de íons e v
B
é a velocidade de Bohm (velocidade íon-acústica),
que é dada por
v
B
=
k
B
T
e
M
i
(3.58)
Lembrando ainda que o fluxo de partículas arrancadas é dado por
Γ
sputt
= γΓ
i
(3.59)
sendo γ, para o intervalo de energia atingida por este dispositivo, da ordem de γ = 10
−3
,
encontramos que F
0
é da ordem de F
0
= 1, 0 × 10
12
s
−1
.
54
Na região entre z
0
= 20 e z
0
= 30 cm, que é a região onde a amostra será colocada para
posteriores tratamentos, temos que a r azão R
n
= n
sputt
/n
n
, para pressões da ordem de
p = 1, 0 × 10
−2
mbar, é sempre menor ou da ordem de R = 1, 0 × 10
−10
, ou seja, a
quantidade de partículas arrancadas da antena na região onde a amostra se encontra
é muito pequena.
Para estimar a razão entre o fluxo de partículas arrancadas da antena Γ
sputt
e o fluxo
de partículas do gás neutro Γ
n
, de íons Γ
i
e de elétrons Γ
e
, vamos primeiro determinar
o fluxo de partículas arrancadas da antena. Com base no modelo proposto temos que
o fluxo Γ
sputt
, na região onde a amostra se encontra, é sempre menor ou da ordem
de Γ
sputt
= 1, 0 × 10
8
m
−2
.s
−1
. Para encontrar o fluxo de partículas neutras sobre
a amostra vamos supor que o gás neutro está a temperatura ambiente. Com isso,
podemos encontrar a velocidade média v
n
das partículas, que é dada por
v
n
=
8k
B
T
n
πM
n
. (3.60)
Substituindo a temp eratura T
n
e a massa do gás neutro (M
n
= 6, 68 × 10
−26
kg para
argônio) chegamos à uma velocidade média v
n
= 397,3 m/s. Para encontrar o fluxo
de partículas neutras sobre a amostra vamos usar a equação
Γ
n
=
1
4
n
n
v
n
(3.61)
onde n
n
[m
−3
] = 2, 42 ×10
22
p , sendo p a pressão do gás em mbar. Para p = 4, 0 ×10
−2
mbar encontramos que Γ
n
= 2, 4×10
22
m
−2
.s
−1
. Usando a equação 3.61 para estimar o
fluxo de íons e elétrons sobre a amostra e usando os resultados obtidos neste trabalho,
encontramos que Γ
e
= 4, 0 ×10
17
m
−2
.s
−1
e Γ
i
= 1, 5 ×10
17
m
−2
.s
−1
. Portanto, temos
que
Γ
sputt
<< Γ
e
≈ Γ
i
<< Γ
n
(3.62)
Definindo as razões R
sputt−n
, R
sputt−i
e R
sputt−e
como
R
sputt−n
=
Γ
sputt
Γ
n
(3.63)
R
sputt−i
=
Γ
sputt
Γ
i
(3.64)
55
R
sputt−e
=
Γ
sputt
Γ
e
(3.65)
temos que seus valores são R
sputt−n
= 4, 2 × 10
−15
, R
sputt−i
= 6, 7 × 10
−10
e R
sputt−e
=
2, 5 × 10
−10
. Com base nestes resultados concluímos que a contaminação da amostra
pelo por material arrancado da antena não é substancial, confirmando o resultado
experimental de Yamashita [8].
O gráfico contendo o perfil da densidade de impurezas pode ser visto na figura 3.1.
Figura 3.1: Densidade de Impurezas no Plasma geradas por Sputtering na Antena.
56
Capítulo 4
Modelo Teórico do Oscilador de RF
4.1 Osciladores
Em muitos sistemas eletrônicos, de um m odo geral, é necessário dispor de um oscilador
ou de um gerador de onda. A existência de uma fonte regular de oscilações é essencial
em qualquer instrumento de medida de acontecimentos cíclicos, em qualquer instru-
mento que inicializa medidas ou processos e em qualquer instrumento que envolva
fenômenos periódicos. Por exemplo, osciladores ou geradores de onda são usados em
multímetros digitais, osciloscópios, rádios, computadores e quase todos os periféricos
de computadores. Não é um exagero afirmar que um circuito oscilador, de qualquer
tipo, é um ingrediente tão fundamental quanto uma fonte de alimentação.
As características requeridas a cada oscilador dependem do tipo de aplicação. Se esse
oscilador é usado como fonte de pulsos regularmente espaçad os, por exemplo como clock
para um circuito digital, então o fator mais importante é a rápida transição de um nível
para outro (slew rate). Se esse oscilador é utilizado para gerar a base de tempo de um
frequencímetro, então é importante que este tenha uma boa estabilidade e precisão. A
capacidade de ajuste da frequência de oscilação é, também, fundamental num oscilador
local de um dispositivo transmissor ou receptor de dados. A capacidade de gerar
formas de ondas precisas é essencial na construção de um amplificador horizontal de
um osciloscópio. O controle de amplitude, estabilidade da frequência de oscilação e
uma baixa distorção são parâmetros importantes nos geradores de onda.
57
4.2 Teoria da Realimentação
A estrutura geral de um amplificador realimentado p ode ser representada pelo seguinte
diagrama de fluxo abaixo.
Figura 4.1: Diagrama de blocos de uma malha de realimanteção.
De um modo geral, podemos dizer que o amplificador básico A (ao qual é aplicada
realimentação) possui função de transferência (que pode ser complexa ou real) igual a
α(ω) de modo que [22]
ǫ
out
= α(ω) ǫ
s
(4.1)
O bloco B representa a malha de realimentação, que pode ser tão simples quanto
um fio de ligação ou ter uma configuração de extrema complexidade. A saída ǫ
out
alimenta tanto a carga quanto o bloco de realimentação sendo que este possui função
de tranferência igual à β(ω), ou seja, produz um sinal da forma
ǫ
f
= β(ω) ǫ
out
(4.2)
que será r einjetado na entrada do amplificador A. A forma como a saída alimenta o
bloco de realimentação designa-se amostragem.
Este sinal ǫ
f
é som ado ao sinal da fonte ǫ
in
e produz o sinal ǫ
s
que é aplicado a entrada
do amplificador A. Portanto,
ǫ
in
= ǫ
s
− ǫ
f
(4.3)
58
Substituindo as equações 4.1 e 4.2 na equação acima chegamos à
ǫ
in
= (1 − αβ) ǫ
s
. (4.4)
Chamando de A
ν
a função de transferência do sistema total, ou seja,
A
ν
=
ǫ
out
ǫ
in
(4.5)
encontramos que
A
ν
=
α(ω)
1 − α(ω) β(ω)
. (4.6)
Observando esta equação, vamos supor que o produto α(ω) β(ω) seja um número real
positivo tal como 0, 5 . Inserindo este valor na equação acima chegamos a uma am-
plificação total igual a A
ν
= 2 α(ω), o dobro em relação ao sistema não realimentado,
ou seja, ǫ
out
= 2 α(ω) ǫ
in
. A este caso dá-se o nome de Realimentação Positiva ou
Regenerativa. Nos casos em que α(ω) β(ω) for maior do que 1 teremos Realimentação
Negativa. No entanto, em qualquer dos casos, se ǫ
in
for nulo não haverá sinal de saída
ǫ
out
; entretanto à medida que o produto α(ω) β(ω) se aproxima da unidade o denomi-
nador de 4.6 se aproxima de zero. Sendo assim, para uma dada frequência ω
0
, teremos
que A
ν
tende para o infinito. Este resultado diz que mesmo que não exista sinal na
entrada do sistema haverá um sinal de saída. Assim, se os terminais de entrada forem
conectados juntos, haverão oscilações sustentadas na frequência ω
0
.
4.3 Oscilador com Amplificador Realimentado
Os osciladores podem ser classificados com base nos elementos que tornam possíveis as
oscilações e a conversão de correntes contínuas (DC) para correntes alternadas (AC).
O tipo de oscilador mais comum, usando amplificadores valvulados com realimentação
positiva, é denominado Oscilador por Amplificador Realimentado. Na prática, estes
são conhecidos como Osciladores Realimentados, definidos como um circuito oscilante
o qual a saída de um amplificador realimentado positivamente é acoplada em fase com
a entrada, e a oscilação é mantida numa frequência determinada pelos parâmetros
do amplificador e do circuito de realimentação como L-C, R-C e outros circuitos de
frequência seletiva.
59
Um circuito bastante comum é o chamado Oscilador "Push-Pull", que pode ser visto
na figura 4.2.
Figura 4.2: Circuito de um Oscilador Push-Pull Valvulado.
Apresentando este circuito de uma outra forma, figura 4.3, podemos ver que este os-
cilador é, na verdade, um amplificador onde a saída é reinjeta da na entrada do circuito
fazendo, portanto, realimentação positiva.
Figura 4.3: Oscilador Push-Pull Valvulado como Amplificador Realimentado.
Dos terminais V
1
e V
2
é extraído o sinal oscilante cuja frequência depende dos compo-
nentes do amplificador.
Para entender como os componentes influenciam na frequência do oscilador será feita
agora uma análise detalhada do circuito. Abrindo o circuito de realimentação, este
passa a ter a forma de um amplificador valvulado básico como mostra a figura 4.4.
60
Figura 4.4: Circuito Básico de um Amplificador Valvulado.
Uma vez que este circuito é um amplificador com dois estágio iguais de amplificação,
podemos resolver o circuito apenas do primeiro estágio. Dessa forma o circuito a ser
analisado passa a ser ainda mais simples e pode ser visto na figura 4.5.
Figura 4.5: Circuito do 1
o
Estágio de Amplificação.
Com base no circuito equivalente de uma válvula mostrado na figura 4.6, onde R
p
representa a impedância de placa da válvula e µ seu fator de amplificação, podemos
simplificar o circuito da figura 4.5 para o da figura 4.7. E portanto reduzí-lo ao da
figura 4.8, para sinais oscilantes
Calculando a impedância equivalente entre R e C
V
chegamos a
Z
1
=
R
iωC
V
R +
1
iωC
V
=
R
1 + iωRC
V
(4.7)
61
Figura 4.6: Circuito Equivalente Simplificado de uma Válvula.
Figura 4.7: Circuito Equivalente Simplificado.
e, portanto, o circuito passa a ser o da figura 4.9.
Calculando a impedância série entre Z
1
e C encontramos
Z
2
= Z
1
+
1
iωC
=
R
1 + iωRC
V
+
1
iωC
=
1 + iωR (C + C
V
)
iωC (1 + iωRC
V
)
(4.8)
e o circuito reduz-se para o da figura 4.10.
Por fim, fazendo o paralelo entre Z
2
e L temos que
Z
3
=
iωLZ
2
iωL + Z
2
=
iωL [1 + iωR (C + C
V
)]
1 + iωR (C + C
V
) − ω
2
LC (1 + iωRC
V
)
(4.9)
e o circuito passa a ser o da figura 4.11.
Calculando a tensão V no divisor de tensão formado por R
p
e Z
3
V = −µǫ
in
Z
3
R
p
+ Z
3
(4.10)
62
Figura 4.8: Circuito Equivalente Simplificado para Sinais.
Figura 4.9: Circuito Equivalente.
teremos que
V =
−µiωL [1 + iωR (C + C
V
)]
iωL [1 + iωR (C + C
V
)] + R
p
+ iωRR
p
(C + C
V
) − ω
2
R
p
LC (1 + iωRC
V
)
ǫ
in
.
(4.11)
Observando a figura 4.9 podemos encontrar ǫ
out
em função de V através do divisor de
tensão dado por C e Z
1
. Assim
ǫ
out
=
iωRC
1 + iωR (C + C
V
)
V . (4.12)
Substituindo a equação 4.11 na equação 4.12 chegamos, finalmente, na função de trans-
ferência do 1
o
estágio do circuito amplificador da figura 4.4 que é dada por
63
Figura 4.10: Circuito Equivalente.
Figura 4.11: Circuito Equivalente.
α
1
(ω) =
µω
2
RLC
iωL − ω
2
RL (C + C
V
) + R
p
+ iωRR
p
(C + C
V
) − ω
2
R
p
LC − iω
3
RR
p
LCC
V
.
(4.13)
Como o amplificador da figura 4.4 é de dois estágios, para encontrar a função de
transferência total α basta elevar a equação 4.13 ao quadrado, ou seja,
α (ω) = α
2
1
(ω) . (4.14)
Como a malha de realimentação é apenas um fio que conecta a saída do amplificador à
sua entrada sua função de transferência será β (ω) = 1. Portanto, para que o circuito
realimentado funcione como oscilador devemos impor que α (ω) β (ω) = 1, ou seja, que
α (ω) = 1 . (4.15)
No entanto, para que o circuito funcione como um oscilador Push-Pull, deve-se manter
64
a seguinte restrição
α
1
(ω) = −1 . (4.16)
excluindo a possibilidade α
1
(ω) = 1, forçando o oscilador a trabalhar em contra-fase.
Portanto, devemos primeiro fazer a parte imaginária de α
1
(ω) igual a zero, de onde
tiramos que
ω
2
=
RR
p
(C + C
V
) + L
RR
p
LCC
V
. (4.17)
Impondo a condição
L << RR
p
(C + C
V
) (4.18)
chegamos à frequência do oscilador em funcão dos parâmetros do circuito que é dada
por
ω
2
=
1
LC
eq
(4.19)
onde
C
eq
=
CC
V
C + C
V
. (4.20)
Uma vez satisfeita a condição de que a parte imaginária de α
1
seja nula, basta impor
que sua parte real seja igual −1. Fazendo isso encontramos que
R =
C
C
eq
− 1
µ
1 +
C
C
V
−
C+C
V
C
eq
R
p
(4.21)
Com base nesses resultados pode-se estimar valores para os componentes do circuito
oscilador afim de se obter a frequência desejada. É claro que este é um modelo bastante
simples, uma vez que não foram levadas em conta as capacitâncias parasitas internas
à válvula, muito menos dos fios de ligação, assim como também não foi levado em
conta o efeito da carga sobre o circuito. Além disso, o valor da impedância de placa R
p
depende da região de operação da válvula. No entanto, é papel do capacitor variável C
V
ajustar a frequência para o valor desejado mesmo com as influencias não computadas
no modelo.
65
Capítulo 5
Diagnóstico dos Parâmetros do
Plasma
5.1 Teoria da Sonda de Langmuir
A sonda de Langmuir é um tipo de sonda eletrostática e foi desenvolvida originalmente
por Langmuir e Mott-Smith [23–26]. As informações obtidas por esta técnica são
de suma importância para a caracterização de processos que ocorrem em plasmas.
Essencialmente, uma sonda de Langmuir é um pequeno eletrodo, geralmente um fio de
tungstênio ou platina, inserido no plasma e conectado a uma f onte capaz de polarizá-lo
com tensões positivas e negativas em relação ao plasma. A partir da medida da corrente
coletada pela ponta em função do potencial aplicado, pode-se obter informações como
densidade, energia média dos portadores de carga, potenciais de plasma e flutuante na
vizinhança da sonda, entre outras. Quando a superfície da sonda é plana, esta curva
possui uma forma como a ilustrada na figura 5.1 [23].
A teoria clássica de sondas de Langmuir é baseada na suposição de que as partículas
carregadas, dentro da bainha formada ao redor da sonda, não sofrem colisões e se
movem sob a influencia do campo elétrico produzido pela sonda.
A aplicabilidade da teoria de sondas pode ser especificada por três grandezas caracterís-
ticas. A primeira é o caminho livre médio dos elétrons λ
e
, a segunda é o comprimento
de Debye λ
D
, dado pelos valores de densidade e temperatura do plasma de acordo com
a equação
λ
D
=
ǫ
0
k
B
T
e
n
e
e
2
1
2
, (5.1)
66
Figura 5.1: Curva Característica de uma Sonda Langmuir Plana.
e a terceira é o comprimento característico da sonda a. As sondas podem operar em
seis tipos de regime, que podem ser divididos em dois grupos [25]:
A. λ
e
>> a : Teoria Clássica de Langmuir
1. λ
e
>> a >> λ
D
: Bainha Fina Convencional
2. λ
e
>> λ
D
>> a : Movimento Orbital Limitado - OML
3. λ
D
>> λ
e
>> a : Bainha Espessa Colisional - Caso Híbrido
B. a >> λ
e
: Sonda Eletrostática no Continuum
1. a >> λ
D
>> λ
e
: Bainha Fina Colisional
2. λ
D
>> a >> λ
e
: Bainha Espessa Colisional
3. a >> λ
e
>> λ
D
: Bainha Fina não-Colisional - Caso Denso
Como pode ser visto acima, os regimes de operação podem ser classificados como
colisional ou não-colisional dependendo da relação entre λ
e
e λ
D
. Da mesma forma, a
bainha pode ser classificada como fina ou espessa dependendo da relação entre a e λ
D
.
Os dois grupos, A e B, são classificados segundo as condições de pressão, ou seja, se o
sistema está num regime de fluxo molecular (λ
e
>> a) ou viscoso (a >> λ
e
).
Devido as condições experimentais deste trabalho, daremos atenção às sondas que
operam no regime descrito pelo ítem A.1, ou seja, no regime clássico da sonda de
Langmuir para o caso de bainhas finas e não-colisionais.
67
Segundo a mecânica estatística, colisões entre partículas resultam, no equilíbrio, em
uma distribuição Maxwelliana de velocidades. Ou seja,
f
α
(v) = n
α
m
α
2πk
B
T
α
3
2
exp
−
m
α
v
2
2k
B
T
α
(5.2)
sendo m
α
a massa da partícula α, T
α
sua temperatura e k
B
a constante de Boltzmann.
Supondo, como uma primeira aproximação, que a distribuição de velocidades no plasma
seja uma Maxwelliana, podemos determinar o fluxo de elétrons e, conseqüentemente,
a corrente na sonda.
Sendo o fluxo de partículas α, numa dada direção, dado pela equação 3.61, a corrente
de saturação eletrônica I
ES
pode ser escrita como
I
ES
= n
e
e A
k
B
T
e
2πm
e
. (5.3)
Da mesma forma, pode-se determinar a corrente de saturação iônica I
IS
. No entanto,
para que apenas íons se jam coletados, o potencial V
B
deve ser negativo com relação ao
potencial de plasma - e da ordem de k
B
T
e
/e - para que haja uma barreira repulsiva
para os elétrons.
O critério de Bohm para a formação de bainhas determina que íons com massa M
i
chegando à pré-bainha se moverão em direção à sonda com a velocidade íon-acústica
v
B
[27] dada pela equação 3.58. Desta forma, I
IS
pode ser expressa como
I
IS
= n
i
e A
k
B
T
e
M
i
. (5.4)
Quando o potencial de polarização é menor que o potencial de plasma, nem todos os
elétrons são coletados. Nesta condição a corrente total drenada por uma sonda plana,
localizada no plano x − y, p ode ser escrita como
I
T
= e A n
e
m
e
2πk
B
T
e
3
2
∞
−∞
∞
−∞
∞
v
zmin
v
z
exp
−
m
e
v
2
2k
B
T
e
dv
x
dv
y
dv
z
− I
IS
(5.5)
onde
v
zmin
=
2eV
m
e
1
2
(5.6)
68
sendo V = Φ
p
− V
B
. Portanto, a corrente total na sonda será
I
T
(V ) = I
ES
exp
−
e V
k
B
T
e
− I
IS
. (5.7)
Reescrevendo a equação 5.7 como
I
T
+ I
IS
I
ES
= exp
−
e V
k
B
T
e
, (5.8)
aplicando o logaritmo em ambos os lados
ln
I
T
+ I
IS
I
ES
= −
e V
k
B
T
e
(5.9)
e, finalmente, derivando 5.9 com relação a V
B
em ambos os membros, chegamos a
d
dV
B
ln
I
T
+ I
IS
I
ES
=
e
k
B
T
e
. (5.10)
Para valores de V menores que o potencial do plasma Φ
p
, a equação 5.10 resulta
em uma reta cujo inverso do coeficiente angular fornece a temperatura eletrônica em
elétron-volts. Uma vez conhecido T
e
, é possível determinar a densidade do plasma, n,
medindo-se a corrente de saturação eletrônica I
ES
e substituindo na equação 5.3.
5.2 Determinação Direta da Função de Distribuição
de Energia
A função de distribuição de energia dos elétrons, em plasmas de baixa pressão, geral-
mente difere significantemente de uma distribuição Maxwelliana, uma vez que o sistema
não está em equilíbrio termodinâmico [7]. Funções de distribuição podem ser obtidas
experimentalmente utilizando um método conhecido na literatura por Método da Se-
gunda Derivada, desenvolvido por Druyvesteyn [28] na década de 30. Este método será
utilizado neste trabalho para estudar o comportamento das partículas no plasma. A
partir de agora será feita uma abordagem teórica do método.
Para uma função de distribuição arbitrária f
e
→
v
, a corrente de elétrons numa sonda
plana, na região de potencial repulsivo, pode ser escrita como
I
e
= eA
∞
−∞
dv
x
∞
−∞
dv
y
∞
v
min
v
z
f
e
→
v
dv
z
(5.11)
69
onde
v
min
=
2e (Φ
p
− V
B
)
m
e
1
2
(5.12)
é a velocidade mínima necessária, na direção z, para que um elétron atinja a sonda,
A a área superficial de coleta da sonda, Φ
p
é o potencial de plasma, V
B
é o potencial
aplicado à sonda e m
e
a massa do elétron.
Supondo que a distribuição seja isotrópica, podemos usar um sistema de coordenadas
esféricas no espaço das velocidades de modo que
f
e
→
v
d
3
v = f
e
(v) v
2
sen (θ) dθ dϕ dv (5.13)
Escrevendo v
z
= v cos (θ) podemos reescrever 5.11 como
I
e
= eA
∞
v
min
dv
θ
min
0
dθ
2π
0
v
3
sen (θ) cos (θ) f
e
(v) dϕ (5.14)
sendo
θ
min
= cos
−1
v
min
v
(5.15)
o ângulo mínimo para que uma partícula com v = v
min
atinja a sonda.
Integrando a equação 5.14 em θ e ϕ chegamos à
I
e
= πeA
∞
v
min
v
3
1 −
v
2
min
v
2
f
e
(v) dv (5.16)
Fazendo a transformação de coordenadas
E =
1
2
m
e
v
2
e
, (5.17)
resulta que
I
e
=
2πe
3
m
2
e
A
∞
V
E
1 −
V
E
f
e
(v)
dE , (5.18)
onde v (E) = (2eE/m
e
)
1/2
e, lembrando que V = Φ
p
−V
B
, p odemos obter a função de
distribuição dos elétrons por meio da segunda derivada de I
e
.
70
Diferenciando I
e
1
obtemos
dI
e
dV
= −
2πe
3
m
2
e
A
∞
V
f
e
[v (E)] dE (5.19)
e a segunda diferenciação fornece-nos
d
2
I
e
dV
2
=
2πe
3
m
2
e
A f
e
[v (E)] . (5.20)
Definindo uma função F
e
(E) por
F
e
(E) dE = 4πv
2
f
e
(v) dv (5.21)
e usando a relação entre E e v (E), encontramos
F
e
(E) = 2π
2e
m
e
3
2
E
1
2
f
e
[v (E)] . (5.22)
Usando este resultado para eliminar f
e
[v (E)] da equação 5.20 chegamos à função de
distribuição de energia dos elétrons em termos da segunda derivada de I
e
F
e
(V ) =
2m
e
e
2
A
2eV
m
e
1
2
d
2
I
e
dV
2
. (5.23)
Com a função de distribuição de energia podemos encontrar a densidade de elétrons e
sua energia média usando
n
e
=
∞
0
F
e
(E) dE (5.24)
e
E =
1
n
e
∞
0
E F
e
(E) dE (5.25)
Podemos ainda encontrar a temperatura efetiva, em elétron-volts, que é dada por
T
eff
=
2
3
E (5.26)
1
Se G =
x
2
x
1
g (x
1
, x) dx uma função das variáveis x
1
e x
2
, então
∂G
∂x
1
=
x
2
x
1
∂g
∂x
1
dx − g (x
1
, x
1
)
71
O uso das equacões 5.24 e 5.26 para determinar n
e
e T
eff
possui algumas vantagens. Por
exemplo, 5.23 é válida para qualquer função de distribuição de velocidade isotrópica; é
válida para sondas com qualquer geometria convexa, seja plana, cilíndrica ou esférica;
distribuições não-Maxwellianas podem ser medidas sendo, o resultado, independente
da razão T
i
/T
e
.
5.3 Correções na Função de Distribuição de Energia
Devido à Difusão
Os métodos até agora descritos para obtenção da função de distribuição de energia,
são válidos apenas nos casos onde o raio da sonda a e a espessura da bainha d (que é
da ordem de alguns comprimentos de Debye λ
D
) são desprezáveis quando comparados
ao livre caminho médio dos elétrons λ
e
, ou seja, λ
e
>> a + d.
Para pressões mais elevadas, estas condições deixam de ser satisfeitas [24, 25, 29] pois
efeitos viscosos e de difusão, que até então não haviam sido levados em conta, começam
a aparecer e um novo tratamento deve ser ab ordado. Swift [30], em 1962, apresentou
em seu trabalho os efeitos e distorções nos resultados obtid os pelo método da segunda
derivada devido a razão a/λ
e
não ser mais desprezável para pressões mais altas.
Para estudar estes efeitos, será realizada nesta seção uma abordagem sobre como a
difusão dos elétrons através do plasma, em direção a uma sonda de tamanho finito,
pode afetar as medidas de corrente na sonda.
No trabalho de 1930 [28], a análise da corrente medida por uma sonda de Langmuir
proposta por Druyvesteyn despreza a difusão dos elétrons em direção a sonda. Isto é
sempre verdade desde que o livre caminho médio dos elétrons no plasma seja muito
maior que o raio da sonda. Nestes casos, a corrente coletada por uma sonda esférica
pode ser escrita como
I
e
=
1
4
2e
3
m
e
1/2
A
∞
V
E
1/2
F
e
(E)
1 −
V
E
dE (5.27)
sendo esta equação obtida multiplicando e divindo a equação 5.18 por 4πv
2
e usando
a relação 5.21. Diferenciando a equação 5.27 duas vezes com respeito a V , chegamos a
mesma equação 5.23 obtida na seção 2.1
F
e
(V ) =
2m
e
2
A
2eV
m
1
2
d
2
I
e
dV
2
. (5.28)
72
No modelo proposto por Swift para levar em conta os efeitos da difusão dos elétrons
através do plasma em direção a uma sonda esférica de raio finito, é suposto que os
elétrons se movem em direção à sonda principalmente por difusão livre a partir da
região fora da esfera de raio a + λ
e
.
A corrente de elétrons com energia entre E e E + dE atravéz da uma superfície esférica
de raio r é dada por
dI
e
= e D
c
d
dr
[F (E) dE] 4πr
2
(5.29)
onde D
c
=
1
3
λ
e
v é o coeficiente de difusão dos elétrons [30] com velocidade v =
(2eE/m
e
)
1/2
. Integrando a equação 5.29 a partir de a + λ
e
até infinito, obtemos que
F
1
(E) dE = F
0
(E) dE −
3
4π
dI
e
e λ
e
v (a + λ
e
)
(5.30)
onde F
0
e F
1
são as funções de distribuição de energia não perturbada e sobre uma
superfície de raio a+λ
e
, respectivamente. Em analogia a equação 5.27 podemos escrever
dI
e
=
1
4
2e
3
m
e
1/2
A E
1/2
F
1
(E)
1 −
V
E
dE. (5.31)
Até este ponto o tratamento realizado por Swift está totalmente correto. No entanto, a
partir daqui Swift comete erros matemáticos de modo que a equação por ele encontrada
em seu artigo não é correta. A equação por ele obtida é
F
0
(V ) =
2m
e
2
A (1 + ψ θ)
2eV
m
1
2
d
2
I
e
dV
2
(5.32)
onde θ e ψ são dados por
θ (V ) =
∞
V
E
−3/2
F
0
(E) dE
1 +
ψ
2
1 −
V
E
3
(5.33)
e
ψ =
3
2
(a/λ
e
)
2
1 +
a
λ
e
. (5.34)
Prosseguindo corretamente com os cálculos, vamos substituir a equação 5.30 na equação
5.31, integrá-la de E = V até infinito e diferenciá-la duas vezes com respeito a V para
73
obter, finalmente, a equação que relaciona a função de distribuição de energia F
0
(E)
com a segunda derivada, com respeito a V , da curva experimental da corrente coletada
pela sonda
F
0
(V ) =
2m
e
2
A
2eV
m
1
2
d
2
I
e
dV
2
+ ψ θ V
1
2
(5.35)
onde θ e ψ são os mesmos dados pelas equações 5.33 e 5.34.
Conjugando as equações 5.35 e 5.33 temos uma equação integral que pode ser resolvida
usando métodos iterativos. Se substituirmos, na equação 5.33, a função de distribuição
sem correção obtida experimentalmente como solução inicial e encontrar θ podemos
substituí-lo na equação 5.35 para encontar a primeira correção em F
0
(V ). Portanto,
basta iniciarmos um ciclo reintroduzindo esta nova função de distribuição na equação
5.33 e substituí-la na equação 5.35 para obter uma correção de segunda ordem e assim
por diante até que a convergência seja atingida.
Os resultados obtidos nesta seção permitem ampliar a aplicação de sondas, em medidas
de função de distribuição de energia, para faixas de pressão muito mais amplas, de modo
que a aplicabilidade das sondas não é mais restrita às condições λ
e
>> a e a >> λ
D
,
antes necessárias [25].
