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FRANCISCO ANTONIO LOTUFO
DESENVOLVIMENTO DE UM SENSOR VIRTUAL PARA PROCESSOS
NÃO-LINEARES E VARIANTES NO TEMPO, COM APLICAÇÃO
EM PLANTA DE NEUTRALIZAÇÃO DE pH
Tese apresentada à Faculdade de Engenharia
do Campus de Guaratinguetá, Universidade
Estadual Paulista, para a obtenção do título
de Doutor em Engenharia Mecânica na área
de Projetos.
Orientador: Prof. Dr. Samuel E. de Lucena
Guaratinguetá
2010
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L884d
Lotufo, Francisco Antonio
Desenvolvimento de um sensor virtual para processos não
lineares e variantes no tempo, com aplicação em planta de
neutralização de pH / Francisco Antonio Lotufo. -
Guaratinguetá : [s.n.], 2010
131 f.: il.
Bibliografia: f. 118-126
Tese (Doutorado) – Universidade Estadual Paulista,
Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2010
Orientador: Prof. Dr. Samuel Euzédice de Lucena
1. Identificação de sistemas 2. Lógica difusa 3. Detectores
I. Título
CDU 681.5.015
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UNESP UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá
"DESENVOLVIMENTO DE UM SENSOR VIRTUAL PARA
PROCESSOS NÃO-LINEARES E VARIANTES NO TEMPO, COM
APLICAÇÃO EM PLANTA DE NEUTRALIZAÇÃO DE pH"
FRANCISCO ANTONIO LOTUFO
ESTA TESE FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE
“DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA”
PROGRAMA: ENGENHARIA MECÂNICA
ÁREA: PROJETOS
APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
Prof. Dr. Marcelo dos Santos Pereira
Coordenador
BANCA EXAMINADORA:
Prof. Dr. SAMUEL E. DE LUCENA
Orientador/UNESP-FEG
Prof. Dr. INÁCIO BIANCHI
UNESP-FEG
Prof. Dr. LEONARDO MESQUITA
UNESP-FEG
Prof. Dr. GERMANO LAMBERT-TORRES
UNIFEI – Universidade Federal de Itajubá
Prof. Dr
a
. NEUSA MARIA FRANCO DE OLIVEIRA
ITA – Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Outubro de 2010
DADOS CURRICULARES
FRANCISCO ANTONIO LOTUFO
09.10.1963 – TAUBATÉ / SP
Luiz de Gonzaga Lotufo
Olarpha Garcez Lotufo
Curso de Graduação
Engenharia Elétrica - Universidade de Taubaté
Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, nível
de Mestrado, na Universidade Federal de Itajubá.
Curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica,
nível de Doutorado, na Faculdade de Engenharia do
Campus de Guaratinguetá da Universidade Estadual
Paulista.
de modo especial, à minha esposa, Ana Lucia, e à minha filha,
Ana Beatriz, que foram as grandes motivadoras para que eu
continuasse e terminasse o curso.
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar agradeço a Deus, pela minha vida, minha inteligência, minha
família e meus amigos,
ao meu orientador, Prof. Dr. Samuel E. de Lucena, pelo seu incondicional apoio
e incentivo. Sem a sua orientação, dedicação e auxílio, o estudo aqui apresentado seria
praticamente impossível.
aos meus pais, Luiz (in memoriam) e Olarpha (in memoriam), que, apesar das
dificuldades, souberam orientar, educar e incentivar a mim e a meus irmãos.
aos meus colegas de Departamento, que sempre me acolheram, respeitaram e
apoiaram em todos esses anos de fraterno convívio,
às funcionárias da Biblioteca do Campus de Guaratinguetá, e em especial à
colega Ana Maria, pela dedicação, presteza e principalmente pela vontade de ajudar.
“I often say that when you can measure what you
are speaking about, and express it in numbers, you
know something about it; but when you can not
express it in numbers, your knowledge is of a
meagre and unsatisfactory kind; it may be the
beginning of knowledge, but you have scarcely, in
your thoughts, advanced to the state of science,
whatever the matter may be.”
William Thomson, Lord Kelvin
“Há três maneiras de agir sabiamente:
A primeira pela meditação, que é a mais sábia
a segunda pela imitação, que é a mais fácil
a terceira pela experiência, que é a mais amarga”
Confúcio
LOTUFO, F. A. Desenvolvimento de um sensor virtual para processos não-
lineares e variantes no tempo, com aplicação em planta de neutralização de pH.
2010. 131 f. Tese (Doutorado em Engenharia Mecânica) – Faculdade de Engenharia
do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2010.
RESUMO
Este trabalho apresenta uma metodologia para desenvolvimento de sensores virtuais
capazes de inferir variáveis de processos altamente não lineares e variantes no tempo.
A metodologia proposta emprega modelagem nebulosa de sistemas dinâmicos
complexos, em que a parte antecedente das regras emprega a técnica de agrupamento
(clusterização) de Gustafson-Kessel (product space clustering), e os parâmetros da
parte conseqüente das regras são estimados utilizando-se o algoritmo dos mínimos
quadrados recursivos, com fator de esquecimento variável. O algoritmo proposto foi
avaliado por meio de um modelo virtual implementado em ambiente
Matlab®/Simulink® para o processo de neutralização de pH, amplamente utilizado
pela literatura técnico-científica para investigação de algoritmos de identificação,
controle de processos e simulação de sistemas não lineares e variantes no tempo. O
algoritmo de identificação nebulosa proposto e implementado neste trabalho, utilizado
como sensor virtual de pH, forneceu resultados muito coerentes, quando comparado
com outras técnica de modelagem da literatura, no tocante ao tempo de resposta, erro
de predição, capacidade de adaptação e número de amostras necessárias à fase de
treinamento.
PALAVRAS-CHAVE: Sensor Virtual. Sensor Inteligente. Identificação de Sistema.
Lógica Nebulosa. Agrupamento Nebuloso.
LOTUFO, F. A. Development of a virtual sensor for nonlinear and time-varying
processes with application to pH neutralization plant. 2010. 131 f. Tese (Doutorado
em Engenharia Mecânica) – Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá,
Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2010.
ABSTRACT
The design of a virtual sensor involves the choice of variables to be measured and the
choice of a method for obtaining the model. This paper presents a methodology for
developing virtual sensors capable of inferring process variables highly nonlinear and
time varying. The proposed methodology employs fuzzy modeling of complex
dynamic systems in which the antecedent part of rules employs the technique of
clustering Gustafson-Kessel (product space clustering), and the parameters of
consequent part of rules are estimated using the algorithm of the minimum recursive
squares with variable forgetting factor. The algorithm was evaluated through a virtual
model implemented in Matlab®/Simulink® for the pH neutralization process, widely
used by scientific and technical literature to investigate the identification algorithms,
process control and simulation of nonlinear systems and variants in time. The fuzzy
identification algorithm proposed and implemented in this work, used as a virtual
sensor of pH, provided very interesting results when compared with other modeling
technique of the literature regarding the response time, error prediction, adaptive
capacity and number of samples necessary for the training phase.
KEYWORDS: Virtual Sensors. Intelligent Sensors. Systems Identification. Fuzzy
Logic. Fuzzy Clustering.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – Ilustração da escala do pH e alguns exemplos com substâncias comuns. ......... 23
FIGURA 2 – Ilustração dos eletrodos de vidro para medição de pH. ..................................... 25
FIGURA 3 – Curvas de titulação para: a) ácido forte – base forte, b) ácido fraco – base forte,
c) ácido forte – base fraca, d) ácido fraco – base fraca ........................................................... 27
FIGURA 4 - Curvas de titulação para soluções buffered e unbuffered. .................................. 29
FIGURA 5 – Cadeia de medição analógica............................................................................. 31
FIGURA 6 – Cadeia de medição digital .................................................................................. 31
FIGURA 7 – Sensor virtual conectado a uma planta .............................................................. 34
FIGURA 8 – Os sensores virtuais SV1 e SV2 são usados em duas malhas de controle quando
o sensor XT é compartilhado no tempo entre as duas plantas ................................................. 35
FIGURA 9 – Sensor virtual substituindo um sensor real inexistente ...................................... 35
FIGURA 10 – Sensor virtual usando um modelo de planta quando nenhum sensor real está
disponível ................................................................................................................................ 36
FIGURA 11 – Abordagem de identificação baseada em agrupamento nebuloso ................... 44
FIGURA 12 - Interpretação baseada em regra de agrupamentos nebulosos ........................... 56
FIGURA 13 - Agrupamentos nebulosos hiper-elipsoidal ....................................................... 56
FIGURA 14 – a- Ilustração de agrupamentos gerados pelo FCM.
b- Ilustração de agrupamentos gerados por Gustafson-Kessel. ....................... 61
FIGURA 15 – Ilustração das regiões do espaço de entrada associadas às regras. .................. 67
FIGURA 16 – Exemplo do espaço de entradas para o modelo de Wang-Langari .................. 68
FIGURA 17 – Diferenças do resultado da clusterização. A primeira utiliza apenas a variável
de entrada, a segunda utiliza ambas as variáveis. .................................................................... 69
FIGURA 18 – Ilustração do espaço de entrada para o modelo “Regras Limitadas”............... 72
FIGURA 19 – Uma ilustração de um processo de neutralização de pH ................................. 79
FIGURA 20 – Sistema de controle típico de pH ..................................................................... 80
FIGURA 21 – Curva de titulação para ácido fraco neutralizado por base forte ..................... 83
FIGURA 22 – Curva de titulação para ácido forte neutralizado por base forte ...................... 84
FIGURA 23 – Diagrama geral do processo de neutralização de pH ....................................... 85
FIGURA 24 – Resposta de malha aberta para o teste 1: (a) Vazão de ácido; (b) Concentração
de ácido; (c) Vazão de buffer; (d) pH do fluxo de saída.......................................................... 95
FIGURA 25 – Resposta de malha aberta para o teste 2: (a) vazão de ácido; (b) concentração
de ácido; (c) vazão de buffer; (d) pH do fluxo de saída .......................................................... 96
FIGURA 26 – Sinais de entrada (a) e saída (b) da Equação (63) com variação lenta dos
parâmetros.... ......................................................................................................................... ..99
FIGURA 27 – (a) Parâmetros a e b, real (---) e estimado (---). (b) imagem retirada de
Moustafa (1983)... ................................................................................................................. 100
FIGURA 28 – (a) Fator de esquecimento variável, (b) Erro de saída entre o valor simulado e o
estimado ................................................................................................................................. 101
FIGURA 29 – Sinais de entrada (a) e saída (b) da Equação (63) com variação abrupta dos
parâmetros ............................................................................................................................. 102
FIGURA 30 – Parâmetros a e b, real (---) e estimado (---) ................................................... 103
FIGURA 31 – (a) Fator de esquecimento variável, (b) Erro de saída entre o valor simulado e o
estimado ................................................................................................................................. 103
FIGURA 32 – (a) Sinal de entrada aleatório, (b) Sinal de entrada periódico ....................... 105
FIGURA 33 – (a) Sinais de saída real (---) estimado (---) - treinamento, (b) Sinais de saída
real (---) estimado (---) - validação. ....................................................................................... 106
FIGURA 34 – Valor RMS do erro e valor do erro de predição. ........................................... 106
FIGURA 35 – Sinais de saída real (---) estimado (---) - validação. ...................................... 108
FIGURA 36 – Modelo simplificado do tanque de neutralização de pH utilizado. ............... 108
FIGURA 37 – (a) Esquema de simulação usado no treinamento, (b) Esquema usado como
sensor virtual ......................................................................................................................... 109
FIGURA 38 – (a) Entrada vazão de base q
3
, (b) saída pH medido. ...................................... 110
FIGURA 39 – (a) Sinais de saída real (•••) e estimado (---) – treinamento. ......................... 111
FIGURA 40 – (a) Sinais de saída real (•••) e estimado (---) – validação, (b) figura que
representa o modelo de validação em comparação com o valor simulado extraído de Babuška
e Verbruggen (1997). ............................................................................................................. 112
FIGURA 41 – Valor do erro de predição. ............................................................................. 113
LISTA DE TABELAS
TABELA 1 – Informação crisp e nebulosa (fuzzy) em sistemas .................................. 47
TABELA 2 – Aplicação do pH em produções industriais ........................................... 79
TABELA 3 – Instalação industrial e bancada de laboratório sob as condições normais
de estado estável NSS ................................................................................................... 93
TABELA 4 – Teste 1: degraus de q
1
com diferentes valores de buffer ....................... 95
TABELA 5 – Teste 2: onda senoidal com período de 15 min W
a1
com/sem buffer .... 96
TABELA 6 – Variação do erro RMS em função do número de amostras de
treinamento ................................................................................................................. 107
LISTA DE SÍMBOLOS
)(ky
f
função no instante
k
N
p
regressões da p-ésima entrada
N
f
regressões da saída
pH
potencial hidrogeniônico
n
espaço multidimensional n
u
entradas
y
saídas
NL
f
função não-linear
θ
parâmetros
[H
+
]
concentração dos íons de hidrogênio
M
OH
-
íons hidroxila
mol
E
pH
tensão através da membrana de vidro
mV
R
constante universal dos gases
J.K
-1
.mol
-1
T
temperatura
K
F
constante de Faraday
C.mol
-1
A
i
termos linguísticos antecedentes
B
i
termos linguísticos consequentes
)x(
função de pertinência dos conjuntos nebulosos antecedentes
v
i
centro do agrupamento i
μ
ik
pertinência do ponto k ao agrupamento i
c
número desejado de agrupamentos
B
vetor de parâmetros
k
fator de esquecimento
W
a
invariante de reação
pH
tempo morto de medição do pH
s
mix
atraso na mistura
s
q
1
fluxo de ácido - influente
m
3
/s
q
4
fluxo de saída – efluente
m
3
/s
[C
3
]
concentração do fluxo de base -[NaOH]
M
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 15
2 SENSORES VIRTUAIS DE pH ......................................................................... 22
2.1 Definição de pH .................................................................................................. 22
2.2 Sensor de pH a eletrodo de vidro ....................................................................... 24
2.3 Dificuldades em medições de pH ....................................................................... 26
2.3.1 pH médio ......................................................................................................... 26
2.3.2 Curva de titulação ou curva de equalização .................................................... 27
2.3.3 O efeito buffering ............................................................................................ 28
2.3.4 A medição de pH ............................................................................................. 29
2.4 Sensores virtuais ................................................................................................. 32
2.5 Aplicações de sensores virtuais .......................................................................... 38
2.6 Desenvolvimento de sensores virtuais................................................................ 42
3 METODOLOGIA PROPOSTA NESTE TRABALHO ................................... 45
3.1 Sistemas Nebulosos ............................................................................................ 46
3.2 Relevância da modelagem nebulosa ................................................................... 48
3.3 Modelos nebulosos baseados em regras ............................................................. 50
3.3.1 Modelo nebuloso linguístico ........................................................................... 50
3.3.2 Modelo nebuloso tipo Takagi-Sugeno (TS) .................................................... 51
3.4 Construção de modelos nebulosos...................................................................... 53
3.5 Clusterização ou agrupamento nebuloso ............................................................ 54
3.5.1 Fuzzy C-Means (FCM) .................................................................................... 57
3.5.2 Clusterização pelo algoritmo de Gustafson-Kessel ......................................... 59
3.6 Estimação dos parâmetros consequentes das regras ........................................... 62
3.7 Modelos nebulosos utilizados ............................................................................. 63
3.7.1 Modelo de Wang-Langari ................................................................................ 63
3.7.2 Modelo por “Regras Limitadas” ...................................................................... 67
3.7.3 Modelo gerado a partir da clusterização de Gustafson-Kessel ....................... 73
3.8 Métodos de identificação de sistemas variantes no tempo ................................. 73
3.8.1 Mínimos quadrados recursivos com fator de esquecimento constante ........... 74
3.8.2 Mínimos quadrados recursivos com fator de esquecimento variável ............. 75
3.8.2.1 Algoritmo de Fortescue ................................................................................ 75
3.8.2.2 Algoritmo de Wang-Langari ....................................................................... 76
3.9 Equacionamento utilizado na implementação numérica .................................... 78
4 PROCESSO DE NEUTRALIZAÇÃO DE pH ................................................. 79
4.1 Descrição de um processo de Neutralização de pH ........................................... 79
4.1.1 Modelo com apenas uma variável de saída (pH) ............................................ 81
4.1.2 Modelo com duas variáveis de saída (pH e nível) ........................................... 84
4.2 Desenvolvimento de um modelo virtual para o processo de neutralização de pH
.................................................................................................................................. 89
4.2.1 Intervalos de operação e indicação do modelo ................................................ 92
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO ........................................................................ ..98
5.1 Aplicações do método proposto ......................................................................... ..98
5.2 Sensor virtual aplicado ao processo de neutralização de pH.............................. 108
6 CONCLUSÃO E CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................... 114
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ....................................................................... 118
APÊNDICE A – Modelo virtual do processo de neutralização de pH feito em
Matlab®/Simulink® ................................................................................................. 127
APÊNDICE B – Script-file em Matlab® para aplicação ao primeiro exemplo do item
5.1 ............................................................................................................................. 130
15
1 INTRODUÇÃO
Existem problemas no mundo real para os quais inferência de variáveis, detecção
e classificação de falhas, previsão de desempenho, aproximação de funções não-
lineares e identificação de padrões são requisitados. Nestes tipos de problemas, as
soluções tornam-se caras e complexas, se modelos tradicionais são os únicos a
descrever o comportamento do sistema. Isto ocorre devido a vários fatores:
tipicamente há grande quantidade de informação envolvida no problema; as limitações
de um modelo determinístico em generalizar, ou seja, tirar conclusões gerais dos dados
apresentados; a vulnerabilidade dos modelos empíricos convencionais aos sinais de
perturbação ou às novas condições do processo; a complexidade do modelo descrito;
ou simplesmente por causa da não existência do modelo (ASCENCIO; GALICIA,
2000).
Uma das características de muitos processos industriais é a complexa inter-
relação entre as variáveis do processo, o que tem levado ao desenvolvimento de
técnicas que permitam a estimação de determinadas variáveis através de informações
adquiridas por meio de medições de outras variáveis.
Apesar de medições em tempo real (on-line) serem bastante desejadas, há duas
barreiras para a viabilidade de medições on-line das variáveis do processo: a ausência
de métodos de detecção apropriados e o alto custo dos métodos conhecidos.
Isto, com frequência, conduz ao monitoramento destas importantes variáveis do
processo através do uso de análises off-line em laboratório, que significam perda de
densidade de informação, demora na obtenção dos resultados e normalmente requerem
aumento do esforço humano, resultando no desvio do processo das condições de
operação desejada, produzindo uma variabilidade indesejável e uma redução no
rendimento (HERNÁNDEZ; ASCENCIO; GALICIA, 1998).
Estes efeitos adversos podem não ser superados em grau aceitável pelo uso dos
algoritmos de controle avançado existentes. Esforços a fim de se aliviar este problema
incluem o desenvolvimento de sensores virtuais (estimadores inferenciais). Há muitas
variáveis medidas on-line e que são amostradas de forma relativamente frequente.
16
Estas variáveis estão indiretamente relacionadas às variáveis difíceis de serem
medidas.
Qualquer sistema de controle ou monitoramento requer o emprego de elementos
de interface com o mundo real, ou mundo físico. Assim, um processo industrial requer
uma diversidade de sensores para poder observar e identificar seu estado atual e poder
tomar decisões de controle. Por exemplo, em um processo de produção, é
extremamente importante saber se o sistema está, realmente, produzindo nas condições
que foi projetado ou especificado, por isso, a utilização de sensores para sua
verificação é necessária.
Dado que as áreas de aplicação dos sensores são muito diversas, existem sensores
de muitos tipos, que são especificados conforme a natureza da variável que será
medida e das condições da aplicação. Nos processos industriais podem haver tipos
distintos de sensores medindo diferentes variáveis que são relevantes ao
desenvolvimento do processo, ou seja, ao controle ou monitoramento do processo. E
como processar os dados dos sensores e fazer deduções acerca do processo com base
nestas informações é motivo de muito estudo, e existem teorias de controle para se
aplicar a informação segundo a natureza do processo, para o caso do processo de
produção, podem ser utilizados modelos multivariáveis do processo e teorias de
controle adequadas para esses modelos.
Porém, a medição em tempo real de algumas variáveis importantes ao controle de
certos processos industriais pode ser impraticável. Isto pode acontecer por diversas
razões, como situações nas quais o sensor adequado não existe ou é proibitivamente
caro, pelo que se desejaria uma maneira de se estimar a informação desta variável. Em
muitos casos, a informação sobre essa variável não mensurável existe, porém em
outras formas. Por exemplo, se sabe que em processos onde se tem as variáveis
pressão e temperatura, as mesmas estão relacionadas, ou seja, conhecendo ou medindo
uma delas, é possível inferir a outra mediante um procedimento adequado. No caso de
processos de fermentação, o monitoramento da concentração de biomassa e/ou
produtos secundários é essencial; todavia, não existe um sensor para medi-las em
tempo real, restando basicamente duas formas de se obter informações ou medidas
destas variáveis:
17
a) o método automático através de um cromatógrafo ou um espectrofotômetro
(densidade óptica), para utilização em aplicações desta natureza, que tem um custo da
ordem de U$ 10.000,00 (US BIOSOLUTIONS BRASIL);
b) o método manual através de amostras coletadas periodicamente e analisadas
por um especialista. Esta técnica, além de não fornecer sinais contínuos, devido ao
atraso inerente da análise, não os fornece também com suficiente frequência, não
sendo, portanto, completamente satisfatória.
Para processos onde ocorre o exposto acima, ou seja, aqueles em que é difícil
medir a variável desejada devido ao sensor disponível ser, por exemplo, muito caro,
demasiado lento ou inexato para a aplicação específica, surge a seguinte questão:
como efetuar esta medição?
Em muitos tipos de processos industriais, onde se pode contar com uma
multiplicidade de sensores e se tem controle ou monitoramento realizado por
computador, baseados na ideia de inferência de informação, surgem os chamados
sensores por software ou soft-sensors ou ainda sensores virtuais, os quais consistem
em um modelo que estima, em tempo real, a variável desejada a partir de dados
medidos da planta, ou seja, programas responsáveis por fazer a inferência tomando
como base a informação existente. Os programas podem consistir em um modelo
matemático de como fazer a inferência, em um modelo heurístico ou um modelo
inteligente e, portanto, na obtenção destes modelos, são usados, como dados de
entrada, os valores das variáveis que influenciam a variável desejada (ASCENCIO;
HERRERA, 1998).
Há duas metodologias usuais que podem ser adotadas na construção de um
modelo inferencial. Primeiro, a chamada bottom up, uma proposição teórica pode ser
tomada, que é geralmente a abordagem preferida para tarefas de modelagem em
engenharia. Contudo, ela requer um entendimento das propriedades físicas e químicas
básicas do processo. Na indústria química, por exemplo, um entendimento incompleto
do processo frequentemente inviabiliza esta abordagem. A outra alternativa comum é
abordar o problema pela metodologia top down, gerando um modelo de entrada-saída
do processo com base nos dados coletados da planta. Esta técnica é também conhecida
18
como metodologia de modelagem caixa-preta ou caixa-cinza (ESMAILY-RADVAR,
2001).
A identificação de modelos nebulosos é desenvolvida baseada na teoria dos
conjuntos nebulosos proposta por Zadeh (1965). O principal interesse tem sido na
construção de modelos nebulosos que são expressos por um conjunto de proposições
linguísticas nebulosas derivadas da experiência de operadores experientes
(especialista) ou de um grupo de dados observados de entradas-saídas. Contudo, para
alguns sistemas muito complexos, é quase impossível estabelecer tal modelo nebuloso,
devido à grande quantidade de proposições nebulosas e a altamente complicada
relação nebulosa multidimensional.
Takagi e Sugeno (1985), 4217 citações segundo o ISI Web of Knowledge,
propuseram um novo tipo de modelo nebuloso que tem provado ser efetivo na
superação de algumas dessas dificuldades. Seu modelo nebuloso consiste em
implicações nebulosas cujos consequentes são descritos por funções de entrada-saída
lineares exatas (crisp). Uma outra importância de seus modelos nebulosos, segundo Jin
et al. (1995a), é que, como todo o parâmetro consequente é identificado por certos
algoritmos, tais como o método dos mínimos quadrados, o modelo nebuloso
estabelecido é mais sistemático e objetivo. Mas, infelizmente, o procedimento de
identificação é bastante complicado e é executado off-line (embora Sugeno e Tanaka
(1991) tenham sugerido um algoritmo de identificação sucessiva, ainda há dificuldades
para a implementação em tempo real), o que o torna inaceitável para tratar sistemas
variantes no tempo.
Jin et al. (1995b) propuseram então o casamento de redes neurais com a teoria de
conjuntos nebulosos, devido à poderosa habilidade de mapeamento e aprendizado não-
linear das redes neurais artificiais, para realizar o ajuste das funções de pertinência
nebulosa e modificações das regras nebulosas, tornado-o útil para projetar modelos
nebulosos adaptativos e controladores nebulosos auto-organizados.
Eles afirmam que a identificação de parâmetros não pode ser efetivamente
realizada usando métodos de sistemas nebulosos convencionais e, para enfrentar esta
situação, é necessário desenvolver uma ferramenta matemática mais sofisticada para
sistemas nebulosos. Sugerem, então, uma possível e talvez a mais esperada forma que,
19
de maneira simples, seria combinar a teoria de redes neurais artificiais com a teoria de
conjuntos nebulosos.
Estes sistemas híbridos dão a impressão de terem as seguintes características:
1) conjuntos nebulosos são usados para criar uma perspectiva de percepção
relevante, que possua significado físico muito claro.
2) todas as regras nebulosas são expressas por um grupo de pesos de uma rede
neural e podem ser ajustadas de uma forma mais efetiva.
3) a característica não-linear da rede neural provê o modelo nebuloso de maior
habilidade para descrever sistemas complexos.
O objetivo deste trabalho é desenvolver um modelo inferencial ótimo usando
técnicas de identificação, através da construção de modelos nebulosos dos dados
coletados, para aplicação em um processo industrial complexo, como por exemplo, um
processo de neutralização de pH. A identificação de modelos nebulosos baseados em
regras usando dados medidos do processo requer a identificação das variáveis de
entrada e saída, da estrutura do antecedente e do consequente, das funções de
pertinência, e outros parâmetros associados com a estrutura do modelo particular.
Neste trabalho, estes dados são organizados e usados na geração dos modelos
nebulosos que melhor se ajustam à informação coletada, de acordo com vários
métodos. Ou seja, são gerados modelos nebulosos do tipo entrada-saída. O modelo é
em tempo discreto e pode ser representado por uma função F:
))(...,),1(),(...,),1(
...,),(...,),1(()(
111
fffppp
f
NkykyNkuku
NkukuFky
(1)
onde
)(ky
f
representa a saída no instante
k
,
)(
pp
Nku
são as N
p
regressões da p-
ésima entrada e
)(
ff
Nky
são as N
f
regressões da saída, ou seja, as estimativas de
instantes anteriores são usadas de forma a representar a dinâmica do sistema
(OLIVEIRA; GARCIA, 2003).
Nessa proposta, as relações entre entrada e saída presentes e futuras do processo
são definidas a partir de sentenças do tipo SE-ENTÃO, de forma que se possa entender
20
ou mesmo prever o comportamento dos sistemas a partir de suas entradas e saídas.
Este método de modelagem está intimamente relacionado ao domínio da Inteligência
Artificial e, como tal, às vezes é considerado um modo especial de modelagem que
resulta de herança do comportamento humano, ou seja, como um método para imitar a
inteligência humana sendo capaz de resolver o problema onde o experimentador tem
apenas um conhecimento intuitivo do processo.
Na prática modelos usando lógica nebulosa são meras equações matemáticas que
mapeiam entradas u em saídas y, isto é, eles formam um mapeamento
multidimensional de entradas
n
u
para saídas
m
y
via uma função não-linear
mn
NL
f :
com parâmetros
θ
ou
)( θu,y
NL
f
(2)
O funcional
NL
f
pode ser um filtro NFIR (nonlinear finite impulse response)
estático, ou um mapeamento NARX (nonlinear autoregressive exogenous) ou
NARMAX (nonlinear autoregressive moving average with exogenous inputs) ou um
sistema dinâmico com saídas regressivas (VAN GORP; SHOUKENS, 1999).
Como o enfoque principal deste trabalho é poder modelar sistemas variantes no
tempo, um cuidado especial deve ser tomado, levando em consideração modelos
baseados em lógica nebulosa, quando da identificação dos parâmetros dos
consequentes, que, além das dificuldades já existentes na estimação dos parâmetros,
ainda apresenta o problema com a variação dos mesmos em tempo real, o que requer a
utilização de técnicas de identificação que possam ser usadas em sistemas variantes no
tempo. Em particular, neste trabalho, deseja-se construir um sensor virtual para estimar
a medida do pH do processo CSTR (Continuous Stirred Tank Reactor - Reator de
tanque agitado de fluxo contínuo) levando em consideração sua não-linearidade e sua
variância no tempo. Este processo possui diversas aplicações científicas e industriais.
Apesar da medida do pH, em tempo real, poder ser obtida através de sensores comuns
no mercado, este processo é usado aqui por ser altamente não-linear e variante no
tempo. Além disso, foi desenvolvido um modelo virtual para este processo e
implementado usando Matlab/Simulink, baseado nos estudos realizados na
21
Universidade de Santa Bárbara, Califórnia, onde foi desenvolvido um experimento em
escala de laboratório (HALL; SEBORG, 1989) (WALLER; MÄKILÄ, 1981). Para
lidar com este tipo de processo, desenvolveu-se também uma planta piloto na
Universidade Nacional de San Juan, Argentina (ALVAREZ et al., 2001).
Este trabalho está dividido em 6 capítulos como descritos a seguir.
No capítulo 2, será feita uma descrição de sensores de pH, suas aplicações e seus
problemas e, também, é dada uma visão geral das aplicações de sensores virtuais
encontrados na literatura, na indústria de processos e na indústria de instrumentação.
No capítulo 3, será descrito o método utilizado para construção de um sensor
virtual utilizando modelos nebulosos, fazendo um resumo sobre sistemas nebulosos, a
relevância da modelagem nebulosa, tipos de modelos nebulosos, e sua construção.
O capítulo 4 apresentará os resultados obtidos no desenvolvimento de um modelo
virtual, usando o software Matlab®/Simulink®, baseado em um modelo de referência
benchmark model desenvolvido pela Universidade de San Juan – Argentina, a partir de
estudos do processo de neutralização de pH realizado pela Universidade de Santa
Barbara – USA, modelo virtual que será usado para testar o desempenho do sensor
virtual.
No capítulo 5, será feita uma análise dos resultados obtidos na utilização do
método proposto, inicialmente em identificação de sistemas complexos, empregando-o
em exemplos encontrados na literatura de identificação de sistemas e, também, na
aplicação como sensor virtual na planta virtual de neutralização de pH.
O capítulo 6 apresenta as conclusões e considerações finais deste trabalho.
22
2 SENSORES VIRTUAIS DE pH
2.1 Definição de pH
O pH muitas vezes é considerado como uma quantidade com a mesma natureza
que massa e energia, com as quais balanços de conservação podem ser estabelecidos.
Esta concepção, contudo, pode conduzir a sérios erros.
Durante sua pesquisa visando melhorar a qualidade da cerveja, o bioquímico
dinamarquês, P. L. Sorensen, criou, no início do século 20, o conceito de “potencial
hidrogeniônico” – pH (FELTRE, 2001). O pH é uma medida da concentração dos íons
de hidrogênio, [H
+
], em uma solução aquosa e serve para indicar sua acidez (ou
alcalinidade). Tendo em vista que o número de mols
1
de H
+
por litro da solução é um
número ínfimo, expresso em potências negativas de 10, Sorensen optou, por razões
práticas, por expressá-la apenas pelo expoente de 10 (e sem o sinal negativo). Assim,
por exemplo, é de 5,3 o pH de uma solução com 10
-5,3
moles de H
+
por litro.
Matematicamente, o pH é calculado como segue:
][log
10
HpH
(3)
A água se dissocia em íons H
+
e íons OH
-
(hidroxila), em qualquer temperatura,
segundo a reação de equilíbrio a seguir:
OHHOH
2
(4)
A concentração molar de íons H
+
na água destilada
2
, à temperatura de 25˚ C, é de
10
-7,0
e serve como referência fundamental para o pH; ou seja, 7,0 é o valor do pH
neutro. Concentrações crescentes acima desta referência indicam acidez crescente, ao
passo que concentrações decrescentes abaixo desta referência indicam alcalinidade
crescente (FELTRE, 2001). A Figura 1 mostra a escala do pH (absoluta e relativa)
ilustrada com diversos produtos do dia-a-dia. Embora raras e extremamente reagentes,
1
Um mol é um número especial e vale 6,022 x 10
23
. A unidade Molar, M, medida de concentração, é, por
definição, o número de mols/litro (http://www.chemistrycoach.com).
2
Água destilada significa água livre de metais pesados, tais como lítio, magnésio, etc.
23
existem ácidos e bases fortíssimos, com pH negativo e superior a 14, respectivamente
(LUCENA, 2006).
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Concentração
relativa de H
+
10.000.000
1.000.000
100.000
10.000
1.000
100
10
1
1/10
1/100
1/1.000
1/10.000
1/100.000
1/1.000.000
1/10.000.000
Exemplos
Água destilada
Ácido de bateria, ácido fluorídrico forte, HCl 1 M
Ácido de clorídrico, ácido segregado pela mucosa estomacal
Suco de limão, vinagre, suco gástrico
Suco de laranja, suco de uva
Suco de tomate, chuva ácida
Café preto, água potável
Saliva, urina
Clorox ( produto de limpeza )
Água do mar
Leite de magnésia
Solução de amônia (NH
3
)
Água de sabão
NaOH 1 M (1 mol/litro) (Soda cáustica)
Limpa forno
Neutro
AcidezAlcalinidade
Figura 1 - Ilustração da escala do pH e alguns exemplos com substâncias comuns.
Normas de saneamento determinam que o pH da água fornecida à população
pelas companhias de abastecimento tem de encontrar-se na faixa de 7,2 a 7,6
(BERNARDO, 2005). As empresas responsáveis pelo tratamento e abastecimento da
água em centenas de cidades brasileiras, até onde se sabe, realizam manualmente o
controle deste pH, que pode alterar-se nos reservatórios, em decorrência de fatores tão
diversos como chuva ácida, arraste por águas pluviais de material orgânico em
decomposição, poluição por atividade humana, dentre outros. Este controle manual
pode levar a custo operacional maior, além de menor garantia da qualidade da água
fornecida à população.
Por outro lado, o pH não é uma medida total de acidez ou alcalinidade de uma
solução, mas somente seu grau de ionização. Assim, bases fortes e ácidos fortes se
ionizarão quase completamente quando dissolvidos em água. Dessa forma, se
quantidades equivalentes de ácido forte e base forte fossem adicionadas em água, o
resultado seria uma solução neutra, onde as hidroxilas da base iriam se combinar com
24
os hidrogênios do ácido. Por outro lado reagentes fracos somente ionizam-se
parcialmente. Se, por exemplo, uma quantidade equivalente de ácido forte e base fraca,
ou ácido fraco e base forte, forem misturados, a solução final não será neutra. Como
resultado desse fenômeno, mais quantidade do reagente forte será requerido para
tornar a solução neutra. Portanto, as palavras “forte” e “fraco” neste contexto estão
referidas à concentração ou ao grau de pureza do material (ácido ou base).
Portanto, são necessárias mais informações sobre a química do sistema, ou seja,
sobre as reações químicas na mistura. Concluindo, o pH de uma mistura não pode ser
calculado se só são conhecidos os valores de pH (e as proporções de mistura) das
soluções individuais (SOTOMAYOR, 1997).
2.2 Sensor de pH a eletrodo de vidro
Estima-se que atualmente existam milhões de pH-metros operando no mundo,
em aplicações que vão das indústrias química, petroquímica, agro-alimentar e
farmacêutica, a biologia e clínica. A despeito do desenvolvimento recente de novos
sensores de pH (SAFAVI, BAGHERI, 2003; SHARMA, GUPTA, 2003), sua medição
continua sendo realizada, em esmagadora maioria, por meio de sensor a eletrodos de
vidro, descrito pela primeira vez por Haber, em 1909 (ASCH, 1999). A Figura 2
mostra o diagrama esquemático de uma célula eletroquímica para medição de pH.
Como se vê, há dois eletrodos: um chamado de eletrodo de medição e outro, de
referência. Ambos os eletrodos são preenchidos com uma solução de pH conhecido
(geralmente, com cloreto de potássio, KCl, com pH igual a 7,0).
O eletrodo de medição é formado por um tubo de vidro impermeável, de alta
resistência elétrica, ao qual se solda em sua extremidade inferior uma membrana de
vidro dopado com íons de lítio (COBBOLD, 1974; ALLABOUTCIRCUITS, 2010), de
formato geralmente esférica, cilíndrica ou cônica. Esta membrana é semipermeável, ou
seja, neste caso, permeável apenas ao íon H
+
. Assim, dado que dentro do tubo de vidro
há uma solução com pH conhecido (diga-se, com concentração molar de íons H
+
conhecida), caso a concentração molar de íons H
+
da solução que preenche o
recipiente externo seja diferente daquela, acontecerá movimentação de íons H
+
do lado
25
de maior para o de menor concentração. Esta migração iônica resultará, no equilíbrio
dinâmico, em uma diferença de potencial através da membrana de vidro proporcional à
diferença entre os pHs das soluções. Quantitativamente, calcula-se esta diferença de
potencial por meio da equação de Nernst (ASCH, 1999; COBBOLD, 1974;
NATIONAL INSTRUMENTS, 2005)
Ponta de prata clorada
Solução tampão de cloreto de
potássio (com pH = 7,0)
Bulbo de vidro muito fino quimicamente
dopado com íons de lítio
Selo
Tubo de vidro impermeável
E
pH
Fio de prata
Fio do eletrodo
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
- -
Eletrodo de
Medição
Selo
Junção porosa
Eletrodo de
Referência
H
+
Solução com pH desconhecido
Figura 2 - Ilustração dos eletrodos de vidro para medição de pH (LUCENA, 2006).
H
nF
RT
EE
pH
log
3,2
0
(5)
Onde
E
pH
é a tensão através da membrana de vidro;
E
0
é a diferença de tensão em uma solução de pH igual a 7,0;
R é a constante universal dos gases (8,3143 JK
-1
mol
-1
);
T é a temperatura em Kelvin;
n é o número de valência dos elétrons por mol (igual a 1, para o H
+
);
e F é a constante de Faraday (96487 Cmol
-1
).
26
2.3 Dificuldades em medições de pH
2.3.1 pH médio
Como é possível observar através dos relatos dos itens anteriores o conceito de
pH não é trivial. Por exemplo, muitos trabalhos têm-se referido a métodos para
calcular “valores de pH médio”, provocando muitas discussões e confusões. Parte da
confusão tem sido causada pelo fato de que o conceito não tem sido bem definido.
O “pH médio” é descrito como o pH resultante de uma mistura de soluções. Pela
definição apresentada anteriormente, pela Equação 3, pode-se pensar que o “pH
médio” de algumas soluções pode ser obtido pela média do pH obtido depois da
mistura das soluções, ou seja, da seguinte maneira:
n
i
i
AV
pH
n
Hp
1
1
][
(6)
Gustafsson e Waller (GUSTAFSSON; WALLER, 1986) descrevem sobre um
outro método sugerido na literatura que, para uma mistura de iguais volumes (ou
fluxo), o pH médio é calculado por:
n
i
iAV
H
n
Hp
1
10
][
1
log][
(7)
Esta maneira é sugerida como uma correção do procedimento descrito pela
Equação 6. Ambos os métodos de cálculo, Equações 6 e 7, são incorretos. Por
exemplo, para uma mistura de quatro soluções de igual volume, com valores de pH de
2, 4, 6 e 8 respectivamente, temos que, aplicando a Equação 6, o
5][
AV
Hp
, e
aplicando a Equação 7, o
6,2][
AV
Hp
.
Nenhum dos resultados é correto. Se um ácido forte com pH=4 é diluído em água
pura, o pH final não é independente da presença de um ácido fraco (buffer) no sistema.
Portanto, são necessárias mais informações, especificamente, sobre a química do
27
sistema, ou seja, sobre as reações químicas na mistura. Em conclusão, o pH de uma
mistura não pode ser calculado se só são conhecidos os valores de pH (e as proporções
de mistura) das soluções individuais (GUSTAFSSON; WALLER, 1986).
2.3.2 Curva de titulação ou curva de equalização
A unidade primária de informação básica requerida para o projeto de sistemas de
controle de pH é a curva de titulação, algumas vezes referida como a curva
característica ou a curva de equalização. A forma da curva é conhecida da relação
logarítmica mostrada na Equação 3. A identificação de cada espécie no fluxo de saída,
suas concentrações, suas constantes de ionização (ou equilíbrio), permite calcular a
curva de titulação. A Figura 3 mostra as curvas de titulação para diversos processos
ácidos-base.
Figura 3 – Curvas de titulação para: a) ácido forte – base forte, b) ácido fraco – base forte, c) ácido forte – base
fraca, d) ácido fraco – base fraca.
28
Ponto neutro – na curva de titulação é o ponto no qual a concentração de íons de
hidrogênio é igual à concentração de íons hidroxila.
Ponto de equivalência – na curva de titulação é o ponto no qual a concentração de íons
ácido é igual à concentração de íons base.
O ponto de equivalência coincide com o ponto neutro para um sistema ácido
forte – base forte. A inclinação da curva de titulação é infinita no ponto de
equivalência.
As palavras, forte e fraco dizem respeito à concentração ou grau de pureza do
material (ácido ou base). Por exemplo, uma solução ácida de 95% é mais forte que
uma solução ácida de 4%. Na Figura 3, esta definição é usada para mover a curva de
titulação horizontalmente para direita se o ácido torna-se forte (em concentração), ou
para a esquerda se o ácido torna-se fraco. Este deslocamento da curva, no entanto,
provoca uma severa complexidade no controle de pH (GUSTAFSSON; WALLER,
1986) (SOTOMAYOR, 1997).
2.3.3 O efeito buffering
Se quantidades equivalentes de uma base forte e um ácido fraco, ou um ácido
forte e uma base fraca, são misturados em um tanque, a solução resultante pode não
ser neutra. Como resultado deste fenômeno, será necessário uma maior quantidade de
reagente forte para neutralizar o reagente fraco. Por exemplo, uma amostra de água
residual com pH=2 irá requerer uma maior quantidade de reagente básico para ser
neutralizada se a acidez é causada por ácido acético (um ácido fraco) que se ela fosse
causada por ácido clorídrico (um ácido forte). Este efeito é chamado buffering, que é a
capacidade de uma solução para resistir a mudanças no pH.
Reagentes fracos mantém uma reserva de ácido ou base não dissociados.
Considere-se um ácido fraco sendo neutralizado por uma base forte. Nos valores
baixos de pH, o ácido tem uma grande capacidade de absorve íons hidroxila da base
devido à reserva de ácido não dissociado. Como a base é titulada na solução, íons
hidrogênio são removidos dela. Porém, como os íons hidrogênio são neutralizados, o
29
equilíbrio da reação varia, liberando mais íons hidrogênio e provocando uma pequena
mudança no pH, desta maneira, as soluções buffered resistem às mudanças no pH.
O uso de um elemento buffer em um processo ácido forte – base forte, como o da
Figura 4, provoca o efeito buffering na curva de titulação, o que significa que a curva é
menos sensível perto do ponto de neutralidade, e o baixo ganho do processo facilita o
controle de pH. Contudo, além do fato de facilitar o controle, que é bastante desejado
em processos de neutralização de pH, o buffering torna o sistema variante no tempo
(GUSTAFSSON; WALLER, 1986) (HALL; SEBORG, 1989) (HENSON; SEBORG,
1994) (SEBORG; EDGAR; MELLICHAMP, 2004).
Figura 4 – Curvas de titulação para soluções buffered e unbuffered.
2.3.4 A medição de pH
É comum, em indústrias que possuem sistemas de medição de pH, ocorrerem
situações do tipo:
“Algumas vezes por semana, o pessoal de instrumentação recebe um chamado para a
correção em uma falha de alguns dos sistemas de medição de pH da planta; este logo
pega o seu „kit de sobrevivência‟ que contém minimamente os buffers de calibração,
soluções químicas de limpeza, água em uma pisseta de laboratório e papel higiênico e
segue para o processo, todo equipado e munido de uma grande boa vontade para
dedicar alguns minutos ou horas à resolução do problema. Após desmontar o eletrodo
30
de seu suporte, ele testa o eletrodo, tenta todo tipo de limpeza química e, muitas vezes,
acaba descobrindo que o problema vem de uma baixa isolação do cabo, que foi
atacado por corrosão ou umidade, levando então à troca de cabo e eletrodo, pois o
ponto de medição está fora do ar já faz algum tempo e a sala de controle já está
impaciente com a falta da medição de pH por tanto tempo no supervisório (SABADIN,
2008).
É por este motivo que sistemas de pH são a grande dor de cabeça das equipes de
instrumentação. A raiz dos problemas é que tudo funciona perfeitamente até que ao
primeiro sinal de perda de isolação do cabo entre o sensor e transmissor, causada por
diversos fenômenos como umidade, sujeira, oxidação de terminais e muitos outros,
ocorre uma variação da resistência deste mesmo cabo, que a partir deste momento
entrega ao transmissor um valor em milivolts com um erro, erro este que acarreta um
desvio do valor calculado de pH, mas que não é uma variação real de pH do processo,
mas sim um simples erro de medição. A partir deste momento, é iniciada uma reação
em cadeia, onde os sistemas automáticos de correção de pH começam a atuar, abrindo
e fechando válvulas e trabalhando de forma a corrigir uma variação de pH que não é
real e só leva a erros maiores, que serão percebidos somente na próxima intervenção
preventiva, ou no momento em que o erro se torne tão grande que alguém de processo
perceba e intervenha corretivamente (McMILLAN, 1994).
Neste momento o instrumentista é chamado para compensar o erro, trocando o
cabo e/ou limpando terminais, se este for o caso crítico de desvio. Se for um caso mais
simples, ele promove uma nova calibração, para que os efeitos desta variação sejam
compensados no conjunto transmissor, cabo e eletrodo, de forma que o erro desapareça
momentaneamente, até que o próximo fenômeno altere novamente a condição do cabo
e novos erros apareçam. É importante notar que a calibração foi uma ação corretiva
eficaz, pois compensou o erro, mas foi motivada por algo externo ao eletrodo e seus
componentes internos. A percepção é que um dos grandes vilões na medição de pH
não é o eletrodo em si, e sim os problemas que aparecem no caminho entre o sensor e
o transmissor de pH, ou seja, a forma como este sinal (mV) delicado trafega até o
transmissor.
31
Pensando nisto, os fabricantes de sistemas de medição desenvolvem conectores
com banho de ouro, blindagens especiais dos condutores e complexas proteções contra
umidade, com o intuito de minimizar o impacto devastador deste efeito; porém, isso
resulta em cabos que devem ser extremamente bem cuidados e protegidos em
eletrodutos individuais, com poucos metros de comprimento e exigindo calibrações
freqüentes de todo o conjunto no local (SABADIN, 2008). A Figura 5 mostra a
configuração encontrada em um sistema analógico de medição de pH.
Figura 5 – Cadeia de medição analógica (SABADIN, 2008).
O conceito do sensor digital é baseado na idéia de fazer todos os processamentos
críticos ainda dentro do sensor, converter os dados de analógico para digital ainda
dentro do mesmo e só então estabelecer uma conexão entre sensor e transmissor, livre
de interferências e livre de conectores metálicos passivos de efeito da umidade e
corrosão. A Endress+Hauser, uma das empresas líderes em instrumentação e soluções
em automação para processos industriais, desenvolveu um sistema digital de medição
de pH, com uma pequena eletrônica no próprio sensor com quase tudo o que existia
num transmissor analógico, com o propósito de conseguir um diagnóstico ativo, o fim
da conexão de alta impedância, e menor quantidade de intervenções. A Figura 6
mostra a cadeia de medição do sistema digital.
Figura 6 – Cadeia de medição digital (SABADIN, 2008).