5.4 Espectroscopia da Radiação
5.4.1 Espectroscopia Ótica de Emissão
A espectroscopia tem sido amplamente utilizada para caracterização de plasmas por ser
um método de diagnóstico não intrusivo. Outras técnicas, como a sonda de Langmuir,
quando usadas, interferem nas configurações de campo e também nas propriedades do
plasma, esfriando-o e causando recombinação de íons. O método espectroscópico, além
de não interferir no plasma, permite a caracterização de inúmeras de suas propriedades,
como temperatura, densidade, função de distribuição de velocidades, direção de fluxos,
entre outros.
5.4.2 Equilíbrio Termodinâmico Local
Sempre que as propriedades referentes ao plasma forem funções unívocas da tempera-
tura e esta for a mesma para todos os seus constituintes, considera-se que o plasma está
74
em Equilíbrio Termodinâmico Completo (ETC). Em plasmas obtidos em laboratório,
porém, a radiação observada é bem menor que a radiação de um corpo negro. Por
esse motivo estes são designados como plasmas opticamente finos, ou seja, qualquer
radiação criada dentro de seu volume será emitida para fora desse volume sem ser
reabsorvida.
Neste tipo de plasma, a temperatura da radiação difere significativamente da tempera-
tura cinética de seus constituintes. Além disso, plasmas obtidos em laboratório sofrem
perdas de energia por condução, convecção e difusão, e, portanto, a condição de ETC
não pode ser obtida.
Para tornar viável o tratamento matemático de plasmas laboratoriais, é suposta válida
a hipótese de Equilíbrio Termodinâmico Local (ETL), no qual process os colisionais
predominam sobre os processos radiativos. Dessa forma, mesmo que a temperatura
e a densidade variem no espaço e no tempo, a população dos níveis de energia, num
dado instante e num determinado ponto do espaço, depende apenas dos valores locais
de temperatura, densidade e composição química do plasma. As condições necessárias
para que um plasma esteja em ETL são [31]
• as diferentes espécies que constituem o plasma obedecem a uma distribuição
maxwelliana de energia, ou seja,
f (
→
r
,
→
v
, t) = n(
→
r
, t)
m
2πk
B
T (
→
r
, t)
3
2
exp
−
m
→
v
−
→
u
(
→
r
, t)
2
2k
B
T (
→
r
, t)
(5.36)
com
→
u
(
→
r
, t) (a velocidade média das partículas), n(
→
r
, t) e T (
→
r
, t) funções que variam
muito pouco com
→
r
e t;
• as colisões formam o mecanismo dominante na excitação (dada pela distribuição
de Boltzmann)
N
n
N
m
=
g
n
g
m
exp
−
(E
n
− E
m
)
k
B
T
(5.37)
sendo E
m
e E
n
as energias dos estados m e n dos constituintes de mesma espécies, e
na ionização das espécies (dada pela equação de Saha [31]), ambas válidas localmente,
n(z + 1, 1)
n(z, n)
n
e
= 2
g
z+1,1
g
z,n
m
e
k
B
T
e
2πℏ
2
3
2
exp
−
χ
z,1
k
B
T
e
(5.38)
75
onde n(z, n) e n(z + 1, 1) são as densidades de dois estágios de ionização subseqüentes
(z e z + 1) nos estados n de excitação, no caso do estado inferior, e fundamental, no
caso do estado superior (aqui designado por 1). Ainda, g
z+1,1
e g
z,n
são seus respectivos
pesos estatísticos e χ
z,1
é a energia de ionização do constituinte no estado fundamental;
• os gradientes espaciais das grandezas de equilíbrio são suficientemente pequenos,
de maneira que as partículas migratórias possuem tempo suficiente para entrar em
equilíbrio devido ao regime colisional.
5.4.3 Equação de Transferência Radiativa
Para estudar a radiação emitida por um plasma, uma grandeza relevante é a intensidade
I (ω, Θ, b) da radiação eletromagnética que o deixa num ponto x = b, ou seja, potência
por unidade de área num intervalo de freqüência angular e de ângulo sólido. Em geral
I (ω, Θ, b) não dep ende ap enas de ω, mas também da direção, aqui especificada por Θ.
Para calcular a radiação emitida, vamos considerar o gradiente espacial da intensidade
ao longo de uma fatia estreita de plasma na direção x. Em plasmas em ETL sempre
podemos relacionar esta variação com a diferença entre emissão e absorção que ocorre
dentro do plasma. Assim, para uma coluna ciíndrica de plasma
dI (ω, Θ, x) = ǫ (ω, x) dx − κ (ω, x) I (ω, Θ, x) dx (5.39)
Aqui, ǫ (ω, x) é o coeficiente de emissão, que leva em conta transições espontâneas, e
κ (ω, x) é o coeficiente de absorção efetivo, definido como sendo a diferença entre o real
coeficiente de absorção e o coeficiente de emissão induzida, ou seja,
κ (ω, x) = σ
a
mn
N
n
(x) − σ
i
nm
N
m
(x) . (5.40)
sendo σ
a
mn
e σ
i
nm
as seções de choque de absorção e de emissão induzida dadas po r [31]
σ
a
mn
=
πe
2
ω
3ǫ
0
ℏc
g
m
3
i=1
|< n |x
i
|m >|
2
(5.41)
e
σ
i
nm
=
πe
2
ω
3ǫ
0
ℏc
g
n
3
i=1
|< n |x
i
|m >|
2
. (5.42)
76
onde
3
i=1
|< n |e x
i
|m >|
2
é definido como sendo o momento de dip ólo elétrico. Usando
a definição da força de oscilador de absorção e de emissão respectivamente abaixo
f
mn
=
2mω
3ℏ
g
m
3
i=1
|< n |x
i
|m >|
2
(5.43)
e
f
nm
=
2mω
3ℏ
g
n
3
i=1
|< n |x
i
|m >|
2
(5.44)
podemos escrever o coeficiente de absorção efetivo como
κ (ω, x) =
πe
2
2ǫ
0
mc
f
mn
N
n
(x)
1 −
g
n
g
m
N
m
(x)
N
n
(x)
L (ω, x) , (5.45)
onde foi introduzida a forma da linha normalizada L (ω, x), como sendo uma função
peso para cada valor de freqüência, e que, no caso de plasmas dominados por colisões,
é o mesm o para absorção e emissão. Supondo que os níveis de energia são populados
segundo a distribuição de Boltzmann (ETL), temos o coeficiente de absorção efetiva
κ (ω, x) dado por
κ (ω, x) = 2π
2
r
0
cf
mn
N
n
(x)
1 − exp
−
ℏω
k
B
T (x)
L (ω, x) , (5.46)
onde foi usada a definição do raio clássico do elétron r
0
, dada por
r
0
=
e
2
4πǫ
0
mc
2
. (5.47)
Reescrevendo a equação 5.39, obtemos
d
dx
I (ω, Θ, x) + κ (ω, x) I (ω, Θ, x) = ǫ (ω, x) . (5.48)
Para resolver esta equação, vamos considerar primeiro a equ ação homogênea associada,
ou seja, fazendo ǫ (ω, x) = 0. Assim a equação a ser resolvida torna-se
d
dx
I (ω, Θ, x) + κ (ω, x) I (ω, Θ, x) = 0. (5.49)
Esta equação mostra um meio que só possui absorção e sua solução é um decaimento
exponencial dado por
77
I
H
(ω, Θ, b) = I (ω, Θ, a) e
−τ(ω,a)
(5.50)
com
τ (ω, x) ≡
b
x
κ (ω, x
′
) dx
′
, (5.51)
onde x = a é a extremidade oposta ao ponto pela qual a radiação sai da col una de
plasma (x = b, com a > b), em direção ao sist ema de medição, e τ (ω, x) é denominado
profundidade óptica, medida com relação ao ponto b, no sentido entrando na coluna
de plasma. Da forma que τ (ω, x) está definido na equação acima, podemos escrever o
diferencial da profundidade óptica como sendo
dτ (ω, x) ≡ −κ (ω, x) dx (5.52)
e, portanto,
d
dx
= −κ (ω, x)
d
dτ
(5.53)
Dividindo ambos os lados da equação 5.48 por κ (ω, x) e usando a relação acima che-
gamos à equação
−
d
dτ
I (ω, Θ, x) + I (ω, Θ, x) = S (ω, x) (5.54)
onde a função S (ω, x) = ǫ (ω, x) /κ (ω, x) é chamada de Função Fonte. Multiplicando
a equação 5.54 por e
−τ(ω,x)
e fazendo algumas manipulações podemos ver que
d
dτ
I (ω, Θ, x) e
−τ(ω,x)
= −S (ω, x) e
−τ(ω,x)
. (5.55)
Finalmente, integrando de b até a, chegamos à solução geral para a intensidade da
radiação I (ω, Θ, b), que é dada por
I (ω, Θ, b) = I (ω, Θ, a) e
−τ(ω,a)
+
τ(a)
τ(b)
S (ω, x) e
−τ(ω,x)
dτ (5.56)
Aplicando a condição I (ω, Θ, a) = 0 e considerando que o plasma é opticamente fino,
ou seja, τ (ω, x) << 1, teremos, em primeira ordem, que
78
I (ω, Θ, b)
∼
=
τ(a)
τ(b)
S (ω, x) dτ =
a
b
ǫ (ω, x)
κ (ω, x)
[−κ (ω, x)] dx =
b
a
ǫ (ω, x) dx. (5.57)
Como estamos no ETL, o coeficiente de absorção efetivo e o de em issão est ão relaciona-
dos pela lei de Kirchhoff [31], ou seja, pela função de Planck
I
T
(ω) =
ℏω
3
4π
3
c
2
exp
ℏω
k
B
T
− 1
−1
, (5.58)
através da seguinte equação
ǫ (ω, x) = κ (ω, x) I
T
(ω, x). (5.59)
Substituindo as equações 5.46 e 5.58 na equação 5.59 chegamos ao coeficiente de emissão
ǫ (ω, x) =
ℏω
3
r
0
2πc
f
mn
N
n
(x) exp
−
ℏω
k
B
T (x)
L(ω, x), (5.60)
e usando novamente a distribuição de Boltzm ann podemos escrever o coeficiente de
emissão como
ǫ (ω, x) =
ℏω
3
r
0
2πc
g
n
g
m
f
mn
N
m
(x) L(ω, x) (5.61)
Substituindo esta equação em 5.57 e em seguida integrando em relação a ω, chegamos,
finalmente, à intensidade da radiação emitida pelo plasma que é dada por
I (ω, Θ, b) dω =
ℏω
3
0
r
0
2πc
g
n
g
m
f
mn
b
a
N
m
(x) dx (5.62)
Usando a relação
f
mn
g
m
=
f
nm
g
n
(5.63)
podemos reescrever a equação 5.62 como
I (ω, Θ, b) dω =
ℏω
3
0
r
0
2πc
f
nm
b
a
N
m
(x) dx (5.64)
79
Este resultado foi obtido a partir da normalização da função de forma da linha L(ω, x)
e do fato que este é o único termo na equação 5.61 que depende criticamente da
frequência.
5.4.4 Temperatura em Plasmas no ETL
Um antigo método para a determinação da temperatura de plasmas no ETL é baseado
em que as densidades nos estados excitados são proporcionais ao produto de seus
respectivos pesos estatísticos pelo fator de Boltzmann. Para encontrar a temperatura
neste tipo de plasma, fazemos a razão entre as intensidades de duas linhas de emissão
considerando quatro estados quânticos diferentes designados por m, n, p e q com suas
respectivas energias E
m
, E
n
, E
p
e E
q
em relação ao estado fundamental. Aplicando a
equação 5.64 para as transições m → n e p → q teremos
I
mn
=
ℏω
3
mn
r
0
2πc
g
n
g
m
f
mn
b
a
N
m
(x) dx (5.65)
e
I
pq
=
ℏω
3
pq
r
0
2πc
g
q
g
p
f
pq
b
a
N
p
(x) dx. (5.66)
Fazendo a razão das linhas obtemos
I
mn
I
pq
=
ω
3
mn
ω
3
pq
g
n
g
p
f
mn
g
q
g
m
f
pq
b
a
N
m
(x) dx
b
a
N
p
(x) dx
, (5.67)
e usando a relação entre os níveis m e p dada pela distribuição de Boltzmann
N
m
N
p
=
g
m
g
p
exp
−
(E
m
− E
p
)
k
B
T
(5.68)
chegamos a seguinte relação
I
mn
I
pq
=
ω
3
mn
ω
3
pq
g
n
f
mn
g
q
f
pq
b
a
N
p
(x) exp
−
(E
m
−E
p
)
k
B
T (x)
dx
b
a
N
p
(x) dx
(5.69)
Usando agora a condição de ETL, na qual as propriedades do plasma variam muito
pouco com a posição, chegamos a equação
80
I
mn
I
pq
=
ω
3
mn
ω
3
pq
g
m
f
nm
g
p
f
qp
exp
−
(E
m
− E
p
)
k
B
T
(5.70)
e, após algumas m anipulações, chegamos na equação que fornece a temperatura do
plasma em função da intensidade relativa e comprimento de onda das linhas emitidas,
e de parâmetros físicos dos constituintes do plasma responsáveis pela emissão [31]
k
B
T =
E
p
− E
m
ln
I
mn
λ
3
mn
g
p
f
qp
/
I
pq
λ
3
pq
g
m
f
nm
. (5.71)
5.4.5 Equação de Saha Modificada
Em plasmas de baixa pressão, a radiação emitida não é reabsorvida no plasma nem
refletida em suas bordas, de modo que este pode ser considerado opticamente fino.
No caso do plasma estar em equilíbrio termodinâmico local [31], é possível determinar
a relação entre a densidade populacional de dois estados subsequentes de ionização
a partir da equação de Saha. Nest es casos elétrons e íons possuem funções de dis-
tribuição de energia aproximadamente Maxwellianas, mesmo que suas temperaturas
sejam diferentes.
Quando as condições de equilíbrio não são atendidas, as funções de distribuição de
energia começam a diferir de uma Maxwelliana e uma versão modificada da equação
de Saha deve ser implementada. A equação de Saha pode ser determinada através da
teoria cinética [32] ou através da termodinâmica de sistemas em equilíbrio [33,34].
Na literatura, quando a termodinâmica de equilíbrio foi utilizada, dois resultados difer-
entes foram obtidos para a equação de Saha para plasmas de duas temperaturas [37].
Morro et al [33] propuseram uma equação de Saha modificada que depende das tem-
peraturas eletrônicas e iônicas [35,36].
Algum tempo depois, Van de Sanden et al [34], e Chen et al [37] mostraram que
a equação de Saha modificada obtida por Morro não é válida, pois sua derivação é
baseada no critério de minimização da energia livre (de Gibbs ou Helmholtz), que é
inválido para plasmas de duas t emperaturas. A equação obtida por Chen possui a
mesma forma matemática da equação de Saha, trocando apenas a temperatura T por
T
e
. Sua derivação é baseada no princípio básico da termodinâmica em que a entropia
de qualquer sistema isolado deve assumir um máximo na condição de equilíbrio, e isto
sim é correto.
Nesta seção será derivada uma versão modificada da equação de Saha supondo que o
sistema esteja ligeiramente fora do equilíbrio e, portanto, que sua função de distribuição
81
de energia dos íons e elétrons não seja uma Maxwelliana, mas uma Druyvesteyn, que
pode ser obtida pela teoria cinética (Apêndice A).
Supondo que em plasmas fora do equilíbrio o número de partículas no estado n, com
energia entre E
n
e E
n
+ dE, seja dado por
dN
n
= N
f (E
n
) dE
f (E) dE
(5.72)
e usando a mesma relação para partículas no estado m, com energia entre E
m
e E
m
+
dE, teremos
dN
m
= N
f (E
m
) dE
f (E) dE
(5.73)
Dividindo 5.73 por 5.72 ficamos com
dN
m
dN
n
=
f (E
m
)
f (E
n
)
(5.74)
Integrando esta ultima equação chegamos a uma generalização da lei de Boltzmann
dada por
N
m
N
n
=
f (E
m
)
f (E
n
)
(5.75)
Para um sistema em equilíbrio termodinâmico descrito pela distribuição de Maxwell-
Boltzmann, onde
f (E) = C exp
−
E
k
B
T
(5.76)
encontramos, novamente, a equação 5.68, ou seja, a Distribuição de Boltzmann. No
entanto, é comum em plasmas frios que a função de distribuição f (E) não seja uma
Maxwelliana, uma vez que o sistema não se encontra no ETL [38]. Assim, admitindo
que a função de distribuição seja uma distribuição do tipo Druyvesteyn, ou seja,
f
D
(E) = C exp
−
E
2
E
2
av
(5.77)
chegamos a lei de distribuição de Boltzmann generalizada dada por
N
m
N
n
=
g
m
g
n
exp
−
(E
2
m
− E
2
n
)
E
2
av
(5.78)
82
que fornece a razão entre as densidades populacionais entre os estados m e n.
Usando esta equação para o caso particular entre o estado fundamental (E
0
= 0) e o
primeiro potencial de ionização χ
I
, temos uma generalização da equação 5.78 dada por
dN
+
0
N
0
=
dg
g
0
exp
−
χ
I
+
1
2
m
e
v
2
2
E
2
av
(5.79)
sendo que dN
+
0
é o número (diferencial) de íons no estado fundamental com elétrons
livres no intervalo de velocidades entre v e v + dv. χ
I
é o primeiro potencial de
ionização. dg = g
+
0
. dg
e
onde dg
e
= 2
d
3
xd
3
p
h
3
é a degenerecência do elétrons livre, onde
d
3
x = 1/n
e
, e g
+
0
a degenerecência do íons.
Admitindo que a distribuição de velocidades seja isotrópica, podemos escrever que
d
3
p = 4 π m
3
e
v
2
dv (5.80)
Assim, a generalização da equação 5.78 passa a depender da velocidade dos elétrons e
ficamos com
dN
+
0
N
0
=
8 π m
3
e
n
e
h
3
g
+
0
g
0
v
2
exp
−
χ
I
+
1
2
m
e
v
2
2
E
2
av
dv (5.81)
Integrando esta equação, encontramos que
N
+
0
N
0
=
8 π m
3
e
n
e
h
3
g
+
0
g
0
I (5.82)
onde
I =
∞
0
v
2
exp
−
χ
I
+
1
2
m
e
v
2
2
E
2
av
dv (5.83)
Para resolver esta integral, vamos fazer t = v
2
. Assim
I =
1
2
exp
−
χ
2
I
E
2
av
∞
0
√
t exp
−αt − βt
2
dt (5.84)
com
α =
m
e
χ
I
E
2
av
(5.85)
83
e
β =
m
2
e
4 E
2
av
(5.86)
Consultando Gradshteyn [39] (Equação 3.462) encontramos
∞
0
x
ν−1
exp
−γx − βx
2
dx = (2β)
−
ν
2
Γ (ν) exp
γ
2
8β
D
−ν
γ
√
2 β
(5.87)
onde D
−ν
γ
√
2β
é a função cilíndrica parabólica D que pode ser relacionada com a
função cilíndrica parabólica U utilizando a relação
D
−a−
1
2
(x) = U
a
(x) (5.88)
Dessa forma, fazendo ν =
3
2
, β =
m
2
e
4 E
2
av
, a = 1 e γ = α =
m
e
χ
I
E
2
av
chegamos a
I =
√
π
4
2 E
2
av
m
2
e
3
4
exp
−
χ
2
I
2 E
2
av
U
1
√
2
χ
I
E
av
(5.89)
Portanto, a equação 5.82 torna-se
N
+
0
N
0
=
2 π
3
2
m
3
e
n
e
h
3
g
+
0
g
0
2 E
2
av
m
2
e
3
4
exp
−
χ
2
I
2 E
2
av
U
1
√
2
χ
I
E
av
(5.90)
No entanto, para encontrar a razão entre as concentrações da espécie neutra no estado
fundamental (com energia E
0
= 0) e num estado excitado (com energia E
m
), vamos
usar novamente a equação 5.78. Assim, temos que
N
0
N
m
=
g
0
g
m
exp
E
2
m
E
2
av
. (5.91)
Aplicando a equação 5.78 para os níveis de excitação dos íons e escrevendo as energias
em relação ao nível fundamental do átomo ionizado, chegamos à
N
+
k
N
+
l
=
g
+
k
g
+
l
exp
−
(χ
I
+ E
k
)
2
− (χ
I
+ E
l
)
2
E
2
av
. (5.92)
Tomando o nível com energia E
l
como sendo o estado fundamental do átomo ionizado,
ou seja, fazendo E
l
= 0, teremos que
84
N
+
k
N
+
0
=
g
+
k
g
+
0
exp
−
(E
2
k
+ 2χ
I
E
k
)
E
2
av
(5.93)
Multiplicando estas duas equações chegamos a
N
+
k
N
m
=
N
+
0
N
0
g
+
k
g
m
g
0
g
+
0
exp
−
(E
2
k
− E
2
m
+ 2χ
I
E
k
)
E
2
av
(5.94)
Substituindo 5.90 nesta equação chegamos finalmente à equação de Saha modificada
para sistemas descritos por funções de distribuição do tipo Druyvesteyn, dada por
N
+
k
N
m
=
2 π
3
2
m
3
e
n
e
h
3
g
+
k
g
m
2 E
2
av
m
2
e
3
4
U
1
√
2
χ
I
E
av
exp
−
E
2
k
− E
2
m
+ 2χ
I
E
k
+
1
2
χ
2
I
E
2
av
(5.95)
que pode ser comparada com a equação de Saha
N
+
k
N
m
= 2
g
+
k
g
m
1
n
e
m
e
k
B
T
2πℏ
2
3
2
exp
−
(E
k
− E
m
+ χ
I
)
k
B
T
. (5.96)
sendo E
m
e E
k
medidos em relação ao estado fundamental do átomo neutro e ionizado
respectivamente.
5.4.6 Temperatura em Plasmas fora do ETL
Uma vez encontrada a relação entre as populações nos níveis m e k da mesma espécie
neutra e ionizada respectivamente, vamos usar o resultado 5.64 já encontrado anterior-
mente que dá a intensidade da linha de emissão do estado i para o estado j em função
da densidade no estado i, que é dada por
I
ij
=
ℏω
3
ij
r
0
2πc
f
ji
b
a
N
i
(x) dx (5.97)
Admitindo que a espécie ionizada faça uma transição do estado k para o estado l e a
espécie neutra faça uma transição do estado m para o estado n, podemos fazer a razão
entre as linhas de emissão de modo que
I
kl
I
mn
=
λ
3
mn
f
lk
λ
3
kl
f
nm
N
+
k
N
m
(5.98)
85
Assim substituindo a equação 5.95 na equação 5.98, e lembrando que para a função de
distribuição de Druyvesteyn temos que
E
2
av
=
W
2
av
0.55
(5.99)
e que
W
av
=
3
2
k
B
T, (5.100)
chegamos a equação que fornece a temperatura em função da razão entre as linhas de
emissão do plasma, dada por
I
kl
I
mn
=
λ
3
mn
f
lk
g
+
k
λ
3
kl
f
nm
g
m
2 π
3
2
m
3
e
n
e
h
3
2.86 k
B
T
m
e
3
2
U
1
0.699
χ
I
k
B
T
exp
−
E
2
k
− E
2
m
+ 2χ
I
E
k
+
1
2
χ
2
I
4.09 (k
B
T )
2
(5.101)
5.5 Analisador de Energia - Copo de Faraday
Sondas eletrostáticas são capazes de fornecer informações sobre a função de distribuição
de energia, densidade e temperatura dos elétrons com grande acurácia. No entanto,
para encontrar informações referentes aos íons não podemos usar a análise de sondas
características.
Nos últimos anos, um grande número de laboratórios têm desenvolvido sondas multi-
eletrodos, usados para eliminar a contribuição dos elétrons, com o objetivo de medir
grandezas relacionadas aos íons [26]; estes dispositivos são frequentemente chamados
na literatura de analisadores eletrostáticos de plasmas, ou simplesmente de Copo de
Faraday. Um projeto simples de um Copo de Faraday pode ser visto na figura 5.2
[26,40].
O Copo de Faraday mostrado na figura 5.2 é constituído por duas grades (Gl e G2)
e um e letrodo coletor (P), lo calizado atrás das grades. A primeira grade é deixada
sem conecção de modo a adquir o potencial flutuante V
f
, que é negativo em relação ao
plasma. Esta grade é responsável por repelir os elétrons provenientes do plasma, que
contribuem negativamente ao sinal da corrente iônica coletada, e p er mitir que os íons
entrem no analisador.
86
Figura 5.2: Projeto Básico de um Copo de Faraday.
A segunda grade, chamada de discriminador, é polarizada positivamente de modo a
impedir que íons com energia inferior ao p otencial aplicado, medido com relação ao
potencial de plasma, passem pela grade e cheguem ao eletrodo coletor.
O eletrodo coletor, que é polarizado negativamente (tipicamente 60 V), repele elétrons
residuais de alta energia que p enetram pela primeira grade e, principalmente, coleta
os íons que formam a corrente a ser m edida. Uma descrição dos potenciais dentro do
Copo de Faraday pode ser vista na figura 5.3.
Figura 5.3: Distribuição dos Potenciais Dentro do Copo de Faraday.
87
Apesar do processo de medição nestes dispositivos ser bastante diferente dos procedi-
mentos utilizados em sondas, o tratamento teórico dos dados para obter funções de
distribuição de energia, densidade e temperatura dos íons é exatamente o mesmo des-
crito na seção 3.2, bastando apenas trocar, na equação 5.23, a massa do elétron m
e
pela
massa do íon M
i
e a carga e por Ze, onde Z é o grau de ionização do íon analisado.
Portanto, a função de distribuiçao de energia dos íons G
i
(V ) pode ser obtida por meio
da derivada segunda da corrente iônica, medida no eletrodo coletor, com respeito a V
(aqui, V = V
B
− Φ
p
, pois o discriminador é p olarizado positivamente em relação ao
potencial de plasma), por meio da equação
G
i
(V ) =
2M
i
(Ze)
2
A
2ZeV
M
i
1
2
d
2
I
i
dV
2
. (5.102)
88
Capítulo 6
Diagnóstico da Radiofrequência
O método mais utilizado para medição de correntes elétricas intensas baseia-se na
medição da tensão sobre um resistor (shunt) ligado em série com o circuito pelo qual
passa a corrente a ser medida. Sabendo o valor da resistência chega-se à corrente por
meio da lei de Ohm.
No entanto, este método possui alguns inconvenientes como dissipação de potência pelo
resistor shunt, ruído excessivo, ligação elétrica direta ao sistema sob medição, o que
pode ser um grande problema quando se tratam de altas-tensõe s, entre outros. Estes
inconvenientes podem ser contornados com a utilização de uma bobina de Rogowski
[41], cujo princípio de funcionamento é baseado na tensão induzida (V
s
) sobre uma
bobina devido à variação do fluxo (φ) do campo magnético criado pela corrente (I) a
ser medida. Partindo da lei da indução de Faraday
V
s
=
dφ
dt
= K
dI
dt
(6.1)
onde K depende somente da geometria da bobina, podemos chegar a corrente, para
uma geometria fixa, integrando 6.1
I =
1
K
t
0
V
s
dt (6.2)
Uma das vantagens da bobina de Rogowski é que não existe ligação elétrica entre o
circuito de corrente e o sistema de medição, já que o acoplamento é feito magnetica-
mente. Por outro lado este método só pode ser utilizado para correntes variáveis no
tempo. A bobina de Rogowski é, por tanto, um dos melhores método de medida de
grandes pulsos de corrente em circuitos de alta-tensão.
89
Na b obina de Rogowski mostrada na figura 6.1, N espiras são enroladas em torno de
um núcleo toroidal (de secção uniforme) que envolve a corrente I a ser medida.
Figura 6.1: Esquema de uma Bobina de Rogowsky de secção circular.
O fluxo total de campo magnético é a soma dos fluxos em cada espira, dado por
φ
espira
= B
θ
A , (6.3)
onde A é a secção reta do toróide e B
θ
é a componente do campo magnético perpen-
dicular à espira. O fluxo total do campo magnético po de ser aproximado por
φ =
2π
0
S (θ) B
θ
dθ , (6.4)
onde S (θ) define o número de espiras por radiano ao longo do toróide. No caso de
espiras uniformemente espaçadas S (θ) =
N
2π
, e assim
φ =
NA
2π
2π
0
B
θ
dθ =
NA
2πr
0
2π
0
B
θ
d (r
0
θ) . (6.5)
A integral na equação acima é, justamente, a integral de linh a do campo magnético ao
longo do toróide. Portanto, pela lei circuital de Ampère
2π
0
B
θ
d (r
0
θ) =
toride
→
B
·
→
dl = µ
0
I
T
(6.6)
e obtemos que
φ =
µ
0
NA
2πr
0
I . (6.7)
90
Dessa forma, a tensão induzida será dada pela equação 6.1, onde
K =
µ
0
NA
2πr
0
. (6.8)
Esta equação poderia ter sido obtida de uma forma mais simple s, supondo que o condu-
tor que transp ort a a corrente I seja retilíneo e concêntrico com o toróide. Entretanto,
estas condições não são necessárias e é importante que assim seja pois na prática
pode ser difícil, ou mesmo impossível, satisfazer tais condições. Assim espera-se que a
bobina de Rogowski seja bastante insensível a posição e a geometria do condutor que
transporta a corrente I, desde que o espaçamento entre as espiras seja uniforme e as
dimensões da espira sejam muito menores que o raio do toróide.
Quando as dimensões de cada espira não são desprezáveis, r
0
na expressão 6.8 será um
valor médio conveniente.
No caso de uma bobina toroidal de secção circular podemos aproximar o valor de r
0
(Figura 6.2) por
r
0
=
R
ext
+ R
int
2
(6.9)
Figura 6.2: Bobina de Rogowsky de secção circular.
Conforme mostra a equação 6.2, a tensão de saída da bobina de Rogowsky necessita ser
integrada. Isto po de ser feito analiticamente, numericamente ou ainda eletrônicamente.
A integração eletrônica do sinal pode ser feita usando um circuito integrador RL onde
o sinal na saída de qualquer circuito integrador é dado por
V
int
= G
t
0
V
s
dt , (6.10)
91
onde V
s
é a tensão induzida na bobina e G é o ganho do amplificador.
A figura 6.3 mostra um modelo simplificado para a bobina de Rogowsky com o inte-
grador RL, desprezando a indutância e capacitância dos cabos de liagação. Se L
s
é a
indutância e R
s
a resistência ôhmica da bobina de Rogowsky, o ganho complexo para
o sinal no resistor R da figura 6.3 é dado por
G =
1
1 +
R
s
R
+ i
ωL
s
R
(6.11)
Figura 6.3: Modelo elétrico para bobina de Rogowsky ligado ao circuito integrador RL.
Para um bom funcionamento do integrador, 1 +
R
s
R
deve ser desprezável quando com-
parado a
ωL
s
R
. Para isso devemos ter
ωL
s
>> R >> R
s
(6.12)
Satisfazendo esta condição, temos que o ganho será dado por
G =
R
L
s
(6.13)
Dessa forma,
V
int
=
R
L
s
t
0
V
s
dt (6.14)
Usando este resultado, em conjunto com a equação 6.2, chegamos à
I = K
s
V
int
, (6.15)
92
onde
K
s
=
1
GK
=
L
s
RK
(6.16)
é a constante de proporcionalidade entre a corrente a ser medida e a tensão na saída
do integrador, denominada de constante de sensibilidade.
É possível encontrar a indutância da bobina de Rogowsky L
s
partindo da lei circuital
de Ampère
toride
→
B
·
→
dl = µ
0
I
T
. (6.17)
Tomando um caminho que passe dentro de núcleo do toróide chegamos ao valor do
campo magnético que é dado por
B
θ
=
µ
0
NI
2πr
0
. (6.18)
Sabendo que
φ =
→
B
· ˆnda (6.19)
encontramos que a indutância da bobina L
s
é igual a
L
s
=
µ
0
N
2
A
2πr
0
. (6.20)
Substituindo este resultado na equação 6.16 obtemos que a constante de sensibilidade
da bobina de Rogowsky é dada por
K
s
=
N
R
. (6.21)
Blindagem eletrostática pode ser usada para diminuir o ruído eletrostático, desde que
a blindagem seja fina o suficiente para minimizar o efeito de blindagem magnética e
para evitar ruído magnético um simples fio de retorno pode ser utilizado.
93
Capítulo 7
Diagnóstico dos Parâmetros de
Processos Tecnológicos
7.1 Difratometria de Raios-X a Baixo Ângulo
A difratometria de raios-X a baixo ângulo (2θ de 0,9 a 8 graus), também chamada
de reflectividade, foi utilizada neste trabalho para determinar a e spessura de filmes
finos e encontrar a taxa de sputtering provocada pelo plasma. Quando um filme de
densidade uniforme é depositado sobre um substrato, a reflectividade é modulada por
oscilações devido às interferências das ondas refletidas na superfície da interface ar-filme
com as ondas refletidas na inteface filme-substrato. Estas oscilações são chamadas de
franjas de Kiessig [42] e foram descobertas na década de 30. O período das franjas é
inversamente proporcional à espessura do filme e quanto mais espesso for, menor será
o período de oscilação. A figura 7.1 mostra as franjas obtidas para um dos filme de
cromo produzidos neste trabalho.
Para a determinação das espessuras de filmes foram analisados os espaçamentos das
franjas de Kiessig das curvas de reflectividade de raios-X, para a radiação K
α
do cobre
(λ = 1,5418 A
◦
), em filmes finos de monocamadas. A separação entre as franjas (∆θ)
permite determinar a espessura total (t) das monocamadas com base na equação 7.1,
derivada da expressão de Bragg,
t =
λ
2sen (θ)
(7.1)
onde λ é o comprimento de onda da radiação K
α
do cobre. Deve-se notar que t é da
ordem dos espaçamentos d dos planos cristalográficos de interferência e sen(θ), para
94
Figura 7.1: Reflectometria de Raio-X a Baixo Ângulo de um Filme de Cromo.
baixos ângulos, se confunde com o próprio ângulo de Bragg.
Para obter uma medida precisa da espessura t de uma monocamada, uma função
quadrática é ajustada aos valores das posições angulares dos picos de interferência, a
partir da expressão de Bragg modificada [43–45],
sen
2
(θ) =
λ
2t
2
n
2
+ 2m
λ
2t
2
n +
m
2
λ
2t
2
+ 2δ
(7.2)
onde n é a ordem da reflexão, m é o erro associado a n, 2δ é a densidade eletrônica do
material e θ o ângulo de Bragg.
A partir da construção de um gr áfico de n contra sen
2
(θ) ajusta-se uma parábola, que
pode ser vista na figura 7.2. Sendo a parábola ajustada dada por
y = sen
2
(θ) = ax
2
+ bx + c (7.3)
temos por comparação entre 7.3 e 7.2 que o parâmetro de ajuste a é
a =
λ
2t
2
(7.4)
e, finalmente, chegamos ao valor da espessura da monocamada que é dada por
t =
λ
2
√
a
(7.5)
95
Figura 7.2: Ajuste dos Valores das Posições Angulares dos Picos de Interferência por
uma Função Quadrática.
7.2 Espectroscopia por Dispersão de Energia - EDS
A Espectroscopia por Energia Dispersiva (EDS - Energy Dispersive Spectroscopy) é
uma técnica que auxilia no estudo e caracterização microscópica de materiais. Esta
técnica utiliza um feixe de elétrons, acelerados por um potencial, que interagem com o
material da amostra a ser analisada.
Quando elétrons penetram no material, estes têm energia suficiente para, eventual-
mente, arrancar elétrons de subcamadas mais internas. Isso deixa o átomo num estado
altamente excitado, pois um de seus elétrons de energia bastante negativa foi arran-
cado. O átomo poderá voltar ao seu estado fundamental emitin do um conjunto de
fótons de alta energia, que pertencem ao seu espectro característico de raio-x.
Um detector instalado na câmara de vácuo mede a energia dos fótons emitidos pela
amostra sendo possível determinar quais elementos químicos estão presentes no ponto
de incidência do feixe e, assim, identificar quais os compostostos presentes na amostra.
O diâmetro reduzido do feixe permite a determinação da composição de amostras de
tamanhos muito reduzidos (< 5 µm), permitindo uma análise quase que pontual.
O uso em conjunto do EDS com a Microscopia Eletrônica de Varredura (M EV) é de
grande importância na caracterização e estudo de materiais desenvolvidos para apli-
cação em nanociência. Enquanto o MEV proporciona nítidas imagens (ainda que virtu-
ais, pois o que se vê no monitor do computador é a transcodificação da energia emitida
96
pelas partículas, ao invés da radiação emitida pela luz, ao qual estamos habitualmente
acostumados), o EDS permite sua imediata identificação.
Além da identificação mineral, o equipamento ainda permite o mapeamento da dis-
tribuição de elementos químicos por minerais, gerando mapas composicionais de ele-
mentos desejados. Um espectro característico de EDS pode ser visto na figura 7.3.
Figura 7.3: Espectro Característico de EDS.
97
Parte III
Desenvolvimento Experimental
98
Capítulo 8
O Reator
8.1 Câmara de Vácuo
Para realizar os processos de limpeza e tratamento de superf ície uma câmara de vácuo
foi projetada e construída no CBPF com o auxílio da oficina mecânica. Esta foi pensada
de tal forma a permitir o acoplamento de vários sistemas de diagnóstico de plasmas. A
câmara foi feita utilizando tubos de aço inox não-magnético (Aço 316L) e possui uma
janela de observação por onde pode ser medido o espectro óptico de emissão do plasma.
A câm ara pode ser vista na figura 8.1. Suas dimensões são 100 mm de diâmetro e 300
mm de comprimento.
Figura 8.1: Câmara de Vácuo.
99
8.2 Antena de RF
A antena de RF foi instalada numa flange utilizando um feedthrough como mostra a
figura 8.2. Os anéis são feitos de aço inox, possuem um diâmetro de 30 mm e foram
dispostos de modo que o espaçamento entre a flange e o primeiro anel seja de 30 mm
e que o espaçamento entre os anéis seja de 30 mm. Com base nestes valores e nos
resultados obtidos no capítulo 2, a indutância do sistema (Antena + Câmara) pôde ser
calculada e seu valor encontrado foi L = 10,34 µH.
Figura 8.2: Antena de RF.
8.3 Porta-Amostra
Como já foi mencionado o porta-amostras foi construído de forma simétrica com o copo
de Faraday do modo que seja possível monitorar, em tempo real, tudo que se passa com
a amostra em tratamento. As amostras a serem tratadas são fixadas por meio de travas
e parafusos podendo ser polarizadas com tensões de até 180 volts. Como pode ser visto
na figura 8.3 o porta-amostras é dotado de ranhuras e seu formato não é meramente
um fator de estética. Devido o porta-amostras entrar no reator pelo lado oposto onde
está localizada a antena de RF o acoplamento entre a corrente de RF na antena e
o porta-amostras causava o aparecimento de corrente de Foucault. Estas correntes
parasitas circulando pelo porta-amostras geram um campo magnético que ocassiona
uma diminuição na densidade de partículas à medida que se aproxima da amostra.
Portanto, para minimizar estes efeitos indesejáveis decidiu-se eliminar as partes de
metal que não fossem necessárias e foram feitas ranhuras de modo a interromper as
correntes de Foucault como se fosse um núcleo de transformador.
100
Figura 8.3: Porta-Amostras.
8.4 Sistema de Vácuo
O sistema de vácuo utilizado é composto por uma bomba de vácuo mecânica da marca
EDWARDS modelo EDM12, que pode atingir pressões da ordem de 10
−2
mbar e por
uma bomba difusora da mesma marca modelo 150MK2 com capacidade de 300 l/min.
Estas bombas fazem parte de um sistema que foi adquirido pelo CBPF, mas que já não
estava mais sendo utilizado. Foi feita manutenção de todo o sistema elétrico, limpeza
das partes interna e a troca do óleo da difusora.
Figura 8.4: Bomba Difusora e Trap.
101
O sistema possui também um trap onde é colocado nitrogênio líquido para impedir que
o vapor do óleo da difusora r etorne e contamine o interior da câmara de vácuo. Sua
capacidade de armazenamento de nitrogênio líquido é de aproximadamente 4,5 litros.
Após realizar a manutenção descrita acima e abastecer o trap com nitrogênio o sis-
tema de vácuo atinge pressões de base da ordem de 10
−7
mbar após algumas horas de
funcionamento. O sistema de bombeamento pode ser visto na figura 8.4.
Para medidas de pressão foi utilizado um medidor da marca OERLIKON LEYBOLD
VACUUM modelo GA 09.033/4.02 e uma unidade leitora da mesma marca modelo
PENNINGVAC PTR90, que incorpora em seu interior um medidor pyrani e um pen-
ning. Sua escala de pressão vai desde de 5 ×10
−9
mbar até 1 ×10
3
mbar e sua curva de
calibração para outros gases que não sejam o ar, N
2
, O
2
e CO pode ser vista na figura
8.5.
Figura 8.5: Curvas de Calibração do Medidor de Pressão Para Pressões no intervalo
de a) 10
−6
- 10
−1
mbar e b) 10
−3
- 10
2
mbar.
8.5 Refrigeração da Difusora
Bombas difusoras precisam ter suas paredes externas refrigeradas para que o bombea-
mento seja eficiente. A refrigeração da bomba difusora utilizada é feito através da
circulação de água. No entanto, devido ao tempo de funcionamento do sistema e da
vazão de água necessária, a quantidade de água desperdiçada tornar-se-ia algo ex-
tremamente dispendioso. Por esse motivo foi montado um sistema de água fechada
102
para atender a bomba difusora. O sistema consiste de duas caixas de água de 100
litros e uma bomba ligada a um motor controlado por um bóia.
Figura 8.6: Sistema de Água Fechada para Refrigeração da Difusora.
O sistema de controle, acionado pela bóia, comanda o funcionamento do motor da
bomba d’água, por meio de contatores, de modo que este só entre em funcionamento
quando o nível da água da caixa inferior esteja alto e o da caixa superior esteja baixo.
103
Capítulo 9
Fonte de Radiofrequência
9.1 Alta Tensão DC
Um dos principais objetivos deste trabalho foi projetar e construir a fonte de radiofre-
quência responsável pela geração do plasma à ser utilizado nos processos de limpeza e
tratamento de superfícies. Sistemas que utilizam fontes de potência de RF são com-
postos, basicamente, por: Fonte DC de Alta Tensão, Oscilador, Linha de Transmissão
e Carga (Plasma neste caso).
Fontes DC de alta tensão controladas tanto em corrente como em tensão já existem no
mercado, porém seu custo é bastante elevado. Por esse motivo decidimos construí-la
aproveitando componentes já disponíveis no CBPF, o que reduziu o custo do equipa-
mento à apenas o necessário para comprar alguns componentes discretos do circuito.
Figura 9.1: Desenho Esquemático da Fonte de Alimentação.
104
Para converter a corrente alternada (AC) em corrente contínua (DC), é necessário
montar uma ponte de retificação na saída do transformador. Foram estudadas várias
configurações de ponte de retificação para alta potência e a de melhor custo benefício
para as nossas finalidades é a retificação trifásica de onda completa sem controle, ou
seja, com diodos retificadores. O esquema da fonte pode ser vi st o na figura 9.1.
No CBPF existia um antigo equipamento de Ressonância Magnética Nuclear (RMN)
que utilizava oito válvulas com potência e frequência compatíveis às necessárias à exe-
cução do projeto, portanto, para aproveitar este equipamente que já estava desativada
optou-se em construir uma fonte de RF utilizando um oscilador valvulado.
É importante frisar que esse é um equipamento mais simples, no entanto, é suficiente
para o nosso propósito.
9.1.1 Elevação da Tensão
Para elevar a tensão da rede ate o nível desejado foi aproveitado um transformador
trifásico do antigo RMN existente no CBPF, onde cada um dos enrolamentos tem uma
razão de transformação de aproximadamente 12 vezes. Foi testada a isolação de cada
um dos enrolamentos com um megômetro. A tensão de isolação testada foi de 250
V a 2,5 kV e a isolação para toda esta faixa de tensão é de 21 GΩ mostrando que o
transformador está em b oa condição de operação. O transformador pode ser visto na
figura 9.2.
Figura 9.2: Transformador Trifásico de Alta Tensão.
105
Os enrolamentos de entrada estão ligados em configuração delta (ou triângulo) com
neutro flutuante e sua tensão de entrada pode ser elevada até 240 volts entre fases
(saída de até 2,88 kV) suportando potências de até 1 kW. Os enrolamentos de saída
estão ligados em configuração estrela.
O variac, também aproveitado, é trifásico com enrolamentos para 10 A e tensão se-
cundária máxima de 240V. Foram realizadas manutenção, limpeza, troca de peças
danificadas e testes de continuidade nos três enrolamentos d o variac de modo a elimi-
nar problemas elétricos e mecânicos. Com uma tensão de 220V na entrada do variac,
testou-se a saída de 0V a 240V, para certificar-se dos valores do fabricante e a tensão
efetiva que poderia ser obtida com a aplicação de tensão. O Variac pode ser visto na
figura 9.3.
Figura 9.3: Variac Trifásico de Alta Tensão e Potência.
9.1.2 Retificação
A ponte retificadora foi montada sobre um suporte de acrílico onde foram instalados
os suportes para soldagem dos componentes. O retificador pode ser visto na figura 9.4.
Em cada diodo retificador existe um circuito amaciador capacitivo (snubber), que tem
a finalidade de reduzir possíveis sobrecargas no circuito retificador, protegendo cada
diodo. Cada snubber é composto de um resistor de 40 Ω e um capacitor de 47 nF.
Além do snubber, cada diodo tem também um resistor com alta resistência (1 MΩ)
para equalizar a onda.
106
Figura 9.4: Ponte Retificadora Com Snubbers Ligada ao Transformador.
O transformador está dispost o na forma delta-estrela com terra flutuante. Na ponte
de retificação, cada diodo do esquema mostrado na figura 9.1 está representando um
ramo com seis diodos de retificação tipo N (1200 V, International Rectifier n
o
6FR
100), cada diodo apresenta um conjunto paralelo (snubber) com capacitor e resistor
para proteger a ponte de retificação de eventuais picos de tensão reversa.
Na saída do retificador foram instalados oito capacitores de 4 µF em paralelo com o
retificador e um indutor de 100 µH em série (Choke) para impedir que a RF afetasse o
funcionamento de ponte retificadora e também para evitar sujar a rede de alimentação
com ruídos de alta frequência.
9.2 Oscilador
9.2.1 Válvula 304TL
A válvula utilizada no oscilador foi a 304TL fabricada pela EIMAC que pode ser vista
na figura 9.5. Esta é uma válvula triodo de baixo fator de amplificação (µ = 12) com
potência máxima de dissipação na placa de 300 Watts, e foi fabricada para uso em
107
amplificadores, osciladores ou moduladores. Sua tensão DC máxima na placa é de 3
kV podendo operar em frequências de até 40 MHz.
A refrigeração da válvula 304TL é feita por irradiação proveniente da alta temperatura
da placa, que opera na região do vermelho na potência máxima, e por meio de ventilação
forçada.
Figura 9.5: Válvula 304TL.
Seu filamento, formado por tungstênio e tório, possui uma taxa de consumo muito
menor do que se este fosse constituído apenas de tungstênio. Isto se deve ao fato do
ponto de fusão da mistura ser bem maior quando comparado com o do tungstênio puro
[46]. O filamento da válvula tem opção de ser alimentado com 5 ou 10 volts consumindo
correntes de filamento de 25 ou 12.5 A respectivamente. Como o equipamento de
RMN possui alimentadores para 5 V e 25 A estes foram utilizados para alimentação
do filamento.
Outras características da válvula 304TL podem ser vistas nas especificações técnicas
contidas no Apêndice H.
108
9.2.2 Componentes do Oscilador
Com base nas equações 4.19, 4.20 e 4.21, é possível estimar os valores dos componentes
do circuito oscilador de modo a obter oscilações com frequências da ordem da desejada,
ou seja, f = 13,56 MHz.
Impondo que a frequência de trabalho seja exatamente f = 13,56 MHz encontramos
que ω = 85,20×10
6
s
−1
. Escolhendo o valor de L = 10 µH e usando a equação 4.19,
chegamos ao valor de C
eq
= 13.78 pF.
Usando a equação 4.20 e escolhendo o valor para o capacitor C = 56 pF encontramos
para o valor do capacitor variável C
V
= 19,50 pF.
Com base nas características fornecidas pelo fabricante da válvula (Apêndice H), temos
os valores do fator de amplificação µ ≈ 12 e da resistência de placa R
p
≈ 720 Ω. Usando
a equação 4.21 podemos estimar o valor do resistor R. Substituindo os valores já obtidos
nesta equação encontramos que R ≈ 2 kΩ.
Figura 9.6: Montagem do Oscilador de RF.
9.3 Linha de Transmissão
Como o acoplamento da radiofrequência com o plasma deve ser feito de forma indutiva,
não é possível usar uma linha de transmissão desbalanceada pois haveria acoplamento
109
capacitivo entre a antena de RF e a carcaça. Por isso optou-se em utilizar uma linha
de transmissão balanceada constituída por dois cabos coaxiais que guiam a energia da
fonte de RF até o reator onde será consumida pelo plasma. A saída balanceada da
fonte pode ser vista na figura 9.7.
Figura 9.7: Saída Balanceada da Fonte de RF.
Como o sinal é retirado do circuito no ponto de ligação da base das válvulas, o sinal
em cada cab o é simétrico em relação ao outro e, além disso, existe um nível de tensão
DC em relação ao terr a (que é a tensão de polarização da válvula). Este nível de
tensão DC pode gerar acoplamentos capacitivos entre a antena de RF e o reator. Para
eliminar este problema foram introduzidos dois capacitores de desacoplamento às linhas
de transmissão para anular a componente DC. A imagem do plasma antes e depois da
instalação do capacitor pode ser vista na figura 9.8.
Figura 9.8: Plasma a) Antes do Capacitor e b) Depois do Capacitor de Desacoplamento.
110
Para evitar o ruído gerado pela radiofrequência o sistema (Fonte DC + Oscilador) foi
montado dentro da estrutura do antigo RMN existente no CBPF. O equipamento pode
ser visto na figura 9.9.
Figura 9.9: Reator e Fonte de RF.
111
Capítulo 10
Dispositivos para Diagnóstico da
Radiofrequência
10.1 Corrente de Radiofrequência
10.1.1 Bobina de Rogowsky
Para r ealizar medidas da corrente de RF foi construída uma bobina de Rogowsky
composta de um núcleo toroidal, onde foi enrolado poloidalmente um fio de material
condutor de modo a formar N espiras. Após completar toda a volta do toróide com as
espiras, o mesmo fio é passado de volta ao ponto onde iniciou-se o enrolamento. Esse
fio, designado como fio de retorno, tem como objetivo eliminar ruídos magnéticos [41].
Um eletroduto corrugado de PVC foi curvado de modo a formar um toróide onde foram
enroladas N = 61 espiras. O toróide possui diâmetros interno e externo iguais a D
i
=
(61,13 ± 0,01) mm e D
e
= (113,18 ± 0,01) mm, respectivamente, e diâmetro da secção
reta igual à D
φ
= (20,92 ± 0,01) mm. O passo do helicóide foi mantido constante em
aproximadamente 3 mm, que é o espaço entre as ranhuras do eletroduto, para garantir
que a medição seja independente da posição do condutor por onde passa a corrente a
ser medida.
Aos dois terminais da bobina, foi adicionado um resistor de R = (50 ± 5%) Ω. O que
satisfaz a condição R » R
s
, uma vez que o valor típico da resistência interna da bobina
é de aproximadamente R
s
= 0,1 Ω.
Com o intuito de eliminar ruídos eletrostáticos por acoplamento capacitivo [47], a
bobina foi colocada dentro de uma carcaça de latão onde foram tomados cuidados para
isolar a bobina da carcaça. Os terminais da bobina foram entrelaçados e o resistor e as
112
Figura 10.1: Bobina de Rogowsky.
pontas de solda, como os terminais das bobinas, foram devidamente isolados e ligados
à um conector do tipo BNC fêmea. A Bobina aberta pode ser vista na figura 10.1.
10.1.2 Calibração da Bobina de Rogowsky
Utilizando as dimensões da bobina mencionadas na seção anterior, podemos calcular
os valores do raio médio r
o
= (43,58 ± 0,01) mm da bobina e da área A = (3,437 ±
0,003)×10
−4
m
2
de cada espira. Com esses dados e o número de espiras da b obina N
= 61 pode-se calcular, utilizando a equação 6.20, a indutância da bobina de Rogowsky
L
s
. Fazendo os cálculos encontramos que L
s
= (5,869 ± 0,006) µH.
Admitindo que a frequência de trabalho seja f = 13,56 MHz, podemos calcular o valor
de X
L
= ωL, que vale X
L
= (50 ± 2)×10
1
Ω. Sendo o valor do resistor utilizado nas
bobinas, aproximadamente R = 50 Ω, concluímos que a condição ωL » R é satisfeita,
de forma que as bobinas estão de acordo com o modelo teórico.
Usando os valores da resistência usada na bobina R = (50 ± 5%) Ω e do número de
espiras enroladas sobre o toróide, N = 61, foi possível calcular, com base na equação
6.21, o valor teórico para a constante de sensibilidade que foi de K
s
= (1,22 ± 0,06)
Ω
−1
.
Para tornar possível a utilização da bobina de Rogowsky construída neste trabalho,
foi necessário caracterizar seu funcionamento através do levantamento de sua curva
113
de calibração afim de determinar, experimentalmente, o valor de sua constante de
sensibilidade.
Na calibração da bobina de Rogowsky construída foi utilizada uma bobina comercial
da marca PEARSON modelo 150, com constante de sensibilidade igual a K
P earson
= (2 ± 2%) Ω
−1
. As duas bobinas foram montadas juntas de forma a garantir que
ambas estavam submetidas às mesmas condições. As bobinas foram instaladas dentro
da fonte de RF afim de medir a corrente que alimenta o plasma e após uma varredura
de corrente, os valores de tensão, fornecidos pelas bobinas comercial e não-calibrada,
foram medidos.
Os valores de tensão obtidos pela bobina comercial foram convertidos em c orrente por
meio da constante de sensibilidade fornecida pelo fabricante e graficados em função
da tensão de saída da bobina a ser calibrada. O resultado pode ser visto no gráfico
10.2 onde podemos obter o valor experimental da constante de sensibilidade da bobina
construída que vale K
exp
= (1,25 ± 0,01) Ω
−1
. Comparando este valor com o valor
teórico calculado na seção anterior K
s
= (1,22 ± 0,06) Ω
−1
podemos ver que o resultado
está dentro do esperado.
Figura 10.2: Curva de Calibração da Bobina Rogowsky e Ajuste Linear (R
2
= 0,99686).
114
10.2 Potência de Radiofrequência
10.2.1 Medidor de Potência de RF
Para a medição da potência de RF fornecida pela fonte, foi utilizado um medidor da
marca SPECTRUM modelo MPL-20. Este equipamento estava fora de funcionamento,
pois seu painel analógico de leitura estava queimado. No entanto, o circuito interno do
medidor estava em p erfeita condição de funcionamento.
Figura 10.3: Medidor de Potência de RF.
Para utilizar este equipamento foi feita uma modificação no circuito do medidor de
modo que o sinal DC proporcional à p otência dissipada, que antes era mandado para
o painel analógico, passa agora a ser lido externamente por um multímetro digital da
marca UNI-T modelo UT70A. O medidor pode ser visto na figura 10.3.
Figura 10.4: Esquema do Circuito Medidor de Potência de RF.
O esquema da parte do circuito responsável pela medida de potência pode ser visto na
figura 10.4 e seu funcionamento é baseado em dois transformadores de RF ligados entre
115
a entrada e a saída coaxial. Um recolhe uma amostra da corrente que circula no cabo
coaxial e o outro recolhe uma amostra da tensão. As duas amostras são somadas e
subtraídas num circuito ponte e a relação vetorial entre e tensão e corrente (amplitude
e fase) nos dá informação sobre a potência de RF consumida.
10.2.2 Calibração do Medidor de Potência
Para utilizar o medidor de potência de RF foi necessário caracterizar seu funcionamento
através do levantamento de sua curva de calibração.
Para r ealizar a calibração, o medidor foi instalado na fonte de RF do sistema Magnetron-
Sputtering existente no CBPF. A fonte de RF utilizada é da marca AJA INTERNA-
TIONAL modelo AJA 100/300.
Figura 10.5: Curva de Calibração do Medidor de Potência e Ajuste Polinomial (R
2
=
0,99764).
Através da calibração foi obtida a relação entre o sinal de saída do medidor V
DC
e a
potência de RF consumida P
RF
, que é dada por
P
RF
(W ) = −(2 ± 2) + (4 ± 1) × 10
1
V
DC
+ (19 ± 2) × 10
1
V
2
DC
. (10.1)
116
10.3 Eficiência do Acoplamento Plasma-Fonte
Para uma certa quantidade de potência entregue ao sistem a pela fonte de RF, apenas
uma fração desta é consumida pelo plasma, o resto é dissipado por aquecimento ôhmico
na antena e no reator, através da corrente induzida em suas paredes.
Para estimar a quantidade de potência perdida por dissipação, medimos a corrente
para várias potências aplicadas. Este procedimento deve ser realizado sem a presença
do plasma para garantir que toda a potência esta sendo consumida pelo reator e pela
antena. Fazendo isto temos o gráfico mostrado na figura 10.6.
Figura 10.6: Potência Dissipada no Sistema sem Plasma em Função da Corrente na
Antena e Ajuste Polinomial (R
2
= 0,99907).
A partir deste gráfico podemos encontrar a parte resistiva da impedância do sistema
R
0
utilizando a equação
P
loss
= R
0
i
2
. (10.2)
Para isso vamos utilizar um ajuste polinomial de 3
o
grau pois, devido a variação da
temperatura na antena, a curva difere de uma parábola.
117
Feito isto temos a resistência ôhmica imposta pelo sistema à fonte, que pode ser visto
no gráfico da figura 10.7.
Figura 10.7: Resistência do sistema em Função da Corrente na Antena.
Agora, a potência entregue pela fonte e a corrente foram novamente medidas porém,
com o plasma ligado. Para isso elevamos a potência para que o plasma seja criado e
após isso esta foi diminuída para iniciar a varredura em potência.