32
Neste novo conceito, alguns sensores poderão estar disponíveis no laboratório já
limpos, tratados e pré-calibrados, ou seja, prontos para substituir um determinado
sensor que esteja terminando seu ciclo de operação. Assim, todas as soluções de
calibração, limpeza e demais ferramentas de uso comum do especialista de
instrumentação analítica ficam dentro do laboratório, resumindo o trabalho em campo
a uma troca do sensor. Isto torna o sistema de medição muito melhor e mais simples,
mas mesmo com todos esses avanços o processo fica sem o sensor no momento de sua
troca ou manutenção.
2.4 Sensores virtuais
Desde 1999, anualmente é realizado um seminário internacional, patrocinado
pelo IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers), em Sistemas de
Medições Virtuais e Inteligentes (VIMS), no qual apresentam-se trabalhos em
tecnologias emergentes em instrumentação, medição e em sistemas virtuais para
instrumentação e medição. Como relatado em um artigo apresentado na VIMS/2001
por Siegel (2001), apesar de ambos os tópicos Instrumentos Virtuais e Sensores
Virtuais serem temas destes seminários, este último historicamente quase não é
descrito nos programas, apesar de sua relevância e aplicação industrial ser observada.
Em trabalhos de Dorst (1998), são encontrados alguns exemplos do termo
“sensor virtual”, que também é chamado de “sensor lógico” introduzido por
Henderson e Shilcrat (HENDERSON, 1984 apud DEKHIL, 1998).
A noção de “sensor lógico” é descrita como uma metodologia para especificar
qualquer sensor de tal forma que esconda sua natureza física, tendo como principal
objetivo desenvolver uma apresentação coerente e eficiente da informação fornecida
por muitos sensores de diferentes tipos.
Um sensor lógico não tem que ser uma entidade física; pode ser um programa, ou
uma combinação de software e hardware e, em qualquer caso, deve ser visto como um
sensor distinto que poderia ser substituído por um hardware especial. Ou seja, uma
combinação (real ou imaginária) de um sensor físico com processamento e
33
interpretação de dados por software, capaz de medir um dos relevantes parâmetros que
caracterizam um sistema.
A seguir apresenta-se uma descrição bastante formal dada por Groen (DORST,
1998) e transcrita por Siegel (SIEGEL, 2001) sobre o “sensor virtual”:
Em qualquer sistema cujo objetivo seja o sensoriamento, um sensor virtual é um
dispositivo (conceitual) cuja saída pode ser modelada em termos dos parâmetros
relevantes e das saídas de outros sensores reais. Os módulos de sensores virtuais
devem ser escolhidos no mais alto nível de abstração que permita uma
caracterização suficientemente exata do comportamento geral do sistema, mas no
qual as interações entre os vários módulos de sensores virtuais sejam (relativamente)
simples, tanto em suas (in)dependências estatísticas quanto em suas relações causais.
Em um sistema simulado, há a exigência adicional de que os modelos dos sensores
virtuais devam ser passíveis de validação.
Siegel (2001) apresenta também outra definição bastante abrangente que é
coerente com as utilizadas em diversos trabalhos:
O termo „sensor virtual‟ é realmente usado de duas maneiras: primeiro para que
possa se incluir no modelo do sistema um agente que fielmente represente um sensor
real a fim de realizar uma análise de custo-benefício antes de realmente comprá-lo e
instalá-lo, e segundo, para que possa se incluir no modelo do sistema um agente que
represente um sensor desejado.
Assim, pode-se dizer que um „sensor virtual‟ é um sistema projetado para
substituir a indisponibilidade momentânea ou permanente de um sensor em uma
planta. Esta substituição pode ser exigida porque o sensor real tenha falhado ou porque
tenha sido removido para manutenção. Pode também acontecer que o sensor real seja
usado de forma compartilhada (time-sharing), ou não tenha no mercado um sensor
razoável disponível.
A Figura 7 mostra o diagrama de uma planta na qual a variável y, medida usando
um sensor, está para ser substituída pelo sinal y
m
fornecido pelo sensor virtual. Pode
também acontecer que um SV (sensor virtual) necessite ser projetado porque não
existe um sensor disponível. Em geral, o SV é o modelo de uma parte da planta
convenientemente escolhida. As entradas para este modelo são outras variáveis
medidas – controles (
r
uu .....
1
), saídas da planta (
321
,,
) e distúrbios medidos
(
n
pp .......
1
). O modelo usado pode ser do tipo entrada-saída (ARMAX) ou na forma de
equações de estado e de saída. Este último caso comumente conduz ao uso de um
Filtro de Kalman Estendido. Em certos casos, pode ser apropriado usar modelos
34
nebulosos ou modelos baseados em redes neurais, principalmente quando não se
podem utilizar informações a respeito do processo, tendo-se como informações apenas
os dados medidos da entrada e saída do processo, e procura-se utilizar modelos locais
ao invés de globais, com o intuito de se obter modelos mais facilmente interpretáveis.
Com referência ainda à Figura 7, quando o sensor real está ativo, a chave está na
posição R. Então o modelo do SV é identificado, enquanto a malha de controle usa o
sinal y dado pelo sensor real. Quando o sinal do sensor não está mais disponível, a
chave deve ser virada para a posição V, em cujo caso a malha de controle usa o sinal
y
m
fornecido pelo SV, e a identificação do modelo ou a estimação paramétrica é
interrompida.
PLANTA
SENSOR ou
AMOSTRAS de
LABORATÓRIO
controlador
SENSOR
VIRTUAL
R
V
R
V
η
1
η
2
η
3
u
1
.
.
.
u
r
p
1
. . . .
p
n
y
y
m
y
r
Figura 7 – Sensor virtual conectado a uma planta
Um outro importante uso potencial para os SV é quando da detecção de falha ou
grave perda de calibração no sensor real, ou seja, se o sensor real estiver fora de
serviço por qualquer motivo, a variável deixa de ser medida, e isso pode resultar em
sérios problemas de operação da planta ou processo. Para evitar esses problemas,
dependendo das condições técnicas e econômicas, pode ser utilizado como suporte um
sensor real ou um SV, que geralmente é implementado por software.
A Figura 8 ilustra o compartilhamento no tempo de um sensor entre diferentes
partes de uma planta. Para aquele ponto que é momentaneamente desconectado do
35
sensor real, o correspondente sensor virtual fornece um sinal estimado. Durante o
intervalo de tempo em que o sensor real está efetuando a medida, os correspondentes
parâmetros do modelo do sensor virtual são estimados. Esta abordagem tem sido
usada, por exemplo, para estimar a distribuição do tamanho de partículas em uma
planta de moagem (trituração) no Chile (GONZÁLEZ et al., 1994).
PLANTA 1
PLANTA 2
XT
SV2
SV1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
Controlador 1
Controlador 2
Figura 8 – Os sensores virtuais SV1 e SV2 são usados em duas malhas de controle quando o sensor XT é
compartilhado no tempo entre as duas plantas.
Se um sensor não está disponível, em alguns casos, um sensor virtual pode ser
desenvolvido e calibrado usando amostragem e análise off-line de laboratório, como
ilustrado na Figura 9.
PLANTA 1
AMOSTRAGEM
LABORATÓRIO
SV
Y’
Y
Figura 9 - Sensor virtual substituindo um sensor real inexistente
A Figura 10 mostra o caso no qual o sensor virtual usa um modelo de estados da
planta, para estimar uma variável para a qual nenhum sensor está disponível. Este
36
procedimento tem sido usado para estimar água e minério contidos em uma retífica
semiautógena (GONZÁLEZ et al., 1994).
MODELO da
PLANTA
PLANTA
SV
Y’
Y
Figura 10 - Sensor virtual usando um modelo de planta quando nenhum sensor real está disponível.
Vários problemas, além daqueles de praxe em identificação de sistemas, como
testes dinâmicos e coleta de dados, escolha da representação matemática a ser usada,
determinação da estrutura, dentre outros, surgem no desenvolvimento do sensor
virtual:
(i) seleção de um modelo;
(ii) escolha dos parâmetros do modelo;
(iii) estimação da confiabilidade como uma função do tempo decorrido desde que o
mesmo foi colocado em operação;
(iv) problemas causados na malha de controle decorrentes da substituição do sensor
real pelo sensor virtual.
Em geral, um modelo satisfatório para controle, baseado em modelo, não é
necessariamente adequado para um sensor virtual. De fato, o modelo de controle é
normalmente usado para predizer um sinal dentro de um período relativamente curto,
enquanto no caso de um sensor virtual, um longo período de predição é normalmente
necessário. Neste contexto, por exemplo, um distúrbio de variação lenta - com respeito
ao tempo de resposta da planta - pode ser considerado constante, no caso de um
modelo para controle, mas pode necessitar ser representado em um modo dinâmico em
muito maior extensão de tempo de predição, para o modelo de sensor virtual.
37
Outro aspecto a ser considerado no modelo do sensor virtual está relacionado a
sua estrutura relativa à porção da planta usada para representar o sinal desejado cuja
medida vai substituir. Quanto maior a parte da planta a ser modelada, maior a
complexidade do modelo resultante tende a ser, e o tempo exigido para atualizar os
parâmetros do modelo pode ser muito mais longo. Também um número maior de
distúrbios não mensuráveis pode estar incluído, causando o aumento dos erros de
estimação do sinal. Um modelo usando somente uma pequena parte da planta seria
então desejável, usando medidas que estão de algum modo envolvidas com o sinal a
ser predito. Mas, por outro lado, como será discutido abaixo, até mesmo se um bom
modelo é obtido usando uma porção convenientemente pequena da planta, problemas
sérios podem surgir quando o sensor virtual é chamado para substituir o sensor real em
uma malha de controle.
Outro problema relacionado à estrutura do modelo, que pode levar um modelo de
sensor virtual a ser diferente de um modelo usado em controle, está relacionado à
determinação da estrutura do modelo (por exemplo, achar quais são os componentes
importantes - sinais medidos, incluindo atrasos diferentes e formas funcionais
diferentes) que constitui as entradas do modelo. Estas podem ser determinadas usando-
se vários métodos. Em algumas plantas, onde perturbações medidas têm uma grande
influência na variável a ser predita pelo modelo, pode acontecer que o controle seja
eliminado da estrutura. Isto é correto para um modelo de sensor virtual, mas
certamente não, para um modelo de controle, onde o componente de controle deve ser
forçosamente incluído (contudo o problema de controle pode se tornar difícil devido a
esta situação).
A capacidade de um sensor virtual funcionar conforme esperado, eficientemente
e sem falhas, ou seja, confiavelmente, é uma outra questão a ser considerada:
(i) no momento em que o sensor virtual está para ser colocado em operação, e
(ii) durante o período em que ele está em operação.
No primeiro caso, a fim de descobrir se o sensor virtual está apropriado, quando
ele estiver para ser colocado em operação, seu desempenho deve ser avaliado durante
um período de tempo
c
t
antes da falha. Isto é feito, na verdade, medindo-se o erro
quadrático médio entre a saída do sensor virtual e o sinal real (que está na verdade
38
sendo medido) durante o tempo
c
t
. Visto que
c
t
não é conhecido com antecedência,
permanentemente períodos de testes sobrepostos são necessários.
No segundo caso, esta confiabilidade pode ser expressa em termos da
probabilidade de o erro quadrático médio entre a saída do sensor virtual e a, agora não
mensurável, variável real ultrapassar um certo limite, em um dado instante do período
de operação do sensor virtual.
Técnicas de modelagem específicas para sensores virtuais usando redes neurais,
conjuntos e agrupamentos nebulosos, constituem um interessante desenvolvimento a
ser pesquisado.
Embora testes experimentais tenham sido efetuados em plantas industriais, muito
mais pesquisas são requeridas, para garantir aplicações práticas bem sucedidas. Entre
outros temas, a oportuna descoberta de um sensor falho é de suma importância:
(i) para que os parâmetros do modelo não venham a ser incorretamente estimados, e
(ii) a fim de trocar o sensor pelo sensor virtual a tempo.
Em geral, então, a área de sensores virtuais é um rico campo para pesquisa, que
pode conduzir a aplicações industriais, pois ela fornece uma maneira de aumentar a
robustez das malhas de controle, ou pelo menos proporcionar um meio mais suave de
diminuição de sua qualidade, em caso de falha ou remoção do sensor (GONZALEZ et
al., 2004) (FORTUNA et al., 2007).
2.5 Aplicações de sensores virtuais
Em um trabalho realizado por Muir (1990), é utilizado o termo “sensor virtual”
para descrever uma etapa intermediária de fusão e análise de dados que poderia ser
considerado como um substituto para um sensor hipotético. O sensor virtual
desenvolvido é baseado no método de estimação de variância mínima. Ele aplicou esta
abordagem, teórica e experimentalmente, ao problema de identificação de um robô
cinemático, descrevendo uma abordagem que combina e processa a saída de vários
sensores indiretos, mas reais, para sintetizar as assim chamadas saídas, erros e ruídos
característicos de outro conjunto de sensores diretos indisponíveis, mas
conceitualmente desejáveis. Os resultados sugerem que o método de estimação de
39
parâmetros do sensor virtual combinado com o sensor de posição visual pode ser
vantajosamente aplicado para realizar a identificação cinemática de robôs.
Groen tratou de várias áreas de aplicação, dentre as quais um modelo baseado em
visão robótica e outro utilizado em sistema de débito automático para cobrança
eletrônica de pedágio utilizado em uma auto-estrada da Holanda (SIEGEL, 2001).
Atkinson et al. (1998) descreve um sistema de monitoramento de emissão
automotivo em tempo real empregando um sensor virtual baseado em rede neural. Um
sistema de rede neural foi capaz de prever a potência de saída do motor em tempo real,
o consumo de combustível e as emissões, usando medições dos parâmetros do motor
através dos altamente transitórios ciclos de operação do motor.
Dixon et al. (1999) relata um ambiente virtual para modelar um sistema de robô
móvel múltiplo que inclui a capacidade para combinar sensores reais e virtuais.
Criaram uma plataforma de software, conhecida como RAVE (Real and Virtual
Environment), que fornece a infra-estrutura necessária para explorar o comportamento
de colaboração em sistemas de múltiplos robôs móveis heterogêneos. A principal
característica desta estrutura é a capacidade do mesmo programa executar em um robô
real ou um robô simulado, facilitando assim a transferência de um sistema
desenvolvido ou ajustado em simulação para robôs reais.
Kestell (2000) descreve um moderno sistema de controle ativo de ruído com
gerador de sinal de referência com fase bloqueada, que emprega sensores virtuais,
aplicado em um avião monomotor para redução do ruído dentro da cabine, que é um
ambiente extremamente ruidoso, especialmente com respeito à redução de som em
baixa frequência. Resumindo os prós e os contras da abordagem, afirma: “em geral o
„sensor virtual de densidade de energia‟ supera em desempenho o sensor real de
densidade de energia; contudo, os algoritmos do sensor virtual se mostram sensíveis
(em graus variados) a variações de pressão acústica de pequeno comprimento de onda,
dos campos de som primários e secundários”.
Oosterom e Babuška (2000) descrevem um sensor virtual para aceleração de
aeronave usada em um sistema de detecção e identificação de falha, usando métodos
de lógica nebulosa, em que o sensor virtual pode ser aplicado, dentro do sistema de
40
monitoramento, em lugar de um dos vários sensores redundantes. Esta abordagem
auxilia na identificação de sensores reais defeituosos.
Haley relata um “sensor virtual” para medir a quantidade de Listeria
monocytogenes que contamina produtos processados de carne. Baseado em um
modelo fenomenológico que descreve o índice cinético de mortalidade térmica para o
organismo em um tipo específico de carne processada e um modelo numérico de
transferência de calor para pasteurização, o modelo retorna uma predição da
quantidade de organismos residuais (SIEGEL, 2001).
Um dos parâmetros mais importantes dos processos em biotecnologia são as
concentrações de biomassa. A biomassa é comumente definida como a massa ou o
número de células, ou como o total da massa microbial, apesar de que a quantidade
exata de interesse varia com a aplicação. A determinação exata, contínua e on-line da
concentração de biomassa é um dos principais desejos em biotecnologia. O método
mais comum para determinar a concentração de biomassa é extrair amostras para
gravimetria (medição do peso seco da célula), ou também o ensaio de
espectrofotometria (densidade óptica) durante a fermentação. Nos processos
biotecnológicos, é pesquisada a produção de altas concentrações de biomassa e/ou
produto secundário. Estes processos biológicos são afetados por muitas variáveis que
têm uma influência direta no metabolismo das células, tais como temperatura, pH, taxa
de evolução do oxigênio, taxa de evolução do dióxido de carbono e o tempo
transcorrido na fermentação. Para otimizar a produção, é necessário controlar as
variáveis mais importantes do processo. Em um monitoramento tradicional de
biomassa e produto, se o desempenho da fermentação for ruim, a ação para correção
da fermentação poderá resultar tardia e desastrosa. Ascencio e Herrera (1998);
Ascencio e Galicia (2000) e González e Ascencio (2000) propõem o uso de redes
neurais artificiais para a estimação inferencial, ou seja, o uso de sensores virtuais para
se obter uma estimação da biomassa a partir de conjuntos diversos de medições, por
exemplo, taxa de evolução de dióxido de carbono mais tempo transcorrido, e pH mais
o tempo transcorrido e taxa de evolução de carbono mais taxa de evolução de oxigênio
mais o tempo transcorrido.
41
Em produção de ferro e aços complexos, unidades de operação, incluindo alto-
fornos e fornos de coqueamento, produzem gases como subprodutos. Algumas plantas
antigas descarregavam estes gases na atmosfera, desperdiçando valiosa energia e
causando severa poluição do ar. Uma planta de gás mistura estes gases para produzir o
combustível para o forno de fundição de metal e laminadores de metal. A qualidade do
gás misturado é medida por sua massa térmica. Gases com massa térmica inconsistente
podem causar problemas no controle, na qualidade, e na produção, devido ao aumento
ou diminuição do aquecimento. Mesmo durante produção normal, o fornecimento e a
demanda de gás podem variar aleatoriamente. Unidades de operação como alto-fornos
e fornos de reaquecimento podem trabalhar periodicamente causando enorme distúrbio
no fluxo de gás, de pressão e na massa térmica. Analisadores de massa térmica on-line
são disponíveis, mas não comumente usados durante a operação normal, porque são
difíceis de manter e excessivamente caros. O objetivo é monitorar e controlar a massa
térmica de gás automaticamente em todas as condições de operação. A empresa
General Cybernation Group Inc. oferece uma solução para a medição e controle de
massa térmica, usando uma tecnologia de sensor virtual, chamada CyboSoft, baseada
em uma rede neural perceptron de multicamadas, para aplicação em processos de
mistura de gás onde a massa térmica pode ser calculada corretamente e em tempo real
(CYBOSOFT, 2003).
Um outro exemplo de aplicação surge na indústria de papel, que usa sensores
virtuais para determinar parâmetros de qualidade considerados críticos para a folha de
papel. Antes dos sensores virtuais, tais medidas tinham que ser feitas depois do papel
ser fabricado, quando uma amostra era levada para uma análise em laboratório. Esta
aplicação foi desenvolvida pela empresa Pavilion Technologies, utilizando também
redes neurais artificiais, para predição das propriedades de qualidade da folha durante
a fabricação do papel (MERRITT, 2002).
A empresa Pavilion Technologies produz também o que eles chamam tecnologia
PEMS (sistema preditivo de monitoramento de efluente), ou seja, um sensor virtual
para aplicação em plantas de tratamento de águas, com o intuito de predizer a demanda
bioquímica de oxigênio para controle ambiental, com aplicações em tratamento de
42
água em indústrias de papel, refinarias, processos químicos e estações de tratamentos
de águas e resíduos urbanos (SOFT SENSOR – WASTEWATER, 2002).
Uma aplicação industrial bastante interessante é a descrita por Wil Chin que
explica sobre um problema a ser considerado em instrumentação, encontrando na
indústria a denominação de “parâmetros intangíveis”, da seguinte maneira:
“Parâmetros intangíveis podem ser propriedades muito complexas de uma substância,
tais como sabor ou gosto, cremosidade, cor, maciez ou suavidade, que podem somente
ser subjetivamente definidos. Embora um parâmetro intangível possa ser vinculado à
uma propriedade física da substância, não há uma definição conhecida”, e completa:
“tipicamente, parâmetros intangíveis devem ser medidos sem se ter qualquer
conhecimento detalhado do parâmetro” (MERRITT, 2002). Parâmetros intangíveis
podem ser encontrados em todo o segmento industrial, incluindo as indústrias de óleo
e gás. A indústria de analisadores virtuais ou sensores virtuais trabalha para fazer
análises “impossíveis”, ou seja, sua metodologia é medir tudo que afeta a variável do
processo, aplicar experiência e regras, e calcular o valor da variável sem obter uma
medida física; em outras palavras, os sensores virtuais deduzem o valor.
Os parágrafos anteriores provêem uma amostragem da gama de abordagens e
aplicações dos sensores virtuais, proporcionando uma visão clara de que, nos
seminários da comunidade VIMS, poucos trabalhos foram e ainda estão sendo
apresentados sobre este tema, mesmo sendo um dos fóruns mais adequados para fazê-
lo, e que a maior parte dos trabalhos são acadêmicos, com algumas aplicações em
escala industrial.
2.6 Desenvolvimento de sensores virtuais
Para implementar sensores virtuais, usaram-se algoritmos como filtros de
Kalman e, mais recentemente, redes neurais, algoritmos genéticos e, também,
computação nebulosa, como mostra o grande número de artigos recentes sobre o
assunto.
Como descrito, existem várias abordagens diferentes para modelagem de
sistemas não lineares complexos, as quais podem ser agrupadas em métodos globais e
43
métodos locais. Os métodos globais descrevem o sistema em estudo usando relações
funcionais não lineares entre as variáveis do sistema. Como exemplos, temos os
modelos em espaço de estados não lineares ou modelos caixa-preta de entrada-saída,
como a popular estrutura NARX (Nonlinear AutoRegressive with eXogenous input)
usada frequentemente em conexão com redes neurais ou wavelets (JOHANSEN;
FOSS, 1993). As abordagens locais, por outro lado, tratam a complexidade e a não-
linearidade de sistemas através da decomposição do problema de modelagem em um
número mais simples, em muitos casos, de sub-problemas lineares. Por isso, procura-
se estudar estes métodos que são conceitualmente simples e intuitivamente atraentes,
pois são considerados próximos à maneira como os seres humanos resolvem
problemas. Os modelos locais são normalmente mais facilmente interpretáveis que os
complicados modelos globais, e as técnicas de modelagem baseadas em conjuntos
nebulosos podem ser vistas como métodos de modelagem local (BANERJEE et al.,
1995).
Neste trabalho, analisa-se a principal distinção que pode ser feita entre
submodelos, como os do tipo Mamdani (linguística) ou modelos relacionais e os
submodelos lineares locais representados por regras do tipo Takagi-Sugeno (TS).
Levando em consideração que o objetivo é o uso de técnicas de identificação para a
construção de modelos nebulosos de dados medidos, a obtenção de um modelo
nebuloso baseado em regras usando esses dados requer uma intensa tarefa de
identificação, como foi descrita no item anterior.
Algumas destas tarefas podem ser formuladas como um problema de otimização
não-linear, para o qual um número de técnicas têm sido propostas, tais como métodos
de aprendizado neural (JANG, 1992; OLIVEIRA, 1993), mínimos quadrados
ortogonal (WANG, 1994), aprendizado indutivo (ROSS, 2004), raciocínio
comprobatório (BALDWIN et al., 1995), ou agrupamento (clustering) nebuloso
(BABUŠKA; VERBRUGGEN, 1995; KAYMAK; BABUŠKA, 1995).
De forma resumida, serão analisadas algumas fases do procedimento de
identificação, como a coleta dos dados, a seleção da estrutura, o agrupamento e a
escolha do número de agrupamentos, a derivação do modelo nebuloso, e a
simplificação e validação do modelo, que podem ser observadas no esquema
44
representado na Figura 11, onde se emprega a abordagem de identificação baseada em
agrupamentos nebulosos (BABUŠKA; VERBRUGGEN, 1997).