Realizando este procedimento temos, novamente, uma curva da potência total entregue
pela fonte P
total
em função da corrente i na antena. No entanto, esta potência é a
soma da potência dissipada pelo sistema P
loss
com a absorvida pelo plasma P
abs
. Para
encontrar a potência absorvida pelo plasma P
abs
devemos fazer
P
abs
(i) = P
total
(i) − R
0
(i)i
2
. (10.3)
Ou seja, podemos encontrar a potência absorvida para cada potência fornecida pela
fonte.
Definindo a eficiência do acoplamento entre o plasma e a fonte como
η =
P
abs
P
total
(10.4)
temos a eficiência do acoplamento em função da potência aplicada. Os resultados
podem ser vistos no gráfico da figura 10.8.
118
Deste gráfico podemos dizer que, para potência de 120 W, aproximadamente 73 %
de toda a potência entregue pela fonte é consumida no reator e, portanto, 27 % é
consumida pelo plasma. Isto corresponde a dizer que dos 120 W consumidos, apenas
32 W são dissipados pelo plasma.
Figura 10.8: Eficiência do Acoplamento entre a Fonte de RF e o Plasma.
119
Capítulo 11
Dispositivos para Diagnóstico dos
Parâmetros do Plasma
11.1 Sonda de Langmuir
Para realizar as medidas de densidade e temperatura de elétrons do plasma gerado, foi
construída uma sonda de Langmuir utilizando um tubo de aço inox 316L (6 mm de
diâmetro), um tubo de vidro, onde foi instalado um circuito bassa-baixa para evitar
ruído devido a RF conforme discutido no seção 2.2, e um fio de tungstênio que constitui
a ponta de prova da sonda com (0,50 ± 0,01) mm de diâmetro e (2,31 ± 0,01) mm
de comprimento. O tungstênio foi colado ao vidro utilizando cola própria para vácuo
(Hysol 1C - Loctite) assim como o vidro no tubo de inox. A sonda pode ser vista na
figura 11.1.
Figura 11.1: Sonda de Langmuir com circuito passa-baixa.
Quando plasmas são gerados por radiofrequência, uma situação bastante comum, surgem
120
dificuldades adicionais no uso de sondas. Uma delas se deve ao fato do sinal de RF
induzir uma tensão na sonda causando o aparecimento de uma diferença de p otencial
oscilante através da bainha. Esta diferença de potencial modifica a corrente elétrica
medida pela sonda causando mudanças na forma da curva característica como pode ser
visto na figura 11.2 [7].
Figura 11.2: Curva característica I versus V
B
em um plasma com potencial de plasma
oscilante Φ
p
(t), mostrando (curva escura) a média temporal das curvas características
obtendo uma temperatura eletrônica aparente muito maior que a verdadeira.
A fim de solucionar este problema, várias técnicas têm sido propostas para forçar o
potencial da sonda a seguir as variações do potencial do plasma. Uma delas é utilizar
um eletrodo de compensação posicionado próximo à ponta da sonda a uma distância
suficientemente grande para não perturbar o plasma, formando uma capacitância entre
este eletrodo e a própria sonda, mas que não é o caso deste trabalho.
Figura 11.3: Representação esquemática da Sonda de Langmuir com Filtro Passa-
Baixa.
121
No modelo de sonda utilizado, um filtro passa-baixa, sintonizado em aproximadamente
20 kHz, foi introduzido para eliminar as oscilações induzidas na sonda causadas pelo
potencial de plasma oscilante bloqueando a componente fundamental da frequência
de trabalho, seus harmônicos e ruídos de mais alta frequência. Uma representação
esquemática da sonda pode ser vista na figura 11.3 onde L = (400 ± 5%) µH e C =
(150 ± 5%) nF.
Para obter as curvas de Langmuir foi construída uma fonte variável capaz de fornecer
tensões de -70 a 70 volts e correntes de até 5 mA. Um resistor shunt de 525 Ω foi ligado
em série com a sonda para obter o valor da corrente para cada valor de tensão aplicada.
A tensão foi medida utilizando um multímetro da marca MINIPA modelo ET-2042C
e a corrente através de um microvoltímetro da marca KEITHLEY modelo 197 DMM.
O sistema pode ser visto na figura 11.4.
Figura 11.4: Medidores de Tensão e Corrente e Fonte variável de -70 a 70 volts para
medidas de sonda de Langmuir.
Foi feito ainda o levantamento da função de transferência do filtro passa-baixa da
sonda de Langmuir. Para isso, utilizou-se um gerador de sinal da marca TEKTRONIX
modelo CFG280 e um osciloscópio da mesma marca modelo TDS1002B. Foi aplicado
um sinal, para cada valor de frequência, à ponta de prova da sonda de Langmuir e a
resposta foi medida no lado oposto do filtro simulando ruídos oriundos do plasma. Foi
feito também uma modelagem teórica do filtro, utilizando os valores especificados de
L e C, onde a função de transferência do filtro é dada por
T =
1
1 − ω
2
LC
(11.1)
Como a frequência de trabalho está em torno de 13 MHz, o filtro mostra-se extrema-
mente eficaz no bloqueio da componente fundamental da frequência, como pode ser
visto na figura 11.5.
122
Figura 11.5: Função de Transferências do Filtro Passa-Baixa da Sonda de Langmuir.
11.2 Espectrômetro Óptico
Para as medidas de espectroscopia, o Laboratório de Plasma Aplicado do CBPF possui
um espectrômetro óptico na configuração Czerny-Turner cruzado, da marca Ocean
Optics modelo HR4000, cujo astigmatismo é corrigido por espelhos esféricos.
Figura 11.6: Figura esquemática do espectrômetro HR4000. 1 - Entrada da fibra óptica,
2 - Fenda colimadora, 3 - Filtro (opcional), 4 e 5 - Espelhos esféricos, 6 - Grade de
difração, 7 - CCD, 8 - Janela de quartzo.
Este espectrômetro utiliza, como elemento de dispersão, uma grade de difração do tipo
CompositeTM (300 l/mm) que contempla um alcance espectral de 200 a 1.100 nm (UV
- IR) e uma resolução esp ec tral de 0,75 nm. O elemento de detecção é uma CCD linear
123
(Hamamatsu) de 3.600 pixels. Na figura 11.6 temos uma figura esquemática fornecida
pelo fabricante.
Figura 11.7: Espectrômetro Óptico e Fibra Óptica.
A luz proveniente do plasma é coletada por um sistema óptico comp osto por lentes
coletoras, colimadoras e uma fibra óptica, projetado de forma a fornecer uma con-
figuração na qual se pode coletar, tanto uma amostra pontual do plasma (medidas
onde a discriminação espacial é importante), quanto coletar a emissão total do plasma
(neste caso, para medidas onde não há necessidade de discriminação espacial). O es-
pectrômetro e a fibra óptica utilizada podem ser visualizados na figura 11.7 enquanto
o sistema coletor montado sobre o reator pode ser visto na figura 11.8.
Figura 11.8: Lente Coletora em Frente a Janela do Reator.
124
11.3 Copo de Faraday
Para investigar o comportamento dos íons foi construído um a nalisador de energia
(Copo de Faraday) conforme descrito na seção 5.5. Este dispositivo é composto p or
duas grades, sendo uma flutuante e outra ligada a uma fonte que p ode polarizá-la com
diferentes tensões. As grades e o eletrodo coletor podem ser vistos na figura 11.9.
Figura 11.9: Copo de Faraday Desmontado para Visualização.
Como já foi mencionado, o Copo de Faraday foi montado simetri cam ente ao porta-
amostras, em relação ao eixo da câmara de vácuo e, consequentemente, da antena de
RF. Sendo assim, a distribuição de partículas sobre a amostra deve ser a mesma sobre o
Copo de Faraday. Desta forma é possível saber o que está acontecendo com a amostra
em tempo real e a nível microscópico.
Devido o aparecimento de correntes parasitas no corpo do dispositivo (correntes de
Foucault), foi feita uma modificação no dispositivo de modo a criar ranhuras e retirar o
máximo de material. A figura 11.9 mostra o dispositivo antes da modificação, enquanto
a figura 11.10 mostra o dispositivo depois das mo dificações.
Figura 11.10: Copo de Faraday (em cima) e Porta-Amostras (em baixo).
125
Durante os testes realizados a grade G1 foi deixada flutuante, assim como a amostra.
No entanto, na montagem do dispositivo tanto o porta-amostra como a grade G1,
foram conectados a fios de ligação para permitir futuros estudos sobre os efeitos da
polarização da amostra. A ligação elétrica dos terminais dentro do dispositivo pode
ser vista na figura 11.11.
Figura 11.11: Esquema Interno da Ligação Elétrica do Copo de Faraday.
126
Capítulo 12
Aquisição de Dados
Para adquirir os dados de tensão e corrente obtidos atravéz da sonda de Langmuir e do
copo de Faraday, foi adquirida uma placa de aquisição de dados da marca NATIONAL
INSTRUMENTS modelo USB-6008. A placa pode ser vista na figura 12.1.
Figura 12.1: Placa de Aquisição de Dados da NATIONAL INSTRUMENTS.
As características desta placa são:
=⇒ 8 entradas analógicas de 12 bits e taxa de amostragem de 10 kS/s;
=⇒ 2 saídas analógicas de 12 bits e taxa de amostragem de 150 kS/s ;
=⇒ 12 entrada/saídas;
=⇒ 1 contador de 32 bits;
Devido problemas de ruído causados pela radiofrequência, a placa de aquisição de dados
teve que ser blindada numa caixa de alumínio. As ligações dos dispositivos responsáveis
127
pelos sinais de tensão e corrente são todas feitas por conectores tipo BNC e a placa se
comunica com o computador via USB evitando a indução de ruído.
Os sinais de corrente, que são independentes para cada sistema de diagnóstico, são
colhidos através da saída do microvoltímetro DMM 197 (KEITHLEY). Estes sinais de
saída possuem amplitudes entre -5 e 5 volts e, portanto, não necessitam ser atenuados
antes de entrarem na placa.
No entanto, é necessário fazer uma calibração entre o valor real da corrente e o sinal de
saída do microvoltímetro. Esta calibração foi realizada para cada sistema de diagnóstico
(Sonda de Langmuir e Copo de Faraday) e pode ser visualisada no gráfico de figura
12.2.
Figura 12.2: Curvas de Calibração da Entrada AI0, Responsável pelas Medidas de
Corrente, Para a Sonda de Langmuir (Círculo) e Copo de Faraday (Triângulo).
As relações obtidas entre o sinal AI0 (entrada resp onsável pela leitura da corrente), de-
signado por v
0
, e as correntes na Sonda de Langmuir e no Copo de Faraday, designadas
por I
Lang
e I
F arad
, respectivamente, são dadas por
I
Lang
(µA) = (−1, 8 ± 0, 1) + (165, 1 ± 0, 1) × v
0
(V ) (12.1)
e
I
F arad
(µA) = (−1, 6 ± 0, 1) + (153, 4 ± 0, 1) × v
0
(V ) ( 12.2)
128
Os sinais de tensão, que são aplicados tanto à Sonda de Langmuir quanto ao Copo
de Faraday, possuem amplitudes que variam entre -70 e 70 volts. Por outro lado, as
entradas da placa de aquisição podem receber sinais com variação somente entre -10 e
10 volts. Por esse motivo, foi necessário instalar um divisor de tensão na entrada AI1,
responsável pela medida de tensão. Após a montagem do circuito foi feita a calibração,
que pode ser vista no gráfico da figura 12.3.
Figura 12.3: Curva de Calibração da Entrada AI1 - Responsável pela Medida de Te nsão.
A relação entre a tensão aplicada V e o sinal AI1 v
1
, obtida com a calibração, é dada
por
V = (−8, 64 ± 0, 01) + (16, 55 ± 0, 01) × v
1
(12.3)
O programa responsável pelo comando da placa (LabView SignalExpress) possui lin-
guagem LabVIEW de fácil implementação, no qual foi montada uma rotina (projeto)
de quatro passos. O primeiro passo, Acquire, adquire o sinal analógico através dos
conversores analógico-digital (DAC) localizados nas entradas da placa. O segundo
passo, Filter, realiza uma filtragem digital dos sinais de entrada. O terceiro passo,
Amplitude and Levels, realiza a leitura da amplitude dos sinal. O quarto e último
passo, Save, salva os valores em formato ASCII para serem tratados. A janela do
programa pode ser vista na figura 12.4.
129
Figura 12.4: Programa de Aquisição de Dados da Placa USB-6008.
Este sistema reduziu o tempo de aquisição de dados para construção de uma curva
de Langmuir de aproximadamente cinco minutos para algo em torno de dez segundos
aumentando também a densidade de pontos da curva em quase seis vezes.
130
Parte IV
Procedimentos Experimentais
131
Capítulo 13
Densidade e Temperatura dos Elétrons
Neste capítulo serão apresentados os procedimentos realizados para análise dos dados
obtidos pelas técnicas de diagnóstico sonda de Langmuir e espectroscopia óptica de
emissão utilizando como base os resultados apresentados no capítulo 5.
13.1 Sonda de Langmuir
Utilizando os dados obtidos pela sonda de Langmuir, podemos graficar a corrente
coletada pela sonda em função da tensão à ela aplicada. A curva pode ser vista no
gráfico da figura 13.1.
Figura 13.1: Curva Característica da Sonda de Langmuir.
132
Uma vez obtida experimentalmente a curva de Langmuir, os resultados da seção 2.2
serão utilizados para encontrar densidades e temperaturas eletrônicas. Com base na
equação 5.10 podemos obter a temperatura dos elétrons por meio da derivada do lo-
garítmo natural da soma da corrente coletada pela sonda com a de saturação iônica
conforme po de ser visto na figura 13.2. O potencial de plasma Φ
p
pode ser obtido
através da interseção das retas traçadas sobre os pontos experimentais.
Figura 13.2: Curva Experimental Para Encontrar o Potencial de Plasma e a Tempe-
ratura Eletrônica para pressão p = 4, 0 × 10
−2
mbar de Argônio e potência P =120
W.
Uma vez encontrado o valor de T
e
= 4, 28 eV , é possível determinar a densidade do
plasma n definindo a corrente de saturação eletrônica I
ES
como sendo a corrente na
sonda quando a ela está aplicado um potencial igual ao potencial de plasma φ
p
, ou
seja, I
ES
= I(φ
p
). Feito isso, basta substituir os valores da área de coleta da sonda
A = 3, 63×10
−6
m
2
e da massa do elétron e substituir na equação 5.3. Após os cálculos
encontramos que n = 1.42 × 10
15
m
−3
.
13.2 Função de Distribuição de Energia
Como foi mostrado na seção 5.2, é possível extrair a função de distribuição de energia
dos elétrons g
e
(V ) a partir da derivada segunda da curva mostrada na figura 13.1.
A equação 5.23 nos diz que a função de distribuição de energia dos elétrons é obtida
multiplicando a derivada segunda da curva mostrada na figura 13.1 por uma constante,
que depende da área A de coleta da sonda, e pela raiz quadrada da diferença entre o
potencial de plasma Φ
p
e a tensão aplicada à sonda V
B
.
133
Para encontrar o potencial de plasma utilizando esta técnica, devemos tomar a segunda
derivada da corrente coletada em relação a tensão aplicada à sonda V
B
.
Uma vez realizada a derivada primeira, obtém-se uma função que possui um máximo
exatamente no ponto de inflexão da curva de Langmuir. Após a segunda derivada
obtemos uma nova função na qual este ponto de inflexão é o ponto por onde esta
função passa por zero. Portanto, o potencial de plasma Φ
p
é definido como sendo o
ponto onde a derivada segunda da corrente coletada na sonda com respeito a tensão à
ela aplicada passa por zero. Finalmente, usando a equação 5.23, onde V = Φ
p
− V
B
,
podemos graficar a função de distribuição de energia dos elétrons, para os mesmos
dados da seção anterior, que pode ser vista na figura 13.3.
Figura 13.3: Função de Distribuição de Energia dos Elétrons do Plasma para pressão
p = 4,0×10
−2
mbar de Argônio e potência P =120 W.
Com a função de distribuição de energia experimental, podemos encontrar a densidade
de elétrons n e sua energia média E usando as equações 5.24 e 5.25 encontradas
na seção 5.2. Podemos ainda encontrar a temperatura efetiva T
eff
, em elétron-volts,
usando a equação 5.26. Usando este método, para os mesmos dados da seção anterior,
encontramos que a densidade e a temperatura eletrônica valem n = 1, 84 ×10
15
m
−3
e
T
e
= 6, 14 eV .
Comparando estes resultados com os da seção anterior, p ercebemos uma concordância
entre as densidades medidas pelas duas técnicas; no entanto, há uma discrepância
considerável entre as temperaturas. Isso se deve a teoria da Sonda de Langmuir ser
baseada em funções de distribuição do tipo Maxwellianas, o que não é verdade para as
condições experimentais deste trabalho, como será mostrado nos próximos capítulos.
134
Portanto, a temperatura utilizada neste trabalho será sempre a obtida pela função de
distribuição de energia, que vale para qualquer tipo de função de distribuição.
13.3 Espectroscopia Óptica de Emissão
Esta técnica, conforme seção 5.4.4, fornece a temperatura dos constituintes do plasma
com base na razão entre duas linhas de emissão óptica. Para realizar a medida de
temperatura é, então, necessário um espectr o óptico do plasma, que é obtido com o
espectrômetro. O espectro pode ser visto na figura 13.4.
Figura 13.4: Espectro Óptico de um Plasma de Argônio Para Pressão p = 4,0×10
−2
mbar e Potência P =120 W.
Para conseguir um espectro com o o da figura 13.4, foi feita antes uma calibração do
espectrômetro. A calibração é feita utilizando uma lâmpada halogênica de tungstênio
da marca OCEAN OPTICS modelo LS-1-CAL que pode ser vista na figura 13.5. A
lâmpada possui espectro conhecido e calibrado pelo National Institute of Standards and
Technology (NIST), portanto, é usada para corrigir o espectro bruto medido uma vez
que este é alterado pela absorção na fibra óptica, pela eficiência da grade de difração e
pela não-linearidade de resposta dos pixels da CCD do espectr ômetro.
Escolhendo duas linhas de emissão com comprimentos de onda λ
mn
e λ
pq
, e intensidades
I
mn
e I
pq
, respectivamente, podemos obter os parâmetros físicos E
p
, E
m
, g
p
, g
n
, f
mn
e f
pq
no NIST e, então substituir na equação 5.71 para encontrar a temperatura dos
constituintes.
135
Figura 13.5: Lâmpada Halogênica de Tungstênio para Calibração do Espectrômetro.
Escolhendo λ
mn
= 750, 4 nm e λ
pq
= 425, 9 nm temos que E
p
= 14, 74 eV, E
m
= 13, 48
eV, g
p
= 1, g
m
= 1, f
nm
= 1, 25 × 10
−1
, f
qp
= 3, 61 × 10
−3
, I
mn
= 0,968 µW/cm
2
e I
pq
= 0,0359 µW/cm
2
. A temperatura obtida por esta técnica é T = 0, 87 eV.
A espectroscopia óptica de emissão é uma das ferramentas mais utilizadas em diagnósti-
cos de plasmas p or ser uma técnica não-intrusiva. No entanto, ela se baseia em relações
de equilíbrio que, em plasmas de baixa pressão, não podem ser aplicadas uma vez que
estes estão fora do equilíbrio termodinâmico, por isso o desacordo entre a temperatura
medida por esta técnica e as outras duas (Sonda de Langmuir e Função de Distribuição
de Energia). Devido este fato, a espectroscopia não será utilizada como ferramenta para
determinação da temperatura, mas de monitoramento dos componentes do plasma.
13.4 Incertezas Associadas às Medidas
Para e ncontrar as incertezas asso ciadas às medidas de temperatura e densidade eletrônica
em cada técnica, quatro curvas de Langmuir foram tomadas mantendo as mesmas
condições experimentais. As curvas podem ser vistas na figura 13.6.
As medidas de densidade e temperatura eletrônica foram realizadas para cada curva
usando a teoria de Langmuir e a função de distribuição de energia. Os resultados
podem ser vistos abaixo
n
Langmuir
(m
−3
) T
e−Langmuir
(eV ) n
F D
(m
−3
) T
e−F D
(eV )
3, 70860 × 10
15
4.27844 4, 40690 × 10
15
6, 62385
3, 57445 × 10
15
4.31658 4, 72112 × 10
15
6, 44339
4, 20388 × 10
15
4.17392 4, 57092 × 10
15
6, 87380
3, 85395 × 10
15
4.59848 4, 58186 × 10
15
6, 47943
136
Figura 13.6: Curvas de Langmuir para Cálculo de Incertezas Obtidas Para Pressão p
= 4,0×10
−2
mbar de Argônio e Potência P =120 W.
Calculando a média dos valores acima e o desvio quadrado médio podemos estimar a
incerteza nas medidas de densidade e temperatura eletrônica que são
∆n
Langmuir
= 5% ∆T
e−Langmuir
= 8% ∆n
F D
= 6% ∆T
e−F D
= 8%
137
Capítulo 14
Densidade e Energia Média de Íons
Neste capítulo serão descritos os procedimentos utilizados para determinação das pro-
priedades dos íons, sendo estes os principais responsáveis pelos processos de limpeza e
tratamentos superficiais.
Fazendo uma varredura no potencial aplicado à grade G2 e medindo a corrente coletada
pelo eletrodo coletor P , obtemos a curva experimental mostrada no grafico do figura
14.1.
Figura 14.1: Curva Experimental Obtida com o Copo de Faraday Para Pressão p =
4,0×10
−2
mbar de Argônio e Potência P =120 W e Ajuste por uma Curva do tipo
Boltzmann.
Como pode ser visto, esta curva apresenta flutuações no valor da corrente muito maiores
que nas medidas obtidas com a sonda de Langmuir. Estas flutuações ocorrem devido a
138
presença de um capacitor ligado em paralelo com o sistema de leitura da corrente (que
utiliza um resistor shunt e um Microvoltímetro) para filtrar ruídos induzidos pela RF.
Devido a rampa de subida do potencial G2 ser feita manualmente, o capacitor acaba
funcionando c omo um circuito diferenciador e, a cada variação na taxa de subida
do potencial ocorrem flutuações no valor da corrente medida. Tais flutuações não
acontecem nos resultados obtidos pela sonda de Langmuir, pois esta possui um filtro
na própria sonda, ao invés de ser instalado no circuito de leitura. Infelizmente, devido
a construção do Copo de Faraday, não é possível instalar um filtro em seu interior.
Para eliminar estas flutuações, as curvas obtidas experimentalmente foram ajustadas
por curvas do tipo Boltzmann, como pode ser visto no gráfico da figura 14.1. Usando a
equação 5.102, podemos encontrar a função de distribuição de energia dos íons G
i
(E)
realizando o mesmo tratamento descrito para obtenção da função de distribuição de
energia dos elétrons, lembrando que neste caso V = V
B
− Φ
p
. Feito isso, chegamos ao
gráfico da figura 14.2, de onde podemos tirar os valores da densidade n
i
= 1, 86 ×10
14
m
−3
e da energia média E
i
= 22,6 eV dos íons.
Figura 14.2: Função de Distribuição de Energia dos Íons Para Pressão p = 3,0×10
−2
mbar de Argônio e Potência P = 120 W.
É importante ressaltar que a energia média obtida por este procedimento não cor-
responde a energia média dos íons no plasma. Esta energia é adquirida pelo íons ao
atravesarem a bainha em direção ao porta-amostras. Para realizar as medidas refer-
entes aos íons, o porta-amostras foi desconectado de modo que seu potencial fosse o
139
potencial flutuante V
f
. No entanto, devido ao efeito de polarização dinâmica [7], o
porta-amostras adquire um potencial, que será chamado de V
bias
. Seu valor, para a
pressão de p = 3,0×10
−2
mbar, é V
bias
= - 6,8 volts, ou seja, negativo com relação ao
potencial de plasma φ
p
, que foi medido usando sonda de Langmuir e, o valor deste é
φ
p
= 15,7 V; o que justifica este valor elevado de energia média (E
i
= 22, 6 eV) quando
comparado com a energia média eletrônica (E
e
= 9,21 eV).
O potencial V
bias
, para pressão de p = 4,3 ×10
−3
mbar, pode ser visto na figura 14.3 e
seu valor é aproximadamente V
bias
= - 34 volts. Medindo o potencial de plasma neste
pressão utilizando a sonda de Langmuir, encontramos que φ
p
= 26 V. Portanto, temos
que a diferença de potencial que o íons atravessa, em direção ao porta-amostra, é da
ordem de 60 eV; exatamente a energia média mostrada no gráfico da figura 15.8, para
este valor de pressão.
Figura 14.3: Potencial V
bias
obtido com osciloscópio mostrando Polarização Dinâmica
do Porta-Amostras para pressão de p = 4,3×10
−3
mbar.
Para determinar as incertezas nas medidas de densidade e Energia média iônica foram
realizados os mesmos procedimentos aplicados aos elétrons. As incertezas obtidas foram
∆n
i
= 7% ∆T
i
= 8%
140
Parte V
Resultados
141
Capítulo 15
Caracterização do Equipamento
15.1 Densidade e Temperatura Eletrônica em Função
da Pressão
Os primeiros resultados obtidos foram as medidas espectroscópicas de densidade de
potência luminosa emitida pelo plasma em função da pressão. Para obter estes resulta-
dos, o espectro de emissão do plasma foi medido pela janela lateral do reator, que fica
a 22 cm da flange onde se encontra a antena de RF, usando o espectrômetro óptico.
Para obter a densidade de potência emitida, o espectro medido foi integrado no inter-
valo de comprimento de onda observado. Com isso, observou-se um máximo bastante
pronunciado para pressões próximas de 5,0×10
−2
mbar, como mostra a figura 15.1.
Figura 15.1: Densidade de Potência Luminosa em Função da Pressão Para z = 22 cm
e Potência = 120 W.
142
Utilizando os procedimentos apresentados no capítulo 12, para potência de RF fixa em
P = 120 W, foi possível encontrar um máximo também na densidade eletrônica para
pressões em torno de 3,0×10
−2
mbar e z = 22 cm como mostra a figura 15.2.
Figura 15.2: Densidade e Temperatura de Elétrons em Função da Pressão Para z = 22
cm e Potência = 120 W.
A posição z = 22 cm foi escolhida por ser a posição em frente a janela de observação.
Com base nestes resultados é possível mostrar que o fluxo de partículas também atinge
um máximo para pressões em torno de 3,0×10
−2
mbar sendo que o fluxo Γ de partículas
pode ser encontrado utilizando a equação 15.1
Γ =
1
4
n < v >=
1
4
n
eT
e
M
i
(15.1)
sendo T
e
dado em elétron-volts.
Calculando a potência média absorvida pelo plasma chegamos a equação [48]
< P
abs
>=
n
e
e
2
E
2
0
2m
e
ν
c
ω
2
+ ν
2
c
(15.2)
onde ν
c
é a frequência de colisão entre os elétrons e as partículas neutras do gás e ω
e E
0
são a frequência angular e o módulo do campo elétrico da radiofrequência. Esta
equação nos diz que a máxima transferência de potência para o plasma ocorre quando
a frequência de colisão se iguala ao valor da frequência angular da fonte.
A densidade do plasma, obtida através de balanço de energia, pode ser expressa por [7]
143
Figura 15.3: Fluxo de Partículas em Função da Pressão Para z = 22 cm e Potência =
120 W.
n
0
=
P
abs
eu
B
A
eff
ǫ
T
(15.3)
onde A
eff
é a área efetiva de perda de elétrons por difusão, u
B
é a velocidade íon-
acústica e ǫ
T
é a perda total de energia por par elétron-íon perdido.
Desta equação podemos ver que a densidade do plasma n
0
é proporcional a potência
absorvida p elo plasma. Portanto, o pico no valor da densidade é devido a condição
ν
c
= ω estar sendo satisfeita. Este resultado mostra que para pressões em torno de p
= 3,0×10
−2
mbar está ocorrendo uma máxima transferência de energia, que está de
acordo com a literatura [7] que diz que, para argônio, a condição ν
c
= ω é satisfeita
para p = 25 mtorr, que corresponde à p = 3,28×10
−2
mbar, ou seja, bastante próximo
do valor experimental obtido.
15.2 Densidade e Temperatura Eletrônica em Função
da Posição Radial
Como foi observado, para pressões próximas de 3,0×10
−2
mbar a densidade eletr ônica
apresenta um máximo; por isso preferiu-se realizar as medidas neste valor de pressão.
As medidas radiais de densidade e temperatura eletrônica foram feitas mantendo a
144
potência de RF constante em P = 120 W e a sonda de Langmuir foi posicionada em
z = 22 cm e girada em passos de 45
◦
. Como a sonda está deslo cada 2 cm do eixo
central do cilíndro, o primeiro ponto experimental está na posição radial r = 1,58 cm,
o segundo ponto está na posição r = 2,83 cm, o terceiro ponto está em r = 3,70 cm e o
quarto ponto está em r = 4 cm. Realizando as medidas a partir de θ = 0
◦
(equivalente
a r = 0 cm) até 360
◦
e graficando os resultados obtemos o gráfico apresentado na figura
15.4.
Figura 15.4: Densidade e Temperatura de Elétrons em Função da Posição Radial para
z = 22 cm, Potência = 120 W e Pressão = 3,0×10
−2
mbar e Ajuste dos Pontos
Experimentais de Densidade por uma Função de Bessel de Ordem Zero (R
2
= 0,99117).
Podemos fazer uma análise simplificada da difusão dos elétrons utilizando a equação
de difusão para geometria cilíndrica e com simetria azimutal [49]
d
2
n
dr
2
+
1
r
dn
dr
+
d
2
n
dz
2
+
ν
iz
D
n = 0 (15.4)
onde D é o coeficiente de difusão e ν
iz
é a frequência de colisão para processos de
ionização. Desconsiderando variações axiais (d
2
n/dz
2
= 0), a equação 15.4 toma a
forma da equação de Bessel de ordem zero e, portanto, as soluções são da forma
n (r) = n
0
J
0
(βr) (15.5)
onde J
0
(βr) é a função de Bessel de primeiro tipo e ordem zero e
145
β =
ν
iz
D
1
2
=
j
0,1
b
(15.6)
sendo que j
0,1
é o primeiro zero da função de Bessel de ordem zero e b é o raio do
cilíndro. Para encontrar esta s olução foi aplicada a condição de contorno n(b) = 0,
pois as partículas carregadas são neutralizadas na parede do reator.
Ajustando a solução da equação de difusão ao p er fil radial de densidade, conforme indi-
cado pela linha cheia no figura 15.4, vemos que os resultados experimentais apresentam
boa concordância com o modelo difusivo simples, com coeficiente de difusão constante.
15.3 Densidade e Temperatura Eletrônica em Função
da Posição z
Uma vez que os resultados anteriores mostraram máximos na densidade eletrônica para
pressão p = 3,0×10
−2
mbar e para a posição radial r = 0 cm, as medidas de densidade e
temperatura eletrônica em função do eixo z foram realizadas nestas condições mantendo
a potência de RF fixa em P = 120 W. Os resultados das medidas podem ser vistos no
gráfico da figura 15.5.
Figura 15.5: Densidade e Temperatura de Elétrons em Função da Posição z para r =
0 cm, Potência = 120 W e Pressão = 3,0×10
−2
mbar.
Este resultado mostra que, à medida que deixamos a região das espiras da antena (lo-
146
calizadas em z
1
= 3 cm, z
2
= 6 cm e z
3
= 9 cm), a densidade decresce monotonicamente,
devido também a efeitos de difusão.
Fazendo uma interpolação dos dados da densidade em função da posição z e chamando-a
de n
0
(z), podemos traçar um perfil de densidade dentro do reator admitindo o resultado
15.5 da seção anterior. Assim a densidade dentro de reator pode ser dado por
n (r) = n
0
(z)J
0
(βr) (15.7)
e visualizado no gráfico da figura 15.6.
Figura 15.6: Densidade de Elétrons em Função da Posição Dentro de Reator.
15.4 Densidade e Temperatura Eletrônica em Função
da Potência de RF
Para encontrar a variação da densidade e da temperatura eletrônica do plasma em
função da potência de RF aplicada, a pressão foi mantida em p = 3,0×10
−2
mbar e a
sonda foi colocada em r = 0 cm e z = 22 cm. Os resultados foram graficados e podem
ser vistos no gráfico da figura 15.7.
147
Figura 15.7: Densidade e Temperatura de Elétrons em Função da Potência Para z =
22 cm, r = 0 cm e Pressão = 3, 0 × 10
−2
mbar.
Este é um resultado esperado uma vez que, como já foi dito, a densidade do plasma
pode ser calculada utilizando a equação 15.3. Sendo assim, é de se esperar que a
densidade do plasma n seja linearmente dependente com a potência.
15.5 Densidade e Energia Média dos Íons em Função
da Pressão
Utilizando o Copo de Faraday foi possível encontrar como a densidade e a tempera-
tura dos íons estão ligadas à pressão. Esta caracterização é de grande importância
para os processos a serem desenvolvidos neste equipamento, pois fornece valores que
influenciam diretamente nos processos de tratamento e limpeza superfíciais.
Para valores de pressão abaixo de p = 1, 0 ×10
−2
mbar, a energia média cresce rapida-
mente, saindo de aproximadamente E
i
= 25 eV para E
i
= 72,4 eV em p = 3, 7 ×10
−3
mbar. No entanto, para valores de pressão acima de p = 1, 0 × 10
−2
mbar, a energia
média decresce lentamente, saindo de aproximadamente E
i
= 25 eV para E
i
= 13 eV
em p = 2, 5 × 10
−1
mbar.
148
A densidade dos íons decresce lentamente com a pressão apresentando um mínimo em
seu valor em aproximadamente p = 8, 0 ×10
−3
mbar. Os resultados obtidos podem ser
vistos no gráfico da figura 15.8.
Figura 15.8: Densidade e Energia Média dos Íons em função da Pressão para z = 22
cm e potência P = 120 W.
15.6 Taxa de Sputtering em Filmes de Cromo
Para medir a taxa de sputtering pro duzida pelo plasma de argônio, seis filmes de
cromo depositados sobre silício foram expostos ao plasma. Os filmes de cromo foram
produzidos no Magnetron-Sputtering do CBPF e suas espessuras foram determinadas
por reflectometria de raios-X a baixo ângulo (seção 6.1). As variaçõ es na esp essura dos
filmes foram graficadas em função do tempo de exposição ao plasma. Os resultados
podem ser vistos na figura 15.9. Para realizar estas medidas, a potência de RF foi
mantida fixa em P = 120 W, a pressão de trabalho foi de p = 3, 0 × 10
−2
mbar, a
posição das amostras foi r = 0 cm e z = 22 cm. Com tempo de tratamento variando
de 30 à 180 minutos, a taxa de corrosão pode ser medida e seu valor é de 4,54 nm/h.
Esta taxa é razoavelmente baixa quando comparada com outros disp ositivos comerciais
que podem chegar a t axas de dezenas de nm/min e alguns até centenas de nm/min.
149
Figura 15.9: Evolução da espessura de filmes de Cromo sobre Silício expostos a um
Plasma de Argônio para potência de P = 120 W.
No entanto, os resultados foram obtidos com as amostras sem polarização. Com isso, o
potencial adquirido pela amostra, devido a polarização dinâmica, é o potencial V
bias
=
- 6.8 volts, que é negativo em relação ao potencial de plasma φ
p
, que vale aproximada-
mente 15 eV. É possível aumentar esta taxa polarizando a amostra mais negativamente
em relação a φ
p
.
15.7 Limpeza de Amostras
Para verificar o desempenho do equipamento em processos de limpeza de sup erfície,
utilizamos microscopia eletrônica de varredura associada com medidas de EDS. Os
resultados desta seção foram todos obtidos utilizando os equipamentos existentes no
Instituto Militar de Engenharia (IME).
Para a realização dos testes utililizamos três amostras de titânio obtidas comercial-
mente, limpas por ataque químico e embaladas em atmosfera inerte.
A primeira amostra analisada não sofreu nenhuma modificação sendo analisada ex-
atamente após sua retirada da embalagem comercial. Como uma primeira análise
150
qualitativa, podemos observar sua imagem obtida por MEV na figura 15.10, de onde
podemos perceber uma superfície bastante porosa e irregular devido ao ataque químico
realizado.
Figura 15.10: Microscopia Eletrônica de Varredura da Amostra Limpa.
A segunda e a terceira amostra foram manuseadas sem o mínimo de cuidado, utilizando
as próprias mãos para sujá-las intencionalmente e contaminá-las com gorduras, sais e
outros compostos existentes em nosso organismo. A imagem da segunda amostra pode
ser vista na figura 15.11.
Figura 15.11: Microscopia Eletrônica de Varredura da Amostra Suja em Duas Regiões
Diferentes a) e b).
Destas imagens podemos observar manchas mais escuras em a) e em b) indicando a
presença de contaminantes e, em b) podemos notar a presença de impurezas sólidas,
simulando um manuseio inadequado da amostra.
A terceira amostra, após passar pelo processo de contaminação, foi levada ao reator
para ser tratada utilizando um plasma constituído de 75 % argônio e 25 % oxigênio.
151
O tempo de duração do processo foi de duas horas utilizando potência fixa em P = 120
W e pressão de p = 3, 0 × 10
−2
mbar. A amostra foi posicionada em z = 20 cm para
garantir que não haveria contaminação da amostra por materi al er odido da antena de
RF. Após o teste as três amostras foram levadas ao IME para análise. A imagem por
MEV da terceira amostra pode ser vista na figura 15.12.
Figura 15.12: Microscopia Eletrônica de Varredura da Amostra Após a Limpeza a
Plasma.
Como pode ser visto, a amostra não apresenta, aparentemente, a presença de con-
taminantes. No entanto, esta é um afirmação qualitativa; para uma análise semi-
quantitativa foram feitos também os espectros de EDS das três amostras.
Observando o espectro da primeira amostra, apresentado na figura 15.13, podemos
notar que esta é composta apenas por titânio. O pequeno pico no início do espectro,
indicando a presença de carbono, deve ser desconsiderado por ser contaminação do
próprio detector do equipamento de EDS.
Analisando o espectro da segunda amostra, apresentado na figura 15.14, p odemos ob-
servar a presença de alguns contaminantes como potássio, sódio e cloro, presentes em
nosso organismo, e silício, devido o manuseio de substratos de silício antes de manusear
a amostra, além de um pico bastante pronunciado na posição referente ao carbono.
Portanto, deste espectro podemos notar a presença de contaminação devido a falta de
cuidados no manuseio da amostra.
Fazendo agora a análise do espectro obtido da amostra tratada a plasma, apresentado
na figura 15.15, percebemos que o tratamento de limpeza realizado retirou as impurezas
introduzidas, retornando a amostra ao estado original.
152
Figura 15.13: Espectro de EDS da Amostra Limpa.
É possível notar também, a presença de um pico na região do carbono. Esta pequena
quantidade pode ter sido introduzido na amostra após o tratamento; no trajeto até o
local onde foram feitas as análise e também no manuseio no momento de inserí-las no
MEV.
Além de constatar a limpeza da amostra após o t ratamento a plasma, foi possível
mostrar que não existe contaminação da amostra por material removido da antena de
RF, conforme mostrado pelo modelo teórico desenvolvido neste trabalho e experim en-
talmente por Yamashita [8].
Portanto, é possível afirmar, com base nos resultados obtidos neste capítulo, que o
equipamento desenvolvido neste trabalho atende às necessidades requeridas e pode ser
utilizado como ferramente de limpeza de amostras.
153
Figura 15.14: Espectro de EDS da Amostra Suja.
Figura 15.15: Espectro de EDS da Amostra Após a Limpeza a Plasma.
154
Capítulo 16
Maxwelliana versus Druyvesteyn
Como já mencionado, as diferentes espécies num plasma podem ser caracterizadas
por suas distintas temperaturas. As temperaturas tendem a se equilibrar à medida
que a interação entre os dois sistemas, isto é, elétrons e partículas pesadas, começa a
aumentar. Isto acontece se tanto a pressão quanto a densidade do plasma aumentam
conforme pode ser visto no gráfico da figura 16.1 [50].
Figura 16.1: Temperatura dos Elétrons e do Gás em Função da Pressão.
A baixas pressões, a temperatura dos elétrons é muito maior que a tempe ratura do gás,
T
e
>> T
g
. Com o aumento da pressão, a transferência de energia dos elétrons para as
partículas neutras torna-se mais eficiente, causando um aumento na temperatura do gás
e uma diminuição na temperatura dos elétrons. As temperaturas do gás e dos elétrons
convergem para valores similares para pressões a partir de 1 0 torr (aproximadamente
13 mbar). Portanto para pressões abaixo de 13 mbar o sistema está fora do equilíbrio
termodinânico [38,50].
155
É sabido que para pressões da ordem de p = 1,0×10
−1
mbar, descargas de RF são
mantidas por pro ce ssos colissionais. Nestes processos os elétrons ganham energia do
campo de RF e uma pequena fração dessa energia (2m
e
/M
i
) é transferida para as
partículas pesadas. Essa transferência de energia se dá por meio de colisõ es e, quão
maior o número de partículas, maior a eficiência na transferência.
Para pressões entre p = 3,0 e 5,0×10
−2
mbar, a potência absorvida pelo plasma torna-se
máxima (ω = ν
c
), e, em pressões inferiores a este valor, as colisões começa m a se tornar
cada vez mais raras e a descarga passa a ser sustentada por processos estocásticos, onde
a energia é ganha através da interação do elétron com o campo de RF. Este processo
ocorre predominantemente nas bainhas do plasma e pode transformar a função de
distribuição de energia dos elétrons numa bi-Maxwelliana ou numa bi-Druyvesteyn
(Plasma de duas temperaturas) [7].
À medida que baixamos a pressão, a partir de p = 1,0×10
−1
mbar, o máximo da
distribuição vai crescendo, assim como a densidade do plasma. No entanto, a forma
da função de distribuição praticamente não se altera, assim como sua temperatura, até
atingir seu máximo em p = 4,0×10
−2
mbar, como pode ser visto no gráfico da figura
16.2.
Figura 16.2: Funções de Distribuição de Energia dos elétrons em Função da Pressão
Para Pressões Dentro do Intervalo 4, 0 × 10
−2
- 1, 0 × 10
−1
mbar.
156
Observando agora o gráfico da figura 16.3, é possível notar que para pressõ es abaixo de
p = 4,0×10
−2
mbar a função de distribuição de energia começa a alargar e se deslocar
para a direção de mais altas energias, causando um aumento no valor da energia média
dos elétrons. Este aumento na energia média, e, consequentemente na temperatura dos
elétrons, pode ser visto no gráfico da figura 15.2.
Figura 16.3: Funções de Distribuição de Energia dos elétrons em Função da Pressão
Para Pressões Dentro do Intervalo 4, 5 × 10
−3
- 4, 0 × 10
−2
mbar.
Neste intervalo de pressão (4, 5 × 10
−3
- 4, 0 × 10
−2
mbar), o aquecimento do plasma
começa a se dar por processos estocásticos. Este tipo de processo pode causar o apare-
cimento de uma segunda população de elétrons com energias superiores às do plasma de
elétrons principal (localizados mais no interior da descarga). Como os campos elétricos
na bainha são muito mais intensos que os campos dentro do plasma, este fenômeno
ocorre predominantemente nas bainhas do plasma onde os elétrons, que chegam a essa
região, atingem a bainha que oscila com a frequência da RF e sofrem uma mudança na
velocidade, sendo então refletidos de volta ao interior do plasma. A bainha pode ser
vista na figura 16.4 [7].
Quando a bainha se desloca em direção ao plasma, os elétrons s ão refletidos e ganham
energia, quando a bainha se move em direção a parede do reator, os elét rons apenas
deixam de ganhar.
157
Figura 16.4: Desenho Esquemático das Densidades Íônicas e Eletrônicas na Bainha do
Plasma.
Em alguns trabalhos, a interação dos elétrons com a bainha oscilante é tratada como
a “colisão” destes com partículas extremamente massivas ou com uma parede oscilante
[51]. É possível mostrar que um elétron com velocidade incidente u, em direção à
parede oscilante, retorna com velocidade u
′
= u + 2v
0
após a interação, onde v
0
é a
velocidade da parede oscilante no momento da colisão.
Sendo assim, definindo o acréscimo de energia ganha pelo elétron na “colisão” como
∆E =
1
2
mu
′2
−
1
2
mu
2
(16.1)
e fazendo uma média sobre o período da oscilação, temos que
∆E = mω
2
δ
2
0
(16.2)
onde δ
0
é a espessura máxima da bainha e ω é a frequência da RF. Ou seja, existe
um ganho de energia positivo que provoca o aquecimento dos elétrons na bainha do
plasma. Portanto, passa a existir um segundo gás de elétrons com temperatura mais
elevada que o gás principal [7,38].
Para estudar melhor estes processos de aquecimento do plasma, utilizaremos três
funções de distribuição de energia. Uma função de distribuição à pressão de p =
1, 0 × 10
−1
mbar, onde o aquecimento se dá por processos colisionais, a segunda à
pressão de p = 4, 0 × 10
−2
mbar, onde ocorre a máxima transferência de potência ao
plasma (ainda em regime colisional), e a última função de distribuição à pressão de p
= 4, 5 × 10
−3
mbar, onde o aquecimento se dá por meio de proce ssos estocásticos.
Observando o gráfico da figura 16.5 percebemos que a função de d istribuição de energia
para a pressão de p = 1, 0 × 10
−1
mbar difere substancialmente de uma Maxwelliana,
158
Figura 16.5: Ajuste dos Pontos Experimentais por uma Maxwelliana (R
2
= 0,82838)
e por uma Druyvesteyn (R
2
= 0,99896) para p = 1, 0 × 10
−1
mbar.
ajustada pela equação
f
M
(W ) =
2 n
π
1
2
W
1
2
T
3
2
e
exp
−
W
T
e
(16.3)
onde os parâmetros densidade n e temperatura T
e
foram deixados livres. Todos os
ajustes foram feitos utilizando o método Levenberg-Marquardt [52] no programa Ori-
gin 7.5. No entanto, a curva pode ser muito bem ajustada por uma curva do tipo
Druyvesteyn, dada por
f
D
(W ) = 1, 04 n
W
1
2
W
3
2
av
exp
−
0, 55 W
2
W
2
av
(16.4)
onde os parâmetros livres são a densidade n e a energia média W
av
. Após o ajuste,
os valores encontrados para os parâmetros foram W
av
= 9,99 eV , que resulta numa
temperatura de T
e
= 6,67 eV , e n = 3,33×10
14
m
−3
. Estes resultados estão dentro dos
valores experimentais.
Examinando, agora, a função de distribuição de energia à pressão de p = 4, 0 × 10
−2
159
Figura 16.6: Ajuste dos Pontos Experimentais por uma Maxwelliana (R
2
= 0,87281)
e por uma Druyvesteyn (R
2
= 0,99916) para p = 4, 0 × 10
−2
mbar.
mbar, mostrada no gráfico da figura 16.6, é possível perceber que esta função de dis-
tribuição também difere consideravelmente de uma Maxwelliana. Entretanto, os pon-
tos experimentais ainda continuam sendo muito bem ajustados por uma c urva do tipo
Druyvesteyn.
Os valores dos parâmetros densidade n e energia média W
av
obtidos pelo ajuste foram
W
av
= 10,14 eV , que resulta numa temperatura de T
e
= 6,76 eV , e n = 3, 82 × 10
14
m
−3
e também estão dentro dos valores experimentais.
Para a pressão de p = 4, 5 × 10
−3
mbar, não é possível ajustar satisfatoriamente os
pontos experimentais por funções de distribuição de energia do tipo Maxwelliana nem
Druyvesteyn, como pode ser visto na figura 16.7. Isto indica que o regime de susten-
tação da descarga pode ter mudado de colisional para estocástico. Portanto, é possível
que existam dois grupos de elétrons com temperaturas distintas o que poderia estar
causando o alargamento da função de distribuição.
Para investigar a existência de processos estocásticos vamos examinar como a frequência
de colissão das partículas varia em função da pressão. Para pro cess os colisionais, a
frequência de colisão para transferência de momento ν
m
é dada por
160
Figura 16.7: Ajuste dos Pontos Experimentais por uma Maxwelliana (R
2
= 0,83570)
e por uma Druyvesteyn (R
2
= 0,99978) para p = 4, 5 × 10
−3
mbar.
ν
m
= n
g
σv (16.5)
onde a média σv é calculada sobre a função de distribuição para cada pressão, ou
seja,
ν
m
(p) =
n
g
(p)
n
e
2e
m
∞
0
σ (E) E
1
2
F
D
(E, p) dE (16.6)
a dependência de σ (E) com a energia foi obtida da referência [7].
Agora, vamos definir a frequência de “colisão” para processos estocásticos ν
stoch
como
sendo a taxa com que as partículas colidem com a bainha [51]. Se uma partícula possui
velocidade média ¯v, o tempo gasto por ela para atravessar o reator até colidir com a
bainha será dado por
∆t =
2 (b − δ
0
)
¯v
(16.7)
onde b é o raio do reator cilíndrico e δ
0
a espessura da bainha. Portanto, a frequência
161
de “colisão” para processos estocásticos ν
stoch
será dada por (∆t)
−1
, ou seja,
ν
stoch
=
¯v
2 (b − δ
0
)
(16.8)
onde a velocidade média ¯v pode ser encontrada para cada pressão através da equação
¯v (p) =
1
n
e
2e
m
∞
0
E
1
2
F
D
(E, p) dE (16.9)
Graficando juntas as frequências de colisão para transferência de momento ν
m
, es-
tocástica ν
stoch
e efetiva ν
eff
, definida como sendo ν
eff
= ν
m
+ ν
stoch
, percebemos que
processos estocásticos começam a se tornar significantes a baixas pressões.
Figura 16.8: Frequências de Colisão em Função da Pressão.
O gráfico da figura 16.8 não po de ser usado para análise quantitativa, pois não foi
levado em conta o efeito da pressão sobre a espessura da bainha. Ainda, o valor da
velocidade média foi calculado através da equação 16.9 utilizando apenas as funções
de distribuição em r = 0. No entanto, é possível perceber pelo gráfico da figura 15.4
que a temperatura, e consequentemente a velocidade média, aumentam à medida que
afastamos do eixo do cilíndro, ocasionando um aumento na velocidade média, assim
como na frequência de colisão estocástica ν
stoch
. Para encontrar ν
stoch
, foi utilizado um
162
valor estimado para a espessura da bainha δ
0
= 1 cm, que é o livre caminho médio
dos elétrons à pressão de p = 4,0×10
−2
mbar. No entanto, sabe-se que a espessura da
bainha cresce com a diminuição da pressão. Portanto, os valores graficados são usados
apenas para uma análise qualitativa, indicando que processos estocásticos passam a ser
importantes a baixas pressões.
Para estudar o aparecimento de uma segunda população de elétrons, foi feito um
ajuste na função de distribuição de energia utilizando uma distribuição do tipo bi-
Maxwelliana, como pode ser visto no gráfico da figura 16.9.
A curva bi-Maxwelliana é comp osta por duas Maxwellianas, nas quais os parâmtros
livres são as densidades dos dois gases de elétrons n
1
e n
2
e suas r espectivas tempe-
raturas T
e1
e T
e2
. Ao ajustar os pontos experimentais utilizando uma bi-Maxwelliana
percebemos que a curva não ajusta satisfatoriamente os pontos, portanto, outra dis-
tribuição deve ser utilizada.
Para ajustar uma função de distribuição de energia do tipo bi-Druyvesteyn, composta
por duas curvas do tipo Druyvesteyn, os parâmetros deixados variar livremente são as
densidades dos dois gases de elétrons n
1
e n
2
e suas respectivas energias médias W
av1
e W
av2
. A bi-Druyvesteyn ajusta muito bem os pontos experimentais e o ajuste pode
ser visto na figura 16.9.
Figura 16.9: Ajuste dos Pontos Exper imentais por uma bi-Maxwelliana (R
2
= 0.98537)
e por uma bi-Druyvesteyn (R
2
= 0,99977) para p = 4, 5 × 10
−3
mbar.
163
Para determinarmos as densidades e temperaturas dos dois gases de elétrons que com-
põe o plasma será utilizada a Função de Probabilidade de Druyvesteyn. Definindo a
Função de Probabilidade f
P
(W ) como sendo
f
P
(W ) =
f
D
(W )
W
1
2
(16.10)
encontramos que
f
P
(W ) =
1, 04 n
W
3
2
av
exp
−
0, 55 W
2
W
2
av
(16.11)
Aplicando o logaritmo natural à equação 16.11 chegamos a equação
ln [f
P
(W )] = ln
1, 04 n
W
3
2
av
−
0, 55
W
2
av
W
2
(16.12)
Portanto, ao graficar o logarítmo da função de probabilidade, devemos encontrar uma
parábola (Y = A − BX
2
).
Graficando a função de probabilidade para a pressão de p = 4, 5×10
−3
mbar, é possível
notar dois comportamentos parabólicos que podem ser vistos no gráfico da figura 16.10
Figura 16.10: Ajuste dos Pontos Experimentais por Parábolas Para Determinação da
Densidade e Temperatura dos Dois Gases de Elétrons Para p = 4, 5 × 10
−3
mbar (R
2
= 0,99982 e R
2
= 0,99972).
164
Ajustando duas parábolas nas duas regiões deste gráfico, chegamos a dois valores de
temperatura, uma mais elevada que será chamada de T
e−hot
e outra mais baixa que
será de chamada T
e−cold
. As respectivas densidades serão chamadas de n
e−hot
e n
e−cold
.
Com base nos valores de A e B dos ajustes é possível chegar aos valores das densidades
e temperaturas dos dois gases de elétrons que são n
e−cold
= 1,57×10
14
m
−3
e W
av−cold
=
13,5 eV , que fornece uma temperatura de T
e−cold
= 9,01 eV e, para a segunda parábola,
os valores obtidos pelo ajuste são n
e−hot
= 2,25×10
13
m
−3
e W
av−hot
= 32,3 eV , que
fornece uma temperatura de T
e−hot
= 21,5 eV .
Para investigar o comportamento dos íons, serão utilizados os resultados obtidos com
o Copo de Faraday. Com estes dados podemos graficar as funções de distribuição de
energia dos íons em função da pressão, que podem ser vistas no gráfico da figura 16.11.
Figura 16.11: Funções de Distribuição de Energia dos Íons em Função da Pressão Para
z = 22 cm e Potência = 120 W.
Com base na figura 16.11, é possível perceber um comportamento muito semelhante ao
dos elétrons, no sentido de haver um aumento na temperatura à medida que a pressão
diminui. No entanto, a temperatura dos íons continua caindo a medida que a pressão
cresce, como pode ser visto no gráfico da figura 16.12.
Como pode ser visto na figura 16.2 a temperatura dos elétrons permanece constante
à medida que a pressão aumenta. Este efeito pode ser explicado com base no fato de
que a troca de energia dos elétrons para as partículas do gás neutro, por colisão, pode
ser desprezada. É possível mostrar que a fração de energia per dida pelo elétron para a
165
Figura 16.12: Funções de Distribuição de Energia dos Íons em Função da Pressão Para
z = 22 cm e Potência = 120 W.
partícula do gás neutro δ
e
é dada por [9]
δ
e
=
2M
n
m
e
M
n
m
e
− 1
2
. (16.13)
Impondo a condição M
n
>> m
e
, a equação 16.13 torna-se
δ
e
= 2
m
e
M
n
(16.14)
e devido a enorme diferença entre as massa do elétron e da partícula neutra, a energia
perdida pelo elétron é desprezável. No entanto, para os íons a perda de energia δ
i
é
δ
i
=
2M
n
M
i
M
n
M
i
+ 1
2
(16.15)
e como M
i
≈ M
n
, temos que
δ
i
=
1
2
, (16.16)
ou seja, os íons perdem metade de sua energia, em cada colisão, para as partículas do
gás neutro, diminuíndo sua energia média e, portanto, sua temperatura.
166
Capítulo 17
Correções na Função de Distribuição
de Energia
Descargas de RF usando plasmas capacitivos ou indutivos tem sido amplamente explo-
rados em processos industriais e pesquisa na área de materiais. Estes plasmas geral-
mente operam fora da condição de equilíbrio termodinâmico na qual a distribuição de
Maxwell-Boltzmann e a equação de Saha falham em tentar descrever o esp ect ro óptico
de emissão destes plasmas.
Um dos métodos mais utilizados para realizar medidas e diagnóticos destes tipos de
plasmas é o método da segunda derivada de Druyvesteyn [28]. Este método, que já foi
descrito na seção 2.1, permite-nos obter diretamente a função de distribuição de energia,
mesmo para plasmas fora do equilíbrio termodinâmico. No entanto, dependendo da
pressão de trabalho, a corrente medida pela sonda passa a ser afetada pelos efeitos da
difusão dos elétrons no plasma. Reescrevendo os resultados obtidos na seção 2.4, temos
que a função de distribuição de energia corrigida F
0
(E) é dada por
F
0
(V ) =
2m
e
2
A
2eV
m
1
2
d
2
I
e
dV
2
+ ψ θ V
1
2
(17.1)
onde θ e ψ são dados por
θ (V ) =
∞
V
E
−3/2
F
0
(E) dE
1 +
ψ
2
1 −
V
E
3
(17.2)
e
167
ψ =
3
2
(a/λ
e
)
2
1 +
a
λ
e
. (17.3)
Para obtermos a função de distribuição de energia corrigida através da equação 17.1,
é necessário primeiro estabelecer a relação entre o caminho livre médio e a pressão de
trabalho para um dado gás (Argônio neste trabalho). Para um gás ideal a temperatura
ambiente podemos escrever que, n
g
= 2.42×10
22
P
0
, onde n
g
é a densidade de partículas
neutras em m
−3
e P
0
é a pressão de trabalho em mbar. O caminho livre médio pode
ser escrito como sendo [7]
λ
e
(p) =
1
n
g
σ (p)
(17.4)
onde σ (p) é o valor médio da secção de choque para espalhamento (elástico + inelás-
tico) por impacto eletrônico sobre alvos de argônio, que pode ser obtida das referên-
cias [7] e [53].
Para o intervalo de energia estudado neste trabalho (algumas dezenas de elétron-volts),
a secção de choque para espalhamento elástico é aproximadamente uma ordem de
grandeza superior a secção de choque para espalhamento inelástico, como pode ser
visto no gráfico da figura 17.1 [7].
Figura 17.1: Secções de Choque de Elétrons em Argônio Para Espalhamento Elástico,
Excitação e Ionização.