Modelo Lingüístico
Validação do modelo
Modelo aceito
Simplificação da base de regras,
aproximação lingüística
Modelo TS
Modelo Relacional
Modelo rejeitado
Parâmetros do
agrupamento
Estrutura do
modelo
Encontrando o número de agrupamentos
Agrupamento nebuloso
Seleção da estrutura
Dados
Projeto do
experimento
Combinação de agrupamento,
medidas validadas
Figura 11 - Abordagem de identificação baseada em agrupamento nebuloso
Por último, mas não menos importante, e talvez o item mais significativo deste
trabalho, foi o desenvolvimento de algoritmos que possibilitaram a identificação, ou
seja, estimação dos parâmetros do modelo linear na parte do consequente das regras
com o intuito de poder identificar parâmetros variantes no tempo, o qual tem como
base o trabalho desenvolvido por Wang e Langari (1996b) em conjunto com a
abordagem de identificação baseada em agrupamentos nebulosos, descrita
anteriormente, proposta por Babuška e Verbruggen (1997).
45
3 METODOLOGIA PROPOSTA NESTE TRABALHO
O desenvolvimento de modelos matemáticos de sistemas reais é um tema
importante em muitas disciplinas da engenharia e ciências. Modelos podem ser usados
para simulações, análises do comportamento, melhor entendimento dos mecanismos
fundamentais dos sistemas, projeto de novos processos, ou projeto de controladores.
Tradicionalmente, a modelagem é vista como uma conjunção de um completo
conhecimento da natureza e do comportamento do sistema, e de um tratamento
matemático apropriado que conduz a um modelo utilizável. Esta abordagem é
comumente denominada modelagem do tipo caixa-branca (white-box). Contudo, na
prática, a condição essencial para um bom entendimento dos fundamentos físicos do
problema à mão demonstra ser um severo fator limitante, principalmente quando são
considerados sistemas complexos. Dificuldades encontradas em modelagem
convencional do tipo caixa-branca podem surgir, por exemplo, da pobre compreensão
dos fenômenos básicos, valores incorretos de vários parâmetros do processo, ou da
complexidade do modelo resultante. Um completo entendimento dos mecanismos
básicos é praticamente impossível para a maioria dos sistemas reais. Assim, reunir um
aceitável grau de conhecimento necessário para a modelagem física pode ser uma
tarefa muito difícil, consumir muito tempo ou recursos ou até ser impossível. Mesmo
se a estrutura do modelo estiver determinada, permanece um outro problema que é a
obtenção dos valores exatos para os parâmetros, ou seja, a tarefa de identificação para
estimar os parâmetros dos dados medidos no sistema. Métodos de identificação estão
atualmente em um nível amadurecido somente para sistemas lineares. Muitos
processos reais são, contudo, não-lineares e podem ser aproximados por modelos
lineares apenas localmente.
Uma abordagem diferente assume que o processo a ser estudado possa ser
aproximado através de alguma estrutura do tipo caixa-preta (black-box), bastante
comum, usada como um aproximador de funções genéricas. O problema de
modelagem reduz-se então ao requisito de uma estrutura apropriada do aproximador, a
fim de se apreender corretamente as dinâmicas e não-linearidades para o sistema. Na
modelagem caixa-preta, a estrutura do modelo está mal relacionada à estrutura do
46
sistema real, assim o problema de identificação consiste na estimação dos parâmetros
do modelo. Se dados representativos do processo estiverem disponíveis, modelos do
tipo caixa-preta podem ser desenvolvidos muito facilmente, sem necessitar de
conhecimento específico do processo. Uma grave desvantagem desta abordagem é que
a estrutura e os parâmetros destes modelos comumente não têm qualquer significado
físico. Tais modelos não podem ser usados para analisar o comportamento do sistema
a não ser em simulação numérica, e o modelo obtido não pode ser ampliado ou
reduzido (em proporção) quando se passar a operar em outra faixa de operação do
processo.
O fato de que humanos são frequentemente aptos a conduzir tarefas complexas
sob considerável incerteza tem estimulado a pesquisa por padrões alternativos de
modelagem e controle. Têm sido introduzidas as assim chamadas metodologias de
modelagem e controle "inteligentes", que empregam técnicas motivadas por sistemas
biológicos e inteligência humana para desenvolver modelos e controladores para
sistemas dinâmicos. Estas técnicas exploram métodos de representação alternativa,
usando, por exemplo, linguagem natural, regras, modelos qualitativos, e possuem
métodos formais para incorporar informações suplementares relevantes. Modelagem e
controle nebulosos são exemplos típicos de técnicas que fazem uso do conhecimento
humano e processos dedutivos. Redes neurais artificiais, por outro lado, possuem
capacidade de aprendizado e adaptação pela imitação do funcionamento de sistemas
neurais biológicos em um nível simplificado (BABUŠKA, 2000).
3.1 Sistemas Nebulosos
Um sistema estático ou dinâmico que faz o uso de conjuntos nebulosos ou lógica
nebulosa e da estrutura matemática correspondente é chamado sistema nebuloso.
Existem várias maneiras de conjuntos nebulosos serem envolvidos em um sistema, tais
como:
Na descrição do sistema. Um sistema pode ser definido, por exemplo, como
uma coleção de regras do tipo se-então com atributos nebulosos, ou como uma
relação nebulosa. Um exemplo de uma regra nebulosa descrevendo a relação
47
entre a potência de aquecimento e a variação da temperatura em uma sala pode
ser:
Se a potência de aquecimento é alta então a temperatura aumentará rapidamente.
Na especificação dos parâmetros do sistema. O sistema pode ser definido por
uma equação algébrica ou diferencial, na qual os parâmetros são números
nebulosos em lugar de números reais. Como exemplo considere uma equação:
21
5
~
3
~
xxy
, onde
3
~
e
5
~
são números nebulosos “cerca de 3” e “cerca de 5”,
respectivamente, definidos pelas funções de pertinência. Números nebulosos
expressam a incerteza nos valores dos parâmetros.
A entrada, saída e as variáveis de estado de um sistema podem ser conjuntos
nebulosos. Entradas nebulosas podem ser lidas de sensores com muito ruído
(dados ruidosos), ou então serem quantidades relacionadas à percepção
humana, tais como conforto, beleza, dentre outros. Sistemas nebulosos podem
processar tal informação, que não é o caso com sistemas convencionais.
Um sistema nebuloso pode simultaneamente ter vários dos atributos anteriores. A
Tabela 1 apresenta uma visão geral das relações entre descrições de sistemas e
variáveis nebulosas e crisp (BABUŠKA, 2000).
Tabela 1 - Informação crisp e nebulosa em sistemas
descrição do
sistema
dados de
entrada
dados de saída
resultante
estrutura matemática
crisp
crisp
crisp
análise funcional, álgebra linear, dentre
outros.
crisp
nebuloso
nebuloso
princípio da extensão (uma função crisp
pode ser avaliada por um argumento
nebuloso (ZADEH apud BABUŠKA,
2000))
nebuloso
crisp/nebuloso
nebuloso
cálculo relacional nebuloso, inferência
nebulosa
48
Os mais comuns são os sistemas nebulosos definidos por meio de regras se-
então: sistemas nebulosos baseados em regras, que para muitos autores podem por
simplicidade serem chamados modelos nebulosos. Portanto, sistemas nebulosos podem
servir para diferentes fins, tais como modelagem, análise de dados, predição ou
controle.
3.2 Relevância da modelagem nebulosa
Conhecimento incompleto ou vago a respeito do sistema. A teoria convencional de
sistemas conta com modelos matemáticos exatos (crisp) de sistemas, tais como
equações algébricas e equações diferenciais ou de diferenças. Para alguns sistemas,
tais como sistemas eletro-mecânicos, modelos matemáticos podem ser obtidos. Isto
ocorre devido às leis físicas que governam os sistemas serem bem entendidas. Para um
grande número de problemas reais, contudo, a reunião de um satisfatório grau de
conhecimento necessário para a modelagem física é uma tarefa difícil ou impossível.
Na maioria dos sistemas, os fenômenos básicos são conhecidos apenas parcialmente e
modelos matemáticos exatos não podem ser derivados ou são muito complexos para
serem úteis. Exemplos de tais sistemas podem ser encontrados nas indústrias químicas
ou de alimentos, biotecnologia, ecologia, finanças, sociologia, dentre outras. Uma
porção importante de informação a respeito destes sistemas é disponível através do
conhecimento de especialistas humanos, operadores e projetistas de processo. Este
conhecimento pode ser vago e incerto para ser expresso por funções matemáticas. É,
contudo, frequentemente possível descrever o funcionamento dos sistemas por meio de
uma linguagem natural, na forma de regras do tipo se-então, e sistemas baseados em
regras nebulosas podem ser usados como modelos baseados em conhecimento
construídos usando conhecimento de especialistas em um dado campo de interesse
(PEDRYCZ, 1990). Por isso, sistemas nebulosos são similares a sistemas especialistas
e estudados amplamente em inteligência artificial “simbólica” (BABUŠKA, 2000).
Processamento adequado de informação imprecisa. Computação numérica precisa com
modelos matemáticos convencionais somente faz sentido quando os parâmetros e os
49
dados de entrada são rigorosamente conhecidos. Como este não é frequentemente o
caso, uma estrutura de modelagem é necessária, a qual possa adequadamente processar
não somente as informações dadas, mas também as incertezas associadas. A
abordagem estocástica é uma forma tradicional de tratar com incertezas, porém, tem
sido observado que nem todo tipo de incerteza pode ser tratada através dela. Várias
abordagens alternativas têm sido propostas, sendo uma delas a lógica nebulosa.
Modelagem e identificação transparente (caixa-cinza). Identificação de sistemas
dinâmicos de medidas de entrada e saída é um importante tema de pesquisa científica
com vasto alcance de aplicações práticas. Muitos sistemas reais são inerentemente
não-lineares e não podem ser representados por modelos lineares usados em
identificação convencional de sistemas (LJUNG, 1999). Recentemente, há um grande
destaque no desenvolvimento de métodos para identificação de sistemas não-lineares
de dados medidos. Redes neurais artificiais e modelos nebulosos fazem parte das mais
populares estruturas de modelo utilizadas. Do ponto de vista de entrada e saída,
sistemas nebulosos são funções matemáticas flexíveis que podem aproximar outras
funções ou dados (medidas) com uma exatidão desejada. Comparada a outras técnicas
de aproximação conhecidas, tais como redes neurais artificiais, os sistemas nebulosos
proporcionam uma representação mais transparente do sistema em estudo, que é
devido principalmente à possível interpretação linguística na forma de regras. A
estrutura lógica das regras facilita o entendimento e análise do modelo em uma forma
semiqualitativa, próximo à forma do raciocínio humano sobre o mundo real
(BABUŠKA, 2000).
Modelos de sistemas nebulosos formam uma classe especial de modelos de
sistemas que usam os mecanismos da lógica nebulosa para representar as
características essenciais de um sistema. De um ponto de vista formal, sistemas
nebulosos podem ser considerados como uma alternativa aos paradigmas de
modelagem linear, não-linear e neural. Entretanto, modelos de sistemas nebulosos
possuem uma característica singular que não está disponível em muitos outros tipos de
técnicas de modelagem formal, ou seja, a habilidade de imitar os mecanismos de
50
raciocínio aproximado realizados na mente humana. Os mais comuns modelos de
sistemas nebulosos consistem em coleções de regras lógicas com atributos incertos,
estas regras junto com o mecanismo de raciocínio são o núcleo do modelo nebuloso
(NGUYEN; SUGENO, 1998).
3.3 Modelos nebulosos baseados em regras
Em sistemas nebulosos baseados em regras, as relações entre as variáveis são
representadas por meio de regras nebulosas do tipo se-então da seguinte forma geral:
Se proposição antecedente então proposição consequente.
(8)
A proposição antecedente é sempre uma proposição nebulosa do tipo “
x
~
é A”
onde
x
~
é uma variável linguística e A é uma constante linguística (termo). O valor
verdadeiro da proposição (um número real entre zero e um) depende do grau de
equiparação (similaridade) entre
x
~
e A. Dependendo da forma do consequente, dois
tipos principais de modelos nebulosos baseados em regras são diferenciados:
O modelo nebuloso linguístico ou tipo Mamdani: ambos o antecedente e o
consequente são proposições nebulosas.
O modelo nebuloso tipo Takagi-Sugeno (TS): o antecedente é uma proposição
nebulosa e o consequente é uma função exata.
3.3.1 Modelo nebuloso linguístico
O modelo nebuloso linguístico foi introduzido como um método para capturar o
conhecimento (semi-)qualitativo disponível na forma de regras se-então:
R
i
: Se
x
~
é A
i
então
y
~
é B
i
, i = 1, 2,…., K
(9)
51
Aqui
x
~
é a variável linguística de entrada (antecedente) e A
i
são os termos
linguísticos antecedentes (constantes). Similarmente,
y
~
é a variável linguística de
saída (consequente) e B
i
são os termos linguísticos consequentes. Os valores de
x
~
(
y
~
)
e os termos linguísticos A
i
(B
i
) são conjuntos nebulosos definidos nos domínios:
p
X x
e
q
Y y
.
As funções de pertinência dos conjuntos nebulosos antecedentes (consequentes)
são então os mapeamentos:
]1,0[:)y(,]1,0[:)x( YX
.
Conjuntos nebulosos A
i
definem regiões nebulosas no espaço antecedente, para
os quais as respectivas proposições consequentes são válidas. Os termos linguísticos A
i
e B
i
são comumente selecionados dos conjuntos de termos predefinidos, tais como
Pequeno, Médio, dentre outros.
Designando-se estes conjuntos por A e B, respectivamente, tem-se
A
i
A
e
B
i
B
. A base de regras
Ki
i
....,,2,1 RR
e os conjuntos A e B constituem a
base de conhecimento do modelo linguístico.
A fim de se poder usar o modelo linguístico, é necessário um algoritmo que
permita calcular o valor de saída, dado algum valor de entrada. Este algoritmo é
chamado mecanismo de inferência nebulosa e para o modelo linguístico, o mecanismo
de inferência pode ser derivado, por exemplo, usando cálculo relacional nebuloso
(BABUŠKA, 2000).
3.3.2 Modelo nebuloso tipo Takagi-Sugeno
O modelo linguístico, como visto no item anterior, descreve um dado sistema por
meio de regras linguísticas do tipo se-então com proposição nebulosa no antecedente
assim como no consequente. O modelo nebuloso do tipo Takagi-Sugeno (TS)
(TAKAGI; SUGENO, 1985), por outro lado, usa funções exatas nos consequentes. Por
esta razão, ele pode ser visto como uma combinação de modelagem linguística e
regressão matemática, no sentido que os antecedentes descrevem regiões nebulosas no
52
espaço de entrada, no qual funções consequentes são válidas. As regras do tipo TS têm
a seguinte forma:
R
i
: Se x é A
i
então
(x)fy
ii
, i = 1, 2,…., K
(10)
Contrariamente ao modelo linguístico, a entrada x é uma variável exata (entradas
linguísticas são em princípio possíveis, mas exigiria o uso do princípio da extensão de
Zadeh para calcular o valor nebuloso de y
i
). As funções f
i
são tipicamente da mesma
estrutura, somente os parâmetros em cada regra são diferentes. Geralmente, f
i
é um
vetor com valor de função, mas para facilitar a notação considera-se um escalar f
i
na
sequência. Uma parametrização simples e útil é a forma “affine” (linear em
parâmetros), produzindo as regras:
R
i
: Se x é A
i
então
i
T
ii
by xa
, i = 1, 2,…., K
(11)
onde a
i
é um vetor de parâmetros e b
i
é um offset escalar. Este modelo é chamado um
modelo do tipo TS affine (BABUŠKA, 2000).
Neste trabalho serão usados modelos nebulosos do tipo Takagi-Sugeno, pois
combinam uma descrição global baseada em regras e modelos lineares locais. Embora
menos genéricos que os modelos do tipo Mandani, são mais fáceis de serem gerados e
implementados, sendo que a cada região do espaço está associada uma equação linear,
cujos parâmetros podem ser calculados pelo método dos mínimos quadrados. As
regras deste modelo podem ser de duas formas, de acordo com a concepção do
modelo.
Na primeira forma, cada variável de entrada é tratada separadamente, cada qual
podendo ser associada aos seus respectivos conjuntos. Por exemplo, imaginando-se um
sistema que possua duas variáveis de entrada u
1
e u
2
, onde um valor de u
1
pode ser
classificado como pertencente, com diferentes graus, aos conjuntos A
1i
e um valor de
u
2
que pode ser associado aos conjuntos A
2i
, as regras nebulosas assumiriam o formato:
kubkubbkyAkuAkuR
xxxxjix 221102211
então ) E )(( Se :
(12)
53
Na segunda forma, os valores das variáveis são tratados agrupados na forma de
um ponto ou vetor. Os conjuntos A
i
, agora, são regiões definidas no espaço de
dimensão p, onde p é o número de variáveis de entrada. Neste modelo, as regras
assumem o formato (BABUŠKA, 2000) e (OLIVEIRA; GARCIA, 2003):
kubkubkubbkyAkzR
pxpxxxxxx
... então Se :
22110
(13)
onde z(k)=(u
1
(k), u
2
(k), ..., u
p
(k)).
3.4 Construção de modelos nebulosos
Tradicionalmente, a lógica nebulosa tem sido vista pela comunidade de
inteligência artificial como uma abordagem para tratar incertezas. Nos anos 90,
contudo, a lógica nebulosa surgiu como um paradigma para aproximação de um
mapeamento funcional (BABUŠKA, 2000). Esta visão moderna e complementar sobre
a tecnologia oferece novas percepções sobre os fundamentos da lógica nebulosa, assim
como novos desafios relativos à identificação de modelos nebulosos.
A identificação de modelos nebulosos consiste de três sub-problemas básicos: a
identificação de estrutura, a estimação de parâmetros e a validação do modelo
(BABUŠKA, 2000).
Identificação de estrutura: envolve a descoberta das variáveis de entrada
relevantes dentre todas as possíveis variáveis de entrada, envolvendo ainda a
especificação das funções de pertinência, o particionamento do espaço de entrada e a
determinação do número de regras nebulosas compreendendo o modelo básico.
Estimação de parâmetros: envolve a determinação dos parâmetros desconhecidos
no modelo usando algum método de otimização baseado tanto em informação
linguística obtida de especialistas humanos como em dados numéricos obtidos do
sistema físico real. A especificação da estrutura e a estimação de parâmetros estão
ligadas, e cada uma delas não pode ser independentemente identificada sem fazer
uso do outro.
Validação do modelo: envolve o teste do modelo baseado em algum critério de
desempenho (por exemplo, precisão).
54
Se o modelo não passar no teste de validação, sua estrutura deve ser modificada e
re-estimados os seus parâmetros, repetindo-se este processo até que um modelo
satisfatório seja encontrado.
Devem ser observadas ainda duas das mais importantes questões em modelagem
nebulosa de problemas de dimensão elevada, ou seja, de problemas complexos:
1) identificação da partição nebulosa do espaço de entrada, e
2) tratamento da explosão do número de regras, ou seja, o aumento exponencial do
número de regras quando o número de variáveis de entrada aumenta.
Partições nebulosas do espaço de entrada definem o antecedente de um modelo
nebuloso. O número de partições nebulosas usualmente determina o número de regras
nebulosas incluindo também o modelo básico. Existem na literatura três tipos de
partições nebulosas: 1) a partição em grade, 2) a partição em árvore e 3) a partição em
dispersão (YEN, 1999).
A obtenção do modelo nebuloso ou identificação nebulosa pode ser feita de três
modos. O primeiro é subjetivo, pois utiliza o conhecimento prévio de um especialista.
O segundo é baseado em modelos estatísticos. E o terceiro modo usa a “clusterização”
como forma de determinação de agrupamentos de dados. Neste trabalho é empregada a
“clusterização”, pois se deseja utilizar uma forma automática de geração de modelos.
Assim, a partir de um conjunto de dados recolhidos da planta (dados de
treinamento), é feita a “clusterização” por um dos métodos descritos adiante. Com os
conjuntos nebulosos já definidos, são geradas as regras, e, a partir de então, os
parâmetros dos consequentes são estimados. Obtém-se, dessa maneira, um modelo da
planta estudada.
3.5 Clusterização ou agrupamento nebuloso
Como já visto nos itens anteriores, modelos nebulosos descrevem os sistemas
estabelecendo relações entre as variáveis relevantes do sistema (por exemplo, entradas
e saídas) na forma de regras do tipo se-então. Cada regra mapeia uma região nebulosa
do espaço de premissa para outra região no espaço consequente. Inferência nebulosa
55
assegura a interpolação entre as regras. Conceber um bem sucedido modelo nebuloso
de um sistema dinâmico requer o ajuste de um número de parâmetros, como a escolha
das variáveis relevantes, o número de funções de pertinência por variável, a forma e os
parâmetros da função de pertinência, o número de regras na base de regras, dentre
outros. A sintonização heurística destas variáveis é muito tediosa e consome muito
tempo, e a geração automática de uma base de regras das medidas do sistema é
portanto altamente desejável.
Um dos métodos que pode ser aplicado para a geração automática de um modelo
nebuloso é o agrupamento (clustering) nebuloso. Algoritmos de agrupamentos
nebulosos são não supervisionados e formam uma partição nebulosa de pontos de
dados em um dado número de grupos (clusters). Aplicando-se agrupamento nebuloso
nos dados obtidos das medições feitas no sistema, um modelo nebuloso do sistema
pode ser obtido. Antes da aplicação de um algoritmo de agrupamento nebuloso, a
estrutura do problema deve ser determinada, identificando-se as variáveis relevantes
do sistema. Então, o número de agrupamentos requeridos deve ser selecionado. Este
número determinará o número de regras na base de regras resultante (KAYMAK;
BABUŠKA, 1995).
Agrupamentos de dados numéricos formam a base de muitos algoritmos de
classificação e modelagem de sistemas. O propósito do clustering é identificar
agrupamentos naturais de dados de um grande conjunto de dados para produzir uma
representação concisa de um comportamento do sistema.
Métodos de identificação baseados em agrupamentos nebulosos se originam de
análises de dados e reconhecimento de padrões, onde o conceito de classificação
(graduação) de pertinência é usado para representar o grau para o qual um dado objeto,
representado como um vetor de características, é similar a algum objeto padrão. O
grau de similaridade pode ser calculado usando-se uma medida de distância
satisfatória. Baseado na similaridade, vetores característicos podem ser agrupados tal
que os vetores dentro de um agrupamento sejam tão similares (próximos) quanto
possível, e vetores de diferentes agrupamentos sejam tão diferentes quanto possível.
Esta idéia de agrupamento nebuloso é ilustrada pela Figura 12, onde o dado é
agrupado em dois grupos com padrões
21
ve v
, usando-se a medida de distância
56
Euclidiana. A partição dos dados é expressa na matriz de partição nebulosa cujos
elementos
ij
μ
são graus de pertinência dos pontos de dados
ii
yx ,
em um
agrupamento nebuloso com padrões
j
v
.
Figura 12 - Interpretação baseada em regra de agrupamentos nebulosos
Regras do tipo se-então nebulosas podem ser extraídas através da projeção dos
agrupamentos sobre os eixos. A Figura 12 mostra um conjunto de dados com dois
agrupamentos aparentes e duas regras nebulosas associadas. O conceito de
similaridade dos dados para um padrão dado deixa suficiente espaço para a escolha de
uma medida apropriada de distância e do próprio caráter do padrão.
Por exemplo, os padrões podem ser definidos como subespaços lineares
(BABUŠKA, 2000), ou os agrupamentos podem ser elipsóides com formas
determinadas adaptativamente (GUSTAFSON; KESSEL, 1978), como na Figura 13.
Figura 13 - Agrupamentos nebulosos hiper-elipsoidais
57
De tais agrupamentos, as funções de pertinência dos antecedentes e os
parâmetros dos consequentes do modelo tipo Takagi-Sugeno podem ser extraídos:
. então é Se
, então é Se
222
111
bxayAx
bxayAx
(14)
Cada agrupamento obtido é representado por uma regra no modelo tipo Takagi-
Sugeno. As funções de pertinência para os conjuntos nebulosos A
1
e A
2
são geradas
por projeções com relação ao ponto da matriz de partição sobre as variáveis
antecedentes. Estes conjuntos nebulosos definidos com relação ao ponto são então
aproximados por uma função paramétrica apropriada. Os parâmetros consequentes
para cada regra são estimados usando-se mínimos quadrados (BABUŠKA, 2000).