O valor da secção de choque σ (p) pode ser calculada, para cada pressão, através da
168
equação
σ (p) =
1
n
e
∞
0
σ (E) F (E, p) dE (17.5)
Utilizando as funções de distribuição de energia obtidas experimentalmente, para cada
pressão, e calculando o valor da secção de choque média σ (p), encontramos valores
que estão entre σ (p) = 1,09×10
−19
m
2
e σ (p) = 1,22×10
−19
m
2
. Sendo estes valores
obtidos para pressões entre p = 1,0×10
−1
mbar e p = 4,5×10
−3
mbar, respectivamente.
Com base nestes valores é possível graficar como varia o caminho livre médio em função
da pressão, assim como o parâmetro a/λ
e
, onde o raio da sonda vale a = 5,0×10
−4
m.
Estes resultados podem ser vistos no gráfico da figura 17.2.
Figura 17.2: Caminho Livre Médio λ
e
e Parâmetro Adimencional a/λ
e
em Função da
Pressão de Trabalho.
Para resolver as equações 17.3, 17.2 e 17.1, foi criado um programa em MATLAB
(Apêndice G). Este programa utiliza o mesmo método usado por Born para estudar
o espalhamento quântico de partículas por um potencial espalhador [54]. O método
consiste em subistituir a equação 17.1 na equação 17.2 e, assim sucessivamente, até
que a convergência seja atingida.
Para estudar os efeitos da difusão dos elétr ons através do plasma, foram feitas correções
até quinta ordem nas funções de distribuição de energia medidas para vários valores de
pressão. As correções realizadas na função de distribuição de energia, para pressão de
p = 3,0×10
−1
mbar, podem ser vistas no gráfico da figura 17.3.
169
Figura 17.3: Correções na Função de Distribuição de Energia até Quinta Ordem Para
Pressão p = 3,0×10
−1
mbar.
Após encontrar as correções até a quinta ordem, pelo mesmo método iterativo utilizado
por Born, podemos obter as funções de distribuição de energia corrigidas. Para isso
basta adicionar, à função obtida experimentalmente, as correções encontradas.
As funções de distribuição de energia corrigidas, até quinta ordem, medidas na pressão
p = 3,0×10
−1
mbar, podem ser visualizadas no gráfico da figura 17.4.
Figura 17.4: Funções de Distribuição de Energia Corrigidas até Quinta Ordem Para
Pressão p = 3,0×10
−1
mbar.
É possível encontrar, para cada função de distribuição corrigida, as novas densidade
e temperatura em cada iteração. Ao graficar estes resultados podemos ver que os
170
valores convergem, sendo que a densidade cresce com o número de iterações equanto a
temperatura decresce. Estes resultados podem ser vistos no gráfico da figura 17.5.
Figura 17.5: Valores Corrigidos de Densidade e Temperatura Eletrônica e m Função do
Número de Iterações Para Pressão p = 3,0×10
−1
mbar.
Com base neste gráfico, é possivel notar que o valor real da densidade é aproximada-
mente 12 % maior que o medido sem considerar o efeito de difusão, e que o valor real
da temperatura é aproximadamente 5 % menor que o obtido.
Devido aos efeitos de difusão, um número menor de partículas será coletada por unidade
de tempo, diminuindo o valor da corrente que, por sua vez, causa uma diminuição no
valor da densidade medida diretamente, o que não condiz com a realidade. O modelo
corrige o valor da densidade para um valor maior levando em conta estes efeitos.
Quanto ao decréscimo no valor da temperatura, o coeficiente de difusão livre D
c
=
1
3
λ
e
v
afeta, principalmente, elétrons de baixa energia, ou seja, quanto menor sua velocidade,
menor será sua difusão. Sendo assim, a sonda irá coletar um número menor de elétrons
de baixa energia ocasionando que, na média, serão coletados mais elétrons com energias
maiores do que os que possuem energias mais baixas. Portanto, a tem peratura medida
é maior que a temperatura real do sistema. O modelo corrige o valor da temperatura
para um valor menor levando estes efeitos em consideração.
Definindo as variações percentuais na densidade e na temperatura como
∆n
e
=
n
(5)
e
− n
(0)
e
n
(0)
e
(17.6)
171
e
∆T
e
=
T
(5)
e
− T
(0)
e
T
(0)
e
, (17.7)
respectivamente, e realizando correções até quinta ordem, podemos graficar os resul-
tados que levam em conta os efeitos da difusão. Os resultados podem ser vistos no
gráficos da figura 17.6.
Figura 17.6: Variação Percentual entre os Valores Medidos e Corrigidos, até Quinta
Ordem, da Densidade e Tempeartura Eletrônica em Função da Pressão.
Podemos ver que para pressões superiores a p = 1,0×10
−1
mbar, o efeito de difusão
começa a ser relevante de forma que o valor da densidade deve ser aumentado e o da
temperatura diminuido pelos percentuais dados na figura 17.6.
172
Capítulo 18
Equação de Saha Modificada
Sobre a análise espectroscópica feita neste trabalho, é importante dizer que o espectro
óptico de emissão de plasmas de argônio em baixa pressão é dominado por transições
ópticas do argônio neutro (ArI) [55], e que grande parte delas são transições do tipo
4p → 4s. O espectro óptico obtido, para uma pressão de p = 3, 0 × 10
−2
mbar, pode
ser visto no gráfico da figura 18.1.
Figura 18.1: Espectro Óptico de Emissão de um Plasma de Argônio à Pressão p =
3, 0 × 10
−2
mbar.
Algumas destas transições foram evitadas por serem níveis metaestáveis (3p
5
4s) [15],
ou seja, que não obedecem as equações de balanço radiativas. De fato, experimen-
tos mostraram que a contribuição de níveis metaestáveis excitados np
1
e np
5
, com
J = 0, podem ser desconsideradas [56]. Portanto iremos nos restringir ao conjunto de
linhas (750,4 nm, 751,5 nm, 425,9 nm e 451,1 nm), e em particular para as tran-
173
sições 3s
2
3p
5
4p(
2
P
1/2
) → 3s
2
3p
5
4s(
2
P
1/2
) correspondente ao argônio neutro ArI e
3s
2
3p
4
4p(
3
P ) → 3s
2
3p
4
3d(
3
P ), correspondente ao argônio uma vez ionizado ArII, tran-
sições estas que correspondem a comprimentos de onda de 750,38 nm e 738,04 nm,
respectivamente.
Para determinar a temperatura do plasma, vamos utilizar a equação de Saha, válida
para sistemas em equilíbrio termodinâmico, e para plasmas de duas temperaturas.
Utilizando a equação de Saha, dada por 5.96, e a equação 5.64, chegamos a equação
I
kl
I
mn
=
2 λ
3
mn
f
lk
λ
3
kl
f
nm
g
+
k
g
m
1
n
e
m
e
k
B
T
e
2πℏ
2
3
2
exp
−
(E
k
− E
m
+ χ
I
)
k
B
T
e
(18.1)
de onde podemos encontrar a temperatura do plasma através de método gráfico.
A partir das intensidades das linhas de dois estágios subsequentes de ionização, a
equação 18.1 pode ser resolvida graficamente [31], graficando o lado direito da equação
como função da temperatura T
e
. Entretanto, a densidade eletrônica deve ser intro-
duzida, podendo ser encontrada por alargamente Doppler e/ou Stark de uma transição
óptica [57] ou por sonda de Langmuir (que é o caso deste trabalho). Portanto, para
cada razão I
kl
/I
mn
uma correspondente temperatura T
e
irá satisfazer a equação 18.1
univocamente.
Substituindo o valor das constantes ópticas das linhas adotadas e da densidade eletrônica
para esta pressão (p = 3, 0 × 10
−2
mbar), podemos graficar o lado direito da equação
18.1 como função da temperatura T
e
s. As constantes ópticas foram obtidas na base de
dados do NIST e o gráfico pode ser visto na figura 18.2.
Figura 18.2: Método gráfico para encontrar a temperatura utilizando a Eq uação de
Saha.
174
Para as linhas selecionadas, 750,38 nm e 738,04 nm, a razão I
kl
/I
mn
assume o valor
I
kl
/I
mn
= 0,2121 e, portanto, pelo método gráfico, corresponde a um temperatura de
T
e
= 0,75 eV . Como pode ser visto, os valores obtidos atr avés da equação de Saha, em
sua forma usual, que não é válida para plasmas de baixa pressão, fornece resultados
claramente muito baixos para a temperatura eletrônica.
Observando as funções de distribuição de energia do capítulo 15, podemos ver que, para
as condições experimentais apresentadas neste trabalho, as funções de distribuição de
energia são melhor descritas por curvas do tipo Druyvesteyn, indicando que o plasma
está fora do equilíbrio termodinâmico.
Para estudar estes tipos de plasmas iremos usar os resultados obtidos na seção 4.4.6, na
qual foi obtida a equação de Saha modificada 5.95, válida nos casos onde a função de
distribuição de energia seja do tipo Druyvesteyn. Usando esta equação e substituindo
os mesmos valores para as constantes ópticas e da densidade eletrônica do plasma,
podemos graficar seu lado direito, da mesma forma que foi feita anteriormente. O
gráfico pode ser visto na figura 18.3.
Figura 18.3: Método gráfico para encontrar a temperatura utilizando a Equação de Saha
Generalizada.
Para a mesma razão entre as linhas I
kl
/I
mn
= 0,2121, a solução gráfica fornece uma
temperatura eletrônica T
e
= 5,7 eV , resultado bem mais próximo do valor esperado T
e
= 6,6 eV .
Apesar da discrepância, este pode ser considerado um resultado satisfatório uma vez
que a relação 5.64 foi obtida utilizando relações de equilíbrio. Para tentar melhorar o
modelo seria necessário obter uma relação equivalente para sistemas que sejam mais
bem descritos por funções de distribuição de energia do tipo Druyvesteyn.
175
Parte VI
Conclusões e Propostas para
Trabalhos Futuros
Conclusões
As principais conclusões obtidas neste trabalho foram as seguintes,
• Foi projetado e construído um dispositivo de limpeza a plasma utilizando uma
descarga de radiofrequência baseado num esquema não-convencional, com a antena de
RF colocada dentro da câmara de vácuo.
• Foi desenvolvido um modelo teórico para caracterizar o desempenho do sistema,
tanto quanto aos campos produzidos pela antena, como quanto à difusão de impurezas
dentro do plasma, devido a material erodido da antena.
• Foram utilizados três sistemas básicos de diagnóstico de plasma, ou seja, sonda
de Langmuir com filtragem de RF, espectroscopia óptica de emissão e analisador elet-
rostático de energia.
• Com estes sist emas o plasma foi devidamente caracterizado. Em particular, foram
determinados os perfis de densidade e temperatura eletrônica e iônica dentro do reator
para diferentes pressões de operação. Um resultado importante foi a demostração de
que, para pressões acima de p = 4, 0 × 10
−2
mbar, a função de distribuição eletrônica
é melhor descrita por uma funções de Druyvesteyn.
• Baseado neste resultado, foram desenvolvidos modelos teóricos para considerar
o efeito da difusão na determinação da função de distribuiçã o através da sonda de
Langmuir, e a generalização da equação de Saha para plasma bem descritos por funções
de distribuição de Druyvesteyn. Estes mo delos resultaram em trabalhos enviados para
publicação.
• Foi também estudada a transição entre regimes de aquecimento colisional e es-
tocástico no plasma produzido na descarga. Os resultados deste trabalho também
resultaram num trabalho enviado para publicação.
• O desempenho do disp ositivo na limpeza de amostras para duas condições relevan-
tes, remoção de filmes metálicos sobre substratos de silício e remoção de contaminantes
orgânicos sobre substrato de titânio, foram bastante satisfatórios e em concordância
com o esperado.
177
Propostas para Trabalhos Futuros
As propostas para trabalhos futuros são as seguintes,
• Controle de fluxo e pressão dos gases utilizados. Como o dispositivo não possui
controle de pressão seria interessante a instalação de um sistema de controle automático
de fluxo capaz de monitorar e manter a pressão constante durante todo o processo.
• Polarização do porta-amostras. Para aumentar a taxa de sputtering em processos
de corrosão pode-se aplicar um sinal de RF à amostras de modo a aumentar a taxa de
corrosão.
• Melhoria do sistema de bombeamento de vácuo. O dispositivo atualmente utiliza
uma bomba mecânica e uma bomba difusora, que podem contaminar o plasma se houver
retorno do óleo. Uma forma de melhorar o sistema seria trocar a bomba difusora por
uma bomba do tipo turbo m olecular para eliminar possíveis contaminações.
• Melhoria do sistema de radiofrequência. Seria interessante a implementação de
um sistema de casamento de impedâncias para melhorar o acoplamento Fonte-Linha
de Transmissão e Linha de Transmissão-Plasma bem como o desenvolvimento de filtros
na saída da fonte para eliminar os harmônicos produzidos pelo oscilador.
• Diagnóstico: Instalação de um sistema para melhorar as medidas de densidade.
Resultados obtidos por sonda de Langmuir podem ser afetados pela modificação da
espessura da bainha com a pressão. Para eliminar estes efeitos indesejáveis, pode-se
utilizar uma técnica denominada sonda de cutoff. Esta t écnic a utiliza dois eletrodos
paralelos posicionados bem próximos. Um deles atua como uma antena emissora e o
outro como receptor. À antena emissora é aplicado um sinal com frequência indo de
alguns gigahertz até dezenas de gigaherts. Existe uma frequência de corte na qual,
acima desta, a antena receptora passa a perceb er o sinal. Esta frequência, depende da
densidade do plasma, que pode então ser obtida sem sofrer influencia devido alterações
da bainha.
• Produção de Nitretos de Carbono. Na última década, nitretos de carbono (CN
x
)
têm atraído grande atenção na pesquisa de materiais avançados com novas propriedades
físicas e químicas. Em particular, a fabricação de nitreto de carbono cristalino C
3
N
4
é
ainda um objetivo difícil e, entre as várias tentativas feitas internacionalmente, apenas
poucas delas relataram formação de pequenas quantidades de cristalitos. Seria possível
utilizar o equipamento desenvolvido neste trabalho, para estudar a produção destas
estruturas, trocando os anéis de aço inox da antena de RF por anéis de grafite e
produzindo um plasma de nitrogênio.
178
Apêndice
Apêndice A - Distribuição de Druyvesteyn
Equação de Boltzmann
Quando plasmas encontran-se fora de equilíbrio termodinâmico, não podemos supor
a priori uma distribuição Maxwelliana de velocidades f (
→
r
,
→
v
, t) para cada um de seus
constituintes. No entanto, naturalmente a função de distribuição deve ser uma solução
da equação de Boltzmann [27],
∂
∂t
f (
→
r
,
→
v
, t)+
→
v
·
→
∇
f (
→
r
,
→
v
, t)+
→
a
·
→
∇
v
f (
→
r
,
→
v
, t) =
d
dt
f (
→
r
,
→
v
, t)
col
(18.2)
onde
→
a
é a aceleração devido às forças atuantes nos constituintes,
d
dt
f (
→
r
,
→
v
, t)
col
é o
termo de colisão e
→
∇
v
é dado por
→
∇
v
= v
x
∂
∂v
x
+ v
y
∂
∂v
y
+ v
z
∂
∂v
z
. (18.3)
É sabido que, em condições de equilíbrio termodinâmico, a solução desta equação é
uma Maxwelliana [27]. No entanto, fora do equilíbrio, a solução geral pode diferir sub-
stancialmente de uma Maxwelliana. A solução da equação de Boltzmann é, em geral,
bastante difícil uma vez que os campos e as colisões entre partículas, que aparecem na
equação de Boltzm ann para cada espécie, devem ser determinadas auto-consistentemente,
ou seja, o conjunto de equações integro-diferenciais não-lineares acopladas em 7 di-
mensões (x, y, z, v
x
, v
y
, v
z
, t) torna-se impraticável. Para obter resultados usando esta
equação várias aproximações podem ser feitas como linearização e aproximações de
ordem zero.
A partir de agora, vamos supor que a função de distribuição de partículas neutras é
isotrópica e homogênea e a força externa atuando sobre os elétrons será considerada
pequena, de modo que os elétrons não estarão muito longe do equilíbrio, e na direção
do eixo z. Consequentemente, a inomogeneidade espacial e a anisotropia da função
de distribuição fora do equilíbrio para os elétrons será pequena, já que o estado de
não-equilíbrio é uma ligeira perturbação do estado de equilíbrio.
Vamos denotar (v, θ, φ) as coordenadas esféricas no espaço das velocidades. Como a
anisotropia da função de distribuição fora do equilíbrio é pequena, a dependência de
f
e
(
→
r
,
→
v
, t) com θ e φ também é pequena. Portanto, é apropriado desenvolver f
e
(
→
r
,
→
v
, t)
numa série perturbativa, em termos das variáveis angulares do espaço das velocidades
θ e φ e reter apenas os primeiros termos não nulos do desenvolvimento. Como φ varia
180
entre 0 e 2π, podemos desenvolver f
e
(
→
r
,
→
v
, t) numa série de Fourier em φ. Por outro
lado, θ varia entre 0 e π e consequentemente cos(θ) entre −1 e +1, o que nos permite
desenvolver f
e
(
→
r
,
→
v
, t) em uma série de polinômios de Legendre em cos(θ). Desta forma,
podemos fazer o desenvolvimento em hamônicos esféricos da função de distribuição, ou
seja,
f
e
(
→
r
,
→
v
, t) =
∞
m=0
∞
n=0
P
m
n
[cos(θ)]
f
mn
(
→
r
, v, t) cos(mφ) + g
mn
(
→
r
, v, t) sen(mφ)
(18.4)
onde P
m
n
[cos(θ)] representam os polinômios associados de Legendre e as funções f
mn
e
g
mn
podem ser considerados como os coeficientes do desenvolvimento.
O primeiro termo do desenvolvimento acima corresponde a m = 0 e n = 0, e como
P
0
0
[cos(θ)] = 1, este é igual à f
00
(v, t). Este termo corresponde a função de distribuição
isotrópica do estado de equilíbrio para os elétrons. O termo correspondente a m = 1
e n = 0 anula-se uma vez que P
1
0
[cos(θ)] = 0. O próximo termo corresponde a m = 0
e n = 1, e como P
0
1
[cos(θ)] = cos(θ), este é dado por cos(θ) f
01
(
→
r
, v, t). Portanto,
retendo apenas os dois primeiros termos não nulos do desenvolvimento em hamônicos
esféricos chegamos à
f
e
(
→
r
,
→
v
, t) = f
00
(v, t) + cos(θ) f
01
(
→
r
, v, t) (18.5)
que também pode ser escrita como
f
e
(
→
r
,
→
v
, t) = f
00
(v, t) +
→
v
· v
z
v
f
01
(
→
r
, v, t) (18.6)
Termo de Colisão de Boltzmann
A integral de colisão de Boltzmann pode ser escrita, para uma colisão binária entre um
elétron e uma partícula neutra, como
df
e
dt
col
=
v
n
Ω
(f’
e
f’
n
− f
e
f
n
) g σ(Ω) dΩ d
3
v
n
(18.7)
sendo f
e
e f’
e
as funções de distribuição fora do equilíbrio antes e depois da colisão,
f
n
e f’
n
as funções de distribuição isotrópicas das partículas neutras antes e depois da
colisão, respectivamente, g
′
= g =
→
v
e
−
→
v
n
a velocidade relativa entre o elétron e a
partícula neutra, sendo g
′
= g devido não haver troca de energia, e σ(Ω) a secção de
choque diferencial.
181
Como primeira aproximação, vamos supor que as partículas neutras estão estacionárias
e que não são afetadas pelas colisões com os elétrons, uma vez que sua massa é muito
maior que a massa do elétron. Ou seja, vamos supor que
→
v
n
=
→
v
′
n
= 0 (18.8)
e
f
n
= f’
n
(18.9)
Fazendo isso, teremos que 18.7 torna-se
df
e
dt
col
=
v
n
f
n
d
3
v
n
Ω
(f’
e
− f
e
) g σ(Ω) dΩ . (18.10)
Como a densidade de partículas neutras é dada por
n
n
=
v
1
f
n
d
3
v
n
(18.11)
podemos reescrever 18.10 como
df
e
dt
col
= n
n
Ω
(f’
e
− f
e
) g σ(Ω) dΩ . (18.12)
Da equação 18.6 podemos dizer que a função de distribuição antes da colisão é dada
por
f
e
= f
e
(
→
r
,
→
v
, t) = f
00
(v, t) +
→
v
· v
z
v
f
01
(
→
r
, v, t) (18.13)
e após a colisão por
f’
e
= f’
e
(
→
r
,
→
v
′
, t) = f
00
(v, t) +
→
v
′
· v
z
v
f
01
(
→
r
, v, t) (18.14)
Nesta última equação foi considerado que v
′
= v, tendo em vista que os elétrons não
perdem energia nas colisões, já que as partículas neutras sã o muito mais massivas e
consideradas em repouso como primeira aproximação. Isto nos diz que
→
v
=
→
g
e
→
v
′
=
→
g
′
,
e já que g = g
′
temos que v = v
′
. No entanto, como
→
v
=
→
v
′
temos que
182
f’
e
− f
e
=
(
→
v
′
−
→
v
) · v
z
v
f
01
(
→
r
, v, t) (18.15)
Sem perda de generalidade, podemos escolher o eixo v
z
como sendo paralelo a veloci-
dade relativa inicial
→
g
do elétron. Portanto,
(
→
v
′
−
→
v
) · v
z
= (
→
g
′
−
→
g
) · v
z
= g [cos(θ) − 1] = v
z
[cos(θ) − 1] (18.16)
Substituindo este resultado em 18.15 chegamos à equação
f’
e
− f
e
= −[1 − cos(θ)] f
01
(
→
r
, v, t) (18.17)
Inserindo esta equação em 18.12 e lembrando que v
z
= v cos(θ), chegamos em
df
e
dt
col
= −n
n
v cos(θ) f
01
(
→
r
, v, t)
Ω
[1 − cos(θ)] σ(Ω) dΩ . (18.18)
Como a secção de choque de transferência de momento σ
m
para colisões entre elétrons
e partículas neutras é definida como
σ
m
=
Ω
[1 − cos(θ)] σ(Ω) dΩ (18.19)
e a frequência de colisão dependente da velocidade ν
m
(v) é definida como
ν
m
(v) = n
n
v σ
m
(18.20)
podemos, finalmente, escrever o termo de colisão de Boltzmann na forma
df
e
dt
col
= −ν
m
(v) cos(θ) f
01
(
→
r
, v, t) (18.21)
onde θ é o ângulo entre o vetor velocidade e a direção do eixo z.
Cinética Colisional
Escolhendo o eixo z como a direção de anisotropia e dizendo que a aceleração
→
a
é
devido a um campo elétrico
→
E
, a equação de Boltzmann torna-se
∂f
e
∂t
+ v
z
∂f
e
∂z
−
e
m
E
z
∂f
e
∂v
z
= −ν
m
(v) cos(θ) f
01
. (18.22)
183
Substituindo 18.5 em 18.22, usando as relações
v
z
= v cos(θ) (18.23)
e
∂
∂v
z
=
v
z
v
∂
∂v
, (18.24)
e fazendo algumas manipulações ficamos com
∂f
00
∂t
+ cos(θ)
∂f
01
∂t
+ v cos(θ)
∂f
00
∂z
+ v cos
2
(θ)
∂f
01
∂z
−
−
e
m
E
z
cos(θ)
∂f
00
∂v
z
−
e
m
E
z
f
01
v
+ v
∂
∂v
f
01
v
cos
2
(θ)
= −ν
m
(v) cos(θ) f
01
. (18.25)
Multiplicando a equação acima por sen(θ) e integrando de 0 a π obtemos
∂f
00
∂t
+
v
3
∂f
01
∂z
−
e
m
E
z
1
3v
2
∂
∂v
v
2
f
01
= 0. (18.26)
Esta equação fornece a variação temporal da parte isotrópica da distribuição, dada a
parte anisotrópica. Multiplicando a mesma equação, mas agora por sen(θ) cos(θ) e
integrando como antes obtemos
∂f
01
∂t
+ v
∂f
00
∂z
−
e
m
E
z
∂f
00
∂v
= −ν
m
(v)f
01
. (18.27)
Esta equação fornece a variação temporal da parte anisotrópica da distribuição, dada
a parte isotrópica. Supondo que a dependência temporal da função de distribuição
f
e
(
→
r
,
→
v
, t) seja igual à do campo elétrico e que f
00
é isotrópica, temos que a equação
18.27 torna-se
f
01
=
e
E
z
m [ν
m
(v) + iω]
∂f
00
∂v
(18.28)
onde f
01
= ℜ
f
01
e
iωt
.
O lado direito de 18.26 foi obtido nulo porque foi suposto que os elétrons colidem com
partículas neutras infinitamente massivas. No entanto, se as partículas neutras pos-
suírem uma distribuição Maxwelliana e não forem consideradas infinitamente massivas,
então um termo de colisão irá aparecer do lado direito de 18.26. Assim,
184
∂f
00
∂t
+
v
3
∂f
01
∂z
−
e
m
E
z
1
3v
2
∂
∂v
v
2
f
01
= C
e
(18.29)
sendo que para colisões elásticas entre elétrons e partículas neutras C
e
é dado por [7]
C
e
=
m
M
1
v
2
∂
∂v
v
3
ν
m
(v)
f
00
+
eT
g
mv
∂f
00
∂v
(18.30)
onde T
g
é a temperatura do gás de partículas neutras em elétron-volts. O primeiro
termo desta equação dá a perda de energia por espalhamento elástico enquanto o
segundo term os fornece a perda de energia por difusão devido a temperatura não nula
do gás neutro.
Supondo que a temperatura do gás neutro seja desprezável (T
g
<< T
e
), que a anisotropia
de f
01
na direção z seja pequena, e fazendo uma média sobre um período, temos que a
equação 18.29 toma a seguinte forma
−
1
2
ℜ
e
E
∗
3m
d
dv
v
2
f
01
=
m
M
d
dv
v
3
ν
m
(v)f
00
(18.31)
onde
E
∗
é o complexo conjugado de
E. Integrando esta equação encontramos que
ℜ
E
∗
f
01
= −
6m
2
eM
v ν
m
(v) f
00
(18.32)
Substituindo 18.28 na equação acima chegamos à
e
E
2
ν
m
2m(ω
2
+ ν
2
m
)
df
00
dv
= −
3m
2
eM
v ν
m
(v) f
00
(18.33)
Integrando esta equação temos que
f
00
= A exp
−
6m
3
e
2
E
2
M
v
0
v
′
ω
2
+ ν
2
m
(v
′
)
dv
′
(18.34)
e, considerando que ν
m
(v
′
) = n
n
v
′
σ
m
, finalmente chegamos a distribuição de Druyvesteyn
que é dada por
f
00
= A e
−Bv
2
−Cv
4
(18.35)
185
onde A é uma contante de normalização e B e C são dados por
B =
6m
3
ω
2
e
2
E
2
M
(18.36)
e
C =
6m
3
n
2
n
σ
2
m
e
2
E
2
M
. (18.37)
Podemos notar que para altas frequências, ou baixas pressões, de modo que ω >> ν
m
,
f
00
reduz para uma distribuição Maxwelliana. No entanto, para ω << ν
m
, f
00
fornece
f
00
= A e
−Cv
4
(18.38)
Normalização da Distribuição de Druyvesteyn
A função de distribuição de Druyvesteyn possui duas constantes a serem determinadas,
A e C. Estas constantes podem ser expressas em termos das propriedades físicas do
sistema, como temperatura cinética T e densidade de partículas n. Para relacionar os
observáveis n e T com as constantes A e C, vamos partir da definição da densidade de
partículas n, dada por
n =
f d
3
v (18.39)
Substituindo a equação 18.38 na equação anterior e admitindo que esta seja isotrópica,
podemos escrever
n = 4πA
∞
0
v
2
e
−Cv
4
dv (18.40)
Chamando C =
1
v
4
0
e definindo u =
v
4
v
4
0
podemos reescrever a equação acima como
n = π A v
3
0
∞
0
u
−
1
4
e
−u
du (18.41)
Usando a definição da função Gamma, dada por
Γ (z) =
∞
0
u
z−1
e
−u
du , (18.42)
186
encontramos que
A =
n
π v
3
0
Γ
3
4
(18.43)
Considerando agora a definição termodinâmica da temperatura cinética T dada por
3
2
nk
B
T =
1
2
n m
v
2
=
1
2
m
f v
2
d
3
v (18.44)
e substituindo 18.38 nesta equação, ficamos com
3nk
B
T = 4πAm
∞
0
v
4
e
−
v
4
v
4
0
dv (18.45)
Fazendo t =
v
4
v
4
0
, a equação acima torna-se
3nk
B
T = π m A v
5
0
∞
0
t
1
4
e
−t
dv = π m A v
5
0
Γ
5
4
, (18.46)
e usando a relação
Γ (z + 1) = z Γ (z) (18.47)
chegamos a
3nk
B
T =
√
2 π
2
m A v
5
0
4 Γ
3
4
(18.48)
Resolvendo as equações 18.43 e 18.48 para A e v
4
0
encontramos que
v
4
0
=
12
Γ
3
4
2
√
2 π m
2
(k
B
T )
2
(18.49)
e
A = n
π
1
3
√
2 m
12
Γ
3
4
8
3
3
2
1
(k
B
T )
3
2
(18.50)
Portanto, a função de distribuição de Druyvesteyn toma a seguinte forma
187
f
00
= n
π
1
3
√
2 m
12
Γ
3
4
8
3
3
2
1
(k
B
T )
3
2
exp
−
π
2
m
2
v
4
72
Γ
3
4
4
(k
B
T )
2
(18.51)
Definindo f
Druyvesteyn
= f
D
como
f
D
(E) dE = 4 π v
2
f
00
(v) dv (18.52)
e, fazendo E =
1
2
mv
2
e W
av
=
3
2
k
B
T ficamos com
f
D
= 4
√
2 n π
π
1
3
√
2
8
Γ
3
4
8
3
3
2
E
1
2
W
3
2
av
exp
−
π
2
E
2
8
Γ
3
4
4
W
2
av
(18.53)
Substituindo os valores das contantes chegamos, finalmente, a função de distribuição
de energia de Druyvesteyn que é dada por
f
D
(E) =
1, 04 n
W
−
3
2
av
E
1
2
exp
−
0, 55 E
2
W
2
av
(18.54)
188
Apêndice B - Montagem do Laboratório de A plicações
de Plasma do CBPF
Em fevereiro de 2008, iniciou-se a construção do Laboratório de Aplicações de Plasma
(LAP) do CBPF. Participei da construção do laboratório, ajudando no projeto ar-
quitetônico e de toda a parte elétrica necessária às p esquis as a serem realizadas neste
laboratório. Fiquei responsável pela compra de equipamentos, que foram adquiridos
com recursos da APL (Coordenação de Física Aplicada), e pela montagem de equipa-
mentos eletrônicos que, hoje, compõem o LAP.
Para não desperdiçar o equivalente a 200 litros de água por dia de trabalho para
refrigeração da bomba difusora, montei um sistema de água fechado para atender as
necessidades do Laboratório evitando maiores prejuízos ao CBPF. O grupo de plasma
conta também com o apoio do pesquisador Dr. Hugo M. R. de Luna, professor da
Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ). O laborat ório pode ser visto na figura
18.4.
Figura 18.4: Laboratório de Aplicações de Plasma (LAP).
189
Apêndice C - Programa para Gráficar Linhas de Campo
Magnético
function campomagnetico
fclose all; close all; clear all;
Mo = 4*pi*0.0000001;
I = 10;
a = 0.03;
b = 0.05;
h0 = 0.03;
h1 = 0.06;
h2 = 0.09;
H = 0.3;
c = 300000000;
w = 2*pi*13.56*1000000;
amn0 = [ ];
amn1 = [ ];
amn2 = [ ];
rAmn = [ ];
rAmn0 = [ ];
rAmn1 = [ ];
rAmn2 = [ ];
r = [ ];
z = [ ];
Nint = 100;
k = 120;
r = (-b:b/Nint:b);
z = (0:H/Nint:H);
ir = length(r);
iz = length(z);
%Site para cálculo dos zeros da função de Bessel:
%http://cose.math.bas.bg/webMathematica/webComputing/BesselZeros.jsp
zerosbessel = [3.831705, 7.015586, 10.173468, 13.323691, 16.470630, 19.615858, 22.760084,
25.903672, 29.046828, 32.189679, 35.332307, 38.474766, 41.617094, 44.759318, 47.901460,
51.043535, 54.185553, 57.327525, 60.469457, 63.611356, 66.753226, 69.895071, 73.036895,
190
76.178699, 79.320487, 82.462259, 85.604019, 88.745767, 91.887504, 95.029231, 98.170950,
101.31266, 104.45436, 107.59606, 110.73775, 113.87947, 117.02113, 120.16279, 123.30447,
126.44613, 129.58780, 132.72946, 135.87112, 139.01275, 142.15442, 145.29607, 148.43772,
151.57937, 154.72101, 157.86265, 161.00429, 164.14593, 167.28756, 170.42920, 173.57083,
176.71246, 179.85409, 182.99572, 186.13735, 189.27897, 192.42060, 195.56222, 198.70384,
201.84547, 204.98709, 208.12871, 211.27033, 214.41194, 217.55356, 220.69518, 223.83680,
226.97841, 230.12003, 233.26164, 236.40326, 239.54487, 242.68648, 245.82809, 248.96971,
252.11132, 255.25293, 258.39454, 261.53615, 264.67776, 267.81937, 270.96098, 274.10259,
277.24419, 280.38580, 283.52741, 286.66902, 289.81062, 292.95223, 296.09384, 299.23544,
302.37705, 305.51865, 308.66026, 311.80186, 314.94347, 318.08507, 321.22668, 324.36828,
327.50988, 330.65149, 333.79309, 336.93469, 340.07630, 343.21790, 346.35950, 349.50110,
352.64271, 355.78431, 358.92591, 362.06751, 365.20917, 368.35072, 371.49232, 374.63392,
377.77552];
for n = (1:k)
bes = 0;
bes = zerosbessel(n);
for m = (1:k)
amn0(m,n) = double((4*Mo*I*a*sin(m*pi*h0/H)*besselj(1,bes*a/b)) / (H*b2*(bes2/b2
+ (m*pi/H)2 - (w/c)2)*(besselj(2,bes))2));
amn1(m,n) = double((4*Mo*I*a*sin(m*pi*h1/H)*besselj(1,bes*a/b))/(H*b2*(bes2/b2
+ (m*pi/H)2 - (w/c)2)*(besselj(2,bes))2));
amn2(m,n) = double((4*Mo*I*a*sin(m*pi*h2/H)*besselj(1,bes*a/b))/(H*b2*(bes2/b2
+ (m*pi/H)2 - (w/c)2)*(besselj(2,bes))2));
end
end
for i = (1:ir)
for j = (1:iz)
rAmn(i,j) = 0;
rAmn0(i,j) = 0;
rAmn1(i,j) = 0;
rAmn2(i,j) = 0;
for m = (1:k)
for n = (1:k)
bes = 0;
bes = zerosbessel(n);
rAmn0(i,j) = double(rAmn0(i,j) + amn0(m,n).*abs(r(i)) .*besselj(1,(abs(r(i)).*bes/b))
.*sin((z(j).*m.*pi)./H));
191
rAmn1(i,j) = double(rAmn1(i,j) + amn1(m,n).*abs(r(i)) .*besselj(1,(abs(r(i)).*bes/b))
.*sin((z(j).*m.*pi)./H));
rAmn2(i,j) = double(rAmn2(i,j) + amn2(m,n).*abs(r(i)) .*besselj(1,(abs(r(i)).*bes/b))
.*sin((z(j).*m.*pi)./H));
end
end
rAmn(i,j) = double(rAmn0(i,j) + rAmn1(i,j) + rAmn2(i,j));
end
end
[x,y]=meshgrid(r,z);
[C,h]=contour(x,y,rAmn’,100);
end
192
Apêndice D - Programa para Graficar a Densidade de
Corrente Superficial
function densidadecorrente
fclose all; close all; clear all;
Mo = 4*pi*0.0000001;
I =10;
a = 0.03;
b = 0.05;
h0 = 0.03;
h1 = 0.06;
h2 = 0.09;
H = 0.3;
c = 300000000;
w = 2*pi*13.56*1000000;
Jz = 0;
amn0 = 0;
amn1 = 0;
amn2 = 0;
Jzmn0 = [ ];
Jzmn1 = [ ];
Jzmn2 = [ ];
Jzmn = [ ];
k = 120;
Nint = 100;
r = b;
z = 0:H/Nint:H;
%Site para cálculo dos zeros da função de Bessel:
%http://cose.math.bas.bg/webMathematica/webComputing/BesselZeros.jsp
zerosbessel = [3.831705, 7.015586, 10.173468, 13.323691, 16.470630, 19.615858, 22.760084,
25.903672, 29.046828, 32.189679, 35.332307, 38.474766, 41.617094, 44.759318, 47.901460,
51.043535, 54.185553, 57.327525, 60.469457, 63.611356, 66.753226, 69.895071, 73.036895,
76.178699, 79.320487, 82.462259, 85.604019, 88.745767, 91.887504, 95.029231, 98.170950,
101.31266, 104.45436, 107.59606, 110.73775, 113.87947, 117.02113, 120.16279, 123.30447,
126.44613, 129.58780, 132.72946, 135.87112, 139.01275, 142.15442, 145.29607, 148.43772,
193
151.57937, 154.72101, 157.86265, 161.00429, 164.14593, 167.28756, 170.42920, 173.57083,
176.71246, 179.85409, 182.99572, 186.13735, 189.27897, 192.42060, 195.56222, 198.70384,
201.84547, 204.98709, 208.12871, 211.27033, 214.41194, 217.55356, 220.69518, 223.83680,
226.97841, 230.12003, 233.26164, 236.40326, 239.54487, 242.68648, 245.82809, 248.96971,
252.11132, 255.25293, 258.39454, 261.53615, 264.67776, 267.81937, 270.96098, 274.10259,
277.24419, 280.38580, 283.52741, 286.66902, 289.81062, 292.95223, 296.09384, 299.23544,
302.37705, 305.51865, 308.66026, 311.80186, 314.94347, 318.08507, 321.22668, 324.36828,
327.50988, 330.65149, 333.79309, 336.93469, 340.07630, 343.21790, 346.35950, 349.50110,
352.64271, 355.78431, 358.92591, 362.06751, 365.20917, 368.35072, 371.49232, 374.63392,
377.77552];
for n = (1:k)
bes = 0;
bes = besselzero(n);
for m = (1:k)
amn0(m,n) = double((4*Mo*I*a*sin(m*pi*h0/H)*besselj(1,bes*a/b)) / (H*b
2
∗(bes
2
/b
2
+
(m ∗ pi/H)
2
− (w/c)
2
) ∗ (besselj(2, bes))
2
));
amn1(m, n) = double((4 ∗ Mo ∗I ∗ a ∗ sin(m ∗pi ∗h1/H) ∗besselj(1, bes ∗a/b))/(H ∗
b
2
∗ (bes
2
/b
2
+ (m ∗ pi/H)
2
− (w/c)
2
) ∗ (besselj(2, bes))
2
));
amn2(m, n) = double((4 ∗ Mo ∗I ∗ a ∗ sin(m ∗pi ∗h2/H) ∗besselj(1, bes ∗a/b))/(H ∗
b
2
∗ (bes
2
/b
2
+ (m ∗ pi/H)
2
− (w/c)
2
) ∗ (besselj(2, bes))
2
));
Jzmn0 = double(−(amn0(m, n) ∗ besselj(0, (abs(r)) ∗ bes/b) ∗ sin((z ∗ m ∗ pi)/H) ∗
bes)/(b ∗ Mo));
Jzmn1 = double(−(amn1(m, n) ∗ besselj(0, (abs(r)) ∗ bes/b) ∗ sin((z ∗ m ∗ pi)/H) ∗
bes)/(b ∗ Mo));
Jzmn2 = double(−(amn2(m, n) ∗ besselj(0, (abs(r)) ∗ bes/b) ∗ sin((z ∗ m ∗ pi)/H) ∗
bes)/(b ∗ Mo));
Jz = double(Jz + Jzmn0 + Jzmn1 + Jzmn2);
end
end
plot(z, Jz)
end
194
Apêndice E - Programa para Cálculo da Indutância
function indutancia
fclose all; close all; clear all;
Mo = 4*pi*0.0000001;
I = 10;
a = 0.03;
b = 0.05;
e = 0.03;
h0 = 0.03;
h1 = 0.03 + e;
h2 = 0.03 + 2*e;
H = 0.3;
c = 300000000;
w = 2*pi*13.56*1000000;
amn0 = [ ];
amn1 = [ ];
amn2 = [ ];
Brmn = [ ];
Brmn0 = [ ];
Brmn1 = [ ];
Brmn2 = [ ];
Bzmn = [ ];
Bzmn0 = [ ];
Bzmn1 = [ ];
Bzmn2 = [ ];
Indutancia1 = [ ];
Indutancia2 = [ ];
Indutancia3 = [ ];
r = [ ];
z = [ ];
k = 120;
Nint = 100;
r = (0:b/Nint:b);
z = (0:H/Nint:H);
ir = length(r);
iz = length(z);
195
%Site para cálculo dos zeros da função de Bessel:
%http://cose.math.bas.bg/webMathematica/webComputing/BesselZeros.jsp
zerosbessel = [3.831705, 7.015586, 10.173468, 13.323691, 16.470630, 19.615858, 22.760084,
25.903672, 29.046828, 32.189679, 35.332307, 38.474766, 41.617094, 44.759318, 47.901460,
51.043535, 54.185553, 57.327525, 60.469457, 63.611356, 66.753226, 69.895071, 73.036895,
76.178699, 79.320487, 82.462259, 85.604019, 88.745767, 91.887504, 95.029231, 98.170950,
101.31266, 104.45436, 107.59606, 110.73775, 113.87947, 117.02113, 120.16279, 123.30447,
126.44613, 129.58780, 132.72946, 135.87112, 139.01275, 142.15442, 145.29607, 148.43772,
151.57937, 154.72101, 157.86265, 161.00429, 164.14593, 167.28756, 170.42920, 173.57083,
176.71246, 179.85409, 182.99572, 186.13735, 189.27897, 192.42060, 195.56222, 198.70384,
201.84547, 204.98709, 208.12871, 211.27033, 214.41194, 217.55356, 220.69518, 223.83680,
226.97841, 230.12003, 233.26164, 236.40326, 239.54487, 242.68648, 245.82809, 248.96971,
252.11132, 255.25293, 258.39454, 261.53615, 264.67776, 267.81937, 270.96098, 274.10259,
277.24419, 280.38580, 283.52741, 286.66902, 289.81062, 292.95223, 296.09384, 299.23544,
302.37705, 305.51865, 308.66026, 311.80186, 314.94347, 318.08507, 321.22668, 324.36828,
327.50988, 330.65149, 333.79309, 336.93469, 340.07630, 343.21790, 346.35950, 349.50110,
352.64271, 355.78431, 358.92591, 362.06751, 365.20917, 368.35072, 371.49232, 374.63392,
377.77552];
for n = (1:k)
bes = 0;
bes = zerosbessel(n);
for m = (1:k)
amn0(m,n) = double((4*Mo*I*a*sin(m*pi*h0/H)*besselj(1,bes*a/b)) / (H*b
2
∗(bes
2
/b
2
+
(m ∗ pi/H)
2
− (w/c)
2
) ∗ (besselj(2, bes))
2
));
amn1(m, n) = double((4 ∗ Mo ∗I ∗ a ∗ sin(m ∗pi ∗h1/H) ∗besselj(1, bes ∗a/b))/(H ∗
b
2
∗ (bes
2
/b
2
+ (m ∗ pi/H)
2
− (w/c)
2
) ∗ (besselj(2, bes))
2
));
amn2(m, n) = double((4 ∗ Mo ∗I ∗ a ∗ sin(m ∗pi ∗h2/H) ∗besselj(1, bes ∗a/b))/(H ∗
b
2
∗ (bes
2
/b
2
+ (m ∗ pi/H)
2
− (w/c)
2
) ∗ (besselj(2, bes))
2
));
end
end
fori = (1 : ir)
forj = (1 : iz)
Brmn(i, j) = 0;
Brmn0(i, j) = 0;
Brmn1(i, j) = 0;
Brmn2(i, j) = 0;
196
Brmn2e(i, j) = 0;
Brmn3e(i, j) = 0;
Bzmn(i, j) = 0;
Bzmn0(i, j) = 0;
Bzmn1(i, j) = 0;
Bzmn2(i, j) = 0;
Bzmn2e(i, j) = 0;
Bzmn3e(i, j) = 0;
form = (1 : k)
forn = (1 : k)
bes = 0;
bes = zerosbessel(n);
Brmn0(i, j) = double(Brmn0(i, j) −pi ∗amn0(m, n).∗besselj(1, (abs(r(i)). ∗bes/b)). ∗
cos((z(j). ∗ m. ∗ pi)./H)/H);
Brmn1(i, j) = double(Brmn1(i, j) −pi ∗amn1(m, n).∗besselj(1, (abs(r(i)). ∗bes/b)). ∗
cos((z(j). ∗ m. ∗ pi)./H)/H);
Brmn2(i, j) = double(Brmn2(i, j) −pi ∗amn2(m, n).∗besselj(1, (abs(r(i)). ∗bes/b)). ∗
cos((z(j). ∗ m. ∗ pi)./H)/H);
Brmn2e(i, j) = double(Brmn0(i, j) + Brmn1(i, j));
Brmn3e(i, j) = double(Brmn0(i, j) + Brmn1(i, j) + Brmn2(i, j));
Bzmn0(i, j) = double(Bzmn0(i, j) + amn0(m, n). ∗ besselj(0, (abs(r(i)). ∗ bes/b)). ∗
sin((z(j). ∗ m. ∗ pi)./H) ∗ bes/b);
Bzmn1(i, j) = double(Bzmn1(i, j) + amn1(m, n). ∗ besselj(0, (abs(r(i)). ∗ bes/b)). ∗
sin((z(j). ∗ m. ∗ pi)./H) ∗ bes/b);
Bzmn2(i, j) = double(Bzmn2(i, j) + amn2(m, n). ∗ besselj(0, (abs(r(i)). ∗ bes/b)). ∗
sin((z(j). ∗ m. ∗ pi)./H) ∗ bes/b);
Bzmn2e(i, j) = double(Bzmn0(i, j) + Bzmn1(i, j));
Bzmn3e(i, j) = double(Bzmn0(i, j) + Bzmn1(i, j) + Bzmn2(i, j));
Indutancia1(i, j) = double((2 ∗ pi ∗ (Brmn0(i, j).
2
+ Bzmn0(i, j).
2
))/(Mo ∗ I
2
));
Indutancia2(i, j) = double((2 ∗ pi ∗ (Brmn2e(i, j).
2
+ Bzmn2e(i, j).
2
))/(Mo ∗ I
2
));
Indutancia3(i, j) = double((2 ∗ pi ∗ (Brmn3e(i, j).
2
+ Bzmn3e(i, j).
2
))/(Mo ∗ I
2
));
end
end
end
end
L1 = double(trapz(r, trapz(z, Indutancia1)));
L2 = double(trapz(r, trapz(z, Indutancia2)));
197
L3 = double(trapz(r, trapz(z, Indutancia3)));
L1
L2
L3
end
198
Apêndice F - Programa para Cálculo da Densidade e
Fluxo de Partículas
function Density_Flow
fclose all; close all; clear all;
a = 0.03;
b = 0.05;
h0 = 0.03;
h1 = 0.06;
h2 = 0.09;
H = 0.3;
D = 1E-4;
Fo = 1E12;
k = 180;
Nint = 100;
r = (-b:b/Nint:b);
z = (0:H/Nint:H);
ir = length(r);
iz = length(z);
%Site para cálculo dos zeros da função de Bessel:
%http://cose.math.bas.bg/webMathematica/webComputing/BesselZeros.jsp
zerosbessel = [2.404825557695773, 5.520078110286311, 8.653727912911011,
11.79153443901428, 14.93091770848779, 18.07106396791092, 21.21163662987926,
24.35247153074930, 27.49347913204025, 30.63460646843198, 33.77582021357357,
36.91709835366404, 40.05842576462824, 43.19979171317673, 46.34118837166181,
49.48260989739782, 52.62405184111500, 55.76551075501998, 58.90698392608094,
62.04846919022717, 65.18996480020686, 68.33146932985680, 71.47298160359373,
74.61450064370184, 77.75602563038806, 80.89755587113763, 84.03909077693819,
87.18062984364115, 90.32217263721048, 93.46371878194477, 96.60526795099627,
199
99.74681985868060, 102.8883742541948, 106.0299309164516, 109.1714896498054,
112.3130502804949, 115.4546126536669, 118.5961766308725, 121.7377420879510,
124.8793089132329, 128.0208770060083, 131.1624462752139, 134.3040166383055,
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1394.081829695198, 1397.223422147181, 1400.365014600068, 1403.506607053854,
1406.648199508532, 1409.789791964097, 1412.931384420543, 1416.072976877863,
1419.214569336052, 1422.356161795105, 1425.497754255015, 1428.639346715776,
1431.780939177384, 1434.922531639833, 1438.064124103116, 1441.205716567230,
1444.347309032167, 1447.488901497924, 1450.630493964494, 1453.772086431872,
1456.913678900053, 1460.055271369033, 1463.196863838805, 1466.338456309364,
1469.480048780707, 1472.621641252827, 1475.763233725719, 1478.904826199379,
1482.046418673802, 1485.188011148983, 1488.329603624917, 1491.471196101600,
1494.612788579026, 1497.754381057192, 1500.895973536091, 1504.037566015721,
1507.179158496075, 1510.320750977151, 1513.462343458942, 1516.603935941445,
1519.745528424656, 1522.887120908570, 1526.028713393182, 1529.170305878488,
1532.311898364485, 1535.453490851167, 1538.595083338531, 1541.736675826573,
1544.878268315287, 1548.019860804671, 1551.161453294720, 1554.303045785430,
203
1557.444638276797, 1560.586230768818, 1563.727823261487, 1566.869415754802,
1570.011008248758];
for n = (1:k)
bes = 0;
bes = zerosbessel(n);
for m = (1:k)
cmn0(m,n) = double((4*a*Fo*sin(m*pi*h0/H) *besselj(0,bes*a/b)) / (D*H*b
2
∗((bes/b)
2
+
(m ∗ pi/H)
2
) ∗ (besselj(1, bes))
2
));
cmn1(m,n) = double((4*a*Fo*sin(m*pi*h1/H) *besselj(0,bes*a/b)) / (D*H*b
2
∗((bes/b)
2
+
(m ∗ pi/H)
2
) ∗ (besselj(1, bes))
2
));
cmn2(m,n) = double((4*a*Fo*sin(m*pi*h2/H) *besselj(0,bes*a/b)) / (D*H*b
2
∗((bes/b)
2
+
(m ∗ pi/H)
2
) ∗ (besselj(1, bes))
2
));
end
end
for i = (1:ir)
for j = (1:iz)
Nmn(i,j) = 0;
Nmn0(i,j) = 0;
Nmn1(i,j) = 0;
Nmn2(i,j) = 0;
Fmn(i,j) = 0;
Fmn0(i,j) = 0;
Fmn1(i,j) = 0;
Fmn2(i,j) = 0;
for m = (1:k)
for n = (1:k)
bes = 0;
bes = zerosbessel(n);
Nmn0(i,j) = Nmn0(i,j) + double(cmn0(m,n) .*besselj(0,(abs(r(i)) .*bes/b))
.*cos((z(j).*m.*pi)./H));
204
Nmn1(i,j) = Nmn1(i,j) + double(cmn1(m,n) .*besselj(0,(abs(r(i)) .*bes/b))
.*cos((z(j).*m.*pi)./H));
Nmn2(i,j) = Nmn2(i,j) + double(cmn2(m,n) .*besselj(0,(abs(r(i)) .*bes/b))
.*cos((z(j).*m.*pi)./H));
Fmn0(i,j) = Fmn0(i,j) - double(D*pi*m*cmn0(m,n) .*besselj(0,(abs(r(i)) .*bes/b))
.*cos((z(j).*m.*pi)./H)/H);
Fmn1(i,j) = Fmn1(i,j) - double(D*pi*m*cmn1(m,n) .*besselj(0,(abs(r(i)) .*bes/b))
.*cos((z(j).*m.*pi)./H)/H);
Fmn2(i,j) = Fmn2(i,j) - double(D*pi*m*cmn2(m,n) .*besselj(0,(abs(r(i)) .*bes/b))
.*cos((z(j).*m.*pi)./H)/H);
end
end
Nmn(i,j) = double(Nmn0(i,j) + Nmn1(i,j) + Nmn2(i,j));
Fmn(i,j) = double(Fmn0(i,j) + Fmn1(i,j) + Fmn2(i,j));
end
end
N = max(Nmn);
Max = max(N);
[x,y] = meshgrid(r,z);
figure
surfl(x,y,Nmn’);
shading interp
colormap hsv
axis([-0.05 0.05 0 0.3 0 Max])
F = max(Fmn); Maxf = max(F);
[x,y] = meshgrid(r,z);
figure
surfl(x,y,Fmn’);
shading interp
colormap hsv
205
axis([-0.05 0.05 0 0.3 0 Maxf])
end
206
Apêndice G - Programa para Correção na Função de
Distribuição
function correcaoFD
fclose all; close all; clear all;
% Importando conjunto de dados
[fname pname] = uigetfile(’*.txt’);
if ischar(fname), return, end
path = [pname fname];
global current VV;
global me
current = fname;
% Definicoes de variaveis e constantes
m = dlmread(path,’
⁀
’);
n = length(m);
a=0.5e-3;
Area = 3.77e-6;
mele=9.11E-31;
e=1.6E-19;
Pressao=1E-1;
lambda = 3.44E-4./(Pressao*1.33);
Psi =(1.5*(a/lambda)
2
)/(1 + (a/lambda));
Mion = 0.04/6.02E23;
ngas = 2.42E22 ∗ P ressao ∗ 1.33;
SQ = 1E −19;
% Dependência com a energia abaixo os coef do polinomio
Apoly = -6.54592E-21;
B1poly = 2.40409E-20;
B2poly = -1.45711E-21;
B3poly = 4.10632E-23;
B4poly = -6.04096E-25;
B5poly =4.45804E-27;
B6poly = -1.2997E-29;
i = (1:n)’;
207
me = [i, m(:, 1), m(:, 2)] ;
j=length(me);
V = me(1:j,2);
d2I = me(1:j,3);
% Spline de dados e funcoes
cte=(sqrt((8*mele)/e
3
)/Area);
F Do = cte ∗ sqrt(V ). ∗ d2I;
V V = 0 : 0.2 : 36;
% Secao de choque 0.2 a 100ev
for jj=1:1:181
Vsq=VV(jj);
SQ(jj)= Apoly + B1poly*Vsq+ B2poly*(Vsq
2
) + B3poly ∗(V sq
3
) + B4poly ∗(V sq
4
) +
B5poly ∗ (V sq
5
) + B6poly ∗ (V sq
6
);
end
figure
plot(V V, SQ);
%SsplinedoF D0
F DoSP LINE = spline(V, F Do, V V );
SQRT = sqrt(V V );
F DoS = real(F DoSP LINE);
F DoS
i
nte = F DoS;
% Parametros para ion, freq difusao etc
noe = csapi(VV,FDoS);
neletron = real(diff(fnval(fnint(noe),[0,35])));
FTo = VV.*FDoS;
To = csapi(VV,FTo);
temperatura = (2/3)*real(diff(fnval(fnint(To),[0,35])))/neletron;
secaochoque = SQRT.*FDoS
i
nte. ∗ SQ;
it = csapi(V V, secaochoque);
integral = real(diff(fnval(fnint(it), [0, 35])));
freqion = (ngas/neletron) ∗ sqrt((2 ∗ e)/mele) ∗ integral;
Di = (e ∗ temperatura)/(Mion ∗freqion);
% Inicio do calculo das interacoes 1 run
for i=1:1:181
208
Vo1 = VV(i);
arg=(1+0.5.*Psi.*(1-Vo1./VV)).
(
3);
IntT heta1 = F DoS
i
nte./(SQRT. ∗ SQRT. ∗ SQRT. ∗ arg);
cs = csape(V V, IntT heta1);
% Iintegral
Theta1(i) = diff(fnval(fnint(cs),[Vo1,35]));
end
ThetaS=smooth(VV,Theta1,0.1,’rloess’);
ThetaT=ThetaS’;
Correcao1 =(Psi.*SQRT.*ThetaT);
FD1 = FDoS + Correcao1;
% Inicio do calculo das interacoes 2 run
for i=1:1:181
Vo2 = VV(i);
arg=(1+0.5.*Psi.*(1-Vo2./VV)).
(
3);
IntT heta2 = F D1./(V o2. ∗ arg);
cs = csape(V V, IntT heta2);
% Integral
Theta2(i) = diff(fnval(fnint(cs),[Vo1,35]));
end
ThetaS2=smooth(VV,Theta2,0.1,’rloess’);
ThetaT2=ThetaS2’;
Correcao2 =(Psi.*SQRT.*ThetaT2);
FD2 = FDoS+ Correcao2;
% Inicio do calculo das interacoes 3 run
for i=1:1:181
Vo3 = VV(i);
arg=(1+0.5.*Psi.*(1-Vo3./VV)).
(
3);
IntT heta3 = F D2./(V o3. ∗ arg);
cs = csape(V V, IntT heta3);
209
% Integral
Theta3(i) = diff(fnval(fnint(cs),[Vo1,35]));
end
ThetaS3=smooth(VV,Theta3,0.1,’rloess’);
ThetaT3=ThetaS3’;
Correcao3 =(Psi.*SQRT.*ThetaT3);
FD3 = FDoS + Correcao3;
% Inicio do calculo das interacoes 4 run
for i=1:1:181
Vo4 = VV(i);
arg=(1+0.5.*Psi.*(1-Vo4./VV)).
(
3);
IntT heta4 = F D3./(V o4. ∗ arg);
cs = csape(V V, IntT heta4);
%integral
Theta4(i) = diff(fnval(fnint(cs),[Vo1,35]));
end
ThetaS4=smooth(VV,Theta4,0.1,’rloess’);
ThetaT4=ThetaS4’;
Correcao4 =(Psi.*SQRT.*ThetaT4);
FD4 = FDoS + Correcao4;
% Inicio do calculo das interacoes 5 run
for i=1:1:181
Vo5 = VV(i);
arg=(1+0.5.*Psi.*(1-Vo5./VV)).