Assim, a clusterização é o primeiro passo para que seja gerado o núcleo de
inferência nebuloso a partir de dados coletados do processo e, com o resultado da
clusterização, é possível se determinarem as funções de pertinência, os graus de
ativação e os parâmetros dos consequentes das regras.
3.5.1 Fuzzy C-Means (FCM)
A técnica de agrupamento de dados em que cada ponto pertence a um grupo com
um certo grau, que é especificado por uma graduação de pertinência, é chamada de
Fuzzy C-means. Esta técnica foi originalmente introduzida por James Bezdek (apud
BABUŠKA, 2000) como um aperfeiçoamento nos métodos de agrupamentos iniciais.
Tal técnica proporciona um método para agrupar pontos de dados que povoam algum
espaço multidimensional em um número específico de agrupamentos diferentes.
Em alguns dos métodos utilizados para obtenção de modelos nebulosos, o FCM
foi empregado na clusterização dos dados de entrada (dados de treinamento). O FCM
procura por regiões do espaço de entrada onde haja agrupamentos de pontos,
determinando seus centros. Neste algoritmo de clusterização, a pertinência de um
ponto a um agrupamento decresce com a distância e independe da direção, podendo-se
dizer que, neste caso, os agrupamentos são esféricos.
58
O algoritmo FCM tem como objetivo minimizar a função:
2
1 1
ik ik
c
i
n
k
m
vzJ
(15)
onde:
z
k
=[ u
1
(k), u
2
(k), ..., u
p
(k) ]: ponto de treinamento k;
v
i
=[ x
i1
, x
i2
, ..., x
ip
]: centro do agrupamento i;
μ
ik
: pertinência do ponto k ao agrupamento i, μ
ik
[0;1];
c : número desejado de agrupamentos;
n : número de pontos coletados;
m : determina a “nebulosidade” dos agrupamentos, normalmente assume-se m=2;
p : número de variáveis de entrada.
A pertinência de um ponto a um agrupamento pode ser calculada pela equação:
c
j
m
kjki
ik
dd
1
)1/(2
/
1
(16)
onde:
d
ki
= || z
k
– v
i
||, utiliza-se a norma euclidiana;
1 i c, 1 k p
Caso d
ki
=0 para algum i=s, então μ
sk
=1; e, i s, μ
ik
= 0.
O conjunto de variáveis de pertinência μ
ik
deve obedecer a duas restrições:
nk
c
i
ik
,...,1,1
1
(17a)
cin
n
k
ik
,...,1,0
1
(17b)
A primeira restrição visa evitar a solução trivial da função (16), isto é, evita a
solução onde μ
ik
= 0 para i= 1,..., c e k= 1,..., p. A segunda restrição impede que um
agrupamento esteja totalmente vazio ou que contenha todos os pontos com grau de
pertinência 1.
59
As coordenadas dos centros v
i
podem ser calculadas pela equação:
n
k
m
ik
n
k
k
m
ik
i
1
1
z
v
(18)
Inicia-se ou com uma matriz de centros V=[v
i
]=[x
ij
], i= 1,2,...,c; j= 1,2,...,p; ou
com uma matriz de partição nebulosa U=[μ
ik
], i = 1,2,...,c; k = 1,2,...,n; geradas
randomicamente (obedecendo as restrições (17a) e (17b)). E, através das equações (14)
e (15), podem-se calcular iterativamente os centros dos agrupamentos que minimizem
a equação (13).
Dada uma tolerância ξ, o critério de parada pode ser definido como sendo:
a.
)max(
1l
ik
l
ik
ou
1ll
UU
, caso se tenha iniciado por uma matriz
U; ou,
b.
)max(
1l
ij
l
ij
xx
ou
1ll
VV
, caso se tenha iniciado por uma matriz
V,
onde o índice l indica o valor calculado na l-ésima iteração (OLIVEIRA; GARCIA,
2003) e (WANG; LANGARI, 1996a).
3.5.2 Clusterização pelo algoritmo de Gustafson-Kessel
Como ocorre com o algoritmo FCM, este algoritmo também procura por
agrupamentos de pontos, determinando seus centros. No entanto, é mais genérico, pois
os agrupamentos determinados são elipsóides. Desta forma, a pertinência de um ponto
a um agrupamento decresce de maneira diferente para diferentes direções. Cada
agrupamento, agora, possui um diferente sistema de coordenadas onde cada eixo
possui um peso diferente. O algoritmo foi extraído de (BABUŠKA; VERBRUGGEN,
1997).
O objetivo continua sendo minimizar a função:
60
ik
m
c
i
n
k
ik
dJ vz ,
2
1 1
(17)
sujeita às restrições (14a) e (14b). Mas a nova distância é calculada pela equação:
T22
)()(),(
ikiikkiik
dd vzvzvz M
(18)
onde M
i
é uma matriz positiva definida gerada de acordo com a forma de um
determinado agrupamento i. A matriz M
i
pode ser calculada pela matriz de covariância
do agrupamento i, F
i
, como a seguir:
1
1
det
i
p
ii
FFM
(19)
onde as matrizes de covariância F
i
são calculadas por:
ci
n
k
m
ik
ikik
n
k
m
ik
i
,...,2,1
1
T
1
vzvz
F
(20)
Cada iteração (l) do algoritmo de Gustafson-Kessel consiste em quatro passos.
Definidos o número de agrupamentos c, a constante m e uma tolerância ξ, e, sendo
dado um conjunto de dados de treinamento Z={z
k
}, k=1,2,...,n, pode-se iniciar a
clusterização a partir de uma matriz de partição nebulosa inicial U=[μ
ik
], i=1,2,...,c;
k=1,2,...,n; ou através de uma matriz de centros V=[v
i
]=[x
ij
], i=1,2,...,c; j=1,2,...,p. Os
passos de cada iteração são:
a) Calcular os centros dos agrupamentos:
61
ci
n
k
m
l
ik
n
k
k
m
l
ik
l
i
,...,2,1
1
1
z
v
(21)
b) Calcular as matrizes de covariância pela equação (20).
c) Calcular as distâncias dos pontos aos centros dos agrupamentos pelas equações
(18) e (19), i=1,...,c e k=1,...,n.
d) Atualizar a matriz de partição nebulosa U=[μ
ik
] pela equação (16), utilizando as
distâncias calculadas no item c. Caso d
ki
=0 para algum i=s, então μ
sk
=1; e, is, μ
ik
=0.
Quando se inicia por uma matriz U, a sequência de passos é a, b, c e d. Por outro
lado, iniciando-se por uma matriz de centros V, a sequência é b, c, d e a.
Dada uma tolerância ξ, o critério de parada pode ser definido como sendo:
)max(
1l
ik
l
ik
ou
1ll
UU
, caso se tenha iniciado por uma matriz U.
)max(
1l
ij
l
ij
xx
ou
1ll
VV
, caso se tenha iniciado por uma matriz V.
onde o índice l indica o valor calculado na l-ésima iteração.
A Figura 14 ilustra qualitativamente a diferença entre os agrupamentos gerados
pelo FCM e pelo algoritmo de Gustafson-Kessel (GK). As curvas vermelhas indicam
pontos do espaço de iguais graus de pertinência ao respectivo agrupamento. Pode ser
observada a liberdade, no algoritmo de GK, quanto à direção e pesos dos eixos dos
agrupamentos. A clusterização pelo algoritmo de GK encontra muitas aplicações no
processamento de imagens e reconhecimento de padrões (OLIVEIRA; GARCIA,
2003) (BABUŠKA; VERBRUGGEN, 1997).
Figura 14 - a- Ilustração de agrupamentos gerados pelo FCM.
b- Ilustração de agrupamentos gerados por Gustafson-Kessel.
a
b
62
3.6 Estimação dos parâmetros consequentes das regras
Nos modelos Takagi-Sugeno abordados, é necessária a estimação dos parâmetros
consequentes das regras. Este problema pode ser transformado num problema de
estimação dos parâmetros do modelo de regressão linear cuja solução é descrita a
seguir.
Dado um conjunto de pontos (φ
k1
, φ
k2
, ..., φ
kp
) y
k
, k = 1,2,..., n, pode-se
organizá-los num vetor de saída Y=[y
1
, y
2
, ..., y
n
]
T
e numa matriz de entradas:
npn
p
1
111
Φ
Deseja-se determinar o vetor de parâmetros B=[b
1
, b
2
, ..., b
p
]
T
tal que ΦB=Y.
Caso n=p, Φ será uma matriz quadrada, e então, caso haja solução, B=Φ
-1
Y.
No entanto, ao se lidar com identificação de sistemas np, ou mais
especificamente n>p, deseja-se encontrar o vetor de parâmetros B, que determine a
solução que melhor aproxime os pontos dados. Pelo método dos mínimos quadrados, o
objetivo será minimizar a função:
2
BΦYB J
(22)
Assim, o vetor B poderia ser calculado por B=(Φ
T
Φ)
-1
Φ
T
Y. A resolução direta
desta equação não é simples e nem rápida. Mesmo utilizando bons programas
computacionais, a resolução da inversão de matriz pode gerar diversos erros, e é
comum que esta operação não possa ser efetuada devido à matriz ser singular para a
precisão utilizada pelo software. Conforme proposto por Wang e Langari (WANG;
LANGARI, 1996a), é conveniente o uso de um algoritmo recursivo composto das
equações:
63
T
l
k
l
k
l
k
l
k
l
kkk
l
k
l
k
l
k
l
k
l
k
l
k
l
k
l
k
l
k
l
k
l
k
l
k
l
k
l
k
l
k
T
l
k
l
k
T
k
T
l
k
l
k
y
fσCC
BΦσBB
fCσ
ff
ΦCf
1
11
1
2
1
1
1
1
1
(23)
onde, Φ
k
é a k-ésima linha de Φ. Inicia-se o processo por uma matriz C, identidade, de
ordem p. A matriz B inicial é tal que b
i
= 1, 1 i p. E, a cada iteração l, as equações
(23) são calculadas para k=1, 2, ..., n. Para o início de uma nova iteração são usados os
últimos valores de C e B, ou seja, C
0
l
=C
n
l-1
e B
0
l
=B
n
l-1
.
O critério de parada, dada uma tolerância ξ, pode ser definido como:
p
l
n
l
n
1
BB
;ou,
)max(
1l
i
l
i
bb
, para B
n
l
e 1 ≤ i ≤ p.
3.7 Modelos nebulosos utilizados
Os modelos utilizados são do tipo Takagi-Sugeno (TS), no entanto, cada modelo
possui suas particularidades.
3.7.1 Modelo de Wang-Langari
Na abordagem de Wang e Langari (WANG; LANGARI, 1996a), as variáveis de
entrada são tratadas independentemente. Os dados de cada variável são agrupados,
gerando-se assim c agrupamentos por variável e consequentemente c centros de
agrupamentos por variável. O conjunto de regras toma a forma:
64
     
     
kubkubkubbky
AkuAkuAkuR
pxpxxxox
pkpjix
...
entãoe...eeSe:
2211
2211
onde A
ij
refere-se ao cluster j da variável u
i
, i=1,2,..., p, e j=1,2,...,c. Tem-se assim c
p
regras, onde p é o número de variáveis de entrada; ou seja, devemos possuir regras
para todas as combinações possíveis de conjuntos.
Inicia-se o método agrupando-se um conjunto de dados recolhidos da planta
(modelo) numa matriz Z de dados de entrada na forma:
nn
p
n
p
y
y
uu
uu
1
1
11
1
Z
onde u
i
k
=u
i
(k) e y
k
=y(k). Cada coluna desta matriz, relativa às variáveis de entrada, é
extraída e clusterizada pelo FCM independentemente das demais, obtendo-se assim c
agrupamentos unidimensionais por variável de entrada, definidos por c centros por
variável, v
ij
, i =1,2,...,p e j =1,2,...,c. Estes centros podem ser agrupados numa matriz:
pcp
c
vv
vv
1
111
V
Tendo-se, então, os centros de cada agrupamento, calcula-se a pertinência de
cada ponto de treinamento a cada agrupamento pela equação:
nkcjpi
vu
vu
c
q
m
iq
k
i
ij
k
i
k
ij
,...,2,1,...,2,1,...,2,1
1
1
)1(2
(24)
65
Agora μ
ij
k
representa a pertinência do ponto k, com relação à variável u
i
, ao
agrupamento j desta mesma variável. Neste caso v
ij
é um escalar. Cada regra é
determinada por uma combinação de “clusters” de cada variável. Assim uma regra R
h
é identificada por um vetor Λ
h
=[λ
1
, λ
2
, ..., λ
p
], onde λ
i
{1,2,...,c}, tal que:
k
php
k
h
k
hh
k
h
p
k
p
kk
h
ubububby
AuAuAuR
p
...então
e...eeSe:
22110
2211
21
O grau de ativação g de cada regra para um ponto k é calculado por:
rh
w
w
g
r
i
k
i
k
h
k
h
,...,2,1
1
(25)
sendo r o número total de regras, ou seja, r=c
p
. Um w
h
k
qualquer pode ser calculado
por:
k
n
kkk
h
p
w
...
21
21
(26)
A saída deste modelo nebuloso é:
k
php
k
hh
r
h
k
h
k
h
r
h
k
h
k
f
ububbgygy
...
110
11
(27)
Para finalizar o modelo, falta apenas calcular os parâmetros consequentes b
ij
. O
objetivo é minimizar a somatória dos erros quadráticos para o modelo alimentado com
os pontos coletados. Ou seja, deseja-se minimizar:
n
k
k
php
k
hh
r
h
k
h
k
n
k
k
f
k
ububbgyyyJ
1
2
110
11
2
...
(28)
66
Definindo-se:
n
p
n
r
n
p
nnn
r
nnn
r
n
prprr
prprr
T
rprpp
T
n
uguguguggg
uguguguggg
uguguguggg
bbbbbb
yyy
............
............
............
............
...
11111
2222
1
2
1
22
1
2
1
22
1
1111
1
1
1
11
1
1
1
11
1
0220110
21
Φ
B
Y
(29)
A função objetivo J, a ser minimizada, pode então ser reescrita como:
2
BΦY J
Desta forma, chega-se ao mesmo problema do item 3.6, onde a solução foi
descrita.
Executando-se este procedimento obtém-se um modelo nebuloso a partir de
dados coletados na planta. Para um novo valor de entrada, obtém-se a saída
calculando-se, para o ponto, os graus de ativação de cada regra e calculando-se a saída
pela equação (27). Diferentemente do proposto por Wang e Langari (WANG;
LANGARI, 1996a), na implementação utilizada, as pertinências dos pontos de
treinamento não são interpoladas para o cálculo de uma nova pertinência, mas é
utilizada a própria equação (24).
A Figura 15 ilustra qualitativamente a divisão do espaço de entradas entre as
regras do modelo Wang-Langari para 2 agrupamentos por variável. Os limites de
ativação de cada regra são nebulosos. As linhas tracejadas apenas representam as
regiões onde cada regra prevalece, ou seja, onde o grau de ativação de determinada
regra é maior que as demais.
67
Figura 15 - Ilustração das regiões do espaço de entrada associadas às regras.
3.7.2 Modelo por “Regras Limitadas”
O uso do método descrito no item anterior leva a resultados razoáveis, no
entanto, seu uso é bastante limitado. Para um número pequeno de variáveis (p) e
“clusters” por variável (c), seu uso é possível. Mas, como o número de regras é r=c
p
,
este modelo torna-se inviável para um aumento de c ou p e rapidamente esgota-se a
memória de um computador comum durante o treinamento. Para 6 variáveis, 3
“clusters” por variável, considerando-se 8 bytes de memória por valor armazenado e
1000 pontos coletados tem-se, apenas para a matriz Φ:
40MBytesbytes40.824.00085.103.000
emvalores5.103.00010005.103
parâmetros5.103163
6
Φ
Além da dimensionalidade, outro problema ou característica do algoritmo
anterior é ilustrado na Figura 16.
u
2
11
(u
1
)
12
(u
1
)
21
(u
2
)
22
(u
2
)
u
1
Regra 1
Regra 3
Regra 2
Regra 4
68
Figura 16 - Exemplo do espaço de entradas para o modelo de Wang-Langari
Pode ser observado neste exemplo, que, embora a clusterização tenha
apresentado resultados corretos, só há dados para definir duas das regras existentes.
Apenas as regras 1 e 4 seriam suficientes; além disso, as regras adicionais consomem
tempo de processamento e memória.
Por estes motivos, é proposto um novo método/modelo a ser usado, denominado
de “Regras Limitadas”. Para gerar este novo modelo, os dados coletados são
agrupados como pontos num espaço de dimensão p+1, onde p é o número de variáveis
de entrada, e então são clusterizados. Este modo de clusterização, onde todo o espaço
de regressão é utilizado, é conhecido como Product Space Clustering.
O uso de todo o espaço de regressão na clusterização apresenta melhores
resultados, pois, como a forma da função afeta a clusterização, é possível identificar
melhor as regiões não lineares, atribuindo-lhes um maior número de agrupamentos. A
Figura 17 ilustra esta afirmação.
u
1
u
2
11
(u
1
)
12
(u
1
)
21
(u
2
)
22
(u
2
)
Regra 1
Regra 3
Regra 2
Regra 4
69
Figura 17 - Diferenças do resultado da clusterização. A primeira (A) utiliza apenas a variável de entrada, a
segunda (B) utiliza ambas as variáveis (OLIVEIRA; GARCIA, 2003).
É possível observar claramente neste exemplo as diferenças entre os dois modos
de clusterização. Os dados são gerados a partir de uma função e são adicionados
alguns erros aleatórios. Este conjunto de dados é clusterizado pelo FCM de modo a
encontrar quatro agrupamentos pelas duas formas.
Na clusterização A são utilizados apenas os dados relativos à variável de entrada
u. Como os valores da variável u estão uniformemente distribuídos no intervalo, os
centros dos agrupamentos resultaram também uniformemente distribuídos. A
consequência disso é que existem dois agrupamentos para descrever a região de saída
constante, u > 0,2, e apenas dois outros agrupamentos descrevendo a região mais
complexa, u < 0,2.
Na clusterização B é utilizada a clusterização do espaço de regressão completo,
ou seja, são utilizados os dados de entrada e saída juntos. É possível observar que
deste modo utiliza-se apenas um agrupamento para descrever a região de saída
constante, u > 0,2. E assim é possível utilizar a maioria dos agrupamentos para
descrever a região mais complexa. Um agrupamento é designado a descrever a região
70
aproximadamente linear, u < 0,04, e os outros dois estão associados à região não
linear, 0,04 < u < 0,2. Isto ocorre, pois, nas regiões não lineares, os pontos estão
relativamente mais próximos uns dos outros do que nas regiões que podem ser
aproximadas por retas. Desta forma, este tipo de clusterização proporciona uma
melhora na descrição do sistema, pois leva em consideração tanto a distribuição dos
dados no espaço de entrada quanto o formato da função.
A desvantagem deste método é a perda do caráter linguístico da inferência
nebulosa. No modelo original, do tipo Takagi-Sugeno gerado pelo método de Wang-
Langari, eram encontrados agrupamentos para cada variável, o que ainda permitia a
associação dos agrupamentos a valores linguísticos como “alto”, “médio” e “baixo”.
Neste modelo, a princípio, não há como fazer tal associação; no entanto, isto não
parece uma perda tão grande, tendo-se em vista os objetivos almejados.
Neste método, a cada agrupamento gerado é associada uma regra; dessa forma o
número de agrupamentos define o número de regras diretamente, e por isso é chamado
de “Regras Limitadas”. A clusterização é feita utilizando-se o FCM e, para a
estimação dos parâmetros, utiliza-se o método dos mínimos quadrados.
Como no método anterior, os dados de entrada são agrupados numa matriz de
entrada Z:
nn
p
n
p
y
y
uu
uu
1
1
11
1
Z
onde u
i
k
=u
i
(k) e y
k
=y(k). Mas, neste modelo, os dados de entrada são passados ao FCM
como pontos pertencentes ao
1p
. Definido o número de “clusters” c, o FCM
encontra c centros de “clusters” de dimensão p+1. Estes centros podem ser agrupados
numa matriz V, agora na forma:
)1(1
)1(111
pcc
p
xx
xx
V
71
onde cada linha representa as coordenadas v
i
de um centro de “cluster”. Como durante
a execução não se tem acesso à variável de saída, cujo valor deve ser estimado,
convém armazenar apenas as coordenadas referentes às variáveis de entrada:
cpc
p
xx
xx
1
111
V
A pertinência de um ponto a um agrupamento pode ser calculada por:
c
j
m
kjki
ik
dd
1
)1/(2
/
1
(30)
onde d
ki
=||z
k
– v
i
|| é a distância do ponto k ao centro do agrupamento, v
i
. Neste modelo,
a cada agrupamento é associada uma regra. Assim são geradas r=c regras, cujos graus
de ativação são
hk
k
h
g
.
A saída deste modelo nebuloso é:
k
php
k
hh
r
h
k
h
k
h
r
h
k
h
k
f
ububbgygy
...
110
11
(31)
Para finalizar o modelo, falta apenas calcular os parâmetros consequentes b
ij
. O
objetivo é minimizar a somatória dos erros quadráticos para o modelo alimentado com
os pontos coletados. Ou seja, deseja-se minimizar:
n
k
k
php
k
hh
r
h
k
h
k
n
k
k
f
k
ububbgyyyJ
1
2
110
11
2
...
(32)
72
Definindo-se:
n
p
n
r
n
p
nnn
r
nnn
r
n
prprr
prprr
T
rprpp
T
n
uguguguggg
uguguguggg
uguguguggg
bbbbbb
yyy
.........
.........
.........
............
...
11111
2222
1
2
1
22
1
2
1
22
1
1111
1
1
1
11
1
1
1
11
1
0220110
21
Φ
B
Y
(33)
A função objetivo J, a ser minimizada, pode então ser reescrita como:
2
BΦY J
Desta forma, chega-se ao mesmo problema do item 3.6, onde a solução foi
descrita. Para um novo vetor de entradas, é necessário calcular as novas distâncias e
pertinências aos agrupamentos pela equação (30). Então, determinam-se os graus de
ativação de cada regra e, a partir da equação (31), estima-se a nova saída y
f
.
A Figura 18 ilustra como seria dividido o espaço de entradas para os mesmos
dados da Figura 16.
Figura 18 - Ilustração do espaço de entrada para o modelo “Regras Limitadas”.
u
1
u
2
Agrupamento 1 Regra 1
Agrupamento 3 Regra 3
Agrupamento 2 Regra 2
73
3.7.3 Modelo gerado a partir da clusterização de Gustafson-Kessel.
O método de obtenção do modelo nebuloso, a partir da clusterização de
Gustafson-Kessel, é muito parecido com o método “Regras Limitadas”. Obtém-se uma
matriz de entrada Z conforme ocorre no item anterior, os dados são clusterizados pelo
algoritmo de Gustafson-Kessel e obtêm-se os centros dos “clusters” de dimensão p+1,
assim como as matrizes de covariância F
i
. Ignora-se a coordenada referente à variável
de saída dos centros dos agrupamentos e as últimas coluna e linha da matriz F
i
,
também referentes a esta variável. As distâncias d
ik
são calculadas pela equação (18).
O restante do método de obtenção do modelo e estimação da saída é igual ao “Regras
Limitadas”.
Para se estimar o valor de saída para uma nova entrada, deve-se calcular os novos
valores de distância e pertinência pelas equações (16) e (18). E então a saída é
calculada pela equação (31).
3.8 Métodos de identificação de sistemas variantes no tempo
O principal interesse deste trabalho é criar um sensor virtual que possa estimar
variáveis em sistemas dinâmicos, cujas propriedades possam mudar com o tempo,
mudanças que podem ocorrer devido a várias razões.
Por isso, muitos sistemas dinâmicos requerem a disponibilidade de um modelo
em tempo real conforme o processo se desenvolve. Aplicações típicas incluem
controle adaptativo, predição adaptativa, detecção de falha e monitoramento do
processo, tratando-se assim de processos complexos que podem ser modelados como
sistemas nebulosos com algoritmos do tipo Takagi-Sugeno, descritos no item (3.3.2),
que pode expressar uma relação funcional altamente não linear usando um número
pequeno de regras.
Uma vez que a estrutura da premissa no modelo tipo Takagi-Sugeno, como visto
nos itens (3.4) e (3.5), tenha sido determinada, a tarefa seguinte é estimar os
parâmetros dos modelos de regressão lineares na parte consequente das regras, como
descrito nos itens (3.6) e (3.7).
74
Um dos mais populares algoritmos de identificação de sistemas em tempo real é
o algoritmo dos mínimos quadrados recursivos (Recursive Least Square - RLS). Este
algoritmo é conhecido por ter ótimas propriedades quando os parâmetros do sistema
são invariantes no tempo. Contudo, ele é inadequado para rastrear parâmetros
variantes no tempo, uma vez que o ganho do algoritmo converge para zero,
significando que depois de algumas iterações o erro de predição não mais
desempenhará seu papel. Deste modo, considerável esforço de pesquisa tem sido
dirigido em direção ao desenvolvimento de versões modificadas do algoritmo que
evite que o ganho vá para zero prematuramente.
Porém, o algoritmo RLS pode ser modificado para tratar parâmetros variantes no
tempo, introduzindo-se o chamado fator de esquecimento (forgetting factor), também
conhecido como constante de ponderação de dados exponencial.
3.8.1 Mínimos quadrados recursivos com fator de esquecimento constante
O mais conhecido destes algoritmos RLS, modificado para poder ser usado com
sistemas variantes no tempo, é aquele baseado em ponderação de dados exponenciais
descrito por Goodwin e Paine (apud WANG; LANGARI, 1994).
O algoritmo RLS com esquecimento exponencial é dado por
kkkk
eK
1
ˆˆ
(34a)
1
ˆ
k
T
kkk
ye
(34b)
kk
T
kk
kk
k
P
P
K
1
1
(34c)
1
)(
1
k
T
kk
k
k
PKIP
(34d)
onde
n
kk
ˆ
,
;
nn
k
P
é a matriz de covariância,
n
k
K
é o chamado ganho
de Kalman;
y
, e
k
é o fator de esquecimento com valor constante. Este algoritmo
tem muitas propriedades de convergência desejadas, mas infelizmente pode encontrar
75
o problema de explosão da matriz de covariância, ou seja, a matriz
k
P
pode aumentar
quando k cresce se o sinal de entrada é tal que a magnitude de
kk
P
1
seja pequena (se
o sinal de entrada não é persistentemente excitante) (AGUIRRE, 2004) (WANG;
LANGARI, 1996b).
3.8.2 Mínimos quadrados recursivos com fator de esquecimento variável
Muitos algoritmos, modificados, foram propostos para superar o problema de
explosão da matriz de covariância, dentre os quais o algoritmo de Fortescue et al.
(WANG; LANGARI, 1996b) é o mais interessante e encorajador, apesar de apresentar
algumas desvantagens.
3.8.2.1 Algoritmo de Fortescue
No algoritmo de Fortescue et al. - FKY, o fator de esquecimento
k
, observado
na equação (34c) e (34d), é variante no tempo e seu valor é determinado pela seguinte
regra de ajuste:
0
2
/)1(1
kk
T
kk
eK
(35)
onde
0
é uma constante de ajuste positiva.
Claramente, este algoritmo ajusta o valor do fator de esquecimento baseado no
monitoramento do quadrado do erro de predição, que é tido como um dos mais
convenientes valores para a supervisão do desempenho de um algoritmo de
identificação (ISERMAN; LACHMAN, 1985 apud WANG; LANGARI, 1996b).
Quando o quadrado do erro de predição aumenta,
k
é reduzido.
De qualquer modo, uma possível desvantagem deste algoritmo é que ele pode dar
resultados muito conservadores. A razão é que quando os parâmetros do sistema são
alterados, o fator de esquecimento do algoritmo convergirá para a unidade em um
76
período de tempo muito pequeno, ou seja, o algoritmo é reduzido a um RLS comum
sem fator de esquecimento; por isso ele não pode proporcionar esquecimento
exponencial contínuo, ou, ainda, os dados antigos podem não ser suficientemente
esquecidos.
3.8.2.2 Algoritmo de Wang-Langari
Wang e Langari (WANG; LANGARI, 1996b) propuseram uma modificação no
algoritmo de Fortescue et al. – FKY, produzindo uma nova regra de ajuste do fator de
esquecimento. A diferença essencial entre este novo algoritmo e o algoritmo FKY é
que o fator de esquecimento convergirá para uma constante menor que a unidade no
regime permanente, em vez da constante um. Deste modo, as informações baseadas
em medidas passadas são sempre parcialmente esquecidas, ao passo que às
informações baseadas em novas medidas é sempre dada considerável atenção.
A modificação introduzida no algoritmo de FKY é simplesmente a seguinte:
2
kk
e
(36)
com
0,10
onde e são dois fatores de ajuste com valores constantes. Na prática, o fator é
planejado para ser menor que mas próximo à unidade, para proporcionar esquecimento
exponencial contínuo, enquanto isso evita o problema de explosão da covariância. O
fator é projetado para ser um número grande, sendo o escolhido 1000. As numerosas
simulações, feitas por Wang e Langari, mostraram que a escolha de é muito menos
sensível que a escolha de
0
no algoritmo FKY.
Wang e Langari (WANG; LANGARI, 1996b) provaram que no regime
permanente o algoritmo é reduzido ao algoritmo RLS ordinário com fator de
esquecimento constante, isto é, o algoritmo mostrado nas equações (34a) a (34d).
Poderia ser argumentado ainda que este algoritmo enfrenta o mesmo problema de
explosão da covariância, mas felizmente o valor do fator de esquecimento em regime
77
permanente (
k
) pode ser planejado para ter um valor grande o suficiente (ou seja,
0,995) comparado com aqueles do algoritmo RLS ordinário com fator de
esquecimento constante; assim o problema de explosão da covariância raramente
aparecerá.
Assim, o algoritmo combina as vantagens do algoritmo FKY e o algoritmo RLS
ordinário com fator de esquecimento constante; quando o erro de predição aumenta
inesperadamente,
k
rapidamente diminuirá para se adaptar a mudanças, produzindo
um grande esquecimento exponencial; quando o erro de predição tende a zero,
k
se
aproxima da constante , para garantir um moderado, mas contínuo, esquecimento
exponencial.
A fim de evitar que o fator de esquecimento seja muito grande ou muito pequeno,
até mesmo negativo, uma restrição quanto ao limite superior e ao limite inferior é
acrescentada:
maxmax
minmin
se,
se,
k
k
k
(37)
Comumente,
max
é ajustado como 1 (unidade), e
min
é ajustado como um
número pequeno, como por exemplo 0,2.
A superioridade adicional deste algoritmo sobre o algoritmo RLS ordinário é
essencialmente um peso adicional de atualização em cada passo de tempo, consistindo
de uma operação escalar simples. Tal aumento na complexidade computacional é
insignificante, comparado com aquela do algoritmo FKY.
O algoritmo de Wang e Langari em uma forma mais compacta é:
kk
T
kk
kkk
kk
P
eP
1
1
1
ˆˆ
(38a)
1
ˆ
k
T
kkk
ye
(38b)
1
1
1
1
k
kk
T
kk
T
kkk
k
k
P
P
P
IP
(38c)
maxmin
2
,
kkk
e
(38d)
78
3.9 Equacionamento utilizado na implementação numérica
O algoritmo modificado parece ser bastante eficiente em identificação de
sistemas variantes no tempo, mas ele pode encontrar dificuldade numérica durante sua
implementação prática. O principal problema do algoritmo é que a subtração de
matrizes em (38c), que representa a redução em incertezas devido à medida, pode
produzir uma matriz P
k
que é computacionalmente não positiva definida, uma
impossibilidade teórica. Para superar esta dificuldade, várias técnicas numericamente
confiáveis, tais como a decomposição em raiz quadrada, a fatorização UD e a
decomposição em valor singular, podem ser usadas para o cálculo de P
k
. Será
apresentado aqui o método computacionalmente simples de decomposição em raiz
quadrada que é usado para reformular o algoritmo. C
k
, uma matriz triangular inferior,
denota a decomposição em raiz quadrada de P
k
, isto é
T
kkk
CCP
(39)
Então o algoritmo de (38a) – (38d) pode ser reformulado e será apresentado a
seguir (WANG; LANGARI, 1996b):
)(
1
se,
se,
ajustar
)/(
ˆˆ
ˆ
)/(1
][
1
2/1
maxmax
minmin
2
1
1
1
2/1
2/1
1
T
kkk
k
k
k
k
k
kk
kkkkkk
k
T
kkk
kkk
kkk
kkk
k
T
kkk
k
T
kk
fCC
e
e
ye
fC
ff
C
f
(40)
79
4 PROCESSO DE NEUTRALIZAÇÃO DE pH
4.1 Descrição de um processo de neutralização de pH
É possível encontrar diversas aplicações onde é observada a importância da
medição, regulação e controle do pH. Entre elas podem-se citar plantas de tratamento
de água potável, processamentos biológicos, processamento químico, fabricação de
papel, processamento do vidro, tratamento de efluentes residuais, e também as
mostradas na Tabela 2, que comprovam esta consideração (SOTOMAYOR, 1997).
Tabela 2 - Aplicação do pH em produções industriais
Aplicação
Processos e aspectos afetados pelo pH
Bacteriológica
Cultivo de microorganismos e metabolismo
Cozimento
Volume de massa, textura e cor
Cervejaria
Produção de extrato e açúcar durante o mashing
Conservas
Tempo e temperatura de esterilização
Química
Impurezas e cristalização de sais
Limpeza
Remoção de pinturas
Tintas
Produção e uniformidade de cores
Eletroblindagem
Niquelamento de depósitos
Fermentação
Tempo de fermentação e cultivo de organismos
Gelatina
Absorção de água, solubilidade e claridade
Farmacêutica
Estabilidade e reação do corpo humano
Pigmentos
Uniformidade da composição em precipitação
Águas residuais
Tempo de formação, cheiro e foaming
Téxtil
Processos úmidos
Tratamento de água
Coagulação e processos de abrandamento
Um processo de neutralização de pH pode ser funcionalmente representado pela
Figura 19.
Figura 19 - Uma ilustração de um processo de neutralização de pH
Influente
efluente
Reagente
Equipamento de
Mistura
80
O fluído de entrada cujo pH será ajustado (neutralizado dentro do misturador) é
chamado de influente; é chamado de reagente o ácido (ou base) usado para ajustar o
pH, e de efluente, a saída com o pH ajustado.
Um sistema de controle de pH típico composto de eletrodos de pH, transmissor
de pH, um controlador, válvula de controle e um equipamento de mistura é
funcionalmente representado na Figura 20, adaptado de Sotomayor (1997).
Figura 20 - Sistema de controle típico de pH
Embora um processo de pH real tenda a ser muito complicado devido às
variações das espécies contidas no influente e no reagente e da seleção do
equipamento de mistura, existem vários modelos matemáticos dinâmicos conhecidos
representando as características dominantes de um processo de pH em uma unidade
CSTR (continuous stirred tank reactor).
Estes modelos foram desenvolvidos com base em princípios fundamentais como
balanço de massa e equilíbrio químico e foram experimentalmente comprovados.
Portanto, a planta de neutralização de pH que será utilizada nesta investigação é uma
unidade CSTR. Esta planta tem como objetivo a obtenção de um efluente com pH
desejado (na maioria das aplicações, neutro) através da titulação de uma base (fluido
titulante ou neutralizante) em um ácido (fluido genérico a ser tratado).
Serão apresentadas a seguir duas possíveis representações matemáticas (modelos)
que já foram e continuam sendo bastante utilizadas e testadas na literatura científica, e
também a justificativa para utilização de uma delas no desenvolvimento deste trabalho.
81
4.1.1 Modelo com apenas uma variável de saída (pH)
McAvoy (apud NIE; LOH; HANG, 1996) (PAIVA; MANZI, 2007) desenvolveu
um modelo dinâmico que foi verificado experimentalmente, onde é assumido que na
unidade CSTR ocorre uma mistura perfeita e isotérmica.
Este modelo consiste de duas partes: um modelo dinâmico descrevendo o fluxo
(dinâmico) de concentrações das composições químicas na unidade CSTR; um modelo
estático não linear caracterizando as condições de equilíbrio físico-químico entre estas
concentrações.
Assumindo que o processo de neutralização de pH possua dois fluidos entrando
na unidade CSTR, sendo que o fluxo de entrada
a
F
contém um ácido com
concentração
a
C
e o outro fluxo
b
F
contém uma base com concentração
b
C
, tem-se o
seguinte modelo dinâmico para a unidade CSTR:
()
a
a a a b a
dw
V F C F F w
dt
(41a)
()
b
b b a b b
dw
V F C F F w
dt
(41b)
Onde a constante
V
é o volume da mistura contida no reator, e
e
ab
ww
são
respectivamente as concentrações de ácidos e bases não reagentes contidas no tanque.
As equações (41a) e (41b) descrevem como as concentrações
e
ab
ww
mudam
dinamicamente com o tempo, sujeitas aos fluxos
e
ab
FF
.
Para obter o pH no efluente, é necessário encontrar uma relação entre as
concentrações instantâneas
e
ab
ww
e valores do pH. Esta relação pode ser descrita por
uma equação algébrica não linear conhecida como curva de titulação ou curva
característica e dependendo das espécies químicas usadas, a curva de titulação varia.
Como exemplo, consideremos dois casos:
(a) Um influente fraco é neutralizado por um reagente forte;
(b) Um influente forte é neutralizado por um reagente forte.
82
Considerando o ácido acético (ácido fraco), indicado por HAC, sendo
neutralizado por uma base forte NaOH (hidróxido de sódio) em solução aquosa,
temos as reações (NIE; LOH; HANG, 1996):
OHHOH
2
(42a)
ACHHAC
(42b)
OHNaNaOH
(42c)
De acordo com as condições de eletroneutralidade, a soma das cargas de todos os
íons na solução deve ser zero:
][][][][
ACOHHNa
(43)
Onde o símbolo [X] indica a concentração do íon X.
Por outro lado, as seguintes relações de equilíbrio são válidas para a água e o
ácido acético:
[]
a
AC H
K
HAC

(44a)
[ ][ ]
w
K H OH

(44b)
Onde K
a
e K
w
são as constantes de dissociação do ácido acético e da água com
5
1,76 10
a
K

e
14
10
w
K
. Definindo
[ ] [ ]
a
w HAC AC

,
[]
b
w Na
e inserindo as
equações (44a) e (44b) na equação (43), obtem-se:
32
[ ] [ ] { } [ ]{ ( ) } 0
a b a b a w a w
H H K w H K w w K K K
(45)
Usando a equação
][log
10
HpH
, a equação (45) torna-se
14
10 10 0
1 10
a
pH pH
a
b
pK pH
w
w

(46)
Onde
10
log
aa
pK K
.
83
A relação entre
,
ab
ww
e pH definida pela equação (46) é referida como função de
titulação e o gráfico mostrando explicitamente como o pH é determinado através da
razão de
ba
ww
é referido como curva de titulação, que é mostrada na Figura 21, onde
é observada claramente a não linearidade do sistema.
Figura 21 - Curva de titulação para ácido fraco neutralizado por base forte (NIE; LOH; HANG, 1996).
Consideremos agora o caso onde um ácido forte (influente), por exemplo HCl, é
neutralizado por uma base forte (reagente), por exemplo NaOH. A estequiometria
pode ser descrita pelas seguintes reações (NIE; LOH; HANG, 1996):
OHHOH
2
(47a)
ClHHCl
(47b)
OHNaNaOH
(47c)
Aplicando a condição de eletroneutralidade e a relação de equilíbrio da equação
(44b) produz
a
w
b
w
H
K
Hw
][
][
(48)
84
Onde
a
w
e
b
w
denotam as concentrações dos íons
][
Cl
e
][
Na
, respectivamente. A
função da titulação é dada por
01010
14
pHpH
ab
ww
(49)
E a curva de titulação correspondente é mostrada na Figura 22.
Figura 22 - Curva de titulação para ácido forte neutralizado por base forte (NIE; LOH; HANG, 1996).
Observe que a não linearidade, exibida pelo processo de neutralização de um
ácido forte por uma base forte, é muito mais severa do que a de um ácido fraco
neutralizado por uma base forte, como mostrado na Figura 21.
4.1.2 Modelo com duas variáveis de saída (pH e nível)
Um diagrama esquemático simplificado do processo de neutralização de pH, da
unidade CSTR, é mostrado na Figura 23 (SOTOMAYOR, 1997). O processo consiste
em um fluxo (q
1
) de influente (ácido nítrico, HNO
3
), fluxo (q
2
) de “buffer” ou solução
tampão (bicarbonato de sódio, NaHCO
3
), que tem como objetivo amortecer as
variações de pH, e fluxo (q
3
) de titulante (mistura de hidróxido de sódio, NaOH, e
bicarbonato de sódio, NaHCO
3
, não mostrado na figura), os quais são misturados no
85
tanque TQ
4
, sendo que o nível de líquido (h
4
) e o pH do efluente (pH) são as variáveis
medidas.
Figura 23 - Diagrama geral do processo de neutralização de pH
Uma característica que dificulta a formulação e identificação de um modelo
matemático para o processo de pH é que uma pequena quantidade de elementos
intrusos, como exemplo, carbono ou potássio com capacidade de tamponamento
(buffering), mudam a dinâmica do processo.
O efeito tampão (buffering) é o fenômeno que ocorre se quantidades equivalentes
de uma base forte e um ácido fraco, ou um ácido forte e uma base fraca, são
misturados em um tanque, e a solução resultante não é neutra, ou seja, a capacidade de
uma solução para resistir a mudanças no pH.
Modelos matemáticos gerais para o processo de neutralização de pH são
disponíveis em uma variedade de formulações, como por exemplo, modelo de
invariantes de reação, modelo de concentração de íons e o modelo com curva de
titulação. Dentre estes, o modelo de invariantes de reação é considerado uma das mais
completas descrições para o sistema de pH (HALL; SEBORG, 1989).
86
No sistema em estudo, representado pelo diagrama geral do processo de
neutralização de pH, Figura 23, cada um dos fluxos de entrada contém uma certa
quantidade de íons carbonato, uma base fraca. Os seguintes íons mais o acido fraco
estão contidos nos fluxos reagentes:
H
íon hidrogênio
OH
íon hidróxido
a
N
íon sódio
3
NO
íon nitrato
32
COH
ácido carbônico
3
HCO
íon bicarbonato
2
3
CO
íon carbonato
Já que o íon sódio e o íon nitrato são conjugados de uma base forte e um ácido
forte, respectivamente, isso não significa que quantidades de hidróxido de sódio e
ácido nítrico sejam formadas. Consequentemente, as principais reações químicas para
o sistema são (ALVAREZ et al., 2001):
HHCOCOH
332
(50a)
HCOHCO
2
33
(50b)
HOHOH
2
(50c)
As correspondentes constantes de equilíbrio são:
][
32
3
1
COH
HHCO
K
a
(51a)
][
3
2
3
2
HCO
HCO
K
a
(51b)
]][[
OHHK
W
(51c)
O equilíbrio químico é modelado por definição de duas variantes de reações,
sendo neste caso, para cada fluxo (i [1,4]), considerado volume constante, mistura
perfeita, densidade constante e completa solubilidade dos íons envolvidos. i = 1, 2, 3 e
87
4 representam as quatro vazões volumétricas a serem consideradas, respectivamente:
ácido, solução tampão, base e efluente.
Portanto tem-se:
iiii
i
a
COHCOOHHW ][2][][][
2
33
(52a)
iii
i
b
COHCOCOHW ][][][
2
3332
(52b)
A invariante W
a
representa um balanço de carga relativa e a invariante W
b
representa um balanço na concentração dos íons
2
3
CO
. Ao contrário do pH, estas
quantidades são preservadas. O pH pode ser determinado pela seguinte equação
(HALL; SEBORG, 1989) (ALVAREZ, H. et al., 2001):
0][
][
][][
1
][
2
][
2
211
2
211
H
H
K
W
H
KK
H
K
H
KK
H
K
W
W
a
aaa
aaa
b
(53)
A equação (53) representa a relação não-linear entre W
a
, W
b
e a concentração de
íons de hidrogênio
H
para o sistema. O pH da solução é obtido usando-se a equação
(3) e repetida aqui novamente:
][log
10
HpH
(54)
A parte dinâmica do processo de neutralização de pH é desenvolvida a seguir.
Através de um balanço de massa total no reator, ou seja, no tanque (TQ
4
), mostrado na
Figura 23, e considerando que as massas específicas dos fluidos de entrada, de saída e
do interior do reator sejam constantes e iguais, considerando também que
hAV .
,
tem-se:
43214
qqqq
dt
dh
A
(55)
88
sendo que A
4
é a área da seção transversal do reator, ou seja, tanque (TQ
4
), h é a altura
da solução em seu interior (nível de líquido) e q
4
é o fluxo de saída do efluente.
Dado que as invariantes de reações são por natureza preservadas, equações de
conservação são usadas para representar a dinâmica de estados. Por combinação de
balanços de massa em cada uma das espécies iônicas do sistema, as seguintes equações
diferenciais para as invariantes de reações do efluente (W
a4
, W
b4
), considerando-se h
variável, são derivadas (ALVAREZ et al., 2001):
)()()(
43
3
42
2
41
1
4
4 aaaaaa
a
WWqWWqWWq
dt
dW
hA
(56)
)()()(
43
3
42
2
41
1
4
4 bbbbbb
b
WWqWWqWWq
dt
dW
hA
(57)
Os sensores de pH apresentam tempos de resposta relativamente baixos quando
comparados com os tempos envolvidos no processo, portanto considera-se desprezível
a dinâmica no medidor de pH (SOTOMAYOR, 1997) (ALVAREZ et al., 2001).
Também é desprezível a dinâmica do medidor de nível.
Para uma maior precisão na dinâmica do processo, foram introduzidos um tempo
morto de medição do pH (
pH
) e um atraso na mistura (
mix
), expresso em (58)
)(2
ia
mix
qF
V
(58)
sendo que V é o volume do tanque (reator), F
a
indica a taxa de descarga do agitador e
q
i
é a soma dos fluxos de entrada (i = 1, 2, 3) ao CSTR. F
a
pode ser calculado por:
3
)(4813,7
iqia
DNNF
(59)
onde:
N
i
= Velocidade da hélice do agitador, dada em rpm.
N
q
= Coeficiente de descarga do agitador; pode assumir valor entre (0,4 -0,8)
89
D
i
= diâmetro do círculo formado pela rotação da hélice do agitador. D
i
pode
assumir valor entre (0,25 -0,4) D
t
. D
t
é o diâmetro interno do CSTR.
Portanto, o tempo morto total do sistema será dado por:
mixpHT
(60)
No caso geral, considerando-se um sistema com todas as possíveis variáveis de
entrada e de saída do processo de pH, tem-se:
T
p
TCCCqqqqu ]][][][[
3214321
(61)
T
pHhy ][
(62)
onde:
u representa as entradas do sistema a ser considerado, com as seguintes variáveis:
q
1
é o fluxo de ácido,
q
2
é o fluxo de solução tampão,
q
3
é o fluxo de base,
q
4
é o fluxo de saída,
[C
1
] é a concentração do fluxo de ácido - [HNO
3
],
[C
2
] é a concentração do fluxo de solução tampão - [NaHCO
3
],
[C
3
] é a concentração do fluxo de base -[NaOH],
T
p
é a temperatura do processo (dada em °C): T
p
realmente afeta o pH, muito embora
no modelo apresentado ela não tenha sido considerada,
y representa as saídas do sistema, sendo respectivamente o nível de líquido h e o pH.
4.2 Desenvolvimento de um modelo virtual para o processo de neutralização de pH
Uma das principais bases para o conhecimento científico e tecnológico é a
construção de modelos. Segundo Ljung e Torkel (1994), o modelo é uma ferramenta
usada para a obtenção de informações sobre um sistema sem a necessidade de
90
realização de experimento. Da mesma forma que existem diferentes tipos de sistemas,
existem diferentes tipos de modelos, a saber: modelos físicos, como protótipos e
plantas pilotos, modelos mentais usados para executar tarefas do cotidiano das
pessoas, modelos gráficos, que são usados para descrever o comportamento do sistema
por tabelas numéricas ou curvas de desempenho, e finalmente os modelos
matemáticos, que podem ser definidos como uma representação abstrata da realidade
por equações (CAMPOS, 2007).