(
3);
IntT heta5 = F D4./(V o5. ∗ arg);
cs = csape(V V, IntT heta5);
% Integral
Theta5(i) = diff(fnval(fnint(cs),[Vo1,35]));
end
ThetaS5=smooth(VV,Theta5,0.1,’rloess’);
210
ThetaT5=ThetaS5’;
Correcao5 =(Psi.*SQRT.*ThetaT5);
FD5 = FDoS + Correcao5;
no = csapi(VV,FDoS);
neo = real(diff(fnval(fnint(no),[0,35])));
nocorr = csapi(VV,FD4);
necorr = real(diff(fnval(fnint(nocorr),[0,35])));
FTo = VV.*FDoS;
To = csapi(VV,FTo);
InTo = real(diff(fnval(fnint(To),[0,35])))/neo;
FTcorr = VV.*FD5;
Tcorr = csapi(VV,FTcorr);
InTcorr = real(diff(fnval(fnint(Tc orr),[0,35])))/necorr;
figure
plot(VV,FD1, ’+’, VV, FD2, ’-’, VV, FD3, ’o’, VV, FD4, ’x’, VV, FD5, ’*’, VV, FDoS,
’*’), set(gca, ’Fontsize’, 12)
ylabel(’distributicao de E livre’)
xlabel(’E(eV)’)
figure
plot(VV,Correcao1,’+’,VV,Correcao2,’-’,VV,Correcao3,’o’,VV,Correcao4,’x’,VV,Correcao5,’*’),
set(gca,’Fontsize’,12)
ylabel(’distributicao de E livre’)
xlabel(’E(eV)’)
% Abre arquivo de saida de dados para as distribuicoes de Energia
de = date;
dd = ’_distr
3
inter_
′
;
dat =
′
.txt
′
;
pr = num2str(P ressao);
temporario2 = strcat(de, dd, pr, dat);
resultsF ile = temporario2;
fid2 = f open(resultsF ile,
′
at+
′
);
forl = 1 : 1 : 181
V saida = V V (l);
F Dsaida1 = F D1(l);
F Dsaida2 = F D2(l);
211
F Dsaida3 = F D3(l);
F DoSsaida = F DoS(l);
corrsaida1 = Correcao1(l);
corrsaida2 = Correcao2(l);
corrsaida3 = Correcao3(l);
fprintf( fid2, ‘ %g %g %g %g %g n ’, Vsaida, corrsaida1, corrsaida2, corrsaida3, FD-
saida1, FDsaida2, FDsaida3, FDoSsaida);
end
fclose(fid2);
sprintf(‘ %g %g %g ’, neo, necorr)
sprintf(‘ %g %g ’, Area, cte)
end
212
Apêndice H - Válvula 304TL
217
Apêndice I - Circuito Elétrico da Fonte de RF
Neste apêndice serão listados os componentes elétricos utilizados para a construção da
fonte de RF. O projeto pode ser visto na figura 18.5.
Figura 18.5: Projeto Elétrico da Fonte de RF.
Lista de Componentes:
VM1 - Voltímetro.
AM1 - Amperímetro.
Transformador Trifásico 220 V : 2,6 kV e potência máxima de 1 kW.
Variac Trifásico com tensão máxima de saída de 240 V e corrente de 10 A.
2 Fontes AC de 5 Volts, com capacidade de 25 Ampères, para Alim entação dos Fila-
mentos das Válvulas.
R1 e R2 - Resistor de Fio de 2,5 kΩ/200 W (Enrolado de tal forma que Anule sua
Indutância).
L1 e L2 - Indutores de 10 µH.
218
L3 - Indutor de 100 µH.
C1 e C2 - Capacitor de Cerâmica de 56 pF/3 kV.
C3 e C4 - Capacitores Variáveis de 10 à 250 pF/1 kV, Ligados em configuração Tandem.
C5, C6 e C7 - Capacitor de Cerâmica de 100 nF/400 V.
C8 - 8 Capacitores Eletrolíticos de 4 µF.
C9 e C10 - Capacitores de Desacoplamento de 47 nF/ 600 V.
V1 e V2 - Válvula 304TL.
D1 até D6 - Cada diodo no projeto da figura 18.5 corresponde a seis diodos tipo N
modelo 6FR100 ligados em série.
Cada diodo possui um circuito snubber, ligado em paralelo, composto de um resistor
R
s
= 40 Ω ligado em série com um capacitor C
s
= 47 nF. E ligado em paralelo com
este circuito, existe um resistor R
S
= 1 MΩ, como pode ser visto no diagrama da figura
18.6.
Figura 18.6: Circuito Snubber.
219
Apêndice J - Operação do Equipamento
Neste apêndice serão apresentados os procedimentos que devem ser adotados para por
o equipamento em funcionameto. Existe uma sequência de pass os a serem seguidos
que prezam pela segurança do equipamento como também da am ostra a ser tratado.
A sequência dos passos será listada na ordem em que cada passo deve ser realizado.
Ligando o Equipamento
1. Fechar válvula de purga e verificar se a válvula borboleta está fechada.
2. Ligar a bomba de vácuo mecânica.
3. Girar válvula de bombeamento para o lado esquerdo (Bombeamento do interior da
difusora).
4. Colocar nitrogênio líquido no trap para evitar retorno de óleo.
5. Ligar medidor de pressão e esperar que o sistema atinja p = 1, 0 ×10
−2
mbar dentro
da difusora (aproximadamente 10 minutos).
6. Ao atingir a pressão, girar a válvula de bombeamento para o lado direito (Bombea-
mento do reator de forma direta).
7. Após a pressão do reator atingir p = 5, 0×10
−2
mbar (aproximadamente 5 minutos),
retornar a válvula de bombeamento para o lado esquerdo.
8. Feito isso, abrir válvula borboleta e sistema de água para refrigeração da difusora.
9. Ligar bomba difusora e chave geral da fonte para aquecimento das válvulas com
variac na posição mínima.
10. Esperar o sistema atingir a pressão de base de p = 5, 0 ×10
−7
mbar (aproximada-
mente 40 minutos).
11. Ao atingir a pressão de base, preencher o sistema com gás até chegar na pressão
de p = 1, 0 × 10
−4
mbar.
12. Posicionar a válvula borboleta de modo que se possa elevar a pressão sem prejudicar
o funcionamento da bomba difusora e de modo que a pressão de base fique sempre da
ordem de p = 1, 0 × 10
−4
mbar.
13. Elevar a pressão para p = 3, 0 × 10
−2
mbar.
14. Elevar a potência de RF para P = 120 W. Neste momento o plasma deverá aparecer.
15. O sistema está pronto para utilização (aproximadamente 1 hora e 20 minutos).
220
Desligando o Equipamento
1. Diminuir a potência de RF até o mínimo do variac e desligar a fonte na chave geral.
2. Fechar entrada de gases.
3. Abrir válvula borboleta.
4. Desligar bomba difusora.
5. Esperar até o sistema atingir p = 5, 0 ×10
−3
mbar (aproximadamente 25 minutos).
6. Fechar Valvula borboleta.
7. Posicionar válvula de bombeamento na posição vertical.
8. Desligar bomba de vácuo mecânica ao mesmo tempo que abre vá lvula de purga.
9. Desligar medidor de pressão.
10. O sistema foi desligado corretamente (aproximadamente 35 minutos).
221
Apêndice H - Artigo Publicado
IOP PUBLISHING JOURNAL OF PHYSICS D: APPLIED PHYSICS
J. Phys. D: Appl. Phys. 42 (2009) 135202 (6pp) doi:10.1088/0022-3727/42/13/135202
An approach to a non-LTE Saha equation
based on the Druyvesteyn energy
distribution function: a comparison
between the electron temperature
obtained from OES and the Langmuir
probe analysis
G P Canal
1
, H Luna
2
,RMOGalv
˜
ao
1
and R Castell
3
1
Centro Brasileiro de Pesquisas F
´
isicas, Laborat
´
orio de Plasmas Aplicados, Rua Xavier Sigaud 150,
22290-180, Rio de Janeiro, Brazil
2
Instituto de F
´
ısica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Cx. Postal 68528, Rio de Janeiro,
RJ 21941-972, Brazil
3
Laboratorio de Espectroscop
´
ia L
´
aser y Plasma, Universidad Sim
´
on Bol
´
ivar, Caracas 1080, Venezuela
Received 20 March 2009, in final form 24 April 2009
Published 11 June 2009
Online at
stacks.iop.org/JPhysD/42/135202
Abstract
Plasma diagnostics using the optical emission spectroscopy (OES) technique is often based on
the assumption of Maxwellian distribution functions. Whenever the equilibrium condition is
not fulfilled, the electron energy distribution function (EEDF) is no longer Maxwellian and
there appear discrepancies between the electron temperature obtained via the spectral line ratio
(e.g. Saha equation) and the effective temperature obtained from the EEDF, measured by a
Langmuir probe. In this work we derive a modified version of the Saha equation by assuming
a Druyvesteyn energy distribution function for the electrons. We apply the modified Saha
equation to a low pressure argon plasma produced in an inductive RF discharge to obtain the
electron temperature. We show that the modified version introduces substantial corrections in
the measured values of the electron temperature given by OES, which approach those given by
the second derivative method of Langmuir probe analysis.
(Some figures in this article are in colour only in the electronic version)
1. Introduction
Optical emission spectroscopy (OES) is a powerful in situ
tool, for non-intrusive plasma diagnostic, and is receiving
growing interest in a wide range of applications where plasma
sources are employed. There are two important configurations
often used for material processing: (a) Laser ablation, when
a high-energy laser pulse is strongly focused onto a target to
generate a plasma plume that expands freely in vacuum, or
into an inert or reactive gas atmosphere, and subsequently
reaches a substrate to form a thin film on it. (b) Plasma
sputtering, when a dc or ac discharge is used to generate a
plasma from a buffer gas (usually an inert gas) that erodes
a target. Hence, the species (atoms, molecules, electrons,
ions, clusters, etc.) removed in this interaction are eventually
deposited onto a substrate to form the film. In both cases
the plasma parameters, such as electron temperature, density,
electron and ion energy distribution functions (EEDF and
IEDF) and metastable population, can play an important role
in the control of the deposition conditions [1].
Interpretation of the optical spectrum from the plasma is
often based on equilibrium relations. Basically one needs to
infer from the emitted spectrum the densities in the various
quantum states of atoms and ions and the electron density. If
0022-3727/09/135202+06$30.00 1 © 2009 IOP Publishing Ltd Printed in the UK
J. Phys. D: Appl. Phys. 42 (2009) 135202 G P Canal et al
some of the radiation is reabsorbed in the plasma or reflected
at its boundary, one must solve radiative transfer equations. In
the absence of the self-absorption term in the rate equations, the
analysis becomes considerably simplified. This is often the
case for the optical emission from laboratory plasmas with
low to moderate temperatures, except in the case of resonant
transitions. In the case of local thermodynamic equilibrium
(LTE) [2], the density of specific quantum states can be
determined for a system that has the same total mass density,
temperature and chemical composition as the actual system.
The relevant temperature corresponds to the distribution
function of the species dominating the reaction rates. In that
case electrons and ions will both have nearly Maxwellian
velocity distributions, even if the two kinetic temperatures
may be quite different. From the Saha equation, a relation
between the total densities of two subsequent ionization stages
can be derived. When the equilibrium condition is not
fulfilled, the ion and electron velocity distributions are no
longer Maxwellian and a modified version of the Saha equation
has to be implemented.
The Saha equations can be solved either by a kinetics
theory method [3] or from the thermodynamics for equilibrium
systems [4, 5]. When equilibrium thermodynamics is used,
two different results are obtained for a two temperature plasma.
Morro and Romero [4] proposed a modified Saha equation that
depends on the electron and the ion temperatures [6, 7]. Later,
Van de Sanden et al [5] and Chen and Han [8] showed that
the modified Saha equation obtained by Morro is not valid for
a two temperature plasma, because its derivation is based on
equilibrium assumptions (from the minimization of the Gibbs
free energy). On the other hand, the equation obtained by Chen
for a two temperature plasma has the same mathematical form
of the standard Saha equation, only changing T by T
e
.
In this work we derive a modified version of the Saha
equation from the kinetic solution by assuming a Druyvesteyn
velocity distribution function for the electron and the ion
species. We apply the modified Saha equation to a low pressure
argon plasma produced by an inductive RF discharge to obtain
electron temperatures, which are consistent with the result
obtained with an electrostatic Langmuir probe. The obtained
temperatures are almost an order of magnitude higher than
those predicted by the standard Saha equation.
2. Experimental apparatus
The experimental apparatus consists basically of an inductively
coupled plasma produced by a three loop antenna placed inside
a cylindrical stainless steel (316L) chamber. The RF power
supply is based on a push–pull oscillator designed with a
variable output power ranging from 10 to 500 W, operating
at 13.56 MHz. The chamber is pumped to a base pressure
of 10
−7
mbar; during operation it is filled with argon and the
working pressure is kept constant (5 × 10
−2
). The chamber
has a quartz window for optical emission spectroscopy (OES)
and the target holder and the Langmuir probe are placed on
two separated retractile manipulators.
Figure 1. Calibrated optical emission spectrum measured for a
pressure of 5 ×10
−2
mbar and 120 W of RF power.
2.1. Optical emission spectroscopy
For OES measurements, an optical system consisting of
a set of collimating lenses is used to focus the plasma
light onto the entrance of an optical fibre coupled to a
Czerny–Turner spectrometer (HR4000 model from Ocean
Optics). The spectrometer is equipped with a holographic
grating (Composite™) of 300 lines mm
−1
with a linear CCD
array of 3468 pixels, yielding a resolution of 0.5 nm in the
spectral range from 200 to 1100 nm. Emission intensities
are corrected according to the wavelength dependence of the
spectral sensitivity of the CCD and of the grating transmission
efficiency. Our measured spectra were further corrected
with a NIST-traceable calibrated tungsten halogen light
source (300–1050 nm) from Ocean Optics (model LS-1-CAL).
A typical calibrated optical emission spectrum is shown in
figure 1 for a pressure of 5× 10
−2
mbar and 120 W of RF
power.
2.2. Electrostatic probe measurement
A single Langmuir probe was constructed with a tungsten tip
of 0.5 mm diameter brazed to a glass tube head. A low band
pass filter is placed inside the tube and close to the probe tip
to reduce RF distortion. The glass head, glued to a stainless
steel tube, is inserted along the axis of the vacuum chamber
and can be rotated and displaced to allow a radial sweep. In
the measurements, the probe was biased from −70 to 70 V
and the voltage applied together with the current output were
simultaneously measured by an ADC (USB6008, National
Instruments). In figure 2 we have a typical I –V curve for
a pressure of 5× 10
−2
mbar and 120 W of RF power.
The EEDF F
e
(E) was obtained following the standard
second derivative analysis of the I –V curve [9],
I
e
=
1
4
2e
3
m
e
1/2
A
∞
V
E
1/2
F
e
(E)
1 −
V
E
dE, (1)
where A is the area of the collecting probe surface, m
e
and e are
the electron mass and charge, respectively, V = φ
p
−V
b
is the
2
J. Phys. D: Appl. Phys. 42 (2009) 135202 G P Canal et al
Figure 2. Measured I –V curve for a pressure of 5 ×10
−2
mbar and
120 W of RF power.
difference between the plasma potential φ
p
and the potential
applied to the probe V
b
, E =
1
2
mv
2
/e is the kinetic energy of
the particle, given in electronvolts, and F
e
(E) is the EEDF.
Therefore differentiation of equation (1) twice with
respect to V yields
F
e
(V ) =
2m
e
2
A
2eV
m
1
2
d
2
I
e
dV
2
. (2)
Once the EEDF is obtained, the number density n
e
can be
promptly calculated:
n
e
=
∞
0
F
e
(V ) dV (3)
and also the effective temperature, given in electronvolts, by
T
eff
=
2
3n
e
∞
0
VF
e
(V ) dV. (4)
3. Theory
3.1. Druyvesteyn distribution
For plasmas that are not in local thermodynamic equilibrium
(non-LTE), a Maxwellian distribution function cannot be
assumed for the energy of electron. Instead, it is necessary
to calculate it from the Boltzmann equation,
∂
∂t
f
e
(r, v, t) + v ·
∇
r
f
e
(r, v, t) + a ·
∇
v
f
e
(r, v, t)
=
d
dt
f
e
(r, v, t)
col
, (5)
where a is the acceleration vector of electrons due to external
forces, f
e
(r, v, t) is the electron velocity distribution function
and [
d
dt
f
e
(r, v, t)]
col
is the collision term.
The solution of equation (5) is not easy to obtain
because the collisional effect, in the collisional integral on
the right-hand side, has to be determined self-consistently
for all the particle species. This leads to a set of coupled
non-linear integro-differential equations in seven dimensions
(x,y,z,v
x
,v
y
,v
z
,t), whose solution is intractable. However,
in order to obtain results using this equation, several
approximations can be used involving linearization and
approximation of zero order. Druyvesteyn [9] solved the
Boltzmann equation for a plasma permeated by an electric
field, and got the following energy distribution function,
assuming isotropy, f
e
(r, v) ≡ f
e
(v):
F
D
(E) = 1.04nW
−
3
2
av
E
1
2
exp
−
0.55E
2
W
2
av
, (6)
where n is the number density of particles, E is the energy,
W
av
is the average energy and F
D
(E) dE = 4πv
2
f
D
(v) dv.
3.2. Modified Saha equation
In non-LTE plasmas, the number of particles in a state n, with
energy between E
n
and E
n
+dE,isgivenby
dN
n
= N
f(E
n
) dE
f(E)dE
. (7)
Using a similar relation for particles in a state m, with energy
between E
m
and E
m
+dE, and integrating the ratio of these
two equations one gets
N
m
N
n
=
f(E
m
)
f(E
n
)
. (8)
From the Maxwell–Boltzmann distribution for a system in
thermodynamic equilibrium, one obtains
N
m
N
n
=
g
m
g
n
exp
−
E
m
− E
n
k
B
T
, (9)
where g
m
and g
n
are the statistical weights (degeneracy) of
states m and n, respectively. Nevertheless, there are cases
where the electron energy cannot be correctly described by a
Maxwellian distribution, and for conditions as such the plasma
is better characterized by a Druyvesteyn function [10]:
f
D
(E) = C exp
−
E
2
E
2
av
. (10)
Therefore a generalized Boltzmann law allows to write
N
m
N
n
=
g
m
g
n
exp
−
E
2
m
− E
2
n
E
2
av
. (11)
Using this equation for the particular case involving the ground
state (E
0
= 0) and the first ionization potential χ
I
,
dN
+
0
N
0
=
dg
g
0
exp
−
χ
I
+
1
2
m
e
v
2
2
E
2
av
, (12)
where dN
+
0
is the differential number of ions in the ground
state with free electrons in the velocity interval between v and
v +dv,dg = g
+
0
.dg
e
being dg
e
= 2
d
3
x d
3
p
h
3
the degeneracy of
3
J. Phys. D: Appl. Phys. 42 (2009) 135202 G P Canal et al
free electrons with d
3
x = 1/n
e
and h is the Planck constant.
The degeneracy of ions is given by g
+
0
.
Considering that for a collisional plasma the relation
between the characteristic times for electron temperature
isotropization and energy relaxation is given approximately
by 2
√
2/3(T
⊥
/T
) [11] and provided that the plasma is
not magnetized, we can safely assume an isotropic velocity
distribution. In this case,
d
3
p = 4πm
3
e
v
2
dv, (13)
and after substitution in equation (12) we find an equation that
depends on the velocity of free electrons, given by
dN
+
0
N
0
=
8πm
3
e
n
e
h
3
g
+
0
g
0
v
2
exp
−
χ
I
+
1
2
m
e
v
2
2
E
2
av
dv. (14)
Integrating this equation we obtain
N
+
0
N
0
=
8πm
3
e
n
e
h
3
g
+
0
g
0
I, (15)
where
I =
∞
0
v
2
exp
−
χ
I
+
1
2
m
e
v
2
2
E
2
av
dv. (16)
This integral is solved defining t = v
2
, hence,
I =
1
2
exp
−
χ
2
I
E
2
av
∞
0
√
t exp[−αt − βt
2
]dt (17)
with
α =
m
e
χ
I
E
2
av
(18)
and
β =
m
2
e
4E
2
av
. (19)
Following the discussion presented in [12], we have
∞
0
x
ν−1
exp[−γx− βx
2
]dx = (2β)
−
ν
2
(ν)
×exp
γ
2
8β
D
−ν
γ
√
2β
, (20)
where D
−ν
(
γ
√
2β
) is the parabolic cylinder function D that can
be related to a parabolic cylinder function U using the relation
D
−a−
1
2
(x) = U
a
(x). (21)
Taking ν =
3
2
, β =
m
2
e
4E
2
av
, a = 1 and γ = α =
m
e
χ
I
E
2
av
, we can
rewrite the integral as
I =
√
π
4
2E
2
av
m
2
e
3
4
exp
−
χ
2
I
2E
2
av
U
1
√
2
χ
I
E
av
. (22)
Therefore equation (15) becomes
N
+
0
N
0
=
2π
3
2
m
3
e
n
e
h
3
g
+
0
g
0
2E
2
av
m
2
e
3
4
exp
−
χ
2
I
2E
2
av
U
1
√
2
χ
I
E
av
.
(23)
Using equation (11), the relation for the ratio between neutral
species in the ground state (E
0
= 0) and a given excited state
(E
m
) gives
N
0
N
m
=
g
0
g
m
exp
E
2
m
E
2
av
. (24)
Now using equation (11) for two excited states E
k
and E
l
of
the ionic specie, we have
N
+
k
N
+
l
=
g
+
k
g
+
l
exp
−
(
E
k
+ χ
I
)
2
− (E
l
+ χ
I
)
2
E
2
av
(25)
taking E
l
as the ion ground state, the equation becomes
N
+
k
N
+
0
=
g
+
k
g
+
0
exp
−
E
2
k
+2E
k
χ
I
E
2
av
. (26)
Multiplying these two equations, we have
N
+
k
N
m
=
N
+
0
N
0
g
+
k
g
m
g
0
g
+
0
exp
−
E
2
k
− E
2
m
+2E
k
χ
I
E
2
av
(27)
and finally, after substituting equation (23), the expression for
the modified Saha equation becomes
N
+
k
N
m
=
2π
3
2
m
3
e
n
e
h
3
g
+
k
g
m
2E
2
av
m
2
e
3
4
U
1
√
2
χ
I
E
av
×exp
−
E
2
k
− E
2
m
+2E
k
χ
I
+
1
2
χ
2
I
E
2
av
(28)
which can be compared with the standard Saha equation given
below:
N
+
k
N
m
= 2
g
+
k
g
m
1
n
e
m
e
k
B
T
2π¯h
2
3
2
exp
−
(
E
k
− E
m
+ χ
I
)
k
B
T
, (29)
where E
k
and E
m
are the energy levels measured in relation to
the ground state of the ion and the neutral, respectively.
3.3. Temperature calculation for non-LTE plasma
In plasma spectroscopy theory [2], there is a relation between
the number density N
i
and the intensity of the transition line I
ij
I
ij
=
¯hω
3
ij
r
0
2πc
f
ji
b
a
N
i
(x) dx, (30)
where r
0
is the classical electron radius, c is the speed of light,
f
ji
is the oscillator strength and ω
ij
is the frequency for a
transition from the level i to j.
Assuming that the ionized species makes a transition from
the k to the l state and that the neutral species makes a transition
from the m to the n state, the relation between the emission
4
J. Phys. D: Appl. Phys. 42 (2009) 135202 G P Canal et al
Figure 3. Calculated EEDF from the second derivative of the I–V
curve of figure 2 (full squares). From a non-linear fitting procedure
(Levenberg–Marquardt method) the best Maxwellian (broken line)
and Druyvesteyn (full line) curves that fit to the second derivative
data.
lines is given by
I
kl
I
mn
=
λ
3
mn
f
lk
λ
3
kl
f
nm
N
+
k
N
m
. (31)
From the Druyvesteyn distribution function
E
2
av
=
W
2
av
0.55
(32)
and
W
av
=
3
2
k
B
T. (33)
Substituting these three equations in equation (28), we
finally have the relation between the electron temperature and
the ratio of the transition lines emitted from the plasma:
I
kl
I
mn
=
λ
3
mn
f
lk
g
+
k
λ
3
kl
f
nm
g
m
2π
3
2
m
3
e
n
e
h
3
2.86k
B
T
m
e
3
2
U
1
0.699
χ
I
k
B
T
×exp
E
2
k
− E
2
m
+2E
k
χ
I
+
1
2
χ
2
I
4.09(k
B
T)
2
. (34)
4. Results
Following the second derivative analysis of the I –V curve
shown in figure 2, the EEDF can be calculated; the result
is shown in figure 3. Also shown in figure 3 are the best
fitted curve of a Maxwellian (broken line) and a Druyvesteyn
(full line) function to the EEDF data. It is clear that, for
the experimental conditions of this work (working pressure
of 5 × 10
−2
mbar and RF power of 120 W), the EEDF is
better described by a Druyvesteyn function, indicating that the
plasma is outside the thermodynamical equilibrium.
Concerning the optical emission spectroscopy (OES)
analysis, it is important to point out that the optical emission
spectrum from a low pressure argon RF discharge is dominated
by Ar
I optical transitions [13], in particular from 4p →
4s. Some of these transitions were avoided due to the
large number of atoms in the 3p
5
4s metastable and resonant
levels [14]. On the other hand experiments point to a
sub-dominant role of metastable excitation of the np
1
,np
5
(J = 0) levels, and often their emission can be assumed
to be completely free of a metastable atom excitation
contribution [15]. Therefore, we shall restrict the solution of
equation (34) to the set of levels (750.4, 425.9 and 451.1 nm),
in particular to the Ar
I 3s
2
3p
5
(
2
P
o
1/2
)4s → 3s
2
3p
5
(
2
P
o
1/2
)4p
and Ar
II 3s
2
3p
4
(
3
P)3d → 3s
2
3p
4
(
3
P)4p transitions, which
correspond to the wavelength of 750.38 nm and 686.12 nm,
respectively.
Provided that the line intensities from the selected optical
transitions of two subsequent ionization stages are given,
equation (34) can be solved graphically [2] by plotting
the right-side term as a function of T
e
. However, the
electron density has to be provided by either Langmuir probe
measurement (which is the case in this work) or by Stark
broadening of a particular optical transition [16]. Hence for
each (I
kl
/I
mn
) ratio a corresponding T
e
will satisfy the solution
of equation (34) univocally.
The graphical solutions of the standard Saha equation and
the modified Saha equation are shown in figures 4(a) and (b),
respectively. The optical constants were obtained from the
NIST database [17]. One can readily see that, for the same
(I
kl
/I
mn
) set of values, the solutions of the two Saha equations
lie in two quite different temperature ranges, differing roughly
by an order of magnitude.
5. Discussion
The results from Langmuir probe analysis (equation (4)),
modified (equation (34)), and the standard Saha equations
(equation (29)) are presented in table 1, for a RF power of
120 W and a working pressure of 5 ×10
−2
mbar. For the line
intensities studied in this work, the ratio of I
kl
/I
mn
= 0.02 was
obtained. From figure 4 the values obtained for the standard
and the modified Saha equation were, respectively, 0.72 eV
and 5.4 eV.
Although the modified Saha equation, based on a
Druyvesteyn EEDF, corrects the electron temperature to
approach that given by the second derivative probe method,
there still exists a discrepancy of approximately 18% between
the two methods. Discrepancies between probe analysis and
line ratio methods, such as the standard Saha equation or the
Boltzmann plot, are also observed for plasmas where the EEDF
is well represented by a Maxwellian distribution [14].
In fact, recently, Kang et al [14] developed a method
that corrects the temperature obtained from the ratio of two
spectral lines from the same ionization stage to the effective
electron temperature measured via a single Langmuir probe.
In their model a correction factor is assumed, which depends
on the gas pressure and is derived from the balance between
the measured light intensity and the degree of excitation by
collision via the EEDF and electron density obtained from the
probe measurement.
5
J. Phys. D: Appl. Phys. 42 (2009) 135202 G P Canal et al
Figure 4. Graphical solution of the standard Saha equation of [2]
(a) and the modified Saha equation presented in equation (34)(b).
Table 1. Electron density calculated from equation (3) and electron
temperature from equations (4), (34) and (29).
n
e
(m
−3
) T
e
(eV) T
e
(eV) T
e
(eV)
(equation (3)) (equation (4)) (equation (34)) (equation (29))
3.2 ×10
15
6.6 5.4 0.72
Although the method of Kang et al [14] is applicable
only for lines from the same ionization state, while Saha’s
equation is valid for lines from subsequent ionization states,
it is interesting, for the sake of completeness, to compare the
results from the two models. Applying equation (11) of Kang
et al to the Ar
I lines 750.4 and 425.9 nm, and taking the data on
the relevant cross sections from [15], we obtain T
e
= 3.5eV
for a Maxwellian distribution function and T
e
= 6.1 eV for a
Druyvesteyn distribution function, for the conditions given in
table 1. Therefore the results are all in good agreement.
6. Conclusions
We have presented a model to modify the Saha equation for the
case where the EEDF is better described by a Druyvesteyn than
a Maxwellian function. The electron temperature obtained
from the modified Saha equation, using the spectral line ratio
method, approaches reasonably well the effective temperature
measured via Langmuir probe. Our result also is in qualitative
agreement with the model proposed by Kang et al [14].
However, the method described in this paper is considerably
simpler to apply in order to obtain the electron temperature
in RF produced plasmas at least in the pressure range around
10
−2
mbar.
Acknowledgments
This work was partially supported by the National Council for
Technological Development (CNPq) of Brasil.
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