Modelagem matemática e identificação constituem uma parte essencial da
investigação e análise de processos do mundo real, e por isso tornaram-se objeto de
atenção nas últimas décadas. Com o uso da descrição matemática de qualquer
processo, é possível estudá-lo, melhorá-lo e também controlá-lo (VOUTCHKOV;
VELEV, 1997).
A obtenção de modelos para sistemas de neutralização e, especificamente, para o
controle de pH tem-se tornado mais relevante na biotecnologia, devido à necessidade
de melhoria da qualidade do produto ou de aperfeiçoamento do processo de produção.
Muito embora os fundamentos físico-químicos e a natureza eletroquímica tenham sido
bem estabelecidos, o controle de tais processos ainda não está bem resolvido do ponto
de vista industrial (CASILLO, 2009).
Toda vez que a experimentação num processo real apresenta restrições de ordem
operacional, econômico-financeira ou de segurança, a realização de estudos de
simulação a partir de um modelo do processo é fundamental, seja com o objetivo de
treinamento, projeto ou predição de resultados (SANTOS, 2007).
O processo de neutralização de pH, uma etapa comum em muitos processos
químicos como parte de tratamentos de águas residuais, tem sido amplamente
considerada como um problema muito difícil em controle de processos. A
complexidade deste processo é maior quando, ao invés de um único ácido, o efluente
apresenta uma combinação de ácidos (uma situação mais realista). Vários exemplos de
sucesso de novas estratégias de controle foram apresentados na literatura, mas o
problema não foi ainda totalmente resolvido.
91
Algumas propostas foram testadas apenas em um processo simulado, enquanto
outras foram testadas num banco de ensaios experimentais, tanto em escala de
laboratório como em planta piloto.
Contudo, um importante problema resulta da falta de congruência e
homogeneidade no que diz respeito às condições de operação, restrições, perturbações
aplicadas, e à capacidade de reproduzir os processos industriais.
Uma alternativa para superar este problema é determinar um modelo de
referência (benchmark model) que permita a realização de estudos comparativos de
diferentes estratégias de controle. Modelos de referência são regularmente utilizados
em outras áreas científicas, embora na área de controle de processo apenas alguns
poucos modelos de referência estejam disponíveis (BUPP; BERNSTEIN; COPPOLA,
1995).
Em particular, apenas o artigo de Alvarez et al. (2001) mostra um modelo de
referência para controle de neutralização do pH, ainda que muitos trabalhos tenham
sido relatados neste campo.
É importante notar que um modelo de referência é mais que um modelo
matemático ou uma montagem de laboratório. Um modelo de referência para projeto
de controle não-linear inclui um modelo matemático, uma montagem de laboratório,
um conjunto de condições para o funcionamento do processo, um conjunto de
requisitos explícitos para o processo controlado, um índice para a avaliação do
desempenho do controlador, e um conjunto de sinais de teste a ser aplicado durante os
ensaios. Além disso, o modelo matemático deve ser validado com a montagem de
laboratório. Uma condição desejável é que o equipamento de laboratório também seja
validado com uma planta industrial real. No artigo de Alvarez et. al. (2001), essas
condições foram satisfeitas, médias de medições do processo de neutralização de
plantas industriais são tomadas e assim dimensionada para um processo condizente à
um equipamento de laboratório, e, finalmente, tal montagem é validada em relação a
um modelo matemático proposto. Todas estas bases de referência indicadas são
tomadas diretamente de trabalhos anteriores (HALL; SEBORG, 1989) (HENSON;
SEBORG, 1994), com a aplicação das modificações necessárias para apresentar um
modelo de referência formal para o processo de neutralização de pH real. Tais
92
modificações foram aplicadas após uma extensa revisão de plantas de neutralização
instaladas em vários países. Apesar de suas condições de funcionamento serem
diferentes daquelas mencionadas em Hall e Seborg (1989), os mesmos serviram como
base para formular um modelo de referência. Um modelo de referência bem
determinado pode ser definido como simples, porque seu modelo matemático e
procedimento de operação são simples, embora o mesmo incorpore todas as
características importantes do processo; e digno de crédito, uma vez que reproduz a
maioria das dificuldades reais de um dado problema industrial; é também
independente, por conter informações suficientes do processo que permitem simulação
do modelo sem cálculos extensos; e claro, com os mecanismos do processo coerentes e
de fácil interpretação física, permitindo que os resultados numéricos da simulação
sejam analisados em relação às condições reais do processo. Portanto, foi
desenvolvido em Simulink
®
/Matlab
®
um modelo virtual para o processo de
neutralização de pH em um tanque CSTR, baseado nos trabalhos descritos
anteriormente, que representa um modelo de referência na literatura técnico-científica,
com reconhecida utilidade e aplicação. O apêndice A contém a descrição em
Matlab
®
/Simulink
®
para o processo.
4.2.1 Intervalos de operação e indicação do modelo
Com o objetivo de testar as principais características dos sensores virtuais
apresentados nos capítulos anteriores, foram realizados exemplos de simulação
utilizando o ambiente de programação Matlab
®
/Simulink
®
.
Com base no equacionamento desenvolvido no item 4.1.2, e com o propósito de
criar um modelo virtual, ou seja, um modelo computacional para o modelo de
referência descrito, é importante definir um conjunto de intervalos de operação que
permita ao modelo reproduzir condições encontradas em processos de neutralização de
pH industriais típicos, mas em uma bancada em escala de laboratório. Valores médios,
que se aproximem dos valores da planta verdadeira, são necessários. Para conseguir tal
feito, foi necessária a colaboração de experientes engenheiros de processo com
pesquisadores, que resultou na montagem de uma bancada de teste do processo em
93
escala de laboratório. A Tabela 3 mostra as condições nominais de estado estável
(nominal stable-state – NSS) para pH = 7,0 em um processo industrial de referência e
em uma bancada de teste em escala de laboratório (ALVAREZ et al., 2001).
Tabela 3 – Instalação industrial e bancada de laboratório sob as condições normais de estado estável NSS
Parâmetros
Indústria
Laboratório
Volume V
14 m
3
0,02 m
3
diâmetro
2,612 m
0,294 m
Ácido
mistura
Forte (HNO
3
)
K
a1
---
4,47 x 10
-7
K
a2
---
5,62 x 10
-11
K
w
1,0 x 10
-14
1,0 x 10
-14
q
1_NSS
0,01166 m
3
/s
1,666 x 10
-5
m
3
/s
T
RESA
1200 s
1200 s
W
a1
=[HNO
3
]
---
0,01 M
W
b1
=cte
---
0 M
Buffer-tampão
---
NaHCO
3
q
2_NSS
---
5,5 x 10
-7
m
3
/s
[NaHCO
3
]
---
0,1 M
W
a2
=cte
---
-0,1 M
W
b2
=cte
---
0,1 M
base
NaOH
NaOH
q
3_NSS
5,83 x 10
-3
m
3
/s
7,81 x 10
-6
m
3
/s
Composição molar de
base
~0,025 NaOH e
3,5 x 10
-4
NaHCO
3
~0,025 NaOH e
3,5 x 10
-4
NaHCO
3
W
a3
=cte
---
-0,02535 M
W
b3
=cte
---
0,00035 M
q
3CMAX
---
2,4 x 10
-5
m
3
/s
q
4_NSS
~1050 x 10
-5
m
3
/s
2,5 x 10
-5
m
3
/s
W
a4_NSS
---
-0,0018862 M
W
b4_NSS
---
0,0023067 M
L
2.0 m
0,446 m
D
p
0,15 m (~5”)
0,012 m (~0,5”)
TTE
2 s
2 s
C
MIX
0,05
0,01
MIX
40 s
8 s
pH
42 s
10 s
T
EPC
10 s
10 s
Com o conjunto de dados acima e as equações 53 e 56-60 é possível acompanhar
a evolução temporal do pH do fluxo de saída, ou seja, o pH do efluente.
Com base nas discussões anteriores, e com os resultados relatados em artigos
(HALL; SEBORG, 1989) (HENSON; SEBORG, 1994) (ALVAREZ et al., 2001) e
94
livros (SEBORG; EDGAR; MELLICHAMP, 1989) (SHINSKEY, 1996) sobre
processos de neutralização de pH, pode-se afirmar que a neutralização de um ácido
forte (influente) por uma base forte (titulante) representa um problema multivariável
difícil, porque cada variável manipulada tem um efeito significativo em cada saída
controlada. Assim, esses processos são altamente não lineares e variantes no tempo,
devido a não linearidade inerente associada ao controle de pH e às mudanças na curva
de titulação, que ocorrem quando a quantidade de agentes de buffer se alteram de
maneira imprevisível.
A estabilidade do sistema deve ser garantida para a operação em malha fechada
sob as condições particulares e perturbações indicadas pelo modelo de referência. O
modelo de referência determina duas classes de perturbações, degraus variáveis e
ondas senoidais periódicas, que se aproximam do que ocorre em sistemas industriais
onde uma tubulação principal recebe resíduos de vários processos. As condições
específicas para a escolha de tais perturbações são as seguintes:
Degrau variável. Esta condição é geralmente encontrada quando a tubulação de
efluente é curta ou tem um diâmetro pequeno ou não há um tanque que suavize o fluxo
antes do tanque de neutralização. Apesar das mudanças bruscas da variável, este tipo
de perturbação é frequentemente encontrada em instalações industriais que possuem
instalações e equipamentos de baixo custo.
Ondas senoidais periódicas. Esta perturbação surge quando um tanque de suavização
de fluxo é colocado antes do tanque de neutralização, ou quando a tubulação do
efluente tem o diâmetro e comprimento suficientes para funcionar como um
reservatório para suavização do fluxo. Em ambos os casos, a típica homogeneização e
os efeitos de diluição estão bem representados por ondas senoidais de período e
amplitude constantes.
A seguir, serão apresentados os resultados das simulações propostas nos artigos
de Hall (HALL; SEBORG, 1989) e Alvarez (ALVAREZ et al., 2001) para as duas
perturbações descritas.
95
As respostas de malha aberta do processo para os testes 1, Tabela 4, e teste 2,
Tabela 5, são apresentadas nas Figuras 24 e 25, respectivamente.
Tabela 4 – Teste 1: degraus de q
1
com diferentes valores de buffer
tempo (min)
q
1
(l/min)
W
a1
(M)
q
2
(l/min)
0
1,3 q
1_NSS
0,01
q
2_NSS
40
0,7 q
1_NSS
0,01
q
2_NSS
80
1,3 q
1_NSS
0,01
0
120
0,7 q
1_NSS
0,01
0
160
q
1_NSS
0,01
4 q
2_NSS
200
q
1_NSS
0,01
2 q
2_NSS
240
q
1_NSS
0,01
0
0 50 100 150 200 250 300
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
tempo [min]
q1 [l/min]
0 50 100 150 200 250 300
5
6
7
8
9
10
x 10
-3
tempo [min]
Wa1 [M]
(a) (b)
0 50 100 150 200 250 300
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
tempo [min]
q2 [l/min]
0 100 200 300
2
4
6
8
10
12
tempo [min]
pH
(c) (d)
Figura 24 – Resposta de malha aberta para o teste 1: (a) vazão de ácido; (b) concentração de ácido; (c) vazão de
buffer; (d) pH do fluxo de saída.
96
Tabela 5 – Teste 2: onda senoidal com período de 15 min W
a1
com/sem buffer
tempo (min)
q
1
(l/min)
W
a1
(M)
q
2
(l/min)
0
q
1_NSS
Seno(ωt)
q
2_NSS
80
q
1_NSS
0,01
q
2_NSS
160
q
1_NSS
Seno(ωt)
0,05 q
2_NSS
240
q
1_NSS
0,01
q
2_NSS
0 50 100 150 200 250 300
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tempo [min]
q1 [l/min]
0 100 200 300
0.005
0.01
0.015
tempo [min]
Wa1 [M]
(a) (b)
0 100 200 300
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
tempo [min]
q2 [l/min]
0 50 100 150 200 250 300
3
4
5
6
7
8
9
10
tempo [min]
pH
(c) (d)
Figura 25 – Resposta de malha aberta para o teste 2: (a) vazão de ácido; (b) concentração de ácido; (c) vazão de
buffer; (d) pH do fluxo de saída.
97
Como foi possível observar, as Figuras 24 e 25 representam fielmente os
resultados apresentados nos artigos de Hall (HALL; SEBORG, 1989) e Alvarez
(ALVAREZ et al., 2001), mostrando assim que o modelo de referência ou modelo
virtual do processo de neutralização de pH, e consequentemente a sua implementação
e representação usando os softwares Matlab®/Simulink®, poderá ser utilizado para
finalidades de análise, simulação, identificação e controle deste processo, assim como
gerar os dados para testar o desempenho do sensor virtual desenvolvido neste trabalho.
Assim, o uso de modelos não-lineares na análise e identificação de sistemas é,
em muitos casos, essencial, devido a um número de fenômenos observados na prática,
os quais resultam das não-linearidades e variância no tempo do sistema. Muitos
processos industriais importantes, incluindo coluna de destilação, reação química
altamente exotérmica, neutralização de pH e outros grupos de sistemas apresentam
procedimento altamente não-linear e variante no tempo e podem operar em uma faixa
ampla de condições de operação.
As crescentes exigências de qualidade e quantidade colocadas para a indústria de
processo a defronta com situações de operações extremas, onde os efeitos não-lineares
e variantes no tempo são muito mais importantes (JERÔNIMO, 2004) (SANTOS,
2007) (CASILLO, 2009).
98
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO
5.1 Aplicações do método proposto
Com o intuito de testar o desempenho da metodologia proposta no Capítulo 3, ou
seja, a união do método de agrupamentos nebulosos de Gustaffson-Kessel
(BABUŠKA; VERBRUGGEN, 1997), para tratar a parte antecedente das regras do
algoritmo nebuloso, em conjunto com o método proposto por Wang-Langari (WANG;
LANGARI, 1996b), que propuseram uma forma mais simples de variação do fator de
esquecimento para ser utilizado na identificação dos parâmetros da parte consequente
das regras nebulosas, foi utilizado um exemplo. Esse exemplo, uma aplicação de
algoritmos de identificação recursiva de sistemas, quando os parâmetros do sistema
são variantes no tempo e onde é absolutamente necessário acompanhar a variação dos
parâmetros em tempo real, é o sistema inicialmente proposto por Moustafa (1983) e
também utilizado por Wang e Langari (1994) (1996b) e descrito a seguir.
Considerando um sistema com uma entrada e uma saída descrito pela equação a
diferença de primeira ordem:
kkkkkk
ubyay
11
(63)
onde
k
a
e
k
b
são dois parâmetros variantes no tempo com valores iniciais
8,0
1
a
, e
0,2
1
b
; e o sinal de entrada
k
u
é uma função senoidal
)(sen7,0 ku
k
e
k
é um
ruído Gaussiano com média zero e variância 0,7. As seguintes constantes foram
escolhidas para o fator de esquecimento variável:
1000 0,995 ,1 ,2,0
maxmin
Foram considerados dois tipos de variação dos parâmetros, uma suave e outra
abrupta.
No caso de mudança suave nos valores dos parâmetros,
k
a
e
k
b
sofrem variação
de acordo com as dinâmicas
99
501k
1
1
500k2
1
1
,1
,1
2
k
k
k
a
k
a
k
a
501k
1
1
500k2
1
1
,1
,1
2
k
k
k
b
k
b
k
b
Foram geradas 1000 amostras de dados simulados da Equação (63) e construído
um modelo nebuloso, usando para isso a metodologia descrita no Capítulo 3, ou seja,
para tratamento das variáveis de entrada, parte antecedente das regras, utiliza-se
agrupamento nebuloso de Gustafson-Kessel e para estimação dos parâmetros da parte
conseqüente utiliza-se o conhecido mínimos quadrados recursivo, mas com fator de
esquecimento variável.
Com esse resultado é possível mostrar a habilidade do sensor virtual para
identificação paramétrica, o mesmo sendo usado como um estimador de parâmetros de
sistemas variantes no tempo. A Figura 26 apresenta os dados de entrada e saída.
0 200 400 600 800 1000
-1
-0.5
0
0.5
1
Sinal de entrada
uk
amostras
0 200 400 600 800 1000
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Sinal de Saída
yk
amostras
(a) (b)
Figura 26: Sinais de entrada (a) e saída (b) da Equação (63) com variação lenta dos parâmetros.
100
A Figura 27(a) mostra os parâmetros a e b estimados pelo modelo nebuloso
proposto neste trabalho. É possível observar que os parâmetros rapidamente
convergem para o valor esperado e quando ocorre a variação paramétrica, apesar de
ser lenta, consegue seguir a tendência desta variação mantendo seu valor médio
próximo do valor real
0 200 400 600 800 1000
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Parâmetro a - real e estimado
Parâmetro a
amostras
0 200 400 600 800 1000
0
0.5
1
1.5
2
Parâmetro b - real e estimado
Parâmetro b
amostras
(a)
(b)
Figura 27: (a) Parâmetros a e b, real (---) e estimado (---). (b) Imagem retirada de Moustafa (1983)
A título de comparação do método utilizado com outro método para identificação
de sistemas variantes no tempo, é apresentado na Figura 27(b), retirada do trabalho de
Moustafa (1983), os resultados por ele obtidos, para os parâmetros a e b. Moustafa foi
101
o primeiro a utilizar este exemplo de aplicação, porém o método de identificação
utilizado em seu trabalho é o pouco conhecido funções de Lyapunov estocásticas.
Neste mesmo trabalho, o autor relata em sua conclusão a “quase certa convergência do
erro de identificação para um valor nulo, para o caso onde o ruído decorrente da
dinâmica dos parâmetros possui uma variância adicional”.
Observa-se que a identificação nebulosa proposta responde bem com relação à
convergência das estimativas paramétricas e, mesmo quando ocorre uma variação
lenta porém constante nos parâmetros, o erro é muito pequeno, ao passo que no
trabalho de Moustafa (1983) ele apenas comenta em sua conclusão, mas não mostra
em simulação ou mesmo analiticamente, este resultado. Em suma, o algoritmo
desenvolvido nesta tese é superior àquele de Moustafa (1983), uma vez que tem
convergência mais rápida e menor erro de estimação.
A Figura 28(a) apresenta a variação do fator de esquecimento λ e a Figura 28(b)
apresenta o valor do erro de saída entre o valor simulado e o estimado pelo modelo.
Como se pode observar na Figura 28(a), o método dos mínimos quadrados
recursivos com fator de esquecimento variável, usando a variação proposta por Wang
e Langari (1996b), adapta os valores do fator de esquecimento, no cálculo dos
parâmetros na parte consequentes das regras, com o propósito de se adaptar à variação
ocorrida nos mesmos de forma a minimizar o erro (Figura 28(b)).
0 200 400 600 800 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Evoluçao do fator de esquecimento variável
lambda
amostras
0 200 400 600 800 1000
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Evolução do Erro de predição
Erro saída
amostras
(a) (b)
Figura 28: (a) Fator de esquecimento variável, (b) Erro de saída entre o valor simulado e o estimado.
102
No caso de mudança abrupta nos valores dos parâmetros,
k
a
e
k
b
variam de
acordo com as dinâmicas
501k ,4,0
500k2 0,8,
k
a
501k ,0,1
500k2 2,0,
k
b
Também foram geradas 1000 amostras de dados da Equação (63), e então
construído o modelo nebuloso proposto neste trabalho. O Anexo B contém um script-
file em Matlab para solução do exemplo em questão. A Figura 29 apresenta os dados
de entrada e saída.
0 200 400 600 800 1000
-1
-0.5
0
0.5
1
Sinal de entrada
uk
amostras
0 200 400 600 800 1000
-2
-1
0
1
2
3
Sinal de Saída
yk
amostras
(a) (b)
Figura 29: Sinais de entrada (a) e saída (b) da Equação (63) com variação abrupta dos parâmetros.
Agora o modelo nebuloso estimado, usando a metodologia proposta nesta tese,
apresenta como parâmetros os valores mostrados na Figura 30. Como se observa nas
Figuras 30(a) e 30(b), o algoritmo proposto é capaz de rapidamente identificar os
parâmetros do modelo, mesmo em condições de mudança repentina nestes.
103
0 200 400 600 800 1000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Parâmetro a - real e estimado
Parâmetro a
amostras
0 200 400 600 800 1000
0
1
2
3
4
5
Parâmetro b - real e estimado
Parâmetro b
amostras
(a) (b)
Figura 30: Parâmetros a e b, real (---) e estimado (---).
A Figura 31(a) apresenta a variação do fator de esquecimento λ, e a Figura 32(b)
apresenta o valor do erro de saída entre o valor simulado e o estimado pelo modelo.
Mais uma vez, a Figura 31(a) ilustra o esforço do modelo proposto neste trabalho,
alterando o valor do fator de esquecimento, com o intuito de minimizar o erro de
predição, garantindo também que as estimativas não polarizem, ou seja, tendam para
um valor diferente do real. Observa-se que rapidamente o erro aproxima-se de zero.
0 200 400 600 800 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Evoluçao do fator de esquecimento variável
lambda
amostras
0 200 400 600 800 1000
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Evolução do Erro de predição
Erro saída
amostras
(a) (b)
Figura 31: (a) Fator de esquecimento variável, (b) Erro de saída entre o valor simulado e o estimado.
104
Tanto para o sistema com variação lenta como para aquele com variação abrupta
dos parâmetros, foram escolhidos
1k
y
e
1k
u
como variáveis de entrada do modelo
nebuloso, e, usando a técnica de discretização nebulosa (WANG; LANGARI, 1996a),
foi determinado 6 (seis) como número de regras utilizado. Vale ressaltar que, neste
mesmo artigo, Wang e Langari apontam como um problema no uso da técnica de
discretização nebulosa proposta por eles, técnica esta baseada em uma modificação do
método de clusterização fuzzy c-means para identificar a estrutura dos antecedentes, o
fato de que ao invés de calcular a função de pertinência de cada variável de entrada on-
line estas funções são calculadas off-line, apresentando assim uma certa dificuldade
para tratar sistemas variantes no tempo. Com isso, a abordagem proposta por eles para
tratar a parte consequente das regras nebulosas trabalha muito bem com sistemas
variantes no tempo, mas a parte antecedente apresenta dificuldades. Portanto, a
utilização de um método que trate a parte antecedente das regras da forma como é
proposta por Gustafson e Kessel (GUSTAFSON; KESSEL, 1978) pode resolver o
problema da clusterização dos antecedentes de forma satisfatória.
Pode ser observado nas Figuras 27 e 30, que mostram, respectivamente, os
parâmetros reais e os estimados do sistema com variação lenta e variação abrupta, que
os dois algoritmos em conjunto, o de agrupamento nebuloso pelo método de
Gustafson-Kessel (GUSTAFSON; KESSEL, 1978) (BABUŠKA; VERBRUGGEN,
1997) e o do fator de esquecimento variável de Wang-Langari (WANG; LANGARI,
1996a), podem seguir os parâmetros variantes no tempo muito bem, ou seja, uma
excelente habilidade de rastreamento, o que, em conjunto, são uma ótima opção para
tratar sistemas variantes no tempo. A extensa revisão bibliográfica feita nesta tese
mostra que esta abordagem conjunta está sendo inaugurada neste trabalho.
Um outro exemplo de aplicação da metodologia para sensores virtuais proposta
nesta tese foi retirado do trabalho de Narendra e Parthasarathy (1990), mostrando um
dos resultados simulados, enquanto os demais resultados são utilizados para teste do
controlador estudado por eles, em que a planta a ser identificada é dada pela seguinte
equação a diferença de segunda ordem e não-linear
105
1
2
2
2
1
121
1
)5,2(
k
kk
kkk
k
u
yy
yyy
y
.
(64)
700 amostras de dados simulados são gerados a partir da equação 64; as primeiras 500
amostras são obtidas utilizando como entrada um sinal aleatório uniformemente
distribuído no intervalo de [-2, 2], e as 200 amostras restantes são obtidas através de
um sinal senoidal na forma
)25/2(sen ku
k
.
Foram utilizadas as primeiras 500 amostras para construir o modelo nebuloso
usando a metodologia proposta nesta tese. O desempenho do modelo nebuloso é
testado usando as 200 amostras restantes. Foram selecionadas como variáveis de
entrada
1k
y
,
2k
y
e
1k
u
, o número de agrupamentos ajustado para 3, devido a uma
limitação de hardware para simulação. Todas as simulações foram feitas em um
microcomputador PC de 800MHz com 512MB de memória RAM.
A Figura 32(a) mostra o sinal de entrada aleatório (500 amostras iniciais), e a
Figura 32(b) mostra o sinal de entrada usado na validação do modelo, que pode ser
considerado como sinal de teste em uma condição de predição do modelo.
0 100 200 300 400 500
-3
-2
-1
0
1
2
3
Sinal de entrada u randômica na faixa [-2,2]
u
amostras
0 50 100 150 200
-1
-0.5
0
0.5
1
Sinal de entrada u senoidal - validação
u
amostras
(a) (b)
Figura 32: (a) Sinal de entrada aleatório, (b) sinal de entrada periódico.
106
É mostrado na Figura 33(a) o sinal de saída simulado em conjunto com o sinal de
saída do modelo estimado, usado na fase de treinamento, e na Figura 33(b), o sinal de
saída simulado e o estimado, usado para validação do modelo.
0 100 200 300 400 500
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Sinais de saída - real e estimada
saídas
amostras
0 50 100 150 200
-2
-1
0
1
2
3
4
Sinais de saída de validação - real e estimado
saídas
amostras
(a) (b)
Figura 33: (a) Sinais de saída real (---) estimado (---) - treinamento, (b) Sinais de saída real (---) estimado (---) -
validação.
É possível notar que o modelo apresenta um pequeno erro médio quadrático, e
k
,
calculado pela equação (65) e apresentado na Figura 34, juntamente com o erro de
predição.
simuladovalor
k
y
;
estimadovalor
ˆ
k
y
kkk
k
i
ik
yyee
k
e
ˆ
,
1
)(RMS
2/1
1
2
(65)
0 50 100 150 200
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Valor do Erro de predição
Erro
amostras
Valor RMS do erro
Valor do erro de predição
Figura 34: Valor RMS do erro e valor do erro de predição.
107
O erro de estimação mostrado poderia ser diminuído, se fosse utilizado um
número maior de agrupamentos, pois por limitações de hardware utilizaram-se apenas
3 agrupamentos, como descrito anteriormente.
Wang e Langari (1996) utilizaram o mesmo exemplo para testar seu algoritmo,
mas não mostraram uma comparação entre o dado simulado e o dado estimado. Além
disso, eles utilizaram 8 agrupamentos e, mesmo assim, lembram em sua conclusão que
utilizaram 500 amostras para construir o modelo nebuloso, enquanto Narendra e
Parthasarathy (1990) utilizaram nada menos que 100.000 amostras para identificar um
modelo usando redes neurais. Finalizam afirmando que “é esperado que o desempenho
do modelo nebuloso identificado possa ser melhorado se o número de amostras usadas
para construção do modelo for aumentado”.
Foi feita a verificação do desempenho do modelo nebuloso identificado com o
aumento do número de amostras. A Tabela 6 apresenta o valor RMS do erro nos dados
simulados. Com as mesmas condições de entradas anteriores, não foi possível observar
grandes melhorias.
Tabela 6 – Variação do erro RMS em função do número de amostras de treinamento
n
o
amostras
500
1000
2000
3000
4000
5000
e
RMS
0,4588
0,3515
0,3437
0,3755
0,3924
0,3613
Contudo, com relação ao sinal de saída simulado e o sinal de saída estimado, nos
dados validados, é possível observa-se uma sensível diferença, como é mostrado na
Figura 35, quando se usa um número maior de amostras na fase de treinamento do
estimador (sensor virtual, no contexto desta tese). Neste exemplo, usaram-se 2.000
amostras:
108
0 50 100 150 200
-2
-1
0
1
2
3
4
Sinais de saída de teste - real e estimado
saídas
amostras
Figura 35: Sinais de saída real (---) estimado (---) - validação.
5.2 Sensor virtual aplicado ao processo de neutralização de pH
O exemplo de simulação a seguir ilustra a aplicação do sensor virtual, utilizando
o método proposto, ao processo de neutralização de pH. Este processo, altamente não
linear, é muito conhecido por colocar em posição de dificuldade muitas técnicas de
identificação caixa-preta. A Figura 36 mostra um esquema utilizado no modelo virtual
deste processo, descrito no Capítulo 4, e mostrado novamente aqui de forma resumida.
Esta abordagem poderia ser considerada do tipo caixa-preta, apesar da descrição mais
aprofundada do processo químico ter sido realizada anteriormente.
Figura 36: Modelo simplificado do tanque de neutralização de pH utilizado.
109
Na simulação, atrasadores são utilizados na obtenção dos dados necessários ao
treinamento. Estes dados são agrupados e armazenados na memória como uma matriz.
O esquema de simulação em Simulink®, realizado no modelo virtual
desenvolvido no Capítulo 4 e mostrado na Figura 37(a), é utilizado na fase de
treinamento e mostra uma configuração de coleta de dados para 1 regressor de vazão e
dois de pH. Procurou-se aqui utilizar os mesmos dados propostos no artigo de Babuška
e Verbruggen (1997), com uma diferença: neste artigo, eles propõem identificar este
processo usando a técnica de agrupamentos nebulosos de Gustafson-Kessel, porém nos
consequentes das regras para identificação nebulosa eles utilizam um outro método de
estimação paramétrica, que eles chamaram de “mínimos quadrados totais”, feito de
forma off-line.
pH_f
dados_treinamento
tempo
h_f
q3_f
Vazão de
base
1/z
1/z
1/z
q3
pH
h
Sistema
CSTR
Neutralização de
pH
Clock
(a)
pH_f
tempo
h_f
q3_f
Vazão de
base
1/z
1/z
1/z
q3
pH
h
Sistema
CSTR
Neutralização de
pH
pH
Sensor
Virtual
MATLAB
Function
Inferência
nebulosa
Clock
(b)
Figura 37: (a) esquema de simulação usado no treinamento, (b) esquema usado como sensor virtual.
Após o treinamento, a validação é executada com a configuração da Figura 37(b).
Observa-se que, após o treinamento, as medidas de pH não são mais utilizadas na
110
estimativa de um novo valor, como é desejado. A Figura 38(a) mostra o sinal de
entrada do processo CSTR, ou seja, a vazão de base q
3
. O conjunto de dados para o
treinamento contém 500 amostras, com um intervalo de amostragem de 15s. A Figura
38(b) mostra o sinal de saída, o valor de pH. Com base em conhecimentos anteriores,
como descrito no Capítulo 4 desta tese, esta estrutura é considerada apropriada para
aproximações da dinâmica do pH.
0 100 200 300 400 500
0
5
10
15
20
25
30
35
Sinal de entrada vazão de base - treinamento
Qbase
amostras
(a)
0 100 200 300 400 500
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
pH da vazão de saída - treinamento
pH
amostras
(b)
Figura 38: (a) entrada vazão de base q
3
, (b) saída pH medido.
111
A Figura 39 apresenta uma comparação entre o pH medido, ou seja, o pH
simulado com os dados estimados na fase de treinamento, e o pH estimado, sendo
possível observar uma boa capacidade de estimação do pH.
0 100 200 300 400 500
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Sinais de saída real e estimada - treinamento
saídas
amostras
Figura 39: Sinais de saída real (•••) e estimado (---) - treinamento.
Na fase de validação, que corresponde à fase onde o algoritmo trabalha como
sensor virtual, são utilizadas mais 500 amostras para os sinais de entrada de vazão, e as
medidas de pH não são mais utilizadas na estimativa de um novo valor, como era
desejado.
A Figura 40(a) mostra os sinais de saída real e o sinal de saída do sensor virtual.
É possível observar um resultado bastante coerente, e que pode ser confirmado
comparando este resultado com o da Figura 40(b), que é uma figura transcrita do
artigo de Babuška e Verbruggen (1997) mostrando o resultado da validação do modelo
nebuloso proposto por eles. Chama-se a atenção para o fato de que a identificação
proposta por eles não serviria para ser utilizada em tempo real, ou seja, como um
sensor virtual, pois ela foi desenvolvida como um método de identificação nebulosa de
sistemas complexos, operando apenas off-line, e sem a capacidade de adaptação em
tempo real (usa-se o LS total no cálculo do conseqüente).
112
0 100 200 300 400 500
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Sinais de saída real e estimada - validação
saídas
amostras
(a)
(b)
Figura 40: (a) Sinais de saída real (•••) e estimado (---) – validação, (b) resultado obtido por Babuška e
Verbruggen (1997).
A Figura 41 apresenta o erro de predição do sensor virtual de pH proposto neste
trabalho. É possível notar que, apesar de ser diferente de zero, o erro possui valor
médio muito próximo de zero, permitindo o sinal estimado rastrear o sinal real, com
desempenho aceitável para uma gama de aplicações industriais/cientificas.
113
0 100 200 300 400 500
-2
-1
0
1
2
3
4
Erro de predição - validação
Erro
amostras
Figura 41: Valor do erro de predição.
114
6 CONCLUSÃO E CONSIDERAÇÕES FINAIS
O desenvolvimento de um sensor virtual para variáveis que não podem ser
medidas diretamente por um sensor físico representa um avanço no controle de
processos. Dificuldades encontradas no emprego da tecnologia atual, como a
inexistência de sensores, preços elevados, atrasos ou imprecisão das medidas, podem,
com o emprego de sensores virtuais, serem contornadas.
Durante a pesquisa bibliográfica, foi possível constatar que os métodos de
modelagem ou identificação de sistemas complexos, ou seja, principalmente sistemas
não-lineares, eram basicamente divididos em dois grandes grupos:
Os métodos que descrevem o sistema usando relações funcionais não-lineares
entre as variáveis deste sistema, conhecidos como métodos Globais; alguns
exemplos são: os modelos de espaço de estado não-linear, modelos caixa-preta de
entrada e saída NARX em conexão com redes neurais e wavelets.
Muitos exemplos de aplicações reais foram encontrados no livro de Fortuna et al.
2007, e nos vários artigos de Gonzalez, entre os anos de 1994 a 2005. Um fato curioso,
apesar das importantes aplicações descritas por Gonzalez, em periódicos e congressos
do IEEE, é que não se encontra nenhuma citação sobre seus trabalhos e contribuições
no livro de Fortuna a respeito da utilização de métodos Globais em identificação de
sistemas complexos e desenvolvimento de sensores virtuais.
Métodos que tentam lidar com a complexidade e não-linearidade de sistemas,
através da decomposição do problema de modelagem em um número maior de
problemas mais simples, em muitos casos, sub-problemas lineares, conhecidos
como métodos Locais. Estes métodos são conceitualmente simples e atraentes e,
com isso, são geralmente mais facilmente interpretáveis que os complicados
modelos globais. Técnicas de modelagem ou identificação baseadas em
conjuntos nebulosos são exemplos de métodos de modelagem Local.
Em 1973, Zadeh apresentou, como parte de uma importante formulação sua, o
princípio da incompatibilidade:
115
“À medida que a complexidade de um sistema aumenta, nossa habilidade
para fazer afirmações precisas e que sejam significativas acerca deste
sistema diminui até que um limiar é atingido além do qual precisão e
relevância tornam-se quase que características mutuamente exclusivas”.
O objetivo desta pesquisa é o desenvolvimento de sensores virtuais para
monitoramento de variáveis do processo, ou seja, processos complexos não-lineares e
variantes no tempo, o que ainda não havia sido realizado até então, como mostra a
literatura técnico-científica.
As técnicas de modelagem e identificação baseadas em conjuntos nebulosos
surgiram como técnicas promissoras, pois, através de alguns trabalhos de Wang e
Langari (1996), observou-se a utilização das mesmas em identificação de sistemas
complexos não-lineares e variantes no tempo; porém, elas apresentavam algumas
limitações na identificação em tempo real, o que é importante no desenvolvimento de
sensores virtuais.
Nesta mesma época, e de forma independente, Babuška e Verbruggen (1997)
propuseram um método de identificação de sistemas complexos não-lineares e
variantes no tempo que eles empregaram com sucesso, porém novamente não utilizado
em tempo real.
O mais interessante é que a parte limitante da técnica proposta por Wang e
Langari, ou seja, a que não permitia ou limitava seu uso em tempo real, era a que
demonstrava ser a grande solução ou contribuição apresentada por Babuška e
Verbruggen e vice-versa, ou seja, a limitação encontrada no algoritmo de Babuška e
Verbruggen foi resolvida muito bem por Wang e Langari.
Mas por que isso ocorreu? A resposta, apesar de ser simples e possuir uma
implementação deste algoritmo não trivial, é que tanto Wang e Langari quanto
Babuska e Verbruggen estavam trabalhando, ou melhor, procurando desenvolver
técnicas de identificação e modelagem baseadas em conjuntos nebulosos para sistemas
complexos com a finalidade de obter um modelo para o processo e não a criação ou
desenvolvimento de um sensor virtual.
A partir de informações coletadas de um processo especifico, é possível, através
dos algoritmos discutidos, chegar-se a um modelo nebuloso relativamente preciso em
116
uma abordagem do tipo caixa-preta. Além disso, o método de agrupamento de
Gustafson-Kessel (product space clustering) mostrou-se versátil o suficiente para
permitir a geração de modelos de processos muito mais complexos e com um número
muito maior de variáveis de entrada do que o permitido pelo método original de Wang
e Langari. Assim, o uso de técnicas de identificação de modelos nebulosos mostrou-se
relativamente eficiente na geração de sensores virtuais.
Uma das dificuldades da modelagem de um sistema em tempo discreto utilizando
a teoria nebulosa é a determinação da estrutura do modelo nebuloso, ou seja, a
determinação do número de regressores de cada variável, necessários à geração dos
modelos. O uso de um número pequeno de regressores das variáveis de entrada muitas
vezes gera um modelo impreciso, enquanto o uso de excessivos regressores exige um
esforço computacional muito maior. Em alguns casos, ainda é possível que alguns
regressores das entradas sejam substituídos por regressores da variável estimada.
Verificou-se que a validade dos modelos nebulosos gerados é muito dependente
dos dados coletados do processo real. A falta de informação destes dados gera um
modelo nebuloso limitado quanto à exatidão e que, possivelmente, irá divergir, se
usado na configuração de sensor virtual. Desta forma, se possível, é importante coletar
os dados para diferentes excitações do sistema, de forma a prover informações sobre
os diferentes estados deste.
Atrelado ao número de variáveis de entrada e aos dados de treinamento está o
melhor número de agrupamentos, a ser definido antes da criação do modelo nebuloso.
Uma quantidade insuficiente de agrupamentos limita o modelo quanta à capacidade de
identificar as não-linearidades do processo, enquanto um número excessivamente
grande de agrupamentos possivelmente modelará os erros das medidas, prejudicando a
exatidão das estimativas.
Também foi observado que a capacidade de um computador gerar ou não um
modelo mais complexo está relacionada ao número de regras do modelo nebuloso.
Determinando-se este número máximo de regras, evita-se o início de um treinamento
que horas mais tarde possa incorrer em um erro por falta de memória.
Procurou-se mostrar também neste trabalho, antes de empregar o método
proposto como um sensor virtual, o desempenho do mesmo na identificação de
117
sistemas complexos “em tempo real”, primeiramente para sistemas variantes no tempo
e, depois, para sistemas com forte não-linearidade, através de exemplos encontrados na
literatura técnica, cujos resultados são muito satisfatórios nas duas condições citadas
anteriormente.
Por fim, o melhor método, dentre os estudados, para a aplicação em planta de
neutralização de pH, foi o Gustafson-Kessel associado aos mínimos quadrados
recursivos com fator de esquecimento variável.
No entanto, é possível que, para diferentes aplicações em diferentes processos, o
método de Wang e Langari, com um método de agrupamento baseado em fuzzy c-
means, ou mesmo o agrupamento nebuloso de Gustafson-Kessel associado ao método
dos mínimos quadrados, possa funcionar de forma tão satisfatória quanto o proposto
nesta tese, para uso como algoritmo de identificação de sistemas complexos.
Um desdobramento deste estudo é a busca por formas para se estimar o número
ótimo de agrupamentos, sem que haja necessidade de geração e validação de uma
grande quantidade de modelos, ou seja, de forma quase empírica. Estas medidas,
chamadas de Validity Measures, foram citadas por Babuska e Verbruggen (1997) e são
merecedoras de melhor atenção.
Também merecem um estudo dedicado outras possíveis metodologias candidatas
a trabalharem como sensores virtuais, como algoritmos de modelagem neuro-fuzzy e
algoritmos nebulosos evolutivos. Este último, empregado com sucesso por Angelov e
Filev (2002) inicialmente para uso em reconhecimento de padrões, é sem dúvida o
mais sério e promissor dos candidatos.
118
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
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e
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127
APÊNDICE A – Modelo virtual do processo de neutralização de pH feito em
Matlab®/Simulink®
O modelo descrito abaixo representa a modelagem do processo de neutralização
e mais especificamente, com os ajustes e condições necessários para simulação do
teste 4 apresentado no Capítulo 4.
pH_f
h_f
pH
h
Sistema
CSTR
Neutralização de
pH
Scope
h
pH
2
h
1
pH
q1
ácido
q4
vazão
saída
q3_nom
q3_nominal
q2_nom
q2_nominal
q1_nom
q1_nominal
pH
pH1
h
h1
q2
buffer
q3
base
Step2
Step1
Step
Scope
Product
Cálculo do pH
e do nível h
128
pH
Wb4
Wa4
teta_total
V
V
V
ácido
buffer
base
vasão
saída
2
h (dm)
1
pH
teta_total
teta_total
Mux
MATLAB
Function
Função Raiz
Cálculo do volume
V e do nível h
Cálculo de Wb4
Cálculo de Wa4
Cálculo de
teta_total
Clock
4
q4
(l/min)
3
q3
(l/min)
2
q2
(l/min)
1
q1
(l/min)
base
buffer
ácido
1
Wa4
-0.02535
Wa3
-0.1
Wa2
Transport
Delay1
Step5
Step3
Step2
Step12Step11
Step10
Sine Wave4
Sine Wave1
Scope
1
s
Dot Product7
Dot Product6
Dot Product1
4
V
3
q1
2
q2
1
q3
129
Função raiz
function y=raiz(u);
wa4=u(1); wb4=u(2); t=u(3);
global pHi
ka1=4.47e-7;
ka2=5.62e-11;
kw=1e-14;
teta=10/60; %time delay na medição do pH
n1=-1;
n2=wa4-ka1;
n3=ka1*(wb4+wa4-ka2)+kw;
n4=2*wa4*ka1*ka2+4*wb4*ka1*ka2+ka1*kw; %n4=-ka1*(kw+ka2*wa4+2*ka2*wb4);
n5=ka1*ka2*kw;
format long
va=roots([n1 n2 n3 n4 n5]);
for cont=1:4
if imag(va(cont))==0 & real(va(cont))>0
pH=-log10(va(cont));
end
end
y=pH;
Dados de inicialização
% Dados do CSTR
A=6.7887; % Área do CSTR
h_nom=2.94609; % Nível nominal no CSTR
delta_f=(2*1000*(10/60)+20); delta=0.0:(10/60):delta_f;
Ni=-(100/delta_f)*delta+100; % Velocidade da hélice do agitador [rpm]
Nq=0.4; % Coeficiente de descarga do agitador
Dt=0.2942/0.3048; % Diâmetro interno do CSTR
Di=0.3*Dt; % Diâmetro do círculo formado pela hélice do agitador
Fa=(7.4813*Ni*Nq*3.7854*Di^3)/(0.3^0.55);‟ % Vazao de fluido movimentada pelo agitador
% Tempo morto do pH e intervalo de amostragem
teta_pH=10/60; % Tempo morto do pH [min]
Ts=10/60; % Intervalo de amostragem [min]
% Condições iniciais
Wa40=-0.0018862; Wb40=0.0023067;
V0= A*h_nom; % Volume inicial no CSTR
% Condições nominais
q1_nom=0,9996; % Vazão nominal de ácido
q2_nom=0,0333; % Vazão nominal de buffer
q3_nom=0.4686; % Vazão nominal de base
q4_nom=q1_nom+q2_nom+q3_nom; % Vazão nominal de saída
C1_nom=2; % Concentração nominal do ácido
130
APÊNDICE B – Script-file em Matlab® para aplicação ao primeiro exemplo do
item 5.1
%WANG,L.; LANGARI, R. A variable forgeting factor RLS algorithm with application to fuzzy time-
%varying systems identification. International Journal of Systems Science, v. 27, nr. 2, pp. 205-214, 1996.
%Slow case
clear all
n=1000; %Número de dados
clusters=6; %Número de clusters
num=2; %Número de variáveis de autoregressão
y(1)=0; %Saída inicial
a(1)=.8;
b(1)=2.0;
u(1)=.7*sin(1);
dado=[y(1) u(1)];
for k=2:n
if k<=500
a(k)=(1-k^(-2))*a(k-1);
b(k)=(1-k^(-2))*b(k-1);
y(k)=a(k)*y(k-1) + b(k)*u(k-1);
end;
if k>500
a(k)=(1-k^(-1))*a(k-1);
b(k)=(1-k^(-1))*b(k-1);
y(k)=a(k)*y(k-1) + b(k)*u(k-1);
end;
dado=[dado;[y(k-1) u(k-1)]];
u(k)=.7*sin(k);
end;
%Processo de clusterização de Gustafesson-Kessel
%BABUSKA, R.; VERBRUGGEN, H.B. Constructing fuzzy models by product space clustering. Fuzzy Model
%Identification: Selected Approaches, pp. 53-90, 1997
Z=dado;
U0=rand(n,clusters);
m=2;
tol=5e-4;
[U,V,F]=guskel(Z,U0,m,tol);
%Montagem da matriz Phi
Phi=[];
for i=1:n
%Phi=[Phi;[U(i,:) U(i,:)*Z(i,1) U(i,:)*Z(i,2)]];
Phi=[Phi;[U(i,:)*Z(i,1) U(i,:)*Z(i,2)]]; %No caso do exemplo, não há termo independente
end;
%Montagem do Variable Forgetting Factor RLS Algorithm
%Montagem da matriz Ck inicial (triangular inferior)
aux=size(Phi,2);
Mat=ones(aux);
131
Ck=tril(Mat);
%Constantes iniciais de convergência
lambda(1)=1;
lambdamin=.2;
lambdamax=1;
tetak=zeros(aux,1);
delta=.99;
tau=1000;
%Montagem do looping principal
for k=1:n
fk=Ck'*Phi(k,:)';
gamak=(lambda(k)+fk'*fk)^.5;
alfak=gamak+lambda(k)^.5;
betak=1/(gamak*alfak);
sigmak=betak*Ck*fk;
e(k)=y(k)-Phi(k,:)*tetak;
tetak=tetak+sigmak*(alfak/gamak)*e(k);
lambda(k+1)=delta-tau*e(k)^2;
if lambda(k+1) < lambdamin
lambda(k+1)=lambdamin;
end;
if lambda(k+1) > lambdamax
lambda(k+1)=lambdamax;
end;
Ck=lambda(k+1)^(-.5)*(Ck-sigmak*fk');
a1(k)=U(k,:)*tetak(1:aux/2);
b1(k)=U(k,:)*tetak(aux/2+1:aux);
end;
% Entrada
figure(1)
plot(1:n,u); grid; titulo2 = [' Sinal de entrada ']; title(titulo2); ylabel(' uk '); xlabel('amostras');
% Saida
figure(2)
plot(1:n,y); grid; titulo2 = [' Sinal de Saída ']; title(titulo2); ylabel(' yk '); xlabel('amostras');
% Parametro a
figure(3)
plot(1:n,a,1:n,a1,'r:'); titulo2 = [' Parâmetro a real e estimado ']; title(titulo2); ylabel(' Parâmetro a ');
xlabel('amostras');
% Parametro b
figure(4)
plot(1:n,b,1:n,b1,'r:'); titulo2 = [' Parâmetro b real e estimado ']; title(titulo2); ylabel(' Parâmetro b ');
xlabel('amostras');
% Evoluçao do fator de esquecimento
figure(5)
plot(1:n,lambda(1:n)); grid; titulo6 = [' Evoluçao do fator de esquecimento variável '];
title(titulo6); ylabel(' lambda '); xlabel('amostras')
% Evoluçao do valor RMS do Erro de prediçao
figure(6)
plot(1:n,e); grid; titulo3 = [' Evolução do Erro de predição ']; title(titulo3); ylabel(' Erro saída ');
xlabel('amostras');
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